clave: 107-2-m-1-2014
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Clave: 107-2-M-1-2014
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Clave de Examen: 107-2-M-1-2014
Curso: Matemática Intermedia 1 Semestre:
Primero
Código del Curso:
107
Tipo de Examen:
Segundo Parcial
Fecha de Examen:
18/03/2014
Nombre de la persona que resolvió el examen:
Gabriel Estuardo Solórzano
Nombre de la persona que revisó el examen:
Ing. Arturo Samayoa
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA MATEMATICA INTERMEDIA 1 FACULTAD DE INGENIERÍA JORNADA MATUTINA ESCUELA DE CIENCIAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TEMARIO A 18/03/2014
TEMA No.1 (15 puntos): Resolver las siguientes integrales:
a.
b.
TEMA No.2 (10 puntos): Encuentre un valor aproximado de la integral, utilizando el método del trapecio, utilizando n = 5, con 3 decimales.
TEMA No.3 (10 puntos): Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas:
a. Graficar indicando su dirección en el
Intervalo 44
t
b. Plantee una integral para calcular i. La longitud arco en el intervalo establecido.
ii. El área superficial del sólido que se genera al hacer girar la curva con respecto al eje “x”.
TEMA No.4 (10 puntos): Plantee una integral para calcular la fuerza que soporta una de las caras de una lata de aluminio, que se encuentra recostada de forma horizontal. La lata colocada horizontalmente tiene mercurio hasta un 50 % de altura. Tome la densidad del mercurio como 13,600 Kg/m
3. La cara de
la lata de aluminio tiene forma circular de diámetro 6 centímetros.
TEMA No.5 (10 puntos): Plantee las integrales necesarias para calcular el centro de masa de la placa delimitada por:
TEMA No.6 (15 puntos): Dada la siguiente función
Plantee una integral para: a. La longitud de arco utilizando dx. b. El área superficial girando alrededor del eje “x” y
usando diferencial dy.
TEMA No.7 (10 puntos): Dado el siguiente punto en coordenadas cartesianas:
a. Plotear en el plano cartesiano. b. Encuentre las coordenadas polares del punto
bajo las condiciones siguientes y plotee. 1) 2) 3)
TEMA No.8 (20 puntos): Dadas las siguientes ecuaciones polares
a. Graficar en el mismo plano polar. b. Encontrar todos los puntos de intersección. c. Plantee una integral para calcular
i. El área fuera de r2 y dentro de r1. ii. La longitud de arco de r1 que está fuera de r2.
3
1+
1-
2t
Clave Examen de Segundo Parcial, Primer Semestre 2014
Tema No. 1 (15 puntos)
Resolver las siguientes integrales:
a.
La integral se debe resolver mediante el método de sustitución Diversa en el cual los términos de seno
y coseno en el denominador se sustituyen por
Se procede a sustituir los valores en la ecuación original
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Tema No. 2 (10 puntos)
Encuentre un valor aproximado de la integral, utilizando el método del trapecio, utilizando n=5,
con 3 decimales.
a) Por medio de la utilización del método del trapecio se sabe Tp =
i Xi F(Xi) K K*f(xi)
0 0 1 1 1
1 1/5 1.041 2 2.082
2 2/5 1.174 2 2.348
3 3/5 1.433 2 2.866
4 4/5 1.896 2 3.792
5 1 2.718 1 2.718
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Tema No. 3 (10 puntos)
Dada las siguientes ecuaciones paramétricas:
a. Graficar indicando su dirección en el Intervalo 44
t
Se procede a realizar una tabla para determinar las coordenadas que permitan plotear la curva
paramétrica.
b.1 Plantear una integral para calcular la longitud de arco en el intervalo establecido.
1. Se utiliza la ecuación para calcular la longitud de arco para ecuaciones paramétricas
t x y
-1 2
-0.57 1.33
-0.27 1.071
0 0 1
0.27 1.071
0.57 1.33
1 2
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
y
x
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2. Se derivan las ecuaciones paramétricas.
3. Se procede a sustituir en la ecuación de longitud de arco.
b.2 Plantear una integral para calcular el área superficial del sólido que se genera al hacer
girar la curva con respecto al eje “X”
Donde:
Se procede a sustituir los valores de las variables anteriores en la ecuación del área superficial
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Tema No. 4 (10 puntos)
Plantee una integral para calcular la fuerza que soporta una de las caras de una lata de aluminio, que
se encuentra recostada de forma horizontal. La lata colocada horizontalmente tiene mercurio hasta
un 50 % de altura. Tome la densidad del mercurio como 13,600 Kg/m3. La cara de la lata de aluminio
tiene forma circular de diámetro 6 centímetros.
a) Ecuación de presión y fuerza hidrostática:
Donde:
F= La fuerza hidrostática [N]
= La densidad del fluido [kg/m3]
= La aceleración de la gravedad [m/s2]
= Función respecto a la figura
= Función basada en la influencia del fluido problema
= Límites de integración en base a la influencia del fluido problema.
b) Se procede a determinar L(y), función respecto a la figura
Figura No. 1 Figura No. 2
El problema indica que se debe calcular la fuerza que soporta una de las caras de la lata de
aluminio se procede a realizar la representación gráfica de acuerdo a la figura No. 2. Se observa
que la figura obtenida es un círculo, por lo tanto para la determinación de la función L (y) se debe
utilizar la ecuación del círculo.
x
y
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Como el círculo se encuentra trasladado en el eje “y” se procede a reescribir la ecuación del
círculo que se ve representada en la figura No. 2
Al observar la ecuación para la determinación de la fuerza hidrostática se observa que la ecuación
para L(y) debe estar en función de la variable “y”, por lo tanto se despeja de la ecuación anterior la
variable “x”.
c) Se procede a determinar H(y), función respecto a la influencia del fluido
d) Se procede a sustituir los valores en la ecuación de la fuerza hidrostática
La ecuación se debe multiplicar por un factor 2, ya que se aplica simetría para la solución del
problema, obteniendo:
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Tema No. 5 (10 puntos)
Plantee las integrales necesarias para calcular el centro de masa de la placa delimitada por:
Se procede a determinar el área de la
región sombreada que se muestra en la
figura.
x
y
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Tema No. 6 (15 puntos)
Dada la siguiente función
a) Plantee una integral para determinar la longitud de arco utilizando dx.
a) Plantee una integral para determinar el área superficial girando alrededor del eje “x” y
usando el diferencial dy.
Donde:
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Para obtener los límites de integración se evalúan los puntos en la función
Para x1 = -2 se sustituye en la ecuación y se obtiene x1 = 7.39
Para x2 = 0 se sustituye en la ecuación y se obtiene x2 = 1
Se procede a sustituir los valores en la ecuación para la determinación del área superficial
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Tema No. 7 (10 puntos)
Dado el siguiente punto en coordenadas cartesianas:
a. Plotear en el plano cartesiano.
A = (-3,6)
b. Encuentre las coordenadas polares del punto bajo las condiciones siguientes y
plotee.
1)
2)
3)
x
y
y
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Tema No. 8 (20 puntos)
Dadas las siguientes ecuaciones polares
Graficar en el mismo plano polar.
Corresponde a un círculo
Corresponde a un cardiode que no toca el polo
Encontrar todos los puntos de intersección.
Se procede a igualar ambas curvas para determinar el primer punto de intersección
2 1 1 2 3 4 5
3
2
1
1
2
3