Pruebas de

Hiptesis para

comparar dos

poblaciones

Prueba de Hiptesis para comparar

dos varianzas

Prueba de hiptesis para comparar dos

varianzas poblacionales:

Cuando se trata de comparar dos poblacionescon respecto a su variabilidad, al riesgo, a laestabilidad o la dispersin, entonces se tienenque evaluar y comparar sus varianzas.

Para esto se toman dos muestras aleatoriasindependientes, una de cada poblacin, estaspoblaciones deben de tener una distribucinnormal con medias i y varianza i2 (i=1,2),entonces nos interesar probar alguna de lassiguientes hiptesis :

2

2

2

1 y

Hiptesis a plantear

Tendremos los siguientes casos:

Hiptesis Nula:

H0 :

versus alguna de las siguientes hiptesis alternativas:

Hiptesis Alternativa:

H1 :

H1 :

H1 :

2

2

2

1

2

2

2

1 2

2

2

1 2

2

2

1

Estadstico de prueba:

El estadstico de prueba para esta hiptesis es el siguiente:

Donde y son las varianzas muestrales y n1, n2 son los tamaos de muestra respectivos

Este estadstico de prueba tiene una distribucin Fde Fisher con n1-1 grados de libertad en elnumerador y n21 grados de libertad en eldenominador.

2

2

2

1c

S

SF

2

1S2

2S

Prueba de Hiptesis para dos

promedios con muestras

independientes

Prueba de hiptesis para comparar dos

Promedio poblacionales : 1 y 2

En muchos casos ser necesario comparar dospoblaciones diferentes y esta comparacin se debehacer con respecto a los promedios, si los dospromedios poblacionales son desconocidos entoncesser necesario una prueba de hiptesis para compararpromedios.

Para esto se toman dos muestras aleatoriasindependientes, una de cada poblacin, estaspoblaciones deben de tener una distribucin normal con

medias i y varianzas i2 (i=1,2), entonces nos

interesar probar alguna de las siguientes hiptesis:

Hiptesis a plantear:

Tendremos los siguientes casos:Hiptesis Nula:

H0 : versus alguna de las siguientes hiptesis alternativas:

H1 : H1 : H1 :

En este caso 0 representa el valor hipottico de ladiferencia, el cual es planteado en H0 y que suele ser confrecuencia cero

1 2 0

1 2 0

1 2 0

1 2 0

Estadsticos de contraste:

Para la comparacin de dos promedios, el estadstico decontraste correspondiente depende de las varianzas de lapoblacin y si estas son iguales o diferentes, entoncestendremos los siguientes casos:

Caso 1:

Cuando las varianzas y son conocidas21

2

2

1 2 0c

2 2

1 2

1 2

(x - x ) -Z =

+n n

Estadsticos de contraste:

Caso 2:

Cuando las varianzas y son desconocidas peroiguales.

Este estadstico se contrasta contra el valor punto crticoen una distribucin t de Student con n1+n2-2 grados delibertad

2

12

2

1 2 0c

2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

(x - x ) -T =

(n 1)S (n 1)S 1 1

n n 2 n n

Estadsticos de contraste:

Caso 3:

Cuando las varianzas y son desconocidasy adems diferentes

Este valor se contrasta contra el valorclculado en una distribucin T de Student cong grados de libertad.

2

12

2

1 2 0c

2 2

1 2

1 2

(x - x ) -T =

S S+

n n

En este caso lo g grados de libertad secalculan a partir de la siguienteexpresin:

1n

n

S

1n

n

S

n

S

n

S

g

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

Estadsticos de contraste:

Caso 4:

Cuando las varianzas y son desconocidaspero al sumar los tamaos de muestra se tieneque n1+n2 >30

2

12

2

1 2 0c

2 2

1 2

1 2

(x - x ) -Z =

S S+

n n

Prueba de Hiptesis

para dos promedios con muestras

no independientes

Prueba de hiptesis para datos pareados

Anteriormente hemos discutido ladiferencia entre dos medias cuyacondicin fundamental es que las muestrassean independientes.

Ahora desarrollaremos un procedimientopara analizar la diferencia entre dosmedias cuando los datos se obtienen dedos muestras que estn relacionadas(muestra no independientes o datospareados).

Esta caracterstica de dependenciaocurre, ya sea porque los individuos olos artculos estn emparejados segnalguna caracterstica o porque seobtienen mediciones repetidas en elmismo grupo de artculos o individuos.

En cualquier caso la variable de intersser la diferencia entre los pares devalores de las observaciones

Esta prueba se basa en dos muestrasindividuales medidas, como ya se dijo,en datos pareados o una muestraevaluada en situaciones diferentes, aestos datos los llamaremos Xi y Yi

Se tiene que calcular la diferenciaentre cada par de datos (di), es decir,tendremos que di = Xi - Yi

La siguiente tabla presenta los datos de las dos muestras individuales y el clculo de di = xi - yi

Observacin Xi Yi di = Xi - Yi

1 x1 Y1 d1 =X1 Y1

2 X2 Y2 d2 =X2 - Y2

3 X3 Y3 d3 =X3 Y3

.. .. .. .

n Xn Yn dn =Xn - Yn

Se calculan los siguientes estadsticos:

La media de las diferencias, que ser unestimador de la verdadera diferencia de

medias d

La varianza de las diferencias:

n

i__i=1

d

d=n

n n__2 2 2

i i2 i=1 i=1d

(d - d ) d -nd

S = =n-1 n-1

Hiptesis y estadstico de contrastre

Si definimos la verdadera diferencia entre los promedio d como

d = 1 - 2 Las posibles hiptesis a plantear sern:

i) H0 : d = 0 vs. H1 : d 0

ii) H0 : d = 0 vs. H1 : d < 0

iii) H0 : d = 0 vs. H1 : d > 0

El estadstico de contrastre ser:

El siguiente es estadstico deconstraste para estas pruebas dehiptesis:

Este estadstico tiene una distribucint de Student con n-1 grados delibertad

n

S

dT

d

__

c

Ejemplo:

Un analista de sistemas est estudiandola posibilidad de usar un nuevo sistema decmputo, y decide que cambiar desistema si tiene evidencia de que elnuevo sistema utiliza menos tiempo en elprocesamiento, para esto toma unamuestra de 7 trabajos y se los encarga a7 trabajadores elegidos al azar, estostrabajadores realizan dicho trabajoutilizando el nuevo sistema y utilizando alsistema antiguo, los tiempos utilizados (enminutos) en cada caso fueron los que semuestran a continuacin.Si = 5% Qu se decide al respecto?

Los datos observados son los siguientes:

Trabajo Sistema Antiguo

Sistema Nuevo

1 8 6

2 4 3

3 10 7

4 9 9

5 8 5

6 7 8

7 12 9

Prueba de Hiptesis

para dos proporciones

Prueba de hiptesis para comparar dos

Proporciones poblacionales: 1 y 2 Cuando se requiere comparar dos poblaciones

con respecto a alguna caracterstica que generauna variable aleatoria cualitativa, entonces setendr que comparar las dos Proporcionespoblacionales 1 y 2

Para esto se toman dos muestras aleatoriasindependientes, una de cada poblacin, estaspoblaciones deben de tener una distribucin deBernoull con parmetros 1 y 2 (i=1,2) lascuales son las respectivas proporcionespoblacionales respectivamente, entonces nosinteresar probar alguna de las siguienteshiptesis:

Hiptesis a plantear:

Caso 1:Hiptesis Nula:

H0 : versus alguna de las siguientes hiptesis alternativas:

H1 : H1 : H1 :

En este caso slo nos interesa determinar si lasproporciones son iguales, versus alguna de las otrasalternativas.

021

021 021

021

Estadstico de contraste:

El estadstico de prueba o el estadstico de contraste ser:

Donde es la proporcin ponderada y se calcula del siguiente modo:

p

])[~1(~21

11

21

nn

cpp

ppZ

21

21

21

2211

nn

aa~

nn

pnpnp

Hiptesis a plantear:

Caso 2:

Hiptesis Nula:

H0 :

versus alguna de las siguientes hiptesis alternativas:

H1 :

H1 :

H1 :

En este caso 0 es un valor diferente de cero y representa ladiferencia de las proporciones planteada la hiptesis nula .

021

021

021

021

Estadstico de contraste:

El estadstico de prueba o el estadstico de contrasteser:

0 : Representa la diferencia de proporciones que se plantea en la hiptesis nula

p1 , p2 : Representan las proporciones muestrales

respectivas:

2

22

1

11

021

)1()1(

)(

n

pp

n

pp

ppZc