Clase # 2 (31/09/15) Dinmica de Sistemas

2. Sistemas Elctricos.

Otro de los sistemas que con frecuencia aparecen en los lazos de control son los que

involucran variables elctricas. Aunque el nmero de componentes elctricos es inmenso,

por lo general se puede considerar un conjunto bsico compuesto por los elementos que

aparecen en la tabla 3 en donde tambin se incluye las expresiones que relacionan las

variables de voltaje y corriente en los dispositivos.

Tabla 3 Elementos elctricos

Las ecuaciones de equilibrio que gobiernan el comportamiento de los sistemas elctricos

son conocidas como las leyes de Kirchhoff de voltaje y corriente (LKV y LKC) las cuales

establecen lo siguiente:

Ley de Voltaje de Kirchhoff (LKV)

"La suma algebraica de las caas de tensin a lo largo de un trayectoria cerrada es cero".

Ley de corrientes de Kirchhoff (LKC )

"La suma algebraica de las corrientes en un nodo es igual a cero".

Ambas leyes pueden ser usadas de manera combinada para determinar el conjunto de

ecuaciones integro-diferenciales necesarias para predecir el comportamiento de un

sistema elctrico. Normalmente cuando se analiza un circuito elctrico en serie se usa la

LVK mientras cuando se trata de un circuito elctrico en paralelo se emplea la LCK. En

cualquier texto de anlisis de circuitos se pueden encontrar las particularidades de cada

uno de los circuitos mencionados. Aqu nicamente mencionaremos que en un circuito

elctrico en serie circula la misma corriente por todos los elementos del arreglo mientras

que el voltaje se encuentra repartido entre los elementos (figura 1.5a). por otro lado, en un

circuito elctrico en paralelo todos los elementos tiene el mismo voltaje en sus terminales

mientras que la corriente se distribuye entre todos los elementos (figura 1.5b). En la figura

1.5 las Z's pueden ser cualquiera de los elementos dados en la tabla 1.3 y cumplen con

las relaciones voltaje-corriente indicadas.

Fig. 1.5 a: Circuito elctricos en serie b: Circuito elctrico en paralelo

2.1 Sistemas elctricos en serie.

Como ya se indic un sistema elctrico en serie est formado por elementos a travs de

los cuales circula la misma corriente. En la figura 1.6 se ha retomado el esquema

propuesto en la figura 1.5a sustituyendo los bloques de impedancia por elementos R, L y

C de la tabla 3. Si aplicamos la LVK tenemos que:

Sustituyendo las relaciones de la tabla 3 de acuerdo al elemento tenemos:

el voltaje de salida sera:

Cabe mencionar que el anlisis puede hacerse planteando las ecuaciones diferenciales

como en los pasos anteriores o empleando directamente las impedancias complejas

derivadas de transformar las relaciones voltaje-corriente de la tabla 3. Aplicando la

transformada de Laplace a las dos ecuaciones precedentes obtenemos las ecuaciones

algebraicas en el dominio de la variable compleja s.

Fig. 1.6 Circuito RLC en serie

despejando la corriente I(s) y sustituyendo obtenemos una expresin que involucra

nicamente a las variables de inters Vo(s) y V(s) de la cual ya podemos relacionar la

salida con la entrada y por lo tanto obtenemos la funcin de transferencia.

2.2 Sistemas elctricos en paralelo.

En un sistema elctrico en paralelo como ya se ha mencionado, la corriente se encuentra

distribuida en todos los elementos que forman el circuito mientras que el voltaje aplicado a

las terminales de cada uno de ellos es el mismo. La figura 1.7 muestra el esquema ms

simple de un circuito paralelo en el cual la ecuacin de equilibrio debe ser determinada

para el nodo bajo anlisis, que para nuestro ejemplo es el nodo a dado que el otro nodo

existente es la referencia o tierra. Para el caso de circuitos en paralelo la ley que gobierna

el comportamiento del circuito es la anteriormente citada ley de corrientes de Kirchhoff

(LCK), de este modo la condicin de equilibrio para el nodo a ser:

de las relaciones de la tabla 3 tenemos que:

Aplicando la transformada de Laplace y relacionando la variable de salida Va(s) con la

variable de entrada I(s) obtenemos

la funcin de transferencia.

Fig. 1.7 Circuito elctrico en paralelo