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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERรA
DEPARTAMENTO DE MATEMรTICA
CURSO: Matemรกtica Bรกsica 1
TIPO DE EXAMEN Segundo Examen Parcial
AUXILIAR Juan Carlos Figueroa Schwartz
FECHA DE EXAMEN: 09 de octubre de 2,019
SEMESTRE Segundo Semestre
HORARIO DE EXAMEN 14:50-16:30
REVISADO POR: Ing. Cesar Ovalle
COORDINADOR: Ing. Josรฉ Alfredo Gonzรกlez Dรญaz
DIGITALIZADO POR Juan Carlos Figueroa Schwartz
SEGUNDO EXMANEN PARCIAL
TEMARIO LTE
Tema 1 (20 puntos)
Dado el polinomio: ๐(๐ฅ) = 6๐ฅ6 โ 23๐ฅ5 + 24๐ฅ4 + 13๐ฅ3 โ 10๐ฅ2 Determinar:
a) La tabla de las posibles raรญces. b) El conjunto de las posibles raรญces. c) Las raรญces del polinomio. d) El polinomio en forma factorizado.
Tema 2 (20 puntos) Determine la ecuaciรณn general de la lรญnea recta que pasa por el centro de la
circunferencia 4๐ฅ2 + 4๐ฆ2 + 12๐ฅ โ 20๐ฆ + 16 = 0 y es perpendicular a la recta 2๐ฆ โ ๐ฅ โ 11 = 0.
Tema 3 (20 puntos)
Dadas las funciones: ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ2 โ 3, ๐(๐ฅ) = โ1 โ ๐ฅ2, โ(๐ฅ) = 2๐ฅ + 5, encontrar:
a) El dominio y el rango de ๐(๐ฅ) b) (๐ ๐ ๐)(๐ฅ) c) โ(2) + ๐(1) d) Grafique ๐ฆ = โ๐(2๐ฅ)
Tema 4 (20 puntos) La secciรณn transversal de una barra de acero tiene una forma de un hexรกgono regular de lado 1.2 centรญmetros. Encuentre el peso de una barra de 4 metros de longitud, si se sabe que la barra pesa 7.8 gramos por centรญmetro cubico.
Tema 5 (20 puntos)
Sea ๐(๐ฅ) es el polinomio con coeficiente enteros que tiene como raรญces : ๐ฅ = 4 de
multiplicidad 2, ๐ฅ = โ2, ๐ฅ = 2, ๐ฅ = โ2๐ + 1 y ๐(0) = โ4. Determine: a) El
coeficiente principal, b) La grafica del polinomio ๐(๐ฅ).
Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingenierรญa Departamento de matemรกtica
Matemรกtica Bรกsica 1 Jornada Vespertina
9 de octubre de 2019
SOLUCIรN DEL EXAMEN
Tema 1 (20 puntos)
๐(๐ฅ) = 6๐ฅ6 โ 23๐ฅ5 + 24๐ฅ4 + 13๐ฅ3 โ 10๐ฅ2
1.
El polinomio es de grado 6. El polinomio puede ser
factorizado para obtener dos factores de la expresiรณn
polinรณmica. ๐ฅ2(6๐ฅ4 โ 23๐ฅ3 + 24๐ฅ2 + 13๐ฅ โ 10)
2. Se iguala a cero el primer factor. Se obtiene la primera
raรญz del polinomio de multiplicidad 2.
๐ฅ2 = 0
๐ฅ = 0
3. a.) Para obtener la tabla de las posibles raรญces se utiliza
el mรฉtodo de Variaciรณn de signo en el segundo factor. 6๐ฅ4 โ 23๐ฅ3 + 24๐ฅ2 + 13๐ฅ โ 10
4. Contando la variaciรณn de signos, se determina la
cantidad de posibles raรญces positivas. 3 ๐ 1 ๐๐๐๐ง ๐๐๐ ๐๐ก๐๐ฃ๐
5. Para determinar la cantidad de raรญces negativas se
evalรบa la expresiรณn polinรณmica en โ โ ๐ฅโ ๐(โ๐ฅ) = 6๐ฅ4 + 23๐ฅ3 + 24๐ฅ2 โ 13๐ฅ โ 10
6.
Se realiza nuevamente el conteo de variaciรณn de
signos para determinar la posible cantidad de raรญces
negativas.
1 ๐๐๐๐ง ๐๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐
7.
Se construye la tabla de posibles raรญces del polinomio.
La suma de las raรญces debe ser equivalente al grado del
polinomio, por lo que se incluyen las raรญces de valor
cero (nulas) y la diferencia se complementa con las
posibles raรญces imaginarias
๐ท๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ก๐๐ฃ๐๐ 3 1
๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐ฃ๐๐ 1 1
๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ 0 2
๐๐ข๐๐๐ 2 2
๐๐๐ก๐๐ 6 6
8. b.) Se iguala el segundo factor del polinomio a cero
para determinar sus raรญces. 6๐ฅ4 โ 23๐ฅ3 + 24๐ฅ2 + 13๐ฅ โ 10 = 0
9.
Por medio de prueba de igualaciรณn a cero de la
expresiรณn se determina que ๐ (1
2) = 0. Por lo que ๐ฅ =
1
2 es un cero del polinomio
6 (1
2)
4
โ 23 (1
2)
3
+ 24 (1
2)
2
+ 13 (1
2) โ 10 = 0
๐ฅ =1
2
10.
Se utiliza el mรฉtodo de Divisiรณn Sintรฉtica
para determinar el factor producto
correspondiente a la raรญz encontrada
anteriormente.
11. Se obtiene el factor producto del polinomio con la
raรญz. (๐ฅ โ
1
2) (6๐ฅ3 โ 20๐ฅ2 + 14๐ฅ + 20)
12.
Se realiza de nuevo una prueba de igualaciรณn a cero
de la expresiรณn. Se determina que ๐ (โ2
3) = 0. Por lo
que ๐ฅ = โ2
3 es un cero del polinomio
6 (โ2
3)
3
โ 20 (โ2
3 )
2
+ 14 (โ2
3) + 20 = 0
๐ฅ = โ2
3
13.
Se utiliza nuevamente el mรฉtodo de
Divisiรณn Sintรฉtica para determinar el
factor producto correspondiente a la raรญz
encontrada anteriormente.
6 โ 23 24 13 โ 10
3 โ 10 7 10
1
2
6 โ20 14 20 0
6 โ 20 14 20
โ4 16 โ 20
โ2
3
6 โ24 30 0
14. Se obtiene el factor producto del polinomio con la
raรญz. (๐ฅ โ1
2) (๐ฅ +
2
3) (6๐ฅ2 โ 24๐ฅ + 30)
15. Se aplica la Formula cuadrรกtica en el รบltimo factor
del producto para determinar sus raรญces.
6๐ฅ2 โ 24๐ฅ + 30 = 0
๐ฅ =โ(โ24) ยฑ โ(โ24)2 โ 4(6)(30)
2(6)
16. Las raรญces encontradas son imaginarias. ๐ฅ = 2 ยฑ ๐
17. c.) Se obtienen las raรญces del polinomio.
๐ฅ =1
2
๐ฅ = โ2
3
๐ฅ = 2 ยฑ ๐ ๐ฅ = 0
18. d.) Se obtiene el polinomio de forma factorizada
mediante el producto de todas las raรญces. ๐ฅ2 (๐ฅ โ1
2) (๐ฅ +
2
3) (๐ฅ โ 2 + ๐)(๐ฅ โ 2 โ ๐)
RESPUESTA ๐ฅ2 (๐ฅ โ1
2) (๐ฅ +
2
3) (๐ฅ โ 2 + ๐)(๐ฅ โ 2 โ ๐)
Tema 2 (20 puntos)
๐ธ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐: 4๐ฅ2 + 4๐ฆ2 + 12๐ฅ โ 20๐ฆ + 16 = 0
๐ธ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ก๐: 2๐ฆ โ ๐ฅ โ 11 = 0
1.
Para determinar el centro de la circunferencia en el
plano cartesiano se debe llevar la ecuaciรณn de la
circunferencia a su forma estรกndar.
4๐ฅ2 + 4๐ฆ2 + 12๐ฅ โ 20๐ฆ + 16 = 0
2.
Se agrupan los tรฉrminos en su respectiva variable y el
termino constante se lleva al otro lado de la
igualdad.
(4๐ฅ2 + 12๐ฅ) + (4๐ฆ2 โ 20๐ฆ) = โ16
4(๐ฅ2 + 3๐ฅ) + 4(๐ฆ2 โ 5๐ฆ) = โ16
3. Se completa al cuadrado las expresiones en los
parรฉntesis.
4(๐ฅ2 + 3๐ฅ +9
4โ
9
4) + 4(๐ฆ2 โ 5๐ฆ +
25
4โ
25
4) = โ16
4 (๐ฅ +3
2)
2
โ 9 + 4 (๐ฆ โ5
2)
2
โ 25 = โ16
4. Se obtiene la forma estรกndar de la ecuaciรณn de la
circunferencia. (๐ฅ +3
2)
2
+ (๐ฆ โ5
2)
2
= 9
2
5. Se encuentra el centro de la circunferencia. ๐ถ (โ3
2,5
2)
6. Se requiere la pendiente de la recta perpendicular.
Se lleva la ecuaciรณn de la recta a su forma estรกndar. 2๐ฆ โ ๐ฅ โ 11 = 0
7.
Se despeja la variable y.
2๐ฆ = ๐ฅ + 11
๐ฆ =๐ฅ
2+
11
2
8. Se determina la pendiente โ ๐" y el punto de
intersecciรณn โ ๐" en el eje y
๐1 = 1
2
๐ = 11
2
๐ฆ(0) =11
2
9.
La pendiente de la recta que se busca debe ser
inversamente proporcional y con signo opuesto a la
pendiente la recta perpendicular a esta
๐2 = โ1
๐1
๐2 = โ2
10.
Con el valor de la pendiente de la recta que se
busca, se determina un punto en el plano carteciano
por donde cruza la recta para determinar la
ecuaciรณn de la recta. Este punto seria el centro del
cรญrculo.
๐(๐ฅ0, ๐ฆ0)
๐(โ1.5, 2.5)
11. Se establece la ecuaciรณn punto pendiente de la
recta para determinar su ecuaciรณn general.
๐ฆ โ ๐ฆ0 = ๐(๐ฅ โ ๐ฅ0)
๐ฆ โ (โ2.5) = (โ2)(๐ฅ โ 2.5)
Tema 3 (20 puntos)
๐(๐ฅ) = โ๐ฅ2 โ 3
๐(๐ฅ) = โ1 โ ๐ฅ2
โ(๐ฅ) = 2๐ฅ + 5
๐ฆ = โ2๐ฅ โ1
2
RESPUESTA ๐๐ + ๐ +๐
๐= ๐
1.
a.) El dominio de ๐(๐ฅ) se determina mediante
igualando el termino dentro de la raรญz mayor de cero.
Ya que el valor de la variable x no puede llevar al
terminรณ a un expresiรณn negativa.
๐ฅ2 โ 3 โฅ 0
(๐ฅ + โ3)(๐ฅ โ โ3) โฅ 0
2.
Por medio de la resoluciรณn de la desigualdad se
determina que los intervalos que representan el
dominio de la funciรณn son:
(โ,-โ3] ๐ [โ3, โ)
๐ท = {๐ฅ|๐ฅ โค โโ3 ๐ฆ ๐ฅ โฅ โ3
3.
El rango de la funciรณn se encuentra analizando los
posibles valores que puede tomar la funciรณn. Como el
resultado de una raรญz cuadrada no puede ser un
numero negativo se determina que el rango son todos
los nรบmeros reales mayores a 0.
๐ = [0, โ)
4. b.) La funciรณn compuesta de (๐ ๐ ๐)(๐ฅ) se establece
como:
๐(๐(๐ฅ)) = โ1 โ (๐(๐ฅ))2
๐(๐(๐ฅ)) = โ1 โ (โ๐ฅ2 โ 3)2
(๐ ๐ ๐)(๐ฅ) = 2 โ ๐ฅ2
5. c.) Se evalรบan las respectivas funciones โ(2) + ๐(1)
โ(๐ฅ1) + ๐(๐ฅ2) = (2๐ฅ1 + 5) + (โ1 โ ๐ฅ22)
โ(2) + ๐(1) = (2(2) + 5) + (โ1 โ (1)2)
โ(2) + ๐(1) = 7
6. d.) La grafica para la funciรณn ๐(๐ฅ) que se requiere
presente una serie de transformaciones. ๐(๐ฅ) โถ โ๐(2๐ฅ)
7. La primera transformaciรณn de la ecuaciรณn representa
una reflexiรณn en el eje x.
๐(๐ฅ) = โ๐ฅ2 โ 3
โ๐(๐ฅ) = โโ๐ฅ2 โ 3
8. La segunda transformaciรณn de la ecuaciรณn es una
reducciรณn horizontal. โ๐(2๐ฅ) = โ โ(2๐ฅ)2 โ 3
Tema 4 (20 puntos)
๐ซ๐๐๐๐ ๐ ๐ฝ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ ๐ฟ๐๐๐ ๐๐๐ โ๐๐ฅ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ข๐๐๐ 1.2 ๐๐
๐ฟ ๐ฟ๐๐๐๐๐ก๐ข๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ 4 ๐
๐ ๐ท๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ 7.8 ๐
๐๐3โ
1.
Para determinar el peso ๐ de la barra se utiliza su
densidad. La densidad dada esta en gramos por
centรญmetro cรบbico. Por lo que se requiere del
volumen de la barra multiplicado por la densidad.
๐ = ๐๐
2.
El volumen de la barra estรก dado por el รกrea de la
secciรณn transversal del polรญgono multiplicado por la
longitud de la barra.
๐ = ๐ด๐ฟ
๐ด =1
2๐๐๐
3.
Se analiza la secciรณn transversal del hexรกgono en
uno de sus 6 triรกngulos compuestos. Al ser un
polรญgono regular, el apotema "๐" de este hexรกgono
se puede relacionar con la altura de uno de los
triรกngulos compuestos. Utilizando la ecuaciรณn de la
altura del triรกngulo regular se puede encontrar la
relaciรณn entre el apotema y la magnitud de un lado.
๐ =โ3
2๐
4.
Se remplaza el valor de la apotema en la ecuaciรณn
del รกrea del polรญgono.
๐ด =1
2๐๐ (
โ3
2๐)
๐ด =โ3
4 ๐๐2
5. Se remplazan los valores en la ecuaciรณn de รกrea.
๐ด =โ3
4 (6)(1.2)2
๐ด = 3.74 ๐๐2
๐
๐
๐
Tema 5 (20 puntos)
6.
Se remplazan los valores en la ecuaciรณn de
volumen. Se toma la longitud de la barra de 4
metros como 400 cm.
๐ = (3.74)(400)
๐ = 1,496 ๐๐3
7. Ya obtenido el volumen, se encuentra el peso de la
barra. ๐ = (7.8
๐๐๐3โ )(1,496 ๐๐3)
RESPUESTA ๐ = 11,668.8 ๐
๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ถ๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ฅ = 4 2
๐ฅ = โ2 1
๐ฅ = 2 1
๐ฅ = 1 + 2๐ 1
๐ฅ = 1 โ 2๐ 1
1.
Para determinar el coeficiente principal se debe
llegar a la expresiรณn polinรณmica general me
mediante la multiplicaciรณn de todos los factores
del polinomio. Se toma en cuenta la
multiplicidad de grado 2 del factor (๐ฅ โ 4).
(๐ฅ โ 4)2(๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 2๐ โ 1)(๐ฅ โ 2๐ โ 1)
2. Se indica que ๐(0) = โ4 lo que se asume que
existe una constante "๐" multiplica al polinomio. ๐(๐ฅ โ 4)2(๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 2)(๐ฅ + 2๐ โ 1)(๐ฅ โ 2๐ โ 1)
3.
Se procede a multiplicar los factores del
polinomio empezando por los factores que
tienen valores imaginarios.
(๐ฅ + 2๐ โ 1)(๐ฅ โ 2๐ โ 1) = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 5
๐(๐ฅ โ 4)2(๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 2)(๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 5)
4. Se opera la suma y producto de tรฉrminos
iguales.
(๐ฅ + 2)(๐ฅ โ 2) = ๐ฅ2 โ 4
๐(๐ฅ โ 4)2(๐ฅ2 โ 4)(๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 5)
5. Se opera el binomio al cuadrado.
(๐ฅ โ 4)2 = ๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 16
๐(๐ฅ2 โ 8๐ฅ + 16)(๐ฅ2 โ 4)(๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 5)
6. Se operan los factores resultantes. ๐(๐ฅ4 โ 8๐ฅ3 + 12๐ฅ2 + 32๐ฅ โ 64)(๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 5)
7. Se obtiene la expresiรณn polinรณmica en su forma
general ๐(๐ฅ6 โ 10๐ฅ5 + 33๐ฅ4 โ 32๐ฅ3 โ 68๐ฅ2 + 288๐ฅ โ 320)
8. Se determina el valor de "๐" mediante ๐(0) =โ4.
๐(0) = โ4.
โ4 = ๐(โ320)
๐ =1
80
9.
Se obtiene la funciรณn polinรณmica general
completa. Donde se visualiza la constante
principal.
1
80(๐ฅ6 โ 10๐ฅ5 + 33๐ฅ4 โ 32๐ฅ3 โ 68๐ฅ2 + 288๐ฅ โ 320)
๐๐ =๐
๐๐