Profesores: Hugo Robotham Paula Fariña

1° semestre 2015

SOLEMNE 1

INFERENCIA ESTADÍSTICA

1. Un productor de planchas eléctricas fabrica estos productos en 2 plantas: A y B. Ambas plantas emplean los mismos proveedores de insumos. La empresa podría reducir costos comprando termostatos para la planta B a un proveedor local, pero no está dispuesta a reducir la calidad de su producto terminado. Para testear la calidad de los nuevos termostatos se compra un lote al proveedor local. Se desea determinar si los nuevos termostatos son o no tan precisos como los viejos. Se instalan los termostatos en planchas de cerámica y se testean fijando una temperatura de 288° C, y comparando las lecturas mediante un termómetro. Los datos se detallan a continuación:

Nuevo Proveedor (°C)276.8 292.8 287.8 293.2 288.2 290.3 290.6 292.9 291.6 290.6 290.5 287.4 280.4 281.4 290.4 284.4 292.7 288.4 280.1 288.7 281.6 296.3 298.4

Viejo Proveedor (°C)279.3 295.1 289.4 284.9 290.4 288.4 281.3 292.4 285.0 289.9 286.8 287.1 284.8 281.6 289.4 293.5 296.8 284.1 290.5 281.1 295.9 279.5

Utilice un intervalo de confianza de 95% para concluir si los termostatos nuevos son tan precisos como los viejos a la hora de medir la temperatura.

Se requiere un intervalo para razón de varianzas:

Snvo2 =29.79273 y Svjo

2 =27.7981

Para armar un intervalo de confianza:

IC=(1

F (22,23,0.975)

Snvo2

Svjo2 ;

1F(22,23,0.02 5)

Snvo2

Svjo2 )=( 0.4571997;2.492273)

Como el 1 se encuentra en el intervalo no hay evidencia, con un 95% de confianza que el nuevo proveedor ofrezca un producto menos preciso. Se concluye que los termostatos nuevos son tan precisos como los viejos.

Aclaración: en todos los intervalos de confianza los valores pueden variar dependiendo de la aproximación.

2. Se realizó una encuesta con la idea de comparar los salarios de directores en una empresa química con empleados en dos zonas del país, la zona norte y la central. Para ello se tomaron muestras aleatorias independientes de 300 directores por cada región. A los mismos se les preguntó su salario anual. Los resultados están en la siguiente tabla:

Zona Norte Zona CentralX=US$ 98.500 X=US$102.300

S=US$3.800 S=US$5.700

2.1 Construya un intervalo de confianza para la diferencia de medias en los salarios, indicando si hay evidencia para afirmar que los directores de la zona central tienen un salario medio mayor.

Es un intervalo para la diferencia de media de dos poblaciones. Ambas muestras son grandes, varianza desconocida. Se debe verificar si son iguales o distintas:

IC=(1

F (22,23,0.975)

SC2

SN2 ;

1F(22,23,0.02 5)

SC2

SN2 )=( 1.793524; 4.495133)

Como el 1 no se encuentra en el intervalo se consideran varianzas distintas

IC=(X ¿¿C−X N)∓ t (598 )0.025√ SC2300 +SN2

300=(3023.23 ; 4576.77)¿¿

Como el cero no se encuentra dentro del intervalo es da evidencia, con un 95% de confianza que los salarios medios en la zona central son mayores.

Aclaración: puede aproximarse con una normal en este caso.

2.2 ¿Qué supuestos se utilizaron en la parte 2.1 acerca de la distribución de salarios en las dos regiones. ¿El supuesto de normalidad es necesario en este caso? ¿Por qué?

El supuesto de normalidad es necesario en el intervalo para la razón de varianzas, pero no para el intervalo de diferencia de medias ya que ambas muestras son grandes y el Teorema Central del Límite aplica en este caso.

2.3 ¿Qué supuestos se hicieron acerca de las dos varianzas muestrales? ¿El supuesto de igualdad de varianzas es razonable en este caso? Explique.

Se supusieron varianzas distintas ya que el IC para la razón de varianzas no contenía el 1.

2.4 ¿Por qué se requiere que las muestras en las dos poblaciones sean independientes?

El intervalo para diferencia de medias empleado supone que las muestra sean independiente entre las poblaciones. Si esto es así:

V ¿Y tiene sentido el IC empleado. Si las muestras no fueran independientes debe considerarse el término 2Cov(¿¿¿) que deja de ser cero. Es decir que estaría mal estimada la varianza de la diferencia de medias empíricas.

2.5 El estudio permitió obtener información respecto de los directores que tienen salarios por sobre 105 mil US$, con un total de 30 directores en la zona norte y 45 directores en la zona central. Usando un intervalo de confianza del 95, ¿hay suficiente evidencia para concluir que los porcentajes de directores con altos ingresos (por sobre los 105 mil dólares) son diferentes según sea la zona donde trabaja?.

p̂C=45300

=0.15 y p̂C=30300

=0.10

IC=( p̂C− p̂N)∓√ p̂C(1− p̂C)300+p̂N(1− p̂N)300

=(-0.002;0.1028)

Como el cero se encuentra dentro del intervalo, no hay suficiente evidencia, al 95% de confianza, que los porcentajes de directores con altos ingresos difieren entre las zonas.

3 Se dispone de una muestra aleatoria Y 1 ,Y 2 ,…,Y n de ingreso de las familias en Santiago de Chile. Un economista indica que la función de distribución del ingreso familiar suele comportarse como una distribución log-normal con parámetro desconocido , y σ 2 conocido e igual a 1. Se sabe que la densidad de la distribución log-normal está dada por:

f ( y ;μ ,σ 2)= 1√2π σ

e−( ln ( y )−μ )2 /(2σ2 )

y

3.1 Obtener el estimador máximo verosímil para ,μ̂MV .

L (μ )=∏i=1

n1

√2πe−( ln ( yi )−μ )2/(2)

y i

l (μ )=−12ln (2π )−∑

i=1

n ( ln ( y i )−μ)2

2σ2−ln ¿

Derivando e igualando a cero se tiene que

μ̂MV=∑i=1

n

ln ( y i)

n

3.2 Sabiendo que X i=ln (Y i) distribuye normal con media , y varianza σ 2, mostrar que μ̂MV en insesgado para .

E ( μ̂MV )=E(∑i=1n

ln ( y i )

n)=E(∑

i=1

n X in )=n μn=μ