Geometra Analtica en el EspacioUNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Facultad de Arquitectura y Urbanismo CIENCIAS BSICASRealizado por el Magister Ingeniero Luis Kosteski para Analisis Matemtico II de Ingeniera

BREVE REPASO DE GEOMETRA EN EL PLANOEcuacin Lineal( todas las variables estn elevadas a la 1)= Recta

Ecuacin General de la Recta:

Ax + By + C=0 Y=f(x)

Ecuacin segmentaria de la Recta:

Ecuaciones cuadrticas (por lo menos una variables elevada al cuadrado) CnicasCnicas con centro en el origen:

Si los trminos son positivos = elipse Si adems a=b=r = circunferencia

Un trmino positivo y el otro negativo = Hiprbola El trmino negativo determina el eje imaginario. La curva NO corta al eje imaginarioNo se pueden dar dos trminos negativos, pues no se estara en el plano real.

Cnicas sin centro = Parbola

La parbola rodea al eje de la variable lineal.

Funciones de dos VariablesUna funcin de dos variables en geometra representa una superficie en el especio de tres dimensiones (R3).

Z= f(x,y) Dominios formado por dos variables independientes.

Z0= posicin de la imagen que corresponde al punto del dominio (x0, y0)

Ecuacin Lineal ( todas las variables estn elevadas ala 1 potencia) = PLANO

ECUACIN General del Plano

Ecuacin segmentaria del Plano

Variando los signos positivos y negativos se obtiene los distintos tipos de superficies. En este tipo de superficies existe una triple simetra, por lo tanto son simtricas respecto al punto de interseccin entre las superficies. Entonces podemos decir que son simtricas respecto a un centro.SUPERFICIES CUDRICAS

Cudricas concentro en el origen:

ELIPSOIDELos tres trminos cuadrticos positivos

DEFINICIN DE TRAZAS

Curvas de interseccin de la superficie con planos paralelos a los planos de coordenadas.

Estas curvas se llaman trazas ( o secciones transversales) de la superficie.

TRAZASTraza con el plano xy, z=0Traza con el plano xz, y=0

Traza con el plano yz, x=0Si una de las trazas es una circunferencia se llama elipsoide de revolucin.De acuerdo a los valores de os parmetros el elipsoide puede tomar distintas posiciones

En el caso , que todos los parmetros sean iguales, es decir a=b=c=r, se tiene una esfera

Dos trminos cuadrticos positivos y uno negativo= HIPERBOLOIDE DE UNA HOJAEl hiperboloide NO CORTA al eje de la variable que est en el trmino negativo

Hiprbola con eje real en y, eje imaginario en x

Traza con el plano xy, z=0

Hiprbola con eje real en z, eje imaginario en x

Traza con el plano xz, y=0

La elipse ms pequea, se la llama elipse de garganta

Traza con el plano yz, x=0

ELIPSE

SI en vez de tener como traza una elipse se tiene una circunferencia, la superficie se llama HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA DE REVOLUCINEsta es una superficie reglada, es decir, que se la puede obtener mediante rectas.De acuerdo a los valores de los parmetros el hiperboloide de una hoja puede tomar distintas posiciones.

Un trmino cuadrtico positivo y dos trminos cuadrticos negativos: HPERBOLOIDE DE DOS HOJAS El hiperboloide NO CORTA al plano formado por los ejes de las variables que estn en los trminos negativos

TRAZAS DEL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJASTraza con el plano xy, z=0

NO EXISTE TRAZA

Plano xy, z= d traza con |d | |c |

Entonces:

Y como |d | |c |, quiere decir que entonces se puede llegar a

ELIPSE

Traza con el plano xz, y=0Hiprbola eje real en z, eje imaginario en x

Traza con el plano yz, x=0Hiprbola eje real en z, eje imaginario en y

Si los dos parmetro negativos tienen el mismo valor el HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS se dice de revolucin ( se llega a a1=b1)

Cudricas sin centroPARABOLOIDES

Los dos trminos cuadrticos con el mismo signo: PARABOLOIDE ELPTICOEl paraboloide rodea al eje de la variable lineal

Trazas del paraboloide elpticoTraza con el plano xy, z=0

Punto (0,0), vrtice del paraboloide

Traza con un plano paraleloal xy, z=d con d 0

Entonces se puede llegar a:

ELIPSE

Traza con el plano xz, y=0

Parbola que abraza al eje z

Si la seccin norma al eje que rodea al paraboloide es una circunferencia, es decir p=Q, el paraboloide se llama de revolucin.

Si el vrtice est desplazado sobre el eje al que rodea el paraboloide, se tiene:Variando los parmetros ya mencionados y sus signos se pueden tener los siguientes paraboloides:

Los dos trminos cuadrticos con distinto signo: PARABOLOIDE HIPERBLICO

Trazas del paraboloide hiperblicoTraza con el plano xy, z=0

Dos rectas que pasan por el origen

Traza con el plano xz, y=0

Parbola que abraza al eje z con ramas de concavidad negativas

Traza con el plano yz, x=0

Parbola que abraza al eje z, con ramas de concavidad positivas

Si marcamos la interseccin del paraboloide hiperblico con los planos paralelos al xy tenemosz= dDependiendo del signo de d son hiprbolas con eje imaginario x y

El hiperboloide hiperblico es una superficie reglada

Se llama superficie cilndrica a una superficie generada por una recta que se desplaza paralela a si misma siguiendo una curva C llamada directriz

Si la directriz de una superficie cilndrica en una circunferencia, la superficie se llama circular. Anlogamente, tenemos superficies cilndricas, parablicas, elpticas e hiperblicas