clave-107-1-m-2-00-2012
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Examen Fiusac Matemática Intermedia 1TRANSCRIPT
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Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICA
Curso: Matemtica Intermedia 1
Tipo de examen: Primer Parcial
Elaborado por Edgar Salguero
Fecha 27/08/2012
Semestre: Segundo
Horario de Examen: 9:00 10:50 Jornada: Matutina
Reviso: Inga. Vera Marroqun
Nombre de la clave: Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
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Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
TEMARIO DIGITALIZADO Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el nmero de helados de vainilla menos en nmero de los de chocolate es igual a tres veces los de fresa. a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuntos helados de cada sabor se compran a la
semana. b) Resuelve, mediante el mtodo de Gauss. Concluya si tiene solucin o es inconsistente el sistema.
Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solucin del sistema usando = 1. Determine la inversa de dos formas:
i. Usando cofactores. ii. Por el mtodo de Gauss-Jordan (por
operaciones elementales o de equivalencia)
+ = 3 2 = 5
Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de ecuaciones:
2 + = 1 + 2 = 1
Tenga: a) Solucin nica. b) Infinitas soluciones. c) No tenga solucin.
Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando propiedades y cofactores.
=
2 4 2 10 2 1 22 1 2 41 2 4 2
Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solucin del sistema utilizando el mtodo de Gauss. Expresar la solucin en forma matricial o vectorial.
3 4
2 8
X Y Z W
X Y Z W
Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.
a. 64+23+72+2+3
3(2+1)2 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F & G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0
respectivamente, luego de realizar fracciones parciales. (14 puntos)
. 2 . 1 3
22
d.
2+2 +cos e.
3
4
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Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
SOLUCIN
Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran
semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El
presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada
helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el
de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el nmero de
helados de vainilla menos en nmero de los de chocolate es igual a tres veces los
de fresa.
a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuntos helados de
cada sabor se compran a la semana.
X= Numero de Helados de vainilla
y= Numero de Helados de chocolate
z= Numero de Helados de fresa
Planteando el sistema de ecuaciones:
+ + = 110
4 + 5 + 6 = 540
= 3
b) Resuelve, mediante el mtodo de Gauss. Concluya si tiene solucin o es
inconsistente el sistema.
1 1 14 5 61 1 3
110540
0
2 413 1
= 1 1 10 1 20 2 4
110100
110
3 + 22
= 1 1 10 1 20 0 0
11010090
El sistema es inconsistente
Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solucin del sistema usando = 1.
Determine la inversa de dos formas:
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+ = 3
2 = 5
i. Usando cofactores.
1 12 1
35
Sea A= 1 12 1
11 = 1 2 1 = 1
12 = 1 3 2 = 2
21 = 1 3 1 = 1
22 = 1 4 1 = 1
= 1 21 1
= 1 12 1
=
= 1 12 1
= [1 1 ] [1 2] = 3
1 =1
=
Multiplicamos y encontramos la matriz inversa
1 =1
=
1
3
1 12 1
= 1/3 1/32/3 1/3
ii. Por el mtodo de Gauss-Jordan (por operaciones elementales o de
equivalencia)
1 12 1
1 00 1
2 21 = 1 10 3
1 0
2 1 2
1
3=
1 10 1
1 0
2/3 1/3
1 10 1
1 0
2/3 1/3 1 2 =
1 00 1
1/3 1/32/3 1/3
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1 = 1/3 1/32/3 1/3
Encontrando la solucin del sistema
Como = 1
Entonces
= 1/3 1/32/3 1/3
35
=1
3 3 +
1
3 5 = 1 +
5
3=
8
3
=2
3 3 +
1
3 5 = 1
5
3=
1
3
Tema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m para que el sistema de
ecuaciones:
2 + = 1
+ 2 = 1
= 2 2
11
= 0 =
Entonces igualamos el determinante a 0
2 2
= 4 2 = 0 = 2
Probando con m= 2
2 22 2
11 1
1
2=
1 12 2
1/2
1 2 21 =
1 10 0
1/2
0
= 2
Probando con m=-2
2 2
2 2
11 1
1
2=
1 12 2
1/2
1 2 + 21 =
1 10 0
1/2
2
-
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= 2
RESPUESTAS
a) Solucin nica. 2 2
b) = 2
c) = 2
Tema No.4 (10 puntos): Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando
propiedades y cofactores.
=
2 4 2 10 2 1 22 1 2 41 2 4 2
Utilizando propiedades
2 4 2 10 2 1 22 1 2 41 2 4 2
3 24 =
2 4 2 10 2 1 20 5 10 01 2 4 2
1 + 24
=
0 0 10 50 2 1 20 5 10 01 2 4 2
Utilizando cofactores
= 10 1 1+3 2 25 0
+ 5 1 1+4 2 15 10
= 10 0 10 5 20 5 = 225
Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solucin del sistema utilizando el mtodo de
Gauss. Expresar la solucin en forma matricial o vectorial.
-
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3 4
2 8
X Y Z W
X Y Z W
1 31 2
1 1
1 1
48 2 1 =
1 30 1
1 1
2 0
44 2 1
= 1 30 1
1 12 0
4
4
+ 3 + = 4
= 2 4
= 4 3 2 4 +
= 16 7 +
=
16400
+
7210
+
1001
Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.
a. 64+23+72+2+3
3(2+1)2 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F &
G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0 respectivamente, luego de realizar fracciones
parciales. (14 puntos)
64 + 23 + 72 + 2 + 3
3(2 + 1)2=
+
2+
3+
+
2 + 1+
+
(2 + 1)2
-
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64 + 23 + 72 + 2 + 3
3(2 + 1)2
= 1
+
2
2+
3
3+
2
2 + 1+
2 + 0
(2 + 1)2
= 1
+
2
2 +
3
3 +
2
2 + 1 +
2 + 0
(2 + 1)2
= 1
+
2
2 +
3
3
2 + 1
2
2 + 1
+ 2
(2 + 1)2
Resolviendo cada integral
1
=
2
2 =
2
3
3 =
3
22
2 + 1 = = 2 + 1 = 2 =
1
2ln(2 + 1)
2
2 + 1 = 2 tan1
2
(2 + 1)2 = 2 + 1 = 2 =
1
2 + 1
-
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64 + 23 + 72 + 2 + 3
3(2 + 1)2
= 2
3
22
1
2ln 2 + 1 2 tan1
1
2 + 1+
. 2
Utilizando la tcnica de integracin por partes
= 2 =
= 2 =
= = 2 2
Utilizando la tcnica de integracin por partes para la integral 2
= 2 =
= 2 =
2 = 2 2
2 = 2 + 2
2 = 2 2 + 2
2 = 2 + (2 2)+c
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. 1 3
22
2 2 + 1 = 1 ( 1)
1 3
1 2 1
Sustituyendo
= 1
=
3
2 1
Utilizando la tcnica de integracin por partes
= 2 =
2 1
= 2 = 2 1
2 2 1 2 2 1
2 2 1 2
3(2 1)
3
2
( 1)2 ( 1)2 1 2
3(( 1)2 1)
3
2 +
-
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d.
2+2 +cos
= tan
2
=2
2 + 1
=1 2
2 + 1
=2
2 + 1
Sustituyendo
2
2+1
2+2 2
2+1 +
12
2+1
=
2
2+1
22+2+4+12
2+1
=
2
2+1
2+4+3
2+1
=
22+4+3=2+3(+1)
Resolviendo por fracciones parciales
2
+ 3 ( + 1)=
( + 3)+
( + 1)
1 = + 1 + + 3
=
= 1 3
= 1
2 =
1
2
-
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2
+ 3 ( + 1)=
1
2
( + 3)+
1
2
( + 1)
2
1
2
( + 3)+ 2
1
2
( + 1)
ln + 3 + ln + 1
Regresando = tan
2
ln tan
2 + 3 + ln tan
2 + 1
e.
3
4 =
56
34
Sustituyendo
= 12
= 1211
1211
10 9=
1211
9( 1)=
122
( 1)
= 12 + 12 +12
1
=62 + 12 + 12ln( 1)
= 61
6 + 121
12 + 12ln(1
12 1)