capitulo i- elasticidad

Cuaderno de Actividades: FII

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1) ELASTICIDAD

1,1) INTRODUCCIÓN

En este capítulo trataremos sobre los cambios de forma producidos en un cuerpo cuando está bajo la acción de una fuerza, esto es, en el sentido del comportamiento de los materiales bajo la acción de diversos esfuerzos, iniciándonos en la técnica del diseño.

Definición: Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas, este cambia de forma o de tamaño. La elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los cuerpos y las correspondientes deformaciones.

Cuerpos Deformables

Esfuerzo: Es una medida de la fuerza por unidad de área (en la que se aplica) que causa la deformación.

Deformación: Es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo debido a esfuerzos internos producidos por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo.

Módulos elásticos: Es la cantidad que define cuan elástico es un material. Si el esfuerzo unitario s y la deformación unitaria e no excede los valores del límite elástico de un material, entonces son directamente proporcionales y a la constante de proporcionalidad se le llama módulo de elasticidad del material que bajos ciertas condiciones se le denominan ley de Hooke.

Y Modulo elástico de Young en N/m2

S Modulo elástico de rigidez o de corte en Nm2

B Modulo elástico de volumen, en N/m2

1.2) ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

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http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_interno


Experimentalmente:

Li L

A: sección transversal

Se observa:

Los L van a depender de las y A siempre en régimen elástico Los L dependen de L

ENSAYO DE TENSIÓN Y DIAGRAMA DE ESFUERZO – DEFORMACIÓN

Durante la tensión, la deformación se concentra en la región central más estrecha, la cual tiene una sección transversal uniforme a lo largo de su longitud. La muestra se sostiene por sus extremos en la máquina por medio de soportes o mordazas que a su vez someten la muestra a tensión a una velocidad constante. La máquina al mismo tiempo mide la carga aplicada instantáneamente y la elongación resultante (usando un extensómetro). Un ensayo de tensión normalmente dura pocos minutos y es un ensayo destructivo, ya que la muestra es deformada permanentemente y usualmente fracturada.

L A

L

L

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Ensayo tensión - deformación

Sobre un papel de registro, se consignan los datos de la fuerza (carga) aplicada a la muestra que está siendo ensayada así como la deformación que se puede obtener a partir de la señal de un extensómetro. Los datos de la fuerza pueden convertirse en datos de esfuerzo y así construirse una gráfica tensión – deformación.

Grafica típica tensión vs deformación

a) Esfuerzo (s): Consideremos una varilla cilíndrica de longitud l0 y una sección transversal de área A0 sometida a una fuerza de tensión uniaxial F que alarga la barra de longitud l0 a l , como se muestra en la figura.

Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralela a la superficie considerada. Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan como (sigma) y σ se denominan como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento, y como esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento.

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Por definición: El esfuerzo S en la barra es igual al cociente entre la fuerza de tensión uniaxial media F y la sección transversal original A0 de la barra.

Esfuerzo = s = F/ A0

Sus unidades son m/N .


El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel.

b) Deformación Unitaria (e): Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuerza de tracción F y la barra sufre un alargamiento ∆l, se define alargamiento o deformación longitudinal como:

La deformación longitudinal es la variación relativa de longitud. La relación entre la fuerza F y el alargamiento ∆l viene dada por el coeficiente de rigidez Ks: F = Ks ∆l

El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura y presión y, en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía).

MODULO ELASTICO O DE ELASTICIDAD. A la constante de proporcionalidad, podemos escribir la ley de Hooke en su forma general.

Módulo elástico = Esfuerzo/ Deformación

Para el caso de Deformación por tracción o compresión longitudinal.El esfuerzo es S = F / A , la deformación unitaria es e = l / lΔEl modulo elástico es conocido como el MODULO DE YOUNG

M 1010

D

E

NOMBREMODULO DE

ELASTICIDAD Y 10¹⁰ N/ m²

Aluminio 6,8

Cobre 10,8

Oro 7,6

Hierro, fundido 7,8

Plomo 1,7

Níquel 20,6

Platino 16,7

Plata 7,4

Latón 4,6

Acero 20,0

Régimen elástico

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Deformación = e = =


LEY DE HOOKE. Cuando estiramos (o comprimimos) un muelle, la fuerza recuperadora es directamente proporcional a la deformación x (al cambio de longitud x respecto de la posición de equilibrio) y de signo contraria a ésta. F = - kx Siendo k una constante de proporcionalidad, denominada constante elástica del muelle. El signo menos en la ecuación anterior se debe a que la fuerza recuperadora es opuesta a la deformación.

La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que se alcanza el límite de proporcionalidad (ver figura).

En las curvas esfuerzo - deformación de un material hay un tramo de comportamiento perfectamente elástico en el que la relación esfuerzo –deformación es lineal (punto a). De ahí hasta otro punto b (de límite elástico) el material sigue un comportamiento elástico (sigue habiendo una relación entre esfuerzo y deformación, aunque no es lineal, y si se retira el esfuerzo se recupera la longitud inicial). Si se sigue aumentando la carga (por encima del punto b), el

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material se deforma rápidamente y si se retira el esfuerzo no se recupera la longitud inicial, quedando una deformación permanente y el cuerpo tiene un comportamiento plástico. Si se sigue aumentando la carga, el material llega hasta un estado en el que se rompe.

DIAGRAMA ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA PARA EL ACERO DULCE

El límite de proporcionalidad se alcanza en δlp = 35 klb/pulg2 cuando εlp = 0.0012 pulg/pulg. Este es seguido por un punto superior de fluencia de (σY)u = 38 klb/pulg2 , luego súbitamente por un punto de fluencia de (σY)l = 36 klb/pulg2 . El final de la fluencia ocurre con una deformación unitaria de εY =0.030 pulg/pulg, la cual es 25 veces más grande que la deformación unitaria en el límite de proporcionalidad. La probeta de ensayo se endurece hasta que alcanza un esfuerzo ultimo de σu = 63 klb/pulg2 , y luego comienza la restricción hasta que ocurre la falla de σf = 47 klb/pulg2.

1.3) MÓDULOS ELÁSTICOS

I) Modulo de Young, Y: Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.

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Si aplicamos una fuerza F a una barra de longitud l0

el material se deforma longitudinalmente y se alarga l – l0. La razón de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación por unidad de longitud) está dada por la constante Y, denominada módulo de Young, que es característico de cada material.


II) Modulo de corte, S: Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte).

El esfuerzo cortante o tangencial , es la fuerza de corte o tangencial porτ unidad de área:

Esfuerzo cortante = fuerza de corte / área de corte

Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una pequeña distancia x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza.La resistencia al desplazamiento x se describirá en base al modelo S,

III) Modulo volumétrico, B: Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.

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S = N/m²h

Y = N/m²

tg = ɵ

S =


MATERIALES NO LINEALES

Cuando se consideran ciertos materiales, como por ejemplo el cobre, donde la curva de tensión-deformación no tiene ningún tramo lineal, aparece una dificultad ya que no puede usarse la expresión anterior. Para ese tipo de materiales no lineales pueden definirse magnitudes asimilables al módulo de Young de los materiales lineales, ya que la tensión de estiramiento y la deformación obtenida no son directamente proporcionales.

F A

F

F

F

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Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico está definido por

Si esta presión se escribe como una

variación de presión pΔ

B = -

En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.

Compresión: p > 0 V < 0 B > 0.Dilatación o expansión: p < 0 V > 0 B > 0.

B = -

p=


Para estos materiales elásticos no lineales se define algún tipo de módulo de Young aparente. La posibilidad más común para hacer esto es definir el módulo de elasticidad secante medio, como el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformación unitaria que experimenta en la dirección de aplicación del esfuerzo:

Dónde:

es el módulo de elasticidad secante.

es la variación del esfuerzo aplicado

es la variación de la deformación unitaria

La otra posibilidad es definir el módulo de elasticidad tangente:

MATERIALES ANISOTROPOS

Existen varias "extensiones" no excluyentes del concepto. Para materiales elásticos no isótropos el módulo de Young medido según el procedimiento anterior no da valores constantes. Sin embargo, puede probarse que existen tres constantes elásticas Ex, Ey y Ez tales que el módulo de Young en cualquier dirección viene dado por:

y donde son los cosenos directores de la dirección en que medimos el módulo de Young respecto a tres direcciones ortogonales dadas.

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