clase 13 parte 1: funciones reales de dos variables. plano tangente. cálculo diferencial e integral...

CLASE 13 PARTE 1: FUNCIONES REALES DE DOS

VARIABLES.Plano tangente.

Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras.IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006.

Derechos reservados.

Ejercicios para las clase 12

•Práctico 4 del año 2006, ejercicios 8 y 11.

Bibliografía de la Clase 13:

•Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.2, parágrafos 26 y 27.

Sea dada una función real de dos variables f(x,y), definidaen una abierto D. Sea dado un punto

DEFINICIÓN:Plano tangente a la superficie gráfica z= f(x,y)en el punto

es (si existe) el plano quecontiene a todas LAS RECTAS TANGENTESpor el punto

a las CURVAS CONTENIDAS EN LA SUPERFICIE, que pasan por

Ver figura siguiente

TEOREMA.Si f(x,y) es diferenciable en el puntoentonces existe plano tangente a la superficie gráfica por

y tiene por ecuación

donde

CLASE 13 PARTE 2: FUNCIONES REALES DE VARIAS

VARIABLES.Vector gradiente.







Sea dada f función REAL de q variables en un abierto Dy un punto a en D.

DEFINICIÓN: Si f es diferenciable en a se define el vectorgradiente de f en el punto a:

NOTA: Si f no es diferenciable en a NO SE DEFINE vectorgradiente de f en el punto a, aunque existan las derivadasparciales respectivas.

DIFERENCIAL Y GRADIENTE: El diferencial de f en el punto a es el producto escalar delgradiente por el vector incremento Delta x.

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE: Cuando f es dife-renciable en el punto a, la derivada direccional según ladirección del versor u es el producto escalar del gradientepor u.

PROPIEDADES DEL GRADIENTE: (cuando f es diferenciable)1. La derivada direccional según u (pendiente de lagráfica en la dirección u) es nula si y solo si u es ortogonal al vector gradiente de f.

CONSECUENCIA:El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a las curvasde nivel de f(x,y).

El vector gradiente, si no es nulo, es ortogonal a lassuperficies de nivel de f(x,y,z)

2. La derivada direccional según u (pendiente de la gráfica en la dirección u) es máxima si u es colineal al vector gradiente de f.

Dem.

Como consecuencia de la propiedad 1, vimos que

EJEMPLO: Encontrar la recta tangente a la hipérbolaxy =1 por el punto (1/2, 2).

CLASE 13 PARTE 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIODEL CÁLCULO DIFERENCIAL.







TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones reales)

Sea

definida en un abierto D. Sean dos puntostales que

Si f es diferenciableentonces

Dem.

sigue

TEOREMA del VALOR MEDIO del Cálculo Diferencial (para funciones vectoriales)

Sea

definida en un abierto D. Sean dos puntostales que

Si f es diferenciableentonces

EN GENERAL PARA FUNCIONES VECTORIALESNO SUCEDE LO MISMO QUE PARA FUNCIONES REALES.PARA FUNCIONES VECTORIALES NO NECESARIAMENTEEXISTE

sino:

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