sesión 1 (cálculo diferencial)

8/9/2019 Sesión 1 (Cálculo diferencial)

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FuncionesEjercicios

Sesión 1

Funciones y gráficas

Frank Didier Suárez Motato

Departamento de Matemáticas

Universidad Cooperativa de Colombia

7 de febrero de 2015

Frank Didier Suárez Motato Funciones y gráficas 1 / 1 7


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FuncionesEjercicios

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Objetivos espećıficos

Identificar e interpretar una correspondencia entre conjuntos,

expresada en forma gráfica o simbólica, como una función.

Identificar, o determinar, para una función dada o construida, los

conjuntos asociados a ella: dominio, codominio, rango y gráfica.

Evaluar, graficar e identificar funciones pares o impares. Aśı mismo,

funciones crecientes y decrecientes.



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FuncionesEjercicios



DefiniciónSean A y B conjuntos no vaćıos. Una funci´ on f de A en B es una relaci´ on

entre elementos de x ∈ A y elementos de y ∈ B, de tal forma que a cada elemento x ∈ A se le asocia un ´ unico elemento y ∈ B.


Obj i f́i


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FuncionesEjercicios



Las formas de repesentar una función son las siguientes:

Como pares ordenados.

Tabla de valores.


Obj ti f́i


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FuncionesEjercicios





Tabla de valores.

Una frase que exprese la relación entre ambas variables.




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FuncionesEjercicios

Objetivos especıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas




Tabla de valores.


Una expresión matemática.




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FuncionesEjercicios





Tabla de valores.



Una gráfica.



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FuncionesEjercicios





Tabla de valores.



Una gráfica.

Función definida a trozos




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FuncionesEjercicios

j pFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas


Definición

Se define la gr´ afica de la funci´ on y = f (x), denotada por Gf , como el

conjunto de puntos en el plano de la forma

x, f (x)

, con x en el dominio

de f . Es decir,

Gf =

{(x, y)

|y = f (x), x

∈Df

}




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FuncionesEjercicios

Funciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas


TeoremaUna curva dada o un conjunto de puntos en el plano cartesiano es la gr´ afica

de una funci´ on y = f (x) si toda recta vertical corta la gr´ afica a lo m´ as en

un punto.


Objetivos espećıficosF i ´fi


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FuncionesEjercicios

Funciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Ejercicios

1 Considere la función f (x) = x3. Calcule simplificando tanto como sea

posible:

f (−2)

f (1

a )


Objetivos espećıficosF i ´fi


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FuncionesEjercicios

Funciones y graficasEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Ejercicios


posible:

f (−2)

f (

1

a )

f (−2 + h) − f (−2)


Objetivos espećıficosFunciones y gráficas


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FuncionesEjercicios


Ejercicios


posible:

f (−2)

f (

1

a )

f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)

h




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FuncionesEjercicios


Ejercicios


posible:

f (−2)

f (

1

a )

f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)

h

2

Encuentre el dominio de las siguientes funciones:f (x) =

√ x +

√ 1 − x




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FuncionesEjercicios


Ejercicios


posible:

f (−2)

f (

1

a )

f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)

h

2


√ x +

√ 1 − x

f (x) =√ x2 − 3x + 2




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FuncionesEjercicios

y gEjercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Ejercicios


posible:

f (−2)

f (

1

a )

f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)

h

2


√ x +

√ 1 − x

f (x) =√ x2 − 3x + 2

f (x) = 1

|x2

−4

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FuncionesEjercicios

Ejercicios de funcionesFunciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Ejercicios


posible:

f (−2)

f (

1

a )

f (−2 + h) − f (−2)f (x + h) − f (x)

h

2


√ x +

√ 1 − x

f (x) =√ x2 − 3x + 2

f (x) = 1

|x2

−4

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f


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FuncionesEjercicios


Ejercicios de funciones

1 Evalue la función como se indica, determine su dominio y rango:

f (x) =

2x + 1 si x < 0

2x + 2 si x ≥ 0f (1)

f (0)


F i

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEj i i d f i


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FuncionesEjercicios




f (x) =

2x + 1 si x < 0

2x + 2 si x ≥ 0f (1)

f (0)

f (−2)


Funciones

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funciones


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FuncionesEjercicios




f (x) =

2x + 1 si x < 0

2x + 2 si x ≥ 0f (1)

f (0)

f (−2)

f (t2 + 1)


Funciones



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FuncionesEjercicios




f (x) =

2x + 1 si x < 0

2x + 2 si x ≥ 0f (1)

f (0)

f (−2)

f (t2 + 1)

2 Dada la función f (x) =

2x + 1 si x < −102x + 2 si |x| ≤ 1

−1 six > 3Encuentre su dominio y recorrido


Funciones



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FuncionesEjercicios




f (x) =

2x + 1 si x < 0

2x + 2 si x ≥ 0f (1)

f (0)

f (−2)

f (t2 + 1)


2x + 1 si x < −102x + 2 si |x| ≤ 1


Trace la gráfica.


Funciones



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FuncionesEjercicios




f (x) =

2x + 1 si x < 0

2x + 2 si x ≥ 0f (1)

f (0)

f (−2)

f (t2 + 1)


2x + 1 si x < −102x + 2 si |x| ≤ 1


Trace la gráfica.


Funciones



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Ejerciciosj

Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas


Un granjero tiene 400 metros de cerca con las que desea construir tres

lados de un corral rectangular. Una pared existente formará el cuarto

lado. Exprese el área del corral en función del lado perpendicular a la

pared.

Una mujer de 5 pies de altura está cerca de un farol de 12 pies de altura.

Exprese la longitud de su sombra como una función de la distancia de la

mujer a la base del farol.


Funciones



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Ejercicios Funciones pares e imparesFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas


Un granjero tiene 400 metros de cerca con las que desea construir tres

lados de un corral rectangular. Una pared existente formará el cuarto

lado. Exprese el área del corral en función del lado perpendicular a la

pared.

Una mujer de 5 pies de altura está cerca de un farol de 12 pies de altura.

Exprese la longitud de su sombra como una función de la distancia de la

mujer a la base del farol.


FuncionesEj i i

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesF i i


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Tipo de funciones

Definición

Una funci´ on f es par si cumple la condici´ on f (−x) = f (x) para todox ∈ Df .

Una funci´ on f es impar si cumple la condici´ on f (−x) = −f (x) para todo x

∈Df .

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FuncionesEj i i

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesF i i


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Tipo de funciones

Definición



∈Df .


FuncionesEjercicios

Objetivos espećıficosFunciones y gráficasEjercicios de funcionesFunciones pares e impares


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Tipo de funciones

Definición



∈Df .


FuncionesEjercicios



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Tipos de funciones

Definición

Una funci´ on f es creciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) < f (x2).

Una funci´ on f es decreciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) > f (x2).


FuncionesEjercicios



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Tipos de funciones

Definición

Una funci´ on f es creciente en un intervalo I si para todo x1, x2 ∈ I tal que x1 < x2 se cumple que f (x1) < f (x2).



FuncionesEjercicios



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j p pFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Tipos de funciones

Definición

Una funci´ on f es creciente en un intervalo I si para todo x1

, x2 ∈

I tal

que x1 < x2 se cumple que f (x1) < f (x2).



FuncionesEjercicios



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j p pFunciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Tipos de funciones

Definición

Una funci´ on f es inyectiva o uno a uno, si cada elemento y ∈ Rf es imagen de un ´ unico elemento x ∈ Df . Simb´ olicamente;

para todo x1, x2 ∈ Df , x1 = x2 =⇒ f (x1) = f (x2)

De manera equivalente, f es inyectiva si:

para todo x1, x2 ∈ Df , f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2


FuncionesEjercicios



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Funciones crecientes y decrecientesFunciones inyectivas y funciones sobreyectivas

Tipos de funciones

Definición

Una funci´ on f : A =⇒ B es sobreyectiva, si cada elemento y ∈ B es imagen de alg´ un elemento x ∈ A. Es decir, si el rango de f coincide con el codominio B (Rf = B).


FuncionesEjercicios


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Ejercicios

Determine si la función f (x) = 1x

es inyéctiva, sobreyectiva, ambas o

ninguna. Haga la gráfica usando tabulación.


FuncionesEjercicios


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gráfica de f (x) = 1

x


FuncionesEjercicios


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Ejercicios

Determine si la función f (x) = 2x3 − 4 es inyectiva, sobreyectiva,ambas o ninguna. Haga la gráfica usando tabulación.


FuncionesEjercicios


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gráfica de f (x) = 2x3 − 4


FuncionesEjercicios


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Determine si la función f (x) =√

4−

x2 es inyectiva, sobreyectiva,

ambas o ninguna. Haga la gráfica usando tabulación.


FuncionesEjercicios


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gráfica de f (x) =√

4 − x2


sesión 1 (cálculo diferencial)

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