diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flector
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UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO
ESCUELA PROFESIONAL DE ARQUITECTURA
TEMA: DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR
CURSO: ESTRUCTURAS I
PROFESOR: Ing. Martin MaguiΓ±a MaguiΓ±a
ALUMNO: TRINIDAD SANTOS, Ludwig
JESΓS MARΓA β LIMA- PERΓ
2014
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE (D.F.C.) Y
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (D.M.F.)
Concepto:
Son aquellos diagramas que representa los niveles de la
deformaciΓ³n de un elemento estructural mediante grafica de cargas
distribuidas ocasionados por fuerzas de carga muerta y carga viva.
MΓTODO: Para determinar la grΓ‘fica aplicaremos el mΓ©todo de
corte.
Ejemplo 1:
1ΒΊ PASO: CΓ‘lculo de reacciones RA y RB:
β πΉπ = 0 βΆ π π΄ + π π΅ = ππΏ β¦ πΆππππππΓ³π
βππ΄ = 0 βΆ ππΏπ₯πΏ
2 β π π΅π₯πΏ = 0 βΆ π π΅ =
ππΏ
2 (π’πππ. ππ)
PESO Y/O CARGA
q= W (unid. T/M)
RA RB
L (m)
A B
PESO Y/O CARGA
q= W (unid. T/M)
RA RB
L (m)
A B
F = W x L (unid. Tn)
L/2 (m)
L/2 (m)
β ππ΅ = 0 βΆ ππΏπ₯πΏ
2 β π π΄π₯πΏ = 0 βΆ π π΄ =
ππΏ
2 (π’πππ. ππ)
β΄ π π΄ + π π΅ =ππΏ
2+
ππΏ
2= ππΏ β¦ . ππ’ππππ ππ πππππππΓ³π
2ΒΊ PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable βXβ.
Luego se representa:
3ΒΊ PASO: DeterminaciΓ³n de ecuaciones cortantes y de momento:
β πΉπ βΆ π1β1 = π π΄ β πΉ ππππ πΉ = ππ β΄ π1β1 = π π΄ β ππ
βπ βΆ π1β1 = π π΄π βπΉπ
2 βΉ π1β1 = π π΄π β
ππ2
2
q= W (unid. T/M)
RA RB
L (m)
A B
C1
C1 X
IMPORTANTE:
β’ C1=CORTE 1
β’ EL TRAZO DEL CORTE SE
PUEDE REALIZAR A
CUALQUIER EXTREMO DE LA GRΓFICA.
β’ CUANDO SE TRAZA EL
CORTE O SI HUBIERA OTROS
SIEMPRE SE ASUMIRΓ UNA
DISTANCIA βXβ QUE VA DE LA
LINEA DEL CORTE HACIA LA
IZQUIERDA HASTA LLEGAR A LA (RA) FURZA REACCION A.
C1
C1
RA
A
X
F
F = W x L (unid. Tn)
q= W (unid. T/M)
X/2
corte
V= FUERZA CORTANTE (TN)
M=MOMENTO (T-M)
Fuerza x Distancia
4ΒΊ PASO: Tabla y/o cuadro de valores X segΓΊn rango.
RANGO: 0 β€ π β€ πΏ
X V1-1 (Tn)
0 RA
L RA - WL
EJEMPLO-EJERCICIO #1:
1ΒΊ PASO: CΓ‘lculo de reacciones RA y RB:
β πΉπ = 0 βΆ π π΄ + π π΅ = 24 π
β ππ΄ = 0 βΆ 24π₯3 β 6π π΅ = 0 βΆ π π΅ =24
2= 12 π.
β ππ΅ = 0 βΆ 24π₯3 β 6π π΄ = 0 βΆ π π΄ =24
2= 12 π.
β΄ π π΄ + π π΅ = 12 + 12 = 24 π.
X M1-1 (T-M)
0 0
L RAL - ππΏ2
2
q= 4 T/N
RA RB
6 (m)
A B
RA RB
6 m.
A B
F = 6 x 4=24 T
3 m. (m)
3 m. (m)
DETERMINANDO EL CORTE
Luego se representa:
DETERMINACIΓN DE ECUACIONES CORTANTES Y DE MOMENTO:
π1β1 = 12 β 4π (πΉππΈπ ππ΄ πΆππ ππ΄πππΈ)
π1β1 = 12π β4π2
2 (ππππΈπππ)
π1β1 = 12π β 2π2
RA RB
A B
C1
C1 X
C1
C1
RA=12 T.
A
X
F = 4X
q= 4. T/M
X/2
CORTE
GRΓFICA:
RANGO: 0 β€ π β€ 6
X V1-1 (T)
0 12
1 8
2 4
3 0
4 -4
5 -8
6 -12
X M1-1 (T-M)
0 0
1 10
2 16
3 18
4 16
5 10
6 0
A B
0
6
0
12
-12
-6
2 6 4
0 2 6
4
8
0
16
0
(+)
(-)
(+)
(T)
(m.)
(m.)
0 T-m
16 T-m 16 T-m
IMPORTANTE: LOS GRΓFICOS DEBEN HACERSE A ESCALA, TANTO HORIZONTAL
COMO VERTICALY RESPETAR LAS UNIDADES.
D.M.F.
D.F.C.
EJEMPLO-EJERCICIO #2:
1ΒΊ PASO: CΓ‘lculo de reacciones RA y RB:
β πΉπ = 0 βΆ π π΄ β 24 β 3 β 15 + π π΅ = 0 βΆ π π΄ + π π΅ = 42 π
β ππ΄ = 0 βΆ 24π₯3 + 3π₯9 + 2 + 15π₯(13 +10
3) β 18π π΅ = 0 βΆ π π΅ =
346
18= 19.22 π.
β ππ΅ = 0 βΆ 15π₯5
3+ 3π₯9 β 2 + 24π₯15 β 18π π΄ = 0 βΆ π π΄ =
410
18= 22.78 π.
β΄ π π΄ + π π΅ = 19.22 + 22.78 = 42 π.
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q= 4 T/M q= 6. T/M
F1=3T
M1= 2 T-M
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q= 4 T/M q= 6. T/M M1= 2 T-M
F= 6x4=24T
F1=3T
3 m.
9 m. 5 (2/3) m. 5 (1/3) m.
F= (6x5)/2=15T
2ΒΊ PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable βXβ.
3ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 1-1:
4ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 2-2 RANGO: 6 β€ π β€ 9
A B
M1= 2 T-M
F1=3T
1
1
2
2
3
3
4
4
A
q= 4 T/M
1
1
RA
X
X/2
F= 4X T
Se considera βXβ
βπΉπ π1β1 = π π΄ β 4π βΆ π1β1 = 22.78 β 4π
βπ π1β1 = π π΄π β 4ππ
2 βΆ π1β1 = 22.78π β 2π2
Cortante (V)
Momentos (M)
RANGO: 0 β€ π β€ 6
A
2
2
RA
X
F= 6x4=24 T
(X-3) m.
3m.
6m.
βπΉπ π2β2 = π π΄ β 24 βΆ π2β2 = 22.78 β 24 = β1.22
π2β2 = β1.22 π
βπ π2β2 = π π΄π β 24(π₯ β 3) βΆ π2β2 = 22.78π β 24(π₯ β 3) π β π
Cortante (V)
Momentos (M)
La fuerza es 4 por X = 4X
q= 4 T/M q= 6. T/M
5ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 3-3 RANGO: 9 β€ π β€ 13
6ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 4-4 RANGO: 13 β€ π β€ 18
CΓ‘lculo de q1 (por semejanza de )
π
5=
π1
π₯ β 13 βΆ
6
5=
π1
π₯ β 13 βΆ π1 =
6
5 (π₯ β 13)
CΓ‘lculo de Fβ : πΉβ² = ππ₯β
2=
(π₯β13)( 6
5(π₯β13))
2=
3
5(x β 13)(x β 13)
M1= 2 T-M
F1=3T
3
3
A
RA= 22.78 T
F= 6x4=24 T
3m.
X m.
6 m.
9 m.
X-9 m.
βπΉπ π3β3 = π π΄ β 24 β 3 βΆ π3β3 = 22.78 β 27 = β4.22
π3β3 = β4.22 π
βπ π3β3 = π π΄π β 24(π₯ β 3) + 2 β 3(π β 9) βΆ π3β3 = 22.78π β 24(π₯ β 3) + 2 β 3(π₯ β 9) π β π
Cortante (V)
Momentos (M)
Positivo
porque tiene
el mismo
sentido que la RA
A
M1= 2 T-M
4
4 F= 6x4=24 T
F1=3T
q= 4 T/M
q= 4 T/M
RA= 22.78 T
X m.
6 m. 3 m. 4 m. X-13 m.
m.
B
q1
Fβ
q= 6. T/M
5 m.
7ΒΊ PASO: Tabla y/o cuadro de valores segΓΊn rango
CORTE 1-1: RANGO: 0 β€ π β€ 6
X V1-1 X M1-1
0 22,78 0 0
1 18,78 1 20,78
2 14,78 2 37,56
3 10,78 3 50,34
4 6,78 4 59,12
5 2,78 5 63,9
6 -1,22 6 64,68
CORTE 2-2: RANGO: 6 β€ π β€ 9
X V2-2 X M2-2
6 -1,22 6 64,68
7 -1,22 7 63,46
8 -1,22 8 62,24
9 -1,22 9 61,02
CORTE 3-3: RANGO: 9 β€ π β€ 13
X V3-3 X M3-3
9 -4,22 9 63,02
10 -4,22 10 58,80
11 -4,22 11 54,58
12 -4,22 12 50,36
13 -4,22 13 46,14
4
4
Fβ
X-13 m.
2
3(π β 13) π. 1
3(π β 13)
βπΉπ π4β4 = π π΄ β 24 β 3 β3
5(π₯ β 13) (π₯ β 13) βΆ π4β4 = β4.22 β
3
5(π₯ β 13) (π₯ β 13)
βπ π4β4 = π π΄π β 24(π₯ β 3) + 2 β 3(π β 9) β 3
5(x β 13)(x β 13).
1
3(π₯ β 13)
βΆ π4β4 = 22.78π β 24(π₯ β 3) + 2 β 3(π₯ β 9) β1
5 (π₯ β 13) (π₯ β 13)(π₯ β 13) π β π
Cortante (V)
Momentos (M)
Fβ d
d
(T) (T-M)
(T) (T-M)
(T) (T-M)
CORTE 4-4: RANGO: 13 β€ π β€ 18
X V4-4 X M4-4
13 -4,22 13 46,14
14 -4.82 14 41,72
15 -6.62 15 36.10
16 -9.62 16 28.08
17 -13,82 17 16.46
18 -19,22 18 0.04
El grafico al igual que en el ejemplo anterior se debe hacer a escala y respectando las
unidades correspondientes.
PRΓCTICA:
1ΒΊ PASO: CΓ‘lculo de reacciones RA y RB:
β πΉπ = 0 βΆ π π΄ β 30 β 7 β 15 + π π΅ = 0 βΆ π π΄ + π π΅ = 52 π
β ππ΄ = 0 βΆ 30π₯3 + 7π₯9 + 2 + 15π₯(13 +10
3) β 18π π΅ = 0 βΆ π π΅ =
400
18= 22.22 π.
β ππ΅ = 0 βΆ 15π₯5
3+ 7π₯9 β 2 + 30π₯15 β 18π π΄ = 0 βΆ π π΄ =
536
18= 29.78 π.
β΄ π π΄ + π π΅ = 29.78 + 22.22 = 52 π.
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q1= 5 T/M q= 6 T/M
F1=7T
M1= 2 T-M
RA RB
A B
6 m. 3 m. 4 m. 5 m.
q= 5 T/M q= 6. T/M M1= 2 T-M
F= 6x5=30T
F1=7T
3 m.
9 m. 5 (2/3) m. 5 (1/3) m.
F= (6x5)/2=15T
2ΒΊ PASO: Determina el corte para asumir una distancia y/o variable βXβ.
3ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 1-1:
4ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 2-2 RANGO: 6 β€ π β€ 9
A B
M1= 2 T-M
F1=7T
1
1
2
2
3
3
4
4
A
q= 5 T/M
1
1
RA
X
X/2
F= 5X T
Se considera βXβ
βπΉπ π1β1 = π π΄ β 5π βΆ π1β1 = 29.78 β 5π
βπ π1β1 = π π΄π β 5ππ
2 βΆ π1β1 = 29.78π β
5
2π2
Cortante (V)
Momentos (M)
RANGO: 0 β€ π β€ 6
A
2
2
RA
X
F= 6x5=30 T
(X-3) m.
3m.
6m.
βπΉπ π2β2 = π π΄ β 30 βΆ π2β2 = 29.78 β 30 = β0.22
π2β2 = β0.22 π
βπ π2β2 = π π΄π β 30(π₯ β 3) βΆ π2β2 = 29.78π β 30(π₯ β 3) π β π
Cortante (V)
Momentos (M)
La fuerza es 5 por X = 5X
q= 5 T/M q= 6. T/M
q= 5 T/M
5ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 3-3 RANGO: 9 β€ π β€ 13
6ΒΊ PASO: Desarrollo del corte 4-4 RANGO: 13 β€ π β€ 18
CΓ‘lculo de q1 (por semejanza de )
π
5=
π1
π₯ β 13 βΆ
6
5=
π1
π₯ β 13 βΆ π1 =
6
5 (π₯ β 13)
CΓ‘lculo de Fβ : πΉβ² = ππ₯β
2=
(π₯β13)( 6
5(π₯β13))
2=
3
5(x β 13)(x β 13)
M1= 2 T-M
F1=7T
3
3
A
RA= 29.78 T
F= 6x5=30 T
3m.
X m.
6 m.
9 m.
X-9 m.
βπΉπ π3β3 = π π΄ β 30 β 7 βΆ π3β3 = 29.78 β 37 = β7.22
π3β3 = β7.22 π
βπ π3β3 = π π΄π β 30(π₯ β 3) + 2 β 7(π β 9) βΆ π3β3 = 29.78π β 30(π₯ β 3) + 2 β 7(π₯ β 9) π β π
Cortante (V)
Momentos (M)
Positivo
porque tiene
el mismo
sentido que la RA
A
M1= 2 T-M
4
4 F= 6x5=30 T
F1=7T
q= 5 T/M
q= 5 T/M
RA= 29.78 T
X m.
6 m. 3 m. 4 m. X-13 m.
m.
B
q1
Fβ
q= 6. T/M
5 m.
7ΒΊ PASO: Tabla y/o cuadro de valores segΓΊn rango
CORTE 1-1: RANGO: 0 β€ π β€ 6
X V1-1 X M1-1
0 29.78 0 0
1 24,78 1 27.28
2 19,78 2 49.56
3 14,78 3 66.84
4 9,78 4 79,12
5 4.78 5 86.40
6 -0,22 6 88.68
CORTE 2-2: RANGO: 6 β€ π β€ 9
X V2-2 X M2-2
6 -0,22 6 88,68
7 -0,22 7 88,46
8 -0,22 8 88,24
9 -0,22 9 88,02
CORTE 3-3: RANGO: 9 β€ π β€ 13
X V3-3 X M3-3
9 -7,22 9 90,02
10 -7,22 10 58,80
11 -7,22 11 75,58
12 -7,22 12 68,36
13 -7,22 13 61,14
4
4
Fβ
X-13 m.
2
3(π β 13) π. 1
3(π β 13)
βπΉπ π4β4 = π π΄ β 30 β 7 β3
5(π₯ β 13)(π₯ β 13) βΆ π4β4 = β7.22 β
3
5(π₯ β 13)(π₯ β 13) π
βπ π4β4 = π π΄ π β 30(π₯ β 3) + 2 β 7(π β 9) β 3
5(x β 13)(x β 13).
1
3(π₯ β 13)
βΆ π4β4 = 29.78π β 30(π₯ β 3) + 2 β 7(π₯ β 9) β1
5 (π₯ β 13) (π₯ β 13)(π₯ β 13) π β π
Cortante (V)
Momentos (M)
Fβ d
d
(T) (T-M)
(T) (T-M)
(T) (T-M)
CORTE 4-4: RANGO: 13 β€ π β€ 18
X V4-4 X M4-4
13 -7,22 13 61,14
14 -7,82 14 53,72
15 -9,62 15 45.10
16 -12,62 16 34.08
17 -16,82 17 19.46
18 -22.,22 18 0.04
(T) (T-M)
GRΓFICA ESCALA
6M. 3M. 4M. 5M.
F=7T.
M=2 T-M q1 = 4T/M q2 = 6T/M
(+)
(+)
(-)
ESCALA HORIZONTAL 1/200 - 1cm = 2m.
D.M.F.
D.F.C.
ESCALA VERTICAL (D.F.C.) 1/650 - 1cm = 6.50 m.
ESCALA VERTICAL (D.M.F.) 1/1000 - 1cm = 10 m.
T-M
(m)
(T)
88.68 T-M
88.02 T-M
90.02
T-M
61.14 T-M
0.04 T-M
29.78T
--0.22T
--0.22T
--7.22T
--22.22T