Capitulo 1Concepto de variedad n-dimensional

§1. Introducion:

En este capitulo se trabajara el concepto de variedad diferenciable n-dimensional. Con el fin

de brindar una familia grande de ejemplos concretos y faciles de visualizar para el estudiante

que apenas este comenzando su incursion por la geometria, trabajaremos paralelamente la

nocion de subvariedad de Rn y de variedad abstracta. Una variedad n-dimensional puede

verse como la extension natural de un subconjuno abierto de Rn, veremos que localmente,

toda variedad n-dimensional se puede describir con n parametros que se mueven libremente,

de la misma manera que sucede con los abierto en Rn.

Definicion 1 de variedad: Definimos una variedad n dimensional como una pareja orde-

nada (M, φα : Uα → Mα∈A) donde M es un conjunto y las φα : Uα → Mα∈A es una

familia de funciones inyectivas definidas en subconjuntos abiertos Uα de Rn, tal que

(1) ∪αφα(Uα) = M y

(2) Si para algun par de indices α y β se tiene que φα(Uα) ∩ φβ(Uβ) = W 6= ∅, entonceslos subconjuntos de Rn, φ−1

α (W ) y φ−1β (W ) son abietos y la funcion φ−1

β φα : φ−1α (W ) →

φ−1β (W ) es una funcion diferenciable.

Definicion 2 de variedad: Diremos que un subconjunto M ⊂ Rn es una subvariedad

m dimensional de Rn, si para cada punto p0 ∈ M existen n − m funciones diferenciable

fi : V → R, definidas en un abierto V de Rn que contiene a p0 tales que

M ∩ V = x ∈ V : f1(x) = f1(p0), . . . , fn−m(x) = fn−m(p0) y

∇f1(x), . . .∇fn−m(x) son vectores linealmente independientes para todo x ∈ M ∩ V

Ejemplos: Denotemos el conjunto de matrices n × n por M(n × n). Denotemos por

O(n) = A ∈ M(n×n) : AAT = I el conjunto de matrices ortogonales y demostremos que

O(2) es una subvariedad 1 dimensional....

Sn = x ∈ Rn+1 : x21 + . . .+ x2

n+1 = 1,es una variedad n dimensional

El siguiente ejemplo muestra un poco el caracter local de la funcion que define a la variedad

M = (x1, x2) ∈ R2 : x21 + x2

2 = 1 o x1 = 5 ....

Ejercicio: Demostrar que las matrices simetricas, antisimetricas, y ortogonales son sub-

variedades de Rn2 ≡ M(n× n). Hallar la dimension.

Ejemplo: M = (−1, 1) ∪ manzana . Para i = 1, 2 definimos φi : (−1, 1) → M definidas

φ1(t) = t, ...

Ejercicio: Hallar f : M → S1 biyectiva tal que f φi (i = 1, 2) sean continuas.

1

Ejemplo: Sea RPn el conjunto de lineas en Rn+1 que pasan por el origen. Dado un punto

(x1, . . . , xn+1) 6= 0 en Rn+1, dentaremos por (x1 : x2 : . . . : xn+1) la linea t(x1, . . . , xn+1) :

t ∈ R. Note que si λ 6= 0 entonces (x1 : x2 : . . . : xn+1) = (λx1 : λx2 : . . . : λxn+1). Para

i = 1, . . . , n+ 1 definamos ....

Ejemplo: Dados dos enteros k y n con 0 < k < n, definamos G(n, k) el conjunto de

subespacios vectoriales k dimensionales de bfRn. Note que RPn coincide con G(n+ 1, 1).

Para todo i = 1 . . . ....? definamos...

Ejercicio: Demostrar que si (M, φα : Uα → Mα∈A)) y (N, ξβ : Uβ → Nβ∈B) son

variedades n y m dimensionales respectivamente, entonces, M × N con la familia de

parametrizaciones ηα,β : Uα × Vβ → M × N definidas por η(u, v) = (φα(u), ξβ(v)) es

una variedad n+m dimensional.

Definicion: Sea (M, φα : Uα → Mα∈A) una variedad n dimensional. Diremos que una

funcion inyetiva φ : U → M definida en un abierto de Rn es una parametrizacion de

M si (M, φα : Uα → Mα∈A ∪ φ : U → M) continua es una variedad, es decir si las

dos condiciones de la definicion de variedad se siguen teniendo para esta nueva familia de

funciones.

Ejercicio: Demostrar que si V ⊂ Uα es un abierto de Rn entonces φ(u) = φα(u) es una

parametrizacion de M .

Definicion: Sea M ⊂ Rn una subvariedad m-dimensional. Diremos que una funcion

inyectiva φ : U → M definida en un abierto de Rm es una parametrizacion de M , si la

matriz Dφ(u) tiene las columnas linealmente independientes para todo u ∈ U .

Topologıa en variedades n dimensionales y en subvariedades de Rn.

Empezaremos esta seccion dando la definicion de topologıa sobre un conjunto.

Definicion: Sea X un conjunto y P (X) el conjunto de todos los subconjuntos de X.

Diremos que un subconjunto τ de P (X) es una topologıa de X, si X y pertenecen a τ , la

interceccion finita de elementos de τ es de nuevo un elemento de τ y la union arbitraria de

elementos en τ es de nuevo un elemento de τ .

Notacion: Si τ es una topologıa en X, llamaremos a la pareja (X, τ) un espacio topologico

y los elementos de τ seran llamados abiertos.

Algunos ejemplos de topologıa: Para cualquier conjunto X, τ1 = X, y τ2 = P (X),

son ejemplos de topoloıas en X. Si τ es una topologıa en X y Y ⊂ X es un subconjunto de

X entonces τ = A ∩ Y : A ∈ τ es una topologıa de Y ; esta topologıa recibe el nombre de

topoloıa en Y inducida por X.

Definicion: Diremos que una espacio topologico (X, τ) es un espacio topologico Hausdorff

si para cualquier par de puntos distintos x1 y x2 existen dos abiertos disjuntos V1 y V2 con la

propiedad de que x1 ∈ V1 y x2 ∈ V2. Tambien diremos que (X, τ) es un espacio topologico

conexo, si no existen dos abiertos disjuntos A y B tales que X = A ∪B.

Definicion: Sean (X, τ1) y (Y, τ2) espacios topologicos. Diremos que una funcion f : X →

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Y es una funcion continua, si para abierto V de Y , f−1(V ) es un abierto de X. En el caso

en que f sea biyectiva, diremos que f es un homeomorfismo, si tanto f : X → Y como

f−1 : Y → X son funciones continuas.

La siguiente proposicion sera de gran utilidad en el resto del capıtulo,

Proposicion: Sean (X, τ1) y (Y, τ2) espacios topologicos y f : X → Y una funcion continua

inyectiva. Si para todo y0 ∈ f(X) existe una funcion continua g : V → X donde V es un

abierto de Y que contiene a y0 tal que g(f(x)) = x para todo x ∈ f−1(V ), entonces f define

un homeomorfismo de (X, τ1) a f(X) con la topologıa inducida por Y .

Demostracion: Ya que f es continua e inyectiva, basta demostrar que f envia abiertos

de X en abiertos de f(X). Sea U un abierto en X y consideremos un punto f(u0) ∈ f(U)

con u0 en U . Sea V un abierto de Y con f(u0) ∈ V y g : V → X una funcion continua que

satisface las hipotesis de la proposicion, ya que U es abierto en X, tenemos que W = g−1(U)

es un abierto en Y , un calculo directo muestra que W ∩f(X) ⊂ f(U) y por lo tanto f(U) es

abierto, ya que para todo punto en f(U), existe un abierto de f(X) totalmente contenido

en f(U).

Para subvariedades M de Rn la topologıa que tomaremos sera la inducida por el espacio

ambiente, es decir un subconjunto A ⊂ M es un abierto si y solo si existe un abierto V de

Rn tal que A = M ∩ V . Para variedades en general definimos la topologıa de la siguiente

forma.

Definicion: Sea M una variedad n-dimensional. Diremos que un conjunto A ⊂ M es un

abierto de M si para cualquier parametrizacion φ : U → M de M se tiene que φ−1(A) es

un subconjunto abierto de Rn.

Facilmente se puede verificar que la coleccion de todos los subconjuntos abiertos de M

determina una topologıa en M .

Ejercicio: Demostrar que si φ : U ⊂ Rn → M es una parametrizacion, entonces φ es una

funcion continua con la topologia en M inducida por las φα.

Ejemplos: MnH = (−1, 1)∪ (2, 3]. Para i = 1, 2 definimos, φi : (−1, 1) → M por φ1(t) = t

y φ2(t) = 3 + t si −1 < t ≤ 0 y φ2(t) = t si 0 < t < 1.

Mnp = R2. Para cada x ∈ R, definimos φx : R1 → M por φx(y) = (x, y).

Ejercicio: Demuestre que (Mnp, φxx∈R1) no admite una base numerable.

Ejercicio: Demostrar que (MnH , φ1, φ2) es una variedad y la cual no es Hausdorff.

Teorema de la funcion inversa, Teorema de la funcion implicita y equivalenciade los dos teoremas

Teorema: Para todo punto p0 en una subvariedad m dimensional M ⊂ Rn, existe una

parametrizacion φ : U ⊂ Rm → M ⊂ M tal que p0 ∈ φ(U).

Demostracion:

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Ejercicio: Sea M ⊂ Rn una subvariedad de Rn y sea

A = φ : U ⊂ Rm → M : φ es una parametrizacion

Demuestre que (M,A) es una variedad. Mas aun, demuestre que la topologia inducida por

Rn coincide con la topologia inducida por las parametrizaciones A.

Ejercicio: Sea M una subvariedad m dimensional de Rn. Demuestre que una funcion

inyectiva φ : U → M definida en un abierto de Rm es una parametrizacion, si y solo si

φ : U → M es una parametrizacion de la variedad (M,A) donde A esta definido en el

ejercicio anterior.

Ejercicio: Sea M una subvariedad m dimensional de Rn. Demuestre que la funcion

identidad id : M → M es un homeomorfismo de M con la topologıa inducida por Rn a M

vista como variedad abstracta con el atlas A.

Definicion de vector tangente en M ⊂ Rn

Ejemplo: TpSn = v ∈ Rn+1 : 〈v, p〉 = 0

Teorema: Tp es un espacio vectorial m dimensional.

Corolario: Si f1, . . . , fn−m : U ⊂ Rn → R1 son funciones que definen a M , entonces

TpM = v ∈ Rn : 〈∇fi(p), v〉 = 0 para todo i = 1, . . . , n−m

Comentario: Derivada direccional hace ver los vectores como operadores.

Definicion de funcion diferenciable

Ejercicio: Demuestre que la aplicacion π : RPn → Sn es diferenciable.

Definicion de vector en una variedad

Teorema: TpM es un espacio vectorial n-dimensional.

Ejercicio: Si p0 es un punto en φα(Uα) ∩ φβ(Uβ) hallar la matriz de cambio de base de

∂α1 , ∂

α2 , . . . , ∂

αn y ∂β

1 , ∂β2 , . . . , ∂

βn

Proposicion para definir la diferencial de una funcion:

Teorema: Teorema de la funcion inversa para funciones entre variedades.

Immersiones y encajes

Definicion de encaje e immmersion:

Pregunta: Cuando una curva diferenciable de (a, b) → R2 es una immersion?

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Ejemplo: α(t) = (t3, t2) no es una inmersion, a pesar de que la grafica de esta curva tiene

un pico, la curva es diferenciable.

Pregunta: Cuando una funcion f : U → R3 es una immersion; U es un subconjunto

abierto de R2?.

Proposicion: Todo inmersion es localmente un encaje.

Definicion: Punto critico, valor critico y valor regular

Proposicion: Si q ∈ M2 es un valor regular de la funcion f : M1 → M2 y f−1(q) es

diferente del conjunto vacio, entonces f−1(q) es una subvariedad n−m dimensional.

Ejercicio: Sea M = S3 × S2 y defina la funcion ξ : M → G(2, 4) como

ξ((x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3)) = w ∈ R4 : 〈w, x〉 = 0, 〈w, y1V1(x)+y2V2(x)+y3V3(x)〉 = 0

donde los Vi : S3 → R4’s son funciones diferenciales tales que x, V1(x), V2(x), V4(x)forman una base ortonormal de R4. Demostrar que ξ es diferenciable, sobreyectiva y que

todos los puntos en G(2, 4) son valores regulares de ξ. Calcular explicitamente ξ−1(π) donde

π en un plano en G(2, 4).

Defibnnicion de Haz tangente:

Ejercicio: Demuestre que la aplicacion π : TM → M definida por π(p, v) = p es una

funcion diferenciable. Mas aun, todos los puntos de M son valores regulares de esta funcion.

Esta funcion π es llamada la proyeccion natural de TM en M .

Orientabilidad

Definicion: Sea M una variedad n dimensional y sea α : [0, 1] → M una curva continua.

Un campo vectorial V a lo largo de α es una funcion que asigna a cada t ∈ [0, 1] un

vector en Tα(t)M . Diremos que V es continuo (o diferenciable), si la aplicacion φV : [0, 1] →TM dada por φV (t) = (α(t), V (t)) es continua (o diferenciable). Diremos que n campos

vectoriales a lo largo de α, V1(t), . . . , Vn(t) son un marco a lo largo de α si para cada

t ∈ [0, 1], los vectores V1(t), . . . , Vn(t) forman una base para Tα(t)M . Diremos que una n-

upla (V1(t), . . . , Vn(t)) es unmarco ordenado a lo largo de la curva α, si V1(t), . . . , Vn(t)es un marco a lo largo de α.

Definicion: Sea V un espacio vectorial n-dimensional y sea BV es conjunto de todas las

bases ordenadas de V . Diremos que dos elementos b1 = v1, . . . vn y b2 = w1, . . . wnson equivalentes si al escribir wi =

∑nj=1 aijvj se tiene que la matriz A = (aij) tiene

determinante positivo. Si b1 y b2 son equivalentes, escribimos b1 ∼ b2. Claramente ∼ define

una relacion de equivalencia en BV y el conjunto BV

∼ tiene dos elementos. Los elementos deBV

∼ son llamados orientaciones de V , es decir una orientacion es una clase de equivalencia

de BV

∼ .

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Ejemplo: En R3 tenemos que la orientacion dada por la base ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) es

la misma que la orientacion dada por la base ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) pero es diferente a

la orientacion dada por la base ((0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)). Es decir, si

01 = [((1, 0, 0), (0, 1, 0),(0, 0, 1))], 02 = [((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1))] y

03 = [((0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1))]

entonces, O1 = O2 y O1 6= O3, mas aun BV

∼ = O1, O3.

Ejercicio: Teniendo en cuenta la defincion anterior demostre que: (1) La matriz A es unica

y tiene determinante distinto de cero, (2) ∼ es una relacion de equivalencia y (3) BV

∼ tiene

dos elementos.

Estamos ahora listos para definir variedad orientable. Daremos 3 definiciones distintas y

demostraremos que estas definiciones son equivalentes.

Definicion 1 de orientabilidad Diremos que M es no orientable si existe una curva cer-

rada continua α : [0, 1] → M con α(0) = α(1) = p0 y un marco ordenado (V1(t), . . . , Vn(t)) a

lo largo de α tal que b1 = (V1(0), . . . , Vn(0)) y b2 = (V1(1), . . . , Vn(1)) determinan la misma

orientacion en Tp0M . Diremos que M es orientable, si M no es no orientable.

Definicion 2 de orientabilidad Diremos que M es orientable, si existe una familia de

parametrizaciones ξβ : Uβ → Mβ∈B tal que

(1) ∪β∈Bξβ(Uβ) = M

(2) El determinante de la matriz jacobiana de la funciones fβ,β = ξ−1β

ξβ es positivo cada

vez que la composicion fβ,β se pueda definir.

Definicion 3: Diremos que M es orientable, si existe una funcion definida en M tal que a

cada punto p ∈ M le asigna una orientacion de TpM de una manera continua, en el sentido

de que para cada p0 ∈ M existe una parametrizacion φ : U → M tal que p0 ∈ φ(U) y

f(φ(u)) = [(∂φu1(u), . . . , ∂φu1

(u))] para todo u ∈ U .

Teorema: Las tres definiciones de orientabilidad son equivalentes

Demostracion: Empecemos demostrando que la definiciones 2 y 3 son equivalentes. Su-

pongamos que una variedad M es orientable bajo la definicion 3. Sea F = φα : Uα →Mα∈A una familia de parametrizaciones que cubre toda la variedad tal que cada Uα es

conexo. Para cada α ∈ A definamos, φα : Uα → M donde

Uα = (u1, u2, . . . , um) : (−u1, u2, . . . , um) ∈ Uα and φα(u) = φα(−u1, u2, . . . , um)

Note que si definimos τ : Rm → Rm por τ(u) = (−u1, u2 . . . , um) entonces τ(U) = U y

φ = φ τ . Es claro que φα(Uα) = φα(Uα) y la orientacion inducida en TpM con p = φ(u) =

φ(τ(u)) por la base ordenada,

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(∂φα

∂u1(u), . . . ,

∂φα

∂um(u))

es diferente de la orientacion dada por la base

(∂φα

∂u1(τu), . . . ,

∂φα

∂um(τu))

ya que todos los vectores coinciden excepto los primeros que difieren por un signo. Us-

ando la familia de parametrizaciones F definiremos la siguiente familia la cual claramente

satisfacera la condicion de la definicion 2. Para cada α ∈ A definiamos ξα = φα si

f(φ(u)) = [(∂φα

∂u1(u), . . . , ∂φα

∂um(u))] y ξα = φα en el otro caso. Para demostrar que la

definicion 2 implica la definicion 3 basta tomar la familia de parametrizaciones que brinda

la definicion 2 y definir f(p) como la orientacion dada por los vectores (∂1, . . . , ∂n) asociados

con una parametrizacion de la familia que cubra al punto p. La condicion sobre la familia

en la definicion 2 de orientacion garantiza que f esta bien definida. La continuidad de f

es evidente de su definicion. Veamos ahora que la definicion 3 de orientabilidad implica

la definicion 1 de orientabilidad. Supongamos que existe una funcion f que asigna una

orientacion en cada punto de la variedad como en la definicion 3. Consideremos una curva

α : [0, 1] → M con α(0) = α(1) = p0 y (V1(t), . . . , vn(t)) un marco ordenado continuo a los

largo de α. Por la continuidad de f se tiene que si f(p0) = [(V1(0), . . . , vn(0))], entonces

f(α(t)) = [(V1(t), . . . , vn(t))] y por lo tanto [(V1(0), . . . , vn(0))] = [(V1(1), . . . , vn(1))], de

la misma manera, si f(p0) 6= [(V1(0), . . . , vn(0))], entonces f(α(t)) 6= [(V1(t), . . . , vn(t))]

y por lo tanto [(V1(0), . . . , vn(0))] = [(V1(1), . . . , vn(1))]; por lo tanto M es orientable

con respecto a la definicion 1. Por ultimo demostremos que si M es orientable bajo la

definicion 1, entonces debe ser orietable bajo la definicion 3. Supongamos que M es ori-

entable bajo la definicion 1 y tomemos un punto p0 ∈ M y una base ordenada (v01 , . . . , v0n)

de Tp0M , para cada punto p ∈ M tomemos una curva α : [0, 1] → M que conecte a p0con p y tomemos un marco ordenado (V1(t), . . . , vn(t)) a lo largo de α de tal forma que

V1(0) = v01 , . . . , Vn(0) = v0n, luego definamos f(p) = [V(1), . . . , vn(1)]. Se tiene que f esta

bien definida porque si no lo estubiese podriamos encontrar una curva cerrada y un marco

ordenado continuo a lo largo de esta curva tal que la orientacion dada por este marco en

t = 0 es diferente de la orientacion dada por el marco en t = 1, lo cual es una contradicion

porque M es orientable bajo la definicion 1. Este argumento termina la demostracion del

teorema.

Campos vectoriales

Definicion: Un campo vectorial X en una variedad n dimensional M , es una funcion que

asigna a cada punto p en M un vector en X(p) ∈ TpM . Diremos que el campo vectorial X

es diferenciable, si para todo punto p0 existe una parametrizacion φ : U → M que cubre a

p0 tal que las funciones a1, . . . , an definidas en U , dadas por la ecuacion

X(φ(u)) = a1(u)∂φ

∂u1(u) + . . .+ an(u)

∂φ

∂un(u)

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son diferenciables.

Ejercicio: Sea X es un campo vectorial diferenciable en M . Demuestre que,

(a) La aplicacion X : M → TM dada por X(p) = (p,X(p)) es una funcion diferenciable.

(b) Si f : M → R es una funcion diferenciable, entonce la funcion Xf : M → R dada por

Xf(p) = dfp(X(p)) es una funcion diferenciable.

Note que en el sentido de la parte (b) del ejercicio anterior, un campo vectorial X puede ser

visto como un operador en el espacio de funciones diferenciales. El siguiente ejemplo muestra

que, en general, la composicion de dos de estos operadores no es un operador que proviene

de un campo vectorial. Consideremos M = R2 = (x, y) : x, y ∈ R y X(p) = (1, 0) o lo

que es equivalente X = ∂∂x , en este caso la composicion del operador X consigo mismo nos

da el operador ∂2

∂x2 , Si el operador∂2

∂x2 proveniese de un campo vectorial entonces podria

escribirse como Z(x, y) = a(x, y) ∂∂x + b(x, y) ∂

∂y pero claramente esto no es cierto, para verlo

basta observar que si f : R2 → R esta definida por f(x, y) = x2 entonces Zf(0, 0) = 0 y

XXf(0, 0) = 2. Una observacion que resulta muy util en el estudio de variedades es que

si tomamos dos campos vectoriales diferenciales X y Y en una variedad M , entonces el

operador que se obtiene al commutar la composicion de los operadores asociados con X

y con Y , es decir, al tomar el operardor f → XY f − Y Xf este operador proviene de un

campo vectorial el cual sera llamda el braket de X con Y y denotado por [X,Y ]. Mas

precisamente tenemos,

Lemma: Si X y Y son dos campos vectoriales diferenciales en una variedad n dimensional

M , entonces existe un unico campo vectorial diferenciable Z tal que Zf = XY f − Y Xf

para toda funcion diferenciable f : M → R

Demostracion: La unicidad se tiene porque un vector esta completamente determinado

por la forma como actua sobre las funciones. Para demostrar la existencia para cada p0 en

M tomemos una parametrizacion φ : U → M que cubra a p0 y escribamos

X(φ(u)) = a1(u)∂φ

∂u1(u)+ . . .+an(u)

∂φ

∂un(u) , Y (φ(u)) = b1(u)

∂φ

∂u1(u)+ . . .+bn(u)

∂φ

∂un(u)

y definamos el campo vectorial Z en todo φ(U), (en particular en p0) por

Z(φ(u)) =n∑

i=1

(ai∂b1∂ui

− bi∂a1∂ui

)∂φ

∂u1(u) + . . .+

n∑

i=1

(ai∂bn∂ui

− bi∂an∂ui

)∂φ

∂un(u)

entonces se puede demostrar que efectivamente Zf = XY f − Y Xf para toda funcion

definida en φ(U). Claramente el campo vectorial Z es diferenciable y el hecho de que este

bien definido se sigue porque el valor de Z en un punto no depende de la parametrizacion

escogida porque esta completamente determinado por X y Y ya que Zf = XY f − Y Xf

para todo funcion f .

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Proposicion: Propiedades del Braket

Teorema: (Existencia y unicidad de curvas intergrales para campos vectorialesen M

Mencionar el teorema de Frobenius Dar la definicion de distribucion y explicar como

el braket mide que tanto falla una distribucion de ser completamente integrable.

Metricas riemanianas y tensores

Sean α1, α2 : [a, b] → Rn dos curvas diferenciables, supongamos que estas curvas se in-

terceptan en el punto p = α1(t1) = α2(t2) ∈ Rn. Dados dos vectores v = (v1, . . . , vn) y

w = (w1, . . . , wn), denotaremos el producto interno euclidiana entre v y w como 〈v, w〉, esdecir 〈v, w〉 = v1w1 + . . . + vnwn. Es bien conocido que la longitud de la curva α1 viene

dada por∫ b

a

√

〈α1(t), α1(t)〉dt y que el angulo θ que forman estas dos curvas en el punto p

donde se interceptan lo podemos encontrar despejando θ de la ecuacion

√

〈α1(t1), α1(t1)〉√

〈α2(t2), α2(t2)〉 cos θ = 〈α1(t1), α2(t2)〉

Recordemos que un producto interno en un espacio vectorial V es una aplicacion bilineal

g : V × V → R simetrica definida positiva, es decir, g(v, w) = g(w, v) para todo par de

vectores v y w en V y g(v, v) > 0 para todo vector v ∈ V diferente del vector nulo.

Viendo las ecuaciones para calcular longitudes de curvas y angulo entre vectores nos damos

cuenta que lo unico que se necesita para extender estas definiciones es tener un producto

interno definido en cada punto de Rn y no es necesario que este sea el mismo para cada

punto (como ocurre en el caso de la geometrıa euclidiana). Esta idea de definir un producto

interno en cada punto conduce a la nocion de variedad Riemanniana,

Definicion: SeaM una variedad n dimensional. Diremos que g es una metrice riemanniana,

si g es una funcion que asigna a cada punto p ∈ M un producto interno g(p) : TpM×TpM →R. Como es de esperarse se pedira que este producto interno varıe continuamente con p,

esto lo hacemos pidiendo que para cualquier parametrizacion φ : U ⊂ Rn → M se tenga que

los las funciones en U definidas por gij(u) = g(φ(u))( ∂φ∂ui

, ∂φ∂uj

) sean funciones diferenciables

para todo i, j ∈ 1, . . . , n

Definicion: Una variedadM en la que se ha definido una metrica riemanniana sera llamada

una variedad riemanniana.

Una vez tenemos una metrica riemanniana definida en una variedad M , podemos copiar la

definicion de longitud de curvas y de angulo entre vectores de la geometrıa euclidiana,

Definicion: Dada una curva diferenciable α : [a, b] → M definimos su longitud l(α) como

l(α) =∫ b

a

√

g(α(t))(α(t), α(t))dt

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Tambien podemos definir el angulo entre dos vectores no nulos v, w ∈ TpM como el unico θ ∈[0, π] tal que

√

g(p)(v, v)√

g(p)(w,w) cos θ = g(p)(v, w). Claramente, cuando g(p)(v, w) = 0

tomaremos θ = 0 si v = λw y λ > 0 y θ = π si v = λw y λ < 0. En esta definicion se

esta haciendo uso del siguiente resultado de algebra lineal conocido como la desigualdad de

Cauchy-Schwartz

Lemma Si g : V ×V → R es un producto interno en un espacio vectorial V , entonces para

todo v, w ∈ V se tiene que g(v, w)2 ≤ g(v, v)g(w,w). Mas aun, para un par de vectores no

nulos v, w ∈ V , se tiene que g(v, w)2 = g(v, v)g(w,w) si y solo si w = λv para algun λ ∈ R.

Demostracion: Tomemos v, w ∈ V dos vectores no nulos. Claramente la funcion cuadrac-

tica h : R → R definida por

h(t) = g(w + tv, w + tw) = g(w,w) + 2g(w, v)t+ g(v, v)t2

satisface que h(t) ≥ 0 para todo t ∈ R. Por lo tanto, h debe tener a lo mas una raiz real,

usando la formula cuadratica concluimos que necesariamente se debe tener que 4g(w, v)2 −4g(w,w)g(v, v) ≤ 0, esta desigualdad demuestra la primera parte del lema (note que en

caso de que uno de los vectores es el vector cero, entonces el lema es trivial). Para la

segunda parte del lema, tenemos que: si g(v, w)2 = g(v, v)g(w,w), entonces la funcion h

tiene una raiz real, es decir, existe λ ∈ R tal que h(t0) = g(w+ t0v, w+ t0v) = 0, usando las

propiedades de g concluimos que necesariamente w + t0v debe anularse, es decir, w = λv

tomando λ = −t0. Reciprocamente, si w = λv, entonces la funcion cuadratica h tendrıa

como unica raiz a t0 = −λ, luego, necesariamente debe tenerse que g(v, w)2 = g(v, v)g(w,w)

Ejemplo 1: g es una metrica riemanniana en M = Rn si y solo si g(x)(v, w) = 〈w,A(x)w〉para todo v, w ∈ TxM = Rn, donde A : Rn → Rn2

es una funcion diferenciable tal que

parta todo x ∈ Rn, A(x) es una matriz simetrica con todos sus valores propios positivos.

Ejercicio: Sea M = R2 y sea g la metrica riemanniana dada por la formula

g(x1, x2)((v1, v2), (w1, w2)) =4

(1 + x21 + x2

2)(v1w1 + v2w2) ∀x ∈ M and v, w ∈ T(x1,x2)M

a) Determine la funcion de R2 al conjunto de matrices cuadradas 2 por 2 a la cual se hace

referencia en el ejemplo 1.

b)Definamos α1(t) = 2(cos t, sin t) para todo t ∈ [o, 2π] y α2(t) = (0, t) para todo t ∈ [−2, 2].

Calcule la longitud de α1 y α2 usando la metrica g.

c) Calcule los puntos donde se interceptan α1 y α2 y determine el angulo que forman las

curvas en estos puntos.

d) Hacer la parte a), b) y c) usando la metrica g donde,

10

g(x1, x2)(v, w) =(2v1w1 + v1w2 + w1v2 + 2v2w2)

(x2 + 1)∀x ∈ M and v, w ∈ T(x1,x2)M

Verifique que efetivamente la matriz A(x1, x2) tiene sus valores propios positivos. Dejar la

respuesta en termino de integrales.

De la misma forma como se define una metrica riemanniana se puede definir un tensor. La

idea de un tensor es la de asociar a cada punto p en una variedad M un objeto algebraico y

lineal relacionado con TpM . En este capitulo solo consideraremos cuando estos objetos son

aplicaciones multilineales de TpM en R, Pero podrıa ser tranformaliones lineales de TpM

en TpM , o tranformaciones lineales de Λ2TpM → Λ2TpM donde Λ2TpM es el espacio de

aplicaciones bilineales alternantes sobre TpM por ejemplo, como ocurre en con el tensor de

curvatura que sera estudiado despues.

En general, estos tensores van a servir para poner mas estructura sobre las variedades o

para el estudio de las mismas. Ellos son muy utilizados por los fısicos ya que los tensores

pueden modelar propiedades "sofisticadas” de la materia.

Empecemos dando la definicion formal de Tensor y una proposicion que nos permitira de

una manera sencilla dar varios ejemplos de tensores.

Definicion: Diremos que un tensor T de tipo (k, 0) sobre una variedad M n dimensional,

es una funcion que a cada punto p ∈ M le asigna una aplicacion k lineal T (p) en TpM , es

decir para cada p ∈ M

T (p) : TpM × . . .× TpM → R

de una manera diferenciable en el sentido en que para todo p0 ∈ M , y toda parametrizacion

φ : U → M que cubra a p0, se tiene que las nk funciones Ti1,...,ik : U → R con ij ∈ 1, . . . , n

definidas por

Ti1,...,ik(u) = T (φ(u))(∂φ

∂ui1

(u), . . . ,∂φ

∂uik

(u))

son diferenciables.

Ejemplos: Si (M, g) es una variedad riemanniana y X1, . . . , Xk son campos vectoriales

en M , definimos el tensor de orden k ωX1,...,Xkcomo

ωx1,...,Xk(p)(v1, . . . , vk) = g(p)(X1(p), v1) · · · g(p)(Xk(p), vk) vi ∈ TpM

Ejemplo: (Producto tensorial) Si T es un tensor de orden k y S es un tensor de orden

r denimos el tensor de orden k + r, T ⊗ S por

11

T ⊗ S(p)(v1, . . . , vk, w1, . . . , wr) = T (p)(v1, . . . , vk)S(p)(w1, . . . , wk) vi, wj ∈ TpM

El tensor T ⊗ S es llamado el producto tensorial de T y S, Note que el producto tensorial

es asociativo pero no conmutativo. Note tambien, con respecto al ejemplo anterior, que

ωX1,...,Xk= ωX1 ⊗ · · · ⊗ ωXk

Ejemplo: (la diferencial de una funcion) Si f : M → R es una funcion diferenciable,

entonces la diferencial de f define un (1, 0) tensor ya que para todo p ∈ M , df(p) : TpM → Res una aplicacion lineal.

Ejemplo: Si σ : 1, . . . , k → 1, . . . , k es una funcion biyectiva, es decir si σ pertenece al

grupo de permutaciones de k elementos Sn, y T es un tensor de orden k, entonces definimos

el tensor de orden k, σT por

σT (p)(v1, . . . , vk) = T (vσ(1), . . . , vσ(k)) vi ∈ TpM

Lema: Dado un abierto U ⊂ M existe abierto V ⊂ U tal que V ⊂ U y una funcion

f : M → R tal que f(x) > 0 para todo x ∈ V y f(x) = 0 para todo x /∈ U . Mas aun dado

un punto p0 ∈ U y una constante positiva c, podemos escojer f tal f(p0) = c.

Proposicion: Sea M una variedad, χ(M) el espacio de campos vectoriales diferenciables

en M y C∞(M) el espacio de funciones diferenciables. Si T : χ(M)× . . .×χ(M) → C∞(M)

es una aplicacion k-lineal, tal que para todo funcion diferencial f se tiene que

T (X1, . . . , Xi−1, fXi, Xi+1, . . . , Xk) = fT (X1, . . . , Xi−1, Xi, Xi+1, . . . , Xk)

entonces T (p) : TpM × TpM → R definido por T (p)(v1, . . . , vk) = T (V1, . . . , Vk)(p) donde

Vi ∈ χ(M) son campos vectoriales tales que Vi(p) = vi esta bien definido y determina un

tensor de tipo (k, 0).

Demostracion:

Consideremos una parametrizacion φ : B0(2) → M definida en la bola abierta con centro

en el origen y radio 2, tal que φ(0) = p0. Definamos la funcion f : M → R definida por

f(m) = 0 si m 6∈ φ(B0(1)) y tal que f = f(φ(u)) = f donde

f(u) = e|u|2

|u|2−1 si |u| < 1 y f(u) = 0 si |u| ≥ 1

Claramente f es diferenciable en todo M , es decir, f ∈ C∞(M) Note que ademas, se tiene

que f(p0) = 1. Definamos tambien por Xi los campos vectoriales en φ(B0(2)) dados por la

parametrizacion, es decir, Xi(φ(u)) =∂φ∂ui

(u). Para demostrar que T (p) esta bien definida,

basta demostrar que si Wi son campos vectoriales en χ(M) tales que Wi(p0) = Vi(p0) = vi,

12

entonces T (W1, . . . ,Wk)(p0) = T (V1, . . . , Vk)(p0). Ya que los campos vectoriales Vi y Wi

son diferenciables, existen funciones diferenciables aij y bij definidas en B0(2) tales que

Vi(φ(u)) =n∑

j=1

aij(u)Xj(φ(u)) and Wi(φ(u)) =n∑

j=1

bij(u)Xj(φ(u))

Ya que Vi(p0) = Wi(p0), entonces aij(0) = bij(0) para todo i ∈ 1, . . . k y j ∈ 1, . . . , n.Definamos los campos vectores Yi ∈ χ(M) por Yi(p) = 0 si p ∈ φ(B0(2)) y Yi(p) =

f(p)Xi(p), aij : M → R como la funcion que se anula fuera de φ(B0(2)) y que satisfacen que

aij(φ(u)) = f aij para todo u ∈ φ(B0(2)), claramente las funciones aij son diferenciables.

Analogamente definiremos las funciones bij : M → R. Note que aij(p0) = bij(p0).

Por la propidades del la aplicacion T tenemos que

T (V1, . . . , Vk)(p0) = f2k(p0)T (V1, . . . , Vk)(p0)

= T (f2V1, . . . , f2Vk)(p0)

= T (n∑

j=1

a1jYj , . . . ,n∑

j=1

akjYj)(p0)

=n∑

j1,...,jk=1

a1j1(p0) · · · akjk(p0)T (Y1, . . . , Yk)(p0)

=n∑

j1,...,jk=1

b1j1(p0) · · · bkjk(p0)T (Y1, . . . , Yk)(p0)

T (W1, . . . ,Wk)(p0)

Luego T (p) esta bien definido y T determina un tensor.

Definicion de pullback y de contraccion de un tensor.

Definicion de una k forma diferencial

Definicion ( de ω1 ∧ · · · ∧ ωk donde ωi son 1 formas)

Definicion (de dω cuando ω es una 1 forma.

Ejercicio: Demuestre que si f : M → N es una funcion diferenciable, entonces f∗(ω1 ∧· · · ∧ ωk) = f∗ω1 ∧ · · · ∧ f∗ωk. Tambien demuestre que f∗(dω) = d(f∗ω). Los ω′s son 1

formas en N .

El gradiante de una funcion definida en una variedad riemanniana

Para definir el gradiante basta tener en cuenta el siguiente lema.

Lema: Si v1, . . . , vn es una base de TpM entonces la matriz aij = g(p)(vi, vj) es invertible.

Mas aun, dado una aplicacion lineal ξ : TpM → R, existe un unico vector v ∈ TpM

13

tal que ξ(w) = g(p)(v, w) para todo w ∈ TpM . El vector v puede escribirse como v =

c1v1 + . . .+ cnvn donde c(c1, . . . , cn)T = A−1b donde b = (ξ(v1), . . . , ξ(vn))

T .

Demostracion:

Definicion de gradiante de una funcion

Proposicion: Sea (N, g) una variedad riemanniana y M ⊂ N una subvariedad. Suponga-

mos que M tiene la metrica riemanniana inducida por la metrica g. Si f : M → R es la

restriccion de una funcion F : N → R, entonces ∇f(p) es la proyeccion ortogonal del vector

∇F (p) en el subespacio TpM .

Proposicion: Sea M es una subvariedad de Rn dotada de la metrica riemanniana inducida

por la metrica Euclidiana en Rn. Si F : M → R una funcion diferenciable. y f : M → Res la funcion definda por f(m) = F (m) para todo m ∈ M entonces

∇f(m) = proyeccion ortoganal de ∇F (m) en el espacio TpM

Ejemplo: Funciones linales restringidas a una hivervariedad de Rn.

Ejemplo: (Multiplicadores de Lagrange)

Ejemplo: Valores propios de una matriz simetrica.

Comparar con operadores elipticos en una variedad compacta.

Conexiones Afines y Conexion de Levi-Civita

La idea de una conexion en una variedad riemanniana es la de poder definir la derivada

de un campo vectorial en la direccion de un vector determinado. Para campos vectoriales

en Rn esto lo podemos hacer de una manera natural, definiendo para un campo vectorial

X : Rn → Rn y un vector v en Rn = TpRn

∇vX(p) = limh→0

1

h(X(p+ tv)−X(p)) = DX(p)v

La dificultad en tratar de implementar la misma idea para un campo vectorial X en una

variedad M es que en general si tomamos un vector v ∈ TpM y una curva α(t) en M tal

que α(0) = p y α′(0) = v entonces la diferencia X(α(t))−X(p) no tiene sentido porque los

vectores X(α(t)) y X(p) estan en espacios vectoriales difererentes y por lo tanto la resta de

estos vectores no esta definida. La razon por la cual esta resta es posible en Rn es porque

todos los espacios tangentes TpRn se pueden identificar. En el transcurso de esta seccion

veremos como el concepto de conexion nos permitira identificar dos espacios tangentes que

estan unidos por una curva, en cierta forma la conexion nos permite conectar los vectores

de TpM con los vectores de TqM por medio de una curva que una a p con q, de aquı

14

el nombre de conexion para esta forma de derivar campos vectoriales a lo largo de una

direccion.

Definicion De Conexion

Ejemplo: Explicar las posibles conexiones en Rn.

Lema:Si Z(p0) = X(p0), entonces ∇XY (p0) = ∇ZY (p0)

Demostracion: Basta observar que si consideramos T : χ(M)×χ(M) → C∞(M) como la

aplicacion dada por T (X,W ) = 〈∇XY,W 〉, entonces por las propiedades de la conexion se

tiene que T define un tensor de order (2, 0), y por lo tanto para todo w ∈ Tp0M se tiene que

〈∇XY (p0), w〉 = T (X(p0), w) = T (Z(0), w) = 〈∇ZY (p0), w〉. Estas igualdades implican el

lema.

Lema: Si Y se anula en una vecindad de p0 entonces ∇XY (p0) = 0

Sea U un abierto del punto p0 en donde el campo vectorial Y se anula, y definamos una

funcion f : M → R tal que f(x) = 0 para todo x /∈ U y f(p0) = 1. Luego el campo vectorial

Z = fY se anula es identicamente cero y por lo tanto

0 = ∇XZ(p0) = X(f)(p0)Y (p0) + f(p0)∇XY (p0) = ∇XY (p0)

Lema: Dado un abierto U ⊂ M y un punto p0 ∈ U existe abierto V ⊂ U con p0 ∈ U , tal

que V ⊂ U , y una funcion f : M → R tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ M , f(x) = 1 para

todo x ∈ V y f(x) = 0 para todo x /∈ U .

Antes de hacer la demostracion, mencionar el caso M = R y su demostracion.

Lemma: Si X es un campo vectorial en un comjunto abierto U y p0 ∈ U , entonces existe

un subconjunto abierto V ⊂ U y un campo vectorial X en definido en todo M , tal que

X∣

∣

U= X.

Lema: Dado un abierto U de M , existe un unica conexion ∇U : χ(U) × χ(U) → χ(U)

tal que ∇UXY (p) = ∇X Y (p) para todo p ∈ U cada vez que X y Y sean campos vectoriales

definidos en todo M y X∣

∣

U= X y Y

∣

∣

U= Y

Demostracion:

Proposicion: Para todo conjunto abierto U de M se puede definir una unica ∇ : χ(U)×χ(U) → χ(U) tal que ∇XY (p) = ∇X Y (p) para todo p ∈ U , siempre que X = X

∣

∣

Uy

Y = Y∣

∣

Udonde X y Y son campos vectoriales en M .

Definicion: Simbolos de Christofell.

Definicion y Proposicion: Derivada covariante a lo largo de una curva.

Definicion de transporte paralelo.

Ejemplo. Rn con la conexion de levi civita

15

Proposicion: Existe una unica conexion de simetrica y compatible con la metrica

Ejemplo: R2+ con la metrica 1

y2 δij

Proposicion: Si ∇ : χ(M)×χ(M) → χ(M) es la conexion de Levi - Civita y α : [a, b] → M

es una curva en M entonces

d〈V (t),W (t)〉dt

= 〈DV

dt(t),W (t)〉+ 〈DW

dt(t), V (t)〉

para todo par de campos vectoriales V y W a lo largo de la curva α.

Demostracion

Proposicion La conexion de Levi - Civita es invariante bajo isometrias.

Ejemplo El cono.

Proposicion: sobre la conexion de Levi - Civita de una inmersion isometrica

Ejemplo: Transporte paralelo sobre circunferencias de radio 1.

Ejemplos.

16

Ejercicios

1. Sea ηn la matriz cuadrada n×n diagonal cuya entrada (1, 1) es −1 y las demas entradas

en la diagonal son 1. Demuestre que el conjunto

M = A ∈ M3×3 : Aη3AT = η3

Es un variedad y describa TIM donde I es la matriz identidad.

2. Demuestre que

G(2, 3) = π ⊂ R3 : π es un plano en R3 que pasa por el origen

es una variedad.

3. Sea S2 = x ∈ R3 : |x|2 = 1. Demuestre que TS2 = x, v) : |x|2 = 1, 〈x, v〉 = 0 es

una variedad y encuentre una base para T(1,0,0,0,0,0)TS2.

4. Sean S2 y TS2 como en el ejercicio anterior.

a. Demuestre que φ : S2 → TS2 dada por φ(x) = (x, 0) para todo x ∈ S2 es una immersion.

b. Sea π : TS2 → S2 dada por π(x, v) = x para todo (x, v) ∈ TS2. Demuestre que

cualquier x ∈ S2 es un valor regular de π y calcule π−1(x).

c. Definamos las siguientes funciones fi : S2 → R

f1(x) = x1, f2(x) = x21, f3(x) = sinx2

Halle los puntos criticos de f1, f2 y f3.

d. Definamos las siguientes funciones fi : TS2 → R

f1(x) = x1 + v2, f2(x) = v2, f3(x) = x21

Halle los puntos criticos de f1, f2 y f3.

5. a. Demostrar que RP 2 no es orientable.

b. Demuestre que si c ∈ R es un valor regular de f : R3 → R, entonces f−1(c) es una

variedad orientable.

6. Considere las metricas en S2 y TS2 inducidas por las metricas euclidianas en R3 y en

R6 respectivamente. Halle el gradiante de las funciones fi definidas en el ejercicio 4.

17

7. Halle el bracket de los campos vectoriales ∇f1 y ∇f2 para las funciones f1, f2 : S2 → Rdefinidas en el ejercicio 4.

8. Sea S3 = x ∈ R4 : |x|2 = 1. Defina Vi : S3 → R4 por V1(x) = (−x2, x1,−x4, x3) y

V2(x) = (−x3, x4, x1,−x2). Verifique que V1 y V2 son campos vectoriales tangentes en S3 y

calcule [V1, V2]

9. a. Demuestre que S31 = x ∈ R4 : 〈x, η4x〉 = 1 es una variedad.

b. Si v es un vector en R4 tal que 〈v, η4v〉 = −1, demuestre que

Mv = x ∈ S31 : 〈x, η4v〉 = 0

es una variedad 2 dimensional

c. Demuestre que la metrica en Mv dada por g(x)(v1, v2) = 〈v1, η4v2〉 para todo v1, v2 ∈TxMv es una metrica riemanniana.

d. Encuentre una curva en M(1,0,0,0) y halle su longitud con respecto a la metrica dada en

la parte c.

10. Sea M = (x, y) ∈ R2 : y > 0 y g la metrica dada por

g(x, y)(v1, v2) =1

y〈v1, v2〉

Calcule la longitud de la curva α : [ε, 1] → M dada por α(t) = (0, t).

11. Si φ es una 2-forma en una variedad M , demuestre que

dφ(X1, X2, X3) =X1(φ(X2, X3))−X2(φ(X1, X3)) +X3(φ(X1, X2))

− φ([X1, X2], X3) + φ([X1, X3], X2)− φ([X2, X3], X1)

define una 3-forma

Notacion: ei denotara la base usual deRn y dxi es la 1-forma enRn definida por dxi(x)(v) =

〈ei, v〉.

12. Demostrar que dx1 ∧ dx3 y dx1 ∧ dx2 son elementos linealmente independientes en el

espacio de aplicaciones bilineales alternantes en R4.

13. Sea M una variedad. Demostrar que si f : M → R es una funcion diferenciable,

entonces d(df) = 0.

14. (a) Demostrar que si f : Rn → Rm es una funcion diferenciable, entonces f∗dyi = dfidonde f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)).

18

(b) Demostrar que si w1, w2 son dos 1 formas enRm, entonces f∗(w1∧w2) = f∗w1∧f∗w2.

(c) Generalizar el resultado de la parte (b) para k 1-formas w1, . . . , wk en Rm.

15. Sea

L2 = A ∈ M2×2 ≡ R4 : AT ηA = η

donde η es la matriz diagonal 2 × 2 con un 1 en la entrada (1, 1) y un −1 en la entrada

(2, 2).

(a) Demuestre que L2 es una variedad y calcule su dimension.

(b) Encuentre una parametrizacion de L2.

(c) Verifique que la matriz identidad I2 esta en L2 y encuentre una base para TI2L2.

16 Realice el mismo ejercicio 5 para

O(2) = A ∈ M2×2 ≡ R4 : ATA = I2

y para

O(3) = A ∈ M3×3 ≡ R9 : ATA = I3

Note que estamos denotando la matriz identidad n× n por In.

17. Defina la funcion f(A) = traza(A) en las variedades L2, O(2) y O(3) y calcule los

puntos crıticos de f .

18. Sea Sn = x ∈ Rn+1 : |x| = 1.

(a) Halle una parmetrizacion φ : U ⊂ Rn → Sn de Sn.

(b) Demuetre que las funciones F1(x) = (1−x21,−x1x2, . . . ,−x1xn+1) y F2(x) = (−x1x2, 1−

x22,−x2x3, . . . ,−x2xn+1) definen campos vectoriales tangentes en Sn

(c) Halle funciones a1(u), . . . an(u) y funciones b1(u), . . . bn(u) definidas en U tales que

F1(φ(u)) =n∑

i=1

ai(u)∂φ

∂ui(u) y F2(φ(u)) =

n∑

i=1

bi(u)∂φ

∂ui(u)

(d) Halle [F1, F2]

9.Sea M = x ∈ R4 : x21 + x2

2 = 12 , x2

3 + x24 = 1

2.

19

(a) Demuestre que los funciones V1(x) = 3x1(−x2, x1, 0, 0) y V2(x) = 4x22(−x2, x1, 0, 0) +

ex3(0, 0,−x4, x3) definen campos vectoriales en M .

(b) Calcule [V1, V2].

20

Integracion sobre variedades compactas

Dada una matriz cuadrada n × n A, con vectores columna A1, . . . An, se tiene que la in-

terpretacion geometrica del determinante de A, det(A), es la siguiente: det(A) = 0 si y

solo si, los vectores Ai son linealmente independientes. Si det(A) 6= 0 entonces, el signo de

det(A) 6= 0 determina si la base ordenada (A1, . . . , An) esta tiene la misma orientacion que

la base usual ei = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) de Rn y |det(A)| mide el volumen de paralepipedo n

dimensional que expanden los vectores columna, es decir el volumen del solido

P (A1, . . . , An) = s1A1 + . . .+ snAn : 0 ≤ si ≤ 1

De la interpretacion anterior, se tiene que si T : Rn → Rn es la transformacion lineal dada

por T (x) = Ax donde A es una matriz n×n, se tiene que, si C = (x1, . . . , xn) : 0 ≤ xi ≤ 1,un cubo unitario, entonces, el volumen de T (C) es |det(A)|.

Consideremos un abierto acotado U ⊂ Rn, y una funcion f : U → R se tiene que un

valor aproximado de∫

Ufdx1 · · · dxn se obtiene al tomar una particion "finaÔ Ω1, . . .Ωk,

del conjunto U , tomar un punto pi en cada Ωi y luego calcular

Si(f) =k

∑

i=1

f(pi)Vi

donde Vi es el volumen de la region Ωi.

Aqui viene un dibujo explicativo

Si consideramos ahora un difeomorfismo T : V → U , para cada x0 ∈ U se tiene que

Tx0(x) = T (x0) +Df(x0)(x − x0), es la funcion afine que mejor aproxima a la funcion f .

Esta a su vez implica que si Ωi es un subconjunto abierto de Ωi con diametro "pequeno”,

entonces el volumen de f(Ωi) es aproximadamente igual a |det(Df(pi)|, donde pi es un punto

arbitrario en Ωi. Estas observaciones, junto con la interpretacion intuitiva de integral dada

anteriormente, hacen que el siguiente teorema, el cual no demostraremos, sea intuitivamente

evidente.

Teorema: Si T : V → U es un difeomofismo entre dos subconjuntos abiertos acotados de

Rn y f : U → R es una funcion diferenciable y acotada, entonces

∫

U

f(y)dy1 · · · dyn =

∫

V

f(T (x))|det(DT (x))|dx1 · · · dxn

21

Este teorema, nos indica que si M es una variedad riemanniana, φ : U ⊂ Rn → M y

f : M → R es una funcion continua, entonces una forma de definir∫

φ(U) f es asi:

∫

φ(U)f =

∫

U

f(φ(u))vol(∂φ

∂u1, . . . ,

∂φ

∂un)du1 · · · dun

donde vol( ∂φ∂u1

, . . . , ∂φ∂un

) es el volumen del paralepipedo generado por los vectores de Tφ(u)M ,∂φ∂u1

, . . . , ∂φ∂un

. Para calcular este volumen, recordemos que para cada p ∈ M , TpM es un

espacio vectorial dotado de un producto punto g(p) : TpM × TpM → R. Observemos que

si tomamos v1, . . . , vn una base ortonormal del espacio vectorial TpM entonces la aplica-

cion lineal S que envia al vector ei = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) ∈ Rn en el vector vi es una

isometrıa y por lo tanto es mas que natural definir el volumen del paralepido generado por

n vectores w1, . . . , wn como el volumen del paralepipedo en Rn generado por los vectores

S−1(w1), . . . S−1(vn). En el argumento anterior, supongamos que p = φ(u), y definamos la

matriz G(u) como la matriz cuyas entradas son gij(u) = 〈 ∂φ∂ui

, ∂φ∂uj

〉, donde, como es habitual

〈 , 〉 denota la metrica g(p). Si la transformacion lineal S : Rn → TpM esta definida en el

argumento anterior y S(wi) =∂φ∂ui

, para ciertos vectores wi ∈ Rn entonces, si definimos A

como la matriz cuadrada cuyas vectores columnas son los vectores wi, se tendra que:

vol(∂φ

∂u1, . . . ,

∂φ

∂un) = |det(A)|

Note que si denotamos a las entradas de la matriz A como aij entonces tenemos que

∂φ

∂u1= a11v1 + . . .

22