capitulo i. elasticidad

5/13/2018 CAPITULO I. ELASTICIDAD - slidepdf.com

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CAPITULO I

ELASTICIDAD

Los arbotantes utilizan la resistencia a la compresión y el peso de la piedra para sostener la catedral de Notre Dame de Paris.



Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García

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I. ANALISIS DE ESFUERZOS: Conceptos y Definiciones

1.1. INTRODUCCIÓN

Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad

práctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecánica, es decir, deben oponerse a la rotura al ser sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas).

Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y máquinas deberán ser fabricadas del materialcorrespondiente y tener las correctas dimensiones.

El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las

construcciones.

Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones(deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas.

Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen

Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros.Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sinembargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. Al mismo tiempo, enmuchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparacióncon las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de laconstrucción.

La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez. De aquí que el segundo objetivo esla exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.

El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibriode los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de oponerse a grandes perturbaciones delequilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio esestable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las

construcciones.

Al realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una economía máxima del material, esdecir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. Paraello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, así como de las características de lascargas aplicadas. Ello se consigue realizando experimentos en el laboratorio, así como de a experiencia en eldiseño y el mantenimiento de la construcciones.

1.2. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.

Para el mejor entendimiento de la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis)respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementosestructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. Estas son:

Primera suposición: El material debe ser considerado macizo y continuo. Es decir, debe despreciarse laestructura atomística, discontinua de la materia. Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezasreales son muy superiores a la distancia entre átomos.

Segunda suposición: El elemento del cual está hecho el elemento se considera homogéneo, es decir tiene propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos.

Menos homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo,está compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. Lamadera tiene nudos, de propiedades diferentes al resto de madera. Sin embargo, los cálculos realizados de losexperimentos muestran que la suposición de homogeneidad es satisfactoria.




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Tercera suposición: El material del cual se hace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades entodas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchosmateriales tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se considere. Sin embargo, enel caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Paramateriales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícito con cierta aproximación.

Cuarta suposición: Se considera que las fuerzas internas, originales, las mismas que preceden a la aplicación decargas externas se consideran nulas. Es sabido que las fuerzas de interacción entre partículas del material, cuyasdistancias varían, se oponen a la variación de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas exteriores. Alhablar de fuerzas interiores, en adelante tendremos en cuenta estas fuerzas despreciando las fuerzas molecularesque existen en el cuerpo sometido a cargas. Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de losmateriales utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto delsecamiento de la misma, y en l concreto armado aparecen durante el fraguado.

Quinta suposición: Esta suposición también se llama principio de superposición de cargas. Se expresacomo el efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos delas acciones de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple cuando

se cumplen las siguientes condiciones:

Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños con las dimensiones delsólido.

Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.

Sexta suposición: También llamado principio de SAINT – VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy pocodel modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema defuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.

1.3. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores(concentradas o distribuidas) tal como se muestra en la figura 1.1a

(a) (b)

Figura 1.1 (a) Cuerpo sometido a fuerzas externas mostrando un plano de corte imaginario; (b) Porción

de cuerpo separado mostrando las fuerzas internas.

Para obtener las fuerzas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario utilizar elmétodo de las secciones. Para ello debe hacerse un corte imaginario a través de una región específica dentro delcuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas. Las dos partes son separadas y se procede a trazar eldiagrama de sólido libre de una de las partes. Esta situación se ilustra en la figura 1.1b. En el diagrama puede




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observarse que existe realmente una distribución de fuerzas interiores las que actúan sobre el área expuesta de lasección. Estas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre elmaterial adyacente.

Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático

para relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de ladistribución, RF

yO R M

en cualquier punto específico O sobre el área seccionada como se muestra en la figura

1.2a. Al hacerlo así, observe que RF

actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización

del punto. De otro lado,O R M

si depende de la localización. En general puede escogerse como el centroide del

área seccionada.

(a) (b)

Figura 1.2. (a) Fuerza y momento resultante de las fuerzas internas; (b) Componentes rectangulares de la

fuerza y momentos resultantes.

Las componentes de RF

yO R M

según las direcciones x, y y z, mostradas en la figura 1.2b, indican la

aplicación de cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:

1.3.1. Fuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrollasiempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos.

1.3.2. Fuerza cortante (V). Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuandolas fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro.

1.3.3. Momento o par torsional (Tz). Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer una parte del cuerpo respecto a la otra.

1.3.4. Momento flexionante (M). Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar alcuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.

1.4. ESFUERZO

En esta sección se muestra la forma para determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un punto específico sobre el área seccionada del cuerpo tal como se muestra en la figura 1.3a, la obtención de ladistribución de cargas internas es muy importante en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es

necesario desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del áreaseccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.




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(a) (b)

Figura 1.3. (a) Fuerza y momento resultantes de las fuerzas internas; (b) Fuerza ΔF actuando sobre un Δ A

y (c) Fuerza normal y cortante

Consideremos al área seccionada subdividida en pequeñas áreas ΔA, tal como se muestra en la figura 1.3b. Lafuerza finita muy pequeña que actúa sobre ΔA es . Esta fuerza como todas las demás tendrá una direcciónúnica, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos y las mismas que son normales ytangenciales al área respectiva como se ve en la figura 1.3c.

Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza o sus componentes también tiende a cero. Sin embargo, elcociente entre la fuerza y el área tenderán a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe laintensidad de la fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto.

1.4.1. Esfuerzo normal (σ). Se define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidadde área, actuando perpendicularmente a perpendicular ΔA. Matemáticamente se escribe

A

F n A

0

lim (1.1)

Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” sobre el elemento de área ΔA como se muestra en la figura 1.4a,se llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” sobre ΔA se denomina esfuerzo de compresión.

1.4.2. Esfuerzo cortante (τ). Se define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidadde área, que actúa tangencialmente a ΔA. Matemáticamente este esfuerzo se escribe.

A

F t A

0lim (1.2)

1.4.3. Componentes cartesianas del esfuerzo. Para especificar mejor la dirección del esfuerzo, sedescompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra en la figura 1.4a. Elelemento de área y x A y las tres componentes cartesianas de la fuerza se muestra en la

figura 1.4b. Bajo estas condiciones las componentes del esfuerzo son

A

F z A

z

0lim (1.3)

A

F x

A zx

0lim (1.4)

A

F y A

zy

0lim (1.5)




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El subíndice z se usa para indicar la dirección de la línea normal hacia fuera, que especifica laorientación de ΔA y los subíndices x e y se refieren a los ejes coordenados en cuya dirección actúanlos esfuerzos cortantes.

(a) (b) (c)

Figura 1.4. Determinación de esfuerzos normales y cortantes.

1.5. ESFUERZO NORMAL MEDIO DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE.

En la figura 1.5a, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas P, estas fuerzas soncolineales con el eje centroidal de la barra y producen cargas de tensión. Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales.

Si cortamos imaginariamente a la barra a través de la sección transversal a-a, se puede dibujar el DCL de lamitad inferior de la barra como se muestra en la figura 1.5b. El equilibrio nos indica que en la sección hay unadistribución de fuerzas cuya resultante es F, la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a lafuerza externa P y tiene una línea de acción que es colineal con P. La intensidad media de la fuerza interna por unidad de área normal es el esfuerzo normal medio expresado como

A

F m (1.6)

En este libro se usa el símbolo σ para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convención de asignarle un signo positivo si el esfuerzo es de tensión por el contrario se asigna un signo negativo si el esfuerzo es de compresión.

Para determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos ΔA sobre los que actúa una fuerza lamisma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura 1.5c. Enestas condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuación

A

F

A

0lim (1.7)




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(a) (b) (c)

Fig. 05. Elemento estructural cargado axialmente

En general el valor obtenido para el esfuerzo obtenido para un punto dado en una sección transversal es diferenteal obtenido mediante la ecuación (1.6) y se encuentra que el esfuerzo varía en la sección. La figura 1.6 muestra auna barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresión P y P’, estas variaciones son pequeñas en puntosalejados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.

Figura 1.6. Variación del esfuerzo normal en un elemento estructural cargado axialmente

1.6. ESFUERZO CORTANTE MEDIO

En la sección 1.3 se definió al esfuerzo cortante como la componente del esfuerzo que actúa paralelamente al plano de la sección transversal de corte. Para ver como aparece este esfuerzo consideremos unelemento tal como se muestra en la figura 1.7 al que se le ha aplicado una fuerza P. Si los soporte B y D seconsideran rígidos y P es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra falle a lo largo delos planos AB y CD. El DCL del segmento central no apoyado mostrado en la figura 1.7b, indica que una fuerzacortante V = P/2 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. Bajo estas condiciones el esfuerzocortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define por

A

V med

(1.8)

Donde: τmed = Esfuerzo cortante medio en la sección, se asume que es el mismo en toda la sección; V = uerzacortante interna resultante en la sección determinada a partir del equilibrio. A = Área de la sección




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La distribución del esfuerzo cortante medio se muestra actuando sobre la sección derecha de la figura 1.7c. Debeobservarse que τmed tiene la misma dirección que V.

(a) (b) (c)

Figura 1.7. Esfuerzo cortante medio en un elemento estructural

1.6.1. Cortante simple.Las placas unidas por un perno (1,8a) y (1,8e) y las placas pegadas mostradas en la figuras 1.8c,

respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de cuerpolibre mostradas en las figuras 1.8b; 1.8d, 1.8f y las ecuaciones de equilibrio muestran que las fuerzasinternas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo cortanteviene expresado por

(a) (b) (c) (d)

(e) (f)

Figura 1.8. Elementos sometidos a esfuerzo cortante simple

1.6.2. Cortante doble

Las placas unidas por un perno, figura 1.9a cuya vista transversal se da en la figura 1.9e, y las placas pegadas mostradas en la 1ig figuras 1.9a y 1.9c, respectivamente son ejemplos de elementos conconexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Losdiagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 1.9b; 1.9d; 1.9e y las ecuaciones de equilibriomuestran que las fuerzas internas cortantes V = P/2 y el esfuerzo es




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(a) (b) (c) (d)

(e) (f)

Figura 1.9. Elementos sometidos a esfuerzo cortante doble

1.7. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

El esfuerzo de aplastamiento o de apoyo se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementosinteractuantes. Para el caso de la conexión mostrada en la figura 1.10a. El remache ejerce sobre la platina A unafuerza P igual y opuesta a la fuerza F que ejerce la platina sobre el remache véase figura 1.10b. En este gráfico P

es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro d y longitud t igual al espesor de la platina. Debido a que la distribución de esfuerzos, es muy compleja, por ello se usa unvalor medio para el esfuerzo de aplastamiento σ b, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza P y el área proyectada del remache en la platina (figura 1.10c). Debido a que esta área es igual a td , donde t es el espesor dela platina y d el diámetro del remache, se tiene.

b

b

P P

A td (1.9)

(a) (b) (c)

Fig. 10. Definición de esfuerzo de aplastamiento.

1.6. ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO

Consideremos un elemento de sección transversal A0 sometido a dos fuerzas P y P’ tal como se muestraen la figura 1.11a. Si trazamos imaginariamente un plano inclinado que forma un ángulo θ con el plano normal(figura 1.11b) y dibujamos el DCL de la parte izquierda del elemento (figura 1.11c) se halla a partir de laecuaciones de equilibrio, que las fuerzas distribuidas en la sección inclinada deben ser equivalentes a la fuerza P.




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Figura 1.11. Esfuerzo normal y cortante en planos inclinados

Descomponiendo P en sus componentes F y V, normal y tangencial a la respectiva sección, se obtiene que

cosPF (1.10)

PsenV (1.11)

La fuerza F representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas en la sección y V representa la resultantede las fuerzas distribuidas paralelas al plano inclinado (figura 1.11d). El valor medio de los correspondientesesfuerzos será

AF (1.12)

A

V (1.13)

Remplazando las ecuaciones (1.10) y (1.11) en las ecuación (1.12) y (1.13), resulta

A

P cos (1.14)

A

Psen (1.15)

De la gráfica se observa que

cos

0 A A (1.16)

Al sustituir este valor del área en las ecuación (1.14) y (1.15), se obtiene:

2

0

cos A

P (1.17)




11

22 0

sen A

P (1.18)

De la ecuación (1.17) se observa que el esfuerzo normal es máximo cuando θ = 0º y que tiende a cero a medida

que θ se aproxima a 90º. Valor máximo del esfuerzo es

0max

A

P (1.19)

De la ecuación (1.18) se observa que el esfuerzo cortante es máximo cuando el ángulo θ = 45º, siendo su valor máximo

o A

P

2max (1.20)

II. ANALISIS DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA: Conceptos y Definiciones

2.1. INTRODUCCIÓN.

Utilizando los conceptos de la estática en la sección anterior se establecieron las relaciones entre lasfuerzas internas y los esfuerzos, avaluándose los esfuerzos normales y cortantes para distintos elementossometidos a cargas externas. Así mismo se evaluaron esfuerzos sobre superficies inclinadas de elementos. Enningún momento se observó las deformaciones que producen la aplicación de cargas externas a un cuerpodeformable. Es sabido que en el diseño de elementos estructurales o componentes de máquinas es de importanciaconsiderar en el mencionado diseño las deformaciones que experimentan los cuerpos. Por ello es importantediscutir en esta sección las deformaciones producidas por las fuerzas externas cuando son aplicadas a un cuerpo

deformable real, estableciéndose algunos métodos para medir tales deformaciones.

2.2. DESPLAZAMIENTO, DEFORMACIÓN Y DEFOMACIÓN UNITARIA

2.2.1 Desplazamiento.

Si sobre un cuerpo deformable se aplica un sistema de cargas externas, cada una de las partículasque componen el cuerpo puede experimentar desplazamientos entre sí. Para determinar talesdesplazamientos se utiliza el desplazamiento que es una magnitud vectorial que mide el movimiento deuna partícula de una posición a otra.

Para evaluar las deformaciones que experimenta un cuerpo deformable consideremos un cuerpo hecho deun material continuo tal como se muestra en la figura 1.12. Las tres partículas A, B y C antes de laaplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. Después de la aplicación delas fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las partículas son A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene descrito por el vector u(A).




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Figura 1.12. Desplazamiento que experimenta una partícula.

2.2.2 Deformación.

La aplicación de las cargas externas ocasionan que las líneas AB y BC inicialmente rectas, seconvierten en líneas curvas A’B’ y A’C’. Por lo tanto, las longitudes de AB y AC así como el ángulo θ,serán diferentes de las longitudes curvas A’B’ y A’C’ y el ángulo θ’. Es decir la deformación se definecomo la diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos líneas en el cuerpo debido alos desplazamientos de cada partícula debido a la aplicación de las cargas externas al cuerpo.

2.2.3 Deformación unitaria.

La deformación unitaria se utiliza para describir la deformación por cambios en la longitud desegmentos de línea y los cambios en los ángulos entre ellos. Existen dos tipos de deformación unitaria:

Deformación unitaria normal. Designada por la letra griega epsilon (ε), expresa el alargamiento oacortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud de un cuerpo durante la deformación.

Para encontrar una expresión matemática para la deformación unitaria normal, considere una línea rectaAB dentro de un cuerpo no deformado como se muestra en la figura 1.13a, esta línea está ubicada a lolargo del eje n y tiene una longitud inicial Δs. Después de la deformación la línea recta se transforma enuna línea curva con una longitud Δs’ como se muestra en la figura 1.13b.

(a) (b)

Figura 1.13. (a) Cuerpo sin deformación y (b) Cuerpo deformado

El cambio en la longitud es entonces (Δs’ – Δs). La deformación unitaria normal promedio ε prom se define

como




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s

ss prom

' (1.21)

A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al puno A, la longitud de la línea se vuelve

cada vez más corta, de tal modo que 0s . De igual forma B’ se aproxima a A’ de modoque 0's . Por lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto A es la dirección n está dada por

s

ss

A B

'lim

ndelargoloa (1.22)

En algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitudfinal del segmento corto en la dirección n para ello se usa la relación

ss 1' (1.23)

Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si ε es negativa la línea seacortará.

Debido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella seráuna cantidad adimensional. Por la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal en el SI seexpresa como (μm/m).

Deformación unitaria normal de elementos sometidos a cargas axiales.

Consideremos un barra de peso despreciable BC, de longitud L y área transversal A, suspendida de suextremo B tal como se muestra en la figura 1.14a. Si ahora se aplica una carga externa P al extremo libreC, la barra experimentará un alargamiento δ como se ve en la figura 1.14b.

(a) (b) (c)

Figura 1.14. (a) Elemento sin carga axial, (b) elemento sometido a carga axial P mostrando la

deformación que le produce y (c) diagrama fuerza-deformación.

Al elaborar un diagrama fuerza-deformación, se obtiene una gráfica como se ve en la figura 1.14c. Debeseñalarse que aunque este diagrama contiene información útil para el análisis de la barra en estudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otra barra del mismo material pero con dimensionesdiferentes. Así por ejemplo, la barra B’C’ de sección transversal 2A y longitud L, experimentará la mismadeformación δ cuando se aplica una fuerza 2P (ver figura 1.15a) siendo en ambos casos el esfuerzonormal el mismo. Por otro lado, cuando la barra B’’C’’ de longitud 2L y área transversal A es sometida a

una fuerza P experimenta una deformación 2δ (ver figura 1.15b) obteniéndose además que el cocienteentre el alargamiento y la longitud inicial es el mismo.




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(a) (b)

Figura 1.15. (a) Elemento de longitud L sometido a una carga 2P y (b) elemento de área y longitud 2L

sometido a una carga P

Por ello la deformación unitaria normal está dado por

L

(1.24)

Si ahora se construye una gráfica esfuerzo (σ) - deformación unitaria normal (ε), se obtiene una curvacaracterística para cada uno de los materiales la que no depende de las dimensione de la probeta. Estarelación se discutirá más adelante.

Por otro lado, cuando la sección del elemento sometido a cargas externas es de sección variable como se

muestra en la figura 1.16a, el esfuerzo normal varía a lo largo del elemento por ello es necesario definir ladeformación en cierto punto Q considerando un pequeño elemento de longitud no deformado x comose ve en la figura 1.16b.

(a) (b)

Figura 1.16 (a) Elemento de sección variable sin carga axial y (b) elemento de sección variable

sometido a carga axial.

Si es el alargamiento del pequeño elemento bajo la carga exterior dada, la deformación unitaria enestas condiciones será

dx

d

x x

0lim (1.25)

Deformación angular o cortante.

La deformación unitaria angular o cortante se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dossegmentos de línea inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por γ y su valor se mide enradianes. Para mostrar esto consideremos dos segmentos de línea AB y AC a lo largo de los ejes




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perpendiculares n y t como se muestra en la figura 1.17a. Después de la deformación las líneas rectas AB y AC se vuelven curvas y el ángulo entre eles es θ’ ver la figura 1.17b. Por lo tanto, la deformaciónunitaria angular será

'lim

2 tdelargoloaACndelargoloa

A Bnt

(1.26)

Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la deformación angular es positiva por el contrario si θ’ esmayor de 90º la deformación angular es negativa.

(a) (b)

Figura 1.17. (a) Angulo entre dos rectas perpendiculares de un cuerpo sin deformación y (b) ángulo

entre dos líneas de cuerpo deformado

Por otro lado cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal como se muestra en la figura1.18, el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se mantiene fijo el ladosuperior experimenta un desplazamiento δs

Figura 1.18. Deformación angular o cortante en un plano

La deformación angular promedio se obtiene dividiendo la deformación δs en una dirección normal y la

longitud L

Ltg s

prom

(1.27)

Para aquellos casos en los cuales la deformación no es uniforme, la deformación angular en un puntoviene dada por

dL

d

LP ss

L xy

0lim)( (1.28)

Análisis de deformaciones unitarias pequeñas.

En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. Laaproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. El lafigura 1.19 se muestra un ejemplo de cómo evaluar la deformación.




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Figura 1.19. Deformaciones pequeñas.

La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ referido a la dirección de la barra. La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar L f ,esto es

cos21cos20

2

0

0022

0

L

D

L

D L D L D L L

f (a)

Teniendo en cuenta la ecuación (1.24) se puede determinar la deformación promedio en la barra AP, esdecir

1cos210

2

00

0

L

D

L

D

L

L L f

(b)

Si se considera de que D << L0, en este caso se desprecia el término cuyo exponente es 2 y si se usa el binomio de Newton se obtiene

1.............cos10

L

D(c)

Simplificando la ecuación anterior se obtiene

0

cos

L

D peq

(1.29)

El cambio dimensional y deformación están linealmente relacionados en la ecuación (1.29), lo cual noocurre con la ecuación (a), esto implica que los cálculos de pequeña deformación resultarán en un sistemalineal, eso simplifica los cálculos

III. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

3.1. INTRODUCCIÓN.

Si se tiene un alambre de un metal y una cuerda de hule con igual longitud antes de experimentar unadeformación al someterlos a cargas externas iguales experimentarán deformaciones diferentes. No debe desorprenderse al observar que el hule se deforma mucho más que el alambre de acero. Esta situación pone demanifiesto que las propiedades mecánicas cumplen una importante función en el desarrollo de las fórmulas pararelacionar el cambio dimensional con las cargas aplicadas.

La descripción cualitativa de un material mediante adjetivos como elástico, dúctil, frágil tiene un significadomuy específico que es necesario conocer, ya que estos adjetivos nos permiten describir a los materiales. Ladescripción cuantitativa se realiza a través de ecuaciones que describen las curvas esfuerzo- deformación de cadauno de los materiales. Los parámetros en las ecuaciones se determinan experimentalmente.




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Por ello el objetivo de esta sección es comprender la descripción cualitativa y cuantitativa de las propiedadesmecánicas de los materiales.

3.2. DIAGRAMAS ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA.

Se ha visto en la sección anterior que cuando se traza un diagrama carga-deformación se obtiene undiagrama tal como el mostrado en la figura 1.14c. Debe señalarse que aunque este diagrama contieneinformación útil para el análisis de elemento en estudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento deotros elementos del mismo material pero con dimensiones diferentes. Por ello es necesario buscar otro tipo dediagrama que nos permitan caracterizar a un material en general. Estos diagramas son los diagramas esfuerzo-

deformación unitaria.

Para obtener estos diagramas se realizan ensayos de tensión o de compresión estandarizados uno de ellos es lonormado por la ASTM.

3.2.1. Ensayo de tensión.

Uno de los ensayos mecánicos esfuerzo-deformación más comunes es el realizado a tracción. Esteensayo es utilizado para determinar varias propiedades de los materiales que son importantes para eldiseño. Normalmente se deforma una probeta hasta la rotura, con una carga de tracción que aumentagradualmente y que se aplica axialmente a lo largo del eje de una probeta. En la figura 1.20a se muestraalgunas probetas cilíndricas normalizadas y en la figura 1.20b se muestran probetas planas normalizadas.Generalmente la sección de la probeta es circular, pero también se utilizan probetas de secciónrectangular. Durante el ensayo, la deformación está confinada en la región más estrecha del centro, la cualtiene una sección uniforme a lo largo de su longitud. El caso de probetas cilíndricas el diámetronormalizado es aproximadamente 12,8 mm (0,5 pulgadas), mientras que la longitud de la secciónreducida de ser igual a por lo menos cuatro veces su diámetro, siendo usual 60 mm. La longitud de prueba es de 50 mm (2 pulgadas) como se ve ela figura 1.20c.

(a) (b)

(c)

Figura 1.20. Probeta de tracción normalizada con sección circular

La probeta se instala con sus extremos en las mordazas de la máquina de ensayos de tracción como semuestra en la figura 1.21. Máquina que se diseña para alargar la probeta a una velocidad constante, y para




18

medir continua y simultáneamente la carga instantánea aplicada (con una celda de carga) y elalargamiento resultante (utilizando un extensómetro). El ensayo dura varios minutos y es destructivo, osea la probeta del ensayo es deformada de forma permanente y a menudo rota,

Figura 1.21. Máquina de ensayos de tracción con un sistema de procesamiento automático de

datos.

3.2.2. Diagrama esfuerzo normal - deformación unitaria.

El resultado del ensayo se registra en una banda de papel como carga en función del alargamiento.Estas características carga-deformación dependen del tamaño de la probeta. Para minimizar los factoresgeométricos, la carga y la deformación son normalizadas para obtener los parámetros esfuerzo nominal y

deformación nominal, respectivamente ver la figura 1.22.

Figura 1.22. Muestra normalizada utilizada en ensayo de tracción

El esfuerzo nominal o de ingeniería σ se determina mediante la ecuación.




19

0 A

P

(1.30)

En donde P es la carga instantánea aplicada perpendicularmente a la sección de la muestra y A0 es el área

de la sección transversal original antes de aplicar la carga.

La deformación nominal o de ingeniería se define como

00

0

L L

L Li

(1.31)

Donde: L0 es la longitud original antes de aplicar la carga, y Li es la longitud instantánea. Algunas veces Li - L0 se expresa mediante δ y es el alargamiento producido por la deformación, o cambio en la longituden un instante determinado.

Si se grafican lo valores correspondientes de σ y ε, la curva se llama diagrama convencional de esfuerzo-

deformación unitaria. Este diagrama es importante ya que nos permite obtener la resistencia a tensión (ocompresión) de un material sin considerar la geometría del material. Sin embargo, debe de precisarse deque nunca serán exactamente iguales los diagramas esfuerzo-deformación para un material particular, yaque los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, las imperfecciones

microscópicas, de la forma en que fueron fabricados, de la velocidad de la carga y de la temperatura de

ensayo.

A continuación discutiremos la curva convencional del acero, material muy utilizado en la fabricación decomponentes estructurales y mecánicos. En la figura 1.23 se muestra el diagrama σ – ε de una probeta deacero. En dicha gráfica se observa cuatro maneras diferentes en que el material se comporta dependiendode la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.

Figura 1.23. Diagrama esfuerzo-deformación para un acero estructural

Comportamiento elástico. Decimos que el material es elástico cuando recobra su forma original despuésde la suspensión de la carga aplicada a ella. Este comportamiento elástico ocurre hasta cuando el materialalcanza el límite de proporcionalidad el diagrama σ – ε es prácticamente una línea recta. En estascondiciones el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. El esfuerzo que le corresponde al límitede proporcionalidad se llama esfuerzo elástico ( σpl). Si el esfuerzo excede un poco el límite de

proporcionalidad el material todavía puede responder elásticamente. Sin embargo, la curva tiende aaplanarse causando un incremento mayor en la deformación unitaria. Esto continúa hasta que el esfuerzoalcanza el límite elástico. Para determinar este esfuerzo es muy complicado debido a la cercanía en que seencuentran estos puntos.




20

Fluencia. Un ligero incremento del esfuerzo más allá del límite elástico provoca un colapso del materialocasionando que el material se deforme permanentemente. Este comportamiento se llama fluencia. Elesfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia ( σ y ) y la deformación que ocurre se llamadeformación plástica. En algunos aceros se encuentra dos valores para el límite de fluencia uno superior yotro inferior pero una vez que se alcanza éste último el material se deforma sin la aplicación de carga.

Endurecimiento por deformación. Una vez que la fluencia termina, la aplicación de carga a la probetaocasiona que se eleve nuevamente pero más suavemente hasta alcanzar el esfuerzo último (σu). Laelevación en la curva se denomina endurecimiento por deformación.

Estricción. Cuando la probeta alcanza el esfuerzo último, comienza a experimentar una disminución enla sección transversal en una zona localizada, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este efecto se debeal reacomodo de los planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones producidas se deben a esfuerzos cortantes. Como resultado aparece una estricción o cuello en la zona amedida que la probeta se alarga cada vez más como se muestra en la figura 1.24a. Una vez que se alcanzael esfuerzo cortante máximo la probeta fractura tal como se ve en la figura 1.24b.

(a) (b)

Figura 1.24. (a) Probeta de acero mostrando el inicio de la estricción y (b) probeta fracturada, observe

la formación del cono y la copa

3.2.3. Materiales Dúctiles y frágiles.

Materiales Dúctiles. Todo aquel material que puede experimentar deformaciones grandes antes de la

fractura se llama material dúctil. Esta propiedad mecánica hace que el ingeniero escoja a estos materiales para el diseño de estructuras o elemento de máquinas por su capacidad de estos materiales para absorber energía sin sufrir sobrecarga exhibiendo una deformación grande antes de fallar.

Una forma como expresar el grado de ductilidad de un material es el porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de área en el momento de fractura. Esto es:

)%100(L

elongacióndePorcentaje0

0f

L

L (1.32)

)%100(A

áreadereduccióndePorcentaje0

0f

A

A (1.33)

Donde A f es el área de la sección transversal después de la fractura y A0 es el área de la sección trasversalinicial.




21

Además del acero existen muchos otros materiales que tienen este comportamiento tales como el latón, elmolibdeno y el zinc experimentando curvas esfuerzo deformación análogas es decir presentan una zonaelástica, una zona de fluencia, una zona de deformación por deformación sufriendo una estricción parallegar a fracturar. Sin embargo, muchos otros materiales no presentan fluencia más allá de la zonaelástica. El aluminio por ejemplo no presenta un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente se

utiliza el método de la desviación para determinar el esfuerzo de fluencia. Esto se consigue escogiendouna deformación unitaria del 0,2% y desde este punto situado sobre el eje ε en el diagrama esfuerzo-deformación se traza una recta paralela a la porción recta inicial de la curva. El punto de intersección deesta línea con la curva define el esfuerzo de fluencia. Este criterio se muestra en la figura 1.25

Figura 1.25 . Esquema donde se indica cómo se obtiene el esfuerzo de fluencia para el aluminio.

Materiales frágiles. Aquellos materiales que presentan poca o ninguna fluencia antes de la fractura sedenominan frágiles. Destacan entre otros la fundición gris, el concreto armado, el vidrio, etc. Estosmateriales en general son ensayados en máquinas de compresión tal como se muestra en la figura 1.26a.La forma como se produce la fractura frágil está mostrada en la figura 1.26a. En el caso del concreto eldiagrama esfuerzo-deformación dependen fuertemente de la composición (agua, arena, grava y cemento);del tiempo y de la temperatura de curado. En la figura 1.26b se muestra el diagrama esfuerzo-deformación para el concreto. En él se observa que el esfuerzo de compresión máximo es de casi 12,5veces mayor que su esfuerzo de fractura a tensión. Por ello es que el concreto siempre se refuerza conacero en estructuras.

(a) (c)

Figura 1.26. (a) Máquina de compresión (b) Probeta fracturada de un material frágil y (b) Diagrama

esfuerzo-deformación para una muestra de concreto.

(b)




22

3.2.4. Ley de Hooke.

En un ensayo de tracción, la relación esfuerzo normal y deformación unitaria normal en la regiónlineal establece que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación normal, esto se traduce enla expresión

E (1.34)

La ecuación (1.34) se conoce como ley de Hooke, siendo E la pendiente de la recta y se denominamódulo de Young o módulo de elasticidad. Las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo por ser la deformación unitaria una cantidad adimensional.3.2.5. Razón de Poisson.

Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza de tracción axial, no sólo se alarga sinotambién experimenta una contracción lateral. Sucede el efecto inverso cuando las cargas son decompresión. Estos casos se muestran en las figuras 1. 27a y 1.27b.Al aplicar la carga P a la barra, su longitud se incrementa en una cantidad δ y su radio experimenta unacontracción δ’. Las deformaciones axial y lateral se expresan

Llong

y

r lat

' (1.35)

S. D. Poisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón entre estas deformaciones unitarias esconstante. A esta relación se le llama módulo de Poisson ( ν ) y tiene un valor único para cada uno de losmateriales considerado homogéneo e isótropo, expresado por

long

lat

(1.36)

El módulo de Poisson es adimensional y para la mayoría de materiales toma un valor dado por 5,00

Figura 1.27. (a) Elemento sometido a carga axial y (b) elemento sometido a una carga de compresión

3.2.6. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria por cortante.

La figura 1.28a, muestra una sección de un material homogéneo e isótropo, sometido a esfuerzoscortantes, el efecto de tale esfuerzos ocasiona que el material se distorsione quedando como lo muestra lafigura 1.28b. La deformación angular unitaria a cortante será γxy.

Los materiales sometidos a esfuerzos cortantes también pueden ser estudiados en el laboratorio utilizandomuestras en forma de tubos y sometidos a pares torsores. Los datos obtenidos nos permiten determinar elesfuerzo cortante y la deformación angular, con estos datos se traza un diagrama esfuerzo cortante-deformación angular unitaria cortante. Este diagrama para un material dúctil se observa en la figura




23

1.28c. Al igual que en el ensayo de tracción, este material exhibe un comportamiento elástico – linealcuando se somete a corte y tendrá un esfuerzo de proporcionalidad definido. También presenta unendurecimiento por deformación hasta llegar al esfuerzo cortante último. Finalmente el materialcomenzará a perder su resistencia al cortante hasta que se produce la fractura.

(a) (b) (c)

Figura 1.28. (a) Forma del elemento inicial (b) elemento después de ser sometido a esfuerzos cortantes

y (c) Diagrama esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante

Múltiples materiales de ingeniería presentan el comportamiento elástico lineal, de modo que el esfuerzocortante es proporcional a la deformación angular por cortante, cumpliéndose en estos casos también laley de Hooke

G (1.37)

Donde G es el módulo de rigidez, su valor se determina calculando la pendiente de la línea recta en eldiagrama. Al igual que el módulo de Young el módulo de rigidez tiene las mismas unidades (N/m2).

Una relación muy importante que relaciona las tres constantes del material E, G y ν se da a continuación

2 1

E G

(1.38)

IV. ELEMENTOS AXIALES.

4.1. INTRODUCCIÓN.

En esta sección se analiza el método para determinar el esfuerzo normal en elementos estructurales omecánicos cargados axialmente, de otro lado se determina la deformación de estos elementos. Así mismo semostrará un método para determinar las reacciones en los soportes en los que se encuentran empotradoselementos deformables.

4.2. DEFORMACIÓN DE MIEMBROS SOMETIDOS A CARGAS AXIALES

4.2.1. Miembro uniforme sometido a dos cargas axiales

Cuando una barra recta de sección uniforme es sometida a una carga axial en sus extremos,experimentará una deformación constante y un esfuerzo constante como se muestra en la figura 1.29.




24

Figura 1.29. Elemento de sección constante sometido a fuerzas axiales

Si no se sobrepasa el límite de proporcionalidad se puede aplicar la ley de Hooke para encontrar unarelación entre la deformación y la fuerza aplicada, es decir

E

L E

A

P

EA

PL (1.39)

4.2.2. Miembro uniforme sometido a varias cargas axiales.

Si una barra está sometida a varias cargas axiales en diferentes puntos a lo largo de la barra, o si la barra está compuesta por partes que tienen diferentes secciones de diferentes materiales tal como semuestra en la figura 1.30, entonces el cambio de longitud de cada una de las parte se determina utilizandola ecuación (1.39). Finalmente el cambio total de longitud de la barra compuesta se determina sumandoalgebraica las deformaciones individuales de cada porción. Esto es

ii

ii

i A E

LP (1.40)

Donde Ai y E i son ambos constantes para el segmento i-ésimo y la fuerza Pi es la fuerza interna en elsegmento i-ésimo de la barra, fuerza que es calculada a partir de las ecuaciones de equilibrio.

Figura 1.30. Elemento sometido a varias fuerzas

4.2.3. Elemento de sección no uniforme sometido a carga axial variable.

Para aquellos casos en los cuales la fuerza axial es variable o el área transversal varíacontinuamente como se muestra en la figura 1.31a, la ecuación (1.39) no es aplicable. Para determinar ladeformación se divide al elemento estructural en elementos diferenciales en forma de obleas de longitud




25

dx y área A(x). El DCL de la oblea muestra que la fuerza interna sobre ella es P(x). Esta carga deformará ala oblea en una cantidad d δ tal como se ve en la figura 1.31b.

Fig. 31. (a) Elemento de sección variable sometido a carga axial variable y (b) Oblea de material

utilizada para determinar la deformación en el elemento

El esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son

)()(

x A xP (1.41)

dx

d (1.42)

Si se cumple con la ley e Hooke, se tiene

E

dx

d

E x A

xP

)(

)(

dx x EA

xPd

)(

)( (1.43)

Para determinar la deformación total de la barra se procede a integrar la ecuación (1.43) sobre toda lalongitud del elemento estructural. Esto es

L

x EA

dx xP

0 )(

)( (1.44)*

4.3. ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE ESTÁTICAMENTE INDETERMINADO.

Cuando una barra tal como se muestra en la figura 1.29, está sometida a una fuerza axial, la aplicación delas ecuaciones de equilibrio a lo largo del eje nos permite determinar la reacción en el soporte fijo. Este tipo de problema se llama estáticamente determinado. Por el contrario si la barra esta empotrada en ambos extremoscomo se muestra en la figura 1.32a, el DCL de dicha barra (figura 1.31b) muestra que existen dos reaccionesdesconocidas.

La ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa

0 0 y B A

F F F P (1.45)




26

(a) (b)

Figura 1.32. (a) Elemento estáticamente indeterminado y (b) DCL del elemento

Debido a que la ecuación estática por sí sola no permite determinar las reacciones, este problema esestáticamente indeterminado.

Para resolver el problema se utiliza la geometría de las deformaciones. Especificándose una ecuación quedetermina las condiciones de desplazamiento llamado condición de compatibilidad . En este caso es eldesplazamiento relativo de un extremo de la barra respecto al otro el mismo que es igual a cero ya que los murosno ceden. Por tanto

0/ B A (1.46)

Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas obteniéndose

0 EA

LF

EA

LF BC B AC A (1.47)

La solución de las Ecuaciones (1.45) y (1.47) permite obtener las reacciones en los soportes.

L

LPF CB

A

L

LPF AC

B (1.48)

V. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.

Consideremos una barra BC de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida a una carga axialP que se incrementa lentamente como se muestra en la figura 1,33a. Si se traza una gráfica P en función de δ seobtiene una curva como se muestra en la figura 1.33b la cual es característica de la barra BC.

El trabajo realizado por P cuando la barra se alarga una pequeña cantidad es igual al producto de lamagnitud de P y el desplazamiento , esto es

dU Pd (1.49)

El trabajo total cuando l barra experimenta una deflexión será

U Pd (1.50)




27

Y es igual al área bajo la curva P Vs δ.

El trabajo realizado por , cuando se aplica lentamente a la barra, debe producir el incremento de alguna energíaasociada con la deformación de la barra- Esta energía se llama energía de deformación y se expresa como

0deformaciòn E U Pd

(1.51)

En el caso de deformaciones lineales y elásticas la relación P – δ, es una línea recta cuya ecuación es ,entonces la energía se escribe

2

0

1 1( )

2 21

2

E k d k k

E P

Si las deformaciones están en el rango elástico se cumple que , entonces la energía es

22

1 1

2 2

1 1

2 2 2

PL E P P

EA

P L EA E

EA L

(1.52)

Para barras de secciones variables sometidas a cargas externas variables, la energía se determina usando laecuación

2

0 2

L x

x

P dx E

EA (1.53)

Densidad de Energía. Se define como la energía por unidad de volumen, esto es

1

0

0

E

E x

E Pd

V AL

d

(1.54)

Donde es la deformación correspondiente a la elongación . Para el caso en que = deformación deruptura, se conoce como tenacidad del material. Por tanto la tenacidad de un material es igual al área bajo lagráfica esfuerzo-deformación.

Por otro lado si el esfuerzo aplicado permanece dentro del límite elástico (proporcionalidad) se cumple la ley deHooke entonces la densidad de energía es




28

1 1

0 0

22 11

1

2 2

E x x x

E

d E d

E E

(1.55)

Si el esfuerzo correspondiente es el de fluencia, a la densidad de energía se le llama módulo de resilencia

2

2 f

resilencia E

(1.56)




29

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 01

Dos barras sólidas cilíndricas están soldadas en B

como se muestra en la figura. Halle el esfuerzo normalen el punto medio de cada barra.

Solución

Para determinar el esfuerzo en cada una de lassecciones de las barras, se determina las fuerzasinternas en cada una de ellas. Para esto se traza el DCLde cada porción de la barra y se aplica las ecuacionesde equilibrio.

En la figura (a) se muestra el DCL para la barra AB yen (b) el DCL para ABC

Ecuaciones de equilibrio para la barra AB

)1........(..............................30

0

kN F

PF

F

AB

AB

y

Ecuaciones de equilibrio para la barra ABC

kN F

kN kN F F

BC

BC

x

70

40300

Los esfuerzos en cada una de las barras serán

Barra AB

..........................4,42

10.30

120

4/

302232

Rta MPa

m

kN

d

kN

A

F

AB

AB

AB

AB

Barra BC.

Rtam MN

m

kN

d

kN

A

F

BC

BC

BC

BC

........................./65,35

10.50

280

4/

70

2

2232

Problema 02

Una barra homogénea AB de 150 kg de masa soportauna fuerza de 2 kN , como puede verse en la figura. La barra está sostenida por un perno en B y un cable CDde 10 mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercidoen el cable.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la barra homogéneaAB, cuyo peso es W = 1470 N

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

0

2000 6 3 3

412000 4410 3

5

6837,5 ..................................(1)

B

CD

CD

CD

M

N m W m F sen m

F

F N




30

Conocida la fuerza FCD (tensión), el esfuerzo estarádado por

.........................................1,8710.10

4,68394

4/

4,68392232

Rta MPam

N

d

N

A

F

CD

CD

CD

CD

Problema 03.

Sabiendo que la porción central del eslabón BD tieneuna sección uniforme de 800 mm

2. Determine la

magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normalen la barra BD sea de 50 MPa. φ

Solución

Datos e incógnitas

??;..800;..50 2 Pmm A MPa BD BD

En la figura se muestra el DCL de ABC


...........................7,33066

2

48,2

3

2

92,156,0

92,156,0

3

2

2

3

92,156,0

92,1

92,156,0

56,0

º304,14,1cos4,1

0

22

2222

Rta N P

AP

QP

PQ

senPQQsen

M

BD BD

B

Problema 04

Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la

figura, que tiene un esfuerzo cortante último de 300MPa. (a) si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es de 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mmde diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm,calcular el máximo diámetro que puede punzonarse.

Solución

Datos e incógnitas

τ u = 300 MPa, σ ad =400 MPa, e = ??; d =

100 mm;e1 =10 mm; d1 =??.

En primer lugar se determina la relación entre la cargade rotura de la placa y el esfuerzo cortante

)1.(.................................

22

R R

R R R R

d eP

ed

AP

Como se conoce el esfuerzo máximo de compresión, sedetermina la carga máxima necesaria que se debeaplicar para poder punzonar la placa, esto es




31

)2..(....................4

. 2

maxmax

maxmax

d P

AP

El corte de la placa se producirá cuando la carga derotura es igual a la carga axial admisible

)3.........(..............................maxPP R

Remplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3), se tiene

...................................3,33

3004

400100

4

4

....

max

2

max

Rtamme

MPa

MPammd e

d d e

R

R

El valor de dmax si e1 =10 mm, será

............................................30

400

3001044

max

Rtammd

MPa

MPammd d

R

Problema 05

Si la palanca representada en la figura está en

equilibrio. (a) Determinar el diámetro de la barra AB siel esfuerzo normal está limitado a 100 MPa. (b)Determinar el esfuerzo cortante en el pasador situadoen D, de 20 mm de diámetro.

Solución

Datos e incógnitas

mmd d MPa PP AB AB 20??;..??;..;..100

En la figura se muestra el DCL de la palanca


)3.(..............................31177

24,0º30300002,0

0

)2.......(....................315000

º6030000

0

)1.....(....................15000

º60cos30000

0

N P

msenmP

M

N D

N sen D

F

N P D

N P D

F

D

y

y

y

x

x

x

Remplazando la ecuación (3) en (1), resulta

)4(..............................46177

1500031177

N D

N N D

x

x

La fuerza de reacción en la articulación D, sera

)5.........(..............................52984

2598146177 2222

N D

D D D y x

Parte (a). Cálculo del diámetro de la barra AB. De ladefinición de esfuerzo normal, se tiene

...........................9,19

10.100.

311774

.

4

.

4

6

2

Rtammd

Pd

d

P

A

P

AB

AB

AB

AB

AB

Parte (b). Para determinar el esfuerzo cortante en el pasador D de 20 mm de diámetro, primerose determina la fuerza cortante, esto es




32

La ecuación de equilibrio proporciona

)6......(....................26492

529842

0

N P

N DP

F

t

t

y

El esfuerzo cortante será

..................33,84

10.20

264924432

Rta MPa

m

N

d

Pt

Problema 06

Dos barras cilíndricas sólidas unidas en B estáncargadas como se muestra en la figura. La barra AB esde acero ( E = 200 GPa) y la barra BC es de latón ( E =105 GPa). Determinar: (a) La deformación total de la barra compuesta; (b) La deflexión del punto B.

Solución

Datos e incógnitas

.????;..;..105;..200 BT AC AB GPa E GPa E

En primer lugar se determina las fuerzas internas encada una de las barras. Para ello se traza el DCL de lasdiferentes pociones tal como se ve en la figura

Barra AB

)1.......(....................300

kN F F

AB

y

Barra BC

)2.........(....................70

4030

0

kN F

kN kN QPF

F

BC

BC

y

La deformación total de la barra será

...............................155,0

102,0053,0

05,04

10.105

3,070000

03,04

10.200

25,030000

2929

Rtamm

mmmm

A E

LF

A E

LF

A E

LF

BC BC

BC BC

AB AB

AB AB

ii

ii

La deflexión del punto B, viene expresado por elacortamiento de la varilla BC.

............................102,0

05,04

10.1053,070000

29

Rtamm

A E LF

B

BC BC

BC BC B

Problema 07.

Un bloque prismático de concreto de masa m ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos están almismo nivel, tal como se muestra en la figura.Determinar la relación de las secciones de las varillas,

de tal manera que el bloque no se desnivele.




33

Solución

Datos e incógnitas

“m”; Eac = 200 GPa; Lac= 3 m; EAl = 70 GpaLAl = 6 m; AAl/Aac = ??

En la figura se muestra el DCL del bloque

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

)2...(..............................5

3

35

0

)1.....(..............................

0

mgF

mmgmF

M

mgF F

F

al

al

A

alac

y

Remplazando la ec.(2) en (1), se tiene

)3.......(....................5

25

3

mgF

mgmgF

ac

ac

Como el bloque no debe desnivelarse, entonces lasdeformaciones de las varillas de acero y de aluminiodeben ser iguales, es decir

.........................57,8

5/2

5/3

3

6

70

200

Rta A

A

mg

mg

m

m

GPa

GPa

F

F

L

L

E

E

A

A

A E

LF

A E

LF

ac

al

ac

al

ac

al

al

ac

ac

al

alal

alal

acac

acac

alac

Problema 07

Dos barras AB y CD que se suponen absolutamenterígidas, están articuladas en A y en D y separadas en Cmediante un rodillo, como se muestra en la figura. En

B una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50kN . Determinar el desplazamiento vertical del rodillosituado en C, así como el desplazamiento del punto B.

Solución

Datos e incógnitas

????;..;..3

;300;..200;..50 2

BC ac

acac

m L

mm AGPa E kN P

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida CD

Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene

)1.........(....................25000

4250000

0

N N

m N m N

M

C

C

D

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida ABC

Al aplicar la segunda condición de equilibrio, se tiene

)2.......(....................37500

250005,4335,4

0

N F

N F mF m N

M

ac

ac

acC

A




34

Para determinar las deflexiones, se grafica la barraABC después de aplicada la carga P = 50kN.

Del gráfico por triángulos semejantes, se tiene

)3....(....................5,1

5,43

acC

C ac

La deflexión del punto B, será

.................................87,1

10.30010.200

)3(3750069

Rtamm

A E

LF

B

B

acac

acac

ac B

...........................8,1 Rta B

La deflexión del punto C será

............................80,2

87,15,1

Rtamm

mm

C

C

Problema 08

El conjunto consta de tres barras de titanio y una barrarígida AC. El área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza vertical

de P = 20 kN al anillo F, determine el desplazamientovertical del punto F. Considere que ETi = 350 GPa.

Solución

Datos e incógnitas

??;..350;..20 F Ti GPa E kN P

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AEC


)2...(....................8

5,02025,1

0

)1.........(..........20

0

kN F

mkN mF

M

kN F F

F

CD

CD

A

CD AB

Y

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

)3.(....................12208

kN F kN kN F

AB

AB

En la figura se muestra la relación entre lasdeformaciones

Por semejanza de triángulos, se tiene




35

)4...(....................08,1

10.8,610.14,167,1

10.4510.350

210.867,0

10.6010.350

210.12

67,0

67,067,1

25,175,0

43

69

3

69

3

mm

mm

EA

FL

EA

FL

E

E

CD AB

CD AB E

CD ABCD E

La deformación de la barra EF, está dado por

)5........(....................14,1

10.7510.350

5,110.2069

3

mm

EA

FL

EF

EF

EF

El desplazamiento del punto F, será

.................22,2

14,108,1

Rtamm

mmmm

F

EF E F

Problema 09

La viga rígida horizontal ABCD está soportada por barras verticales BE y CF y está cargada por fuerzasverticales P1 = 90 kip y P2 = 80 kip que actúan en los

puntos A y D, respectivamente, como se muestra en lafigura. Las barras BE y CF son de acero (E = 29.106 psi) y tienen un áreas transversales de ABE =19,5 pul2 yACF =16.8 pul2. Determinar los desplazamientosverticales de los puntos A y B.

Solución

Datos e incógnitas.

????;..lg;3,18

lg1,22;..5,29;90,..100

A DCF

BE

pu A

pu Aksi E kipQkipP

En la figura se muestra el DCL de la viga ABCD.


)2..(....................110

89061006

0

)1(....................190

0

kipF

pkip pkip pF

M

kipF F

F

CF

CF

B

CF BE

y

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), resulta

)3..(....................80

190110

kipF

kipkipF

BE

BE

En la figura se muestra el diagrama de losdesplazamientos de cada una de las barra cuando seaplican las cargas externas


)4.....(....................10.12,1

10.83,110.895,2

3,1810.5,29

910.110

1,2210.29

1210.802

2

´2

126

3

33

6

3

6

3

pies

pie pie

EA

FL

EA

FL

A

A

CF BE

CF BE A

ACF A BE

Calculemos ahora el desplazamiento del punto

......................10.29,2)10.73,310.9,410.12,1(

10.12,110.47,13

10

10.12,110.47,13

10206

3

333

33

33

Rta pie pie

pie

pie

D

D

A D

A D

A D A BE




36

Problema 10

Cada uno de los conectores AB y CD es de acero(29.106 psi) y tienen una sección transversal uniformede 0,25 pulg x 1 pulg. Halle la mayor carga que puede

suspenderse de E si la deflexión del punto E no debe pasar de 0,01 pulg.

Solución

Datos e incógnitas

??lg;..25,0,..29 max P pu Aksi E

En la figura se muestra el DCl de la barra rígida BCE.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene.

0

0

0

(10 lg) (25 lg) 0

2,5 ............(2)

Y

CD AB

CD AB

B

CD

CD

F

F F P

F F P

M

F pu P pu

F P

Remplazando la ec (2) en la ec.(1), resulta

)3..(....................5,1

5,2

PF

PF P

AB

AB

Asumiendo que las fuerzas en las barras AB y CD sonde tensión, las deflexiones de los puntos B y C son:

6 2

6

8 lg

129.10 / lg 1 lg

41,1.10 ..............(4)

AB

B

AB

B AB

F puFL

EAlb pu x pu

F

6 2

6

8 lg

129.10 / lg 1 lg

4

1,1.10 ...................(5)

CD

C

CD

C CD

F puFL

EAlb pu x pu

F

En la figura se muestra el diagrama de lasdeformaciones


)7(..........15

15

)6.........(10

10

C B

C C E

C B

C C B

x x x

x x x

De las ecuaciones (6) y (7), resulta

)8.......(..........1015 C E C B

Teniendo en cuenta que δE =0,01 pulg, la ecuación (8),se escribe

)9..(..........lg1,02515 puC B

Remplazando las ec. (4) y (5) en (9), resulta

....Rta...........lbf....... 1066P

Problema 11.

La plataforma rígida de la figura tiene unamasa despreciable y descansa sobre dos barras dealuminio, cada una de 250 mm de longitud. La barracentral es de acero y tiene una longitud de 249,9 mm.Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que lacarga central P de 400 kN se haya aplicado. Cada barrade aluminio tiene un área de 120 mm2 y un módulo deelasticidad de 70 GPa. La barra de acero tiene un áreade 2400 mm2 y un módulo elástico de 200 GPa.




37

Solución

Datos e incógnitas

.??;..2002400;..70;..120

;400;..2499,0;..25,022

acac

acalal

acal

GPa E mm AGPa E mm A

kN Pm Lm L

En al figura se muestra el DCL de la placa rígida.Además se supone que P también deforma al acero.


)1....(..........10.4002

10.4002

2

0

3

3

N A A

N F F

PF F

F

acacalal

acal

acal

y

Independientemente a la ecuación de equilibrio estático

se determina la relación entre los esfuerzos a través dela relación entre las deformaciones, esto es

)2(..........10.2834986,0

10.1,010.200

2499,0

10.70

25,0

..

6

3

99

acal

acal

acal

acal

m

E

L

E

L

Sustituyendo la ec. (2) en (1), resulta

6 4 4 32 0,35 28.10 (1,2.10 ) 2,4.10 400.10ac ac

Simplificando, resulta

..............7,163 Rta MPaac

Problema 12.

Una barra rígida, de masa despreciable, está articuladaen un extremo y suspendida de una varilla de acero yuna de bronce, según se muestra en la figura. ¿Cuántovale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MPa ni uno en el broncede 70 MPa?.

Solución

Datos e incógnitas

.70;..120??;..max MPa MPaP br ac

En la figura se muestra el DCL de la barra AB

Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la barra, setiene

)1.....(..........652

652

6520

P A A

PF F

mPmF mF

M

br br acac

br ac

br ac

A

En la figura se muestra la geometría de lasdeformaciones




38


)2..(....................56,1

5,2

5,252

acbr

ac

acac

br

br br

acbr

br ca

E

L

E

L

La ec. (2), determina una relación que debe existir necesariamente entre esfuerzos, es evidente que si sellega a σac = 120 MPa, se sobrecarga el bronce por alcanzar según la ec. (2) un esfuerzo de 186,7 MPa. Por lo tanto es el esfuerzo en el bronce el que limita lacarga y entonces el esfuerzo en el acero será

)3..(....................87,44

56,170

MPa

MPa

ac

ac

Remplazando el valor máximo del esfuerzo en el bronce y el valor del esfuerzo obtenido para el acero,en la ec.(1), se obtiene

...............96,30

610.30010.70510.90010.87,442 6666

RtakN P

P

Problema 13.

Las dos barras de aluminio AB y AC tienen diámetrosde 10 mm y 8 mm, respectivamente. Determinar lafuerza P máxima vertical que puede ser soportada. Elesfuerzo admisible de tensión para el aluminio es σad =150 MPa.

Solución

En la figura se muestra el DCl del nudo A


045º

2......................(1)

y

AB

AB

F F sen P

F P

0

cos45 º

12

2

.........................(2)

x

AC AB

AC

AC

F

F F

F P

F P

Utilizando el esfuerzo admisible, se tiene

23

6

2

10.10

2410.150

4

2

P

d

P

A

F

AB AB

AB

ad AB

Despejando el valor de P se tiene

)3....(..........4.8330 N P

Utilizando el esfuerzo admisible para la barra AC, setiene

....................82,7539

10..8

410.150

4

2

23

6

2

Rta N P

P

d

P

A

F

AC AC

AC

ad AC

Problema 14.

Una barra de cobre AB sometida a una cargade tensión P = 500 kN, cuelga de un perno sostenido por dos pilares de acero. La barra de cobre tiene una




39

longitud de 10 m, área transversal de 8100 mm2 y unmodulo de elasticidad EC =103 GPa. Cada pilar deacero tiene una altura de 1 m, un área A= 7500 mm2 yE = 200 GPa. Determinar el desplazamiento δ del punto A.

Solución

Datos e incógnitas

.200

7500;..1;..103

;8100;..10;..5002

2

GPa E

mm Am LGpa E

mm Am LkN P

ac

acaccu

cuCu

En la figura se muestra el DCL de una porción de la

barra AB

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene

)1.....(....................500

0

kN PF

F

AB

y

La deformación será

)2.........(....................99,5

10.810010.103

10)10.500(

/

69

3

/

mm

A E

LF

B A

AB AB

AB AB

B A

En seguida se determina la deformación de cada una delas barra de acero. Para ello se traza el DCL del perno,

en donde actúan las fuerzas: F1 ; F2 y la fuerzaexterior P


)3(....................2502

0

11

21

kN F PF

PF F

F y

Del diagrama de una porción de la barra de acero seobtiene la fuerza interna en el acero

Las ecuaciones de equilibrio nos da

)4.(..............................250

0

1 k F F

F

ac

y

La deformación de las barras de acero con respecto al punto fijo D es

)5.(..............................167,0

10.750010.200

110.250

/

69

3

/

mm

EA

FL

D E

ac

D E

El desplazamiento del punto A será

..................16,6

167,099,5//

Rtamm

mmmm

A

D E B A A

Problema 15.

Una barra vertical de acero ABC tiene una longitud L1 = 0,5 m y un área de sección transversal A1 = 160 mm2 desde A hasta B; una longitud L2 = 0,8 m y un área A2

= 100 mm

2

desde B hasta C como se ve en la figura. Enel punto C actúa una carga P1 = 10 kN. Un brazohorizontal BD está articulado en B con la barra verticaly soporta una carga P2 = 26 kN en el extremo D.




40

Calcular la deflexión vertical δ en el punto C.Considere que a = b y E = 200 GPa para el acero,además desprecie el peso de la barra.

Solución

Datos e incógnitas

??;..200;..26;..10

100;.8,0;.160;.5,0

21

222

211

C GPa E kN PkN P

mm Am Lmm Am L

En la figura se muestra el DCL de la barra horizontalBDE.


)1.........(..........26PP

tiense b,a

0

2

2

kN P

como

bPaP

M O

En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta

ABC

Trazando el DCL de una porción de barra BC se procede a determinar la fuerza interna en BC.


)2......(..........10

0

1 kN F PF

F

AC AC

y

En la figura se muestra una porción de la barra ABC para determinar la fuerza interna en AB

)3..(162610

0

1

kN F kN kN F

PPF

F

AB AB

AB

y

Calculo de la deflexión total del punto C

..............................10.5,1

10.410.25

10.10010.200

8,010.10

10.16010.200

5,010.16

4

44

69

3

69

3

Rtam

mm

m

EA

FL

EA

FL

C

BC AB

BC ABC

Problema 16

Una varilla está formada de tres partes distintas, comose muestra en la figura, y soporta las fuerzas axiales P1 = 120kN y P2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en

cada uno de los materiales si cada uno de los extremosestá firmemente empotrado en muros rígidos eindeformables. Considere para el acero: L = 300mm; A= 600mm2; E = 200GPa, para el aluminio L = 400 mm;




41

A = 1200 mm2, E = 70 GPa y para el bronce: L = 600mm; A = 2400 mm2; E = 83 GPa.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta


)1....(....................170

50120

0

21

kN R R

kN kN R R

PP R R

F

B A

B A

B A

x

Para determinar la fuerza interna en la barra de acero,se traza el DCL de una porción de ella como se muestraen la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio

)2.........(.......................

0

tensión RF

F

Bac

x

Para determinar la fuerza interna en el bronce se trazael DCL tal como se muestra en la figura y se aplica lasecuaciones de equilibrio

)3.(.........................

0

nCompresión RF

F

Abr

x

Para determinar la fuerza interna en el aluminio setraza el DCL tal como se muestra en la figura y seaplica las ecuaciones de equilibrio

)4........(............

0

1

tensión RPF

PF R

F

Aal

al A

x

Por condición del ejercicio, como los muros no cedenla deformación total es nula, entonces

0

0, 6 120 , 4 0, 3 0....(5)83 2 400 70 1200 200 600

br al ac

A A B

FL FL FL

EA EA EA

R R o R

Resolviendo simultáneamente las ec. (1), (2), (3), (4) y(5), resulta

tensiónkN F

tensiónkN RF

compresiónkN RF

al

Bac

Abr

...........01,23

...01,73

....99,96

Finalmente los esfuerzos serán

MPa A

F

MPa A

F

MPa A

F

br

br

br

br

al

al

ac

ac

ac

4,4010.2400

10.99,96

17,1910.1200

10.01,23

7,12110.600

10.01,73

6

3

6

3

6

3

Problema 17.

La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de6 kip. Determine el esfuerzo normal medio que actúasobre las secciones AB y BC. Suponga que el miembroes liso y que tiene 1,5 pulg de espesor.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la cuña.




42

Aplicando las ecuaciones de equilibrio

(1) 3000º70cos

º60cos6000º70cos

0

BC AB

BC AB

x

F F

F F

F

(2) 5529

º606000º700

lbF

sensenF F

BC

BC

y

Remplazando la ec (2) en (1), se tiene

(3) 4891

º70cos55293000

lbF

F

AB

AB

El esfuerzo normal medio está dado por

Rta. lg/819

lg)5,1lg(5,4

5529

Rta. lg/1630lg)5,1lg(2

4891

2

2

pulb

pu pu

lb

A

F

pulb pu pu

lb

A

F

AB

BC

BC

BC

AB

AB

AB

AB

Problema 18.

La estructura de dos miembros está sometida a la cargamostrada. Determine el esfuerzo normal medio y elesfuerzo cortante medio que actúa en las secciones a-a

y b-b. El elemento estructural CB tiene una seccióntransversal cuadrada de 2 pulg por lado.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la viga AB.


(1) 68,135

.300)8(80)8(º60

0

lbF

pielbmlbmsenF

M

BC

BC

A

El esfuerzo normal medio en la sección a-a

Rta. lg/92,33

lg)2lg(268,135

2 pulb

pu pu

lb

A

F

AB

BC

BC

BC

Se determina el normal y cortante medios en la sección b-b, para esto se determina las fuerzas internas

Del diagrama se tiene

lbF

sensenF F

lbF

F F

n

BC n

t

BC t

84,67

º3068,135º30

50,117

º60cos68,135º30cos

Se procede a determinar el área de acción de Ft y Fn

lg)3lg)(4(lg)2)(( pu pu pu x A A t n

Los esfuerzos normal y cortante medios serán




43

Rta. lg/68,14

lg)2lg(4

50,117

Rta. lg/48,8

lg8

84,67

2

2

2

pulb

pu pu

lb

A

F

pulb

pu

lb

A

F

bb

t

t

bb

bb

n

n

bb

Problema 19.

La barra BC está hecha de acero cuyo esfuerzoadmisible de tensión es σadm =155 MPa. Determine sudiámetro más pequeño para que pueda soportar la cargamostrada. Suponga que la viga está conectada por un pasador en A.

Solución.

En primer lugar se procede a determinar la resultante

de las fuerzas distribuidas que actúan sobre la viga.

N m N mF

N m N mF

11250/150005,12

1

22500/1500032

1

2

1

Se traza el DCL de la viga rígida AB

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se determina lafuerza en A.

N F

F mm N m N

mF mF mF

M A

15000

)5,4()5,2(22500)1(11250

5,45,2)1(

0

12

Se procede a determinar el diámetro “d”.

Rta. mm 10.11

/10.155(

)15000(44

4/

26

2

d

m N

N F d

d

F

A

F

Problema 20.

La viga rígida AC está soportada por las barras AB yCD cuyos diámetros son de 10 mm y 15 mm,respectivamente. Determine la intensidad w de la cargadistribuida de manera que el esfuerzo normal medio encada barra no exceda de 150 MPa.

Solución.

En la figura se muestra el DCL de la viga AC rígida demasa despreciable.


(2) 3

2

4)6(

0M

(1)

0

A

R

CD

RCD

RCD AB

y

F F

mF mF

F F F

F

Remplazando la ecuación (2) en (1), se tiene

(3) 3

3

2

R

AB

R R AB

F F

F F F

La fuerza resultante de las fuerzas distribuidas es igualal área




44

(4) 3

62

1

2

1

wF

wmalturabaseF

R

R

Remplazando la ec. (4) en (2) (3), resulta

(6) 33

1F

(5) 233

2

AB wF w

wF wF

AB

CDCD

Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en elenunciado del problema, el varilla CD, resulta

(7) /6,13253

210.154

/150

24/10.150

232

226

m N w

wmm MN

wd m N

F A CDCDCD

Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en elenunciado del problema, el varilla AB, resulta

(7) /9,11780

10.104

/150

4/10.150

232

226

m N w

wmm MN

wd m N

F A AB AB AB

De las ecuaciones (7) y (8) se concluye que laintensidad w menor que se puede aplicar sin sobrepasar el valor del esfuerzo admisible es w = 11780,9 lb.

Problema 21.

Una estructura simple se usa para sostener una carga de65 kN, tal como se muestra en la figura. Determine: (a)el diámetro mínimo del tirante AB si el esfuerzonormal en la varilla se limita a 100 MPa. (b) Losdiámetros mínimos para los pasadores A y B si elesfuerzo cortante en los seguros se limita a 70 MPa. (c)El diámetro mínimo para el seguro C si el esfuerzocortante en el seguro se limita a 85 MPa.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la estructura BCD


(1) 13

565

5

3

cos650

AB x

AB x

x

F C

senF C F

(2) 13

1265

5

4

65cos

0

AB x

AB x

y

F C

senF C

F

(3) 25.181

3607545

3

61312653

135654

0

kN F

kN kN F

mmmsenF

M

AB

AB

AB

C

Remplazando las ec. (3) en (1) y (2)

(4) 75.83

2525,1815

3

kN C

kN kN C

x

x




45

(5) 205

6025,1815

4

kN C

kN kN C

x

y

La reacción en la articulación C será

(6) 45.221

20575.83 22

22

kN R

C C R

C

y xC

Se procede a determinar el diámetro del tirante AB.Como éste esta sometido a esfuerzo normal se tiene.

2

4

d

F

A

F AB

AB

AB

610.10018125044

ABF

d

mmd 48 (Rta)

El diámetro mínimo del segura en A y B se determinautilizando la definición de esfuerzo cortante yobservando que ambos pasadores actúan a cortantesimple.

2

4

d

F

A

F t

t

t

610.79

)181250(44

t F

d

mmd 57 (Rta)

El diámetro mínimo del seguro C se determinautilizando la definición de esfuerzo cortante yobservando que el pasador también está sometido acortante simple.

2

4

d

R

A

R C

t

C

610.85

)221450(44

C R

d

mmd 58 (Rta)

Problema 22.

Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas,como se muestra en la Fig. No hay deformaciónunitaria en las barras verticales antes de aplicar la cargaP. Después de aplicar la carga P, la deformación

unitaria axial en la varilla BF es de 400 μm/m.Determine: (a) la deformación unitaria axial en lavarilla CE; (b) la deformación unitaria axial en lavarilla CE si hay un espacio libre de 0,25 mm en laconexión del seguro C antes de aplicar la carga.

Solución

Datos e incógnitas.

εBF = 400.10-6m/m; εCE

En primer lugar se determina el desplazamiento del punto B.

)1(/10.400 6mmm L

LBF B

BF

B

m B610.400 (1)

En la figura se muestra el diagrama de desplazamientosde la estructura

Utilizando triángulos semejantes se tiene

m

m

mmmm

C

BC

BC

6

6

10.1200

10.40033

80240

La deformación unitaria en la varilla CE será

(Rta) /10.2

10.60010.1200

3

3

6

mm

m

m

L

CE

CE

C CE




46

Determinación de la deformación unitaria cuandoexiste un espacio libre de 0,25 mm en C. Para esto setraza el diagrama de desplazamientos como se muestraen la figura.

Utilizando triángulos semejantes se tiene

m

mm

mmmm

C

BC

BC

3

363

3

10.95,0

10.25,010.400310.25,03

80240

10.25,0

La deformación unitaria en la varilla CE será

(Rta) /10.58,1

10.600

10.950

3

3

6

mm

m

m

L

CE

CE

C CE

Problema 23.

Una barra rígida ABC está sostenida por dos eslabonescomo se muestra en la figura. El eslabón BD está hechode una aleación de aluminio (E = 73 GPa) y tiene unárea transversal de 1250 mm2. El eslabón CE estáhecho de acero estructural (E =200 GPa) y tiene unasección transversal de 750 mm2: determine el esfuerzonormal en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto A cuando se aplica la carga P de 50 kN:

Solución

Datos e incógnitasEal = 73 GPa; Aal =1250 mm2; Eac= 200GPa; Aac =750

mm2; P = 50kN, σac = ¿????; σal = ¿????;

En la figura se muestra el DCL de la barra ABC


(1) 50

0

kN F F

F

acal

y

(2) 150

9,0503,0

0

kN F

KN F

M

al

al

C

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

kN F kN ac 50150

)(100

100

compresiónkN F

kN F

ac

ac

(3)

La deformación de la varilla de acero (CE) será

)10.200(10.750)4,0(10.100

96

3

acac

acac

ac E A

LF

mac

410.667,2

La deformación de la varilla de aluminio (BD) será

)10.73(10.1250

)6,0(10.15096

3

alal

alal

al E A

LF

mac

410.86.9

Los esfuerzos en ambos elementos serán:

2

3

1250

10.150

mm

N

A

F

al

al

al

MPaal 120 Rta

2

3

750

10.100

mm

N

A

F

ac

ac

ac

MPaal 133 Rta

Para determinar la deflexión del punto A, se traza lageometría de las deformaciones la misma que serepresenta en la Fig.




47

De la semejanza de triángulos se tiene

44 10.667.2

3,0

10.86,9

3,0

x x

x x

acal

m x 236,0

Por otro lado se tiene

236,0

10.86.9

236,06,0

6,04

A

al A

x x

mm A49,3 Rta

Problema 24.

Una barra rígida CD está sometida a carga y sostenidacomo se muestra en la figura. Las barras A y B estánlibres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barraA es de acero inoxidable (E = 190 GPa) y tiene un áreatransversal de 750 mm2. La barra B está hecha de unaaleación de aluminio (E = 73GPa) y tiene un áreatransversal de 1250 mm2. Después de aplicar la cargaP, se encuentra que la deformación unitaria en la barraB es de 1200 μm/m. Determine: (a) Los esfuerzos enlas barras A y B; (b) El desplazamiento vertical(deflexión) del seguro D y (c) la carga P.

Solución

En primer lugar se procede a determinar la deflexión de

B

)5,0(10.1200 6m L

LB B B

B

B

m B

610.600 (1)

En la figura se muestra el diagrama de lasdeformaciones a partir del cual se procede a determinar

la deflexión de A.

Mediante triángulos semejantes

)10.600(25

2,05,06 m

mmE

B E

m E

610.1500 (2)

De la geometría de la deformación de la barra A, setiene

cos E A

E

ACos

5

410.1500 6 m

A

m A

610.1200 (3)

Parte (a). Cálculo de los esfuerzos

m

m N m

L

E

B

B B B 5,0

/10.7310.600 296

Pa B 6,87 (Tensión) Rta.

m

m N m

L

E

A

A A

A

1

/10.19010.1200 296

MPa A 228 (Tensión) Rta.

Parte (b). Cálculo del desplazamiento del seguro en D

los esfuerzos. Del diagrama de deformaciones seobtiene

)10.600(32,06,0

6m

mmD

B D

m D610.1800 Rta.




48

Parte (c). Cálculo de la fuerza P

En la figura se muestra el DCL de la Barra CED


0 C M

mPmsenF mF A B 6,05,02,0

P

P A A

PF F

A A B B

A B

6)10.750)(10.228(4)10.1250)(10.6,87(2

642

65

452

6666

kN P 5,150 Rta.

Problema 25.

Una pila de concreto de sección cuadrada tiene 6 m dealtura como se muestra en la figura. Los ladosconvergen desde un ancho de 1.0 m en la base hasta 0,5m en la parte superior. Determine el acortamiento del pilar bajo una carga de compresión P = 1400 kN(desprecie el peso propio de la pila). Suponga que elmódulo de elasticidad del concreto es 24 GPa.

Solución

Para resolver el problema se divide a la estructura enelementos diferenciales a una distancia z y de espesor dz, tal como se muestra en la figura.

La deformación unitaria del elemento diferencial será

dz

d

La deformación de la pila será

(1)

25,0

6

0 2

6

0

6

0

x

dz

E

P

dz EA

Pdz

E Z

Mediante triángulos semejantes se tiene

z x x

z04167,0

25,0

6 (2)

Remplazando la ec. (2) en (1) se tiene

08,05,0/10.24

10.1400

04167,025,0/10.24

10.1400

6

0 229

3

6

0 229

3

z

dz

m N

N

z

dz

m N

N

Integrando la ecuación anterior, se obtiene

mm714,0 Rta.




49

PROBLEMAS SOBRE ESFUERZO.

1. La lámpara de 6 kg que aparece en la figura cuelgade un techo por medio de alambres de 0,75 mm dediámetro. Determine el esfuerzo de tensión en los

alambres AB y BC

2. El dispositivo mostrado en la figura sirve paradeterminar la resistencia de la madera al esfuerzocortante. Las dimensiones del bloque de madera son6 pulgx8pulgx1.5pulg. Si la fuerza requerida para partirla es de 12 kip, determine la resistencia promedio de la madera al esfuerzo cortante.

3. En la figura se muestra el croquis de un punzón ymatriz para hacer arandelas. Determine la fuerza Pnecesaria para troquelarlas en términos del espesor t de la placa, la resistencia promedio de ésta alesfuerzo cortante τ y los diámetros internos y

externo de las arandelas d1 y d2.

4.

Dos tubos de hierro de fundición se unen conadhesivo en una longitud de 200 mm como semuestra en la figura. Los diámetro externos decada uno de los tubos son de 50 mm y 70 mm,

respectivamente y el espesor de su pared es de 10mm. Si se separan al transmitir una fuerza de 100KN. ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio en eladhesivo justo antes de la separación

5. La fuerza axial P = 12 kip actúa sobre un miembrorectangular, como se muestra en la figura.Determine los esfuerzos normal y cortante promedio sobre el plano inclinado AA.

6. En la figura se muestra un modelo simplificado del brazo de un joven al levantar un peso. El área de lasección transversal del bíceps se estima en 2 pulg2.Determine el esfuerzo normal promedio en elmúsculo y la fuerza cortante promedio en laarticulación del codo A.

7. Dos barras cilíndricas AC y CD están soldadas enC y sometidas a las cargas mostradas. Halle elesfuerzo normal medio en cada una de las porciones AB, BC y CD.




50

8. Calcule el esfuerzo de compresión en la bielamostrada en la figura cuando se aplica una fuerzaP = 10 lb al pedestal de freno. Suponga que lalínea de acción de la fuerza P es paralela a la biela,cuyo diámetro es d = 0,22 pulgadas y las otras

dimensiones ilustradas se miden perpendicularmente a la línea de acción de lafuerza P.

9. Todos los pernos mostrados en la figura trabajanen cortante simple y tienen un diámetro de 40 mm.La sección transversal de todos los miembros escuadrada. Determine el esfuerzo cortante máximoen el perno A y los esfuerzos axiales en elmiembro BD.

10. Un conjunto de puntal y cable ABC sostiene unacarga vertical P = 15 kN. El cable tiene unasección transversal efectiva de 120 mm2 y el

puntal un área de 250 mm2: determine los

esfuerzos normales en el cable y en el puntal eindicar si son de tensión o de compresión.

11. Sabiendo que la porción central del eslabón BDtiene una sección uniforme de 800mm2. determinela magnitud de la carga P para la cual el esfuerzonormal en esa porción BD sea de 50 MPa.

12. En la figura se ve un punzón para perforar placasde acero, Si se usa un punzón con diámetro de 0,75 pulg para perforar un agujero en una placa de ¼ pulg, Si se requiere una fuerza de P = 28000 lb.¿Cuál es el esfuerzo cortante medio en la placa y elesfuerzo normal medio en el Punzón.

13. La pieza mostrada en la figura está hecha de acerocon un peso específico de 490 lb/pie3. Determineel esfuerzo de compresión medio que actúa en los puntos A y B.

14. Una viga horizontal AB con sección transversalrectangular y longitud de 2,4 m está sostenidamediante un puntal inclinado CD como se muestra




51

en la figura. El puntal, que se compone de dos barras planas está unido a la viga en el punto C por un perno de diámetro d = 16 mm. Si el esfuerzotangencial admisible es el perno es de 90 MPa.¿Cuál es el valor admisible de la carga P que actúa

sobre la unión B

15. Los elementos de madera están unidos por placasde madera contrachapada pegadas a las superficiesen contacto. Si la separación entre extremos es de6 mm y el cortante último de la junta pegada es de2,5 MPa. Determine la longitud L para la cual elfactor de seguridad es 2,75 con la carga mostrada.

16. Las dos barras de aluminio soportan la fuerzavertical de P = 20 kN. Determine sus diámetros

requeridos si el esfuerzo permisible de tensión parael aluminio es de σ = 150 Mpa.

17. Un cilindro está sostenido por una barra y uncable, tal como se muestra en la figura. El cilindrotiene una masa de 75 kg y un radio de 100 mm.

Determine: (a) El esfuerzo axial medio en el cablede acero CD de 3 mm de diámetro; (b) El diámetromínimo requerido para el seguro A si el esfuerzocortante en el seguro debe limitarse a 10 MPa. Elseguro A está a cortante doble.

18. La barra que se muestra en la figura tiene unasección transversal rectangular de 200 x 100 mm.Determine: (a) los esfuerzos normal y cortante enel plano a-a; (b) los esfuerzos normal y cortantemáximos en la barra.

.

19. Dos barras de acero AB y BC soportan la carga P= 30 kN, como se muestra en la figura. La secciónde AB es 300 mm2, y la de BC es 500 mm2. Si E =200 GPa. Determine el desplazamiento horizontaly vertical del punto B.




52

20. La carga P produce una deformación unitaria axialen el poste de latón B de la figura de 0,0014 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitariaaxial en la varilla A de aleación de aluminio. (b)La deformación unitaria axial en la varilla A de

aleación de aluminio si hay un espacio libre de0,005 pulg en la conexión entre A y C, además delespacio libre de 0,009 pulg entre B y C.

21. La barra rígida CD de la figura es horizontalcuando no está sometida a carga, mientras que las barras A y B no están sujetas a deformación.Cuando se aplica la carga P, se encuentra que ladeformación unitaria axial en la barra B es de0,0015 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación

unitaria axial en la barra A y (b) La deformaciónunitaria axial en la barra A si hay un espacio librede 0,005 pulg en la conexión entre las barras A yB.

22. Debido a la aplicación de la fuerza P, en el puntoB de la figura se observó un movimiento a laizquierda de 0,75 mm. Si las longitudes de las

barras A y F es de 1,2 m. Determine ladeformación unitaria normal media en dichas barras.

23. La barra compuesta de acero inoxidable (E = 190GPa) mostrada en la figura consta de dossegmentos, AB y BD, cuyas áreas transversalesson de 1,5 pulg2 y 3 pulg2, respectivamente.Determine el desplazamiento vertical del extremoA y el desplazamiento de B respecto a C.

24. El miembro a tensión de la figura consta de untubo A de acero estructural (29.106 lb/pulg2), quetiene un diámetro exterior de 6 pulg y un diámetrointerior de 4,5 pulg; y de una barra sólida B dealeación de aluminio (10,6.106 lb/pulg2) que tieneun diámetro de 4 pulg. Determine: (a) El cambiode longitud del tubo de acero, (b) La deflexióntotal del miembro, (c) Los esfuerzos máximosnormal y cortante en la barra de aluminio.

25. El conjunto mostrado en la figura consiste en untubo AB de una aleación de aluminio (E =73 GPa)con área transversal de 500 mm2. Una barra de




53

acero inoxidable (E = 190 GPa) con diámetro de12 mm está unida a un collarín rígido y pasa através del tubo. Si se aplica una carga de tensiónde 80 kN a la barra, determine el desplazamientodel extremo C de la barra.

26. Un tubo A de aleación de aluminio (E = 73 GPa),con un diámetro exterior de 75 mm, se utiliza parasostener una varilla B de acero (E = 200 GPa) de

25 mm de diámetro, como se muestra en la figura.Determine el diámetro interior del tubo Arequerido si la deflexión máxima del extremo de lavarilla sujeto a carga debe limitarse a 0,40 mm.

27. Un elemento estructural está hecho de un materialque tiene una densidad ρ y un módulo deelasticidad E. Determine el desplazamiento de suextremo inferior bajo el efecto de su propio peso yla fuerza exterior P.

28. Una barra de acero A-36 está sometida a las cargas

que se muestran en la figura. Si el área de lasección transversal de la barra es de 60 mm2,determine el desplazamiento de B y de A.determine el tamaño de los acoples B, C y D.

29. El sistema de eslabones está formado por tres

miembros de acero A-36 conectados por pasadores; cada miembro tiene un área transversalde 0, 73 pulg2. Si se aplica una fuerza vertical P =50 kip al extremo B del miembro AB. Determineel desplazamiento vertical del punto B

30. La barra rígida esta soportada por la barra CBconectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra CB tiene un área transversal de 14 mm2 yestá hecha de aluminio 6061-T6. Determine ladeflexión vertical de la barra en D cuando se

aplica la carga distribuida.

31. La barra de acero tiene un área en su seccióntransversal de 3 pulg2 y un módulo de elasticidadE = 35.103 ksi. Determine el desplazamiento de suextremo A cuando está sometido a la cargadistribuida mostrada.




54

32. Una barra tiene una longitud L y el área de susección trasversal es A. Determine su alargamientodebido tanto a la fuerza P como a su propio peso.El material tiene una densidad ρ y un módulo deelasticidad E.

33. La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L.Esta suspendida del techo y soporta una carga P ensu extremo. Determine el desplazamiento se suextremo libre debido a esta carga si se desprecia eleso propio. El modulo de elasticidad es E

34.

Determine el desplazamiento relativo a un extremode la placa tronco prismático con respecto al otroextremo cuando está sometida a una carga axial P

35. Una barra de sección rectangular de aluminio (E =10000 ksi, ν = 0,25) de ¾ pulg de espesor constade una sección transversal uniforme y una piramidal, como se observa en la figura. La alturade la sección piramidal varía conforme a h(x) = 2 -

0,02x. Determine: (a) El alargamiento de la barra bajo las cargas aplicadas, (b) El cambio dedimensión en la dirección y en la sección BC.

36. El radio de un cono truncado de sección circular

varía con x de la manera siguiente R(x) =(r/L)(5L -4x) ver figura. Determine el alargamiento del conotruncado debido a su propio peso en términos de E;L, r y γ, donde E y γ son el módulo de elasticidad yel peso específico del material, respectivamente.

37. Un tubo de acero está lleno de concreto y sometidoa una fuerza de compresión de 80 kN. Determineel esfuerzo en el concreto y en el acero debido aesta carga. El tubo tiene un diámetro exterior de 80mm y un diámetro interior de 70 mm. Eac= 200GPa y Ec = 24 GPa

38. Un tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de20 mm y un radio interior de 15 mm. Si entre justamente entre las paredes fijas antes de ser

cargado, determine la reacción en las paredescuando se somete a la carga mostrada.




55

39. La barra compuesta consiste en un segmento ABde acero A-36 de 20 mm de diámetro y desegmentos extremos DA y CB de latón C83400 de50 mm de diámetro. Determine el desplazamientodel punto A con respecto a B debido a la cargaaplicada.

40. Una barra rígida AB descansa sobre los dos postescortos mostrados en la figura. AC esta hecho deacero (E = 200 GPa) y tiene un diámetro de 25mm; BD está hecho de aluminio (E = 73 GPa)tiene un diámetro de 50 mm. Determine eldesplazamiento del punto F situado en AB cuandose aplica una carga vertical de 90 kN sobre este punto.

41. El poste central B del conjunto tiene una longitudoriginal de 124,7 mm, mientras que los postes A yC tienen una longitud de 125 mm. Si las tapas

arriba y abajo se consideran rígidas, determine elesfuerzo normal promedio en cada poste. Los postes están hechos ed aluminio y tienen cada unoun área transversal de 400 mm2. E = 70 GPa.

42. El soporte consisten un poste sólido de latónC83400que está rodeado por un tubo de aceroinoxidable304. Antes de aplicar la carga el huecoentre estas dos partes es de 1 mm. Dadas lasdimensiones mostradas, determine la carga axial

Máxima que puede aplicarse a la tapa rígida A singenerar fluencia en ninguno de los materiales.

43. Se supone que la viga horizontal es rígida mientrassoporta la carga distribuida mostrada. Determine elángulo de inclinación de la viga después dehaberse aplicado la carga. Cada poste es de maderacon 120 mm de diámetro y una longitud original(descargada) de 1,4 m. considere que Emad = 12GPa.

44. Dos barras delgadas se fijan firmemente a una placa rígida, como se muestra en la figura. El áreade la sección transversal de cada barra es de20mm2. La fuerza F debe colocarse de tal maneraque la placa rígida sólo se muestra horizontalmente0,05 mm sin girar. Determine la fuerza F y suubicación h en los dos casos siguientes. (a) Ambas barras son de acero, con módulo de elasticidad E =200 GPa. (b) La barra (1 es de acero (e = 200 GPa)y la barra 2 de aluminio (E = 70 GPa).




56

45. La barra rígida esta soportada por dos postescortos de madera y un resorte. Si cada uno de los postes tiene una altura de 500 mm y un áreatransversal de 800mm2 y el resorte tiene unarigidez k = 1.8 MN/m y una longitud no estirada

de 520 mm, determine la fuerza en cada postedespués de aplicada la carga a la barra. Emad =11GPa.

46. Barras sólidas de sección circular de latón (E =100 GPa, ν = 0,34) y aluminio (E = 70 GPa, ν =0,33) del mismo diámetro extremo, como semuestra en la figura. Con base en la carga indicadadetermine: (a) El movimiento de la Placa C conrespecto de la palca A y (b) el cambio de diámetrodel cilindro de latón. (c) El diámetro internomáximo del tubo de acero si el factor de seguridadrespecto de falla a fluencia debe ser al menos 1,2.El esfuerzo de fluencia del acero es de 250 MPa

47. Tres barras de acero (E = 200 GPa) A; B y Ctienen longitudes LA = 4 m ; LB = 3 m y LC = 2 m,como se muestra en la figura. Todas tienen lamisma área de sección transversal de 500 mm2.Determine: (a) El alargamiento de la barra B, (b)El esfuerzo normal en la barra C.

48. El bloque plástico mostrado está pegado al soporterígido y a una placa vertical, a la cual se aplica unafuerza P de 240 kN. Sabiendo que para el plástico

utilizado G = 1050 MPa, halle la deflexión de la placa.

49. El conector horizontal BC tiene ¼ pulg y estáhecho de acero de 60 ksi de resistencia última atensión. Cual debe ser el ancho w del conector si la

estructura se diseñó para soportar P = 8 kip con unfactor de seguridad igual a 3?.

50. Las barras A y B tienen un área de seccióntransversal de 400 mm2 y un módulo de elasticidadE = 200 GPa. Entre la barra A y la placa rígida hayuna brecha antes de que se aplique la fuerza F,como se observa en la figura. Si F = 10 kN.Determine: (a) el esfuerzo axial en la barra B y (b)el cambio dimensional de la barra A.

51. La barra C mostrada en la figura es una varilla dealeación de aluminio (E = 73 GPa) tiene un área desección transversal de 625 mm2. El miembro D esun poste de madera (E = 12 GPa) y tiene una




57

sección transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzosnormales admisibles son 100 MPa para el aluminioy 30 MPa para la madera. Determine el valor máximo admisible de la carga P.

52. Una estructura conectada con seguros está sujeta acargas y sostenida como se muestra en la figura. Elmiembro CD es rígido y está horizontal antes deaplicar la fuerza P. La barra A es de aluminio (E =10,6.106 lb/pulg2) tiene un área trasversal de 2,25 pulg2. La barra B es de acero inoxidable (E =28.106 lb/pulg2) y tiene un área transversal de 1,75 pulg. Después de que se aplica la carga P a laEstructura, determine: (a) Los esfuerzos normalesen las barras A y B; (b) el esfuerzo cortante en elseguro en C de 0,5 pulg de diámetro que esta a

cortante doble y (c) el desplazamiento vertical del punto D.

53. La estructura conectada con seguros mostrada enla figura ocupa la posición mostrada cuando no estásujeta a cargas. Cuando se aplican a la estructura lascargas D = 16 klb y E = 8 klb, la barra rígida Cdebe colocarse horizontal. La barra A está hecha dealuminio (E = 10600 klb/pulg2) y la barra B estáhecha de bronce (E = 15000 klb/pulg2). Si losesfuerzos normales en las barras deben limitarse a20 klb/pulg2 en el aluminio y 15 klb/pulg2 en el bronce. Determine: (a) Las áreas mínimas queserían adecuadas para las barras; (b) los cambios de

longitud de las varillas A y B.

54. Una viga rígida de W = 800 lb de peso cuelga detres varillas igualmente espaciadas, dos de acero Sy una de aluminio A como se ve en la figura, cuyosdiámetros son de 1/8 de pulgada. Antes decargarlos, los tres alambres tienen la mismalongitud. ¿Con qué aumento de temperatura T enlos tres alambres toda la carga e soportada sólo por los alambres de acero. (Suponga que ES = 30.106 lb/pulg2; S = 6,5.10-6/oF; A = 12.10-6/oF)

55. La barra rígida CDE, mostrada en la fig, eshorizontal antes de aplicar la carga P. El tirante Aes una barra de acero (E= 210 GPa) rolado encaliente con una longitud de 450 mm y un áreatransversal de 300mm2. el poste B es un madero deroble (E = 12 GPa) con una longitud de 375 mm yun área transversal de 4500 mm2. Después de quese aplica la carga P de 225 kN, determine: (a) Losesfuerzos normales en la barra A y el poste B; (b)el esfuerzo cortante en el seguro de 20 mm dediámetro en C, que se encuentra a cortante doble y(c) el desplazamiento de D




58

56. Una barra de sección rectangular de aluminio (E =10000 ksi), una barra de acero (E = 30000 ksi) yuna barra de latón (E = 15 000 ksi) forman laestructura mostrada, todas tienen el mismo espesor de de 0,5 pulg. Si existe una brecha de 0, 02 pulg

antes de que se aplique las fuerzas P = 15 kips a la placa rígida y suponiendo que ésta no gira,determine: a) El esfuerzo axial en el acero y b) eldesplazamiento de la placa rígida respecto a la pared derecha.

57. Una estructura conectada con seguros está sujeta acargas y sostenida como se muestra en la figura. Elmiembro CD es rígido y horizontal antes de aplicar la carga P de 75 kN . La barra A está hecha deacero estructural (E = 200 GPa) y la barra B estáhecha de aluminio (E = 73 GPa). Si los esfuerzosadmisibles son 125 MPa para el acero y 70 MPa

para el aluminio, determine: (a) El área transversalmínima aceptable para la barra B si la barra Atiene un área transversal de 625 mm

2 y (b) El

desplazamiento vertical del extremo D de la barrarígida.

58. Una barra rígida está engoznada en C. El módulode elasticidad de la barra A e E = 100 GPa, su

área de sección transversal A = 15 mm2 y sulongitud es 1,2 m. Determine la fuerza aplicada Fsi el punto B se mueve a la izquierda 0,75 mm.

59. La barra C mostrada en la figura es una varilla dealeación de aluminio (E = 73 GPa) que tiene unárea transversal de 625 mm2. El elemento D es un

poste de madera (E = 12 GPa) que tiene un área

transversal de 2500 mm2. Determine el valor máximo admisible de la carga P si los esfuerzosnormales admisibles son 100 MPa para el aluminioy 30 MPa para la madera. Considere que la barraBEA es rígida e imponderable.

60. La barra A de la figura es una varilla de acero (E= 30.106 lb/pul2) que tiene un área transversal de1,24 pulg2. El miembro B es un poste de latón (E= 15.106 lb/pulg2) que tiene un área transversal de4 pulg2. Determine el valor máximo admisible dela carga P si los esfuerzos normales admisiblesson 30 klb/pulg2 para el acero y 20 klb/pulg2 parael latón.

61. Una barra rígida está engoznada en C. El módulode elasticidad de la barra A e E = 100 GPa, suárea de sección transversal A = 15 mm2 y sulongitud es 1,2 m. Determine la fuerza aplicada Fsi el punto B se mueve a la izquierda 0,75 mm.

capitulo i. elasticidad

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