Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% 1 Cuerpo rgido es un modelo idealizado de un cuerpo que no se deforma. Ladefinicinprecisaesqueladistanciaentretodopardepuntosdelcuerpo rgido permanece constante. Si bien cualquier cuerpo se deforma al moverse, si sudeformacinespequeasumovimientopuedeaproximarsemodelndolo como cuerpo rgido. Por ejemplo, un bastn se puede modelar en su uso normal como cuerpo rgido (Fig. 1.a), no as una caa de pescar (Fig. 1.b). (a) (b) Figura 1 Paradescribirelmovimientodeuncuerporgidobastacondescribirel movimientodeunsolopunto,comosucentrodemasa,yelmovimiento rotacional del cuerpo alrededor de ese punto. Alanalizarelmovimientorotacional,pensemosprimeroenuncuerpo rgidoquegirasobreunejefijo,esdecir,unejequeestenreposoenalgn marcodereferenciainercialynocambiadedireccinrelativaalmarco.El Rotacin respecto a un eje fijo Cuerpo rgido FUNDAMENTOS TEORCOS Cine&tica de rotacin' (reve a)unte terico Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% ! cuerpo podra ser una masa. La figura 2 muestra un cuerpo rgido (pelota) que gira sobre un eje fijo, el cual pasa por el punto O y es perpendicular al plano del diagrama, que llamamos plano xy. Figura 2 Unaformadedescribirlarotacindeestecuerposeraelegirunpunto especficoP delcuerpo yseguirlapista asuscoordenadasx yy. Estemtodo noeselmsconveniente,puesrequieredosnmeros(lasdoscoordenadas) paraespecificarlaposicinrotacionaldelcuerpo.Envezdeello,observamos que la lneaOPest fijaen elcuerpoygiraconl. Elngulo 0queesta lnea formaconelejexdescribelaposicinrotacionaldelcuerpo;usaremosslo esta cantidad 0 como coordenada de rotacin. Lacoordenadaangularudeuncuerporgidoquegirasobreunejefijo puedeserpositivaonegativa.Cuandoconsideramoselmovimientorectilneo deunapartcula,fueindispensableespecificarladireccindeldesplazamiento positivo sobre esa lnea; al analizar la rotacin sobre un eje fijo, es igualmente indispensableespecificarladireccinderotacinpositiva.Aldescribirun movimientorotacional,laformamsnaturaldemedirelngulo0noesen grados, sino en radianes. x xx x y yy y 0 v vv v F FF F O P Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% " Lacoordenada0delafigura2especificalaposicinrotacionaldeun cuerpo rgido en un instante dado. Podemos describir el movimiento rotacional del cuerpo en trminos de la razn de cambio de 0. En la figura 3 una lnea de referenciaOPenuncuerpoquegiraformaunngulo01conelejexenel instantet1,Enuninstanteposteriort2,elngulocambia02.Definimosla velocidad angular media mcd del cuerpo en el intervalo t = t2-t1 como la razn del desplazamiento angular 0 = 02-01, en t: Figura 3 mcJ-z=02-01t2-t1=0t(1) Lavelocidadangularinstantneaesellmitedemcdcuandot tiende a cero, es decir, la derivada de 0 con respecto a t: z= limtu0t=J0Jt (2) Cuando nos referimos simplemente a velocidad angular hablamos de la velocidad angular instantnea, no de la velocidad angular media. #e$ocidad angu$ar Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% % La velocidad angular puede ser positiva o negativa, dependiendo de la direccin en que gire el cuerpo rgido. La rapidez angular , es la magnitud de la velocidad angular. Si cambia la velocidad angular de un cuerpo rgido, tiene una aceleracin angular.Siz1yz2sonlasvelocidadesangularesinstantneasent1yt2, definimoslaaceleracinangularmediaomcd-zenelintervalot = t2-t1 como el cambio de la velocidad angular dividido entre t : omcJ-z=z2-z1t2-t1=zt(3) Laaceleracinangularinstantneaozesellmitedeomcd-zcuando t u: oz= limtuzt=JzJt (4) Launidadquesesueleutilizarparalaaceleracinangulareselradin por segundo por segundo (rad/s2). Rapidez lineal en la rotacin de un cuerpo rgido Cuandouncuerporgidogirasobreunejefijo,todassuspartculasse mueven en una trayectoria circular. El crculo yace en un plano perpendicular al ejeyestcentradoeneleje.Larapidezdeunapartculaesdirectamente proporcional a la velocidad angular del cuerpo; cuanto ms rpidamente gire el cuerpo, mayor ser la rapidez de cada partcula.Re$acin entre cine&'tica $inea$ ( angu$ar Ace$eracin angu$ar Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% ) Figura 4 Enlafigura4,elpuntoPestaunadistanciaconstanterdelejede rotacin,asquesemueveenuncrculoderadior.Encualquierinstante,el ngulo 0 (en rad) y la longitud de arco s estn relacionadas por: s = r0(5) Derivamosestoconrespectoaltiempo,observandoqueresconstante para una partcula especfica, y obtenemos el valor absoluto de ambos lados: _JsJt_ = r _J0Jt_(6) Ahora,|Js Jt / |eselvalorabsolutodelarazndecambiodelalongitud de arco, que es igual a la rapidez lineal instantnea v de la partcula. De manera anloga,|J0 Jt / | esel valor absoluto de larazn decambio delngulo, quees larapidezangular instantnea , es decir, lamagnitud de la velocidadangular instantnea en rad/s. As, : = r (7) Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% * Aceleracin lineal en la rotacin de un cuerpo rgido Podemos representar la aceleracin de una partcula que se mueve en un crculoentrminosdesuscomponentescentrpetaytangencial,oudyotun (figura 5), Lacomponentetangencialdeaceleracinotun,lacomponente paralelaalavelocidadinstantnea,actacambiandolamagnituddela velocidaddelapartcula(surapidez)yesigualalarazndecambiodela rapidez. Derivando la ecuacin, obtenemos: otun=J:Jt= rJJt= ro (8) Figura 5 La componente de la aceleracin de la partcula que est dirigida hacia el eje de rotacin, la componente centrpeta de aceleracin oud, est asociada con elcambiodedireccindelavelocidaddelapartcula.Sirecordamosque oud= :2r / . Podemos expresar esto en trminos de : Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% + oud=:2r= 2r (9) Estosecumpleentodoinstanteaunsiy:nosonconstantes.La componente centrpeta siempre apunta hacia el eje de rotacin. Lasumavectorialdelascomponentescentrpetaytangencialdela aceleracin de una partcula en un cuerpo en rotacin es la aceleracin lineal o. Parauncuerporgidoformadoporunacoleccindepartculasquegira alrededordelejezfijoconvelocidadangular,cadapartculadelcuerpo rgido tiene energa cintica de traslacin. Si la partcula de masa mi se mueve con velocidad $+, su energa cintica es: ,-+

12

+ $+2 (10) Cada partcula del cuerpo rgido tiene la misma velocidad angular , pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distanciaal eje de rotacin, y se relacionan por $+ + . Entonces la energa cintica de la partcula i es: ,-+

12

+ . + /2

12

+ + 2

2 (11) Laenergacinticatotaldelcuerpoeslasumadelasenergascinticas de todas sus partculas: ,0

12

1 1

2112

2 2

212112

3 3

2412

+ +

2+ (12) Sacando el factor comn

2 #de esta expresin: Energa cin,tica de rotacin- Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional San Rafael SISTEMAS DINMICOS I Coisiones ! "#$% . ,0

1251 1

12 2

21213 3

62

124.+ +

/2+ (13) lacantidadentreparntesisenlaecuacinanteriorseladefinecomoel momento de inercia, 7, del cuerpo rgido: 7 4+ +

+ (14) Deladefinicinmomentodeinercia,susunidadesdemedidaenelSI son kgm2. Con esta definicin, se puede escribir la energa cintica de rotacin de un cuerpo rgido como: ,0

1272 (15) La energa cintica de rotacin no es un nueva forma de energa, sino que eselequivalenterotacionaldelaenergacinticadetraslacin,sededujoa partir de esa forma de energa. Bedford, A., Fowler, W. (2000) "Mecnica para Ingeniera. Dinmica". Pretince Hall. Sears, Zemansky, Young, Freedman. (1999).'" Fsica Universitaria". Vol. I, Pearson. /i0$iografa