clase 1 vectores cuadricas t2larson101-150

5/16/2018 Clase 1 Vectores Cuadricas t2larson101-150

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S e c c i 6 n 1 0 .2

C O N T E N ID O C o o r d e n ad a s e n e l e s p ac i o

V e c t o re s e n e l e s p ac i o A p li c ac io n e s

z

F IG U R A 1 0, 1 4S i s te m a d e c o o rd e na d as e n t r es d im e n s i o n es .

z z

b . .~/:,~y /. I~ x, f t y l \Sis tema

dextrogiroSistemalevogiro

F IG U R A 1 0 .1 6

C o o r d e n a d a s y v e c to r e s e n e l e sp a ci o 9,83

10 . 2Coordenadas y v ectores en el esp ac io

C oorden adas en el esp ac ioHasta ahora hemos manejado casi exclusivamente sistemas de coordenadas endos dimensiones. Buena parte de 1 0 que resta por hacer exige sistemas de coordenadas en tres dimensiones.

Antes de extender el concepto de vector a tres dimensiones, introducimosun sistema de coordenadas tridimensional, colocando un eje z perpendicularen el origen a los ejes x e y. La Figura 10.14 muestra los tres semiejes positivos.Tornados por parejas, los ejes coordenados determinan tres pianos coordena-dos: el planoxy, el planoxz y el plano jz. Estos tres planos dividen el espacioen ocho octantes. EI primer octante es aquel en el cuallas tres coordenadas sonpositivas. En este sistema tridimensional, un punto P del espacio viene determinado por un trio ordenado (x, y, z), dondey

x = distancia dirigida de P al plano yzy = distancia dirigida de P al plano x zz = distancia dirigida de P al plano .x y

La Figura 10.15 muestra varios punt os localizados en el espacio.z

65 -Q

-5-4-3

(-2,5,4),(2, -5,3)-,"t---~

-8

,,,III- - _ .-----~".~ "- ,,' - - - r - - - - - _ . . . . _ ~ . _ . _ _, , " - - - - . . . - I t " . . .---.--._~'

432

-- -3

456(1,6,0)

III (3, 3,-2)xF IG U R A 1 0 .1

E n u n s is te m a d e c o o rd en a d a s t r i d im e n s io n a l l o s p u n to s s e r e p r e se n t a n p o r t r i o s o rd en a d o s

Un sistema de coordenadas tridimensional puede ser de orientacien levogiro 0 dextrogiro. Para determinar la orientacion de un sistema, imagine queesta de pie con los brazos sefialando las direcciones de los semiejes positi vos xe y, y con el eje z hacia arriba, como en la Figura 10.16. El sistema es dextrogi-ro 0 levogiro dependiendo de que mana sefiala el semieje x positivo. En estelibro trabajaremos unicamente con sistemas dextrogiros.

Muchas de las formulas validas en el sistema de coordenadas bidimensio-nal se pueden generalizar a tres dimensiones. Por ejemplo, para calcular ladistancia entre dos puntos en el espacio, basta aplicar dos veces el teorema dePitagoras, como muestra la Figura 10.17. Con ello se obtiene la formula para ladistancia entre los puntos (Xl' Yl' Z l) Y (X 2' Y2' Z2)'


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984 C a p i t u lo 1 0

z

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e s pa c io

F6rmula de la dist

~zll E JE M P L O 1 D i s t a n c ia e n tr e d a s p u n ta s e n e l e sp a c ia

F IG U R A 1 0 . 1 7D i s t a n c ia e n t r e d o s p u n to s e n e l e s p a c io .

z

x

F IG U R A 1 0 . 1 8

La distancia entre los puntos (2, -1, 3) Y (1, 0, -2) esd =JO - 2)2 + (0 + 1)2 + (-2 - 3)2= J 1 + 1 + 25= f o= 3 ) 3

Una esfera can centro en (x o, Yo, zo) Yradio r se define como el conjuntopuntos (x , y, z) cuya distancia a (xo. Yo. zo) es r. Usando la formula ddistancia podemos hallar la ecuacirin canonica de una esfera de radio rtrada en (x o, Yo' zo) . Si (x , y, z) es un punta arbitrario de la esfera, la ecuade la esfera es

Ecuaci6n de la esferay

como muestra la Figura 10.18.Ademas, el punta media del segmento rectoune los puntas (Xl' Yl' ZI ) Y (x2, Y2' Z2) tiene par coordenadas

RegIa del punta media

E J E M P L O 2 E c u a c i 6 n d e u n a e s f e r a

Hallar la ecuaci6n canonica de la esfera que tiene al segmento que une (5, -2Y (0, 4, -3) como uno de sus diametros.S o l u c i a n : Par Ia regIa del punta media, el centro de esa esfera es

( 5 + 0 , - 2 + 4 , 3 - 3 ) : : ; : : ( ~ . l 0 )2 2 2 2'De la formula de la distancia se deduce que su radio es

J ( 5 ) 2 2 2 / 9 7 fo= 0-2 +(4-1) +(-3-0) ='./4=-2-


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S ee e i 6 n 1 0 . 2

z

rF IG U R A 1 0 . 1 9

L o s v e c to r e s u n it a r i o s c a n o n i c o s e n e l e s p a c io .

x

F IG U R A l O .2 0

C o o r d e n a d a s y v e e to r e s e n e J e sp a ci o 9

Por tanto, la ecuacion canonica de la esfera es

V ec tores en el esp ac ioEn el espacio los vectores se denotan por trios ordenados v =


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986

yV u=2v

~ / W=2~//

C a p it u lo 1 0

~x

F IG U R A 1 0 . 2 1V e c t o r e s p a r a le lo s .

V e c t o r e s y g e o m e tr f a d e l e s p a c io

S o l u c i a n : La expresion de v en componentes viene dada porv=


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S e c c i o n 1 0 . 2

z

F IG U R A 1 0 . 2 2L o s p u n to s P , Q y R s o n c o l i n ea l e s .

z

xF IG U R A 1 0 . 2 3

C o o r d e n a d a s y v ec to re s e n e l e sp a c io 9

E J E M P L O 5 P u n t o s c o l i n e a l e sDetenninar si los puntas pel, -2,3), Q(2, 1,0), YR(4, 7, -6) estan sabremisma recta.S o l u d o n : Las expresiones en componentes de P Q y P I ? son

P Q =


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988 C a p i t u l o 1 0 V e c t o r e s y g e om e t r ia d e l e s p a c io

Puesto que las tres patas tienen la misma longitud y la fuerza se reparteformemente entre elIas, I I F 1 1 1 = I I F 2 1 1 = I I F 3 1 1 Por tanto, existe una constatal que

dado que la fuerza total ejercida por la camara es F = -120k, de

se sigue que F l' F2 Y F 3 tienen cada uno de ellos una componente veigual a-40. Eso implica que c(-4) = -40, luego c = 10. En consecuenciafuerzas ejercidas sobre las tres patas del trfpode vienen representadas povectores

E j e r c i c i o s d e l a S e c c i 6 n 1 0 . 2

F, =


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E j e r c i c i o s d e f a S e cc i6 n 1 0 .2

17. (0,0, 0), (2, 2, 1), (2, -4, 4)18. (5, 3, 4), (7, 1, 3), (3, 5, 3)19. (1, -3, -2), (5, -1, 2), (-I, 1,2)20. (5,0,0), (0, 2, 0), (0, 0, -3)21. Para pensar El triangulo del Ejercicio 17 se traslada

cinco unidades hacia arriba por el eje z. Calcular lascoordenadas del triangulo trasladado.

22. Parapensar El triangulo del Ejercicio 18 se trasladatres unidades hacia la derecha por el eje y. Calcular lascoordenadas del t r i angu lo trasladado.

En los Ejerc i c ios 23 y 24, hallar las coordenadas del puntamediodel segmento que une los dos puntos dados.23. (5, -9, 7), (-2, 3,3) 24. (4,0, -6), (8, 8,20)Enlos Ejercicios 25-28, escribir en forma canonica la ecua-cionde la esfera.25. Centro (0, 2, 5) y radio 2.26. Centro (4, -1, 1) y radio 5.27. Puntos terminales de un diametro: (2, 0,0) y (0, 6, 0).28. Centro (- 2, 1, 1) y tangente al plano xy.EnlosEjercicios 29-32, completar el cuadrado para escribirlaecuaci6nde la esfera en forma can6nica. Hallar el centro yelradiode la esfera ,

35. z 36. z6 t~ t (2, 3,4)j t.2 - = - r ~ 4 -- ;..62,3,0)664 (0,3,3)2

" '4 ~-Y66 3,3,0)x x

En los Ejercicios 3 7 y 38 se dan los puntos inicial y finun vector. a) Dibujar el segmento dirigido, b) expresvector en componentes, y c) dibujar el vector con el ocomo punto inicial.37. Punto inicial: (-1, 2, 3)

Punto final: (3, 3, 4)38. Punto inicial: (2, -1, -2)

Punto final: (-4, 3, 7)En los Ejercicios 39 y 40, se dan un vector v y suinicial. determinar el punto final.39. v =


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990 C a p i t u lo 1 0 V e c t o r e s y g e om e t r f a d e l e sp a c io

En los Ejercicios 49-52, averiguar cual de los vectores esparalelo a z. Confinnar los resultados mediante una graficaen calculadora.49. z = (3, 2, -5)

a) (-6, -4, 10)c) (6,4, 10)

1. 2. 350. z = - I- -J + - k234

b) (2 ~ _ 10)'3' 3d) (1,-4,2)

a) 6i - 4j + 9k . 4. 3b) -I+-J--k3 23. . 9d) -I - J + -k4 8c) 12i + 9k

51. z tiene punto inicial (1, -1,3) y punto terminal (-2, 3, 5)a) -6i + 8j + 4k b) 4j + 2k

52. z tie n e punto inicial (3,2, -1) y punta terminal (-1, -3, 5)a) (0,5, -6) b) (8, 10,-12)En los Ejercicios 53-56, usar veetores para decidir si lospuntas son colineales.53. (0, -2, -5), (3, 4,4), (2, 2, 1)54. (1, -I, 5), (0, -1, 6), (3, -1,3)55. (1,2,4), (2, 5, 0), (0, 1, 5)56. (0, 0, 0,), (l, 3, -2), (2, -6, 4)En los Ejercicios 57 y 58, usar vectores para probar que lospuntos son vertices de un paralelogramo.57. (2, 9, 1), (3, 11, 4), (0, 10, 2), (I, 12,5)58. (1, 1,3), (9, -1, -2), (11, 2, -9), (3,4, -4)En los Ejercicios 59-64, hallar la Iongitud de v.59. v = (0,0,0)60. v = (I, 0, 3)61. v =i-2j - 3k62. v = -4i + 3j + 7k63. Punta inieial de: v: (1, -3, 4)Punta final de v: (1,0, -1)64. Punta inicial de: v: (0, -1, 0)

Punta final de v: 0, 2, -2)En los Ejercicios 65-68, hallar un vector unitario a) en ladirecci6n de u, y b) en la direcci6n opuesta a la de u.

69. Programacion Se dan las expresiones en comptes de dos vectores u y v. Escribir un programaproduzca como resultado: a) la expresi6n en c onentes de u + v , b) Ilu + vii, c) Ilull, y d) Ilvll.

70. Aplicar el programa escrito en el ejercicio precedelos vectores u = (-1,3,4) Yv = (5,4,5, -6)

En los Ejercicios 71 y 72, detenninar los valores desatisfacen la ecuacion, siendo u =i + 2j + 3k y v =2i+ 271. IIcvll = 572. Ilcull = 3En los Ejercicios 73-76, hallar el vector v de longitudrecci6n dadas.

Magnitud Direccion73. 10 u = (0, 374. 3 u = (I, 1

3 u = (2, -25. -276. Js u = (-4,6,En los Ejercicios 77 y 78, dibujar el vector v y expresarcomponentes.

77. vesta en el plano yz, tiene longitud 2 y forma unde 3 0 can el semieje y positivo.78. vesta en el plano xz, tiene Iongitud 5 y forma un

de 45 can el semieje z positivo.En los Ejercicios 79 y 80,usar vectores para hallar elque esta ados tercios del camino de P a Q.79. P(4, 3, 0),80. pel, 2, 5),

Q(l, -3, 3)Q(6, 8, 2)

81. Sean u = i+ j, v = j+ k, y w = au + bva) Dibujar u y v.b) Si w =0, probar que a y b deben ser nulos ac) Hallar a y b de manera que w =i+ 2i + k.d) Probar que ninguna elecei6n de a y b haee p

que w =i+ 2j + 3k.82. Parapensar Los puntas inicial y final de un ve

son (xt Yl' Zl) Y (x, y. z). Deseribir el conjunto delos puntas (x. y, z) tales que Ilvll = 4.65. u = (2,-1,2)66. u = (6,0,8)u = (3,2,-5) 83.67.

68. u =(8,0,0)Inuestigacion numerica, grdfica y analitica Lcos de un auditorio son discos de 24 libras y degadas de radio. Cada disco esta colgado de tres


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E je r c ic io s d e 1 a S e c c i a n 1 0 . 2

igualmente espaciados de L pulgadas de longitud (vea-se figura).a) Expresar la tension T de cada cable como funcion

de L. Especificar el dominio de esa funcion.b) Con ayuda de una calculadora y el modelo del

apartada a), completar la tabla.

I ; I 20 I 25 I 3 0 I 3 5 I 40 I 45 I 50 I

c) Representar en la calculadora el modelo y deter-minar las asfntotas de su grafica,

d) Comprobar analfticamente las asintotas obtenidas.e) Calcular la longitud minima que pueden tener los

cables si la maxima tension que pueden soportares de 10 libras.

18 pulgadas

84. Para pensar Supongamos que cada uno de los cablesdel Ejercicio 83 tiene una longitud fija x = a y que elradio de cada disco es r 0 pulgadas. Enunciar una conje-tura acerca del Iimite

lim Ty justificar la respuesta.

85. Diagonal de un cubo Expresar en componentes elvector unitario v en la direccion de la diagonal del cubode la figura.

z

xy

986. Cable de anclaje El cable de anclaje de una tone

100 pies de altura soporta una tension de 550 libCon los datos de la figura, expresar en componentesvector F que representa la tension del cable.

x

87. Cargas suspendidas Calcular la tension en cadade los cables de la figura si el peso del embalaje es500 newtons.

z

88. Construccion de edificios Un muro de hormigon pcolada es mantenido temporalmente en posicion vecal par cuerdas, como indica la figura. Calcular la fuza total ejercida sabre la sujecion A si las tensionesAB y AC son de 420 y 650 libras, respectivamente.

89. Escribir una ecuacion cuya grafica coincida con el cjunto de puntos P(x, y, z) que distan de A(O, -1, 1)ble que de B(1, 2, 0).


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992 C a p it u lo 1 0

C O N T E N ID O E l p ro d u c t o e sc a l a r

A n gu lo e n tr e d o s v e c t o re s C o s e n o s d ir e c t o re s

P ro y e c c io n e s y v e c to r e s c o rn p o n e n t e s T r a b a jo

V e e t a r e s y g e o m e tr fa d e l e s p a c io

nl_lO,_3 __L_j El p ro duc to e sc ala r d e d os v ec to re sEl p roduc to e sc a la rHasta ahora hemos estudiado dos operaciones con vectores, la suma y la muplicacion por un escalar, que producen como resultado un vector. En esta scion introducimos una tercera operacion, el pro due to escalar, euyo resultano es un vector, sino un escalar (un numero).

I N o t a . EI producto escalar se llama tambien producto interno.

D e m o s t r a c i 6 n : Para probar la primera propiedad, tom amos u =


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S e c c i 6 n !O J

u

OrigenF IG U R A 1 0 . 2 4

A n g u l o e n t r e d o s v ec to re s .

E 1 p r o d u c t o e s c a J a r d e d o s v e et or es 99

E J E M P LO 1 C d l c u lo d e p ro d u c t o s e s c a l a re s

Dados u =


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994 C a p it u l o IO

I Nota . Las palabras pe rpend icu-I an> , ortogonal y normal signi-fican esencialmente 1 0 mismo: for-mar angulo recto. Sin embargo,suele decirse que dos vectores sonortogonales, que dos rectas a pla-nos son perpendiculares y que unvector es normal a una recta 0 a unplano.

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e s p a c i o

y sustituyendo en la ley de los cosenos obtenemos finalmenteI I v l1 2 - 2 u . v + I I u l 1 2 I I u l 1 2 + I I v l1 2 - 2 1 1 v l l l lv il cos 8

- 2 u . v = - 2 1 1 u l l l l v l l cos eu 'v

cos 8 = I l u l l l l v l lSi se conoce el angulo entre dos vectores, reescribiendo el Teorema

como

u . v = I l u l l l l v l l cos 8 I Forma alternativa del producto escalarse dispone de un nuevo metodo para calcular el producto escalar. Es facilcuenta de que, al ser I l u l l y llvl siempre positivos, u . v y cos e tendran sieel mismo signo. La Figura 10.25 muestra las posibles orientaciones devectores.

Direccion U'v


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S e c c i 6 n /O J

k

x

F IG U R A 1 0 . 2 6A n g u l o s d i r e c t o r e s .

E 1 p r o du c t o e sc al a r d e d o s v ec to re s 9

u r w 3+1-4 0b) cos () = = = = - - = 0l Iu l l l lwl l ji4j6 2 . f i 4Como u . w = = 0, u y w son ortogonales. Ademas, ()= n12 .

v . z -8 + 0 - 2 -10c) cos () = = = = - - = -1I lvl l l lzl l foj5 jW oEn consecuencia, () = n. N6tese que v y z son paralelos, con v = = -2z.

Cosenos d irec tores

y

Para un vector en el plano hemos visto que es conveniente medir la direccien terminos del angulo, medido en sentido contrario al de giro de las agujasun reloj, desde el semieje x positivo hasta el vector. En el espacio es convniente medirla en terminos de los angulos entre el vector v (no nulo) y los tvectores unitarios i, j y k, como muestra la Figura 10.26. Los angulos IX , rson los angulos de direccion (0 angulos directores) de v, y cos IX , cos p , coson los cosenos directores de v. De

v . i= I lvl l l l i l l cos IX = = l ivl l cos IXy

se sigue que cos IX = vl/l lvi l. Por un argumento similar con los vectoresj y kobtiene

vcos IX =_1I Iv l l rt . es el angulo entre v e iv

COS P = 1 1 : 1 1 f J es el angulo entre v y jv

COS Y = I lv l l y es el angulo entre v y kPor consiguiente, cualquier vector v no nulo en el espacio, tiene la forma nmalizada

V v t v2 V3 R"- =-I +-J + - k = cos IX+ cos pJ + cos ykI lv ll I lv l l Ilv ll I lv lly como v/l lv i l es un vector unitario, resulta


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996 C a p i t u lo 1 0

a =Angulo entre v e i4 ,B =Angulo entre v y j3 Y =Angulo ent re v y k

x

v= 2i + 3j +4k

F IG U R A 1 0 . 2 7A n g u lo s d ir e c t o r e s d e v .

F IG U R A 1 0 . 2 8L a f u e r z a d e l a g ra v ed a d e m p u ja l a l a n c ha

h a c i a a b a jo y c o n tr a l a r a m p a .

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e s p a c i o

E J E M P L O 3 C d l c u l o d e l o s d n g u l o s d ir e c to r e s

Calcular los cosenos y angulos directores del vector v=i + 3j + 4k Y coprobar que cos ' e x + cos? f 3 + cos? '}'= 1.S o l u c i o n :Como I l v l l = J 2 2 + 32 + 42 =fo, tenemos

Vi 2cos e x =- =-~I l v l l fo C( :::::; 68,2V2 3cos f 3 ==--I l v l l foV3 4

cos y =-=-~I l v l l foLa suma de los cuadrados de los cosenos directores es

4 9 16cos 2 e x + cos 2 f 3 + cos 2 '}' = ~ + - + ~29 29 292929

= 1(Vease Figura 10.27.)

P r o y e c c i o n e s y v e c t o r e s c o m p o n e n t e sYa hemos tenido ocasi6n de sumar vectores para producir un nuevo vecMuchas aplicaciones a la Ffsica 0 a la Ingenieria plantean el problema invso: descomponer un vector como suma de vectores componentes. La udad de este procedimiento se comprendera mejor recurriendo a un ejemffsico.Consideremos la lancha sobre una rampa inc1inada de la Figura 10.28fuerza de la gravedad F empuja la lancha hacia abajo y contra la ramEstas dos fuerzas, w 1 y W2' son ortogonales y se Haman los vectores comnentes de F.

Vectores componentes de F

Las fuerzas w 1 Y w2 ayudan a analizar el efecto de la gravedad sobre la lancPor ejemplo, w 1 indica la fuerza necesaria para evitar que la lancha desciepor la rampa y w 2 1 0 que deben soportar los neumaticos.


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S e c c io n 1 0 .3

-1-1-2

F IG U R A 1 0 . 3 0U = W 1 + W 2

I N O l a . N 6tese la d is tin ci6 n en trel o s te rm i n o s c ompon e n t e y v e c -t o r c om pon en te . Po r e jem plo ,usa nd o lo s v ec to re s u nita rio s c an 6 -n i c o s c o n u = Uti + u z , i , u1 es lac om pon en te d e u en la d ire c c ion deiy u1is e l v ec to r c om pon en te de ue n l a d ire cc i6 n d e i.

E 1 p r o d u c to e sc a J ar d e d o s v e e /o r e s

Y e es agudot - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - e es obtusor-----------------------IIIII

v

F IG U R AWI:: p r oY v u : : p r oy e cc io n d e u s o b r e v : : v e c to r c o m p o n en te d e u e n l a d i re c c io n

w 2 ;:; v e c to r c o m p o n e n t e d e u o r t o g o n

E J E M P L O 4 C d l c u lo d e l v e c t o r c o m p o n e n t e d e U o r t o g o n a l a VCalcular el vector componente de u =


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998 C a p i t u lo 1 0

z

F IG U R A 1 0 . 3 1

F IG U R A 1 0 . 3 2

V e c t o r e s y g e om e t rfa d e l e s p a c i o

La proyecci6n de u sobre v se puede escribir como un rmiltiplo escalaun vector unitario en la direcci6n de v:

( u . v ) ( u . v ) v v~ v= .~ ~=(k)~ u'vk =MI l u l l cos eEI mimero k se llama la componente de u en la direcci6n de v.

E J E M P L O 5 D e s c o m p o s i c ia n d e u n v e c t o r e n v e c to r e s c o m p o n e n te s

Hallar la proyecci6n de u sobre v y el vector componente de u ortogonalpara los vectores u = 3i - 5j + 2k y v = 7i + j-2k. (Vease Figura 10.31S o / u c i a n : La proyeccion de u sobre v es

El vector componente de u ortogonal a v es el vector.. (14 . 2. 4) 13. 47. 22w2= u - W= (31 - 5j+ 2k)- -I + -j - -k = -I - -j + ~k9 9 9 9 9 9

E J E M P L O 6 C d lc u lo d e u n a J u e r z aUna lancha de 600 libras se encuentra sobre una ramp a con 30 de inclicion (Figura 10.32). l,Que fuerza es necesaria para evitar que la lancha rde cuesta abajo?

S o l u c i a n : Como la fuerza de la gravedad es vertical y hacia abajo, puede repsentarse por el vector F = -600j. Para hallar la fuerza requerida para impeque la lancha descienda por la rampa, proyectamos F sobre un vector unitarien la direcci6n de la rampa:

300 300' J3 . 1.v = cos I+ sen J =-I + - J2 2 Vector unitario en la direccion de la r a mPor tanto, la proyeccion de F sobre v es

W= proYvF= ( F . : ) v = ( F ' v ) v = (-600)(~)v = - 3 0 0 ( J 3 j + ! j )l lv l l 2 2 2La magnitud de esta fuerza es 300, as! que la fuerza pedida es de 300 libr


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S e e r i 6 n /O J

F IG U R A 1 0 . 3 4

E I p r o d u e to e sc a / a r d e d o s v ec to r e s 9

TrabajoEl trabajo W realizado por una fuerza cons tante F que actua a 10 largo derecta de movimiento de un objeto viene dado por

W = (magnitud de la fuerza) (distancia) = IIFIIIIPQIIcomo se muestra en la Figura 10.33a. Si la fuerza constante F no esta dirigen la direccion del movimiento, la Figura 1 0.33b indica que el trabajo W rezado por la fuerza es

W = IlproYPQFllllPQl1= (cos (J)IIFIIIIPQII= F . P Q

P QTrabajo = I I F I II I P Q I I Trabajo =I l p r o Y P Q F l l l l P Q l 1

a) La fuerza actua en la direccion del movimiento b) La fuerza actua formando un angulo e condireccion del movimiento

F IG U R A

Resumimos esta nocion de trabajo en el cuadro siguiente.

E J E M P L O 7 T r a b a j oPara cerrar una puerta corredera, una persona tira de una cuerda con una fuecon stante de 50 libras con un angulo de 60 (Figura 10.34). Calcular el trabrealizado para mover la puerta 12 pies hasta que queda cerrada.S o l u c i o n : Por proyeccion podemos hallar el trabajo realizado haciendo

W = IlproYj>QFIIIIPQII= cos (60) IIFIIIIPQII= !(50)(l2)2= 300 Jibras-pies


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1000 C a p i t u l o 1 0 V e c t o r e s y g e om e u ia d e l e s p a c io

Eje rc ic ios de la S ec ci6 n 1 0 JEn los Ejercicios 1-6, calcular a) U v, b) U u, c) lIuW,d) (u : v)v, y e) U (2v)

1. u = 0,4) 2 . u::::;(5, 12)v = (2, -3) v = (-3, 2)

3. u::::;(2, -3,4) 4 . u = iv = (0,6,5) v : : : : ; i

5 . u::::;2i - j + k 6. "=2i+j-2kv::::;i-k v::::;i - 3j + 2k

7. Ingresos El vector" = O ? c) U v

32. ;,Verdadero 0falso? Si u y v son ortogonalesi,es u + v ortogonal a w? En caso afirmativo, dtrarlo. En caso negative, explicar par que es falsoun ejemplo que confirme su falsedad.

33. Consideremos los vectores u =


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E je rc ic io s d e 1 a S e cc i6 n 1 0 . 3

34. Hallar los vectores tangentes unitarios a las curvasY l =x 2 el = Xl/3 en sus puntos de interseccion. Calcu-lar los angulos entre las curvas en esos puntos.

En los Ejercicios 35-38, hallar los cosenos direct ores de u yverificar que la suma de sus cuadrados es I.3 5 . u = = i+ 2 j + 2 k 36. u = 3i - j+ 5k

38. u = < a , b, c)7. u= (0, 6, -4)IEn los Ejercicios 39 y 40, usar una calculadora grafica parahallar la magnitud y los angulos directores de la resultante delas fuerzas FlY F2 can puntas iniciales en el origen. Se danla magnitud y el punto terminal de cada vector.

Vector Magnitud Punto final

39 . Ft 50lb (10, 5, 3)F2 80lb (12, 7, -5)40 . Fl 300N (-20, -10, 5)

F2 lOON (5, 15,0)41 . Hallar el angulo entre la diagonal de un cuba Y una de

sus aristas.42 . Hallar el angulo entre la diagonal de un cuba Y la dia-

gonal de una de sus caras.43. Cablesque soportan carga Una carga esta suspendi-

da de tres cables, como rnuestra la figura. Calcular losangulos directores del cable OA.

z

x44. Cables que soportan carga Hallar el peso de la carga

en el Ejercicio 43 si la tension en el cable OA es de 200newtons.

Ell los Ejercicios 45-48, a) proyectar u sobre v , y b) calculare l vector componente de u ortogonal a v .45. u= (2, 3), V= (5,1)47. u ; ; : ; (2, I, 2)

v ; ; : ; (0,3,4)

46. u=(2,-3),v=(3,2)48. u = (0, 4, 1)

v = (0,2,3)I49. Programacion Dados dos vectores u y v en fonna decomponentes, escribir un programa que exprese encomponentes la proyeccion de u sobre v.

50. Usar el programa del ejercicio anterior para caIculproyeccion de u sabre v.a) u= (3,4), v= (8, 2)b) u=(5,6,2),v=(-1,3,4)Para pensar En los Ejercicios 51 y 52, usar la fpara hallar rnentalmente la proyeccion de u sab(Se dan las coordenadas de los puntas terminalesposicion canonica.) Verificar los resultados analfmente.51. 52.

(6,4) (6,4

-+-~-+-!---t-+-+--+'""" x ++-l~+-l-+-+_I U- 2-4 (-3, -2)

53. Para pensar a) l ,Que se puede decir de dos vecu y v sabiendo que la proyeccion de u sabre v esl,Y si es O?

54. Para pensar Si la proyeccion de u sabre v tiemisrna Iongitud que la proyeccion de v sabre ucierto que I l u l l = I l v l l ?

En los Ejercicios 55-58, hallar dos vectores en direccioopuestas que sean ortogonales al vector u. (La solucioniinica.)

1 255. u = -i--j2 357. u = (3, 1, -2)

56. u= -Si + 3j58. u = (0, -3,6)

59 . Fuerza d e los fre nos Un camion de 32.000 librasaparcado en una calle can 15 de pendiente (figSupuesto que la unica fuerza actuante es la de la gdad, calcular a) la fuerza requerida para impedir qcamion ruede cuesta abajo, y b) la fuerza perpendical suelo.

Peso =32.000 libras

60. Cables que soportan carga Calcular Ia rnagnitudla proyeccion del cable OA de la figura de Ia pasiguiente sobre eI semieje z positivo.


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1002 C a p i t u l o 1 0 V ec t o r e s y g e o m e t r f a d e l e s p a c i o(5, -5, 20) Z (-5, -5,20)C B

1.000kg

61. Trabajo Se arrastra 10 pies por el suelo un objetoaplicando una fuerza de 85 Iibras. Calcular el trabajorealizado si la direccion de la fuerza forma un angulode 60 con la horizontal, como indica la figura.

Trabajo En los Ejercicios 63 y 64, calcular el trabajo rzado al mover la partfcula de P a Q si la magnitud y la dci6n de la fuerza vienen dadas por v,63. P(O, 0,0), Q(4, 7, 5), v = < J , 4, 8)64. P(I, 3,0), Q(-3, 5, 10), v = -2i + 3j + 6k65. Dernostrar que Ilu - v W = IIul12 + IIvl12- 2 u . v.66. Probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz [lu . v

~ Ilullllvll.67. Demostrar la desigualdad triangular Ilu + vii ~ Ilull+

62. Trabajo Un vag6n de juguete es arrastrado por unnino que tira con una fuerza de 15 libras de una varillaque forma 30 con la horizontal (vease figura). Calcu-lar el trabajo realizado al arrastrarlo 50 pies.

68. Demostrar el Teorema 10.6.

C O N T E N I D O E l p ro d u c t o v ec to r i a l

E l p r o d u c t o m i X IO (0 p r o d u c to e s c a l a r t r ip le ) D l O A- E l -p - r - o d - u - c t - o -v - e c -t o - r -i a -l -d e - d o - s -Y - e c -t o - r e sn e l e s p a c i oE I p ro d u c t o v e c t o r i a lEn muchos problemas de Fisica, Ingenierfa y Geometria se hace necesariocular un vector ortogonal ados vectores dados. En esta seccion presentamosproducto que produce un vector asi. Se denomina producto vectorial ydefine facilmente utilizando los vectores unitarios canonicos.

I N o t a . Esta definici6n es aplicable solamente a vectores en tres dimensiones. Elducto vectorial de vectores en el plano no esta definido.

Una manera conveniente de calcular u x v consiste en usar deterrninan(Esta forma de determinante 3 x 3 se usa solo como ayuda para memoriza


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S e c c i 6 n 1 0 .4

P r o P i t t d a ddue to v e. a d J u t i .d e yc i o l l ,r ial

E I p r o d u c t o v e c to r i a l d e d o s v e c to r e s e n e l e s p a c io 1

formula del producto vectorial, pero no es tecnicamente un detenninante,que sus entradas no son mimeros reales.)

i j kuxv= U1 U2 U3 < - - - Colocar u en la fila 2

VI V2 V3 < - - - CoJocar v en la fila 3= ! j ku2 u3 i- u1 u3 j + kv2 V3 v1 V3= IU2 U31' u1 u3 j + ut U21k-V2 V3 v1 V3 VI V2

Notese el signo negativo que antecede a la cornponente j. Cada uno de edetenninantes 2 x 2 se calcula, como es bien sabido, haciendo

E JE M P L O I C d l c u lo d e l p ro d u c t o r e c t o r i a l

Dados u = i-2j + k y v = 3i + j - 2k, hallar:a) u x v b) v x u c) V X VS o l u c i o n :

j k=I-~ _~Ii-I~ 1 . 11 -21) UXV= -2 1 J + 3 1 k-23 -2= (4 - l)i - (-2 - 3)j + (1 + 6)k= 3i + 5j + 7k

j k-~Ii-I~ -21. + 13 _121kIb ) vxu::: 3 1 -2 = -2 1 J 11 -2 1

= (l-4)i - (3 + 2)j + (-6 - I)k= -3i - 5j - 7k

Notese que este resultado es el negativo del obtenido en eI apartadoi

c) v x v = 33

j k1 -2 = 01 -2


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1004 C a p i t u l o 1 0

N O T A C l t l N P A R A a P R O D U C T OE S C A L A R V P A R A E L P R O D U C T O .

V E T O R I A L ., ... . , .L a n o ta c io n u t i l iz a d a p a r a e s t o s c o s p r o . .d u c t o s f u e i n t r o d u c l d a p o r e l f [ s i c o e s t a d o u n i~ s e J o W il la r d . G ib b s .( 1 8 3 9 . , . 1 9 0 3 1 . A c oG i b b s e l a b o r or e p r e s e n ta r m a g nt e m a f u e e ld e l o s c u a t e r n i

V e c t o r e s y g e o m e tr ia d e l e sp a c io

Los resultados del Ejemplo 1sugieren algunas propiedades algebraiinteresantes del producto vectorial, como u x v = -(v xu), y v x v =O.Epropiedades, y varias mIS, se resumen en el proximo teorema.

D e m o s t r a c i 6 n : Para demostrar la propiedad 1, consideremos u = uli+uJ+ u. v = vIi + v J +V3k. Entonces,

u x v = (UZv3 - u3vz)i - (ulV3 - U3VI)j + (ui v2 - uzvI)ky

v x u = (VZu3 - v3u z)i - (VIU3 - V3UI)j + (v1Uz - v zu1 )kde manera que u x v = -(v xu). Las restantes se dejan como ejercicio (veEjercicios 45-48).

La propiedad 1 del Teorema 10.7 nos pone sobre aviso de que el prodvectorial no es conmutatioo. En particular, esta propiedad indica que los vres u x v y v x u tienen iguallongitud pero direcciones opuestas. EI proxteorema recoge otras propiedades geometricas del producto vectorial.

D e m o s t r a c i 6 n : Para probar la propiedad 2, observemos que de cos f} = (uIlullllvll), se sigue que[ lu l l l lv l l sen f} = IIullllvllJ1 - cos z f}

(u . V)21 - --=------=IIul1211vllzIlullllvll


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S e ee ia n lO A

uF IG U R A 1 0 . 3 5

L o s v e c t o r e s u y v s o nl ad o s a d ya c en t e s d e u n p a r a l e l o g r a m o .

u P la no d ete rm in ad o P O f U Y V

k=i x j

F IG U R A 1 0 . 3 6S i s t em a s d e x tr 6 g ir o s.

E I p r o d u c t o v e c to r i a l d e d o s v e e to r e s e n e l e sp a c i o 1

= J (ui +~ +5)(vi +~ +~) - (u1 v1 + uzvz +3V= J (UZv3 - u3VZ)z + C U t V3 - U3V1)z + C U j v2 - U2Vj)2= 110 x vII

Para demostrar la propiedad 4, nos referiremos al paralelogramo de la Fra 10.35, con lados adyacentes 0y v. Puesto que la altura del paralelogramollvl sen 8, el area es

Area = (base)(altura)= lIolilivll sen 8= 1 1 0 x vII

Se deja como ejercicio probar las propiedades 1 y 3 (vease Ejecios 49 y 50).I N o t a . De las propiedades 1 y 2 del Teorema 1 0 . 8 se deduce que s i n es un vunitario ortogonal a u Y v , entonces

u x V ::: : (l lu l l l l v l l sen tJ)n

v

Ambos, 0 x v y v x 0, son perpendiculares al plano determinado por 0Una forma de recordar la orientaci6n de los vectores u, v, y 0x v consistecompararlos con los vectores i,j, y k = i x j, como sugiere la Figura 10.36.tres vectores u, v, y u x v forman un sistema dextrogiro, mientras que uv x u constituyen un sistema leuogiro.

E J E M P L O 2 U t i l i z a t i o n d e l p r o d u c t o v e c t o r ia lHallar un vector unitario ortogonal a

u = i-4j + k v = 2i + 3jS o l u c i o n : El producto vectorial 0x v, como muestra la Figura 10.37, es ortonal tanto a u como a v. i j ku x v = 1 -4 1

230= -3i + 2j + 11k

Como Ilu x vII = J(-3)2 + 2 2 + 1 1 2 = fo,un vector unitario ortogonau yves

u x v 3 . 2 . 1 1---=~-l+--J+--klIu x v ii fo fo fo


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1006 C a p fr u Jo 1 0z (-3,2, II)

4 (2,3.0)x

F IG U R A 1 0 . 3 7E l v e c t o r u x v e s o r t o g o n a l a a m b o s , u y v .

z

A =(5,2,0)x

F IG U R A 1 0 . 3 8E l a re a d e l p a r a l e lo g ra m o e s a p r o x im a d a m e n t e 3 2 , 1 9 .

F IG U R A 1 0 . 3 9E I m o m en t a d e F r e s p ec t o d e P .

V e c t o r e s y g e om e t r ia d e l e sp a ci o

I N o t a . En el Ejemplo 2 podiamos haber utilizado v x u para construir un vector urio ortogonal a u y v, Can esa eleccion, el resultado hubiera sido e] negativo del obdo en el ejemplo.

E J E M P L O 3 A p l i c a c i o n g e o m i tr ic a d e l p r o d u c to v e c to r i a lProbar que el cuadrilatero con vertices en los siguientes puntos es un paralgramo y caIcular su area.

A = (5,2,0)C = (2, 4, 7)

B = = (2,6, 1)D = (5, 0, 6)

yS o l u c i o n : En la Figura 10.38 vemos que los lados del cuadrilatero correspona los cuatro vectores siguientes:

A S = -3i + 4j + kA D = O i - 2j + 6k

C D = = 3i - 4j - k = = -A BC B = = Oi + 2j - 6k = - A D

As! pues, A l i es paralelo a C D y A D es paralelo aCE, y podemos concluirel cuadrilatero es un paralelogramo con A B y A D como lados adyacentes. Amas, como

j k4 1o -2 6

= = 26i + 18j + 6kel area de ese paralelogramo es

I I A B x A D I I = J T .0 3 6 ~ 32,19EI paralelogramo (,es un rectangulo? Para decidir si 10 es 0 no, calcule el an10 entre los vectores A S y A D .

En Fisica el producto vectorial sirve para medir el momento M defuerza F respecto de un punto P (Figura 10.39). Si el punto de aplicacionla fuerza es Q, el momento de F respecto de P viene dado por

Momento de F rcspecto de P

La magnitud del momento mide la tendencia del vector P O a girar en senantihorario (regla de la mano derecha) en torno a un eje dirigido a 1 0 largovector M.

E J E M P L O 4 U n a a p li c a c io n d e l p r o d u c to v e c to r i a lSe aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de I pilongitud, ligada a un eje en el punto P (Figura 10AO). Calcular el momentaesa fuerza respecto del punto P cuando f] = = 60.


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S e c e i o n 1 0 . 4

z

x

F IG U R A 1 0 . 4 0U n a f u e r z a v e r t i c a l d e 5 0 l i b r a s

s e a p l i c a e n e l p u n to Q .

I N o t a . El valor de un determinan-tequeda multiplicado por -I si seintercambiandos de sus filas. Trasdos de esos intercambios, el valordel determinante queda invariable.Por tanto, los siguientes productosmixtosson iguales:

U (v x w) =v : (w xu) =W (u x v)

vXw

I lp r o j , w u IIF IG U R A 1 0 . 4 1

A r e a d e l a b a s e = II U x w l l .V o l u m e n d e l p a r a l e l e p fp e d o = lu . (v x w ) l .

E I p r o d u ct o v e c to r i a l d e d o s v e c to r e s e n e J e s p a c i o 1

Soluao: Si representamos la fuerza pOI el vector F = -50k Yla palanca--" 1 .j3PQ = cos (600)j + sen (600)k -j+ -k2 2

y

el momento de F respecto de P esi j k

-------- ' - 1 j3M = PQ x F = 0 - = -25i2 20 0 -50

La magnitud de este momenta es de 25 libras-pie.I N o t a . En el Ejemplo 4 el momenta (tendencia de Ia palanca a girar en torno aldepende del angulo O . El momenta es 0 cuando () = n1 2 y maximo cuando e = oEI p ro duc to m ix to (0 p ro duc to e sc a la r trip le )Dados tres vectores u, v, wen el espacio, el producto escalar u y v x W

u : (v x w)se llama el produeto mixto (0 pro due to esealar triple) de u, v, w. La demtraci6n del pr6ximo teorema se deja como ejercicio (vease Ejercicio 53).

Si los vectores u, v, w no son cop1anarios, su producto mixto da el voludel paraleleptpedo (poliedro cuyas caras son paralelogramos) que tiene a uw como lados adyacentes (Figura 10.41). Eso es 10 que establece el teorsiguiente.


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1008 C a p i t u l o /0 V e c t o r e s y g e om e t r fa d e l e s p a c i o

D e m o s t r a c i a n : En la Figura 10.41 se observa queIlv x wll = area de la base y Ilproyvxwull= altura del paraleleptpedPor consiguiente, el volumen es

v = (alturajrarea de la base) = Ilproyvxwullliv x wll= lu . (v x W ) I " V x wllIlv x wll= [u . (v x w ) 1

z E J E M P L O 5 C a l c u lo d e u n v o lu m e n m e d i a n t e e l p ro d u c t o m i x t oCalcular el volumen del paralelepfpedo que tiene au = 3i - 5j + k, v = 2j -y w = 3i + j+ k como aristas adyacentes (vease Figura 10.42).S o l u c u m : Del Teorema 10.10 se sigue que

F IG U R A 1 0 . 4 2 V = [u . (v x w ) 1E l p a ra le l e p fp e d o t i e n e v o lu m e n 3 6 . 3 -5 1

= 0 2 -23 1 1

1 2 - 2 1 1 0= 3 1 1 - (-5) 3= 3(4) + 5(6) = 1(-6)= 36

- 2 1 1 0 2 1 1+ (1) 3

Del Teorema 10.10 se desprende que el volumen del paralelepfpedo es 0s610 si los tres vectores son coplanarios. Esto es, tres vectores u = , Yw =


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E j e r c i c i o s d e 1 a S e c c i o n 1 0 . 4

Para pensar En los Ejercicios 13-16, usar los vectores u yv deIafigura para dibujar un vector en Ia direccion del pro-ductovectorial indicado en un sistema dextrogiro.

z6 .5432II243 ---Y

I,,II- - - , !c .

-- TU-- ; 4 -0---yI -" 6, '-~-'"7~

x1 3 . u x v1 5. (-v) x u

14. v xu16. u x (u x v)IEnlosEjercicios 17-20,usar una calculadora para hallar u x v

y un vectorunitario ortogonal au y v.17. u= (4, -3,5, 7)

v = (-1,8,4)18. u = (-8, -6,4)

v = (10, -12, -2)220. u =-k31v =-i+ 6k2

19. u = -3i + 2j - 5k1. 3. 1v=-I--J+~k2 4 10

121. Programac ion Escribir un programa que, dados vee-tares u y v en forma de componentes, calcule u x v y[ u x v i i .

122. Usarel programa anterior para calcular u x v y IIUx v i ia) u = (8, -4, 2) b) u = (-2, 6, 10)v = (2, 5, 2) v = 0, 8,5)I r e a En los Ejercicios 23-26, caIcular el area del paralelo-

gramoque tiene a los vectores dados como lados adyacentes.VerificareJ resultado con una calculadora.23. u =j 24. u=i+j+k

v=j + k v =j + k25. u = (3, 2, -I) 26. u = (2, -I, 0)

v= (1, 2,3) v = (-1,2,0)A r e a En los Ejercicios 27 y 28, comprobar que los puntossonvertices de un paralelogramo y calcular su area.27. (1, I, I), (2, 3,4), (6,5,2), (7, 7,5)28. (2, -1, I), (5, 1, 4), (0, 1,1), (3, 3,4)Area En los Ejercicios 29-32, calcular el area del triangulocuyosvertices se especifican. (Ayuda: El area del triangulo

1conu y v como Iados adyacentes es -Ilu x v i D .2

1

29. (0, 0, 0), (1, 2, 3), (-3, 0, 0)30. (2, -3, 4), (0, 1,2), (-1, 2, 0)31. (1, 3, 5), (3, 3,0), (-2,0,5)32. (I, 2, 0), (-2, I, 0), (0, 0, 0)En los Ejercicios 33-36, calcular u . (v x w)33. u = i 34. u=(I,I,I)

v =j v = (2, 1,0)w=k w= (0, 0,1)

35. u = (2,0, I) 36. u = (2,0,0)v = (0, 3, 0) v = (1, 1, 1)w = (0, 0, I) w = (0, 2,2)

Volumen En los Ejercicios 37 y 38, usar el producto mpara calcular el volumen del paralelepipedo con lados acentes u, v, w.37. u = i+ j

v=j+kw = i+ k

38. u= (1, 3, I)v = (0, 5, 5)v = (4,0,4)

z z

yx

Volumen En los Ejercicios 39 y 40, calcular el voludel paralelepfpedo con los vertices dados (vease figuras39. (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0,5, 1), (3, 5, 1)

(2, 0, 5), (5, 0, 5), (2, 5, 6), (5, 5, 6)z

40. (0,0,0), (1, 1,0), (1,0,2), (0, 1,1)(2,1,2), (1, 1,3), (1,2, 1), (2, 2, 3)


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1010 C a p i t u lo 1 0 V e c t o r c s y g e o m e tr ia d e l e sp a c io

xy

41. Momento Un nino frena una bicicleta aplicando unafuerza hacia abajo de 20 libras sobre el pedal cuando lamanivela forma un Angulode 40 con la horizontal (fi-gura). Calcular el momento respecto de P si la manive-la tiene 6 pulgadas de longitud.

p42. Momento Tanto la magnitud como la direcci6n de la

fuerza sobre un ciguefial cambian cuando este va giran-do. Calcular el momento sobre el ciguefial con los da-tos de la figura.

43. Optimizacion Una fuerza de 200 libras acnia sobre elsoporte de la figura.a) Hallar el vector A B y el vector F que representa la

fuerza (F ha de darse en terminos de ( J ) .b) Calcular la Il1~nitud del momento respecto de Acalculando I I A B x F I I .

c) Determinar, usando el resultado del apartado b), lamagnitud del momento cuando (J = 30.

d) Hallar, usando el resultado de b), el Angulo ()cuando la magnitud del momento es maxima. Paraese angulo, ~que relaci6n hay entre los vectores Fy X B ? (,es la que esperaba? ~Por que?

e) Representar la funci6n que da la magnitud del mo-mento respecto de A para 0 :( () :( 1800 Hallar eIcero de la funcion en ese dominio e interpretar elsignificado de ese cero en el contexto del problema.

44. Optimizacion Una fuerza de 60 libras acuia sobHave inglesa de la figura.a) Calcular la magnitud del momenta respecto

evaluando I I O A x F I I . Representar en una caldora la funcion de 0 resultante.

b) Usar el resultado del apartado a) para determla magnitud del momento cuando () = 45.

c) Definir el angulo 0, usando el apartado a), cula magnitud del momento sea maxima. (,Eslapuesta que se esperaba? (,Por que?

En los Ejercicios 45-52, demostrar la propiedad del prodvectorial que se especifica.45. u x (v + w) = (u x v) + (u x w).46. c(u x v) = (cu) x V = U x (cv).47. u x u = O.48. u . (v x w) = (u x v) . w.49. u x v es ortogonal a u y a v.50. u x v = 0 si Ysolo si u y v son multiples escalares

de otro.51. Ilux vii = lIullllvll si u y v son ortogonales.52. u x (v x w) = (u . w)v - (u . v)w53. Demostrar el Teorema 10.9.54. Parapensar Si se doblan las longitudes de dos v

res, (,c6mo cambia la magnitud de su producto vrial? Explicar la respuesta.

55. Parapensar Los vertices de un triangulo en el esson (Xi' Yv Z1)' (X2' Y2' Z2)' (x3 h. Z3)' Explicar compuede hallar un vector perpendicular al t r i angulo ,


29/50

S e c c i o n 1 0 . 5 R e c u s y p i a n o , I ' e n e l e s p a c i o 1011

56. ;,Verdadero 0f a l so? Se puede definir el producto vec-torialde dos vectores en el plano. Explicar la respuesta.

57. Dadoslos vectores u ::= y V := {J , calcular su producto vectorial

. y usarel resultado para probar quesen (rx- fl) = sen a cos Ii - cos a sen f 3

58. Redaccion Lea el articulo Tooth Tables: Solu-tion of a Dental Problem by Vector Algebra deGary Hosler Meisters en Mathematics Magazine,noviembre 1982. A continuacion, escriba unas If-neas explicando como se puede usar e I algebravectorial en la construcci6n de implantes den-tales.

C O N T E N I D O R e c t a s e n e I e s p a c i o P Ia n o s e n e l e s p ac i o

T ra z a d o d e p I a n o s e n e l e s p ac i o D i s ta n c ia s e n t re p u n t o s , r e c t a s y p i a n os

z

xF IG U R A 1 0 . 4 3

~ . a r e c t a L y s u v e c to r d ir e c t o r v .

~_10._5 __l _ _ _ _ j Rectas y p Ian os en el esp ac ioR ectas en el esp ac ioEn el plano, se usaba la pendiente para expresar Ia ecuaci6n de una recta. En elespacio es mas conveniente utilizar vectores para ello.

En Ia Figura 10.43, consideremos Ia recta L que pasa por el punto P(x I'Y l'Z I) Yes paralela al vector v = (a, b, c). EI vector v es el vector de direcci6n (0vector director) de la recta L, y a, b, c son sus mimeros de direcci6n (0rnimeros directores). La recta L contiene pecisamente los puntos Q(x, y, z)para los que el vector P Q es paraielo a v. Eso significa que P Q es un multiploescalar de v, de modo que P Q = tv, donde t es un escalar (un mimero real).

PQ = (x - Xl' Y - Y I' Z - Zl) = (at, b t, ct) = tvr Igualando las componentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones para-

metricas de una recta en el espacio.

Si los rnimeros directores a, b, c son todos distintos de cero, se puede elimi-nar el parametro i,con 10 que se obtienen las ecuaciones simetricas de Ia recta:

x - Xl Y - Yl Z - Zt- _ - - = =a h c Ecuaciones simetricas

E J E M P L O J E c u a c io n e s p a r a m i t r i c a s y s u n e t n c a s d e u n a r e c t aHallar ecuaciones parametricas y ecuaciones simetricas para Ia recta L quepasa por el punta (1, -2, 4) paralela a v = < 2,4, -4)


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1012 C a p i t u lo 1 0

F IG U R A 1 0 . 4 4E I v ec to r v e s p a r a le lo a l a r e c t a L .

I N o t a . A I variar t sobre la rectareal, las ecuaciones parametricasdel Ejemplo 2 determinan los pun-tos (x , y, z) de la recta. En particu-lar, t ;;::0 y t = 1 dan los puntos origi-nales (-2, 1, 0) y (1, 3, 5).

n - PQ=ox

F IG U R A 1 0 . 4 5E I v ec to r n o n n a l n e s o r t o g o n a l

a t o d o s l o s v e c to re s d e l P Q p l a n o .

V e c t o r e s y g e om e t r ia d e l e s p a c i o

S o l u c i o n : Para hallar un conjunto de ecuaciones parametric as de una rectamos las coordenadas Xl :=1, Y 1 :=- 2, Z 1 = 4 Ylos mimeros de direccion a:=4 y c = -4 (Figura 10.44).

x = 1 + 2t, Y :::;-2 + 4t, Z =4 - 4t Ecuaciones parametric asComo a, bye son todos no nulos, un conjunto de ecuaciones simetricas

x - I2

y + 2 Z - 4= =4 -4 Ecuaciones simetricasNi las ecuaciones parametric as ni las simetricas de una recta son ii

Asi, en el Ejemplo 1, tomando t = 1en las ecuaciones parametricas se obteel punta (3, 2, 0). Usando este punto y los numeros de direcci6n a = 2, bc = -4 se llega a unas ecuaciones parametric as diferentes:

x = 3 + 2t, Y = 2 + 4t, Y z = -4tE J E M P L O 2 E c u a c i o n e s p a r a m e u ic a s d e l a r e c t a q u e p a s a p o r d o s p u n t a sHallar un conjunto de ecuaciones parametricas de la recta que pasa popuntos (-2, 1, 0) Y (1, 3, 5).S o l u c ia n : Con los puntos P C -2, 1,0) y Q( 1, 3, 5) construimos un vector dide la recta, a saber

v:= P Q = (l-(-2), 3 - 1,5 - 0) = (3, 2, 5):::; < a , b, c)Usando los mimeros de direcci6n a = 3, b = 2, c = 5 y el punto P(-2,obtenemos las ecuaciones parametricas

x = -2 + 3t, y = 1+ 2t, y z :=5tP I a n o s e n e l e s p a c i oHemos visto que una ecuaci6n para una recta en el espacio se puede obtepartir de un punto y de un vector paralelo a ella. Ahora veremos quecuaci6n para un plano en el espacio se puede deducir a partir de un puntovector normal (perpendicular) a el,

Consideremos el plano que contiene el punta P(x1, Y1 ' Z1) Ycon un vnormal no nulo n = (a, b, c), como muestra la Figura 10.45. Este plano cde todos los puntos Q(x, Y, z) para los que el vector PQ es perpendicularUsando el producto escalar, podemos escribir

n'PQ=O(a , b, c) .


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S e e c i a n / 0 . 5 R e G l a s y p Ia n o s e n e l e sp a c io 10

z

x

F IG U R A 1 0 . 4 68 1 p l a n o d e t e rm i n ad o p o r u y v .

Reagrupando terminos, se obtiene la forma general de la ecuaci6n deplano en el espacio:

I ax + by + cz + d = 0 Ecuacion general de un plano en el espacioDada la ecuaci6n general de un plano es facil hallar un vector normal a

Basta usar los coeficientes de x , y, Z Yescribir n =


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1014 C a p i t u lo 1 0

F IG U R A 1 0 . 4 7E l a n g u lo 0 e n t r e d o s p i a n o s,

F IG U R A 1 0 . 4 8E I a n g u l o e n t r e l o s p ia n o se s a p ro r i m a d am e n t e 5 3 ,5 5 '.

V e c t o r e s y g e om e t r fa d e l e .- pa c io

I N o t a . Compruebe que en el EjempJo 3 cada uno de los t r e s puntos dados satisfaecuaci6n

Dos pIanos distintos en el espacio 0 son paralelos 0 se cortan en una rSi se cortan, el angulo entre enos 1 0 da el angulo que forman sus vecnormales (Figura 10 . 47 ) . As! pues, si los vectors 0 1 Y 0 2 son normalesplanos que se cortan, el angulo 0 entre los vectores normales es igual al anentre los dos pIanos y viene dado por

Angulo entre dos planos

En consecuencia, dos pIanos con vectores normales n 1 Y 0 2 son1. perpendiculares si n 1 . 0 2 = O.2. paralelos si 0 1 es un rmiltiplo escalar de 02 '

E J E M P L O 4 R e c t a i n te r s e c c i t 5 n d e d o s p ia n o sHallar el angulo entre los pIanos

x - 2y + Z = 02x + 3y - 2z = 0

Ecuacion del plano IEcuacion del plano 2

y ecuaciones parametric as de su recta intersecci6n (Figura 10.48).S o l u c u m : Los vectores normales a los planos son 01 = (1, -2, I> y 0 2 =


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S e c c i 6 n 1 0 . 5 R e c t a s y p la n o s e n e l e sp a c io 1015

Sustituyendo y :: :: 4zJ7 en una de las ecuaciones originales, se ve que x = z/7.Finalmente, haciendo t = zJ 7 se obtienen las ecuaciones parametricas

x = t, Y = 4t, Y Z = 7 t Recta interseccionde manera que 1, 4, 7 son numeros directores para la recta intersecci6n. D

Hagamos notar que los mimeros directores en el Ejemplo 4 se pueden obte-ner del producto vectorial de los dos vectores normales:

i j kDl X Dz = 1 -2 1

2 3 -2= I - ~ _ ~ I i - I ~ - ~ I j + I ~ - 2 1 k= i+ 4j + 7kEso quiere decir que la recta intersecci6n de los dos pIanos es paralela al pro-

ducto vectorial de sus vectores normales.

T r a z a d o d e p I a n o s e n e l e s p a c i oSi un plano corta a uno de los pIanos coordenados, la recta de intersecci6n sellama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en elespacio, es iitil hallar sus puntos de intersecci6n con los ejes de coordenadas y sustrazas en los pIanos de coordenadas. A titulo de ejemplo, consideremos el plano

3x + 2y + 4z = 12 Ecuaci6n del planoHaciendo z = 0 hallamos su traza en el plano xy, que resulta ser

3x + 2y = 12 Traza xyEsta recta corta al eje x en (4, 0, 0) y al eje y en (0, 6, 0). En la Figura 10.49continuamos este proceso hallando las trazas v z y xz, y sombreando la regi6ntriangular del primer octante.

z

(0,0,3)0,0,3)

x x xTraza xy (z = 0): Traza yz (x = 0): Traza xz (y = 0):3x + 2y = 12 2y + 42 = 12 3x + 42 = 12

F IG U R A 1 0 . 4 9T r a z a s d e l p la n o 3 x + 2 y + 4 z : : ;:1 2 .


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1016 C a p i t u lo 1 0

(0,0,1)

x

F IG U R A 1 0 .5 0

D=l p r o Y D P Q l 1F IG U R A 1 0 . 5 2

D i s t a n c ia d e u n p u n to a u n p la n o .

V e e t o r e s y g e o m e t r i a d e l e s p a c i o

Si en la ecuacion de un plano esta ausente alguna de las variables, com2x + z = I, el plano es paralelo al eje de la variable ausente (Figura 10.50faltan dos variables en la ecuaci6n de un plano, este es paralelo al plano cdenado de las dos variables ausentes (Figura 10.51).

z z zy

xy yx

EI plano ax + d = esparalelo al plano yz

EI plano by + d =0 esparalelo al plano xz

EI plano cz + d = 0 esparalelo al plano xy

F IG U R A

D i s t a n c i a s e n t r e p u n to s , r e c t a s y p I a n o sCerramos la secci6n analizando dos tipos de problemas sobre distancias eespacio,

1. Ca1cular la distancia de un punto a un plano.2. Calcular la distancia de un punto a una recta.Sus soluciones ilustran la versatilidad y la utilidad de los vectores en G

metria analftica: el primer problema se resuelve mediante el producto escalel segundo mediante el producto vectorial.

La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmentocorto que une Q con el plano (Figura 10.52). Si P es un punta arbitrarioplano, podemos hallar esa distancia proyectando el vector PQ sobre el venormal n. La longitud de esta proyecci6n es la distancia buscada.

Para determinar un punta en el plano de ecuaci6n ax + by + c: + d(a i= 0), hacemos y = 0 y z = O.De la ecuaci6n resultante, ax + d = 0, conmas que (-dla, 0, 0) esta en ese plano.


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S e cc io n 1 0 .5

I N ota . L a e lec cio n d el punto P ene l Ejem p lo 5 es arbitraria . Cons i d e -re un p un to d istin to de l p lan o yc om p rue be que se o btie ne la mismadi s t anc i a .

3x-y+2t-6 =0

6x-2y+4z+4=QF IG U R A 1 0 . 5 3

L a d i s ta n c ia e n tr e l o s p i a n o s p a ra l e lo se s a p ro x im a d a m e n te 2 ,1 4 .

R e c u s y p la n a s e n e l e sp a c ia 10

E J E M P L O 5 D is t a n c i a d e u n p u n t a a u n p l a n oCalcular la distancia del punta Q(1, 5,-4) al plano

3x - y + 2z = 6Soluci6n: Sabemos que n = 0,-1, 2) es normal al plano dado. Para encotrar un punta del plano, hacemos y = 0 y z = O. El resultado es el punP(2, 0, 0). El vector de P a Q viene dado par

P Q = (1 - 2, 5 - 0, -4 - 0)= (-I, 5,-4)

La formula de la distancia en el Teorema 10.13 implica queI P Q . n] 1(-1, 5, -4) . (3, -1, 2)1D - - ---r======---~- I ln l l - J 9 + 1 + 4

1 - 3 - 5 - 8 1= jl416= j 1 4

De acuerdo can el Teorema 10.13, la distancia del punta Q(x o' Yo ' zo )plano de ecuacion a x + by + cz + d = 0 esla (x o - Xl) + b(yo - Yt ) + c(zo - z l ) 1D = ----"-------;::::.=;:====;:===::c----=----=--J a 2 + b2 + c 2

es decir

Distancia punto-plano

donde P(Xl' YP Zl) es un punta del plano y d = -(ax! + by! + ezl).E J E M P L O 6 D is u m c ia e n t r e d o s p ia n o : p a r a le lo sCalcular la distancia entre los planos paralelos

3x - y + 2z - 6 = 0 6x - 2y + 4z + 4 = 0S o l u c i o n : Para hallar la distancia entre los dos planos, que se muestran enFigura 10.53, elegimos un punta del primero, digamos (x o , Yo , zo) = (2, 0,Entonces, de la ecuacion del segundo plano resulta a = 6, b = -2, e = 4, y d =asf que la distancia viene dada par

la x o + byo + cZ o + d lD = -----'~::;:::=::::::::::====;::_-J a 2 + b2 + e216(2) + (-2)(0) + (4)(0) + 41 16 8

= J 6 2 + (_2)2 + 42 = fo= jl4 ~,14


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1018 C a p it u lo 1 0 V e c t o r e s y g e o m e tr fa d e l e s pa c io

La formula de Ia distancia de un punto a una recta en el espacio recuerdde la distancia de un punto a un plano, salvo que el producto escalar qureemplazado por el producto vectorial y el vector normal n por un vectodireccion de Ia recta.

D =I I P Q I I sen e

D e m o n r a c i o : En la Figura 10.54 vemos que la distancia D del punto Q a Iarv e r i f i c a D = I I P Q I I sen 0, donde (}e s el angu lo entre u y PQ. Del Teoremase sigue que

P I l u 1 1 1 1 P Q 1 1en (}= I lu x P Q II = I IP Q x n ilu En consecuencia,

F IG U R A 1 0 . 5 4D in an c i a d e u n p u n l o a u n a r e c ta . - - " I IP Q x u l lD = I I P Q I I sen () = I l u l l

E J E M P L O 7 D is t a n a a d e u n p u n t o a u n a r e c t a

Hallar la distancia del punta Q(3,-I, 4) a la recta dada parx = -2+ 3t, y = -2t, y z = I + 4t

S o l u c i 6 n : Usando los ruimeros directores 3, -2, 4 sabemos que un vectodireccion de la recta es

zu=(3,-2,4) Vector de direccion

Para determinar un punta de Ia recta hacemos t = 0, can 10 que se obtienP = (-2,0, 1)

As! pues,P Q =


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E je rc ic io s d e J a S e cc io n J O . 5 1

Finalmente, del Teorema 10.14 concluimos que la distancia pedida es

I I P Q x u l l _ fo_;_ '"D = ~ l I u l l - fo-V 6 '" 2,45E j e r c ic i o s d e l a S e c c i6 n 1 0 .5

(Vease Figura 10.55)

En los Ejercicios I y 2, la figura muestra la grafica de unarecta dada por las ecuaciones parametricas adjuntas. a) Di-bujar una flecha sobre la recta que indique su orientacion. b)Hallar las coordenadas de dos puntos, P y Q, de la recta yconsiderar el vector P~Q..Que relacion hay entre las compo-nentes de este vector y los coeficientes de t en las ecuacionesparametricas? (,Cual es la razon de tal relacion? c) Determi-nar las coordenadas de los puntos de interseccion con lospianos de coordenadas. Si la recta no corta a uno de los pla-nos de coordenadas explicar por que.1 . x = I+ 3t

y=2-tz 0;;;; 2 + S t

2. x = 2 - 3ty=2z = I - t

z

.r ",'x

.i


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1020 C a p i t u l o 1 0 V e c t o r e s y g e o m e m a d e! e sp a c io

20. x = 2t- 1, y = -4t + 10, z = tx = 5.~- 12, y = 3s + 11, z = -2s - 4

Producto vectorial En los Ejercicios 21 y 22, a) hallar lascoordenadas~ tre~untos P. Q _ ] " " R ~ plano y considerarlos vectores PQ y PRo b) Hallar PQ x PRo i,Que relaci6n hayentre las componentes del producto vectorial y los coeficien-tes en la ecuacion del plano? i,Por que?21. 4x - 3y - 6z = 6 22. 2x + 3y + 4z = 4

z

En los Ejercicios 23-28, hallar una ecuacion del plano quepasa par el punta y es perpendicular al vector a recta dados.

Punta Perpendicular a23. (2, 1,2) n = i24. (1,0,-3) n=k25. (3,2,2) n = 2i + 3j - k26. (0,0, 0) n = -3i + 2k27. (0,0, 6) x = I - t, Y =2 + t, Z = 4 - 2t28. (3, 2, 2) x - I z + 3--=y+2=--4 -3En los Ejercicios 29-40, hallar una ecuaci6n del plano.29. EI plano que pasa par (0, 0, 0), (1, 2, 3) Y (-2, 3, 3).30. EI plano que pasa por (1,2, -3), (2, 3, 1), y (0, -2, -I).31. EI plano que pasa par (1,2,3), (3, 2, 1),Y (-1, -2, 2).32. El plano que pasa par el punta (1,2,3) paralelo al pla-

no yz.33. EI plano que pasapar el punta (1, 2,3) y es paralelo alplano xy.34. El plano que contiene al eje y y forma un angulo de 11:16

can el semieje x positivo.35. EI plano que contiene las rectas de ecuaciones

x-I x-2 y-l z-2--=y-4=z Y = =-2 -3 4 -1

3 6. El plano que pasa por el punta (2, 2, 1) Y contienrecta dada par

x Y - 4-=--=z2 -I37. EI plano que pasa par los puntas (2, 2, I) Y (-1, 1, -I

es perpendicular al plano 2x - 3y + z = 3 .38. El plano que pasa par los puntas (3, 2, 1) Y (3, 1, -5

es perpendicular al plano 6x + 7y + 2z = 10.3 9 . El plano que pasa par los puntas (1, -2 , -1) Y (2 , 5 ,

es paralelo al eje x.40. El plano que pasa par los puntos (4, 2, 1) y (-3, 5, 7

es paralelo al eje z,En los Ejercicios 41-46, averiguar si los planos son parlos, perpendiculares 0ninguna de ambas casas. En los caen que no sean paralelos ni ortogonales, hallar el angulointersecci6n.41. 5x - 3y + z = 4 42. 3x + y - 4z = 3

x + 4y + T: = I -9x - 3y + 12z =43. x - 3y + 6z = 4 44. 3x + 2y - Z =7

5x + y - z = 4 x - 4y + 2z::::045. x - 5y - z:::: I 46. 2x-z::::1

5x - 25y - 5z = -3 4x + y + 8z = 10En los Ejercicios 47-52, marcar las intersecciones y dibla grafica del plano.47. 4x + 2y + 6z = 1249. 2x - y + 3z ::::451. y + z = 5

48. 3x + 6y + 2z = 650. 2x - y + z = 452. x + 2y::::4

En los Ejercicios 53-56, representar el plano en una calcdora.53. 2x + y - z = 655. -5x + 4y - 6z ::::-8

54. x - 3z = 356. 2,lx - 4,7y - z:::: -3

En los Ejercicios 57 y 58, hallar ecuaciones paramet r i cpara la recta intersecci6n de los dos planos,57. 3x + 2y -z ::::7

x - 4y + 2z:::: 058. x - 3y + 6z ::::4

5x + y - z >4En los Ejercicios 59-62, hallar el punta de intersecci6n (shay) de la recta can el plano. Determinar asimismo si la resta contenida en el plano.

1 Y + (3/2) z + 159. 2x - 2y + Z = 12, x - - :::: ::::-2 -1 2


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E je rc ic io s d e l a S e cc io n 1 0 .5

x-I y z-36 0. 2x+3y=-5'-4-="2=-6-x-I y+l61. 2x + 3y = 10,-- = - - = z - 33 -2x-4 y+l z+2

6 2. 5x + 3y = 17, -2- = - - - - = 3 = -5-Enlos Ejercicios 63 y 64, calcular la distancia del punto alplano.63. (0,0,0)

2 x + 3y + z = 126 4 . (1,2,3)

2x-y+z=4En los Ejercicios 65 y 66, calcular la distancia entre lospianos.65 . x - 3y + 4z = 10

x - 3y + 4z =666 . 2x - 4 z = 4

2 x - 4 z = 10Enlos Ejercicios 67 y 68, hallar la distancia del punto a Iarecta dada en forma parametrica.67. (1, 5, -2); x = 4t - 2, y = 3, z = -t + 168. (4, I, -2); x = 2t + 2, y = 2f, z = t - 369. Un modelo matemdtico El consumo per capita (enlibras) de distintos tipos de leche en EE.UU. viene re-

cogido en Ia tabla. Los consumos de Ieche desnatada,semidesnatada y entera se denotan por las variables x,y, Z respectivamente. (Fuente: U.S. Department ofAgriculture.)

Aiio 1970 1975 1980 1985x 11,6 11,5 11,6 12,6

y 29,8 53,2 70,1 83,3z 213,5 174,9 141,7 119,7

Aiio 1990 1991 1992 1993x 22,9 23,9 25,0 26,7Y 98,3 99,7 99,4 97,1z 87,6 84,7 81,5 77,8

1

Un modelo para esos datos viene dado por

0,987x + 1, 71y + z = 276a) Completar una cuarta fila de la tabla usando

modelo para estimar z para valores dados de xComparar las aproximaciones obtenidas convalores reales de z ,

b) Segun este modelo, l,que efecto tendra un aumedel consumo de dos tipos de leche en el consudel tipo restante?

c) Dibujar las trazas del plano y su grafica en elmer octante (puesto que x, y, z han de ser no netivas).

70. Optimizacion Consideremos Ia recta de ecuacioparametric as

1x = -t + 3, y = - ( + 1, z = 2t - 12y el punto (4, 3, s) para un mimero real s arbitrarioa) Expresar Ia distancia del punto a la recta en

cion de s.b) Representar esa funci6n con ayuda de una calc

dora. Hallar, a la vista de Ia grafica, el valorque hace minima Ia distancia.

c) Usar el zoom para ampliar varias veces la gradel apartado b). l,Parece que la grafica tiene atotas oblicuas? Explicar Ia respuesta. Si es asi,lIar sus ecuaciones.

71. Para pensara) Describir y hallar una ecuaci6n de Ia superficie

nerada por los puntos (x. y. z) que distan cuunidades del punto (3, -2, 5).

b) Describir y hallar una ecuaci6n de Ia superficienerada por los puntos (x, y, z) que distan cuunidades del plano

4x - 3y + z = 1072. Para pensar Consideremos dos vectores no nulo

y v. Describir la figura geometrica generada porpuntos terminales de los siguientes vectores, dondet denotan mimeros reales arbitrarios.a) tv b) u+ tv c) su + tv

73. Diseiio industrial Hallar el angulo entre lados adcentes del contenedor de la figura de la pagina sigute, al que vierte el cereal una cosechadora.


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1022 C a p r t u l o IO V e e / o r e s y g e o m e t r f a d e l e s p a c i o

1H pu lg .- _ . _ 1

74. Si ap hI' c, y az' hz, Cz son dos conjuntos de numerosdirectores de una misma recta, probar que existe un es-calar d tal que

al = ald, hI = b2d, Y C1 = cld;.Verdadero 0 [also? En los Ejercicios 75 y 76, discutir siel enunciado es correcto 0 no. Si no 1 0 es, explicar la raz6n 0dar un ejemplo que muestre su falsedad.75. Si v = ali + hd + clk es eualquier vector en el

plano dado par a2x + b2y + czz + d2 =0, entoneesal(l2 + b,b2 + c,e2 = 0

76. Dos rectas cualesquiera en el espacio 0 se cortan 0 sonparalelas,

77. Consideremos el plano que pas a par los puntas P, RY S . Demostrar que la distancia de un punta Q a eseplano es

. . 1 0 ' (v x w ) 1Distancia = ------1 1 0 x v iidonde u = P R , v = P S , y w = P Q

78. Probar que la distancia entre los planos paralelosax + by + cz + d , = 0 y ax + by + z + d2 = 0 es

, - " . .. , . - " _ , " , : _ . . ' , - .. . . . . < .' . . . . , ' , " , .Enesta. secd6nhemos presentado dosfonnulas p a r a ccular distancias;. de un puntoaun p 1 t U l 0 yde.unpunto.una-recta, En este proyecto vaaanalizar untercerproblema dedistanci~s: ladistancia entr~dos rectas.que seerzan, estoes, dos rectas que ni secoItan Ii i sonparalel(veasefjgura). .:........ .............a) .Considere las ~osTectasen.elespacio

L1 ; x=4+5t , y = 5t5t ,z* 1-41.L i: x=4 + s,Y + 8.s, .z=? ,...3$i) P ro b arq ue n o.s on p a ra le ~ as 'i . . .i i . < i . . . . . . . ..ii) J>rgharque no se cortali,de modo que $0Il,d

rectas.quese.cruzan,... . i ..iii) Demostrarqueesas dos rectas.estalicontenidaen . des planosp(I!alelos, ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iv) Calcular Ia distanciaentrelos dosplalios

..",apartado iii). Estaes;pordefiniciOn,Ja .distcia en tr e . la s des rectasquese c ruzan . . .

b) Ral la r , . por elprocedimiento .anterior, ladistancentre lasrectas

L{x== 2t,y.::i 4t,z = 6 tLz :x=l _ $,y=4+

c) Idem p a r a las rectas

.d) Escribiruna formula que permita caleuiar 1adistcia entre las rectas que se cruzan .

Li :X==Xt+ a1t.'Y=Yl+Lz:x =xl +uzS 'Y .=Y2


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S e c c i o n 1 0 . 6

C O N T E N ID O S u p e rf i c i e s c i l fn d r i ca s

S u p e rf i c ie s c u a d r ic a s S u p e rf i c i e s d e r e v o lu t i o n

z

x

F IG U R A 1 0 . 5 6L a s r e d a s g e n e r a t r ic e s s o n p a ra le la s a l e je z .

F IG U R A 1 0 .5 7C i l i n d ro : L a s r e c t a s g e n e ra tr i c e s c o rt a n a C

y s o n p a r a le la s a u n a r e c t a d a d a .

S u p e r f i c i e s e n e J e s p a c i o 1023

[ ] ~ 1 0 _ . 6 ~ _ _ ~ ~ ~ ~ _ _S u p e r f i c i e s e n e l e s p a c i oS u p e r f i c i e s c i l i n d r i c a sLas primeras cinco secciones de este capitulo estudiaban los preliminares veetoriales necesarios para afrontar el calculo vectorial y el calculo en el espacio. Eesta secci6n y en la siguiente estudiaremos superficies y sistemas de coordenadasalternativos en el espacio. Ya conocemos dos tipos especiales de superficies.I. Esferas: (x - X O ) 2 + (y - Y O ) 2 + (2 - 20)2 = r22. PIanos: ax + by + c; + d = 0 Secci6n 10.2Secci6n 10.5Un tercer tipo 10 constituyen las superficies cilindricas (0 simplemente

cilindros. Para definir 10 que se entiende por un cilindro en general, considere-mos el cilindro recto circular usual de la Figura 10.56. Podemos imaginar estcilindro generado por una recta vertical que se mueve alrededor del cfrculox2 + i = a2 del plano xy. Este circulo se llama la curva directriz (0 curvageneratriz) del cilindro, como se especifica en la pr6xima definici6n.

I N o t a . Se puede suponer, sin perdida de generalidad, que C esta en uno de los planode coordenadas. Mas aun, en este libro restringiremos nuestra atencion a los cilindrorectos, es decir, cilindros cuyas rectas generatrices son perpendiculares al plano dcoordenadas que contiene a C, como ilustra la Figura 10.57.

Para el cilindro circular recto de la Figura 10.56, la ecuaci6n de la curvdirectriz es

Ecuaci6n de la curva directriz en el plano xyPara hallar una ecuaci6n del cilindro observamos que cualquiera de las rectageneratrices se puede seleccionar fijando valores de x e y, y haciendo variarpor toda la recta real. En este sentido, el valor de z es arbitrario y, en consecuencia, no aparece en la ecuacion. En otras palabras, la ecuaci6n de ese cilindro coincide con la de su curva directriz.

Ecuaci6n de un cilindro en el espacio


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1024 C a p i t u lo 1 0

ADVERTENCIA En la tabla delas paginas 1025 y 1026 se muestrasolo una de las posiblesorientaciones de cada cuadrica. Sila superficie estuviera orientada a10 largo de un eje distinto, suecuacion cambiarfa enconcordancia, como ilustran losEjemplos 2 y 3. El hecho de que losdos tipos de paraboloides tenganuna variable elevada a potenciaunidad ayuda a clasificar cuadricas,Los otros cuatro tipos tienenecuaciones que son de segundogrado en las tres variables.

V e c t o r e s y g e om e t r f a d e l e s p s d o

E JE M P L O I G r d fi c a s d e c i l i n d r o s

Dibujar un esbozo de la superficie dada por cada una de las ecuaciones siguiea) z = l b) z=senx, o ~ x ~ 2nS o l u c i 6 n :a) Es la grafica de un cilindro cuya curva directriz, z = y2, es una parabo

el plano vz. Sus rectas generatrices son paralelas al eje x (Figura 1O.5b) Es la grafica de un cilindro cuya curva directriz es la curva seno e

plano xz, Sus generatrices son paralelas al eje y (Figura 1O.58b).

y

a) Las generatrices son paralelas al eje x b) Las generatrices son paralelas al ejeF IG U R A

Superficies cuadricasEI cuarto tipo basico de superficies en el espacio 10 constituyen las superfcuadricas, analogo tridimensional de las secciones conicas.

La interseccion de una superficie con un plano se llama la traza de la suficie en ese plano. Para visualizar una superficie en el espacio es convendeterminar de antemano sus trazas con pIanos elegidos astutamente. Las trazlas superficies cuadricas son conicas. Estas trazas, junto con la forma canonicla ecuacion de cada cuadrica, se muestran en la tabla de las paginas 1025 Y1

Para c1asificar una cuadrica, empezaremos escribiendo su ecuacion enma canonica y seguiremos hallando sus trazas en los pIanos de coordenaden otros pIanos que sean paralelos a los planos coordenados.


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S e c c i6 n 1 0 .6

T A B L A 1 4 1 S u p e rf i c ie s c u a d r i c a s

S u p e rf i d e s e n e I e sp a c i o 1

z

xy

EI eje del hiperboloide corresponde ala variable cuyo coeficiente es positi-vo. No hay traza en el plano coorde-nado perpendicular a este eje.

/

y

Elipsoidex2 y2 Z2~+~+a2 b2 c2

Traza Plano

xy

I.

x )'

ElipseElipseElipse

Paralelo al plano xyParalelo aJ plano xzParaJelo al plano yz

La superficie es una esfera sia = b =c i = O .

Hiperboloide de una hoja

Traza PlanoElipseHiperbolaHiperbola

Paralelo al plano xyParalelo al plano xzParalelo al plano yz

El eje del hiperboloide corresponde ala variable cuyo coeficiente es nega-tivo.

Hiperboloide de dos hojas

Trara Plano-------_Elipse Paralelo al plano xyHiperbolaHiperbola

Paralelo al plano xzParalelo al plano yz


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1026 C a p i t u l o 1 0 V e e / o r e s y g e o m e tr ia d e l e s p a c io

T A B L A 1 4 .1 . S u p e r fi c i e s c u a d r i c a s ( C o n t i n u a c i r i n )

z

.\y

Cono eliptico

Traza Plano

z

z

y

ElipseHiperbolaHiperbola


EI eje del cono corresponde a la va-riable cuyo coeficiente es negativo.Las trazas en los pIanos coordenadosparalelos a ese eje son rectas que secortan.

Paraboloide eliptico

PlanorazaElipseParabolaParabola

Paralelo al plano xyParalelo al plano .rzParalelo al plano yz

EI eje del paraboloide corresponde aIa variable elevada a la potencia uni-dad.

Paraboloide hiperbolicoy2 x2

Z =2 - a2Traza PlanoHiperbolaParabolaParabola


EI eje del paraboloide corresponde ala variable elevada a la potencia uni-dad.

.\

I


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S e c c i o n 1 0 .6

F IG U R A 1 0 . 5 9

z

F lG U R A 1 0 . 6 0

S u p e r f i c ie s e n e J e s p ac io 102

E J E M P L O 2 G r 4 fi c a d e u n a s u p e r j i c ie c u d d n c aClasificar y dibujar la superficie dada par 4x2 - 3 _ l + 12z2 + 12 = 0S o l u c i o n : Para empezar, escribimos su ecuacion en forma canonica.

4x2 - 3y 2 + 12z2 + 12 = 0x2 v 2- + ---_- 72 - I= 0-3 4 ~.

Ecuacion originalDividir por -12

Forma canonica

De la tabla de las paginas 1025 y 1026 se sigue que la superficie es un hiperboloide de dos hojas con el eje y como su eje. Para dibujarla, conviene hallar sutrazas en los pIanos coordenados.

y2 x2Traza xy (z = 0); ---- = I Hipcrbola4 3

x2 Z2Traza xz (y = 0): - + - =-1 No hay iraza3 I\'

Traza yz (x = 0): y2 Z2 I Hiperbola-~=4 1La Figura 10.59 muestra su grafica,E J E M P L O 3 G r d fi c a d e u n a s u p e r f i e ie c u d d n c aClasificar y dibujar la superficie de ecuaci6n x - y2 - 4 z2 = O.S o l u c i o n : Como x esta elevada a la potencia unidad, la superficie es un paraboloide, que ademas tiene como eje el eje x. En forma canonica su ecuacion

Forma canonicaAlgunas trazas convenientes son:

\' Traza xy (z = 0):Traza xz ( V = 0):

Parabola

Paralela al plano yz (x = 4):x = 4 z2 Parabolay2 72- + ""_= 1 Elipse4 I

La superficie es un paraboloide eliptico (Figura 10.60).Hay ecuaciones de segundo grado en x, y, Z que no representan ninguno d

los seis tipos basicos de superficies cuadricas. He aqui un par de ejemplos.x2 +l + Z2 = 0

x2 + y2 = I Un unico puntoCilindro circular rectoLa ecuaci6n can6nica de una cuadrica que no esta centrada en el origen s

puede encontrar completando el cuadrado, como ensefia el Ejemplo 4.


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1028 C a p it u lo 1 0

z

3

F IG U R A 1 0 . 6 1U n e li p s c id e c e n tr a d o e n ( 2 , - I , 1 ).

V e c t o r e s y g e o m e tr fa d e l e sp a c io

E J E M P L O 4 U n a s u p e i f i c ie c u a d r i c a n o c e n t r a d a e n e l o r i g e nClasificar y dibujar la superficie dada por

x2 + 2y2 + Z 2 - 4 x + 4 y - 2z + 3 = 0S o l u c ia n : Completando el cuadrado en cada variable obtenemos

(x2 - 4x + ) + 2(y2 + 2y + ) + (Z2 - 2z + ) = -3(x2 - 4x + 4) + 2(y2 + 2y + 1) + (Z2 - 2z + 1) = -3 + 4 + 2 + 1

y (x - 2)2 + 2(y + 1)2 + (z - 1)2 = 4(X _2)2 (y+ l)2 (z-I)2---+----+ =1424

A la vista de esta ecuacion, ya podemos concluir que se trata de un elipsoicentrado en el punto (2, -1, 1). Su grafica puede verse en la Figura 10.61.

Crcado con Mathematica Creado can Mathematica

* Algunos programas informaticos de represcntacion tridimensional exigen introducir lasperficie mediante ecuaciones parametric as (Secci6n 14.5).


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S e c d a n / 0 .6

S e c c i e n zcircular

xF IG U R A 1 0 . 6 2

U n a s u p e if ic ie d e r ev o lu c i6 n .

S u p e J i i c i e s e n e J e s p a ci o 1029

Supe rfic ie s de r evo luc ionEI quinto tipo especial de superficies que vamos a estudiar es el de las deno-minadas superficies de revolucion. En la Seccion 6.4 expusimos un metodopara caIcular el area de tales superficies. Ahara nos ocupamos de como hallarsu ecuacion. Consideremos la grafica de la funcion radio

y = r(z) Curva generatrizen el plano v z. Si esta grafica gira en torno al eje z, genera una superficie drevolucion (Figura 10.62). Su traza en el plano z = Zo es un cfrculo de radior(zo) y su ecuaci6n es

y Traza circular en el plano z = Z o

Cambiando Zo por z obtenemos una ecuacion que es valida para todo valor de zDel mismo modo se obtienen ecuaciones para superficies de revoluci6n entorno a los otros dos ejes. Resumirnos este proceso en el siguiente cuadro.

E J E M P L O 5 E c u a c i 6 n d e u n a s u p e i f i c ie d e r e v o l u c i 6 na) Una ecuaci6n para la superficie de revoluci6n generada al girar l

grafica de1Y=-. z Funcion radio

en torno al eje z esx2 + y2 = [r(z)]2x2 + y2 = ( ~ ) 2 Giro en torno al eje z1Sustituir r(z) por ~z

b) Para haIlar una ecuacion de la superficie engendrada al hacer girar la grafica de 9x2 = y3 en torno al eje y, despejamos x en terminos de y:

1 3/2x=--y =r(y)3

Funcion radio


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1030 C a p ft u lo 1 0

z

F IG U R A 1 0. 6 3

F IG U R A 1 0.6 5

V e c t o r e s y g c om e t r fa d e l e .l p a c io

Asf pues, la ecuacion de esa superficie esGiro en torno al eje y

ISustituir rev) par _\,312.. 3 "Ecuacion de la superficie

Su grafica se muestra en la Figura 10.63.La curva generatriz de una superficie de revolucion no es tinica. As

superficie

se puede generar hacienda girar la grafica de x = e - Y en torno del eje y, 0la grafica de z = e - Y en torno del eje y, como ilustra la Figura 10.64.

I z

x .1

F IG U R A

E J E M P L O 6 C u r v a g e n e r a u i ; d e u n a s u p e r f i c ie d e r e v o /u c i ( ) nHallar una curva generatriz y el eje de revolucion de la superficie

S o i u c u m : Sabemos que la ecuacion ha de adoptar una de estas formas:x2 + y 2 : : : ; :r(z)]2y 2 + Z2 = [rex)]2x2 + Z2 = [r(y)]2

En lorna al cjc zEn lorna al eje xEn torno al cjc y

Como los coeficientes de x2 y Z2 son iguales, hernos de escoger la teropcion, de manera que


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E je r c ic io 8 d e l s S e c c i6 n 1 0 . 6 1

EI eje y es el eje de revoluci6n. Podemos elegir como curva generatriz cuquiera de estas dos trazas

x2 = 9 - 3y2Z2 = 9 - 3y2

Traza en el plano xyTraza en el plano yz

Por ejemplo, usando la primera traza, la curva generatriz es la sernielipseCurva generatriz

La Figura 10.65 muestra la grafica de esta superficie.

E j e r c i c io s d e l a S e c c i6 n 1 0 .6E n l os Ejercicios 1-6, asoc i ar cada ecuaci6n con s u g ra fic a ,

y

I.

, ) ?C v - 7-1 . '__ + :_ __+ ~--= I9 16 93. 4x 2 - y2 + 4z2 = 45 . 4x 2 - 4y + Z 2 = 0

r

I

z

4. y2 = 4x2 + 9 z26. 4x2 - y2 + 4z =0

E n l os Ejercicios 7-16, descr i b i r y dibujar Ia superficie.7 . , , = 3 8 . x=49 . y 2 + ~2 =9 10. x 2 + Z2 = 16

1 1 . x2 - Y = 0 12. y2 + Z = 413. 4x2 + y2 =4 14. y2 _ Z2 = 415. z - sen y = 0 16. z - e v = 0

y17. Parapensar Las cuatro figuras son graficas de la

perficie cuadrica z = x2 + y2. Asociar cada una de ecan el punto del espacio desde el que se esta conteplando el paraboloide. Los cuatro puntos, desordedos, son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (l0, 10,

z

x v

y

z

J

x18. Usar una calculadora apropiada para dibujar la gra

del cilindro y2 + Z2 =4 desde cada uno de los punsiguientes:a) (10,0,0) b) (0, 10, 0) c) (10, 10,

En los Ejercicios 19-30, identificar y dibujar la superfcuadrica, Confirmar el dibujo en una calculadora.

20.


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1032 C a p i t u lo 1 0 V e c l o r e s y g e om e t r fa d e l e sp a c i o

22.24.

25.

27.

29. 16x2 + 9 y2 + 1 6 z2 - 32x - 36 y + 36 = 030. 4x 2 + y2 - 4z2 - 1 6 x - 6y - 1 6 z + 9 =0

I~ En los Ejercicios 3 1 AO , representar la superficie en una cal-culadora. (Ayuda: Puede ser necesario despejar z y conside-rar dos ccuaciones para reprcsentar la superficie.)31. z =2 sen x 32. z = x2 + 0,5y2

35. > ) ( 2 ) 2~ + y = ~ 36.c--;37. z = 4 - V I x v l -xz=------c8 + x2 + y238.

En los Ejercicios 41A4, dibujar la region acotada por lasgraticas de las ecuaciones.

41. z = 2J_~2~2, z = 242 . z = ~ - x 2, Y = J 4 - x 2, X = 0, y = 0, z = a43. x2 + y2 = 1, x + z = 2, z = 044 -r - /4----=-2-=-:2 - 2 7 -r - 0 c. - v x -' , Y - , . ,

clase 1 vectores cuadricas t2larson101-150

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