cepech: [claves] matemáticas n°1 (2012)

SOLUCIONARIO SIMULACRO MT- 024

SS

ICA

NM

TA03

024V

3

1 La alternativa correcta es D

Sub-unidad temaacutetica Conjuntos numeacutericos Habilidad Aplicacioacuten

32

middot 62 middot83 middot 43 = (Desarrollando)

32 middot 36 middot

83 middot 64 = (Simplificando y multiplicando)

2 middot 12 middot 3 middot 8 = 576

2 La alternativa correcta es C

Sub-unidad temaacutetica Conjuntos numeacutericos Habilidad Aplicacioacuten Rauacutel = 1253 = 42 tabletas

Pedro = 653 = 21 tabletas

En total consumieron 42 + 21 = 63 tabletas y dado que cada caja contiene 3 tabletas en

total se consumieron 633 = 21 cajas

3 La alternativa correcta es E

Sub-unidad temaacutetica Conjuntos numeacutericos Habilidad Anaacutelisis Si sumamos 2 a los pares y ndash3 a los impares del sorteo anterior y ordenando en forma de tabla obtenemos 1er Sorteo 8 9 17 26 30 34 2do Sorteo 10 6 14 28 32 36 En donde observamos que soacutelo II y III son verdaderas

4 La alternativa correcta es A

Sub-unidad temaacutetica Razones proporciones porcentajes e intereacutes Habilidad Comprensioacuten Si la variable P es a la variable R como 3 es a 11 entonces

113

RP (Aplicando teorema fundamental)

11P = 3R

5 La alternativa correcta es B

Sub-unidad temaacutetica Razones proporciones porcentajes e intereacutes Habilidad Anaacutelisis Si asisten 15 adultos entonces queda comida para alimentar a 5 adultos y su equivalente en nintildeos puede calcularse con la siguiente proporcioacuten 20 adultos 32 nintildeos (Desarrollando la proporcioacuten) 5 adultos x nintildeos

x = 20

325 = 8 nintildeos


Sub-unidad temaacutetica Potencias y raiacuteces Habilidad Aplicacioacuten

2ndash 1 + 1 = 21 + 1

= 23

7 La alternativa correcta es A Sub-unidad temaacutetica Potencias y raiacuteces Habilidad Anaacutelisis

849

425

291

2

1129

27

25

23

21

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

2

Por lo tanto el sexto teacutermino es 32121

211

5

2

8 La alternativa correcta es A Sub-unidad temaacutetica Razones proporciones porcentajes e intereacutes Habilidad Aplicacioacuten Reemplazando en lenguaje algebraico las variables inversas tenemos que x2 ∙ y = constante 22 ∙ 3 = constante 12 = constante

Luego reemplazando el valor de y = 31

tenemos

x2 ∙31 = 12

x2 = 36 x = 36 = 6

El valor de x cuando y = 31

es 6


Sub-unidad temaacutetica Razones proporciones porcentajes e intereacutes Habilidad Aplicacioacuten Utilizando la definicioacuten de porcentaje

El A de B = 100

BA tenemos que el 20 de 500 es

10050020 100

Luego la alternativa que tambieacuten da como resultado 100 es

50 de 200 =

10020050 100

Con lo cual el 20 de 500 equivale al 50 de 200


Sub-unidad temaacutetica Razones proporciones porcentajes e intereacutes Habilidad Aplicacioacuten Veamos cada uno de los valores Comprarlo en la empresa con instalacioacuten incluida = 500000 + 15 de 500000 = 500000 + 75000 = 575000 Comprarlo en la distribuidora sin instalacioacuten y luego contratar al operador= 510000 + 70000 = 580000 Comprarlo en la distribuidora con la instalacioacuten incluida = 580000 Comprarlo en la empresa sin instalacioacuten y luego contratar al operador = 500000 + 70000 = 570000 Luego la opcioacuten maacutes econoacutemica es la opcioacuten D


Sub-unidad temaacutetica Razones proporciones porcentajes e intereacutes Habilidad Aplicacioacuten Expresando el 75 de 0025 en forma fraccionaria obtenemos

000125

10075

= (p bull 10-3) (Desarrollando la potencia)

000125

10075

= 0001p (Multiplicando por 1000 ambos lados de la ecuacioacuten)

2510075

= p (Desarrollando)

p475

p7518


Sub-unidad temaacutetica Aacutelgebra Habilidad Anaacutelisis I) Verdadera ya que p es positivo y m es negativo entonces el producto es negativo II) Verdadera ya que p es positivo y m es negativo entonces p ndash m positivo (+) ndash (ndash) = (+) III) Falsa ya que si p = 4 y m = ndash 5 entonces p + m = ndash 1


Sub-unidad temaacutetica Aacutelgebra Habilidad Aplicacioacuten 10 middot (ndash 1)5 +9 middot (ndash 1)4 + 8 middot (ndash 1)3 + 7 middot (ndash 1)2 + 6 middot (ndash 1) + 5 = (Resolviendo las potencias) 10 middot ndash 1 +9 middot 1 + 8 middot ndash 1 + 7 middot 1 + 6 middot ndash 1 + 5 = (Multiplicando) ndash 10 + 9 ndash 8 + 7 ndash 6 + 5 = (Sumando)

ndash 3


Sub-unidad temaacutetica Aacutelgebra Habilidad Anaacutelisis

I) Si n = 1 1211 = 0 n = 2

41

2212

n = 3

31

3213

II) Si n = 1 2111 = 0 n = 2

41

212

2 n = 3

92

313

2

III) Si n = 1 211

11 = 0 n = 2

41

21

21

2 n = 3 92

31

31

2

Por lo tanto soacutelo en II y III se obtiene el conjunto

92

410 cuando n toma

los valores 1 2 y 3

15 La alternativa correcta es C Sub-unidad temaacutetica Aacutelgebra Habilidad Aplicacioacuten Debemos de realizar las siguientes restas de expresiones (3x + a) ndash (x ndash 2a) ndash (2x ndash 5a) = 3x + a ndash x + 2a ndash 2x + 5a = 8a Luego Marina se queda con $ 8a


Sub-unidad temaacutetica Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Aplicacioacuten

3151

x 6 (Transformando el nuacutemero mixto a fraccioacuten)

3

161x

6 (Multiplicando por 3x)

16 = 18x (Dividiendo por 18 ambos lados de la ecuacioacuten y simplificando)

98 x


Sub-unidad temaacutetica Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Anaacutelisis I) Verdadera ya que

P = 2Q

Q = 21 R (Despejando R)

2Q = R

Entonces

P = 2Q (Reemplazando 2Q)

P = R II) Verdadera ya que P + R = (Reemplazando P y R por 2Q)

2Q + 2Q = 4Q III) Verdadera ya que P + Q + R = (Reemplazando P y R por 2Q)

2Q + Q + 2Q = 5Q Por lo tanto Q es la quinta parte de la suma de los tres



Si 2

baba (Multiplicando por (a + b))

a ndash b = 2a + 2b ndash b ndash 2b = 2a ndash a ndash 3b = a I) Es igual a 0 ya que a + 3b = (Reemplazando a) ndash3b + 3b = 0 II) Es igual a 0 ya que 3ab + a2 = (Reemplazando a) 3 middot ndash 3b middot b + (ndash3b)2 = ndash9b2 + 9b2 = 0 III) Es igual a 0 ya que ab + 3b2 = (Reemplazando a) ndash3b middot b + 3b2 = ndash3b2 + 3b2 = 0


Sub-unidad temaacutetica Aacutelgebra Habilidad Aplicacioacuten

ccz 1

1

2

c

ccw

z ∙ w = (Reemplazando z y w)

11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx

xx (Factorizando por dos numeradores y denominadores)

42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx

xx (Multiplicando cruzado)

2643 xxxx (Multiplicando teacutermino a teacutermino) x2 ndash7x +12 = x2 ndash 8x +12 (Restando x2 a ambos lados de la ecuacioacuten) ndash7x +12 = ndash 8x +12 (Sumando 8x y restando 12) 8x ndash7x = 0 (Reduciendo teacuterminos semejantes) x = 0


Sub-unidad temaacutetica Aacutelgebra Habilidad Anaacutelisis I) Falsa ya que (x + 11)2 = x2 + 22x + 121 II) Verdadera ya que x3 ndash 6x2 + 8x = (Factorizando por x) x(x2 ndash 6x + 8) = (Factorizando) x(x ndash 4)(x ndash 2) III) Falsa ya que

3042

2

2

xxxx = (Factorizando el numerador y el denominador)

)5)(6()6)(7(

xxxx


Sub-unidad temaacutetica Potencias y raiacuteces Habilidad Comprensioacuten

33 12508 = (Expresando 0125 en su forma fraccionaria)

33

818 (Resolviendo las raiacuteces)

2 21 (Multiplicando)

1


Sub-unidad temaacutetica Potencias y raiacuteces Habilidad Aplicacioacuten 33 3232 = (Aplicando multiplicacioacuten de raiacuteces)

3 3232 (Utilizando suma por su diferencia)

3 22 32 (Desarrollando las potencias)

3 34 (Resolviendo la raiacutez) 3 1 1


Sub-unidad temaacutetica Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Aplicacioacuten 1) x + y + z = 1 1) + 2) 2x + 2z = 2 ndash 2 2) x ndash y + z = 1 3) 2x + z = 3 3) 2x ndash 1 + z = 2 ndash x ndash z = ndash1 (Sumando) 2x + z = 3 x = 2


Sub-unidad temaacutetica Inecuaciones Habilidad Conocimiento El intervalo solucioacuten correspondiente a 2x es 2


Sub-unidad temaacutetica Inecuaciones Habilidad Anaacutelisis 1V = 2A 3V = 5B (Despejando V)

V = B35 (Dado que 1V = 2A igualamos)

B35 = 2A (Despejando A)

B65 = A

Finalmente sumando una ficha verde maacutes una azul

1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)

25B Luego el menor nuacutemero de fichas blancas cuyo valor sobrepasa a la suma entre una ficha verde y una azul es 3


Sub-unidad temaacutetica Relaciones y funciones Habilidad Anaacutelisis Siacute f (8)= a 8 + 5 = (Restando 5 a ambos lados de la ecuacioacuten)

8a = ndash 5 (Dividiendo por 8)

a = 85

Luego f (x) = 85

x +5 (Evaluando en 5)

f (5) = 85

5 + 5 = (Multiplicando)

5825 (Sumando fracciones)

8

15

28 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Relaciones y funciones Habilidad Anaacutelisis Analicemos las opciones I) Falsa ya que seguacuten el graacutefico f (ndash 5) ndash f (6) = 4 ndash (ndash 5) = 9 II) Verdadera ya que ndash 3 f (ndash 1) lt 0 y ndash 2 f (7) gt 0 III) Verdadera ya que seguacuten el graacutefico )10(f + ( f (ndash 6))2 = 0 + 42 = 16

x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10

Graacutefico de la funcioacuten f (x)

29 La alternativa correcta es E Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten de variable real Habilidad Aplicacioacuten La ecuacioacuten principal de la recta es y = mx + n con m pendiente y n coeficiente de posicioacuten donde (0 6) y (ndash 8 0) pertenecen a la recta

m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6

Entonces la ecuacioacuten de la recta es

y = 43 x + 6

Como (ndash 2 p) pertenece a la recta para determinar el valor de p debemos reemplazar x en la ecuacioacuten de la recta y encontrar y

y = 43 x + 6 (Reemplazando x)

y = 43 ndash 2 + 6 (Simplificando)

y = 23 + 6 (Desarrollando)

y = 29

Por lo tanto el valor de p es 29

ndash 8

6 p

ndash 2

y

x

30 La alternativa correcta es A Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten de variable real Habilidad Aplicacioacuten

f(x) = [x ndash 7] (Evaluando la funcioacuten en

43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256

La funcioacuten parte entera corresponde al menor entero entre el cual se encuentra ndash 625 entonces

43f = ndash 7

31 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten cuadraacutetica Habilidad Aplicacioacuten La paraacutebola de ecuacioacuten y = x2 ndash 4x + 3 intersecta al eje X cuando y = 0 es decir x2 ndash 4x + 3 = 0 (Factorizando) (x ndash 3) (x ndash 1) = 0 (Igualando cada binomio a cero) x ndash 3 = 0 x ndash 1 = 0 (Despejando) x1 = 3 x2 = 1 Luego x intersecta al eje X en los puntos (3 0) y (1 0)

32 La alternativa correcta es A Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten cuadraacutetica Habilidad Aplicacioacuten

3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x

Por lo tanto la paraacutebola intersecta al eje X en un punto e intersecta al eje Y en IR + en el punto (0 36) 33 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten de variable real Habilidad Anaacutelisis Analicemos las afirmaciones

I) Falsa ya que podemos determinar f(4) = 0 en IR II) Falsa el recorrido de la funcioacuten es IR+ 0 III) Verdadera el valor de f(ndash 1) no existe en IR ya que f(ndash 1) = 5

34 La alternativa correcta es E Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten de variable real Habilidad Anaacutelisis I) Verdadera por definicioacuten II) Verdadera ya que

4

23

4

23

45

III) Verdadera ya que 67 estaacute entre ndash 7 y ndash 8 el menor valor entero es ndash 8


25 x 84x3 = (Expresando 8 en forma de potencia de base 2)

25 x=

2 3 4x3

(Multiplicando los exponentes)

25x 212x9 (Dado que las bases a ambos lados de la ecuacioacuten son iguales sus exponentes son necesariamente iguales) ndash5x = 12x + 9 (Sumando 5x y restando 9 a ambos lados de la ecuacioacuten) ndash 9 = 17x (Dividiendo por 17)

179

= x

36 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten de variable real Habilidad Conocimiento

p xlog (Expresando la raiacutez como potencia)

px1

log (Aplicando propiedad de logaritmo)

xp

log1

37 La alternativa correcta es E Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten de variable real Habilidad Anaacutelisis I) Verdadera ya que

2

2 loglogloglog2logbababa

II) Verdadera ya que cambiando a base c se obtiene

abb

c

ca log

loglog

III) Verdadera ya que

4343431

loglogloglogloglog4log31 babababa

Por lo tanto ninguna de ellas es falsa

P Q

R U

S T

38 La alternativa correcta es C Sub-unidad temaacutetica Funcioacuten de variable real Habilidad Aplicacioacuten Construyendo la funcioacuten exponencial que modela el problema tenemos

Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip

Se tiene 100 100 middot 41 100 middot 42 100 middot 43 100 middot 44

Luego la cantidad de microorganismos que habraacute al cabo de x horas estaacute dado por la expresioacuten f(x) = 100 bull x24 donde 100 cantidad inicial de microorganismos x tiempo en horas


Sub-unidad temaacutetica Geometriacutea de proporcioacuten Habilidad Aplicacioacuten Dado que los triaacutengulos en cuestioacuten son congruentes y aplicando teorema de Pitaacutegoras entonces 3 W 5 3 4 5 Por lo tanto SU = PR = 6 cm


Sub-unidad temaacutetica Geometriacutea de proporcioacuten Habilidad Anaacutelisis Completando la figura con los datos entregados 30ordm 60ordm 30ordm 120ordm 60ordm 60ordm D A B Observando el dibujo se puede concluir que soacutelo I y II son verdaderas


Sub-unidad temaacutetica Geometriacutea de proporcioacuten Habilidad Anaacutelisis

Siacute = 2 entonces 40ordm = 2 (Despejando) 20ordm = Siacute = 2 entonces 20ordm = 2 (Despejando) 10ordm = Luego = 10ordm = 20ordm = 40deg = 70deg Por lo tanto I II y III son verdaderas

CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm

42 La alternativa correcta es C Sub-unidad temaacutetica Transformaciones isomeacutetricas Voluacutemenes y superficies Habilidad Comprensioacuten Es necesario aplicar una simetriacutea axial ya que es respecto a una recta Al aplicar una simetriacutea axial a un punto (x y) con respecto al eje Y las coordenadas de ese punto variacutean a (ndash x y) Por lo tanto si un punto tiene coordenadas (ndash 4 ndash 9) sus coordenadas variaraacuten a (4 ndash 9)


Sub-unidad temaacutetica Transformaciones isomeacutetricas Voluacutemenes y superficies Habilidad Aplicacioacuten Primero debemos encontrar el vector traslacioacuten para eso planteamos la ecuacioacuten (ndash 2 11) + T(x y) = (ndash 2 + x 11 + y) = (ndash 6 5) luego igualando cada coordenada ndash 2 + x = ndash 6 x = ndash 4 11 + y = 5 y = ndash 6 Luego el vector traslacioacuten es T(ndash 4 ndash 6) Finalmente aplicamos ese vector al nuevo punto (4 ndash 1) (4 ndash 1) + T(ndash 4 ndash 6) = (ndash 4 + 4 ndash 6 ndash 1) = (0 ndash 7) El punto resultante es (0 ndash 7)


Sub-unidad temaacutetica Transformaciones Isomeacutetricas Voluacutemenes y superficies Habilidad Aplicacioacuten Aplicando una rotacioacuten de 90ordm a los puntos (ndash 4 0) (0 0) y (0 ndash 7) resultan (0 ndash 4) (00) y (7 0) luego aplicando una traslacioacuten T (0 2) los puntos finales son (0 ndash 2) (0 2) y (7 2)

x

y

ndash 4

ndash 7


Sub-unidad temaacutetica Transformaciones isomeacutetricas Voluacutemenes y superficies Habilidad Aplicacioacuten Al aplicar una simetriacutea axial respecto a la recta del graacutefico debemos contar las unidades que hay entre la recta y el punto respecto a la coordenada en el eje Y es decir desde el punto a la recta hay 2 unidades por lo tanto debemos bajar 2 unidades desde ndash 4 luego (3 ndash 6) corresponde al nuevo punto despueacutes de aplicar una simetriacutea axial con respecto a la recta y = ndash 4


Sub-unidad temaacutetica Cuadrilaacuteteros Habilidad Anaacutelisis Si Ancho x Largo 3x entonces el aacuterea corresponde a 3x x = 48 3 x2 = 48 (Dividiendo por 3 ambos lados de la ecuacioacuten) x2 = 16 (Calculando raiacutez cuadrada a ambos lados de la ecuacioacuten) x = 4 m Luego reemplazando en los primeros enunciados Ancho = x = 4 m Largo = 3x = 12 m Por lo tanto con la medida del largo se puede construir un cuadrado de lado 3 m siendo el aacuterea del cuadrado = 32 = 9 m2

x

y

ndash 4

3

ndash 2 R

47 La alternativa correcta es C Sub-unidad temaacutetica Cuadrilaacuteteros Habilidad Aplicacioacuten Reemplazando los datos en el dibujo y utilizando Pitaacutegoras resulta 10 En donde conocemos 2 de los lados del triaacutengulo rectaacutengulo AEC (8 y 10) ahora Simplemente utilizamos el teorema de Pitaacutegoras para descubrir el valor del lado restante que corresponde a nuestra incoacutegnita 102 82 x2 (Desarrollando las potencias y despejando x2) 100 ndash 64 = 2x (Despejando x)

36 = x (Desarrollando la raiacutez) 6 = x Por lo tanto CE = 6 cm



I) Verdadera ya que DMBM MAMC y DABC II) Falsa ya que el triaacutengulo BDC es el doble del triaacutengulo BMC Luego la razoacuten

entre sus aacutereas en ese orden es 2 1

III) Falsa ya que ME es la mitad del lado del cuadrado Luego 2aME

M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D

49 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Geometriacutea de proporcioacuten Habilidad Anaacutelisis Analicemos las afirmaciones

I) Verdadera ya que los veacutertices correspondientes coinciden II) Falsa ya que los veacutertices correspondientes NO coinciden III) Verdadera ya que los veacutertices correspondientes coinciden

50 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Geometriacutea de proporcioacuten Habilidad Aplicacioacuten x 3 6 4 Aplicando teorema de Thales

3

106

x (Despejando x)

x = 1018 (Simplificando)

x = 59

A B

C

D O bull

51 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Geometriacutea de proporcioacuten Habilidad Aplicacioacuten Como ABCD es un trapecio entonces DCAB Aplicando Teorema de Thales

AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155

8 AB (Desarrollando)

5 ∙ AB = 8 ∙ 15 (Despejando AB )

AB = 5158 (Simplificando y multiplicando)

AB = 24 cm

52 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Circunferencia y ciacuterculo Habilidad Aplicacioacuten Como ABCD es un rectaacutengulo entonces arco DB = 180ordm y como arco DA = 80ordm entonces arco AB = 100ordm Por lo tanto x = 100ordm

A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O

53 La alternativa correcta es A Sub-unidad temaacutetica Circunferencia y ciacuterculo Habilidad Aplicacioacuten

91 de circunferencia =

91 middot 360ordm = 40ordm = Arco BD


41 middot 360ordm = 90ordm = Arco EA

Luego aplicando teorema del aacutengulo externo resulta

2

ordm40ordm90 (Desarrollando)

= 25ordm

54 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Circunferencia y ciacuterculo Habilidad Aplicacioacuten El cuadrilaacutetero OTPS es un cuadrado pues tiene sus 4 aacutengulos rectos y lados contiguos iguales PS = PT y SO = TO por lo tanto A) TSP es rectaacutengulo Verdadero

B) ________TSOP Falso porque en un cuadrado las diagonales son iguales

C) TOS es rectaacutengulo Verdadero

D) ____OP es mayor que el radio de la circunferencia Verdadero ya que

____OP es diagonal

del cuadrado y por obligacioacuten debe ser mayor que el lado E) SPTO es un cuadrado Verdadero

D E

A B

M T P

O S

R

A B

55 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Circunferencia y ciacuterculo Habilidad Aplicacioacuten D O Utilizando teorema de Pitaacutegoras podemos calcular la medida del trazo BD(x) 92 x2 122

81 + x2 = 144 (Restando 81 a ambos lados de la ecuacioacuten)

x2 = 63 (Calculando raiacutez cuadrada a ambos lados de la ecuacioacuten)

x = 63 (Descomponiendo la raiacutez) x = 73 Ademaacutes como los trazos AB y OD son perpendiculares necesariamente AB es el doble de BD pues el radio es perpendicular en el punto medio de las cuerdas por lo tanto AB = 2 BD (Reemplazando) AB = 2 73 (Multiplicando) AB = 76 cm

56 La alternativa correcta es A Sub-unidad temaacutetica Geometriacutea analiacutetica Habilidad Conocimiento En la recta 14 xy la pendiente es ndash 4

57 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Trigonometriacutea Habilidad Anaacutelisis Las funciones trigonomeacutetricas seno de α igual a un medio y seno de β igual a un medio de raiacutez cuadrada de tres son muy utilizadas pudiendo descubrir que y corresponden a 30ordm y 60ordm respectivamente Completando los aacutengulos en la figura resulta Por lo tanto concluimos que el triaacutengulo ABD es isoacutesceles y los trazos AB y BD poseen la misma medida 3 metros luego dado que conocemos la medida de la hipotenusa del triaacutengulo BCD podemos utilizar la funcioacuten trigonomeacutetrica seno para conocer la medida del trazo CD

De donde sen 60ordm = BDCD (Reemplazando)

sen 60ordm = 3

CD (Despejando)

3ordm60senCD (Resolviendo)

323CD (Multiplicando)

23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3

58 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Transformaciones isomeacutetricas Voluacutemenes y superficies Habilidad Anaacutelisis I) Falsa ya que Si la arista del cubo mide 3 cm entonces Aacuterea del cubo = 6 ∙ (arista)2 = 549636 2 cm2

II) Verdadera ya que Volumen del cubo = (arista)3 = 33 = 27 cm3

III) Verdadera ya que Diagonal del cubo = arista middot 3 = 33 cm

59 La alternativa correcta es C Sub-unidad temaacutetica Probabilidad y combinatoria Habilidad Comprensioacuten

Como la probabilidad de sacar un bomboacuten de trufa es 51 la probabilidad de que no sea

de trufa es un suceso contrario luego la probabilidad es 54

511

60 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Probabilidad y combinatoria Habilidad Aplicacioacuten Aplicando la regla de Laplace tenemos que existen 5 pelotitas con las letras que no son NO son consonantes de un total de 12 letras A que se obtenga una pelotita con una letra que NO sea consonante

P(A) = posiblescasosdenuacutemero

favorablescasosdenuacutemero

P(A) = 125

61 La alternativa correcta es E Sub-unidad temaacutetica Probabilidad y Combinatoria Habilidad Anaacutelisis Analicemos las opciones utilizando la tabla

I) Verdadera ya que son 47 resultados en total y de ellos 25 resultaron mayores que 3

P(mayor que 3) = 4725

II) Verdadera ya que las probabilidades en los dos casos resultaron ser 4716

III) Verdadera ya que en este caso P(nuacutemero impar o nuacutemero mayor que 2) = P(nuacutemero impar) + P(nuacutemero mayor que 2) ndash P(nuacutemero impar y nuacutemero mayor que 2)

P(nuacutemero impar o nuacutemero mayor que 2) = 4717 +

4730 ndash

477 =

4740

62 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Probabilidad y combinatoria Habilidad Aplicacioacuten La uacutenica posibilidad de que al lanzar 2 dados simultaacuteneamente sus caras superiores sumen tres es que en la cara superior del primero salga un 1 y en el segundo un 2 (1 + 2 = 3) o que en la cara superior del primero salga un 2 y en el segundo un 1 (2 + 1 = 3) Luego tenemos 2 casos favorables y ya que al lanzar dos dados los casos posibles son 36 (6 6) la probabilidad de dicho evento es

362 (Simplificando)

181

Nuacutemero Frecuencia 1 10 2 7 3 5 4 14 5 2 6 9

63 La alternativa correcta es C Sub-unidad temaacutetica Probabilidad y Combinatoria Habilidad Aplicacioacuten P(Muacuteltiplo de 5) Casos posibles 40 Casos favorables 8 (5 ndash 10 ndash 15 ndash 20 ndash 25 ndash 30 ndash 35 ndash 40)

P(Muacuteltiplo de 5) = posiblesCasos

favorablesCasos (Reemplazando)

P(Muacuteltiplo de 5) = 408

P(Divisor de 30) Casos posibles 40 Casos favorables 8 (1 ndash 2 ndash 3 ndash 5 ndash 6 ndash 10 ndash 15 ndash 30)

P(Divisor de 30) = posiblesCasos


P(Divisor de 30) = 408

Como ambos sucesos no son mutuamente excluyentes entonces P(Muacuteltiplo de 5) o P(Divisor de 30) = P(Muacuteltiplo de 5 Divisor de 30) = P(Muacuteltiplo de 5) + P(Divisor de 30) ndash P(Muacuteltiplo de 5 Divisor de 30) = (Reemplazando)

408 +

408 ndash

404 =

4012 (Simplificando)

103

64 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Probabilidad y Combinatoria Habilidad Aplicacioacuten Aplicando la regla de probabilidad compuesta tenemos que P(siete y as y siete) = P(sea siete) bull P(sea as) bull P(sea siete)

P(siete y as y siete) = 524 bull

514 bull

503

65 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Estadiacutestica descriptiva Habilidad Aplicacioacuten Si la media aritmeacutetica (o promedio) es igual a 41 podemos calcular el valor de x despejando la foacutermula de media aritmeacutetica con los datos de la muestra

1077544332214

x

x 3741

x4

66 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Estadiacutestica descriptiva Habilidad Aplicacioacuten El promedio (o media aritmeacutetica) total de la prueba se calcula sumando el producto entre el nuacutemero de alumnos y el promedio (o media aritmeacutetica) de cada curso y todo esto dividido por el total de alumnos de los cuatro cursos

Promedio (o media aritmeacutetica) total de la prueba = 0325125629

Curso Nuacutemero de alumnos Promedio (o media aritmeacutetica)

Promedio Nordm alumnos

1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629


Sub-unidad temaacutetica Estadiacutestica descriptiva Habilidad Anaacutelisis Analicemos las afirmaciones respecto al graacutefico

I) Falsa ya que la frecuencia de la moda es 9 II) Falsa ya que al sumar todos los datos comprobamos que existen 31 datos luego el dato que estaacute en la posicioacuten nuacutemero 16 es la mediana (Posicioacuten nuacutemero 16 = 4) III) Verdadera ya que al sumar las frecuencias obtenemos 31

68 La alternativa correcta es E Sub-unidad temaacutetica Estadiacutestica descriptiva Habilidad Anaacutelisis Analicemos las afirmaciones respecto a la tabla

I) Verdadera ya que sumando todas las frecuencia tenemos 15 + 26 + 42 + 18 + 9 = 110 luego el total de alumnos es 110

II) Verdadera ya que los valores centrales se encuentran en la posicioacuten 55 y 56 que corresponde al intervalo 550 ndash 650 III) Verdadera ya que es el intervalo que tiene mayor frecuencia

Intervalos de puntaje Frecuencia 350 ndash 450 15 450 ndash 550 26 550 ndash 650 42 650 ndash 750 18 750 ndash 850 9

Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7


Sub-unidad temaacutetica Razones proporciones porcentajes e intereacutes Habilidad Evaluacioacuten (1) 2 hombres bajo las mismas condiciones demoran 10 diacuteas en construir la misma

piscina Con esta informacioacuten es posible determinar cuaacutento demoran 5 hombres en construir la piscina aplicando proporcionalidad inversa

(2) Si trabajan horas extraordinarias demoraraacuten la mitad Con esta informacioacuten no es

posible determinar cuaacutento demoran 5 hombres en construir la piscina ya que no se

puede extraer informacioacuten uacutetil

Por lo tanto la respuesta es (1) por siacute sola


Sub-unidad temaacutetica Conjuntos Numeacutericos Habilidad Evaluacioacuten (1) La distancia entre Q y S mide 25 cm Con esta informacioacuten y la del enunciado no es posible determinar la distancia entre Q y R ya que soacutelo podemos determinar que PQ = 10 cm (2) La distancia entre P y R mide 17 cm Con esta informacioacuten y la del enunciado no es posible determinar la distancia entre Q y R ya que soacutelo podemos determinar que RS = 18 cm Con ambas informaciones y la del enunciado es posible determinar la distancia entre Q y R ya que podemos combinar las dos afirmaciones anteriores y encontrar la medida Por lo tanto la respuesta es Ambas juntas


Sub-unidad temaacutetica Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Habilidad Evaluacioacuten Seguacuten los datos del enunciado ya se tiene una ecuacioacuten lineal con tres incoacutegnitas por lo que seriacutea necesario tener dos ecuaciones maacutes que relacionen las variables y dichas ecuaciones no deben ser equivalentes ni incompatibles o una proporcioacuten con las tres incoacutegnitas

(1) Se tiene otra ecuacioacuten lineal con las tres incoacutegnitas Con esta informacioacuten y la del enunciado no es posible determinar el valor de cada una de las incoacutegnitas ya que no podemos afirmar que las ecuaciones no son equivalentes

(2) Se tiene una proporcioacuten con las 3 incoacutegnitas Con esta informacioacuten y la del enunciado no es posible determinar el valor de cada una de las incoacutegnitas ya que

puede ser 3z

yx y con esta proporcioacuten si bien podemos armar una ecuacioacuten no

podemos afirmar que las ecuaciones no son equivalentes

Con ambas informaciones y la del enunciado no es posible determinar el valor de cada una de las incoacutegnitas ya que no podemos afirmar que las tres ecuaciones no son equivalentes

Por lo tanto la respuesta es Se requiere informacioacuten adicional

72 La alternativa correcta es B Sub-unidad temaacutetica Aacutengulos y triaacutengulos Poliacutegonos Habilidad Evaluacioacuten El nuacutemero total de diagonales de un poliacutegono convexo se puede calcular con la foacutermula

2

3nn con n nuacutemero de lados

Luego necesitamos saber el nuacutemero de lados para poder calcular lo pedido (1) Se conoce que el poliacutegono es regular Con esta informacioacuten no es posible determinar el nuacutemero total de diagonales de un poliacutegono convexo ya que no sabemos queacute tipo de poliacutegono regular es

(2) Se conoce que el poliacutegono tiene 8 lados Con esta informacioacuten es posible determinar el nuacutemero total de diagonales del poliacutegono convexo ya que podemos aplicar el nuacutemero de lados en la foacutermula Por lo tanto la respuesta es (2) por siacute sola

73 La alternativa correcta es D Sub-unidad temaacutetica Transformaciones isomeacutetricas Voluacutemenes y superficies Habilidad Evaluacioacuten (1) Al aplicarle el vector traslacioacuten (ndash 7 1) sus nuevas coordenadas son (ndash 3 4) Con esta informacioacuten es posible determinar las coordenadas de A aplicando el concepto de traslacioacuten (2) Al aplicarle una rotacioacuten en 90ordm en sentido antihorario con respecto al origen sus nuevas coordenadas son (ndash 3 4) Con esta informacioacuten es posible determinar las coordenadas de A aplicando el concepto de rotacioacuten Por lo tanto la respuesta es Cada una por siacute sola

74 La alternativa correcta es A Sub-unidad temaacutetica Circunferencia y ciacuterculo Habilidad Evaluacioacuten (1) Arco BA = 70ordm Con esta informacioacuten es posible determinar la medida del aacutengulo x ya que mide la mitad del arco que subtiende (2) BC es diaacutemetro Con esta informacioacuten no es posible determinar la medida del aacutengulo x ya que no aporta informacioacuten uacutetil Por lo tanto la respuesta es (1) por siacute sola

A

B

C x

75 La alternativa correcta es C Sub-unidad temaacutetica Estadiacutestica descriptiva Habilidad Evaluacioacuten (1) La suma de los datos es 1150 Con esta informacioacuten no es posible determinar el valor de la media aritmeacutetica (o promedio) de una muestra de datos agrupados ya que no conocemos la cantidad de datos de la muestra (2) La muestra tiene 250 datos Con esta informacioacuten no es posible determinar el valor de la media aritmeacutetica (o promedio) de una muestra de datos agrupados ya que no conocemos la suma total de los datos de la muestra Con ambas informaciones es posible determinar el valor de la media aritmeacutetica de una muestra de datos agrupados ya que conocemos la suma total de los datos y la cantidad de datos de la muestra Por lo tanto la respuesta es Ambas juntas


Sub-unidad temaacutetica Conjuntos numeacutericos Habilidad Aplicacioacuten

32

middot 62 middot83 middot 43 = (Desarrollando)

32 middot 36 middot

83 middot 64 = (Simplificando y multiplicando)

2 middot 12 middot 3 middot 8 = 576


Sub-unidad temaacutetica Conjuntos numeacutericos Habilidad Aplicacioacuten Rauacutel = 1253 = 42 tabletas

Pedro = 653 = 21 tabletas

En total consumieron 42 + 21 = 63 tabletas y dado que cada caja contiene 3 tabletas en

total se consumieron 633 = 21 cajas


Sub-unidad temaacutetica Conjuntos numeacutericos Habilidad Anaacutelisis Si sumamos 2 a los pares y ndash3 a los impares del sorteo anterior y ordenando en forma de tabla obtenemos 1er Sorteo 8 9 17 26 30 34 2do Sorteo 10 6 14 28 32 36 En donde observamos que soacutelo II y III son verdaderas



113


11P = 3R



x = 20

325 = 8 nintildeos



2ndash 1 + 1 = 21 + 1

= 23


849

425

291

2

1129

27

25

23

21

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

2


211

5

2



tenemos

x2 ∙31 = 12

x2 = 36 x = 36 = 6


es 6



El A de B = 100


10050020 100


50 de 200 =

10020050 100






000125

10075


000125

10075


2510075

= p (Desarrollando)

p475

p7518





ndash 3



I) Si n = 1 1211 = 0 n = 2

41

2212

n = 3

31

3213

II) Si n = 1 2111 = 0 n = 2

41

212

2 n = 3

92

313

2

III) Si n = 1 211

11 = 0 n = 2

41

21

21

2 n = 3 92

31

31

2


92

410 cuando n toma

los valores 1 2 y 3




3151


3

161x



98 x



P = 2Q


2Q = R

Entonces







Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




113


11P = 3R



x = 20

325 = 8 nintildeos



2ndash 1 + 1 = 21 + 1

= 23


849

425

291

2

1129

27

25

23

21

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

2


211

5

2



tenemos

x2 ∙31 = 12

x2 = 36 x = 36 = 6


es 6



El A de B = 100


10050020 100


50 de 200 =

10020050 100






000125

10075


000125

10075


2510075

= p (Desarrollando)

p475

p7518





ndash 3



I) Si n = 1 1211 = 0 n = 2

41

2212

n = 3

31

3213

II) Si n = 1 2111 = 0 n = 2

41

212

2 n = 3

92

313

2

III) Si n = 1 211

11 = 0 n = 2

41

21

21

2 n = 3 92

31

31

2


92

410 cuando n toma

los valores 1 2 y 3




3151


3

161x



98 x



P = 2Q


2Q = R

Entonces







Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x



849

425

291

2

1129

27

25

23

21

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2

0

2


211

5

2



tenemos

x2 ∙31 = 12

x2 = 36 x = 36 = 6


es 6



El A de B = 100


10050020 100


50 de 200 =

10020050 100






000125

10075


000125

10075


2510075

= p (Desarrollando)

p475

p7518





ndash 3



I) Si n = 1 1211 = 0 n = 2

41

2212

n = 3

31

3213

II) Si n = 1 2111 = 0 n = 2

41

212

2 n = 3

92

313

2

III) Si n = 1 211

11 = 0 n = 2

41

21

21

2 n = 3 92

31

31

2


92

410 cuando n toma

los valores 1 2 y 3




3151


3

161x



98 x



P = 2Q


2Q = R

Entonces







Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




El A de B = 100


10050020 100


50 de 200 =

10020050 100






000125

10075


000125

10075


2510075

= p (Desarrollando)

p475

p7518





ndash 3



I) Si n = 1 1211 = 0 n = 2

41

2212

n = 3

31

3213

II) Si n = 1 2111 = 0 n = 2

41

212

2 n = 3

92

313

2

III) Si n = 1 211

11 = 0 n = 2

41

21

21

2 n = 3 92

31

31

2


92

410 cuando n toma

los valores 1 2 y 3




3151


3

161x



98 x



P = 2Q


2Q = R

Entonces







Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




000125

10075


000125

10075


2510075

= p (Desarrollando)

p475

p7518





ndash 3



I) Si n = 1 1211 = 0 n = 2

41

2212

n = 3

31

3213

II) Si n = 1 2111 = 0 n = 2

41

212

2 n = 3

92

313

2

III) Si n = 1 211

11 = 0 n = 2

41

21

21

2 n = 3 92

31

31

2


92

410 cuando n toma

los valores 1 2 y 3




3151


3

161x



98 x



P = 2Q


2Q = R

Entonces







Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




I) Si n = 1 1211 = 0 n = 2

41

2212

n = 3

31

3213

II) Si n = 1 2111 = 0 n = 2

41

212

2 n = 3

92

313

2

III) Si n = 1 211

11 = 0 n = 2

41

21

21

2 n = 3 92

31

31

2


92

410 cuando n toma

los valores 1 2 y 3




3151


3

161x



98 x



P = 2Q


2Q = R

Entonces







Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




P = 2Q


2Q = R

Entonces







Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




Si 2





ccz 1

1

2

c

ccw


11 2

ccc

cc (Factorizando)

1)1(1

ccc

cc

(Simplificando)

1c



82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




82122

4262

xx


42

622232

xx

xx (Simplificando)

4

623

xx





3042

2

2


)5)(6()6)(7(

xxxx




33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x





33



1














B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x










B65 = A


1V + 1A = B35 + B

65 = (Sumando)

B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x


B6

15 = (Dividiendo)





a = 85

Luego f (x) = 85


f (5) = 85



8

15


x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x



x

y

-2 -6

4

-8

-5

3 7 10



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x



m = 12

12

xxyy

(Reemplazando)

m = 08

60

m = 86

m = 43 n = 6


y = 43 x + 6





y = 29


ndash 8

6 p

ndash 2

y

x



43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




43 )

43f =

743 (Desarrollando)

43f =

425

43f = 256


43f = ndash 7



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x



3612)( 2 xxxf 036122 xx 0)6)(6( xx

61 x 62 x




4

23

4

23

45




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




25 x=

2 3 4x3



179

= x



px1


xp

log1


2



abb

c

ca log

loglog


4343431



P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x


P Q

R U

S T


Para t = 0 t = 12

t = 1 t = 32

t = 2 hellip










CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x







CK

10ordm 20ordm

40ordm

70ordm

110ordm






x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x







x

y

ndash 4

ndash 7





x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x






x

y

ndash 4

3

ndash 2 R








M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x









M

E

D C

B A

E A B 4 4 4

4 C D




3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x





3

106

x (Despejando x)


x = 59

A B

C

D O bull


AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x



AEAB

CEDC

(Reemplazando)

155




AB = 24 cm


A

E

C

B

D 8

5

15

x

A B

C D

80ordm O







2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x








2


= 25ordm





____OP es diagonal


D E

A B

M T P

O S

R

A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x


A B








sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




sen 60ordm = 3

CD (Despejando)



23

CD (Dividiendo)

51CD metros

30ordm

30ordm30ordm

60ordmA B C

D

3

3







511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x








511




P(A) = 125







4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x








4730 ndash

477 =

4740


362 (Simplificando)

181











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x











408 +

408 ndash

404 =


103



514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x




514 bull

503


1077544332214

x

x 3741

x4





1 32 6 192 2 35 5 175 3 28 4 112 4 30 5 150

Total 125 629








Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x









Frecuencia

Nota 1 2 3 4 5 6

2 4 6 8

10

7














puede ser 3z






2






A

B

C x















puede ser 3z






2






A

B

C x




A

B

C x


cepech: [claves] matemáticas n°1 (2012)

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