CALCULO SUPERIOR

CALCULO SUPERIOR

Independencia LinealDefinicinDado un conjunto finito de vectores, se dice que estos vectores sonlinealmente independientessi existen nmeros, tales que:

Donde la nica posibilidad que se cumpla esta ecuacin es que dichos escalares sean todos nulos. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes. Ntese que el smbolo a la derecha delsigno igualno es cero, sino que simboliza alvector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales nmeros no existen, entonces los vectores sonlinealmente independientes. La definicin anterior tambin puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.Utilizando conceptos deespacios vectorialespodemos redefinir la independencia lineal as:Un conjunto de vectoresde un espacio vectorial es linealmente independiente siEsta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedadesde los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinacin lineal de los dems.2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambin lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinacin de los dems, escogiendo solamente unos cuantos, no podrn ser combinacin de los otros.3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, tambin lo es todo conjunto que lo contenga.4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y slo si son paralelos.5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependientesi y solo sitiene algn vector que es combinacin lineal de los dems, si metemos este conjunto de vectores en otro ms grande, seguimos teniendo el vector que es combinacin lineal de otros, por tanto, el conjunto ms grande ser linealmente dependiente.Significado GeomtricoGeomtricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma direccin. Esta definicin supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un rea.Tres vectores son independientes si y solo si no estn contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es unacombinacin linealde los otros dos (en cuyo caso estara en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.Elespacio generadopor un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigida por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fcil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusin) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Sinvectores son independientes, el espacio generado es dedimensinn(dimensin en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).EjemploEn el espacio tridimensional usual:

uyjson dependientes por tener la misma direccin. uyvson independientes y definen el plano P. u,vywson dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano. u,vykson independientes por serlouyventre s y no serkuna combinacin lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional. Los vectoreso(vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) ykson dependientes ya queo= 0 kEjemplo del uso de la frmulaf:Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valoresx,yyzque satisfagan la ecuacin:

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

Dado que la nica solucin es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Mtodo alternativo usando determinantesUn mtodo alternativo usa el hecho quenvectores enRnson linealmente independientessi y solo siel determinante de lamatrizformada por estos vectores como columnas es distinto de cero.Dados los vectores:

La matriz formada por stos es:

El determinante de esta matriz es:

Ya que eldeterminantees no nulo, los vectores (1, 1) y (3, 2) son linealmente independientes.

Ejemplo 2SeaV=Rny consideremos los siguientes elementos enV:

Entoncese1,e2,...,enson linealmente independientes. Estos vectores constituyen labase cannicaenR.DemostracinSupongamos quea1,a2,...,anson elementos deRtales que:

Sustituyendoe1,e2,...,enresulta:

Multiplicando:

Sumando coordenadas:

Por lo que se obtiene:As que:

Adems:Pero 0 es un vector, entonces:Por lo queai= 0 para todoien {1,...,n}.Entonces los vectoresson linealmente independientes

Ejemplo 3SeaVelespacio vectorialde todas lasfuncionesa variable real. Entonces las funcionesetye2tenVson linealmente independientes.DemostracinSupongamos queaybson dos nmeros reales tales que:aet+be2t= 0Para todos los valores det. Necesitamos demostrar quea= 0 yb= 0. Para hacer esto dividimos poret(que es un nmero real diferente de cero, sea cual seat) y restando obtenemos:bet= aEn otras palabras, la funcinbetdebe ser independiente det, lo cual ocurre nicamente cuandob=0. Por lo tanto,aes cero.http://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal

Combinacin linealUnacombinacin linealde dos o ms vectores es elvectorque se obtiene alsumaresosvectoresmultiplicados por sendosescalares.

Cualquiervectorse puede poner comocombinacin linealde otros que tengandistinta direccin.

Estacombinacin lineales nica.

Vectores linealmente dependientesVariosvectores libresdel plano se dice que sonlinealmente dependientessi hay unacombinacin linealde ellos que es igual alvector cero, sin que seancerotodos loscoeficientesde lacombinacin lineal.

Propiedades1.Si variosvectoressonlinealmente dependientes, entonces al menosunode ellos se puede expresar como combinacin linealde los dems.

Tambin se cumple el reciproco: si unvectorescombinacin linealde otros, entonces todos losvectoresson linealmente dependientes.2.Dos vectores del plano sonlinealmente dependientessi, y slo si, sonparalelos.3.Dosvectores libresdel plano= (u1, u2) y= (v1, v2) sonlinealmente dependientessi sus componentes son proporcionales.

EjemploDeterminar los valores de k para que seanlinealmente dependienteslos vectores,y. Escribircomo combinacin linealdey, siendo k el valor calculado.Los vectores sonlinealmente dependientessi eldeterminantede la matriz que forman esnulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientesVarios vectores libres sonlinealmente independientessi ninguno de ellos puede ser escrito con unacombinacin linealde los restantes.

a1= a2= = an= 0Losvectores linealmente independientestienendistinta direcciny suscomponentesno sonproporcionales.

EjemploEstudiar si sonlinealmente dependientes o independienteslos vectores:= (2, 3, 1),= (1, 0, 1),= (0, 3, 1)a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, 1) = (0, 0, 0)

r = 2n = 3Sistema compatible indeterminado.El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores sonlinealmente dependientes.BaseTres vectores,ycondistinta direccinforman unabase, porque cualquiervectordel espacio se puede poner comocombinacin linealde ellos.

Lascoordenadas del vectorrespecto a labaseson:

Base ortogonalUnabaseesortogonalsi los vectores de la base sonperpendicularesentre s.Base ortonormalUnabaseesortonormalsi los vectores de la base sonperpendicularesentre s, y adems tienenmdulo 1.

Esta base formada por los vectores,yse denominabase cannica.EjemploPara qu valores dealos vectores,yforman unabase?

Para a 1, losvectoresforman unabase.http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html

http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/chema/documentos/Algebra%20Lineal/Algebra_lineal_7.pdf

Determinantes

Determinante de orden uno|a11|=a11Determinante de orden dos= a11a22 a12a21Determinante de orden tres=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.

Regla de SarrusLos trminos con signo + estn formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice opuesto.

Los trminos con signo estn formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vrtice opuesto.

Menor complementarioSe llama menor complementario de un elemento aijal valor del determinante de orden n1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.AdjuntoSe llama adjunto del elemento aijal menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es si i+j es impar.El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una lnea por sus adjuntos correspondientes:

Determinante de orden superior a tresConsiste en conseguir que una de las lneas del determinante est formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdr 1 n 1 .Seguiremos los siguientes pasos:1Si algn elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos lneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor nmero posible de elementos nulos).2En caso negativo:1Nos fijamos en una lnea que contenga el mayor nmero posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa lnea sea un 1 n 1 (operando con alguna lnea paralela ).2Dividiendo la lnea por uno de sus elementos, por lo cual deberamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor comn en una lnea de uno de sus elementos.3Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.4Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

Propiedades de los determinantes1|At|= |A|2|A|=0 Si:Posee dos lneas igualesTodos los elementos de una lnea son nulos.Los elementos de una lnea son combinacin lineal de las otras.3Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..4Si en un determinante se cambian entre s dos lneas paralelas su determinante cambia de signo.5Si a los elementos de una lnea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un n real el valor del determinante no vara.6Si se multiplica un determinante por un nmero real, queda multiplicado por dicho nmero cualquier lnea, pero slo una.7Si todos los elementos de una fila o columna estn formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.8.|AB| =|A||B|

Matriz inversa

Rango de una matrizEl rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son tiles para simplificar su evaluacin.En los prrafos siguientes consideramos queAes una matriz cuadrada.Propiedad 1.Si una matrizAtiene un rengln (o una columna) de ceros, el determinante deAes cero.

Ejemplo 1.SeaDesarrollando porcofactoresdel primer rengln se tienePropiedad 2.El determinante de una matrizAesigual al determinante de la transpuesta deA.

Esto esEjemplo 2.SeaLa transpuesta deAes

Propiedad 3.Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matrizAentonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.SeaconIntercambiando los renglones1y2la matriz quedaconNote que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.Propiedad 4.Si una matrizAtiene dos renglones (o dos columnas) igualesentoncesdetA= 0.

Ejemplo 4.SeaentoncesPropiedad 5.Cuando un solo rengln (o columna) de una matrizAse multiplica por un escalarrel determinante dela matrizresultante esrveces el determinante deA,rdetA.

Ejemplo 5.Seacuyo determinante se calcul en el ejemplo 2,Multiplicando el tercer rengln deApor el escalarr= 3 se tiene la matrizBsiguientecuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna deBesPropiedad 6.Si un rengln de la matrizAse multiplica por un escalarry se suma a otro renglndeA,entonces el determinante de la matriz resultante es igualal determinante deA,detA.Lo mismo se cumple para las columnas deA.

Ejemplo 6.Seacuyo determinante se calcul en el ejemplo 2,Multiplicando la segunda columna deApor el escalar2y sumndola a la columna 3 se obtiene la matrizBsiguienteExpandiendo por cofactores de la primera columna se tienePropiedad 7.SiAyBson matrices de, el determinante del productoABes igual al producto de los determinantes deAy deB.

Esto esEjemplo 7.SeanyconyEl productoY su determinanteesEntonces.Propiedad 8.El determinante de la matriz identidadIes igual a 1 (uno)Ejemplo 8.I=detI= (1)(1) (0)(0) = 1

Propiedad9.El determinante de unamatriz singular, es decir, que no tieneinversa, es igual a 0 (cero)Ejemplo 9.J=|J| = (1)(-12) (-3)(4) = -12 +12 = 0Se puede fcilmente comprobar que la matrizJno tiene inversa.Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden.Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fcil de evaluar.Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3,5y6,como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.Calcular el determinante de la matrizAdeSimplificamos el clculo del determinante deAreduciendo por renglonesEntonces, la permutacinP14cambia el signo dedetA, las operacionesynocambian el valor del determinante.De esta formaSe podra seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer rengln resulta fcil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y despus del tercer rengln:http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm

Sistema de Coordenadas CilindricasLascoordenadas cilndricasson unsistema de coordenadaspara definir la posicin de unpuntodelespaciomediante unngulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin del eje.El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienensimetrade tipocilndricooazimutal. Se trata de una versin en tres dimensiones de lascoordenadas polaresde lageometra analticaplana.Un puntoen coordenadas cilndricas se representa por (,,), donde: : Coordenadaradial, definida como la distancia del puntoal eje, o bien la longitud de la proyeccin del radiovector sobre el plano : Coordenadaazimutal, definida como el ngulo que forma con el ejela proyeccin del radiovector sobre el plano. : Coordenadaverticaloaltura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano.

Los rangos de variacin de las tres coordenadas son

La coordenada azimutal se hace variar en ocasiones desde - a +. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah, vuelve a aumentar, pero aumenta o disminuye en radianes.

Relacin con las coordenadas cartesianas

Coordenadas cilndricas y ejes cartesianos relacionados.Teniendo en cuenta la definicin del ngulo , obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilndricas y las cartesianas:

Lneas y superficies coordenadasLas lneas coordenadas son aqullas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilndricas, stas son: Lneas coordenadas : Semirrectas horizontales partiendo del eje. Lneas coordenadas : Circunferencias horizontales. Lneas coordenadas: Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: Superficies =cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies =cte.: Semiplanos verticales. Superficies=cte.: Planos horizontales.Las lneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, ste es un sistema ortogonal.Base coordenadaA partir del sistema de coordenadas cilndricas se puede definir unabase vectorialen cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las lneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el clculo de esta base se obtienen losfactores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilndricas se obtiene que la expresin del vector de posicin en estas coordenadas es

Ntese que no aparece un trmino. La dependencia en esta coordenada estocultaen los vectores de la base.Efectivamente:

Diferenciales de lnea, superficie y volumenDiferencial de lneaUn desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilndricas, viene dado por

Diferenciales de superficieLa expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada.Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,el resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas.En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son=cte:=cte:z=cte:Diferencial de volumenEl volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto deljacobianode la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilndricasElgradiente, ladivergencia, elrotacionaly ellaplacianoposeen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. stas son:Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas

Coordenadas CilndricasEl sistema de coordenadas cilndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.En este sistema, las coordenadasxeyson reemplazadas por un vector dirigido a la proyeccin del punto sobre el planoXYcuya magnitud es igual a la distancia del punto al ejez, la cual es la primera coordenada del sistema. El ngulo de direccin de dicho vector medido con respecto al semiejexpositivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenadazdel sistema cartesiano.En la Figura 6 , pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilndrico de coordenadas.

Figura 6.Sistema de Coordenadas cilndricasEn este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la direccin de un vector. La Figura 7 , ilustra los tres vectores directores del sistema.

Figura 7.Vectores directores del sistema de coordenadas cilndricas.Un vector en coordenadas cilndricas queda definido por:

Dondees la proyeccin radial del vector con respecto al ejezsobre el planoXY,es la componente angular medida con respecto al semiejexpositivo ycoincide con la componente cartesiana del mismo nombre.Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cilndricas siguen una regla de rotacin, la cual se ilustra en la Ecuacin 11 .

Ecuacin11Rotacin en los productos vectoriales del sistema de coordenadas cilndricas.El vector posicin de cualquier punto en coordenadas cilndricas queda definido por:

Los vectoresdel sistema de coordenadas cilndricas, cambian de direccin de acuerdo con la coordenada; a diferencia de los vectores del sistema cartesiano que son constantes e independientes de las coordenadas.Esta caracterstica que se ilustra en el Ejemplo 7 , debe ser tomada en cuenta para la derivacin o integracin directa cuando se involucra la coordenada.Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores unitarios que permiten convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros.En la Ecuacin 12 se muestra la matriz de transformacin de coordenadas cilndricas a cartesianas y en la Ecuacin 13 la matriz de transformacin inversa.Estas matrices fueron obtenidas por el mtodo de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.

Ecuacin 12Transformacin de coordenadas cilndricas a cartesianas.

Ecuacin 13Transformacin de coordenadas cartesianas a cilndricas.

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Sistemas%20de%20coordenadas.htm

Coordenadas CilindricasDefinicin

Las coordenadas cilndricas constituyen una generalizacin de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje), perpendicular al plano, como sigue: La coordenadaradial,, es la distancia (en valor absoluto) del puntoal eje. La coordenadaacimutal,, es el ngulo que la proyeccin del vector de posicin sobre el planoforma con el eje. La coordenada vertical,, es la distancia (con signo) al plano.Los rangos de variacin de estas coordenadas son:

El ngulotambin puede variar en el intervalo[0,2).

es siempre una cantidad positiva

A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienen un signo indicando a qu lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilndrica es siempre positiva.Si nos encontramos en un punto y, sin cambiarni, vamos reduciendolo que hacemos es acercarnos al ejeen lnea recta. Qu ocurre cuando atravesamos el eje? Que a partir de ahvuelve a aumentar, perocambia ao a.

Discos duros

La ubicacin de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver qu tiene que ver esto con las coordenadas cilndricas conviene describir cmo son los discos duros.Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados una distancia fija y grabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay unacabezalectora/escritora identificado por el nmero H, que equivale a la coordenada cilndrica.La distancia al eje de cada disco la da el nmero C, ya que uncilindrolo constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por tanto, C equivale a la coordenada radial.Por ltimo, dados la cabeza y el cilindro, la posicin a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina unapista) se indica mediante elsectorS, que corresponde a la coordenada cilndrica.

Gras

Uno de los ejemplos ms sencillos de uso de las coordenadas cilndricas lo proporcionan las gras. Para controlar la posicin de la carga, es preciso indicar el ngulo de giro de laecha(el brazo de la gra), dado por, la altura a la que se sube la carga (), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la echa ().http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_cil%C3%ADndricas._Definici%C3%B3n