aplicaciones en cálculo diferencial

8/18/2019 Aplicaciones en Cálculo Diferencial

1/24

CÁTEDRA:

LENGUAJE DEPROGRAMACIÓN

CATEDRÁTICO:

Ing. Ms. LÓPEZ GUTIERRÉZ Helmer

ESTUDIANTES:

DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"LEÓN CÓNDOR R#$"n" N#%el&

SEMESTRE: II SECCION: 'D(

)ACULTAD DE

INGENIER*A+U*MICAPROGRAMAS DE CÁLCULO DI)ERENCIAL

HUANCAYO-2012-


2/24

CÁLCULO DIFERENCIAL

LIMITES

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de unasucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión ofunción se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisisreal y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptosfundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entreotros.

L,m!-e e /n" 0/n1!2n

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite. ímite de una función.

En análisis real para funciones de una variable, se puede !acer una definiciónde límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores quetoma la función dentro de un intervalo se van apro"imando a un punto fi#adoc, independientemente de que $ste pertenezca al dominio de la función. Estose puede generalizar a%n más a funciones de varias variables o funciones endistintos espacios m$tricos.

&nformalmente, se dice que el límite de la función f(") es cuando " tiende ac, y se escribe'

i se puede encontrar para cada ocasión un " suficientemente cerca de c talque el valor de f(") sea tan pró"imo a como se desee.

ara un mayor rigor matemático se utiliza la definición $psilon*delta de límite,que es más estricta y convierte al límite en una gran !erramienta del análisisreal. u definición es la siguiente'

+El límite de f(") cuando " tiende a c es igual a si y sólo si para todo n%meroreal mayor que cero e"iste un n%mero real - mayor que cero tal que si ladistancia entre " y c es menor que -, entonces la distancia entre la imagen de "y es menor que unidades+.


3/24

Esta definición, se puede escribir utilizando t$rminos lógico*matemáticos y demanera compacta'

COMANDOS +UE UTILIZAMOS PARA L*MITES:

• imit (f,",") se calcula límite.• imit (f,",",/ rig!t/) se calcula el limite lateral por la derec!a.• imit (f,",",/left/) se calcula el limite lateral por la izquierda.• retty ' &mprime la e"presión simbólica.• olyval ' Eval%a al polinomio.• yms' 0cceso directo para construir ob#etos simbólicos.• 1rin on ' ara colocar una re#illa en los puntos marcados sobre los e#es.

EJERCICIOS EN EL PROGRAMAMATLA3 4 LIMITES

PROGRAMA N56

clc2 3413050 030 6003 E &5&7E 43 0 8E3E960 E&:;


4/24

disp(=******************************************= )

0&80

!allando el limite

******************************************

******************************************

y >

*(("A? B " B ?@)A(FC?) * (?@ * ")A(FC?))C("A? B ?D")

********************************************************

909

*FCF

***********************************************

909


5/24

l>limit(n,",?)disp(=fue !allado el limite=)disp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(=E 3EEI7030 0 130J&90 8E 4&I45&4=)f>KG,*?,@,HL ">*M'.F'M

y>polyval(f,") plot(",y,=rD=) title(=130J&90 8E 4&I45&4 8084=) grid on "label(=845&I&4=)ylabel(=30I14=) disp(=J&IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIIII=)

0&80

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

!allando el limte

n >

GD"AG * ?D"A? B @D" * H

resultado del limite de y'

l >

FN

fue !allado el limite

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

E 3EEI7030 0 130J&90 8E 4&I45&4

J&IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIII


6/24

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200GRAFICA DEL POLINOMIO DADO

DOMINIO

R A N G O

PROGRAMA N58

clc 2borra lo escrito y desplegado en la ventana de comandosclear all 2inicializa el espacio de traba#o en =sborra las variablesclose all 2cierra todas las ventanas abiertas (... de figuras)2 previassyms " t O 2declaracion de un ob#eto sumbolico2********************* E#emplo F ***********************disp(=PPPPPPPPPP3413050 030 4Q7EIE3 &5&7EPPPPPPPPPPPPPP =)disp(= =)disp(=************DDD4Q7EI9&4I 8E &5&7EDDD**********=)disp(=***R 130J&90 8E &57E 8E >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(=ySF(") > =)

pretty(ySF)disp(=limite lateral izquierdo de ySF("), "*T M> =)limSFF > limit(ySF,",M,=left=) 2limite lateral izquierdo

pretty(limSFF)


7/24

disp(=limite lateral derec!o de ySF("), "*T M> =)limSF? > limit(ySF,",M,=rig!t= ) 2limute lateral derec!o

pretty(limSF?)disp(=limite de ySF("), "*TM > =)limSF>limit(ySF,",M) 2limite de una funcion

pretty(limSF)

disp(= *********************************************************** =)figure(=Iame=,=E#emplo F=)ezplot(ySF)grid on title(=ySF > *"A? B ?D" B ? =)2*******************************************************************disp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDJ&I 8E3413050DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)

SALIDA DEL PROGRAMA:

5555555555PROGRAMA PARA O3TENER LIMITES55555555555555

444444444444999O3TENCION DE LIMITES9994444444444

444 GRA)ICAS DE LIMTE DE UNA )UNCION444

INTEGRANTES DEL E+UIPO:

LEON CONDOR R#$"n" N#%el&DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

444444444444 PROGRAMA PARA O3TENER LIMITE:44444444444

LATERAL DERECHO

LATERAL IZ+UIERDO

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

& ;

7

4 $ ? 7 $ ? 7


8/24

-6 -4 -2 0 2 4 6

-50

-40

-30

-20

-10

0

x

y1 = -x2 + 2*x + 2

l!m!-e l"-er"l !@/!er# e &B $4 ;

4

l!m!-e l"-er"l ere1%# e &B $4 ;

4

l!m!-e e &B $4 ;

4

44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

9999999999999999999999999)IN DELPROGRAMA9999999999999999999999999999

PROGRAMA N5

clc 2borra lo escrito y desplegado en la ventana de comandos

clear all 2inicializa el espacio de traba#o en =sborra las variablesclose all 2cierra todas las ventanas abiertas (... de figuras)2 previasdisp(=PPPPPPPPPP3413050 030 4Q7EIE3 &5&7EPPPPPPPPPPPPPP =)disp(= =)disp(=************DDD4Q7EI9&4I 8E &5&7EDDD**********=)disp(=***R 130J&90 8E &57E 8E


9/24

disp(= E4I 94I843 3o"ana Io!ely =)disp(= 8E 0 VE10 8E 0 340 8iana=)disp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(= ************ 3413050 030 4Q7EIE3 &5&7E'*********** =)disp(= 07E30 8E3E964 =)disp(= 07E30 &:;>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)syms " t O 2declaracion de un ob#eto sumbolicoySM>FC("*F)disp(= =)disp(=ySM(") > =)

pretty(ySM)disp(=limite lateral izquierdo de yS?("), " *T F > =)

limSMF > limit(ySM,",F,=left=) 2limite lateral izquierdo pretty(limSMF)disp(=limite ateral derec!o de yS?("), "*T F > =)limSM? > limit(ySM,",F,=rig!t=) 2limite lateral derec!o

pretty(limSM?)disp(=limite de ySG("), " *T F > =)limSM > limit(ySM,",F) 2limite de una funcion

pretty(limSM)disp(=**********************************************************= )figure(=Iame=,=E#emplo ?=)

ezplot(ySM)grid ontitle(=ySM> FC("*F)=)2 ***************************************************************disp(=PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP J&I PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP=)






LEON CONDOR R#$"n" N#%el&


10/24

DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

444444444444 PROGRAMA PARA O3TENER LIMITE:44444444444

LATERAL DERECHO

LATERAL IZ+UIERDO

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; & ;

6

44444

$ 4 6

l!m!-e l"-er"l !@/!er# e &B $ 4 6 ;

4In0

l!m!-e "-er"l ere1%# e &B $4 6 ;

In0

l!m!-e e &B $ 4 6 ;

N"N

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

55555555555555555555555555 )IN 555555555555555555555555555555


11/24

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

y4= 1/(x-1)

PROGRAMA N5F

clc 2borra lo escrito y desplegado en la ventana de comandosclear all 2inicializa el espacio de traba#o en =sborra las variablesclose all 2cierra todas las ventanas abiertas (... de figuras)2 previasdisp(=PPPPPPPPPP3413050 030 4Q7EIE3 &5&7EPPPPPPPPPPPPPP =)

disp(= =)disp(=************DDD4Q7EI9&4I 8E &5&7EDDD**********=)disp(=***R 130J&90 8E &57E 8E


12/24

disp(=*********************************************************= )figure(=Iame=, =E#emplo @= )ezplot(yS@)grid ontitle(=yS@ > (*D"AM B "A? B F) C (?D"AM * ")=)a"is(K* M *F FL)

disp(= DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD VE0E 0 &501EIDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(= DDDDDDDDDDDDDDDDDDD Jin del rograma DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)






LEON CONDOR R#$"n" N#%el&

DE LA EGA DE LA ROSA D!"n"

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

44444444444444444444444444 eeml# F 44444444444444444444444444

& ;

7

4 $ ? $ ? 6

4 444444444444444

$ 4 7 $

l!m!-e e &B $4 ?!n0 ;

48

99999999999999999999 EASE LA IMAGEN 9999999999999999999999


13/24

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y5 = (-6*x

4 + x

2 + 1) / (2*x

4 - x)

9999999999999999999 )!n el Pr#gr"m" 9999999999999999999999

DERIADASDERIADAS DE ORDEN SUPERIOR:

DERIADAS SUCESIAS:

i' y > f(") as notaciones empleadas para las derivadas de orden superior son'

dy

dx= y ' .. 65 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.

d

dx ( dydx )× d2

y

dx2= y ' ' 75 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.

d

dx (d2 y

d x2 )× d

3 y

dx3 = y ' ' ' ... 85 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.


14/24

. . .

d

dx

(d

n−1 y

d xn−1

)×

dn y

dxn = yn

.... 5 er!"" e '&( 1#n rese1-# " '$(.

Eeml#' 6alle la siguiente derivada !asta su mínima e"presión.

& ; $K?89$

S#l/1!2n:

dydx ; M(")

G B G(F) . 65 er!""

d2

y

dx2 > F?(")? B . 75 er!""

d3

y

dx3 ; ?M(")F . 85 er!""

d4 y

dx4 ; ?M(F) . 5 er!""

d5 y

dx5 ; . F5 er!""

DERIADA PARCIAL DE RESECTO A '$( RESPECTO A '&(:

"> De0!n!1!2n: ea f una función de dos variables ", y. a derivada parcial

de f 1#n rese1-# " $ es aquella función denotada por∂ y

∂ x ( x , y ) , tal

que su valor en cualquier punto (", y) ϵ 8 esta dado por'


15/24

∂ y

∂ x ( x , y ) ; logh →0

f ( x+h , y )−f ( x , y )h

iempre que e"iste este límite. En este caso' ! > ∆ " > " W ".

> a derivada parcial de 0 1#n rese1-# " & es aquella función, denotada por'

∂ y

∂ x ( x , y ) ; logk →0

f ( x , y+k )−f ( x , y )k

iempre que e"iste este límite. En caso' X > ∆ y > y W y.

Este proceso de !allar una derivada parcial se llama 8&JE3EI9&09&YI.

N#-": 9uando se aplican las reglas de derivación tener en cuenta la siguienterecomendación'

"> En el proceso de !allar'∂ f

∂ x B '&( es constante.

>∂ f

∂ y , '$( es constante.

Eeml#:

8ada 0=$B&> ; $K8 ? 89$

S#l/1!2n:

a)

∂ f

∂ x > G(")? BG(F)

b)∂ f

∂ y >

En l" n#s res/l-" 1er# #r /e n# e$!s-e &.


16/24

COMANDOS +UE UTILIZAMOS PARA L*MITES:

8iff(f,")' 9alcula la diferencia y apro"imación de la derivada. Jprintf(=ZnZn=)' ermite la visualización de un valor num$rico, e indica la

posición de la variable en la siguiente línea. Ezplot' 8ibu#a la e"presión de la función. yms' 0cceso directo para construir ob#etos simbólicos.

EJERCICIOS EN EL PROGRAMAMATLA3 4 DERIADAS

PROGRAMA N56

clc2limpia la ventana de comandosclear all2limpia la memoriadisp(= 0=,=s=)disp(=D3&5E30 8E3&V080=)a>diff(f,")disp(a)disp(=DE1diff(a,")disp(b)disp(=D7E39E30 8E3&V080=)c>diff(b,")disp(c)disp(=D9diff(c,")disp(d)


17/24

disp(=D;diff(d,")disp(e)subplot(F,?,F), ezplot(a)grid onylabel(= E#e R =) "label(= E#e [ =)

subplot(F,?,?), ezplot(d)grid onylabel(= E#e R =) "label(= E#e [ =)disp(=.................................................................=)disp(= D J&I 8E 3413050 D =)

PROGRAMA DE SALIDA:

ALUMNAS:

9LEÓN CÓNDORB R#$"n" N#%el&

9DE LA EGA DE LA ROSAB D!"n"

.........................................................

9Pr#gr"m" "r" %"ll"r: 9

99 DERIADAS SUCESIAS99 9

.........................................................Ingrese l" 0/n1!2n 0=$>;$K?89$

9PRIMERA DERIADA

9$K8 ? 8

9SEGUNDA DERIADA

679$K7

9TERCERA DERIADA

79$

9CUARTA DERIADA

7


18/24

-5 0 5

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

Eje X

4 x3 + 3

E j e Y

-5 0 5

23

23.2

23.4

23.6

23.8

24

24.2

24.4

24.6

24.8

25

Eje X

24

E j e Y

9+UINTA DERIADA

.................................................................

9 )IN DEL PROGRAMA 9

PROGRAMA N5 7

clcclear all 23413050 030 6003 8E3&V080 039&0E y <130J&90!>FO!ile !>>F 2mientras ! sea igual a F

clcdisp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(= 4Q7EI9&4I 8E 0 8E3&V080 =)disp(= 039&0 3EE974 a [ e R =)disp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)disp(=.......>) 34[0I0 I46ER E4I 94I843 ............=)


19/24

syms " y z 2la funcion syms define como variables a [ e Rfprintf(=ZnZn=)0>input(=&I13EE 0 Jinput(=presione F para continuar y ? para finalizar' =)if !>>? 2si ! es igual a ? endendendfprintf(=ZnZn=)fprintf(=ZnZn=)

input(=presione enter...=)clcdisp(= J&I 8E 3413050 =)disp(= >) #um#um#um ^*T** =)



20/24

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

O3TENCION DE LA DERIADA

PARCIAL RESPECTO " e

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

.......;> ROANA NOHEL LEÓN CÓNDOR .....

INGRESE LA )UNCION 0=$B&>:$K8?89$

444444444444444444444444444

LA DERIADA RESPECTO A ES:

89$K7 ? 8

444444444444444444444444444

LA DERIADA RESPECTO A ES:

res!#ne 6 "r" 1#n-!n/"r & 7 "r" 0!n"l!@"r: 7

res!#ne en-er...

)IN DEL PROGRAMA


21/24

Eje x

E j e

z

Derivada respecto a x

-5 0 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

-5 0 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

Eje y

Derivada respecto a y

E j e

z

EJERCICIO N58

function derivadaclcdisp(=>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>=)

disp(=*****************DDD4Q7EI9&4I 8E 0 8E3&V080DDD***************=)disp(=***R 130J&90 8E 0 Jdiff(0)disp(=la derivada de la funcion será'=)disp(Q)disp(=0 continuacion se mostrarán las graficas' =)

disp(=rimero de la Juncion inicial=)disp(=uego de la funcion derivada=)subplot(F,?,F), ezplot(y*0)subplot(F,?,?), ezplot(y*Q)

SALIDA

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;


22/24

-5 0 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

z

z - 2 x - 5 = 0

-5 0 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

z

z

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

!ngrese 0/n1!#n:$K7?F9$?

M ;

$K7 ? F9$ ?

N ;

79$ ? F

O ;

l" er!"" rese1-# " $ es:

79$ ? F

l" er!"" rese1-# " & es:

GRA)ICO DE LA )UNCION

GRA)ICO DE LA )UNCION DERIADA

EJERCICIO N5


23/24

clc,cleardisp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(=DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD=)disp(=600I84 0 8E3&V080=)syms " yJ>=MDyA?Dsin(")B"A@ByAGD"AG=

5>diff(J,="=,G)disp(=&5&J&90I84 0 8E3&V0=)>simplify(5)

pretty(5)disp(=130J&94 8E 0 J?$KF?&K89$K8

M ; 9$K7 4 9&K791#s=$> ? 9&K8 SIMPLI)ICANDO LA DERIA

S ; 9$K7 4 9&K791#s=$> ? 9&K8

7 7 8 $ 4 & 1#s=$> ? &

GRA)ICO DE LA )UNCIONGRA)ICO DE LA )UNCION A DERIADA


24/24

-5 0 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

EJE X

E J E

Y

GRAFICA DE LA FUNCION

-5 0 5

-6

-4

-2

0

2

4

6

EJE X

E J E Y

GRAFICA DE LA FUNCION DERIVADA

)INNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN

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