compilacion curso de matematicas

1

SENTIDO

NUMÉRICO Y

PENSAMIENTO

ALGEBRAICO

EJERCICIOS RETOMADOS DE LAS ANTOLOGIAS DEL CURSO.

2

sesión 1

S1 Actividad 1

El borrego Erick

1. El borrego Erick está al final de una fila de borregos esperando para ser

trasquilado. Hay 50 borregos delante de él. Pero como es un borrego impaciente, cada vez que se toma un borrego del frente para trasquilarlo, Erick se escabulle de la línea dos lugares hacia delante, salvo cuando queda un sólo borrego delante de él. En ese caso él se escabulle sólo un lugar hacia delante y queda al frente de la fila. ¿Cuántos borregos serán trasquilados antes que Erick? Intente dar una respuesta mentalmente.

a. Una versión más sencilla del problema de Erick, es considerar una fila de borregos más corta.

Si hay tres borregos antes que Erick,

sólo un borrego es trasquilado antes que él.

3

Si hay seis borregos antes que Erick,

sólo dos borregos son trasquilados antes que él.

b. Utilice monedas, frijoles, o algún otro material manipulable para simular la situación y complete la siguiente tabla.

Número de borregos

delante de Erick

Número de borregos trasquilados antes que

Erick

4

5

6

7

8

9

10

11

c. Utilice la tabla anterior para predecir cuántos borregos serán trasquilados antes de Erick si hay 50 en línea delante de él.

4

d. Describa las estrategias que utilizó para dar respuesta al punto anterior.

e. ¿Cómo podría predecir la respuesta para cualquier número de borregos en la línea?

f. ¿Su método para predecir es "algebraico"? ¿Por qué sí o por qué no?

g. Ahora complete la siguiente tabla. ¿Se puede completar de una sola manera? Explique.

Número de borregos

delante de Erick

Número de borregos trasquilados antes que

Erick

37

296

1,000

7,695

13

21

5

h. Erick se vuelve más y más impaciente. Explore cómo cambia la regla si Erick se pasa tres borregos a la vez. Recuerde que Erick llegará al frente de la fila, aunque en el último brinco, pase menos de tres borregos.

i. ¿Y qué pasa si se pasa 4 borregos a la vez?

j. ¿Y 10 borregos a la vez?

k. Si conoce el número de borregos delante de Erick y cuántos pasa cada vez ¿puede predecir el número de borregos que serán trasquilados antes de Erick? Describa cómo lo hace.

l. ¿Qué sucede si Erick pasa primero dos borregos y luego el trasquilador toma un borrego del frente de la línea? ¿Esto cambia su regla? ¿Si es así, cómo?

6

m. El granjero emplea otro trasquilador de modo que los dos borregos del frente de la línea son trasquilados al mismo tiempo. Explore lo que hace esto a su regla.

n. Hay varias maneras de representar una situación problémica: una regla escrita, en palabras o símbolos; una gráfica, una ecuación, o una tabla. ¿Qué tipo de representaciones utilizó para el problema de Erick? ¿Por qué eligió esas representaciones?

2. El Problema de la Oveja Erick es uno de los que se reporta

internacionalmente en varios artículos que discuten precisamente el tema de los componentes de pensamiento algebraico y su desarrollo en el ámbito escolar. Comente con sus compañeros de equipo cuáles de esas componentes identifican en todo el proceso de solución que han llevado a cabo.

7

S1 Actividad 4

Significado de los procesos de multiplicación y división con decimales

Lo que hemos visto en las primeras actividades de esta sesión, nos permiten dar significado a los decimales con expansión finita como fracciones cuyo denominador es alguna potencia de 10. Con esto en mente podemos dar sentido a algunas cuestiones que surgen cuando multiplicamos o dividimos este tipo de decimales, por ejemplo:

¿Por qué al multiplicar decimales, para establecer el lugar del punto decimal en el producto lo que hacemos es sumar el número de dígitos que tiene la parte no entera de ambos factores?

Para multiplicar 0.2 0.03 lo que comúnmente hacemos –más o menos-, es

efectuar la operación como 2 3 6 y luego vemos que como hay 1 dígito no

entero en el primer factor y 2 en el segundo, decimos que debe haber 1+2 =3 lugares decimales en el resultado (la expansión no entera debe ser de 3 dígitos). O sea, el resultado es 0.006

En el desarrollo que se presenta enseguida, llene los espacios que hacen falta al efectuar la misma operación mediante las fracciones correspondientes (con denominadores expresados como potencias de 10) para que justifique el procedimiento común antes descrito:

0.2 0.03 2

.... 3 ....

2 10..... 3 10..... 6 10.....

0.........

¿Por qué recorremos los puntos decimales cuando dividimos?

Al dividir 2.5 0.05 lo que hacemos es recorrer el punto decimal dos lugares a la

derecha, que es el número de dígitos no enteros que tiene el divisor. Visualizar la razón para esto requiere que recurramos al sentido de “división” que le damos a

las fracciones. Es decir, podemos escribir esta división como la fracción 2.5 . 0.05

Al hacerlo, nos damos cuenta que para encontrar ahora algún sentido a esta expresión, requerimos que al menos el denominador sea entero... Llene los espacios en el desarrollo siguiente:

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S2 Actividad 2

Doblando papel 1. Utilice las tiras de papel que le entregará el instructor. Doble una tira a la

mitad y luego extiéndala. Conteste lo siguiente:

a. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?

b. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?

2. Vuelva a doblar la tira a la mitad. Ahora, repita la operación de modo que haya realizado dos dobleces sobre la tira. Al desdoblar completamente la tira observará algo como lo representado en la siguiente figura.



3. Repita el proceso y complete la siguiente tabla: Etapa de doblado

Partes que se observan en la tira desdoblada

Líneas que se observan en la tira desdoblada

1

2

3

4

5

10

a. Si se observan 128 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces de ha doblado la tira?

b. ¿En cuántas partes está dividida una tira en la que se observan 255 líneas?

9

c. ¿Es posible encontrar un patrón aquí?

¿Cuántas partes se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?

¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?

d. ¿Es posible observar 10,000 líneas en una tira suficientemente larga, sí o no y por qué?

4. Tome una nueva tira y dóblela en tres partes iguales:



5. Vuelva a doblar la tira en tres partes iguales y sin desdoblarla, doble la tira a la mitad. Al desdoblar completamente la tira observará algo como lo representado en la siguiente figura.



10

6. Repita el proceso (doblar en tres partes iguales y luego, sin desdoblar,

doblar a la mitad) y complete la siguiente tabla:

Etapa de doblado

Partes que se observan en la tira desdoblada

Líneas que se observan en la tira desdoblada

1

2

3

4

5

10

a. Si se observan 108 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces se ha doblado la tira?

b. ¿Es posible encontrar un patrón aquí?

¿Cuántas partes se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?

¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?

c. ¿Es posible observar 20,000 líneas en una tira suficientemente larga, sí o no y por qué?

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S3 Actividad 3

Cambio de Variable 1. Resuelva la siguiente ecuación:

2. Intente una forma alternativa de resolver la ecuación. Discútala con sus

compañeros.

3. Analice cada una de las alternativas de solución, en términos de las ventajas y

desventajas que ofrece cada una de ellas.

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4. Construya otra ecuación que pueda ser abordada mediante las estrategias antes

propuestas y resuélvala.

5. ¿Es posible generar un patrón que permita construir ecuaciones que

respondan a los tratamientos antes estudiados? Explique.

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S4 Actividad 8

Llenado de Botellas

¿Ha observado alguna vez que cuando se están llenando botellas mediante un flujo de agua constante, al llegar casi al tope, súbitamente el agua se empieza a derramar? ¿Por qué sucede esto?

1. Imagine que cada una de las seis botellas que se muestran abajo, se llena manteniendo un flujo constante. Para cada botella, elija la gráfica adecuada que relacione la altura del agua con el volumen del agua que se ha vertido.

2. Para las gráficas que quedan sin seleccionar, muestre como sería la botella que se llena.

Forma, Espacio y Medida Geometría

Sesión 2

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3. Bosqueje la gráfica para siguiente secuencia de botellas

4. Usando estos bosquejos, explique por qué el llenado de una botella con lados rectos e inclinados no da una recta como gráfica.

5. ¿Es posible que dos botellas distintas produzcan la misma gráfica de la

relación altura-volumen? En caso afirmativo bosquéjelas.


Sesión 2

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S4 Actividad 9

Nuestros materiales de trabajo En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que desempeñan su trabajo, de acuerdo a un tema de su interés que esté relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico.

Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de texto, los Planes y Programas de estudio de Matemáticas.

Con base en el Programa de estudio, seleccionen una lección de su Libro de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los temas mencionados y y analícenla de acuerdo a lo siguiente:

h) Nombre de la lección:

i) Grado:

j) Contenidos que se tratan en la lección:

k) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar:

l) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen las actividades y expliquen)

m) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección para enriquecerla?

n) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten

el mismo tema en su Libro de Texto.


Sesión 2

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FORMA, ESPACIO

Y MEDIDA

EJERCICIOS RETOMADOS DE LAS ANTOLOGIAS DEL CURSO.


Sesión 2

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Sesión 2

A1 Adquiriendo la noción de reflexión

1. Haga movimientos de su mano o parte de ella (Por ejemplo mover los dedos) frente a uno de los pequeños espejos que se le proporcionan. Anote sus observaciones acerca de la relación que encuentra entre el objeto (La mano) y la imagen reflejada en el espejo.

2. Colóquense dos compañeros, uno frente al otro, imagínense que en medio

de ellos se encuentra un gran espejo (Que a la vez transparenta), uno de los compañeros realiza algún movimiento y el otro intenta representar la imagen reflejada del compañero en el espejo imaginario, enseguida se invierten los papeles. Describa cómo tuvieron que ser los movimientos del que representaba la imagen, con respecto al que representaba el objeto y las dificultades que ello le representó.

3. Dibuje la imagen reflejada de la siguiente figura con respecto a la recta

dada, como si fuera un espejo.


Sesión 2

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4. Dada una figura y una línea recta sobre una hoja de papel, obtenga la imagen reflejada de dicha figura, como si la línea fuera el espejo, utilizando papel carbón y doblez de papel.

5. Discuta con sus compañeros sus experiencias, escriba lo que concluyeron.

A2 Iniciando matematización

1. Trate de hacer un resumen tomando en cuenta las siguientes preguntas:

¿En qué forma están colocados los pares de figuras en los que una es ―reflejo‖ de la otra?. ¿Qué características medibles tienen entre sí los objetos y sus ―reflejos‖ ?.


Sesión 2

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2. En la actividad anterior dibujó el reflejo de una figura utilizando una línea como si fuera un espejo mediante doblado de papel y papel carbón. Utilice su dibujo anterior, tome un punto (llámele P) de la figura original y siguiendo el mismo procedimiento (de trabajar con el papel carbón) encuentre su reflejo P’, una el punto P con el punto P’ por medio de un segmento de recta, analice la relación del segmento PP’ con el eje de reflexión y escriba lo que observa. Experimente para más puntos de la figura haciendo el mismo tipo de observaciones. En los renglones siguientes, escriba el resumen de sus observaciones sistemáticas.

3. Corrobore, con la ayuda de una escuadra, el tipo de ángulo que existe entre el eje de reflexión (mal llamado de simetría) y el segmento determinado por el par de puntos P y P’, así como para al menos otros dos pares de puntos en el que uno sea el reflejo del otro y escriba sus observaciones.

4. ¿Qué relación hay entre la distancia del punto P al eje de reflexión y de éste

al punto P’? Comente su respuesta.

5. ¿Sucede lo mismo con los demás pares de puntos? Explique su respuesta.


Sesión 2

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6. Discuta con sus compañeros lo que en conjunto observó en esta actividad y anote sus conclusiones:

A3 Afianzando lo noción de Reflexión

1.- En cada una de las siguientes cuadrículas, decir si los pares de figuras en ellas contenidas son simétricas o no con respecto al eje que se resalta por el grosor.

2.- En cada una de las siguientes cuadrículas, dibujar la figura simétrica a la figura dada con respecto al eje indicado.


Sesión 2

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Sesión 3

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Sesión 3

A1 Dibujos a Escala: Identificar una buena imagen

I. He aquí el dibujo de una pantera:

1. ¿Cuál de las siguientes reproducciones del dibujo le parece la ―mejor‖ ?

2. Compare su selección y los métodos utilizados para determinarla.

3. Explique brevemente en qué basa su decisión:


Sesión 3

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En matemáticas se utiliza el adjetivo “semejantes” para describir dos figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Si una se obtiene como una “copia a escala” de la otra, entonces las dos figuras son semejantes.

II. Observe los dos grupos de figuras siguientes y responda lo que se le pide:

9

6 3

2 1. Marque con una cruz los

rectángulos que son semejantes entre sí.

4

10

2. ¿Cómo puede asegurar que su selección es correcta? ¿Está basada solamente en los ángulos?

Establezca el o los criterios para determinar cuándo dos o más rectángulos son semejantes:

3. ¿Son estos dos triángulos semejantes? 4. ¿Cómo lo puede verificar?

5. Discuta con sus compañeros bajo qué condiciones cree usted que se puede determinar la semejanza de polígonos en general y de triángulos en particular.


Sesión 3

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6. Escriba en el recuadro sus determinaciones (en las actividades que siguen a ésta tendrá oportunidad de ratificarlas o modificarlas).

Otros Criterios de Semejanza de Triángulos?

1. En la Actividad 1 de esta sesión se le solicitó que expresara los criterios que determinan particularmente la semejanza de triángulos. ¿Qué se requiere para determinar si dos triángulos son semejantes?

a. Para cada par de medidas de ángulos, trace usted un triángulo y

enseguida compare sus cuatro triángulos con los de sus compañeros de equipo:

90° y 60° 45° y 45°


Sesión 3

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120° y 30° 80° y 40°

b. ¿Qué se advierte? Argumente brevemente por qué es así.

c. Enuncie, consecuentemente a sus observaciones anteriores, el o los

criterios que determinan la semejanza de triángulos únicamente en función de sus ángulos:

d. ¿Sucede lo análogo con el criterio que se refiere únicamente a la proporcionalidad de los lados? ¿por qué?


Sesión 3

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2. Exploren en equipo qué datos mínimos adicionales sobre los lados se requieren para construir triángulos semejantes cuando se conoce solamente un ángulo.

Recordar que la notación usada para etiquetar vértices y lados en los triángulos se conviene como sigue: Vértices con mayúscula, siguiendo las manecillas del reloj. Lados con la minúscula que corresponde al vértice opuesto. B

a c

C

A b

a. Por ejemplo, dado un par de triángulos con las siguientes características:

en un triángulo, uno de sus lados mide 6 cm y uno de sus ángulos 60 ; en

el otro triángulo, el lado y el ángulo correspondientes miden 3 cm y 60

respectivamente ¿Se trata indiscutiblemente de triángulos semejantes? Argumente acerca de la suficiencia o insuficiencia para asegurar la semejanza antes de hacer los trazos. Luego realice los trazos y verifique con sus compañeros lo antes argumentado.

b. O bien, si dado un par de triángulos cuyas características son: a=3, b=2,

BAC 35 y su correspondiente a’= 6, b’=4 y B' A' C' 35 ¿qué pasa?

¿de qué criterio estamos hablando? ¿es suficiente para validar la semejanza?


Sesión 3

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c. Y si se conservan las medidas de los lados del caso anterior, pero el

ángulo que se mantiene fijo es el CBA 35

d. Enuncie el criterio o los criterios que determinan la semejanza de

triángulos en función de un ángulo y dos lados.

3. Ejercicio para responder argumentando oralmente su respuesta: Determine si en las situaciones que se describen a continuación se trata necesariamente de figuras semejantes

a) Dos triángulos cualesquiera

b) Dos triángulos isósceles ABC, A’B’C’ en los que el

ángulo formado por los lados iguales mide 45°.

c) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en los que un cateto de ABC es el doble de un cateto de A’B’C’

d) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C en que un ángulo agudo de ABC es congruente con el ángulo agudo de A’B’C’ correspondiente.

e) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en los que la hipotenusa y un cateto son proporcionales

f) Dos rectángulos cualesquiera

g) Dos rectángulos ABCD y A’B’C’D’ en los que un lado de ABCD es la mitad de un lado A’B’C’D’

h) Dos cuadrados cualesquiera


Sesión 4

Propongan en el grupo situaciones de polígonos en general para explorar condiciones de semejanza.


Sesión 4

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A3

Explorando áreas en el geoplano

Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar los puntos marcados en esta hoja de trabajo, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica.

1. La unidad de área en el geoplano será la del cuadrado más pequeño que pueda obtenerse al unir cuatro clavos. A esta unidad la llamaremos unidad cuadrada.

2. En el geoplano, la unidad de longitud será la distancia vertical u horizontal entre dos clavos consecutivos.

3. Utilice el geoplano y ligas de colores, o una de las alternativas mencionadas, para reproducir las siguientes figuras y encuentre el área de cada una en unidades cuadradas:

4. Ahora, construya las siguientes figuras:

a. Un cuadrado con área de cuatro unidades cuadradas.

b. Un triángulo isósceles con área de cuatro unidades cuadradas.

c. Un cuadrado con área de dos unidades cuadradas.


Sesión 4

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A4 Triángulos y rectángulos

Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar los puntos marcados en esta hoja de trabajo, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica.

1. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de los siguientes triángulos.

2. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de las

siguientes figuras.

.


Sesión 4

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3. Construya las formas siguientes:

a. Un triángulo con un área de 3 unidades cuadradas b. Un triángulo y un cuadrado con áreas iguales (¿Cuál tiene el

perímetro más pequeño?) c. Triángulos con áreas de 5, 6, y 7 unidades cuadradas,

respectivamente.

A5 Calculando áreas

1. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un rectángulo en el geoplano.

2. Si llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del rectángulo.

3. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un triángulo rectángulo en el geoplano.

4. Si llamamos b a la base del triángulo rectángulo y h a su altura, escriba y explique la fórmula para obtener el área del triángulo rectángulo.


Sesión 4

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5. ¿La fórmula anterior sirve para calcular el área de cualquier triángulo? Para responder esta pregunta, primero observemos lo siguiente:

Tenemos un paralelogramo de base b y altura a, y un rectángulo de base b y altura a. Compare las áreas de las dos figuras. ¿Cuál es la fórmula para el área de un paralelogramo?

6. Recorte dos triángulos congruentes. Puede seguir el siguiente procedimiento: Doble una hoja de papel y dibuje un triángulo arbitrario. Marque su base y su altura. Recorte el triángulo sobre el papel doblado, de modo que obtendrá dos triángulos congruentes. Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo con la misma base y la misma altura del triángulo.

a. ¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la del paralelogramo?

b. Escriba la fórmula para el área de un triángulo arbitrario, de base b y altura h.

7. Recorte dos trapecios congruentes. Puede usar el procedimiento descrito en el punto anterior. Marque en cada trapecio, su base mayor B, su base menor b y su altura h. Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo.

a. ¿Cuál es el área de este paralelogramo? Escriba la fórmula.

b. ¿Cómo se relaciona el área del trapecio con la del paralelogramo?

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c. Escriba la fórmula para el área del trapecio.

8. Encuentre el área de los triángulos marcados en los siguientes polígonos regulares. Suponga que la medida de cada lado de los polígonos es de 2 unidades.

a. Utilice la información para encontrar el área de los polígonos.

b. ¿Cómo relaciona estos resultados con la fórmula que usted conoce

para encontrar el área de un polígono regular?

9. Complete la siguiente tabla que relaciona la medida de la apotema sobre la

medida del lado para cada polígono regular indicado.

No. de lados Medida del lado Medida de la apotema

Cociente indicado

3 2

4 2

5 2

5 3

6 2

6 4

7 2

7 5

8 2

8 6

a. ¿Qué observa en la relación de variación del cociente conforme cambiamos el número de lados del polígono?

10. Utilice software de geometría dinámica para explorar la variación del cociente de la apotema sobre la medida del lado al variar la longitud del lado para un polígono de un número determinado de lados (preferentemente mayor que 4).

a. Al observar la tabla construida en el punto 9 y la exploración gráfica

dinámica que se acaba de realizar, explique y justifique lo que sucede.

MANEJO DE LA

INFORMACIÓN EJERCICIOS RETOMADOS DE LAS ANTOLOGIAS DEL CURSO.

Sesión 1

Actividad 1: El uso del juego para introducir ideas estocásticas básicas

Participan en el juego dos personas. Se enumeran cuatro casillas del 0 al 3, ver figura. Cada jugador escoge un color de ficha y alternadamente seleccionan una casilla y colocan una ficha en ella, de modo que las cuatro casillas queden cubiertas, dos para un jugador y las otras para el otro. Se lanzan tres monedas, se cuenta el número de águilas que resulten del lanzamiento y, enseguida, avanza una casilla la ficha del jugador que corresponda al número de águilas obtenidas. Gana el primero que alcance la meta con alguna de sus fichas.

0 … M

1 … E

2 … T

3 … A

1. Antes de iniciar el juego, responda a lo siguiente:

a. ¿Qué números seleccionará con preferencia? ¿Por qué?

b. ¿Qué números no seleccionaría? ¿Por qué?

c. Si tuviera que escoger entre el 0 y el 3, ¿Cuál seleccionaría? ¿Por qué?

d. Si tuviera que escoger entre el 1 y el 2, ¿Cuál seleccionaría? ¿Por qué?

e. ¿Importa en el juego qué números se seleccionen? ¿Por qué?

f.Si se realizan 10 veces los lanzamientos de las tres monedas, ¿Cuántas casillas cree que avanzará cada uno de los jugadores? ¿Por qué?

0 M

1 E

2 T

3 A

g. Si se realizan 100 veces los lanzamientos de las tres monedas, ¿Cuántas casillas cree que avanzará cada uno de los jugadores? ¿Por qué?

2. Al responder a las preguntas anteriores, de alguna manera ha formulado argumentaciones, que intuye suceden, con respecto al desarrollo y resultados del juego. El análisis del juego nos llevará a la aceptación o rechazo de las hipótesis que se han seguido para la elección o elecciones realizadas. Para esto, es necesario jugar varias partidas y tomar datos, ¿Qué datos serán relevantes para el análisis del juego?

También es indispensable decidir una forma de codificar la información de modo que sea fácil su organización y análisis posterior.

Para el propósito de la actividad, es importante resaltar que lo que interesa es el análisis del juego y no quien gana, por lo que una cuestión de interés será determinar si hay alguna o algunas elecciones más convenientes que otras, por lo tanto los datos que interesa tomar son números seleccionados, número ganador, movimiento realizado y no quien ganó en cada partida (denominamos partida a cada una de las ocasiones que se lanzan las tres monedas. Resulta ganador de la partida el jugador cuya casilla coincide con el número de águilas obtenidas).

Enseguida, forme una bina con alguno de sus compañeros y juegue las partidas necesarias hasta que alguno de los jugadores logre llegar a la meta.

3. Una vez realizado el experimento anterior, ¿Qué observaciones puede hacer con respecto a los resultados del juego?

4. ¿Coinciden con los resultados esperados al principio del juego?

5. ¿Modificaría su elección si jugara de nuevo? ¿Por qué?

6. Los resultados obtenidos de la simulación de 100 lanzamientos de tres monedas, en grupos de diez, se presenta enseguida:

6 DGFCMS

11 DGFCMS

1 0 1 2 0 1 0 3 2 2

1 1 2 2 3 0 3 2 1 3

1 2 1 2 1 2 2 3 2 2

2 0 2 1 1 2 2 2 2 2

2 2 2 1 0 1 1 2 1 2

1 3 2 2 2 1 3 0 1 1

2 1 2 0 2 1 1 2 2 2

2 2 3 3 2 3 3 0 2 2

0 2 3 2 0 2 0 3 2 1

1 3 0 2 1 1 2 1 1 3

Si el jugador A, seleccionó las casillas 0 y 2 y el jugador B las restantes, proponga una organización de los datos obtenidos en la simulación, de modo que se pueda observar el número de partidas jugadas y el número de veces que ha avanzado cada ficha:

7. Al número de veces que se han obtenido un resultado en particular le llamamos frecuencia absoluta, mientras que al cociente entre el número de veces que se ha obtenido un resultado particular y el total de veces que se ha realizado el experimento (total de partidas) le llamamos frecuencia relativa. Complete su tabla incluyendo las frecuencias relativas y proponga una representación gráfica que refleje los resultados obtenidos en el juego.

8. A partir del trabajo realizado, es posible realizar alguna conjetura, en concreto, un juicio acerca del resultado que ha aparecido con mayor frecuencia y, en todo caso, si se desea ganar el juego, cual se seleccionaría. Estas conjeturas se realizan a partir del análisis de los datos, de la construcción de sus resúmenes y de la observación de las gráficas resultantes. ¿Modificaría las respuestas dadas en el punto 1, a partir del trabajo realizado en los puntos 6 y 7? Establezca una conjetura acerca del resultado del juego y plantee una estrategia para la validación de su conjetura.

9. Finalmente, exponga cómo utilizaría lo estudiado si tuviera que participar de nuevo en el juego y que esperaría que sucediera una vez concluido el mismo.

12 DGFCMS

actividad 4: Situaciones aleatorias en el contexto de juegos1

La utilización de monedas, dados o ruletas en diversos juegos hace que el resultado o desarrollo del juego no dependa sólo del conocimiento del juego y las habilidades o destrezas desarrolladas por cada uno de los participantes. Digamos que estos dispositivos incorporan un factor de incertidumbre en los posibles resultados y con ello hacen interesante el juego. En estos ambientes los resultados que determinan al ganador no se pueden conocer sino hasta después de realizado el juego. El comportamiento impredecible de los resultados posibles en cada momento del juego brinda un contexto idóneo para poner en acción las ideas de azar, probabilidad y regularidad estadística, entre otras que son importantes desde la perspectiva escolar.

Un caso sencillo viene a ser el juego de volados, en donde se trata de adivinar el resultado del lanzamiento de una moneda, una predicción antes del lanzamiento, que de verificarse con el resultado del lanzamiento una vez efectuado permite decidir si el jugador gana o pierde.

Alrededor de esta situación caben algunas interrogantes que ayudan a definir lo que resulta importante en este tipo de situaciones: ¿Cuál es la gama de posibles pronósticos que pueden efectuarse? ¿Cuál es el conjunto de posibles resultados? ¿Cuál es la probabilidad de ganar? ¿Cómo se puede calcular dicha probabilidad? ¿Bajo qué condiciones es válido el procedimiento empleado? ¿Qué significa la probabilidad obtenida?, etc. En cierto modo estas interrogantes orientan nuestra visión hacia un modelo probabilístico de la situación y al cálculo de probabilidades bajo dicho modelo y /o sus implicaciones.

En esta actividad, presentamos una serie de situaciones con monedas, dados, ruletas en las que se plantean interrogantes encaminadas a esclarecer aspectos que guardan una intima relación con nociones probabilísticas, las cuales son contempladas en los estudios que se hacen en la escuela secundaria.

Juego con monedas Situación 1

Al jugar volados con una o varias monedas nos podemos hacer una serie de preguntas acerca del comportamiento del resultado obtenido, antes de realizar algún lanzamiento. Si en condiciones como las de este día despejamos, de mesas y sillas, un área del salón de clase y lanzamos una moneda de un peso hacia arriba:

1 Esta actividad fue retomada del Módulo III del Diplomado “La Enseñanza y el Aprendizaje de las

Matemáticas en Educación Secundaria”; 2006, Un iv ersid ad d e So n o ra .

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III

a. ¿Caerá la moneda al piso?

b. ¿Es posible asegurar que siempre pasará lo anterior?_ ¿Por qué?

c. Las preguntas anteriores, ¿Tratan de una situación determinista o aleatoria? ¿Por qué?

d. Si la moneda cae al piso, ¿Qué cara de la moneda quedará hacia arriba? ¿Por qué?

e. La situación planteada en d, ¿Es determinista o aleatoria? ¿Por qué?

f.Si hacemos el lanzamiento de una moneda y registramos la cara que queda hacia arriba,

¿Puedes decir qué ocurrirá en el próximo lanzamiento de esa moneda? ¿Por qué?

g. Si lanzamos dos veces una moneda, ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden registrar?

h. Si hacemos tres lanzamientos de una moneda y registramos las caras que quedan hacia arriba, ¿Puedes decir con certeza cuál es el resultado que se obtendrá en los próximos tres lanzamientos? ¿Por qué?

Juego con dados Situación 2

Los juegos de dados son un buen contexto para trabajar algunas de las ideas básicas de las situaciones aleatorias. Si se hace el lanzamiento de dos dados, uno verde y uno azul y registramos el número de puntos que aparecen en la cara que queda hacia arriba de cada dado de la siguiente manera: primero el verde y después el azul.

12 DGFCMS

13 DGFCMS

Responde a cada uno de los siguientes planteamientos: a. De acuerdo a lo que se quiere registrar, ¿Es una situación determinista o aleatoria?

, ¿Por qué?

b. Si se requiere hacer el registro de los puntos de las caras de los dados que quedan hacia arriba, ¿Cuáles son todos los resultados posibles?

c. ¿Cuántos son los resultados posibles?

d. ¿En cuántos resultados posibles el dado verde caerá 3? . ¿Cuáles son?

e. ¿En cuántos resultados posibles la suma de los puntos es 8?, . ¿Cuáles son esos resultados?

f.¿En cuántos resultados posibles el dado azul tiene un número de puntos par? , ¿Cuáles son?

g. ¿En cuántos resultados posibles el número de puntos es igual en ambos dados? , ¿Cuáles son?

h. ¿Qué tiene más oportunidad de ocurrir, un cinco y un cinco o un cinco y un seis?_ ¿Por qué?

i. ¿Cuál de los siguientes resultados tiene más oportunidad de ocurrir, el verde 4 y el azul 3 o el verde 4 y el azul 4? ¿Por qué


situación 3

Juego con ruletas Si se giran las ruletas que se muestran enseguida y se hace el producto de los números que marque la flecha en cada ruleta:

a. ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden presentar?

b. ¿Cuál de ellos es más probable que salga? , ¿Por qué?

c. ¿Cuál de ellos es menos probable que salga? , ¿Por qué

d. Dejando una de las ruletas como está, ¿Cómo deberá quedar la otra ruleta para que los valores de b y c sean igualmente probables?


2. Represente la información de la tabla en un diagrama de Venn.

Actividad 6: Estudiantes de concurso

En una escuela secundaria hay un grupo de 65 estudiantes que han participado en concursos de ciencias: Matemáticas (M), Física (F) y Química (Q). De acuerdo a los resultados del año pasado los estudiantes están clasificados de acuerdo al tipo de concurso en el que han ganado algún lugar, tal como se muestra en el diagrama que se presenta en el siguiente diagrama.

F 9 8

10 7 5

6 12 8

Q

M

La escuela ha gestionado una beca para ser asignada entre los estudiantes que han participado en dichos concursos. Los profesores deciden seleccionar, al azar, a un estudiante de los 65 que han participado en alguno de los concursos señalados para proponerlo para que le sea asignada la beca, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante que seleccionen sea alguien que haya ganado algún lugar:

a. En el concurso de matemáticas?

b. En el concurso de física?

c. En el concurso de química?

d. Sólo en el concurso de matemáticas?

e. Sólo en el concurso de física?

f.Sólo en el concurso de química?

32 DGFCMS


g. En el concurso de matemáticas y física?

h. Sólo en el concurso de matemáticas y física?

i. Sólo en uno de los tres concursos? j. Sólo en dos de los tres

concursos? k. En los tres concursos?

l. En al menos uno de los tres concursos?

m.En al menos dos de los tres concursos?

n. En ninguno de los tres concursos?


No. d

e e

stu

dia

nte

s

Sesión 3

Actividad 1: El examen de admisión

La siguiente gráfica muestra el número de reactivos correctos obtenidos por un grupo de aspirantes a ingresar al bachillerato en un examen de opción múltiple.

60

No. de reactivos correctos

A partir de la información representada en la gráfica, determine lo que se le pide a continuación: I. Si el examen constó de nueve reactivos de falso y verdadero:

a. ¿Cuáles son todos los valores de la variable estadística involucrada en el problema?

b. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen de admisión?

c. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron el máximo de reactivos correctos?

d. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron cuatro reactivos correctos?

e. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron ocho reactivos correctos?

f.¿Qué consideraciones realizó para dar respuesta a los incisos anteriores?

g. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo dos o más reactivos correctos?

h. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo a lo más cuatro reactivos correctos?

i. Proponga una representación tabular para la información presentada en la gráfica.

36 DGFCMS

37 DGFCMS

II. Si el examen constó de 70 reactivos y el mínimo de reactivos correctos fue 5 y el máximo de 65, considerando la misma representación gráfica:

j. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen de admisión?

k. De nuevo construye una representación tabular para la información representada en la gráfica.

l. Explique las consideraciones que hizo para presentar la propuesta tabular solicitada en los incisos i y k.

Actividad 2: Calificaciones finales

Las tablas que aparecen a continuación contienen los datos de un estudio sobre el número de alumnos reprobados, de los cursos de Matemáticas y Español, en una escuela secundaria durante el ciclo escolar 2009-2010. El primer renglón registra el número de alumnos reprobados por grupo y el segundo, el número de grupos en los que ello ocurrió.

1) Cursos de Matemáticas I

No. de Reprobados

0

1

2

3

4

5

6

7

No. de Grupos

3

6

8

7

5

2

2

1

2) Cursos de Matemáticas II

No. de Reprobados

0

1

2

3

4

5

6

No. de Grupos

1

1

3

4

5

3

1

3) Cursos de Matemáticas III

No. de Reprobados

1

2

3

4

5

6

7

No. de Grupos

2

2

6

8

10

6

2

4) Cursos de Español I

No. de Reprobados

1

2

3

4

5

6

7

No. de Grupos

2

3

7

9

9

6

2


5) Cursos de Español II

No de Reprobados

1

2

3

4

5

6

7

No. de Grupos

1

2

6

8

8

5

2

6) Cursos de Español III

No. de Reprobados

0

1

2

3

4

5

6

7

No. de Grupos

3

3

4

7

8

6

3

1

a. ¿Cuántos grupos de cursos de Matemáticas I se impartieron el ciclo escolar 2009-2010 en la escuela secundaria?, ¿Cuántos de Español II?, ¿Cuántos de Matemáticas III?

No. de cursos de Matemáticas I

No. de cursos de Español II

No. de cursos de Matemáticas III

b. ¿Cuántos estudiantes reprobaron cursos de Español I en el ciclo escolar 2009-2010 en la escuela secundaria? ¿Cuántos estudiantes reprobaron algún curso de Matemáticas?

No. de estudiantes que reprobaron cursos de Español I

No. de estudiantes que reprobaron cursos de Matemáticas

c. Analice y relacione cada uno de los cursos con las gráficas que a continuación se presentan. Utilice la tabla 1 para realizar el concentrado de las relaciones encontradas entre las tablas de frecuencia y las gráficas. En caso de que no exista gráfica para alguna de las tablas de frecuencia, modifique alguna o construya una, asignando en la segunda columna de la Tabla 1 la palabra ninguno. También existe la posibilidad de que un curso se pueda relacionar con más de una gráfica.

38 DGFCMS

D

No

de g

rupos

No.

de g

rupos

No

de g

rupos

No

de g

rupos

Tabla 1

Nombre de los cursos Inciso de la gráfica correspondiente

Matemáticas I

Matemáticas II

Matemáticas III

Español I

Español II

Español III

a) b)

No. de reprobados No de reprobados

d) c)

No. de reprobados GFCMS 39


No.

de g

rupos

No.

de g

rupos

No. de reprobados

e) f) f)

No. de reprobados

No. de reprobados

d. Explique los elementos que consideró para realizar la relación entre las tablas de frecuencia y las gráficas.

Actividad 3: La carga académica de los profesores

Para que el rendimiento de un profesor no se vea afectado por el exceso de trabajo en el aula, se recomienda que deba atender a lo más 5 grupos diarios, con duración de una hora por grup o. Un estudio acerca del número de grupos que los profesores de estudiantes de nuevo ingreso en una escuela secundaria imparten, indica que todos ellos imparten cinco grupos o menos. Se tiene además, la siguiente información:

1. Profesores de Matemáticas. 1.1.Hay exactamente trece profesores de Matemáticas 1.2.Los profesores de Matemáticas atienden al menos dos grupos diariamente y cuando mucho cuatro. 1.3.Tres profesores son lo que imparten menos grupos diarios. 1.4.Los que imparten más grupos son cuatro profesores.

40 DGFCMS

41 DGFCMS

1.5.La mayoría de los maestros que imparten Matemáticas, tienen exactamente tres grupos diarios.

2. Profesores de Ciencias. 2.1.En estos profesores se dieron todas las posibilidades del número de grupos diarios impartidos. 2.2.Un solo profesor es el que menos grupos imparte diariamente. 2.3.Tres profesores imparten al día dos grupos. 2.4.El número de grupos diarios impartidos donde coinciden más profesores, es tres. 2.5.La gráfica que representa la información acerca del número de grupos impartidos por profesores de Ciencias es una figura simétrica

3. Profesores de Lenguas Extranjeras. 1.1.De los nueve profesores de Lenguas Extranjeras, todos tuvieron un número impar de grupos diarios impartidos. 1.2.Es igual el número de profesores, independientemente de cuál sea el número de grupos diarios que imparta.

4. Profesores de Historia. 4.1.En este caso hubo cuatro posibilidades para el número de grupos diarios impartidos. 4.2.Ninguno de los profesores imparte el mínimo de grupos diarios. 4.3.El número de profesores que imparten menos cantidad de grupos diarios es igual al número de profesores que imparten mayor cantidad y en ambos casos es de dos profesores.

5. Profesores de Español. 5.1.En el caso de estos profesores no se observaron casos extremos, en cuanto al número de curso diarios impartidos. 5.2.Entre estos profesores, sólo hay dos que imparten dos grupos. 5.3.Hay diez profesores que imparten más de dos grupos.

6. Profesores de Educación Física. 6.1.El profesor de deportes tiene a su cargo cinco grupos diarios.

a. Relacione las gráficas que se presentan a continuación con las seis diferentes descripciones que presentaron anteriormente, utilizando la tabla 2 para el concentrado de las relaciones. En caso de que no exista gráfica para alguna de las tablas de frecuencia, modifique alguna o construya una, asignando en la segunda columna de la Tabla 2, la palabra ninguna.

Tabla 2

Descripción de los profesores de: Inciso de la gráfica correspondiente

Matemáticas

Ciencias

Lenguas Extranjeras

Historia

Español

Educación Física

42 DGFCMS

a) b)

c ) d )

e) f )

b. Describe los aspectos que consideró para dar respuesta al planteamiento hecho en el inciso a.

43 DGFCMS

ANEXOS

44 DGFCMS

Sentido numérico y pensamiento algebraico Ernesto Sánchez Sánchez, Cinvestav, IPN Verónica Hoyos Aguilar, Universidad Pedagógica Nacional, México Gonzalo López Rueda, Escuela Normal Superior de México

Sentido numérico La aritmética tiene un lugar privilegiado en las matemáticas de los niveles básicos; los docentes, los elaboradores del currículo, los investigadores y todos los que opinan e influyen en la educación reconocen su importancia fundamental para la vida diaria, la formación y el desempeño profesional, y el cultivo del pensamiento científico. El aprendizaje y la enseñanza de la aritmética es el área de la didáctica de las matemáticas que más se ha estudiado; las operaciones con un solo dígito, las operaciones con números de dos y más dígitos, la estimación, el sentido numérico, la resolución de problemas, son temas de esta extensa área de la didáctica. Este apartado se dedicará específicamente al sentido numérico. El sentido numérico consiste en los conocimientos, las habilidades y las intuiciones que una persona desarrolla acerca de los números y sus operaciones. Implica la habilidad e inclinación hacia el empleo del conocimiento numérico, de manera flexible, para formular proposiciones matemáticas, desarrollar estrategias útiles para manipular números, realizar operaciones y resolver problemas. Alguien con sentido numérico utiliza los números y métodos cuantitativos como un medio de comunicación, procesamiento e interpretación de información; además, está convencido de que las matemáticas son útiles y aprecia su belleza. McIntosh, Reys y Reys (1992) proponen un modelo en que se distinguen tres componentes fundamentales del sentido numérico: a) El concepto de número. Consiste en el conocimiento de, y la facilidad con los números. En este componente se incluyen

45 DGFCMS

habilidades para identificar, saber y manejar el orden de los números, las diversas representaciones de un mismo número, las magnitudes relativas y absolutas, y un sistema de estrategias para acotar números. b) Las operaciones con números. Es el conocimiento y la facilidad para las operaciones. Incluye la comprensión del efecto de las operaciones en los resultados, el conocimiento de las propiedades de las operaciones (conmutatividad, asociatividad y distribución), su aplicación en la creación de procedimientos de estimación y cálculo mental, y entender las relaciones que hay entre las operaciones. c) Las aplicaciones de los números y sus operaciones en la solución de problemas. Es la aplicación de los conocimientos sobre los números y sus operaciones en situaciones que requieren un manejo cuantitativo. Involucra habilidades como determinar la operación necesaria en relación con el contexto de un problema; ser consciente de que existe más de un camino correcto para encontrar una solución; ser proclive a utilizar métodos o representaciones cada vez más eficientes; y, finalmente, la inclinación para revisar los datos y resultados en función del contexto original.

Pensamiento algebraico El álgebra es la rama de las matemáticas que trata con la simbolización de las relaciones numéricas generales, las estructuras matemáticas y la forma de operar con éstas. De acuerdo con Christmas y Fey (1999), los conceptos, principios y métodos del álgebra constituyen poderosas herramientas intelectuales para representar información cuantitativa y razonar acerca de esa información. En trabajos de investigación recientes se ha sugerido que desde la enseñanza primaria se pueden, y deben, desarrollar rasgos del pensamiento algebraico (Butto y Rojano, 2009). Es lícito decir que la génesis del pensamiento algebraico en la primaria comienza con el desarrollo del sentido numérico. Sin embargo, tradicionalmente se considera que en la escuela secundaria es cuando comienza

46 DGFCMS

formalmente el aprendizaje del álgebra. Los tres temas que aquí se abordarán, a saber, pensamiento algebraico, ecuaciones y generalización, se ubican en este nivel académico. ¿Qué es el pensamiento algebraico? Varios expertos en didáctica del álgebra ofrecen características del pensamiento algebraico que nos dan una idea de la complejidad de este tipo de pensamiento. Por ejemplo, Greenes y Findell (1998) sostienen que las grandes ideas del pensamiento algebraico involucran la representación, el razonamiento proporcional, el significado de variable, patrones y funciones, razonamiento inductivo y razonamiento deductivo. Por su parte, Kaput (1998) señala que incluye la construcción y representación de patrones y regularidades, generalizaciones deliberadas y, más importante, la exploración activa en la resolución de problemas y la formulación de conjeturas. Asimismo, Kieran y Chalough (1993) resaltan la construcción de significados para los símbolos y operaciones del álgebra en términos de la aritmética. Kriegler (2000) recoge las expresiones anteriores sobre el pensamiento algebraico, más otras de diferentes autores, y propone un marco para organizarlas, que en seguida se expondrá de forma resumida. Está formado por dos componentes, el primero se refiere a las Herramientas del pensamiento matemático, que incluye las habilidades de resolución de problemas, representación y razonamiento; el segundo trata de las Ideas algebraicas fundamentales, que consiste en ver el álgebra como aritmética generalizada, un lenguaje y herramienta para la modelación y el estudio de funciones.

La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: casos y perspectivas. pp. 37 y 38.

47 DGFCMS

Forma, espacio y medida

Ángel Gutiérrez Rodríguez, Universidad de Valencia, España Mariana Sáiz Roldán, Universidad Pedagógica Nacional, México

La enseñanza de la geometría en los niveles no universitarios tradicionalmente ha sido escasa y centrada en unos pocos polígonos y cuerpos espaciales, de los que se enseñan las características físicas destacadas, los principales elementos y algunas propiedades básicas. Algo similar se puede decir de la enseñanza de las medidas de longitud, área y volumen, centrada en lograr que los estudiantes memoricen el Sistema Métrico Decimal y las fórmulas de cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de las principales figuras geométricas planas y espaciales. Aprendizaje de la geometría durante la educación básica La geometría está formada por varios bloques de contenidos entre los que hay una multitud de relaciones. Por ello, su enseñanza y su aprendizaje se basarán en descubrir y explorar esas relaciones. La misión del profesor es organizar la actividad en clase para dar a los estudiantes oportunidades de aplicar los contenidos geométricos que estudian en situaciones diversas. En esta sección analizamos varios aspectos comunes a todos los contenidos de geometría, tanto en el plano como el espacio. El desarrollo del razonamiento matemático La investigación didáctica muestra claramente que los niveles de razonamiento matemático de Van Hiele son un exitoso modelo de organización de la enseñanza y del aprendizaje de la geometría (Battista, 2007). Los cinco niveles de razonamiento identificados por el modelo de Van Hiele ofrecen una descripción de las características de las diferentes formas de razonamiento matemático de los estudiantes, que se suceden desde que están en preescolar hasta que alcanzan el máximo

48 DGFCMS

desarrollo de su capacidad matemática, incluso como matemáticos profesionales. Sólo podemos hacer una breve descripción de los niveles 1 a 4, que son los relacionados con la educación básica. Hay descripciones y análisis más detallados en Burger y Shaughnessy (1986), Jaime (1993), Jaime y Gutiérrez (1990) y Van Hiele (1986). El razonamiento de nivel 1 se caracteriza porque los estudiantes perciben las figuras geométricas globalmente y como objetos individuales; sólo razonan sobre propiedades llamativas relacionadas con los elementos físicos de las figuras; dan importancia a propiedades como posiciones, formas o tamaños, y no son capaces de generalizar. Un estudiante de nivel 1 puede decir que un rombo se diferencia de un rectángulo en que “el rectángulo es más largo” o que “el rombo es más picudo” (Jaime y Gutiérrez, 1990:307). Los estudiantes que razonan en el nivel 2 ya identifican y usan partes y propiedades matemáticas de las figuras, pero no son capaces de relacionar unas propiedades con otras; por ejemplo, en un rectángulo, no asocian la perpendicularidad con el paralelismo de los lados. El razonamiento de nivel 2 se basa en la observación de ejemplos para identificar regularidades, que se convierten en propiedades generales, y los propios ejemplos son la demostración o explicación de la veracidad de la propiedad descubierta. Así, por ejemplo, después de observar o manipular varios rombos, descubren que las diagonales de un rombo son perpendiculares y, desde ese momento, admiten que las diagonales de cualquier otro rombo también son perpendiculares sin necesidad de más comprobaciones (Jaime y Gutiérrez,1990:309). La principal característica del nivel 3 de Van Hiele es que los estudiantes aprenden a realizar razonamiento deductivo abstracto, si bien todavía no pueden leer ni entender demostraciones complejas ni presentadas en lenguaje formal. Por ejemplo, entienden la demostración deductiva usual de que los ángulos de un triángulo suman 180° (figura 3.1), pero no sienten la necesidad de justificar las congruencias de ángulos,

49 DGFCMS

porque éstas son visualmente evidentes (Jaime y Gutiérrez, 1990:314). Por otra parte, los estudiantes pueden comprender cualquier definición dada en los libros de texto y realizar todo tipo de clasificación entre familias de figuras geométricas. Los estudiantes que razonan en el nivel 4 son capaces de hacer y entender demostraciones matemáticas formales, así como entender las características de un sistema axiomático y aspectos más operativos, como la posibilidad de que un concepto tenga varias definiciones formales diferentes, pero equivalentes. Por ejemplo, un estudiante del nivel 4 admite que se defina un rectángulo como “el cuadrilátero que tiene dos ejes de simetría que pasan por los puntos medios de sus lados” y es capaz de demostrar formalmente que esta definición es equivalente a la usual. Los niveles de Van Hiele permiten evaluar el progreso de la capacidad de razonamiento matemático de los estudiantes a medida que avanzan a lo largo del sistema educativo. Gutiérrez, Jaime y Fortuny (1991), Jaime (1993) y Gutiérrez y Jaime (1998) ofrecen ejemplos de cómo realizar estas evaluaciones y de resultados de evaluaciones ya hechos. El conocimiento de los niveles de Van Hiele también puede ayudar a los profesores a diseñar tareas apropiadas para cada nivel y a establecer las condiciones para ayudar a sus alumnos a transitar al nivel inmediato superior. Van Hiele sostenía que el progreso por niveles depende en gran medida de la experiencia matemática que los estudiantes adquieren gracias a la enseñanza, por esto también propuso directrices para el diseño de actividades. En particular, sugiere que las actividades de aprendizaje estén organizadas siguiendo cinco fases: información, orientación dirigida, explicación, orientación libre e integración. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: casos y perspectivas. pp. 59-62.

50 DGFCMS

Manejo de la Información

Ernesto Sánchez, Cinvestav, México Carmen Batanero, Universidad de Granada, España

Datos, gráficas y medidas de tendencia central La estadística ha jugado un papel primordial en el desarrollo de la sociedad moderna al proporcionar herramientas metodológicas generales para recopilar y organizar todo tipo de datos; describir y analizar su variabilidad, determinar relaciones entre variables; diseñar en forma óptima estudios y experimentos, y mejorar las predicciones y la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. Es por esto que en muchos países, incluyendo México, se incorpora la estadística en los currículos de los diferentes niveles escolares, desde el básico hasta el universitario. Además de su utilidad, se reconoce la necesidad de un razonamiento estadístico en una sociedad caracterizada por la disponibilidad de información y de toma de decisiones en ambientes de incertidumbre. Problemática de la didáctica de la estadística. Batanero, Godino, Green, Holmes y Vallecillos (1994) resumieron los principales errores y dificultades que los estudiantes encuentran en las ideas estadísticas elementales, y hacen la observación de que tales dificultades no se presentan de un modo aleatorio o imprevisible, sino que es posible encontrar regularidades y asociaciones con variables de las tareas propuestas. Ben-Zvi y Garfield (2004) explican algunas de estas dificultades con base en el desconocimiento que los estudiantes tienen de las matemáticas que subyacen tras los conceptos y procedimientos estadísticos (fracciones, decimales, proporcionalidad y porcentajes, fórmulas algebraicas). Además, no están acostumbrados a trabajar con datos de situaciones reales que, con frecuencia, requieren interpretaciones y razonamientos de alto nivel. La aleatoriedad de las situaciones conlleva que los

51 DGFCMS

resultados no sean únicos, presentándose una mayor variabilidad que en otras áreas de las matemáticas. Por otro lado, la enseñanza de la estadística no ha tenido en cuenta la especificidad de la materia y se reduce a la exposición de algunas definiciones y a la reproducción de procedimientos algorítmicos, lo que con frecuencia crea en los estudiantes una fobia hacia la materia, pues les resulta irrelevante y aburrida. Como consecuencia, los conocimientos y la cultura estadística de la población, son insuficientes para enfrentar los requerimientos de, y desenvolverse adecuadamente en, la actual sociedad de la información (Gal, 2002). Azar y probabilidad Cuando se le pregunta a un profesor cómo cree que deben trabajarse en el aula los temas de probabilidad sugeridos en los programas, es muy probable que responda que con la ayuda de juegos de azar, como monedas, dados, ruletas y urnas. Sin embargo, como muestra Salinas (2007), a veces no saben qué hacer exactamente con los juegos de azar de manera que emerjan los conceptos que marca el programa (sep, 2006) ni cómo los estudiantes llegan a aprenderlos. La investigación relacionada con este tema es muy amplia, como se muestra en el libro recientemente editado por Jones (2005), pero por razones de espacio sólo describimos algunos ejemplos, remitiendo a Batanero y Sánchez (2005) para la descripción de las dificultades específicas de los estudiantes de secundaria en el tema. Al iniciar el estudio de la probabilidad se debe insistir en que los niños sean capaces de distinguir las situaciones aleatorias y las deterministas. Piaget e Inhelder (1951) defendieron que los niños concebirían el azar como resultado de la interferencia y combinación de una serie de causas que, actuando independientemente, producirían un resultado inesperado. En consecuencia, pensaron que hasta que el niño no comprende la idea de causa, no tiene un marco de referencia para identificar los fenómenos aleatorios.

52 DGFCMS

Relaciones de proporcionalidad Las fracciones, las razones y las proporciones son conceptos numéricos de un nivel inmediatamente superior a los de los números naturales y sus operaciones, pues tienen algunas propiedades significativamente diferentes, por ejemplo, en los números naturales el producto de dos enteros es mayor que cualquiera de sus factores, mientras que esta proposición no es cierta para el producto de fracciones. En lo que sigue se pueden apreciar algunas características del razonamiento proporcional, el cual se distingue en muchos aspectos del razonamiento con los números naturales y enteros. ¿Qué es el razonamiento proporcional? En general se entiende como razonamiento proporcional la habilidad para establecer ciertas relaciones estructurales en problemas de comparación de razones y de valor faltante, es por esto que también se le nombra razones y proporciones. En los problemas de razones se dan cuatro cantidades a, b, c y d, y se tiene que determinar si es mayor, menor o igual que; por ejemplo, Karplus (1983) formuló el siguiente problema: Juan hace un concentrado para preparar limonada con tres cucharadas de azúcar y 12 de jugo de limón. María hace un concentrado con cinco cucharadas de azúcar y 20 de jugo de limón. ¿Cuál de los dos concentrados tiene un sabor más dulce, el de Juan o el de María? o ¿ambos tienen un sabor igual de dulce? En los problemas de valor faltante se proporcionan tres de los cuatro valores de la proporción a = c y el objetivo es encontrar el cuarto valor. b d El pensamiento proporcional no sólo significa dominar la operatividad presente en los problemas de razones y proporciones, sino que también implica reconoce las situaciones en que la proporcionalidad es pertinente. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: casos y perspectivas. pp. 79,80,92,101 y 102.

PRINCIPIOS PEDAGÓGICOSQUE SUSTENTAN EL PLAN DE ESTUDIOS

LOS PRINCIPIOS PEDAGÓGICOS SON CONDICIONESESENCIALES PARA LA IMPLANTACIÓN DELCURRÍCULO, LA TRANSFORMACIÓN DE LA PRÁCTICADOCENTE, EL LOGRO DE LOS APRENDIZAJESESPERADOS Y LA MEJORA DE LA CALIDADEDUCATIVA

10

El aprendizaje. Es el elemento sustantivo de la

práctica docente para potenciar

IMPLICA:ORGANIZAR ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

SITUACIONES DIDÁCTICAS

SECUENCIAS DIDÁCTICAS

PROYECTOS

ESTUDIO DE CASOS

12

CONTEXTO SOCIAL

Y NATURAL

MATERIALES EDUCATIVOS

APRENDIZAJES

ESPERADOS

INTERACCIÓN

MAESTRO ALUMNO

HOGAR

13

• INCLUSIVO• DEFINE METAS• LIDERAZGO COMPARTIDO• INTERCAMBIO DE RECURSOS• SENTIDO DE RESPONSABILIDAD Y CORRESPONSABILIDAD• ENTORNO PRESENCIAL Y VIRTUAL

1.4 TRABAJAR EN

COLABORACIÓN PARA CONSTRUIR

EL APRENDIZAJE

14

PLAN DE ESTUDIOS 2011

ENFOQUE GENERAL FORMATIVO

1.5 PONER ÉNFASIS EN EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS, EL LOGRO DE LOS ESTÁNDARES CURRICULARES Y LOS APRENDIZAJES ESPERADOS

ESTANDARES CURRICULARES

APRENDIZAJES ESPERADOS

COMPETENCIASPARA LA VIDA

Centrado en el desarrollo

•Capacidad de responder a diferentes situaciones.IMPLICA:•Saber hacer(habilidades)Saber(conocimientos)Saber ser(Valoración de las consecuencias del hacer)

•Son descriptores de logro.•Definen aquello que los alumnos demostraran al concluir el periodo.•Sintetizan los aprendizajes esperados.•Son equiparables con estándares internacionales.•Constituyen referentes para las evaluaciones nacionales e internacionales.•Son complejos y graduales de acuerdo al avance de cada trayecto formativo.

•Son indicadores de logro en términos de temporalidad.•Definen lo que se espera de cada alumno, en términos del saber, saber hacer y saber ser.•Dan concreción al trabajo docente.•Constituyen el referente para la planificación y la evaluación en el aula.

PERFIL DE EGRESO

15

1.6 USAR MATERIALES EDUCATIVOS PARA FAVORECER EL APRENDIZAJE

Una escuela actual debe favorecer que la comunidad educativa, además de usar el libro de texto como recurso, emplee otros materiales para el aprendizaje permanente.• Acervos para la Biblioteca

escolar y Biblioteca de aula.•Materiales audiovisuales , multimedia e internet.•Materiales y recursos educativos informáticos

-Objetos de aprendizaje (odas). Son materiales digitales para promover la interacción y el desarrollo de las habilidades digitales, el aprendizaje continuo y para que los estudiantes logren su autonomía.-Planes de clase. Sugieren a los docentes estrategias didácticas que incorporan las odas, los libros de texto y demás recursos existentes dentro y fuera del aula.-Plataformas tecnológicas y software educativo. Los portales “Explora primaria” y “Explora secundaria”, HDT, que integran bancos de materiales digitales, ofrecen herramientas para construir contenidos y propician el trabajo colaborativo dentro y fuera del aula; utilizan redes de aprendizaje y generan la integración de comunidades de aprendizaje.

•Uso del tiempo libre.•Creación de redes de aprendizaje.•Integración de comunidades de aprendizaje

Permiten

16

El examen tiene un carácter más sancionador que

educativo; obedece a la lógica del castigo y no de la enseñanza

( M. Foucault).

1.7 EVALUAR PARA

APRENDER

17

1.8 FAVORECER LA INCLUSIÓN PARA ATENDER LA DIVERSIDAD

LA EDUCACIÓN:Es un derecho fundamental.Una estrategia para ampliar las oportunidades.Para instrumentar las relaciones interculturales.Reducir las desigualdades entre grupos sociales.Cerrar brechas e impulsar la equidad.Ser pertinente e inclusiva.

PERTINENTE: Porque valora, protege, desarrolla las culturas y sus visiones, y conocimientos del mundo; mismos que se incluyen en el desarrollo curricular.INCLUSIVA: Porque se ocupa de reducir al máximo la desigualdad al acceso de oportunidades y evita los distintos tipos de discriminación.

CORRESPONDE A LOS DOCENTES

Promover en los estudiantes:El reconocimiento de la pluralidad social, lingüística y cultural.Fomentar para que la escuela se convierta en un espacio donde la diversidad puede apreciarse.

Atender a los alumnos que por su discapacidad cognitiva, física (visual o auditiva), mental o sensorial requieran de estrategias de aprendizaje diferenciadas.

Atender a los alumnos con aptitudes sobresalientes.Es indispensable la organización, toma de acuerdos y vinculación entre autoridades, directivos, docentes y madres, padres o tutores.

18

1.9 INCORPORAR TEMAS DE RELEVANCIA SOCIAL

TEMAS DE RELEVANCIA

SOCIAL

EDUCACIÓN PARA LA SALUD

EQUIDAD DE GÉNERO

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

EDUCACIÓN SEXUAL

EDUCACIÓN AMBIENTAL PARA LA

SUSTENTABILIDAD

LA EDUCACIÓN FINANCIERA

LA PREVENCIÓN DE LA VIOLENCIA ESCOLAR

LA EDUCACIÓN VIAL

EDUCACIÓN PARA LA PAZ Y LOS DERECHOS HUMANOS

LA EDUCACIÓN EN VALORES Y CIUDADANÍA

19

1.10 RENOVAR EL PACTO ENTRE EL ESTUDIANTE, EL DOCENTE, LA FAMILIA Y LA ESCUELA.

ACTORES EDUCATIVOS

ESTUDIANTE DOCENTE FAMILIA ESCUELA

1. PROMOVER NORMAS QUE REGULEN LA CONVIVENCIA DIARIA.

2. ESTABLECER VÍNCULOS ENTRE DERECHOS Y RESPONSABILIDADES.

3. DELIMITAR EL EJERCICIO DEL PODER Y LA AUTORIDAD

Involucrar a estudiantes y padres de familia en la elaboración de las normas

escolares para:- Comprensión de su sentido.- Compromiso compartido.- Revisión periódica.- En su aplicación se involucre a las

distintas partes.

20

1.11 REORIENTAR EL LIDERAZGO

Compromiso personal y con el grupo (Trabajo colaborativo).

Contribuir a la administración eficaz de la organización.

Mantener una relación de colegas.

Producir cambios necesarios y útiles.

LIDERAZGO HORIZONTAL Y COMPARTIDO

Relación horizontal/Diálogo informado/Toma de decisiones.

Desarrollo de una gestión centrada en la escuela y el aseguramiento de los aprendizajes.

Participación activa de estudiantes, docentes, directivos escolares, padres de familia, sociedad, etc.

TODA LA ESTRUCTURA HACIA EL LOGRO EDUCATIVO

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22

1.12 LA TUTORÍA Y LA ASESORÍA ACADÉMICA EN LA ESCUELA

• Sus destinatarios son estudiantes o docentes.

• En el caso de los estudiantes se dirige a quienes presentan rezago educativo, o por el contrario poseen aptitudes sobresalientes.

• Si es para los maestros se implementa para solventar situaciones de dominio específico.

TUTORÍACONJUNTO DE ALTERNATIVAS

DE ATENCIÓN INDIVIDUALIZADA QUE PARTE DE UN

DIAGNÓSTICO

• Su reto esta en la resignificaciónde conceptos y prácticas (cambio de paradigmas).

• Tanto la tutoría como la asesoría suponen acompañamiento cercano esto es concebir a la escuela como un espacio de aprendizaje . Tutor y asesor también aprenden.

LA ASESORÍA ACADÉMICA

ES EL ACOMPAÑAMIENTO A LOS DOCENTES PARA LA

COMPRENSIÓN E IMPLEMENTACIÓN DE LAS

NUEVAS PROPUESTAS CURRICULARES

ESTÁNDARES CURRICULARES

PERÍODO ESCOLAR

GRADO ESCOLAR DE CORTE

EDAD APROXIMADA

TERCER GRADO DE PREESCOLAR

SEXTO GRADO DE PRIMARIA

CUARTO

TERCERO

SEGUNDO

TERCER GRADO DE SECUNDARIA

ENTRE 8 Y 9 AÑOS

ENTRE 11 Y 12 AÑOS

ENTRE 14 Y 15 AÑOS

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PRIMERO

TERCER GRADO DE PRIMARIA

5 Y 6 AÑOS

PROPÓSITO DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS

PARA LA EDUCACIÓN SECUNDARIA

•UTILICEN EL CÁLCULO MENTAL, ESTIMACIÓN DE RESULTADOS ( RESOLVER OPERACIONES BÁSICAS).

•MODELEN Y RESUELVAN PROBLEMAS DE SEGUNDO GRADO Y EXPRESIONES GENERALES.

•JUSTIFIQUEN PROPIEDADES DE RECTAS, ÁNGULOS Y FIGURAS GEOMÉTRICAS.

•UTILICEN EL TEORÉMA DE PITÁGORAS.

•JUSTIFIQUEN Y USEN FÓRMULAS PARA CALCULAR PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLUMENES.

•EXPRESEN PROCESOS DE BÚSQUEDA, ORGANIZACIÓN , ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS (REPRESENTACIÓN TABULAR O GRÁFICA).

•IDENTIFIQUEN CONJUNTO DE CANTIDADES DE VARIACIÓN PROPORCIONAL.

•CALCULEN LA PROBALIDAD DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS SIMPLES, EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES.

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SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRÁICO

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

MANEJO DE LA INFORMACIÓN

ACTITUD HACIA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS

28

72 DGFCMS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Adicionales:

Aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas escolares; Casos y perspectivas; Primera edición, 2011; D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2011; Argentina 28, Centro, CP 06020; Cuauhtémoc, México, DF Plan de estudios 2011. Educación Básica, Primera edición, 2011, D. R. © Secretaría

de Educación Pública, 2011, Argentina 28, Centro, 06020, Cuauhtémoc, México, D. F.

Programas de Estudio 2011, Guía para el Maestro; Educación Básica Secundaria Matemáticas; primera edición, 2011; D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2011, Argentina 28, Centro, C.P. 06020, Cuauhtémoc, México, D. F. ISBN: en trámite, Impreso en México

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Secretaria de Educación Pública José Ángel Córdova Villalobos

Dirección General de Formación Continua Víctor Mario Gamiño Casillas

Secretaria de Educación Ricardo Aguilar Gordillo

Coordinación Estatal de Formación Continua Daniel Samayoa Penagos

Coordinación Académica Salvador Gómez Moreno

Compilación, Adaptación y Diseño

Maricruz Ruiz Gallegos, Candelaria Hernández Meléndez, Armando Elesban

García Velasco, Eleazar Mateos García

Revisión Técnico-Pedagógica

Ana Guadalupe Cruz López, César Antonio Díaz Moreno, Vanessa Grajales

Hernández, Eugenia Guadalupe Hernández Pozo, Héctor A. Pérez Nango, Valeria

Salgado Rosales, Orfília Luna Márquez.

compilacion curso de matematicas

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