capitulo 4 (1)

PAGINA 1 / 31

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE ZACATECAS UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS DE POSGRADO DE LA FACULTAD

DE CONTADURIA Y ADMINISTRACION

MAESTRIA EN VALUACION VALUACION DE NEGOCIOS EN MARCHA

CATEDRATICO TITULAR : DOCTOR ALFREDO MORALES MARTINEZ

CAPITULO 4

Valor presente neto

A continuación examinaremos uno de los conceptos más importantes de todo el campo de las finanzas corporativas: la relación que existe entre $1 dólar el día de hoy y $1 dólar en el futuro. Considérese el siguiente ejemplo: Una empresa esta contemplando la posibilidad de invertir $1 millón en un proyecto que se espera que reditúe $200 000 por año durante nueve años. ¿Debería la empresa aceptar el proyecto? A primera vista la respuesta podría ser afirmativa, ya que los ingresos de efectivo de $1.8 millones (= $200 000 X 9) son mayores que el flujo de salida de efectivo de $1 millón. Sin embargo el $1 millón se paga inmediatamente, mientras que se recibirán $200 000 por año en el futuro. Además, el pago inmediato se conoce con certidumbre, mientras que los flujos de efectivo posteriores tan sólo son susceptibles de ser estimados. De tal modo, antes de tomar decisiones sobre el proyecto, necesitamos conocer la relación que existe entre un día de hoy y un dólar (posiblemente incierto) en el futuro. Esta relación se conoce como el concepto del valor del dinero en el tiempo. Es de gran importancia en áreas tales como la preparación del presupuesto de capital, las decisiones de arrendar o comprar, el análisis de las cuentas por cobrar, los acuerdos de financiamiento de las fusiones y el financiamiento de las fusiones. Los conceptos básicos se presentan en este capítulo. Empezaremos con la exposición de dos conceptos fundamentales: el valor futuro y el valor presente. A continuación. trataremos algunas fórmulas simplificadas tales como las perpetuidades y las anualidades.

4.1 EL CASO DE UN SOLO PERIODO

EJEMPLO

Don Simkowitz está tratando de vender una extensión de terreno baldío en Alaska. El día de ayer, se le ofrecieron $10,000 por su propiedad. Estaba casi listo para aceptar la oferta cuando otro individuo le ofreció $11,424. Sin embargo, la segunda oferta se pagaría después de un año contado a partir del día de hoy. Don está convencido de que ambos compradores son honestos y financieramente solventes, y por lo tanto no teme que el cliente que seleccione no cumpla con su compromiso. Estas dos ofertas se presentan como flujos de efectivo en la figura 4.1. ¿Qué oferta debería seleccionar el Sr. Simkowitz? Mike Tuttle, asesor financiero de Don, le ha señalado que si acepta la primera oferta, podría invertir los $10,000 en el banco a una tasa de 12%, con lo que a 1 final de un año, tendría: $10, 000 + (0.12 X $ 10, 000) = $ 10 000 X 1. 12 = $11,200 Reembolso Intereses del principal

FIGURA 4.1 Flujo de efectivo correspondiente

a la venta del Sr. Simkowitz Precios alternativos $10000 $11424 de venta Año 0 1

PAGINA 2 / 31





Toda vez que esta cantidad es inferior a los $11,424 que Don podría recibir de la segunda oferta, el Sr. Tuttle le ha recomendado que acepte esta última. Este analisis aplica el concepto del valor futuro y del valor compuesto que es el valor de una suma después de invertir a lo largo de uno o mas periodos. El valor compuesto o valor futuro de $10000 es de $11200.

Un método alternativo es el que emplea el concepto del valor presente. Es posible determinar el valor presente haciendo las siguientes preguntas: ¿Qué cantidad de dinero deberá poner Don en el banco el día de hoy a efectos de tener $11424 el año siguiente? Podemos escribir esto algebraicamente como:

PV X 1. 12 = $11424 (4.1)

Queremos encontrar al valor presente (VP), la cantidad de dinero que se invierte a 12% el día de hoy. Despejando VP, tenemos: PV = $11424 = $10200 1.12

La fórmula del valor presente se puede escribir como:

Valor presente de la inversión:

PV = C1 1 + r donde C1 es el flujo de efectivo en la fecha 1 y r es la tasa de interés apropiada, es decir, la tasa de rendimiento que Don Simkowitz requiere sobre la venta del terreno. Algunas veces esta tasa se conoce con el nombre de tasa de descuento. El análisis del valor presente nos indica que un pago de $11424 que se vaya a recibir el año siguiente tiene un valor presente de $10 200 el día de hoy. En otras palabras a una tasa de interés de 12%, el Sr. Simikowitz quedaría en la misma posición ya fuera que se le dieran $10 200 el día de hoy, u $11424 el año siguiente. Si se le dieran $10200 el dia de hoy, podría ponerlos en el banco y recibir $11424 el año siguiente. Ya que la segunda oferta tiene una valor presente de $10 200, mientras que la primera oferta es tan sólo de $10000, el análisis del valor presente también indica que el Sr. Simikowitz debería aceptar la segunda oferta. En otras palabras, tanto el análisis del valor futuro como el análisis del valor presente conducen a la misma decisión. Tal como debería ser, el análisis del valor presente y el análisis del valor futuro siempre deben conducir a la misma decisión. Aun a pesar de la sencillez de este ejemplo, contiene los principios básicos que se aplicarán a lo largo de los siguientes capítulos. A continuación usaremos otro ejemplo para desarrollar el concepto del valor presente neto

EJEMPLO

Louisa Dice, analista financiero de Kaufman & Broad, una empresa líder en el campo de los bienes raíces, considera recomendar a su empresa que invierta en un terreno que tiene un precio de $85 000. Está segura de que el año siguiente el terreno tendrá un valor de $91000, lo cual representa una ganancia segura de $6,000. Dado que la tasa de interés garantizada por el banco es de 10%, ¿debería : Kaufman & Broad realizar esa inversión? La elección de la Sra. Dice se describe : en la figura 4.2 mediante una gráfica de tiempo del flujo de efectivo. Tan sólo se necesita una reflexión momentánea para convencerla de que ésta no es una propuesta de negocios atractiva. Al invertir $85,000 en el terreno, ella tendrá a su disposición $91000 el año siguiente. Supóngase, ahora, que Kaufman & Broad pone los $85 000 en el banco. A una tasa de interés de 10%, estos $85,000 crecerían hasta:

PAGINA 3 / 31





(1 + 0. 10) X $85 000 = $93 500 el año siguiente. No tendría sentido comprar el terreno cuando invertir los mismos $85 000 en el mercado financiero producirían una ganancia extra de $2 500 (es decir, $93 500 provenientes del banco menos $91000 provenientes de la inversión en terrenos). Éste es un cálculo del valor futuro. De manera alternativa, ella podría calcular el valor presente del precio de venta del año siguiente como:

Valor presente = $91000 = $82727.27 1.10

Toda vez que el valor presente del precio de venta del próximo año es inferior al precio de compra de este año de $85 000, el análisis del valor presente también indica que ella no debería recomendar la compra de dicha propiedad. Con frecuencia, los hombres de negocios tratan de determinar el costo o el beneficio exactos de una decisión. La decisión de comprar este año y de vender el año siguientes puede evaluarse como:

Valor presente neto de una inversión:

-$2 273 = $85 000 + $91000 (4.2)

0.10 Costo del terreno Valor presente del el día de hoy precio de venta del año siguiente La fórmula del valor presente puede escribirse como:

Valor presente neto = - Costo + VP

FIGURA 4. 2 Flujos de efectivo para la inversión en terrenos Ingreso de efectivo $91000 Tiempo 0 1

Salida de efectivo -$85000

La ecuación (4.2) nos indica que el valor de la inversión es de - $2 273, después de expresar todos

los beneficios y todos los costos en la fecha 0. Afirmamos que - $2 273 es el valor presente neto

(VPN) de la inversión. Es decir, el valor presente neto es el valor presente de los flujos futuros de efectivo menos el valor presente del costo de la inversión. Toda vez que el valor presente es negativo, Louisa Dice no debería recomendar la compra del terreno.

Tanto el ejemplo de Simkowitz como el ejemplo de Dice suponen condiciones de perfecta certidumbre. Es decir, Don Simkowitz sabe con perfecta certidumbre que podría vender este terreno en $11424 el año siguiente. De manera similar, Louisa Dice sabe con perfecta certidumbre que Kaufman & Broad podrían recibir $91000 por vender su terreno. Desafortunadamente, con frecuencia los hombres de negocios no conocen los flujos futuros de efectivo. Esta incertidumbre se trata en el ejemplo que se expone a continuación.

PAGINA 4 / 31





EJEMPLO

Professional Artworks, Inc. es una firma que especula con pinturas modernas. El administrador considera la adquisición de un Picasso original en la cantidad de $400 000 con la intención de venderlo al final de un año. El administrador espera que dicha pintura tenga un valor de $480000 dólares dentro de un año. Los flujos de efectivo relevantes se muestran en la figura 4.3.

Desde luego, ésta es tan sólo una expectativa ya que la pintura podría valer una cantidad mayor o inferior a $480 000. Supóngase que la tasa de interés concedida por los bancos es de 10%. ¿Debería la empresa comprar la pieza de arte? Nuestro primer pensamiento podría ser hacer un descuento a la tasa de interés, lo cual nos daría:

$48,0000 = $43,6364 1.10

Toda vez que la cantidad de $436,364 es mayor que $400,000, a primera vista parece ser que la pintura debería ser comprada. Sin embargo, 10% es el rendimiento que se puede ganar sobre una inversión libre de riesgo. Toda vez que la pintura es muy riesgosa, se requiere de una tasa de descuento más alta. El administrador elige así una tasa de 25% para reflejar este riesgo. En otras palabras, argumenta que un rendimiento esperado de 25% es una compensación justa por una inversión tan riesgosa como esta pintura.

FIGURA 4.3 Flujos de efectivo para la inversión en pinturas

Ingreso de efectivo esperado $480000 Tiempo 0 1

Salida de efectivo -$400000

Así, el valor presente de la pintura se convierte en:

$480000 = $384000 1.25 De este modo, el administrador considera que, a $400 000, la pintura se encuentra actualmente sobrevaluada y por lo tanto no hace la compra. El análisis anterior es un ejemplo típico de la toma de decisiones en las corporaciones modernas, aunque los ejemplos del mundo real son, desde luego, mucho más complejos Desafortunadamente, cualquier ejemplo que incluya un riesgo representa un problema a que no tiene que enfrentarse una situación que no incluya ningún riesgo. En un ejemplo cuyo flujos de efectivo libres de riesgo, la tasa de interés apropiada se puede determinar verificando las cifras con unos cuantos bancos. La selección de una tasa de descuento para una versión riesgosa es una tarea sumamente difícil. Simplemente no sabemos en este punto la tasa de descuento sobre la pintura debería ser de 11%, 25%, 52% o algún otro porcentaje.

PAGINA 5 / 31





Ya que la elección de una tasa de descuento es algo tan difícil, en este momento queremos ilustrar el problema. El resto del capítulo se referirá a ejemplos bajo condiciones de certidumbre. Para poder presentar un análisis ajustado por el riesgo, será necesario esperar hasta que el material específico acerca del riesgo y del rendimiento haya sido cubierto en capítulos posteriores.

4.2 EL CASO DE MULTIPLES PERIODOS

La sección anterior presentó el cálculo del valor futuro y del valor presente con base en el caso de un solo periodo. A continuación presentaremos los cálculos que deben realizarse en el caso de periodos múltiples.

Valor futuro y composición Supóngase que un individuo fuera a hacer un préstamo de $1. Al final del primer año, el prestatario le adeudaría al prestamista la cantidad principal, $1, más los intereses devengados sobre el préstamo a la tasa de interés de r. En el caso específico en el que la tasa interés es, por ejemplo, de 9%, el prestatario le adeudaría al prestamista:

$1 X (1 + r) = $1 X 1.09 = $1.09 Sin embargo, al final del año, el prestamista tiene dos opciones. Puede retirar los $1.09, o de una manera más general, (1 + r)- del mercado de capitales, o puede dejarlos y prestarlos nuevamente a lo largo de un segundo año. El proceso consistente en dejar dinero en el mercado de capitales y prestarlo

durante otro año se conoce como composición. Supóngase que el prestamista decide prestar nuevamente los fondos del préstamo (sujetarlos a otro proceso de composición) durante otro año. Para ello, toma los fondos provenientes del préstamo del primer año, $1.09, y presta esta cantidad durante el siguiente año. De tal modo, al final del siguiente año, el prestatario le adeudará:

$1 X (1 + r) X (1 + r) = $1 X (1 + r)2 = 1 + 2r + r2

$1 X (1.09) X (1.09) = $1 X (1.09)2 = $1 + $0.18 + 0.0081 = $1.1881

Este es el total que recibirá el prestamista después de dos años contados a partir de la fecha de hoy si opta por prestar nuevamente los fondos del préstamo. Dicho de otra manera, el mercado de capitales, al proporcionar una oportunidad directa para la concesión de fondos en préstamo, le permite al inversionista transformar $1 el día de hoy en $1.1881 al final de dos años. Al final de tres años, el efectivo será de $1 X (1.09)3 = $1.2950. El aspecto más importante que se debe hacer notar aquí es que la cantidad total que recibe el prestamista no es tan sólo el $1 que ella prestó más los intereses de 2 años sobre $ 1:

2 X r = 2 x $0.09 = $0.18

El prestamista también vuelve a obtener la cantidad de r2, la cual es igual a los intereses del segundo

año sobre los intereses que se ganaron en el primer año. El término, 2 X r, representa el interés simple sobre los dos años, mientras que el término r2 recibe el nombre de intereses sobre intereses. En nuestro ejemplo, esta última cantidad es exactamente de

r2 = ($0.09)2 = $0.0081

PAGINA 6 / 31





Cuando el efectivo se invierte a un interés compuesto, cada uno de los pagos de intereses se reinvierte. Bajo un interés simple, los intereses no se reinvierten. La declaración de Benjamin Franklin, "El dinero hace dinero y el dinero que hace dinero hace más dinero", es una manera muy ilustrativa de explicar el interés compuesto. La diferencia entre el interés compuesto y el interés simple se ilustra en la figura 4.4. En este ejemplo la diferencia no asciende a mucho porque el préstamo es de $1. Si el préstamo fuera de $1 millón, el

FIGURA 4.4 Interés simple y compuesto $1.295 $1.270 $1.188 $1.180 $1.09 $1

1 año 2 años 3 años

El área sombreada con color azul oscuro indica la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto. La diferencia es sustancial a lo largo de un periodo de muchos años o de muchas décadas.

prestamista recibiría $1,118,100 en un plazo de dos años. De esta cantidad, $8,106 intereses sobre intereses. La lección es que aquellos números pequeños que se sitúan allá del punto decimal pueden llegar a representar cantidades significativas de dólares cuando las transacciones implican cantidades elevadas. Además, mientras más larga sea la duración de un préstamo, más importantes serán los intereses sobre los intereses. La fórmula general aplicable a una inversión a lo largo de un cierto número de periodos puede escribirse como:

Valor futuro de una inversión: FV = C0 X (1 + r) T

donde Co es el efectivo que se deberá invertir en la fecha 0, r es la tasa de interés, y T número de periodos a lo largo de los cuales se invierte el efectivo.

EJEMPLO

1 Suh-Pyng Ku ha invertido $500 en una cuenta de ahorros en el banco First National Bank of Kent. Dicha cuenta gana un rendimiento de 7%, compuesto anualmente. ¿Qué cantidad de dinero tendrá la Sra. Ku al final de tres años?

$500 X 1.07 X 1.07 X 1.07 = $500 X (1.07)3 = $612.52 La figura 4.5 ilustra el crecimiento de la cuenta de la Sra. Ku.

PAGINA 7 / 31





EJEMPLO

Jay Ritter invirtió $1000 en acciones de SDH Company. La compañia paga actualmente un dividendo de $2, el cual se espera que crezca 20% por año a lo largo de los tres años siguientes. ¿Cuál será el dividendo de SDH Company después de 2 años?

$2 X (1.20)2 = $ 2.88

La figura 4,6 ilustra el valor creciente de los dividendos de SDH.

Los dos ejemplos anteriores pueden calcularse en una de tres maneras. Los cálculos podrían hacerse manualmente, por medio de una calculadora o con la ayuda de una tabla de valores. La tabla apropiada para tal propósito es la A-3, W aparece al final del texto. Dicha tabla presenta los Valores futuros de $1 alfinal de t periodos. Para su aplicación, se localiza la tasa de interés apropiada sobre la línea horizontal y el número apropiado de periodos sobre las columnas verticales Por ejemplo, Suh-Pyng Ku observaría las siguientes áreas de la tabla A-3

Tasa de Interes

Periodo 6% 7% 8%

1 1.0600 1.0700 1.0800 2 1.1236 1.1449 1.1664 3 1.1910 1.2550 1.2597

4 1.2625 1.3108 1.3605

FIGURA 4. 5 Cuenta de ahorros de Suh-Pyng-Ku Dólares $612.52 $612.52 $500 tiempo tiempo 0 1 2 3 0 1 2 3 -$500

FIGURA 4.6 El crecimiento de los dividendos SDH

Dólares $2.88 $2.88 ingreso de efectivo $2.40 $2.40 2.00 $2.00 Tiempo Tiempo 0 1 2 0 1 2

PAGINA 8 / 31





Ella podría calcular el valor futuro de sus $500 como:

$500 x 1.2250 = $612.50 Inversión Valor futuro inicial de $1

En el ejemplo acerca de Suh-Pyng Ku, nosotros le proporcionamos a usted la inversión inicial y la tasa de interés y posteriormente le pedimos que calculara el valor futuro. De manera alternativa, la tasa de interés podría ser desconocida, tal como se muestra en el siguiente ejemplo:

EJEMPLO

Michael Duffy, quien recientemente ganó $10000 en la lotería, desea comprar un automóvil dentro de cinco años. Michael estima que el automóvil tendrá un costo de $16 105 en esa fecha. Sus flujos de efectivo se muestran en la figura 4.7.

¿Qué tasa de interés deberá ganar Michael para poder comprar el automóvil? La razón del precio de compra efectivo inicial es la siguiente:

$16105 = 1.6105 10000

Por lo tanto, deberá ganar aquella tasa de interés que haga posible que $1 se convierta en 1.6105 dentro de cinco años. La tabla A.3 nos indica que una tasa de interés de 10% le permitirá comprar el automóvil

FIGUR 4.7 Flujos de efectivo correspondientes a la compra del automóvil de Michael

Duffy

Ingreso de efectivo $10000

0 5 1

tiempo Salida de efectivo -$16105

Desde el punto de vista algebraico, el problema se puede expresar como:

$10000 X (1 + r)5 = $16105

donde r es la tasa de interés que se necesitará para comprar el automóvil. Toda vez que $16,105 / $ 10,000 = 1.6105, tenemos:

(1+ r)5 = 1.6105

El valor de r se puede despejar2 ya sea mediante la aplicación de la tabla o con el uso de cualquier calculadora avanzada.

PAGINA 9 / 31





El poder de la composición: Una digresión

La mayoría de las personas que han tenido alguna experiencia en proceso de composición sobre flujos de efectivo han quedado impresionadas por su poder a lo largo de periodos prolongados. Por ejemplo, tomemos el caso del mercado de acciones. lbbotson y Sinquefíeld han calculado lo que el mercado de acciones redituó como un todo desde 1926 hasta 1996.3 Demostraron que un dólar invertido en estas acciones al inicio de 1926 hubiera tenido un valor de $1370.95 a finales de 1996. Esto es 10.71 % calculado anualmente para 71 años, es decir, (1.1071)71 = $1370.95. Este ejemplo ilustra la gran diferencia que existe entre el interés compuesto y el interés simple. Un interés simple de 10.71% sobre $1 es de 10.71 centavos al año. El interés simple a lo largo de 71 años es de $7.60 (71 X $0.1071) a lo largo de 71 años. Esto es ligeramente inferior a los $1370.95 que se obtuvieron mediante la reinversión de todos los montos de principal y de intereses. Los resultados son más impresionantes cuando se consideran periodos aún más prolongados. Una persona que no tenga experiencia en la aplicación de la composición puede pensar que el valor de $1 al final de 141 años sería igual al doble del valor de $1 al final de 71 años, si se mantuviera la tasa anual de rendimiento. En realidad, el valor de $1 al final de 141 años sería la raíz cuadrada del valor de $1 al final de 71 años. Es decir, sí la tasa anual de rendimiento se mantuviese, una inversión de $1 en acciones comunes deberia valer $1879 503.90 [$1 X (1370.95 X 1370.95)]. 2 Conceptualmente, obtenemos las raíces quintas de ambos lados de la ecuación. Es decir, r5 = 1.6105 - 1 3 Stocks, Bonds, Bills and Inflation [SBBIJ, 1996 Yearbook. Ibbotson Associates, Chicago, 1997.

Hace algunos años un arqueólogo recuperó una reliquia en la que se afirmaba que Julio César le había prestado a los romanos una cantidad equivalente a un penique. Toda vez que no había datos de que dicho penique hubiera sido alguna vez reembolsado, el arqueólogo se preguntó cuál sería el interés y el principal si un descendiente del César tratara de cobrar la suma adeudada a un descendiente del prestatario en el siglo xx. El arqueólogo consideró que 6% podría ser una tasa adecuada. Para su total sorpresa, el principal y el interés adeudado después de más de 2 000 años era mucho más grande que la totalidad de la riqueza existente en el planeta.

El poder de la composición puede explicar la razón por la cual los padres de las familias de clase media frecuentemente heredan riquezas a sus nietos en lugar de heredarlas a sus hijos. Es decir, saltan una generación. Los padres preferirían hacer a sus nietos muy ricos en lugar de hacer a sus hijos moderadamente ricos. Además, hemos descubierto que en estas familias los nietos tienen una perspectiva del poder de la composición más positivo que la que tienen los hijos.

Valor presente y proceso de descuento

Ahora sabemos que una tasa anual de interés de 9% permite al inversionista transformar $1 del día de hoy en $1.1881 después de dos años contados a partir del momento actual. Además, nos gustaría saber lo siguiente:

¿Qué cantidad de dinero necesitaría prestar un inversionista el día de hoy a efectos de que pudiera recibir $1 después de dos años? Algebraicamente, podemos escribir esto como:

PV X (1.09)2 = $1

En (4.3), VP representa el valor presente, la cantidad de dinero que deberemos prestar el día de hoy a objeto de recibir $1 en un plazo de tiempo de 2 años.

PAGINA 10 / 31





FIGURA 4. 8 Procesos de composición y de descuento

La línea superior muestra el crecimiento de $1000 bajo un proceso de interés compuesto inviertiendo los fondos a una tasa de 9%: $1000 X (1.09)10 =$2 367.36. El interés simple se muestra en la siguiente línea. te es de $1000 + [ 10 X ($1000 X 0.09)] = $1900. La línea del fondo muestra el valor descontado de $1000 cuando la tasa de interés es de 9%.

Despejando el valor de VP en (4.3), tenemos

VP = $1 = $0.84

1.1881

Este proceso, consistente en calcular el valor presente de un flujo de efectivo futuro se conoce como descuento o

proceso de descuento. Es lo opuesto de los procesos de composición. La diferencia entre la composición y el

descuento se ilustra en la figura 4.8.

Para estar seguros de que $0.84 son realmente el valor presente de $1 que se vaya a recibir dentro de 2 años,

debemos verificar si después de prestar $0.84 y de renovar dicho préstamo durante dos años, obtendremos o no

exactamente $1. Si este fuera el caso, los mercados de capitales estarían afirmando que $1 recibido en un plazo de

tiempo de dos años es equivalente a tener $0.84 el día de hoy. Si verificamos las cifras exactas, tenemos:

$0.84168 X 1.09 X 1.09 = $1

En otras palabras, cuando tenemos mercados de capitales con una tasa de interés de 9%, somos indiferentes entre

recibir $0.84 el día de hoy o $1 dentro de dos años. No tenemos razones para tratar estas dos alternativas de una

manera distinta, porque si tuviéramos $0.84 el día de hoy y sí los prestáramos durante dos años, obtendríamos un

rendimiento de $1 al final de ese plazo de tiempo. El valor de 0.84 [11(1.09)2] se conoce con el nombre de factor

de descuento. Es el factor que se usa para calcular el valor presente de un flujo futuro de efectivo.

En el caso de periodos múltiples, la fórmula del valor presente puede escribirse como:

Valor presente de la inversión

T

T

r

CVP

)1(

donde CT es el flujo de efectivo en la fecha T y r es la tasa de interés apropiada.

Dólares

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

$422.41

$1,000.00

$2,367.36

Interés

compuesto $2,367.36

Interés simple

$1,000.00

Composición

de 9%

Descuentode

9%

PAGINA 11 / 31





EJEMPLO

1 Bernard Dumas recibirá $10000 después de tres años contados a partír de la fecha de: hoy. Bernard puede ganar

8% sobre sus inversiones, y por lo tanto la tasa de descuento apropiada es de 8%. ¿Cuál será el valor presente de

su flujo futuro de efectivo?

3

08.1

110000$

xPV

= $10000 X 0.7938

= $7938

La figura 4.9 ilustra la aplicación del factor de descuento a la inversión de Bernard.

Cuando sus inversiones crezcan a una tasa de interés de 8%, Bernard Dumas se sentirá igualmente inclinado a

recibir $7 938 el día de hoy o a recibir $10 000 dentro de un plazo de tres años. Simplemente, podría convertir los

$7 938 que reciba el día de hoy en $ 10 000 dentro de un plazo de tres años prestándolos a una tasa de interés de

8%.

Bernard Durnas; podría haber realizado sus cálculos del valor presente en una de tres formas. El cálculo podría

haberse realizado manualmente, mediante calculadora o con la ayuda del cuadro A-1, el cual aparece en la parte

final del.

FIGURA 4.9 Descuento de la oportunidad de Bernard Durnas

texto. Este cuadro presenta el valor presente de $1 que se recibe después de t periodos. Este cuadro se aplica

localizando la tasa de interés apropiada sobre la línea horizontal y el número apropiado de periodos sobre la

columna vertical. Por : ejemplo, Bernard Dumas buscaría la siguiente área del cuadro A- 1:

Tasa de interés

Periodo 7% 8% 9%

1 0.9346 0.9259 0.9174

2 0.8734 0.8573 0.8417

3 0.8163 0.7938 0.7722

4 0.7629 0.7350 0.7084

El factor de descuento es de 0.7938.

0 1 2 3 0 1 2 3

$10 000

$7 938

Tienpo Timpo

$10 000 Ingreso de efectivo

PAGINA 12 / 31





En el ejemplo anterior, proporcionamos tanto la tasa de interés como los flujos futuros de efectivo. De manera

alternativa, la tasa de interés podría ser desconocida.

EJEMPLO

Un cliente de Chaftin Corp. desea comprar un bote de remolque el día de hoy. En lugar de liquidar su cuenta

inmediatamente, pagará $50 000 dentro de 3 años. A Chaftin Corp. le costará $38 610 construir el bote

inmediatamente. Los flujos de efectivo relevantes de Chaftin Corp. se muestran en la figura 4.10. ¿Qué tasa de

interés se tendría que cargar para que Chaftin Corp. no ganara ni perdiera sobre la venta?

La razón del costo de construcción-precio de venta es:

$38610 = 0.7722

$50000

Debemos determinar la tasa de interés que permitirá que $1 que se reciba dentro de tres años tenga un valor

presente de $0.7722. El cuadro A- 1 nos indica que esta tasa de interés es de 9%.

Algebraicamente, estamos despejando el valor de r en la ecuación

$50000 = $38 610

( 1 + r )3

o, de manera equivalente:

$ 1 = $0.7722

(1 + r)3

Con frecuencia, un inversionista o una empresa de negocios recibirán más de un solo flujo de efectivo. El valor

presente del conjunto de flujos de efectivo es simplemente la suma de los valores presentes de los flujos de

efectivo individuales, lo cual se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Dennis Draper ganó la lotería del estado de Kentucky y recibirá el siguiente conjunto de flujos de efectivo a lo

largo de los dos años siguientes:

Año Flujo de efectivo

1 $2000

2 $5000

El Sr. Draper puede ganar actualmente 6% sobre su cuenta de ahorros de cheques, y por lo tanto, la tasa de

descuento apropiada es de 6%. El valor presente de los flujos de efectivo es el siguiente:

Año Flujo de efectivo X Factor de valor presente = Valor presente

1 $2 000 X 1 = 0.943 = $1 887

1.06

2 $5 000 X 1 2 = 0.890 = $4 450

1.06 Total $6 337

PAGINA 13 / 31





En otras palabras, el Sr. Draper se siente igualmente inclinado a recibir $6 337 el día de hoy o a recibir $2000 y

$5000 a lo largo de los dos años siguientes.

fórmula algebraica

Para derivar una fórmula algebraica para el valor presente neto de un flujo de efectivo, recordemos que el valor

presente de recibir un flujo de efectivo después de un año contado a partir de hoy es:

VP = C1 / (1 + r)

y el valor presente de recibir un flujo de efectivo después de dos años contados a partir de hoy es

VP = C2 / ( 1 + r) 2

FIGURA 4. 10 Flujos de efectivo para el -bote de remolque

Ingreso de efectivo $50 000

Salida de efectivo - $38 610

Podemos escribir el valor presente neto de un proyecto de T periodos como

T

ii

i

T

T

r

CC

r

C

r

C

r

CCNPV

1

02

210

)1()1(...

)1(1

El flujo inicial, -C0, se supone ser negativo porque representa una inversión. El término "V' es la representación de

la suma de la serie.

4.3 PERIODOS DE COMPOSICION

Hasta este momento hemos supuesto que los procesos de composición y de descuento ocurren anualmente.

Algunas veces los procesos compuestos (o periodos de capitalización) pueden ocurrir con mayor frecuencia que

sólo una vez al año. Por ejemplo, imagínese que un banco paga una tasa de interés de 10% "compuesta

semestralmente". Esto significa que un depósito de $1000 en el banco valdría $1000 x 1.05 = $1050 después de

seis meses, y $1050 X 1.05 = $1102.50 al final de un año.

La riqueza que se tendría al final del año puede escribirse como:

50.1102$)05.1(1000$2

10.011000$ 2

2

X

Desde luego, un depósito de $1000 valdría $1100 ($1000 x 1. 10) bajo una composición (o capitalización) anual.

Obsérvese que el valor futuro al final de un año es mayor bajo una capitalización semestral que bajo una

capitalización o composición anual. Mediante una capitalizacíón anual, los $1000 originales siguen siendo la base

de la inversión para la totalidad del año. Bajo una capitalización semestral, los $1000 son la base de la inversión

Tiempo 0 3

PAGINA 14 / 31





tan sólo para los seis primeros meses. La base de la inversión a lo largo de los segundos seis meses es de $1050. De

tal modo, en la capitalización semestral se ganan intereses sobre intereses.

Toda vez que $1000 x 1.1025 = $1102.50, 10% compuesto semestralmente es lo mismo que 10.25% compuesto

anualmente. En otras palabras, un inversionista racional se encontraría en la misma posición ya fuera que le

ofrecieran una tasa de 10% compuesta semestralmente o una tasa de 10.25% compuesta anualmente.

Al final de un año, una composición (o capitalización) trimestral de 10% reditúa una riqueza de:

81.1103$4

10.011000$

4

Dicho de una manera más general, componer una inversión m veces al año proporciona al final de un año una

riqueza de:

m

m

rC

10

(4.4)

donde C0 es la inversión inicial y r es la tasa de interés anual estipulada. La tasa de interés anual estipulada es la

tasa de interés anual sin considerar los procesos de composición o de capitalización. Los bancos y otras

instituciones financieras pueden usar otros nombres para la tasa de interés anual estipulada. El término de tasa

porcentual anual es probablemente el sinónimo más común.

EJEMPLO

¿Cuál será la riqueza que se acumulará al final de¡ año si Jane Christine recibe una tasa de interés anual estipulada

de 24% compuesta mensualmente sobre una inversión de $1?

Si aplicamos (4.4), su riqueza será de:

2682.1$

)02.1(1$12

24.011$ 12

12

X

La tasa anual de rendimiento es de 26.82%, la cual recibe el nombre de tasa :anual de interés efectiva. Debido a

los periodos de composición, la tasa anual deinterés efectiva es mayor que la tasa anual de interés estipulada de

24%.

Algebraicamente, podemos reescribir la tasa anual de interés efectiva como:

Tasa anual de interés efectiva;

11

m

m

r (4.5)

Algunas veces los estudiantes se confunden ante la sustracción del 1 en (4.5) Obsérvese que la riqueza acumulada

al final del año se encuentra compuesta tanto, por los intereses ganados a lo largo del año como del principal

original.

Eliminamos el principal original sustrayendo uno en (4.5).

EJEMPLO

Si la tasa anual de interés estipulada, 8%, se capitaliza trimestralmente, ¿cuál será 1 la tasa anual de interés

efectiva?

Aplicando 4.5, tenemos:

11

m

m

r

PAGINA 15 / 31





Volviendo a nuestro ejemplo original donde C0 = $1 000 y r = 10%, podemos generar el siguiente cuadro:

Tasa anual

de interés efectiva =

11

m

m

r C0 Frecuencia de capitalización C1

$1 000 Anual (m = 1) $1 100.00 0.10

1000 Semestral (m = 2) 1 102.50 0.1025

1000 Trimestral (m = 4) 1 103.81 1.10381

1000 Diaria (m = 365) 1 105.16 1.10516

Distinción entre la tasa anual de interés

Estipulada y la tasa anual de interés efectiva La distinción entre la tasa de interés anual estipulada (SAIR) y la tasa de interés anual efectiva (EAIR) es

frecuentemente muy difícil para los estudiantes. Es posible reducir esta confusión haciendo notar que el SAIR

adquiere significación tan sólo cuando se proporciona el intervalo de composición. Por ejemplo, en el caso de un

SAIR de 10%, el valor futuro al final de un año bajo una composición semestral será de [ 1 + (. 10/2)]2 = 1. 1025

El valor futuro bajo una composición trimestral será de [ 1 + (. 10/4)14 = 1. 1038. Si el SAIR es de 10% pero no

se proporciona ningún intervalo de composición, no se puede calcular el valor futuro. En otras palabras, no se

puede saber si deberá componer en forma semestral, trimestral o a lo largo de algún otro intervalo.

En contraste, el EAIR es significativo sin un intervalo de composición. Por ejemplo, un EAIR de 10.25% significa

que una inversión de $1 tendrá un valor de $1.1025 dentro de un año. Uno podría pensar que éste es un SAIR de

10% sujeto a una composición semestral o un SAIR de 10.25% sujeto a una composición anual, o alguna otra

posibilidad.

Procesos de composim0n a lo largo de muchos años La fórmula (4.4) se aplica a una inversión a lo largo de un año. En el caso de una inversión que se extienda a lo

largo de uno o más años (T), la fórmula se convierte en:

Valor futuro con composición:

mT

m

rCFV

10

(4.6)

EJEMPLO

Harry DeAngelo invirtió $5 000 a una tasa anual de interés de 12%, compuesta trimestralmente, durante cinco

años. ¿Cuál será su riqueza al final de cinco años? Usando la fórmula (4.6), su riqueza será:

54

4

12.015000$

X = $5 000 X (1.03)20 = $5 000 X 1.8061 = $9 030.50

Composición continua (nivel avanzado) La exposición anterior ha demostrado que la composición puede realizarse con una frecuencia mucho mayor que

tan sólo una vez al año. Se pueden fijar periodos de composición semestrales, trimestrales, mensuales, diarios, por

hora, por minuto, o aun más frecuentes. En el límite, se capitalizaría cada instante infinitesimal, lo cual recibe

PAGINA 16 / 31





comúnmente el nombre de composición continua. De manera sorprendente, los bancos y otras instituciones

financieras frecuentemente cotizan tasas continuas de composición raz6n por la cual procederemos a su estudio.

Aunque la idea de capitalizar los flujos de efectivo con esta rapidez puede causar confusión, tan sólo se necesita

aplicar una fórmula sencilla. Bajo una composición continua, el valor al final de T años se expresa como:

rTeC 0 (4.7)

donde C0 es la inversión inicial, r es la tasa de interés anual estipulada, y T el número de años a lo largo de los

cuales corre la inversión. El número e es una constante aproximadamente igual a 2.718. Su valor no es

desconocido, tal como sucede con C0, r y T.

EJEMPLO

Linda Bennett invirtió $1000 a una tasa de 10% compuesta continuamente duran1 te un año. ¿Cuál será su riqueza

al final de un año?

A partir de la fórmula (4.7) tenemos:

20.1105$1052.11000$1000$ 10.0 e

Esta cifra puede ser fácil de leer en el cuadro A.5. Tan sólo se necesita establecer r, 1 : el valor de la dimensión

horizontal, a 10% y T, el valor sobre la dimensión vertical, a un valor de 1. En el caso de este problema, la porción

relevante del cuadro es:

Tasa compuesta continuamente (r)

Periodo 7% 8% 9%

1 0.9346 0.9259 0.9174

2 0.8734 0.8573 0.8417

3 0.8163 0.7938 0.7722

4 0.7629 0.7350 0.7084

Obsérvese que una tasa compuesta continuamente de 10% es equivalente a una tasa compuesta anualmente de

10.52%. En otras palabras, a Linda Bennett le sería indiferente que su banco le cotizara una tasa compuesta

continuamente de 10% o una tasa de 10.52%, compuesta anualmente.

EJEMPLO

El hermano de Linda Bennett, Bruce, invirtió $1000 a una tasa compuesta continuamente de 10% durante 2 años.

En este caso, la fórmula apropiada es:

40.1221$1000$1000$ 20.0210.0 ee

Mediante el área de la tabla de tasas compuestas continuamente que se reprodujo anteriormente, encontramos que

el valor es de 1.2214.

La figura 4.11 ilustra la ' relación que existe entre las composiciones anuales, semestrales, y continuas. Una

composición semestral da lugar a una curva más suave y a un valor final más alto que una composición anual. Una

composición continua tiene la curva más

suave y el valor final más alto de todos.

PAGINA 17 / 31





EJEMPLO

La lotería del estado de Michigan le va a pagar a usted $1000 al final de cuatro años. Si la tasa anual de interés

compuesta continuamente es de 8%, ¿cuál será el valor presente de este pago?

16.726$3771.1

11000$

11000$

408.0

e

FIGURA 4. 11 Procesos de composición (o capitalización) anuales, semestrales y continuos

4.4 SIMPLIFICACIONES

En la primera parte de este capítulo hemos examinado los conceptos del valor futuro y del valor presente. Aunque

estos conceptos hacen posible responder a una gran variedad de problemas acerca del valor del dinero a través del

tiempo, el esfuerzo humano involucrado puede ser frecuentemente excesivo. Por ejemplo, considérese el caso de

un banco que calcula el valor presente de una hipoteca mensual a lo largo de 20 años. Toda vez que esta hipoteca

implica 240 (20 X 12) pagos, se requiere de una gran cantidad de tiempo para realizar una tarea conceptualmente

sencilla.

Toda vez que una gran cantidad de problemas financieros básicos requieren en potencia de una gran cantidad de

tiempo, en esta sección realizaremos algunas simplificaciones. Proporcionaremos fórmulas simplificadas para

nuestras cuatro clases de corrientes de flujos de efectivo:

• Perpetuidades

• Perpetuidades crecientes

• Anualidades

• Anualidades crecientes

Perpetuidades

Una perpetuidad es una corriente constante e infinita de flujos de efectWo. Si usted considera que las

perpetuidades no tienen relevancia en la realidad, se sorprenderá al saber que existe un caso bien conocido de una

corriente infinita de un flujo de efectivo: los bonos británicos denorrúnados "consols". Un inversionista que

compra un consol tiene derecho a recibir un interés anual del gobierno británico para siempre.

Interés

ganado

0 1 2 3 4 5

4

3

2

1

Dólares

Años

Composición anual

Interés

ganado

0 1 2 3 4 5

4

3

2

1

Dólares

Años

Composición semestral

0 1 2 3 4 5

4

3

2

1

Dólares

Años

Interés

ganado

Composición continua

PAGINA 18 / 31





¿Cómo se puede determinar el precio de un consol? Considérese un consol que paga un cupón de C dólares cada

año y que seguirá haciendo dicho pago para siempre. Si aplicarnos la fórmula del VP en forma directa, solo

obtendremos:

.....)1()1(1 32

r

C

r

C

r

CVP

donde los puntos que aparecen al final de la serie representan la corriente infinita de términos que continúan a lo

largo de la fórmula. Las series que tienen una configuración igual a ésta reciben el nombre de series geométricas.

Es bien sabido que aun cuando tengan un número infinito de términos, la totalidad de la serie tiene una suma finita

porque cada término es tan sólo una fracción del término anterior. Sin embargo, antes de recurrir a nuestros libros

de cálculo, es muy útil regresar a nuestros principios originales para observar si una pequeña cantidad de intuición

financiera nos puede ayudar a encontrar el valor presente.

El valor presente de un consol es el valor presente de todos sus cupones futuros. En otras palabras, es una cantidad

de dinero que, si un inversionista la tuviera el día de hoy, le permitiría lograr el mismo patrón de gastos que

tendrían el consol y sus cupones. Supóngase que un inversionista quisiera gastar exactamente C dólares cada año.

Sí tuviera un consol, podría hacerlo. ¿Qué cantidad de dinero debería tener el día de hoy para poder gastar la misma

cantidad? Como es claro, necesitaría una cantidad de fondos exactamente suficiente para que el interés sobre el

dinero fuera de C dólares por año. Si él tuviera cualquier cantidad adicional, podría gastar más de $1000 dólares

cada año. Si tuviera cualquier cantidad inferior a ésta, finalmente se quedaría sin dinero después de gastar C

dólares por año.

La cantidad de dinero que le proporcionará al inversionista C dólares cada año, y por lo tanto el valor presente del

bono de consolación, es:

r

CVP (4.8)

Para confirmar que ésta es la respuesta correcta, obsérvese que si prestamos la cantidad C/r, el interés que ganará

cada año será de:

Crr

CIntereses

que es exactamente el pago del consol.6 Para resumir nuestro procedimiento, hemos demostrado que en el caso de

un consol

Fórmula para el valor presente de tina perpetuidad-

.....)1()1(1 32

r

C

r

C

r

CVP

EJEMPLO

Considérese el caso de una perpetuidad que paga $100 al año. Si la tasa de interés 1 : relevante es de 8%, ¿cuál será

el valor del consol? Usando la fórmula (4.8), tenemos:

1250$08.0

100$PV

Ahora supóngase que las tasas de interés disminuyen a 6%. Usando (4.8), el valor 1 de la perpetuidad es:

67.1666$06.0

100$PV

Obsérvese que el valor de la perpetuidad aumenta cuando disminuye la tasa de interés. De manera opuesta, el valor

de la perpetuidad disminuye cuando aumenta la tasa de interés. a :

PAGINA 19 / 31





Perpetuidad creciente Imaginemos el caso de un edificio de departamentos donde los flujos de efectivo para el propietario, después de

deducir los gastos, serán de $ 100 000 para el año siguiente. Se espera que estos flujos de efectivo aumenten 5%

por año. Si uno supone que este aumento continuo de manera indefinida, la corriente del flujo de efectivo recibe el

nombre de perpetuidad creciente. La tasa de interés relevante es de 11%. Por consiguiente, la tasa de descuento

apropiada será de 11% y el valor presente de los flujos de efectivo podrá representarse como:

....)11.1(

)05.1(100000$

)11.1(

)05.1(100000$

11.1

100000$3

2

2VP

.....)11.1(

)05.1(100000$ 1

N

N

Algebraicamente, podemos escribir la fórmula como:

....)1(

)1(

)1(

)1(

1 3

2

2

g

gC

r

gC

r

CVP

.....)1(

)1( 1

N

N

r

gC (4.9)

donde C es el flujo de efectivo que se recibirá después de un periodo contado a partir del día de hoy, g es la tasa de

crecimiento por periodo, expresada como un porcentaje, y r es la tasa de descuento apropiada.

Afortunadamente, la fórmula (4.9) se reduce a la siguiente simplificación:

Fórmula para el valor presente de una perpetuidad creciente:

gr

CVP

(4.10)

Partiendo de la fórmula 4. 10, el valor presente del flujo de efectivo proveniente del edificio de departamentos es:

1666667$05.011.0

100000$

Existen tres aspectos de importancia con relación a la fórmula de la perpetuidad creciente:

1. El numerador El numerador en (4. 10) es el flujo de efectivo de un periodo después contado a partir de hoy, y

no en la fecha cero. Considérese el ejemplo que se presenta a continuación:

EJEMPLO

Rothstein Corporation está apunto de pagar un dividendo de $3.00 por acción. Los inversionistas anticipan que el

dividendo anual aumentará 6% anual para 1 siempre. La tasa de interés aplicable es de 11%. ¿Cuál será el precio de

las acciones el día de hoy?

El numerador de la fórmula (4.10) ese¡ flujo de efectivo que se recibirá en el siguiente periodo. Toda vez que la

tasa de crecimiento es de 6%, el dividendo del : : año siguiente será de $3.18 ($3.00 X 1.06). El precio de la acción

al día de hoy será de:

PAGINA 20 / 31





06.011.0

18.3$00.3$60.66$

Dividendo Valor presente de todos

inminente los dividendos empezando

después de un año contado

a partir del día de hoy

El precio de $66.60 incluye tanto al dividendo que se vaya a recibir inmediatamente como al valor presente de

todos los dividendos empezando un año después de hoy. La fórmula 4.10 tan sólo permite calcular el valor presente

de todos los dividendos empezando un año contado a partir del día de hoy. Asegúrese de que usted entienda este

ejemplo: las preguntas de prueba sobre este tema siempre parecen rebasar a algunos de nuestros estudiantes.

2. La tasa de interés Y la tasa de crecimiento. La tasa de interés r debe ser mayor que la tasa de interés g para

que funcione la fórmula de la perpetuidad creciente. Considérese el caso en el cual la tasa de crecimiento se

aproxima a la tasa de interés en magnitud. Después, el denominador de la fórmula de la perpetuidad creciente se

vuelve infinitesimalmente pequeño y el valor presente crece hasta alcanzar un valor infinitamente grande. De

hecho, el valor presente es indefinido cuando r es menor a g.

3. El supuesto de la periodicidad. Por lo general, el efectivo fluye hacia adentro y hacia afuera de las

empresas del mundo real tanto de una manera aleatoria como casi continua. Sin embargo, la fórmula (4. 10) supone

que los lujos de efectivo se reciben y se desembolsan según puntos regulares y discretos en el tiempo. En el

ejemplo del departamento, supusimos que los flujos netos de efectivo de $ 100 000 tan sólo ocurrían una vez al

año. En la realidad, los cheques por arrendamientos comúnmente se reciben de manera mensual. Los pagos del

mantenimiento y de otros gastos pueden ocurrir en cualquier momento dentro del año.

La fórmula de la perpetuidad creciente de (4. 10) puede aplicarse tan sólo suponiendo un patrón regular y discreto

de flujo de efectivo. Aunque este supuesto es razonabl6 porque la fórmula ahorra una gran cantidad de tiempo, el

usuario nunca debe olvidar que éste es tan sólo un supuesto. Este aspecto se mencionará nuevamente en los

capítulos posteriores.

Se deben mencionar algunas cosas más acerca de la terminología. Los autores de los libros de texto de finanzas

generalmente usan uno de dos convencionalismos para referirse al tiempo. Una minoría de los escritores

financieros tratan a los flujos de efectivo como aquellos que se reciben en fechas exactas, por ejemplo, la fecha 0,

la fecha 1, y así sucesivamente. Bajo este convencionalismo, la fecha 0 representa el momento actual. Sin embargo,

toda vez que un año es un intervalo, y no un momento especifico en el tiempo, la gran mayoría de los autores se

refieren a los flujos de efectivo que ocurren al final de un año (o alternativamente, al final de un periodo). Bajo

este convencionalismo de fin del arlo, el final del año 0 es el presente, y el final del año 1 ocurre un periodo

después de esa fecha, y así sucesivamente. (El inicio del año 0 ya ha transcurrido y generalmente no se hace refe-

rencia al mismo.)

La intercambiabilidad de los dos convencionalismos puede verse a partir de la siguiente gráfica:

Nosotros creemos firmemente que el convencionalismo de las fechas reduce la ambigüedad. Sin embargo,

debemos usar ambos convencionalismos porque es probable que usted encuentre el convencionalismo del fin del

Fecha 0 Fecha 1 Fecha 2 Fecha 3 . . .

= Momento

actual

Fin del año 0 Fin del año 1 Fin del año 2 Fin de año 3 . . .

= Momento

actual

PAGINA 21 / 31





año en cursos posteriores. De hecho, ambos convencionalismos pueden aparecer en el mismo ejemplo con

propósitos de práctica.

Anualidad

Una anualidad es una corriente uniforme de pagos regulares que dura un número fijo de periodos. De una manera

no sorprendente, las anualidades se encuentran entre los tipos más comunes de instrumentos financieros. Con

frecuencia, las pensiones que reciben las personas cuando se jubilan se otorgan bajo la forma de una anualidad. A

menudo, los arrendamientos y las hipotecas también son anualidades.

Para calcular el valor presente de una anualidad necesitamos evaluar la siguiente ecuación :

Tr

C

r

C

r

C

r

C

)1(.....

)1()1(1 32

El valor presente de recibir tan sólo los cupones durante T periodos debe ser inferior al valor presente de un consol,

pero, ¿en qué cantidad debe ser menor? Para responder a esta pregunta, debemos observar los consols de una

manera más detallada.

Considérese la siguiente gráfica de tiempo:

El consol 1 es un bono normal cuyo primer pago ocurre en la fecha 1. El primer pago de¡ consol 2 ocurre en la

fecha T + 1.

El valor presente de tener un flujo de efectivo C en cada una de las fechas T es igual al valor presente M

consol 1 menos el valor presente del consol 2. El valor presente del consol 1 está dado por

r

CVP (4.11)

El consol 2 es tan sólo un bono cuyo primer pago ocurre en la fecha T + 1. A partir de la fórmula de las

perpetuidades, este bono tendrá un valor de C/r en la fecha T. Sin embargo, no queremos el valor en la fecha T.

Queremos el valor en el momento actual; en otras palabras, el valor presente en la fecha 0. Debemos descontar el

valor de C/r durante T periodos. Por consiguiente, el valor presente del consol 2 será de:

Trr

CVP

)1(

1 (4.12)

El valor presente de tener flujos de efectivo durante T anos es el valor presente de un consol cuyo primer pago

ocurre en la fecha 1 menos el valor presente de un consol cuyo primer pago ocurre en- la fecha T + 1. De tal modo,

el valor presente de una anualidad es la fórmula (4.11) menos la fórmula (4.12), lo cual puede escribirse como:

Fecha (o fin de año)

Consol C C C . . . C C C . . .

Consol 2 C C . . .

Anualidad C C C . . . C

Momento actual

0 1 2 3 T (T + 1) (T + 2)

PAGINA 22 / 31





Trr

C

r

C

)1(

1

Esto se simplifica en la

Fórmula Para el valor presente de una anualidad:10,11

TrrrCvp

)1(

11 (4.13)

EJEMPLO

Mark Young acaba de sacar la lotería estatal, la cual le pagará $50 000 al año durante 20 años. Habrá de recibir su

primer pago después de un año contado a, partir de hoy. El estado la anuncia como la Lotería del Millón de Dólares

porque $1000 000 = $50 000 X 20. Si la tasa de interés es de 8%, cuál será el valor verdadero de este premio de

lotería?

La fórmula (4.13) nos daría:

20)08.1(08.0

1

08.0

150000$

Pago periódico Factor de anualidad

= $50 000 x 9.8181

= $490 905

En lugar de estar muy contento por haber ganado tal premio, el Sr. Young demanda legalmente al estado por los

delitos de mala representación y de fraude. Su defensa declara que a él se le prometió $1 millón pero que tan sólo

recibirá $490905

El término que usamos para calcular el valor de la corriente de pagos iguales, C, durante T años se conoce como

factor de anualidad. En el ejemplo actual el factor de anualidad es de 9.818 1. Toda vez que el factor de anualidad

se usa con mucha frecuencia en los cálculos del valor presente, lo hemos incluido en la tabla A.2 que aparece al

final del libro. Esta tabla proporciona los valores de estos factores para un rango de tasas de interés, r, y de fechas

de vencimiento, T.

El factor de anualidad, tal como se expresa en los corchetes de la fórmula (4.3), constituye una fórmula compleja.

Con propósitos de simplificación, ocasionalmente nos podemos referir al factor de anualidad como:

T

rA (4.14)

Es decir, la expresión (4.14) representa el valor presente de $1 al año durante T años a una tasa de interés de r.

Nuestra experiencia ha sido que las fórmulas de anualidades no son difíciles, sino un tanto complicadas, para el

estudiante que empieza a tratar con ellas. A continuación presentaremos cuatro artificios:

Artificio No. 1: Una anualidad retardada Uno de los artificios que pueden usarse al trabajar con anualidades o

con perpetuidades consiste en calcular la periodicidad de los plazos de una manera exacta. Esto es particularmente

cierto cuando una anualidad o una perpetuidad empieza en una fecha que incluye muchos periodos hacia el futuro.

Hemos encontrado que aun el estudiante más brillante que inicia sus estudios puede cometer errores aquí

Considérese el ejemplo que se presenta a continuación.

Valor presente de

la Lotería del Millón de Dólares

PAGINA 23 / 31





EJEMPLO

Danielle Caravello recibirá una anualidad a cuatro años de $500 por año, empezando en la fecha 6. Si la tasa de

interés es de 10%, ¿cuál será el valor presente de su anualidad? Esta situación puede graficarse como:

El análisis implica dos pasos:

1.- Calcule el valor presente de la anualidad usando (4.13), el cual será igual a:

Valor presente de la anualidad en la fecha 5:

95.1584$

1699.3500$

00$)10.1(10.0

1

10.0

1500$ 4

10.04

A

Obsérvese que la cifra de $1584.95 representa el valor presente en la fecha 5. Los estudiantes consideran con

frecuencia que $1584.95 es el valor presente en la fecha 6, dado que la anualidad empieza en la fecha 6. Sin

embargo, nuestra fórmula valora la anualidad con fecha de un periodo anterior al primer pago. Esto puede verse

en el caso más típico en el que el primer pago ocurre en la fecha 1. En este caso, la fórmula valora la anualidad

en la fecha 0.

2. Descuéntese el valor presente de la anualidad a la fecha 0. Es decir, p

Valor presente en la fecha 0:

13.984$)10.1(

95.1584$5

Nuevamente, es importante mencionar que, ya que la fórmula de la anualidad 1 lleva nuevamente la anualidad de

Danielle a la fecha 5, el segundo cálculo debe hacer el descuento sobre los 5 periodos restantes. El procedimiento

de dos pasos se gráfica en la figura 4.12.

Artificio No. 2: Anualidad anticipada La fórmula de anualidad de (4.13) supone que el pago de la primera

anualidad empieza en un periodo total contado a partir de hoy. Este tipo de anualidad recibe a menudo el nombre

de anualidad diferida o con atraso. ¿Qué sucederá si la anualidad empieza el día de hoy, en otras palabras, en la

fecha 0?

EJEMPLO

En un ejemplo anterior, Mark Young recibiría de la lotería de¡ estado $50 000 al año durante 20 años. En el

ejemplo, recibiría el primer pago después de un :: año contado a partir de la fecha en la que ganó el premio.

Supongamos ahora que el primer pago ocurre inmediatamente. El número total de pagos seguirá igual a 20.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$500 $500 $500 $500

PAGINA 24 / 31





Bajo este nuevo supuesto, tenemos una anualidad de 19 fechas en la que el primer pago ocurre en la fecha 1, más

un pago adicional en la fecha 0. El valor presente es:

19

08.050000$50000$ A

Pago en la fecha 0 Anualidad de 19 años

= $50 000 + ($50 000 x 9.6036)

= $530 180

Por lo tanto, el valor presente en este ejemplo, $530 180, es mayor que $490 905, el valor presente en el ejemplo

anterior de la lotería. Esto era de esperarse porque la anualidad del ejemplo actual empieza en una fecha anterior.

Una anualidad con un pago inicial inmediato recibe el nombre de anualidad anticipada. Recuérdese siempre que la

fórmula (4.13), así como la tabla (A.2), que aparecen en este libro, se refieren a una anualidad con atraso.

Artificio No. 3: La anualidad irregular El ejemplo que se expone a continuación trata de una anualidad cuyos

pagos ocurren con una frecuencia inferior a la de una vez al año.

FIGURA 4.12 Descuento de la anualidad de Danielle Caravelloi

Paso uno: Descuéntense los cuatro pagos nuevamente a la fecha 5 usando la fórmula de anualidades.

Paso dos: Descuéntese el valor presente en la fecha 5 ($1584.95) nuevamente al valor presente en la fecha 0.

EJEMPLO

La Sra. Ann Chen recibe una anualidad de $450, pagadera una vez cada dos anos. La anualidad se extiende a lo

largo de un periodo de veinte años. El primer pago ocurre en la fecha 2, es decir, después de dos años contados a

partir del día de hoy. La tasa anual de interés es de 6%.

El artificio consiste en determinar la tasa de interés a lo largo de un periodo de dos años, la cual es:

(1.06 X 1.06) - 1 = 12.36%

Es decir, $100 invertidos a lo largo de dos años redituarán una cantidad igual a 1 : $112.36. Lo que nos interesa

obtener es el valor presente de una anualidad de $450 a lo largo de 10 periodos, con una tasa de interés de

12.36% por periodo. Es decir,

57.2505$450$)1236.1(1236.0

1

1236.0

1450$ 10

1236.010

A

Artificio No. 4. Igualación del valor presente de una anualidad El ejemplo que se presenta a continuación igual a

el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos.

Fecha 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Flujo de efectivo $500 $500 $500 $500

$984.13

$1 584.95

PAGINA 25 / 31





EJEMPLO

Harold y Helen Nash están ahorrando para solventarla educación universitaria de su recién nacida hija, Susan. La

familia Nash estima que los gastos universitarios :: serán de $30 000 por año cuando su hija cumpla 18 años e

ingrese a la universidad. La tasa anual de interés a lo largo de las siguientes décadas será de 14%. ¿Qué cantidad

de dinero deberán depositar en el banco cada año a efecto de que su hija quede completamente protegida a lo largo

de los cuatro años de su educación universitaria?

Para simplificar los cálculos, suponemos que Susan nace el día de hoy. Sus :: padres harán el primero de sus cuatro

pagos anuales de colegiatura el día de su aniversario número 18. Harán depósitos bancarios iguales cada uno de sus

primeros 17 aniversarios, pero no harán depósitos en la fecha cero. Esto se ilustra como:

El Sr. y la Sra. Nash harán depósitos bancarios a lo largo de los 17 años siguientes. Retirarán $30 000 por año a lo

largo de los cuatro años siguientes. Podemos estar seguros de que podrán retirar la cantidad total de $30 000 por

año si el valor presente de los depósitos es igual al valor presente de los cuatro retiros de $30000.

Este cálculo requiere de tres pasos. Los dos primeros determinan el valor presente de los retiros. El paso final

determina los depósitos anuales que tendrán un valor presente igual al de los retiros.

1. Calculamos el valor presente de los cuatro años de educación universitaria usando la fórmula de anualidades:

87411$9137.230000$30000$)14.1(14.0

1

14.0

130000$ 4

14.04

A

Suponemos que Susan ingresa a la universidad el día de su aniversario número 18. i 1 Dada nuestra exposición en

el artificio No. 1 que se citó arriba, la cifra de $87 411 representa el valor presente en la fecha 17.

2. Calculamos el valor presente de la educación universitaria en la fecha cero mediante:

91.9422$)14.1(

87411$17

3. Suponiendo que Helen y Harols Nash hacen depósitos al final de cada uno de los 17 años, calculamos el

depósito anual que redituará un valor presente de todos los depósitos de $9 422.9. Éste se calcula como:17

91.9422$17

14.0 AC

Toda vez que ,3729.617

14.0 A

59.1478$3729.6

91.9422$C

Naci-

miento

de

Susan

Fecha 0 1 2 17 18 19 20 21

Primer

depósito

de los

padres

Segundo

depósito

de los

padres

Decimo-

séptimo

y último

depósito

de los

padres

Pago

de cole-

giatura

No. 1

Pago

de cole-

giatura

No. 2

Pago

de cole-

giatura

No. 3

Pago

de cole-

giatura

No. 4

PAGINA 26 / 31





De tal modo, los depósitos de $1478.59, realizados al final de los primeros 17 años e invertidos a una tasa de 14%,

proporcionarán una cantidad suficiente de dinero para pagar la colegiatura de $30 000 a lo largo de los cuatro años

siguientes.

Un método alternativo sería (1) calcular el valor presente de los pagos de colegiatura en la fecha correspondiente al

aniversario número 18 de Susan y (2) calcular los depósitos anuales de tal modo que el valor futuro de los

depósitos calculado en su aniversario número 18 sea igual al valor presente de los pagos de colegiatura en esa

fecha. Aunque esta técnica también puede proporcionar la respuesta correcta, hemos comprobado que es más

probable que conduzca a errores. Por lo tanto, tan sólo igualamos los. valores presentes en nuestra presentación.

Anualidad creciente Es muy probable que los flujos de efectivo de los negocios crezcan a lo largo del tiempo. ya sea que ello se deba a

un crecimiento real o a la inflación. Una perpetuidad creciente, la cual supone ¡in número infinito de flujos de

efectivo, proporciona una fórmula que permite manejar este crecimiento. A continuación consideraremos el caso de

una anualidad creciente, la cual incluye un número finito de flujos de efectivo crecientes. Toda vez que las

perpetuidades son raras cualquiera que sea su tipo, disponer de una fórmula para calcular una anualidad creciente

será verdaderamente útil. Esta fórmula es la siguiente:

Fórmula para obtener el valor presente de una anualidad creciente :

T

r

g

grgrCVP

1

111 (4.15)

donde, como antes, C es el pago que deberá ocurrir al final del primer periodo, r es la tasa de interés, g es la tasa de

crecimiento por periodo, expresada como un porcentaje, y T es el número de periodos de la anualidad.

EJEMPLO

Stuart Gabriel, un estudiante de segundo año de la Maestría en Administración de Empresas, acaba de recibir

una oferta de trabajo de $80 000 al año. Supone que su

salario aumentará 9% por año hasta su fecha de retiro dentro de40 años. Dadauna tasa de interés de 20%, ¿cuál será

el valor presente del salario de toda su vida?

Podemos simplificar los hechos suponiendo que se le pagará un salario de $80 000 exactamente después de un año

contado a partir de hoy, y que su salario se le seguirá pagando en forma anual. La tasa de descuento apropiada es de

20%. A partir de la fórmula (4.5), el cálculo es el siguiente:

Valor presente

del salario de

toda la vida

de Stuart

Aunque la anualidad creciente es de gran utilidad, es más engorrosa que las demás fórmulas simplificadas. Aunque

la mayoría de las calculadoras avanzadas tienen programas especiales para las perpetuidades, para las

perpetuidades crecientes y para las anualidades, no existe un programa especial para las anualidades crecientes. Por

lo tanto, es necesario calcular todos los términos de la fórmula (4.15) de una manera directa.

711731$20.1

09.1

09.020.0

1

09.020.0

180000$

40

PAGINA 27 / 31





EJEMPLO

En un ejemplo anterior, Harol y Helen Nash planearon hacer 17 pagos idénticos a efecto de financiar la educación

universitaria de su hija, Susan. De manera alter- Í : nativa, imaginemos ahora que ellos planearan incrementar sus

pagos a una tasa de 4% por año. ¿Cuál sería su primer pago?

Los dos primeros pasos del ejemplo anterior de la familia Nash demostraron que el valor presente de los costos

universitarios fue de $9 422.91. Estos dos pasos serán los mismos aquí. Sin embargo, el tercer paso debe ser

modificado. Ahora debemos hacer la siguiente pregunta: "¿De qué cantidad debería ser su primer pago de modo

que, si los pagos aumentan 4% por año, el valor presente de todos los pagos sea de $9 422.91?

Establecemos la fórmula de la anualidad creciente como igual a $9 422.91 y despejamos el valor de C:

91.9422$14.1

04.1

04.014.0

1

04.014.0

1

1

11117

C

r

g

grgrC

T

Aquí, C = $1 192.78. De tal modo, el depósito que deberá hacerse en la fecha del primer aniversario de su hija será

de $1 192.78, el depósito que deberá hacerse el segundo aniversario es de $1 240.49 (1.04 x $1 192.78), y así

sucesivamente.

CASO PRÁCTICO PARA ESTUDIO: La decisión de convertir el valor de un premio por

sorteos de lotena: el caso de Singer Asset Finance

Company *

En el año 1987. Rosalind Setchfíeld ganó más de $1.3 millones en la lotería del estado de Arizona. Los premios se pagarían en20 abonos anuales de $65,276.79. Seis años más tarde, en 1 "S, la Sra. Setchfield recibió una llamada telefónica de un vendedor de Singer Asset Finance Company, de West Palm Beach, Florida. La Compañía Singer le ofreció pagarle $140 000 inmediatamente por la mitad de los nueve siguientes cheques de la lotería (v. gr., $140 000 ahora por $32 638.39 x 9 = $293

745.51 a lo largo de nueve años). Singer es un corredor de premios que cuenta con un gran número de empleados cuyo principal trabajo es rastrear a los ganadores de millones de dólares en premios de loterías tal como la Sra. Setchfield. Singer sabe que muchas personas están dispuestas a negociar la totalidad o una parte de sus ganancias prometidas a cambio de.una suma acumulada y des contada pagadera de Inmediato. Singer es parte de un ¿reciente negocio de corredores de precios cuyo valor es de $700 millones. Singer y Woodbridge Sterling Capital actual mente controlan casi 80% del mercado de las

conversiones de los premios de loterías. Los corredores de premios como Singer reven den sus derechos de recepción de intereses futuros (los cuales se denominan intereses estructurados) a inversionistas institucionales como SunAmerica, Inc., o John Hancock Mu tua¡ Life Insurance Co. En el caso de la Sra. SetchfÍeld, el inversionista fue la empresa Enhance Financial Service Group, un reasegurador de bonos municipales de la ciudad de Nueva York Singer había convenido en vender a Enhance su participación en el premio de lotería de la Sra. Setchfleld en una cantidad de $196 000 y de tal modo obtendría una rápida utilidad de $56 000 si ella aceptaba la oferta. La Sra. Setchfield aceptó la oferta de Singer y el trato quedó cerrado. ¿Cómo pudo Singer estructurar una negociación que dio como resultado una utilidad de $56 000? La respuesta es que los indivi duos y las instituciones tienen diferentes preferencias de consumo intertemporal. La familia de la Sra. SetchfÍeld había experimenta do algunas dificultades financieras y necesitaba algún efectivo de inmediato. No quería esperar

PAGINA 28 / 31





nueve años para obtener el premio de la lotería. Por otra parte, Enhance Group tenía algunos excesos de efectivo y ciertamente estaba dispuesto a hacer una inversión de $196 000 con el objeto de recibir los derechos a la mitad del premio de la Sra. Setchfield, es decir, $32638.39 anuales durante nueve años, La tasa de descuento que aplicaba Enhance Group a los intereses futuros era de aproximadamente 8.96% (esto es, la tasa de descuento que iguala el valor presente de $196000 con el derecho de Singer de recibir sus pagos iguales de $32638.39). La tasa de descuento que usó la Sra. Setchifield fue de 18. 1 % lo cual reflejó su aversión a los flujos de efectivo diferidos. *Fuente: Vanessa Williarns, "How Major Players Tum

Lottery Jack Pots into Guaranteed Bet”, The

Wall Street Journal, septiembre 23, 1997.

PAGINA 29 / 31





4.5 ¿CUÁNTO VALE UNA EMPRESA?

Supóngase que su negocio consiste en tratar de determinar el valor de empresas pequeñas. (Usted es un perito

valuador de negocios). ¿Cómo podría usted determinar cuál es el valor de una empresa? La lección que usted

aprendió en este capítulo es que el valor presente de una empresa depende de sus flujos futuros de efectivo.

Consideremos el ejemplo de una empresa que se espera que genere flujos netos de efectivo (ingreso de efectivo

menos egreso de efectivo) de $5 000 en el primer año y de $2 000 durante cada uno de los cinco años siguientes.

La empresa se puede vender en $ 10 000 en siete años contados a partir de hoy. A los propietarios de la empresa les

gustaría poder ganar 10% sobre su inversión en la empresa.

El valor de la empresa se calcula multiplicando los flujos netos de efectivo por el factor apropiado de valor

presente. El valor de la empresa es simplemente la suma de los valores presentes de los flujos netos de efectivo

individuales.

El valor presente de los flujos netos de efectivo se proporciona más abajo:

Valor presente de la empresa

Flujo neto Valor presente

Fin del De efectivo Factor de valor De los flujos

año De la empresa Presente (10%) Netos de efectivos

1 $5 000 .90909 $4 545.45

2 2 000 .82645 1 652.90

3 2 000 .75131 1 502.62

4 2 000 .68301 1 366.02

5 2 000 .62092 1 241.84

6 2 000 .56447 1 128.94

7 10 000 .51315 5 131.58

Valor presente de la empresa $16 569.35

También podemos usar la fórmula simplificada de una anualidad, lo cual nos daría:

35.56916$)1.1(

10000

1.1

)2000(

1.1

5000$7

5

10.0

A

Supóngase que usted tiene la oportunidad de adquirir la empresa en $12 000. ¿Debería usted adquirirla? La

respuesta es sí, ya que el valor presente neto es positivo.

VPN = VP - Costo

$4 569.35 = $16 569.35 - $12 000

El valor adicional (VPN) de adquirir la empresa es de $4 569.35.

EJEMPLO

Trojan Pizza Company contempla la posibilidad de invertir $1 millón en cuatro nuevas tiendas distribuidoras en

Los Ángeles. Andrew Lo, director financiero de la empresa (CFO), ha estimado que las inversiones generarán

flujos de efectivo de $200 000 por año durante nueve años y ninguna otra cantidad después de esa fechá. (Los

flujos de efectivo ocurrirán al final de cada año y no habrá ningún flujo de efectivo después del año 9). El Sr. Lo ha

determinado que la tasa de descuento relevante para esta inversión es de 15%. Ésta es la tasa de rendimiento que la

empresa podrá ganar en proyectos comparables. ¿Debería Trojan Pizza Company hacer las inversiones en las

nuevas tiendas distribuidoras?

PAGINA 30 / 31





Esta decisión puede evaluarse como sigue:

92 )15.1(

200000$....

)15.1(

200000$

15.1

200000$1000000$ VPN

22.45683$

2000001000000 9

15.0

A

Trojan Pizza Company no debería hacer la inversión porque el VPN es de -$45 683.22. Si Trojan Pizza Company

requiere de una tasa de rendimiento de 15%, las nuevas tiendas distribuidoras no serán una buena inversión.

4.6 RESUMEN Y CONCLUSIONES

1. En la parte inicial de este capítulo se introdujeron dos conceptos básicos: el valor futuro y el valor presente.

Bajo una tasa de interés de 10%, un inversionista que tenga $1 el día de hoy puede generar un valor futuro de $ 1.

10 dentro de un año, $1.21 [$1 X (1.10)2] dentro de dos años, y así sucesivamente. En contraste, el análisis del

valor presente asigna un valor actual sobre un flujo de efectivo posterior. Con la misma tasa de interés de 10%, un

dólar que se vaya a recibir dentro de un año tiene un valor presente de $0.909 ($ 111. 10) en el año 0. Un dólar que

se vaya a recibir dentro de dos años tiene un valor presente de $0.826[$11($1.10)2].

2. La tasa de interés se expresa comúnmente como, por ejemplo, el 12% anual. Sin embargo, es posible hablar de

una tasa de interés de 3% por trimestre. Aunque la tasa anual de interés estipulada Permanece en 12% (3% X 4), la

tasa anual de interés efectiva es de 12.55% [(1.03)4 - l]. En. otras palabras, el proceso de composición incrementa

el valor futuro de una inversión. El caso límite está dado por un proceso continuo de composición, en el cual se

supone que los fondos se reinvierten cada instante infinitesimal.

3. Una técnica cuantitativa básica para la toma de decisiones financieras es el análisis del valor presente neto. La

fórmula del valor presente neto de una inversión que genera flujos de efectivo (Q en periodos futuros es:

N

ii

i

N

N

r

CC

r

C

r

C

r

CCVPN

1

02

210

)1()1(....

)1()1(

La fórmula supone que el flujo de efectivo en la fecha 0 es la inversión inicial (un flujo de salida de efectivo).

4. Con frecuencia, el cálculo real del valor presente es muy prolongado y tedioso. El cálculo del valor presente de

una hipoteca a largo plazo con pagos mensuales es un buen ejemplo de ello.

Presentamos cuatro fórmulas simplificadas.

Perpetuidad: r

CVP

Perpetuidad creciente: gr

CVP

Anualidad:

TrrrCVP

)1(

11

Anualidad creciente:

T

r

g

grgrCVP

1

111

PAGINA 31 / 31





5. Pusímos de relieve algunas consideraciones de índole práctica para la aplicación de estas fórmulas:

a. El numerador de cada una de las fórmulas, C, es el flujo de efectivo que se recibirá después de un periodo

completo.

b. Por lo general, en la práctica los flujos de efectivo son irregulares. Pare evitar problemas difíciles de manejar,

tanto en este libro de texto como en el mundo real se hacen supuestos que permitan crear flujos de efectivo

más regulares.

c. Un cierto número de problemas de valor presente implican anualidades (o perpetuidades) que empiezan unos

cuantos periodos después. Los estudiantes deberían practicar la combinación de la fórmula de la anualidad (o

de la perpetuidad) con la fórmula del descuento para resolver estos problemas.

d. Las anualidades o las perpetuidades pueden tener periodos de dos o n años, en lugar de ser sólo anuales. Las

fórmulas de las anualidades y de las perpetuidades pueden manejar fácilmente tales circunstancias.

e. Comúnmente se encuentran problemas en los que el valor presente de una anualidad debe ser igualado con el

valor presente de otra anualidad.

TÉRMINOS CLAVE

Anualidad 98 Perpetuidad creciente 95

Anualidad creciente 103 Tasa anual de interés efectiva 90

Composición 80 Tasa anual de interés estipulada 90

Composición continua 91 Tasa de descuento apropiada 86

Descuento o proceso de descuento 86 Tasa porcentual anual 90

Factor de anualidad 99 Valor compuesto 77

Factor de descuento 86 Valor futuro 77

Interés compuesto 81 Valor presente 77

Interés simple. 81 Valor presente neto 79

Perpetuidad 93

LECTURAS RECOMENDADAS

Para aprender la manera en la cual se pueden aplicar las matemáticas del valor presente, le recomendamos que

consulte los manuales que vienen con la calculadora Hewlett-Packard HP 19BIL

También recomendamos: White, M. Financial Analysis with a Calculator 3a. ed. Burr Ridge, Ill.:

Irwin/McGraw-Hill, 1998.

capitulo 4 (1)

Documents