EL CICULO

Definiciones necesarias:

Crculo.- figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidista de un punto interior

fijo, llamado centro, la distancia constante se llama radio.

Circunferencia.- curva que limita al crculo.

Elementos de la circunferencia y el crculo

Grafico 1. Elementos del crculo

Radio.- toda recta que va del centro a un punto cualquiera de la circunferencia. En el grfico

segmento AB

Todos los radios son iguales, dos crculos son iguales si tienen iguales sus radios.

Curda.- segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, segmento CD.

Toda cuerda determina en la circunferencia dos arcos, arco mayor y arco menor. Llamados arcos

subtendidos por la cuerda. Salvo que se indique lo contrario, cuando se habla de arco subtendido

por la cuerda, se refiere al menor de los dos.

Secante.- recta que corta la circunferencia, ejemplo recta IJ

Tangente a un crculo es la recta de longitud ilimitada que tiene con la circunferencia solo un

punto en comn, llamado punto de tangencia, en el grafico punto de tangencia T.

Arco.- porcin de circunferencia. En el grafico ejemplo arco PH, denominamos arco con dos letras

generalmente las de sus extremos y colocando este smbolo sobre ellas, o anteponiendo arc. a

las letras del nombre, ejemplo arc.PH, el orden de las letra debe ser

tomado en sentido anti horario, as en el grafico siguiente si decimos

arc. AB se refiere al arco menor, si queremos referimos al arco mayor

seria arc. BA.

Dimetro.- cuerda que pasa por el centro. Ejemplo en

el grafico 1 EF

Los arcos determinados en la circunferencia por el

dimetro son iguales, y se llaman semicircunferencias.

Propiedades fundamentales de la tangente

* P punto de tangencia L recta tangente

* OP perpendicular a L, porque la distancia entre el centro de la

circunferencia y la tangente es igual al radio.

TEOREMA

Una recta perpendicular al segmento radial de una circunferencia en su extremo externo es

tangente a la circunferencia (figura 18.14)

Demostracin (reduccin al absurdo)

De la hiptesis, la recta t es perpendicular al segmento radial OT en el punto T

Demostremos que ningn otro punto de la recta t pertenece a la circunferencia.

Sea P otro punto de la recta y supongamos que P pertenece a la circunferencia, lo cual implica que

OP =OT por ser radios de la misma circunferencia. Por tanto el OTP sera issceles, y como los

ngulos de la base son congruentes entonces el ngulo OTP sera tambin recto, lo cual es una

contradiccin porque tendramos un tringulo con dos ngulos rectos. Luego P no pertenece a la

circunferencia y t es tangente a la circunferencia * OP= r.

Corolario

Toda recta perpendicular a una tangente en el punto de tangencia pasa por el centro del crculo

TEOREMA

Los segmentos tangentes trazados a una circunferencia desde un punto exterior son

congruentes y determinan ngulos congruentes con la recta que pasa por el centro y

el punto de interseccin de las tangentes (demostrar)

Aplicacin

Demostrar que la recta que une el punto de interseccin de dos rectas tangentes a una

circunferencia O y el centro es mediatriz de la cuerda que une los puntos de Tangencia.

ngulos de un crculo:

Angulo central: con respecto a un crculo cualquiera, ngulo central es todo ngulo cuyo vrtice

est en el centro del crculo y sus lados son radios.

Medida de un ngulo por un arco.- se dice que un ngulo central se mide por el arco que lo

subtiende o por el arco comprendido entre sus lados.

Angulo AOB = arco AB

TEOREMA

La perpendicular trazada desde el centro del circulo a la cuerda, biseca la cuerda y el arco los arcos

subtendidos por la cuerda (demostrar)

TEOREMA

En todo crculo, dos paralelas interceptan arcos iguales.

NOTA: en los grficos de los teoremas las lneas en rojo son las construcciones necesarias para las

demostraciones.

Angulo inscrito.- es aquel cuyo vrtice est en la circunferencia y sus lados son cuerdas, el ngulo

esta inscrito en el arco que contiene su vrtice.

Teorema

Todo ngulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Datos o hiptesis:

- B ngulo inscrito en un crculo de centro O

- AC arco comprendido entre sus lados

Tesis a demostrar:

- < B = arc AC

Corolario 1: Todo ngulo inscrito en un semicrculo es un ngulo recto.

Corolario 2: Un ngulo inscrito en un arco mayor que un semicrculo es agudo; en un menor obtuso.

Corolario 3 : Todos los ngulos inscritos en un mismo arco o arcos iguales son iguales.

Definicin:

Angulo semi- inscrito.- ngulo cuyo vrtice est en la circunferencia y uno de sus lados es una

cuerda y el otro una tangente.

Teorema

Todo ngulo Semi-insctito tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.

Datos o hiptesis :

- XY tangente

- QP cuerda

Tesis a demostrar :

-

Definicin:

Angulo interior: ngulo formado por dos cuerdas que se cortan.

Teorema

Todo ngulo interior tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados.

Datos o hiptesis :

- AD y CB cuerdas

- O punto de cruce

Tesis a demostrar :

3. Considerando que, < BCD 140 determine la medida del

arco AB

Tarea

1. Demuestre que las rectas tangentes a una circunferencia O en los extremos de un dimetro son paralelas.

2. Demuestre que si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia

son colineales.

3. Demuestre que dos circunferencias congruentes son tangentes exteriores y entonces cualquier punto que equidiste de sus centros pertenece a la recta tangente comn.

4. Demuestre que en todo tringulo rectngulo circunscrito la suma de las medidas de los

catetos es igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el dimetro de la circunferencia.

5. Demuestre que en todo cuadriltero circunscrito a una circunferencia la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados

6. En el grafico se sabe que RE y RA son

tangentes y que:

Arco BA = 80

Arco CB = 40

Arco ED= 30

Determinar el valor de los ngulos

indicados

7. Calcular x. Si arc CB = 100 y A es punto de tangencia

8. Hallar x si AB es dimetro y mPAC = 50

9. En la figura mostrada, calcular x donde A y B son puntos de tangencia

10. Desde el punto P exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las

cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre s, calcule la medida del ngulo APD si el arco

AD mide 130.

11. En una circunferencia, el dimetro AB se prolonga hasta

un punto P, desde el cual se traza un rayo secante PMN

tal que la longitud PM sea igual al radio, Si el arco AN

mide 54 calcular el ngulo APN.

12. H: CQ tang. Al crculo O

T: arco TC=?

13. H: DC tang.

T: