circuitos cuadripolos
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Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Rafael Urdaneta
Cátedra: Circuitos Eléctricos II
Profesor: Sergio De pool
CUADRIPOLOS
Integrantes:
Joldry Romero C.I: 20589006
Rafael Polo C.I: 21356374
Delfin González C.I: 20256437
Maracaibo Abril de 2011
Introducción
El circuito es tratado como una caja negra con dos puertas (cuatro
terminales) de conexión al exterior. El comportamiento eléctrico del circuito es descrito en
función de las tensiones y corrientes en las puertas, que se relacionan entre sí mediante un
juego de parámetros característicos.
El cuadripolo no contiene fuentes independientes.
En ausencia de excitación externa no hay energía almacenada en el cuadripolo.
Regímenes permanentes continuo o sinusoidal.
En la teoría de redes eléctricas existe una variedad de conexiones de los
circuitos eléctricos que son representados mediante cuadripolos o redes de dos
puertos y una serie de estos son los parámetros de transmisión de tales
cuadripolar que se obtienen con ensayos de circuitos abiertos y cortocircuitos.
Dentro de las conexiones de cuadripolos eléctricos existe una en especial
denominada conexión en cascada, que al aplicarse a un cuadripolo especifico,
arroja resultados como la secuencia de fibonacci. Tal arreglo permite analizar
los números de fibonacci de manera que es posible encontrar algunas
propiedades especiales de estos.
En este trabajo de investigación vamos a centrar nuestra atención en las
redes de dos puertos ya que el objetivo del análisis es precisamente, describir
el comportamiento del circuito en función de lo que ocurre en las puertas.
Una puerta es la entrada donde se conecta el generador, y una salida a la que
se conecta la carga.
También es importante mencionar que las redes de dos puertos,
conocidas como cuadripolos se pueden clasificar en activos y pasivos.
Cuadripolos (Redes de dos puertos) Definición.
Un puerto (o puerta) es un par de terminales donde se verifica que la
corriente que ingresa por un terminal es igual a la corriente que sale por el
otro. Si un circuito presenta dos pares de terminales se lo denomina red de
dos puertos o Cuadripolo.
En la figura I1=I1' e I2=I2' (condición de puerto).
Los cuadripolos son de gran utilidad para simplificar el análisis de
circuitos. Cuando no interesan los valores de las variables internas, el circuito
puede considerarse como una "caja negra" y por consiguiente ser modelado
con apenas dos ecuaciones simultáneas.
Al considerar un circuito como una red de doble puerto o cuadripolo, lo
que nos interesa es relacionar la corriente y la tensión en uno de los puertos
con la corriente y la tensión en el otro. Las polaridades de referencia para las
tensiones en los terminales y las direcciones de referencia para las corrientes
que pasan a través de los terminales. Las referencias en ambos puertos son
simétricas; es decir, en cada puerto la corriente entra por el Terminal superior y
la tensión de cada puerto representa un incremento desde el Terminal inferior
al Terminal superior. Esta simetría hace que resulte más fácil generalizar el
análisis de un cuadripolo y es la razón de que se la utilice con carácter general
en toda la literatura técnica.
La descripción más general de un cuadripolo es la que puede realizarse
en el dominio de s. Para redes puramente resistivas, el análisis se reduce a la
resolución de una serie de circuitos resistivos. Los problemas de régimen
permanente sinusoidal pueden resolverse encontrando primero las apropiadas
expresiones en el dominio de s y luego sustituyendo s por jw, o mediante
análisis directo en el dominio de la frecuencia. Aquí, escribiremos todas las
ecuaciones en el dominio de s; las redes resistivas y el análisis en régimen
permanente sinusoidal serán simplemente casos especiales.
Bloque componente básico que representa un cuadripolo en el dominio de s.
De estas cuatro variables de los terminales, sólo dos de ellas son
independientes. Así, para cualquier circuito, una vez que especifiquemos dos
de las variables, podremos encontrar las dos incógnitas restantes. Por ejemplo,
conociendo V, y V2 y el circuito contenido dentro de la caja, podremos
determinar 1, e 12, Por tanto, podemos describir un cuadripolo mediante un
sistema de sólo dos ecuaciones. Sin embargo, hay seis formas distintas en las
que combinar las cuatro variables:
Estos seis conjuntos de ecuaciones pueden también considerarse como
tres parejas de relaciones
Mutuamente inversas. La primera pareja, las Ecuaciones 18.1,
proporciona las tensiones de entrada y de salida en función de las corrientes de
entrada y de salida. El segundo conjunto, las Ecuaciones 18.2, nos da la
relación inversa, es decir, las corrientes de entrada y de salida en función de
las tensiones de entrada y de salida. Las Ecuaciones 18.3 y 18.4 también
representan relaciones inversas, al igual que las Ecuaciones 18.5 y 18.6. Los
coeficientes de las variables de corriente y/o tensión en el lado derecho de las
Ecuaciones 18.1- 18.6 se denominan parámetros del cuadripolo. Así, cuando
utilicemos las Ecuaciones 18.1, nos referiremos a los parámetros z del circuito.
De forma similar, haremos referencia en cada caso a los parámetros y, a, b, h
Y g de la red.
Tipo de cuadripolo
Pasivo
Son aquellos que incluyen elementos tales que la potencia entregada a la
carga es siempre igual o inferior a la que la excitación que entregada a la
carga, o sea que parte de la potencia entregada a la entrada es disipada en la
interior del circuito.
Activo
Son aquellos que incluyen elementos tales que la potencia entregada a la
carga puede ser mayor que la excitación entregada a la entrada estos incluyen
necesariamente alguna fuente dependiente.
Topología (Representación de parámetros concentrados)
Red en T
Red en ∏
(Tipos de parámetros)
Parámetros admitancia
Los parámetros de Y se denominan parámetros de admitancia en cortocircuito,
ya que se pueden medir desde uno de los puertos mientras el otro esta
cortocircuitado.
Fijando V1=0 (puerto de entrada en cortocircuito) o V2=0 (puerto de salida en
cortocircuito)
Y11= Admitancia de entrada en cortocircuito.
Y12= Admitancia de transferencia en cortocircuito del puerto 2 al puerto
Y21= Admitancia de transferencia en cortocircuito del puerto 1 al puerto
Y22= Admitancia de salida en cortocircuito.
Observaciones del parámetro
Si la red es lineal y no tiene fuentes dependientes Y12 y Y21 son iguales y recíprocos
Parámetros de impedancia
Los parámetros Z también se denominan parámetros de impedancia en
circuito abierto, ya que se pueden medir desde un terminal mientras el otro
permanece abierto.
Fijando I1= 0 (puerto de entrada en circuito abierto) o I2= 0 (puerto de salida en
circuito abierto).
Z11= Impedancia de entrada en circuito abierto
Z12= Impedancia transferida en circuito abierto del puerto 1 al puerto 2
Z21= Impedancia transferida en circuito abierto del puerto 2 al puerto 1
Z22= Impedancia de salida en circuito abierto
Observaciones del parámetro
Si Z11 y Z22 son iguales la red es simétrica.
Si la red es lineal y no tiene fuentes dependientes Z12 y Z21 son iguales y
recíprocos.
No existen parámetros de impedancia para todas las redes de dos puertos,
solo para las que pueden escribirse por las ecuaciones correspondientes.
Parámetros híbridos
Los parámetros H consisten en convertir a V1 e I2 en variables dependientes.
El procedimiento consiste en aplicar una fuente de tensión o de corriente en el
puerto escogido y colocar en cortocircuito o circuito abierto el otro puerto.
h11= Impedancia de entrada en cortocircuito
h12= Ganancia de tensión inversa en circuito abierto
h21= Ganancia de corriente directa en cortocircuito
h22= Admitancia de salida en circuito abierto
Observaciones del parámetro
Se puede describir el transformador ideal por medio de los parámetros de
híbridos.
Para redes reciprocas h12 es igual a –h21.
Hibrido inverso
Los parámetros g se utilizan para describir las corrientes y las tensiones en las
terminales.
g11= Admitancia de entrada en circuito abierto
g12= Ganancia de corriente inversa en cortocircuito
g21= Ganancia de tensión directa en circuito abierto
g22= Impedancia de salida en cortocircuito
Parámetros de transmisión
Los parámetros T relacionan las variables en el puerto de entrada con las del
puerto de salida. (V1 e I1 con V2 e –I2).
En este parámetro se utiliza –I2 en vez de I2 (considerando que la I2 sale de la
red); por la razón que cuando se interconectan en cascada dos puertos resulta
más lógico asumir que I2 sale de los dos puertos.
Observaciones del parámetro
Estos parámetros resultan útiles en el análisis de líneas de transmisión, por que
expresan variables del extremo emisor (V1 e I1) en términos de las variables del
extremo receptor (V2 e –I2).
También se utilizan en el diseño de sistemas telefónicos, redes de microondas
y radares.
A y D son adimensionales, B esta en ohms y C en siemens.
Gracias a que estos parámetros ofrecen una relación directa entre las variables
de entrada y salida, son muy útiles en las redes de cascada.
Transmisión inverso
Los parámetros a, b, c y d son los parámetros de transmisión inversa.
a= Ganancia de tensión en circuito abierto
b= Impedancia de transferencia negativa en cortocircuito
c= Admitancia de transferencia en circuito abierto
d= Ganancia de corriente negativa en cortocircuito
Determinación de parámetros.
Los parámetros se pueden calcular o medir anulando una de las
variables independientes. Por ejemplo para determinar los valores de los
parámetros z, primero se anula I2 (condición de circuito abierto de salida) y se
obtiene:
Luego se restaura I2 y se anula I1 (condición de circuito abierto de entrada) y
se obtiene:
Se observa que los parámetros z se expresan en ohms. Por esto reciben el
nombre de parámetros impedancia.
Análogamente, se pueden obtener los parámetros:
y = parámetros admitancia
a = parámetros transmisión o parámetros ABCD
b = parámetros transmisión inversa
h = parámetros híbridos (empleados en el análisis de circuitos con
transistores)
g = parámetros híbridos inversos
Existen casos especiales que permiten simplificar la cantidad de cálculos a
realizar para determinar un conjunto de parámetros:
*los circuitos recíprocos requieren sólo de tres cálculos o mediciones
*los circuitos simétricos requieren sólo de dos cálculos o mediciones
Relaciones entre los parámetros de los cuadripolos
Puesto que los seis conjuntos de ecuaciones relacionan las mismas
variables, los parámetros asociados con cualquier pareja de ecuaciones deben
estar relacionados con los parámetros de todas las demás parejas. En otras
palabras, si conocemos uno de los conjuntos de parámetros, podemos hallar
todos los demás conjuntos a partir de él. Debido a la cantidad de operaciones
algebraicas implicadas en estas deducciones, nos limitaremos a enumerar los
resultados en la Tabla 18.1. Aunque no vamos a demostrar todas las relaciones
indicadas en la Tabla 18.1, sí demostraremos las relaciones existentes entre
los parámetros z e y y entre los parámetros z y a. Estas demostraciones
ilustran el proceso general que se sigue para poner en relación un conjunto de
parámetros con otro. Para hallar los parámetros z en función de los parámetros
y, resolvemos primero las Ecuaciones 18.2 para hallar los valores
correspondientes a V1 y V2 Después, comparamos los coeficientes de I1 e I2
en las expresiones resultantes con los coeficientes de I1 e I2 de las Ecuaciones
18.1. A partir de las Ecuaciones 18.2,
Tabla de conversiones de parámetros
Comparando las Ecuaciones 18.16 y 18. 17 con las Ecuaciones 18.1, vemos
que
Para hallar los parámetros z en función de los parámetros a,
reordenamos las Ecuaciones 18.3 en la forma de las Ecuaciones 18.1 y luego
comparamos los coeficientes. A partir de la segunda ecuación de.1 conjunto de
Ecuaciones 18.3
Por tanto, sustituyendo la Ecuación 18.22 en la primera ecuación del
conjunto de Ecuaciones 18.3 obtenemos
A partir de la Ecuación 18.23
A partir de la Ecuación 18.22,
Cuadripolos recíprocos
Si un cuadripolo es recíproco, se cumplen las siguientes relaciones entre
los parámetros de los puertos:
Un cuadripolo es recíproco si al intercambiar una fuente ideal de tensión
situada en un puerto por un amperímetro ideal situado en el otro puerto se
obtiene la misma lectura en el amperímetro. Considere, por ejemplo, el circuito
resistivo mostrado en la Figura 18.4. Cuando se aplica una fuente de tensión
de 15 V al puerto ad, se genera una corriente de 1,75 A través del amperímetro
situado en el puerto CD. La corriente en el amperímetro puede determinarse
fácilmente una vez que conocemos la tensión Vbd . Así
Y Vbd = 5 V. Por tanto,
El circuito mostrado en la Figura 18.4, después de intercambiar la fuente
de tensión y el amperímetro
Si intercambiamos la fuente de tensión y el amperímetro, el amperímetro
seguirá mostrando el resultado de 1,75 A. Podemos verificar esto resolviendo
el circuito mostrado en la Figura 18.5:
A partir de la Ecuación 18.36, Vbd = 7,5 V. La corriente l ad es igual a
Cuadripolos interconectados
La síntesis de un sistema complejo y de gran tamaño suele resultar más
sencilla si primero se diseñan una serie de sub-secciones del sistema.
Después, el sistema puede completarse interconectando estas unidades más
simples y fáciles de diseñar. Si se modelan las sub-secciones mediante
cuadripolos, el procedimiento de síntesis implicará analizar una serie de
cuadripolos interconectados.
Los cuadripolos pueden interconectarse de cinco formas distintas: (1) en
cascada, (2) en serie, (3) en paralelo, (4) mediante conexión serie-paralelo y (5)
mediante conexión paralelo-serie. La Figura 18.9 muestra estas cinco formas
básicas de interconexión
Vamos a analizar e ilustrar en esta sección únicamente la conexión en
cascada. Sin embargo, si las otras cuatro conexiones cumplen ciertos
requisitos, podemos obtener los parámetros que describen los circuitos
interconectados simplemente sumando los parámetros individuales de cada
red. En particular, los parámetros z describen la conexión en serie, los
parámetros y la conexión en paralelo, los parámetros h la conexión serie-
paralelo y los parámetros g la conexión paralelo-serie.
A continuación se muestran los tipos de conexiones.
Conexión serie-serie
Conexión paralelo-paralelo
Análisis de un cuadripolo con terminación
En la típica aplicación de un modelo de cuadripolo, el circuito se excita a
través del puerto 1, conectándose una carga al puerto 2. La Figura 18.7
muestra el diagrama de circuito en el dominio de s para un modelo de
cuadripolo con una terminación típica. Aquí, Zg representa la impedancia
interna de la fuente, Vg es la tensión interna de la fuente y ZL es la impedancia
de carga. El análisis de este circuito requiere expresar las corrientes y
tensiones en los terminales en función de los parámetros del cuadripolo, de Vg,
de Zg y de ZL'
• La impedancia de entrada Zin = V1, /l1 o la admitancia Y in = l1 / V1
• La corriente de salida l2
• La tensión y la impedancia de Thévenin (Vth zth) con respecto al puerto 2;
• La ganancia de corriente I2/ I1
• La ganancia de tensión V2/V1
• La ganancia de tensión V2/ Vg.
Ejercicio
El cuadripolo mostrado en la Figura 18.8 está descrito en términos de sus
parámetros b, cuyos valores son:
a) Calcule el fasor de tensión V2
b) Determine la potencia media entregada a la carga de 5 kΩ
c) Calcule la potencia media entregada al puerto de entrada.
d) Calcule la impedancia de la carga necesaria para conseguir una máxima
transferencia de potencia.
e) Calcule la máxima potencia media entregada a la carga determinada en
el apartado (d).
a) Para hallar V2, tenemos dos posibilidades teniendo en cuenta las
entradas de la Tabla 18.2. Podemos determinar I2 y luego hallar V 2 a
partir de la relación V 2 = - I,Z" o podemos calcular la ganancia de
tensión V2N S Y luego hallar V 2 a partir de dicha ganancia. Vamos a
utilizar esta última técnica. Para los valores dados de los parámetros b,
tenemos
Entonces
b) La potencia media entregada a la carga de 5000Ω es
c) Para hallar la potencia media suministrada al puerto de entrada,
calculamos primero la impedancia de entrada Z in Según la Tabla 18.2,
d) La impedancia de carga necesaria para conseguir una máxima
transferencia de potencia es igual al conjugado de la impedancia de
Thévenin que se ve al mirar hacia el puerto 2. Según la Tabla 18.2,
e) Para hallar el valor máximo de la potencia media entregada a ZL,
calculamos primero V2 a partir de la ganancia de tensión V/Vg. Cuando ZL
es 10.833,33Ω, dicha ganancia es
Ejercicio
Suponga que conectamos en cascada dos amplificadores idénticos, como se
muestra en la Figura
18. 11. Cada amplificador está descrito en función de sus parámetros h.
Los valores son hll = 1000Ω, h11 = 0,0015, h21 = 100 Y h22 = 100 µS. Calcule
la ganancia de tensión V2,/Vg•
Solución
El primer paso en la determinación de V2,/Vg consiste en convertir los
parámetros h en parámetros a. Los dos amplificadores son idénticos, por lo que
un único conjunto de parámetros a nos permitirá describirlos a los dos:
A continuación, utilizamos las Ecuaciones 18.74-18.77 para calcular los
parámetros a de los amplificadores conectados en cascada:
Por tanto, una señal de entrada de 150 µ V se verá amplificada para dar una
señal de salida de 5 V. En el Problema 18.41 se presenta un método alternativo
de determinación de la ganancia de tensión V2/Vg.
Aplicaciones de cuadripolos a la ingeniería eléctrica
Uno de los circuitos más útil en la existencia es el amplificador. Se
encuentran en casi todos los dispositivos electrónicos, desde radios y
televisores a las máquinas de lavado y osciloscopios. Constituyen la base de
casi todos los circuitos más complejos... Un amplificador es un dispositivo que
toma y de entrada y da una relación (pero no necesariamente más grande) de
salida.
Los cuadripolos son de gran utilidad en la ingeniería eléctrica ya que
sirve de amplificadores en los circuitos o en maquinas eléctricas tanto para
trasformadores eléctricos ya que les ayuda ser mas óptimos en su trabajo.
Conclusiones
La mayoría de los circuitos o sistemas tienen al menos dos puertos.
Podemos colocar una señal de entrada en un puerto y obtener una señal de
salida en el otro. Los parámetros de los dos puertos describen su
comportamiento en términos de voltaje y corriente de cada puerto. Así, conocer
los parámetros de una red de dos puertos nos permites describir su operación
cuando ésta se conecta a una red más grande.
Las redes de dos puertos también son importantes al diseñar
dispositivos electrónicos y componentes de sistemas. Por ejemplo en
electrónica, las redes de dos puertos se emplean para diseñar componentes
como transistores y amps-op. Otros ejemplos de componentes modelados con
redes de dos puertos son los transformadores y las líneas de transmisión.