CAPTULO 2

Cinemtica de la partcula 2.1 Conceptos bsicos

Partcula o punto material. Vector de posi-cin. Trayectoria y desplazamiento

2.2 Velocidad y rapidez

2.3 Aceleracin

Componentes normal y tangencial

2. 4 Caso en que = 0: Movimiento rectil-neo uniforme. MRU

2.5 Movimiento a lo largo de una recta con a 0 (constante). MRUV

Frmula de la velocidad. Frmula del espa-cio. Otras frmulas de inters en el MRUV

2.6 Cada Libre de los Cuerpos

2.7 Movimiento de Proyectiles

Movimiento en el eje X.

Movimiento en el eje Y.

Tiempo de vuelo.

Alcance horizontal.

Alcance mximo.

Ecuacin de la trayectoria

2. 8 Movimiento relativo

2.9 Problemas resueltos

A. Gonzalez Arias, Introduccin a la Mecnica p.15

Captulo 2

Cinemtica de la partcula 2.1 Conceptos bsicos

Partcula o punto material

Adems del movimiento de traslacin, los cuerpos pueden efectuar movimientos de rotacin y de vibracin. Cuando se analiza el movimiento de traslacin exclusivamente, resulta conveniente introducir el concepto de partcula, asumiendo que el cuerpo se com-porta como un punto, con toda su masa concentrada en l (figura 2.1).

Figura 2.1. Buitre considerado como partcula para analizar su traslacin.

Siempre que slo interese analizar el movi-miento de traslacin, se puede asumir, en una primera aproximacin, que el cuerpo en cuestin se comporta como una partcula. De esta forma se centra la atencin en la traslacin, y se deja de tomar en cuenta las posibles rotaciones y vibraciones, que siem-pre pueden ser analizadas posteriormente. La aproximacin ser ms cercana a la reali-dad mientras mayores sean las distancias involucradas en comparacin con las dimen-siones del objeto en cuestin.

Vector de posicin

El movimiento es relativo. Cuando se men-ciona que un cuerpo se mueve, hay que especificar con relacin a qu se est mo-viendo. Usualmente se toma la Tierra como sistema de referencia, pero la Tierra tambin se mueve alrededor del Sol, y ste, junto con todo el sistema solar, alrededor del centro de la galaxia y con relacin a otras galaxias, etc.

La posicin de una partcula respecto a cualquier sistema de referencia se especifica mediante el vector de posicin r = xi + yj + zk

(figura 2.2).

Figura 2.2. Vector de posicin r = xi + yj + zk .

Conociendo (x,y,z) se conoce exactamente la posicin de la partcula. En lo que sigue slo se analizaran problemas en 1 y 2 dimensio-nes (recta y plano), por lo que la representa-cin del vector de posicin ser en el plano xy:

r = xi + yj .

Trayectoria y desplazamiento

Cuando la partcula vara su posicin con el transcurso del tiempo, la curva imaginaria que se obtiene al unir las posiciones sucesi-vas que va ocupando la partcula se denomi-na trayectoria de la misma.

Figura 2.3. Trayectoria de P1 a P2 (lnea que-brada) y desplazamiento (vector r ).

Cap.2, Cinemtica p.16

En este caso el vector de posicin ser fun-cin del tiempo, lo que se designa por

r r (t) . Como r = xi + yj

, tambin se cumplir que x = x(t); y = y(t).

Supongamos que en un instante t1, medido con reloj, la partcula se encuentra en la posicin P1, con vector de posicin 1r

. Y

que en un instante posterior se encuentra en P2, asociado a 2r

. Se define el desplaza-

miento de la partcula (figura 2.3) en el intervalo de tiempo t = t2 t1 como

2 1r r r .

Se ve con facilidad que 2 1r r r

.

2.2 Velocidad y rapidez

Si la partcula ha realizado un desplazamien-to r en el intervalo de tiempo t, es posible definir su velocidad media por la expresin

mrv =t

.

Figura 2.4. Velocidad media e instantnea.

Como t es un escalar siempre positivo, la velocidad media siempre tiene la misma direccin y sentido que el desplazamiento r (figura 2.4).

La velocidad instantnea (o simplemente, la velocidad) se define como el lmite para cuando t 0:

t 0rv = lim t

,

drv = dt

.

Cuando t tiende a cero, el vector desplaza-miento tambin tiende a cero, y cada vez la cuerda se acerca ms a la tangente a la curva (ver figura). Como la velocidad tiene la misma direccin que r , tambin su direc-cin se acercar cada vez ms a la tangente a la curva. En el lmite, cuando t = 0, la direccin de la velocidad coincide con la tangente a la trayectoria. Es decir, la veloci-dad instantnea de la partcula siempre es tangente a la trayectoria.

En coordenadas cartesianas en dos dimen-siones r = xi + yj

. Derivando con respecto al tiempo se obtiene

x yv = v i + v j ,

donde vx y vy son las componentes de la velocidad a lo largo de los ejes coordenados: vx = dx/dt, vy = dy/dt.

Rapidez

Considere un segmento cualquiera de trayec-toria recorrida entre los puntos P1 y P2, y sea la longitud de ese intervalo. Si la longi-

tud se recorre en el intervalo t = t2 t1, la rapidez de la partcula se define por la expre-sin

t 0

rapidez = limt .

Figura 2.5. Rapidez

A. Gonzalez Arias, Introduccin a la Mecnica p.17

De la figura 2.5 se ve que y r no son iguales sino que, a lo ms, r. Sin embargo, a medida que el intervalo t se hace menor y el punto P2 se acerca a P1, el valor de r y el de irn siendo cada vez ms similares. En el lmite para t 0 el punto P1 y el P2 prcticamente coinciden, y es posible sustituir uno por el otro. En ese caso d = dr (figura 2.6), y queda entonces

d dr dr= = = =| v |t dt dt dt

t 0lim .

Por tanto, la rapidez de la partcula no es ms que el mdulo de su velocidad (figura 2.7).

Resumiendo:

| d drv |= =dt dt

.

Figura 2.6. Longitud o espacio recorrido a lo largo de la trayectoria ( ).

Figura 2.7. El velocmetro indica la rapidez y el odmetro el recorrido (151517 total, 6536 parcial). Longitud recorrida a lo largo de la trayec-toria

Si se desea calcular la longitud , despe-

jando en la expresin anterior se obtiene d vdt ; por tanto,

2

1 = d

o o

l t

l td = vdt ,

o

t

t = vdt .

Unidades

En el SI de unidades las longitudes patrones se miden en metros y el tiempo patrn en segundos. De aqu que, en las unidades bsicas:

[v] = [L]/[t] = m/s.

2.3 Aceleracin media e instantnea en el plano

Sean 1v y 2v

las velocidades de una partcu-la en los instantes t1 y t2, respectivamente. Entonces,

2 1v = v - v .

Figura 2.8. Aceleracin media am.

La aceleracin media de la partcula en ese intervalo de tiempo se define por la expre-sin

mva =t

,

y se comprueba fcilmente que el vector am, paralelo al vector v, est dirigido siempre hacia la parte cncava de la trayectoria (figu-ra 2.8). La aceleracin (instantnea) se

Cap.2, Cinemtica p.18

define como el lmite de la aceleracin media cuando el intervalo t tiende a cero:

t 0va = lim t

dva =dt

.

Cuando la velocidad se expresa en funcin de sus componentes,

x yv = v i + v j ,

aplicando la definicin anterior, se obtiene

x ya = a i + a j ,

ax = dvx/dt, ay = dvy/dt .

Componentes normal y tangencial de la aceleracin

Hasta el momento se ha utilizado para esta-blecer la posicin de la partcula un sistema de referencia ligado a tierra. Consideremos ahora otro sistema de referencia: uno ligado a la partcula, de manera que se mueve junto con ella con uno de los lados tangente a la trayectoria (figura 2.9).

Figura 2.9. Componentes en un sistema de referencia mvil.

Los ejes coordenados de este sistema de referencia se toman de forma que uno de ellos es tangente a la trayectoria en cada instante, y el otro es perpendicular a esa tangente. Se introducen, adems, el vector unitario tangente T

(tau) y el vector unitario

normal N

, este ltimo dirigido hacia la parte cncava de la curva. El vector T

se puede

expresar en funcin de la velocidad de la partcula, que tambin es tangente a la tra-yectoria, como

vT = v

Expresando la aceleracin en funcin de T

: dv d dv dTa = = (vT) = T + vdt dt dt dt

.

El primer trmino, dv/dt, es la variacin de la rapidez a lo largo de la curva, y tiene la direccin del vector tangente; es la acelera-cin tangencial:

tdva = dt .

Ms adelante se demuestra que el 2do tr-mino se puede expresar como

dT dT= Ndt dt

donde dT v=dt R

,

por lo que el 2do trmino es igual a 2v N

R

.

Llamando aceleracin tangencial al primer trmino

tdva = dt ,

y aceleracin normal al 2do: 2

nva = R ,

al sustituir en la expresin de la aceleracin se obtiene

t na = a T + a N

.

Demostracin 2dT vv = N

dt R

Como T

es un vector unitario, entonces el producto escalar de l consigo mismo es igual a la unidad:

T T = 1

. La derivada del producto escalar sigue las mismas reglas que las derivadas de las fun-ciones reales; y derivando respecto al tiempo se obtiene

A. Gonzalez Arias, Introduccin a la Mecnica p.19

dT2T = 0dt

.

Figura 2.10. Evaluacin de T/t

De acuerdo a las propiedades analizadas del producto escalar, significa que los vectores T

y dT dt

son perpendiculares, por lo que

el vector dT dt

tiene la direccin del vector

unitario normal N

, y por tanto es posible escribir

dT dT= Ndt dt

.

Para dilucidar el significado de dT dt

|consideremos la definicin de derivada:

t 0dT T T= limdt t t