Capítulo 7

Óptica Geométrica e Instrumentos Ópticos Introducción

La luz constituye uno de los fenómenos físicos más interesantes y fascinantes de cuantos ocurren en la naturaleza. Pensemos en los magníficos colores que se pueden observar en una salida o puesta de Sol, o en una Aurora Boreal. Lo cautivante que puede resultar observar el danzar de las llamas en una fogata nocturna o el titilar de las estrellas si la noche es clara. Advirtamos los diferentes matices de una pintura según cómo esté iluminada. Existen una infinidad de sucesos donde se ponen de manifiesto todas las sutilezas propias de los fenómenos luminosos.

Pero no menos interesante y fascinante puede resultar la historia de los

diferentes modelos y teorías que se han hecho, en la civilización occidental, para tratar de explicar qué es la luz. La historia sobre los intentos de comprender la naturaleza y comportamiento de la luz es larga y con muchas idas y vueltas y, de hecho, puede ser un buen ejemplo de lo complicado que resulta establecer una teoría científica. Por este motivo, antes de entrar de lleno en el estudio de los fenómenos luminosos hagamos un breve recorrido por esta historia, para ver como se ha ido desarrollando la imagen que actualmente tenemos de la luz.

Las primeras ideas provienen de los griegos, quienes parecen haber sentado las

bases de las diversas interpretaciones que hoy día tenemos de la luz. Un primer modelo, un tanto mecanicista y primitivo consistió en suponer que de los ojos salían unas especies de tentáculos, muy sutiles e invisibles, que tocaban al objeto observado, en una suerte de percepción táctil, similar al reconocimiento que se puede hacer con las manos. Grandes filósofos como Sócrates, Platón y Euclides compartían esta idea. Observemos que la actitud del cuerpo observado es absolutamente pasiva. Es el observador el que realiza toda la tarea. En cambio, la escuela de los Pitagóricos sostenía que un chorro de partículas era emitido por el cuerpo observado y cuando estas partículas entraban al ojo provocaban la sensación visual. Ahora, el proceso de visión consistía en una interacción entre el observador y lo observado. Por la misma época, surgió un tercer modelo, también consistente en una interacción, pero que suponía que lo que emitía el cuerpo no eran partículas sino ondas, similares a las que se forman sobre la superficie del agua. Empédocles fue uno de los principales personajes que apoyaban esta perspectiva del proceso de visión.

Luego de la etapa de florecimiento intelectual que representó el auge del

pensamiento griego, siguió un período bastante prolongado, de casi 20 siglos, donde los avances científicos, en particular en el campo de la óptica, fueron escasos. Pero luego del Renacimiento toda la actividad científica cobró nuevos bríos y, alrededor del siglo XVII, se desató una fuerte controversia sobre la naturaleza de la luz. El modelo de los tentáculos que, en ese entonces, era compartido por el filósofo francés René Descartes, no tenía mucha aceptación. El debate se centró principalmente en decidir si la luz consistía en un chorro de partículas o en una onda. Entre los que apoyaban la primera teoría se contaban Newton y sus discípulos, mientras que la teoría ondulatoria era defendida, fundamentalmente, por Christian Huygens y Robert Hooke. Inicialmente ganó la posición de Newton, es decir, de los que sostenían que la luz era un chorro de

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partículas. El argumento principal, a favor de este modelo, se debía a que en todas las circunstancias prácticas la luz parecía propagarse en forma rectilínea, como lo haría un chorro de partículas que se movieran libremente, lo que era muy difícil de explicar en términos de un modelo ondulatorio.

Pero a principios del siglo XIX Thomas Young efectuó ciertos experimentos,

mostrando la existencia de interferencia en la propagación de la luz (como veremos en el capítulo 9), que revitalizaron la teoría ondulatoria. Medio siglo después, James Clerk Maxwell demostró que la luz no era más que una manifestación del campo electromagnético, dentro de cierto rango de longitudes de onda. El trabajo de Maxwell fue formidable, ya que logró realizar una síntesis entre tres fenómenos, conocidos desde hacia tiempo, pero hasta ese momento disociados, como la electricidad, el magnetismo y la luz. Asimismo, las ecuaciones de Maxwell significaron la coronación de la labor que, en ese sentido habían estado desarrollando, algunos años antes, grandes científicos como Ampère, Faraday y otros. Es de destacar que las ecuaciones de Maxwell representan una de las primeras ocasiones donde se consigue una teoría unificada que explique diferentes fenómenos físicos. La teoría electromagnética de Maxwell fue corroborada experimentalmente por Hertz un par de décadas después.

Finalmente parecía que la visión ondulatoria se imponía pero, a comienzos de

este siglo, y lo más notable que para explicar algunos resultados de los experimentos de Hertz que no se comprendían a la luz de la teoría ondulatoria, Albert Einstein propuso un nuevo modelo corpuscular basado en la mecánica cuántica. En efecto, algunas observaciones marginales de Hertz, que éste no investigó, correspondían al llamado efecto fotoeléctrico. Este efecto no puede explicarse adecuadamente utilizando la teoría clásica de la radiación, la de Maxwell, para poder hacerlo Einstein necesitó describir a la luz como un haz de cuántos o fotones (o partículas de luz). Para ello debió suponer que la energía (E) de un fotón está relacionada a la frecuencia (f) de la onda asociada mediante la relación , donde h es una constante fundamental de la naturaleza, la constante de Planck (su valor aceptado actualmente es: ). Hoy día, debido al éxito de la mecánica cuántica, se acepta la naturaleza dual de la luz, es decir, que la misma puede manifestarse, según las circunstancias, tanto como onda, o como flujo de partículas. Tenemos así, en cierto sentido, otra unificación de las leyes de la naturaleza. De las dos concepciones principales que existían hace tres siglos sobre la naturaleza de los procesos luminosos, no ha resultado ningún ganador: según el tipo de experimento u observación puesta en juego, tendremos un resultado que deberá interpretarse apelando a uno u otro modelo.

hfE =s J 10 x 6256,6 34−=h

No obstante la naturaleza dual de la luz, en lo que concierne a la óptica es

mucho lo que se puede hacer utilizando sólo la visión ondulatoria, sin preocuparnos por los efectos cuánticos, para analizar diversas experiencias. Así, la consideraremos como una onda electromagnética que se propaga a velocidad c=300.000 km/s en el vacío.

¿Cómo ocurren los procesos luminosos? Por un lado sabemos que existen

diferentes fuentes de luz tales como: el Sol, el fuego, los filamentos incandescentes, gases a través de los cuales se efectúa una descarga eléctrica (como un tubo fluorescente), etc. Sin embargo, la mayor parte de los objetos que percibimos no brillan con luz propia, se ven debido a que reflejan difusamente la luz proveniente de alguna de las fuentes citadas. Un caso típico es el de la Luna, que no brilla por sí misma, sino por

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reflejo de la luz solar. Sólo la parte que se encuentra de frente al Sol brilla, el resto permanece a oscuras. Es debido a este hecho que tenemos el fenómeno de las distintas fases de la Luna. Según su posición respecto de la Tierra, vemos una mayor o menor porción de su cara iluminada.

Ahora, ¿Qué es lo que hace que un objeto brille con luz propia? Según sabemos

hoy, la posibilidad de que un objeto sea una fuente de luz está relacionada con su temperatura. Cuando un cuerpo está muy caliente, posee mucha energía interna, representada por la agitación de sus átomos y moléculas, debido a esta agitación los átomos chocan entre sí transfiriéndose energía unos a otros. El átomo que recibe la energía, si las condiciones son apropiadas, puede utilizarla para pasar a un estado excitado, que corresponde a un estado energéticamente menos estable, del cual decae, luego de un tiempo, emitiendo radiación electromagnética que, dependiendo de ciertas características de la radiación, podremos percibir en forma de luz.

Los objetos que no brillan con luz propia, lo hacen porque reflejan la luz que

proviene de los que sí lo hacen. El efecto de reflexión no es, en absoluto, un hecho trivial, las características de este proceso serán comentadas más adelante.

Pero no todos los materiales reflejan completamente la luz, algunos como el agua, el vidrio y muchos plásticos (por no mencionar obviamente el aire), permiten el paso de los rayos de luz a través de ellos, decimos que son transparentes. La forma en que se propaga la luz a través de éstos medios no es única. Si bien en general estos materiales transmiten la luz en línea recta algunos, como los vidrios esmerilados, difunden la luz, distorsionando las formas de los objetos que vemos a través de ellos. Todos estos ejemplos forman parte de lo que comúnmente llamamos óptica: la ciencia que se ocupa de las propiedades y naturaleza de la luz, es decir, de la parte del espectro electromagnético visible al ojo humano. Por cuestiones históricas y prácticas se la suele dividir en óptica geométrica: una descripción aproximada que considera la propagación de la luz en forma de rayos (propagación rectilínea), y los instrumentos como lentes, espejos, telescopios, etc., y óptica física: que trata de la naturaleza de la propia luz y sus interacciones con la materia y que, como veremos en capítulos subsiguientes, involucra los fenómenos de polarización, interferencia y difracción. En este capítulo nos concentraremos en el estudio de la óptica geométrica. Ejercicios Recomendados: 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 24, 25, 29, 33,

36, 38, 39, 42, 44 1. Guía Teórica. Ondas Electromagnéticas La luz se propaga en forma de ondas que, como veremos más adelante, tienen una componente eléctrica y una componente magnética, que se hallan interrelacionadas. Se las llama ondas electromagnéticas. Las ondas electromagnéticas comprenden una gran variedad de ondas: ondas de radio, microondas, infrarrojo, luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gama. La diferencia entre éstas está dada por la frecuencia (o longitud de onda), que va del orden de unos pocos Hertz (Hz), para las ondas de radio, hasta superiores a 1019Hz, para la radiación gama. La siguiente tabla da una idea aproximada de los rangos correspondientes a cada tipo de radiación.

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Espectro electromagnético (Los valores son aproximados)

Tipo de Onda Frecuencia, en Hz Longitud de onda, en m

Ondas de radio largas 1 - 106 Mayores que 5 x 102 Radio de AM 5 x 105 - 107 10 – 5 x 102

Televisión y radio de FM 5 x 107 – 5 x 108 1 – 10

Ondas de radio cortas 107 – 1012 5 x 10-4 – 5 x 10

Microondas 1010 – 1012 10-3 – 10-1

Infrarrojos 1012 – 4 x 1014 7 x 10-7 – 5 x 10-4

Visible 4 x 1014 (rojo) – 7 x 1014 (violeta)

4 x 10-7 – 7 x 10-7

Ultravioleta 7 x 1014 – 1017 4 x 10-7 – 10-9

Rayos X 1016 – 5 x 1021 5 x 10-8 – 5 x 10-13

Rayos Gama Mayores que 1019 Menores que 10-11

Se puede observar que no existe un límite bien definido entre uno y otro intervalo de frecuencias, a la naturaleza parece no interesarle hacer una clasificación rigurosa; ésta corresponde más bien a una cuestión histórica referida al origen o utilización de la radiación electromagnética que ha hecho el hombre. Por otra parte, vemos que la luz visible comprende una porción muy pequeña del espectro electromagnético. Como dijimos, la luz se transmite en forma de ondas electromagnéticas que, en un modelo sencillo, podemos pensar se generan por la vibración de los electrones en los átomos. Si estas ondas inciden sobre otro material obligan a las cargas de éste a vibrar y a reemitir, a su vez, ondas electromagnéticas. El fenómeno es análogo a la excitación de vibraciones en un diapasón, debido a las vibraciones de otro diapasón cercano; tratándose en ambos casos de propagación de ondas, no es de extrañar que exista gran similitud con la emisión y recepción de ondas sonoras. Para ondas luminosas, en general, la respuesta a esta excitación depende de la frecuencia de la luz incidente y de la frecuencia natural de vibración de las cargas del material. Un modelo que ayuda a fijar ideas consiste en imaginar a los electrones como masas puntuales unidas por resortes a los núcleos atómicos. Los electrones actúan como pequeños osciladores y las frecuencias naturales estarán asociadas a la mayor o menor rigidez de los resortes. El modelo es muy sencillo, no obstante, sus predicciones concuerdan bastante bien con los resultados que se obtienen utilizando el formalismo riguroso de la mecánica cuántica. En el caso en que la luz incide con una frecuencia muy próxima a la de vibración de los electrones del material, se produce una resonancia. Los electrones retienen la energía de la onda electromagnética, durante un tiempo relativamente largo (alrededor de un millón de vibraciones, unas 100 millonésimas de segundo), durante este tiempo las vibraciones atómicas crecen en amplitud, se absorbe mucha energía, y se producen choques con otros átomos vecinos transfiriéndoles parte de la energía, el material se va calentando y se disipa la energía de la onda. Si la frecuencia de la onda es un poco diferente de la frecuencia natural los átomos vibran menos, chocan menos, y luego de

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cierto tiempo reemiten la onda electromagnética. A diferencia de las ondas sonoras, en las que la vibración se produce en la dirección de propagación (decimos que son ondas longitudinales), las ondas luminosas son transversales, como las que se propagan en una cuerda. Para una onda propagándose en una determinada dirección, siempre existe un plano perpendicular a la dirección de propagación. Como la onda es transversal, la vibración se produce en este plano y en principio existen muchas (en realidad infinitas), direcciones en las cuales puede vibrar una onda transversal. Sin embargo, a partir de la Geometría, se puede demostrar que dadas dos direcciones ortogonales fijas, se puede describir el comportamiento de cualquier perturbación como una combinación de perturbaciones independientes en cada una aquellas. Para fijar ideas, podemos llamar horizontal y vertical a dichas direcciones, según en cual de ellas se produzca la vibración decimos que la onda tiene polarización horizontal o polarización vertical. Adoptando el modelo de electrones unidos por resortes, un electrón que vibra en dirección vertical emite luz con polarización vertical, si vibra en dirección horizontal emite luz con polarización horizontal. En las fuentes de luz ordinarias la gran cantidad de átomos presentes tienen sus electrones vibrando en direcciones completamente arbitrarias, por lo que emitirán ondas tanto vertical como horizontalmente que se combinarán, teniendo en cuenta sus amplitudes y fases relativas, en una onda resultante, de polarización arbitraria.

Los estados de polarización horizontal y vertical, que comúnmente se llaman de polarización lineal, no son los únicos posibles. Otros estados de polarización posibles son, por ejemplo, el circular y el elíptico, en los cuales la vibración no ocurre en una dirección fija del plano antes mencionado, sino que rota sobre éste describiendo un círculo o una elipse, respectivamente. En general, el estado de polarización más común consiste en una superposición de dos estados, independientes, de polarización. Tanto el tema de las ondas electromagnéticas, como el de la polarización, volverán a ser tratados en el próximo capítulo, donde veremos que las fuentes no poseen, en general, un estado de polarización bien definido. 2. Guía Teórica. Velocidad de la Luz

Según la teoría de la Relatividad Especial de Einstein, en el Universo existe una velocidad máxima de propagación de las interacciones (o de transporte de la información), que coincide con la velocidad de la luz en el vacío, . Hasta el presente no se ha encontrado ninguna experiencia que contradiga este postulado, que se considera como uno de los pilares de la física moderna.

segkmc /300000≅

Que exista esta velocidad máxima de propagación ocasiona efectos notablemente

curiosos: como la luz del sol tarda unos 8 minutos en llegar hasta nosotros, si el mismo desapareciera repentinamente ¡nosotros todavía lo veríamos en el cielo durante 8 minutos más!

Que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas sea finita no tiene efectos apreciables en la vida diaria, donde las distancias son tan cortas que el retardo en la llegada de la información no se nota. Pero si es apreciable, por ejemplo, en las comunicaciones con las sondas espaciales que exploran el sistema solar. Asimismo, cuando miramos las estrellas en el firmamento, no las vemos como son ahora sino

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¡como eran hace decenas o cientos de años cuando emitieron la luz que hoy recibimos! Al observarlas, no sólo estamos viendo muy lejos en el espacio, también estamos viendo muy atrás en el pasado del Universo. 3. a) Si la galaxia espiral de la constelación de Andrómeda está aproximadamente a

km de la Tierra. ¿Cuántos años luz nos separan de ella? (Ayuda: recordar que 1 año luz es distancia que se recorre en un año viajando a la velocidad de la luz).

19102×

b) En un cohete enviado a Marte para tomar fotografías, la cámara se dispara mediante ondas de radio, las cuales, como todas las ondas electromagnéticas se mueven con la velocidad de la luz. ¿Cuál es el retraso de tiempo desde que se emite la señal de Tierra, para disparar la cámara, y que se recibe la imagen de la fotografía de Marte? (Considerar que la distancia a Marte es de m.). Suponga que la cámara se acciona instantáneamente.

10107,9 ×

4. Guía Teórica. Teoría del Color

La luz, propagándose en el vacío, corresponde a la porción del espectro electromagnético cuya frecuencia f se encuentra, aproximadamente, entre

. También podríamos caracterizarla desde el punto de vista de su longitud de onda, ya que conocemos su velocidad de propagación c, a través de la relación de dispersión:

HzfHz 1414 105,7103,4 ×<<×

cf =λ . Verificar que el rango de longitudes de onda correspondiente a la luz visible es: 400nm (violeta ) < λ < 700nm (rojo). Desde el punto de vista fisiológico percibimos la luz de diferentes longitudes de onda como de diferentes colores. En particular la luz blanca es la combinación de todas las frecuencias visibles, mientras que el negro indica la ausencia completa de radiación electromagnética. Sin embargo, no percibimos todos los colores por igual, la sensibilidad luminosa varía con la longitud de onda. El máximo de sensibilidad se alcanza para nm550=λ (verde amarillento). La luz del Sol es una combinación de una amplia gama de frecuencias. Sin embargo, la intensidad de cada una no es la misma. El Sol emite con mayor intensidad en el rango del amarillo-verde (ver figura 1). En el rango del rojo o del azul la luz solar no es tan intensa. Dado que los seres humanos nos hemos desarrollado bajo estas condiciones no es de extrañar que nuestros ojos sean más sensibles a la luz verde-amarilla, de allí su utilización en sistemas de alerta como los semáforos, para indicar prevención.

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Figura 1. La intensidad de la radiación electromagnética, en función de la frecuencia, emitida por

los cuerpos incandescentes tiene un máximo alrededor de alguna frecuencia característica. En el caso del sol el valor de esa frecuencia corresponde a la región amarilla del espectro.

El color con el que percibimos la mayoría de los objetos se debe a que absorben parcialmente la luz. Esto ocurre debido a que todos los materiales poseen frecuencias propias, o naturales, de oscilación que dependen, fundamentalmente, del tipo de material. Al incidir una onda electromagnética sobre un material hace vibrar los electrones de éste. Aquellas frecuencias incidentes que son aproximadamente similares a las naturales del objeto excitan los modos correspondientes y son absorbidas por resonancia, las demás frecuencias son reemitidas luego de un tiempo relativamente breve. Si el material es transparente la radiación lo atraviesa. Si el material es opaco, la luz vuelve al medio de donde provenía, se refleja. La energía electromagnética, absorbida por resonancia, se convierte en agitación térmica de los átomos del material y éste se calienta. Los materiales transparentes absorben poco la luz de longitud de onda comprendida en el rango óptico. Por ejemplo, un vidrio transparente absorbe una fracción muy pequeña de la luz visible, pero absorbe muy intensamente la radiación infrarroja y ultravioleta (dando lugar al efecto invernadero). Por otra parte, un vidrio azul absorbe, por resonancia, muy intensamente casi todas las frecuencias salvo las correspondientes a la luz azul, que son absorbidas muy débilmente por lo cual el material las reemite, de allí su color característico. En general, los materiales iluminados con luz blanca no absorben totalmente la luz incidente, sólo lo hacen con algunas frecuencias y las demás las reflejan. Ahora, si reflejan toda la radiación se ven blancos, si absorben toda la radiación se ven negros. El color que percibimos de los objetos corresponde a aquellas porciones del espectro que los mismos reflejan. La luz reflejada no tiene porque corresponder a un único color. Algunos materiales reflejan una amplia gama de frecuencias. Por supuesto, el color ha ser reflejado (característico del material), debe estar presente en la luz incidente, si no el material se ve negro.

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Debido a la forma en que nuestro sistema ojo - cerebro procesa la información, que nos llega en forma de radiación electromagnética, es posible, esencialmente con sólo tres colores, formar casi todo el espectro luminoso. Hay dos formas prácticas de hacer ésto como veremos a continuación. En lo que se llama adición de colores, es posible mezclar tres colores como el rojo, verde y azul y, variando su intensidad relativa, obtener casi todos los demás. Por ejemplo, si superponemos la luz de dos linternas, una cubierta con un celofán rojo y otra con un celofán verde, en la zona de superposición de los dos haces percibiremos luz amarilla. De hecho, ésta es la forma en que se hace la iluminación en un teatro. Si hiciéramos más intensa la luz de la linterna roja obtendríamos un amarillo más rojizo, si hiciéramos más intenso el verde sería un amarillo verdoso. En el caso general, si la intensidad relativa es la misma para cada color y sumamos los tres colores obtenemos luz blanca. En la siguiente tabla se pueden ver los colores que se obtienen superponiendo dos de los tres colores con la misma intensidad relativa:

Rojo + verde Amarillo Rojo +azul Magenta (azul rojizo) Verde + azul Cian (verde azulado)

El procedimiento de adición de colores es el que se utiliza para colorear las

imágenes en el tubo de un televisor. Variando las intensidades relativas de cada color se obtiene toda la gama de colores. Si superponemos rojo, verde y azul exactamente con la misma intensidad vemos blanca la pantalla, si no iluminamos con ninguno de los tres vemos negro. Por otra parte, sabemos desde muy niños que cuando trabajamos con témperas o pinturas los tres colores primarios son el rojo, el amarillo y el azul. Por ejemplo, combinando azul y amarillo se forma el verde; pero también sabemos que mezclando estos tres colores no obtenemos blanco, sino un menjunje color marrón. Vemos que, cuando lo que se mezcla no son haces de luz, sino pintura de diversos colores el resultado es bastante diferente. El mecanismo de formación de colores en el caso de las pinturas es muy diferente del que actúa en la superposición de haces de luz. Las pinturas y tintes tienen diminutas partículas sólidas de pigmento, que son las que definen el color. Estas partículas absorben ciertas frecuencias y reflejan otras. En general, los pigmentos absorben y reflejan en una gama relativamente amplia de frecuencias. Por ejemplo, la pintura de color azul no sólo refleja este color, sino también algo de verde y violeta; mientras que absorbe el rojo, naranja y amarillo. En cambio, la pintura amarilla refleja amarillo y algo de rojo, naranja y verde; absorbiendo el azul y violeta. Por lo tanto, si combinamos pintura amarilla y azul la mezcla resultante contiene partículas que absorben casi todos los colores menos el verde y éste es el color de la pintura que resulta. A este proceso de formación de colores se lo denomina mezcla de colores por sustracción. 5. Guía Teórica. Dispersión de la luz

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Las moléculas de la mayoría de los gases que se encuentran en la atmósfera tienen frecuencias de resonancia que corresponden a la zona violeta - azul del espectro electromagnético. Al ser alcanzadas dichas moléculas por la luz solar, aquellas frecuencias que corresponden a resonancias son absorbidas, excitando los átomos, pero el resto de la luz pasa debido a que la atmósfera es un cuerpo muy tenue. La energía absorbida por las moléculas es posteriormente reemitida, pero no ya en la dirección original. En efecto, los electrones de los átomos vibran al azar y emiten luz en todas direcciones con la misma probabilidad. En este caso se dice que la radiación ha sido dispersada. Es el fenómeno de la dispersión el causante de las diferentes tonalidades del cielo al mediodía, y al amanecer y el crepúsculo. Al mediodía, con los rayos solares cayendo directamente sobre nuestras cabezas, el cielo se ve azul porque se ha dispersado principalmente la luz correspondiente a esta longitud de onda, la cual parece llegarnos de casi todas direcciones (ver figura 2). En cambio, al amanecer y al ocaso la luz solar atraviesa una porción mayor de la atmósfera, la probabilidad que se dispersen más frecuencias es mayor y las componentes que recibimos son aquellas que se han dispersado menos, principalmente la roja. De aquí que el cielo, si miramos directamente al horizonte, adquiera un tono rojizo.

Rojo

Azul Dispersión

Luz azul

Luz blanca

Figura 2. En la atmósfera se dispersan las frecuencias más altas del espectro. Al mediodía la luz azul parece provenir de todas direcciones. Al amanecer y al ocaso, al ver directamente al Sol no percibimos las frecuencias dispersas y por ello lo vemos rojizo.

6. ¿Podría explicar, con sus propias palabras, las siguientes cuestiones?

a) ¿Porqué es más conveniente utilizar prendas claras en verano? b) ¿Explique, claramente, porqué el cielo se ve azul durante el día? c) ¿Cuál es la razón de que veamos el cielo rojizo al alba y al atardecer?

7. Guía Teórica. Frentes de onda. Principio de Huygens. Si consideramos a la luz como un fenómeno ondulatorio, diremos que el frente de onda es el lugar geométrico, de los puntos del espacio, donde la onda tiene la misma fase. Por ejemplo, supongamos tener una fuente de ondas puntual, como veremos en el próximo capítulo las ondas emitidas por esta fuente se propagan en todas direcciones isótropamente, y todos los puntos de cualquier esfera centrada en la fuente tienen la

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misma fase. En este caso todos los frentes de ondas son esferas concéntricas. (ver figura 3) r, dirección de

propagación fuente de luz

Figura 3. Dada una fuente puntual, los frentes de onda corresponden a esferas concéntricas con la

fuente. La dirección de propagación, el rayo, corresponde a la dirección radial.

Es la gran simetría del problema la que permite predecir como será el frente de onda un instante después. Pero si se interpone un obstáculo al paso de la onda, o ésta atraviesa distintos medios, es muy difícil determinar el nuevo frente de onda en instantes posteriores. No obstante, la propagación de una onda cualquiera, no necesariamente esférica, a través del espacio puede describirse mediante un método geométrico que se apoya en el principio de Huyguens:

Dado un frente de onda en determinado instante, al que llamaremos primario, cada punto del mismo sirve como fuente de ondas elementales secundarias, que avanzan con velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria. Al cabo de cierto tiempo, el nuevo frente de onda es la envolvente de todas estas ondas elementales secundarias.

Figura 4. Cada punto del frente de onda plana, primario, sirve de fuente de ondas secundarias. La envolvente de estas ondas secundarias un instante después constituye el nuevo frente de onda.

Utilizando este principio es posible determinar como se propagan las ondas en cualquier circunstancia, en particular permite deducir las leyes de reflexión y refracción de la luz. Debemos tener en cuenta que, en realidad, el método geométrico de Huygens es aproximado. Una fuente puntual emite ondas en todas direcciones, por lo cual deberíamos tener ondas no sólo hacia delante, sino también hacia atrás. El método de Huygens directamente ignora estas ondas de retroceso, y sólo considera las ondas que

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avanzan. El resultado es correcto, en el sentido de que permite determinar como se propaga el frente de onda, pero no explica porqué no se observan las ondas hacia atrás. Por otra parte, el principio no tiene en cuenta ciertas características propias de todo fenómeno ondulatorio. Por ejemplo, cuando un frente de ondas sonoras es obstruido por un poste, casi no sufre deformación, las ondas rodean el obstáculo (decimos que se difractan), y se propagan más allá de él casi inalteradas. En cambio un frente de ondas luminosas será muy afectado, detrás del poste el frente de ondas será muy distinto del original, formando una sombra bastante nítida del obstáculo. La diferencia entre ambos casos está dada por la diferente longitud de onda. Las ondas sonoras, de mayor longitud de onda doblan al atravesar el poste, las luminosas no. Este hecho no puede ser explicado utilizando el principio de Huygens. Fresnel propuso una modificación al principio de Huygens ⎯ lo que se conoce como Principio de Huygens – Fresnel ⎯ sugiriendo que el nuevo frente de ondas debía considerarse como una superposición de ondas secundarias donde debía tenerse en cuenta su amplitud y fase relativa. Así, habrá zonas donde las ondas secundarias se suman constructivamente dando una contribución grande al nuevo frente de ondas, y zonas donde se cancelan mutuamente. Como veremos en capítulos posteriores esto permite explicar el fenómeno de la difracción. Posteriormente, utilizando un análisis matemático bastante sofisticado, basado en la ecuación diferencial de ondas, Kirchhoff desarrolló una teoría más rigurosa, que hizo más plausible la construcción de Huygens – Fresnel. Demostrando también que la contribución de las ondas hacia atrás se anula. No obstante, la reconstrucción de un frente de ondas es una tarea muy compleja, que depende de la forma del obstáculo particular y que no siempre puede ser resuelta exactamente. 8. Guía Teórica. Óptica geométrica. Propagación rectilínea

Ahora, si bien la luz es una onda electromagnética, en lo que sigue nos concentraremos en el estudio de la óptica geométrica, en la cual el concepto básico es el de rayo. Considerando a la luz como un fenómeno ondulatorio, diremos que el frente de onda es el lugar geométrico de los puntos que tienen todos la misma fase. Sabemos que, en general, las ondas no tienen porque seguir un camino rectilíneo. Por ejemplo, en el comportamiento de las ondas que se propagan sobre la superficie del agua, las ondas no siguen una trayectoria recta sino que rodean los obstáculos que se atraviesan a su paso. Este fenómeno se denomina difracción y es el que nos permite, por ejemplo, escuchar el llamado de alguien que se encuentra en otra habitación.

No obstante, si consideramos la dirección normal a la superficie del frente de

onda, llamaremos rayo luminoso a la trayectoria rectilínea que sigue el frente de una onda que se mueve en un medio homogéneo. En la figura 5 vemos varios rayos, correspondientes a la propagación de una onda no plana.

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Figura 5. Las líneas a trazos corresponden a máximos de intensidad del frente de onda. La normal a estos frentes de onda define la dirección del rayo.

Las bases sobre las cuales es posible describir la mayoría de los fenómenos

asociados a la óptica geométrica son: la reflexión y refracción de la luz al incidir un rayo sobre una dada interfase (es decir, la superficie de separación entre dos medios ópticamente diferentes), y la reversibilidad del camino óptico (si la luz sigue cierto camino para ir de un punto a otro, recorrerá el mismo camino, en sentido inverso, para regresar del segundo punto al primero). Veremos que mediante estas leyes muy sencillas es posible la construcción de instrumentos muy sofisticados y de gran precisión. 9. Guía Teórica. Reflexión de la luz El eco de las pisadas en un pasillo largo y vacío. Una onda transversal que se propaga por una cuerda y al llegar a una pared rebota. La luz que regresa luego de incidir sobre un espejo. Todos estos hechos son manifestaciones del fenómeno conocido como reflexión. Por supuesto, en otras situaciones, tales como una onda que se propaga por una cuerda liviana, unida a otra más pesada, o al incidir luz sobre el agua o un vidrio, no toda la onda se refleja, una parte también se transmite dando lugar al fenómeno de refracción.

Cuando consideramos propagación de ondas en general, la reflexión ocurre cuando aparece una discontinuidad, o salto, en las propiedades del medio a través del cuál se propaga la onda. En el caso particular de las ondas luminosas, la reflexión ocurre en el límite de separación entre dos medios ópticamente diferentes, comúnmente llamada dióptra, como, por ejemplo, una interfase aire-vidrio o una interfase aire-agua. Se puede probar que la reflexión ocurre como consecuencia del cambio en la longitud de onda al pasar de un medio a otro. En ese caso una parte de la onda se transmite y otra se refleja. Veremos que ocurre con la onda transmitida más adelante. En tanto la ley de reflexión, que era conocida desde la antigüedad, puede enunciarse como (ver figura 6):

1) los rayos incidente y reflejado y la normal a la superficie reflectora están comprendidos en un mismo plano (plano de incidencia),

2) los rayos incidente y reflejado están en lados opuestos de la normal, 3) el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

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Normal

Figura 6. Cuando la luz incide sobre una interfase, se refleja parcialmente. El ángulo que forma el rayo reflejado con la normal a la superficie es igual al que forma el rayo incidente.

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Tomaremos este enunciado como una ley empírica, aunque utilizando la teoría

electromagnética es posible deducirla, a partir de las condiciones de contorno que se deben cumplir en la interfase entre la onda incidente, la reflejada y la transmitida. Asimismo, también es posible deducirla a partir del principio de Huygens.

Observemos que si cambiamos el sentido de los rayos luminosos el problema es similar al original, aunque ahora la luz incide desde la derecha hacia la izquierda. Ambas situaciones son equivalentes, dado que la ley de reflexión es válida en los dos casos. La luz sigue el mismo camino cuando viaja en un sentido o en el otro. Este resultado, de la inversión del sentido de marcha, de los rayos luminosos expresa el principio de reversibilidad del camino seguido por la luz. 10. Reflexión en espejos planos. Formación de imágenes.

Veamos cómo se forma la imagen de un objeto puntual colocado frente a un espejo plano (figura 7):

Interfase

θi θr

S’

normalS

Figura 7. Dada una fuente puntual S, los rayos que proceden de la misma se reflejan en la interfase cumpliendo con la ley de reflexión: el ángulo incidente es igual al reflejado. La intersección de la prolongación de estos rayos forma una imagen virtual de la cual parecen provenir los mismos.

La fuente puntual S, emite rayos en todas direcciones. Consideremos la

trayectoria de uno de ellos que incide sobre el espejo, con un cierto ángulo de incidencia, y que se refleja con el mismo ángulo, respecto de la normal. Tomemos un

segundo rayo, que no incida sobre el espejo en el mismo punto que el primero, éste también se refleja formando un ángulo igual al de incidencia. Si prolongamos, imaginariamente, estos dos rayos hacia el interior del espejo, vemos que ambos se cruzan en un punto S’, que se encuentra alineado, en la dirección de la normal, con la fuente S y a una distancia de la superficie del espejo igual a la de la fuente real. Este hecho es totalmente general, ¡pruebe de trazar otros rayos y verá que todos se cruzan en el mismo punto S’!. Así, un observador que esté mirando el espejo ve la imagen de la fuente S, luego de reflejarse en el espejo, como si estuviera ubicada en el punto S’, en el interior del espejo. Una imagen con esta propiedad, es decir, que está formada por la prolongación de los rayos, tal que la luz parece provenir de ella, la llamamos imagen virtual. En contraposición una imagen real es aquella que se forma en el espacio físicamente accesible y que, además de verse a ojo desnudo, puede ser recogida en una pantalla, como ocurre, por ejemplo, en la proyección de diapositivas.

Teniendo en cuenta los enunciados 1-3) del parágrafo anterior, podemos realizar

el diagrama de rayos para la reflexión por un espejo plano de un objeto arbitrario. Consideremos, por ejemplo, el objeto mostrado en la figura 8. Podemos considerar al objeto como formado por una sucesión continua de fuentes puntuales. Sabemos que una fuente puntual posee una imagen virtual que parece situada equidistante en el interior del espejo, si hacemos esto para todos los puntos del objeto obtenemos la imagen virtual del mismo, como muestra la figura 8.

Observemos que el extremo más alejado parece estar más en lo profundo del

espejo, y que la punta de la imagen de la flecha se encuentra frente a la punta de la flecha, mientras que la imagen de la cola de la flecha se encuentra frente a la cola de la flecha. En esto consiste la imagen especular, la imagen está invertida respecto del objeto original. En efecto, si estamos parados frente a un espejo nuestra mano derecha parece la izquierda y viceversa.

objeto real

imagen virtual

Espejo

Figura 8. Un objeto extenso podemos considerarlo como formado por infinitas fuente puntuales.

Cada una de estas fuentes forma su propia imagen y la unión de todas ellas da la imagen virtual del objeto real. Ésta parece encontrarse en el interior del espejo.

Vemos entonces que la imagen de un objeto real, debida a un espejo plano, parece formarse en el interior del espejo, en una posición equidistante de la superficie del mismo. Como ilustración veamos el trazado de rayos para un objeto relativamente complicado, como se muestra en la figura 9.

174

espejo

Figura 9. La luz incide en el espejo, el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal al espejo es

igual al que forma el rayo incidente. De esta manera, la luz parece provenir del objeto virtual situado detrás del espejo.

Decimos que el objeto es real si se encuentra del lado del espejo desde donde

incide la luz. En ese caso, la luz que éste emite incide directamente sobre la superficie del espejo. Por otro lado, si observamos cuidadosamente vemos que la imagen del objeto, reflejada en el espejo, parece estar situada en un punto colocado exactamente a la misma distancia que el objeto, pero en el interior del espejo. En efecto, desde el punto de vista físico los rayos que llegan a nuestro ojo parecen proceder desde un objeto virtual, situado detrás del espejo y simétrico respecto del objeto real. Desde el punto de vista de nuestra percepción de la imagen, la vemos situada en el lugar geométrico de la prolongación de los rayos reales. En forma general, un objeto (lo mismo vale para una imagen) se considera real, si los rayos de luz provienen directamente de él; por el contrario, un objeto (o imagen) se considera virtual si la luz no proviene directamente de él, pero se comporta como si lo hiciese; es decir, parece provenir de la prolongación de los rayos reales. Tengamos en consideración que no todas las superficies reflectantes son perfectamente lisas, en la mayoría de los casos existen pequeñas irregularidades en las mismas que dan lugar a lo que se llama reflexión difusa. Podemos pensar que una superficie rugosa está compuesta por numerosos sectores, que son lo suficientemente pequeños, como para considerarlos planos, pero que no son paralelos entre sí. En cada uno de estos sectores vale la ley de reflexión. Luego, podemos pensar que una superficie rugosa posee diminutos espejos con sus normales orientadas en direcciones arbitrarias, de tal manera que la reflexión tendrá lugar en todas direcciones. Así, los diversos rayos que forman el haz incidente cumplen con la ley de reflexión pero, según donde inciden, se reflejan en distintas direcciones y no forman una imagen única. El efecto de reflexión difusa no es, en absoluto, un hecho trivial: la mayoría de los objetos los podemos ver porque reflejan difusamente la luz, por ejemplo, la luz se refleja en esta página difusamente y por ello es posible leer el texto desde cualquier posición. Por otra parte, piense que ocurriría si la luz de los faros de su automóvil no se reflejara difusamente sobre la ruta. ¿Podría ver el camino? ¿Qué es lo que vería?

175

11. Guía Teórica. Refracción. Índice de Refracción.

Vimos que un haz de luz que incide sobre un espejo se refleja. Pero, generalmente, las superficies de separación entre dos medios, transparentes, no son perfectamente reflectantes, parte de la luz que proviene del primer medio atraviesa la superficie y se propaga por el segundo. Si la luz que incide sobre la interfase no lo hace en forma normal a la misma, el rayo transmitido al segundo medio se propaga en una dirección diferente a la del rayo original, a este fenómeno se lo denomina refracción.

La refracción se debe al hecho de que la velocidad de la luz (o como veremos después, la longitud de onda), es diferente en los diferentes medios. Este hecho no es privativo de los fenómenos luminosos, sino que está asociado a todo fenómeno de propagación ondulatoria.

Para fijar ideas, pensemos en la siguiente experiencia propuesta por Hewitt: dos ruedas unidas por un eje que se mueven sobre la acera en dirección oblicua a una zona con césped, como muestra la figura 10:

Césped

Pavimento

Figura 10. La velocidad de las ruedas es menor en el césped que en el pavimento. Cuando la primera rueda llega al césped se mueve más lentamente y el conjunto gira, hasta que la segunda rueda también llega al césped, entonces ambas continúan moviéndose rectilíneamente, pero a una velocidad menor.

Sobre la acera o el césped las dos ruedas se mueven a la misma velocidad pero, supongamos que, al pasar del pavimento al césped la velocidad de avance de las ruedas es menor. Así, la rueda que llega primero al césped se mueve más lentamente hasta que la segunda también alcanza esta zona, y vuelven a moverse con la misma rapidez (aunque menor que en la acera). El resultado es que, mientras una rueda está en la acera y la otra en el césped, el conjunto gira aproximándose a la normal a la superficie de separación. Aunque el fenómeno anterior es de una naturaleza diferente, lo mismo ocurre cuando la luz (en general cualquier onda), incide sobre una interfase. Si en el medio inicial la onda se propaga con velocidad mayor el rayo se quiebra al cruzar la interfase como muestra la figura 11. Esto se debe a que los distintos puntos del frente de onda avanzan a velocidades diferentes en ambos medios. El resultado es que el frente de onda dobla al cruzar la interfase, aproximándose a la normal. Contrariamente, si la velocidad es menor en el primer medio el rayo se separa de la normal.

176

θ2

θ1

n2>n1

n1

Figura 11. Cuando la luz incide sobre una interfase, se transmite (refracta) parcialmente Experimentalmente se encuentra que la velocidad de la luz en un medio como el

vidrio, el agua, o el aire, es menor que en el vacío. Se dice que estos medios son ópticamente más densos, es decir, oponen más resistencia al paso de la luz. Es necesario destacar que, en principio, la densidad óptica no tiene por que estar relacionada con la densidad de masa del medio. En general, todos los medios materiales son ópticamente más densos que el vacío.

Una manera de caracterizar ópticamente un medio es definiendo el índice de refracción n, como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y la velocidad en ese medio (v):

vcn = . (1)

Notar que siempre el índice de refracción, de cualquier medio material, es mayor

que uno ( ), que es el valor que, por convención, corresponde al vacío. 1≥n

Es posible demostrar, teniendo en cuenta que la energía de la radiación electromagnética se conserva, que la frecuencia de la onda (es decir, el número de crestas por unidad de tiempo), no cambia al pasar de un medio a otro, pero si lo hace la velocidad de propagación y por consiguiente la longitud de onda.

Cuando la luz incide sobre una interfase, el rayo que penetra en el segundo medio se denomina rayo refractado y el ángulo que forma con la normal θ se llama ángulo de refracción (ver figura 12). La relación matemática entre el ángulo de incidencia (

2

1θ ) y el de refracción fue buscada durante siglos y encontrada, finalmente, por Willebrod Snell en 1621:

2211 sen sen θθ nn = . (2)

177

n2>n1

n1

θ2

θ1θ1

Figura 12. Un haz de luz que incide sobre una interfase se descompone en una parte reflejada y otra refractada. La componente reflejada verifica la ley de reflexión, la refractada la ley de Snell:

2211 θθ sennsenn = . Esta relación es válida para cualquier superficie de separación entre dos medios,

y puede deducirse a partir del principio de Huygens. Un ejemplo típico de refracción, es la observación de una cucharita que se quiebra cuando se la sumerge parcialmente en un vaso con agua. También podemos apreciar este fenómeno al observar un pez dentro de una pecera, el mismo se ve mayor y más cercano de lo que realmente se encuentra.

La refracción se da aún cuando no exista una superficie de separación definida nítidamente. Por ejemplo, el aire menos denso tiene menor índice de refracción, lo cual no ocurre para todos los medios ya que, en general, no hay ninguna relación entre densidad e índice de refracción. Como el aire caliente es menos denso que el frío, la luz se transmite más rápidamente en el aire caliente y por ende se refracta al pasar de capas más cálidas a otras más frías. Si el aire está más caliente cerca del piso los rayos de luz se curvan hacia arriba (¡Pensar porqué!), el resultado es que la luz parece provenir de debajo del suelo, como si se reflejaran en un espejo en el piso (ver figura).

Figura 13. Debido a la variación continua del índice de refracción, producida por la diferente densidad del aire en capas paralelas al suelo, los rayos de luz se van curvando suavemente, dando la sensación de que el objeto se encuentra bajo el piso. Este efecto es el origen de los espejismos, y puede observarse cuando

transitamos por una ruta en un día de verano. Si miramos a lo lejos, la ruta tiene la apariencia de estar mojada, esto no es más que la imagen del cielo debida a la refracción de la luz en las capas de aire de distinta densidad cercanas al asfalto. Efectivamente, cerca del pavimento el aire está más caliente y se va enfriando a medida que se separa de él. El resultado es como tener una serie continua de interfases, de espesor casi despreciable, paralelas a la ruta. Así, los rayos de luz se van refractando muy suavemente al pasar a través de las diversas capas. Existe una capa en la cual se produce una reflexión (más adelante veremos el efecto de reflexión total), lo cual posibilita que se produzca el espejismo (ver figura 14).

178

menos denso

más denso

Figura 14. Refracción en sucesivas capas atmosféricas. El aire es ópticamente más denso en la capa superior. El índice de refracción disminuye a medida que se desciende de capa en capa. En forma similar, cuando miramos un objeto que se encuentra detrás de una

fogata, el calor de las llamas altera las propiedades del aire en forma irregular, según van ascendiendo las volutas de aire cálido. La luz se refracta al pasar por esa zona, provocando una reverberancia en la imagen que observamos del objeto distante. Lo mismo ocurre con las corrientes de aire atmosférico lo que da lugar al conocido titilar de las estrellas. La luz que nos llega del Sol, al alba o al atardecer, también se ve refractada debido a que la densidad atmosférica no es uniforme. Las capas superiores de la atmósfera son más tenues y la luz solar, a medida que la atraviesa, se va curvando hacia la superficie de la tierra (¡Pensar porqué!). De esta forma vemos aparecer al sol unos minutos antes de que haya salido por la mañana, como muestra la figura 15, y todavía lo vemos unos minutos más luego que se ha puesto al atardecer. Asimismo, los rayos que provienen del borde inferior se curvan más que los que vienen del borde superior, y el disco solar parece achatado. El mismo efecto ocurre con la Luna cuando se halla sobre el horizonte.

Figura 15. Por efecto de la refracción atmosférica sólo vemos al Sol donde verdaderamente se encuentra cuando está exactamente sobre nuestras cabezas (en el zenit).

Si bien es común hablar de el índice de refracción, éste es en realidad función de

la longitud de onda. Este hecho se manifiesta en la dispersión de un haz de luz blanca al atravesar un prisma (ver figura 16). (Aquí por dispersión queremos decir descomposición en colores, no confundir con la dispersión de la luz por partículas pequeñas de que se habló antes)

El primero en describir este fenómeno fue Newton mientras hacía sus estudios sobre la luz. Un prisma consiste en una pieza de vidrio con un par de caras planas, que forman un ángulo agudo entre sí. En la mayoría de los casos se suele utilizar una pieza de sección triangular.

Luz blanca

rojo

violeta

179

Figura 16. Un haz de luz blanca que incide sobre el prisma se refracta. Debido a que el índice de refracción depende de la longitud de onda, las componentes de menor longitud de onda se desvían más. El efecto se intensifica por la refracción en la segunda cara del prisma.

Newton hizo pasar la luz solar a través de un pequeño orificio, practicado en una

ventana, e hizo incidir el rayo que obtuvo sobre un prisma. Colocó una pantalla, al otro lado del mismo, y observó una mancha con todos los colores del arco iris, a la que llamó espectro de la luz. Dedujo que la luz solar (luz blanca), estaba compuesta por la superposición de todos los colores, y atribuyó esta descomposición espectral a que el índice de refracción no era el mismo para cada color y por lo tanto las distintas componentes se desviaban diferente al atravesar una interfase. El rojo se desviaba menos que el violeta, por lo que su índice de refracción debía ser menor, dado que cuanto más cercano a uno fuera n menor sería el efecto de la refracción. Prosiguió sus experimentos colocando un segundo prisma, con la misma orientación, a continuación del primero y observó que esto no producía una descomposición del espectro luminoso en partes más elementales. Por otro lado, si invertía el segundo prisma (es decir, lo colocaba con el vértice hacia abajo), el espectro de colores se recombinaba para dar nuevamente luz blanca, otra muestra del principio de reversibilidad del camino óptico y de que la luz blanca está formada por una combinación de todos los colores.

Por simplicidad supondremos que el índice de refracción del aire es uno ( 1), es decir, el que corresponde al vacío - el índice real varía desde

para la luz violeta hasta =airen0002957,1=Vn 0002914,1=Rn para la luz roja, a y 1 atm

de presión. Cuando se habla del índice de refracción de un material, en general se está refiriendo al que corresponde a la luz amarilla de sodio (λ=589 nm) (recordemos que la unidad de longitud denominada nanometro corresponde a: 1 nm = 10

C00

-9 m). 12. Calcule la velocidad de la luz en el agua (n=1,33) y en el vidrio (n=1,5). 13. Dados dos medios ópticamente diferentes, muestre que la relación entre la longitud de onda en el primer medio ( 1λ ), con índice de refracción n1 y el segundo medio ( 2λ ), con índice de refracción n2 es:

2

1

1

2

nnλλ

= . (3)

Ayuda: utilice la relación de dispersión: fv λ= . 14. a) Si la luz producida por una lámpara de sodio tiene una longitud de onda de 589 nm

en el vacío, encontrar la longitud de onda de la luz de sodio en vidrio ( n ). Resp.: 393 nm.

= 15,

b) Encontrar la longitud de onda de la luz de sodio pero en agua ( n = 1 33, ). Resp.: 443 nm.

c) ¿Un nadador bajo el agua observará el mismo color o un color diferente para esta luz?

180

15. Un rayo de sol incide sobre la superficie del agua de una pileta ( ), formando un ángulo de 30

331,nagua =º respecto de la normal a dicha superficie. ¿En qué dirección

se propaga el rayo bajo el agua? ¿Y si el ángulo de incidencia es de 45º ? 16. Un haz de luz láser incide sobre la superficie de un vidrio ( ), con un ángulo de 15

51,nvidrio =º respecto de la normal. ¿Cuánto se desvía el haz dentro del vidrio?

17. Consideremos un foco luminoso puntual S a una profundidad d bajo el agua, que emite un rayo de luz formando un ángulo ϕ con la normal a la superficie del agua (ver figura 17. Halle, tanto gráfica como analíticamente, la profundidad aparente de la imagen virtual vista por un observador que se encuentra en el trayecto del rayo.

aire

agua

S

d’

ϕ dS’

Figura 17. Un haz de luz que incide desde el agua hacia el aire se desvía alejándose de la normal. Un objeto situado en la profundidad del agua parece encontrarse más cerca de la superficie de lo que realmente está.

Resp: ϕ22 tg)1(1 −−=′ nndd .

18. Un hombre de 1.75 mts de altura se encuentra parado a 3 mts de un pozo, de 2.5 mts de profundidad y 3 mts de ancho (ver figura 18). Llueve y el pozo comienza a llenarse de agua. Calcule la altura mínima de agua para que el hombre pueda ver el fondo del pozo.

2.5 mts

3 mts

3 mts

1.75 mts

Figura 18. ¿Con cuánta agua se deberá llenar el pozo para que el hombre vea el fondo?

181

19. Guía Teórica. Reflexión total interna

Hemos visto que si el segundo medio es más denso ( ), el rayo refractado

se aproxima a la normal a la superficie. Por el contrario, si el segundo medio es menos denso el rayo refractado se aleja de la normal (ver figura 19). Si aumentamos lentamente el ángulo de incidencia veremos que existe un ángulo de incidencia crítico

para el cual el ángulo de refracción es 90

n n2 > 1

θco y no existe rayo refractado, este fenómeno

se denomina reflexión total interna.

θ2

θ1

n2<n1

n1

Figura 19. Si el segundo medio es ópticamente menos denso que el primero el rayo refractado se separa de la normal, aproximándose a la interfase. Existe un ángulo crítico de incidencia para el cual el rayo refractado se pega a la interfase.

Destaquemos que un espejo normal refleja entre un 90 y un 95% de la luz incidente. Mientras que en la reflexión total interna la reflexión es, en teoría, efectivamente total, reflejándose el 100% de la luz incidente. Esta propiedad es la que se utiliza en las fibras ópticas. Las fibras ópticas son unos cilindritos de un material especial (SiO2 dopado con Germanio), muy delgado, con un índice de refracción tal que la luz que penetra por un extremo se refleja internamente infinidad de veces hasta salir por el otro, sin pérdida de intensidad, y con un gran ancho de banda. De esta forma es posible transmitir una gran cantidad de información (en forma de onda electromagnética), sin grandes pérdidas, aunque la distancia a cubrir sea grande, a diferencia de lo que ocurre con los materiales conductores comunes. 20. Muestre que el ángulo crítico vale:

1

2sen nn

c =θ . (4)

Ayuda: piense cuánto vale el ángulo de refracción en este caso y utilice la ley de Snell. 21. a) Calcule el ángulo de refracción para un rayo en el aire, incidente a 30o en un bloque de vidrio (n = 1,52). b) Si ahora la luz sale desde el vidrio hacia el aire, ¿cuál debe ser el ángulo de incidencia mínimo para que no haya rayo transmitido? c) Dibujar los rayos de a) y b) sobre un diagrama. d) ¿Cuál es el ángulo crítico para la reflexión total interna de la luz cuando se desplaza desde el agua (n=1,33), hacia el aire?

182

22. Repaso. Considere una lámina de vidrio de caras paralelas de espesor t, sobre la que incide un haz de luz monocromático con un ángulo de incidencia θ1 , como indica la figura 20.

t

d

1θ

2θ

Figura 20. Sobre una lámina de vidrio de caras paralelas, y espesor t, incide un haz de luz en forma oblicua. En ambas caras la luz parcialmente se refleja y parcialmente se refracta.

a) Muestre que el rayo emergente, a través de la lámina, es paralelo al incidente, pero con un corrimiento lateral, independiente del índice de refracción del vidrio, dado por:

d t=−sen

cos (θ θ

θ1 2

2

) . (5)

b) Parte del haz se refleja en la segunda cara y al incidir sobre la primera es parcialmente transmitido de vuelta al medio original, muestre que en este caso el ángulo de refracción es igual al de incidencia del rayo original. 23. Guía Teórica. Principio de Fermat

Como mencionamos anteriormente, las leyes de la óptica geométrica pueden deducirse a partir de un enunciado teórico, como es el principio de Huygens. Pero debemos advertir al lector que es posible reformular estas leyes en términos de un principio diferente al principio de Huyguens: el Principio de Fermat. Este principio tiene en consideración el hecho, ya mencionado, que la luz se propaga a velocidades diferentes en medios ópticamente diferentes (es decir, con distinto índice de refracción). Para fijar ideas veamos el siguiente problema: una bonita señorita sufre un calambre mientras se encuentra nadando, próxima a la orilla de un lago en calma, y pide socorro (punto S de la figura). Ud. que es un excelente nadador se encuentra en la playa cerca de la orilla (situado en el punto U de la figura), oye la llamada y, obviamente, decide ayudar a la joven. Supongamos que Ud. puede correr a, digamos, 6 m/s y nadar a 2 m/s. ¿Cuál de las trayectorias que se muestran en la figura elegiría? ¡Sin ninguna duda aquella que le insuma menos tiempo en alcanzar a la muchacha! Pero en este caso, es fácil probar que la trayectoria que minimiza el tiempo no corresponde a la línea recta que une los dos puntos en cuestión.

183

s lago

playa

U

S

x

l Figura 21. Si la velocidad de desplazamiento es diferente a ambos lados de la horizontal, la trayectoria rectilínea no es la que insume menor tiempo en ir de U a S. La trayectoria que requiere el menor tiempo cumple con el principio de Fermat.

Antes de enunciar, el principio de Fermat veamos cómo tener en cuenta la diferente velocidad de propagación en cada medio, lo que nos conduce a la noción de camino óptico.

Supongamos tener dos medios con velocidad de propagación de la luz diferente,

con índices de refracción n1 (la playa) y n2 (el lago), y que un haz de luz sale de una fuente en el primer medio hasta llegar a un punto en el segundo medio. Si la distancia

que recorre la luz en el primer medio es l1 y su velocidad v1, entonces 1

11 v

lt = es el

tiempo de viaje de la luz en el primer medio, análogamente 2

22 v

lt = lo es en segundo

medio. Entonces, el tiempo total que le toma a la luz en ir de un punto al otro es:

clnln

cln

cln

ncl

ncl

vl

vlttt 22112211

2

2

1

1

2

2

1

121

+=+=+=+=+= . (6)

Pero esta última cantidad la podemos reescribir como:

.O.Clnlnct =≡+= óptico camino2211 (7) Que sería la distancia que recorría la luz en ese tiempo si se propagara

exclusivamente en el vacío. En general, a la cantidad definida por el producto del índice de refracción del medio por la distancia recorrida en ese medio se la denomina camino óptico. En el caso que la luz atraviese varios medios con distinto índice de refracción ni, con recorridos li, el camino óptico será:

∑=i

iiln.o.c ,

y en el límite de una variación continua del índice de refracción: . ∫= ndl.o.c

En términos del camino óptico, el principio de Fermat dice que:

“La luz al propagarse de un punto a otro sigue un trayecto tal que el camino óptico es un extremo (mínimo o máximo), respecto de cualquier trayectoria vecina.”

184

En la gran mayoría de los casos, la luz sigue una trayectoria que hace mínimo el camino óptico. Utilizando el principio de Fermat es posible deducir todas las leyes de la óptica geométrica. Este tipo de principios, donde aparece una cantidad que es estacionaria (ya sea máximo o mínimo) respecto a variaciones de la misma es muy general y útil. De hecho todas las teorías físicas se pueden derivar de un principio de este tipo, incluso las archiconocidas leyes de Newton del movimiento. 24. Pruebe que el camino óptico entre los dos puntos mostrados en la figura 22 será

mínimo si se cumple con la ley de Snell. Ayuda: razone en términos del ejemplo anterior.

Figura 22. El Principio de Fermat se puede aplicar para demostrar la ley de refracción. 25. Guía Teórica. Espejo esférico

Las interfases ópticas más sencillas de construir, después de las planas, son las esféricas. En particular, debido a su curvatura, tienen la propiedad de hacer converger o diverger los haces de luz y modificar las imágenes respecto del objeto original. Gran cantidad de dispositivos ópticos se pueden construir apelando a la yuxtaposición de estas superficies.

Consideremos primeramente un espejo esférico cóncavo, de radio R, como

muestra la figura 23.

θ2

θ1

n1

n2>n1

S

S’

s’

R

θ1

θ1

s

185

Figura 23. Un espejo esférico es una superficie perfectamente reflectante, con sección circular y radio de curvatura R. Un objeto, situado en el punto objeto s, se refleja sobre el espejo según la ley de reflexión (la normal coincide con el radio de curvatura), y se forma su imagen en el punto imagen s’. Vamos a estudiar la formación de imágenes, en un dispositivo de este tipo,

mediante el método de trazado de rayos. Si tenemos una fuente luminosa puntual, a la que denominaremos punto objeto s, definimos el eje óptico del sistema como la recta que une el punto objeto y el centro de curvatura del espejo. Del punto objeto emana un haz de luz que se refleja en el espejo, siguiendo la ley de reflexión. La normal a la interfase o dioptra corresponde, en este caso, a la dirección del radio de curvatura de la esfera, por lo cual el haz incidente y el reflejado forman el mismo ángulo respecto de esta dirección (ver figura 23). El punto donde el haz reflejado corta al eje óptico se denomina punto imagen s’. Las distancias, sobre el eje óptico, desde el punto objeto al espejo y desde el punto imagen al espejo, se denominan distancia objeto s e imagen s’ respectivamente.

Si trazamos varios rayos que salgan de s (ver figura 24), vemos que en general

no cortan todos en el mismo punto al eje óptico. Efectivamente, rayos que salen del objeto con mucha apertura angular no pasan por un único punto y, por ende, no se forma una imagen nítida del objeto. Esta deformación de la imagen se denomina aberración esférica. Pero si el haz de rayos tiene pequeña apertura; es decir, si los rayos son casi paralelos al eje óptico, la imagen estará bien definida. El considerar únicamente rayos casi paralelos al eje óptico es lo que se denomina aproximación paraxial.

Figura 24. En un espejo esférico sólo los rayos que inciden con pequeña apertura angular (exagerada

en la figura), se cortan en el mismo punto. Los rayos que inciden con mucha apertura angular no pasan por este punto, dando una deformación de la imagen denominada aberración esférica.

Comentario: Un haz de rayos paralelos que inciden sobre un espejo parabólico converge

al foco de la parábola. En este caso, no tiene lugar la aberración esférica debido a la forma particular (parabólica), del espejo. Por este motivo las antenas de radar y de comunicaciones satelitales también tienen esta forma. En los últimos años ha surgido una aplicación ecológica de esta propiedad: en los concentradores de calor se hace converger la luz solar hacia unos tubos llenos de agua o aceite, que se calienta por este mecanismo y se utiliza como si fuera una caldera.

En lo que sigue nos restringiremos a rayos que inciden sobre los espejos casi

paralelos al eje óptico, es decir, formando un ángulo pequeño. Utilizando la aproximación paraxial se puede ver que, sobre el eje, existe un punto particular, denominado foco, hacia donde convergen los rayos de un haz que incide, paralelo al eje óptico, sobre el espejo (ver figura).

186

f R

Figura 25. Un haz de rayos que inciden paralelos al eje óptico de un espejo esférico se cortan en un único punto, denominado foco. El foco se encuentra a medio radio del vértice del espejo.

Dado que si un objeto se encuentra muy alejado la luz que proviene de él lo hace

en forma de un haz de rayos paralelos, diremos que: por el foco pasan los rayos de un objeto situado en el infinito. Por ejemplo, esto ocurre en buena aproximación con los rayos solares. Asimismo, si el objeto está situado en el foco, la luz que se refleja en el espejo sale como un haz paralelo y su imagen se forma en el infinito, como es de esperar en virtud del principio de reversibilidad del camino óptico. El foco se encuentra a una distancia 2

Rf = del vértice del espejo. ¡Verificarlo mediante trazado de rayos!

Para todo punto sobre el eje óptico su imagen también se forma sobre dicho eje.

Para objetos extensos, cuyos puntos se hallan fuera del eje, la imagen estará bien definida si respetamos la aproximación paraxial. Para esta clase de objetos existen 4 rayos principales que nos pueden ayudar a descubrir donde se forma la imagen: 1. Un rayo que incide paralelo al eje óptico ⇒ pasa por el foco. 2. Un rayo que pasa por el foco ⇒ sale paralelo al eje óptico. 3. Un rayo que pasa por el centro de curvatura ⇒ se refleja sobre sí mismo. 4. Un rayo que pasa por el vértice del espejo ⇒ se refleja simétrico respecto al eje

óptico.

Figura 26. Trazado de rayos para la formación de imágenes por un espejo esférico. Hay cuatro rayos

que se pueden trazar y permiten formar la imagen, aunque trazando sólo dos de ellos es suficiente para que la imagen quede perfectamente determinada.

Observemos que todos los rayos parecen provenir de un nuevo punto, el

correspondiente a la imagen. Así, trazando estos cuatro rayos es posible construir la imagen del objeto original. De hecho trazar los cuatro rayos aporta información redundante, con sólo dos de ellos se puede determinar, unívocamente, la posición de la

3

1

2

4 f

187

imagen (ver figura). Sin embargo, el trazar un tercer rayo puede servir de control sobre si lo que se ha hecho es correcto.

El tipo de imagen que se forma depende de la posición del objeto respecto del

centro de curvatura del espejo y de la posición del foco. Así, la imagen puede estar invertida respecto del objeto y ser más grande o más pequeña; en ese caso decimos que está aumentada o reducida, respectivamente. Asimismo, si la imagen se forma del lado físicamente accesible del espejo decimos que es real, porque se forma en la intersección de los rayos (y allí hay energía lumínica). Mientras que si los rayos parecen provenir de detrás del espejo decimos que es virtual, porque en los puntos donde parecen cortarse los rayos no hay energía lumínica (los rayos no se cortan verdaderamente). Las siguientes figuras ilustran los casos posibles. a)

f

y’

y

y

y’

f

b) c)

y’ y

f

Figura 27. Formación de imágenes por un espejo esférico cóncavo, según la posición del objeto respecto del centro de curvatura del espejo y del foco. a) El objeto está más allá del centro de curvatura, la imagen es real, invertida y menor. b) Si el objeto está entre el centro de curvatura y el foco, la imagen es real, invertida y aumentada. c) Cuando el objeto está entre el foco y el espejo, la imagen es virtual, derecha y aumentada.

188

Utilizando la ley de reflexión, en la aproximación paraxial, es posible deducir una ecuación, la ecuación de los espejos, a fin de encontrar la posición (s’) de la imagen de un objeto, ubicado en s, analíticamente. No vamos a deducirla aquí, simplemente la escribiremos y la utilizaremos para verificar los resultados gráficos. Previamente es preciso establecer algunas convenciones, a saber:

Colocamos el sistema de coordenadas en el punto de intersección entre el espejo y el eje óptico.

La luz siempre incide desde la izquierda. Si el objeto es real (es decir, si está a la izquierda del espejo), la distancia objeto es

positiva ( ), cambia el signo si el objeto es virtual. 0>s Si la imagen es real la distancia imagen es positiva ( ), cambia el signo si la

imagen es virtual. 0'>s

El radio de curvatura del espejo es positivo ( ), si el espejo es cóncavo (respecto de la incidencia de la luz), cambia el signo para un espejo convexo.

0>R

La altura del objeto (y), es positiva si está sobre el eje óptico, en caso contrario es negativa.

En la siguiente figura se pueden ver las convenciones utilizadas en el caso de un espejo cóncavo ( ), con un objeto real y derecho ( ), que tiene una imagen real e invertida

0>R 0>s 0>y0'>s 0<'y . Por supuesto que el hecho que un objeto, o

imagen, sea real (o virtual), no depende del sistema de coordenadas utilizado; pero se debe ser consistente con la convención utilizada.

Figura 28. Formación de imágenes en el caso de un espejo cóncavo ( ), con un objeto 0>R real y derecho ( ), que da como resultado una imagen real e 0>s 0>y 0'>s invertida . 0<'y

Con estas convenciones, la ecuación de los espejos es:

fs’

sy’

y

189

fR'ss1211

==+ . (8)

En particular, la cantidad f

1 se denomina potencia del espejo, y se mide en

dioptrías, si la distancia focal se mide en metros. La potencia dióptrica nos da una idea del poder de convergencia del espejo. A mayor potencia, menor distancia focal y, por consiguiente, la imagen de un objeto lejano se forma más cerca del espejo. El espejo tiene mayor facilidad para hacer converger los rayos de un haz de luz. Observemos que si consideramos a un espejo plano como aquel que tiene un radio de curvatura infinita, la ecuación de los espejos nos dice que la imagen es virtual, y está situada simétricamente respecto del plano del espejo. ¡Verificarlo!

Asimismo, es posible mostrar que el aumento lateral; es decir la relación entre el tamaño de la imagen y del objeto, es:

ss

yym ''

−== . (9)

La amplificación lateral da idea del aumento (si es mayor que uno), o

disminución (si es menor que uno), de la imagen respecto del objeto. El signo menos en la expresión indica que la imagen está invertida si es real, y está derecha si es virtual. 26. Se tiene un espejo esférico cóncavo con un radio de curvatura de 40 cm. Dibujar los diagramas de rayos para localizar la imagen, si el objeto, de 1 cm de altura, está situado a una distancia del espejo de: a) 100 cm, b) 40 cm, c) 30 cm, d) 20 cm, e) 10 cm. En cada uno de los casos decir si la imagen es real o virtual, está derecha o invertida; y aumentada, reducida o del mismo tamaño que el objeto. 27. Utilice la ecuación de los espejos (ec. 8) y la amplificación lateral (ec. 9) para corroborar los resultados obtenidos gráficamente en el problema anterior. Explique el significado de los signos que obtenga. 28. Repetir los pasos dados en los problemas 26 y 27, para un espejo convexo con el mismo radio de curvatura, es decir, el radio de curvatura es de -40 cm. (recuerde que en este caso el signo negativo indica que la concavidad del espejo está dirigida hacia la derecha) 29. Compare los resultados obtenidos con el espejo cóncavo y con el convexo. En particular, observe si las imágenes reales en un caso corresponden a imágenes reales en el otro, y viceversa. 30. Guía Teórica. Lentes delgadas

Una lente delgada sencilla consiste en un trozo de material (en general vidrio), limitado por dos superficies esféricas, separadas una distancia muy pequeña. El eje óptico de la lente corresponde a la línea que une los centros de curvatura de ambas superficies (ver figura 29). Observar que, a diferencia de los espejos esféricos donde

190

definimos el eje óptico teniendo en cuenta la ubicación del objeto, para las lentes la definición del eje óptico es unívoca.

eje óptico

Figura 29. Una lente delgada está limitada, en general, por dos superficies esféricas, separadas una

distancia muy pequeña. El eje principal de la lente corresponde a la línea que une los centros de curvatura de ambas superficies

Una lente delgada refracta los rayos de luz que inciden sobre ella desviándolos. En la situación más común, que corresponde a una lente de vidrio rodeada de aire, si la lente es más gruesa en el centro (se dice que es biconvexa), un haz de rayos paralelos al eje converge formando una imagen real (ver figura 30). Por el contrario si en el centro es más delgada (bicóncava), los rayos divergen (ver figura 30).

Figura 30. Según el grosor (o concavidad), de una lente en su centro será el comportamiento de la luz al atravesarla. Para el caso de vidrio en aire, si la lente es gruesa un haz de rayos paralelos converge, mientras que si es más delgada diverge.

El punto focal corresponde al punto, sobre el eje óptico, donde converge un haz de rayos paralelos a dicho eje. Si los rayos convergen antes de atravesar la lente la imagen del punto focal, en este caso objeto, se forma en el infinito. Si la luz atraviesa la lente antes de converger se habla de punto focal imagen. En el caso que sea un haz de rayos paralelos entre sí, pero no al eje óptico, convergerán pero hacia otro punto (ver figura 31). Recordar que estamos trabajando siempre dentro de la aproximación paraxial. El conjunto de todos los puntos de convergencia posibles, para haces paralelos, define lo que se llama plano focal. Por supuesto, existen tanto el plano focal objeto, como el plano focal imagen. En el caso de lentes delgadas en aire, ambos planos se encuentran uno a cada lado de la lente y a la misma distancia de la misma.

Figura 31. Los haces de rayos que inciden paralelos (en la aproximación paraxial), sobre una

lente convergen en el plano focal. Para tener una idea de lo que significa el foco de una lente, recuerde cuando de

niño utilizaba una lupa para quemar hojitas de un árbol, un pedazo de madera o simplemente un papel, utilizando una lupa. Había que interponer la lupa entre el objeto a quemar y la luz del Sol, e ir variando la distancia entre la lupa y el objeto hasta que apareciera un punto brillante (una imagen casi puntual del Sol) sobre el mismo.

191

Precisamente ese punto brillante es lo que acabamos de definir como foco, y la separación que era preciso ajustar corresponde a la distancia focal.

Cuando se trabaja con lentes no sólo se presenta el problema de la aberración esférica, como ocurría con los espejos. También aparecen problemas debido a que el índice de refracción es función de la longitud de onda. En efecto, la luz se refracta dentro de la lente, como si fuera un prisma, y aparece el fenómeno de dispersión cromática que vimos anteriormente. Si la apertura angular del haz de luz es grande, rayos que corresponden a diferentes colores forman imágenes en puntos distintos. A este fenómeno se lo denomina aberración cromática. Se puede minimizar el efecto de la aberración cromática si trabajamos, nuevamente, en la aproximación paraxial.

Dentro de esta aproximación se puede encontrar gráficamente la imagen de un

objeto, tienendo en cuenta que: a) Un haz de luz que pasa por el plano focal objeto forma una imagen en el infinito,

(sale paralelo). b) Un haz de luz que incide paralelo (objeto en el infinito), pasa por el plano focal

imagen. Un haz de luz que pasa por el centro del plano principal (el centro de la lente) no se desvía.

f f’ y’

s’

s

y

Figura 32. Formación de imágenes por una lente delgada. Observar que con sólo dos rayos es

suficiente para determinar la posición y tamaño de la imagen. El tercero sirve como verificación. En forma similar a lo que ocurre con el trazado de rayos en un espejo esférico, es suficiente con trazar sólo dos rayos para determinar la posición y tamaño de la imagen. Se puede trazar el tercero para verificar que la construcción gráfica está bien hecha.

En el caso de las lentes delgadas en aire, y siempre dentro de la aproximación paraxial, se dispone de una expresión analítica sencilla, la ecuación del fabricante de lentes, que puede deducirse a partir de la ley de Snell (haciendo coincidir el origen del sistema de coordenadas con el centro de la lente):

fRR

nss

111)1('

11

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+ , (10)

en esta expresión n es el índice de refracción del material que compone la lente, R1 y R2 los radios de curvatura de las dos interfases que forman la lente, y f la distancia focal (que, en el caso de lentes delgadas, es la misma para objeto e imagen). A diferencia que

192

en el caso de los espejos, la distancia imagen s’ ahora es positiva si está a la derecha de la lente, esto significa que esperamos ver objetos reales a la derecha de la lente.

Si bien la expresión (10) es completa, en general no se conocen R1 y R2, mientras

que la distancia focal se puede determinar con cierta facilidad. ¿Se le ocurre cómo? (Ayuda: piense como quemaba hojitas con una lupa).

En general, una lente será convergente (o positiva) si (el foco objeto está

situado del mismo lado que el objeto), y divergente (o negativa) si . Como dijimos, una lente convergente hecha de un material ópticamente más denso que el medio que la rodea es más gruesa en el centro.

0>f0<f

En forma similar que en el caso de los espejos esféricos, se puede probar que el

aumento lateral de una lente delgada es:

s's

y'ym −== . (11)

Análogamente, la potencia dióptrica de la lente se define como la inversa de la distancia focal: f

1 , y se mide en dioptrías si la distancia focal se mide en metros. Su

interpretación es similar a la que hicimos para el espejo esférico. 31. Verifique la expresión anterior para el aumento lateral (ecuación 11), mediante un ejemplo adecuado, a través del trazado de rayos.

32. Dado un objeto de altura 1 cm, para las siguientes distancias objeto y distancias focales de lentes delgadas en aire, halle la distancia imagen y la amplificación, y diga si la imagen es real o virtual, derecha o invertida: a) s f= =40 20 cm cm, , b)

, c) s f= =10 20 cm cm, s f= = −40 30 cm cm, , d) s f= = −10 30 cm cm, .

Hágalo gráficamente y verifique analíticamente los resultados obtenidos. 33. a) Un objeto de 3 cm de altura se coloca a 20 cm delante de una lente delgada de 20

dioptrías de potencia. Dibujar un diagrama de rayos preciso para hallar la posición y el tamaño de la imagen y comprobar los resultados utilizando la ecuación de las lentes delgadas.

b) Repetir el ítem anterior para un objeto de 1 cm de alto situado a 10 cm delante de una lente delgada cuya potencia es de -20 dioptrías.

34. Guía Teórica. El ojo

Después del cerebro, el ojo tal vez sea el órgano más complejo y maravilloso del ser humano. Es en esencia un sistema de lentes convergentes (o positivas), formadoras de imágenes reales sobre una superficie sensible a la luz denominada retina.

193

Pupil

Córnea

Iris

Músculos Cili

Cristalino Retina

Nervio Óptico Humor

Vítreo

Figura 33. Corte esquemático del ojo humano. La lente compuesta córnea – cristalino forma una

imagen real sobre la pared posterior del ojo, que hace las veces de pantalla, la retina. Las terminaciones nerviosas de la retina, conos y bastones, reenvían la información al cerebro a través del nervio óptico. La estructura del ojo, desde afuera hacia dentro, se compone, básicamente de la

córnea, el iris (que tiene un orificio denominado pupila, el cual se puede variar determinando la cantidad de luz que entra al ojo), el cristalino, una zona gelatinosa (llamada el humor vítreo), y la retina. La retina está formada por estructuras fotosensibles, denominadas conos y bastones, que reciben la información y la transmiten al cerebro a través del nervio óptico.

La distancia focal de la lente, compuesta por el sistema córnea – cristalino, se

regula mediante los músculos ciliares. Cuando éstos están relajados el cristalino se tensa, debido a sus propias tensiones internas, se vuelve más plano, por lo cual aumentando su radio de curvatura y, por ende, su distancia focal. Por el contrario, si los músculos ciliares se contraen, las tensiones sobre el cristalino se aflojan y éste se redondea, su radio de curvatura es menor y la distancia focal disminuye.

El ojo relajado enfoca normalmente el infinito, con una distancia focal de

aproximadamente 2,5cm, que corresponde al diámetro del ojo. Así, las imágenes de objetos que se encuentran infinitamente alejados se forman justamente en la retina, sin necesidad de forzar la vista, donde pueden ser procesadas por los conos y bastones y enviadas al cerebro. Si el objeto se acerca, en principio, mejora la visión ya que el objeto se ve bajo un ángulo mayor, pero si el acercamiento ocurre sin que se modifique la distancia focal la imagen se forma detrás de la retina, como muestra la figura 34, y no se ve bien. Para evitar este problema se tensan los músculos ciliares disminuyendo el radio del cristalino, lo que provoca que decrezca la distancia focal, ahora la imagen del objeto cercano se forma sobre la retina como corresponde. A este proceso de ajuste de la visión se lo denomina acomodación. Existe un límite para la acomodación denominado punto próximo, los objetos situados a una distancia menor que el punto próximo no pueden ser enfocados adecuadamente. El punto próximo no es el mismo para todas las personas y varía con la edad (desde unos 7cm en un niño, hasta unos 200cm en una persona adulta). Por convención se toma, en general, una distancia al punto próximo de 25cm (xp).

194

f

f

Figura 34. a) El ojo relajado tiene una distancia focal que coincide con el diámetro del globo ocular.

Las imágenes de objetos infinitamente alejados se forman en la retina, pero las de un objeto cercano se forman detrás y no se ven bien. b) En el proceso de acomodación los músculos ciliares cambian la curvatura del cristalino modificando la distancia focal, ahora la imagen del objeto cercano se forma sobre la retina como corresponde.

El proceso de enfoque y acomodación, que se acaba de describir corresponde a un ojo normal. Existen, sin embargo, diversos defectos de la visión. Los principales son tres, a saber: la hipermetropía, la miopía y el astigmatismo.

En el caso de la hipermetropía el ojo tiene poco poder de convergencia y la

imagen se forma detrás de la retina (ver figura 35). La visión es buena para objetos lejanos, dado que la luz incide sobre el ojo formando un haz de rayos casi paralelos, que se enfocan sobre la retina sin necesidad de demasiado esfuerzo para acomodar el ojo. Para poder observar objetos cercanos, este defecto se corrige utilizando lentes convergentes. En efecto, la luz proveniente de los objetos cercanos forma un haz que diverge fuertemente, al interponer una lente convergente ésta lo procesa, convirtiéndolo en un haz más convergente (casi paralelo), de tal manera que el ojo lo puede enfocar sobre la retina sin gran esfuerzo.

Figura 35. a) El ojo hipermétrope tiene una distancia focal grande, las imágenes se forman detrás de la retina. b) Se utiliza una lente positiva para hacer converger más el haz de luz incidente.

En la miopía los músculos ciliares se encuentran más contraídos, el ojo tiene

mucho poder de convergencia y la imagen se forma antes de la retina (ver figura 36). No obstante la visión es buena para objetos cercanos, donde el haz de luz tiene gran apertura angular. Este defecto se corrige interponiendo una lente divergente entre el

195

objeto y el ojo. Así, la lente divergente abre el haz casi paralelo del objeto lejano, al ojo le cuesta más hacerlo converger y la imagen se forma sobre la retina, como corresponde.

Figura 36. a) El ojo miope tiene una distancia focal pequeña, las imágenes se forman delante de la retina. b) Se utiliza una lente negativa para hacer diverger más el haz de luz incidente El defecto denominado astigmatismo está relacionado con que el ojo posee

distinta curvatura en diferentes planos. Este problema se corrige con la utilización de lentes cilíndricas que compensan la diferencia de curvatura en las distintas direcciones.

35. Guía Teórica. Lupa o microscopio simple

El tamaño aparente de un objeto está dado por el tamaño de la imagen sobre la

retina (ver figura 37). Cuanto mayor sea esta imagen más cantidad de bastones y conos activos habrá.

θ

2,5 cm

s

y

y’

θ’

Figura 37. Cuánto mayor sea el objeto, y más cerca del ojo se encuentre, más grande será la imagen

que se forme en la retina y mejor se podrán apreciar los detalles del mismo.

El tamaño de la imagen que se forma en la retina es, según se ve en la figura 37, cm5,2 ' ⋅= θy . Por otra parte, si la visión se realiza bajo un ángulo pequeño, podemos

aproximar la tangente de un ángulo por el ángulo mismo, es decir:

θθ ≅= tgsy , (12)

196

y combinando ambas expresiones obtenemos la relación entre el tamaño de la imagen y del objeto:

syy cm5,2'= . (13)

Como era de esperar, un objeto lejano se verá más pequeño, independientemente

del tamaño real del mismo. Como vimos recién, cuando se quieren ver los detalles de un objeto, se lo acerca para verlo más grande. Pero aquí se presenta el problema del punto próximo, si lo acercamos demasiado no lo podemos enfocar bien. Una lupa consiste, esencialmente, en una lente convergente que se utiliza con la idea de acercar el objeto y aumentar el tamaño de la imagen en la retina. Las lentes de aumento se conocen desde la antigüedad, se han hallado trozos de cuarzo, presumiblemente utilizados como lentes convergentes en épocas anteriores a la era cristiana.

Supongamos tener un objeto situado en el punto próximo, como muestra la figura 38:

197

Figura 38. Cuánto más cerca del ojo se encuentre un objeto, más grande será la imagen que se forme en la retina y mejor se podrán apreciar los detalles del mismo. Pero los objetos situados a una distancia menor que el punto próximo no pueden ser enfocados adecuadamente.

Vemos que, para ángulos pequeños podemos aproximar px

y≅0θ . Ahora, si

intentamos acercar más el objeto no lo veremos con nitidez. Pero, si utilizamos una lente convergente de potencia relativamente alta, o lo que es lo mismo distancia focal corta, y colocamos el objeto en el foco de la misma y el ojo junto a la lupa (ver figura

39), veremos el objeto bajo un ángulo mucho mayor fy

≅θ , siendo f la distancia focal

de la lente. El efecto de la lente es que nos permite acercar el objeto más que la distancia del punto próximo, y podemos verlo bajo un ángulo mayor de lo que lo veríamos en ese punto. De esta forma obtenemos dos ventajas: al verlo bajo un ángulo más grande podremos apreciar con nitidez los detalles del mismo y, al colocar el objeto en el foco, la imagen se forma en el infinito por lo cual podremos observarlo a ojo relajado.

xp θ0

y

f

y

θ

Figura 39. Utilizando una lente de aumento podemos acercar el objeto y verlo subtender un ángulo mayor. Así, será más grande la imagen que se forme en la retina y se apreciarán mejor los detalles del mismo.

Podemos caracterizar cuán buena es una lente como dispositivo de aumento

definiendo la amplificación o poder amplificador de la lente como el cociente entre el tamaño angular de la imagen en la retina, cuando se ve a través de la lupa, respecto del tamaño cuando se observa a simple vista a la distancia del punto próximo:

f

x

xy

fy

M p

p

===0θθ . (14)

36. Una persona con un punto próximo de 30 cm utiliza una lente de 40 dioptrías como lupa. ¿Qué amplificación se obtiene? Haga el diagrama de rayos. 37. Actividad: jugar con la lupa.

Como habrá observado en el problema 32, que una lente convergente dé una imagen real e invertida o virtual y derecha depende de la posición relativa del objeto respecto del foco de la lente. Para convencerse que esto es así le proponemos que juegue con una lupa observando simultáneamente dos objetos: uno situado a una distancia menor que la focal y el otro más lejos. ¿Qué observa? ¿Le parece razonable lo que ve? Entreténgase observando distintos pares de objetos a diferentes distancias. 38. Guía Teórica. Microscopio compuesto Si el objeto que se quiere ver es muy pequeño, una simple lupa no es suficiente. Alrededor del año 1600, a alguien se le ocurrió utilizar un sistema de lentes, para aprovechar el poder de amplificación de cada una y obtener un aumento mayor. Es lo que llamamos un microscopio compuesto, éste sirve para ver objetos muy pequeños y cercanos. En su forma más sencilla consiste de dos lentes convergentes. La lente más cercana al objeto, de distancia focal f1, se denomina objetivo. La segunda lente, a través de la cual se observa, se utiliza como lupa, y se llama ocular. Llamaremos f2 a la distancia focal del ocular. La distancia entre los focos f1’ (foco imagen) y f2 (foco objeto) se llama longitud del tubo g. En general la longitud del tubo se fija en un valor que está entre los 16 y los 18 centímetros.

El objetivo forma una imagen real e invertida del objeto y el ocular (lupa), se ajusta para que esta imagen se forme justo en su foco, de forma de dar una imagen virtual, derecha, de la imagen del objetivo, y situada en el infinito. En conclusión, la imagen final se ve en el infinito e invertida (ver figura 40), se utiliza esta disposición para que el ojo normal trabaje relajado.

198

f1

f1’

f2’

f2

g

α α

y’

objetivo ocular

Figura 40. El microscopio compuesto está formado por dos lentes convergentes. La separación entre

sus focos se llama longitud del tubo. El objetivo da una primera imagen ampliada del objeto y el ocular, trabajando como lupa, amplifica esta imagen aún más. Al colocar el ocular tal que la imagen del objetivo se forme en su foco, la imagen final se obtiene en el infinito, y la observación puede hacerse a ojo relajado.

Del gráfico podemos ver que, entre la altura del objeto, la altura de la imagen, la longitud del tubo y la distancia focal del objetivo se cumple la siguiente relación:

g'y

fy

−==1

α , (15)

recordar que de allí el signo “–“ en la expresión. 0´<y De la relación anterior se sigue que el aumento lateral del objetivo, según corresponde a una lente delgada, es:

1f

gy'ymob −== . (16)

Mientras que el ocular, al funcionar como lupa, tendrá un aumento angular dado por:

2f

xM p

oc = . (17)

Definiremos el poder amplificador de un microscopio como el producto de la

amplificación lateral del objetivo, por la amplificación angular del ocular, y así:

21 f

xfgMmM p

ocob −== . (18)

Claramente, para construir un microscopio es conveniente utilizar lentes con gran potencia dióptrica, es decir, con distancias focales pequeñas. Sin embargo, existe un límite al aumento del microscopio fijado por la difracción, pero eso es un tema que veremos más adelante. 39. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1,2 cm de distancia focal y un ocular de 2,0 cm de distancia focal separadas 20 cm.

199

a) Hallar el poder amplificador si el punto próximo del observador está a 25 cm. b) Dado que en un microscopio siempre se busca que la imagen final se vea en el

infinito, ¿en dónde deberá colocarse el objeto? c) Para un objeto situado a 1,5 cm del objetivo, haga el diagrama de rayos. 40. Diseñe un microscopio compuesto utilizando como objetivo una lente delgada convergente de 5 cm de distancia focal y como ocular una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal. a) Sabiendo que el objeto se ubica a 7 cm del objetivo, determine donde debe ubicar el

ocular para que los rayos que emergen parezcan provenir del infinito. b) Indique la marcha de rayos. c) Defina y calcule el aumento del microscopio. 41. Guía Teórica. Cámara fotográfica Las cámaras fotográficas son dispositivos ópticos compuestos. Su finalidad es registrar, en forma permanente, la imagen de un objeto. Esencialmente están compuestas por una caja (o cámara) oscura, una lente, una abertura de entrada (o diafragma) que se utiliza para regular el paso de luz, un obturador que permite regular el tiempo de exposición y una película fotosensible donde queda impresa la imagen (ver figura 41).

obturador

película lente

diafragma

Figura 41. Esquema básico de una cámara fotográfica. En general, una buena cámara no tiene una sola lente, sino un sistema de lentes.

En cualquier caso, se busca que la imagen se forme justamente sobre la película. Como el foco está fijo, para enfocar objetos ubicados a diferentes distancias de la cámara se mueve la lente, de tal manera que la posición de la imagen coincida con la de la película. Comúnmente, las películas se clasifican según el ancho de la misma, por

200

ejemplo cuando se habla de películas de 35 mm, se hace referencia a que el ancho de la película tiene ese valor.

La calidad de la imagen que se obtiene depende, entre otras cosas, de la cantidad de luz (energía luminosa recibida) que impresiona la película. Ésta queda determinada principalmente por la intensidad luminosa del ambiente exterior, el tiempo de exposición, y el orificio de entrada de luz, que usualmente suele ser el diámetro de la propia lente. Si la cantidad de luz que llega a la película es poca, la imagen que se forma es muy clara y poco definida (tiene poco contraste). Por el contrario si el tiempo de exposición es excesivo la imagen es muy oscura (la película se vela) y tampoco se ve nítida.

El tiempo de exposición se regula a través del obturador. Asimismo, existen

películas de distintas velocidades. La velocidad de una película se clasifica con el número ASA o DIN. Las películas de alta velocidad tienen un número ASA elevado, por ejemplo ASA 400, y precisan menor tiempo de exposición. Las de ASA 100, al ser más lentas, necesitan un tiempo de exposición mayor. Por supuesto, todo esto está supeditado a la iluminación ambiente. Así, en interiores (donde la iluminación es pobre) es más conveniente utilizar un ASA 400, mientras que al exterior, en un día luminoso, alcanza con un ASA 100.

En general, cuando se dan indicaciones técnicas sobre una cámara, se hace

referencia a la distancia focal de la misma (de su lente o sistema de lentes). Un valor estándar de distancia focal es 50 mm. También se suela dar un número, llamado número f, que esencialmente consiste en el cociente entre la distancia focal y el diámetro del orificio de entrada de la luz. La inversa del cuadrado de este número da una idea de cuánta luz está llegando a la película, así, cuanto menor sea el número f menor será el tiempo de exposición necesario.

Se podría pensar que se puede capturar más luz utilizando una lente de mayor diámetro, pero en ese caso aparecen problemas con la aberración cromática que limitan la resolución. Por lo cual el tomar una buena fotografía suele ser un compromiso entre diversos factores. 42. Actividad. El proyector.

Puede tratar de simular el funcionamiento de una cámara fotográfica, por ejemplo, proyectando sobre una pared la imagen de la pantalla del televisor vista a través de un pequeño orificio practicado en un cartón u hoja de papel oscuro. Tenga en cuenta que la habitación debe encontrarse a oscuras para poder ver con cierta nitidez la imagen en la pantalla.

Si tiene ganas de hacer algo más sofisticado puede utilizar una caja. De un lado

haga un pequeño orificio y la pared opuesta sustitúyala por papel semi-transparente (del tipo de calcar o manteca). La luz proveniente del televisor penetra por el orificio y se proyecta sobre el papel reproduciendo la imagen de la pantalla. Pruebe cómo cambia la imagen para deferentes distancias entre el televisor, el orificio y la pantalla.

201

Puede repetir la experiencia, pero utilizando una lupa en lugar del orificio. Hágalo, y compruebe las ventajas y desventajas entre utilizar el agujero o la lupa. 43. Guía Teórica. Telescopios El telescopio se inventó aproximadamente al mismo tiempo que el microscopio. Su aplicación principal es ver objetos muy grandes y alejados. La idea es que acercan el objeto, de tal forma que la imagen que se forma en la retina es mayor que la que se obtiene mirando a simple vista.

Si bien existen muchos modelos distintos de telescopios, el más sencillo consiste en dos lentes convergentes ubicadas como indica la figura 42. Este tipo de telescopio se denomina refractor. Ambas lentes están separadas por la suma de sus distancias focales. Como el objeto se halla en el infinito su imagen se forma en el plano focal del objetivo, y es utilizada como objeto virtual por el ocular, que hace las veces de lupa. Pero este objeto virtual se encuentra en el foco del ocular, ¡por lo cual su imagen se forma en el infinito! Así, el observador puede mirar a través del ocular sin necesidad de acomodar el ojo, y realizar observaciones prolongadas sin fatiga de la vista.

θ2

f2’

f’1 ≡ f2

f1y’

θ1

Figura 42. El esquema más sencillo de telescopio es el formado por dos lentes convergentes

separadas por la suma de sus distancias focales. La luz de un objeto distante forma una imagen real en el foco del objetivo, ésta sirve como objeto virtual para el ocular, formando una imagen en el infinito, así se puede observar con el ojo relajado.

Definiremos el poder amplificador del anteojo simplemente como el cociente entre el ángulo de salida de la luz (θ2), y el de entrada (θ1), es decir, la amplificación angular:

1

2

θθ

=M . (19)

202

Como el objeto está muy lejos el ángulo de incidencia ( 1θ ), se puede considerar el mismo, con o sin anteojo (es decir, despreciamos la longitud del instrumento), por consiguiente tenemos para el objetivo que:

11

1'tg θθ ≅−=

fy . (20)

Observar que el ángulo de incidencia está fijo y, en general, es pequeño porque

los objetos están muy alejados. Conviene, entonces, diseñar el objetivo con una distancia focal grande, de tal forma que la imagen que forme el mismo sea de tamaño apreciable.

Mientras tanto para el ocular tenemos que:

22

2'tg θθ ≅=

fy . (21)

Dado que el ocular funciona como lupa conviene que su distancia focal sea pequeña para que el ángulo bajo el cual se observa y’ sea grande.

En definitiva la amplificación del telescopio resulta:

02

1

1

2 <−==ffM

θθ . (22)

Que la amplificación resulte negativa sencillamente expresa el hecho de que la

imagen está invertida, como puede verse claramente en el esquema gráfico.

De la última expresión (ec. 22), se confirman las observaciones hechas precedentemente: al diseñar un telescopio se busca que la distancia focal del objetivo (f1) sea grande y que la del ocular (f2) sea pequeña. En realidad, lo más importante de un telescopio no es tanto su poder amplificador, sino su capacidad de recoger luz, dado que los objetos que se observan están muy alejados y la intensidad luminosa que recibimos de ellos es muy baja. Cuánta luz podemos captar depende, en buena medida, del tamaño del objetivo. Si aumentamos el tamaño del objetivo aumenta la cantidad de luz que recibimos y por ende la luminosidad de la imagen, sin embargo surgen diversos problemas: los efectos de la aberración cromática y esférica se vuelven muy importantes. Asimismo, existen dificultades técnicas para soportar lentes muy grandes, ya que sólo pueden sujetarse por los bordes, y esto convierte a tales dispositivos en sumamente frágiles. Newton construyó otro tipo de telescopio que soluciona algunos de los problemas mencionados. Este tipo de telescopios, denominados reflectores, utilizan, como objetivo, un espejo cóncavo para enfocar los rayos de luz; de esta manera se elimina la aberración cromática y son más sencillos de sujetar, pues se cuenta con toda la superficie posterior del espejo para hacerlo, por lo cual pueden fabricarse de mayor tamaño. Básicamente, el esquema es como el de la figura:

203

Luzentrante Superficie

del espejo

foco

Figura 43. En los telescopios reflectores es un espejo, y no una lente, la que hace las veces de objetivo. El foco del espejo se hace coincidir con el foco de la lente ocular.

En la actualidad se adoptan diseños diferentes según los propósitos especiales para el cual va ser utilizado el telescopio. El diseño más simple es el de foco primario, en el cual se coloca toda una batería de sensores en el foco, a fin de componer la imagen reflejada en el espejo principal:

Figura 44. En un telescopio reflector de foco primario se coloca una batería de sensores en el foco

del objetivo para procesar la luz que éste recibe

En los telescopios chicos es más común el foco Newtoniano, que corresponde al diseño original de los telescopios reflectores. Un espejo pequeño, ubicado en el foco, refleja la luz a un costado del tubo del telescopio, como se muestra en la figura 45.

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Espejoprimario ocular

Espejosecundario

Figura 45. El telescopio Newtoniano utiliza un espejo en el foco del objetivo para desviar la imagen hacia el ocular. La observación se realiza entonces desde un costado del tubo del telescopio.

Las imágenes que se obtienen con un telescopio, al igual que con los microscopios, están invertidas. Esto no presupone ninguna dificultad si lo que se observan son objetos estelares. Pero en el caso de los anteojos para observación terrestre, o largavistas, este hecho puede ocasionar muchas molestias. Para solucionar este inconveniente se suele utilizar un sistema, compuesto por prismas, que procesan la luz que entra al anteojo, invirtiendo la imagen y permitiendo observarla derecha. 44. Un telescopio refractor tiene un objetivo de diámetro 102 cm y una distancia focal de 19,5 m. Si la distancia focal del ocular es de 10 cm. a) ¿Cuál es su poder amplificador? b) Haga el diagrama de rayos correspondiente a la observación de una estrella muy

distante. 45. Diseñe un telescopio refractor utilizando como objetivo una lente delgada convergente de 50 cm de distancia focal y como ocular una lente delgada, convergente, de 10 cm de distancia focal. a) Un ha b) z de luz, paralelo al eje óptico, incide sobre el objetivo. Realice un gráfico a escala

indicando la marcha de la luz a través del sistema. c) Deduzca y calcule la expresión del aumento angular. Bibliografía: • Física Vol. 2, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Feynman Lectures on Physics, Vol. 1, R. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands. Addison-Wesley Iberoamericana. • Óptica, Hecht-Zajac. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Física, vol. 2, parte 2, Roller y Blum. Ed. Reverté. • Física Conceptual, Hewitt. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

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