cálculo diferencial e integral i - ciencias exactas csjic · pdf file4 reglas de...

Cálculo Diferencial e

Integral I

2

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2008. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 3,468 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Académico Profr. Adrián Esquer Duarte Director Administrativo C.P. Gilberto Contreras Vásquez Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas Director Financiero Lic. Oscar Rascón Acuña CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Primera edición 2008. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado Supervisión Académica: Jesús Arely Meza León Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Profr. Adrián Esquer Duarte

3

COMPONENTE:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

GRUPO:

FÍSICO-MATEMÁTICO Y ECONÓMICO-

ADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las

asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo

Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo

Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________

Plantel: _________________________________________________________

Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________

Domicilio: _____________________________________________________

______________________________________________________________

Ubicación Curricular

4

Reglas de derivación

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Aplicaciones

Valores máximos y mínimos

Optimización en las ciencias naturales y

sociales

Graficado de curvas complejas

Límites y continuidad

Derivadas

Funciones elementales

Funciones trascendentes

A problemas de

Inician con el conocimiento de

Conforman las

Se aplican

Para derivar se usan

Se utilizan en

Mapa Conceptual de la Asignatura

5

Recomendaciones para el alumno ...................................................................... 7 Presentación .........................................................................................................8 UNIDAD 1. LÍMITES ................................................................................... 9 1.1. Límites. ..........................................................................................................11 1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. ........................................11 1.1.2. Teorema o propiedades de los límites ...............................................16 1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. .................................18 1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito .................................................23 1.2. Teorema de continuidad de una función .....................................................29 1.2.1. Condiciones de continuidad ...............................................................30 1.2.2. Teoremas de valor intermedio y de valores extremos ........................33 Sección de tareas ................................................................................................35 Autoevaluación .....................................................................................................45 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................47 UNIDAD 2. LA RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA .............................. 49 2.1. La derivada ........................................................................................................... 51 2.1.1. Razón de cambio promedio e instantánea .............................................. 51 2.1.2. La derivada como razón de cambio instantánea .................................... 56 2.1.3. Interpretación geométrica de la derivada ................................................ 57 2.1.4. Diferenciabilidad en un intervalo ............................................................... 61 2.2. Reglas de derivación ............................................................................................ 65 2.2.1. Reglas de la potencia ................................................................................ 65 2.2.2. Reglas del producto y del cociente de funciones ................................... 68 2.2.3. Regla de la cadena .................................................................................... 69 2.2.4. Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas ............................................................................ 71 2.2.5.- Derivadas de funciones: exponencial y logarítmicas .............................. 76 2.3. Derivación implícita ............................................................................................... 77 2.4. Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal .......................................................................................................... 81 Sección de tareas ................................................................................................87 Autoevaluación .....................................................................................................97 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................101

Índice

6

UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS

APLICACIONES ....................................................................... 103 3.1. Aplicaciones de la primera derivada ................................................................... 105

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada .................................................................................. 105 3.1.2. Derivadas de orden superior .................................................................... 111 3.1.3. Cálculos de Valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada ...................................................................................... 111 3.1.4. Funciones crecientes y decrecientes ...................................................... 114

3.2. Concavidad .......................................................................................................... 118 3.2.1. Criterio de la segunda derivada. .............................................................. 118 3.2.2. Puntos de inflexión .................................................................................... 120 3.2.3. Trazado de Curvas .................................................................................... 121

3.3. Aplicaciones de la derivada ................................................................................. 123 3.3.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ......................................... 123 3.3.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales .................................................................................................... 127

Sección de tareas ............................................................................................... 131 Autoevaluación .................................................................................................... 139 Ejercicio de reforzamiento ................................................................................... 141 Claves de respuestas .......................................................................................... 143 Glosario ............................................................................................................... 144 Bibliografía ........................................................................................................... 146

Índice (continuación)

7

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos

temáticos a revisar en clase. Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de

medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o

reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en

cada unidad. Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario

que aparece al final del módulo. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de

aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

Recomendaciones para el alumno

8

El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje, pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales. La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales, tales como: La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes

ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes.

El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de sus impactos social, económico y ambiental.

La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.

En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología. La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones para su problemática.

Presentación

UUnniiddaadd 11

LLíímmiitteess..

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Temario:

Límites. Teorema de continuidad de una

función.

Cálculo Diferencial e Integral I

10

Mapa Conceptual de Unidad

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

LÍMITES

LÍMITES TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA

FUNCIÓN

NOCIÓN INTUITIVA

TEOREMA O PROPIEDADES

FUNCIONES

INFINITOS Y EN EL INFINITO

CONDICIONES DE CONTINUIDAD

TEOREMAS DE VALORES INTERMEDIO

Y EXTREMO

11

Límites

LLÍÍMMIITTEESS

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. Investigaremos qué sucede con las imágenes de f(x) cuando los valores de la variable independiente (en este caso x) se acercan al valor específico x=c, tanto por la derecha como por la izquierda. Haremos esto tabulando los valores de la función para los valores de x cada vez más cercano al número. Consideramos la función f(x)=x+5 cuando x se acerca a -2.

Como podemos observar que cuando x se acerca a -2 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 3, esto es, cuando x está muy cerca de -2, f(x) está próximo a 3. Este comportamiento se representa matemáticamente por medio del concepto de límites de una función, decimos en este caso que 3 es el límite de la función, cuando x tiende a -2 y lo escribimos como: F(x) 3 cuando x -2 Izquierda derecha La noción que se adquiere de que f(x) tiende al número L cuando x tiende al número C, se detiene en general como la noción intuitiva de límite de la siguiente manera: Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número A por ambos lados, entonces concluimos que “El límite de f(x) es L cuando x tiende a C”. El límite de una función se puede denotar de 2 formas: Lim f(x) = L ó F(X) = L1 SI X C

11..11..

x F(x) -2.1 2.9 -2.01 2.99

-2.2001 2.999 -2.0001 2.9999 -2.00001 2.99999

x F(x) -1.9 3.1 -1.99 3.01 -1.999 3.001 -1.9999 3.0001 -1.99999 3.00001

La abreviación Lim fue usada, por primera vez, por Ginebrino Simón A.J. Ihuilier (1750-1840) en 1786 y la usó también Cauchy.


12

Aquí también podemos definir los límites laterales como: A) L, es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a C por la izquierda y lo

representamos como: Lim f(x)=L cuando x<c, se observa que f(x) se aproxima a L1.

X C B) L2 es el límite de f por la derecha cuando x tiende a C por la derecha y lo Representamos como: Lim f(x) =L2 cuando X>C se observa que f(x) se aproxima a L2

X C Propiedades de los límites laterales: El límite de la función f en x=c existen sus límites laterales y estos son iguales, por lo que tenemos: Lim f(x) = lim = lim f(x) X C X C X C Pero si sucede lo contrario, cuando los límites laterales son diferentes, se dice que el límite no existe y se representa como: Lim f(x) =E Ejemplo 1. Dada la función f(x)= x2-25 X – 5 Elabora la tabla y la gráfica de la función y determina lim f(x) X 5

Derecha Izquierda Podemos observar que cuando x se acerca a 5 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 10, esto es cuando x está muy cerca de 5, f(x) está próxima 6 y lo escribimos como: F(x) 10 cuando x 5 O en su forma formal: lim X2 - 25 = 10 X - 5

x F(x) 5.1 10.1 5.01 10.01 5.001 10.001 5.0001 10.0001 5.00001 10.00001

x F(x) 4.9 9.9 4.09 9.99 4.009 9.999 4.0009 9.9999 4.00009 9.99999

Es importante saber que la existencia de una función f no depende si f está realmente definida C, sino solamente si f está definida para x cerca de C.

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.límitesmatemáticos.com

13

Límites

Al graficar la función, se observa que efectivamente, los valores de la función andan cerca de 10 cuando x se encuentra alrededor de 5. F(x) 10 Izquierda derecha A veces nos preguntamos por qué tenemos que hacer tanto procedimiento para determinar que lim x+5 = 3 X -2 Cuando por sustitución directa de x= -2 se encuentra el mismo resultado en la forma por demás más simple. Recuerda que aquí nos interesa encontrar el concepto de límite de una función y no el proceso mecánico para evaluar o determinar un límite. Debes observar que en casos como lim X2 -25 X – 5 Si se sustituye x por 5 no es posible, esto nos lleva a una determinación en que para determinarlo requiere de artificios que nos permitan simplificar el factor que produce la indeterminación, en este caso sólo con factorizar así: (x-5)(x+5) = x+5, si x=5 X – 5 Esto se verá cuando se apliquen los teoremas de límites en funciones independientes. Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén lim f(x) para la función: f(x) =2/x-2/ si x<3 x 2 El dominio de esta función son todos los números reales, como se vio en Matemáticas 4, sabemos que la gráfica de la primera parte de la función nos dará una forma de ver la otra parte de la función, nos dará media parábola. Lo que nos interesa es saber si las dos partes se unirán en un punto o nos apoyaremos en la recta numérica para saber que sucede para estos valores de x. Cuando x≥3 nos dice que se incluye el 3 en el dominio de la segunda parte de la función. En cambio si x<3 nos dice que es abierta y no se incluye absoluto, por lo que se pone paréntesis al 3 y a lo que resulte al momento de sustituirlo, por lo que la tabla de valores nos quedará:


14

X < 3 X ≥ 3

La gráfica correspondiente a la función dada es: Aquí se nota en la gráfica que las dos partes de la función quedan separadas. Ahora vemos qué pasa con este comportamiento en la obtención de límites. Elaboramos las tablas con x 3+ y con X 3- en la función. X 3+ X 3-

Lim f(x)=2 Lim f(x)=1 X 3+ X 3- Llegamos a que estos dos límites son diferentes, por lo tanto el límite buscado no existe: Lim f(x) = E X 3+ Nota: En este caso el límite no existe, aunque este definida la función f(3). Interpretación de la gráfica: Ambos lados x=3, la función se dirige a diferentes puntos; por la izquierda a (2,3) y por la derecha, hacia (3,1)

x F(x)=X-3+1 3 1 4 2 5 2.41 6 2.73 7 3

x F(x)=2/X-2/ -1 6 0 4 1 2 2 0 3 2

x F(x)=2/X-2/ 2.9 1.8 2.99 1.98 2.999 1.998 2.9999 1.9998 2.99999 1.99998

x F(x)=X-3+ 3.1 1.31 3.01 1.1 3.001 1.03 3.0001 1.01 3.00001 1.003

15

Límites

EJERCICIO 1:

1. Dada la función f(x)=x2 – 2x + 3, completa las tablas y grafica los puntos para obtener el límite de la función cuando x tiende a 2.

X F(X) X F(X) 2.1 1.9 2.01 1.99 2.001 1.999 2.0001 1.9999 2.00001 1.99999 f no está definida para x=-3 1 2 x

2. ¿Qué observas de los valores de la función conforme x se acerca al número C por la izquierda (x<c) y por la derecha (x>c)?

3. ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (si o no)?

4. Si la respuesta es afirmativa o negativa ¿Cómo se representaría en su forma formal?

5. Escribe las notaciones de límite en el tipo de límite que representa. a) Lim f(x()=L ( ) Límite por la derecha X C b) Lim f(x)=L1 ( ) Límite de una función X C-

c) Lim f(x)=L2 ( ) Límite por la izquierda X C+

¿Notaste que los teoremas pueden estar combinados?

TAREA 1

Página 35.

-3 -2 -1


16

1.1.2. TEOREMA O PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. En la sección anterior nos enfocamos a la tarea de llegar a la noción intuitiva de límites de manera informal. Encontramos que no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de valores para obtenerlo. Por consiguiente, daremos la estructura de cómo se denotan las propiedades o teoremas de los límites de funciones y que nos permiten, en algunos casos, encontrar los límites de una función de una manera mecánica o directa. 1. Si K es una constante: Limk=k si k es una constante Ejemplo: x c (Teorema básico)

Lim 3=3 X 1

2. Si x es una identidad: Limx=e si x es una identidad Ejemplo: x c (Teorema básico)

Lim x =-6 X -6

3. Si k es una constante que se multiplica por una identidad: Lim kx=kLimx = k(c) si x es una constante y x sea una identidad

x c (También se le conoce como múltiplo escolar) Lim 7x = 7Limx= 7(2)=14

x 2 x 2 4. El límite de la suma o diferencia de funciones: Lim [f(x) +-g(x)1]=Lim f(x)+- lim g(x) x 2 x 2 x 2 Ejemplo:

Lim (3x+5)= Lim 3x + Lim5 = 3 Limx + Lim 5 X 2 x 2 x 2

=3(2)+5=6+5=11 5. El límite del producto de funciones: Lim [f(x). g(x)] = Lim f(x). Lim g(x) Ejemplo:

Lim x(x-3) = Lim x.Lim (x-3)

Lim x [lim x – lim3]

=2(2 – 3) = 2(-1)= -2

X 2 X 2

X 2 X 2

X 2 X 2

X 2

17

Límites

6. El límite del cociente de funciones:

Lim [ f(x)/g(x) ] = lim f(x) , si Lim g(x) ≠0 X c x c

lim g(x)

Ejemplo: Lim [ x/7x-1] = Lim x = Lim x x 4 x 4 Lim(7x-1) Lim 7x – Lim 1 x 4 x 4 x 4 Lim x

x 4 = 4 = 4 = 4 7Limx – Lim7 7(4)-7 28-1 27

7. El límite de una función elevada a una potencia: Lim xn = [ Lim x ] n = cn (nen) (Teorema básico) x c x c Ejemplo:

Lim x2 = [Lim x ]2 =72 = 49 x 7 x 7

8. El límite para funciones con radicales, Lim n√f(x) = n√Lim f(x)

x c Siempre y cuando cumpla con las siguientes condiciones: a) si n es par, f(x) ≥ 0 Ejemplo:

Lim √2x = √Lim 2x = √2Lim = √(2)(2) = √4 = 2 x 2 x 2 x 2

b) si n es impar, f(x) es cualquier real. Ejemplo:

Lim √6x – x2 = √Lim 6x – x2 = √6Limx – Lim x2 x 3 x 3 x 3 x 3

√6Limx - [ Limx ]2 = √6(3)-(3)2 = √18-9 = √9 = 3 x 3 x 3

X c Recordar Factorización. 1. Factor común. 2. La diferencia de cuadrados perfectos. 3. Trinomios cuadrados perfectos. 4. Trinomios cuadrados imperfectos. Como también la racionalización y funciones.

TAREA 2

Página 37.

X 2


18

1. En el recuadro escribe el nombre del teorema del límite o la forma en que se denota el teorema, según lo que aparecerá en las columnas. Revisa la primera celda. Límite de la suma de funciones Lim[f(x).g(x)] = Lim f(x)+Limg(x) x c x c x c

Límite de la diferencia de funciones.

Lim [f(x).g(x)] = Lim f(x).Limg(x) x c x c x c

Límite del cociente de una función.

Límite de una función elevada a una potencia.

Lim K=c x c

Lim k x=kLimx x c x c

El límite de una función elevada a una potencia.

2. Relaciona mediante líneas la columna de la derecha con la columna de la izquierda lo siguiente: Lim 3x = 3(-1) Lim k = c x -1 x c Lim √5 = √5 Lim x = c x 1/2 x c Lim x= -7 Lim kx =k.c x -7 x c Lim x3 = 43 =64 Lim xn = xc x 4 x c 1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Al desarrollar este subtema, encontraremos que existen funciones indeterminadas que no se pueden evaluar y que nos indican que su límite no existe o que su valor es infinito. Sabemos que el resultado del límite de una función es un valor real, utilizaremos técnicas que nos convertirán en funciones determinadas. Ejemplo 1: Hallar: Lim (4x2+3) x 2 Solución: Lim (4x2+3) = Lim 4x2 + Lim 3 Teorema 4 x 2 x 2 x 2 = 4[Lim x2] + Lim3 Teorema 3 x 2 x 2 = 4(2)2 + 3 = 4(4)+3 =16 + 3 = 19 Nótese que Lim (4x2 + 3) es un límite (para x 2) de la función polinómica p(x)=4x2+3 no es sino el valor de p en x=2

EJERCICIO 2

19

Límites

Lim p(x)=p(2) = 4(2)2 + 3 = 19 x 2 La propiedad de la sustitución directa es válida para toda la función polinómica, tal como se establece el Teorema 9. Límite de un polinomio Si p es un polinomio y c es un número real, entonces Lim p(x) = p(c) x c Estrategias para calcular límites. 1. Aprenda a reconocer los límites calculables por sustitución directa. 2. Si el límite de f(x) cuando x c no puede evaluarse por sustitución directa, intente hallar una función g que coincida con f en todo x=c (elegir g de modo que su límite sea calculable por sustitución directa) Ejemplo 2: Hallar: Lim x2 + x + 2 x 1 x + 1 Solución: Puesto que el denominador no es cero para x =1, se puede evaluar directamente quedando: Lim x2 + x + 2 = 12 + 1 + 2 = 1+1+2 = 4 = 2 x 1 x + 1 1 + 1 1 + 1 2 Teorema 10. Límite de una función dada por r(x) es p(x)/q(x) y c es un número real tal que q(c) ≠ 0, entonces Lim r(x) = r(c) = p(c)/q(c)

x c Ejemplo 3. Hallar: Lim x2 + x – 6 x -3 x+3 Solución: Puesto que el denominador es cero para x=-3, no se puede aplicar el Teorema 10, entonces se factoriza x2 + x – 6 X2 + x -6 = (x+3)(x-2) Lim (x+3)(x-2) Técnica de cancelación x -3 x+3 Lim x2 + x -6 Lim (x-2) = -3-2 = -5 x -3 x+3 x -3


20

El resultado se ilustra en la figura. y

f(x)= x2 + x - 6 x+3 x Ejemplo 4. Hallar: Lim √x+1 -1 x 0 x Solución: Puesto que el denominador es cero para x=0, no se aplica al Teorema 10, entonces se racionaliza el numerador. √x+1 – 1 = (√x+1 - 1) (√x+1 + 1) = (√x+1)2 – 1 X x √x+1 + 1 x(√x+1+1) En consecuencia; Lim √x+1+1 = Lim 1 = 1 = 1 = 1 =1/2 x 0 x x 0 √x+1 + 1 √0+1 √1+1 1+1 Teorema 11. Límites de funciones trigonométricas s c es un número real, se verifican las siguientes propiedades: 1. Lim senx = sen c x c 2. Lim cosx = cos c x c 3. Lim tgx = tg c x c 4. Lim ctgx = ctg c x c 5. Lim secx = sec c x c

21

Límites

Ejemplos: Hallar: Lim senx = sen(0) Teorema 11 y 3 x 0 Teorema 12. Dos límites trigonométricas especiales. 1. Lim senx = 1 2. Lim 1-cosx = 0 x 0 x x 0 x * si c no está en el dominio de la función dada, el límite no existe. Ejemplo 7: Lim (senx)1-cos/x = 10 x 0 Ejemplos: Hallar: Lim tgx x 0 senx Solución: Si sustituimos directamente llegaríamos a 0/0, pero usando tgx =(sen)/(cosx), podemos reescribir la función como: tgx = (senx)(cosx) = 1 senx senx cosx Luego, Lim tgx = Lim 1 = 1 = 1 x 0 senx x 0 cosx 1 Ejemplo 9: Hallar: Lim (1+tanx) = 1+tan 45° =1+1=2 x 45° Ejemplo 10: Hallar: Lim (1+senx)3/2cosx = (1+sen00)3/2cos0 = (1+0)3/2(1) =13/2 = 1 La regla de exponente nos dice que no importa a que exponente se eleve el 1, su resultado siempre será 1.

El poder milagroso del Cálculo Moderno se debe a tres invenciones distintas: La notación arábiga, las fracciones decimales y los logaritmos. F. Cojori 1897


22

Funciones logarítmicas y exponenciales. Definición. ex es la inversa de lnx. Se sigue que el dominio de ex es el conjunto de todos los números reales y su rango es el conjunto de todos los números reales positivos. Como ex es la inversa de lnx. Propiedades de ex (Teorema 12) a) ex >0 para toda x el rango de ex es el conjunto de todos los reales positivos b) ln(ex) = x c) elnx = x Las propiedades e y b vienen del hecho que ex y lnx son inversas una de la otra. Ejemplo 11: Lim ln(ex . e2x) = Lim ln (e3x) x 5 x 5 = Lim 3x propiedad b x 5 = 3(5) = 15 Ejemplo 12: Lim [ln (4x)+2ln(3x) – ln(x+1) – 3ln(x-1)] x 2 =Lim [ln (4x)(3x)2 ] =ln [ 4(2)3(2)2 ] x 2 (x+1)(x-1)3 (2+1)(2-1)3 = ln (8)3(4) = ln (8)(12) = ln 96 (3)(1)3 (3)(1) 3 = ln 32 = 3.46 ≈ 3.5 Leyes de los logaritmos. Si m>0 y n>0, entonces 1. log m.n = logm + logn 2. log m/n = logm-logn 3. log mn=nlogm

23

Límites

1. En los ejercicios siguientes hallar el límite (si existe); a) Lim x2 + 1 = b) Lim sen x = x -1 x+1 x ▲/3 c) Lim (4 – x/2) d) Lim √2x2 – 2 = x 4 x 3 e) Lim tg (▲x) f) Lim x3 – 27 x 3 x 3 g) Lim (1+▲x)3-1 h) Lim x-3 = ▲ 0 ▲x x 3 x2-9 i) Lim esenx = j) Lim cosx x 2¶ x 90° ctgx k) Lim [ln-2x – ln (2x+3) + ln (ex) + elnx] = x 1 L) Lim esenx/x . e 1-cosx/x = x 0 M) Lim ln x3 – ln7x = x -1 2. Anota las cuatro funciones trigonométricas en donde nos dice que si c no está en el dominio de la función dada, el límite no existe. 3. Realizar la gráfica de los siguientes límites ilustrando donde la función no está definida o si está ya definida. a) Lim x - 4 b) Lim (x2-4x+1) X 4 X2 – X-12 X 2 c) Lim x3 -27 d) Lim √25-X2 X 3 X2-9 X 4 1.1.4. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO. Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha aproximado a algún número real. Trataremos ahora con límites donde x aumenta o disminuye sin fronteras. Se aplican las siguientes definiciones informales. A. Si x aumenta sin límites, se dice que tiende hacia un infinito positivo. Esto se designa por:

x +∞

B. Si x decrece sin límite, se dice que tiende a un infinito negativo. Esto se designa por:

x -∞

EJERCICIO 3


24

Consideremos la función f donde f(x) =1/x para {x : x>0} como se ilustra en la figura siguiente: f(x) = 1/x para x >0 La gráfica muestra que x se hace más y más grande, el valor de la expresión 1/x se aproximará más y más hacia cero, simbólicamente, esto es: Lim 1/x =0 x +∞ Otro ejemplo, probablemente menos obvio, puede encontrarse en la función f donde: F(x) = 3x2 X2+1 Esta función se ilustra en la figura siguiente, como también la tabla, mostrándonos lo que sucede a f(x) cuando x se hace inusitadamente mayor.

x 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000 F(x) 3/2 12/5 27/10 48/17 75/26 300

100 30000 10001

3000000 1000001

300000000 100000001

1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

25

Límites

Puede verse que según x aumente sin límite a través de reales positivas, f(x) se aproxima a 3, simbólicamente podemos afirmar esto de las siguientes maneras: F(x) 3 cuando x +∞ o Lim [3x2/x2+1] = 3 x +∞ Podemos hacer a f(x) tan cercano a 3 como se desee, haciendo a x lo suficientemente grande. Esto es, decir que el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 3 (If (x)-3l) sea tan pequeño como se desee (menor que ε) haciendo a x lo suficientemente grande (mayor que algún número N>0). Esto es también verdad para f(x) 3 según que x -∞. La siguiente definición define formalmente el límite de una función cuando x aumenta y disminuye sin límite. Definición 1. Lim f(x) = L si y sólo si para todo ε>0; эN>0 x +∞ Tal que I f(x) - Ll <ε cuando x>N Definición 2. Lim f(x) = L si y solo si para toda ε >0, ЭN<0 X -∞ Tal que I f(x)-LI <ε cuando x<N Con el objetivo de evitar el considerar a la dirección y tener que tratar con dos definiciones, presentamos la siguiente definición de un límite donde x se puede aproximar por +∞ ó -∞. Definición que se forma de 1 y 2 para límites infinitos. Lim f(x) = L si y sólo si para toda ε >0; ЭN>0 x ∞ Tal que l f(x)- L I<ε cuando IxI>N Mas allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es saber identificar lo que es un límite infinito y de manera sencilla podemos decir que un límite infinito es cuando el resultado del límite es infinito, es decir no está determinado.

El símbolo de igualdad en la expresión Lim f(x)=∞ no significa que el límite exista. Todo lo contrario, nos indica la razón de su no existencia: El comportamiento no acotado de f(x) cuando x tiende a c.

1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1

3 2 1


26

A continuación damos ejemplos de límites infinitos, tanto por la izquierda como por la derecha o de ambos lados: 1. Lim x = ∞ 2. Lim x = ∞ x 1+ x-1 x 4- X+4 3. Lim x+5 = ∞ x 5 x2-25 Resolución de límites infinitos. Encuentra qué signo debe tener ∞ en las siguientes funciones con límites, cuando x tienda a la izquierda o a la derecha. 1. Lim 3x = Se toma un valor cercano a 2 por la izquierda o por x 2- x-2 la derecha. Tomaremos 1.999 y lo sustituiremos en la función. 3x = 3(1.999) = 5.997 = -5.997 x-2 1.999-2 -0.001 Como es negativo el resultado, entonces: Lim 3x = -∞ x 2- x-2 2. Lim x2 = x 4 4-x x2 = (4.001)2 = 16.008001 = -16008.1 4-x 4-4.001 -0.001 Entonces: Lim x2 = -∞ x 4+ 4-x 3. Lim 2x – 3 = x 1/5 5x+1 2x - 3 = 2(-0.2001)-3 = -0.4002-3 = -3.4002-3 5x+1 5(-0.2001)+1 -1.0005+1 -1.0005+1 = 6800.4 Entonces: Lim 2x – 3 = +∞ x -1/5 5x+1 Límites en el infinito. En la resolución de los límites infinitos se utiliza fundamentalmente un teorema sobre límites, el cual nos dice que el límite de una constante dividida entre una variable, cuando la variable tiende a infinito, es igual a cero.

27

Límites

Lim c = 0, si c = constante x ∞ x Ejemplos: Hallar el límite de las siguientes funciones: 1. Lim 3x4 -5x3 +4x2 -3x+6 = 3x4/x4 – 5x3 + 4x2/x4 – 3x/x4 + 6/x4 x ∞ 6x4+8x3-4x2+8x+10 6x4/x4 + 8x3/x4 – 4x2/x4 + 8x/x4+10/x4 = 3 – 5/x + 4/x2 – 3/x3 + 6/x4 se aplica el teorema 6 + 8/x – 4/x2 + 8/x3 +10/x4 Lim c/x = 0 x ∞ = Lim 3/6 = 3/6 = ½ x ∞ Hay que considerar que la variable de exponente más grande debe ser el mismo en el numerador como en el denominador. De no cumplir con el requisito le asignaremos el valor cero. 2. Lim 7x2 – 3x = 7/0 = ∞ No existe x ∞ 5x + 0 Como x2 no está en el denominador, esta parte vale cero. 3. Lim 10x3 + 6 = 10x3/x3 + 6/x3 = 10/-10 = -1 x ∞ -10x3-7 -10x3/x3 – 7/x3 4. Lim 2x3 + 6 = 0/8 = 0 x ∞ 8x5 +10x Como x5 no está en el numerador, esta parte vale cero. 5. Lim 3√x + √x = x1/3 + x1/2 = 1/-1 = -1 x ∞ 3√x + √x x1/3 x1/2 Como 1/2 >1/3 entonces ½ es el mayor exponente. 6. Lim (5 – 2/x2) = Lim 5 – Lim 2/x2 = 5-0 = 5 x ∞ x ∞ 7. Lim 2x -1 = 2x/x – 1/x = 2 – 0 = 2/1 = 2 x ∞ x+1 x/x + 1/x 1 + 0 8. Lim n = Lim n/n = Lim 1 = 1/1 = 1 x ∞ n+1 x ∞ n/n+1 x ∞ 1+1/n 9. Sea f(t) el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)= 1 es el nivel normal (sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =0, se arroja materia orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de oxígeno en el estanque viene dado por: F(t) = t2 – t + 1 t2 + 1

TAREAS 3 y 4

Páginas 39 y 41.


28

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el límite para t tendiendo al infinito? Solución: Cuando t = 1, 2 y 10, los niveles de oxígeno. F(1) = 12 -1 + 1 =1/2 = 50% 1 semana 12+1 F(2) = 22 – 2 + 1 = 3/5 = 60% 2 semanas 22 + 1 F(10) = 102 – 10 + 1 = 91/101 = 90.17 10 semanas 102 +1 Lim t2 – t + 1 = 1- 1/t + 1/t2 = 1 – 0 + 0 = 1 = 10% x ∞ t2 + 1 1 + (1/t2) 1 + 0 Contesta lo que se te pide. 1. Determina el signo que debe tener ∞ en las siguientes funciones al aplicar límites infinitos: A) Lim 6x = x 3- x-3

B) Lim x2 = x 2+ 4-x C) Lim 3x – 2 = x 1-/4 4x + 1 2. Resuelva los siguientes límites en el infinito: A) Lim 4x3 + 9x2 + 3x = x ∞ 6x3 + 3x + 5 B) Lim 10x2 + 5x – 3 = x ∞ 5x2 + 3x – 5 C) Lim 10x5 -3x4 + 3x2 = x ∞ 14x9 -5x7 + 3x2 + 5

29

Límites

TTEEOORREEMMAA DDEE CCOONNTTIINNUUIIDDAADD DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN

En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el proyecto. Por ejemplo, cuando vamos caminando y encontramos un charco de agua, tenemos que brincar para poder seguir nuestro camino. En las gráficas se presenta el mismo caso; es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En caso contrario, cuando no despegamos el lápiz del papel decimos que la función es una función continua. Y cuando lo despegamos es una función discontinua. Analizaremos las siguientes figuras para obtener la definición de continuidad y discontinuidad de una manera intuitiva (informal). F(x) f(x) C x c x En forma intuitiva se puede decir La gráfica que represen- que la gráfica que representa a ta esta función, da un sal- esta función, puede dibujarse en to; o sea, hay un trazo un trazo interrumpido. interrumpido. Concluimos que es una función Concluimos que es una continua. función discontinua. En el subtema siguiente llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a establecer las condiciones para que una función sea continua.

11..22..


30

1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD. Sea la función: 1. f(x) = (x+2)(x-5) x – 5 Gráfica de la función: f(x) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 6 7 En esta función f(x) no está definida, esto nos dice que para toda x ε R, excepto cuando x=5, hay una ruptura en la gráfica en x=5 concluimos que la función f es discontinua en x=5 y continua para todos los otros valores de x≠5. Consideramos la función g: 2. g(x) = x cuando x≠3 2 cuando x=3 No por el hecho de que g(x) está definida para todos los números reales x, hay una ruptura en su gráfica en x=3 y debemos afirmar que g es discontinua en 3, teniendo a una función definida en algún punto c es una condición necesaria para la continuidad en ese punto pero no suficiente para asegurar que la continuidad exista. La siguiente definición explica la situación: Definición. Se dice que es una función f es continua en c si y sólo si las tres condiciones siguientes son verdaderas. I. f(c) está definida II. Lim f(x) existe x c III. Lim f(x) = f(c) x c Si cualquiera de estas tres condiciones falla, decimos que f es discontinua en el elemento c.

Continuidad es un intervalo abierto: Decimos que una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo.

31

Límites

Una función que es continua en toda la recta real (-∞+ -∞) se llama continua en todas partes. Existen dos tipos de discontinuidad, las evitables y las esenciales. Por lo general, la discontinuidad es evitable cuando se rompe por factorización o cuando podemos cambiar alguna de las condiciones de la función, y será esencial cuando no podemos hacer lo anterior. Si no se cumple cualquiera de las condiciones anteriores, entonces la función será discontinua en ese punto. Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes casos: 1. Una división entre cero. 2. Extraer una raíz de índice para una cantidad negativa. Si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente y no se presenta ninguno de los dos casos anteriores, la función será continua para ese valor. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en los puntos que se te indican: 1. f(x) = 2 si x= 1 2x2 + x – 3 si x ≠ 1 x – 1 Aplicando las tres condiciones: I. f(x) existe f(1)=2 cumple II. Lim f(x) existe Lim (2x+3)(x-1) = Lim 2x+3 x c x c = 2(1)+3 =2+3=5 cumple Se factoriza 2x2 + x -3: (2x+3) (x-1) III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) no cumple ya que 2≠5 x c x c Es discontinua en x=1 2. F(X) 1/x-3 aplicando las tres condiciones de continuidad, Primeramente se toma x-3 del denominador y se iguala a cero para despejar x. x-3 =0 , x= 3 f(c) existe f(3) no existe por lo que f es discontinua en x=3 3. f(x) = 2x + 1 cuando x ≥ 5 2x – 1 cuando x < 5


32

Aplicando las tres condiciones de continuidad: I. f(c) existe f(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 1 cumple II. Lim f(x) existe Lim 2x – 1 = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9 cumple x c x 5 III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) o sea 11 ≠ 9 no cumple x c x c Es discontinua en x= 5 Contesta lo que se te pide. 1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. a) f(x) 0 x2 – 1 b) f(x) = 3x + 5 c) f(x) =1/2 + x d) f(x) = x2 – 9 x+3 e) f(x) = √x-1 f) f(x) = 3x, si x ≥ 3 6x , si x ≤ 3 g) f(x) = 9x, si x <9 10, si x=9 X2, si x>9 h) f(x)= x+3, si x= 3 x-3 3x, si x>3 X2, si x<3 2. Comprueba que las siguientes funciones son continuas en todas partes. a) f(x) = 3 sen(x) b) f(x) = Ix-2I c) f(x) = 101/x d) f(x) = x/x2-1 3. Demostrar que la función f(x) = x2 – 1 es continua en x=3 4. Dada la función f(x) = 3x – 2 cuando x≥ 3 kx+1 cuando x<3

TAREA 5

Página 43.

EJERCICIO 3

33

Límites

Determina el valor de k que hará que f sea continua (-∞, +∞ ) 5. Determina si las siguientes funciones son continuas en el intervalo que se indica: a) f(x) = 3/5x + 3 , en [1,-5] b) f(x) = x – 6 , en [1,6] x – 7 c) f(x) = √5 +x , en [-5,2] d) f(x) = √3-x , en [3,7] e) f(x) = √x+2 , en [-3,2]

1.2.2. TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS. Definición de los teoremas: Teorema del valor intermedio. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en [a, b], tal que f(c)=k. El teorema de valor intermedio asegura la existencia de al menos un número c en el intervalo [a, b]. Puede, claro, haber más de uno, como se indica en la figura:

El teorema no nos proporciona un método para encontrarlo. Tales teoremas se denominan teoremas de existencia.


34

¡Ojo! Recuerda que

debes resolver la

autoevaluación y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudará a enriquecer

los temas vistos en

clase.

Teorema de valores extremos. Si f es continua es un intervalo cerrado [a, b] entonces f alcanza un valor máximo y también un valor mínimo en ese intervalo. Este teorema nos dice que en el recorrido de la función ésta deberá alcanzar un valor mayor y un valor menor. Estos valores son los valores extremos; es decir, los más alejados que tendrá la función. f(x) f(c+ S ) f(c) T(c- S )

0 x c- S c c+ S b

35

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide en cada caso y entrega resultados a tu profesor. A) Para las siguientes funciones elabora la gráfica correspondiente y construye una tabla de valores para

encontrar el límite dado.

1. Lim (1-2x) 6. Lim x2 – 9

X 1 x 3 x – 3

2. Lim √x-2 7. f(x) = 2x+1 si x<1

x c x+5 si x ≥ 1

3. Lim x2 – 2x 8. g(x) = x2 + 2x si x ≥ -1 x 0 1/4x+1/2 4. Lim f(x) x2 – 2x +3 9. Lim x2 + 5x + 6 x 2 x 6 x2+8x+16 5. Lim x + 1 10. f(x)= x2 si x < 2 x 3 x- 3 -x+6 si x >2 B) Escribe cinco ejemplos de la vida real donde se apliquen los límites. 1. 2. 3. 4. 5.

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1


36

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

37

Límites

INSTRUCCIONES: En los siguientes límites de funciones indica el teorema que se aplica y evalúalos.

a) Lim ¶ = b) Lim x= x e x -1 c) Lim 5x4 – 8x3 – 2x2 – 3x + 2 = x 1/2 d) Lim (3x2 + 2)(5x2 + 9) x √2 e) Lim (5x+1)3 = x 1 f) Lim √x2 +x x 1/9 g) Lim 3x + 2 x 4 5x+6 h) Lim [√x+6 + √x2+7] = x -2 i) Lim 9x + 5 = x 7/3 3x-8 j) Lim [(3x6)(9x+7)] + √8x/x = x 8

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


38


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

39

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te indica en cada caso y entrega el resultado a tu profesor. I. En los siguientes ejercicios aplicarás los teoremas sobre límites. 1. Sea f(x)= 3x2-2x+1, g(x)=x2-4 y h(x) = 4x-3 Hallar ; a) Lim [f(x) + g(x) – h(x)] x 2 b) Lim [f(x). g(x)] x 1 h(x) c) Lim [ h(x) . g(x) – f(x)] x 5 f(x) 2. De los siguientes límites, indica cuáles son determinados, y cuáles, indeterminados. a) Lim 2x-10 = __________________________ x -5 x+5 b) Lim (x+3)2 = __________________________ x -2 (x-2)2 c) Lim 5x2 – 4x – 12 = ______________________ x 6/5 (5x+6)(x-2) d) Lim xcosx = ____________________________ x ¶ e) Lim h2 – 2h +1 = ________________________ h 0 h-1 f) Lim e9k = _______________________________ x 6 g) Lim ln [2x+2x] = ________________________ x -1

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


40

3. ¿A qué conclusión llegaste en los teoremas de límite en el subtema 1.1.2 en los teoremas del subtema 1.1.3 al aplicarse en los ejemplos de las funciones? ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

4. ¿Qué son funciones determinadas y funciones indeterminadas? ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

5. ¿Cuáles son las técnicas o procesos para convertir una función indeterminada en determinada? ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

6. Una escalera de 25 pies se apoya en una casa y su base se separa de la casa a razón de 2 pies por segundo. Sabiendo que su extremo superior desciende por la pared con velocidad,

r= 2x pies/seg √625-x2 a) Hallar la velocidad cuando x es 7 pies. b) Hallar la velocidad cuando x es 15 pies. c) Hallar el límite de r cuando x es 25


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

41

Límites

INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide y entrega un reporte a tu profesor. 1. De las funciones siguientes encuentra el signo que debe de asignarse al ∞. a) Lim 5x = x 5 x-1 b) Lim 4x + 9 = x 3 2x+3 c) Lim __x__ x 1+/2 2x-1 2. Resuelve los siguientes límites en el infinito para comprobar las siguientes desigualdades. a) Lim 6x3 – 5x2 + 3 = -3 x ∞ 2x3 +4x -7 b) Lim ax4 + 6x2+c = 0 x ∞ dx5+cx3+fx c) Lim 4x2 – 3 = 1 x ∞ 2x3+3x2 d) Lim 3h+2xh2+x2h3 = 1/2x x ∞ 4-3xh-2x3h3 e) Lim √x+1 = 1 x ∞ x-1 f) Lim 3+cosx = 0 x ∞ x g) Lim n/n+1 = -1 h) Lim x+3 = 5 x ∞ x2+5x+6

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


42


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

43

Límites

INSTRUCCIONES: 1. Determina si las funciones son continuas o discontinuas y compruébalas con la gráfica de cada una de ellas. a) f(x) = x2 – 1 b) f(x) = 3x+5 c) f(x) = 1/3+x d) f(x) = x2 – 16 x + 4 e) f(x) = /x/ si x ε (-4,4) f) g(x) = 2x2 si x ε [0,2] 5x-2 si x ε (2,4) g) f(x) = 1/x , si -5 = x ≤ -1 √x2+1 , si -1<x=3 h) f(x) =3/x-1 i) f(x) = 2x+3, si x ≥ 4 3 , si -4 < x < 4 3-2x, si x ≤ - 4 2. Para cada uno de los problemas determina si la función es continua sobre el intervalo dado: a) f(x) = 1/x+2 : (-∞, -2); (-∞, -2] ; (-2, +∞); [-2, +∞) b) f(x) = √x2 – 9 : (-∞, -3] ; [-3,3) ; [3,+∞) ; (3, +∞) c) f(x) = senx : (-∞, +∞) ; [¶/2, ¶/4] ; [0,¶]

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 5


44

3. Realiza una gráfica para representar el teorema de valor intermedio y de valores extremos.


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

45

Límites

INSTRUCCIONES: Examínate contestando las siguientes preguntas, señalando la respuesta correcta en la letra que corresponda: 1. Lim x2 – 25 = x -5 x+5 A. 6 B. -10 C. No existe límite (∞) D. 1 2. Lim (x2-4k+1) = x 2 A. 0 B. 7 C. -3 D. 2 3. Lim 4 – x2 = x 2 3-√x2 +5 A. 1/7 B. 2x C. 5 D. 6 4. Lim 3x – 2 = x ∞ 9x+7 A. 1/3 B. 6/5 C. 0 D. -2 5. Lim senx = x ¶/2 A. ∞ B. 1 C. 0 D. -1

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIÓN


46

6. El valor de k en la función f(x) = x+3 , x ≤ 2 es: Kx+6 , x >2 A. 2 B. -∞ C. -1/2 D. 4 7. Lim Ln (2e2x . 3e4x) = x 3 A. -32 B. 8 C.100 D.180 8. La siguiente gráfica corresponde a una función: f(x) x A. continua en x=0 B. discontinua en x=0 C. constante en x=0 D. constante en x<0 9. Lim x2 – 4 es: x 2 A. continua B. continua removable C. discontinua D. discontinua removable 10. La función f(x) = 1/√2-x es continua: A. [2, +∞) B. (-2,-∞) C. (3, +∞) D. (3,-∞)

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es

necesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

Consulta las claves de

respuestas en la página 141.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE

47

Límites

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos, resuélvelos y entrega un reporte a tu profesor.

1. Obtén los siguientes límites: a) Lim [ x3 – 27 ]= x 3 x-3 b) Lim [ (x+5)2 - 25] = x 0 x c) Lim [ √x – 2 ] = x 4 x - 4 d) Lim [ 2 + 3senø]= x ø e) Lim senø (cotø + tanø) = ø 0 cos22 f) Lim x3 – 2x2 – 5x+6 x 1 x3-3x2-x+3 g) Lim ex + e-x = x 0 3 h) Lim Ln [(2x-8)2 + 5x3] x 2 i) Lim (x2 – 3x + 2 ) (x-3) x -3 j) Lim 4x + 4 = x ∞ 2x+5 k) Lim 3x + 4 = x ∞ √2x2-5

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________




48

2. Determina el signo + o – del ∞ resolviendo los siguientes ejercicios con límites infinitos. a) Lim 5x = x 2+ -x+2 b) x 3- x2 = x-3 c) Lim 2x-3 = x 2-/7 7x+2 3. Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado. a) f(x) = 3x + 5 x=2 b) f(x) = 5(x+2)2 – 7 x= -1 c) f(x) = -1/x-1/ + 4 x= 0 d) f(x) = x2 – 36 x= 6 x – 6 e) f(x) = 1/2x3 si x ≤ 2 x=2 -(x+1)2+5 si x > 2 f) f(x) = 3(x+1)2-1 si x < -1 1 si x = -1 x-1 si x > -1 g) f(x) = /x/ si x ε (-4,4) h) f(x) = 2x2 si x ε [0,2] 5x-2 si x ε (2,4) 4. Hallar la discontinuidad de las siguientes funciones. Determinar si son removibles o no son removibles. a) f(x) = 2/x b) f(x) = x3 - 27 x2 – 9 c) f(x) = 0 si x = 0 2 si x ≠ 0 5. Trazar las gráficas de las siguientes funciones y determinar si son tentativas en el intervalo cerrado [0,1]: a) f(x) = 1/x si x > 0 . si x ≤ 0 b) f(x) = 1 si 0 < x ≤ 1

UUnniiddaadd 22 LLaass rraazzoonneess ddee

ccaammbbiioo yy llaa ddeerriivvaaddaa..

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

Temario:

La derivada. Reglas de derivación. Derivación implícita. Ecuaciones de la tangente y normal

longitudes de la subtangente y subnormal.

El libro de la naturaleza “El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él… Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está escrito… Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos matemáticos). Galileo Galilei Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos.


50

Mapa Conceptual de Unidad

Interpretación geométrica de la derivada

La diferenciabilidad en un intervalo

Graficado de curvas complejas

La Derivada

Razón de cambio promedio e instantánea.

Las reglas de derivación

Las cuales son

Se obtiene por

De las cuales obtenemos

Para concluir en

Regla de la potencia

Reglas del producto y del cociente

Regla de la cadena

Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas.

Derivadas de funciones exponenciales y

logarítmicas.

Derivación implícita

Ecuaciones de la tangente y normal, longitudes de la subtangente y subnormal.

Las cuales se emplearán en

51

Las razones de cambio y la derivada

LLAA DDEERRIIVVAADDAA

Durante los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio.

El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y como puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo. La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII: 1. El problema de la tangente. 2. El problema de la aceleración. 3. El problema de máximos y mínimos. 4. El problema del área. Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.

2.1.1. Razón de cambio promedio e instantáneo. En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente de una recta llamada “m” y se concluyó lo siguiente: a) La pendiente de toda recta paralela al eje “x” es cero. b) La pendiente de una recta que forma un ángulo θ entre °<<° 900 θ es

positiva. c) Una recta paralela al eje “y” no tiene pendiente. d) Si la recta forma un ángulo θ entre °<<° 18090 θ la pendiente es

negativa.

22..11..

Gottgried Wilhem Leibniz (1646-1716) Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal


52

Veamos la siguiente gráfica. bmxxfy +== )(

Sea ),(),( 222211 yxyPyxP dos puntos de la recta. Recuerda que la pendiente del segmento P1 y P2 se define:

12

12

xxyym

−−=

Y por lo tanto:

xym

∆∆=

Donde:

12 xxx −=∆ . Es la diferencia de las abscisas (x)

12 yyy −=∆ . Es la diferencia de las ordenadas (y) Por lo tanto:

xy

∆∆

se lee como “razón de cambio de “y” con respecto a “x”.

La razón de cambio:xy

∆∆

es el mismo para cualquier par de puntos que se

tomen en la línea recta. Para demostrar esto veamos lo siguiente: Tomamos la ecuación de la recta:

)()( 11 xxmyy −=− Sean ),(),( 222211 yxyPyxP dos puntos de la recta

y 12

12

xxyym

−−= es la pendiente de la recta que pasa

por dos puntos.

x1 x2

y1

y2

y=f(x)

P1

P2

x∆

y∆

∆ Es una letra griega llamada delta. Que significa: CAMBIO.

)()( 11 xxmyy −=−Es la ecuación de la recta de la forma punto pendiente

53


Y como ""x y "" y de la ecuación )()( 11 xxmyy −=− pueden tomar cualquier valor que satisfaga esa ecuación; es decir, es válida para cualquier punto por donde pasa la recta. Entonces:

)()( 11 xxmyy −=− quedaría:

)()( 1212 xxmyy −=− Y despejando la pendiente tenemos:

12

12

xxyym

−−=

Esto demuestra que la pendiente es la razón de cambio promedio. Por lo tanto podemos definir que:

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que la diferencia entre ambas es que la razón de cambio promedio es una razón de incrementos, mientras que la razón de cambio instantáneo es el límite de una razón de incrementos.

Razón de cambio promedio. Sea f una función tal que )(xfy = y ),(),( 222211 yxyPyxP un par de puntos de f . Definimos la razón de cambio promedio de “y” con respecto a “x” como:

12

12

12

12 )()(xxxfxf

xxyy

xy

−−=

−−=

∆∆

Razón de cambio instantáneo. Sea )(xfy = una función definida en todos puntos del intervalo ),( yx Definimos la razón de cambio instantáneo de la función en x.

xy

x ∆∆

→lim

0

O bien:

12

12

0

)()(lim xxxfxf

x −−

→


54

Ejemplo 1. Determinar la razón de cambio promedio de la función

13)( += xxf en el intervalo ]7,3[ Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta: x )(xfy = x∆ y∆

3 10)3( =f

134 =− 31013)3()4( =−=− ff

4 13)4( =f

145 =−

5 16)5( =f

156 =− 31316)4()5( =−=− ff

6 19)6( =f

167 =−

7 22)7( =f 31922)6()7( =−=− ff

Paso 2.- Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

12

12

12

12 )()(xxxfxf

xxyy

xy

−−=

−−=

∆∆

Observamos la tabla para sustituir los

resultados y tenemos:

313 ==

∆∆xy

Por lo tanto la razón de cambio promedio de la función en el intervalo ]7,3[ es de 3. Ejemplo 2. Determinar la razón de cambio promedio de la función:

625)( 2 −+= xxxf En el intervalo ]4,1[− Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta: x )(xfy = x∆ y∆

11 −=x 3)( 1 −=xf 4-(-1)= 5 82-(-3) = 85

42 =x 82)( 2 =xf

55



12

12

12

12 )()(xxxfxf

xxyy

xy

−−=

−−=

∆∆

173

85)()(

12

12

12

12 ==−−=

−−=

∆∆

xxxfxf

xxyy

xy

17=∆∆xy

Geométricamente, 17=∆∆xy

es la pendiente de la recta secante que une

Los puntos (-1,-3) y (4,82). Ahora veremos problemas en donde interviene la razón de cambio Instantáneo. Ejemplo 3. Las leyes de la física indican que si un cuerpo cae libremente a una distancia de “s” pies en “t” segundos, entonces

216tS =

Hallar ts

∆∆

en el intervalo de valores de ]5.3,3[∈t

Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta: t )(tsy = s∆ t∆

31 =t 144)3( =s 196 - 144 = 52 3.5 - 3 = 0.5

5.32 =t 196)5.3( =s


1045.0

52)()(

12

12

12

12 ==−−=

−−=

∆∆

tttsts

ttss

ts

104=∆∆ts

Y como vimos en la materia Física I, la siguiente definición:

velocidadtiempo

entodesplazamits ==

∆∆

promedio del cuerpo en el intervalo del

tiempo. Por lo tanto: La razón de cambio instantáneo es:

.104

segpies

ts =

∆∆

El símbolo ""∈ significa pertenece o está en.


56

En equipo: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los miembros de tu equipo. 1.- Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan.

a) 2xy = , para x ∈ [-3, 4]

b) )37(2 −= xxy , para x ∈ [1, 6] 2.- Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se se te da en las siguientes funciones:

a) y = x2 + 5x – 8, x e [1,1.2] Respuesta: 2.7=∆∆xy

b) y = x2 + 2x, x e [1, 1.5] Respuesta: 5.4=∆∆xy

c) Hallar ∆y, dado que y = x2 – 3x + 5, y ∆x = 0.01. Entonces, ¿cuál es el valor de “y” cuando x = 4.9? Respuesta: ∆y = - 0.0699 Y = 14.9301 3.- Resuelve los siguientes problemas. a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas. Recordar que: V = 4 ∆ r3 3 b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son: 0, 29, 55, 78, 97, 114, 128, 138 y 145. c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Si o no. e ¿A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando? f) Realiza la gráfica. 2.1.2. La derivada como razón de cambio instantánea. En el tema anterior se llegó a que una razón de cambio instantáneo es una Función definida en todos los puntos del intervalo [x, x + ∆x] si ∆x>0; En el intervalo [x + ∆x, x] si ∆x<0, lo cual se define como:

xxfxxf

x ∆−∆+

→

)()(lim0

Por lo tanto, la derivada es en sí una razón de cambio instantáneo de dos variables relacionadas.

EJERCICIO 1

57


Es decir, la razón de cambio es una función continua y suave en un intervalo [a, b]. Si x es un punto del intervalo, entonces la derivada de la función en tal punto se representa como )´(xf y se define como:

xxfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()()´( lim0

Pero existen varias formas para denotarlas:

)´(xf = Se lee efe prima de x, muy usada en funciones. (Lagrange)

dxdy

= Se lee derivada de y con respecto a x, muy usada en los formularios.

(Leibnitz)

´y = Se lee y prima, la más usada en la resolución de problemas. Es necesario continuar con el otro tema para comprender más ampliamente lo anterior, mediante la gráfica para ver como se comporta y por qué se denotó de esta manera.

2.1.3. Interpretación geométrica de la derivada. En el tema 2.1.1. aprendiste que cuando se conocen las coordenadas de dos puntos de una recta, se puede determinar su pendiente por medio de la expresión:

12

12 )()(xxxfxfm

−−= Donde: 12 xxx −=∆ y 12 yyy −=∆

xym

∆∆=

Obsérvese el caso de una recta que se interseca en dos puntos a la gráfica de una curva cuya ecuación es de la forma )(xfy = ; la recta se conoce como secante a la curva.


58

Por el triangulo rectángulo que tenemos, podemos decir que:

xy

∆∆=)tan(α

Veamos ahora lo que ocurre cuando hacemos tender ∆x a cero, lo cual básicamente significa que el punto x se va acercando al x0

Siguiendo con este proceso, podemos ver como en el momento que se "juntan" los dos puntos (es decir, en el límite) la recta que cortaba la curva se convierte en una tangente a la curva en ese punto, y por lo tanto el valor de la fracción se convierte en la tangente del ángulo.

Así pues, la derivada de una función en un punto es el valor de la tangente del ángulo que la recta tangente a la curva en se punto forma con el eje de las abscisas.

Fórmula de la derivada según su definición:

xxfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()()´( lim0

59


Otras notaciones:

x

afxfxfx

)()()´( lim0

−=→

h

xfhxfxfx

)()()´( lim0

−+=→

Concluimos que la derivada es la razón de cambio instantáneo. Ejemplo 1. Calcular la derivada de la siguiente función utilizando la fórmula por definición de esta misma.

23)( += xxf

Solución: Paso 1.- Obtener los resultados de la función evaluada en (x+h). Es decir, sustituir en lugar de x a (x+h). así:

23)( += xxf

2)(3)( ++=+ hxhxf

233)( ++=+ hxhxf

Paso 2.- Sustituir lo que se obtuvo en el paso anterior en la fórmula de la derivada por su definición.

hxfhxfxf

x

)()()´( lim0

−+=→

Sabemos que: 233)( ++=+ hxhxf y 23)( += xxf Entonces:

hxhxxf

x

)23(233)´( lim0

+−++=→

hxhxxf

x

23233)´( lim0

−−++=→

33)´( lim0

==→ h

hxfx

Por lo tanto la derivada de la función 23)( += xxf es:

3)´( =xf


60

Ejemplo 2.- Calcular la derivada de la siguiente función utilizando la fórmula por su definición.

1)( 2 −= xxf

Solución: Paso 1.- Obtener los resultados de la función evaluada en (x+h). (Es decir sustituir en lugar de x a (x+h). así:

1)( 2 −= xxf

1)()( 2 −+=+ hxhxf Se tiene que desarrollar el binomio al cuadrado antes de realizar el paso 2.

1)()( 2 −+=+ hxhxf

12)( 22 −++=+ hxhxhxf

Paso 2.- Sustituir lo que se obtuvo en el paso anterior en la fórmula de la derivada por su definición.

hxfhxfxf

x

)()()´( lim0

−+=→

Tenemos: 12)( 22 −++=+ hxhxhxf y 1)( 2 −= xxf Entonces:

hxhxhxxf

x

)1(12)´(222

0lim −−−++=

→

hxhxhxxf

x

)112)´(222

0lim +−−++=

→

hhxhxf

x

2

0

2)´( lim +=→

Hacemos uso de la factorización para poder eliminar las h así:

hhxhxf

x

)2()´( lim0

+=→

hhxhxf

x

)2()´( lim0

+=→

xxhxxfx

202)2()´( lim0

=+=+=→

Por lo tanto, la derivada de la función 1)( 2 −= xxf es:

xxf 2)´( =

Y la pendiente de la recta tangente de esta función para 3=x es: xm 2= entonces 6)3(2 ==m .

Binomio al cuadrado: 222 2)( bababa ++=+

61


I. Realiza en equipo lo que se te pide en cada caso. Comprueba los resultados con tus compañeros. 1.- Obtén la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones en el punto indicado.

a) ƒ(x) =x2 ; x = 1 b) ƒ(x) =√X + 2 ; X = - 1 c) f(x) = x2/3 + x + ½; x = 3 d) r(x) = x3 – 2x2 + x – 4; x = -2

2.-Obtén la derivada de las siguientes funciones aplicando la definición de la derivada.

a) g(x) = 5x – 3 b) f(x) = 4x + 2 x – 5 c) H(x) = 1/x2 – x d) m(x) = x2 – 3x + 4

e) p(x) = 1/x + 1 f) n(x) = √x + 2

2.1.4. DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO. Así como existen límites unilaterales, también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado. DERIVADA POR LA DERECHA: Si f está definida en 1x , la derivada por la derecha se define como:

xxfxxfxf

x ∆−∆+

=+→∆

+)()()(´ 11

01 lim , si el límite existe.

DERIVADA POR LA IZQUIERDA: Si f está definida en 1x , la derivada por la izquierda se define como:

xxfxxfxf

x ∆−∆+

=−→∆

−)()()(´ 11

01 lim , si el límite existe.

Una función definida en un intervalo abierto que contiene a 1x es diferenciable en

1x si y sólo si )(´ 1xf + y )(´ 1xf − existen y son iguales.

EJERCICIO 2


62

Resumidamente, podemos decir que una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes: 1. La función es discontinua en el punto. 2. La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 0). 3. La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el punto. La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos: Ejemplo 1.- Sin embargo:

00)0(´ lim

0 −−−=

−→− x

xfx

1)0(´ )1lim(lim00

−==−= −−−

→→−

xx xxf

Y

00)0(´ lim

0 −−=

+→+ x

xfx

1)1()0(´ limlim00

===++ →→

+xx x

xf

Y como podemos ver:

)0´(f no existe. Ver la siguiente gráfica.

63


−

==xx

xxf ||)( Si 00

<≥xx

Ejemplo 2.

La función 2)( xxf = ; 21 ≤≤− x que se lee (x es mayor o igual que – 1 y x es menor o Igual a 2). Solución. Es diferenciable en [- 1, 2] puesto que f´(x) = 2x para todo Número x en (- 1, 2) f´- (2) = 4 y f´+ (- 1) = - 2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = x^2


64

Ejemplo 3.

Como x

xf 1)( = es discontinua en x = 0, f no es diferenciable en ningún

intervalo que contenga a 0. Observa la gráfica.

2

1)´(x

xf −=

)0´(f No existe.

En equipo determina si las siguientes funciones son diferenciables en el punto dado, calcula la derivada por la izquierda y por la derecha si existen. Realiza la gráfica. 2. Demostrar que f(x) = x2 es diferenciable en [0,1] 3. Demuestre que la función continua dada no es diferenciable en el valor x Indicado. -x + 2, si x es menor igual 2 F(x) = ; x = 2 2x – 4, si x> 2

EJERCICIO 3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = 1/x

65


RREEGGLLAASS DDEE DDEERRIIVVAACCIIÓÓNN

DEFINICION DE LA DERIVADA: La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se expresa así:

xyderivada

x ∆∆=

→∆ 0lim

Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada. El Valor de la derivada en cualquier punto de una curva, es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. La definición de la derivada tiene la desventaja que es muy laborioso y difícil de aplicar. Se verá ahora que la derivada de una función tal como F(x) = 6x100 + x35 puede obtenerse, por así decirlo, de un “golpe”. Es por eso que primero veremos algunas reglas para calcular la derivada de una manera más fácil. 2.2.1. REGLA DE LA POTENCIA. REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS. 1.- Regla de la función constante. Si kxf =)( , donde ""k es una constante, para cualquier x es 0)´( =xf (ver la siguiente figura) Es decir:

kxf =)( ⇒ 0)´( =xf

22..22..

f(x) = K k

El símbolo “ ⇒ ” se lee: Como: “entonces”.


66

Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) 5)( =xf ⇒ 0)´( =xf Nota: Para comprender este teorema, se le proporciona la siguiente explicación: La gráfica de la función constante kxf =)( es una recta horizontal, que por lo tanto, tiene pendiente cero en todas partes. 2.- Regla de la función identidad: La gráfica xxf =)( es una recta que pasa por el origen con pendiente igual a uno; podríamos esperar que la derivada de la función sea 1 para toda x . (ver la siguiente figura) Es decir:

xxf =)( ⇒ 1)´( =xf

Ejemplos: calcular la derivada de las siguientes funciones identidades. 1) yyf =)( ⇒ 1)´( =yf 2) zzg =)( ⇒ 1)( =zg 3.- Regla de potencias:

Si nxxf =)( , donde n es un entero positivo, entonces 1)´( −= nnxxf

nxxf =)( ⇒ 1)´( −= nnxxf

Ejemplo:

1) 2)( xxf = ⇒ xxxf 22)´( 12 == −

2) 3)( −= xxf ⇒ 413 33)´( −−− −=−= xxxf

f(x) = x

67


3) xxf =)( que la podemos representar: 2.1

)( xxf =

⇒ 1

21

21)´(

−= xxf y restando los exponentes quedaría

21

21)´(

−

= xxf por lo tanto x

xf2

1)´( =

4.- Regla del múltiplo constante. Si k es una constante y g es una función diferenciable, entonces:

))(()( xgkxf = ⇒ ))´(()´( xgkxf =

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1) xxf 3)( = ⇒ 3)1(3)´( ==xf

2) 35)( xxf −= ⇒ 213 15)3)(5()´( xxxf −=−= −

3) 2

35)( −= xxf ⇒ 3

312

310

310)2(

35)´(

xxxxf −=−=−= −−−

4) 5 2)( xxf = , es decir 52

)( xxf = ⇒ 5 3

531

52

52

52

52)´(

xxxxf ===

−−

5.- Regla de la suma y diferencia de funciones: Si f y g son funciones diferenciables, entonces: )´()´())´(( xgxfxgf ±=± . Es decir, la derivada de una suma es la suma de las derivadas; o bien, la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.

)()()( xgxfxF ±= ⇒ )´()´())´(( xgxfxgf ±=±

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1) 64)( += xxf ⇒ 40)1(4)´( =+=xf

2) 782)( 4 −+−= xxxg ⇒ 880)1(8)4(2)( 314 +−=−+−= − xxxg


68

Individual: Calcula la derivada de las siguientes funciones.

1) 753)( 3 +−= xxxf

2) 9874)( 25 −++−= − xxxxg

3) 5)( xxh =

4) 3946)( 41

2 +−+= xxxxf

5) 15)( 7 2 −+= xxxg 2.2.2. REGLA DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE DE FUNCIONES. 6.-Regla del producto de funciones. La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Sea f(x) = g(x) h(x) Como g(x) y h(x) están en función de x, cuando x se incrementa entonces:

)`()()`()()`( xgxhxhxgxf +=

Ejemplo: Sea f(x) = (3 – x) (2 + x) Señalamos g(x): g(x) = 3 – x ⇒ g´(x) = -1 Señalamos h(x): h(x) = 2 + x ⇒ h´(x) = 1 Por lo tanto, sustituimos en la fórmula y obtenemos: f´(x)= (3-x) (1) + ( 2+x) ( -1) f´(x)= 3-x-2-x f´(x)= 1 – 2x 7.- Regla del cociente de funciones. La derivada del cociente de funciones es igual a una fracción que tiene por numerador: El denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. Es decir: Como g(x) y h(x) están en función de x, cuando x se incrementa entonces:

EJERCICIO 4

69


)()()(xhxgxf = ⇒ [ ]2)(

)`()()`()()`(xh

xhxgxgxhxf −=

Ejemplo:

1) xxxf4

)(3

=

Señalamos: g(x) = x3 → g´ (x)= 3x2 h(x) = 4x → h´ (x) = 4

Por lo tanto: 2

32

)4()4)(()3)(4()`(

xxxxxf −=

2

3

2

33

168

16412)`(

xx

xxxxf =−=

2

)`( xxf =

En equipo de cuatro, deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus resultados con los de tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) )5)(63()( 4xxxf +=

2) )84)(36()( 3 −−−= xxxxf

3) )13)(54()( 42 +−+= xxxxxf

4) x

xxf5

35)(3 +=

5) 2653)(

2

+−=x

xxxf

2.2.3. REGLA DE LA CADENA Ahora trataremos de encontrar la derivada de la siguiente función: F(x) = (2x2 – 4x + 1) 60

Sería difícil de resolver la derivada de esta función, pero por fortuna hay un mejor modo de proceder. Después de que hayas aprendido la regla de la cadena, serás capaz de escribir la respuesta tan rápido como puedas mover el lápiz: F(x) = 60 (2x2 – 4x + 1) 59 (4x – 4) En efecto, la regla de la cadena es tan importante que rara vez derivarás cualquier función sin usarla.

EJERCICIO 5

TAREA 1

Página 87.


70

8.- Teorema de la regla de la cadena. Sea y = f(u) y u= g(x) que determinan una función compuesta Es decir: y = f (g(x)) que esto quedaría de la siguiente manera: y = f (g(x)) = (f o g) (x) Si g es diferenciable en x y f es diferenciable en u= g(x), entonces f o g es derivable en x y quedaría:

( f o g ) (x) = f´( g(x) ) g´(x)

Ejemplos resueltos: Encuentra la derivada de la siguiente función: 1) F(x) = (3x2 + 1) 7 Solución: Paso 1.- Nombrar a f = g 7 y g= 3x2 + 1 Donde: f´= 7(g) 6 y g´= 6x Paso 2.- Sustituyendo en la fórmula de la regla de la cadena. (f o g) ´(x) = f´ (g(x)) g´(x) (f o g)´ (x) = 7 ( 3x2 + 1)6 (6x) Por último, la derivada de la función queda: F´(x) = 42x (3x2 + 1)6

2) F(x) = (x3 – 6x)3 Solución: Paso 1.- f = g 3 y g= x3 - 6x Donde: f´= 3(g) 2 y g´= 3x2 – 6 Paso 2.- Sustituyendo en la fórmula de la regla de la cadena. ( f o g ) ´(x) = f´ (g(x)) g´(x) ( f o g )´ (x) = 3 (x3 -6x)2 (3x2 – 6) ( f o g )´ (x) = 3 (3x2 – 6) (x3 -6x)2 ( f o g )´ (x) = (9x2 – 18) (x3 -6x)2 Desarrollando el binomio al cuadrado, multiplicando y simplificando el polinomio resultante, quedaría de la siguiente manera: ( f o g )´ (x) = 9x8 – 126x6 + 540x4 -648x2

Por último, la derivada de la función queda: F´(x) = 9x8 – 126x6 + 540x4 -648x2

Definición de una función compuesta: si David puede mecanografiar dos veces más rápido que Mary, y ésta mecanografía tres veces más rápido que José, entonces David puede mecanografiar 2.3 = 6 veces mas rápido que José. Las dos razones se multiplican. Supóngase que: y=f(u) y u= g(x) Determinan la función compuesta: y= f ( g(x) ).

Binomio al cuadrado: (a+b)2= a2 + 2ab + b2

71


2.2.4.- DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. I.- Derivadas de funciones trigonométricas. Nuestro mundo moderno viaja sobre ruedas. Las cuestiones relativas a la rotación de ruedas y velocidades de los puntos de ellas conducen de manera inevitable al estudio de las derivadas de senos y cosenos. La figura 1 y 2 nos recuerda la definición de las funciones seno y coseno. En lo que sigue, se deberá pensar en x como un número que mide la longitud de un arco del círculo unitario o, lo que es equivalente, como el número de radianes del ángulo correspondiente. Entonces, senxxf =)( y xxg cos)( = son funciones en la que tanto el dominio como el rango son números reales.

Fig. 1.- Función Seno

Fig. 2.- Función Coseno.

EJERCICIO 6 En equipo de cuatro personas deriva las siguientes funciones utilizando la regla

de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

a) F(x) = ( 2x2 + 8)5 b) F(x) = ( -5x3 + 6 )7 c) F(x) = ( -x4 – 3x ) 3

d) 4 5)35()( −= xxf

e) 64)( 3 += xxf TAREA 2

Página 89.


72

Demostración de la Derivada de la función coseno: PARA DEMOSTRAR: f(x) = cos x que su derivada es f´(x) = -sen x Tenemos:

F´(x) = h

xhxh

cos)cos(lim0

−+→

F´(x) = h

xsenxsenhxh

coscoshcoslim0

−−→

F´(x) = 0

lim→h h

x cosh1cos −

sen x

hsenh

F´(x) = (-cos x). 0 – (senx) .1 F´(x) = -senx a) TEOREMAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONÓMETRICAS. 1.- FUNCION SENO:

f(x) = Sen x ⇒ f`(x) = x´ Cos x

2.-FUNCION COSENO:

f(x) = Cos x ⇒ f`(x) = - x´ Sen x

3.- FUNCION TANGENTE:

f(x) = tan x ⇒ f`(x) = x´ sec2 x

4.- FUNCION COTANGENTE:

f(x) = Cot x ⇒ f`(x) = - x´csc2 x

5.- FUNCION SECANTE:

f(x) = Sec x ⇒ f`(x) = x´ tan x Sec x

6.- FUNCION COSECANTE:

f(x) = Csc x ⇒ f`(x) = - x´Cot x Csc x

Ejemplos: Encuentra la derivada de las siguientes funciones trigonométricas. 1) f(x) = sen 3x + cos 2x Aplicando las fórmulas anteriores tenemos: f`(x)= 3 cos x – 2 sen x

73


2.- f (x) = cos x X Utilizando la regla del cociente de funciones tenemos:

2)())(cos1())(()`(

xxsenxxxf −−=

2

cos)`(x

xxsenxxf −−=

3. - Sea f(x) = sen (3x2 + 4) Solución:

)43(cos6)`( 2 += xxxxf

4.- Sea f(x) = -3 tan (3x2 – 1) Solución: f´(x) = (-3)( 6x) sec2 (3x2 -1) f´(x) = -18x sec2 (3x2 -1)

5.- sea f(x) = cot (5x3 -7x +2) Solución: f´(x) = - (15x2 -7) csc 2 (5x3 -7x +2)

6.- sea f(x) = sec4 (5x + 6) Solución: f(x) = [sec ( 5x + 6)]4 f´(x) = (4) [sec ( 5x + 6)]3 ( 5) sec(5x +6) tan(5x+6) f´(x) = 20 sec (5x + 6)4 tan(5x+6)

Individual: Calcula las derivadas de las siguientes funciones

trigonométricas y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1. - xsenxxf =)(

2. - xxsenxf 2tan5)( −=

3.- 2tan)( xxf =

4.- xxf 2tan)( =

5.- )21cot()( 2xxf −=

6.- )36(sec)( 6 += xxf

EJERCICIO 7


74

b) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: Las funciones seno y coseno no son uno a uno, por lo cual no tienen funciones inversas. Sin embargo, es posible restringir el dominio de las funciones trigonométricas de tal manera que se vuelvan uno a uno. La gráfica de y = sen x (ver figura 3), muestra que en el intervalo

2π− ≤ X ≤ 2

π la restricción de senx es uno a uno. De esta manera, se

define sen -1 x como la función inversa correspondiente. El dominio de dicha función es [-1, 1], el cual es el rango de sen x. Es decir: 1. sen -1 x = y si y solo si y = x. 2. el dominio de sen-1 x es [-1,1].

3. El rango de sen-1 x es [ 2π− , 2

π ]

La gráfica de sen-1 x se obtiene de la gráfica de sen x por reflexión en la recta y = x. ver figura fig.4 Figura 3 figura 4 TEOREMAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. 7.- LA DERIVADA DE SENO INVERSA:

xsenxf 1)( −= ⇒ 21

`)`(xxxf−

=

8.- LA DERIVADA DE COSENO INVERSA:

xxf 1cos)( −= ⇒ 21

´)`(x

xxf−

−=

La función sen-1 se lee: seno inverso, y también se representa como: arc sen que se lee como arco seno.

75


9.- DERIVADA DE TANGENTE INVERSA:

xxf 1tan)( −= ⇒ 21´)`(xxxf

+=

10.- DERIVADA DE COTANGENTE INVERSA:

xxf 1cot)( −= ⇒ 21´)`(xxxf

+−=

11.- DERIVADA DE SECANTE INVERSA:

xxf 1sec)( −= ⇒ 1

´)`(2 −

=xxxxf

12.- DERIVADA DE COSECANTE INVERSA:

xxf 1csc)( −= ⇒ 1

´)`(2 −

−=xxxxf

EJEMPLOS: CALCULAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS: 1.- Sea f(x) = cos -1 x2 entonces su derivada se calcula: Solución: Paso1.- Hacer el cambio de variables para utilizar la regla de la cadena. Sea f(x) = cos-1 (g(x)) y g(x) = x2

Si f(x) = cos-1 x entonces f´(x) = - 21

´

x

x

−

Ahora f(x) = cos -1 (g(x))

Recuerda que la

notación: ´x significa: La derivada de x.


76

Paso 2.- Sustituyendo en la fórmula de derivada nos quedaría:

F´(x) = - ( )2)(1

)´(

xgxg

−

F´(x) = - ( )221

2

x

x

−.

Finalmente, la derivada es:

F´(x) = - 41

2xX−

2. - Sea f(x) = sen -1 (x - 3) Solución: Paso 1. Aplicando el teorema que le corresponde tenemos:

Si f(x) = sen -1 x entonces f´(x) = 21

´x

x−

Nombremos a g(x) = x – 3 y por lo tanto g´(x) = 1 Paso 2.- Ya una vez hecho el cambio de variable para sustituir nos queda:

( )2)(1

)´()`(xg

xgxf−

= ⇒ ( )231

1)`(−−

=x

xf

861)`(

2 −+−=

xxxf

2.2.5- DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. 13.- Derivada de la función exponencial.

xexf =)( ⇒ xexxf `)`( =

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales.

1) si f(x) = )35( +xe , entonces f´(x) = 5 )35( +xe

2) si f(x) = e (-3x + 7) , entonces f´(x) = -3 e (-3x + 7)

3) si f(x) = xe 4cos , entonces f´(x) = -4 sen 4x xe 4cos

77


14.-Derivada de la función logaritmo natural.

xxf ln)( = ⇒ xxxf ´)`( =

EJEMPLOS: Calcula la derivada de las siguientes funciones. 1) f(x) = ln ( x4 – 3x2 + 6), entonces la derivada es:

f´(x) = 63

6424

3

+−−xxxx

2) f(x) = 3 ln (sen x3 + 1), entonces la derivada es:

1

cos)3)(3()`( 3

32

+=

senxxxxf =

1cos9

3

32

+senxxx

Individual: Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas, entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1. - f (x) = sen-1 (5x) 7.- )3ln(cos5)( 6 −= xxh

2.- 22

ln)( += xexf 8. - f (x) = cos-1 (4x + 3) 3.- f (x) = tan-1 ( 3x2 ) 9. - f (x) = cot-1 (5x3)

4. - f(x) = )48( +− xe 10. - f(x) = xsene 5

5.- f(x) = )343cos( 3 −+ xxe 11.- )635ln()( 3 ++= xxxf

6.- 634 2

)( −+= xxexg

DDEERRIIVVAACCIIÓÓNN IIMMPPLLÍÍCCIITTAA

Hasta el momento, las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.

Y por otro lado:

Es función implícita de la que no se puede despejar la variable independiente de la variable dependiente.

Un ejemplo de una función implícita seria:

05 223 =+++++ yxxxyyy

22..33..

TAREA 3

Página 91.

EJERCICIO 8


78

En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra.

Otros ejemplos serían:

2x + y = 4

x y =1

x2 + y2 = 9

Estas ecuaciones no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita. Se puede utilizar un método conocido como derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.

La notación:

Se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada de “y” con respecto a “x” implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa respecto de “x”. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a “x”, se deriva como de costumbre, pero al derivar términos con “y” se aplica la regla de la cadena.

Ejemplos: Deriva la siguiente función representada implícitamente.

a) 522 =+ yx

Solución:

Paso 1.- Derivamos término a término con respecto a x.

xxdxd 2)( 2 =

dxdyyy

dxd 2)( 2 =

0)5( =dxd

Paso 2.- Sustituimos en ( 522 =+ yx ) la función dada. Y tenemos:

022)5( 22 −+=−+dxdyyxyx

dxd

022 =+dxdyyx (A)

La siguiente notación

Se lee como: la derivada de” y” con respecto a “x”

79


Paso 3.- Se despeja dxdy

de la ecuación (A):

xdxdyy 22 −=

Por lo tanto, quedaría:

yx

dxdy

22−= (B)

Paso 4.- Despeja “y” de la función original dada ( 522 =+ yx )

25 xy −= (C)

Paso 5.- Sustituye en (B) a (C).

yx

dxdy

22−=

2522xx

dxdy

−−=

Por lo tanto, su derivada nos quedaría:

25 xx

dxdy

−−=

b) Deriva 225 yxyx +− .

Solución:

Paso 1.- Derivamos término a término con respecto a x.

xxdxd 10)5( 2 = , y

dxdyxxy

dxd +=)(

dxdyyy

dxd 2)( 2 =

Este ejercicio lo podemos expresar en forma explícita y obtener su derivada, utilizando la regla de la cadena.

25 xy −= ¡Inténtalo!

Recuerda, para derivar:

ydxdyxxy

dxd +=)(

se utilizó la regla del producto de derivadas.


80

Paso 2.- Sustituimos en ( 225 yxyx +− ) la función dada. Y tenemos:

dxdyyy

dxdyxxyxyx

dxd 210)5( 22 +−−=+− 0210 =+−−

dxdyyy

dxdyxx

(A)

Paso 3.- Se despeja dxdy

de la ecuación (A):

0210 =+−−dxdyyy

dxdyxx

yxdxdyy

dxdyx +−=+ 102

yxyxdxdy +−=+ 10)2(

yxyx

dxdy

210

++−=

EQUIPO: 1.- Encuentra la derivada de “y” respecto a “x” de las siguientes expresiones, coteja tus resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) 4x2

2) 2y3

3) x + 2y

4) xy3

5) x2 + y2 = 9

6) x2y3 = 1

7) sen y = x

Nota: En general, los resultados de las funciones implícitas incluyen a “x” y a “y” como en este ejemplo.

EJERCICIO 9

TAREA 4

Página 93.

81


EECCUUAACCIIOONNEESS DDEE LLAA TTAANNGGEENNTTEE YY NNOORRMMAALL,, LLOONNGGIITTUUDDEESS DDEE LLAA

SSUUBBTTAANNGGEENNTTEE YY LLAA SSUUBBNNOORRMMAALL

Ecuación de la tangente:

El significado geométrico de la derivada es la pendiente de la curva en uno de sus puntos. Al establecer antes el concepto de derivada, señalamos que: El valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Además, recordamos la expresión que vieron en Matemáticas III:

xym

∆∆===

→∆ 0tantan θα

Esto nos permite resolver, entre otros, problemas como el siguiente: Ejemplo: Obtener el valor de la pendiente m de la parábola 2xy = en los puntos de coordenadas (3,y). Solución:

Paso1.-Derivamos 2xy =

xy 2=̀

La cual es la pendiente de cualquier punto. )2( xmy == Paso2.- Como nos interesa obtener el valor de la pendiente m en el punto

3=x , sustituimos: 6)3(22 === xm Ahora, ¿qué pasaría si se nos pidiera la ecuación de la recta tangente a esa parábola en 3=x ? En Matemáticas III vimos )( 11 xxmyy −=− que la ecuación de la recta que

pasa por un punto ),( 11 yx y dada su pendiente m , se representa por la ecuación punto–pendiente: Y siguiendo con nuestro ejemplo anterior, donde: 6=m y para aplicar la ecuación punto–pendiente necesitamos el valor de la ordenada y , la cual la obtendremos de la función original cuando la variable independiente es

3=x .Es decir:

2xy =

2)3()3( =f

9=y Por lo tanto las coordenadas del punto son (3,4); sustituimos en la ecuación punto–pendiente: )( 11 xxmyy −=−

)3(69 −=− xy

096 =+− xy Ecuación de la recta tangente de la parábola en

x=3.

22..44..


82

Ecuación de la normal. La recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto se llama normal a la curva en dicho punto.

La pendiente de la recta tangente es “m” y como se señaló en Matemáticas III

que la pendiente de una recta perpendicular es “ m1− ” de donde, mediante

sustitución en la ecuación punto–pendiente:

)( 11 xxmyy −=− queda: )(111 xx

myy −−=−

Que es la ecuación para obtener la normal. Ejemplo: Calcula la ecuación normal de la siguiente función.

1222 23 −+−= xxxy en el punto de abscisa 2=x . Procedimiento: Paso 1.- Se deriva la función.

226´ 2 +−= xxy

Paso 2.- Encuentra la pendiente ""m en el punto 2=x .

226)´( 2 +−= xxxf

2)2(2)2(6)2´( 2 +−=f

22)2´( =f

22=m Paso 3.- Encuentra el valor de la ordenada “ y ”.

En la función original se sustituye el valor de 2=x para obtener el valor de “ y ”.

1222 23 −+−= xxxy

12)2(2)2()2(2 23 −+−=y

4=y Paso4.- Calcula la ecuación de la normal sustituyendo en la ecuación:

)(111 xx

myy −−=−

Con los datos ya obtenidos en los pasos anteriores que son:

2211 −=−

m ; 21 =x ; 41 =y

83


)(111 xx

myy −−=− ⇒ )2(

2214 −−=− xy

28822 +−=− xy

09022 =−+ yx Ecuación de la normal LONGITUD DE LA TANGENTE, NORMAL, SUBTANGENTE Y SUBNORMAL. LONGITUD DE LA TANGENTE Y SUBTANGENTE: A la porción de la tangente que se encuentra entre el punto de tangencia y el eje de las “x”, se le llama longitud de la tangente; su proyección sobre el eje de las “x” es la longitud de la subtangente.

AP= Longitud de la tangente.

AB= Longitud de la sub. tangente.

PD = Longitud de la normal.

BD = Longitud de la sub normal. Los ángulos “r” son iguales por tener sus lados respectivamente perpendiculares.

En el triangulo APB, ABPBmr ==tan ; si despejamos tenemos:

my

mPBAB 1==

Esta es la fórmula para obtener la longitud de la sub tangente.

En el triángulo BPD, BPBDmr ==tan , cuando despejamos:

1)( myBPmBD ==

Esta es la fórmula para obtener la longitud de la sub normal.

p

A B

D

r r

r


84

Longitud de la tangente: La longitud de la tangente corresponde a la hipotenusa del triángulo APB; para calcularla utilizamos el teorema de Pitágoras con los valores de la sub tangente

AB y de PB en el triángulo citado. Longitud de la normal: La longitud de la normal corresponde a la hipotenusa del triángulo BPD, para calcularla utilizamos el teorema de Pitágoras con los valores de la subnormal

BD y de PB en el triángulo citado.

EJEMPLOS: Obtener las ecuaciones de la tangente, de la normal; las longitudes

de la sub tangente y de la normal de la elipse 182 22 =+ yx en el punto de coordenadas (4, 1). Paso 1.- Deriva la función y encuentra la pendiente de la curva.

182 22 =+ yx ⇒ 042 =+dxdyyx y despejando

dxdy

tenemos.

xdxdyy 24 −=

yx

yx

dxdy

242 −=−=

La pendiente en cualquier punto de la curva es yxm

2−= ; en el punto )1,4(

224

)1(24 −=−=−=m

Paso 2. Calcular la ecuación de la tangente, sustituimos en )( 11 xxmyy −=−

con 1;4;2 11 ==−= yxm

)4(21 −−=− xy ⇒ 821 +−=− xy y por último

Tenemos: 092 =−+ xy Ecuación de la tangente

B D

P

r

A

r

85


Paso 3. Calcular la ecuación de la normal, sustituimos en:

)(111 xx

myy −−=− ; con 1;4;2 11 ==−= yxm

)4(211 −=− xy ⇒ )4(

211 −=− xy y por último tenemos:

422 −=− xy ⇒ 022 =−− yx Ecuación de la normal.

Paso 4. Calcular la longitud de la sub tangente, sustituimos en:

myAB 1= Con 1;2 1 =−= ym

21−=AB Longitud de la subtangente.

Paso 5. Calcular la subnormal, sustituimos en:

1myBD = Con 1;2 1 =−= ym

2−=BD Longitud de la subnormal Calcula en equipo las ecuaciones de la tangente, normal; las longitudes de la subtangente y de la subnormal de las siguientes funciones en los puntos que se indican, compara tus resultados con tus compañeros y entréguenselos a tu profesor para su revisión.

a) xxy 53 −= en )2,2( − b) 9=yx en )2,1(

c) 1022 =+ yx en )3,1( −

d) 32 2 −=− yxy en )3,1(

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.virtual.unal.edu.co/.../cap5/trigo7.html

EJERCICIO 10

TAREA 5

Página 95.


86

¡Ojo! Recuerda que

debes resolver la

auto evaluación y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudará a enriquecer

los temas vistos en

clase.

87


INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

a) f(x) = 5x + 2

b) g(x) = 363 3 +− xx

c) l(x) = 2625

xx −

d) f(x) = 23

1+x

e) k(x) = 2614

+−xx

f) s(x) = )52)(33( −−+ xx

g) t(x) = )34)(67( 234 −−− − xxx

h) F(x) = 34

732 3

+−+−

xxx

i) F(x) = x( + 3) ( x -3)

j) H(x) = 4

)3)(1( 2

++−

xxx

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


88


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

89


INSTRUCCIONES: Encuentra las derivadas de las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena.

a) 534 )6323()( +−+= xxxxf

b) 45 )34(5)( −−= xxh

c) 6)25(1)(−

=x

xj

d) 5 3 64

4)(+

−=x

xf

e) 61)(

+−=xxxt

f) 3 4)25()( −= xxf

g) 2

6

)23()26()(

+−=xxxg

h) 5 3)24()( −= xxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


90


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

91


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales y logarítmicas, utilizando las fórmulas que le corresponda. a) )23()( += xsenxf

b) 4sec)( xxh =

c) 33 )35cos()( += xxg

d) )64()( 3 += xsenxf e) )25tan()( += xxf

f) 2tan()( += xxg )

g) )29()( 1 −= − xsenxf

h) )8(tan)( 31 xxh −=

i) )3(cot)( 41 xxt −=

j) )47(cos)( 1 −= − xxR

K) )86ln(5)( 5 +−= xxxf

l) 39ln)( += xexg

m) 11)( 3

3

−+= x

x

eexk

n) 365

)( −+= xxexf

ñ) 11)(

cos

−+= senx

x

eexh

o)

−−=11ln)(

2

xxxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


92


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

93


INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de y con respecto a x en las siguientes funciones por el método de derivación implícita. 1) 15 22 =+ yx

2) 35 22 =− yx

3) xy =− 35

4) 015 =−xy

5) 35 2 =− yx y

6) 12 2 −=− yxy

7) 053 2 =−+ xyy

8) 015 =−xy

9) yyx 522 =−

10) 042 3 =−+ xyy

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


94


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

95


INSTRUCCIONES: Calcula las ecuaciones de la tangente, de la normal; las longitudes de la subtangente y de la subnormal de las siguientes funciones en los puntos que se indican.

1) 082 =− xy en )1,3(−

2) 010832 =+−− yxy en )3,3(−

3) 43 −= xy en )3,1( −

4) 32 22 =+ yx en )1,1(

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 5


96


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

97


INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. la derivada la función 32)( 2 −= xxf según su definición y el valor de la pendiente en x=2, sería:

A) xxf 4)`( = y m=8.

B) 4)`( =xf y m=0.

C) xxf 2)`( = y m= 4.

D) xxf 6)`( = y m=12.

2. La derivada de la función 653)( 4 +−= xxxf es:

A) xxxf 54)`( 3 −= .

B) 512)`( 3 −= xxf .

C) 512)`( 4 −= xxf

D) xxxf 512)`( 3 −−=

3. La derivada de la función xxxf4

)(3

= es:

A) 4

3)`(3xxxf −=

B) 4

13)`( −= xxf

C) 4

3)`(2xxf =

D) 4

2)`( xxf =

4.- La derivada de la siguiente función )3)(15()( 52 xxxf −−= es:

A) 46 15105)`( xxxf +=

B) 46 15105)`( xxxf +−=

C) 36 15105)`( xxxf −−=

D) 34 15105)`( xxxf −=

Nombre _________________________________________________________



AUTOEVALUACIÓN


98

5.- La derivada de la siguiente función 1

364)(2

−+−=

xxxxf es:

A) 12384)`( 2

2

+−+−=

xxxxxf

B) 12

84)`( 2

2

+−−=xxxxxf

C) 2

2

)1(3812)`(

−+−−=

xxxxf

D) 2

2

)1(812)`(

−−−=

xxxxf

6.- Según la regla de la cadena, la derivada de la siguiente función 5)42()( += xxf sería:

A) 3)42(5)`( += xxf

B) 3)42(5)`( +−= xxf

C) )42(5)`( +−= xxf

D) xxf 25)`( −=

7. Según la regla de la cadena, la derivada de la siguiente función 54 )254()( +−= xxxf es:

A) 516)`( 3 −= xxf

B) 43 )516()`( xxxf −=

C) 543 )254)(516(5)`( +−−= xxxxf

D) 443 )254)(2580()`( +−−= xxxxf

8. La derivada de la siguiente función exponencial 43 +−= xey es:

A) xey 3` −=

B) xey 33` −=

C) xxey 33` −−=

D) 433` +−−= xey

9. La derivada de la siguiente función logaritmo )532ln( 23 +−= xxy es:

A)xx

xy32

6` 3

2

−=

B) xxxxy

3226` 3

2

−−=

C) 532

66` 23

2

+−−=xxxxy

D) 532

612` 23

2

+−−−=xxxxy

99


10.- La derivada de la función )36(tan)( 21 −= − xxf es:

A) 22 )36(112)`(

−+−=xxxf .

B) 22 )36(112)`(

−+=

xxxf

C) 22 )36(12)`(

−=

xxxf

D) 22 )36(121)`(

−−=

xxxf

11.- Una persona de 1.60 m de estatura corre alejándose de un poste de alumbrado que tiene una altura de 8

m. Si se desplaza a razón de 4 metros por segundo, ¿qué tan rápido cambia la longitud de la sombra?

A) sm

dtdy 1=

B) sm

dtdy 2=

C) sm

dtdy 8=

12.-La Derivada de la siguiente función que esta en forma implícita 573 2 +=− xxey y es:

A) xye

dxdy y

−+=

67

B) y

y

xeye

dxdy

−=

6

C) y

y

xeyex

dxdy

++=

67

D) y

y

xeye

dxdy

−+=

67

13.- Las ecuaciones de la tangente y de la normal de la siguiente función x

xy−+=

312

en )23,1( .

A) 0147 =−− yx Ecuación tangente.

029148 =−+ yx Ecuación normal.

B) 0147 =+− yx Ecuación tangente.

0148 =+ yx Ecuación normal.

C) 014 =−− yx Ecuación tangente.

09148 =−+ yx Ecuación normal

D) 0147 =−+ yx Ecuación tangente.

029148 =−− yx Ecuación normal


100








101


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión. I.- Resuelve el siguiente problema de aplicación de la derivada como razón de cambio. Una escalera de 13 metros de largo está recargada contra una pared vertical; la base de la escalera resbala horizontalmente alejándose de la base de la pared a razón de 2 metros por segundo. ¿Con qué rapidez resbala hacia debajo de la pared la parte alta de la escalera, cuando la parte baja de la misma se encuentra a 4 metros de aquélla? II.- Calcula la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla según le corresponda.

a) 53 )632()( −+−= xxxf

b) )27)(34()( 3 −−= xxxxf

c) 3596)( 2

4

++−=

xxxxf

d) 5 33 )54()( −= xxf

e) )42(sec)( 1 −= − xxf

f) )5

3(cot)( 1 xxf −=

g) )28(tan)( 41 −= − xxf

h) )12(csc)( 21 += − xxf

i) )56()( 2 xxsenxf +=

j) )26(cot)( 3 −= xxf

k) xxxf 22 sectan)( =

l) xxxf cos)( =

m) 3 3cos)( xxf =

n) )2ln()( xsenxf =

ñ) )93ln()( −= xxf

o) xxxf ln)( 3=

p) xexf 3csc)( =

q) 638 3

)( +−= xxexf


Nombre _________________________________________________________




102

III.- Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y de la normal de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se te señalan:

a) 1522 =−− yyx en (1,0)

b) 73 22 =+ yx en (2,1)

c) 414 22 =+ yx en (2,5) III.- De los ejercicios de la parte II; encuentra las longitudes de la tangente y de la normal de cada inciso.

UUnniiddaadd 33 VVaalloorreess mmááxxiimmooss

yy mmíínniimmooss rreellaattiivvooss yy ssuuss

aapplliiccaacciioonneess..

Objetivo: El alumno: Calculará los valores máximos y mínimos relativos de una función mediante la aplicaron de los criterios de la primera y segunda derivada, analizando los intervalos donde la función es creciente o decreciente, cóncava o convexa e identificando la existencia de puntos de inflexión, para su graficado y solución de problemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de cooperación.

Temario:

Aplicaciones de la primera derivada.

Concavidad. Aplicaciones de la derivada.

Organizador anticipado: El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias de ingeniería, ciencias naturales, económico administrativas y sociales. En esta unidad se verá como utilizar la derivada para resolver problemas de la vida diaria. La mayor parte de los problemas de las ciencias sociales son propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aun, la computadora, exacta y rápida para manejar cantidades discretas. Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos primero en curvas continuas? Por esta razón los invito a ver el contenido de esta Unidad.


104

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

VALORES MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVOS Y SUS

APLICACIONES

APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA

CONCAVIDAD

APLICACIONES DE LA DERIVADA

105

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA PPRRIIMMEERRAA DDEERRIIVVAADDAA

3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera derivada. A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, en problemas de esta naturaleza puede formularse, de tal manera que involucre maximizar o minimizar, una función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema, que es lo que se verá en esta unidad. Supongamos entonces que nos dan una función f y un dominio S como en la

figura 1. Nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un

mínimo en S . Suponiendo que tales valores existen, queremos determinar los valores máximos y mínimos.

Figura 1.

DEFINICION: Sea c un punto del dominio de S de f . Decimos que:

a) )(cf es el valor máximo de f en S si: )()( xfcf ≥ Para toda “ x ” que

pertenezca a S . b) )(cf es el valor mínimo de f en S si: )()( xfcf ≤ Para toda “ x ” que

pertenezca a S . c) )(cf es el valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo.

La cuestión de existencia ¿tiene f un máximo o un mínimo en S ? La respuesta

depende, antes que todo, del conjunto S . Veremos algunos teoremas que responde a las pregunta para algunos de los problemas que se presenten en la práctica.

33..11..

x

y

S

Y=f(x)

Isaac Newton 1642-1727 Descubrió el Teorema del binomio, los elementos de Cálculo tanto Diferencial como Integral, la Teoría del color y la Ley Universal de la Gravitación.


106

TEOREMA DE EXISTENCIA DE MAXIMOS Y MINIMOS: Si f es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, , entonces f tiene un valor máximo y un mínimo allí.

Es decir: Se requiere que f sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado.

TEOREMA DEL PUNTO CRÍTICO: Sea f definida en un intervalo I que contiene

al punto c . Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser un punto crítico; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos: a) Un punto frontera de I . b) Un punto estacionario de )0)´(( =cff .

c) Un punto singular de f en el que )´(cf no existe.

Máx.

Min.

Puntos frontera

Máx.

Min.

Puntos estacionarios

Máx.

mín

Puntos singulares.

107


CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS: Sea f una función continua sobre un intervalo abierto (a, b) que contenga al punto crítico c . (i) Si 0)´( >xf para toda x de (a, c) y 0)´( <xf para toda x de (c, b), entonces

)(cf es un máximo local (o relativo) de .f (es decir: si )´(xf cambia de positiva a negativa en c ). (ii) Si 0)´( <xf para toda x de (a, c) y 0)´( >xf para toda x de (c, b), entonces

)(cf es un mínimo local (o relativo) de .f (es decir: si )´(xf cambia de negativa a positiva en c ).

(iii) Si )´(xf tiene el mismo signo a ambos lados de c, entonces )(cf no es un

extremo local de f .

Máximo relativo en Mínimo relativo en

En vista de los teoremas anteriores, podemos establecer ahora un procedimiento muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua f en un intervalo cerrado I .


108

Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

23 32)( xxxf +−= En

−= 2,21I

Paso 1.- Encuentra los puntos críticos de f en I . a) Derivamos la función:

xxxf 66)´( 2 +−=

b) E igualamos a cero )´(xf para obtener las raíces 21, xx . Resolviendo la siguiente ecuación cuadrática tenemos.

066 2 =+− xx 0)1(6 =+−xx

Por lo tanto:

06 =x y 01=+− x

01 =x 12 =x

Los puntos críticos son: 2,1,0,21−

Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo.

a) En 21−=x tenemos:

23 32)( xxxf +−=

23 )2/1(3)2/1(2)2/1( −+−−=−f ⇒ 43

82)2/1( +=−f ⇒

1)2/1( =−f b) En 01 =x tenemos:

23 32)( xxxf +−= ⇒ 23 )0(3)0(2)( +−=xf

0)0( =f c) En 22 =x tenemos:

23 32)( xxxf +−= ⇒ 23 )2(3)2(2)2( +−=f

4)2( −=f d) En 1=x tenemos:

23 32)( xxxf +−= ⇒ 23 )1(3)1(2)1( +−=f

1)1( =f

Los valores del Intervalo como son:

21− y 2 se

consideran puntos críticos sólo por ser puntos frontera de I . (Teorema del punto crítico).

109


Acomodando los datos en una tabla, tenemos:

El valor máximo es 1 y el valor mínimo es -4.

Esta es la gráfica correspondiente a la función 23 32)( xxxf +−= Ejemplo 2.- Encuentra los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

xxxf 3)( 2 += En [ ]1,2−=I

Paso 1.- Encuentra los puntos críticos de f en I . a) Derivamos la función:

xxxf 3)( 2 += ⇒ 32)`( += xxf

b) E igualamos a cero )´(xf para obtener la raíz 1x . Resolviendo la siguiente ecuación tenemos.

032 =+x

23

1 −=x

Los puntos críticos son: 1,2,23 −−

x )(xf

-1/2 1

0 0

1 1

2 -4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4y = -2X^3+3X^2


110

Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo.

a) En 23−=x tenemos:

xxxf 3)( 2 += ⇒ )2/3(3)2/3()2/3( 2 −+−=−f ⇒49)2/3( −=−f

b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos, nuestra tabla de valores queda de la siguiente manera:

El valor máximo es 4 y el valor mínimo es -9/4.

Esta es la grafica correspondiente a la función xxxf 3)( 2 +=

x )(xf

-3/2 -9/4 -2 -2 1 4

EJERCICIO 1

INDIVIDUAL.

Identifique los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos, realiza la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones, compara los resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

a) xxxf 4)( 2 +−= en [ ]3,0=I

b) 13)( 3 +−= xxxf en )3,23(−=I

c) 1634)( 23 +−+= tttth en [ ]1,2−=I

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = x^2+3x

111


3.1.2. Derivadas de orden superior. La operación derivada toma una función f y produce una nueva función ´f . Si

ahora se deriva ´f se producirá otra función como ``f (se lee “f biprima) y que se

llama segunda derivada de f . Esta a su vez puede ser derivada para producir

´´´f , que se llama la tercera derivada de f , etcétera. Por ejemplo, sea

9353)( 23 −+−= xxxxf Entonces

3109)´( 2 +−= xxxf

1018)´´( −= xxf

18)´´´( =xf

0)´´´´( =xf Dado que la derivada de la función cero es cero, todas las derivadas de mayor orden serán cero. 3.1.3. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada. Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sean ´f y ´´f dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo

abierto (a, b) que contenga a c . Supóngase que 0)´( =xf .

(i)Si )(,0)´´( cfxf < es un máximo local de f .

(ii)Si )(,0)´´( cfxf > es un mínimo local de f .

INDIVIDUAL.

Encuentra la primera, segunda, tercera, cuarta derivada de las siguientes funciones. Entrégaselas a tu profesor para su revisión

1) 6645)( 23 −−+= xxxxf

2) 398)( 2 −−−= xxxf

3) 42 )95()( −= xxf

4) )3()( xsenxf =

EJERCICIO 2

TAREA 1

Página 131.


112

Ejemplo 1.- Para 56)( 2 +−= xxxf , use la prueba de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos. Paso 1.- Derivar la función.

56)( 2 +−= xxxf ⇒ 62)`( −= xxf Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar el valor de 1x

062 =−x 3=x ⇒ 31 =x

Este es un punto crítico. Paso 3.- Sustituimos en la segunda derivada.

2)´´( =xf

2)3´´( >f (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva.)

)(,0)´´( cfxf > Es un mínimo local de f .

Y en la primera derivada 62)´( −= xxf ⇒ 6)3(2)3´( −=f 0)3´( =f

)3(f Es un mínimo local.

56)( 2 +−= xxxf ⇒ 5)3(6)3()3( 2 +−=f ⇒ 4)3( −=f . Paso 4.- Tabulamos para señalar los valores máximos y mínimos.

El valor mínimo de la función es -4.

Ejemplo 2.- Calcula los valores máximos y mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada de la función.

21232)( 23 +−−= xxxxf Paso 1.- Derivar la función

1266)`( 2 −−= xxxf Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar las raíces de

21, xx

01266 2 =−− xx

062 =−− xx 0)1)(2( =+− xx

21 =x y 12 −=x Los cuales son puntos críticos.

x f(x)

3 -4

113


Paso 3.- Sustituimos las raíces en la segunda derivada. 612)´´( −= xxf

6)2(12)2´´( −=f ⇒ 18)2´´( =f Por el criterio de la segunda derivada como 0)2´´( >f hay un mínimo en

21 =x . Y por otro lado, para 12 −=x tenemos: 6)1(12)1´´( −−=−f

⇒ 18)1´´( −=−f Por lo tanto, para este valor 0)1``( <−f entonces hay un máximo en 12 −=x . Paso 4.- Calculamos las coordenadas y tabulamos.

X f(x)

-1 9

2 -18

21232)( 23 +−−= xxxxf

2)1(12)1(3)1(2)1( 23 +−−−−−=−f

9)1( =−f El valor del máximo está en (-1,9). Y es 9

2)2(12)2(3)2(2)1( 23 +−−=−f

18)1( −=−f El valor del mínimo está en (2,-18). Y es -18.

EN EQUIPO: Calcula los valores máximos y mínimos de las siguientes

funciones, utilizando el criterio de la segunda derivada.

1) 362)( 3 +−= xxxf

2) 151232)( 23 +++−= xxxxf

3) 5)( 23 −+= xxxf

EJERCICIO 3

TAREA 2

Página 133.


114

3.1.4.- Funciones crecientes y decrecientes. Considere la gráfica de la figura 1 y de la figura 2. A nadie sorprenderá que se diga f decreciente a la izquierda de c y creciente a la derecha., entonces existe un mínimo en c de la función; por lo tanto, existe un máximo en el caso contrario. Pero para asegurarse que estamos de acuerdo en las técnicas, precisamos las definiciones.

DEFINICION: Definamos una función f sobre un intervalo (abierto, cerrado o ninguno de los dos). Se dice que: (i) f es creciente sobre I si, para cada par de números 1x y 2x que

pertenezcan a I ,

21 xx < ⇒ )()( 21 xfxf <

(ii) f es decreciente sobre I si, para cada par de números 1x y 2x que

pertenezcan a I ,

21 xx < ⇒ )()( 21 xfxf >

(iii) f es estrictamente monótona sobre I si es creciente o decreciente sobre

I .

TEOREMA DE MONOTONIA: Sea f una función continua en un intervalo I y diferenciable en todo punto

interior de I . (i) Si 0)´( >xf para toda x interior a I , entonces f es creciente en I .

(ii) Si 0)´( <xf para toda x interior a I , entonces f es decreciente en I .

x

y

c

Creciente Decreciente

y=f(x)

Figura 1

115


Ejemplo 1.- Encuentre en que intervalo la función es creciente y decreciente.

3123)( 2 ++= xxxf Paso 1.- Encuentra la derivada.

126)`( += xxf Paso 2.- Aplicando el Teorema de monotonía. Si 0)`( >xf entonces la función es creciente en ese intervalo.

0126 >+x

2−>x La función es creciente en el intervalo ),2( ∞−

Si 0)`( <xf entonces la función es decreciente en ese intervalo.

0126 >+x 2−<x

La función es decreciente en el intervalo )2,( −−∞ Paso 3.- Realizar la grafica de la función.

X f(x) f`(x) Monotonía -3 -6 -6 Decreciente -2 -9 0 Punto de

separación de intervalos

-1 -6 6 Creciente 0 3 12 Creciente 1 18 18 Creciente

x

y

c

Creciente Decreciente

y=f(x)

Figura 2

f`(x)>0 f`(x)<0


116

Existe un mínimo que es -9 En esta tabla se ve claramente los resultados obtenidos en el paso anterior.

Esta es la gráfica de la función 3123)( 2 ++= xxxf . Ejemplo 2.- Encuentre en que intervalos la función es creciente y decreciente.

71232)( 23 +−−= xxxxf Paso 1.- Encuentra la derivada.

)2)(1(61266)`( 2 −+=−−= xxxxxf Paso 2.- Aplicando el teorema de monotonía. Si 0)`( >xf entonces la función es creciente en ese intervalo.

0)2)(1( >−+ xx Encuentra el conjunto solución. a) 0)2)(1( >−+ xx

caso1. 0)1( >+x y 0)2( >−x caso2. 0)1( <+x y 0)2( <−x

1−>x y 2>x 1−<x y 2<x ( )1,−∞−

En estos intervalos la función es creciente. Si 0)`( <xf entonces la función es decreciente en ese intervalo.

0)2)(1( <−+ xx

b) 0)2)(1( <−+ xx

Caso1.- 0)1( <+x y 0)2( >−x caso 2.- 0)1( >+x y 0)2( <−x

1−<x Y 2>x 1−>x y 2<x ( ) ( )∞−∞− ,21, y ( )2,1− En estos intervalos la función es decreciente. Los puntos de separación son el -1 y el 2; ellos dividen el eje de las x en tres intervalos que son: ( ) ( ) ( )∞−−∞− ,22,1,1, y

( )∞,2

Las desigualdades se resuelven: Tipo I: Caso1. (a)(b)>0 → a>0 y b>0 Caso2. (a)(b)>0 → a<0 y b<0 Tipo II: Caso1. (a)(b)<0 → a<0 y b>0. Caso2. (a)(b)<0 → a>0 y b<0.

x

yy = 3x^2+12x+3

117


Paso 3.- Realizar la grafica de la función. Tomando valores que pertenecen a esos intervalos que obtuvimos en el paso anterior y sustituyendo en la función podemos obtener la siguiente tabla de valores.

Tiene un máximo en (-1,14)

En el intervalo ( )1,−∞− tomamos -2 y lo sustituimos en la derivada:

1266)´( 2 −−= xxxf

12)2(6)2(6)2´( 2 −−−−=−f

0)2´( >−f Esto comprueba de que la función es creciente en este intervalo. Esta es la gráfica de la función 71232)( 23 +−−= xxxxf

EN EQUIPO:

Calcula los intervalos en que cada una de las funciones siguientes es creciente o decreciente. Realiza su gráfica y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1) 24)( 2 +−= xxxf

2) 22)( xxxf −=

3) 1)( 3 −= xxf

X f´(x) f(x) monotonía -3 60 -38 Creciente -2 24 3 Creciente -1 0 14 Punto de

separación de intervalos

0 -12 7 Decreciente 1 -12 -6 Decreciente 3 24 -2 Creciente

EJERCICIO 4

TAREA 3

Página 135.

y = 2x^3-3x^2-12x+7


118

CCOONNCCAAVVIIDDAADD

3.2.1.- Criterio de la segunda derivada. Observemos las figuras a y b que a continuación se indican; si un punto A(x, y) describe una curva, la tangente en A varía en la forma siguiente: La pendiente de tangente aumenta cuando el punto “A” describe el arco; de donde la primera derivada es una función creciente de x, por lo tanto, su segunda derivada es positiva. Cuando la tangente queda por debajo de la curva, el arco es cóncavo hacia arriba figura a.

TEOREMA DE CONCAVIDAD: Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto I .

(i) Si 0)´´( >xf para toda x de I , entonces f es cóncava hacia arriba en I .

(ii) Si 0)´´( <xf para toda x de I , entonces f es cóncava hacia abajo en I .

Ejemplo 1.- Usa el teorema de concavidad para determinar donde es cóncava hacia arriba y donde es hacia abajo de la siguiente función.

xxxf 12)( 3 −= Paso 1.- Encuentra la primera y segunda derivada de la función.

123)´( 2 −= xxf Los puntos críticos son: -2,2

xxf 6)´´( =

33..22..

Al inicio de la Unidad se vio cómo encontrar puntos críticos. (Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces).

119


Paso 2.- Aplicando el criterio de la segunda derivada. (i) Si 0)´´( >xf para toda x de I , entonces f es cóncava hacia arriba en I .

06 >x 0>⇒ x la función es cóncava hacia arriba en ),0( ∞

(ii) Si 0)´´( <xf para toda x de I , entonces f es cóncava hacia abajo en I .

xxf 6)´´( =

06 <x 0<⇒ x la función es cóncava hacia abajo en )0,(−∞ Paso 3.- Tabular para graficar la función.

Aquí podemos ver que la segunda

derivada es menor que cero. Aquí la segunda derivada es

mayor que cero. Además, la función tiene un máximo en el punto (-2,16) y un mínimo en el punto (2,-16). El valor del máximo es 16 y el valor del mínimo es -16. Esta es gráfica de la función xxxf 12)( 3 −=

X f(x) f´´(x)

-3 9 -18

-2 16 -12

0 0 0

2 -16 12

−21−18−15−12 −9 −6 −3 3 6 9 12 15 18 21

−16

16

x

y


120

3.2.2.- Puntos de inflexión. Si la concavidad de una curva cambia de sentido, entonces la segunda derivada cambia de signo, y en consecuencia es igual a cero en el punto de inflexión.

PUNTOS DE INFLEXION: Sea f una función continua en c . Decimos que

( ))(, cfc es un punto de inflexión de la gráfica de f si f es cóncava hacia arriba a un lado de c y cóncava hacia abajo en el otro lado. Ver la siguiente figura.

EJEMPLO 1.- Calcula los puntos de inflexión de la siguiente función.

72)( 34 −+= xxxf

Paso 1.- Calculamos la primera y segunda derivada. 23 64)´( xxxf +=

xxxf 1212)´´( 2 += Paso 2.- Igualamos a cero la segunda derivada.

01212 2 =+ xx 0)1(12 =+xx

012 =x Y 01=+x 01 =x Y 12 −=x

Tenemos que los puntos críticos son x= 0 y x=-1.

Puntos de inflexión

Cóncavo hacia abajo Cóncavo

hacia arriba Cóncavo hacia arriba

121


Paso 3.- Analizamos con valores alrededor de estos puntos críticos en la segunda derivada realizando una tabla de valores.

Alrededor del -1 cambia de signo, quiere decir que: (-1,8) es un punto de inflexión y el (0,-7) es otro punto de inflexión.

Paso 4. - Realizar la gráfica. 3.2.3.- Trazado de curvas. Para bosquejar la gráfica de una función )(xfy = procedemos en la forma siguiente como se ilustra en el ejemplo 1, haciendo todo lo que se vio anteriormente en toda esta unidad. EJEMPLO 1.- Encuentra los puntos críticos, calcula los valores máximos y mínimos, determine en que intervalo la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y, además, señala los puntos de inflexión. Dibuje después la gráfica.

xxxf 261)( 3 −=

x f(x) f´´(x) Signo de la 2da. derivada

-2 -7 24 +

-1 -8 0

-1/3 -8 -24/9 -

-1/2 -3 -

0 -7 0

1 -4 24 +

−13−12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314

12−11−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1

123456789

1011

x

yy = x^4+2x^3-7


122

Paso 1.- Encuentra la primera y segunda derivada.

221)´( 2 −= xxf

Los puntos críticos son: 21 −=x y 22 =x .

xxf =)´´(

Paso 2.- Aplicamos el teorema de monotonía. Para un valor de 1xx < y 1xx > , podemos realizar la siguiente tabla

Paso 3.- Aplica el Teorema de concavidad. La segunda derivada ( 0)´´( >xf ) es positiva desde ),0( ∞ , por lo tanto es cóncava hacia arriba en ese intervalo. La segunda derivada ( 0)´´( <xf ) es negativa desde )0,(−∞ , por lo tanto es cóncava hacia abajo en ese intervalo. Paso 4.- Realizar la gráfica.

X f(x) f´(x) f´´(x) -3 3/2 5/2 -3 0)´( >xf f Es creciente.

-2 8/3 0 -2

)38,2(− Punto de inflexión

-1 11/6 -3/2 -1 0)´( <xf f Es decreciente.

0 0 -2 0 ( )0,0 Es un punto de inflexión

1 -11/6 -3/2 1 0)´( <xf f Es decreciente

2 -8/3 0 2 )3/8,2( − Punto de inflexión.

3 -3/2 5/2 3 0)´( >xf f Es creciente.

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−8−7−6−5−4−3−2−1

1234567

x

yy = 1/6x^3-2x

123


EN EQUIPO : Encuentra los puntos críticos, calcula los valores máximos y

mínimos, determina en qué intervalo la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y además señala los puntos de inflexión. Dibuje después la gráfica.

1) 42)( 23 −+= xxxf

2) 14)( 2 −−= xxxf

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA DDEERRIIVVAADDAA

3.3.1.- Problemas prácticos de máximos y mínimos. Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande, menor costo, menor tiempo, más voltaje, la mayor productividad, menor esfuerzo, más resistente, etcétera, se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de máximos y mínimos. Se presentan los siguientes casos: a) En el primero, el problema incluye una función específica que permite su

solución. b) En el segundo caso, la función se desconoce y es necesario obtenerla

utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema, o únicamente con los datos disponibles.

c) En ambos casos, para obtener la solución se recomienda: 1) De ser posible trazar una gráfica. 2) Asignar una incógnita a cada una de las cantidades que se citan en

el problema. 3) Seleccionar la cantidad a obtener su máximo o su mínimo y

expresarla en función de las otras cantidades. 4) Si resulta una función de una sola variable aplicamos los

procedimientos ya estudiados para obtener los máximos y los mínimos.

PROBLEMA 1.- Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace su recorrido de

15 minutos según la ecuación 1004

1444

2 +−= tts ; si se mide el tiempo y el

espacio en metros, calcula: a) Distancia que recorre el móvil. b) Velocidad máxima que alcanza. c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

33..33..

EJERCICIO 5

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.matematicastyt.cl/.../inicio.htm


124

RESOLUCION: a) Distancia que recorre en 15 minutos.

1004

144)(4

2 +−== tttfs

Cuando 15=t tenemos:

1004)15()15(144)15(4

2 +−=f ⇒ min844,19)15( =f

b) Velocidad y aceleración.

44288)´(3tttf −= ⇒ 3288)´( ttf −= ⇒ 23288)´´( ttf −=

Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo, debe haber aceleración (positiva) en el momento en que la aceleración es cero; y pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a disminuir; por esto, el punto crítico es cuando 0=a (aceleración igual a cero).

Entonces: 23288)´´( ttfa −==

03288 2 =− t

2883 2 −=− t

32882 =t

min8.996 ==t es un punto crítico. Analizamos en la aceleración:

23288 ta −= Con 8.9=t Para un valor menor de 8.9=t , sea 9=t

23288)´´( ttf −=

45)9(3288)9´´( 2 =−=f

La 0)´´( >tf . (La aceleración resultó positiva) Para un valor mayor de 8.9=t , sea 10=t

23288)´´( ttf −=

12)10(3288)10´´( 2 −=−=f La 0)´´( <tf . (La aceleración resultó negativa)

Como pasa de positiva a negativa, decimos que existe un máximo en 8.9=t . Y la velocidad máxima en ese tiempo es:

3288)´( ttf −=

21.1881)8.9(288)´( 3 =−=tf

min/21.1881 mv =

La primera derivada en física se le llama velocidad y a la segunda derivada se le llama aceleración.

125


c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

1004

144)(4

2 +−== tttfs

mf 624,1110067.230576.829,131004)8.9()8.9(144)8.9(4

2 =+−=+−=

SOLUCION: El móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos; a los 9.8 minutos alcanza su máxima velocidad de 1881.21 m/min., habiendo recorrido 11,624 metros. PROBLEMA 2.- Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares adyacentes idénticos, cada uno de 900 metros cuadrados de área, como se muestra en la figura. ¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda?

PLANTEAMIENTO: Área = A = 1800m2 xyA 2=

Perímetro = P yxP 34 += Paso 1.- Como no estamos acostumbrados a utilizar dos incógnitas, despejaremos una de ellas de la ecuación del área. Y la sustituiremos en la ecuación del perímetro, ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales.

xyA 2=

xy21800 =

xy

21800=

xy 900=

yxP 34 +=

+=x

xxP 90034)(

x

xxP 27004)( += Así quería el perímetro en función de “x”.

x

y


126

Paso 2.- Derivamos P(x).

xxxP 27004)( += Esta función también se puede expresar de la siguiente

manera:

127004)( −+= xxxP Ya que así es más fácil para derivarla. 227004)´( −−= xxP

Es decir:

227004)´(x

xP −=

Paso 3.- Igualamos a cero la derivada para obtener sus raíces.

227004)´(x

xP −=

027004 2 =−x

Despejamos “x”.

427002 −=x

675=x

315)3()15( 2 ==x Este es un punto crítico.

Paso 4.- analizamos los valores de la primera derivada para 98.25315 ==x Tomamos un valor menor a 98.25=x , sea 24=x .

2

27004)´(x

xP −=

6875.0)24(

27004)24´( 2 −=−=P

La 0)´( <xP

127


Tomamos un valor mayor a 98.25=x , sea 27=x .

2962.0)27(

27004)27´( 2 =−=P

La 0)´( >xP

Eso quiere decir que tiene un mínimo en 98.25=x

xy 900=

64.3498.25

900 ==y

SOLUCION: Los valores que deben medir “x” y “y” son: 98.25=x y 64.34=y y la mínima cantidad de barda que se necesita es de 207.84 metros.

3.3.2.- Aplicaciones en las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales.

PROBLEMA 3.- Una maquiladora puede vender 1,000 aparatos por mes a $5.00 cada uno; si acepta bajar el precio unitario en dos centavos, podrá

vender 10 piezas más. Calcula cuántas piezas se deben vender para obtener la utilidad máxima y cuál sería el ingreso al venderlas. PLANTEAMIENTO: 1000+x número de unidades por vender.

xx 002.0510

02.05 −=

− Precio de cada unidad.

Paso 1.- El ingreso I es igual al número de unidades por el precio unitario.

)002.05)(1000( xxI −+= 2002.0255000 xxxI −−+=

2002.035000 xxI −+= Paso 2.- Calculamos la derivada de I .

2002.035000)( xxxfI −+==

xxf 004.03)´( −= Paso 3.- Igualamos a cero la derivada para obtener las raíces.

0004.03 =− x

004.03=x

750=x Punto crítico.

Vocabulario económico: Como la economía tiende a ser el estudio de fenómenos discretos, su profesor puede definir el costo marginal de x como el costo de producir una unidad adicional, esto es,

)()1( xCxC −+

Y

dxdC

Es el costo marginal


128

Tomamos un valor poco menor a 750=x , sea 700=x xxf 004.03)´( −=

)700(004.03)700´( −=f

200.0)700´( =f

La 0)´( >xf Tomamos un valor poco mayor a 750=x , sea 800=x

)800(004.03)800´( −=f

200.0)800´( −=f

La 0)´( <xf

Como pasa de positivo a negativo, decimos que existe un máximo en 750=x . SOLUCION: El ingreso es máximo si se vende 1000 +750 =1750 piezas a $4.98 cada una; se obtiene un ingreso de $8,715.00 pesos. PROBLEMA 4.- El director de una editorial ha observado que si fija el precio de un determinado libro, $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho Ingreso? PLANTEAMIENTO: I = Ingreso x= número de pesos en que se incrementa el precio del libro.

x+20 = es el nuevo precio del libro. x400 = es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que

aumenta el precio. x400000,10 − = es el nuevo número de ejemplares vendidos.

Entonces la función que representa al ingreso en términos del número de pesos en que se aumenta el precio del libro es:

)400000,10)(20()( xxxI −+=

Esta función )(xI recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que requiere optimizar.

para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.http://actividadesinfor.webcindario.com/.com/derivadasaplicaciones.htm www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial.

¿Cómo crees que se calculan los ingresos? Los Ingresos se calculan multiplicando el precio de artículos vendidos

129


SOLUCION: PASO1.- Aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la función resultante, para encontrar el valor de x.

)400000,10)(20()( xxxI −+=

)20(400)400000,10)(1()´( xxxI +−−=

xxxI 4008000400000,10)´( −−−=

xxI 8002000)´( −= Igualando a cero tenemos:

02000800 =+− x

Por lo tanto, despejando el valor de x tenemos:

8002000

−−=x

5.2$=x

Que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el máximo Ingreso. De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el máximo Ingreso. Para calcular el Ingreso máximo se sustituye x=2.5 en la función objetivo y resulta:

)400000,10)(20()( xxxI −+=

))5.2(400000,10)(5.220()5.2( −+=I

00.500,202)5.2( =I Que representa el máximo Ingreso.

EQUIPO: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de máximos y

mínimos, compara con tus compañeros los resultados obtenidos y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- El costo total de producir y vender 100x unidades de una mercancía particular

por semana es 329331000)( xxxxC +−+= encuentre: a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo. b) El costo marginal mínimo.

2.- Para la función precio dada por 33

800)( −+

=x

xP encuentre el número de

1x de unidades que hace máximo el ingreso total y establezca el valor de éste.

¿Cuál es el ingreso marginal cuando se vende el número óptimo 1x de unidades?

3.- El gas de un globo esférico se escapa a razón de min

000,13cm

en el mismo

instante en que el radio es de 25cm. a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio? b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?

TAREA 4

Páginas 137.

EJERCICIO 6


130

131


INSTRUCCIONES: Identifica los puntos críticos. Usa después el criterio de la primera derivada para calcular los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1) 23)( xxf −= ; [ ]2,2−=I

2) 25)( 2 ++= xxxf ; [ ]4,3−=I

3) [ ]3,0;16)( 2 =−+= Ixxxf

4) [ ]1,2;3)( 2 −=−= Ixxxf

5) [ ]1,2;1634)( 23 −=+−+−= Itttxf

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


132


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

133


INSTRUCCIONES: Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y utiliza el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores máximos y mínimos. Entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) 23)( 23 +−= xxxf

2) 54)( 3 +−= xxxf

3) 141)( 4 += xxf

4) 34 43)( xxxf −=

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


134


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

135


INSTRUCCIONES: De las siguientes funciones encuentra en qué intervalos son crecientes y decrecientes; además, señala de dónde a dónde es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y encuentra los puntos de inflexión e indica en qué punto tiene un máximo o un mínimo y realiza su gráfica.

1) 224)( xxxf −=

2) 1394)( 23 −+= xxxf

3) 65)( 2 ++= xxxf

4) tttg 9)( 4 −=

5) 27)( 3 −= xxg

6) 46 3)( xxxf −=

7) 2)3()( −= xxf

8) 29)( ttf −=

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


136


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

137


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de las derivadas. 1.- Suponga que un ranchero escoge hacer tres corrales adyacentes, cada uno de 900 metros

cuadrados de área, como se muestra en la figura, ¿Cuánto deben medir x y y para hacer mínima la cantidad de barda que se necesita?

2.- Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 15 centímetros de

largo por 9 de ancho; cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando

los lados, como se muestra en la figura, encuentre las dimensiones de la caja de

máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?

3.- La compañía ZEE fabrica abrigos que vende al precio de xxP 001.010)( −=

dólares, donde x es el número producido cada mes. Su costo mensual total es

201.04200)( xxxC −+= . La producción máxima es de 300 unidades. ¿Cuál sería la utilidad máxima

mensual y qué nivel de producción da esta utilidad?

15- 2x

9-2x

x

x

15

9

x

x

y

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


138


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

139


INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. El valor máximo y mínimo de la siguiente función 163)( 2 ++= xxxf utilizando el criterio de la primera

derivada en el intervalo ]1,2[−=I es:

A) El valor mínimo está en )2,1( −− y el valor máximo está en )10,1(

B) El valor mínimo está en )2,1(− y el valor máximo está en )10,1(−

C) El valor mínimo está en )4,1(− y el valor máximo está en )9,1(−

D) El valor mínimo está en )5,1( y el valor máximo está en )10,1(

2.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 2

4 1)(xxxf += , según el criterio de la segunda derivada

son: A) El valor mínimo está en )2,2(− y un máximo está en )6,2( .

B) El valor mínimo está en )2,1( y un mínimo está en )2,1(− .

C) El valor mínimo está en )2,5( y un mínimo está en )2,2(− .

D) El valor mínimo está en )6,1( y un máximo está en )5,1(− .

3.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 86)( 23 +−= xxxf , según el criterio de la segunda derivada son:

A) El valor mínimo está en )2,0( y un máximo está en )3,2( − .

B) El valor mínimo está en )2,4(− y un máximo está en )6,4( .

C) El valor mínimo está en )24,4( − y un máximo está en )8,0( .

D) El valor mínimo está en )0,2(− y un máximo está en )6,0( .

4.- Los intervalos en que la función 163)( 2 ++= xxxf es creciente o decreciente son:

A) En )1,( −−∞ es decreciente y en ),1( ∞− es creciente.

B) En )2,( −−∞ es decreciente y en ),2( ∞ es creciente.

C) En )1,(−∞ es decreciente y en ),1( ∞− es creciente.

D) En )5,( −−∞ es decreciente y en ),4( ∞− es creciente.

5.- La concavidad de la siguiente función 362)( 23 +−= xxxf está dada en los intervalos:

A) Cóncava hacia abajo en )3,(−∞ y cóncava hacia arriba en ),3( ∞ .

B) Cóncava hacia abajo en )1,(−∞ y cóncava hacia arriba en ),1( ∞ .

C) Cóncava hacia abajo en )1,( −−∞ y cóncava hacia arriba en ),1( ∞− .

D) Cóncava hacia abajo en )4,( −−∞ y cóncava hacia arriba en ),3( ∞ .

Nombre _________________________________________________________



AUTOEVALUACIÓN


140

6.- Los puntos de inflexión de la siguiente función 3)2()( +−= xxf son:

A) )2,3()0,5( y

B) )3,2()4,1( y−

C) )0,2(

D) )2,3( 7.-Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuyo producto

sea de 288 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo. Los números son: A) Un número es el 12 y el otro es el 24 . B) Un número es el 10 y el otro es el 20 . C) Un número es el 12− y el otro es el 24− . D) Un número es el 11 y el otro es el 22 . 8.- Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuya suma

sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo de otro sea el producto máximo; el valor de este es: A) Cuando 6=x se obtiene un máximo igual a 456,3 .

B) Cuando 3=x se obtiene un máximo igual a 289,1 .

C) Cuando 8=x se obtiene un máximo igual a 496,8 .

D) Cuando 6=x se obtiene un máximo igual a 956,3 . 9.- Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 metros, de manera que el rectángulo sea

de área máxima. El área y sus dimensiones son:

A) El área máxima es de 21600m ; las dimensiones del rectángulo son de m40 por lado.

B) El área máxima es de 23600m ; las dimensiones del rectángulo son de m60 por lado.

C) El área máxima es de 22500m ; las dimensiones del rectángulo son de m50 por lado.

D) El área máxima es de 24900m ; las dimensiones del rectángulo son de m70 por lado. 10.- En la manufactura y venta de x unidades de cierta mercancía la función precio p y la función costo C (en

dólares) están dados por: xxp 002.000.5)( −=

xxC 10.100.3)( += Determine el nivel de producción que produce la máxima utilidad total. A) La utilidad máxima es de 25.1998$)995( =p

B) La utilidad máxima es de 25.898$)562( =p

C) La utilidad máxima es de 55.698$)255( =p

D) La utilidad máxima es de 25.1898$)975( =p








141


INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- Encuentra los puntos críticos, los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando el criterio de la primera derivada. Realiza su gráfica.

a) xxxf 5)( 2 += en ]2,2[−=I .

b) 163)( 3 +−= xxxf en ]2,3[−=I 2.- Calcula la primera, segunda, tercera, cuarta derivada si existe de las siguientes funciones.

a) 9365)( 34 ++−= xxxxf

b) 53 )68()( xxxf −=

c) )4csc()( xxf = 3.- Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones. Realiza su gráfica.

a) 125)( 2 ++= xxxf

b) 636)( 23 +−−= xxxf 4.- Encuentra en que intervalos la función es creciente o decreciente, utiliza las funciones del ejercicio 1. 5.- utiliza el teorema de concavidad para determinar donde es cóncava hacia abajo o hacia arriba y además indica cuales con los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Realiza la gráfica.

a) 22)( 34 +−= xxxf

b) 12)( 23 ++= xxxf RESUELVE LOS SIGUIENTGES PROBLEMAS DE APLICACIONES DE MAXIMOS Y MÍNIMOS. 6.- Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto que tiene como radio cmb 4= y como altura cma 12= . Ver la figura. 7.- El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles es de $8000 y hay un costo directo de $110. Por cada unidad producida. Escriba una expresión )(xC , el costo total de fabricar muebles en un mes.


Nombre _________________________________________________________




142

143

UNIDAD 1

UNIDAD 2

UNIDAD 3

1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. A

1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 8. D 9. C 10. B 11. A 12. D

1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. B

10. D

Claves de Respuestas

144

CÁLCULO DIFERENCIAL

Estudia el incremento en las variables; puede ser la distancia recorrida por un objeto en movimiento en un tiempo determinado.

CONCAVIDAD Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba) cuando su segunda derivada es positiva.

CONVEXIDAD Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa) cuando su segunda derivada es negativa

DERIVADA La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

DIFERENCIACIÓN Es el proceso de calcular derivadas. FUNCIÓN CRECIENTE

Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) también aumenta.

FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función es decreciente cuando al aumentar la variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) disminuye.

FUNCIÓN EXPLÍCITA

Es aquella en la es posible expresar una variable en términos de la otra.

FUNCIÓN IMPLÍCITA Es aquella en la que no se le puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Es decir, no es posible expresar una variable en términos de la otra.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo.

PUNTO DE INFLEXIÓN

Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un cambio en la concavidad de la gráfica.

RAZÓN Es comparar dos cantidades por cociente. RECTA NORMAL Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de

contacto a la curva en dicho punto. VELOCIDAD Es la razón de cambio de la distancia con respecto al

tiempo. VELOCIDAD PROMEDIO

Es la distancia entre la primera posición y la segunda, dividida entre el tiempo consumido.

FUNCIÓN

Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento de X le corresponda uno y solamente uno de los elementos de Y.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de los elementos del conjunto.

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de los elementos del conjunto y que son imagen de un valor X.

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente, cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo.

EVALUAR O DETERMINAR EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COC IENTE

Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten convertir a una función indeterminada a una función determinada.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Representación en un sistema rectangular de coordenadas de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera) de una función particular.

PAR ORDENADO

Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del punto. Al valor de X se llama abcisa y el valor de Y se llama

Glosario

145

ordenada. CONTINUIDAD

Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el dominio de f(x) y si: 1) f(c) está definida 2) Lim f(x) existe x c 3) Lim f(x)=f(c) x c

LÍMITES LATERALES

Son una herramienta desarrollada para dar lugar a precisiones.

DISCONTINUIDAD

Cuando una función no cumple con las tres condiciones de continuidad.

RAZÓN

Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra.

PENDIENTE DE UNA RECTA

La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación por ø y la pendiente por m tenemos: Tanø =m

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Existencia de límite: (definición) Lim f(x+h) – f(x) razón de cambio instantáneo x 0 h

PENDIENTE DE UNA CURVA

La pendiente de una curva en p(x,f(x)), punto de la curva de ecuación Y= f(x), es f´(x1), pendiente de la tangente a la curva en p.

LEYES DE LOGARITMOS

Si M > 0 y N > 0 entonces; 1. Log M . N = Log M+ Log N 2. Log M/N = Log M – Log N 3. Log MN = N Log M

DISCONTINUIDAD REMOVIBLE

Es cuando f(x) está definida y al cambiar el valor de la función En x0 produce una función que es continua en x0.

DISCONTINUIDAD DE SALTO

Una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto Lim f(x) como Lim f(x) existen y Lim f(x) ≠ Limf(x) x x0

- x x0+ x x0

- x x0+

tal discontinuidad no es removible. TEOREMA DE VALOR INTERMEDIO

Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0

en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c TEOREMA DE VALOR EXTREMO

Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M y un valor máximo M en el infinito.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES alnx = x Y LA FUNCIONES EXPONENCIALES SON INVERSAS Ln(ax) = x RAZÓN DE CAMBIO ∆Y = cambio en Y = f(x+h) – f( PROMEDIO ∆X cambio en X h VELOCIDAD PROMEDIO ∆S = desplazamiento DE UN CUERPO EN UN ∆t tiempo INTERVALO DE TIEMPO

146

AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill. FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de la

Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V. FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill. MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica. PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial

Prentice Hall. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.

Bibliografía General

cálculo diferencial e integral i - ciencias exactas csjic · pdf file4 reglas de...

Documents