,

Indice General

1 Clculo diferencial

1 Espacios euclidianos 1.1 &pacios vectoriales de dimensin finita 1.2 Norma y distancia . . . . . . . .. 1.3 Producto interior y ortogonalidad. 1.4 La desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.5 Propiedades de la norma . 1.6 El producto vectorial 1. 7 Problemas.........

2 Funciones de dos o ms variables 2.1 Funciones reales y vectoriales 2.2 Rectas en el espacio JR3 2.3 Planos en el espacio 1K3 2.4 Grficas en el plano 2.5 Superficies.... 2.6 Otras superficies. . 2.7 Curvas de nivel . . 2.8 Superficies de nivel 2.9 Problemas.....

3 Elementos de topologa 3,1 Vecindades y conjuntos abi~rtos ....... . 3.2 Puntos de acumulacin y conJunt.os cerrados. 3.3 Regiones.. 3.4 Sucesiones. 3.5 Problemas.

4 Lmites y continuidad 4.1 Nociones bsicas .. 4.2 Una condicin necesaria 4.3 Algebra de lmites. 4.4 Lmites iterados . 4.5 Continuidad...

3

7

9 9

10 13 18 20 20 22

27 27 30 32 34 36 39 41 44 46

49 49 52 56 58 61

65 65 71 74 75 77

4

5

4.6 AIgebra de funciones continua.s. 1.7 Clases de funciones cominua" 4.8 Problemas

Derivadas parciales 5.1 Nociones bsicas 5.2 Interpretacin geomtrica ... .5.:3 Derivadas parci,les de orden superior. 5.4 Frmula de Taylor en varias variables .5.5 lVlxmos y Mnimos 5.6 Criterio del hessiano 5.7 Problemas

6 DiferenciabiUdad 6,1 Derivada, diferencial y diferenciabilidad 6.2 Interpretaciones geomtricas.

6,2.1 De la diferencial .... 6.2.2 De la difereneiabilidad .

6.3 Diferenciabilidad y continuidad 6.4 Funciones vectoriales diferenciables 6.5 Funciones clase Cn(G) 6.6 Problemas.

7 Algebra de derivadas 7.1 Derivada de la suma, producto y cuociente . 7.2 La regla de la cadena,. ., ... . 7.3 Gradiente , ..... , .... '.

,,7.4 El gradiente y la;; superficies de nivel 7.5 Derivada direccional

/7.6 Problemas ..

8 Funciones implcitas e inversas 8.1 Funciones implcitas ... , , 8.2 Funcones nversas . 8.3 Multiplicadores de Lagrange . 8.4 Problemas ..,.......

9 Clculo de variaciones 9.1 El mtodo de las variaciones .

II Clculo Integral

10 La Integral mltiple de Riemann 10.1 Integracin sobre rectngulot> lO.2 Integracn sobre regiones acotadas , 10.3 El teorema ,le Fubni en rect.ngulos

NDICE GENERAL

81 81 85

91 91 93 93 98

101 104 111

115 115 118 118 119 122 123 125 129

133 133 135 138 139 141 143

147 147 156 162 170

177 . 180

183

185 185 187 190

NDICE GENERAL

10.4 El teorema de Fubini en regones acotadas 10.5 Descripcin de regiones en ;;2 y jR3 10.6 Cambio de variables

10.6.1 Coordenadas esfrica>, 10.6.2 Coordenadas cilndricas 10.6.3 Coordenadas polares 10.6.'1 Otros cambios de vari&bles

10.7 Centroidf'B y momentos de inercia. 10.8 Integrales impropias 10.9 Problemas

III Clculo vectorial

11 Integrales de lnea 11.1 Curvas y definiciones bsicas ................. . 11.2 Campos vectoriales conservativos e independencia del camino 11.3 Funcin potencial ........... . 11.4 El Teorema de Creen en el Plano .. . 11.5 Dominios pianos simplemente conexos 11.6 Las identidades de Creen ...... . 11. 7 Forma vectorial del teorema de Green 11.8 Regiones multiconexas . 11.9 Integrales de trayectoria 11.10Problemas .. , . , . ,

12 Integrales de superficie 12.1 Definiciones bsicas, 12.2 Teorema de la Divergencia de Gauss 12.3 Teorema del rotacional de Stokes 12.4 Campos conservati'/os en ]R3, 12.5 Problemas

13 Certmenes 13.1 Ejemplos de Certmenes 13.2 Ejemplos de Problemas de Certmeneb

13.2.1 Miscelnea ......... . 13.2.2 Lmites ..... 13.2.3 Derivadas y planos tangentes 13.2.4 Taylor ....... . 13.2..'5 Funciones Implcitas 13.2.6 Mximos y Mnimos 13.2.7 Integracin mltiple 13.2.8 Integrales de lnea y superficies

14 Respuestas a Problemas Seleccionados

5

194 196 201 203 207 208 209 211 217 220

223

225 225 232 232 233 238 239 241 241 243 245

247 247 253 254 255 256

259 259 263 263 268 269 280 284 285 293 304

315

6 NDICE GENERAL

Prefacio

Este texto est dirip;ido a aquellos estudiar;tes de ciencias e ingeniera que necesitan dominar. en un semestre. el clculo en varias variables, incluyendo la seccin que usualmente recibe el nombre de clculo vectorial constituido por integrales mltiples, integrales de lnea e integrales de superficie y cuyos princi-pales resultados son los teoremas de Green, Gauss y Stokes,

En esta segunda edicin se aument el nmero de problemas, se agreg una seccin de respuest.as y un ndice temtco.

Para t.erminar esta pequea pr(;'''3entaci6n deseo agradecer la confianza y co-laboracin de todos aquellos colegas que han usado este texto en sus respectivas aulas y en especial a todos mis alumnos que se dedcaron a estudiar el texto y tuvieron la gentileza de informarme sobre los errores encontrados, sobre los cuales, al menos tengo la seguridad que esta segunda edicin tiene menos que la anterior,

Finalmente, como siempre, deseo tambin expresar mis agradecimientos al Sr. Sergio Daz Henriquez, encargado del sistema de reprografas de nuestro Instituto.

Valparaso, Agosto 2002. El autor

Parte 1

Clculo diferencial

.., ,

Captulo 1.

Espacios euclidianos

La idea de distancia en ~71 es un concepto fundamental, te,nto para el estu-dio de las propiedades geomtricas de lRn as como tambin para el estudio del clculo ya que os conc.~ptos bsicos relacionados eOIl e,;ta materia, conceptos tales como lmites, continuidad, diferenciabilidad, integmbildad, etc, de una u otra manera estn relaci.onaclos con la nocin de distancia (al menos en el es-pacio ]Rn). Comenzaremos definiendo en primer lugar el espa~io usual sobre el cual trabajaremos, esto es el espacio vectorial]RTI, cuyos elementos los denomi-naremos usualmente ve,~tores. Luego definiremos dos nociones bsicas que se relacionan con estos vectores: la no'rma de un vrctor y el producto interi.or en-tre vectores. Finalmente daremos, en base a este concepto de norma, nuestra definicin de distancia. El espacio R,n, junto con su estructura de espacio vec-torial, su producto interior, su norma y su distancia, forman una estructura conocida como el espaczo eucldeo lRlI .

1.1 Espacios vectoriales de dimensin finita El espacio vectorial (lRn , +, -), el cual para mayor simplicidad denotaremos sim-plemente por ]Rn (se pronuncia ern-ene) es el conjunto formado por las n-upIas o n-arreglos ordenados:xl.X2,X3)." ,xn ) de lltlmerOS realES. Estos arreglos los denotaremos por letra,> destacadas, como por ejen~pio x. JI.s, escribiremos:

Asociado a este cOlljunto de arreglos consideraremos dos operaciones algebraicas: la operacin suma, defidda de la mallera usual:

(Xl, X2, ,:Z:n) + (Yl' Y2, ,y,J = (Xl + Yl, ,T2 + Y2, .. , :;n + Yn) , y la operacin producto por escalar:

9

JO CAPiTULO.!. E:iPACIOS EUCUDIASOS

b cual an(Jtareno.'; sinmlemente ((miO 0. (.r1 .. rz .. " .. T,,) vale decir, sin el punto ,. ," (no confunda el producto por escalar COlI el concepto de producto interior entre vectores que '/eremos mRs addantcL L conjunto ]R." junto con estas dos operaciones 8wna y vrodUdo por f;.~caiar, con amba,,; operacioIlf;S sujetas a las propiedad:oi algebraicas u:suaJes. forrnau lo qile :o:e conoce como el espacio \'ectorial (~~n. -r. '), Las operaciones aigebraica" asociadas slo con la suma son:

(a + b) + c = a -t- (b + e) fsociatividad de la suma Existencia de la Identidad Existencift de Inversos C'ollmutatividad

(30 E ~n)('v'x E: tt")(x -t-O = x~ (\7'x E R,")(3-x E::;;''')(x + (--xi c::: O) (\fx E. ~n)(\fy E R")(x..,...y = y -1- x)

La:s propiedades algebmica:s asociadas con la sum

1.2. ;VORMA Y DISTA.NeJA 11

es el valor d(x, y) definido por:

Observacin 2

a) Observe que hemo3 hablado del vector x = (Xl, X2, . .. , X n ) perteneciente al espacio vectoriallRn y del punto (Xl, X2 . .. , J'n) del espacio carte-siano ~n. A pesar que estos dos objetos se describen del mismo modo, vale decir por el f.-arreglo (:1.'1, X2, ... ,Xn ) ellos representan objetos con-ceptualmente distintos: en el primer caso, el vector (Xl, X2, ... , Xn ) es un objeto matemtico que puede ser representado por medio de una flecha libre en el espacio cartesiano ]Rn (recuerde la expresin vectores libres). Por ejemplo el vector (4,7,3) puede ser representado por medio de una flecha que parte :por ejemplo) del punto P = (5, -3, -4) Y termina en el punto Q = (9,4, -1), pero del mismo modo tambin puede ser repre-sentado por la flecha que parte del punto R = (3 - 8,1) Y termina en el punto S = (7, -l, -1). Este vector (-1, 7,3) usualmente lo representaremos mediante una letra en "negrita" o a travs de un medio ms descriptivo como flechas. Por ejemplo escribiremos x = (4,7,3) PQ = (4,7,3) o tambin R:S = (4,7,3). Cualquiera de estas notaciones representa el mismo vector.

En cambio, cuando hablemos del punto (4,7,3) este tro ordenado tendr una nica interpretacin como las coordenadas de un "lugar" o "punto" en el espacio tridimensional. o sistema cartesiano, en donde X = 4, Y = 7 Y z = 3, Y hablareffio)s simplemente del punio P = (4,7,3) yen estos casos usaremos letras mayscuias y normalp.s para su denominacin.

Por consiguiente, como un r:-arreglo (Xl, X;., .. ; x,,) puede ser considerado como un vector o ,~omo un punto, convendremos en usar letras minsculas y en "negritas" En el primer caso y letras normales y maysculas en el segundo.

b) Observe que si tenem03 dos puutos en el espacio ~3, por ejemplo p = (x,y,z]) y P2 = (X2,Y2,Z2), entonces cualquier otro punto sobre el seg-mento lineal que une ambos puntos extremos tiene las siguientes compo-nentes:

en donde t. es un nmero real (parmetro) que vara en el intervalo [O,lJ. Por ejemplo, si t =: 0, se obtiene (x,y,z) = (x},ll1-zd es decir, el punto inicial Pl y si t = 1, se obtiene (:r, y, z) = (X2, Y2, Z2) es decir, el punto final P2 . Si~c se obtiene justamente las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos anterior~'i. Para entender mejor esta idea, el lector puede ver la Definicin 88 en la pgina .')6.

12 CAPTULO 1. ESPACIOS EUCLIDIANOS

c) Observe tambin que en ,,] caso en que Re corresponda a ]!tI, JltZ o ]!t3 la distancia definida entre 1m; vectores x e y no es ms ni menos que la distancia ordinaria (usual j que hpy entre estos dos objetos considerados como puntos en sus respectivos espacios. Por ejemplo, en el caso en que ]!tI = ]!t, la distancia corrc~pond!ente es:

d(x, y) = v1x - y)'2 = x- YI En el caso de ]!t2 = Jlt x I.~, ].3, distancia entre el vector x =(XI,XZ) y el vector y = (Y1., yz) corresponde a la distancia cartesiana usual entre el p'unto (Xl,XZ) y el punto (YI,YZ) dist.ancia que, obviamente podemos calcular usando el teorerlla de Pitgoras, vale decir,

d) De la mL .. ma manera, tambin es posible usar el teorema de Pitgoras para demostrar que la distancia ordinaria entre el punto (Xl,XZ,X3) y el punto (Yl,YZ,Y3) de JR3 , est dada por:

valor que obviamente coincide con el dado por la definicin de distancia entre los vectores x =(Xt,J;2,:r:3) e y =(YI,YZ,Y3).

e) Es costumbre, cuando se trabaja en el espacio euclidiano tridimensional usual, vale decir en Jlt3, denotar las coordenadas de un vector x usando las letras x. y y z, vale decir, escribir x =(x,y,z). Si tuvisemos otro vector, digamos y E Jlt3 , entonces para diferenciar las respectivas coordenadas usamos un subndice para el primer vector y otro subndice para el segun-do. Por ejemplo podemos escribir: x = (X'Yl'Z) e Y = (X2,Yz,ZZ). En el caso en que tengamos ms variables, como por ejemplo si x E ]R.6, es-cribiramos Jos elementos dei arreglo usando slo una letra, pero haciendo variar los subndice:;: X=(Xl,X2,x3,:r4,x5,Xe).

f) Tambin, cuando se trabaja en el espacio euclidiano]R3, es usual denotar el vector x =(x, y, z) mediante la expresin xi+yj+zk, en donde las letras i, j y k representan los vectores (1,0, O), (O, 1, (1) y (0,0, 1) respectivamente. Esta es simplemente la representacin de x en t,rminos de la ba

1,3, PRODUCTO INTERIOR Y ORTOC;O,\'ALIDAD 13

Solucin. Si (x,y) E A, debe cumplirs que d((x,y). (0.0)) = 4, lo cual es equivalente a:

d((x,y), (0,0)) = /(x - 0)2 --r (y - 0)2 = 4.

Eliminando la raz se tiene x2 + y2 = 16, ecuacin que corresponde a una circunferencia de radio 4, centrada en el origen.

Ejemplo 5 Encontrar todos aque!ios puntos que se encuentran a 6 unidades del punto (eL -2).

Solucin. Como.

d((x. y)' (4, --2)) = /(x - 4)2 + (y + 2)2 = 6,

se tiene que:

(:r - 4)2 +- (y + 2)2 = 36, lo que ciaramente corresponde a la ecuacin de la circunferencia de radio 6 centrada en el punto (4, -2).

Ejemplo 6 Identifique los siguientes conjwdos:

A. ((x,y) E:i2 : d((;r',y). (3,7)) < 2} B ((:r,y,z) E:i~: d((x.y,z),(5,:3.7)) < 7} e ((x, y) E]R2 : d((x,y), (3. 7) ~ 2}.

Solucin. La condicin d((X,b), (:3, 7)) = 2 es equivalente a la ecuacin (x - :3)2 + (y - 7)2 = 4. ]a que representa una circunferencia de centro (3,7) Y radio 2, que divide el piano en dos regiones. una interior y la otra exterior a dicha circunferencia. Observe que la parte interior corresponde precisamente al conjunto A .r la parte exterior, junto con Jos puntos sobre la circunferencia corresponden al conjunto C.

En forma totalmente amllogR tenemos que d((x,y.z),(5,3. 1)) = 7, corres-ponde al casquete esfrico de radio 7 centrado en (5,1,7) Y cuya ecuacin carte-siana es (x-5)2+(y-:3)2+(z_7)2 = 49. Por lo tanto B corresponde al conjunto de puntos (interiores) de la esfera de radio 7 centrada en el punto (5,3,7) menos los puntos en la frontera.

1.3 Prod lleta interior y ortogonalidad La distancia euclidiana d definida arriba, es un caso particular de lo que se denomina una mtrica. Este concepto de mtrica puede ser aplicado a otras situaciones, por ejemplo si consideramos el conjunto CrOo ir) que consiste de todas las funciones continuas definidas en el intervalo [O. Ti) podramos definir una

14 C'APTL'LO 1. ESPACIOS EUCLlDI/uVOS'

distancia o mctnca entre dos fuuciones f y .Q de este conjunto de la manera siguiente:

drc(f,g) = lJ1ax{f\x) - g(:r) : T C: [O 'Ir]}, (1.1) Hay mucbas ms posibilidades, por ejemplo ia distallci,-t d t :

r" di (l,!f) =ce I (f(:1") - i/(J:)/rf;:

JO

o la distancIa dz einida por:

Todas estas distancIas cumplen con jI'\.'; propiedade; listadas en Problema 1 en pgina 22 y por consigUIente todas reciben el nombre de mtricas o distancias. Cada una de ella", tJene su lItiliddd, por ejemplo, escribir:

significa que esTamos exigiendo que, para cada valor de x E [0,1f], la diferencia cutre ICe) y y(.r) vare slo elltre -1 y +1. En cambio, si escribimos que:

ddf.g) S; 1,

estamos exigiendo que el rea totk,J entre las gnHlcas de f y 9 sea menor que la unidad.

Finalmente, si escribimos:

estamos exigiendo que el promedio radical cuadrtico del rea entre las grficas de f y 9 sea rnenor que la unidad.

l' no de los objetiwJ:' que se tif'!lf' eli mente cuando se usa una mtrica de-terminada tiene qm> ver con el tipo de soluciones que se desc

1.3. PRODUCTO INTERIOR Y ORTOGONALIDAD 15

de la norma, listadas en la Proposici6ll 18. Pero, como podr darse cuenta el estudiante perspicaz, esto es equivalente a trasladar el problema de la mtrica a la norma. lJna solucin a ~"1;e problema consiste en IIsar normas que a su vez estn definidas en base a lo que se denomin

16 CAPTULO 1. E~PACIOS EUCLIDIANOS

Figura 1.]: Proyeccin IInx del n:ctor x a 10 largo del \'ector unitario n.

Definicin 9 Sean:x 11 n dos 1!pctons en m:.'! con n vECtor unitario. El vector:

!lnx = ~x, n) n, correspondiente (L la componente ortogonal dEl ,;eetol' x en la diru:cin y sentido del vector n, se C01WCt como "pryecr'ion ortogo71al df: x a lo largo dEl vector n" (vea Ftgura 1.1).

Proposicin 10 Sean x y n dos Jectores en]S.:; con n vector' unitario, Entonces

IIHnx!i = l(x. n)[ Delnostracin. E" un8 cons('l'ucncia directa de la definicin puesto que el

vector n es unitario,

Proposicin 11 8eJI x Entonce8.

(.r,j.':l) (y

Demostracin. Consideremus d trillgul() determinado por el origen () = (0,0,0) y los vrtices F = (;[,!.'1,2I! y Q = (1'2.YZ, z) (ver Figura 1.2).

Ob",erve ahora que la distallc ia desde () hasta P es justamente igual a !lxll, la distancia entre () y Q es !!yl: y]a dbtancia ent.re P y Q es Ilx - yll, Por otra parte (! correspoJl(le al .ng;ulo eleterminado por los lados con vrtice comn O. En consecuenci

1.3. PRODUCTO INTERIOR Y ORTOGOSA.LIDAD

/. // i ,,:'

Figura 1.2: Demostracin dE' la Proposicin 11.

Igualando amba.,> expresiones se tiene: ,-----------------

/(Xl - x2)2 + (Yl - Y2)2 + (Z1 - z2F = y'!lxp2 + ilYli2 - 211xli Ilyll cosO.

Elevando al cuadrado y despejando :2lixllllyli cosO, obtenemos: 2 !lxlllly!1 cos O

Finalmente. dividiendo por 2, conrluimos que:

lo cual termina la demostracin. _

17

Corolario 12 Dos vectores no mt!c:i en :;t;' son ortO!lonalfs (perpendiculares) si y slo si (x, y! = O. Esto es:

Demostracin. De acue!"do ? ia ProjlO.,,)lcin anterior se tiene que:

por lo tanto, como x .1. y si y slo si O = 7T 2, se concluye que x .1. y si y slo si (x, y) = O. es decir si y slo si XIX:z + VIY2 -+- 2122 = O. Esto termina la demostracin.

Observe que si x = (x, y, z), entonces: lixr2 = X2 -+ y2 + 2 2 = (x,x).

Esta propiedad se utilizar p,">.ril. demostrar la desigualdad triangular de la norma dada en Proposicin l~.

18 CAPTrLO 1. E,'-,'PACIOS EUCLIDIANOS

\ .. /1'

o; l'

Figllra 1.:3: Ejemplo 1:3

Ejemplo 13 EnC1J,rntre in dlsflm,:ia (mJnima) que hay entre el punto A = (5, lO) Y la recta que pasa por fI o;'igen de cooi'denadas y tiene la mzsma di-TeCCl(J/l. qlle el vector v = 4i -!- :3j (uea Figm'a 1.3).

Solucin. Dp, acuerdo al Corolario 12 se t.iene que -3i + 4j es ortogonal (perpendicular) a v = 4i + :3j. Luego, un vector unitario en la direccin que va desde el punto P llast, el punto A e:,;,t dado por n = (-ai + 4j) /5. Por lo tanto. de acuerdo a las Proposiciones 10 y 11. se tiene que la distancia buscada es:

d = (5i + lOj) . (-3i + 4j) /51 = 1-15 + 401/5 = 5.

1.4 La desigualdad de Cauchy-Schwarz Adems de la relacin lixll L = (x, x\ " existe otra relacin entre la norma y el producto interior llamada desiguaklad de Cauchy-S'chwarz:

Proposicin 14 Sean x = (Tj.(jl . .:::J) f y = (;;2,!/2,Z2) dos vectores en :R3 . Entonces se cumple la df..,g'1lcld()d d( Callchy-,c'chwarz:

I(x.y)! S !lxllliYil Demostracin. Recn;;rde q!le eos 81 :S 1. En realidad esta desigualdad tambin es vlida en iRn . Para demostrar este

aserto, primero debemos definir producto interior en este espacio ms general, de modo tal que esta definicin coincida con in clacla anteriormente para el caso particular de :;(3. Esto es simple de hacer ya que hemos demostrado que en ]R3 se cumple la igualdad (x. y) = :r] :];2 -l- .IhY2 + Z1 Zz. Por consiguiente tenemos la siguiente definicin:

Definicin 15 Swn x = (:C).,L'!..G:, .... ,.1,,) e y = IjJl,:1J2.Y3, .... Yn) dos vec-tons en JRn. Diremos (ir 811 producTO mtrnor \x, y; est definido por la si-g1L'wnie iguald.d:

1.4. LA DESIGUALDAD DE CAUCHY-S('J-n\~4.RZ

Proposicin 16 El prod1icto interior:

cumple con las sLguientes propiedadfx

1) (X+Y1Z)==(X.z)+~y~z) 3) (x,y) = (y,x) ;) (x,x)=Ox=O

Demostracin. Ejercicio.

2) (QX, Z) = el': (x, z) 4) (x, x) 2 O 'J' 1';X"I'I'2 - X X\ .! I - \ , l'

19

Proposicin 17 En::in el producto interwT i,X, YI tambzn cumple con la de-sigualdad de Cauchy-Schwar::.:

I (x, y) I ::;; Ilxll i!yil la cual, expresada usando coordenadas, es equivalente a:

Demostracin. Debido a que cualquier nmero real (positivo o negativo) elevado al cuadrado en mayor o igual a cero, se deduce que para todo x E JI{ se cumple:

TI, n n n

O < )XXk -- Yk)'2 = x2 LX~ - 2x LXkYk + LY~ k=l k=",. k=l k=l

'2 :.l '2 x Ilxll - 2:[, (x, y) + liyil "

Observe que hemos llegado a que para todo x E lR, se cumple la desigualdad:

en donde A = Ilx!)2: 13 = (x, y) y e = Ilylt 2 . Esto significa que el grfico de la curva:

es una p8rbola abierta hac;a arriba y corta al eje de la" x a lo ms en un punto (ya que "icortara en dos puntos distintos, la parte de la parbola que quedara entre estos dos puntos asumra valores negativos, lo cual contradecira el hecho que x2 A - 2.rB + e :2: 0, para todo :r real). Por lo tanto, recordando la relacin que existe entre el discriminante de una ecuaci6n de segundo grado y el nmero de soluciones, deducimos que dicho discriminante debe ser menor o igual a cero. Esto es:

4B2 - 4AC ::; O.

20 C'H'T[LO 1 ESPACIOS FUCLIDL1NOS

Por lo tanto, dividipndo por 1. f'I)tPilC!l()" que.

Extrayendo race; c\ladradas y' re'ordando que A. y e ~Oll mmeros no negativos, se deduce que iB! :S ,//1\10. ,'alt" decir !(x.y)! :S ilxl! Ilyli Etito termina la Jel1lQstracin.

1. 5 Propiedades de la norma Proposicin 18 La norma P,1l j;' ,al:sJUtC la,; siglJ.'ienles proplCdadf8:

1. !ix112 0, !!xli =0 x=O con x E ::in. 2. IICl:xl1 = lal [!xli con (1 E: ~~ Y x E :A" :J. Ilx + yll ~ !Ixll + Ily!1 con x, y E];". (Desigualdad t1'iangular) DemostraCno La demostracIn de las propiedades 1 y :2 queda como

ejercitacin. Nosotros slo nos limitarc;mos a la dell10stracin de la desigualdad triangular.

De acuerdo a la proposicin anterior ,Y a la de,.;igualdad general de Cauchy-Sch'warz. se tiene:

Ilx + Y 11:1 (x + y, x +- YI = {x. x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) l!xi!2 + iyl2 +:2 (x.Y) :-:;: IIxl12 + II yl1 2 + 21(x. y)1

< Ilxi!2 + Ilyil + 2 xli JLvil /!x1 1 +. lIy"')" . J, " " 1"

Finalmente extrayendo r

1.6. EL PRODUCTO VECTORIAL 21

La siguiente proposicin establece algunas propiedades de este producto vec-torial:

Proposicin 20 Sean x, y y z tres vctore.s en ~3, entonces, si o y,B son dos nmeros reales, se tiene:

1) o:x X y = x x o:y =0 (x X y) 4) x x y =-- (y xx) 2) x x (y + z) = x x y + x x z 5) x x x = O 3) x . (y x z) = y . (z xx) = z . (x x y)

Demostracin. Se deja de tarea. Use la definicin y las propiedades de los determinantes.

La propiedad enunciada en el punto 3, esto es,

x (y X z) = y. (z X x) = z (x x y) = (x x y) . z, nos permite usar el simbolismo (x y z) para denotar cualesquiera de ellos. Esta particular combinacin de productos se denomina "producto mixto". Algunas propiedades de este producto se enuncian en la seccin de problemas.

Terminemos esta seccin con una ltima propiedad del producto vectorial:

Proposicin 21 Sean x = (Xl,Yl,Zl), e y = (X2,Y2,Z2) dos vectores en]R3 entonces:

Ilx x yll = !Ixll :yil sin () en donde () es el ngulo entre ambos vectores.

Demostracin. Demostraremos que la expresin de la derecha es igual a Ilx x yll:

Ilxli Ilyll sin (]

=

=

'. 2

Ixllllyli j1 - cos2 (j = ixl! liyl! V 1 - (li~'i~lI) I 2 2 :2 V Ilxll Ilyll - (x y) ~./(xi + yf -+ zi)(x~ + '!I~ -\- z5) - (XIX2 + YIV2 + Zl Z 2)2 /(YIZ2 - Y2zd' + (XIZ2 - x2zdl + (X1YZ - x2yd 2 Ilx x yl!.

Esto termina la demostracin.

Ejemplo 22 Demuestre la. Ley de los Senos: sin Cl: sin ,3 sin ~(

a b e en donde o, ;3 y 'Y son los ngulos opuestos corTespondientes a los lados a, b y e de un tringulo arbitmrio.

, "

22 CAPTULO 1. ESPACIOS EUCLIDIANOS

Solucin: Sean A, B Y e los vf>~t;ices del tringulo. Entonces:

~lultiplicando eota l'lentiddd vectorialmente por AH y por CA se obtiene: AB x AH + AH x IJ(i + AB x CA o .... cA x AB + CA x BC + cA x ["'A 0',

Como :::fl3 x AS = CA x cA = O ... se deduce que AB x BC = cA x AB = BC x cA. Tomando normas, se concluye que ca ~in f3 = be sin ' = ab sin .

1.7 Problemas l. Verifique que ia distancia euclidiana dada en Definicin 1, cumple las

siguientes propiedades:

2.

:j. 4.

5.

(a) d(x,y)~O,Vx,yEJl.tn. (b) d (x, y) = O x = y. (c) d (x, y) .::..: d (y, x) , 'e/x, y E ]R" (d) d(x,z) S d(x,y) + d(y,z) ,Vx,y,z E li{n.

Cualquier funn d que cumpla con c..stas cuatro propiedades se denomina mtrica () d'stana Demuestre que los \'ec.tores v = (2,6, -2) Y w = (,5, -3, -4) son or'togo-nalrs.

Calcule la distancia entre los puntos (2, -a, 5) Y (-- 2,5, -4). Halie las coordenadas del punto medo del segmento lineal que une los do,; puntos del problema anterior.

Halle la" coordenadas de un punto R sobre el segmento que une los puntos P = (2, -3, :;) Y Q c-= ('-2.5, --4j, de tal modo que la distancia desde R al punto P sea el doble de la distancia de R al punto Q.

6. Considere el tringulo determinado por los puntos A = (1,3,.')), B = (2, -3,6) Y e = (-1,5. --3). Determine d ngulo correspondiente al vrtice C.

7. Demuestre Que la recta que pasa por los puntos (1,2, -9) Y (5, -3, 14), es ortogonal a la recta que pe..sa por los puntos (1,2,3) 'Y (-3,8,;)).

8. Demuestre la LEy del Paralel6gramo:

Interprete geomtricament.e ~sta identidad, Vea Figura 1.4.

1.7. PROBLEJ\1AS 23

Figura 1.4: Ley del paralelgramo.

9. Demuestre la siguiente igualdad, llamada identidad de Polarizaci6n:

4

24 CAPTULO 1, ESPACroS EUCLIDIANOS

y qUE adems cumpla con las prupiedades enunciadas en la Proposicin ] 6, Demue;tre que,

(J. g) = r f(J;)g(x)dx, Jo es efectivamente un producto interior en e [O, 'ir] cuya correspondient.e nor-ma est dada por:

r---------/ r1T l' ,', / I (Ji' - 2 J i!J iI = V Jo "t "Xi} i.X.

Deduzca que esta norma induce a su vez la mtrica dz(f,g) definida en 1.3, pgina 14.

16. Sea A una. matriz In x n cuyos elementos son nmeros reales. Demuestre que existe K > O t al que

paw wdo vector x= (Xj.X2, ... ,xn ). Indicacin: desarrolle el producto del Jado izquierdo y luego use la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La expre;in x T es el vector columna:

17. Demuestre que s 0" b, e, d .r jJ, q, T, 8 son ocho nmeros reales arbitrarios, entonces la dasiguaklad de Sebwarz consiste en:

Q P + bq + e1' + ds s: V~2 + b2 + c2 + ([2 vi p2 + q2 + 1'2 + s2 y la desigualdad Je Minkowsky en:

18. Dem1lest.re, sin integrar directamente, CJue:

Indicacin use Problema 15.Compruebe su resultado integrando directa-mente.

1.7. PROBLEAIAS 2" ;)

19. Suponga que f,g: [0,1] ....... [O.oo son dos funciones RielIlann integrables. Suponga que f(x)g(x) ~ 1 para todo x E [0,1]. Usando 1 ... desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestre que:

( f(x) d:c ( g(.7:) dx ~ 1.

26 CAPn,V,) 1. ESPA.CIOS EUCLIDIANOS

Figura 1,0: Problema 26.

27. Pruebe, usando mtodos vf'ctoriales, que las diagonales de un paralel-gramo se dimidian mutuamente. Indicacin. Vea el problema anterior.

28. Halle el n';1l1o agudo formt'\do por dos diagonales de un cubo.

29. Halle la longitud de una diagonal de un cubo de lado unitario.

30. Sean 0',6 y 'Y los ngulos que el vector r = a:i + yj + zk forma con los semiejes positivos ;;, y y z respectivamente del espacio Jl{3. DemUf'Btre que:

Los nmeros ,os 0', COi'> /3 y cos ~i se denominan cosenos directores del \'ector r.

31. Sean x, y, z tres vectores en JRn y supollga que O' es un nmero real arbi-trario. Demuestre que,

a) x'ay = ax y = (x y) h)x(y+z)=xy+xZ e) x,xay = O'X x y = (t (x X y) d) xx (y + z) = x x y + x x z

3') Sean x,y,z tres \ectorc.,'" en JR3, El produclo xx (y x z) se denomina producto vectorial triple, Demllestre que,

xx (y X z) = (x' z)y-- (x y) z,

33 Demuestre la Proposicin 20.

3,1. Demuestre que:

J'U X v' = 1'uIJ2f!vli2 - {ti - v1 2 _ , I ,,, I t \ .'

35, Demuestre la ,demidad d JacohL

(u x v) x w + (v x w) X u + (w X u) x v = O,

Captulo 2 , Funciones de dos

variables o mas

2.1 Funciones reales y vectoriales En las asignaturas iniciales de clculo se f'i,tudian 03610 funciones del tipo

es decir funciones reales de una variable real. El objetivo de esta seccin es el de familiarizarnos con funciones de varias variables, es decir en donde A es un subconjunto de ~." y el codominio e5 el C'5pano p;'" ,

Definicin 23 Direrrws que una funcin es de 'varias 7)ariables si su do-minio es un subconjunto de lR,", con TI 2: 2. SZ!i = 1, diremos que la funcin es de variable real.

Definicin 24 Diremos q'itt una funcin es t''ctorial si su recorrido es un subcor~iunto de ~n: CO n n 2: 2. En este casa dfsnibirfmos la funcin con una letra en "negrita", por ejemplo F. En el caso que n = L dir'ernos que la funcin es real y la denotanmos del modo usual, por ejemplo F',

As. si n ?~ 2 Y -m 2: 2. tenemos nuestra clasilicaci,:

Tipo de funcin:

F : Ji e 3L ._~ ~~7'

F : A e R" --.... ~>"

Clasificacin de funciones Clase de funcin: Func. rea de varo real Func. vect. de var, real Func. real de varas \ar. Func. vect. de varias val'.

Ejemplos simples: f"'(L"tj == l' -f- ('OS X F ( J')= (J, co;; .1: ) F(x. y) = :.

28

En el caso en qUE: m e..::: n ~ 2, lo.,; ft,nclones veccoriales tambin se denominan campos vectonalcs, en especial :o II = 1/1 = :1,

Una fu~c:in vectorial de varias variables siempre es posible-!,xpresarla en trminos de funcione; re'.les ele ':arii1s vari8.b1e,:,.

Ejemplo 25 Si F ~~ --.li3 f'st de.fZmda par': F (~, . ,\ .- (. -l '" '2 ,) \.Lo, iJ I ._- ,x ,- y, .L - Y" x

entonces si escribirnos'

ft (x,y) = x +y; h (x,y) = x --- y; h (x,y) =:2x se tendr que:

F (x,y) = (fI (y,y) .12 (x,!!) , 13 (x, y)), en donde h, Iz. y /3 ob'uiamente son f"n.ciones reales de dos variables y se denominan funcione8 componentes df F.

Ejemplo 26 Halle el domimo de la funcin F(x,y) = -2 X\Y_. X +y -4

Solucin. Ji' es una funcin real de dos variables cuyo dominio, de acuerdo a la convencin usual sobre dominios de funciones, es el mayor subconjunto del plano cartesiano en donde la frmula dada para F tiene sentido. En este caso el dominio de F es el conjunto:

es decir, el plano menos la circunferencia de radio 2.

Ejemplo 27 Sea

Halle el dominio d( F.

Solucin. El dominio de F corresponde a la interseccin de los dominios de sus funciones componentes fl' fs, y 13 d"das respectivamente por:

esto es:

Dom(F)

13m xy :r-y

Dom(fl) n Dom(h) n Domlf:i) (. (x2 y2 ) } t (x. V) : (.r :j; y) t, (3x + 5y ~ 9) /\ 4' + 9 > 1 .

2.1. FUNCIONES REALES Y VECTORAIE':-; 29

Ejemplo 28 Encuentre la imagEn del conjunto:

K = {(X.y) E&:2: O::;;; S: 1, :S y:S l}, bajo la funci6n:

F (.T o y) = (71, v) = (:J:?j . .1 2 -;/'). fJn otras palabrasld!':ntifique el conjunto:

F(K) = {F (:r:.y) E;12 , (x,y) E K} {(u.v) E j[{2 : Cu. v) = F (x, y) .'\ (x,y) E K}.

Solucin. Ei conjunto K est limitado por ruatro segmentos de rectas: dos segmentos vertic..ales Ka Y K 1 dados por:

Ka = {(O, y) E JR2: y E [O.l]} Y Kl = {(l,y) E]:.2: y E [0,1]} y dos segmentos horizontales:

K o - {( O)' E ~ '2, E re) 1 1 } , 1/ 1 - {' ,) ~ ~ 2 , m E [O 1]} - X) _"t, X l o J. J :; n. - ~ X, L t::: J:1o, , ~ ,

Imagen del primer segmento Ko:

F(Ko) = {F(OoY) E JR2 : y E [O, In = {(O, - /) E )[2 : y E [O, in. Como O ::; Y S: 1, entonces la segunda coordenada del par ordenado (O, _ y2) recorre el intervalo [-1,0]. Por consiguiente el conjunto F(Ko) corresponde al segmento linf'..al (en el plano (?.L, v) ) que va desde el punto (O, O) hasta el punto (O, -1).

Imagen del conjunto Kl

Para hallar la grfica, observe que (11. u) = (y, 1 _:y2), Esto significa que:

De modo que obtenemos la curva 1: = 1 ,- ,,'2, cunfa que corresponde a un arco de parbola que va desde el punto (0,1) hasta el punto (1, O).

En forma anloga. podemos hallar las imgenes de los restantes segmentos. El grfico de F(K) puede verse en la Figura 2,1.

Las funciones o transformaciones vPC'oriaJes l,o volveremos a estudiar pos-teriormente, especalmente en conexi6n con cambios de variables en integrales mltiple y cuando veamos integrales de lnea. de superficie y de volmenes y sus relaciones con algunos campos vectoriales especial:;::,;,

30 CA PTULO:2. F'U!\'ClONES DE DOS O MAs VARIABLES

Figura 2. L Imagen de J( bajo F.

2.2 Rectas en el espacio IR3

En generai una teda ell el espacio queda determinada unvocamente de varias maneras, por ejemplo exigiendo que pase por un punto especfico, digamos (xo,YO, 20), y que adems sea paraiela a fllgn vector no nulo, digamos v = (a,b,c).

Otra manera as pedir qcle dicha recta pase por dos puntos distintos, digamos (Xl, Yl, Zl) Y (x')., l/2, Z;) .

Finalmente, otra representaein usual de una recta en el espacio consiste en especificar dos planos no paralelos y establecer que la recta consista de todos los puntos que pertenecen simultneamente a los dos planos. Obviamente este conjunto corresponde efectivamente a una recta en el espacio.

El estudio de estas repr.:..'Sentaciones es importante ya que muchas veces es necesario trabajar con rectas en el espacio, Veamo;, como lustracin para un trabajo personal del alumno en esta materia, la represem:acin de la ecuacin de la recta teniendo como datos un punto y HU vector:

Proposicin 29 La ecuacin ct1xtesiana dt~ la recta que pasa por el punto Po = (xo,Yo, 20), y qV.f a la ue::: es paralfa al vector v = (o, b, e) en donde las tres componentes n, b y e son no {)ula.q , est dada por:

x -x( (l

y- Yo b e

En el caso en que alguna de las componentes de v Se.Q. nula, por ejemplo, si a = O pero b yc son diferr:ntes de cero, entonces la recta queda definida por:

1\ T = Xo.

Similarmente, si a = O Y b = 0, pero c:f- O, entonces la recta queda descrita por:

x = ;Z;o 1\ :ii = Yo /\ Z E R..

Demostracin. Sea P = (x, y, z) un punto arbitrario :sobre la recta. Como el punto Po pertenece a la recta, entonces el vector Po? =: (x - xo, y - Yo, z - Zo) tiene la misma direccin que el vector v = (a, b, e), ya que ambos son paralelos

2.2. RECTAS EN EL ESPACIO]R3 31

a la recta. Por consiguiente uno es un mlplu del otro, es decir, existe tER, tal que:

t(o.,b,c) = (x -Xo,Y - Yo,;:; - zo) = (x,y,z) - (xo,YO,zo). Despejando (x. y. z), obtenemos:

(x,y,Z) = (xO,YO,zo)+t(a,b.c) = (.co+ta,yo+tb,zo+tc). Por consiguiente, igualando componentes se obtiene lo que se conoce como las ecuaciones paramtricas de la recta:

y = Yo + tb t E JR :T = X + ta }

z = Zo +tc

Finalmente, despejando t en cada ecuacin e igualando, se obtiene la tesis (en el caso en que a, b y e sean no nulas):

x .- ;:;G Y - Yo Z - 2'0 --11- = -b- = -c-

En el caso, en que alg;uno de los valores a, b y e sean nulos, significa que la recta en cuestin es paralela a alguno de los planos coordenados. Por ejemplo, si a = 0, esto significa que la recta es paralela ai plano yz, y por lo tanto la ecuacin cartesiana de la recta ser:

y -Yo b

.7, - 5:0

e :r = Xo.

El ltimo caso queda de ejercicio, Esto termina la demostracin.

Ejemplo 30 Halle la distancia entre el punto P = (1,3, -2) Y la recta dada por:

x-21/-6 -- ::" -"-- ==;j _.

32 CAPTULO 2, FLACIOSES DE DOS O MS '~4.RIABLES

Por otro lado, el vector QR el', ju::;tamente III proyeccin del vector QP = -i- :3j -- 5k

en la direccin dei vedor unit.ario

.Y por tanto, de acu(5;io a Proposicin 10, se tiene:

I ,,:2 I '12 11 ),2 (2 :))2 11 PHI: =33-;II"QP\ =3:1-1 \ QP, II i =35- --;;-2 +..:.. =34. 11 I \ I ' I \. ,) 3

En consecuencia la distancia buscada es de V34 unidades.

2.3 Planos en el espacio }R3 Al igual que en el caso de rectas en el espacio, un piano puede quedar determi-nado especificando diversos elementos. Por ejemplo exigiendo que dicho plano pase por un punto especfico y que adems sea perpendicular a un vector. De la misma manera que en el caso de las rectas, aqu slo ilustraremos, a travs de un caso, la forma de hallar la ecuacin de un plano:

Proposicin 31 El plano que pasa por- el punto Po = (a.:o,yo,zo) y es perpen-dicular al vector v = (a, b, e) Unu' la siguiente ecuacin cartesiana:

b " k}

E,C1WC'in del plano que pasa ax + y + cz = .

d d por- el p'unto (xo. Yo, zo) en 071 e .. " ' k ' . y es perpendcll,lar al " = axo -ro ayo + CZo ') l.'ector v = (a, b, e .

Demostracin, Sea P = (J;, y. ::) un punto arbitrario sobre el plano. En-tonce;; el vector Fa P = (:1; - Xo.!J - Yo, z - zo) es un vector que es paralelo al plano para todu punto P sobre l. Ahora, corno el vector v = (a, b, e), es per-pendicular al plano, se educe que ambos vectores deben ser ortogonales para todo p, Esto signiflca, de acuerdo al Corolario 12 que (J5P, v) = O. Es decir:

o (.r-xo)a+(y-Yo)b+(z-ZO)c = ux +- by + cz - (axo + byo + czo) ,

lo que demuestra la proposicin.

Corolario 32 Considere el plano (tI'}; + b]!! + Cl Z = k Y la recta:

,C - ,T Y -- Yu z - Zo ~=;;-=~

2.3. PLANOS El"; EL ESPACIO]R'.3 33

Suponga que 105 vectOTeS v = (a1,b 1 ,C11 Y w = (a2.b2.C2) son no nulos. En-tonces el plano y la recta:

Son paraldos ~ Son perpendiculares ~

0.10,2 + 01D2 + (:lC2 = O 0.1/0.2 = b1/1;2 = el / (:2

En el segundo caso, si uno de l08 coejicif:ntes. por ejemplo. b2 es nulo, wtonces el correspondiente coeficume h tambin debe SE' mtlo.

Demostracin. Un vector perpendicular al plano es v = (al. b1 , el) Y un vector paralelo a la recta es W = (a2, 02, (2). Por lo tanto el plano y la recta son paralelos si y slo s (v, w) = O. Esto demuestra l pnmera equivalencia, Ahora, el plano y la recta son perpendiculares si v y w tienen la misma direccin, esto es, si eXlste un nmero real no nulo t, tal que v =tw, es decir

igualando coordenadas y despejando t, se obtiene la segunda equivalencia. Esto termina la demostracin. _

Ejemplo 33 Halle una frmula paro la di

34 C'APTfJLO:l. FUNCIONES DE DOS O MAs VAR.IABLES

Solucin. El punto medio AI dei segmento que une P y Q se obtiene sumando las coordenadas respect.ivas y dividiendo por dos. Esto es

;'vI = (5, -3,1). Por otra parte, un vector normal al plano buscado 83, por ejemplo

PQ = 6i - 14j + 8k = 2(3i -- 7j + 4k) X por lo tanto, como el vector J/- Jf- 4k (aJubifl es perpendkular al plano, se obtiene que la ecuacin de dicho plano e:;:

3(x - 5) .- 7(y + 3) + 4(z - 1) = O. o equivalentemente 3x - 7y + 4z - 40 = O.

An cuando el uso de computador88 (ordenadores) es una herramienta ex-tremadamente til cuando se trata de graficar funciones (implcitas o explcitas), usualmente es muy conveniente adquirir un buen conocimiento de algunas curvas clsicas del plano.

Ejemplo 35 Los dos planos 2x+3y-44z = ti Y 3x-y+22z = -4, se intersectan en una 1'ecta. Halle la ecuacin ca.rtesiana de dicha recta. '-

Solucin: Re."iolviendo el s13tema para las variables x e y, se tiene: 6

X=-22--' ll' 26

Y = 16z+-11' por lo tanto la ecuacin cartesiana de la recta es:

x + 6/11 -2

y - 26/11 16

2.4 Grficas en el plano Ejemplo 36 La circunferenca: la eC1tacin de una circunferencia centrada en el punto (xo, Yo) Y de radio R, est dada por lo. frmula:

(x - :ro? + (y - YO)2 = R2. Por ejemplo, la ecuacin x2 - 2x + y2 + 4y - 4 = O, puede ser escrita como:

( . 1':'' ( L '2)2 - 9 :L - ) -t- Y -, . - , ecuacin que corresponde a una circunferencia de centro (1, -2) Y radio 3. El grfico corresponde al de ia Fgura 2.:2.

Ejemplo 37 La Elipse: la ecuacin de una elipse de semiejes positivos a y b centrada en el punto (xo, Yo), est dada por:

(2.1)

2.4. GRAneAS EN EL PLANO 35

Figura 2.2: (x - 1)2 + (y 4- 2)2 = 9.

. (X-2)2 '''y----1l \-2 Figura 2.3: 2 2 + ~ = 1

En el caso en que a = b = R, se obtiene la ecuacin de una circunferencia. La frmula dada en la ecuacin 2.1 se conoce como la forma estndar de la elipse. La forma estndar de la elipse 9x2 - 36x + 1y 2 - 8y + 4 = O, es:

El escribir la ecuacn en forma estndar tiene varias ventajas. En este ejemplo nos permite afirmar que el centro de la elipse es el punto (2,1); que sus semiejes son a = 2 Y b = 3 Y que sus cuatro vrtices son (0,1); (4,1); (:2,4) Y (2, -2). El grfico de la curva corresponde a la Figura 2.3.

Ejemplo 38 La Parbola: la f;cuaC'n de la parbola con vrtice en el punto (xo,Yo) est dada por la ecuacin:

y = k(:r - xo? -+ !J[l.

Si k > O, la parbola se abre en el sentido positivo del eje y y si k < O se abre en el sentido negativo (hacia abajo) .La Figura 2.4 representa la parbola y = 2x2 - 6x + 10. Cuale., son las coordenadas de su vrtice?

Ejemplo 39 La Hiprbola: lo. eC1.wci6n de una hiprboia centrada en (XO,yo) '!1 con ramas que se abre1: en la direccin del eje X, est dada por:

36 CAPiTULO 2. Fm';CIONES DE DOS O MAs VARIABLES

Figura 2.1: y = 2.r:2 - 6x + 10

Figura 2.5: (x + 1)2 _ (y _ 1)2 = l. 4

}).:; fcil ver que esta hiprbola es asinttica al par de rectas que se cruzan en el punto (xo,yo) y cuyas pendiente" Ron b/a y -b/a respectivamente. Por ejemplo, la ecuacin

corresponde a la hiprbla centrada en (-1,1) Y que pasa por los puntos (-3,1) Y (1,1). Y es asinttica a las rectas y = x/2+ 3/2 e y = -x/2+ 1/2, rectas que obviamente se cruzan en el punto (-1, 1). Su grfica puede verse en la Figura 2.5.

2.5 Superficies

Para representar grficamente una funcin f : A s:;; JR2 --> l{, generalmente se usan dos mtodos. Vno de ellos consiste en representarla por medio de una su-perficie en el espacio usual y la metodologa para construir e

2.5. SUPERFICIES 37

Figura 2,6: K;fera centrada en el origen

y

x~ Jt, ,2 < Figura 2,7: ~ + b~ -r ~ = 1

Ejemplo 40 La Es/ero: la ecuaci6n dE una esfera (o casquete esfrico) centra-da en el pv,nto (xo, Yo, zo) y de radio R, est dada por su presentacin estndar:

.., /, ,) :2 2 (x - xo) ~ + (y - Yo ) ~ + (z - Zo) = R . La Figura 2,6 muestra el grfico de una esfera centrada en el origen.

Ejemplo 41 El elipsoide: la ecuacin de vn elipsoide de semi-ejes a, b y e (a, b, e > O) Y centrado en el origen fst dado por:

,y2 ,.l z2 ; 2" -r -b~ + 2" = 1. a e

El grfico de este elipsoide es similar a la cscara de un huevo centrado en el origen y cuyos dimetros mayores, en la direccin de los ejes x, Y y z son respectivamente 2a, 2b y 2c. La grfica general de este elipsoide tiene la forma dada en la Figura 2.7.

Ejemplo 42 El hiperboloide de una hoja: esta superficie est dada por la ecuacin:

,,2 y2 ~2 ::_-f..--~=l (1.2 ; c2 .

Por ejemplo, la Figura 2.8 representa el grfico del hiperboloide:

38 CAPTULO 2. FU;\iCIONES DE DOS O MAs VARIABLES

f "' (' o ~ ~ _ Z2 _ 1 'li;ura ':.0: 4 + q 16 - lo

Figura 2.9: X2 - y2 - z'2 = 1.

Ejemplo 43 El hiperboloide de dos hojas: esta superficie corresponde a la ecuacin:

La forma de e'3ta superficie recuerda la de dos cuencos o lentes separados y opuestos por ei vrtlcE'. Por ejemplo la Figura 2.9 corresponde al hiperboloide dado por la ecuacin:

Ejemplo 44 Paraboloides elpticos. Sean a y b nmeros reales no nulos. La grfica de la funcin dada por:

f(x,y) = ax2 + by2, se conoce como paraboloide.

Si a i: b se trata de un paraboioidr elptico; si a = b de un paraboloide de revolucin. La Figura 2.10 repreoenta al paraboloide elptico:

.Z = x2 +4y2.

2.6. OTRAS SUPERFICIES. 39

Figura 2.10: Paraboloide z = x2 + 4!1~.

Figura 2.11: Paraboloide hiperblico .?: = x 2 - 4y2.

Ejemplo 45 El paraboloide hiperblico: la funci6n dada por:

tiene como grfico la superficie conocida como paraboloide hiperblico o "su-perficie tipo silla de montar".

La razn de llamarla "silla de montar" es clara si observamos la forma de ella en la Figura 2.11 El punto (O, O) es un punto crtico denominado" punto de ensilladura". Estudiaremos este tipo de puntos crticos en la seccin de mximos y mnimos,

2.6 Otras superficies. Aprovechemos las facilidades que da la computacin para hallar el grfico de algunas otras funciones.

Ejemplo 46 La grfica de la funcin dada por:

f ( ) ( . 'l h2 .." L 2 ) 1 / 2 x,y, = sm~xcos y+COS~XSHlIl Y, correspo nde a la Figuro 2.12.

..

40 CAPTULO 2. FLVCIONES DE DOS O MS VARIABLES

Figura 2.12: 2 = ';sn2 x co~ y + cos2 xsinh2 y.

f " 2 13 e 02+ 2 gura . : JO no z = V x y.

Ejemplo 47 Aquellos estudwntes que conocen Zas funciones de variable com-pleja notarn que esta. funci6n es justamente el mdulo de la funcin,

Slll : e -- e,

definida por:

sin z = sinxcoshy +icosxsinhy, (2.2) en donde z = x + iy es la va'rlable compleja.El cono circular recto representado en la Figura 2.13 muestra el grfico de la. funcin,

z = Jx 2 +y2.

Ejemplo 48 La grfica de la funcin z = 9 - Jx2 + y2, representa un cono recto con su vrtice apuntando hacia ar1'ba y ubicado en el punto (O, O, 9).

Ejemplo 49 La Figura 2.14, repnsenta la funcin f(x,y) = Isin(xy)j.

2.7. CURVAS DE NIVEL 41

Figura 2.14: Funcin f(x,y) = Isinxy.

2.7 Curvas de nivel Graf1car una funcin de do~ variables independientes mediante una superficie en el espacio usualmente requiere tener un buen computador, a menos, claro est que la fundn sea bastante ~encil1a. Sin embargo, an para funciones extremadamente sencillas, como, por ejemplo z = x2 - y2, la superficie puede fe:mltar bastante complicada de graf1car. l: na herramienta usual que se emplea, ya sea para ayudarnos a visualizar estas superficies o como una alternativa de representacin grfica, es el mtodo conocido como ei de las curva8 de nivel. Este mtodo es justamente el que se utiliza para graficar el relieve terrestre mediante mapas planos. Estos mapas son conocidos como mapas fsicos geogrficos. Con estos mapas es posible estimar, por ejemplo, la altura y extensin de montaas y fondos marinos. Otro ejemplo del mismo tipo de grficas io podemos ver diariamente en TV en los informes del estado del tiempo, en donde se muestran las ISOtermas (IGUALtemperatura) y las ISObaras (IGUALpresion).

La tcnica para aplicar este mtodo consiste en graficar las curvas planas que resultan de cortar la superficie z :::: f (x, y) por medio de planos horizontales ubicados a diferentes altums o niveles. En otras palabras: consiste en graficar las curvas f (x, y) = e, para distintos valores de C. Las curvas, as obtenidas, reciben el nombre de curvas de nivel de la funcin z = (x,y).

Ejemplo 50 Trace curvas de nivel para la funcin f(x, y) = 3x + 2y + 1. Adems determine la forrna de la superficie z = f(x) y).

Solucin. La superficie a considerar est dada por z = 3x + 2y + 1. Como z depende linealmente de x e y, entonces la ecuacin z = f(x,y) representa un plano en el espacio (ver Figura 2.15) Consideremos el plano norizontal z = 5. Entonces este plano corta la superficie determinada por f a lo largo de una recta en el espacio. Ahora bien, la proyeccin de f:'sta recta en el pla,no xV, es decir, en el plano cartesiano bidimensional usual es ax + 2y + 1 = 5, o equivalentemente, 3x + 2y = 4, ecuacin que corresponde obviamente a la recta

y = -1..5.1' + 2,

42 CAPTULO 2. FrJNC'IO:VES DE DOS O MAs VARIABLES

,------------! ,

I

I L-_ Figura 2.1.5: Plano z = 3x + 2y + 1.

Figura 2.16: Curvas de nivel f(x,y) = C. para e = 5,9 Y 13.

rect.a que corta al eje x en el punto x = 4/3 ~ 1.33. Si ahora consideramos la recta de nivel correspondiente a z = 9, la proyeccin

de esta recta en el plano xy tiene como ecuacin:

y=--1.5+4,

recta que corta al eje x en el punto :r = 8/3 ~ 2.66. Finalmente, si tomamos el plano z = 1:3, obtendremos una tercera recta de

nivel, la cual corta al eje x en el punto x = 4. En la Figura 2.16 se pueden ver estas tres rectas.

Ejemplo 51 Tmce curvas de nivel para la funcin:

Solucin. El grfico de la funcin est dado por la figura 2.17. Comenzaremos buscando la curva de nivel z = 9, es decir, los puntos (x, y)

que satisfacen

25 f 2 2\ 9 . - \x + y J = ,

esto es X2 + y2 = 16. Esta curva obviamente corresponde a una circunferencia de radio 4 centrada en el origen.

En trminos ms generales. las curvas de nivel para un valor arbitrario de e, estn dadas por la siguiente familia de ecuaciones: x2 + y2 = 25 - c. Es claro

2.7. CURVAS DE NT/EL

;

j I I I 1 I

L. _______ J Figura 2.17: Paraboloide z = 25 - (x2 + y2) .

l

i I

I I

Figura 2.18: Curvas de nivel de la funcin z = 25 - (x:2 + y2) .

43

que, para e 2: 25, estas ecuacione..s representan circunferencias centradas en el origen y de radios V25 - c. En la Figura 2.18 se pueden ver con radio creciente, las curvas de nivel correspondiente a e = 21, e = 16, e = O, Y e = -24.

Ejemplo 52 Trace curvas de nivel pura la funci6T/':

Solucin. Note que eX + > 0, para todo .1: ey, de manera que la superficie correspondiente a la funcin dada se encuentra en el semiespacio superior z > O. Para hallar la curva de nivel z = e hagamos ex .... Y = c. Entonces x + y = 'lg c. Por lo tanto: y = 19 e-x. La Figura 2.1 9 representa la superficie determinada por la funcin f y en la Figura 2.20 se mUffitran, de izquierda a derecha, las curvas de nivel para los valores de e correspondientes a 1/c2 ,1/e,l,e,e2 . Se puede observar que una vez que conocemos e; patrn general de las curvas de nivei, podemos tener una idea bastante aproximada acerc,a de la forma de la sllperficie que representa la funcin.

Ejemplo 53 Trace las curvas de nivel de:

correspondiente a e = 1,2 Y 3.

44 CAPTULO 2. FUNCIONES DE DOS O MAs VARIABLES

Figura 2.19: Superficie z = eX +Y

I L--______________ _

:Figura 2.20: Ejemplo 52,

Solucin. El grfico tridimensional est dado en la Figura 2.2l. Las curvas de nivel para los valores de e dados en el problema se pueden

ver en la Figura 2.22 Puede Ud determinar la correspondencia que hay entre las curvas y los vaiores de C?

2.8 Superficies de nivel Una funcin f : A ~ ~3 --+ JEt. tiene como grfica un conjunto de puntos del tipo (x,y, z, f(x, y, z)). con (x,y, z) E A. Es decir, el grfico de f es un subconjunto de ~4. Como es evidente, no es posible graficar una funcin de este tipo en el espacio tridimensional mediante un dibujo nico. Para este tipo de funciones, la representacin ms satisfactoria son las llamadas Superficies de nivel. Este mtodo consiste en graficar superficies en !R.3 en donde f toma valores constantes. Esto es graficar N e = { (x, y, z) E ]R3 : f(x, y, z) = e}, para distintos valores de la constante c. Estos conjuntos son los que reciben el nombre de superficies de nivel.

Ejemplo 54 Grafiql1e 811perficie8 de nivel para la funci6n f (x, y, z) =x2 +y2 - z. Solucin. Hagamos x2 + lP -- z = C, entonces las superficies de nivel

z = x2 + y2 - C resultan ser paraboloides. Los paraboloides mostrados en

2.8. SUPERFICIES DE NIVEL 45

Figura 2.21: Funcin (5x2 + y2) exp(l _ X2 _ y2).

Figura 2.22: Curvas de nivel de la funcin z = (5x2 + y2) exp(l - x2 - y2) para ios "alore,> de e = 1,2 Y 3.

la Figura 2.23, repre'ientan, de adentro haca afuera, aquellas superficies del espacio en donde la funcin f es constante para los valores de e = 1, e = 9, Y e = 18 respectivamente,

Ejemplo 55 Describa las superficies de nivei de f (x,y, z) = x2 + y2 - .z2 cor-respondiente a e = -3, e = o y e = 3.

Solucin. La primera superficie, correspondiente a e = -a es un hiper-boloide de dos hojas:

Su grfico es similar al de la Figura 2.9: en lugar de tener a x como eje de simetra, en este caso es z,

La grfica de la superficie correspondiente l e = 0, un cono recto:

y su grfico es similar al de la Figura 2,13, con la diferencia que en este caso, el cono tambin se prolonga en el sentido negativo del eje ~,.

Finalmente la tercera superficie correspondiente a e = 3 es un hiperboloide de una hoja. Su grfico es similar ai de la figura 2.8 y tienen el mismo eje de 3imetra,

46 CAPiTULO 2. FUNCIONES DE DOS O MAs VARIABLES ------

I I ! i

i

l -,

I I

Figura :2.23: Superficies de nivel e la fundll :: = x2 + y2 - C. En la figura se representan tres superficies, de adentro hada afuera, para los valores e = 1, e = 9, Y e = 18 respectivamente.

2.9 Problemas 1. Halle el dominio A de f: A

2.9. PROBLEMA.S 47

8. Encuentre el ngulo (agudo) determinado por las rectas:

:r -- 1 = -?J -- 2 =C~ 2:: - 3 -3x+3 2y+4 = -4z+6

Se intersectan? En caso afirmativo, halle el punto de interseccin.

9. Determine la" coordenadas del punto de interseccin del plano z = O con la recta:

-2x + 5 = 7y - ;3 = -z - 3.

10. Demuestre que la ecuacin del plano que pasa por os puntos (al,a2,a3), (b 1 .bz,b3 ) Y (Cl,c2,C3) est dado por la expresin:

r al - x det l bl - X

el - x

a2 - y b2 -y e2 - Y

(1,., - z 1 b; - z I = O C3 - Z -'

11. Calcule la distancia entre el punto (1. 7, -4) V el plano 2x + 3y - z = 6. 12. Halle la ecuacin de la recta en el plano xy (esto es, una recta de la forma

ax + lJy = e) formada por la interseccin de dicho plano con el plano que pasa por el punto medio del segmento que une los puntos (2, -3,5) Y (-2,5, -4) Y que es perpendicular a dicho segmento.

13. Demuestre que el volumen encerrado en el primer octante de j(3, entre los planos coordenados y el plano bcx + acy + abz = abe, con a, b, c > 0, est dado por la frmula: \r = abe/6.

14. Demuestre que la ecuacin del plano cuyos puntos de interseccin con los ejes de coordenadas x, y y z son (a, 0, O), (O, b, O) Y (O, O, e) respectivamente, est dada por x / a + y / b + z / e = l.

15. Considere la" rectas Ll y L'J, dadas en forma vectorial por medio de las ecuaciones:

en donde:

a =aIi+azj+a3k b =b1i+o2j+b3k

con (al ,aZ,a3) E L 1 con (b1,bz,b:j) E L2,

y v y w dos vectores no nulos Pon las dre('cionp.~'i de L 1 ;: L2 respectiva-mente. Demuestre que la distancia entre ambas rectas es:

d = I (a - b) . (v x w) I Iv xwi

48 CAPTULO 2 FU,VCIONES DE DOS O MAs VARL4BLES

16. Demuestre que si los ven o re . .., no nulos (al, b1, cd y (a2, b2, C2) no son paralelos, entonces os plan::>:3:

se intersectan en una recta, cuya ecuacin es

x y z ._------. ----,--~_._- := -----

b1C2- b'2 c

li. Note que Ri,

son dos planos en el e;.;pacio lR.:3, entonces e! vector v = (a}, b1 , cd es perpendicuiar al primer plano y w = (a2, b2, C2) al segundo. Por lo tanto ambos vectores son perpendicuiares a la recta L determinada por la interseccin de ambos planos. Esto significa que para todo t E lR, el vector v+tw = (al + ta2, b + t62, el + tC2) tambin e.'i perpendicular a dicha recta L. Demuestre que para todo t E ]R, el plano;

contiene a la recta L.

18. Trace curvas de nivel para las funciones z = f(x,y): a) 9x 2 + 4y2 d) X2 - 2y

b) x2 +y e) 19(x2 +lP)

19. Determinar el conjunto F( K). en donde:

c) X2 _ y2 f) e x2 +y2

j{ = {' (:r iI '1 E ~2 : O < x < 1 O < Y < 1} }~/ _ _ J _ _ , bajo las siguientes aplicaciones vectoriales F (x, y):

a) (x+y,x-y) b) (y qJS 2FX, ysin2rrx) e) (xy, x+y).

Captulo 3

Elementos de topologa

3.1 Vecindades y conjuntos abiertos Definicin 56

a) Sea a E lR.n y r > O. Al conjunto: F,(a) = {x E lR. n : d(x,a) < r},

lo llamaremos la vecindad abinta de radio r centrada en a. :\1s breve-mente, podemos decir la vec'indad de a de radw r. Observe que este conjunto siempre contiene al elemento a, ya que d(a,a) = O,

b) Ai conjunto 1/,. (a) - {a}, vale decir, al conjunto anterior pero sin su ele-mento central, lo llamaremos" vecindad agujereada o puntca.da de a" y lo denotaremos por ,,~. (a). Para evitar confusin, cuando slo escribamos vecindad, no nos estaremos refiriendo a una vecindad agujereada; de ser ese el caso, especificaremos con todas sus letras: vecindad agujereada. En muchos textos, las vecindades, abiertas o az:ujereadas, tambin se denom-inan bolas.

Observacin 57

a) Es fcil darse cuenta que en JR las vecindades (abiertas) son simplemente intervalos abiertos. Por ejemplo V3 (-1) =] - 4,2[.

b) En R2 las vecindades son crculos "abiertos", es decir, crculos sin sus puntos de la correspondiente circunferencia, Por ejemplo, si a = (-2,3), entonces la vecindad de este punto, de radio 2, corresponde al subconjunto del plano constituido por todos los pares ordenados (x,y) que satisfacen la desigualdad:

(x + 2)2 + elJ - ::1)2 < 4, conjunto que obviamente representa un crculo sin su frontera centrado en (-2,3) Y de radio 2.

49

.'50 C.4.Py.n U) 3. ELE!V1ENTOS DE TOPOLOGA

e) De la misma forma, una vel:ndad en ];.3 es simplemente una esferas sin sus puntos del borde o (ra.squete). POI ejemplo en ]R.3, la vecin-dad V3((2,-5,9)) corresponde a la esfera formRda por todos los puntos (x,y,z) E ~3 que satisfacen la desigualdad

(x - 2)'2 + (y + S)'2 + (::0 - 9): < 9. La vecindad V3+(2, -5, 9)) es otra esfera centrada en el mismo punto (2, -5,9) pero de radio mayor que la anterior si E> O Y menor en el caso que t < O.

Definicin 58

a) Diremos que un subconjunto U de Rn es un conjunto abierto de ]R.n si para cada punto a E U es posible encontrar alguna vecindad de a que est completamente contenida en U. Usando simbologa matemtica: U es un conjunto abierto de t(71 si y solamente si:

(va E U) (:ir> O) (V,. (a) ~ U) .

Intuit.ivamente hablando, un conjunto abierto es un conjunto sin su ., fron-tera". Ms adelante precisaremos esta idea de frontera.

b) Dado un subconjunto cualquiera A de ]R.n y un punto a E A, diremos que a es un punto interior de A si existe al menos un nmero real positivo, esto es r > O tal que Vr (a) ~ A. Usando esta nomenclatura, se observa que un conjunto U ~ R", es abierto si y slo si todos sus puntos son puntos interiores. Al conjunto de todos Jos puntos interiores de A se lo acostumbra a denotar con el smbolo AO.

Observacin 59

a) Debido a las relaciones existentes entre la mtrica d (distancia ordinaria) y las mtricas limax y d l definidas en el Problema 13, Pgina 23 da exac-tamente lo mismo definir conjuntos abiertos usando cualquiera de escas mtricas. As, en caso de conveniencid usaremos la que ms nos convenga.

b) Debido a que las vecindades correspondiente a cada espacio ~n, son di-mensonalmente diferentes, todo conjunto no vaco, abierto en un espacio no puede ser abierto en otro de dimensin superior (por supuesto conside-rndolo como subconjunt.o del segundo espacio mediante la identificacin naturai). Por ejemplo el interw,lIo ]0, I[ es abierto en ~, pero no es abierto en ~2 = ~ X ~ (identificndolo con el subconjunto del plano JO, I[ x {O}), ni tampoco en ~3. Como ya se dijo, no es abierto en ningn espacio j?71 con la excepcin de n = l. Esto hace importante el especificar claramente, respecto a cual espacio un conjunto es abierto.

8.1. VECINDADES Y CONJUNTOS ABIERTOS 51

Ejemplo 60 El conjunto de todos los puUt08 interions del 'intervalo [O, 1] ~ ~ es el conjunto JO, 1[.

Ejemplo 61 El c01~junto de todos los pll'dcs mterores de G f ( \ 2, 1. / 9', r- 7"') = l x ,i)) ,x -+-- y :::: J ~ ~~ ,

es d coniunto fl'x y\ . x2 +",:2 < 9 1 " l,' J' ,!J f'

Ejemplo 62 Consideremos el intervalo [0.1 j, pero comu un subconjunto de R.2. es decir:

[ , { ( ) - ~:2 - fo l' ~ 0,1 J == J, O E ",'t : x "= , , 1 J .

Entonces, el conjunto de puntos inter1.Ores de [0,1] e8 el conju,nto vaco. Ejemplo 63 El co~junto A = {(x, y) : y = 3x} no fS un conjunto abierto en ;it2 ya que los puntos de A forman una recta en el plano y es claro que una recta no p'uede contener un disco, por muy pCiJueo que e8te sea,

Ejemplo 64 El plano e = {(x, }, z) : 2 = ol no es abierto en ~a. la expli-cacin del porqu este conjunto no es ab'ierto, es similar a la dada en el ejemplo anterior: una esfe1'O, por muy pequea que sea, no puede estar contenida en un plano.

Ejemplo 65 El conjunto D :::: {(x, y, z) : 0< z} es abierto en iR3 , Note que D corresponde al "semiespacio superior" o hemisferio norte del sistema cartesiano ~3,

Ejemplo 66 Los conjunt08 ~n y tI> son abie1'tos en lItn ,

Proposicin 61 Sea {C>,} una colecci6n arbitraria de conjuntos abier'tos, En-tonces el conjunto definido mediante su llniT!'

G=UG). tambin es abierto.

Por otro lado, si C 1 , G 2 , . ,. 1 Gn es una coleccin finita de conjuntos abier-tos, entonces S1l; interseccin:

tambin es un conjunto abierto. Demostracin. La demostracin correspondiente a la unin es trivial

y se deja de ejercicio. Para demostrar la segunda parte, supongamos que GIl G2 , .. , ,Gn es una coleccin finita de conjuntos abiertos y tomemos un pun-to p E G. Como p pertenece a la interseccin de los conjuntos, entonces debe

52 CAPiTULO 3. ELE1'vIE:VTOS DE TOPOLOGA

pertenecer a cada uno de ellos. Como cada conjunto G k es abierto, entonces, para cada k::::: 1,2, ... n, exste un T'k > O tal que "~k (p) :;;; Gk

Si ahora elegimos

1'= mill{l'l7'Z,'" .T'n},

se tendr que r > O y adems,

Esto termina la demostracin.

Ejemplo 68 La zntfTseccin df una cantidad infinita conjuntos abiertos no siempre fS un conJunto abierto. Por ejemplo consideremos, en]R la coleccin de todos los intervalos abiertos ]0,,1 + 1/11,[ W donde 11 :::: 1,2,3, ... , es fcil ver que:

00 , 1 l n I O, 1 + - ::::: jO, 11 . J n -n=-l 3.2 Puntos de acumulacin y conjuntos cerrados Definicin 69 Un subconjunto F de l!{" lo llamaremos conjunto cerrado en]Rn si Fe (complemento de F) es un conjunto abierto en ]Rn.

Observacin 70

a) Es importante notar que si un confunto A es ab'ierto en 'U,n espado ]Rn, entonces su complemento es cerrado en]Rn y viceversa. Sin embargo no hay que cometer el error- muy comn por lo dems~ de concluir que si un conjunto no es abierto, entonces tiene que ser cerrado o si no es cerrado, entonces tiene que ser abierto. Estas dos conclusiones son falsas: un conjunto no tiene que ser ni lo uno ni lo otro. Por ejemplo el conjunto JO, 1] no es abierto en IR., pero tampoco es cerrado.

b) A diferencia de 10 que sucede con los cOllJuntos abierto, si un conjunto F es cerrado en algn ]Rn, entonce:-; tambin es cerrado en todo espacio ]Rm, con m > n. La demostracin de este aserto se plantea como problema al final de la seccin.

Ejemplo 71 El conjunto [1,6] es cerrado en R, ya que su complemento,

[1 "l~ -' - [, ,16 [ , \) J --1 - CXJ, 1 v j , CXJ ,

es la unin de dos conjuntos alnerlos en a y por ende es abierto,

3.2. PUNTOS DE ACWlfULACI6lY y CONJUNTOS CERRADOS 53

Ejemplo 72 El conJ',mto A = {(x, Y: 2') E;;;!.) : ;3 S x ~ ~} es cerrado en Ji{3, ya que su complemento,

=

corresponde a la unin de dos conjuntos ail'iertos ~n 3:3 .

Ejemplo 73 Toda recta y todo plano son subconjuntos cerrados en ]13. Por ejemplo el plano:

p = {(:r, y, z) E ~ 3 : X + 3y + z ::-..:: O} , es cerrado ya que su complemento, pe es el cor~junto:

{ (x, y, z) : x + O} U { (x, y, z) : X + 3x +

54 CAFTULO 8, ELEMENTOS DE TOPOLOGA

Observe que la definicin de punto de acumulacin de un conjunto no exige que dicho punto deba pertenecer al conjunto en cuestin, En algunos casos pertenece y en otros no. Por ejemplo en este ('..&"0 el punto q = no pertenece al conjunto A.

Ejemplo 77 Sea. iQ el conJUnto de los nmeros racionales y x un nmero real cualquiera. Como la vecindad Vr\x) es simplemente el intervalo ]x - r, x + r[ y dado q1le todo intervalo no vado contiene infinitos nmeros racionales se concl1lye que x es punto de acumulacin de Q. En otras palabras:

Q'=~.

Ejemplo 78 De manera similo'r al ejemplo anterior es fcil ver que todo punto (.T, y) del plano cartesiano es ptmto de acmnulaci6n del conjunto Q x Q. As se concluye que:

Ejemplo 79 El punto q = O es un punto de aC'umulacin de A = JO,1[ Y tambin de B = [0,1]. Anlogamente q = 1/2 es punto de acumulacin de ambos conjuntos. En realidad ambos conjuntos tienen los mismos puntos de acumulacin: A' = B

' = [0,1].

Ejemplo 80 El conjunto de puntos de acumulacin de A = [3, 5[ x ]4, 8[S;;; JR2, es la unin de A y los puntos del borde del rectngulo. En smbolos:

Al = [3,5Jx[4,8J.

Ejemplo 81 q = (O, O) es un p1mto de acumulacin de e = { (t, ';2) : n E N}. Adems es fcil ver que este conjunto no tiene otros puntos de acumulaci6n. Luego:

el:::: {(O, O)}.

Ejemplo 82 q = (0,0) es punto de acumulacin de e = {(!,~) : n,m E N}. A diferencia del ejemplo nnteror, este conjunto tiene muchos ms puntos de acumulacin. En efecto:

e' = {(O, O)} U {(1/n, O) : 11 E N} u {(O, l/m) : m E N}.

Ejemplo 83 Sea A = {(x,y) : y = sin(l/x), < x::; 1}. El grfico de este subconjunto del plano puede veTse en Figura S.l.Los puntos de acumulacin de este conjunto, corresponden a los puntos dr A ms todos los puntos en el segmento vertical {O} x [-1, 1 J. En 8mbolo8:

A' = A U {(O. ',lI\j e TI>Z : y E [ , ll}' ," '- Jl'l. -1, .

3.2. PUNTOS DE ACU!vIC'LA.CIN y COjV.JU:\i'lOS C'ERR4.D03 55 ._-------

! i~\ [', /~---/

OJ ,1, \ " [\ / p,l; I

o !~!\! I,U.2-r---;;-x n6 I:!

-oJ ji '1 ;

li J !

I I

J

r';gura Q 1 A - {(x y) . ," __ o clr.(l Ix\ O O tal que,

A ~ ~R(O).

b) "Un conjunto de A ~ IR" se d.ir que es compacto s es cerrado y acotado.

Teorema 86 (Bolzano-Weerstrass). Un conJunto dE, A ~ Rn. acotado y for-mado por infinitos puntos, debc tener al rne710S un punto de acumulacin en JRn.

Demostracin. (slo la idea matemtka). Supongamos que A ~ ~2. Decir que A es acotado significa que el conjunt,) A puede ser encerrado por un cuadrado. Esto es, debe exstir R > O tal que:

A ~ [-R, R] x [--R, 11]. Si dividimos este cuadrado en cuatro "subcuadrados", se deduce que al menos uno de esto" "subcuadrados" debe COl'tener inRnitos puntos de A. Se vuelve a dividir, pero ahora este subcuadrado, en cuatro partes. ='-'uevamente al menos uno de ellos debera contener infinitos puntos de A. La idea ahora es conti-nuar con este proceso ad inf1nitllln. DE este modo se obtiene una secuencia de cuadrados, cadA uno de ellos contenido EH el antecesor y l a su vez conteniendo al sucesor (una suerte de cajas chinas), cada cuadrado cada vez ms pequeo y conteniendo, cada uno de ellos, infinitos puntos del conjunto original A. La idea ahora es que estos "cuadraditos" irn encerrando un punto q. Debido a la manera en que este punto q fue seleccionado. es claro que tendr a su alrededor un "nube" infinita de puntos de A. BlIeno, esta cualidad es justamente lo que se

56 CA PTUL O 3. FLEMENTOS DE TOPOLOGA

exige de un punto para que c.alifique c.omo punto de acumulacin de un conjunto. Fin de la idea. _

La nocin de punto de acumulacin puede ser usada para caracterizar en forma muy sencilla a los conjunto:3 cerradoE:

Proposicin 87 Sea F e Rn, entonCf8:

F es 'un conjunto cer-rado ~ F ' ~ F.

Demostracin. Primero probaremos que si F es cerrado entonces nece-sariamente F

' ~ F. La demostracin la haremos por el mtodo del absurdo:

supongamos que F es cerrado y que hay un elemento a E F ' que no est en F. Esto equivale a decir que a est en el complemento de F, complemento que es abierto dado que F es cerrado. EJsto implica a su vez que existe una vecindad de a completamente cont~nida en e.-ste complemento y por ende esta vecindad no contendr puntos de F. Esto contradice el hecho de que a pertenece a F ' . Esto finaliza la demostracin de la condicin necesaria.

La demostracin de la condicin ~;ufciente es an ms sencilla: suponga que F ' ~ F. Para demostrar que F es cerrado basta demostrar que su complemento FC es abierto. Debido a que todos los puntos de este ltimo conjunto no son puntos de acumulacin de F, elltonces deben ser puntos interiores de Fe. Esto demuestra que FC es abierto y finaliza la demostracin. _

3.3 Regiones Definicin 88

l. Sean P y q dos puntos en el espacio ll{n. Entonces al conjunto de todos los puntos x en R" de la forma

x = (1 - t) P + tq, con O:::; t :::; 1, lo llamaremos el segmento lineal que une el punto P con el punto q y lo denotaremoA:

Seg [p, q).

2. Una poligonal en ll{" es una secuencia finita de segmentos lineales de la forma

3. Un conjunto se dice que es poligonalmentt' conexo en R" si cualquier par de puntos p y q del conjunto pueden ser unidos mediante una poligonal completamente contenida en el conjunto de modo tal que P = PI Y q = Pn.

4. Por una regin en lit" se entender un conjunto no vaco, abierto y poli-gonalmente conexo.

3.3. REGIONES 57

Figura 3.2: Regin R poligonalmente conexa,

Ejemplo 89 Sean p =(2) 0) Y q = (.'3.9) dos puntos de %2. Entonces Seg [p, q] es el segmento de recta que une los puntos (:1.5) Y (3,9). Para demostrar este aserto, a partir de la definicin de S'eg [p, q] observe qv,e los puntos x de la forma (1 - t) p + tq corresponden a los puntos l~uyas coordenadas son:

(x,y)=(2(J -t)+3t.5(1-t)+9t) con O~t~l. De aqu se obtiene que:

'< . ( \ . \. .:, / _ / i ; ". I

x = 2(1- t.) + 3t, V=5(1-t)+9t, x . 2. --\.(

Despejando t de la primera ecuacin y reemplazndole, en la segunda, nos queda:

1) = 5(1 - t) + 9t = ,'5(1 - (x - 2)) + 9(:r - 2) = 4x - 3, lo que corresponde a la recta y = 4x - :3, que paso por los puntos dados.

Ejemplo 90 El conjunto:

R = {(x, y) : 4 < J;: +.ll < 9} ) es una regin del plano ya que es un CUJiJunto abierio y adems e8 poligonalmente conexo. En la FIgura 3.2 se ilustra uno. poligonal q1Jf 7lne dos puntos de la regin.

Ejemplo 91 El conjunto definido por:

A = {(x,y): Iy\ < x 2 }, representado por la Figura S.3 no eSi.!.na regi6n, ya que es imposible unir me-diante una poligonal el punto (-1,0) con el p1rnto (1,0).

Observacin 92 La necesidad de establecer f8WS definiciones se debe a que ms adelante tendremos que estudiar [rn es, ca ntinuidad y diferenciabilidad de .funciones en puntos perteneciente~ a subconjuntos de ]Rn. Como estos tres conceptos son de naturaleza local, es decir dependtn exclusivamente del compor-tamiento de la funcin en alguna vecindad del p'nto qUf 8e est considerando, entonces es necesarw que la func~n Ilajo con,szdemcin est definida al menos

58 CAPTULO 3. ELEMENTOS DE TOPOLOGA

I I

I L---__________ ~ ____________ _J

Figura 3.3: Conjunto A. polgonalmellte conexo.

{(x. y) : i!J! < x2 } No es una regin pues no es

en una vecindad del punto en Cllestin. Esta es la mzn por la cual, usualmente r;onsideraremos funciones solamenie definidas en conjuntos abiertos. Por otro lado, la razn por' la cual en general nos restringimos a conjuntos poligonal-mente conexos es debido a que se desea que algunos teoremas de una variable tambin se cumplan en varias variable3. POTo ejemplo en una variable se puede demostmr que si una funcin es d'iferenciable en un intervalo la, b[ de modo que su derivada sea nula en todo el intervalo, entonces la p.mcin debe ser constante. Un teorema similar a este no seria vlido si el dominio de la funcin no fuese poligonalmente conexo.

3.4 Sucesiones Definicin 93

1. Una funcin del tipo a r~ ---4 [Rk, la llamaremos sucesin en ~k y la anotaremos

o simplemente por {ar}, en (\ande an representa el vaior de la funcin en n, es decir ah = a(n). En general nunca nos referremos a una sucesin en el sentido de funcin, simplemente diremos: la sucf',sin {a n } y se entender que n representa ur: nmero naturai al cual le corresponde un punto en ~k que se denota por ano

2. Diremos que la sucesin {a",} en ]Rk converge al lmite L E ]Rk que la sucesin es convergente con lmite L, s se cumple que:

3. Sea {are} una sucesin en ]Rk y suponga que 'l/J es una funcin 1/J : ~ --4 ~ estrictamente creciente:

i < j ~ 1,1! (i)

3.4. SUCESIONES 59

Diremos que {a',fJ(n)} es una subs~1Cesi6n de la sucesin {an } s se cumple que:

a",(n) = a(,!(j).

4. Diremos que la sucffiin {a n } e-; de Cauchy, SI: (V E > O) (::JN E N) (Vm, n E N) (m,n ~ N:::;, !!a",-am!i < E).

Proposicin 94 Una sucesi6n {3,,} en:lk es comergGnte si y s610 si es de Cav.chy. Adem.s si a n = (al n , azn , 03n,' .. ahn), entonces esta sucesin converge al lmite L = (L 1 , L2 : L3: ... L k ) si y 8610 si ca,da sucesi6n (ajn)~=l converge al respecti1;o lmite Lj para todo ,j = 1,2, .'3, ... k.

Anlogamente an = (a1n,a2n,a3n, ... a/,;,,) es de Cauchy si y slo si cada sucesin {ajn} ~=l es de Cauchy para todo . .1 = L 2, :3, ... k. ,

Si {a n } converge all1T/.ite L, entonces toda subsucesi6n {a'lb(n)} de ella tam-bin converge al mismo limite L.

Demostracin. Tarea.

Ejemplo 95 Las sucesiones p1ieden ser descritas de varias maneras. Por ejem-plu, consideremos la sucesin {a,,} = {n2 + 2n}. Esta sucesin tambin podra haber sido descrita en cualesquiera de las siguientes cuatTO formas.'

1. 3" = n 2 + 2n, en donde n = 1,2,3, ...

2. 31,a2,a3, ... , en donde a" = n2 + 2n y 71 E ~~. 3. 3,8, l5, 24, 35, ... ,n2 + 2n, . ..

4. (n-4)2+2(n-4),endonden=5,6,7

Ejemplo 96 La fdncin v( n) = 21', es estrictflrnente creciente. La sub sucesin correspondiente {a.,,(n)} es a:, a 4 , a., , .. ': es decir todos los trminos con ndice par.

Ejemplo 97 Considere la s',cesin: ( 1 } ex, {n ;4 h=l

cuyos pr2meros trminos son:

1 1 1 1 1

Si 7j; es lo funci6n 1{.J (n) = 3n. entunces la subsucfsi6n correspondiente {a,J(n)} sera:

60 CAPTULO S. ELEMENTOS DE TOPOLOGA

Ejemplo 98 Sea {an } la suce,,,J n en ~ 3 definida pOi';

('" 1 n2 sin n)

a" = .: + ;1,' n'2 _ -' .-;;;-Una s1.Lbsucesin de {an } es:

{ _ , .l ;:; n SIn on

( , 2- '2 - ) b>]~= 2+-;:--,~-j--.,- .

;)71 Lan - 7 .511-

* *::.l.

Debido a que la misma sucesin puede ser indexada a partir de n = 1, como asimismo a partir de cualquier ot,l'Q natural, por ejemplo n = !'i, como en el ca.'lo 4 del Ejemplo 95, es que se acostumbra llamar su('esin a cualquier funcin cuyo dominio es un subconjunto A de ios naturales que cumpla con:

(Vn E ~)(3m E A)(m > n). En otras palabras: que A contenga nmeros naturales arbitrariamente grandes. Con esta "ampliacin" del concepto de sucesin, podemos decir que la subsuce-sin a2, a 4, as, .. ' de la sucesin {8",} tambin es una sucesin.

Proposicin 99 (Bolzano- Weierstrass) Un subconjunto K ~ R,k es compacto si y solo si toda sucesin

tlene al menos una subsuctsin {a 4'(n)} convergente, cuyo lmite pertenece a K. Demostracin. Condicin necesaria: sea K un subconjunto V"dco de

][{k Supongamos que ..,e cumple ia condicin relativa a las sucesiones. De-mostraremos que l\ es compacto, (;,"3 decir, demostraremos que K es cerrado y acotado.

Cerrado: supongamos que !( !lO es cerrado. Entonces por Proposicin 87 el conj l ll1to K tiene un punto de acumulacin L con L 1: K. Como L es un punto de acumulacin de K es po:oible ha!!?r una ::;ucesi6n {are} ~ K tal que im an = L.

n-+oo

Ahora bien, est.a sucesin no tiene ninguna subsucesin que converja en K, ya que toda subsucesin de {a,,} debe convergn tambin a L. Est.o contradice la condicin relativa a la.s sucesiones y por lo tanto demuestra que K es cerrado.

Acotado: supongamos que K no es acotado, Entonces es posible hallar una sucesin {a n } ~ K tal que

Jn Ilanll = 00, 'i1--+ ,:)

3.5. PROBLEIvIAS 61

Condicz6n suficiente: dividiremos b. d('mo~,trc.cin en dos casos: Caso 1. Si el recorrido de {3n } es finito, entonces habr un trmino que se

repite indefinidamente y evidentemente la s:bsucesin formada restringiendo el recorrido a ese nico punto ser convergente y su limite, que es el mismo punto, estar en RO.

Ca,>o 2. Si por el contrario, el subconjunto {a n } ~ !

62 CAPiTULO J, ELEMENTOS DE TOPOLOGA

5, Grafique los siguientes subconjuntos del plano: a) {(x, y) : Ixi -+ !Jj m; n,m, 1'1 ,

l \m n

8, Un punto q E la:n se dir que es un punto frontera del conjunto A si cada vecindad ~~ (q:l de q cont ene puntos de A y tambin puntos del complemento de A. El conjunto de todos los punt.os fronteras de A se anota por Fr(A) y se conoce como la frontera de A, Encuentre la frontera de cada uno de los conjuntos del problema anterior.

9, Demuestre que A ffi cerrado.;::::::}Fr(A) ~ ,1. 10. Sea A ~ ]Rn, Demuestre que:

A:::: A" u (Fr(A) nA). en donde la unin es disjunta. Que sucede si A es cerrado?

11. Suponga que A e R ~ Jl(n )' que R es un subconjunto cerrado de Jl(n. Demuestre que

h(A) = R - (AO U (R -, A)O)

12. Recuerde que un punto q E A ~ ]Rn e3 un punto interior de A si existe r > O tal que 1fT (q) ~ A. Al conjunto de todos los puntos interiores se lo conoce como "el interior de A" y se denota por lnt(A). Determinar el Int(A) para cada uno de los conjuntos del Problema 7.

13. Demuestre que,

A. abierto.;::::::} Int (A) e A.

14. Para caaa conjunto dado en ei Problema 5, determine su frontera e interior. 15. Determine

Fr(Q x Q), Int(Q x Q), Fr(2 x 2), Int(2 x 2), Fr(~ x Q ), Int(lR x Q).

3.5. PROBLEMAS 63

16. Demuestre que si x = (::r,X2. .. ,Xn) e y = (:1J1.Y'2, 'Y71)' entonces: (a) Ix; - vil :s d(x, y) =.'" I'x - yll '

64 C.1 rTuLo 3. ELEI\fENTOS DE TOPOLOGA

25. Sean A y B dos subcollJunto'i d(~ ll" Demuestre que:

,4" 'v B'} e (A LJ Bt N i B') (A n B)"

De un ejemplo de dos s11bconjunt.os de la recta de los reales para los cuales se cumpla que AV U EO i- (A U Br .

26. Sea F ~ R,n, Se di~ que Ulla coleccin e de subconjuntos abiertos de Rn, digamos C = { G",} es un c'U,b rimiento rle F si,

Demuestre que si para todo cubrimiento e = {G>} de un conjunto F es posible elegir una C'alltidad Hnita de ellos (subrecubrimiento), digamos G l Gz, ... ,Gk (la cantidarl de conjumos depende del cubrimiento C) tal que.

k Fe;; U Gj

)=1

entonces F es un subconjunto compacto de R". El recproco de este resul-tado se conoce como "Teorema de Heine-Borel". Una demostracin de este recproco puede verse en el texto de 1brn Apostol "Anlisis Matemtico" .

'':'7. Demuestre que no es cierto que para todo cubrimiento abierto de jO,l[ exista un suhrecubrimiento finito.

28. Considere la sucesin {an} definida por: ao = O; al = 1: an = (an-l + an-2)/2 para n 2: 2. Demuestre que tan} es convergente y encuentre su lmite. Indicacin: primero deinuestre que U,n+l - an = (-1 /2)n ya partir de este resultado demuestre qur:: la sucesin es de Cauchy. Finalmente use Proposicin 94.

29. Un conjunto X se dice que es un espacio mtrico si existe una funcin d : X x X --> R llamada mtrica que satlliface todas la", propiedades de una distancia (ver Pwbletnc. 1, pgina 22). En este caso, el espacio mtrico se anota (X. d). Por ejemplo c~.n, d) es un espacio mtrico con d(x, y) = Ilx - yll. Se dice que un espacio mtrico es completo si toda sucesin de Cauchy es convergente. De acuerdo a la Proposicin 94, el es?acio Rn con la mtrica d es completo; en cambio el espacio X = ]0, 1[ ~ .IR. con la mtrica d(x, y) = jx - yl no 10 e.s, Demuestre que el espacio mtrico (X, d) es completo si toda sucesin de Cauchy tiene alguna subsucesin convergente,

Captulo 4

Lmites y continuidad

4.1 Nociones bsicas Definicin 100 Sea F : e ]Rm una funczn vectorial y p un punto de acumulacin de G. Diremos que L E R,ffi es el lmite de F(x) cuando x tiende al punto p si para toda vecindad no vaca Vs(L) del punto L, exiBte una vecindad no vaca V6 (p) de p tal que:

Si lo anterior se cumple, anotaremos:

lim F(x) = L, >

66 CAPI'I'ULO 4, LJfITES y CONTINUIDAD

para cada una de sus funcio1U te: componente8, Adem8 en tal caso, se tiene qut:

lm F(x) = (L1""",L k ) E ]Rm, x->p

En otras palabras, de existir todos los lmites involucmdos, se cumple que:

Iim F(x) = (lim h (x), lim fz(x) , , .. , iim fm(x)). X--'p x----p x~p x--~p

Demostracin. Ejercicio (vea Problema 101 al final del captulo). _

Observacin 102

1, Note que el concepto de lmite est definido solamente en puntos de acu-~~acin del dominio de la funci~Il,lt;s~ual(; no tienen necesariamente que pertenecer a dicho dominio,

2. La Definicin 100 es una generali,mcin de la definicin de lmite dada para el caso en que f es funcin ele slo una variable.

3. Si f : G ~ IR2 -> IR, entonces en el caso que f tenga lmite L cuando (x, y) tiende al punto (a, b) E G', se acostumbra a escribir:

lim f(x,y) = L 6 tambin lim f(x,y) = L, (x,y)->(a,b) ";,~;

y en este caso, usando la convencin que f y 8 representan nmeros reales positivos, la DefinicinlOO queda:

(Ve, 38, V (X,II) E G)(O < (x-- 0,)2 + (y - b)2 < 82 :=} If(x, y) - LI < e.

4. Note que la condicin:

corresponde a exigir que el punto (:r:, y) pertenece a la vecindad agujereada de centro (a, b) y rallio 8,

.5. Que se cumpla la desigualdad if(;r:, y) - LI < e, es equivalente a pedir que:

Ejemplo 103 Considere la funcin f : R2 --, :~. definida por (x, y) = 7x--4y. Demuestre que:

lim f(:r:,y) = 1. (x.1I)--~(3,5)

Z .'\ 6'1 ( ..., O (( '\ ( 'J 1"'. L-~ < +"1- y j-,.. -;:() '1-2;) "- ~ ---

1

~ ~

4.1. NOCIONES BSICAS 67

Solucin. El ejemplo parece trivial pues resulta e\"ld~nte que cuando :r se aproxima a 3 e y se aproxima a .'). entonces la expresin 7x- 4y debiera aproxi-marse al valor L = 1. Sin embargo, si queremos SP~ rigurosos en la demostracin debemos usar la definicin. Esto es, debemos der:lOstrar que para todo E > 0, existe fj > 0, tal que para todo (x. y) E 11/. se cumple qLle:

I 7x- 4'- 1\ < . ", '-",

Supongamos que para s > O hemos encontrado "j nmero positivo 5 que cumple con la implicacin. Veamos cuanto debera \det. Como el par ordenado (x, y) cumple con:

( 4.1)

se deduce que (x - 3)2 < b'.: Y tambin que (y '- 5)2 < {)". Tomando races cuadradas, se obtienen las siguientes uesigualdadcs:

jx - 3; < ~ !y- '11 < 6. Ahora podemos usar estas dos ltima~ desigualdades de la siguiente manera:

7x - 4y - 11 7x - 21 + 21 - 4y +- 20 - 20 -- 11 17 (x - J) + 21 - 4 (y - 5) - 20 - 1 1- ( 3' i "\ I : I \,X - . ) - : \Y - .J J

< 7(x-3)1+14(y-5)! < 7{) +- 48 = 118

(4.2) (4.3)

Para conduir con el problema nos falta hallar tj > O Y demo':itrar que para cualquier par (x,y) que satisfaga la inecuacin 4.1, debe cumplir con:

!h - 4y - 11 < :.,

En vista de ia desigualdad 4.2. basta tomar 8 0= s/1l. l

68 CAPTULO 4. LMITES Y CONTINUIDAD

Solucin. Hay que demostrar que dado E > 0, es posible hallar > 0, tal que la siguiente implicacin se" verdadera

o < (x + 2)2 + (y -- 7):l + (2 - 4)2 < 2 ===> f(x, y_. z) - 691 < E. Si analizamos cuidados~l.Inente la implicacin, notaremos que de existir un tal 8, entonces C1/.alq7er otro valor positivo menor que 6 tambin cumplir con dicha implicacin (ya qUe si 6 es ms chico, entonces x, y y z estarn ms restringidos). Por consiguiente, podemos, desde un comienzo restringirnos a valores de 6 ~ 1. Para hallar b. comenzaremos de manera similar al ejemplo anterior. Buscaremos el 6 estudiando las condiciones que debe cumplir para que satisfaga la implicacin. Observe ql1":':

If(x , y, z) -- 691 14x + y'2 + 3z + z'l. - 69) 14x + 8 + y2 - 49 + 3z + z2 - 28! 14(.1' -'- 2) + (y --- 7)(y + 7) -~- (z - 4)('z + 7)1

< 41x + 21 + i(y - 7)(y + 7)1 + I(z - 4}(z + 7)1 Ahora, como sabemos que {; cumple COI;:

se tienen las siguientes tres de'3igualdaaes:

Extrayendo rac'Os cuadradas, resulta:

Ix + 2 < 6; lb" -- 71 < ,5: !;; - i! < {j, y por lo tanto, se obtiene que:

If(x , y, z) - 691 < 4!x + 21 + j(y - 'i'){V + 7)1 + I(z - 4)(z + 7)1 < 46 -1- :ti T 7i S + i, -t- 7i 8,

Por otra parte, como 8 ~ 1, se tieae que:

Iy + 71 = Iy - 7 + 141 ~ Iy - 71 + 14 < + 14 ::; 15 Y tambin Iz + 71 = Iz - 4 + 11) ~ I,~ - 4) + 11 < 8 + 11 ::; 12.

Pur lo que, finalmente obtenemos:

If(x,y, z) - 69\ < 46 + 1.11 + 71 S + z -+- 716 ~ 40 + 158 + 126 = 310. Por lo tanto, nuestro t5 debe ser elegido como cualquier nmero real tal que:

0< 5::; min{1,,)31}_ Queda como ejercicio para el lector, el concluir la demostracin a la manera del Ejemplo 103.

4.1. NOCIONES BAsICAE 69

Ejemplo 105 Sea I . ~2 - {(O, O)} ---> Ji; dej7.ncda pOTo

Demupstre qv.p lim. I (x, y) = O. lx,y)--(OJO)

Solucin. Observe primr;fO qU: d pm,r O) !l() :)(-;!V'necf' al dominio :2 _ {(O, O)}; sin embargo (O. O) es Ull punto ','- .cumtilaci d.e e'ite conjunto.

Se8 E: > O. Como:

se tendr que basta tomar: {j ~= \l;. .JUesto que c;i (x y) es ti n p.':lf ordenado tal que 0< X2 + y2 < 82 , entonces se tendr que (:r, I.j) i (0, O) }' tambin que x2 + y2 < t"? = E:. De manera TIe:

1I (~, y') - 01 < x2 ; 1/' ./ P ,

70 CAPTULO 4, LMITES Y CONTINUTDAD

en 'V* (O, ~), Termine la demostracin, tornando:

Ejemplo 107 Sea f : G ;; :l2 - ]!{ deji'da por: . , xy t (::r '" -, . ,y. -- -Z-+ 2

::r y

en donde:

Dernuestreque lirn f(x,y)=. (x,y)--> (0,0)

Solucin. El grfico correspondiente al dominio de esta funcin puede verse en la Figura 3.:3, pgina 58,

Hagamos un cambio de variables a coordenadas polares:

.c = rcos{;J; y=rsinB .

Entonces

r2 cos B sin e _. Il ()

._- 2 - sm o cos . rZ cos2 H + r Z sin B

Ahora, como el par (::r, y) debe mantenerse dentro del dominio G, se deduce que: (x,y) -> (0.0) ~~ r -> O Y B -+ O.

De modo que:

lim f(x, y) (x,y)~(O,O)

xy lim ----2 - lim sin B cos B (:;,y)-~(),O) x2 + y r~O e~o

lim sin e cos t9 = O. 0--.0

Esto termina la demostracin, Es interesante observar que si cambiamos el dominio de definicin de la fUllci6n, el lmite puede dejar de existir. En el Ejemplo 112 de la prxima seccin se e:tudia el caso en que el dominio es el conjunto ~2 - {(O, O)},

Ejemplo 108 Demuestre qUf

1, sin p +y2

.Im ------ = 1 (x,y)-(O,O) V/Xl + y2

4.2. UNA. CONDICIN NECESARIA

! I I I

l -------------1

I I

i

Figura 4.::

Solucin. Hagamos un cambio de variabies a coordenadas polares:

. 1: = reosa: y = rsin O .

Entonces, ya que el dominio de la funcin es !!{z -- {(O, O)}: se t.iene que:

(x, y) ---> (O, O) r -.. , n. Esto implica que:

El grfico de la funcin corresponde a la Figurq 4.1,

4.2 U na condicin necesaria

71

J'vlucha,,; veces se sospecha qUf' una cien lnite en a, entonces este lmite, digamos L debiera ser nico, Por ron"igueu1(" si nos 3,pruy,mramos a dicho punt,; de acumulacin mediante una recta, nna parhola alguf;i;t otra rurva, entonces (\.eD~rlarn.\.JS o\)tener ~l\ n.f,rno ~~t-~--'u1t~~~:i'-:; ~ale (;('\r L. p(); el cf~ntrh.rio~ de obtener rcsultados dL'itintos tendramos que C'OllClnr q'l la funcin no tiene lmit" en el punto a.

F~te criterio es sencillo de aplicar, especialm

CAPiTULO 4. LMITES Y CONTINUIDAD

si para todo i E ]0.1], se cumple que: 1jJ (t) 1- a.

En tales caso diremos que la convergencia es propia.

Proposicin 110 Sea L 'Un nmero real y a un punto de acumulacin de G;:; R n y sea f : G -. iR tal que

lim f (:r) = L. X~4a

Entonces:

lim f (1/J (t)) = L, t-~O+

para toda curva'IjJ : [0,1] -> G tal que 'IjJ (t) .!:.,.. a (t -> 0+). Demostracin. Sea s > O. Como limf (x) = L se tendr que existe b > O

x~.

tal que:

x E V/ (a) n G => If ~x) - L! < e ( 4.4) Ahora como 'zP (t) .!:.,.. a, cuando t -4 0+, se tendr que existe r > O tal que:

(4.5) Finalmente de 1.4 ~' 4.5 se deduce que:

0< t < r7.::} 1I (P(t) - L)I < s. Esto termina la demostracin,