cálculo diferencial - curso completo

I

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE XALAPA

CÁLCULO DIFERENCIAL

ANTOLOGÍA

ELABORADA POR:

ANDRÉS GIOVANNI JIMÉNEZ MENDOZA

GRUPO:

1A ELECTROMECÁNICA

XALAPA, VERACRUZ A 11 DE AGOSTO DE 2014

II

INDICE

Contenido UNIDAD 1................................................................................................................ 1

Límites ..................................................................................................................... 1

Métodos para calcular límites .............................................................................. 1

Ejemplos .......................................................................................................... 1

Teorema .............................................................................................................. 1

Ejemplos .......................................................................................................... 2

La derivada.............................................................................................................. 2

Aplicaciones ......................................................................................................... 2

La derivada como una función ............................................................................. 3

Ejemplos .......................................................................................................... 3

Ejercicios propuestos ....................................................................................... 3

Reglas para determinar derivadas ....................................................................... 4

Ejemplos .......................................................................................................... 4


Regla de la división .............................................................................................. 5

Ejemplos .......................................................................................................... 5


Regla del producto ............................................................................................... 6

Ejemplos .......................................................................................................... 6

Funciones logarítmicas ........................................................................................... 7

Leyes de los logaritmos ....................................................................................... 8

Ejemplos .......................................................................................................... 8


Reglas de derivación de logaritmos ..................................................................... 9

Ejemplos .......................................................................................................... 9

Reglas de derivación de exponenciales .............................................................. 9

Ejemplos ........................................................................................................ 10

Ejercicios propuestos ..................................................................................... 10

III

UNIDAD 2.............................................................................................................. 11

Máximos y mínimos locales ............................................................................... 11

Definición 1 .................................................................................................... 11

Definición 2 .................................................................................................... 12

Máximos y mínimos absolutos ........................................................................... 13

Ejemplos ........................................................................................................ 13


Valores Críticos ................................................................................................. 14

Ejemplos ........................................................................................................ 14


Criterio de la primera derivada ........................................................................... 16

Ejemplos ........................................................................................................ 16


Concavidad y criterio de la segunda derivada ................................................... 18

Prueba de concavidad.................................................................................... 18

Criterio de la segunda derivada ..................................................................... 18

Puntos de inflexión ......................................................................................... 19

Ejemplos ........................................................................................................ 19


Unidad 3 ................................................................................................................ 23

Actividad reguladora .......................................................................................... 23

Derivación implícita ............................................................................................ 23

Ejemplos ........................................................................................................ 23


Ejemplos ........................................................................................................ 26


Regla de la cadena ............................................................................................ 26

Ejemplos ........................................................................................................ 27


Actividad reguladora .......................................................................................... 27

Funciones logarítmicas y exponenciales generales ........................................... 28

IV

Definición ....................................................................................................... 28

Leyes de los exponentes................................................................................ 28

Teorema ......................................................................................................... 29

Ejemplo .......................................................................................................... 29


Funciones logarítmicas generales ..................................................................... 30

Derivadas ....................................................................................................... 30

Ejemplos ........................................................................................................ 30


Leyes de crecimiento y decrecimiento ............................................................... 31

Teorema ......................................................................................................... 33

Unidad 4 ................................................................................................................ 34

Actividad ............................................................................................................ 34

Funciones trigonométricas ................................................................................. 34

Teorema ......................................................................................................... 35

Ejemplos ........................................................................................................ 35


Funciones trigonométricas definidas por medio de una circunferencia unitaria . 36


Fórmulas trigonométricas para el negativo de un número ................................. 38

Derivadas de funciones trigonométricas ............................................................ 39

Teorema ......................................................................................................... 39

Ejemplo .......................................................................................................... 40


Funciones hiperbólicas ...................................................................................... 41

Teorema ......................................................................................................... 41

Definición ....................................................................................................... 41

Identidades ..................................................................................................... 42

Derivadas ....................................................................................................... 42

Ejemplos ........................................................................................................ 42

1

UNIDAD 1

Límites

Sea a un punto de un intervalo

abierto, sea f una función

definida en todo el intervalo

excepto posiblemente en a y

sea L un número real.

Entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

Significa que para todo ∆𝑥 > 0 existe un límite.

Métodos para calcular límites

1) lim𝑥→𝑎

𝑥 = 𝑎

2) lim𝑥→𝑎

𝑐 = 𝑐 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Ejemplos

∎ lim𝑥→√2

𝑥 = √𝟐

∎ lim𝑥→−4

𝑥 = −𝟒

Muchas funciones pueden expresarse como sumas, diferencias, productos y

cocientes de otras funciones. En particular, sea s la suma de dos funciones f y g

de manera que 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) para todo el dominio de s. Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) tienen

límites L y M, respectivamente cuando 𝑥 → 𝑎, es de esperarse que 𝑠(𝑥) tenga

como límite L+M cuando 𝑥 → 𝑎.

Teorema

Si lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑀, entonces tenemos que

1) lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐿 + 𝑀

2) lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝐿𝑀

2

3) lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐿 − 𝑀

4) lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝐿

𝑀 ; 𝑠𝑖 𝑀 ≠ 0

5) lim𝑥→𝑎

𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑐𝐿

Ejemplos

∎ lim𝑥→2

3𝑥 + 4

5𝑥 + 7=

lim𝑥→2

(3𝑥 + 4)

lim𝑥→2

(5𝑥 + 7)=

3(2) + 4

5(2) + 7=

𝟏𝟎

𝟏𝟕

∎ lim𝑥→−2

(3𝑥3 − 2𝑥 + 7) = lim𝑥→−2

3𝑥3 − lim𝑥→−2

2𝑥 + lim𝑥→−2

7 = 3(−2)3 − 2(−2) + 7

= −24 + 4 + 7 = −𝟏𝟑

La derivada

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al número real a.

En la figura se muestra la gráfica de f y una secante l que pasa por el punto P(a,

f(a)) y Q(x,f(x)). La recta de trazo punteado l’ representa una posible recta

tangente en el punto P.

Sea f una función definida en

un intervalo abierto que

contiene a a. La derivada de

f en a denotada por f’(a) está

dada por:

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

Aplicaciones

a) Recta tangente. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el

punto P(a, f(a)) es igual a f’(a).

3

b) Velocidad. Si un punto P se mueve a lo largo de una recta coordenada de

manera que al tiempo t su coordenada es s(t), entonces su velocidad al

tiempo t es s’(a).

La derivada como una función

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Ejemplos

►Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4. Encontrar f’(x), f’(2) y f’(-√2)


(3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 4) − (3𝑥2 − 5𝑥 + 4)

ℎ

= limℎ→0

3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 5𝑥 − 5ℎ + 4 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 4

ℎ

= limℎ→0

3ℎ2 + 6𝑥ℎ − 5ℎ

ℎ= lim

ℎ→03ℎ + 6𝑥 − 5 = 𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟓

𝑓′(2) = 6(2) − 5 = 12 − 5 = 𝟕

𝑓′(−√2) = 6(−√2) − 5 = −𝟔√𝟐 − 𝟓

►Sea 𝑓(𝑥) = 2 + 8𝑥 − 5𝑥3. Encontrar f’(x).


2 + 8(𝑥 + ℎ) − 5(𝑥 + ℎ)3 − 2 − 8𝑥 + 5𝑥3

ℎ

= limℎ→0

2 + 8𝑥 + 8ℎ − 5𝑥3 − 15𝑥2ℎ − 15𝑥ℎ2 − 5ℎ3 − 2 − 8𝑥 + 5𝑥^3

ℎ

= limℎ→0

−15𝑥2ℎ + 8ℎ − 15𝑥ℎ2 − 5ℎ3

ℎ= lim

ℎ→08 − 15𝑥2 − 15𝑥ℎ − 5ℎ2 = 𝟖 − 𝟏𝟓𝒙𝟐

Ejercicios propuestos

Encuentre f’(x), f’(1) y f’(-7) para:

𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 7𝑥 + 2

4

𝑓(𝑥) =1

2𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥

Encuentre f’(x) y f’(5) para:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥

𝑓(𝑥) = (𝑥 + √3)2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + (𝑥 + 2)2

Reglas para determinar derivadas

𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 1

𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1

𝑑

𝑑𝑥𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥) −

𝑑

𝑑𝑥ℎ(𝑥)

Ejemplos

∎𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 1)4 = 4(𝑥 + 1)4−1

𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 1) = 4(𝑥 + 1)3(1) = 𝟒(𝒙 + 𝟏)𝟑

∎𝑑

𝑑𝑥5 = 0

∎𝑑

𝑑𝑦𝑦 = 1 ;

𝑑

𝑑𝑧𝑧 = 1

∎𝑑

𝑑𝑥𝑥6 = 6𝑥6−1 = 𝟔𝒙𝟓

∎𝑑

𝑑𝑥[(𝑥2 + 2)4 + 𝑥6] =

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 2)4 +

𝑑

𝑑𝑥𝑥6 = 4(𝑥2 + 2)3

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 2) + 6𝑥5

4(𝑥2 + 2)3(2𝑥) + 6𝑥5 = 𝟖𝒙(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟑 + 𝟔𝒙𝟓

5


Encuentre la derivada.

𝑑

𝑑𝑥[𝑥6 + (𝑥 + 2) + 7]

𝑑

𝑑𝑥[(2𝑥7 + 3)5 + (7 + 𝑥2)]

𝑑

𝑑𝑥[3 + 2𝑥

1

2 + (3𝑥4 + 2𝑥)3

𝑑

𝑑𝑥[√𝑥2 + 2

3+ 3√𝑥 + 7]

Regla de la división

La regla del cociente se aplica en aquellos casos en que existe una razón entre

dos funciones 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥). La función será diferenciable en todos los valores de x de los

cuáles g(x) sea diferente de 0.

La fórmula del cociente implica que la derivada está dada por el denominador

multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador multiplicado por la

derivada del denominador, todo esto dividido entre el cuadrado del denominador.

𝑑

𝑑𝑥

𝑢

𝑣=

𝑣𝑑

𝑑𝑥𝑢 − 𝑢

𝑑𝑑𝑥

𝑣

𝑣2

Ejemplos

∎𝑑

𝑑𝑥

3𝑥2 − 2

𝑥3 + 7=

(𝑥3 + 7)𝑑

𝑑𝑥(3𝑥2 − 2) − (3𝑥−2)

𝑑𝑑𝑥

(𝑥3 + 7)

(𝑥3 + 7)2

=(𝑥3 + 7)(6𝑥) − (3𝑥2 − 2)(3𝑥2)

(𝑥3 + 7)2=

6𝑥4 + 42𝑥 − 9𝑥4 + 6𝑥2

(𝑥3 + 7)2

=𝟒𝟐𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟒

(𝒙𝟑 + 𝟕)𝟐

∎𝑑

𝑑𝑥 −3𝑥2 + 2

5𝑥 + 1=

(5𝑥 + 1)(−6𝑥) − (−3𝑥2 + 2)(5)

(5𝑥 + 1)2=

−30𝑥2 − 6𝑥 + 15𝑥2 − 10

(5𝑥 + 1)2

=−𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎

(𝟓𝒙 + 𝟏)𝟐

6


Encuentre la derivada.

o 𝑓(𝑥) =4𝑥2+1

𝑥−2

o 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1

o 𝑓(𝑥) =𝑥2−2

𝑥2+2

o 𝑓(𝑥) =(𝑥+3)(𝑥+5)

𝑥−7

o 𝑓(𝑥) =3𝑥2+1

𝑥−5(7𝑥3 + 4)

o 𝑓(𝑥) =𝑥+3

𝑥2−9

Regla del producto

La regla del producto es igual al primer término por la derivada del segundo más el

segundo término por la derivada del primero.

𝑑

𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplos

∎𝑑

𝑑𝑥 (𝑥2 + 3)(4𝑥 − 2) = (𝑥2 + 3)

𝑑

𝑑𝑥(4𝑥 − 2) + (4𝑥 − 2)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 3)

= (𝑥2 + 3)(4) + (4𝑥 − 2)(2𝑥) = 4𝑥2 + 12 + 8𝑥2 − 4𝑥 = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟐

∎𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 3)3(𝑥2 + 7𝑥) = (𝑥2 + 3)3

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 7𝑥) + (𝑥2 + 7𝑥)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 3)3

= (𝑥2 + 3)3(2𝑥 + 7) + (𝑥2 + 7𝑥)(3)(𝑥2 + 3)2(2𝑥)

= (𝒙𝟐 + 𝟑)𝟑(𝟐𝒙 + 𝟕) + 𝟔𝒙(𝒙𝟐 + 𝟕𝒙)(𝒙𝟐 + 𝟑)𝟐

∎𝑑

𝑑𝑥 5𝑥 + 2

𝑥2(5𝑥2 + 7𝑥) =

5𝑥 + 2

𝑥2(10𝑥 + 7) + (5𝑥2 + 7𝑥)

𝑥2(5) − (5𝑥 + 2)(2𝑥)

𝑥4

=(5𝑥 + 2)(10𝑥 + 7)

𝑥2+

(5𝑥2 + 7𝑥)(5𝑥2 − 10𝑥 − 4𝑥)

𝑥4

=(5𝑥 + 2)(10𝑥 + 7)

𝑥2+

(5𝑥2 + 7𝑥)(−5𝑥2 − 4𝑥)

𝑥4

7

=(𝟓𝒙 + 𝟐)(𝟏𝟎𝒙 + 𝟕)

𝒙𝟐−

(𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝒙)(𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙)

𝒙𝟒

∎𝑑

𝑑𝑥

𝑥3 + 2

(3𝑥 + 1)2(𝑥3 − 2)

=𝑥3 + 2

(3𝑥 + 1)2(3𝑥2) + (𝑥3 − 2)

(3𝑥 + 1)2(3𝑥2) − (𝑥3 + 2)(2)(3𝑥 + 1)(3)

(3𝑥 + 1)4

=3𝑥2(𝑥3 + 2)

(3𝑥 + 1)2+

3𝑥2(𝑥3 − 2)(3𝑥 + 1)2

(3𝑥 + 1)4−

6(𝑥3 + 2)(3𝑥 + 1)(𝑥3 − 2)

(3𝑥 + 1)4

=3𝑥2(𝑥3 + 2)

(3𝑥 + 1)2+

3𝑥2(𝑥3 − 2)

(3𝑥 + 1)2−

6(𝑥3 + 2)

(3𝑥 + 1)3

=3𝑥2(𝑥3 + 2 + 𝑥3 − 2)

(3𝑥 + 1)2−

6(𝑥3 + 2)(𝑥3 − 2)

(3𝑥 + 1)4

=𝟑𝒙𝟐(𝟐𝒙𝟑)

(𝟑𝒙 + 𝟏)𝟐−

𝟔(𝒙𝟑 + 𝟐)(𝒙𝟑 − 𝟐)

(𝟑𝒙 + 𝟏)𝟒

Funciones logarítmicas

Los logaritmos o números artificiales son muy importantes en matemáticas ya que

no solamente facilitan realizar

cálculos al sustituir la

multiplicación por la suma y la

división por la resta, la potencia

por productos y las raíces por

división, sino que también son

muy importantes en sismología y

en audiología al permitir el

establecimiento de sistemas de medición en éstas disciplinas.

La función logarítmica de la gráfica se define como 𝑦 = log𝑎 𝑥 donde a es la base

de la función y una constante positiva.

8

Las funciones logarítmicas más utilizadas al igual que las funciones exponenciales

son las de base 10 y las de base natural:

𝑦 = log10 𝑥; función logarítmica de base 10.

𝑦 = ln 𝑥; función logarítmica en base natural, o base e.

Características:

La gráfica de toda función logarítmica pasa por P(1,0).

El dominio son todos los números reales positivos (0, +∞)

La imagen son todos los números reales.

Leyes de los logaritmos

ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏

ln𝑎

𝑏= ln 𝑎 − ln 𝑏

ln 𝑎𝑛 = 𝑛 ln 𝑎

log𝑛 𝑛 = 1

log𝑛 1 = 0

log𝑛 𝑛𝑥 = 𝑥

log𝑥 𝑛 =log 𝑛

log 𝑥

Ejemplos

∎ ln [(𝑥 + 1)(𝑥12)] = ln(𝑥 + 1) + ln 𝑥

12 = 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) +

𝟏

𝟐𝐥𝐧 𝒙

∎ ln√𝑥 + 1

𝑥2 + 2= ln √𝑥 + 1 − ln(𝑥2 + 2) =

𝟏

𝟐𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟐)

∎ log 103 = 3

9

∎ log2 10 =log 10

log 2


Desarrolla los siguientes logaritmos:

log(𝑥+2)2

𝑥12

log [3

(𝑥+2)2 (𝑥 + 1)]

log [(3𝑥+2)(4𝑥+1)

32

√𝑥+23 ]

Reglas de derivación de logaritmos

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑥 =

1

𝑥

𝑑

𝑑𝑥ln 𝑢 =

1

𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplos

∎𝑑

𝑑𝑥ln(𝑥2 + 4𝑥 + 4) =

𝑑

𝑑𝑥ln(𝑥 + 2)2 =

𝑑

𝑑𝑥2 ln(𝑥 + 2) = 2

𝑑

𝑑𝑥ln(𝑥 + 2)

= 21

(𝑥 + 2)=

𝟐

𝒙 + 𝟐

∎𝑑

𝑑𝑥(𝑥 + 2)2 ln 𝑥3 = (𝑥 + 2)2 ∙

1

𝑥3∙ 3𝑥2 + 2(𝑥 + 2) ln 𝑥3

=3𝑥2(𝑥 + 2)2

𝑥3+ 2(𝑥 + 2) ln 𝑥3 =

𝟑(𝒙 + 𝟐)𝟐

𝒙+ 𝟐(𝒙 + 𝟐)𝒍𝒏 𝒙𝟑

Reglas de derivación de exponenciales

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑢 = 𝑒𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

10

Ejemplos

∎𝑑

𝑑𝑥𝑒3𝑥+2 = 𝑒3𝑥+2(3) = 𝟑𝒆𝟑𝒙+𝟐

∎𝑑

𝑑𝑥𝑒(𝑥+2)2

√𝑥 + 1 = 𝑒(𝑥+2)2∙

1

2∙ (𝑥 + 1)−

12 + √𝑥 + 1 ∙ 𝑒(𝑥+2)2

∙ 2(𝑥 + 2)

=𝑒(𝑥+2)2

2√𝑥 + 1+ 2√𝑥 + 1(𝑥 + 2)𝑒(𝑥+2)2

= 𝒆(𝒙+𝟐)𝟐 (

𝟏

𝟐√𝒙 + 𝟏+ 𝟐(𝒙 + 𝟐)√𝒙 + 𝟏)


Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

𝑓(𝑥) = 𝑥3 ln(𝑥 + 2)

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)4 ln(𝑥 + 3)3

𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 ln 𝑥2

𝑓(𝑥) = ln 𝑒𝑥

11

UNIDAD 2

Máximos y mínimos locales

Definición 1

Sea f una función definida en un intervalo I y sean 𝑥1 y 𝑥2 dos números que están

en I.

1. 𝑓 es creciente en I si 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.

2. 𝑓 es decreciente en I si 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.

12

3. 𝑓 es constante en I si 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) siempre que 𝑥1 < 𝑥2.

Definición 2

Sea f una función definida en un intervalo I y sea c un valor dentro de I.

1. 𝑓(𝑐) es el máximo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) para todo 𝑥 en 𝐼.

13

2. 𝑓(𝑐) es el mínimo de 𝑓 en 𝐼 si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) para todo 𝑥 en 𝐼.

Máximos y mínimos absolutos

Encontrar todos los números críticos de f.

Calcular 𝑓(𝑥) para cada número crítico 𝑐.

Calcular 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏).

El máximo y el mínimo absoluto de f en el intervalo [a,b] son

respectivamente el mayor y el menor de los valores de la función

determinados en los pasos b y c.

Ejemplos

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥. Calcular el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓, en el

intervalo [-3,5] y trazar la gráfica de 𝑓.

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12; 𝑓′(𝑥) = 3(𝑥2 − 4); 𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

14

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −2𝑥 = 2

𝑓(−2) = (−2)3 − 12(−2) = −8 + 24 = 𝟏𝟔; 𝑓(2) = 23 − 12(2) = 8 − 24 = −𝟏𝟔

𝑓(−3) = (−3)3 − 12(−3) = −27 + 36 = 𝟗; 𝑓(5) = 53 − 12(5) = 125 − 60 = 𝟔𝟓

x y

-3 9

-2 16

-1 11

0 0

1 -11

2 -16

3 -9

4 16

5 65

𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 (5,65) 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 (2, −16)


Calcule el máximo y mínimos absolutos.

1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 10𝑥 + 7; [−1,3]

2) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4; [0,2]

Valores Críticos

Ejemplos

Encuentre los números críticos de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝑓′(𝑥) = 8𝑥 − 3

15

0 = 8𝑥 − 3 → 8𝑥 = 3

𝒙 = 𝟑/𝟖

2. 𝑔(𝑡) = 𝑡2 √2𝑡 − 53

𝑔(𝑡) = 𝑡2(2𝑡 − 5)13 → 𝑔′(𝑡) = (𝑡2)(1

2⁄ )(2𝑡 − 5)−23(2) + (2𝑡 − 5)

13(2𝑡)

𝑔′(𝑡) =2𝑡2

3√(2𝑡 − 5)23+ 2𝑡 √2𝑡 − 5

3=

2𝑡2 + (3√(2𝑡 − 5)23) (2𝑡 √2𝑡 − 5

3)

3√(2𝑡 − 5)23

𝑔′(𝑡) =2𝑡2 + 6𝑡(2𝑡 − 5)

3√(2𝑡 − 5)23=

2𝑡2 + 12𝑡2 − 30𝑡

3√(2𝑡 − 5)23=

14𝑡2 − 30𝑡

3√(2𝑡 − 5)23

0 =14𝑡2 − 30𝑡

3√(2𝑡 − 5)23→ 14𝑡2 − 30𝑡 = 0 → 2𝑡(7𝑡 − 15) = 0 →

2𝑡 = 0 → 𝒕 = 𝟎

7𝑡 − 15 = 0 → 𝒕 =𝟏𝟓

𝟕

𝒕 = 𝟎; 𝒕 =𝟏𝟓

𝟕


Encuentre los números críticos de las siguientes funciones.

1. 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5

2. 𝑓(𝑤) = 𝑤4 − 32𝑤

3. 𝑇(𝑣) = (4𝑣 + 1)√𝑣2 − 16

4. 𝐺(𝑥) =2𝑥 − 3

𝑥2 − 9

5. 𝑓(𝑠) =𝑠2

5𝑠 + 4

6. 𝐾(𝑧) = 4𝑧3 + 5𝑧2 − 42𝑧 + 7

16

7. 𝐺(𝑥) =2𝑥 − 3

𝑥2 − 9

8. 𝐹(𝑥) = 𝑥2 3⁄ (𝑥2 − 9)

Criterio de la primera derivada

Sea 𝑓 una función que es continua en un número crítico 𝑐 y derivable en un

intervalo abierto 𝐼 que contiene a 𝑐, excepto posiblemente en 𝑐 mismo.

Si 𝑓′ cambia de positiva a negativa en 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) es un máximo local

de 𝑓.

Si 𝑓′ cambia de negativa a positiva en 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) es un mínimo local

de 𝑓.

Si 𝑓′ es mayor que cero o bien, si 𝑓′ es menor que cero para todo 𝑥 en 𝐼,

excepto para 𝑥 = 𝑐, entonces 𝑓(𝑐) no es un valor extremo local de 𝑓.

Ejemplos

Calcular los máximos y mínimos locales de la función dada.

𝑓(𝑥) = √𝑥3

(8 − 𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑥13(8 − 𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 𝑥

13(−1) + (8 − 𝑥)(1

3⁄ ) (𝑥−23) = −𝑥

13 +

8 − 𝑥

3𝑥23

17

𝑓′(𝑥) =−3𝑥 + 8 − 𝑥

3𝑥23

=8 − 4𝑥

3𝑥23

=4(2 − 𝑥)

3√𝑥23 → 0 =4(2 − 𝑥)

3√𝑥23 → 0 = 4(2 − 𝑥)

0 = 2 − 𝑥 → 𝒙 = 𝟐 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑪𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐

De acuerdo al análisis del

comportamiento de f’(x) en los

intervalos, y viendo que al pasar por

x=2 la gráfica de f pasa de ser

creciente a decreciente, tenemos

que en x=2 existe un máximo local

de f.

𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝑳𝒐𝒄𝒂𝒍 𝑷(𝟐, 𝟕. 𝟓𝟓𝟗)

x y

-1 -9

0 0

1 7

2 7.559

3 7.211

4 6.349

5 5.129

6 3.634

7 1.912


Encuentre los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones.

𝑓(𝑥) = (𝑥5 + 3)𝑒𝑥; [−5,3]

𝑓(𝑥) = (3𝑥3 + 1) ln 𝑥 ; [0,4)

Intervalo (-∞,2) (2,∞)

k 1 8

f’(k) 4/3 -2

Signo + -

Comportamiento Creciente Decreciente

18

Utilizando el criterio de la primera derivada calcule los máximos y mínimos locales

de f. Describa intervalos en los que la función es creciente y decreciente y trace la

gráfica.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 1

𝑓(𝑥) = 𝑥3 +3

𝑥

Concavidad y criterio de la segunda derivada

El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable

𝑓. Si 𝑓′(𝑐) existe, entonces la gráfica de 𝑓 tiene una recta tangente 𝑙 con pendiente

𝑓′(𝑐) en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).

Sea 𝑓 una función que es derivable en un número 𝑐.

La gráfica de 𝑓 tiene concavidad hacia arriba en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existe

un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, tal que en (𝑎, 𝑏) la gráfica de 𝑓

está por encima de la recta tangente en 𝑃.

La gráfica de 𝑓 tiene concavidad hacia abajo en el punto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) si existe

un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑐, tal que en (𝑎, 𝑏) la gráfica de 𝑓

está por debajo de la recta tangente en 𝑃.

Prueba de concavidad

Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto que contiene a 𝑐 tal que 𝑓′′(𝑐)

existe.

Si 𝑓′′(𝑐) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).

Si 𝑓′′(𝑐) < 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).

Criterio de la segunda derivada

Si 𝑓 es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a 𝑐, tal que

𝑓′(𝑐) = 0.

Si 𝑓′′(𝑐) < 0 entonces 𝑓 tiene un máximo local en 𝑐.

Si 𝑓′′(𝑐) > 0 entonces 𝑓 tiene un mínimo local en 𝑐.

19

Puntos de inflexión

Un punto 𝑃(𝑘, 𝑓(𝑘)) en la gráfica de una función 𝑓 es un punto de inflexión si 𝑓′′

existe en un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑘 y 𝑓′′ cambia de signo en k.

Ejemplos

Encuentre los intervalos en los que la gráfica de f tiene concavidad hacia

arriba y aquellos en los que tiene concavidad hacia abajo.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 5

→ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5 → 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 −

2 → 0 = 6𝑥 − 2 → 6𝑥 = 2 → 𝒙 =𝟏

𝟑

Intervalo (-∞,1/3) (1/3,∞)

K 0 1

20

De acuerdo al análisis del comportamiento de f’’(x) en los intervalos propuestos

antes y después del valor de inflexión, podemos dar respuesta al problema.

𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 (−∞, 1

3⁄ )

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 (13⁄ , ∞)

Sea la función 𝑓(𝑥) = 12 + 2𝑥2 − 𝑥4, usar el criterio de la segunda derivada

para calcular los máximos y mínimos locales de 𝑓. Discutir la concavidad,

encontrar los puntos de inflexión y trazar su gráfica.

→ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 4𝑥3 → 0 = 4𝑥 − 4𝑥3 → 0 = 4𝑥(1 − 𝑥2) → 0 = 4𝑥(1 − 𝑥)(1 + 𝑥)

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −1𝑥 = 0𝑥 = 1

→ 𝑓′′(𝑥) = 4 − 12𝑥2 → 0 = 4 − 12𝑥2 → 0 = 4(1 − 3𝑥2) → 0 = 1 − 3𝑥2 → 1 = 3𝑥2

3𝑥2 = 1 → 𝑥2 =1

3→ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛

𝑥 = 1√3

⁄

𝑥 = − 1√3

⁄

Criterio de la segunda derivada

𝑓′′(−1) = 4(1 − 3(−1)2) = 4(1 − 3) = 4(−2) = −8 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜

𝑓′′(0) = 4(1 − 3(02)) = 4(1 − 0) = 4(1) = 4 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑓′′(1) = 4(1 − 3(1)2) = 4(1 − 3) = 4(−2) = −8 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜

Obtención de extremos locales

f’(k) -2 4

Signo - +

Concavidad Hacia

abajo

Hacia

arriba

21

𝑓(−1) = 12 + 2(−1)2 − (−1)4 = 12 + 2 − 1 = 13

𝑓(0) = 12 + 2(0)2 − (0)4 = 12 + 0 − 0 = 12

𝑓(1) = 12 + 2(1)2 − (1)4 = 12 + 2 − 1 = 13

Obtención de los puntos de inflexión

𝑓 (1

√3) = 12 + 2 (

1

√3)

2

− (1

√3)

4

= 12 + 2 (1

3) − (

1

9) =

113

9

𝑓 (−1

√3) = 12 + 2 (−

1

√3)

2

− (−1

√3)

4

= 12 + 2 (1

3) − (

1

9) =

113

9

Análisis de concavidad

Intervalo (-∞,-1/√3) (-1/√3,1/√3) (1/√3,∞)

k -1 0 1

f’’(k) -8 4 -8

Signo - + -

Concavidad Hacia abajo Hacia arriba Hacia abajo

Gráfica y resultados

𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐𝒔 𝑷(−𝟏, 𝟏𝟑) 𝒚 𝑷(𝟏, 𝟏𝟑)

𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝑷(𝟎, 𝟏𝟐)

𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊ó𝒏 𝑷 (−𝟏

√𝟑,𝟏𝟏𝟑

𝟗) 𝒚 𝑷 (

𝟏

√𝟑,𝟏𝟏𝟑

𝟗)

𝑪𝒐𝒏𝒄𝒂𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅

𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 (−∞, −𝟏

√𝟑)

𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒊𝒃𝒂 (−𝟏

√𝟑,

𝟏

√𝟑)

𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 (𝟏

√𝟑, ∞)

22


Use el criterio de la segunda derivada para calcular los valores extremos de f.

Discuta la concavidad, encuentre las abscisas de los puntos de inflexión y trace la

gráfica de f.

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = √𝑥5

− 1

Use el criterio de la segunda derivada para calcular los valores extremos de f.

Discuta su concavidad, encuentre los puntos de inflexión y trace la gráfica de f.

𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)2

𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2+1

23

Unidad 3

Actividad reguladora

Encuentre la primera y la segunda derivada de cada función y grafíquelas.

𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 2)2 ln(𝑥 + 2)2

𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥(𝑥2 + 3)(𝑥 + 1)

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2+3 ln(3𝑥 + 2)

Derivación implícita

Dada una ecuación de la forma 𝑦 = 2𝑥2 − 3 se dice que 𝑦 es una función de 𝑥 ya

que 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3. La ecuación 4𝑥2 − 2𝑦 = 6 define la misma

función 𝑓 pues al despejar 𝑦 se obtiene −2𝑦 = 6 − 4𝑥2 → 𝑦 = −3 + 2𝑥2 → 𝑦 =

2𝑥2 − 3

En el caso de 4𝑥2 − 2𝑦 = 6 se expresa que 𝑦 es una función implícita de x o que 𝑓

está definida implícitamente por la ecuación. Sustituyendo 𝑦 por 𝑓(𝑥) en 4𝑥2 −

2𝑦 = 6 se obtiene 4𝑥2 − 2𝑓(𝑥) = 6 → 4𝑥2 − 2(2𝑥2 − 3) = 6 → 4𝑥2 − 4𝑥2 + 6 = 6 →

6 = 6.

𝑓 está definida implícitamente por una ecuación sí y solo si al sustituir 𝑦 por 𝑓(𝑥)

se llega a una identidad.

Como (𝑥, 𝑓(𝑥)) es un punto en la gráfica de una parte o de toda la gráfica de la

función, la gráfica de la función es implícita.

Ejemplos

¿Cuántas funciones diferentes quedan definidas implícitamente por la

ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 1?

𝑦2 = 1 − 𝑥2

𝑦 = ±√1 − 𝑥2

𝑥2 = 1 − 𝑦2

24

𝑥 = ±√1 − 𝑦2

Encontrar 𝑦′ suponiendo que 4𝑥𝑦3 − 𝑥2𝑦 + 𝑥3 − 5𝑥 + 6 = 0

4𝑥𝑑

𝑑𝑥(𝑦3) + 𝑦3

𝑑

𝑑𝑥(4𝑥) − [𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(𝑦) + 𝑦

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2)] +

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 − 5

𝑑

𝑑𝑥𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥6 =

𝑑

𝑑𝑥0

4𝑥 (3𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥) + 𝑦3(4) − (𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦(2𝑥)) + 3𝑥2 − 5 = 0

12𝑥𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑦3 − 𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑥𝑦 + 3𝑥2 − 5 = 0

12𝑥𝑦2𝑦′ + 4𝑦3 − 𝑥2𝑦′ − 2𝑥𝑦 + 3𝑥2 − 5 = 0

𝑦′(12𝑥𝑦2 − 𝑥2) + 4𝑦3 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥2 − 5 = 0

𝑦′(12𝑥𝑦2 − 𝑥2) = −4𝑦3 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 + 5

𝑦′ =−4𝑦3 + 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 + 5

12𝑥𝑦2 − 𝑥2

Encuentre 𝑦′ suponiendo que la ecuación define una función derivable 𝑓 tal

que 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐𝒚 + 𝒚𝟑 = 𝟏

2𝑑

𝑑𝑥(𝑥3) + [𝑥2

𝑑

𝑑𝑥(𝑦) + 𝑦

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2)] +

𝑑

𝑑𝑥(𝑦3) =

𝑑

𝑑𝑥(1)

2(3𝑥2) + (𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦(2𝑥)) + 3𝑦2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

6𝑥2 + 𝑥2𝑦′ + 2𝑥𝑦 + 3𝑦2𝑦′ = 0

𝑦′(𝑥2 + 3𝑦2) + 6𝑥2 + 2𝑥𝑦 = 0

𝑦′(𝑥2 + 3𝑦2) = −6𝑥2 − 2𝑥𝑦

25

𝑦′ =−2(3𝑥2 + 𝑥𝑦)

𝑥2 + 3𝑦2


Hallar 𝑦′

8𝑥2 + 𝑦2 = 10

5𝑥2 + 2𝑥2𝑦 + 𝑦2 = 8

26

Ejemplos

Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica 𝑦4 + 3𝑦 − 4𝑥3 = 5𝑥 + 1 en el

punto (1,-2)

𝑦4 + 3𝑦 − 4𝑥3 − 5𝑥 − 1 = 0

4𝑦3𝑦′ + 3𝑦′ − 12𝑥2 − 5 = 0

𝑦′(4𝑦3 + 3) = 12𝑥2 + 5

𝑦′ =12𝑥2 + 5

4𝑦3 + 3

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 = 12𝑥2 + 5

4𝑦3 + 3

𝑚 =12(1)2 + 5

4(−2)3 + 3=

12 + 5

−32 + 3=

17

−29= −

17

29


Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto dado.

𝑥𝑦 + 16 = 0; 𝑃(−2,8)

𝑦2 − 4𝑥2 = 5; 𝑃(−1,3)

2𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑦3 − 1 = 0; 𝑃(2, −3)

1

𝑥+

3

𝑦= 1; 𝑃(2,6)

Regla de la cadena

Las reglas de derivación se pueden usar para sumas, restas, productos y

cocientes de expresiones de la forma 𝑥𝑛 donde n es un entero. Si 𝑦 = 𝑓(𝑢) y

𝑢 = 𝑔(𝑥) y las derivadas 𝑑𝑦

𝑑𝑢 y

𝑑𝑢

𝑑𝑥 existen ambas, entonces la función compuesta

definida por 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) tiene una derivada dada por

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

27

Lo cual es igual a

𝑓′(𝑢)𝑔′(𝑥)

Ejemplos

Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)4 Encontrar la pendiente de la recta normal a la gráfica de 𝑓

en el punto (1

2, 𝑓 (

1

2)). Hacer la gráfica.

𝑓′(𝑥) = 4(𝑥2 − 1)3(2𝑥) = 8𝑥(𝑥2 − 1)3

𝑓′ (1

2) = 8 (

1

2) ((

1

2)

2

− 1)

3

= 4 (1

4− 1)

3

= 4 (−3

4)

3

= 4 (−27

64) = −

27

16= 𝑚𝑇

𝑚𝑁 = −1

𝑚𝑇

𝑚𝑁 =16

27


Derive la función

𝑓(𝑥) = (5𝑥2 − 2𝑥 + 1)−3

𝑁(𝑥) = (6𝑥 − 7)3(8𝑥2 + 9)2

𝑔(𝑧) = (𝑧2 −1

𝑧2)

6

𝑁(𝑥) =7𝑥(𝑥2+1)

2

(3𝑥+10)4

Actividad reguladora

Resuelva correctamente los siguientes problemas.

Encuentre 𝑦′

𝟓𝒙𝟓 + 𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟐𝒚 = 𝟎

28

Encuentre la pendiente m de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en el punto

(−3,2)

𝒇(𝒙) = 𝟒(𝒙𝟐 + 𝟑)𝟐

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Definimos 𝑎 como un número real positivo. Comenzaremos por definir 𝑎𝑥 para

todo número real 𝑥. Si el exponente es un número racional 𝑟, entonces

aplicaremos el teorema de que:

1) ln 𝑒𝑥 = 𝑥

2) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥

Y el teorema, si 𝑝 > 0 y 𝑞 > 0 entonces:

3) ln 𝑝𝑞 = ln 𝑝 + ln 𝑞

4) ln𝑝

𝑞= ln 𝑝 − ln 𝑞

5) ln 𝑝𝑟 = 𝑟 ln 𝑝

Definición

𝑎𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑎

La función definida como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 se llama función exponencial de base 𝑎. Como

𝑒𝑥 es positivo para toda 𝑥, también lo es 𝑎𝑥.

Leyes de los exponentes

Sean 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0, si 𝑢 y 𝑣 son números reales cualesquiera, entonces:

1) 𝑎𝑢𝑎𝑣 = 𝑎𝑢+𝑣

2)𝑎𝑢

𝑎𝑣= 𝑎𝑢−𝑣

3) (𝑎𝑢)𝑣 = 𝑎𝑢𝑣

29

4) (𝑎

𝑏)

𝑢

=𝑎𝑢

𝑏𝑢

5) (𝑎𝑏)𝑣 = 𝑎𝑣𝑏𝑣

Teorema

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎

𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplo

Determinar la derivada de 𝑦.

𝒚 = 𝟑√𝒙

𝑦 = 3𝑥12

𝑦′ = 3√𝑥 ln 3𝑑

𝑑𝑥√𝑥 = 3√𝑥 ln 3 (

1

2𝑥−

12)

𝑦′ =3√𝑥 ln 3

2√𝑥

Hallar 𝑦′ para 𝑦 = (𝑥2 + 1)10 + 10𝑥2+1

𝑦′ = 10(𝑥2 + 1)9(2𝑥) + 10𝑥2+1 ln 10 𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 1)

𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + 10𝑥2+1 ln 10 (2𝑥)

𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + (2𝑥)(10𝑥2+1) ln 10

𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + (2𝑥)(10𝑥2)(101) ln 10

𝑦′ = 20𝑥(𝑥2 + 1)9 + 20𝑥(10𝑥2) ln 10

𝑦′ = 20𝑥 [(𝑥2 + 1)9 + 10𝑥2ln 10]

30


Encuentre 𝑓′(𝑥) para la expresión 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) = 53𝑥−4

𝑓(𝑥) = 5−𝑥

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)101

𝑥

𝑓(𝑥) =𝑥

6𝑥+𝑥6

𝑓(𝑥) = (10𝑥 + 10−𝑥)10

Funciones logarítmicas generales

𝑦 = log𝑎 𝑥 si y sólo si 𝑥 = 𝑎𝑦

La expresión log𝑎 𝑥 son logaritmos de diversas bases, en especial en base e, es

decir ln 𝑥 = log𝑒 𝑥.

Derivadas

𝑑

𝑑𝑥log𝑎 𝑥 =

1

𝑥 ln 𝑎

𝑑

𝑑𝑥log𝑎 𝑢 =

1

𝑢 ln 𝑎

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplos

Evaluar la derivada de las siguientes funciones.

∎𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 √(𝟐𝒙 + 𝟓)𝟐𝟑

𝑓(𝑥) = log(2𝑥 + 5)23 =

2

3log(2𝑥 + 5)

𝑓′(𝑥) = (2

3) (

1

(2𝑥 + 5) ln 10) (2)

𝑓′(𝑥) =4

3(2𝑥 + 5) ln 10

∎𝒚 = 𝒙√𝟐

31

𝑦′ = (√2)(𝑥√2−1)

∎𝒚 = (𝟏 + 𝒆𝟐𝒙)𝝅

𝑦′ = (𝜋)(1 + 𝑒2𝑥)𝜋−1(𝑒2𝑥)(2)

𝑦′ = 2𝜋𝑒2𝑥(1 + 𝑒2𝑥)𝜋−1


Halle la derivada de las siguientes funciones.

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 3)2 log(√𝑥3 + 2)

Encuentre 𝑓′(𝑥) para 𝑓(𝑥) dada.

𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥2

𝑓(𝑥) = 𝑥3𝑒−8𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑥

𝑓(𝑥) = ln[√6𝑥 − 1(4𝑥 + 5)3]

𝑓(𝑥) = ln √𝑥2−1

𝑥2+1

3

𝑓(𝑥) = log √(3𝑥2 − 1)24

𝑓(𝑥) = 2(3𝑥2+4)3

𝑓(𝑥) = log2 (3𝑥3

𝑥+1)

𝑓(𝑥) = 9√3𝑥2

Leyes de crecimiento y decrecimiento

Supongamos que una cantidad física varía en el tiempo y que su magnitud al

tiempo 𝑡 está dada por 𝑞(𝑡), donde 𝑞 es una función derivable con 𝑞(𝑡) > 0 para

todo 𝑡. La derivada 𝑞′(𝑡) es la tasa de cambio de 𝑞(𝑡) con respecto al tiempo. Esta

relación puede expresarse por medio de la ecuación diferencial

𝑞′(𝑡) = 𝑐𝑞(𝑡)

32

Donde 𝑐 es una constante.

En las aplicaciones, la ecuación 𝑞′(𝑡) = 𝑐𝑞(𝑡) se expresa a menudo en términos

de diferenciales. Así, 𝑦 = 𝑞(𝑡) se puede escribir:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑐𝑦 → 𝑑𝑦 = 𝑐𝑦𝑑𝑡

Dividiendo ambos lados de la última ecuación entre y:

1

𝑦𝑑𝑦 = 𝑐 𝑑𝑡

Como las variables 𝑦 y 𝑡 se pudieron separar en esta ecuación diferencial, es

decir, aparece sólo una en cada lado de la igualdad; la ecuación 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑐𝑦 se llama

ecuación diferencial separable. Al integrar ambos lados:

∫1

𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑐 𝑑𝑡

Y, suponiendo que 𝑦 > 0

ln 𝑦 = 𝑐𝑡 + 𝑑

Las dos constantes de integración se combinaron en una sola constante 𝑑. Se

deduce que:

𝑒ln 𝑦 = 𝑒𝑐𝑡+𝑑

𝑦 = 𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑

Si 𝑦0 denota el valor inicial de 𝑦 (𝑡 = 0) entonces:

𝑦0 = 𝑒𝑑𝑒0 = 𝑒𝑑

Y, por lo tanto, la solución 𝑦 = 𝑒𝑑𝑒𝑐𝑡 se puede escribir:

𝑦 = 𝑦0𝑒𝑐𝑡

33

Teorema

Sea 𝑦 una función derivable de 𝑡 tal que 𝑦 > 0 para todo 𝑡 y sea 𝑦0 su valor en

𝑡 = 0. Si 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑐𝑦 para una constante c, entonces:

𝑦 = 𝑦0𝑒𝑐𝑡

Si al aumentar t también aumenta y, entonces la fórmula es una ley de

crecimiento; si y disminuye, entonces la fórmula es una ley de decrecimiento.

34

Unidad 4

Actividad

Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

∎𝑓(𝑥) =1

ln 𝑥+ ln (

1

𝑥)

∎ 𝑓(𝑥) = 𝑒√𝑥 + √𝑒𝑥

∎ 𝑓(𝑥) = log5 [6𝑥 + 4

2𝑥 − 3]

∎𝑓(𝑥) = 5√𝑥2+2 + ln(3𝑥 + 2)2

Encuentre la integral de las siguientes funciones:

∫ 𝑥2𝑑𝑥

∫(𝑥 + 1)2𝑑𝑥

∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥

Funciones trigonométricas

En la geometría se dice que un

ángulo está determinado por

dos rayos o semirrectas 𝑙1 y 𝑙2.

Dos puntos A y B sobre 𝑙1 y 𝑙2

respectivamente, determina el

ángulo AOB. Un ángulo también se puede considerar como dos segmentos

rectilíneos finitos con un punto extremo en común.

35

En la trigonometría, los ángulos se interpretan como rotaciones de rayos. Se

comienza con un rayo fijo 𝑙1 que tiene un extremo O y gira alrededor de O sobre

un plano hasta otra posición especificada por el

rayo 𝑙2. A 𝑙1 se le llama lado inicial, a 𝑙2 lado

terminal y a O vértice del ángulo AOB. La

magnitud y el sentido de la rotación no se

restringen de ninguna manera. Se puede hacer

que 𝑙1de varias vueltas o revoluciones alrededor

de O en uno y otro de los sentidos hasta llegar a

la posición 𝑙2.

En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en su

posición normal si tiene el vértice en el origen y su lado inicial 𝑙1 coincide con la

parte positiva del eje x. Si 𝑙1 gira en el sentido contrario al del reloj para llegar a ña

posición final, se considera entonces que el ángulo es positivo; mientras que si 𝑙1

gira en el sentido del reloj, el ángulo es negativo. La dirección del movimiento de

las manecillas del reloj se llama sentido negativo y la contraria, sentido positivo.

La magnitud de un ángulo se puede expresar en grados o en radianes. Un giro de

1

360 de una vuelta en el sentido positivo es un ángulo de 1°. En cálculo, la medida

usual para medir ángulos es el radián (rad).

Teorema

1. Para convertir un valor en radianes a uno en grados hay que multiplicar por

180° y dividir entre π.

2. Para convertir un valor en grados a uno en radianes hay que multiplicar por

π y dividir entre 180°.

Ejemplos

Convierta 22° a radianes

22° =22° ∗ 𝜋

180°=

11

90𝜋 𝑟𝑎𝑑

36

Convierta 3

7𝜋 rad a grados

3

7𝜋 𝑟𝑎𝑑 =

3

7𝜋 ∗

180°

𝜋=

3 ∗ 180°

7=

540°

7= 77.14°


Convierta los siguientes ángulos a radianes:

35°

28°

270°

112°

12°

Convierta los siguientes ángulos a grados:

𝜋

3𝑟𝑎𝑑

2𝜋

7𝑟𝑎𝑑

3𝜋

5𝑟𝑎𝑑

11𝜋

3𝑟𝑎𝑑

8𝜋

3𝑟𝑎𝑑

Funciones trigonométricas definidas por medio de una

circunferencia unitaria

Hay dos métodos que se usan

normalmente para definir las funciones

trigonométricas; uno mediante una

circunferencia unitaria y el otro por medio

de triángulos rectángulos. Trabajaremos

en el enfoque de la circunferencia unitaria.

37

Sea U una circunferencia unitaria, es decir, una circunferencia con radio 1.

Entonces, U es la gráfica de la ecuación 𝑥2´ + 𝑦2 = 1. Dado cualquier número real

t, denotemos por 𝜃 al ángulo cuya medida en radianes es t. La figura muestra un

ejemplo.

La figura muestra un caso posible de 0 < 𝜃 < 2𝜋. En ella 𝑃(𝑡) denota el punto de

intersección del lado final de 𝜃 con la circunferencia unitaria 𝑈. Usando la fórmula

𝑠 = 𝑟𝜃 con 𝑟 = 1 se ve que el arco AP que el ángulo intercepta, tiene longitud 𝑠 =

𝑡. Entonces, el número real 𝑡, puede considerarse como la medida en radianes del

ángulo 𝜃 por la longitud del arco AP de U.

El punto 𝑃(𝑡) se llama punto de la circunferencia unitaria U, que corresponde a t.

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenada

(𝑥, 𝑦) en 𝑃(𝑡) y se dice que 𝑃(𝑥, 𝑦) es el punto de la circunferencia unitaria que

corresponde a t; así encontramos:

sin 𝑡 = 𝑦

cos 𝑡 = 𝑥

tan 𝑡 =𝑦

𝑥

csc 𝑡 =1

𝑦

sec 𝑡 =1

𝑥

cot 𝑡 =𝑥

𝑦


Calcular y graficar las siguientes funciones trigonométricas, utilizando los ángulos

0°, 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, 220°, 270°, 300° y 360° con sus respectivas

conversiones a radianes.

𝑦 = sin 𝜃

38

𝑦 = cos 𝜃

Si una función 𝑃(𝑥, 𝑦) está en el cuadrante I, entonces x y y son positivas, por

tanto, todos los valores de las funciones trigonométricas son positivos. Si 𝑃(𝑥, 𝑦)

está en el cuadrante II, entonces x es negativo y y es positivo, y por lo tanto, el

sin 𝑡 y csc 𝑡 son positivos, mientras que las otras cuatro funciones son negativas.

Como el perímetro de la circunferencia unitaria U es 2𝜋 se obtiene el mismo punto

𝑃(𝑥, 𝑦) con 𝑡 + 2𝜋𝑛 para todo entero 𝑛. Es decir, los valores de las funciones

trigonométricas se repiten en intervalos sucesivos de longitud 2𝜋, a este tipo de

funciones se les llama funciones periódicas. Geométricamente esto significa que la

gráfica 𝑓 se repite cuando las abscisas de los puntos toman valores en intervalos

sucesivos de amplitud 𝑘. Si existe un mínimo número real positivo 𝑘 con esa

propiedad, se dice entonces que 𝑘 es el periodo de 𝑓.

Fórmulas trigonométricas para el negativo de un número

sin(−𝑡) = − sin 𝑡

cos(−𝑡) = cos 𝑡

tan(−𝑡) = − tan 𝑡

Hay muchas relaciones entre las funciones trigonométricas, estas relaciones se

les llama identidades trigonométricas fundamentales.

Estas son:

csc 𝑡 =1

sin 𝑡

sec 𝑡 =1

cos 𝑡

cot 𝑡 =1

tan 𝑡

tan 𝑡 =sin 𝑡

cos 𝑡

39

cot 𝑡 =cos 𝑡

sin 𝑡

(sin 𝑡)2 + (cos 𝑡)2 = 1

1 + (tan 𝑡)2 = (sec 𝑡)2

1 + (cot 𝑡)2 = (csc 𝑡)2

Derivadas de funciones trigonométricas

A continuación se presentan las derivadas de las seis funciones trigonométricas.

En el enunciado del teorema se supone que 𝑢 = 𝑔(𝑥) donde g es una función

derivable y x se restringe a los valores para los que la función trigonométrica está

definida.

Teorema

𝑑

𝑑𝑥sin 𝑢 = cos 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥cos 𝑢 = − sin 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥tan 𝑢 = (sec 𝑢)2

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥csc 𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥cot 𝑢 = −(csc 𝑢)2

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥sec 𝑢 = sec 𝑢 tan 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

40

Ejemplo

Encontrar 𝑦′ para:

𝑦 =sin 𝑥

1 + cos 𝑥

𝑦′ =[(1 + cos 𝑥)

𝑑𝑑𝑥

sin 𝑥 − sin 𝑥𝑑

𝑑𝑥(1 + cos 𝑥)]

(1 + cos 𝑥)2

𝑦′ =(1 + cos 𝑥)(cos 𝑥) − (sin 𝑥)(− sin 𝑥)

(1 + cos 𝑥)2

𝑦′ =cos 𝑥 + (cos 𝑥)2 + (sin 𝑥)2

(1 + cos 𝑥)2=

1 + cos 𝑥

(1 + cos 𝑥)2=

1

1 + cos 𝑥

𝑦 = sec 𝑥 tan 𝑥

𝑦′ = sec 𝑥𝑑

𝑑𝑥tan 𝑥 + tan 𝑥

𝑑

𝑑𝑥sec 𝑥

𝑦′ = sec 𝑥 (sec 𝑥)2 + tan 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)

𝑦′ = (sec 𝑥)3 + sec 𝑥 (tan 𝑥)2

𝑦′ = sec 𝑥 ((sec 𝑥)2 + (tan 𝑥)2) = sec 𝑥 (1 + (tan 𝑥)2 + (tan 𝑥)2)

𝑦′ = sec 𝑥 (1 + 2(tan 𝑥)2)


Encontrar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 para

𝑦 = cos(5𝑥3)

𝑦 = (tan 4𝑥)3

𝑦 = 𝑒−3𝑥 tan 2𝑥

𝑦 = (sec(3𝑥 − 1))2

𝑦 = 2 sin 𝑥 + cos 2𝑥

𝑦 = sec √𝑥 − 1

41

𝑦 = 𝑥3 cos (1

𝑥)

𝑦 = cos(3𝑥2) + (cos 3𝑥)2

𝑦 = 𝑥2 csc 5𝑥

𝑦 =cos 4𝑥

1−sin 4𝑥

𝑦 =csc 3𝑥

𝑥3+1

Funciones hiperbólicas

Si la función seno hiperbólico que se denota como sinh 𝑥 y la función coseno

hiperbólico que se denota como cosh 𝑥 se definen como:

sinh 𝑥 =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2

cosh 𝑥 =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2

Para todo número real x.

Teorema

(cosh 𝑥)2 − (sinh 𝑥)2 = 1

Definición

tanh 𝑥 =sinh 𝑥

cosh 𝑥=

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2

=𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

coth 𝑥 =cosh 𝑥

sinh 𝑥=


2𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2

=𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥


sech 𝑥 =1

cosh 𝑥=

2


csch 𝑥 =1

sinh 𝑥=

2


42

Identidades

1 − (tanh 𝑥)2 = (sech 𝑥)2

(coth 𝑥)2 − 1 = (csch 𝑥)2

Derivadas

𝑑

𝑑𝑥sinh 𝑢 = cosh 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥cosh 𝑢 = sinh 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥tanh 𝑢 = (sech 𝑢)2

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥coth 𝑢 = −(csch 𝑢)2

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥sech 𝑢 = − sech 𝑢 tanh 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑

𝑑𝑥csch 𝑢 = csch 𝑢 coth 𝑢

𝑑

𝑑𝑥𝑢

Ejemplos

𝑓(𝑥) = √𝑥 tanh √𝑥

𝑓′(𝑥) = √𝑥𝑑

𝑑𝑥tanh √𝑥 + tanh √𝑥

𝑑

𝑑𝑥√𝑥

𝑓′(𝑥) = √𝑥(sech √𝑥)2

(1

2√𝑥) + tanh √𝑥 (

1

2√𝑥)

𝑓′(𝑥) =√𝑥(sech √𝑥)

2

2√𝑥+

tanh √𝑥

2√𝑥

𝑓′(𝑥) =1

2√𝑥(√𝑥(sech √𝑥)

2+ tanh √𝑥)

𝑓(𝑥) = ln sinh 2𝑥

43

𝑓′(𝑥) =1

sinh 2𝑥(cosh 2𝑥)(2)

𝑓′(𝑥) =2 cosh 2𝑥

sinh 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2 coth 2𝑥

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