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Sistemas de

Ecuaciones Lineales

UNIDAD 5

Prof. Rosa De Peña

1

Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Unidad 5

Índice 5.1 Ecuación lineal o de primer grado………………………………………………….2 5.2 Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales…………………………………………………………….....3 5.3 Matriz del sistema o matriz de los coeficientes del sistema…………………….4 5.4 Matriz de los términos independientes del sistema…………………………….....4 5.5 Matriz de las incógnitas del sistema………………………………………………...4 5.6 Matriz ampliada…………………………………………………………………..........4 5.7 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales…………………………………..5 5.7.1 Método de Gauss. Forma escalonada de un sistema de ecuaciones lineales. 5.7.2 Método de Gauss-Jordan. Forma escalonada reducida de un sistema de ecuaciones lineales. 5.8 Equivalencia de Sistemas……………………………………………………………8 5.9 Teorema de Rouché-Frobenius. Analizar atendiendo al Teorema de Rouché-Frobenius sistemas de ecuaciones lineales………………………........8 5.10 Casos de compatibilidad e incompatibilidad en la solución de sistemas de ecuaciones………………………………………………………………….........8 5.11 Variables libres………………………………………………………………………..8 5.12 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos…………………………………8 5.13 Solución en los sistemas homogéneos: Trivial. No trivial………………….........9 5.14 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando matriz inversa….....15 5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro………….......16

Practica Propuesta No. 1. Unidad 5……………………………………………………..18

Practica Propuesta No. 2. Unidad 5…………………………………………………… .24

Cuestionario Unidad 5…………………………………………………………………….32

Bibliografia Consultada ……………………………………………………………….....33

2



Unidad 5

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

5.1 Ecuación lineal o de primer grado.

Una ecuación lineal o de primer grado se obtiene igualando a cero un polinomio de primer grado de una o

más incógnitas. La forma general de una ecuación lineal, una vez eliminados los denominadores y

reunidos los términos semejantes, y suponiendo que las incógnitas sean: nxxxx ,...,,, 321 , será:

cxaxaxaxa nn ...332211

La ecuación anterior podemos determinarla tomando una matriz fila que identificamos como A y una

matriz columna que identificamos como X. El producto matricial de AX origina un valor c que

genera la ecuación lineal.

Es decir si: naaaaA ,...,,, 321

nx

x

x

x

X

.

:3

2

1

Tenemos que : AX= C ecuación lineal.

Un sistema de valores numéricos nxxxx ,...,,, 321 que satisfaga a la ecuación anterior se llamará una

solución de dicha ecuación. Una solución consta de “n” valores numéricos.

Caso de una Ecuación con una Incógnita: bax .

1) Si 0a :

Evidentemente a

bx , siendo ésta la solución única, quedando el problema totalmente

resuelto.

2) En cambio, si 0a :

Se presentan dos subcasos:

a) Si 0b , y puesto que, cualquiera sea el valor de “x”, 0.0 x .

La ecuación no tiene solución; es contradictoria consigo misma, imposible o

incompatible.

3



Unidad 5

b) Si también 0b

Cualquier valor “x”, sustituido en la ecuación la satisface, de modo que ésta tiene

infinitas soluciones; se dice en éste caso que es indeterminada.

Generalmente, el caso 0a , en la práctica se presenta bajo la siguiente forma:

Al reducir los términos que contienen la incógnita, se los ve desaparecer en ambos miembros de la

ecuación. Si los términos constantes no desaparecen simultáneamente, tenemos una ecuación

incompatible; si desaparecen también, tenemos una ecuación indeterminada.

5.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales. Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales.

En general, un sistema de ""m ecuaciones lineales con ""n incógnitas está dado por:

11313212111 ... bxaxaxaxa nn

22323222121 ... bxaxaxaxa nn

. . . . .

. . . . .

. . . . .

mnmnmmm bxaxaxaxa ...332211

Pueden presentarse diferentes tipos de sistemas de ecuaciones:

a) Que tenga el mismo número de ecuaciones m que de incógnitas n , nm

b) Que tenga mayor número de ecuaciones m que de incógnitas n , nm

c) Que tenga menor número de ecuaciones m que de incógnitas n , nm

4



Unidad 5

Un sistema puede ser escrito en forma matricial:

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

...

.....

.....

.....

...

...

321

2232221

1131211

mn b

b

b

x

x

x

.

.

.

.

.

.

2

1

2

1

Si consideramos:

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

A

...

.....

.....

.....

...

...

321

2232221

1131211

nx

x

x

X

.

.

.

2

1

mb

b

b

B

.

.

.

2

1

El sistema puede ser escrito como BXA . donde:

A representa la 5.3 Matriz de los Coeficientes del Sistema, cuyos elementos son los valores .ija

B representa la 5.4 Matriz de los Términos Independientes del Sistema, cuyos elementos son los

valores jb

X representa la 5.5 Matriz de las Incógnitas del Sistema, cuyos elementos son los valores de ix .

En este sistema los valores .ija , jb son números reales dados. El problema es encontrar los valores ix

que satisfagan simultáneamente cada una de las ""m ecuaciones.

Una matriz a considerar es la 5.6 Matriz Ampliada 'A , la cual formamos agregándole la columna

formada por los valores de los términos independientes ""b a la matriz de los coeficientes del sistema a

considerar.

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

A

...

.....

.....

.....

...

...

'

21

222221

111211

5



Unidad 5

5.7 Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. 5.7.1 Método de Eliminación de Gauss.

En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada, se despeja la última incógnita y

luego se usa la sustitución hacia atrás para despejar las otras incógnitas.

5.7.2 Método de Eliminación de Gauss-Jordan.

En este método se reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada reducida, obteniéndose los valores de

las incógnitas.

En el proceso puede ocurrir una de las tres situaciones siguientes:

A) La última ecuación diferente de cero queda Cxn para alguna constante.

Entonces hay una única solución o hay un número infinito de soluciones para el Sistema que

identificamos como Consistente.

B) Si la última ecuación es una ecuación lineal en dos o más de las variables, entonces existe un número

infinito de soluciones. Este caso corresponde a un Sistema Consistente.

C) Si la última ecuación queda C0 , donde 0C , entonces no existe solución para el sistema. En este

caso, decimos que el Sistema es Inconsistente.

Ejemplo

Resolver el sistema usando los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan

1335

1223

822

zyx

zyx

zyx

A) Método de Gauss

Escribimos en forma matricial el sistema:

1

1

8

335

223

212

z

y

x

La matriz ampliada A’ la escribimos a continuación y nombramos sus filas:

1335

1223

8212

3

2

1

F

F

F

6



Unidad 5

Realizamos operaciones elementales con las filas de 'A :

1335

1223

412

11

2

1

3

2

1

F

F

F

2182

110

1352

70

412

11

5

3

31

21

1

FF

FF

F

11

42

11

1610

7

26

7

1010

412

11

11

2

7

2

3

2

1

F

F

F

1

77

200

7

26

7

1010

412

11

32

2

1

FF

F

F

41007

26

7

1010

412

11

2

773

2

1

F

F

F

El nuevo sistema es:

47

264

1007

1010

12

11

z

y

x

De otro modo, el sistema anterior se puede escribir al efectuar el producto matricial como:

1) 42

1

zyx

2) 7

26

7

10

zy

3) 4z

7



Unidad 5

Sustituyendo 3) en 2): 27

26

7

40

7

264

7

10

y

Sustituyendo yz, en 1): 14422

14

2

1

zyx

El conjunto solución es: 4,2,1,, zyx

Método de Gauss-Jordan

Usaremos la matriz ampliada escalonada, para continuar con la reducción del sistema:

41007

26

7

1010

412

11

3

2

1

F

F

F

4100

20107

15

7

201

7

10

2

1

3

32

21

F

FF

FF

4100

2010

10017

2

3

2

31

F

F

FF

El sistema en forma matricial se puede escribir:

4

2

1

100

010

001

z

y

x

Realizando el producto matricial e igualando las dos matrices resultantes, encontramos:

1) 1x

2) 2y

3) 4z


8



Unidad 5

5.8 Equivalencia de Sistemas

Un sistema de ecuaciones y otro análogo en las mismas incógnitas se llaman equivalentes cuando toda

solución de un sistema lo es también del otro, es decir cuando tienen las mismas soluciones.

5.9 Teorema de Rouché-Frobenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que la

matriz de los coeficientes y la matriz ampliada tengan igual característica o rango. Si difieren la

característica de la matriz de los coeficientes y la característica de la matriz ampliada el sistema es

incompatible.

Si la característica es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y posee

solución única. Si la característica es menor que el número de incógnitas, el sistema es indeterminado. El

sistema posee infinitas soluciones.

En resumen, tenemos:

5.10 A) Caso de Incompatibilidad. En un sistema a estudiar, si el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de

incógnitas, el sistema no admite solución. Es decir, se dice que el sistema o las ecuaciones que lo forman,

son incompatibles.

B) Caso de Compatibilidad B.1) Sistemas Determinados. Poseen solución única. Esto ocurre cuando el número de ecuaciones

independientes es igual al número de incógnitas.

B.2) Sistemas Indeterminados. Poseen infinitas soluciones. Ocurre cuando el número de ecuaciones

independientes, es menor que el número de incógnitas.

En estos casos, se procede tomando un número de variables como parámetros, que identificamos como

variables libres, a las cuales asignamos valores para resolver el sistema. Si llamamos “m” al número de

ecuaciones linealmente independientes del sistema considerado y “n” al número de incógnitas del

sistema (m < n), entonces:

5.11 Número de variables libres del sistema = n-m

La asignación de valores a las variables libres nos permitirá obtener las infinitas soluciones del sistema

que se considera.

5.12 Sistemas Homogéneos. Una ecuación lineal se llama homogénea cuando su término conocido

o independiente es nulo. Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando todas sus

ecuaciones lo son.

Es decir: BAX es el sistema conocido, cuando 0B entonces:

0AX es un Sistema Homogéneo.

9



Unidad 5

Podemos escribir un sistema homogéneo:

0... 1313212111 nn xaxaxaxa

0... 2323222121 nn xaxaxaxa

. . . . .

. . . . .

. . . . .

0...332211 nmnmmm xaxaxaxa

Expresando en forma matricial el sistema anterior:

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

...

.....

.....

.....

...

...

321

2232221

1131211

0

.

.

.

0

0

.

.

.

2

1

nx

x

x

5.13 Solución en los sistemas homogéneos.

En este caso, el sistema admite, al menos, una solución. Es evidente que tal solución, siempre existente, es

la 0...21 nxxx , que por convenir a cualquier sistema homogéneo, se le llama la solución

trivial.

La solución trivial será solución única cuando el número de ecuaciones independientes sea igual al

número de incógnitas. Es decir, la característica de la matriz de los coeficientes sea igual a la

característica de la matriz ampliada. En este caso, el sistema se identifica como un sistema determinado.

Si el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, el sistema de

ecuaciones admite infinitas soluciones. Podemos decir, que es un sistema indeterminado e incluye la

solución trivial.

10



Unidad 5

Ejemplos

Analizar los sistemas usando el Teorema de Rouché - Frobenius. Resolverlos si es posible

A) 15 zyx

342 zyx

3724 zyx

Escribimos el sistema en forma matricial:

3

3

1

724

142

511

z

y

x

Formamos la matriz ampliada y procedemos a calcular la característica de la matriz de los

coeficientes y de la matriz ampliada simultáneamente, mediante operaciones elementales:

3724

3142

1511

3

2

1

F

F

F

11360

11160

1511

4

2

13

12

1

FF

FF

F

2200

11160

1511

23

2

1

FF

F

F

11006

1

6

1110

1511

2

1

6

1

3

2

1

F

F

F

De la matriz anterior, podemos decir que la matriz A de los coeficientes es:

1006

1110

511

A

El rango o característica de A es: 3Ar

La matriz 'A ampliada es:

11006

1

6

1110

1511

'A

El rango o característica de 'A es: 3' Ar

Como las características de A y 'A son iguales, entonces el Sistema es Compatible. Si ocurre

que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el Sistema es Determinado y posee

solución única.

11



Unidad 5

Si escribimos el sistema en forma matricial tenemos:

16

11

1006

1110

511

z

y

x

Efectuando el producto matricial podemos escribir el sistema equivalente:

1) 15 zyx

2)6

1

6

11

zy

3) 1z

En el sistema anterior, de 3): 1z

Sustituyendo z en 2): 216

11

6

1

6

1

6

11

zy

Sustituyendo z, y en 1) 2115215 zyx


B) 52 zyx

832 zyx


8

5

132

211

z

y

x

Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar el rango o característica de la matriz de los

coeficientes y de la matriz ampliada.

8132

5211

2

1

F

F

2510

5211

212

1

FF

F

La matriz A de los coeficientes es:

510

211A

El rango o característica de A es: 2

12



Unidad 5

La matriz 'A ampliada es:

2510

5211'A

El rango o característica de 'A es: 2' Ar

Como las características de A y 'A son iguales , entonces el Sistema es Compatible. Al ocurrir

que el número de ecuaciones linealmente independientes (rangos de las dos matrices es dos (2) es menor

que el número de incógnitas (3), entonces el Sistema es Indeterminado. Posee infinitas soluciones.

Escribiendo el sistema en forma matricial:

2

5

510

211

z

y

x

Realizando el producto matricial, en el sistema tenemos:

1) 52 zyx

2) 25 zy

Como tenemos dos 2 ecuaciones m = 2 y tres 3 incógnitas n=3 entonces:

Número de variables libres NVL es: 123 mnNVL

Luego el sistema lo expresamos como:

1) zyx 25

2) zy 52

Este sistema posee infinitas soluciones, para determinar una solución asignamos un valor a la variable

libre “z”, de este modo:

Para : 0z

Sustituyendo en 2) : 2)0(5252 zy

Sustituyendo y en 1): 725)2()0(2525 yzx

Una solución es: 0,2,7,, zyx

Para : 8z

Sustituyendo en 2): 38)8(5252 zy

Sustituyendo y en 1: 493816538)8(2525 yzx

Otra solución es: 8,38,49,, zyx

Las dos soluciones anteriores forman parte de las infinitas soluciones del sistema dado.

13



Unidad 5

C) 0 zyx

0342 zyx

010135 zyx

Escribimos el sistema en forma matricial:

0

0

0

10135

342

111

z

y

x

Formamos la matriz ampliada procediendo a determinar la característica o rango de la matriz de los

coeficientes y de la matriz ampliada.

010135

0342

0111

3

2

1

F

F

F

015180

0560

0111

5

2

31

12

1

FF

FF

F

0000

0560

0111

36

1

32

2

1

FF

F

F

0000

06

510

0111

3

2

1

F

F

F

Escribiendo el sistema en forma matricial:

0

0

0

0006

510

111

z

y

x


0006

510

111

A

El rango de A es dos: 2Ar

La matriz ampliada 'A es:

0000

06

510

0111

'A

El rango de 'A es dos: 2' Ar

Este sistema es un Sistema Homogéneo.

Como 'ArAr el Sistema es Compatible.

14



Unidad 5

0

0

6

510

111

z

y

x

Realizando el producto matricial, el sistema se puede escribir:

1) 0 zyx

2) 06

5

zy

Como tenemos dos ecuaciones m=2; y tres incógnitas n=3, el Sistema es Indeterminado. Posee

Infinitas Soluciones.

Número de variables libres NVL es: 123 mnNVL

Para determinar una solución del sistema fijamos un valor a una variable. De este modo,

Cuando: 0z

En 2) : 006

5

6

5

zy

En 1) : 000 zyx

Un conjunto solución es: 0,0,0,, zyx Esta solución se conoce como Solución Trivial (siempre

estará presente en un sistema homogéneo).

Cuando: 6z

En 2) : 566

5

6

5

zy

En 1) : 165 zyx

Un conjunto solución es: 6,5,1,, zyx Esta solución se conoce como Solución No Trivial en el

sistema homogéneo dado.

15



Unidad 5

5.14 Resolución de un Sistema de Ecuaciones Lineales usando Matriz Inversa

En un sistema BXA . si se cumple que A es invertible, entonces el sistema tiene solución

única. Esta solución única está dada por:

BAX .1

Ejemplo.

Resolver el sistema BXA . usando la inversa de matrices.

Sea el sistema dado:

12 21 xx

043 21 xx

Expresamos en forma matricial el sistema conocido:

0

1

43

21

2

1

x

x

Identificamos la matriz de los coeficientes (A), la matriz de las incógnitas (X) y la matriz de los términos

independientes (B):

43

21A

2

1

x

xX

0

1B

La solución del sistema dado la tenemos cuando determinemos:

2

1

x

xX

Con este propósito procedemos a buscar la inversa de A, mediante el uso de las operaciones

elementales, para ello formamos la matríz aumentada[A I]:

1043

0121

2

1

F

F

1020

0121

3 21

1

FF

F

2

1

2

310

1201

2

12

21

F

FF

La inversa es :

2

1

2

312

1A

Resolviendo el producto BAX .1 tendremos la solución del sistema considerado.

2

32

02

302

02

11

2

3

0112

0

1

2

1

2

312

2

1

x

x

2

32

2

1

x

x

El conjunto solución es:

2

3,2, 21 xx

16



Unidad 5

5.15 Analizar un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro.

Determine el valor del parámetro para que el sistema sea:

A) Consistente - Determinado.

B) Inconsistente

Sea el sistema a considerar:

1 zyx

13 zyx

656 azyx

2azyx


2

65

1

1

111

116

113

111

a

az

y

x

Formamos la matriz ampliada para determinar el rango o característica de la matriz

de los coeficientes y de la matriz ampliada.

2

4

3

2

1

111

65116

1113

1111

a

a

F

F

F

F

1000

5550

2420

1111

6

3

2

14

13

12

1

a

a

FF

FF

FF

F

1000

110

1210

1111

2

4

351

221

1

a

a

F

F

F

F

1000

1100

1210

1111

24

23

2

1

a

a

F

FF

F

F

17



Unidad 5

Escribimos el sistema equivalente en forma matricial:

2

1

1

1

000

100

210

111

a

az

y

x


000

100

210

111

A

El rango o característica de la matriz A es: 3Ar

La matriz 'A o matriz ampliada es:

1000

1100

1210

1111

'

2a

aA

Caso A) Sistema Consistente – Determinado.

Para que el sistema posea solución la característica de 'A debe ser igual a tres (3)

para que eso suceda :

012 a 1a

Caso B) Sistema Inconsistente

Cuando 1a el sistema no tiene solución, porque 'ArAr

En este caso decimos que el sistema es Inconsistente o incompatible.

18



Unidad 5

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 1. UNIDAD 5

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares

Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

I. Completar el cuadro siguiente a partir de los sistemas de ecuaciones lineales.

Sistema Dado

Sistema

dado en

forma

matricial

Matriz de

coeficientes

de las

incógnitas

Matriz de las

incógnitas

Matriz de los

términos

independientes

Matriz

ampliada.

1)

3332

5453

32

zyx

zyx

zyx

2) 41062

253

zyx

zyx

3)

538

439

24274

1065

zyx

zyx

zyx

zyx

4)

036

054

0

zyx

zyx

zyx

5)

03452

0

0

uwzyx

uwzyx

uwzyx

19



Unidad 5

II. En los siguientes sistemas :

A) Exprese en forma matricial

B) Resuelva usando Gauss.

C) Seleccione tres sistemas y resuelva usando Gauss-Jordan

1) 2) 3)

3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 8

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 14

4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 3

4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 11

4) 5) 6)

2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 184𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 24

3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4

2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 184𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 24

2𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 = 30

3𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 = 92𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 6

−𝑥 + 16𝑦 − 14𝑧 = −3

7) 8) 9)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 74𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4

6𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 20

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 114𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 10

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 43𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 7

10) 11) 12)

𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑤 = 42𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 = 6

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 74𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4

2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0

3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 36𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 − 2𝑤 = 5 9𝑥 − 8𝑦 − 5𝑧 + 2𝑤 = 2

6𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1

13) 14) 15)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 04𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 06𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0

2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 04𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 03𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0

𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 03𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0

−𝑥 − 11𝑦 + 6𝑧 = 0

A partir de los sistemas Asignados complete cada columna

Sistema Dado Forma escalonada del

sistema de ecuaciones

lineales.

Sistema Equivalente Solución

del sistema

1)

2)

20



Unidad 5

III. En cada uno de los sistemas dados, aplique el Teorema de Rouché-Frobenius.

Identifique si los sistemas son compatibles o no. De su solución si es

compatible determinado y una solución si posee infinitas soluciones.

1) 2) 3)

3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 8

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 14

4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 3

4𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 10𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1

5𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 11

4) 5) 6)

5𝑥 + 3𝑦 = 13𝑥 − 4𝑦 = 18

8𝑥 + 7𝑦 = −5

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 43𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −3

𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 9

5𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = −104𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧 = 24

9𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 48x + 3y − z = 5

7) 8) 9)

3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 36𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 − 2𝑤 = 5 9𝑥 − 8𝑦 − 5𝑧 + 2𝑤 = 2

6𝑥 − 4𝑦 − 4𝑧 + 𝑤 = 1

𝑥 + 𝑦 − 2 𝑧 + 4𝑤 = 102𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑤 = −3 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 64𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 + 6𝑤 = 16

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 𝑢 + 3𝑤 = −52𝑥 − 7𝑦 + 6𝑧 + 4𝑢 − 5𝑤 = 32𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 − 3𝑢 + 5𝑤 = 3

10) 11) 12)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1

−4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0

−𝑥 + 6𝑧 = 0

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −22𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 8

2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = −3

13) 14) 15)

4𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 63𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 4

5𝑥 − 3𝑦 − 3𝑧 = 5

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −3𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 9

4𝑥 − 𝑦 + 4 𝑧 = 22𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 27𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = 5

16) 17) 18)

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 82𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 5𝑤 = −13 −𝑥 + 6𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 1121𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 − 2𝑤 = 0

𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 4𝑤 = 102𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑤 = −3 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 64𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 + 6𝑤 = 16

−3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 2𝑤 = −36𝑥 + 4𝑦 − 8𝑧 + 4𝑤 = 6 −2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 5𝑤 = 1

8𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 − 𝑤 = 5

21



Unidad 5

19) 20) 21)

3332

5453

32

zyx

zyx

zyx

1032

44

1132

zyx

zyx

zyx

495

1332

652

zyx

zyx

zyx

22) 23) 24)

1446

22589

52366

343

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

538

439

24274

1065

zyx

zyx

zyx

zyx

35342

354672

5332

wuzyx

wuzyx

wuzyx

25) 26) 27)

452 zyx 41062

253

zyx

zyx

3332

5453

32

zyx

zyx

zyx

A partir de los sistemas Asignados complete cada columna.



lineales.


del

sistema

1)

2)

3)

4)

22



Unidad 5

IV. ¿En cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos se presentan

soluciones no triviales? Indique el caso en donde sólo se posea solución trivial.

1) 2) 3) 3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 02𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 04𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 06𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0

2𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 04𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 03𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0

4) 5) 6)

𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 03𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 0

−𝑥 − 11𝑦 + 6𝑧 = 0

5𝑥 − 6𝑦 − 4𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 03𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 + 𝑢 = 0𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 + 𝑢 = 0

2𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 − 3𝑤 − 𝑢 = 0

7) 8)

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 0

−5𝑥 + 13𝑦 − 10𝑧 = 0

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 04𝑥 − 2𝑦 + 7𝑧 = 0

A partir de los sistemas Asignados complete cada columna.



lineales.


del

sistema

1)

2)

3)

4)

23



Unidad 5

V. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales mediante:

a) Matriz inversa.

b) Eliminación de Gauss.

c) Gauss-Jordan.

1)

1032

44

1132

zyx

zyx

zyx

2)

495

1332

652

zyx

zyx

zyx

3)

1446

22589

52366

343

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

VI. Resuelva usando matriz inversa, si es posible.

VII. Determine el valor del parámetro k de modo que el sistema dado sea

consistente determinado

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = −10

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −9

7

4

5

421

331

321

z

y

x

24



Unidad 5

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 2. UNIDAD 5

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares

Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se

plantea en cada caso.

1. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , A corresponde a la matriz:

a) De Incógnitas b) Coeficientes de incógnitas c) Termino Independiente d) Ninguna Anterior

2. Una sistema es homogéneo cuando:

a)El resultado es un numero entero b) Termino independiente es distinto de cero

c) Termino independiente es cero d) Posee infinitas soluciones

3. Un sistema homogéneo escalonado que posee igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene :

a) Solución No trivial b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior

4. Un sistema homogéneo escalonado que posee número de ecuaciones menor que el número de

incógnitas tiene :

a) Solución única b) Infinitas soluciones c) Solución Trivial d) Ninguna Anterior

5. Un sistema no homogéneo escalonado que posee igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene

:


6. Un sistema no homogéneo escalonado que posee número de ecuaciones menor que el número de

incógnitas tiene :


7. ¿Cómo se llama el método que permite reducir la matriz ampliada a la forma escalonada :

a) Gauss-Jordan b) Rouche Frobenius c) Cramer d) Gauss

8. Un sistema homogéneo de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B posee:

a) A = 1 b) B = 0 c) B≠ 0 d) Ninguna Anterior

25



Unidad 5

9. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , X corresponde a la matriz:


10. En un sistema de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B , B corresponde a la matriz:


11. Un sistema no homogéneo de Ecuaciones Lineales de la forma AX = B posee:

a) A = 1 b) B = 0 c) B≠ 0 d) Ninguna Anterior

12. un sistema de ecuaciones posee solución única si:

a) Número de ecuaciones es igual al número de incógnitas

b) Número de ecuaciones difiere del número de incógnitas

c) Número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas

d) Ninguna Anterior

13. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de Ecuaciones lineales tenga solución según el

Teorema de Rouche –Frobenius es que:

a) Tenga solución única

b) La matriz ampliada y la de los coeficientes tengan igual rango

c) La matriz ampliada y la de los coeficientes difieran en el rango

d) Posea infinitas soluciones

14. El método que reduce la matriz ampliada a la forma escalonada reducida es:

a) Teorema de Rouche Frobenius b) Equivalencia de Sistemas c) Gauss-Jordan d) Gauss

15. La matriz que formamos agregando la columna formada por los términos independientes a la matriz

de los coeficientes del sistema es la matriz:

a) Adjunta b) Cofactores c) Coeficientes del sistema d) Ampliada

16. ¿Cuál es la solución del sistema 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7

a) (x, y ,z) = ( 1, 1, 1) b) (x, y ,z) = ( 7/5, 6/5, 2/5) c) (x, y ,z) = ( 1/5, 6/5, 3/5) d) (x, y ,z) = ( 7/5, 1/4, 2/5)

17. ¿ Cuál es la matriz de los coeficientes del sistema 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7

a) [1 2 31 −1 31 1 −2

] b) [1 1 12 −1 13 3 −2

] c) [3 1 12 −1 17 3 −2

] d) [1 3 12 2 13 7 −2

]

26



Unidad 5

18. ¿Cuál es la matriz de los coeficientes del sistema 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 1

2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3

4𝑥 + 2𝑦 − 7𝑧 = 3

a) [1 −1 −53 4 13 2 −7

] b) [1 2 4

−1 4 2−5 1 −7

] c) [3 1 12 −1 17 3 −2

] d) [1 −1 −52 4 14 2 −7

]

19. Un sistema de valores numéricos (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) que satisface las ecuaciones AX=B se llama:

a) Sistema Determinado b) Sistema homogéneo c) Matriz ampliada d) Solución del sistema

20. El rango o característica de la matriz [1 −1 −50 1 11/60 0 1

] es:

a) 2 b) 1 c) 3 d) Ninguna Anterior

21. El rango o característica de la matriz [1 −1 −50 1 11/60 0 0

] es:


22. El rango o característica de la matriz [1 −1 −50 0 00 0 0

] es:


23. Un sistema de ecuaciones y otro análogo en las mismas incógnitas se llaman equivalentes cuando:

a) Difieren en las soluciones b) Toda solución de uno es también solución del otro

c) Toda solución de uno no es también solución del otro d) Ninguna anterior

24. En un sistema AX=B Si se cumple que A es invertible, entonces el sistema tiene:

a) Varias soluciones b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior

25. La solución trivial existe en un sistema homogéneo cuando el número de ecuaciones independientes

es:

a)Al termino independiente b) Igual al número de incógnitas

c) a y b son correctas d) Mayor al número de incógnitas

26. Un sistema de valores numéricos (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) que satisface las ecuaciones AX=B se llama:

a) Ecuación b) Incógnita c) Solución d) Todas las anteriores son verdaderas

27



Unidad 5

27. ¿Cuándo un sistema de Ecuaciones lineales es homogéneo:

a) Cuando sus términos poseen infinitas soluciones b) Al sumar una matriz tenemos una variable

c) Cuando su término independiente es nulo d) Ninguna anterior

28. ¿Qué sistema posee solución única no trivial?

a) Indeterminado b) Determina do c) Homogéneo d) Ninguna anterior

29. ¿Cuál es la matriz ampliada de 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 8

3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1

5𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = −1

a) [2 −1 23 2 −25 3 −3

] b) [2 −1 23 2 −25 3 −3

𝑥𝑦𝑧

] 𝑐) [2 −1 23 2 −25 3 −3

−1−18

] d) [2 −1 23 2 −25 3 −3

8

−1−1

]

30. ¿Cuál es rango de la matriz 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 8

3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1

5𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7

a) 2 c) 3 d) 1 d) Ninguna anterior

31. ¿Cuál es rango de la matriz 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 1

2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 3

3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 4

a) 1 b) 3 c) 2 d) Ninguna anterior

32. ¿Cuál es rango de la matriz 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 1

− 2𝑥 + 2𝑦 + 10𝑧 = −2

3𝑥 − 3𝑦 − 15𝑧 = 3


33. Si en un Sistema de Ecuaciones Lineales el conjunto solución (x, y, z) es (0,0,0) su solución se

conoce como una solución:

a) Inversa b) Compatible c) No trivial d) Trivial

34. El número de variables libres en un sistema de ecuaciones lineales es igual a:

a) Número de ecuaciones más el número de incógnitas

b) Número de ecuaciones menos el número de incógnitas

c) Número de ecuaciones por el número de incógnitas

d) Numero de incógnitas menos el número de ecuaciones

28



Unidad 5

35. ¿Cuál es rango de la matriz 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7


36. ¿Cuál es la matriz traspuesta de la matriz de los coeficientes de: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7

a) [1 1 12 −1 13 3 −2

] b) [3 1 12 −1 17 3 −2

] c) [1 2 31 −1 31 1 −2

] d) Ninguna anterior

37. ¿Cuál es la matriz traspuesta de los términos independiente en el sistema : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7

a) [3 2 7] b) [327

] c) [𝑥𝑦𝑧

] d) Ninguna anterior

38. ¿Cuál es la matriz traspuesta de las incógnitas en el sistema : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2

3𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 7

a) [327

] b) [𝑥𝑦𝑧

] c)[𝑥 𝑦 𝑧] d) Ninguna anterior

39. La solución trivial será solución única en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuando el

número de ecuaciones independientes sea igual a:

a) Número de ecuaciones b) Número de incógnitas c) Número de variables libres d) Ninguna Anterior

40. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 3x – 4y + z = 4

2x + y – 5z = 8

x + 2y + 3z = 14

a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Ninguna anterior

41. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 4x + y -5 z = 10

x -2y + z = 1

5x - y - 4z = 3


29



Unidad 5

42. ¿ Qué tipo de solución posee el sistema dado 4x + y -5 z = 10

x -2y + z = 1

5x - y - 4z = 11


43. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado x + 3y –5z + w = 4

2x +5y –2z + 4w = 6


44. ¿Cuál es la solución del sistema x + y – z = 7

4x – y + 5z = 4

2x +2y –3z = 0

a) ( x, y, z ) = ( -5 , 15,7 ) b) ( x, y, z) = ( 1 , 30,14 ) c) ( x, y, z) = (-9 , 30 , 1 ) d) (x , y, z) = (-9 ,30 , 14 )


2x +5y –2z + 4w = 6

a) Infinita b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial


2x +5y –2z + 4w = 0


47. ¿Qué tipo de solución posee el sistema dado si z= w = 0

x + 3y –5z + w = 0

2x +5y –2z + 4w = 0


48. ¿Cómo se expresa El sistema dado en forma matricial

41062

253

zyx

zyx

a) [1 −32 −6

] [𝑥𝑦] = [

2 −5𝑧4 −10𝑧

] b) [1 −32 −6

] [𝑥𝑦] = [

2 −5𝑧4 −10𝑧

]

c) [1 −32 −6

5

10 −2 −4

] [𝑥𝑦𝑧

] = [00

] d) [1 −32 −6

5

10] [

𝑥𝑦𝑧

] = [24

]

49. La matriz conocida

87

42A posee:

a) Rango tres b) Rango uno c) Inversa d) Determinante cero

30



Unidad 5


84

42A posee:

a) Rango tres b) Rango uno c) Inversa d) Determinante cero


87

42A posee:

a) Rango tres b) Rango dos c) Inversa nula d) Determinante cero

52. Según Rouche Frobenius la ecuación formada por 452 zyx posee:

a) Infinita solución b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial

53. Según Rouche Frobenius el sistema formada por las ecuaciones

41062

253

zyx

zyx posee:

a) Infinita solución b) No tiene solución c) Solución única d) Solución Trivial

54. Al resolver el sistema

1032

44

1132

zyx

zyx

zyx mediante Gauss, Inversa , Gauss-Jordan las soluciones que

obtenemos son:

a) Diferentes b) Semejantes c) Idénticas d) Ninguna anterior

55. Al resolver el sistema

495

1332

652

zyx

zyx

zyx mediante Gauss, Inversa , Gauss-Jordan las soluciones que

obtenemos son:

a) Idénticas b) Semejantes c) Diferentes d) Ninguna anterior

56. ¿Cuál es rango de la matriz

495

1332

652

zyx

zyx

zyx


57. ¿Cuál es rango de la matriz

1032

44

1132

zyx

zyx

zyx


58. Si decimos que dos sistemas poseen la misma solución entonces son:

a) Mónicos b) Equivalentes c) Homogéneos d) Ninguna anterior

31



Unidad 5

59. Si decimos que dos sistemas poseen solución trivial entonces son:

a) Mónicos b) Equivalentes c) No Homogéneos d) Ninguna anterior

60. Si decimos que dos sistemas no poseen solución trivial entonces son:

a) Mónicos b) Homogéneos c) No Homogéneos d) Ninguna anterior

32



Unidad 5

Cuestionario No. 5

Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que

corresponde a cada una.

1. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Cuándo decimos que no es homogéneo?

2. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Cuándo decimos que es homogéneo?

3. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Qué representan: A, X,B?

4. En un sistema de ecuaciones lineales de la forma AX=B Qué representa : A' , y cómo se forma?

5. Cuándo decimos que un sistema de ecuaciones lineales es consistente o compatible?

6. Cuándo decimos que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente o incompatible?

7. Cómo se utiliza el método de eliminación de Gauss?

8. Cómo se utiliza el método de eliminación de Gauss-Jordan?

9. Cómo se identifican las soluciones en los sistemas homogéneos?

10. Para qué se utiliza el Teorema de Rouché Frobenius y en qué se fundamenta su uso?

11. Cuando decimos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes?

12. Ponga algún ejemplo sobre la aplicación o uso de los Sistemas de Ecuaciones Lineales

33



Unidad 5

Bibliografía Consultada

Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición).

Mexico: Thomson Learning Iberoamerica.

Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia:

McGraw-Hill. Interamericana S. A.

Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora

Universitaria UASD. Serie Multitexto.

Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición).

México: Pearson.

Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L. (1998).

Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (Primera edición). México: Pearson.

Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición).

México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A.

Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas (Décima edición). República

Dominicana: Editora Universitaria UASD.

Notas de Cátedra de:

Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior.

Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.

Direcciones Electrónicas: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Sistemas_ecuaciones_lineales_interpretacion/index.htm

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/Indice.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_ecuaciones_lineales

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Sistemas_ecuaciones_lineales_interpretacion/index.htm.%20esprofesorenlinea.cl/matematica/ConjuntosNumericos.htm

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http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_ecuaciones_lineales

unidad5 sistemas ecuaciones lineales_algebra superior_rosa_depena

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