DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

Docente:

Lic. Jorge Daniel Torres Alvarez

Tema:

Vectores

Curso:

Física Elemental

Vector posición de un punto. Es el vector que ubica un

punto respecto al origen de un sistema de coordenadas

rectangulares.

Vector posición

Las coordenadas del punto son los módulos de las componentes del vector posición.

Ejemplo: Hallar el vector posición del R(– 8, 5) en el plano (X,Y)

R (– 8, 5) Y

Xorx

ryr

i

j

Luego el vector posición de R es: r = - 8 i + 5 j

ry = y = 5rx = x = – 8

r = = 89

De módulo

y dirección:

= tan-1 ( y /- x )

= 148°

= tan-1 ( 5/ - 8 )

Ejemplo: Determinar el vector posición del punto R(– 4, 5, –8) en el sistema (X,Y,Z).

o Y

X

Z

R (– 4, 5, – 8 )

r

θ

rx

ry

rz

ij

k

Las componentes del vector posición r son las coordenadas del punto.

rx = x = – 4

ry = y = 5

rz = z = –

8

rx = – 4 i

ry

= 5 j rz =

– 8 kPor lo tanto, el vector posición es: r = - 4 i + 5 j - 8 k

De módulo r = = 10,5

y dirección: 113 o , 61º , θ 141º

Vector posición relativo entre dos puntos. Es el vector que

ubica un punto respecto a otro, cuando ambos están referidos al

mismo sistema de coordenadas.

Este vector se dibuja desde el punto de referencia hacia el punto que se quiere ubicar.

El vector posición del punto P2 (x2 , y2 , z2 ) relativo al punto P1 (x1 , y1 , z1 ) se define en base a:

o

X

Z

Y

P2

r2

r21

r1

P1

El vector posición de P1 es: r1 = x1 i + y1 j + z1 k

El vector posición de P2 es: r2 = x2 i + y2 j + z2 k

Entonces, el vector posición del punto P2 relativo al punto P1 se representa por r21

Según la figura vemos que: r21 = r2 – r1

y usando las coordenadas de los puntos se tiene

r21 = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j + (z2 – z1) k

El módulo de este vector es

r21 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

Su dirección

= cos-1 [(x2 – x1) / r21 )]

= cos-1 [(y2 – y1) / r21 )]

θ = cos-1 [(z2 – z1) / r21 )]

Ejemplo Hallar el vector posición relativo (módulo y dirección)

de los puntos P1 (-5, 5, 2) y P2 ( 4, -5, 6)

Solución:

4

-5

P2 (4,-5,6)

o

X

Y

Z

r1r2

P1 (-5,5,2)

-5

5

2r12

6

Producto Escalar

A B ABcos ��������������

El punto • entre los vectores es el

símbolo de esta operación

El ángulo entre los vectores con origen

común debe ser tal que: 0 θ 180o

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. El producto escalar

de los vectores se define mediante la identidad:A y B��������������

θo

B

A

BA = B cos θ

θo

B

A

A Bcos

AB

1

��������������

Algunas aplicaciones:

1. Cálculo del ángulo entre dos vectores.

2. Cálculo de la proyección (componente) de un vector sobre otro.

A B

A B A BB A

A B

����������������������������

Propiedades

1. A • B = B • A Propiedad Conmutativa

2. A • ( B + C ) = A • B + A • C Propiedad Distributiva

3. Si A • B = 0 , con A 0 y B 0 , entonces A es perpendicular con B

A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

Se demuestra que el producto escalar se calcula mediante la expresión:

5. Si los vectores se expresan en función de sus componentes

Forma canónicarectangulares: A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

4. A • A = A A cos θ = A2 , entonces A = A • A , es el módulo del vector A.

W F x Fxcos

W

W . J

1169 1

Fθ = 300

x

Solución

El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.

θ = 300

F

xo

Hallar el trabajo que realizará la fuerza F = 450 N, para desplazar el cuerpo de la figura una distancia x = 3 m.

Ejemplo

Sabiendo que A = – 4 i + 7 j – 11 k , B = – 6 i + 9 k y C = 5 i + 8 j + 9 k .

Calcular: a) A • B, b) B • A, c) el ángulo entre A y B, d) La

componente de A sobre B, e) A • (B + C) y f) C • C

A • B =

A • B =

A • B = –75

A = – 4 i + 7 j – 11 k

B = – 6 i + 0 9 k

Solución

a)

Ejemplo

b) Esta pregunta queda como tarea para el estudiante.

c) El ángulo entre los vectores se calcula aplicando la fórmula:

A Bcos

AB

1

��������������

Donde, el producto escalar del numerador es:

= –75, según la respuesta a la pregunta (a)A B��������������

A = 13.6

El módulo del vector A es:

B = 10.8

El módulo del vector B es:

Reemplazando valores se obtiene el ángulo.

cos º

. .

1 75121

13 6 10 8

d) La componente de A sobre B se calcula aplicando la definición:

B

A BA .

B .

756 9

10 8

��������������

El signo negativo indica que la componente es opuesta al vector B

Las preguntas: e) y f) quedan como tarea para el estudiante

A

B121O

AB = – 6.9

PRODUCTO VECTORIAL

P

R

O

D

U

C

T

O

V

E

C

T

O

R

I

A

L

D

E

D

O

S

V

E

C

T

O

R

E

S

.

E

l

p

r

o

d

u

c

t

o

v

e

c

t

o

r

i

a

l

o

p

r

o

d

u

c

t

o

c

r

u

z

d

e

l

o

s

e

s

o

t

r

o

v

e

c

t

o

r

d

e

f

i

n

i

d

o

m

e

d

i

a

n

t

e

l

a

i

d

e

n

t

i

d

a

d

A y B��������������

C

B

Aθ

A B ABsen ��������������

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. El producto

vectorial o producto cruz de los es otro vector definido

mediante la identidad

A y B��������������

El aspa o cruz x entre los vectores es el símbolo de esta operación

Este sentido también se determina

por la regla de la mano derecha.

El vector tiene las siguientes propiedadesC��������������

1. Es perpendicular al paralelogramo formado por A y B��������������

2. Es de sentido igual al avance de un tornillo de giro a la

derecha cuando es girado de A hacia B��������������

3. El modulo del vector es definido mediante la expresiónC��������������

θ

C

A

B

h = B sen θ

C A B ABsen ������������������������������������������

Donde: 0o θ 180o es el ángulo forma- do por A y B en el origen común

2.- A x ( B + C ) = A x B + A x C propiedad distributiva

1.- A x B = - B x A no es conmutativo

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

= (Ay Bz – Az By ) i + (Az Bx – Ax Bz ) j + (Ax By – Ay Bx ) k A x B =

4.- Si los vectores se expresan en función de sus componentes:

A = Ax i + Ay j + Az k , B = Bx i + By j + Bz k

el vector producto se calcula mediante el determinante:

Propiedades

3.- A x A = A A sen 0o = 0

Solución

El torque, que hace girar la puerta en el sentido de la flecha, se define como el vector producto:

Según la figura: = 459.2 k m.N

y dirección perpendicular a r y F

X

Y

Z

Eje de rotación

k

49ºr

F

Ejemplo

Hallar el torque (momento) de la fuerza de F = 350 N aplicada en

el extremo de una puerta de madera de longitud r = 2 m, pivotada

en el eje Z. La fuerza esta en el plano (X,Y) y el vector en el

plano (Z.Y)

r

F

= r F r F sen r F sen º

.

49

459 2

Dados los vectores , calcular:

(a) (b) Un vector unitario perpendicular al plano formado

por (c) El área del paralelogramo formado por

A i j k, B i j k 4 3 6 5 7 2����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

A y B����������������������������A B����������������������������

A y B����������������������������

Ejemplo

Solución

Triple producto escalar de tres vectores no coplanares

es el escalar definido mediante la identidad

A,B y C������������������������������������������

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR.

A

C

o

B

El paréntesis indica que primero debemos ejecutar el producto vectorial y luego el producto escalar

A B C������������������������������������������

Mediante esta operación obtenemos un escalar que representa el

volumen del paralelepípedo formado por los vectores ,

con origen común

A,B y C������������������������������������������

Ejemplo Los puntos A(5,3,1), B(-3,4,0), C(2,-3,7) son tres vértices

de un paralelepípedo. Dibujar el paralelepípedo y calcular su

volumen.

A

Cc

a

B

bY

Z

X

Solución Los vectores posición de los vértices son:

Los vectores posición de los vértices son:

a i j k,

b i j

c i j k

5 3

3 4

2 3 7

c a b

2 3 7

5 3 1

3 4 0

������������������������������������������

Estos vectores son las aristas del paralelepípedo cuyo volumen es:

V = 204 unid3