Cálculo Diferencial e Integral III. Otoño 2020Ejercicios adicionales para examen final

Los siguientes ejercicios son de práctica para los temas que se incluirán en el exa-men final:

a) Trayectoriasb) Multiplicadores de Lagrangec) Máximos y mínimos en regiones cerradas y acotadasd) Teoremas de la función implícita e inversae) Integrales dobles, teorema de cambio de variablesf) Integrales Triples.

1. Un objeto se mueve en el plano xy de tal manera que su posición al tiempot es r(t) = (t − t3, 2t + t2) para t ≤ 2. Al tiempo t = 2 el objeto comienza amoverse sobre una línea recta en dirección del vector r′(2) y a velocidad constante.Encuentra la posición del objeto al tiempo t = 3.

2. Repetir el ejercicio anterior pero con la trayectoria en R3 dada por r(t) =(2t, t2, t3 − 2t2).

3. Una partícula se mueve sobre un círculo en el plano xy. Su posición al tiempot está dado por r(t) = (cos(t2 − t), sen(t2 − t)). Observar que la partícula seencuentra en la posición (1, 0) en los tiempos t = 0 y t = 1. Decide si la partículase mueve en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario paracada uno de los tiempos t = 0, t = 1.

4. El vector posición al tiempo t para una partícula que se mueve sobre una hélicees r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (cos(t), sen(t), t2).

(a) Encuentra la velocidad de la partícula en el instante t0 = 4π.(b) Encuentra una parametrización para la recta tangente a la curva descrita

por la trayectoria r al tiempo t0 = 4π.(c) ¿En qué punto la recta tangente intersecta al plano xy?

5. Sean r1 = r1(t) y r2 = r2(t), t ∈ [a, b], dos trayectorias diferenciables en Rn. Seaf : [a, b] → R dada por f(t) = r1(t) · r2(t), donde · representa el producto puntode dos vectores. Muestra que f ′(t) = r1(t) ·r′2(t)+r′1(t) ·r2(t) para toda t ∈ [a, b].

6. Sea r(t) la posición de una partícula al tiempo t. Suponer que r es de claseC2. La aceleración de la partícula al tiempo t se define como el vector r′′(t).Muestra que si la partícula se mueve con rapidez constante, entonces la velocidady la aceleración de la partícula al tiempo t son vectores ortogonales. Es decir,r′(t) · r′′(t) = 0 para toda t. Sugerencia: Escribe el cuadrado de la rapidez comoun producto punto. Puedes usar el ejercicio anterior.

1

Los siguientes ejercicios son de práctica para los temas que se incluirán en el exa-men final (ver también los laboratorios correspondientes) :

Cálculo Diferencial e Integral III. Otoño 2020Ejercicios adicionales para el examen final

7. Sean r = r(t) y θ = θ(t), con t ∈ R, dos funciones clase C1 con valores reales talesque r(t) > 0. Sean x(t) y y(t) dadas por x(t) = r(t) cos(θ(t)), y(t) = r(t)sen(θ(t)).

Muestra que dθdt =1

x2 + y2

(x

dydt − y

dxdt

). Sugerencia: Escribe y(t)/x(t) en

términos de la función tan y usa diferenciación implícita.

8. La curva descrita por la trayectoria

r(t) = (x(t), y(t)) = (R(t− sen(t)), R(1− cos(t))), (1)

con R constante positiva, recibe el nombre de cicloide. Cuando un objeto viajade un punto P1 a un punto P2 puede seguir muchos caminos. Si el objeto semueve únicamente por la influencia de la gravedad, el camino que debe seguirpara llegar lo más rápido posible a P2 es un arco de una cicloide suponiendolo siguiente: el punto P1 está localizado a mayor altura que P2, la fuerza degravedad se mantiene constante, el punto P2 no está directamente hacia abajode P1 (en caída libre el objeto no pasa por P2).Muestra que de (1) se obtiene:

1 +

(dydx

)2=

2R

y, para y > 0.

Sugerencia: Usa la relación dydx =(

dydt

)(dtdx

)junto con dtdx =

(dxdt

)−1.

2

Se desea diseñar una lata cilíndrica. El costo por centímetro cuadrado del mate-rial de la tapa es de 10 centavos. El costo del resto del material es de 5 centavospor centímetro cuadrado. Encuentra las dimensiones de la lata de menor costoque contenga 1 litro.

12.

Encuentra los extremos de f(x, y, z) = x+ y + z sujeta a las restricciones:x2 − y2 = 1, 2x+ z = 1.

11.

Sea f(x, y) = 1 + xy + x − 2y y sea D una región triangular en el plano xy convértices en (1,−2), (5,−2) y (1, 2). Encuentra los valores máximo y mínimo def en D.

10.

Encuentra los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = x2 − y2 en eldisco D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}.

9.

3

xeu(x) + u(x)ev(x) = 0, xev(x) + v(x)eu(x) = 0.

Muestra que existen funciones únicas de clase C1, u = u(x), v = v(x) para x enalgún abierto que contiene a −1, u y v en algún abiertos que contienen a 1, conu(−1) = v(−1) = 1, y tales que

13.

Si G es la inversa de F restringida a U , y notando que F (1,−1) = (0,−1),calcula DG(0,−1).

(b)Muestra que F es invertible en algún abierto U que contiene al punto (1,−1).(a)

Sea F : R2 → R2 dada por F(x, y) = (x3 − y3 + 2xy, x+ 2y).15.

∂y (0, 0) para que en la ecuación f(x + f(x, y), y − f(x, y)) = 0, lavariable x se pueda escribir en la forma x = g(y) con g de clase C1 en un abiertoque contiene a 0, x en un abierto que contiene a 0, y tal que 0 = g(0).

∂x (0, 0) y∂f

Sea f : R2 → R de clase C1 tal que f(0, 0) = 0. Encuentra condiciones sobre∂f

14.

∂y(1,−1).Encuentra el valor de ∂v(b)

Muestra que en alguna vecindad del punto (x0, y0, u0, v0) = (1,−1, 2,−2),este sistema define u y v de manera implícita como funciones de las variablesx, y: u = u(x, y), v = v(x, y) de clase C1.

(a)

(2)xu2 − yv = 2,(1)x2u3 − uy + v3 − 2xv = 6

Dado el sistema de ecuaciones16.

¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por el paraboloidez = −x2 − y2 + 1 y el plano z = 0?

18.

¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por las superficies y = x,y = x2, z = 0 y z = x+ y?

.

D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x+ y ≥ 1}.

D(x2 + y2)dxdy, dondeEncuentra el valor de

∫∫19.

17.

20. SeaD = {(x, y) | 1 ≤ x2+y2 ≤ 4, y ≥ x}. Encuentra el valor de∫∫

Dex

2+y2dxdy.

21. Muestra que∫ ∞−∞

e−x2dx =

√π.

22. Sea D la región en el plano xy encerrada por las curvas y = x2 + 1, y =x3 + 1. Sea f : R2 → R continua. Escribe

∫∫Df(x, y)dxdy como una in-

tegral de la forma∫ ba

(∫ ϕ2(x)ϕ1(x)

f(x, y)dy

)dx y como una integral de la forma∫ d

c

(∫ ψ2(y)ψ1(y)

f(x, y)dx

)dy.

4

D2

g(u, v)dudv, indicando explícitamente g(u, v).la forma∫∫ D1(x − y) cos(x2 − y2)dxdy como una integral de

Sea T : R2 → R2 dada por T (u, v) = (eu − 3v, uv2 − 2v). Suponer que D1 yD2 son dos regiones planas acotadas elementales tales que T (D2) = D1, con Tinyectiva en D2. Reescribe

∫∫26..

a2

∫∫Ta(xy + 1)3ex

2−y+1dxdy(a, 0) y (0, a) con a > 0. Encuentra lim

a→0

Sea Ta la región en el plano xy encerrada por un triángulo con vértices (0, 0),25.

1 + f(x, y)dxdy = 4,muestra que existe (x0, y0) ∈ D tal que f(x0, y0) = −19/27.

D

3√

Sea D = [−1, 1]× [2, 5]. Si f : D → R es continua y∫∫

24.

Dxy dxdy.

Sea T : R2 → R2 dada por T (u, v) = (4u, 2u+ 3v) = (x, y). Si D∗ = [0, 1]× [0, 2]y D = T (D∗), dibuja D en el plano xy y encuentra el valor de

∫∫23.

27. Sea f : R2 → R continua tal que∫∫

Df(x, y)dxdy = 0 para todo disco cerrado D

en el plano xy. Muestra que f(x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ R2.

28. Encuentra el valor de las siguientes integrales dobles:a)∫∫

Dx2exydxdy, D = [0, 1]× [0, 1].

b)∫∫

D|x||2y − 1|dxdy, D = [−1, 1]× [0, 1].

29. Sea D la región en el plano xy encerrada por el paralelogramo con vértices (0, 0),(2, 1), (1, 1) y (3, 2). Encuentra el valor de

∫ ∫D(2x+y)dxdy haciendo un cambio

de variables tal que el dominio de integración sea el cuadrado [0, 1]× [0, 1].

5

D(x + 2y)dxdy donde D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤

4, x ≤ 0}.Encuentra el valor de

∫∫31.

D(x2 + y)dxdy donde D es la región en el plano xy

encerrada por las curvas x = y2, y = x− 2.

Encuentra el valor de∫∫

30.

4.

y − x+ 3dxdy ≤ 1

D

1

6≤∫∫Si D es la región plana delimitada por un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y(1, 1) demuestra que

1

33.

x2 + y2 + 1dxdy ≤ 6.

D

1Si D = [−1, 1]× [−1, 2], demuestra que 1 ≤∫∫

32.

D = {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)}.

Sea D la semiesfera sólida D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2+y2+z2 ≤ 9, z ≥ 0}. EscribeD en la forma

35.

Df(x, y, z)dxdydz como una integral triple iterada.

Sea D la región sólida en R3 acotada por el cilindro x2 + y2 = 4 y los planosz = x−y, z = 4. Escribe

∫∫∫34.

Cálculo Diferencial e Integral III. Otoño 2019

Ejercicios adicionales sobre integración en 2 y 3 dimensiones

Los siguientes ejercicios son de práctica sobre los temas de integrales dobles y triples,cambio de variables, teorema del valor medio. Será de gran utilidad revisar tambiénlos ejercicios de los Talleres 11, 12 y 13. El examen final departamental incluye un 50%de preguntas sobre estos temas, un 10% sobre los teoremas de la función implícita einversa, y 40% de otros temas.

Los ejercicios no siguen un orden particular en cuanto a temas.

1.¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por las superficies y = x,y = x2, z = 0 y z = x+ y?

2.¿Cuál es el volumen del sólido en el espacio xyz acotado por el paraboloidez = −x2 − y2 + 1 y el plano z = 0?

.

Sea D la región sólida en R3 acotada por el cilindro x2 + y2 = 4 y los planosz = x−y, z = 4. Escribe

∫∫∫Df(x, y, z)dxdydz como una integral triple iterada.

37. Sea D la semiesfera sólida D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2+y2+z2 ≤ 9, z ≥ 0}. EscribeD en la forma

D = {(x, y, z) ∈ R3 | a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), ψ1(x, y) ≤ z ≤ ψ2(x, y)}.

5.Encuentra el valor de

∫∫D(x2 + y2)dxdy, donde

D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1, x+ y ≥ 1}.

6.SeaD = {(x, y) | 1 ≤ x2+y2 ≤ 4, y ≥ x}. Encuentra el valor de

∫∫Dex

2+y2dxdy.

7.Muestra que

∫ ∞−∞

e−x2dx =

√

π.

8.Sea D la región en el plano xy encerrada por las curvas y = x2 + 1, y =x3 + 1. Sea f : R2 → R continua. Escribe

∫∫Df(x, y)dxdy como una in-

tegral de la forma∫ b

a

(∫ ϕ2(x)ϕ1(x)

f(x, y)dy

)dx y como una integral de la forma∫ d

c

(∫ ψ2(y)ψ1(y)

f(x, y)dx

)dy.

6

D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 4, z ∈ [0, a]}.

x2 + y2)dxdydz = 3, dondeD(z√

Encuentra el valor de a > 0 tal que∫∫∫

38.

D = {(x, y, z) ∈ R3 | 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0, z ≤ 0}.

D(x+ 4y + z)dxdydz dondeEncuentra el valor de

∫∫∫39.

2

Df(x, y, z)dxdydz como una integral triple iterada.

Sea D la pirámide sólida en el espacio xyz con vértices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 2, 0)y (0, 0, 2). Escribe

∫∫∫40.

D(x+ 2z) dxdydz, donde D = T (D∗).

Sea T : R3 → R3 dada por T (u, v, w) = (3u− v, u+ v − w, u). Sea D∗ = [0, 1]×[−1, 0]× [0, 2]. Encuentra el valor de

∫∫∫41.

36.