El esfuerzo de corte es la fuerza por uni-dad de rea, FilA, para una fuerza aplicadatangente a una superficie. La defonnacinde corte es el desplazamiento x de un ladodividido entre la dimensin transversal h.El mdulo de elasticidad se llama mdulode corte, S. (Vease ejemplo 11.8.)

s ~ ,E"'~fuc''in:::::o:,dO'C':o"rt",,Def. de corte

Notas del lector

F, h

A x(11.17)

frlJ""'O/ lruCla!Esfuerzo F .idecorle =f i Deformacio I 1

decarte- l XF77-!":JLy

423

El lmite proporcional es el esfuerzo mximo para el que el esfuerzo y la defonna-cin son proporcionales. Ms all, la ley de Hooke no es vlida. El limite elstico esel esfuerzo a partir del cual se presenta una defonnacin irreversible. El esfuerzo derotura, o resistencia limite, es el esfuerzo en el que el material se rompe.

Limile elslica a puola de rclajamienta

/ ~ormacinLimile plslicaprapordonal

b c Punto de~ fractura'" Compor-

:~m,.!:',~: lamienlOw.... '" v I plsticoelslico I Ajuste

I permanente

o < 1% Deformacin 30%

Trminos clave

atmsfera, 418centro de gravedad, 406compresibilidad,418compresin, 416deformacin, 415deformacin de corte, 419deformacin de volumen, 417deformacin por compresin, 416deformacin por tensin, 416

Notas del lector

equilibrio esttico, 405esfuerzo, 415esfuerzo de compresin, 416esfuerzo de corte, 419esfuerzo de tensin, 415esfuerzo de volumen, 417ley de Hooke, 415mdulo de corte, 419mdulo de elasticidad, 415

mdulo de volumen, 418mdulo de Young, 416pascal, 416presin, 417primera condicin de equilibrio, 405segunda condicin de equilibrio, 405tensin, 415

424 e A pfT U LO 11 I Equilibrio y elasticidad

Respuesta a la pregunta inicial del capitulo do). En el caso (e), la defensa tendr una mella o deformacin per-manente. En el caso (d). la defensa estar agrietada o rota.

,

Para pennanecer en equilibrio, el centro de gravedad del flamencodebe estar sobre el !'ea de soporte. Cuanto ms ancho es el pie, ma-yores el rea de soporte y ms puede variar la ubicacin del centro Preguntas para anlisisde gravedad. ----''-----'-------------------

Respuestas a las preguntas deEvale su comprensin

Seccin 11.1 La situacin (a) satisface ambas condiciones deequilibrio: la gaviota tiene cero aceleracin (as que LE' = O) yninguna tendencia a comenzar a girar (asi que LT = O). La situa-cin (b) satisface la primera condiciono pues el cigiieal entero noacelera en el espacio, pero no satisface la segunda condicin; el ci-giieal tiene una aceleracin angular, as que Ii no es cero. La situa-cin (e) satisface la segunda condicin (no hay tendencia a girar)pero no la primera; la pelota se acelera en su vuelo (debido a la graovedad), asi que IF no es cero.Seccin 11.2 En el equilibrio, el centro de gravedad debe estar enel punto de soporte. Escogemos ese punto como origen, as que XOI- O. Con la direccin +x a la derecha. las coordenadas de los tresobjetos son.r = - JOcm para el contrapeso, x - 15 cm para el pri-mer pel y.r ~ 40 cm para el segundo pez. (Tratamos la varilla comosi no tuviera masa.) Por la ecuacin x en las ecuaciones (11.3),

xq = O

m(-lOcm) + (O.IOkg)(15cm) + (O.lOkg)(40cm)m + (O.lOkg) + (O.lOkg)

as que

(O.lOkg)(15cm) + (O.lOkg)(40cm)m= =0.55kg

IOcm

Seccin 11.3 Esta situacin es igual a la descrita en el ejemplo11.5, sustituyendo el antebrazo por una varilla, el codo por una ar-ticulacin y el tendn por un cable. El punto de sujecin del cablees el extremo de la varilla, as que la distancia D de la figura 11.9b esigual a L. Del ejemplo 11.5, la tensin es

Lw wT~--~--

LsenO senO

y las fuerzas horizontal y \'enical ejercidas por la articulacin son:

Lw w (L - L)E ~-~-- Y E =- '1'=0~ h tan O ~ L

En esta situacin, la articulacin no ejerce ninguna fuerza vertical.Seccin 11.4 La deformacin por tensin tl.llloes la misma en amobas varillas. La de cobre ticne diez veces el alargamiento tJ..! dc la deacero, pero tambin tiene diez veces su longitud original lo. El esfiler-zo es igual al producto del mdulo de Voung y por la deformacin.SegUn la tabla 1\.1, el acero tiene un valor ms grande de Y, as quese rauim: un mayor esfuerzo para producir la misma defonnacin.Seccin 11.S En los casos (a) y (b), la defensa habci m::uperadosu forma original (aunque la pintura probablemente se habr raya-

P11.1 Un cuerpo rgido en rotacin uniforme alrededor de un ejefijo satisface las dos condiciones de equilibrio? Por qu s o porqu no? Otra definicin de equilibrio dice: "Para que un cuerpo Tigido este en equilibrio, todas sus partes deben estar en equilibrio".Segim esta ddinicin, est en equilibrio un cuerpo rgido en rota-cin uniforme alrededor de un eje fijo? Explique.P11.2 La fuerza neta que acta sobre un objeto puede scr cero yel objeto no estar en equilibrio? Un objeto puede estar en equili-brio si la fuerza nela no es cero? Explique.P11.3 Los neumaticos de los aUlos a \'cces se "balancean" en unamquina que pivotea la rueda alrededor del eentro. Se colocan pe-sos (plomos) en el borde de la rueda hasta que sta no sc inclina res-peeto al plano horizontal. Analice esto en trminos del centro degmvedad.P11.4 El centro de gravedad de un cuerpo slido siempre estdentro del material dcl cuerpo? Si no, d un contraejemplo.P11.5 En la seccin 11.2, supusimos que el valor de g era el mismo en todos los puntOS del cuerpo. Esta aproll;imacin no es vlidasi el cuerpo~cs suficientemellle grande, pues el valor de g disminu-ye con la altitud. Tomando esto en cuenta, el centro de gravedad deuna varilla vertical larga est arriba de su centro de masa, abajo oen el mismo lugar? Explique cmo esto puede ayudar a mantener eleje longitudinal de una nave en rbita dirigido hacia la Tierra. (Es-to scria ltil en el caso de un satlite metereotgioo que siempre de-be apuntar la lente de su camara a la Tierra.) La Luna no esexaetamente esferica, sino un tanto alargada. Explique por qu estemismo efecto hace que la Luna siempre dirija la misma cara a laTierra.Pl1.6 Imagine que equilibra una llave de tuercas suspendiendolade un solo punto. El equilibrio es estable, inestable o ncutral si elpunto est arriba del centro de gravedad de la llave, abajo o coincide con el? Justifique su respuesta en cada caso. (Para rotacin, uncuerpo rgido esta en equilibrio eslab/e si una rotacin pequeaproduce un momento de torsin que tiende a volver el cuerpo alequilibrio; est en equilibrio ineslabJe si dicha rotacin produce unmomento de torsin que tiende a alejar al cuerpo an ms del equi.librio; y est en equilibrio neUlrof si dicha rotacin no produce nin-glm momento de torsin.)P11.7 El lector seguramente puede pararse con los pies planos yluego levantar los tatones y equilibrarse sobre las puntas de los pies.Por que no puede hacerlo si los dedos de sus pies estan tocando lapared? (ilntentelo!)P11.8 Una herradura pivotea libremente sobre un clavo horizontalque atraviesa uno de sus agujeros. Se cuelga del clavo un hilo largocon un peso colgante para que el hilo quede vertical frente a la herradura sin tocarla. Por qu sabemos que el centro de gravedad dela herradura queda a 10 largo de la lnea del hilo? Cmo podemosubicar dicho eentro colgando la herradura de otro agujero? Est elcentro dentro del material de la herradura?

Ejercicios 425

Figura 11.20 Ejercicio II.S.

m,

426 CAPfTUlO 11 I Equilibrioyelaslcidad

300 N

Cable tensor

5.00 m

4.00 m

lb)

3.00 111

figura 11.25 Ejercicio 11.18.

figura 11.24 Ejercicio 11.14.

(.)

figura 11.23 Ejercicio 11.13.

11.14 La viga horizontal de lafigura 11.24 pesa 150 N, Y sucentro de gravedad esta en su cen-tro. Calcule: a) La tensin en elcable, b) Las componentes hori-zontal y vertical de la fuerza ejer-cida por la pared sobre la viga.11.15 Una puerta de 1.00 m deanchura y 2.00 m de altura pesa280 N Yse apoya en dos bisa-gras, una a 0.50 m debajo de lapane superior y otra a 0.50 roarriba de la parte inferior. Cadabisagra sopona la mitad del pesode la puena. Suponiendo que elcentro de gravedad de la puerta est en su centro, calcule las com-ponentes de fuerza horizontales ejercidas sobre la puerta por cada

bisagra.11.16 Suponga que no puede levantar ms de 450 N sin ayuda. a)Cunto podr levantar empleando una carretilla de 2.0 ro de longi-tud? Suponga que la carretilla pesa 80 N y que su centro de gravedad cst a 0.70 m de la rueda. Suponga que la carga que lleva en lacarretilla tambin est a 0.70 m de la rueda. b) De dnde provienela fuerza que le pennite levantarms de 450 N cuando usa la carretilla?11.17 Imagine que lleva su perrita Clea al veterinario y ste decide que debe ubicar el centro de gravedad del animal. Seria crueleolgar a la perrita del techo, asi que el veterinario debe idear otromtodo. Coloca las patas delan-leras de Cica en Una bscula ysus patas traseras en olra. Labscula delanlera marca 157 N,Y la trascra,.89 N. Ahora el vete-rinario mide a Clea y detenninaquc las'patas traseras estn 0.95 mdetrs de las delanteras. Cuntopcsa Clea y dnde est su cenlrode gravedad?11.18 El aguiln de la figura11.25 pesa 2600 N y esta sujetocon un pivote sin friccin en su

que contiene inapreciables objetos de arte. El puntal es uniforme ytambin pesa w.

1'

427Ejercicios

Seccin 11.4 Esfuerzo. deformacin y mdulos de elasticidad11.22 Un biceps relajado requiere una fuerza dc 25.0 N paro alar-garse 3.0 cm; el mismo musculo somelido a mxima tensin re-quiere de una fuerza de 500 N para el mismo alargamiento. Calculeel mdulo de Young para el tejido muscular en ambas condicionessi lo consideramos como un cilindro uniforme de 0.200 m de longi-tud y seccin de 50.0 cm211.23 Un alambre circular de acero de 2.00 m de longitud no debeestirarse ms de 0.25 cm cuando se aplica una tensin de 400 N acada extremo. Qu diametro minimo debe tener?11.24 Dos varillas redondas. una de acero y la otra de cobre. seunen por los extremos. Cada una tiene 0.750 m de longitud y 1.50 cmde dimetro. La combinacin se somete a una tensin con magni-tud de 4000 N. Para cada varilla, determine: a) la deformacin; b) elalargamiento.11.25 Una varilla metlicade4.00 mde klngitud y Seccin de O.50cnrse estira 0.20 cm al someterse a una tensin de 5000 N. Qu m-dulo de Youog tiene el metal?11.26 Esfuerzo en una cuerda de alpinista. Una cuerda de nylonse alarga 1.10 m sometida al peso de una alpinista de 65.0 kg. Si lacuerda tiene 45.0 m de longitud y 7.0 mm de dimetro. qu mdu-lo de Voung tiene el material?11.21 Para construir un mvil grande. un artista cuelga una esferade aluminio de 6.0 kg de un alambre vertical de acero de 0.50 m delongitud y seccin de 2.5 X 10-J cm2 (rea transversal). En la ba-se inferior de la esfera. el artista sujeta un alambre similar del quecuelga un cubo de latn de 10.0 kg. Para cada alambre. calcule: a)la deformacin por tensin; b) el alargamiento.11.28 Un poste vertical de acero slido de 25 cm de dimetro y2.50 m de longitud debe soportar una carga de 8000 kg. Puede des-preciarse el peso del poste. a) A qu esfuerzo se somete el poste?b) Qu deformacin sufre? e) Cmo cambia su longirud al apli-carse la carga?11.29 Afuera de una casa a 1.0 km del centro de una explosin debomba nuclear de lOO kilotoncs, la presin se eleva rpidamente ahasta 2.8 atm en tanto que dentro dc la casa sigue siendo de 1.0 atm.Si el rea del frente de la casa es de 50 m~, qu fueru. neta ejerce elaire sobre esa rea?11.30 Se saca un lingote de oro slido de la bodega del RMS Tta-nic hundido. a) Qu sucede con su volumen al cambiar de la pre-sin en el barco a la presin en la superficie del mar? b) Ladiferencia de presin es proporcional a la profundidad. Cuntasveces mayor habria sido el cambio de volumen si el barco hubieraestado al doble de profundidad? c) El mdulo de volwnen del pIo-rno es la cuana pane del mdulo del OTO. Calcule la relacin decambio de volumen de un lingote de plomo y uno de oro de igualvolumen para el mismo cambio de presin.11.31 Una joven mujer de baja estatura disrribuye su peso de 500 Nigualmente sobre los lacones altos de los zapatos. Cada tacn tieneun rea de 0.750 cmz. a) Qu presin ejerce cada tacn sobre elsuelo? b) Con la misma presin. cunto peso podrian soportar 2sandalias planas, cada una con un rea de 200 cm~?11.32 En el abismo Challenger de la Fosa de las Marianas. la pro-fundidad del agua es de 10.9 km Yla presin es de 1.16 X 101 Pa(cerca de 1.15 X lli'atm). a) Si se llev3 1 mJ de agua de la super-ficie a esa profundidad cunto cambia su volumen? (La presin

0.50 m

'-SO m

figura 11.26 Ejercicio 11.19.

base. El aguiln no es uniforme; la distancia del pivote a su centrode gravedad es e135% de su longitud. a) Calcule la tensin en el ca-ble tensor y las componenles vertical y horizontal de la fuerza ejer.cida sobre el aguiln en su base. b) Est a lo largo del aguiln lalnea de accin de dicha fuerza?11.19 En un zool6gico. una varilla uniforme de 24Q.-N y}.OO m dclongitud se sostiene en posicin horizontal con dos cuerdas en suscxtremos (Fig. 11.26). La cuerda izquierda forma un ngulo de1500 con la varilla. y la derecha forma un ngulo 8 con la horizon-tal. Un mono aullador (A/ouatta senicu/us) de 90 N cuelga inmvila 0.50 m del extremo derecho de la varilla y nos esrudia detenida-mente. Calcule 8 y las tensiones en las cuerdas.

11.20 Una viga no uniforme de 4.50 m de longitud que pesa 1.00k..N Yforma un ngulo de 25.00 sobre la horizontal est sostenidapor un pivote sin friccin en su extremo superior derecho y un ca-ble a lOO m de distancia, perpendicular a la viga. El centro de grave-dad de la viga est a 2.00 ro del pivote. Una lmpara ejerce unafuerza de 5.00 kN hacia abajo sobre el extremo inferior izquierdode la viga. Calcule la tensin Ten el cable y las componentes hori-zontal y venieal de la fuerza ejercida sobre la viga por el pivote.11.21 Un par. Dos fuerzas de igual magnitud y direccin opuestaque actan sobre un objeto en dos puntos distintos forman un par.Dos fuerzas antiparalelas de magnitud F = F2 = 8.00 N se aplicana una viga corno se muestra en la figura 11.27. a) Qu distancia 1debe haber entre las fuerzas para que produzcan un momento delOI"Sin neto de 6.40 N m alrededor del extremo izquierdo de la va-rilla? b) El sentido de ste momento de lorsin es horario o antiho-nrio? e) Repita (a) y (b) para un pivote en el punto de la varilladoode se aplica !

"Figara 11.21 Ejercicio 11.21.

428 CAPTULO 11 I EquilibrioyeJasticidad

'I\l-

I

atmosfrica normal es del orden de 1.0 X 105 Pa. Suponga que kpara el agua de mar es igual al valor para agua dulce de la tabla11.2.) b) Qu densidad tiene el agua de mar a sta profundidad?(En la superficie, es de 1.03 X 10) kg/mJ).11.33 Una muestra de aceite con un volumen inicial de 600 cm3 sesomete a un aumento de presin de 3.6 x 106 Pa, y el volumen dis-minuye 0.45 cm) (sta es la magnitud del cambio del volumen, ob-serve que dicho cambio debe ser negativo). Qu mdulo devolumen tiene el material? Qu compresibilidad tiene'!11.34 Una placa cuadrada de acero mide 10.0 cm por lado y tieneun espesor de 0.500 cm. a) Calcule la deformacin de corte que seproduce al aplicarse a cada uno de los cuatro lados una fuerza de9.0 x 10sN paralela a cada lado. b) Detemline el desplazamiento xen centmelros.11.35 Se aplican fuerzas de corte a un slido rectangular. Se apli-can las mismas fuerzas a otro slido rectangular del mismo materialpero con cada lado tres veces ms largo. En ambos casos, las fuer-zas son lo bastante pequeas como para que se obedezca la ley deHookc. Qu relacin hay cntrc la deformacin de corte del objetogrande y la del pequeo?11.36 Dos tiras de latn, ambas de 3.00 cm de anchumy45.0 cm delongitud, se colocan de modo que sus extremos se traslapen 1.00 cm.Luego, los extremos traslapados se unen con cuatro remaches de0.250 cm de dimetro cada uno. Las pruebas muestran que, cuandose aplica una tensin de por lo menos 1.20 X 10 N a los exlremosdc la tira remachada, los remachcs fallan y se cizallan (cortan). Calcu-le el esfuerzo de corte sobre cada remache en el momento de fallar.Suponga quc cada remache soporta la cuarta partc de la carga.

Seccin 11.5 Elasticidad y plasticidad11.37 En un laboratorio dc prucba de materiales, se determina queun alambre metlico hecho con una nueva aleacin se rompe cuan-do se aplica una fuerza de tensin de 90.8 N perpendicular a cadaextremo. Si el dimctro del alambre es de 1.84 mm, cul es el es-fuerzo de rorura de la aleacin?11.38 Un alambre de acero de 4.0 m de longitud tiene una scccinde 0.050 m2, y un lmite proporcional igual a 0.0016 vcces su m-dulo de Young (tabla 11.1). El esfuerzo de rotura tiene un valorigual a 0.0065 veces su mdulo de Young. El alambre est sujetopor arriba y cuelga verticalmente. a) Qu peso puede colgarsc delalambre sin exceder el lmite proporcional'? b) Cunto se estirael alambre con sta carga? c) Qu pcso mximo puede soportar?11.39 EI1mitc elstico de un cable de acero es de 2.40 X 108 Pa ysu rea transversal es de 3.00 cm2. Calcule la aceleracin mximahacia arriba que puede darse a un clevador dc 1200 kg sostenidopor el cable sin que el esfuerzo exccda un tcrcio dcllimitc elstico.11.40 Un alambre de latn debe resistir una fucrza dc tcnsin de350 N sin romperse. Qu dimetro mnimo debe tcner!

Problemas

11.41 Centro de gravedad de un auto. En un automvil que pesa...., las ruedas delanteras sostienen una fraccin f del peso, asi que lafuerza nonnal que acta sobre cstas rucdas csfw, y cn las traserasacta (1 - f)w. La distancia entre ejes es d. a) Demuestre que el

centro de gravedad del auto est a una distanciafd adelante de lasruedas traseras. b) Demuestre que el resultado general de la parte(a) produce la respuesta numrica del ejemplo 11.2 (seccin 11.3).11.42 Sr Lancelot sale lentamente a caballo de Camelot pasandopor el puentc levadizo de 12.0 m que salva el foso (Fig. 11.28). lno sabe que sus enemigos cortaron parcialmente el cable verticalque sostiene el frente del puente, de modo que se rompe si se some-te a una tensin de 5.80 X 10' N. La masa del puente cs de 200 kgYsu centro de gravcdad cst en su centro. Lancelot, su lanza, su ar-madura y su caballo tienen una masa combinada de 600 kg. Sermper el cable antes de que Lancelot llegue al otro lado? Si asi es,a qu distancia de! castillo estar e! centro de gravedad del caballoms el jinete cuando el cable se rompa?

12.0 m,-------,>,'

Figura 11.28 Problema 11.42.

11.43 Tres fueras verticales actan sobre un avin cuando vuelacon altitud y velocidad constantes. Se trata del peso del avin, unafuerza vertical aerodinmica sobre el ala y una fuerza vertical aero-dinmica sobre la cola horizontal. (El aire circundante es el que ejer-ce las fuerzas aerodinmicas, que son reacciones a las fuerzas que elala y la cola ejercen sobre el aire cuando el avin 10 surea.) En el ca-so especifico de un avin que pesa 6700 N, el centro de gravedad es-t 0.30 m adelante del punto en el que acta la fuerza aerodinmicavertical sobre el ala y 3.66 m adelante del punto en el que acta la'fuerza aerodinamica vertical sobre la cola. Determine la magnitud ydireccin (hacia arriba o hacia abajo) de cada fuerza aerodinmica.11.44 Una camioneta ticne una distancia entre ejes de 3.00 m. Nor-malmente, 10,780 N descansan sobre las ruedas delanteras y 8820 Nsobre las traseraS cuando el vehculo est estacionado en pavimentohorizontal. a) Una carga de 3600 N se coloca sobre el tirn trasero,1.00 m dctrs del cje trasero. Cunto pcso descansa ahora cn lasruedas delanteras? En las traseras? b) Cunto peso tendria que co-locarse en el tirn trasero para quc las ruedas delanteras se separendel suelo (se levanten del suelo)? (el tirn en un accesorio que se co-loca en la defensa trasera para enganchar a un remolque).11.45 Un subibaja uniforme dc 4.00 m dc longitud, pcsa 240 N Ypivotea sobrc un punto en su superficie inferior. La posicin de di-cho punto puede ajustarse dentro de un margen de hasta 0.20 m a ca-da lado del centro del subibaja. Susi, quc pcsa 420 N, ticnc su centrode gravedad sobre el extremo derecho, con el subibaja ajustado demodo que ella ejcrce el momcnto dc torsinl11ximo respeclo al pi-vote. El subibaja se equilibra horizontalmente cuando Filo tiene sucentro dc gravcdad a 0.15 m del extremo izquicrdo. Si ninguno tocael piso con los pies. a) Cunto pesa Fito? b) Este equilibrio es: es-table, inestable o neutro? (Sugerencia: Vase la pregunta PI 1.6.)

Problemas 429

S.Om~,

\VI = tON

Figura 11.32 Problema 11.50.

puede despreciar el peso delmartillo,)11.49 El extremo A de la barraAB de la figura 11.31 descansaen una superficie horizontal sinfriccin, y el extremo B tieneuna articulacin. Se ejerce enA una fuerza horizontal demagnitud 120 N. Desprecie elpeso de la barra. Calcule lascomponentes horizontal y verti-cal de la fuerza ejercida por labarra sobre la articulacin en B.11.50 Se debe aplicar una sola fuerza adicional a la barra de lafigura I1 J2 para mantenerla en equilibrio en la posicin mostrada.Puede despreciarse el peso de la barra. a) Calcule las componentesvertical y horizontal de la fuerza requerida. b) Qu ngulo debeformar sta fuerza con la barra? e) Qu magnitud debe lCner? d)Dnde debe aplicarse?11.51 Su perro Nikita mide 0.90 m de la nariz a las patas traserasy pesa 190 N. Las patas delanteras estn a una distancia horizontalde 0.18 m de la nariz y el centro de gravedad est a una distanciahorizontal de 0.28 m de las patas traseras. a) Qu fuerla ejerce unpiso plano sobre cada pata delantera y cada pata trasera de Nikita?b) Si Nikita coge un hueso de 25 N Y lo sostiene en la boca (justoabajo de la nariz). qu fuerza ejerce el piso sobre cada pta delan-tera y cada pata trasera?11.52 Camin en puente levadizo. Una revolvedora de cementocargada entra en un viejo puente levadizo y se para con su centro degravedad a 3/4 del claro del puente. El conductor pide ayuda por ra-dio, pone el freno de mano, y espera. Mientras tanto, se acerca unbarco, as que el puente se levanta mediante un cable sujeto al ex-tremo opuesto a la aniculacin (Fig. 11.33). El puente levadizo mi-de 40.0 m a lo largo y tiene una masa de 12,000 kg: el centro de

gravedad est en su punto medio. La revoh-edora,junto con su con-ductor, tiene una masa de 30,000 kg. Cuando el puente forma unngulo de 300 con la horizontal, el eable fonna un ngulo de 70 0

con el puente. a) Qu tensin Thaycn el cable cuando el puente sesoslicne en sta posicin? b) Calcule las componentes horizontal yvertical de la fuerza que la articulacin ejerce sobre el puente.

Figura 11.33 Problema 11.52.

LO T,m8.0 cm

--L

A 110.080 m

w,

T0,300 m

Figura 11.30 Problema 11.48.

Figura 11.31 Problem\ 11.49.

~'o.0'm49,Scm '5.0cm-O>t l

Figura 11.29 Problema 11.46.

11.47 Varias fuerlas externas P, se aplican a un cuerpo rgido. Conrespecto a un origen O, PI se aplica en el punto situado en TI. fuerzaF2en r2' etc. El punto P cst en rp . Si el cuerpo est en equilibriolraslacional 2;F, = 0, demues-tre que la suma de momentos detorsin alrededor de P es igual ala suma alrededor de O. (Un ca-so especial de ste resultado escuandoLTo = O: para un cuer-po en equilibrio traslacional, siel momento de torsin resultantealrededor de un punto es cero,tambin lo es alrededor de cual-quier otro punto.)11.48 Se usa un martillo de uapara sacar un clavo de una tabla(Fig. 11.30). El clavo forma unngulo de 600 con la labia, y senecesita una fuerza "I de SOO Naplicada al clavo para sacarlo.La cabeza del martillo toca la ta-bla en el punto A, a 0.080 m dedonde el clavo entra en ] tabla.~e aplica una fuerza horizontalF1 al mango del martillo a unaaltura de OJOO m sobre la tabla.Qu magnitud debe tener F2 pa-la aplicar al clavo la fuerza re-querida de 500 N (F1)? (Se

11.46 Un trozo de acero no puede equilibrarse con un extremoapenas descansando en el borde de una mesa (punto O en la figura11.29). Sin embargo, suponga que le pegamos otras dos piezas co-mo se muestra en la figura. Todas las piezas tienen la misma sec-cin cuadrada y densidad. Haga caso omiso del peso de lossujetadores. El sistema ya puede equilibrarse si encontramos la lon-gitud I correcta de la tercera pieza. a) Con qu / se equilibrar elsistema con las piezas primera y tercera horizontales, como semuestra'! b) Cmo cambiara su respuesta si las piezas fueran decobre en vez de acero? Explique.

430 CAPTULO 11 I Equilibrioyelaslicidad

Figura 11.36 Problema 11.59.

rillas deben colgar horizontales. a) Dibuje un diagrama de cuerpolibre para cada varilla. b) Calcule los pesos de las esferas A, B YC.Calcule las tensiones en los alambres SI> S2 y S3. e) Que puede de-cir acerca de la ubicacin horizontal del centro de gravedad del m-vil? Explique.11.57 Una viga uniforme de 7.5 m de longitud y 9000 N de pesoest unida por una rtula a una pared y sosteJ:!ida por un cable del-gado sujeto a un punto que est a 1.5 m del extremo libre de la viga. El-cable corre entre la pared y la viga y forma un ngulo de 40con esta ltima. Calcule la tensin en el cable cuando la viga est30 arriba de la horizontal.11.58 Un puente levadizo uniforme debe sostenerse con un ngu-lo de 37 sobre la horizontal para que los barcos puedan pasar porabajo. El puente pcsa45,OOO N y tiene una longitud de 14.0 m. Hayun cable conectado a un punto que est a 3.5 m de la rtula en la queel puelJte pivotea, y ejerce una traccin horizontal sobre el puente pa-m mantenerlo fijo. a) Calcule la tensin en el cable. b) Calcule la mag-nitud y direccin de la fuerza que la rtula ejerce sobre el puente.11.59 Una viga uniforme de 250 kg se sostiene con un cable unidoal techo, como muestra la figura 11,36. El extremo inferior de la vi-

ga descansa en el piso. a) Calcule la tensin en el cable. b) Qucoeficiente de friccin esttica mnimo debe haber entre la viga y elpiso parn que la viga pennanezca en esta posicin?11.60 a) En la figura 11.37. una viga uniforme de 6.00 m de longi-tud cuelga de un punto 1.00 m a la derecha de su centro. La viga pe-sa 140 N Y forma un ngulo de 30.0" con la venical. Del extremoderecho cuelga un peso de 100N; un peso desconocido w cuelga del otro extremo. Si el siste-ma est en equilibrio, cuntovale II'? Puede ignorar el espesorde la viga. b) Si el ngulo es de too.O N45.0 en lugar de 30.0, cuntovale w?11.61 El asta de una banderahorizontal de 5.00 m de longitudy peso de 200 N pivotea en unapared vertical en un extremo, yuna acrbata de 600 N cuelgadel otro. El asta es sostenida porun cable que va de su extremo Figura 11.37 Problema 11.60.figura 11.35 Problema 11.56.

11.53 Pares. a) Una fuerza PI se aplica a una varilla a una distan-cia x de un punto P de la varilla. Una segunda fuerza F2 se aplica auna distancia x + I del punto P. Las fuerzas son de igual magnitudy direccin opuesta y, por raDio, forman un par (ejen:icio 11.21). Elngulo entre la varilla y la direccin de las fuerzas es ep. Deduzcauna expresin para el momenlo de torsin oelo alrededor de P pro-ducido por stas dos fuerzas. y demuestre que es independicnlc dex. Esto demuestra que un par produce el mismo momento de lorsinalrededor de cualquier pivote. b) Dos fuerzas de magnitud F "" F2- 14.0 N se aplican a una varilla como en la figura 11.34 con 1> ~37"'. Calcule el momento de torsin OCIO alrededor de O debido astas fuerzas, calculando el momento de lorsin debido a cada fuerza individua!' Haga IO-mismo respeclO al punto P. Compare sus re-sultados con el resultado genernl deducido en la pane (a).

figura 11.34 Problema 11.53.

J.Oan S,5.0=

6.0N

2.0 S, 6.0cm

11.54 Una escalera dc emergencia no uniforme tienc 6.0 m de 11:>n-gitud cuando se extiende al suelo helado de un callejn. En su par-te superior, la escalera est sujeta por un pivote sin friccin, y elsuelo ejerce una fuerza de friccin despreciable en la base. La esca-lera pesa 250 N Ysu centro de gravedad est a 2.0 m de la base so-bre la escalera. Una madre junto con su hijo pesan 750 N Yestn enla escalera a 1.5 m del pivote. La escalera forma un ngulo 8 con lahorizontal. Calcule al magnirud y direccin de: a) la fuelZ3 ejercida porel suelo sobre la escalera, b) la fuerza ejercida por la escalera sobre elpiV{)(e. e) Sus respuestas a las panes (a) y(b) dependen del ngulo fT!11.55 Un puntal uniforme de masa m forma un ngulo 8 con la ho-rizomal; est sostenido por un pivote sin friccin situado a 1de sulongitud con respecto a su extremo inferior izquierdo y por unacuerda horzontal en su extremo superior derecho. Un cable y unpaquete con peso total de w cuelgan de ese extremo. a) Calcule lascomponentes venical y horizQntal (V YH )de la fuerza que el pivo-te aplica al puntal asi como la tensin Ten la cuerda. b) Si la tensin mxima segura en la cucrda es de 700 N Yla masa del puntales de de 20.0 kg, calcule.el peso mximo seguro del cable y el pa-quete cuando el puntal forma un ngulo de 55.00 con la horizontal.c) Con que ngulo 8 no puede suspenderse con seguridad ningUnpeso del extremo derecho dcl puntal?

11.56 Le piden diseiar el mvil decorativo que se muestra en la.figura 11.35. Los hilos y varillas tienen peso despreciable, y las va-

Problemas 431 1

,

Figural1.41 Problema 11.67.

Figura 11.40 Problema 11.66.

11.65 Un disco circular de 0.500 m de dimetro que pivotea en tor~no a un eje horizonlal que pasa por su centro, ticne un cordn enro-llado en su borde. El cordn pasa por una polea sin friccin P y estunido a un objeto que pesa 240 N. Una varilla uniforme de 2.00 mde longitud se sujeta al disco. con un extremo en su centro. El apa~rato est en equilibrio con la varilla horizontal (Fig. 11.39). Cun-to pesa la varilla? b) Qu diteccin de equilibrio tiene la varilla siun segundo o"bjeto que pesa 20.0 N se cuelga de su otro CJ\lremo (l-nea punleada)? Es decir, qungulo forma enlonces la varillacon la horizontal?11.66 Un extrcmo de un metrouniforme se coloca contra unapared vertical (Fig. 11.40); elotro extremo se SOSliene con uncordn ligero que forma un n-gulo 8 con el metro. El coefi-ciente de friccin esttica entreel c:

432 CAPfTULO 11 I Equilibrio y elasticidad

f2.00 m

1

D

B

*-- 4.00 m------iolFigura 11.43 Problema 11.73.

Figura 11.45 Problema 11.75.

de la rueda (Fig. 11.42)1 b) En la panc superior de la rueda? e)En cul caso se requiere menos fuerza?11.73 La puerla del corral. Una puerta de 4.00 m de anchura y2.00 m de altura pesa 500 N; su centro de gravedad est en su cen-tro, y tiene bisagras en A y B. Pa-ra aliviar la tensin en la bisagrasuperior. se instala el alambreCD(Fig. 11.43). La lensi6n en CDse aumenta hasta que la fuerzahorizontal en la bisagra A es ce-ro. a) Que tensin hay en el Aalambre cm b) Que magnitudliene la componente horizontalde la fuerza en la bisagra B? e)Qu fuerza vertical combinadaejercen las bisagras A y 8?11.14 Si colocamos un bloque uniforme en el borde de una mesa,el centro del bloque debe estar sobre la mesa para que el bloque nocaiga. a) Si apilamos dos bloques idnticos en el borde de la mesa,el centro del bloque superior debe estar sobre el bloque inferior, y elCClltro de gravedad de los bloques juntos debe estar sobre la mesa.En trminns de la longitud L de cada bloque, cul es la mxima sa-lieme posible (Fig. 11.44)1 b) Repita para tres y c_uatro bloquesidnticos. e) Es posible apilar bloques de modo que el de arriba noest directamente sobre la mesa? Cuntos bloques seran necesa-ros? (Intntclo con sus amigos, usando copias de ste librd'.)

..........~Saliente

Figura 11.44 Problema 11.74.

L

l' ~

11.75 Dos canicas uniformes de75.0 g Y 2.00 cm de dimetro seapilan como se muestra en lafigura 11.45, en un recipiente de3.00cm de anchura. a) Calcule lafuerza que el recipiente ejercesobre las canicas en los puntosde conJacto A. B Y C. b) Qufuerza ejerce cada canica sobrela otra?11.76 Dos vigas uniformesidnticas que pesan 260 cadauna estn unidas por un e:

Problemas 433

Figura 11.49 Problema 11.79.

3.023.073.123.173.223.273.324.27

Lectura en la escala (cm)

o1020JO40506070

Carga agregada (N)

le el valor mximo que h puede tener para que una rueda no se le-vante del riel.11.80 Un aguiln horizontal se apoya en su extremo izquierdo enun pivote sin friccin y se fija con un cable unido al extremo dere-cho. Una cadena y una caja con peso tOlal w cuelgan de algn pun-to del aguiln. El peso del aguiln w~ no puede despreciarse, y elaguiln podria no ser uniforme. a) Demuestre que la tensin enel cable es la misma si ste forma un ngulo 8 0180" - 6 con la ha-rizontal. y que la componente de fuerza horizontal ejercida sobre elaguiln por el pivote tiene la misma magnitud pero direccinopuesta con esos dos ngulos. b) Demuestre que el cable no puedeser horizontal. c) Demuestre que la tensin en el cable es minimaeuando el cable es vertical, tirando hacia arriba del extremo dere-cho del aguiln. d) Demuestre que, si el cable es vertical, la fuerzaejercida por el pivote sobre el aguiln es \'Crtical.11.81 Antes de colocarse en su agujero, un poste uniforme de5700 N Y9.0 m de longitud forma cieno ngulo distinto de cero conla vertical. Un cable vertical unido 2.0 m debajo del extremo supe-rior del poste lo manliene fijo con su base apoyada en el suelo. a)Calcule la tensin en el cable y la magnitud y direccin de la fuer-za ejercida por el sueto sobre el poste. b) Por qu no necesitamosel angulo que el poste forma con la vertical, en tanto no sea cero?11.82 La ley de Hooke para esfuerzos de tensin puedc escribirseFz = 10:. donde:r; es el cambio de longitud del objeto y k es la cons-tanle de fuerza. a) cuanto vale la constante de fuerza de una vari-lla de longitud Ir, rea transversal A y mdulo de Yo~ng Y! b) Entrminos de 11 A Y Y, cunto trabajo se requiere para estirar el ob-jeto una distancia :r:'!11.83 Una masa de 12.0 Kg, sujcta al cxtremo de un alambre dealuminio con longilud no esti11lda de 0.50 m, se gira en un circulovertical con rapidez angular constante de 120 rpm(rev/min). El reatransversal del alambre es de 0.014 cm2 . Calcule el alargamientodel alambre cuando la masa est: a) en el punto ms bajo del circu-lo; b) en el punto ms alto de su trayectoria.11.84 Un alambre metlico de 3.S0 m de longitud y 0.70 mm dedimetro se someti a sta prueba: se colg de l un peso originalde 20 N para tensarlo, y se ley en una cscala la posicin del extre-mo inferior dcl alambre despus de agregar una carga

a) Grafique el aumento de longitud en el eje horizontal Y: la cargaagregada en el eje vertical. b) Calcule el valor del mdulo deYoung. c) El limite proporcional se observ cuando la escala mar-caba 3.34 cm. Determine el esfuerzo en ese punto.11.85 Una varilla de 1.05 m de longirud con peso despreciable es-t sostenida en sus extremos por alambres A y B de iguallongirud(Fig. 11.50). El rea trans\'Crsal de A es de 2.00 mm~, y la de B, 4.00mm2 El mdulo de Young del alambre A es de 1.80 X 1-011 Pa; el

B

e'.0.25 m

~

T0.50 m

A

~~"""Fk---3.00m~

Figura 11.46 Problema 11.76.

Figura 11.48 Problema 11.78.

Figura 11.47 Problema 1l.77.

los puntos medios de las barrasmantiene un ngulo de 53,0 en-tre las vigas. las cuales cuelgandel techo mcdianle alambresverticales, formando una V"(Fig. 11.46). a) Que fuerza ejer-ce la barra horizontal sobre cadaviga? b) La barra esta sometida atensin o a compresin? c) Qufuerza (magnitud y direccin)ejerce la bisagra A sobre cadaviga?11.77 Un ingeniero esl3 di-seando un sistema !rans-portador (banda transporta-dora) para cargar pacas depaja de 30.0 kg en un carro(Fig. 11.47). Las pacas mi-den 0.25 m a lo ancho, 0.50 ma 10 alto y 0.80 m a 10 largo(la dimensin perpendicularal plano de la figura). con sucentro de gravedad cn el cen-tro geomtrico. El coefi-cicnte de friccin esttica entre una paca y la banda transponadoraes de 0.60. y la banda se mueve con rapidez conslalltc. a) El ngu-lo f3 del transponador se aumenta lentamente. En cieno angulo cri-tico, las pacas se volcarll (si no se deslizan antes), y en otro angulocritico distinto resbalarn (si no se vuelcan antes). Ca1cu1c los dosngulos crilieos y determine qu sucede en el ngulo ms pequeo.b) Seria diferente el resultado de la parte (a) si el coeficiente defriccin fue11l OAO?11.78 La paca del problema 11.77 es arrastrada sobre una superfi-cie horizontal con rapidez constante por una fuerza F (Fig. 11.48).El coeficiente de friccin cintica es de 035. a) Calcule la mag-nitud deP, b) Determine el valorde / con el cual la paca apenascomenzar a volcarse.11.79 Una puerta de cocheraest mOlltada en un riel superior(Fig. 11.49). Las ruedas en A y Bse oxidaron, de modo que noruedan, sino que se deslizan so-bre el riel. El coeficiente de fric-cin cintica es de 0.52. Ladistancia entre las ruedas es de1.00 m. y cada una est a 0.50 mdel borde vertical de la puerta.La puerta es uniforme y pesa950 N. Una fuerza horizonlal .la empuja a la izquierda conrapidez constante. a) Si la dis-tmcia h es de 1.60 m, qu com-ponente vertical de fuerza ejerceel riel sobre cada rueda? b) Calcu-

Y"

11.80 m

1

+--2.00m~

~. ~.

O.IOm O.IOm

Figura 11.53 Problema dedesafio 11.93.

11.93 Un librero que pesa ISoo descansa en una superficie ho-rizontal en donde el coeficiente de friccin estalica es I-Lc = 0.40. Ellibrero tiene 1.80 m de altura y2.00 m de anchura, con su centrode gravedad en su centro geom-trico, y dcscansa en cuatro patascortas que estn a 0.10 m delborde del librero. Una personatira de una cuerda atada a una es-quina superior del librero conuna fuerza que forma un angu-lo Bcon el librero (Fig. II.S3). a)Si 6_90, de modoqueFes ho-rizontal, demuestre que, al au-mentar F desde cero, el librero comenzara a resbalar antes deinclinarse, y calcule la magnirud de Fque harit que el librero co-mience a resbalar. b) Si 6 = 0, de modo que es vertical, demues-

Problemas de desafio

drico de 0.300 m de dimetro con un pistn hermtico en la panesuperior. El volumen total dellanquc es de 2S0 L (0.2S0 ml). En unintento por meter un poco ms en el tanque. el contrabandista apila1420 kg de lingotes de plomo sobre el pistn. Qu volumen adi-cional de etanol puede meter elcontrabandista en el tanque?(Suponga que la pared del tan-que es perfectamente rigida.)11.91 Una barra con rea trans-versal A se somele a fuerzas delensin F iguales y opuestas ensus extremos. Considere un pla- Figura 11.52 Problema 11.91.no que atraviesa la barra for-mando un ngulo (J con el plano perpendicular a la barra (Fig.11.52). a) Qu esfuerzo de tensin (normal) hay en este plano enterminas de F, A Y (J? b) Qu esfuerzo de cone (tangencial) hayen el plano en trminos de F, A Y8? c) Pan! qu valor de 6 es mximo el esfuerzo de tensin? d) Y el de corte?11.92 Una varilla horizontal uniforme de cobre tiene longitud ini-cial/o. rea lransversal A, mdulo de Young Y y masa m; est soste-nida por un pivote sin friccin en su extremo derecho y por un cableen el izquierdo. Tanto el pivole como el cable se sujetan de modoque ejercen sus fuerzas uniformemente sobre la seccin transversalde la varilla. El cable forma un ngulo (J con la varilla y la compri-me. a) Calcule el esfuerzo ejercido por el cable y el pivote sobre lavarilla. b) Determine el cambio de longitud de la varilla 'causadopor ese esfuerzo. c) La masa de la varilla es pAlo. donde p es la densidad. Demuestre que las respuestas a las partes (a) y (b) son inde-pendientes del area transversal de la varilla. d) La densidad delcobre es de 8900 kg/m3 Use el Y (mdu/o de Young) para compre-sin del cobre dado en la tabla 11.1. Calcule el esfuerzo y cl cam-bio de longitud para una longitud original de 1.8 m y un ngulo de30". e) Por cuanto multiplicaria las respucsras de la pane (d) si lavarilla fuera dos veces ms larga?

B

CAPTULO 11 I Equilibrio y elasticidad

l.OS m

w

A

434

Figura 11.50 Problema 11.85.

de B. 1.20 X 1011 Pa. Enque punto de la varilla debecolgarse un peso w a fin deproducir: a) esfuerzos igua-les en A y B? b) Defonna-ciones iguales en A y B?11.86 Un juego de feria(Fig. 11,5 1) consiste en pe~queos aviones unidos a va-rillas de acero de 15.0 ro delongitud y rea transversal

- de 8.00 crol . a) Cuima seestira la varilla cuando eljuego est en reposo? (Su- Figura 11.51 Problema 11.86.ponga que cada avin condos personas en l pesa 1900 Newton en lotal.) b) En movimiento,el juego tiene una rapidez angular mxima de 8.0 rpm (rev/min).Cunto se estira la varilla emonces?11.87 Una varilla de latn de 1.40 ro de longitud y rea transversalde 2.00 cml se sujeta por un extremo al extremo de una varilla denquel de longitud L y seccin de 1.00 cm2. La varilla compuesta sesomete a fucrzas iguales y opuestas de 4.00 X 1(" N en sus extre-mos. a) Calcule la longilud L de la varilla de niquel si el alarga-miento de ambas varillas es el mismo. b) Qu esfuerzo se aplica acada varilla? e) Qu deformacin sufre cada varilla?11.88 Esfuerzo en la espinilla. La resislencia a la compresinde nuestros huesos es imponante en la vida diaria. El mdulo deYonng de los huesos es cerca de 1.4 X 1011' Pa. Los huesos slopueden sufrir un cambio de longitud del 1.0"10 antes de romperse. a)Qu fuerza mxima puede aplicarse a un hueso con rea transver-sal minima de 3.0 cm2? (Esto corresponde aproximadamente a la ti-bia, O espinilla, en su punto ms angosto.) b) Estime la alturamxima desde la que. puede sallllT un hombre de 70 kg sin fracturar-se la libia. Suponga que el lapso entre que la persona toca el piso yque se detiene es de 0.030 s, y que el esfuerzo se distribuye igual-mente entre las dos piernas.11.89 Se cuelga una lmpara del extremo de un alambre verticalde aluminio. La lmpara estira el alambre 0.18 mm, y el esfuerzo esproporcional a la deformacin. Cunto se haba estirado el alam-bre: a) si tuviera el doble dc longitud? b) Si tuviera la misma lon-gilUd pero el doble de dimetro? c) Si fuera de cobre con lalongitud y dimetro originales?11.90 Un conlrabandista produce etanol (alcohol etlico) puro du-rante la noche y lo almacena en un tanque de acero inoxidable ciln-

l

1

,Problemas de desafo 435

J