CAPITULO IIIEL MODELO DEL TRANSPORTE

EL MODELO DEL TRANSPORTEEl Modelo de Transporte busca determinar un Plan de Transporte de una mercanca de varias fuentes a varios destinos.

LOS DATOS DEL MODELO SON:

1. Nivel de Oferta en cada fuente y la cantidad de Demanda en cada destino.

2. El Costo de Transporte Unitario de la mercanca a cada Destino.

Como solo hay una Mercanca-un Destino, puede recibir su demanda de una o ms fuentes.

El Objetivo del Modelo es el de determinar la cantidad que se enviar de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el Costo del Transporte Total.

La suposicin bsica del Modelo es que el Costo del Transporte en una Ruta, es directamente proporcional al Nmero de Unidades Transportadas.

La definicin de Unidad de Transporte variar dependiendo de la Mercancia que se transporte.

El esquema siguiente representa el Modelo de Transporte como una Red con m fuentes y n destinos.

Una Fuente o un Destino est representado por un Nodo.

El Arco que une una Fuente y un Destino representa la ruta por la cual se transporta la mercanca.

La Cantidad de la Oferta en la Fuente i es ai y la Demanda en el Destino j es bj.

El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.

1FUENTESDESTINOSa12m12na2amb1b2bnUnidades de OfertaUnidades de DemandaC11 ; X11Cmn ; Xmn

Si Xij representa la cantidad transportada desde la Fuente i al Destino j, entonces el Modelo General de PL que representa el Modelo de Transporte es:

Minimiza Z = Cij . Xij

Sujeto a: Xij = bj, j=1,2,3,,n

Xij >= 0, para todas las i y j mi=1 nj=1 n j=1m i=1

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma anloga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envos a un destino satisfaga su demanda.

El modelo que se acaba de escribir implica que:

La Oferta Total: ai; debe ser cuando menos igual a la

Demanda total: bj mi=1n j=1

Cuando la Oferta Total es igual a la Demanda Total, la formulacin resultante recibe el nombre de Modelo de Transporte Equilibrado. Este difiere del Modelo slo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: Xij = ai; i=1,2,3,,m Xij = bj; j=1,2,3,,n

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un Modelo de Transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, adems de su utilidad en la representacin a travs de modelos de ciertas situaciones prcticas, es importante para el desarrollo del mtodo de solucin que explote completamente la estructura especial del Modelo de Transporte.

El Mtodo de Transporte es un problema clsico dentro de la Programacin Matemtica; se analiza la manera de obtener el Costo Mnimo de transportar una serie de productos desde n fbricas, hasta m almacenes; cada envi tiene un costo particular que estar en funcin de la distancia, el tipo de carretera, la cantidad y otras variables.

EJEMPLOUna Empresa de Explosivos tiene tres fbricas donde prepara Explosivos, con capacidades de Produccin de 25 mil, 25 mil y 10 mil unidades y debe surtir a 4 almacenes de distintas Unidades Mineras con demandas de 20 mil, 15 mil, 20 mil y 5 mil unidades. La capacidad de produccion, la demanda de los almacenes y los costos de enviar desde cualquier fbrica a cualquier almacn se pueden ver en las tablas siguientes:

CAPACIDAD DE PRODUCCION (Unidades)

DEMANDA DE LOS ALMACENES (Unidades)

COSTO DE TRANSPORTE DESDE LA FBRICA i AL ALMACEN j (US$/unidad)

La pregunta es, cunto se debe enviar desde cada fbrica a cada almacn, con el fin de obtener el mnimo costo?

Min Z = 2X11 + 2X12 + 0X13 + 4X14 + 5X21 + 9X22 + 8X23 + 3X24 + 6X31 + 4X32 + 3X33 + 2X34

Sujeto a:

1. Satisfacer la Demanda de los Almacenes:

X11 + X21 + X31 >= 20X12 + X22 + X32 >= 15X13 + X23 + X33 >= 20X11 + X12 + X13 >= 5

2. No sobrepasar la Capacidad Disponible de las Fbricas:

X11 + X12 + X13 + X14

Esto lo podemos hacer rpidamente con la funcin sumaproducto del Excel. Las restricciones estarn en las columnas de Consumo y de Entregado. Primero preparemos el formato del problema, as:

Las Variables de Decisin estn en el rango B4-E6. La celda objetivo ser:= B4*B10+C4*C10+, pero eso sera muy largo. La manera ms corta es:= SUMAPRODUCTO(B4:E6,B10:E12).

La cantidad entregada a cada Almacn se ve en la fila 8. Por ejemplo para la celda B8, su frmula es:=B4+B5+B6.La restriccin de la capacidad de las fbricas las escribiremos en funcin del consumo en la columna G; por ejemplo para la celda G4:=B4+C4+D4+E4. Las restricciones las escribiremos en el cuadro de dilogo como lo entregado debe ser mayor o igual a lo requerido y lo consumido debe ser menor o igual que lo disponible, tal como se puede ver en la captura siguiente:

Las Variables de Decisin deben ser enteras. Luego de introducir los datos en este cuadro de dilogo y de hacer click en resolver, se hallar la solucin.

Problema PropuestoUna Compaa comercializadora de minerales tiene sus almacenes de concentrados ubicados en A, B, C y D con capacidades de 200, 225, 175 y 300 miles de toneladas respectivamente, las que proveen concentrados para venta a los cinco continentes, en almacenes ubicados en E, F, G, H e I.

Las necesidades mensuales de estos almacenes son 130, 110, 140, 260 y 190 miles de toneladas de concentrado respectivamente.

Los Costos Unitarios de Embarque (en US$/t) son:

Determnese la distribucin para esta Compaa a fin de Minimizar los Costos de Embarque.

EL MODELO DE LA ASIGNACION

Muchas de las situaciones en la vida exigen una de dos respuestas: SI o NO. As es que podemos representar estas posibilidades con los valores 0 (NO) y 1 (SI) y aprovechar las matemticas para que nos den una ayuda ante decisiones dificiles; a esto se le llama por obvias razones- Programacin Binaria.

Una aplicacin de la Programacin Binaria, es el Problema de la Asignacin. Este mtodo analiza el problema de asignar un cierto nmero de recursos a un determinado nmero de tareas, con base en algn tipo de valoracin para cada recurso.

Cada recurso podr ser asignado a una sola tarea.

Se debe asignarse el recurso i a la tarea j? Si o no?

EJEMPLOSe tienen tres personas (recurso) para asignarlos a tres labores distintas. Cada uno de ellos puede efectuar cualquiera de las taras existentes, pero con diferente nivel de especialidad. Sus respectivos jefes los han calificado de 1 a 10.

El Objetivo es el de Asignar a las personas, de manera tal que la calificacin en conjunto sea la Mxima.

Nota. Tambin funciona para Minimizar (P.e. minimizar el tiempo total de acarreo de mineral).

Calificacin de operarios por tareasXij = 1 si asignamos el operario i a la tarea j, de lo contrario 0.

Tarea 1Tarea 2Tarea 3Operario 1864Operario 2973Operario 3757

En este orden de ideas, nuestro deseo es maximizar la calificacin total, al asignar los operarios en las diferentes tareas.Max Z = 8 X11 + 6 X12 + 4 X13 + 9 X21 + 7 X22 + 3 X33 + 6 X31 + 5 X32 + 7 X33

Sujeto a:

1. Cada operario slo puede tener una tarea asignada.

X11 + X12 + X13 = 1 (solo responde una vez) X21 + X22 + X23 = 1 X31 + X32 + X33 = 1

2. Cada tarea puede tener un solo operario asignado.

X11 + X21 + X31 = 1 (solo responde una vez) X12 + X22 + X32 = 1 X13 + X23 + X33 = 1

3. Xij = 0,1; para toda i y toda j.

Ahora en Excel

Formato:

Las variables de decisin estn localizadas en el rango de las celdas B4:D6 (binarias), por lo que van a adoptar el valor 1 si se asigna ese operario a esa tarea, o el valor de 0 de lo contrario .

La calificacin que se logre est en la celda B2 y es el resultado de sumar el producto de dichas variables con su respectiva calificacin en la matriz de abajo.

La Celda Objetivo se logra al colocar la frmula: =SUMAPRODUCTO(B4:D6;B9:D11)

Como a in operario slo se le puede asignar a una tarea, colocamos una columna de Suma (E); para la celda E4: =B4+C4+D4

Cuando se agreguen las restricciones, esta columna debe ser igual a 1, ya que slo puede responder que s, una vez, ni ms ni menos.

De igual manera se agrega una fila (7) para asegurar que a una tarea slo se le asigne un operario; por ejemplo, la celda B7: =B4+B5+B6y deber ser igual a 1.

El Cuadro de Dilogo de los Parmetros del Solver quedar de la siguiente manera (ver Hoja del Excel):

RESULTADO

Al final la Calificacin Mxima es de 22.

Se asign el Operario 1 a la Tarea 2.Se asign el Operario 2 a la Tarea 1.Se asign el Operario 3 a la Tarea 3.