libro calculo vectorial

CALCULO VECTORIAL

JERROLD E. MARSDEN CORNELL UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY

ANTHONY J. TROMBA UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SANTA CRUZ

Versión en español de Manuel López Mateos

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l A u t ó n o m a d e México

Con la colaboración de Sergio Adarve D.

U n i v e r s i d a d d e los Andes Bogotá, Colombia

A vv ADDISON-WESLEY IBEROAMEKICAP L

Argentina 0 Brasil o Chile o Colombia o Ecuador o Ejpaña Estados Unidos 0 México o Perú 0 Puerto Rico o Venezuela

Versión en espaíiol de l a obra titulada Vector calculus, Third edition, de Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba, publicada originalmente en inglés por W. H. Freeman and Company, Nueva York @ 1976, 1981 y 1988 por W. H. Freeman and Company

Esta edición en español es la única autorizada.

@ 1991 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.

Impreso en los Estados Unidos de América. Printed in U.S.A.

ISBN 0-201-62935-6

6 7 X 9 10 11 12 13 14-CRS-00 99 9X 97 96

L a política es para el momento. Una ecuación es para la eternidad.

A. EINSTEIN

Algunos trucos de. cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos que escriben los libros de matemáticas avanzadas pocas veces se toman la molestia de mostrar cuán fáciles son los cálculos fáciles.

SILVANUS P. THOMPSON Calculus Made Easy, Macmillan (1910)

ÍNDICE GENERAL

PREFACIO ix

1 LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1 ~~

1.1 Vectores en el espacio tridimensional 1 1.2 El producto interno 2 1 1.3 El producto cruz 30 1.4 Coordenadas esféricas y cilíndricas 47 1.5 Espacio euclidiano n-dimensional 57

Ejercicios de repaso del capítulo 1 68

2 DIFERENCIACI~N 75

2.1 Geometría de las funciones con valores reales 76 2.2 Limites y continuidad 95 2.3 Diferenciación 118 2.4 Propiedades de la derivada 13 1 2.5 Gradientes y derivadas direccionales 145 2.6 Derivadas parciales iteradas 157

*2.7 Algunos teoremas técnicos de diferenciación 168 Ejercicios de repaso del capltulo 2 180

vi iNDlCE GENERAL

3 FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES 189

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Trayectorias y velocidad 189 Longitud de arco 201 Campos vectoriales 2 1 1 Divergencia y rotacional de un campo vectorial

Cálculo diferencial vectorial 23 1 Ejercicios de repaso del capltulo 3 238

220

4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MÍNIMOS 241

4.1 4.2 4.3

*4.4 4.5

Teorema de Taylor 242 Extremos de funciones con valores reales 248 Extremos restringidos y multiplicadores de Lagrange Teorema de la función implícita 280 Algunas aplicaciones 291 Ejercicios de repaso del capítulo 4 298

265

~~ ~ ~

5 INTEGRALES DOBLES 303 ~~

5.1 5.2 5.3 5.4

*5.5

Introducción 303 Integral doble sobre un rectángulo 314 Integral doble sobre regiones más generales 329 Cambio en el orden de integración 336 Algunos teoremas técnicos de integración 342 Ejercicios de repaso del capitulo 5 352

6 INTEGRAL TRIPLE, FóRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES 355

6.1 Integral triple 355 6.2 Geometría de las funciones de R2 a R2 364 6.3 Teorema del cgmbio de variables 371 6.4 Aplicaciones de las integrales dobles y triples 389

*6.5 Integrales impropias 401 Ejercicios de repaso del capítulo 6 408

iNDlCE GENERAL Vii

7 INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES 413

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5 7.6

La integral de trayectoria 414 Integrales de línea 419 Superficies parametrizadas 440 Área de una superficie 449 Integrales de funciones escalares sobre superficies 463 Integrales de superficie de funciones vectoriales 472 Ejercicios de repaso del capítulo 7 486

8 TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL 490

8.1 Teorema de Green 490 8.2 Teorema de Stokes 504 8.3 Campos conservativos 517 8.4 Teorema de Gauss 528

*8.5 Aplicaciones a la flsica y ecuaciones diferenciales 544 *8.6 Formas diferenciales 566

Ejercicios de repaso del capítulo 8 582

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON N U M E R A C I ~ N IMPAR 585

TABLAS 647

ÍNDICE DE MATERIAS 655

PREFACIO

Este texto se ideó para un curso de un semestre de cálculo de funciones de varias variables y análisis vectorial, en el nivel de segundo año de universidad. En ciertas ocasiones el curso es precedido por un curso introductorio de álgebra lineal, pero esto no es un requisito esencial. Sólo se requieren de los rudimientos más simples del álgebra matricial, y los conceptos necesarios son presentados en el libro. Sin embargo, suponemos que se conocen los principios.de1 cálculo de una variable -diferenciación e integración de las funciones comunes.

En el libro se incluye la mayor parte de la teoría básica, así como muchos ejemplos concretos y problemas. La experiencia docente en este nivel indica que es deseable omitir la mayoría de las demostraciones técnicas; son difíciles para los principiantes y se incluyen más bien como referencia o lectura suplementaria. En particular, algunas de las demostraciones técnicas de los teoremas en los capítulos 2 y 5 se presentan en las secciones optativas 2.7 y 5.5. La sección 2.2 sobre límites y continuidad ha sido diseñada para estudiarse superficialmente y es deliberadamente breve. Se han omitido temas teóricos más sofisticados, como compacidad y demostraciones delicadas de teoría de integración, pues en general pertenecen a cursos más avanzados, y son mejor explicados en éstos.

En este nivel es importante tener habilidad para calcular y comprensión intuitiva; hemos procurado satisfacer esta necesidad haciendo el libro tan concreto y orientado al estudiante como nos fue posible. Por ejemplo, aunque hemos for- mulado correctamente la definición de derivada, lo hicimos usando matrices de derivadas parciales en lugar de transformaciones lineales. Este recurso por sí solo puede ahorrar una o dos semanas de lecciones y evitar dolores de cabeza a los estudiantes cuyos conocimientos de álgebra lineal no estén en su mejor forma. Además incluimos un gran número de ilustraciones físicas. En particular, hemos incluido ejemplos de áreas de la física como mecánica de fluidos, gravitación y teoría electromagnética, y también de economía, aunque no se supone un conocimiento previo de dichos temas.

x PREFACIO

Una característica especial del libro es la pronta introducción de campos vectoriales, divergencia y rotacional en el capítulo 3, antes de integración. En un curso de este tipo el análisis vectorial se resiente; el presente arreglo fue diseñado para compensar esta tendencia. Avanzando en esta dirección, podría considerarse exponer el capítulo 4 (teorema de Taylor, máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange) después del capítulo 8 (análisis vectorial).

Esta tercera edición conserva el balance entre teoría, aplicaciones, material optativo y notas históricas presente en la segunda edición. Los cambios en esta tercera edición son los siguientes: Fred Soon y Karen Pao han revisado los ejercicios y han publicado una Guía de estudio (S tudy Guide). Esta gu ía cont iene soluciones completas a ejercicios seleccionados del libro (los números o letras de estos ejercicios han sido encuadrados para su fácil identificación) así como sugerencias para estudio y ejemplos de exámenes.

Los ejercicios se han colocado en una progresión más adecuada, de acuerdo con su nivel de dificultad y cubren una mayor amplitud de temas. Los teoremas técnicos optativos sobre diferenciación y los teoremas sobre integración se han cambiado de los apéndices a los capítulos 2 y 5, y están impresos en t ipo más pequeño. El largo capítulo sobre teoría de integración ha sido dividido en dos añadiéndose una nueva sección sobre aplicaciones de integrales múltiples. Se ha incluido material adicional sobre coordenadas cil índricas y esféricas y se ha simplificado la sección sobre el significado geométrico de l a divergencia y el rotacional . A lo largo del libro se han hecho otros cambios y correcciones que mejoran l a exposición. Muchos de &tos han sido sugeridos por lectores de la segunda edición y estamos en deuda con todos ellos por haber mejorado el l ibro para beneficio del estudiante.

REQUISITOS PREVIOS Y NOTACIóN

Suponemos que los alumnos han estudiado cálculo de funciones de una variable real, incluida l a geometría analítica en el plano. Algunos estudiantes quizá también hayan estudiado matrices, aunque lo que vamos a necesitar se presenta en las secciones 1.3 y 1.5.

También suponemos que los alumnas están familiarizados con funciones del cálculo elemental, como sena:, cos a:, e" y logz (escr ibimos logz para el loga- r i tmo na tura l , que a veces se denota por In 2 o log, z). Se espera que los alumnos conozcan, o repasen conforme transcurre el curso, las reglas básicas de diferen- ciación e integración para funciones de una variable, como l a regla de la cadena, la regla del cociente, integración por partes y demás.

Ahora resumiremos las notaciones que se van a usar, a veces sin mención explícita. Los alumnos pueden leerlas rápidamente y después recurrir a ellas, si fuese necesario.

La colección de los números reales se denota por R. Así, R incluye los enteros, . . . , -3, -2, -1, O , I , 2, 3, . . . ; los números racionales p / q , donde p y q son

PREFACIO Xi

Figura 0.1 Representación geométrica de puntos sobre la recta numérica real.

enteros (q # O); y los números irracionales, como a, T y e. Los elementos de R se pueden visualizar como puntos sobre la recta numérica real, según se muestra en la figura 0.1.

Cuando escribimos a E R queremos decir que a es un elemento del conjunto R; en otras palabras, que a es un número real. Dados dos números reales a y b con a < b (esto es, con a menor que b), podemos formar el intervalo cerrado [a,b] formado por todos los z tales que a 5 z 5 6 , y el intervalo abierto ( a , b ) formado por todos los 2 tales que a < x < 6. De manera análoga, podemos formar intervalos semiabiertos ( a , b] y [a, b ) (figura 0.2).

Figura 0.2 Representación geométrica de los intervalos [a, b ] , (c, d) y [ e , f],

El valor absoluto de un número a E R se escribe la1 y se define como

Por ejemplo, 131 = 3, 1-31 = 3 , 101 = 0 y 1-61 = 6. La desigualdad la+b1 5 lal+lbl

siempre se cumple. La distancia de a a b está dada por la - bl. Así, la distancia de 6 a 10 es 4 y de -6 a 3 es 9.

Si escribimos A c R, queremos decir que A es un subconjunto de R. Por ejemplo, A podría ser igual al conjunto de los enteros {. . . , -3, -2, -1, O , 1 , 2 , 3 , . . .}. Otro ejemplo de subconjunto de R es el conjunto Q de números racionales. En general, para dos colecciones de objetos (esto es, conjuntos) A y B , A c B significa que A es un subconjunto de B ; esto es, todo elemento de A también es un elemento de B.

El símbolo A U B significa la unión de A y B , la colección cuyos elementos son elementos de A o B . Así

{. . . , -3, -2, - 1 , O ) u { - l , O , 1 , 2 , . . .} = {. . . , - 3 , -2, - l , O , 1 , 2 , . . .}.

De manera análoga, AflB significa la intersección de A y B ; esto es, este conjunto está formado por aquellos elementos de A y B que están tanto en A como en B . Así, la intersección de los dos conjuntos anteriores es {-1, O}.

Escribiremos A \ B para denotar los elementos de A que no están en B . Así,

{. . . , -3, -2, -1, O} \ {-1, o, 1 , 2 , . . .} = {. . I , -3, -2)

x i PREFACIO

Tan1bii.n podemos especificar conjuntos como en los ejemplos siguientes:

{ u E RI a es un entero} = { . . . , - 3 , -2, -1. O , 1 , 2 , . . .}

{ a E R.1 u es u n entero par} = { . . . , -2, O , 2 , 4 , . . .)

{ X E R.la 5 T 5 b } = [u, b ] .

Una función f : ,4 - B es una regla que asigna a cada a E A un elemento específico f ( a ) de B. E1 hecho de que la función f mande a a f ( a ) se denota simbólicamente por a H f ( a ) . Por ejemplo f ( z ) = x3/(l - x) asigna el número z3/( 1 - x) a cada z # 1 en R. Podemos especificar una función f dando la regla para f(z). Así, l a función f arlt,erior se puede definir por la regla 2 H z3/( 1 -x).

Si A c R, f: A c R ”+ R significa que f asigna un valor en R., f ( x ) , a cada x E A. El conjunto il se llama dominio de f , y decimos que f tiene contradominio R, pues es ahí donde se tornan los valores de f . La gráfica de f consiste de los punt,os (x1 f(2)) en el plano (figura 0.3). Generalmente una asociación (= función = transformación = asociación) f : A - B, donde il y B son conjuntos, es una regla que asigna a cada z E A un punto específico f (z ) E B.

\ O - - x

.I = dorrtinio

Figura 0.3 Gráfica de una función con el intervalo semiabierto A como dominio.

La notación Cy=l ui significa a l + . . . + a, donde a l , . . . ~ a, son números dados. La suma de los primeros 7 1 enteros cs

,=I

La derivada de una función f(z) se denota por f’(z) o

!.f dx ’

PREFACIO xiii

y la integral indefinida se escribe

Jab f (x) dx. Si hacemos y = f ( x ) , la derivada también se denota por

- dY d x '

Se supone que los lectores conocen la regla de la cadena, la integración por partes y otras reglas que gobiernan al cálculo de funciones de una variable. En particular, deberán saber cómo diferenciar e integrar funciones exponenciales, logaritmicas y trigonométricas. AI final del libro hay una breve tabla de derivadas e integrales, adecuadas para las necesidades de este libro.

Las siguientes notaciones se usan como sinónimos: ez = exp x, In x = log x y sen-' x = arcsen x.

El final de una demostración se denota por el símbolo U, mientras que el final de un 'ejemplo u observación se denota por el símbolo A El material opcional más teórico o los ejercicios más difíciles están precedidos por una estrella: *.

AGRADECIMIENTOS

Multitud de colegas y estudiantes de la comunidad matemitica han hecho valio- sas aportaciones y sugerencias desde que se inició este libro. Un primer borrador se escribió en colaboración con Ralph Abraham. Le agradecemos que nos permi- tiera usar su trabajo. Es imposible nombrar a todos los que han ayudado en este libro, pero queremos agradecer de manera especial a Michael Hoffman y Joanne Seitz por su ayuda en las ediciones anteriores. También recibimos comentarios valiosos de Mary Anderson, John Ball, Frank Gerrish, Jenny Harrison, David Knudson, Richard Koch, Andrew Lenard, Gordon McLean, David Merriell, Jea- nette Nelson, Dan Norman, Keith Phillips, Anne Perleman, Kenneth Ross, Ray Sachs, Diane Sauvageot, Joel Smoller, Melvyn Tews, Ralph y Bob Tromba, Steve Wan, Alan Weinstein y John Wilker.

Agradecemos a los siguientes instructores sus revisiones detalladas del manuscrito de esta edición: David Bao, de la University of Houston; Stanley M. Lukawecki, de la Clemson University; John F. Pierce, de la West Virginia Uni- versity y Herb Walum, de The Ohio State University.

Una palabra final de agradecimiento para quienes ayudaron a la preparación del manuscrito y la producción del libro en inglés. Agradecemos en forma especial a Connie Calica, Nora Lee, Marnie McElhiney, Rosemarie Stampful, Ruth Suzuki, Ikuko Workman y Esther Zack por su excelente mecanografiado de diferentes versiones y revisiones del manuscrito; Herb Holden de la Gonzaga Uni- versity y Jerry Kazdan de la University of Pennsylvania por sugerir y preparar la figuras generadas por computadora; Jerry Lyons por su trabajo como nuestro editor en matemáticas; Richard K. Mickey por su magnífica corrección de estilo y Philip McCaffrey por su supervisión editorial.

xiv PREFACIO

Mantendremos una lista actualizada de correcciones y sugerencias acerca de esta tercera edición. Con gusto enviaremos dicha lista a cualquier usuario del texto. Favor de solicitarla a Jerrold Marsden, Department of Mathematics, Cor- ne11 Universit,y, Ithaca, NY 148537901, o a Anthony Tromba, Department of Mathematics, liniversity of California, Santa Cruz, CA 95064.

Jerrold E. Marsden

Anthony J. Tkomba

1 LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

Los cuaterniones vienen de Hamilton . . . y han sido maldición

pura para quien, de alguna forma, los ha tocado. El vector es

un sobreviviente i n ú t i l , . . y jamás ha sido de la más mínima

utilidad para ningún ser viviente.

Lord Kelvin

En este capítulo consideramos las operaciones básicas de los vectores en el espacio tridimensional: la suma vectorial, la multiplicación por un escaIar y los productos punto y cruz. En la sección 1.5 generalizamos algunos de estos cow

ceptos al n-espacio y revisamos las propiedades de las matrices que necesitaremos en los capítulos 2 y 3.

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Los puntos P en el plano se representan mediante pares ordenados de números reales ( a , b ) ; los números a y b se llaman coordenadas cartesianas de P. Tracemos dos rectas perpendiculares, llamémosles ejes z y y, y bajemos perpendiculares de P a los ejes, como en la figura 1.1.1. Después de designar la intersección de los ejes x y y como origen, y de escoger unidades en estos ejes, producimos dos distancias dirigidas a y b , como se muestra en la figura; a se llama la componente z de P, y b se llama la componente y.

Los puntos en el espacio se pueden representar de manera análoga mediante ternas ordenadas de números reales. Para construir dicha representación escogemos tres rectas perpendiculares entre sí que se crucen en un punto en el espacio.

2 LA GEOMETRíA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

b

U

Figura 1 .1.1 Coordenadas cartesianas en el plano.

Estas rectas se llaman: eje z, eje y y eje z , y el punto en el que se cruzan se llama origen (es nuestro punto de referencia). Escogemos una escala sobre estos ejes. Es común referirse al conjunto de ejes como sistema de coordenadas, y se trazan como se muestra en la figura 1.1.2.

Figura 1.1.2 Coordenadas cartesianas en el espacio.

Podemos asignar a cada punto P en el espacio una terna (ordenada) única de números reales (a, b , c ) ; y, recíprocamente, a cada terna podemos asignar un punto Único en el espacio, tal y como lo hicimos para los puntos en el plano. Al origen del sistema de coordenadas le corresponde la terna (O, O , O ) , y las flechas en los ejes indican las direcciones positivas. Así, por ejemplo, la terna (2,4,4) representa un punto a 2 unidades del origen en dirección positiva a lo largo del eje z, a 4 unidades en dirección positiva a lo largo del eje y , y a 4 unidades en dirección positiva a lo largo del eje z (figura 1.1.3).

Debido a la posibilidad de asociar de esta manera los puntos del espacio con las ternas ordenadas, es común usar la expresión "punto ( a , b , c)" en lugar de la

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 3

Z

L

’ Y

Figura 1.1.3 Representación geométrica del punto ( 2 , 4 , 4 ) en coordenadas cartesianas.

frase más larga “punto P que corresponde a la terna (a, b, e).” Si la terna (a , b , c ) corresponde a PI decimos que a es la coordenada x (o la primera coordenada), b es Ia coordenada y (o segunda coordenada), y c es la coordenada z ( o tercera coordenada) de P. Teniendo en mente este método para representar puntos, vemos que el eje t está formado por los puntos de la forma (a,O,O), donde a es cualquier número real; el eje y está formado por los puntos (O, a , O); y el eje z está formado por los puntos (O, O , u ) . También se suele denotar a los puntos en el espacio con las letras x, y y z en lugar de a , b y c . Así, la terna (x, y, 2)

representa un punto cuya primera coordenada es x, la segunda coordenada es y, y la tercera coordenada es z .

Empleamos la notación siguiente para la recta, el plano y el espacio tridimensional.

(i) La recta real se denota por R1 (así, es lo mismo R que R1). (ii) El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de números reales se denota

(iii) El conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y, z) de números reales se por R2.

denota por R3.

Cuando se habla en conjunto de R1, R2 y R3, se escribe Rn, n. = 1, 2 o 3; o R“, m = 1, 2, 3.

L a operación de suma se puede extender de R a R2 y R3. Para R3 se procede de la manera siguiente. Dadas dos ternas (t, y, z ) y (d, y’, z’), definimos su Suma mediante

( 2 , Y, 2) + (z‘, Y’, z ’ ) = (z + z’, Y + Y’, 2 + z ’ ) .


EJEMPLO 1 (1,1,1) + (2 , - 3 , 4 ) = (3 , - 2 , 5 )

(x, Y, .) + ( O , o , 0) = (2, Y, 2 )

( 1 , 7 , 3 ) + ( 2 , 0 , 6 ) = ( 3 , 7 , 9 ) . A

El elemento ( O , O , O) se llama elemento cero (o sólo cero) de R3. El elemen- to (-x,-y,-z) se llama inverso aditivo (o negativo) de (.,y, z ) , y se escribe ( x , y, z ) - ( d l y’, z’) en lugar de (z, y, z ) + ( - -x / , -y’, - 2 ) .

Hay operaciones de producto que son importantes en R3. Una de ellas, llamada producto interno, asigna un número real a cada pareja de elementos de R3. En la sección 1.2. estudiaremos con detalle el producto interno. Otra operación de producto para R3 se llama producto por un escalar (la palabra “escalar” es sinónimo de “número real”). Este producto combina escalares (números reales) y elementos de R3 (ternas ordenadas) para producir elementos de R3 de la manera siguiente: dado un escalar a y una terna ( x , y,z), definimos el múltiplo escalar o producto por un escalar mediante

Como consecuencia de las definiciones, la suma y el producto por un escalar para R3 satisfacen las siguientes identidades:

(i) (aP)(z , Y1 2) = .M.> Y, .>I (asociatividad)

(propiedades del elemento cero)

(propiedad del elemento identidad)

Para R2 se define la suma de la misma manera que para R3, mediante

(z, Y) + (z’, Y’) = (x + z’, Y + Y’),


y el producto por un escalar se define como

a ( z , Y ) = ( a z , ay).

Volvamos a la geometría de nuestro modelo. Una de las herramientas más poderosas de las matemáticas y sus aplicaciones ha sido el concepto de vector. Se define (geométricamente) un vector como un segmento de recta dirigido que comienza en el origen, esto es, un segmento de recta con magnitud y dirección especificados, con punto inicial en el origen. ¿Han oído decir a los pilotos “Esta- mos en el radio vector de la pista de aterrizaje”? Se refieren al vector que da la dirección y la distancia a que se encuentra el aeroplano de la pista de aterrizaje. Es inútil señalar lo importantes que son en este caso la dirección y la distancia. La figura 1.1.4 muestra varios vectores. Así, los vectores se pueden concebir como flechas que comienzan en el origen. Generalmente se imprimen en letras negritas: v.

Figura 1.1.4 Los vectores se pueden concebir, geométricamente, como flechas saliendo del origen.

Usando esta definición de vector, podemos asociar con cada vector v el punto (x, y, z) en el espacio, donde termina v, y, recíprocamente, a cada punto (x, y, z ) en el espacio podemos asociar un vector v. Así, identificaremos v con (x, y , z ) y escribiremos v = (z ,y , z ) . Por esta razón, los elementos de R3 no son sólo ternas ordenadas de números reales, sino que también se llaman vectores. La terna ( O , O , O ) se denota por O .

Decimos que dos vectores son iguales si, y sólo si, tienen la misma dirección y la misma magnitud. Esta condición se puede expresar de manera algebraica diciendo que si v1 = (x, y, z ) y va = ( d , y’z’), entonces

v1 = v2 si, y sólo si, z = z’, y = y‘, z = z‘.

Geométricamente definimos el vector suma como sigue. En el plano que contiene a los vectores v1 y v2 (ver la figura 1.1.5), formemos el paralelogramo que


Figura 1.1 .S Geometría de la suma de vectores.

tiene como un lado a VI, y como lado adyacente a v2. Entonces la suma V I + v2 es el segmento de recta dirigido a lo largo de la diagonal del paralelogramo. Esta consideración geométrica de la suma de vectores es útil en muchas situaciones físicas, como veremos más adelante. Para visualizar fácilmente esto mediante un ejemplo, consideren un ave o un aeroplano volando con velocidad VI, con un viento con velocidad v2. Lo que se ve es la velocidad resultante VI + va.

Para mostrar que la definición geométrica de la suma es consistente con la definición algebraica, debemos demostrar que v1 + va = (z + z’, y + y’, I + 7 ’ ) . Probaremos este resultado en el plano y dejaremos que el lector enuncie la proposición para el espacio tridimensional. Así, queremos mostrar que si VI = ( x , y) y v2 = (z’,y’), entonces v1 + v2 = (z + x/, y + y’).

En la figura 1.1.6, sea v1 = (.,y) el vector que termina en el punto A, y sea v2 = (z’, y‘) el vector que termina en el punto B. Por definición, el vector v1 +va termina en el vértice C del paralelogramo OBCA. Entonces, para verificar que

Y

O D E

Figura 1.1.6 Construcción para la demostración de que (x, y) +(.I, y’) = (z+z’, y+y’).

1.1 VECTORES EN EL ESPAClO TRIDIMENSIONAL 7

v1 + v2 = (x + x', y + y'), es suficiente mostrar que las coordenadas de C son

En la figura 1.1.6, los lados de los triángulos OAD y BCG son paralelos y los lados OA y BC tienen igual longitud, lo cual escribiremos como OA = BC. Por lo tanto, BG = OD; y como BGFE es un rectángulo, tenemos que EF = BG. Más aún, OD = 2 y OE = x'. De aquí que EF = BG = OD = x. Como OF = EF + OE, se sigue que OF = 2 + 2'. Esto muestra que la coordenada x de C es 2 + d . La demostración para la coordenada y es análoga. Con un argumento similar para los otros cuadrantes, vemos que la definición geométrica de la suma de vectores es equivalente a la definición algebraica en términos de coordenadas.

En la figura 1.1.7(a) se ilustra otra manera de considerar la suma vectorial: en términos de triángulos, en lugar de paralelogramos. Esto es, trasladamos (sin rotación) el segmento de recta dirigido que representa al vector va, de modo que comience al final del vector vl. El punto final del segmento dirigido resultante es el punto final del vector V I + v2. Notamos que cuando VI y v2 son colineales, el triángulo se colapsa. Se ilustra esta situación en la figura 1.1.7(b).

(z -t z', y + y').

Figura 1.1.7 (a) Se puede visualizar la suma vectorial en términos de triángulos así como de paralelogramos. Sin embargo, el triángulo se colapsa cuando v1 y v2 son colineales (b).

Los múltiplos escalares de los vectores tienen interpretaciones geométricas similares. Si a es una escalar y v es un vector, definimos a v como el vector que tiene a veces la longitud de v , con la misma dirección que v si a > O , pero con dirección opuesta si a < O . La figura 1.1.8 ilustra varios ejemplos.

Al usar un razonamiento que depende de triángulos semejantes, podemos probar que si v = (x, y, z), entonces

Lyv = (fYz,Lyy, CYZ).

Esto es, la definición geométrica coincide con la algebraica. ¿Cómo representamos geométricamente al vector b - a? Como a+ (b - a) = b,

b - a es el vector que al sumarlo a a da b. En vista de esto, podemos concluir


Y Y

Y

/ * X

Y

/ * x

f tv

Y

[ Y

X

Figura 1.1.8 Algunos múltiples escalares de un vector v.

que b - a es el vector paralelo a, y con la misma magnitud que, el segmento de recta dirigido que comienza en el punto final de a y termina en el punto final de b (ver la figura 1.1.9).

Denotemos por i al vector que termina en (1, O , O ) , por j al vector que termina en ( O , 1, O) y por k al vector que termina en ( O , O , 1). Por la definición de suma

Figura 1.1.9 Geometría de la resta vectorial.


vectorial y la multiplicación por un escalar, hallamos que si v = (x, y, z ) , entonces

v = z(1,0, O) + y(O,1 , O) + z(O, O , 1) = zi + y j + zk. Por lo tanto, podemos representar cualquier vector en el espacio tridimensional en términos de los vectores i , j y k. Es por esto que a los vectores i , j y k se les llama vectores de la base canónica para R3.

EJEMPLO 3 El vector que termina en (2,3,2) es 2i + 3j + 2k, y el vector que termina en ( O , -1,4) es -j +4k. La figura 1.1.10 muestra a 2i+ 3j+ 2k; el lector deberá trazar el vector -j + 4k. A

Figura 1.1.10 Representación de ( 2 , 3 , 2 ) en términos de los vectores de la base canónica, i , j y k.

L a suma y la multiplicación por un escalar se pueden escribir en términos de los vectores de la base canónica como sigue:

Y a (z i + y j + zk) = (ax); + (ay) j + (az)k.

Debido a la correspondencia entre puntos y vectores, a veces nos referimos al punto a en circunstancias en que se definió a como vector. El lector sobreenten- derá que nos referimos al punto final del vector a.


EJEMPLO 4 Describir los puntos que están dentro del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b.

SOLUCIÓN Considerar la figura 1.1.11. Supongamos que P es cualquier punto dentro del paralelogranlo dado y construimos las rectas l1 y l 2 que pasan por P y son parale1a.s a los vectores a y b, respectivamente; vemos que 11 interseca el lado del paralelogramo determinado por el vector b en algún punto tb, donde O 5 t 5 1. Asimismo, 12 interseca al lado determinado por el vector a en algún punto sa , donde O 5 S 5 1.

Figura 1.1.11 Descripción de los puntos dentro del paralelogramo formado por los vectores a y b.

Notar que P es el punto final de la diagonal de un paralelogramo con lados adyacentes sa y tb; por lo tanto, si v denota al vector que termina en P, vemas que v = sa + tb. Así, todos los puntos en el paralelogramo dado son puntas finales de vectores de la forma sa + tb para O 5 S 5 1 y O 5 t 5 1. Regresando sobre nuestros pasos vemos que todos los vectores de esta forma terminan dentro del paralelogramo. A

Y

Figura 1.1.12 Descripción de los puntos P en el plano formado por los vectores v y w.


Como dos rectas que pasan por el origen determinan un plano que pasa por el origen, lo mismo sucede con dos vectores no paralelos. Si aplicamos el mismo razonamiento del ejemplo 4, vetnm que el plano formado por dos vectores no paralelos v y w consta de todos los puntos de la forma QV + pw, donde (Y y /? varían sobre los números reales. Not.en que cualquier punto P en el plano formado por los dos ‘vectores será el vértice opuesto del paralelogramo determinado por CYV y pw, donde Q y /3 son algunos escalares, como en la figura 1.1.12.

E1 plano determinado por v y w se llama plano generado por v y w . Cuando v es un múltiplo escalar de w y w # O , entonces v y w son paralelos y el plano degenera en una recta. Cuando v = w = O (esto es, cuando ambos son el vector cero), obtenemos un solo punt.0.

Hay tres planos particulares que surgen de manera natural en un sistema coordenado y que usaremos más adelante. Al plano generado por los vectores i y j se le llama plano .cy, al plano generado por j y k , plano yz, y al plano generado por i y k , plano s z . Se ilustran estos planos en la figura 1.1.13.

Z

V

Figura 1 .I .I 3 Los tres planos coordenados.

Los planos y las rectas son objet,os geombtricos que se pueden representar mediante ecuaciones. Pospondremos hasta la sección 1.3 el estudio de las ecuaciones que representan planos. Sin embargo, usalldo la interpretacidn geométrica de la suma vectorial y de la multiplicación por u n escalar, podemos hallar la ecuación de una recta 1 que pase por el punto final o extremo del vector a, con la dirección de un vector Y (ver la figura l . l . 14). Conforme t varía por todos los números reales, los puntos de la forma Iv son t.odos los rnúltiplos escalares del vector v , y por lo tant,o, agotan los puntos de l a recta que pasa por el origen en la dirección de v. Corno todo punto sobre d cs el extremo de la diagonal de un paralelogramo con lados a y tv para algún valor real de 2 , vemos que todos los punt>os sobre 1 son de la forma a + t v . Así, la recta 1 se puede expresar mediante la ecuación l ( t ) = a + tv. Decimos que d est,á expresada de manera paramétrica, con el parámetro t . En t = O , l ( t) = a. Cuando t crece, el punto l ( t ) se mueve


Figura 1.1.14 La recta 1, dada en forma paramétrica por l(t) = a + tv, estd en dirección de v y pasa por la punta de a.

alejándose de a en la dirección de v. Conforme t decrece desde t = O por los valores negativos, l ( t ) se mueve alejándose de a en la dirección de " v .

Puede haber varias parametrizaciones de la misma recta. Se pueden obtener escogiendo, en lugar de a, un punto diferente sobre la recta dada, y formando la ecuación paramétrica de la recta comenzando en ese punto y en dirección de v. Por ejemplo, el extremo de a + v est6 sobre la recta l(t) = a + Iv, y así, l l ( t ) = (a + v) + tv representa la misma recta. Incluso se pueden obtener otras parametrizaciones observando que si CY # O , el vector CYV tiene la misma dirección que v ( o l a opuesta). Así, lz( t ) = a+tcuv es otra parametrización de l( t) = a+tv .

EJEMPLO 5 Determinar la ecuación de la recta que pasa por (1, O , O ) en dirección de j.

x

Figura 1.1.15 La recta 1 pasa por la punta de i en la dirección j .


SOLUCIÓN La recta deseada se puede expresar en forma paramétrica como l(t) = i + t j (figura 1.1.15). En términos de coordena.das knemos

l(t) = (1 ,0 ,0 ) + t(O,1, O ) = ( I , t , O ) . A

Vamos a deducir la ecuación de una recta que pasa por los puntos finales de dos vectores dados a y b. Como el vector b - a es paralelo al segmento de recta dirigido que va de a a b, lo que deseamos es calcular la ecuacibrl parantétrica de la recta que pasa por a en dirección de b - a (figura 1.1.16). Así,

l(t) = a + t (b - a); esto es, l(t) = (1 - t)a + tb.

Conforme 1 crece de O a 1, sucede que t(b - a) comienza como el vector cero y crece en longitud (manteniéndose en la dirección de b - a) hasta que en t = 1 es el vector b - a. Así, para I(t) = a + t (b - a), conforme t crece de O a 1, el vector l(t) sé mueve de la punta de a a la punta de b a lo largo del segment,o de recta dirigido de a a b.

Figura 1.1.16 La recta I, dada en forma paramétrica por l( t) = a + t (b - a), pasa por las puntas de a y b.

EJEMPLO 6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 1, o) y (o, o, 1) (ver la figura 1.1.1 7).

SOLUCIÓN Representemos los puntos dados por a = -i + j y b = k; tenemos

1(t) = (1 - t ) ( - i + j) + tk

= - ( 1 - t ) i + ( l - t ) j + t k .

La ecuación de esta recta se puede escribir entonces como

l(t) = ( t - l ) i + ( 1 - t ) j + tk,


Y

Figura 1.1.17 Caso especial de l a figura anterior, donde a = (-1,1, O) y b = ( O , O , 1)

o, de manera equivalente, si l(t) = zi + yj + zk,

En términos de componentes, la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos (21, Y1, tl) Y (z2, Y21 22 ) es

z = 21 + t ( 2 2 - m ) , y = y1 + t ( y 2 - y]), 2 = 21 + t ( 2 2 - 2 1 )

Eliminando t es posible escribir esto como

z - z ] y - y 1 2 - 2 1

z2 - z1 y2 - y1 22 - 21 - -

Notamos que cualquier vector de la forma c = Xa + pb, donde X + p = 1, está sobre la recta que pasa por los extremos de a y b. Para verlo, observar que c = (1 - p)a + pb = a + p(b - a).

EJEMPLO 7 Usar métodos vectoriales para probar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre si.

SOLUCIóN Representemos los lados adyacentes del paralelogramo por los vectores a y b, como se muestra en la figura 1.1.18. Primero calculamos el vector que va al punto medio del segmento de recta PQ. Como b - a es paralelo e igual en longitud al segmento dirigido de P a Q, (b - a)/2 es paralelo e igual en longitud al segmento de recta dirigido de P al punto medio de PQ. Así, el vector a + (b - a)/2 = (a + b)/2 termina en el punto medio de PQ.

1.1 VECTORES EN EL ESPAUO TRIDIMENSIONAL 15

P

R

Figura 1.1.18 Construcciones usadas para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

A continuación calculamos el vector que va al punto medio de OR. Sabemos que a + b termina en R, de modo que (a + b)/2 termina en el punto medio de OR. En vista de que ya probamos que el vector (a + b)/2 termina en el punto medio de OR y en el punto medio de PQ, se sigue que OR y PQ se bisecan entre sí. A

Consideremos ahora algunas aplicaciones físicas de los vectores. Un ejemplo sencillo de cantidad física que se representa mediante un vector es un desplazamiento. Suponer que en una parte de la superficie terrestre lo suficientemente pequeña para considerarse plana, introducimos coordenadas de modo que el eje 2 apunte al este, el eje y apunte al norte, y la unidad de longitud sea el kilómetro. Si estamos en un punto P y queremos ir a un punto Q, el vector de desplazamiento d que une a P. con Q nos indica la dirección y la distancia que tenemos que viajar. Si 2 y y son las componentes de este vector, el desplazamiento de P a Q es “2 kilómetros al este, y kilómetros al norte”.

EJEMPLO 8 Supongan que dos navegantes que no se pueden ver entre si, pero que se pueden comunicar por radio, quieren determinar la posición relativa de sus barcos. Explicar cómo pueden hacerlo si cada uno tiene la capacidad de determinar s u vector de desplazamiento al mismo faro.

SOLUCIÓN Sean PI y P2 las posiciones de los barcos, y sea Q la posición del faro. El desplazamiento del i-ésimo barco al faro es el vector di que une a Pi con Q. El desplazamiento del primer barco al segundo es el vector d que une a PI con Pa. Tenemos que d + dz = dl (figura 1.1.19), de modo que d = dl - da. Esto es, el desplazamiento de un barco hasta el otro es la diferencia entre los desplazamientos desde los barcos hasta el faro. A

También podemos representar como vector la velocidad de un objeto en movimiento. Por el momento, sólo consideraremos objetos moviéndose con ra.pidez


"

bruma

"- - Figura 1.1.1 9 Se pueden usar métodos vectoriales para localizar objetos.

uniforme a lo largo de rectas. Supongan, por ejemplo, que un bote de vapor cruza un lago navegando a 10 kilómetros por hora (km/h) en dirección noreste. Después de 1 hora de viaje, el desplazamiento es ( 1 O / f i , l O / f i ) E (7.07,7.07); ver la figura 1.1.20.

posición después de 1 h

Figura 1.1.20 Si un objeto se mueve hacia el nordeste a 10 km/h, su vector velocidad tiene componentes (IO/&, 1 0 / J z ) .

El vector cuyas componentes son ( l O / f i , l O / f i ) se llama vector velocidad del bote. En general, si un objet80 se mueve uniformemente a lo largo de una recta, s u vector velocidad es el vector desplazamiento desde la posición en cualquier momento hasta la posición en el momento 1 unidad de tiempo después. Si aparece una corriente en el lago moviéndose hacia el este a 2 km/h, y el bote con- tinúa apuntando hacia la misma dirección con el motor funcionando a la misma razón, su desplazamient,o después de 1 hora tendrá las componentes dadas por

desplazamiento debido a la corriente

debido al motor

Figura 1.1.21 El desplazamiento total es la. sunla de los desplazamientos debidos al motor y a la corriente.

1.1 VECTORES EN EL ESPAClO TRIDIMENSIONAL 17

(IO/& + 2, lO/JZ) ; ver la figura 1.1.21. Por lo tanto el nuevo vector velocidad tiene componentes (lo/& + 2,10/&). Notamos que ésta es la suma del vector velocidad original (lo/&, lo/&) del bote y el vector velocidad (2, O) de la corriente.

Si un objeto tiene vector velocidad (constante) v, entonces en t segundos su vector desplazamiento resultante es d = tv; ver la figura 1.1.22.

/ desplazamiento en el tiempo t

Figura 1 .1.22 Desplazamiento = tiempo x velocidad.

EJEMPLO 9 Un ave va volando en línea recta con vector velocidad 10i + 6 j + k (en kilómetros por hora). Suponer que (x, y) son sus coordenadas en tierra y que t es su altura.

(a) Si en cierto momento el ave está en la posición ( l , 2 , 3)1 ¿dónde estará una

(b) ¿Cuántos segundos tarda el ave en subir 10 metros? hora después? ¿Y un minuto después?

SOLUCIÓN (a) El vector desplazamiento desde (1,2,3) después de 1 hora es 1Oi + 6j + k , de modo que la nueva posición es (1 ,2 ,3) + ( lO,6, 1) = (11,8,4) . Después de 1 minuto, el vector desplazamiento desde ( l , 2 , 3 ) es &(lOi+6j+k) = i i + hj + & k , de modo que la nueva posición es (1 ,2 ,3) + ( h , &, &) =

(b) Después de t segundos (= t /3600 h) , el vector desplazamiento desde (1, 2,3) es (t/3600)(10i + 6j + k) = (t/360)i + (t /600)j + (t/3600)k. El incremento en altura es la componente z t/3600. Esto es igual a 10m (=&km) cuando t/3600 = & “esto es, cuando t = 36s. A

( & - E ) . 7 21 181

EJEMPLO 10 Las fuerzas fisicas tienen magnitud y direcciónl de modo que pueden representarse mediante vectores. Si actúan simultáneamente varias fuerzas sobre un objeto, la fuerza resultante está representada por la suma de los vectores de fuerza individuales. Suponer que las fuerzas i + k y j + k actúan sobre un cuerpo. ¿Qué tercera fuerza debemos imponer para contrarrestar a las dos -esto es, para hacer que la fuerza total sea igual a cero?

SOLUCIÓN La fuerza F deberá escogerse de manera que ( i + k ) + (j+ k) + v = O; esto es, v = -(i + k) - (j + k) = -i - j - 2k. (Recordar que O es el vector cero, el vector cuyas componentes son todas cero.) A


NOTA HIST~RICA

Aproximadamente hasta el año de 1900 muchos científicos se resistieron a usar vectores, en favor de l a teoría más complicada de los cuaterniones. E1 libro que popularizó los métodos vectoriales fue Vector Analysis, de E. R. Wilson (reimpreso por Dover en 1960), basado en los cursos impartidos por J. W. Gibbs cw Yale en 1899 y 1900. Wiison se resistía a tomar el curso de Gibbs, pnes había llevado en Harvard un curso de un año con J . M. Pierce, campeón en métodos con cuaterniones, pero u11 jefe de departamento lo obligó a añadir el curso a su programa. (Para más detalles ver A History of Vector Analysis, de M. J. Crowe, University of Notre Dame Press. Not,rc Dame, Ind., 1967.)

EJERCICIOS

(Los ejercicios que tienen números , y letras dentro de n n cuadro están resueltos en l a Guía d e rLstndio.)

Completar los cálculos en los ejercicios del 1 al 6.

m ( -21 ,23) - (?, 6) = ( "25 ,? )

2. 3(133, -0.33, 0) + (-399, O.99,O) = (?.?,?)

3. ( sa , -26, 13c) = (52, 1 2 , l l ) + $('.',?,?)

( 2 , 3 , 5 ) - 4 i + 3 j = ( ? , ? , ? )

5. 800(0.03, O , O ) = ?i + ?j + ?k

6. ( 3 , 4 , 5 ) + ( 6 , 2 , -6) = (?, ? , ?)

¿Qué restricciones se deben tener sobre z. y y z de modo que l a terna (z , y , z ) represente u11 punt,o sobre el ejr y ? ¿Y sobrr el eje z? ;,En el plano xz? ¿En el plano yz?

8. Trazar los vcctores v = ( 2 , 3 , -6) y w = (-1,1, 1). En esa figura, trazar " v , V + W .

2v, y v - w.

9. (a) Generalizar la construcción geométrica en la figura 1.1.6 para mostrar que si

(b) Usando un argnnlento basado en triángulos semejantes, probar que (YV = V I = (x, y, z) y v2 = (z', y', z') entonces v1 + v2 = (x + x', y +y' , z + 2').

(ax, cuy, N Z ) cuando v = (T, y, z).

10. Repetir el ejercicio 8 usando v = ( 2 , 1,3) y w = (-2, O , -1).


En los ejercicios del 11 al 17, usar notación de conjuntos o vectorial, o ambas, para describir los puntos que están en las configuraciones dadas, como lo hicimos en los ejemplos 4, 5 y 6.

11. El plano generado por VI = ( 2 , 7 , O ) y v2 = ( O , 2 , 7 ) .

El plano generado por v1 = ( 3 , - 1 , l j y v2 = ( 0 , 3 , 4 ) .

13. La recta que pasa por [-1, -1, -1) en la dirección de j.

14. La recta que pasa por ( O , 2 , l ) en la dirección de 2i - k.

r;;l La recta que pasa por (-1, -1, -1) y (1 , -1 ,2) .

16. La recta que pasa por ( -5 ,0 ,4 ) y (6, -3 ,2 ) .

17. El paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores i + 3k y -2j.

18. Hallar los puntos de intersección de la recta 3: = 3 + 21, y = 7 + at, z = -2 + 1, esto es, l(1) = (3 + 2t , 7 + at, -2 + t ) , con los planos coordenados.

Mostrar que no hay puntos (x, y, z) que satisfagan 2 2 - 3y + z - 2 = O y que estén sobre la recta v = (2, -2, -1) + t ( l , l , 1 ) .

20. Mostrar que todo punto sobre la recta v = (1, -1 ,2) + t ( 2 , 3 , 1 ) satisface 5a - 3y - ~ - 6 = 0 .

1?;1 Mostrar que las medianas de un triángulo se intersecan en un punto, y que este punto divide a cada mediana con una razón 2 : 1.

En los ejercicios del 22 al 24, usar métodos vectoriales para describir las configuraciones dadas.

El paralelepípedo que tiene como aristas a los vectores a, b y c . (La región que tenemos en mente está en la figura 1.3.5.)

23. Los puntos dentro del paralelogramo con una esquina en (zo, yo, ZO) tal que los lados que salen de esa esquina son iguales en magnitud y dirección a los vectores a y b.

24. El plano determinado por los tres puntos (ZO, ya, zo), (51, yl, Z I ) y ( 2 2 , yz, 2 2 ) .

25. Un barco situado en la posición ( 1 , O ) en una carta de navegación (con el norte en la dirección y positiva) divisa una roca en la posición (2 ,4 ) . ¿Cuál es el vector que une al barco con la roca? ¿Qué ángulo 0 forma este vector con la dirección norte? (Se le llama la orientación de la roca desde el barco.)

26. Supongan que el barco del ejercicio 25 apunta al rumbo norte y viaja con una rapidez de 4 nudos respecto al agua. Hay una corriente que fluye con dirección este a 1 nudo; las unidades de la carta son millas náuticas; 1 nudo = 1 milla náutica por hora.


(a) Si no hubiera corriente, ¿qué vector u representaría la velocidad del barco

(b) Si el barco siguiera la corriente, ¿qué vector v representaría su velocidad

(c) ¿Qué vector w representa la velocidad total del barco? (d) LDÓnde estará el barco después de una hora? (e) ¿Deberá cambiar el rumbo el capitán? (f) ¿Qué pasaría si la roca fuera un iceberg?

respecto al fondo del mar?

respecto al fondo del mar?

Un aeroplano está situado en la posición ( 3 , 4 , 5 ) al mediodía, y viaja con velocidad 4OOi + 5OOj - k kilómetros por hora. El piloto sabe que hay un aeropuerto en la posición (23, 29, O ) .

(a) ¿A qué hora pasará el avión directamente sobre el aeropuerto? (Suponer que la Tierra es plana y yue el vector k apunta hacia arriba.)

(b) ¿Cuál será l a altura del avión cuando pase?

28. La velocidad V I del viento es de 40 millas por hora (mi/h) de este a oeste, mientras que un aeroplano viaja con velocidad en el aire v 2 de lOOmi/h con rumbo norte. La rapidez del aeroplano respecto a la Tierra es el vector suma VI + v 2 .

(a) Hallar v1 + v 2 .

(b) Trazar una figura a escala.

29. Una fuerza de 501b se dirige a 50' sobre la horizontal, apuntando a la derecha. Determinar sus componentes horizontal y vertical. Mostrar los resultados en una figura.

Dos personas jalan horizontalmente de cuerdas atadas a un poste; el ángulo entre las cuerdas es de 60'. A jala con una fuerza de 1501b, mientras que B jala con una fuerza de 1101b.

(a) La fuerza resultante es la suma vectorial de las dos fuerzas en un sistema coordenado escogido de manera conveniente. Trazar una figura a escala que represente gráficamente a las tres fuerzas.

(b) Usando trigonometría, determinar fórmulas para las componentes vectoriales de las dos fuerzas en un sistema coordenado escogido de manera conveniente. Efectuar la suma algebraica y hallar el ángulo que la fuerza resultante hace con A.

31. 1 kilogramo (kg) masa situado en el origen se cuelga de cuerdas fijadas en los puntos ( I , 1, I) y (-1, -1,l). Si la fuerza de gravedad apunta en la direccción del vector -k, ¿cuál es el vector que describe la fuerza a lo largo de cada cuerda? [IDEA: Usar la simetría del problema. 1 kg masa pesa 9.8 newtons (N).]

32. Escribir la ecuación química CO + Hz O = H2 + COZ como una ecuación en ternas ordenadas (C, O, H), e ilustrarla mediante un diagrama vectorial en el espacio.

(a) Escribir la ecuación química p C ~ H 4 0 3 + q 0 2 = r C 0 2 + sHzO como una ecuación en ternas ordenadas con coeficientes desconocidos p , q, T y s.

(b) Hallar la menor solución entera positiva posible para p , q, 7 y S, (c) Ilustrar la solución mediante un diagrama vectorial en el espacio.

*34. Hallar una recta que esté en el conjunto definido por la ecuación 2' + y' - zz = 1.

1.2 EL PRODUCTO INTERNO 21

1.2 EL PRODUCTO INTERNO

En ésta y en la sección siguiente estudiaremos dos productos de vectores: el producto interno y el producto cruz. Son muy útiles en aplicaciones físicas y tienen interpretaciones geométricas interesantes. El primer producto que vamos a considerar se llama producto interno. Con frecuencia se le llama también producto punto.

Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R3 (figura 1.2.1) y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo subtendido por a y b en el plano que generan. El producto interno nos permite hacerlo. Primero desarrollamos formalmente el concepto y después probamos que este producto hace lo que aseguramos. Sea a = a l i + ad + a3k y b = b l i + b j + b3k. Definimos el producto interno de a y b, que se escribe como a b, como el número real

a - b = alb l + a2b2 + a3b3.

Noten que el producto interno de dos vectores es una cantidad escalar. A veces se denota al producto interno por (a, b). Es frecuente hacerlo por razones tipográficas. Así, (a, b) y a . b significan exactamente lo mismo.

Z

X

Figura 1.2.1 0 es el ángulo entre los vectores a y b.

A partir de la definición se siguen ciertas propiedades del producto interno. Si a, b y c son vectores en R3 y a y p son números reales, entonces

(i) ama? O; a - a = O si, y sólo si, a = O.

(ii) aa b = a(a b) y a - ,f?b = P(a - b). (iii) a - ( b + c ) = a - b + a - c y ( a + b ) . c = a . c + b - c . (iv) a . b = b - a .


Para probar la primera de estas propiedades, observen que si a = al i + a2j + a3k, entonces ama = a: +a; + a i . Como a l , a2 y a3 son nilmeros reales, sabemos que a; 2 O , a$ 2 O , u: >_ O . Así, a - a 2 O . Más aún, si a: +u; +a: = O , entonces al = a2 = a3 = O, por lo tanto a = O (el vector cero). Las demostraciones de las otras propiedades del producto interno también se obtienen fácilmente.

Se si ue del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a = a l i + a ~ j + a 3 k es P-" u: + u; + u; (ver la figura 1.2.2). La longitud del vector a se denota por I l a l l . Es frecuente llamar a esta cantidad la norma de a. Corno ama = uf+a;+aj , se sigue que

llall = (a

Los vectores que tienen norma 1 se llaman vectores unitarios. Por ejemplo, los vectores i , j y k son vectores unitarios. Observar que para cualquier vector distinto de cero a, a/llall es un vector unitario; cuando dividirnos a entre I l a l l , decimos que hemos normalizado a.

Figura 1.2.2 La longitud del vector a = (al, u2, u3 1 está dada por la fórmula pitagórica: d m .

En el plano, definir el vector i d = (cos 0)i + (sen O ) j , que es el vector unitario que forma un dngulo 6' con el eje 2 (ver la figura 1.2.3). Claramente,

Iliell = (sen' O + cos2 O)'/' = 1.

Si a y b son vectores, hemos visto que el vector b - a es paralelo a, y tiene la misma magnitud que el segmento de recta dirigido que va del extrenlo de a al extremo de b. Se sigue que la distancia del extremo de a al extremo de b es Ilb - all (ver la figura 1.2.4).

1.2 K PRODUCTO INTERNO

Y

23

cos B

Figura 1.2.3 Las coordenadas de i o son cos 0 y sen 8.

Y

Figura 1.2.4 La distancia entre las puntas de a y b es ]lb - all.

EJEMPLO 1 Hallar la distancia del extremo del vector i, esto es, del punto (1, O , O) al extremo del vector j , ( O , 1, O) .

Mostremos ahora que el producto interno en efecto mide el ángulo entre dos vectores.

TEOREMA 1 Sean a y b dos vectores en R3 y sea 8, 0 5 8 5 R , el ángulo entre ellos (figura 1.2.5). En tomes

a b = llall llbll cos 8.


Y

Figura 1.2.5 Los vectores a, b y el ángulo 8 entre ellos; geometría del teorema 1 y su demostración.

De modo que podemos expresar el ángulo entre a y b como

si a y b son vectores distintos de cero.

DEMOSTFIACI~N Si aplicamos la ley de los cosenos, aprendida en trigonometría, a,l triángulo con un vértice en el origen y lados adyacentes determinados por los vectores a y b, se sigue que

llb - all2 = IIalY + llbl12 - 2llall llbll cos 6.

Como llb-a1I2 = (b-a).(b-a), lla1I2 = asa, y llb1I2 = b-b , podemos reescribir la ecuación anterior como

(b - a) . (b - a) = a a + b - b - 211all llbll cos 8.

Ahora,

( b - a ) . ( b - a ) = b . ( b - a ) - a - ( b - a )

= b . b - b - a - a - b + a - a

= a . a + b - b - 2 a - b .

Así, a - a + b b - 2a b = a a + b b - 211all llbll cos B.

Esto es, a b = llall llbll cos8.


Este resultado muestra que el producto interno de dos vectores es el producto de sus longitudes por el coseno del ángulo entre ellos. Esta relación es útil con frecuencia en problemas de naturaleza geométrica.

COROLARIO (DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ) Para cualesquiera dos vedo- res a y b, tenemos

la - bl i llall llbll con la igualdad si y sólo si a es un múltiplo escalar de b, o uno de ellos es O .

DEMOSTRACI~N Si a no es un múltiplo escalar de b, entonces I cos 81 < 1 y se cumple la desigualdad. Cuando a es un múltiplo escalar de b, entonces 8 = O o ?r y IcoseI = 1. m

EJEMPLO 2 Hallar el ángulo entre los vectores i + j + k e i + j - k (figura 1.2.6).

Figura 1.2.6 Búsqueda del ángulo entre a = i + j + k y b = i + j - k.

SOLUCI~N Usando el teorema 1, tenemos

( i + j + k ) . ( i + j - k ) = I l i + j + k l I I l i + j - k l l c o s O

de modo que 1 + I - 1 = (&)(&I cos e.

cose = 5 . De donde


Esto es, O = cos"(^) z 1.23 radianes (71'). A

Si a y b son vectores distintos de cero en R3 y H es el ángulo entre ellos, vemos que a. b = O si y sólo si cos 6' = O. Así, el producto interno de dos vectores distintos de cero es cero si y sólo si los vectores son perpendiculares. Por lo tanto el producto interno nos proporciona un buen método para determinar si dos vectores son perpendiculares. Se suele decir que los vectores perpendiculares son ortogonales. Los vectores de la base canónica, i , j y k son ortogonales entre sí, y tienen longitud 1; dichos sistemas se llaman ortonormales. Adopt,aremos la convención de que el vector cero es ortogonal a todos los vectores.

EJEMPLO 3 Los vectores io = (cos 6)); + (sen H ) j y j o = -(sen 6)); + (cos H ) j son ortogonales, pues

i ~ . j e = - c o s O s e n O + s e n O c o s O = O

(ver la figura 1.2.7). A

Figura 1.2.7 Los vectores ie y j e son ortogonales.

EJEMPLO 4 Sean a y b dos vectores ortogonales distintos de cero. Si c es un vector en el plano generado por a y b, entonces hay escalares (Y y ,B tales que c = cua+,Bb. Usar el producto interno para determinar (Y y p (ver la figura 1.2.8).

SOLUCI~N Tomando el producto interno de a y c , tenemos

a . c = a . ( c r a + / 3 b ) = a a - a + / 3 a . b . '

Como a y b son ortogonales, a * b = O, de modo que,

*= -= - a - c a - c a - a [la112 '


L E

X

Figura 1.2.8 La geometría para la búsqueda de (Y y p donde c = aa + pb, como en el ejemplo 4.

De manera análoga,

En este ejemplo, el vector cra se llama la proyección de c a lo largo de a, y /3b es su proyección a lo largo de b.

El resultado del ejemplo 4 también se puede obtener usando la interpretación geométrica del producto interno. Sea 1 la distancia medida a lo largo de la recta determinada al extender a, del origen al punto donde la perpendicular desde c interseca a la extensión de a. Se sigue que

donde 6' es el ángulo entre a y c. Más aún, I = allall. Juntando estos resultados tenemos

Así, la proyección de c sobre a está dada por

c - a c - a G (la112 a.

a = -


Notar que la longitud de la propccitin de u n vector c sobre un vector a, donde B es el ángulo entre a y c , está dada por

(ver l a figura 1.2.9)

proyecci6n de c

\

Figura 1.2.9 La proyección de c sobre a es (a - c/11a11')a

EJERCICIOS

1. (a) Probar las propiedades (ii) y (iii) del producto interno (b) Probar que a b = b a.

2. Calcular a b donde a = 2i + lOj - 12k y b = -3i + 4k.

Hallar el ángulo entre 7j + 19k y -2i - j (al grado más cercano).

4. Calcular u - v, donde u = Ai - 315j + 22k y v = u/llull

5. ¿Es igual a cero 118i - 12kll 1/63 + kll - I(8i - 12k) (6 j + k)]? Explicar.

En los ejercicios del 6 al 11, calcular llull, llvll y u v para los vectores dados en R3

6. u = 15i - 2j + 4k, v = xi + 3j - k

1.3

9.

11.

1 3.

14.

1;;1

29 EL PRODUCTO CRUZ

u = -i + 3j + k, v = -2i - 3j - 7k

u = - i + 3 k , v =4j

u = -i + 2j - 3k, v = -i - 3j + 4k

Normalizar los vectores en los ejercicios del 6 al 8.

Hallar el ángulo entre los vectores en los ejercicios del 9 al 11. De ser necesario, expresar la respuesta en términos de cos-'.

Hallar la proyección de u = -i + j + k sobre v = 2i + j - 3k.

Hallar la proyección de v = 2i + j - 3k sobre u = -i + j + k.

¿Qué restricciones se deben tener sobre b para que el vector 2i + b j sea ortogonal a (a) -3i + 2j + k y (b) k?

17. Hallar dos vectores no paralelos, ambos ortogonales a ( 1 , 1 , 1 ) .

18. Hallar la recta que pasa por ( 3 , 1 , - 2 ) que interseca y es perpendicular a la recta z = -1 + t , y = -2 + t , z = -1 + t . [IDEA: Si (zo,yo, 20) es el punto de intersección, hallar sus coordenadas.]

19. Suponer que una fuerza F (por ejemplo, la gravedad) actúa verticalmente hacia abajo sobre un objeto situado en un plano inclinado en un ángulo de 45' respecto a la horizontal. Expresar esta fuerza como suma de una fuerza que actúe paralela al plano y una que actúe perpendicular a él.

20. Suponer que un objeto moviéndose en la dirección de i + j está bajo la acción de una fuerza dada por el vector 2i + j. Expresar esta fuerza como una suma de una fuerza en la dirección del movimiento y una fuerza perpendicular a la dirección del movimiento.

Una fuerza de 6 N (newtons) forma un ángulo de x / 4 radianes con el eje y , apuntando a la derecha. La fuerza actúa en contra del movimiento de un objeto a lo largo de la recta que une ( 1 , 2 ) con (5,4).

(a) Hallar una fórmula para el vector de fuerza F. (b) Hallar el ángulo 0 entre la dirección del desplazamiento D = (5 - l ) i + ( 4 - 2 ) j

(c) El trabajo realizado es F-D, o de manera equivalente, IlFll IlDll cos B. Calcular y la dirección de la fuerza F.

el trabajo con ambas fórmulas y comparar los resultados.

*22. Un fluido fluye a través de una superficie plana con vector de velocidad uniforme v. Sea n una normal unitaria a la superficie del plano. Mostrar que v n es el volumen del fluido que pasa por una unidad de área del plano en una unidad de tiempo.


1.3 EL PRODUCTO CRUZ

En la sección 1.2 hemos definido un producto de vectores que daba como resultado un escalar. En esta sección definiremos un producto de vectores que da como resultado un vector; esto es, mostraremos cómo dados dos vectores a y b, podemos producir un tercer vector a x b, llamado el producto cruz de a y b. Este nuevo vector tendrá la muy agradable propiedad geométrica de ser perpendicular al plano generado (determinado) por a y b. La definición del producto cruz está basada en los conceptos de matriz y determinante que desarrollamos primero. Una vez hecho esto podremos estudiar las implicaciones geométricas de la estructura matemática construida.

Definimos una matriz de 2 x 2 como un arreglo

donde a l l , a12, a21 y a22 son cuatro escalares. Por ejemplo,

son matrices de 2 X 2. El determinante

de dicha matriz es el número real definido por la ecuación

EJEMPLO 1

Una matriz de 3 X 3 es un arreglo

all a12 a13 [ ::: ::: :::I donde, de nuevo, cada aij es un escalar; aij denota el registro o posición en el arreglo que está en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna. Definimos el

1.3 EL PRODUCTO CRUZ

1 7 5 8 7 4 31

determinante de una matriz de 3 x 3 por la regla

Sería difícil memorizar la fórmula (2) sin algún recurso mnemotécnico. La regla que hay que aprender es que nos movemos a lo largo del primer renglón, multiplicando a l j por el determinante de la matriz de 2 X 2 obtenida al eliminar el primer renglón y la j-ésima columna, y después sumando todo esto, pero recordando poner un signo de resta antes del término a12. Por ejemplo, el determinante multiplicado por el término de enmedio en la fórmula (a) , a saber

se obtiene al eliminar el primer renglón y la segunda columna de la matriz dada de 3 x 3:

EJEMPLO 2

Una importante propiedad de los determinantes es que al intercambiar dos renglones o dos columnas se cambia su signo. Para determinantes de 2 x 2, esto es una consecuencia de la definición. Para renglones tenemos

y para columnas,


Dejamos al lector verificar esta propiedad para el caso de 3 x 3. (Ver el ejercicio 1 al final de la sección.)

Una segunda propiedad fundamental de los determinantes es que podemos sacar como factor común a escalares de cualquier renglón o columna. Para determinantes de 2 x 2 esto significa

aal l a12 a l l a12 aall m 1 2

De manera análoga, para determinantes de 3 x 3 tenemos

Ball (ya12 m 1 3 a l l a12 a13 a l l aa12 a13

a31 a32 a33 a31 ma32 a33

y así sucesivamente. Estos resultados se siguen de las definiciones. En particular, si cualquier renglón o columna est6 formado(a) por ceros, entonces el valor del determinante es cero.

Un tercer hecho fundamental acerca de los determinantes es el siguiente: si cambiamos un renglón ( o columna) mediante la suma de otro renglón (o , respectivamente, columna), no cambia el valor del determinante. Para el caso de 2 X 2 esto significa que

Para el caso de 3 x 3, est,o significa que

I = y así sucesivamente. De nuevo, se puede probar esta propiedad usando la defi- nición de determinante (ver el ejercicio 35).

EJEMPLO 3 Suponer

a = ab + PC; i.e., a = ( a l , a2 ,a3 ) = a ( b 1 , b 2 , b 3 ) + P(c1, c2, c3)

Mostrar que

1.3 EL PRODUCTO CRUZ 33

SOLUCIÓN Probaremos el caso a # O, ,8 # O. El caso (Y = O = ,f3 es trivial, y el caso en que exactamente uno de a, p es cero, es una modificación sencilla del caso que probamos. Usando las propiedades fundamentales de los determinantes, el determinante en cuestión es

ab1 + PCI ab2 + Pc2 ab3 + P C B =- 11 -cubl

(Y -ab2 -ab3 I

c1 c2 C?,

(factorizando - l / a en el segundo renglón)

ab1 + P C I ab2 + Pc2 ab3 + Pc3 -ab2 -ab3 1 " P C 2 - PC3

(factorizando -l/p en el tercer renglón)

(sumando el segundo renglón al primero)

O (sumando el tercer renglón al primero)

=O. A

NOTA HIST~RICA

Parece que en 1693 Leibniz inventó y usó los determinantes por primera vez, en relación con soluciones de ecuaciones lineales. Maclaurin y Cramer desarrollaron sus propiedades entre 1729 y 1750; en particular, mostraron que la solución del sistema de ecuaciones

es

1 21 = - A


Y

donde

hecho conocido como la regla de Crarner. Posteriormente, Vanderrnonde (1772) y Can- chy (Isla), al tratar los determinant,es como 1111 tema aparte que merecía atención especial, desarrollaron el campo de manera más sistemática, con contribuciones de Laplace, Jacobi, y otros. A Lagrange (1775) se drben fórmulas para vohímenes de pa- ralelepípedos en términos de determinantes. Las estudiaremos más adelante en esta sección. No obstante que durante el siglo diecinueve los matemáticos estudiaron matrices y determinantes, los ternas se consideraban por separado. Para conocer toda la historia hasta 1900, ver T. Mnir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, reimpreso por Dover, Few York, 1960.

Ahora que hernos enunciado las propiedades necesarias de los de terminantes y estudiado su historia, est,arrlos list,os para proceder con el producto cruz dc vectores. Sean a = c l l i + a'j + q k y tl = h l i + b2j + h3k vect,ows en R3. E l producto cruz de a y b, dcnot,ado por a x b , (;st#á definido como el vector

o, simbólicamente, a x b = i i ; ;; j a i l .

Aunque sólo definimos los determinantes para arreglos de números reales, e s t a expresión formal que incluye vectores es una ayuda útil para recordar el p roducto cruz.

Notar que el producto cruz de dos vectores es otro vector; a veces se le llama producto vectorial.

EJEMPLO 4 Hallar (3i - j + k) x (i + 2j - k ) .

SOLUCIÓN

( 3 i - j + k ) x ( i + 2 j - k ) = = -i + 4j + 7k. A


Ciertas propiedades algebraicas del producto cruz se deducen de la definición. Si a, b y c son vectores y (Y, /3 y y son escalares, entonces

(i) a x b = -(b x a)

(ii) a x (pb + yc) = @(a x b) + y(a X c ) ( a a + p b ) x c = c y ( a x c ) + @ ( b x c )

Notar que a x a = -(a X a), por la propiedad (i). Así, a X a = O . En particular,

i x i = O , j x j = O , k x k = O .

Además i x j = k , j x k = i , k x i = j ,

lo cual se puede recordar al permutar cíclicamente i, j y k así:

Nuestro siguiente objetivo es proporcionar una interpretación geométrica del producto cruz. Para hacerlo, introducimos primero el triple producto. Dados tres vectores a, b y c , el número real

a . (b x c )

Esto se puede escribir de manera más concisa como

al a2 a3

Supongan ahora que a es un vector en el plano generado por los vectores b y c . Esto significa que el primer renglón en la expresión como determinante de a . (b x c) es de l a forma a = ab + PC, y por lo tanto a - (b x c ) = O, por el


ejemplo 3. En otras palabras, el vector b x c es ortogonal a cualquier vector en el plano generado por b y c , en part,icular tanto a b con10 a c .

A continuación calculamos la magnitud de b x c. Noten que

(b: + + b;) (c : + C: + c:) - ( b l c l + b 2 ~ 2 + b 3 ~ 3 ) ~

= ( l b l l z l/c11* - (b * c)’ = l/b11’ llc//’ - llb11* 1 1 0 1 1 ~ cos2 0

= ((b/(’ l(c(I2 sen’ 0

donde 6’ es el ángulo entre b y c , O 5 8 5 T .

Combinando nuest,ros resultados concluimos que b x c es un vector perpendicular al plano generado por b y c , con longitud J/bll llcll I sen 8). Sin embargo, hay dos vectores que pueden satisfacer estas condiciones, pues se pueden escoger dos direcciones que sean perpendiculares ( o normales) al plano P generado por b y c . Esto se ve claro en la figura 1.3.1, que muestra las dos posibilidades 111 y “ n l perpendiculares a P , con llnlll = 1 1 - nl 1 1 = llbll llcll I sen 01.

Figura 1.3.1 nl y n2 son los dos posibles vectores ortogonales a b y a c , ambos con norma \lb11 (lcll Isenel.

¿Cuál es el vector que represenh a b X c?, in1 o -nl? La respuesta es nl = b x c . Resuelvan algunos casos, como k = i x j , para verificarlo. L a siguiente “regla de la mano derecha” determina la dirección de b x c: Si colocan la palma de su mano derecha de manera que sus dedos se curven desde b en la dirección de c en un ángulo 8, el dedo pulgar apuntará en la dirección de b x c (figura 1.3.2).


Figura 1.3.2 Regla de la mano derecha para determinar en cuál de las dos direcciones posibles apunta b x c.

Si b y c son colineales, sen 0 = O, de modo que b x c = O. Si b y c no son colineales, entonces generan un plano y b x c es un vector perpendicular a este plan;. La longitud de b x c , llbll llcll I sen 81, es simplemente el k e a del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b y c (figura 1.3.3).

'

X

Figura 1.3.3 La longitud de b x c es igual al área del paralelogramo formado por b y c .

38 LA GEOMETR~A DEL ESPACIO EUCLIDIANO

EJEMPLO 5 Hallar un vector unitario ortogonal a los vectores i + j y j + k .

SOLUCI~N Un vector perpendicular a i + j y a j + k es el vector

( i + j ) x ( j + k ) =

Como Ili - j + kll = A, el vector

es un vector unitario perpendicular a i + j y j + k . A

Usando el producto cruz podemos obtener la interpretación geométrica básica de los determinantes de 2 X 2 y, más adelante, de 3 X 3. Sean b = b l i + b j y c = q i + czj dos vectores en el plano. Si 6 denota el ángulo entre b y c , hemos visto que ]lb x c I I = llbll llcll Isenel. Como ya se dijo, llbll llcll )sen61 es el área del paralelogramo con lados adyacentes b y c (ver la figura 1.3.3). Usando la definición del producto cruz,

Así, Ilb X cIJ es el valor absoluto del determinante

De aquí se sigue que el valor absoluto del determinante anterior es el área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b = bli + b j y c = cli + czj.

EJEMPLO 6 Hallar el área del triángulo con vértices en los puntos (1, I), (o, a), y (3,2) (figura 1.3.4).

SOLUCI~N Sean a = i + j, b = 2j y c = 3i + 2j. Es claro que el triángulo cuyos vértices son los extremos de los vectores a, b y c tiene la misma área que el triángulo con vértices en O , b - a y c - a (figura 1.3.4). En efecto, este último es sólo una traslación del triángulo anterior. Como el área de este triángulo trasladado es la mitad del área del paralelogramo con lados adyacentes b - a = -i + j y c - a = 2i + j , hallamos que el área del triángulo con vértices (1 , l ) ,


i

0 1 1 2 3

( 4

Flgura 1.3.4 Problema (a): Hallar el área A del triángulo sombreado. Solución: Expresar los lados como diferencias de vectores (b) para obtener A = $ll(b - a) X (c - .)]I.

(O, 2) y (3,2) es el valor absoluto de

1 -1 1 3 - 2 1 2 1 ( = - 2 .

esto es, s. A

Hay una interpretación de los determinantes de matrices de 3 X 3 como volú- menes, que es análoga a la interpretación de los determinantes de matrices de 2 x 2 como áreas. Sean a = ul i + u2j + ugk, b = b l i + b2j + b3k y c = cli + c2j + cgk, vectores en R3. Mostraremos que el volumen del paralelepipedo con aristas adyacentes a, b y c (figura 1.3.5) es el valor absoluto del determinante

al a2 a3

D = bl bz b3 . I c1 c2 c3 I Sabemos que ((a x bll es el área del paralelogramo con lados adyacentes a

y b. Más aún, I(a X b) cJ = 1 1 ~ 1 1 Ila x bll cos$, donde II, es el ángulo agudo que forma c con la normal al plano generado por a y b. Como el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes a, b y c es el producto del área de la base [la x bll por la altura IIcIIcosII,, se sigue que el volumen es I(a x b) cI. Vimos en la pág. 35 que D = a - (b x e). Al intercambiar renglones vemos que D = “c (b x a) = c (a X b) = (a x b) c; por lo tanto, el valor absoluto de 13 es el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes a, b y c .

Para concluir esta sección, usaremos métodos vectoriales para determinar la ecuación de un plano en el espacio. Sean P un plano en el espacio, a un vector que termina en el plano, y n un vector normal al plano (ver la figura 1.3.6).

Figura 1.3.5 El volumen del paralelepípedo formado por a, b, c es el valor absoluto del determinante de la matriz de 3 x 3 con renglones a, b y c .

X


Si r es un vector en R3, entonces el extremo de r está en el plano P si, y sólo si, r-a es paralelo a P y, por lo tanto, si, y sólo si, (r-a).n = O (n es perpendicular a cualquier vector paralelo a P “ver la figura 1.3.6”). Como el producto interno es distributivo, esta última condición es equivalente a r n = a - n. Por lo tanto, si hacemos a = ali + azj + ask, n = Ai + Bj + Ck y r = zi + yj + zk, se sigue que el extremo de r está en P si, y sólo si,

A z : + B y + C z = r . n = a . n = A a l + B a z + C a s . (3)

Como n y a se tomaron fijos, el lado derecho de la ecuación (3) es una constante, digamos, -D. Entonces una ecuación que determina el plano P es

A z : + B y + C z + D = O . (4)

donde Ai + Bj + Ck es normal a P ; recíprocamente, si A , B y C no son cero simultáneamente, el conjunto de puntos (x, y, z ) que satisface la ecuación (4) es un plano con normal Ai+ Bj+ Ck. La ecuación (4) es lineal en las tres variables z, y, z y así corresponde geométricamente a una superficie lineal, esto es, un plano, en R3.

Los cuatro números A, B , C, D no están determinados de manera única por P. Para verlo, noten que (2, y, z ) satisface la ecuación (4) si, y sólo si, además satisface la relación

(AA)z: + (AB)?/ + (AC)z + ( A D ) = O

para cualquier constante A # O. Si A, B , C, D y A’, B’, C‘, D‘ determinan el mismo plano P , entonces A = AA’, B = AB’, C = AC’, D = A D para un escalar A. Decimos que A, B , C , D están determinadas por P salvo un múltiplo escalar. Recíprocamente, dados A, B, C , D y A’, B’, C’, D’, determinan el mismo plano si A = AA’, B = AB’, C = AC’, D = AD’ para algún escalar X. Este hecho se aclarará en el ejemplo 8.

El plano con normal Ai + Bj + Ck, que pasa por un punto R = (20, yo, zo) es

A ( . - 20) + B ( y - yo) + C(Z - Z O ) = 0 (5)

(notar que 2 = 2 0 , y = yo, z = zo satisface la ecuación (S), y entonces, en este caso, D = -(Azo + Byo + Czo).

EJEMPLO 7 Determinar la ecuación del plano perpendicular al vector i + j + k, que contiene al punto (1, O, O).

SOLUCIÓN De la ecuación (5), el plano es 1(z - 1) + l ( y - O) + 1(z - O) = O; esto es, x + y + z = 1. A


SOLUCIÓN Método 1. Cualquier ecuación del plano es de la forma Az + B y + C z + D = O . Como los puntos (1,1,1) y (2,O,O) y (I , l ,O) están en el plano, tenemos

A + B + C + D = O

2A + D = O

A + B + D = O Mediante eliminación, reducirnos este sistema de ecuaciones a la forma

2A + D = O (segunda ecuación)

2B + D = O ( 2 x tercera-segunda)

C = 0 (primera-tercera)

Como los números A, B C y D están determinados salvo un múltiplo escalar, podemos fijar el valor de uno y así los otros quedarán determinados de manera única. Si hacemos D = -2, entonces A = $1, B = $1, C = O . Así, la ecuación del plano que contiene a los puntos dados es x + y - 2 = O .

Método 2. Sean a = i + j + k, b = 2i y c = i + j . Cualquier vector normal al plano debe ser ortogonal a los vectores a - b y c - b, que son paralelos al plano, ya que sus extremos están en el plano. Así, n = (a - b) X ( c - b) es normal al plano. Al calcular el producto cruz tenemos,

n = -1 1 1 = - i - j . P 1 - 1 I li Así, cualquier ecuación del plano es tie la forma -z - y + D = O (salvo u11 rnúltiplo escalar). Como (2, O , O ) está en el plano, D = +2. Después de sustituir, obtenemos 2 + y - 2 = O . A

EJEMPLO 9 Determinar la distancia del punto E = ( 2 1 , y 1 , z l ) al plano COR

ecuacibn A(z - zo) + B ( y - yo) + C ( z - zo ) = Az + B y + C z + D = O .

SOLUCIÓN Considerar al vector

Ai+ Bj + Ck J A 2 + B2 + C2

I1 =


X

Figura 1.3.7 La geometría para determinar la distancia del punto E al plano P.

que es un vector unitario normal al plano. Bajar una perpendicular de E al plano y construir el triángulo REQ mostrado en la figura 1.3.7. La distancia d = IEQI

es la longitud de la proyección de v = RE (el vector de R a E) sobre n; así, ”-+

distancia = Iv - nl = I [ ( z ~ - z0)i + (y1 - y0)j + (zl - zo)k] nl

- - IA(z1 - 20) + B(YI - Y O ) + C(z1 - Z O ) ~ dA2 + BZ + C2

Si el plano está dado en la forma Ax + B y + Cz + D = O, escogemos un punto (20, yo, 20) sobre éI y notamos que D = -(Ax, + By0 + Czo). AI sustituir en la fórmula anterior da

EJERCICIOS

1. Verificar que al intercambiar dos renglones o dos columnas del determinante de 3 x 3 1: : ;I

2 0 2

se cambia el signo del determinante (escoger cualesquiera dos renglones o cualesquiera dos columnas).


2. Evaluar 36 18 17 45 24 20

3 5 -2

17 19 23

3: Calcular a x b, donde a = i - 2 j + k , b = 2i + j + k .

4. Calcular a (b x c ) , donde a y b son corno en el ejerticio 3 y c = 3i - j + 2k.

Hallar el área del paralelogramo que tiene como lados a los vectores'a y b dados en el ejercicio 3.

6. Un triingulo tiene vértices ( O , O , O ) , (1,1, 1) y ( O , -2,3). Hallar sn área.

7. ¿Cui1 es el volumen del paralelepípedo con aristas 2i + j - k, 5i - 3k e i - 2 j + k ?

iCuál es el volumen del paralelepípedo con aristas i , 3j - k y 4i + 2 j - k?

En los ejercicios del 9 al 12, describir todos los vectores unitarios ortogonales a los vectores dados.

9. i, j

10. -5i + 9j - 4k, 7i + 8j + 9k

-Si - 9j - 4k, 7i + 8j + 9k, O

12. 2i - 4j + 3k, -4i + 8j - Gk

13. Calcular u + v, u - v, llull, llvll y u x v donde u = i - 2 j + k, v = 2i - j + 2k.

14. Repetir el ejercicio 1.3 para u = 3i + j - k, v = -6i - 2 j - 2k.

15. Hallar una ecuación para el plano que m e s perpendicular a v = ( I , ] , 1) y pasa por ( l , O , O ) . (b) es perpendicular a v = (1 ,2 ,3) y pasa por (1,1, 1). (c) es perpendicular a la recta 1(t) = ( 5 , o , 2 ) t + ( 3 , - 1 , l ) y pasa por (5, -1, O ) .

es perpcndicular a la rect,a l(t) = (-1, -2, 3)1 + ( O , 7 ,1 ) y pasa por (2,4, - I ) .


17. (a) Probar las identidades del triple producto vectorial (A X B) X C = (A-C)B- - (B C)A y A X (B X C) = (A C)B - (A * B)C.

(b) Probar (u X v) X w = u X (V X W) si, y sólo si (U X W ) x v = O. (c) Probar (u x v) x w + (v x w) x u + (w x u) x v = O (la identidad de Jacobi).

18. k.,l Probar sin recursos geométricos, que

u . ( v x w ) = v . ( w x u ) = w . ( u x v ) = - u . ( w x v )

= “w (v x u) = -v - ( u x w)

(b) Probar

(u x v) * (u’ x v’) = (u - u’)(v - V’) - ( u . v))(u/ . v) =

[IDEA: Usar la parte (a) y el ejercicio 17(a).]

19. Verificar la regla de Cramer presentada en la nota histórica de la página 33.

20. Hallar una ecuación para el plano que pasa por (2 , -1 ,3) y es perpendicular a v = (1 , -2 ,2 ) + t ( 3 , -2 ,4) .

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, -2, -3) y es. perpendicular al plano 3 ~ - - - 2 ~ + 4 = 0 .

24. Hallar la distancia de ( 2 , 1 , -1) al plano 2: - 2y + 22 + 5 = O.

Hallar una ecuación del plano que pasa por ( 3 , 2 , -1) y (1 , -1 ,2) y es paralelo a la recta v.= (1, -1, O) + t ( 3 , 2 , -2).

27. Rehacer los ejercicios 19 y 20 de la sección 1.1 usando el producto punto y los conocimientos adquiridos acerca de normales y planos.

2@. Dados los vectores a y b, Les cierto que las ecuaciones x X a = b y X a = l lal l determinan sólo un vector x? Dar argumentos geométricos y analíticos.

46 LA GEOMETRiA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

29. Determinar la distancia del plano 1'22 + 13y + 5 2 + 2 = O al punto (1, 1, -5).

Hallar la distancia al punto (6, 1, O ) del plano que pasa por el origen y es perpendicular a i - 2j + k.

31. En mecánica se define el momento M de una fuerza F alrededor de un pun to O como l a magnitud de F por la distancia perpendicular d de U a l a linea de acción de F. (Recordemos del ejemplo 10, sección 1.1, que las fuerzas se pueden considerar vectores.) El momento vector M es el vector de magnitud M cuya dirección es perpendicular al plano de O y F, determinado por l a regla de l a mano derecha. Mostrar que M = R X F, donde R es cualquier vector que va de O a la línea de acción de F (ver la figura 1.3.8.).

O

de acción

Figura 1.3.8 Momento de una fuerza

32. La velocidad angular de rotación w , de un cuerpo rígido tiene la misma dirección qne el eje de rotación y magnitud igual a la tasa de giro en radianes por segundo. El sentido de w se determina por la regla de la mano derecha.

(a) Sea r un vector que va del eje a un punto P del cuerpo rígido. Mostrar que el

(b) Interpretar el resultado para la rotación de un carrusel alrededor de su eje, vector v = w x r es la velocidad de P, como en la figura 1.3.9, con w = VI y r = v2.

donde P es u11 punto en la circunferencia.

Figura 1.3.9 E1 punto P tiene vector velocidad v.

1.4 COORDENADAS ESFÉRICAS Y CI~NDRICAS 47

Dos medios fisicos con indices de refracción n1 y h2 están separados por una superficie plana perpendicular al vector unitario N. Sean a y b vectores unitarios a lo largo de los rayos incidente y refractado, respectivamente, sus direcciones son las de dichos rayos de luz. Mostrar que n l ( N x a) = nz(N x b), usando la l e y de Snell, sen O1 /sen 8 2 = n2/n1, donde 81 y 8 2 son los ángulos de incidencia y refracción, repectivamente (ver la figura 1.3.10.)

N rayo de luz

Figura 1.3.10 Ley de Snell.

*a Justificar los pasos en los siguientes cálculos: l 1 1; ' 1 1 ' ' 1 1-3 -61 4 5 6 = O - 3 - 6 1 0 - 3 -6 = = 33 - 36 = -3. 7 8 10 EC 10

-6 -11 O -6 -11

*35. Mostrar que, en una matriz, al sumar un múltiplo del primer renglón el segundo no se altera el determinmte, esto es,

h i c1 al 51 c1

b3 c3 ! 1 a3 b3 c3 1 uz + Xu1 b2 + Ab1 ~2 + X C ~ = ~2 b2 ~2 .

[De hecho, al sumar en una matriz un múltiplo de cualquier renglón (columna) a otro renglón (columna), no se altera el determinante.]

1.4 COORDENADAS ESFÉRICAS Y CILíNDRICAS

La manera usual de representar un punto en el plano R2 es mediante las coordenadas rectangulares ( 2 , y). Sin embargo, como ya seguramente lo aprendió el lector en cálculo elemental, las coordenadas polares en el plano pueden ser muy útiles. Como se muestra en la figura 1.4.1, las coordenadas (.,e) están relacionadas con (z, y) mediante las fórmulas

x = r cost9 y y = r sen O ,

donde usualmente tomamos T 2 O y O 5 B < 27r.


.

Figura 1.4.1 Las coordenadas polares de (.,y) son ( r , o )

A los lectores no familiarizados con las coordenadas polares se les recomienda estudiar las secciones respectivas en su libro de cálculo. Ahora vamos a exponer dos maneras de representar puntos en el espacio, además de las coordenadas cartesianas rectangulares (x, y , z ) . Estos sistemas coordenados alternativos son particu1arment.e adecuados para ciertos tipos de problemas, como por ejemplo, la evaluación de integrales (ver la sección 6.3).

DEFINICI~N (ver la figura 1.4.2) . Las coordenadas cilíndricas (r ,B, 2) de un punto (z, y, z ) están definidas por

x = T C O S ~ , y = r seno, z = z (1)

Y

\

Figura 1.4.2 Representación de un punto (z, y, z j en términos de sus coordenadas cilín- dricas r , 8 y z.

1.4 COORDENADAS ESFÉRICAS Y CI~NDRICAS 49

o, explícitamente,

tan"(y/z) si z > O y y 2 O

2x + tan-'(y/z) s i z > O y y < O T = J Z , Z = Z , % = { ?r + tan"(y/z) si z < O

donde tan-?(y/x) está entre - ~ / 2 y ~ 1 2 . Si 2 = O, entonces 8 = ~ 1 2 para y > O y 3 ~ / 2 para y < O . Si x = y = O , 8 no está definido.

En otras palabras, para cada punto ( x , y, z ) representamos la primera y segunda coordenadas en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera. La fórmula (1) muestra que, dados (Y, 0 , z ) , la terna (x, y, z ) está completamente determinada y, viceversa, si restringimos 0 al intervalo [O, 2n) (a veces es conveniente la extensión ( - T , T I ) y requerimos que T > O.

Para ver por qué usamos el término "coordenadas cilíndricas", nótese que si O 5 8 < 27r, "o0 < z < m y T = a es una constante positiva, entonces el lugar geométrico de estos puntos es un cilindro de radio a (ver la figura 1.4.3).

Figura 1.4.3 La gráfica de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas satisfacen r = a es un cilindro.

EJEMPLO 1 (a) Hallar las coordenadas cilíndricas de (6 ,6 ,8) y localizar el punto. (b) Si un punto tiene coordenadas cilíndricas (8,2~/3, -3), jcuáles son sus coordenadas cartesianas? Localizarlo.

SOLUCIÓN Para la parte (a), tenemos T = d m = 6 f i y 8 = tan"(6/6) = t an - l ( l ) = a / 4 . Así, las coordenadas cilíndricas son (6fi, ÍT/~,$). Éste es el

50 LA GEOMETRíA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0 ~ $.* . .,.í ?,?! ?. ‘:i ’ si, i:’ \. j,

X

Figura 1.4.4 Ejemplos de conversión entre coordenadas cartesianas y cilíndricas.

punto P de la figura 1.4.4. Para la parte (b), tenemos

2x 8 3 2

x = r c o s $ = 8cos - = -- = -4

Y 2 K &

y = sen$ = 8sen - = 8- = 4 v 5

Así, las coordenadas cartesianas son (-4,4&, - 3 ) . Éste es el punto Q de la figura. A

3 2

Las coordenadas cilíndricas no son l as linicas generalizacioncs posibles ( I ( ’ í k t - .

coordenadas polares a tres dimensiones. Recuerden clue en dos d i m e t I s i o r l r + - / ; I

magnitud del vector .ri+y.j (csto es, d w ) r s la r (’11 r.1 sistema dc c o o r ~ l ~ ~ ~ ~ . ~ das polares. Para las coordenadas cilíndricas, la longit,~~tl tlcl vector s i + y.j + rk. a saber,

1.4 COORDENADAS ESFERICAS Y ClLfNDRlCAS

175874 51

Ahora modificaremos esto introduciendo el sistema de coordenadas esféricas, que usa a p como coordenada. Las coordenadas esféricas suelen ser útiles para resolver problemas donde hay simetría esférica (simetría alrededor de un punto), mientras que las coordenadas cilíndricas se pueden aplicar donde haya simetría cilíndrica (simetría alrededor de una recta).

Dado un punto (z, y, z ) E R3, sea

y representemos z y y mediante coordenadas polares en el plano xy:

x = r c o s 0 , y = rsen0 (2)

donde r = d m y 0 está dada por la fórmula (1). La coordenada z está dada por

z = pcosqb,

donde 4 es el ángulo (entre O y T , inclusive) que forma el radio vector v = zi + yj + zk con el eje t , en el plano que contiene al vector v y al eje z (ver la figura 1.4.5). Usando el producto punto podemos expresar 4 como sigue:

Z

52 iA GEOMETRíA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

Tonlarnos como coordenadas las cantidades p, 8, 4. Como

T = psenq!

podemos usar la fórmula (2) para expresar x, y y z en términos de coordenadas esféricas p , B, 4.

DEFINICI~N Las coordenadas esféricas de (x, y, z ) se definen como sigue:

x = psendcos8 , y = psendsen0, z = pcosd (3)

donde p L 0 , 0 < 0 < 2 A , O < C $ < A .

Nótese que las coordenadas esféricas B y 4 se parecen a las coordenadas geográ- ficas de longitud y latitud si consideramos al eje de la Tierra como el eje z . Sin embargo, hay diferencias: la longitud geográfica es 101 y se llama longitud este u oeste, dependiendo de si B es positivo o negativo; la latitud geográfica es I7r/2- 41 y se llama latitud norte o sur, dependiendo de si 7r/2 - B es positivo o negativo.

Nótese que en coordenadas esféricas la ecuación de la esfera de radio a con centro en el origen toma la forma particularmente sencilla

p = a

EJEMPLO 2

(a) Hallar l a s coordenadas esféricas de (1, -1,l) y localizarlo.

(b) Hallar las coordenadas cartesianas de (3, ~ / 6 , ~ / 4 ) y localizarlo.

(c) Sea un punto con coordenadas cartesianas (2, -3,6). Hallar sus coordenadas esféricas y localizarlo.

(d) Sea un punto con coordenadas esféricas (1, -~/2,7r /4) . Hallar sus coordenadas cartesianas y localizarlo.

= cos-' (:) = cos-' (5) M 0.955 M 54.74'

Ver la figura 1.4.6(a).

1.4 COORDENADAS ESFÉRICAS Y CILI'NDRICAS 53

( 1 , - 1 , l ) P = d j J

" p' f#J = 55"

"""

^" - " "-Y';"

Figura 1.4.6 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas del punto (1, -1,l) y (b) las coordenadas cartesianas de (3, a/6, ~ / 4 ) .

(b) 2: = psen4cosO = 3sen ($) cos (;) = 3 (5) - & - 3 & - - 2 2 6 '

Ver la figura 1.4.6(b).

(.) p = d w = J 2 2 + ( - 3 ) 2 + 6 2 = f i = 7 ,

0 = tan-' ( 5 ) = tan-' (:) z -0.983 z -56.31",

4 = cos-' (f) = cosp1 ('$) M 0.541 M 31.0'.

Ver l a figura 1.4.7(a).

Ver l a figura 1.4.7(b). A


( 4 Z Z

I - 56"

X " X

Figura 1.4.7 Búsqueda de (a) las coordenadas esféricas de ( 2 , - 3 , 6 ) y (b) las coordenadas cartesianas de ( 1 , -x/2, a/4).

EJEMPLO 3 Expresar (a) la superficie zz = 1 y (b) la superficie .'+y2 - z2 = I en coordenadas esféricas.

SOLUCIÓN De la fórmula (3), z = psen4cos8, z = pcos4, y, por lo tanto, la superficie (a) está formada por todos los ( p , O, 4) tales que

p2 sen 8 cos O cos 4 = I , i.e., p2 sen 24 cos O = 2.

Para la parte (b) podemos escribir

z2 + y2 - z2 = z2 + y2 + z2 - 2z2 = p2 - 2p2 cos2 4, de manera que la superficie es p2( 1 - 2 cos2 4) = 1, o bien - p 2 cos(24) = 1. A

z

X

V

Figura 1.4.8 Vectores ortonormales e,. , eo y e , asociados con las coordenadas cilíndricas. El vector e , es paralelo a la recta denominada T.

1.4 COORDENADAS ESFÉRICAS Y CIÚNDRICAS 55

Figura 1.4.9 Vectores ortonormales e,,, eo y e4 asociados con las coordenadas esféricas.

Hay vectores unitarios asociados con las coordenadas cilíndricas y esféricas, que son la contraparte de i , j y k para las coordenadas rectangulares. Se muestran en las figuras 1.4.8 y 1.4.9. Por ejemplo, e, es el vector unitario paralelo al plano zy, en dirección radial, de manera que e, = (cos B)i+(sen 8)j. De manera análoga, en coordenadas esféricas e4 es el vector unitario tangente a la curva parametrizada por la variable 4, manteniendo fijas las variables p y 8. Usaremos estos vectores unitarios más adelante, cuando en cálculos vectoriales se utilicen coordenadas cilíndricas y esféricas (ver la sección-3.5).

EJERCICIOS

(a) Los puntos siguientes están dados en coordenadas cilíndricas; expresar cada uno en coordenadas rectangulares y coordenadas esféricas: (1,45O, l) , (2,7r/2, -4), ( O , 4 5 O , lo ) , (3, 7r/6,4), (1 , -7r/6, O), (2,37r/4, -2). (Sólo el .primer punto se resuelve en la Guía de estudio.)

(b) Cambiar los puntos siguientes de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas y a coordenadas cilíndricas: ( 2 , 1 , -2), (O, 3 , 4 ) , (a, 1, l ) , ( - 2 6 , - 2 , 3 ) . (Sólo el primer punto se resuelve en la Guía de estudio.)


3. Describir el significado geométrico de las siguientes asociaciones en coordenadas esféricas:

(a) (P2 0, 4) - (P, 0 + x , 4)

(c) (P, 0, 4) H 0 + r/2,4) kb,l (P,@,d)++(PIQ,")

4. (a) Describir las superficies T = constante, O = constante y z = constante en el

(b) Describir las superficies p = constante, O = constante y 4 = constante en el sistema de coordenadas cilíndricas.

sistema de coordenadas esféricas.

Mostrar que para representar cada punto en R3 por medio de coordenadas esféri- cas es necesario tomar sólo valores de O entre O y 2r, valores de 4 entre O y K , y valores de p 2 O. ¿Serían únicas estas coordenadas si permitimos que p 5 O ?

6. Usando coordenadas cilíndricas y los vectores ortonormales (ortogonales normali-

(a) expresar cada uno de los vectores e,, ee y e , en términos de i, j, k y (x, y, z); y (b) calcular ee x j de manera analítica, usando la parte (a), y geométrica.

zados) e , , ee y e, (ver la figura 1.4.8),

7. Usando coordenadas esféricas y los vectores ortonormales (ortogonales normaliza-

expresar cada uno de los vectores e p , es y e++, en términos de i, j, k y (2, y, 2 ) ; y (b) calcular es X j y e4 X j de manera analítica y geométrica.

dos) e p , ee y e++, (ver la figura 1.4 .9) ,

8. Expresar el plano z = x en coordenadas (a) cilíndricas y (b) esféricas.

Mostrar que en coordenadas esféricas: (a) p es la longitud de zi + yj + zk. (b) 4 = cos-l(v - k/l/vll), donde v = zi + yj + zk. (c) 0 = cos-'(u. i/l/ull), donde u = zi + yj.

10. Dos superficies se describen en coordenadas esféricas mediante las ecuaciones p = f ( 0 , d ) y p = -2f(O, d) , donde f ( 0 , d ) es una función de dos variables. ¿Cómo se obtiene geométricamente la segunda superficie a partir de la primera?

11. Una membrana circular en el espacio está sobre la región z2 + y2 5 a'. La componente z máxima de los puntos de la membrana es b. Suponer que (x, y, z) es un punto en la membrana torcida. Mostrar que el punto correspondiente ( T , O, z ) en coordenadas cilíndricas satisface las condiciones O 5 i. 5 a, O 5 O 5 2x, 121 5 b.

12. Un tanque con forma de cilindro circular recto, con radio de 3 m y altura de 5 m contiene la mitad de líquido y reposa de lado. Describir el espacio ocupado por el aire dentro del tanque mediante la elección adecuada de coordenadas cilíndricas.

Se va a diseñar un vibrómetro que soporte los efectos del calentamiento de su cubierta esférica de diámetro d, la cual está enterrada a profundidad de d / 3 ; el Sol calienta la parte superior (suponer que la Tierra es plana). El análisis de la conducción de calor requiere una descripción de la parte enterrada de la cubierta, en coordenadas esféricas. Hallarla.

1 .S ESPACIO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL 57

14. Un cartucho de filtro de aceite es un cilindro poroso, circular, recto, por el cual fluye el aceite desde el eje hacia la superficie curvada exterior. Describir el cartucho en coordenadas cilíndricas, si el diámetro del filtro es de 4.5 pulg, la altura es de 5.6 pulg y el centro del cartucho está taladrado (a todo lo largo) desde arriba para permitir la entrada de un perno de de pulg.

*15. Describir la superficie dada en coordenadas esféricas por p = cos 20.

1.5 ESPACIO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL

En las secciones 1.1 y 1.2 estudiamos los espacios R = R1, R2 y R3 y dimos sus interpretaciones geométricas. Por ejemplo, un punto (x, y, z ) en R3 se puede pensar como un objeto geométrico, a saber, el segmento de recta dirigido, O

vector, que sale del origen y termina en el punto (x, y, z). Entonces podemos pensar R3 de cualquiera de estas dos maneras: (i) Algebraicamente, como un conjunto de ternas ( x , y , z ) donde x, y y z son

(ii) Geométricamente, como un conjunto de segmentos dirigidos Estas dos maneras de considerar R3 son equivalentes. La definición (i) es

más conveniente para generalizar. Específicamente, podemos definir R", donde n es un entero positivo (quizá mayor que 3), como el conjunto de todas las n-adas ordenadas x I , x 2 , . . . , z,) donde los xi son números reales. Por ejemplo, ( 1 , 4 , 2 , J' 3) E R4.

El conjunto R" definido anteriormente se conoce como n-espacio euclidiano, y sus elementos x = ( x1 , x2 , , . . , x n ) se conocen como vectores o n-vectores. Al hacer n = 1, 2 o 3, recuperamos la recta, el plano y el espacio tridimensional, respectivamente.

Comenzamos nuestro estudio del n-espacio euclidiano introduciendo varias operaciones algebraicas. Éstas son análogas a las introducidas en la sección 1.1 para R2 y R3. Las primeras dos, suma y multiplicación por un escalar, se definen como sigue:

números reales

(i) ( X I , ~ Z , . . . ,xn) + (yI ,y2 , . . . , y") = (x1 + y 1 , ~ + yz, . . . , x, + y");

Y (ii) para cualquier número real (Y,

@(el, z2,. . . ,X") = ((YZI,cYZZ,. . . , (Y%).

La importancia geométrica de estas operaciones para R2 y R3 se analizó en la sección l. l.

Los n vectores el = ( l , O , O , . . . , O), e2 = (O, 1 , O , . . . , O ) , . . . , e, = (O, O , . . . O , 1) se llaman vectores de la base usual de R", y generalizan los tres vectores unitarios ortogonales entre sí, i , j y k de R3. El vector x = (x l , x 2 , . . . , z,) se puede escribir como x = zlel + x282 + . . . + xnen.

58 U GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLlDlANO

Para dos vectores x = ( 2 1 , ~ ~ ~ 23) y y = (y1, yz, y3) en R3, definimos el producto punto o producto interno x - y como el número real x - y = z ly l + z2y2 + 23~3. Es ta definición se extiende fácilmente a R"; específicamente, para x = (21, 2 2 , . . . , G ) , y = (yl , y ~ , . . . , yn) , definimos x. y = z l y l + 22yz + . . . + z,y,. En R" se suele usar la notación (x, y) en lugar de x y, para el producto interior. Continuando con la analogía con R3, ahora tenemos que definir el concepto abstracto de longitud o norma de un vector x mediante la fórmula

longitud de x = ((x\( = fi = + + s . . + &.

Si x y y son dos vectores en el plano (R') o en el espacio (R3), sabemos que el ángulo B entre ellos está dado por la fórmula

El lado derecho de esta ecuación está definido tanto para R" como para R2. Aún representa el coseno del ángulo entre x y y; este ángulo está bien definido pues x y y están en un subespacio bidirnensional de Rn (el plano determinado por x y y). El producto punto es una poderosa herramienta matemática; una razón es que incorpora el concepto geométrico de ángulo entre dos vectores.

Será útil disponer de algunas propiedades algebraicas del producto interior. Se resumen en el siguiente teorema (ver las propiedades ( i ) , (ii), (iii) y (iv) de la sección 1.2)

TEOREMA 2 Para x, y y z E R" y CY y p números reales, tenemos

(i) (ax + /?y) z = a(x z) + /?(y. 2) .

(ii) x. y = y -x.

(iii) x. x 2 O .

(iv) x x = O si, y sólo si, x = O .

DEMOSTRACI~N Cada una de las cuatro afirmaciones se puede probar mediante un sencillo cálculo. Por ejemplo, para probar la propiedad (i) escribimos

La otra demost,ración es similar.

1.5 ESPACIO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL 59

En la sección 1.2 probamos una propiedad mucho más interesante de los productos punto, llamada la desigualdad de Cauchy-Schwarz (a veces se le llama desigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz, o simplemente desigualdad CBS, porque se descubrió de manera independiente en casos particulares por el ma- temático francés Cauchy, el matemático ruso Bunyakovskii y el matemático alemán Schwarz). Para R2 la demostración requirió de la ley de los cosenos. Podríamos escoger este método para Rn, restringiendo nuestra atención a un plano en R". Sin embargo, podemos dar una demostración directa, completamente algebraica.

TEOREMA 3 (DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARz) Sean x y y vectores en R" . Entonces

Ix * YI 5 llxll I l Y l l .

DEMOSTRACI~N Sea a = y y y b = "x - y. Si a = O el teorema es claramente válido, pues entonces y = O y ambos lados de la desigualdad se reducen a O . Así, podemos suponer que a # O. Por el teorema 2 tenemos

O < ( a x + b y ) ~ ( a x + b y ) = a 2 x ~ x + 2 a b x ~ y + b ' y ~ y -

= (y - y)2x - x - (y y)(x y)'.

Al dividir entre y - y se tiene

O

(x Y12 I (x X)(Y . Y ) = llX1l2 llY1I2

Al extraer raíz cuadrada en ambos lados de esta desigualdad se obtiene la regla deseada.

Hay una consecuencia muy útil de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en tér- minos de longitudes. La desigualdad del triángulo es geométricamente clara en R3. En la figura 1.5.1, llOQll = (Ix + YII, lloplj = llxll = llRQ11 Y llORll = llyll. Como la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor o igual que l a longitud del tercero, tenemos llOQll 5 llORll + IlRQil, esto es IIx + Y I I 5

Figura 1.5.1 Esta situación geométrica muestra que llOQll 5 llORll + llRQ11, o, en no- tación vectorial, que IIx + y11 < llxll + llyll, lo cual es la desigualdad del triángulo.


IIXIISIIyII. El caso para R" no es tan obvio, de modo que daremos la demostración analítica.

COROLARIO Sean x y y vectores en R". Entonces

IIx + y11 5 llxll + llyll (desigualdad del triángulo)

DEMOSTFIACI~N Por el teorema 3 , x y 5 [x y1 5 llxll llyll, de modo que

IIX + Y1I2 = llX1l2 + 2 x Y + llY1I2 5 llX1l2 + 211xll IlYll + llYIl2.

De aquí obtenemos IIx + y1I2 5 (11x11 + l l ~ 1 1 ) ~ ; al extraer raíz cuadrada se tiene e1 resultado.

Si el teorema 3 y su corolario se desarrollaran algebraicamente, se convertirían en las siguientes útiles desigualdades:

EJEMPLO 1 S e a x = ( 1 , 2 , 0 , - 1 ) y y = ( - 1 , 1 , 1 , 0 ) . Verificarelteorema3ysu corolario para este caso:

SOLUCI~N llxll = J 1 2 + 2 2 + 0 2 + ( -1)2 = 45 llyll = &1)2 + 1 2 + 1 2 + o 2 = J;s x 'y = 1(-1) + 2 1 + o * 1 + (-1)0 = 1

x + y = ( O , 3,1, -1)

IIX + y11 = Jo2 + 32 + 12 + ( -1)2 = f i .

Calculamos X * y = 1 5 4.24 z && = llxll llyll, lo cual verifica el teorema 3 . De manera análoga podemos verificar su corolario:

IIx +y(] = f i % 3.32 5 4.18

= 2 . 4 5 + 1 . 7 3 W & + h = l l x l l + l l y l l . A

Por analogía con R3, podemos definir el concepto de distancia en R"; a saber, si x y y son puntos en R", la distancia entre x y y se define como IIx - y[\, o la longitud del vector x - y. Insistimos en que no hay producto cruz definido en R", excepto para n = 3 . Sólo se generaliza el producto punto.

1.5 ESPACIO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL 61

Generalizando las matrices de 2 x 2 y de 3 x 3 (ver la sección 1.3), podemos considerar matrices de m X n, arreglos de mn números:

a l l a l z . . . a l n

A = [y1 7' " ' ' Z n ] .

am] amz ' " amn

También escribiremos A como [ a i j ] . Definimos suma y multiplicación por un escalar por componentes, tal y como se hizo para vectores. Dadas dos matrices de m X n A y B , podemos sumarlas (restarlas) para obtener una nueva matriz de m X n, C = A + B (C = A - B ) , cuyo ij-ésimo registro cij es la suma (diferencia) de aij y b i j . Es claro que A + B = B + A .

EJEMPLO 2

[ S 4 I ] + [ - : : : I = [ ; : 4 2 1 0

Dado un escalar X y una matriz A de m x n, podemos multiplicar A por X para obtener una nueva matriz m x n AA = C, cuyo ij-ésimo registro cij es el producto Xaij.

EJEMPLO 3

1 -1 2 3 -3 6 3 [ : :I-[: I:]. A

A continuación pasamos a la multiplicación de matrices. Si A = [aij], B = [b i j ] , entonces AB = C tiene registros dados por

n

k = l

que es el producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B:


EJEMPLO 4 Sea

1 0 3 A = [ 2 1 o ] y B =

1 0 0

Entonces

A

De manera análoga, mediante la misma regla podemos multiplicar una matriz de n x m ( n renglones, m columnas) por una matriz de m x p ( m renglones, p columnas) para obtener una matriz de n x p ( n renglones, p columnas). Nótese que para que esté definida A B , el número de columnas de A debe ser igual al número de renglones de B.

EJEMPLO 5 Sea

Entonces

A B = [ 3 4 5 1 ' 3 1 5

y B A no está definida. A

EJEMPLO 6 Sea

A = [ ;] y B = [ 2 2 1 21.

Entonces

y B A = [13]. A

Cualquier matriz A de m X n determina una asociación de R" a Rm de la manera siguiente: Sea x = ( 2 1 , . . . , x") E R"; considerar la matriz columna de

1.5 ESPAUO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL 63

n x 1 asociada con x, que denotaremos temporalmente por x T :

y multiplicar A por xT (considerada como una matriz de n x 1) para obtener una nueva matriz de m x 1:

Entonces obtenemos un vector y = ( ~ 1 , . . . , ym). Para usar una matriz A que sirva para obtener una asociación de los vectores x = (21,. . . , x,) a vectores y = (y1,. . . , ym) de acuerdo con la ecuación anterior, hemos de escribir los

vectores en forma de columna :' 1 en lugar de la forma de renglón ( 2 1 , . . . , x,). Lx, J

Este cambio repentino de escribir x como renglón a escribirlo como columna - es necesario debido a las convenciones sobre multiplicación.* Así, aunque cause alguna confusión, escribiremos x = (21, . . . , x,) y y = (y1, . . . , ym) como vectores

columna x = [ 2'1 , y = [ y' ] cuando-se trate de multiplicaciones de matrices;

esto es, identificaremos estas dos formas de escribir vectores. Así, suprimiremos la T en xT y consideraremos iguales a xT y a x; esto es, x = xT.

Así, A x = y significará "en realidad" lo siguiente: Escríbase x como vector columna, multiplíquese por A, y sea y el vector cuyas componentes son las del vector columna resultante de la multiplicación. La regla x A x define, por lo tanto, una asociación de R" a Rm. Esta asociación es lineal; esto es, satisface

X n Ym

A ( x + y ) = A x + A y

A(ax) = .(Ax), (Y un escalar,

como puede verificarse fácilmente. En un curso de álgebra lineal se aprende que, recíprocamente, cualquier transformación lineal de Rn a R" se puede representar mediante una matriz de m x n.

Si A = [aij] es una matriz de m x n y ej es el j-ésimo vector de la base usual de Rn, entonces Aej es un vector en R" con componentes iguales a las de la j-ésima columna de A. Esto es, la i-ésima componente de Aej es a i j . En símbolos, (Aej)d = a i j .

*Si los matemáticos hubieran elegido la convención de escribir x A en lugar de A x , o hubiera diferentes reglas para la multiplicación de matrices, se podría consewar a x como renglón.

64 IA GEOMETRíA DEL ESPACIO EUCLIDIAN0

EJEMPLO 7 si

entonces x H A x de R3 a R4 es la asociación definida por

EJEMPLO 8 A continuación se ilustra lo que sucede a un punto particular cuando se manda mediante una matriz de 4 x 3:

La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa: si A y B son matrices de n X n, entonces por lo general

AB # B A

(ver los ejemplos 4, 5 y 6). Se dice que una matriz de n x n es invertible si existe alguna matriz I3 tal que

A B = B A = I , ,

donde r

1 o o ' . . o o 1 o " ' o

I, = o o 1 " ' o . . . . . . . . . o o o ' . . 1 -

es la matriz identidad de n x n: I,, tiene la propiedad de que InC = CI, = C para cualquier matriz C de n x n. Denotamos B por A-' y la llamamos la inversa de A. La inversa, cuando existe, es Gnica.

1 .S ESPACIO EUCLIDIAN0 n-DIMENSIONAL 65

EJEMPLO 9 si

pues AA-l = 1, = ALIA, como puede verificarse al efectuarse las multiplicaciones de las matrices. A

En álgebra lineal se aprenden métodos para calcular inversas; en este libro no se requieren esos métodos. Si A es invertible, es posible resolver l a ecuación Ax = y para el vector x multiplicando ambos lados por A-' y obtener x = A-ly.

En la sección 1.3 definimos el determinante de una matriz de 3 X 3. Esto se puede generalizar por inducción a determinantes de n x n. Ilustramos aquí cómo escribir el determinante de una matriz de 4 x 4 en términos de los determinantes de matrices de 3 x 3:

a22 a24 a22

a41 a42 a44 a42 a43

+ a13 1 ::: a32 a34 1 - a14 I i!: a32 ::: I (ver la fórmula (2) de la sección 1.3; los signos se alternan: +, -, +, -,. . . ) .

Las propiedades básicas de los determinantes de 3 x 3 que se revisaron en la sección 1.3, mantienen su validez para determinantes de n x n. En particular, nótese el hecho de que si A es una matriz de n x n y B es la matriz formada al sumar un múltiplo escalar del le-ésimo renglón (o columna) de A al 1-ésimo renglón (o , respectivamente, columna) de A, entonces el determinante de A es igual al determinante de B (ver el ejemplo 10 a continuación).

Un teorema básico del álgebra lineal afirma que una matriz A, de n x n es invertible si y sólo si el determinante de A no es cero. Otra propiedad básica es que det(AB) = (det A)(det B) . En este libro no usaremos muchos detalles de álgebra lineal, de modo que dejaremos estas afirmaciones sin demostración.

EJEMPLO 10 Sea 1 0 1 0

A = [ ' 2 1 0 1 ' ' ' 1 ' 1 1 0 2

Hallar det A. ¿Tiene A inversa?


SOLUCIÓN Al sumar (-1) X la primera columna a la tercera columna, obtenemos

Al sumar (-1) X la primera columna a la tercera columna de este determinant,e de 3 X 3, obtenemos

Así, det A = -2 # O , de modo que A tiene inversa. A

Si tenernos tres matrices A, B y C tales que los productos AB y BC están definidos, cntonces los productos (AR)C y A(DC') eslarán definidos y serán iguales (esto es, la multiplicación de matrices es asociativa). Llamamos a esto triple producto de matrices y lo denotamos por ABC.

EJEMPLO 11 Sea

EJEMPLO 12

[,' e ] [: :] [ Y -:] = [,' e ] [: :] = [: 001. A

EJERCICIOS

1. Probar las propicdades (ii) a (iv) expresadas en el teorema 2.

2. Mostrar F I ~ R." que k.,l~llxll' + ~' l ly11' = 11x + yll' + 11x - yl/' (k;sto se conoce como la ley del parale-

('1) IIX - YII l b + YII I llX1l2 + I l Y I l ' logramo).

(c) 4(x, y) = //x + y1I2 - IIx - y1/' (A esto se le llama la identidad de polarización.) Interpret,ar estos result,ados geom6tricamente en t>érminos del paralelogramo formado por x y y .

1.5 ESPACIO EUCLIDIAN0 17-DIMENSIONAL 67

Verificar que se cumplen las desigualdades CBS y del triángulo, para los vectores en los ejercicios 3, 4 y 5:

3. X = (2, O , - l ) , y = (4, O , -2) ~ = ( 1 , 0 , 2 , 6 ) , ~ = ( 3 , 8 , 4 , 1 )

5. ~ = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 ) , ~ = ( 3 , 0 , 0 , 0 , 2 )

6. Verificar que si A es una matriz de n x n, la asociación x H Ax de R" a R" es lineal.

7. Calcular AB, det A, det B, det(AB) y det(A + B ) para

1 -1 o - 2 o A = [: i] y B = [-: -:]

Calcular AB, det A, det B, det(AB) y det(A + B) para

9. Usar inducción en k para probar que si X I , . . . , x k E R", entonces

10. Probar mediante álgebra lineal, la identidad de Lagrange: Para números reales X I , . . . zn y y1,. . . , Y",

Usar esto para dar otra demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en R".

*11. Probar que si A es una matriz de n X n, entonces det(XA) = X" det A; y

(b) si B es una matriz obtenida a partir de A al multiplicar cualquier renglón o columna por un escalar X, entonces det B = X det A.

En los ejercicios 12, 13 y 14, A, B y C denotan matrices de n X n.

12. ¿Es cierto que det(A + B ) = det A + det B? Dar una demostración o un contraejemplo.

13. ¿Es cierto que (A + B)(A - B) = A' - B2?

Suponiendo cierta la ley det(AB) = (detA)(detB), probar que det(ABC) = (det A)(det B)(det C).


*15. (Este ejercicio supone conocimiento de integración de funciones continuas de una variable.) Nótese que la demostración de la desigualdad CBS (teorema 3) depende sólo de las propiedades del producto interno listadas en el teorema 2. Usar rs ta observación para establecer la siguiente desigualdad para funciones continuas f, g: [O, 11 + R:

Hacer esto (a) verificando que el espacio de funciones continuas de [O, 11 a R forman un

espacio vectorial; esto es, podernos pensar las funciones f y g de manera abstracta como “vectores” que pueden sumarse entre sí, y multiplicarse por escalares.

(b) introdnciendo el producto interno de funciones

y verificando que satisfaga las condiciones (i) a ( iv ) del teorema 2

*16. Definir la transpuesta AT de una matriz A de n x n como sigue: el ij-ésimo elemento de AT es a], donde a,3 es el ij-ésimo registro de A. Mostrar que AT está caracterizada por la siguiente propiedad: Para todo x, y en R“,

( A T x ) * y = X * (Ay)

Verificar que la inversa de

1 d - b ad - be [ --c a ]

18. Usar la respuesta al ejercicio 17 para mostrar que la solución del sistema

a x + by = e

cx + dy = f

es 1

19. Suponiendo cierta la ley det(AB) = (det A)(det B ) , verificar que (det A)(det A - ’ ) = 1 y concluir que si A tiene inversa, entonces det A # O .

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 1

Sea v = 3i + 4j + 5k y w = i - j + k. Calcular v + w, 3v, 6v + 8w, -2v, v * w, v x w. Interpretar cada operación geométricamente graficando los vectores.

2. Repetir el ejercicio 1 con v = 2j + k y w = -i - k.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 1 69

3. (a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( -1 ,2, -1) en la dirección de j. (b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( O , 2, -1) y (-3,1, O ) . (c) Hallar la ecuación del plano perpendicular a ( - 2 , 1 , 2 ) que pasa por (-1,1,3).

(a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( O , 1 , O ) en la dirección de 3i + k. Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( O , 1 , l ) y ( O , 1, O).

(c) Hallar la ecuación para el plano perpendicular a (-1, 1, -1) que pasa por (1 ,171) .

5. Calcular v w para el siguiente conjunto de vectores: (a) v = - i + j ; w = k. (b) v = i + 2 j - k ; w=31+J . (c) v = -2i - j + k; w = 3i + 2j - 2k.

. .

Calcular v x w para los vectores del ejercicio 5. (Sólo la parte (b) está resuelta en la Guía de estudio.)

Hallar el coseno del ángulo entre los vectores en el ejercicio 5 . (Sólo la parte (b) está resuelta en la Guía de estudio.)

Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores del ejercicio 5 . (Sólo la parte (b) está resuelta en la Guía de estudio.)

9. Usar notación vectorial para describir el triángulo en el espacio cuyos vértices son el origen y los extremos de los vectores a y b.

10. Mostrar que los tres vectores a, b y c están en el mismo plano que pasa por el origen si y sólo si existen tres escalares a, /3 y y, no todos iguales a cero, tales que aa+pb+yc=O.

11. Para los números reales a l , a2, a3 , bl , b2 y b3, mostrar que

( U I ~ + azb2 + ~ 3 b 3 ) ’ 5 (U: + U; + a;)(b: + bz + b ; ) .

[;?1 Sean u, v y w vectores unitarios que son ortogonales entre sí. s i a = a u + p v + y w , mostrar que

a = a . u , , B = a . v , y = a . w . Interpretar geométricamente los resultados.

13. Sean a y b dos vectores en el plano, a = ( a l , az), b = (bl , b z ) , y sea X un número real. Mostrar que el área del paralelogramo determinado por a y b + Xa es la misma que la del determinado por a y b. Esbozar. Relacionar este resultado con una conocida propiedad de los determinantes.

14. Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vértices ( O , 1, O ) , ( 1 , 1 , 11, (O, 290) Y ( 3 , 1 , 2 ) .

15. Dados vectores distintos de cero a y b en R3, mostrar que el vector v = Ilallb+llblla biseca el ángulo entre a y b.


16. Usar métodos vectoriales para probar que la distancia del punto ( 2 1 , y1) a la recta ax + b y = c es

17. Verificar que la dirección de b X c está dada por la regla de la mano derecha, escogiendo dos vectores b y c de entre i , j y k.

(a) Suponer que a b = a' - b para todo b. Mostrar que a = a'. (b) Suponer que a X b = a' x b para todo b. ¿Es cierto que a = a'?

19. (a) Usando métodos vectoriales mostrar que la distancia entre dos rectas no paralelas 11 y 12 está dada por

= I ( V Z - vl)-(al x a2)l

Ila1 x a211

donde VI y v2 son dos puntos cualesquiera sobre 11 y 12, respectivamente, y al y a 2

son las direcciones de 11 y 12. [IDEA: Considerar el plano que pasa por 12 y es paralelo a 11. Mostrar que (al x a2)/11a1 x a211 es una normal unitaria para este plano; ahora, proyectar v 2 - VI sobre esta dirección normal.]

(b) Hallar la distancia entre la recta 11 determinada por los puntos (-1, -1,1) y ( O , O , O ) , y la recta 12 determinada por los puntos ( O , -2, O ) y (2, O , 5 ) .

20. Mostrar que dos planos, dados por las ecuaciones A z + By + C z + DI = O y A x + By + C z + D 2 = O , son paralelos, y que la distancia entre ellos es

ID1 - D2l

JA2 + B2 + C2 '

21. (a) Probar que el área del triángulo en el plano con vértices ( z ~ , y ~ ) , ( 2 2 , y 2 ) y ( 2 3 , ya), es el valor absoluto de

(b) Hallar el área del triángulo con vértices (1, a ) , ( O , 1) y ( - 1 , l )

22. Convertir los siguientes puntos de coordenadas cartesianas a cilíndricas y esféricas. Localizar:

(a) ( O , 3 , 4 ) (b) (-&,1, O ) (c) ( O , O , 0) ( 4 (-1, o , 1) k.,l ( - 2 d 5 , - 2 , 3 )

23. Convertir los siguientes puntos de coordenadas cilíndricas a cartesianas y esféricas. Localizar:

(a) ( 1 , x / 4 , 1 ) (3 , -4) (c) ( O , */4,1) (dl (2 , -x/2,1) (e) ( - 2 , -x/& 1)


25. Reescribir la ecuación z = z2 - y' usando coordenadas cilíndricas y esféricas.

26. Usando coordenadas esféricas, mostrar que

donde u = zi + y j + zk. Interpretar geométricamente.

27. Verificar las desigualdades de Cauchy-Schwarz y del triángulo para

x = ( 3 , 2 , 1 , 0 ) y y = ( l , l , l , 2 ) .

Multiplicar las matrices

¿Es cierto que A B = BA?

29. (a) Mostrar que para dos matrices A y B, de n x n , y x E R",

( A B ) x = A ( B x ) .

(b) ¿Qué implica la igualdad de la parte (a) respecto a la relación entre la compo- sición de las asociaciones x H Bx, y H A y y la multiplicación de matrices?

30. Hallar el volumen del paralelepípedo generado por los vectores

( 1 ~ 0 , 11, ( 1 , 1 , 1 ) , Y ( -3 ,2, o).

31. Verificar que cualquier asociación lineal de R" a R" está determinada por una matriz de n x n; esto es, proviene de una matriz de n x n de la manera explicada en la pág. 62.

32. Hallar una ecuación para el plano que contiene (3, -1,a) y la recta v = (2, -1, O ) + t ( 2 , 3 , O ) .


El trabajo W realizado al mover un objeto de ( O , O ) a ( 7 , 2 ) sujeto a una fuerza F es W = F * r donde r es el vector con cabeza en (7 ,2 ) y cola en ( O , O ) . Las unidades son metros y kilos.

(a) Suponer que la fuerza F = 10 cosei + losenej. Hallar W en términos de 8. (b) Suponer que la fuerza F tiene magnitud de 6 kg y forma un ángulo de x / 6 rad

con la horizontal, apuntando a la derecha. Hallar W en metros-kilos.

34. Si una partícula con masa m se mueve a una velocidad v, su momento es p = mv. En un juego de canicas, se tira una canica con masa de 2 gramos (8) con una velocidad de 2 metros por segundo (m/s), la cual choca con dos canicas con masa de 1 g cada una, y se para. Una de las canicas sale con una velocidad de 3 m/s formando un ángulo de 45' con la dirección de incidencia de la canica grande, como en la figura l . R . l . Suponiendo que el momento total antes y después de la colisión es el mismo (de acuerdo con la ley de conservación del momento), La qué ángulo y velocidad se movió la segunda canica?

Figura 1.R.1 Momento y canicas.

35. Mostrar que para todo x, y y 2 ,

Mostrar que

si x, y y z son todos diferentes.

37. Mostrar que 68 627 247 86 436 23

2 -1 1

38. Mostrar que n n + l n + 2

n + 6 n + 7 n + 8

tiene el mismo valor, sin importar cuánto sea n. ¿Cuál es ese valor?


El volumen de un tetraedro con aristas concurrentes a, b y c está dado por V = ;a - (b x c ) .

(a) Expresar el volumen como un determinante. (b) E v a l u a r V c u a n d o a = i + j + k , b = i - j + k , c = i + j .

Usar la siguiente definición para los problemas 40 y 41: Sean r l , . . . , rn vectores de O a las masas m l , . . . , m n . El centro de masa es el vector

40. Un tetraedro está dado en coordenadas zyz con un vértice en ( O , O , O) y las tres aristas concurrentes a ( O , O , O) coinciden con los vectores a, b y c .

(a) Trazar una figura y rotular las cabezas de los vectores a, b, c . (b) Hallar el centro de masa de cada uno de las cuatro caras triangulares del

tetraedro si se coloca una unidad de masa en cada vértice.

41. Mostrar que para cualquier vector r, el centro de masa de un sistema satisface n n

,=1 *=1

donde m = x:=, m, es la masa total del sistema.

En los ejercicios 42 al 47, hallar un vector unitario que tenga la propiedad dada.

42. Paralelo a la recta 2: = 31 + 1, y = 16t - 2, z = - ( t + 2) .

43. Ortogonal al plano 2: - 6y + z = 12.

Paralelo a los planos 82: + y + z = 1 y 2: - y - z = O.

45. Ortogonal a i + 2 j - k y a k.

46. Ortogonal a la recta 2: = 2 t - I , y = --1 - 1, z = t + 2, y al vector i - j.

A un ángulo de 30' con i y formando ángulos iguales con j y k.

48. Un par de dipolos distan entre sí en T . (Los dipolos son idealizaciones de pequeños magnetos con un polo norte y un polo sur infinitesimalmente cercanos entre sí; l a potencia del dipolo se describe por un vector llamado su momento de dipolo.) La energía potencial magnética P está dada por P = -m1 - B2 (llamado el potencial de interacción dipolo-dipolo), donde el primer dipolo tiene momento m1 en el campo externo BZ del segundo dipolo. En unidades MKS,

Bz = PO -m2 + 3(m2 1)l

4TT3 ,


donde 1 es un vector unitario, y es una constante escalar. (a) Mostrar que

m1 . m2 - 3(m2 l)(ml - 1) P = p n

4 í f T

(b) Hallar P cuando ml y m2 son perpendiculares.

49. Una esfera de radio 1Ocentímetros (cm) con centro en ( O , O , O ) rota alrededor del eje z con velocidad angular 4 en una dirección tal que la rotación se ve en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj desde el eje 2 positivo.

(a) Hallar el vector de rotación w (ver la sección 1.3, ejercicio 3 2 ) . (b) Hallar la velocidad v = w x r cuando r = 5&(i - j ) está en el “ecuador”.

2 DIFERENCIACION

Yo me alejo con espanto y horror, de la triste maldad de las funciones que no tienen derivadas.

CHARLES H E R M I T E , en una carta a Thomas Jan Stieltjes

En este capítulo se amplían los principios del cálculo diferencial para funciones de una variable a funciones de varias variables. Comenzamos en la sección 2.1 con la geometría de las funciones con valores reales y el estudio de las gráficas de estas funciones como un auxiliar para visualizarlas. En la sección 2.2 se dan algunas definiciones básicas que relacionan límites y continuidad. Este tema se trata superficialmente, pues su desarrollo completo requiere de tiempo y madurez matemática, por lo cual es mejor dejarlo para un curso más avanzado.* Afortu- nadamente para nuestros propósitos, no es necesario un conocimiento completo de las sutilezas del concepto de límite; el estudiante que tenga dificultad con esta sección deberá tenerlo en mente. Sin embargo, añadimos enseguida, el concepto de límite ocupa un lugar central en la definición de derivada, pero no en los cálculos de las derivadas en problemas específicos; como ya sabemos por los cursos de cálculo de una variable. En las secciones 2.3 y 2.4 se trata la definición de derivada y se obtienen algunas reglas básicas del cálculo: a saber, cómo diferenciar una suma, producto, cociente o composición. En la sección 2.5 estudiamos derivadas direccionales y planos tangentes, relacionando estas ideas con las de la sección 2.1, y en la sección 2.6 consideramos algunas propiedades de las derivadas de orden superior. Finalmente la sección 2.7 es optativa, y ahí se dan algunas demostraciones técnicas.

*Ver, por ejemplo, J . Marsden, Elementary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974

76 DIFERENCIACI~N

Al generalizar el cálculo de una a varias dimensiones, suele ser conveniente usar el lenguaje del álgebra de matrices. En la sección 1.5 hemos resumido lo que vamos a necesitar.

2.1 GEOMETR~A DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

Iniciamos nuestra investigación de funciones con valores reales desarrollando métodos para visualizarlas. Introduciremos en particular, los conceptos de gráfi- ca, curva de nivel y superficie de nivel de dichas funciones.

Sea f una función cuyo dominio sea un subconjunto A de R" y cuya imagen esté contenida en R". Con esto queremos decir que a cada x = (21, . . . , x,) E A , f asigna un valor f(x), una m-ada en R". Dichas funciones f se llaman funciones con valores vectoriales* si m > 1, y funciones con valores escalares si m = 1. Por ejemplo, la función con valores escalares f ( z , y, z ) = ( x 2 + y'+ z ' ) - ~ / ' manda al conjunto A de (x, y , z ) # ( O , O , O ) en R3 ( n = 3 en este caso) a R(m = 1). Para denotar f solemos escribir

f: (Z,Y, z) +" (Z' + Y2 + ) . 2 -3f2

Nótese que en R3 solemos usar la notación (x, y , z ) en lugar de (21, x 2 , 2 3 ) . En general, la notación x ++ f(x) es útil para indicar el valor al cual se manda un punto x E R". Escribimos f : A c R" -+ R" para expresar que A es el dominio de f (en R") y que la imagen está contenida en R". También usamos la expresión f manda A dentro de R". Dichas funciones f se llaman funciones de va r i a variables si A c R" , n > 1.

Como otro ejemplo, tomemos la función con valores vectoriales g: R6 "-+ R2 definida por la regla

g ( x ) = g(Z1, 2 2 , x31 z4, 2 5 , 2 6 ) = ( 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 , d m ) La primera coordenada del valor de g en x es el producto de las coordenadas de x.

Las funciones de R" a R" no son sólo abstracciones matemáticas, sino que surgen de manera natural en problemas estudiados en todas las ciencias. Por ejemplo, para especificar la temperatura T en una región A del espacio se requiere una función T : A c R3 -+ R ( n = 3 , m = 1); así T ( z , y, z ) es la temperatura en el punto (x, y , z). Para especificar la velocidad de un fluido moviéndose en el espacio

'Algunos matemáticos escribirían dicha f en negritas, usando la notación f(x), pues tiene valores vectoriales. Nosotros no lo hacemos así por cuestión de gusto. Usamos negritas prindpal- mente para asociaciones que sean campos vectoriales, los cuales se introducirán más adelante. El concepto de función fue desarrollado durante muchos siglos, ampliándose la definición para cubrir más casos según iban apareciendo. Por ejemplo, en 1667 James Gregory definió una función como "una cantidad obtenida a partir de otras canti'dades mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante cualquier otra operación imaginable." En 1775 Euler dio la siguiente definición: "Si algunas cantidades dependen de otras de manera que varían cuando varían las últimas, entonces se dice que las primeras son función de las últimas."

2.1 QEOMETRiA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES 77

se requiere una asociación V: R4 + R3, donde V(x, y, z, t ) es el vector velocidad del fluido en el punto (x, y,z) del espacio en el tiempo t (ver la figura 2.1.1). Para especificar la tasa de reacción de una solución que consta de seis reactores químicos A , B , C, Dl E y F en proporciones x, y, z , w, u y v , se requiere una asociación 6: U c R6 + R, donde u ( z , y, z , w, u, u) da la tasa cuando los químicos están en las proporciones indicadas. Para especificar el vector cardiac0 (el vector que indica la magnitud y dirección del flujo de la corriente eléctrica en el corazón) en el tiempo t , se requiere una asociación c: R -+ R3, t I+ c ( t ) .

Figura 2.1.1 Un fluido en movimiento define un campo vectorial V al especificar la velocidad de las partículas del fluido en cada punto en espacio y tiempo.

Cuando f: U c Rn ”+ R, decimos que f es una función de n variables, con dominio U y valores reales. La razón por la que decimos “n variables” es simplemente que consideramos las coordenadas de un punto x = ( 2 1 , . . . , x,) E U como n variables, y f (x) = f(x1,. . . , xn) depende de estas variables. Decimos con “valores reales” porque f(x1 , . . . , z,) es un número real. Buena parte de nuestro estudio será acerca de funciones con valores reales, por lo que les daremos atención especial.

Para f: U c R + R, ( n = 1), la gráfica de f es el subconjunto de R2 que consta de los puntos (x, f(x)) en el plano, para z en U. Este subconjunto se puede pensar como una curva en R2. Esto se escribe simbólicamente, como

gráfica f = {(z,f(z)) E RZlz E U}, donde las llaves significan “el conjunto de todos” y la barra vertical significa “tal que”. Trazar la gráfica de una función de una variable es un recurso útil

78 DIFERENCIAC16N

para visualizar el comportamiento real de una función. (Ver la figura 2.1.2.) Será conveniente generalizar la idea de gráfica de una función a funciones de varias variables. Esto conduce a la siguiente definición:

DEFINICI~N Sea f : U c R" "+ R. Definirnoslagráfica de f como elsubconjunto de Rntl que consta de todos los puntos (21,. . . ,x,, f(z1, . . . , 2")) en Rntl para (21, . . . ,zn) en U. En simbolos:

gráfica f = ((21,. . . ,z,, f(21,. . . ,z,)) E Rnt1l(zl , . . . , x n ) E U } .

Para el caso n = 1, la gráfica es una curva en R2, mientras que para R = 2 es una superficie en R3 (ver la figura 2.1.2). Para n = 3 es difícil visualizar la gráfica, pues como vivimos en un mundo tridimensional, nos es difícil imaginar cofljuntos en R4. Para superar este obstáculo, introducimos la idea de conjunto de nivel.

Y Z

,. . U

gráfica de f

Figura 2.1.2 Gráficas de (a) una función de una variable y (b) una función de dos variables.

Supongamos que f(z, y , z ) = x 2 + y2 + z 2 . Un conjunto de nivel es un subconjunto de R3 en donde f es constante; por ejemplo, el conjunto donde x2+y2+z2 = 1 es un conjunto de nivel para f . A éste sí lo podemos vistializar: es una esfera de radio 1 en R3. El comportamiento o estructura de una función está determinada en parte por la forma de sus conjuntos de nivel; en consecuencia, entender estos conjuntos nos ayuda a entender la función en cuestión. Los conjuntos de nivel también son útiles para entender funciones de dos variables f ( z , y) , en cuyo caso hablaremos de curvas de nivel.

2.1 GEOMETR~A DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES 79

Figura 2.1.3 Los contornos de nivel de una función se definen de la misma manera que las líneas de contorno en un mapa topográfico.

La idea es análoga a la usada para preparar mapas de contornos, donde se trazan líneas para representar altitudes constantes; caminar a lo largo de dicha línea significará caminar en una curva de nivel. En el caso de una colina sobre el plano xy, una gráfica de todas las curvas de nivel nos da una buena idea de la función h(x, y), que representa la altura de la colina en los puntos (x, y) (ver la figura 2.1.3).

D E F I N I C I ~ N Sea f: U c R" --t R y sea c E R. Entonces el conjunto de nivel del valor c se define como aquellos puntos x E U para los cuales f(x) = c. Si n = 2, hablamos de una curva de nivel (de valor c); y si n = 3, hablamos de una superficie de nivel. En simbolos, el conjunto de nivel de valor c se escribe

{x E Ulf(x) = c } c R".

Nótese que el conjunto de nivel siempre está en el espacio dominio.

EJEMPLO 1 La función constante f : R2 "+ R, (x, y) H 2, esto es, la función f(x, y) = 2, tiene como gráfica el plano horizontal z = 2 en R3. La curva de nivel del valor c es vacía si c # 2, y es todo el plano xy si c = 2. A

EJEMPLO 2 La función f : R2 "-f R, (x, y) H x + y + 2 tiene como gráfica el plano inclinado z = x + y + 2. Este plano insterseca el plano xy (z = O) en la recta y = -x - 2 y el eje z en el punto ( O , O , 2). Para cualquier valor c E R, la curva de nivel del valor c es la recta y = -x + (c - 2); o, en símbolos, el conjunto

L C = {(X, ~ ) J Y = --I + (C - 2)) C R2

Exhibimos unas cuantas curvas de nivel de la función en la figura 2.1.4. Se trata, en realidad, de un mapa de contorno de la función f . A

80 DIFERENCIACI~N

\

\

Y

recta de intersección del

y el plano zy p l a n o z = z + y + 2

Figura 2.1.4 Las curvas de nivel de f(z, y) = z + y + z + 2 muestran el comportamiento de esta función.

I ,

Y

Figura2.1.5 Relación de las curvas de nivelkn la figura 2.1.4, con la gráfica de la función f(z, y) = z + y + 2, la cual es el plano z = z + y + 2.

2.1 GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES 01

A partir de las curvas de nivel rotuladas con el valor o “altura” de la función, se puede inferir la gráfica de la función elevando mentalmente cada curva de nivel a la altura apropiada, sin estirarla, inclinarla o deslizarla. Si se contemplara este procedimiento para todas las curvas de nivel L C , esto es, para todos los valores c E R, juntas conformarían toda la gráfica de f , como se indicó en la figura 2.1.5 para el ejemplo 2. Si se visualiza la gráfica sólo para un número finito de curvas de nivel, como suele ser el caso, se produce una especie de modelo de contorno, como en la figura 2.1.4. Sin embargo, si f es una función suave, su gráfica será una superficie suave; entonces, al suavizar mentalmente el modelo de contorno se obtiene una buena idea de la gráfica.

EJEMPLO 3 Describir la gráfica de la función cuadrática f : R2 -+ R, (x, y) +-+

x2 + y2.

SOLUCIÓN La gráfica es el paraboloide de revolución z = x 2 + y2, orientado hacia arriba desde el origen y alrededor del eje z . La curva de nivel del valor c es vacía para c < O; para c > O la curva de nivel de valor c es el conjunto {(x, y)1x2 + y2 = c}, un círculo de radio 4 con centro en el origen. Así, al elevarlo a la altura c sobre el plano zy, el conjunto de nivel es un círculo de radio &, que indica una forma parabólica (ver las figuras 2.1.6 y 2.1.7). A

Es posible determinar el aspecto de una gráfica mediante el método de las secciones. Una sección de la gráfica de f es la intersección de la gráfica con un plano (vertical). Por ejemplo, si PI es el plano z z en R3, definido por y = O , entonces la sección de f en el ejemplo 3 es el conjunto

n gráfica f = {(x, y, z)ly = O, z = z2} ,

X

+y ’ = 1 2

+ y ” = 2”

+ y ” = 3’

Figura 2.1.6 Algunas curvas de nivel para la función f(x, y) = z2 + y*.

82 DIFERENCIACI~N

X2 + Y’ = 4?

”. “_

i l

/”

X

Figura 2.1.7 Las curvas de nivel de la figura 2.1.6 elevadas hasta la gráfica.

Y

Figura 2.1.8 Dos secciones de la gráfica de f(x, y) = x + y . 2 2

2.1 GEOMETRiA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES a3

EJEMPLO 4 La gráfica de la función cuadrática f : R2 -+ R, (x, y) I-+ x2 - y2 se llama paraboloide hiperbólico o silla de montar, con centro en el origen. Esbozar la gráfica.

SOLUCIÓN Para visualizar esta superficie trazamos primero las curvas de nivel. Para determinar las curvas de nivel, resolvemos la ecuación x2 - y2 = c . Consi- deremos los valores c = O , 61, f4. Para c = O , tenemos y2 = x2, o y = fx, de manera que este conjunto de nivel está formado por dos rectas que pasan por el origen. Para c = 1, la curva de nivel es z2 - y2 = 1, o y = que

Y

I

Figura 2.1.9 Curvas de nivel para la función f(z, y) = 2’ - y’

84 DIFERENCIACI~N

es una hipérbola que cruza verticalmente el eje x en los puntos (&l, O ) (ver la figura 2.1.9 . De manera análoga, para c = 4, la curva de nivel está definida por y = f + x z - 4, la hipkrbola cruza verticalmente el eje x en (*2, O) . Para c = -1, obtenemos la curva x? - y? = -1, esto es, x = & d n , la hipérbola cruza horizontalmente el eje y en ( O , & l ) . Y para c = -4, se obtiene la hipérbola que pasa por (0,&2). Se muestran estas curvas en la figura 2.1.9. Como no es fácil visualizar la gráfica de f a partir sólo de estos datos, calcularemos dos secciones, como lo hicimos en el ejemplo anterior. Para la sección en el plano x z , tenemos

que es una parábola abriéndose hacia arriba; y para el plano y",

que es una parábola abriéndose hacia abajo. Ahora se puede visualizar la gráfica elevando las curvas de nivel a la altura apropiada y suavizando la superficie resultante. Su colocación se facilita al calcular las secciones parabólicas. Este procedimiento genera la silla de montar hiperbólica mostrada en la figura 2.1.10. Comparar esto con las gráficas generadas por computadora en la figura 2.1.11 (nótese que se ha cambiado la orientación de los ejes). A

/ 7,'

- v' = -

Figura 2.1.10 Algunas curvas de nivel en la gráfica de f(z, y) = z2 - y'.

2.1 GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

Figura 2.1.11 (a) Gráfica generada por computadora, de z = 2’ + y2. (b) Esta gráfica con las curvas de nivel elevadas.

86 DIFERENCIACIóN

EJEMPLO 5 Describir la gráfica de la función f: R3 ”-$ R, (x, y, x) H x2 + y2 + 2 2 .

SOLUCIÓN Éste es el equivalente tridimensional del ejemplo 3. En este contexto, los conjuntos de nivel son superficies en el dominio tridimensional R3. La gráfica, en R4, no se puede visualizar directamente; sin embargo se pueden calcular de manera analítica las secciones.

Figura 2.1.12 Algunas superficies de nivel para f(z, y, z) = x 2 + y2 + z2

El conjunto de nivel con valor c es el conjunto

el cual es una esfera con centro en el origen y radio fi para c > O , es un solo punto en el origen para c = O , y es vacío para c < O. En l a figura 2.1.12 se muestran los conjuntos de nivel para c = O , 1 , 4 y 9. Se obtiene mayor información acerca de la gráfica al calcular una sección. Por ejemplo, si escribimos SZ=o = ( ( 5 , y , z , t ) l z = O}, entonces podemos ver la sección

Como aquí t se mantiene fija en z = O , podemos visualizar esta sección de la gráfica como una superficie en R3, en las variables x, y y t (figura 2.1.13). La superficie es un paraboloide de revolución. A

2.1 QEOMETRiA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES

t

4

Figura2.1.13 La sección z = O de la gráfica de f ( x , y , z ) = z2 + y2 + z2.

EJEMPLO 6 Describir la gráfica de la función f : R3 + R definida por f (x , y, z ) = x2 + y2 - z2, que es el símil tridimensional del ejemplo 4, y también se conoce como silla de montar.

SOLUCIÓN Las superficies de nivel están definidas por

de dos hojas alrededor del eje z , que atraviesa el eje z en los puntos ( O , O , f a ) . Para c positivo, digamos c = b2, la superficie de nivel es el hiperboloide de re- volución de una hoja alrededor del eje z definido por z = el cual interseca el plano t y en el círculo de radio ( b l . Estas superficies de nivel se esbozan en la figura 2.1.14. Se puede obtener otra vista de la gráfica a partir de una sección. Por ejemplo, el subespacio Sy=o = {(z,y,z , t ) ly = O} interseca la gráfica en la sección

SY=o n gráfica f = ( ( 2 , y, z, t ) l y = o, t = 2 - z2},

esto es, el conjunto de puntos de la forma (x, O , z , x2 - z2), que puede considerarse, como en el ejemplo anterior, una superficie en el espacio zzt (ver la figura 2.1.15). A

88 DIFERENCIACI~N

V

Figura 2.1 .14 Algunas superficies de nivel de l a función f ( Z , y, z ) = Z2 + yz - z2.

b

\

" ~ , "

Figura 2.1.15 La sección y = O de l a gráfica de f(z, y, z) = z2 + y' - z z ,

2.1 GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES a9

Hemos visto cómo se pueden usar los métodos de secciones y conjuntos de nivel para entender el comportamiento de una función y su gráfica; estas técnicas pueden ser de bastante utilidad para personas que deseen visualizar ampliamente datos complicados.

Existen muchos programas de computadora que pueden trazar una función dada. Para funciones de una variable, se trata sólo de calcular ciertos valores de la función y localizar los puntos. Para funciones de dos variables se usa el método de las secciones. Por ejemplo, para trazar f(z, y), la computadora selecciona secciones paralelas a los ejes, asignando valores, digamos a y y trazando la gráfica correspondiente, después cambiando y y repitiendo el proceso. Así se puede ba- rrer una buena parte de la gráfica. Se dan algunos ejemplos en las figuras 2.1.16 y 2.1.17.

Y

c = 0.1

c = 0.5

c = l

c = 2

"

j (a) y = 1/(1 4- cellz) para c = 0.1, 0.5, 1, y 2.

Figura 2.1.16 Algunas gráficas generadas por computadora.

90 DIFERENCIACI~N

Figura 2.1.16 Algunas gráficas generadas por computadora. (Continúa)

2.1 GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES 91

Figura 2.1.1 6 (Con tin úa)

92 DIFERENCIACI~N

3.0 2.5 2.0 1.5 1 .o 0.5

Flgura2.1.17 Gráfica generada por computadora, de z = (z2 + 3y2)exp(l - z2 - y’), representada de cuatro maneras: (a) por secciones, (b) por curvas de nivel sobre la gráfica, (c) por curvas de nivel en el plano zy visto en perspectiva, y (d) por curvas de nivel en el plano zy visto desde arriba.

2.1 QEOMETRíA M LAS FUNCIONES CON VALORES REALES 93

-2 - 1 o i 2 + Y

Figura 2.1.1 7 (Con tin úa)

EJERCICIOS

1. Esbozar curvas de nivel y gráfica de las siguientes funciones: f : R 2 + R , ( z , y ) ~ z - y + 2 (b) f : R 2 + R , ( z , y ) ~ z 2 + 4 y 2

(c) f : R2 -+ R, (x, y) I+ -zy

2. Describir el comportamiento, conforme varía c , de la curva de nivel f(x, y) = c

(a) f(z, y) = z2 + y2 + 1 f(z, y) = 1 - z2 - y2 (c) f ( z , y ) = z3 - x

Para las funciones en los ejemplos 2, 3 y 4, calcular la sección de la gráfica definida por el plano

SS = {(z,y,z)Iy = z t a n 8 ) para una constante dada 0. Hacer esto expresando z como función de T , donde z = 7 cos 8, y = 7 sen 8. Determinar cuáles de estas funciones f tienen la propiedad de que la forma de Se ngráfica de f sea independiente de 8. (La solución sólo al ejemplo 3 está en la Guía de estudio de este libro.)

En los ejercicios 4 al 10, trazar las curvas de nivel (en el plano xy) para las funciones dadas f y valores especificados de c . Esbozar la gráfica de z = f ( z , y).

para cada una de estas funciones:

4. f ( ~ , y ) = 4 - 3 ~ + 2 y , ~ = 0 , 1 , 2 , 3 , - 1 , - 2 , - 3

f(z, y) = (100 - z2 - c = O , 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0

94 DIFERENCIACI~N

8. f (x , y) = 33: - 7y, c = o , 1 , 2 , 3 , -1, -2, -3

En los ejerkicios 1 1 al 13, esbozar o describir las superficies de nivel y una sección de l a gráfica de cada función.

1 1 . f: R3 + R, (x, y, z ) H -x2 - y2 - z2

13. f : R3 ”+ R, (x , y, z) H x’ + y2

En los ejercicios 14 al 18, describir la gráfica de cada función calculando algunos conjuntos de nivel y secciones.

14. f : R3 - R, (x , y, z ) H xy 15. f:R3 -+ R, (x, y, x) H zy + yz

18. f: R2 ”-* R, (zly) H máx(lxl,1y1)

Esbozar o describir las superficies en R3 de las ecuaciones presentadas en los ejercicios 1 9 al 31.

23. - = - + - x y2 22

4 4 9

20. x + 2 2 = 4

z2 + y 2 - 22 = o

z = x 2 26. y’ + z2 = 4.

27. z = - - - 4 9

y2 x2 28. y2 = x2 + z2

30. “ + - + - = 1 9 12 9

z2 y2 22

2.2 LíMITES Y CONTINUIDAD 95

31. 2’ + y’ + z2 + 42 - by + 9z - b = O , donde b es una constante

32. Usando coordenadas polares, describir las curvas de nivel de la función

33. Sea f : R2\{0} + R dada en coordenadas polares por f ( r , 8) = (COS 28)/r2. Esbo- zar algunas curvas de nivel respecto a los ejes zy. (RZ\{O} = {X E R21x # O } . )

34. En la figura 2.1.17(d), la “curva” de nivel z = 3 aparece formada por dos puntos. Probar esto algebraicamente.

2.2 LfMlTES Y CONTINUIDAD

En esta sección se desarrolla la terminología que nos ayudará a estudiar dife- renciación de funciones de varias variables en la,sección 2.3. Este material está centrado en los conceptos de conjunto abierto, límite y continuidad; los conjuntos abiertos son necesarios para entender límites, y, a su vez, los límites son necesarios para entender continuidad y diferenciabilidad.

Como sucede en cálculo elemental, no es necesario dominar completamente el concepto de límite para poder trabajar con problemas de diferenciación. Por esta razón los profesores pueden tratar el siguiente material con distintos grados de rigor. Los estudiantes deberán consultar a sus maestros acerca de la profundidad requerida.

Comenzamos la formulación del concepto de conjunto abierto mediante la definición de disco abierto. Sea x0 E R” y sea r un número real positivo. El disco abierto (o bola abierta) de radio r y centro x0 se define como el conjunto de todos los puntos x tales que IIx - x011 < T . Este conjunto se denota por D,(xo), y es el conjunto de puntos x en R” c.uya distancia (ver la sección 1.5) a x0 es menor que r . Nótese que incluimos sólo aquellas x para las cuales se cumple la desigualdad estricta. El disco D,(xo) se ilustra en la figura 2.2.1 para n = 1, 2 y 3. En el caso n = 1 y zo E R, el disco abierto D, (20) es el intervalo abierto (20 - r , zo + Y), que consta de los números z E R que están estrictamente entre zo - r y 20 + T . En el caso n = 2, x0 E R2, D,.(XO) es el “interior” del disco de radio T con centro en XO. En el caso n = 3, x0 E R3, DP(xo) es el “interior” de la bola de radio r con centro en xo.

DEFINICI~N Sea U c R” (esto es, sea U un subconjunto de R”). Decimos que U es un conjunto abierto cuando para cualquier punto x0 en U existe algún r > O tal que D,(xo) está contenido en U; en símbolos, D,(xo) c U (ver la figura 2.2.2).

96 DIFERENCIACI~N

(a) ' Y Z

i

Figura 2.2.1 Apariencia de los discos Dr(x0) en (a) 1 , (b) 2, y (c) 3 dimensiones.

Nótese que el número r > O depende del punto XO, en general r disminuirá conforme x0 se acerca al "borde" de U. Hablando intuitivamente, un conjunto U es abierto cuando los puntos "frontera" de U no pertenecen a U. En la figura 2.2.2, la línea punteada no está incluida en U , y en la figura 2.2 . l (c ) , la frontera de la esfera no está incluida.

Y 4

Figura 2.2.2 Un conjunto abierto U es aquel que incluye completamente algún disco D , ( x o ) alrededor de cada uno de sus puntos XO.


Además establecemos la convención de que el conjunto vacío 0 (el conjunto que no tiene elementos) es abierto.

Hemos definido un disco abierto y un conjunto abierto. Según hemos escogido los términos, parece que un disco abierto también deberá ser un conjunto abierto. Un momento de reflexión nos hará ver que este hecho requiere una breve demostración.

TEOREMA 1 Para cada x0 E R" y r > O, D,.(xo) es un conjunto abierto.

DEMOSTFIACI~N Sea x E D,(xO), esto es, sea IIx - x011 < T . De acuerdo con la definición de conjunto abierto, debemos hallar un S > O tal que Da(.) c D,(xO). Si nos referimos a la figura 2.2.3, vemos que S = r - IIx - x011 es una selección razonable; nótese que S > O , pero que S se hace m& chico si x está cerca del borde de D, (xo) .

EJEMPLO 1 Probar que A = {(h,y) E R21z > o} es un conjunto abierto.

SOLUCIóN Se muestra el conjunto en la figura 2.2.4. Intuitivamente, el conjunto es abierto pues ninguno de los puntos "frontera" 2 = O , está contenido en el

98 DIFERENCIACI~N

Y

Figura 2.2.4 Problema: mostrar que A es un conjunto abierto.

conjunto. Este argumento será suficiente cuando nos hayamos acostumbrado a las ideas. Sin embargo, al principio debemos dar todos los detalles. Para probar que A es abierto, mostramos que para todo punto (x, y) E A existe un T > O tal quy D,(x, y) c A. Si (x, y) E A, entonces x > O . Escoger T = x. Si ( X I , yl) E D, (x, y), tenemos

121 - 21 = 5 J(21 - 2)2 + (y1 - y)2 < T = 2 ,

y así, 2 1 - x < x y z - x1 < x. La desigualdad anterior implica que x1 > O, esto es, (x1 ,y l ) E A . Entonces D,.(x, y) c A, y por lo tanto A es abierto (ver la figura 2.2.5). A

Y

Figura 2.2.5 Construcción de un disco alrededor de un punto en A , que está completamente contenido en A .

2.2 LiMlTES Y CONTINUIDAD 99

Es útil tener un nombre especial para un conjunto abierto que contenga un punto dado x, ya que esta idea se presenta frecuentemente al estudiar límites y continuidad. Así, designaremos como una vecindad de x E R” a un conjunto abierto U que contiene al punto x. Por ejemplo, D,.(xo) es una vecindad de x0 para cualquier T > 0. El conjunto A en el ejemplo 1 es una vecindad del punto

Introduzcamos formalmente el concepto de punto frontera aludido en el ejem- xo = (3,-10).

plo 1.

DEFINICI~N Sea A c Rn. Un punto x E R” es punto frontera de A si toda vecindad de x contiene al menos un punto en A y al menos un punto fuera de A .

En esta definición, x puede estar o no en A; si x E A , entonces x es un punto frontera si toda vecindad de x contiene al menos un punto que no esté en A (ya contiene un punto en A, a saber, x). De manera análoga, si x no está en A , es un punto frontera si toda vecindad de x contiene al menos un punto de A.

Estaremos particularmente interesados en puntos frontera de conjuntos abiertos. Por la definición de conjunto abierto, ningún punto de un conjunto abierto A puede ser un punto frontera de A . Así, un punto x es un punto frontera de un conjunto abierto A si y sólo si x no está en A y toda vecindad de x tiene intersección no vacía con A .

Esto expresa en términos precisos la idea intuitiva de que un punto frontera de A es un punto justo en el “borde” de A . En la mayoría de los ejemplos resulta muy claro cuáles son los puntos frontera.

EJEMPLO 2 (a) Sea A = (a, b ) en R. Entonces los puntos frontera de A son los puntos a y b . Un examen de la figura 2.2.6 y de la definición, lo aclaran. (Se pedirá al lector probar esto en el ejercicio 2(c).)

puntos frontera \

a h .- ““X

Figura 2.2.6 Los puntos frontera del intervalo ( a , b )

(b) Sea A = D,.(zo, yo) un r-disco alrededor de (20, yo) en el plano. La frontera está formada por los puntos (x, y) con (x - xo)2 + (y - = r2 (figura 2.2.7).

(c) Sea A = {(x, y) E R21x > O}. Entonces la frontera de A está formada por todos los puntos sobre el eje y (ver la figura 2.2.8).

(d) Sea A el conjunto D,.(xO) menos el punto zo (un disco “agujereado” alrededor de XO). Entonces x0 es un punto frontera de A. A

100 DIFERENCIACI~N

frontera

~ . " - . _I. ."-"~." + x

Figura 2.2.7 La frontera de A está formada por los puntos en el borde de A .

V

X

Figura 2.2.8 La frontera de A está formada por todos los puntos del eje y.

Ahora nos ocuparemos del concepto de límite. Durante toda la exposición siguiente, el dominio d e definición de la función f será un conjunto abierto A . Estamos interesados en hallar el límite de f cuando x E A tienda a un punto de A o a un punto frontera de A .

El lector deberá comprender el hecho de que el concepto de límite es una herramienta básica y útil para el análisis de funciones; nos permite estudiar derivadas y por lo tanto, máximos y mínimos, asíntotas, integrales impropias y otras ca- racterísticas importantes de las funciones; también es útil para series infinitas y

2.2 LíMITES Y CONTINUIDAD 1 o1

sucesiones. Presentaremos una teoría de límites de funciones de varias variables que abarque, como caso particular, a la teoría de funciones de una variable.

El estudiante probablemente ya aprendió, del cálculo de una variable, una definición de límite f ( x ) = I para una función f : A c R + R de un subconjunto A de números reales a los números reales. Intuitivamente, esto significa que conforme x se acerca más y más a xo, los valores f (x ) se acercan más y más a I . Para colocar esta idea intuitiva sobre una base firme, precisa y manejable desde el punto de vista matemático, por lo general se introduce el “método de épsilon ( E ) y delta (5)” o el “método de las vecindades”. Lo mismo sucede con las funciones de varias variables. A continuación desarrollaremos el enfoque de las vecindades para el concepto de límite. El enfoque épsilon-delta se deja como material de estudio opcional al final de esta sección.

x - x 0

DEFINICIóN DE LíMITE Sea f : A c R” 4 Rn, donde A es un conjunto abierto. Sea x0 un punto en A o en la frontera de A , y sea V una vecindad de b E R”. Decimos que f está finalmente* en V conforme x tiende a x0 si existe una vecindad U de x0 tal que x # XO, x E U y x E A implica f(x) E V. (En la figura 2.2.9 se ilustra el significado geométrico de esta afirmación; nótese que x0 no necesariamente debe estar en el conjunto A, de modo que no necesariamente está definida f(xo).) Decimos que f(x) tiende a b cuando x tiende a XO, o, en símbolos,

límite f(x) = b o f(x) -+ b cuando x -+xo,

cuando, dada cualquier vecindad V de b, f está finalmente en V conforme x tiende a x0 (esto es, “f (x) está cerca de b si x está cerca de XO)’). Puede ser que cuando x tienda a x0 los valores de f(x) no se acerquen a un número particular. En este CWQ decimos que límite f(x) no existe.

x-x0

X‘XO

De ahora en adelante, cuando consideremos el concepto de límite f(x), supondremos que x0 pertenece a cierto conjunto abierto donde está definida f, o bien está en la frontera de dicho conjunto.

Una de las razones por las que insistimos en la definición de límite, en que x # xo, será clara si recordamos, del cálculo de una variable, que nuestra intención es definir la derivada ~ ’ ( z o ) de una función f en un punto.xo mediante

x-x0

f’(z0) = limite f (z) - f(zo) 3

x-x0 x - 20

y esta expresión no está definida en x = 20.

‘Usamos “flnelmente” como traducción de “eventually”. El significado en castellano de la traducción literal “eventualmente” es: incierta o casualmente (cf. Diccionario de la Lengua Española Madrid: Real Academia Española, 1984); mientras que el significado en inglés de

final (cf. The International Webster Dictionary of the English Language. Nueva York: Tabor “eventually” (y, por supueto, con el sentido que se usa en la definición) es: como resultado

House, 1973). [N. del T.]

102 DIFERENCIACI~N

z

T N

i i

Figura 2.2.9 Límites en términos de vecindades; si x está en U, entonces f(x) estará en V. (Los pequeños círculos huecos denotan el hecho de que ( a , f ( a ) ) y (xo, f (xo)) no están en la gráfica.) (a) f : A = ( a , zo) -+ R. (b) f: A = {(x, y)1z2 + y2 < 1 ) "+ R. (La línea punteada no está en la gráfica de f.)


EJEMPLO 3 (a) Este ejemplo ilustra un límite que no existe. Considerar la función f : R -+ R definida por

f(.) = { 1 si ' 0 -1 si 50

No existe el límite f (z ) pues hay puntos 2 1 arbitrariamente cerca de O con f(z1) = 1, y también hay puntos x2 arbitrariamente cerca de O con f(z2) = -1; esto es, no hay un solo número cerca del cual esté f cuando z esté cerca de O (ver la figura 2.2.10). Si se restringe f al dominio ( O , 1) o (-1, O ) , entonces el límite existe. ¿Pueden ver por qué?

x-o

Y

/ ( x , ) = 1 -T - f ( x p ) = - 1 j

Figura 2.2.10 No existe el límite de esta función cuando z + O

(b) Con este ejemplo se valor límite no es igual a su f: R -+ R mediante

Es cierto que límite f(x) = r-O

ilustra una función cuyo límite existe, pero cuyo valor en el punto donde se toma el límite. Definir

O si . # O 1 si z = O

O , pues para cualquier vecindad U de O , x E U y z # O implica que f ( x ) = O . Si no hubiésemos insistido en que z # 2 0 , entonces

"

v . * x

Figura 2.2.1 1 El límite de esta función cuando z -+ O es cero.

104 DIFERENCIACI~N

el límite (suponiendo que usamos la definición anterior de límite sin la condición x # xg) no existiría. Así, estamos realmente interesados en el valor al que se acerca f cuando z + O (o1 en general, cuando x + xu). En la gráfica de la figura 2.2.11 vemos que f tiende a O cuando z -+ O ; no nos importa si f toma otro valor en O , o no está definida ahí. A

EJEMPLO 4 Usar la definición para verificar que se cumple el “límite obvio” límite x = xg, donde x y xg E R” .

SOLUCIÓN Sea f la función definida por f(x) = x, y sea V cualquier vecindad de xg. Debemos mostrar que f(x) está finalmente en V cuando x + xg. Así, por l a definición, debemos hallar una vecindad U de x0 con la propiedad de que si x # x0 y x E U, entonces f(x) E V. Escoger U = V. Si x E U, ent>onces x E V; como x = f (x) , se sigue que f(x) E V . Así, llernos mostrado que límite x = XO. De manera análoga tenemos

*-+x0

x-x0

límite x = XO, etc. A ( X > Y ) ” ( X O , Y O )

A partir de ahora el estudiante puede dar por válidos, sin demostración, los límites que aprendió en cálculo de una variable. Por ejemplo, se puede usar limite ,/Z = Jr = I y límite sen B = sen O = O .

x-+ 1 0-0

EJEMPLO 5 (En este ejemplo se muestra otro caso, en el cual no es posible simplement>e “omitir” el límite.) Hallar límite g(z) donde

x-1

J’ v

Figura 2.2.12 Estas gráficas son iguales, excepto que en la parte (a) g no está definida en z = 1, mientras que en la parte (b) g1 está definida para todo z >_ O .

2.2 LíMITES Y CONTINUIDAD 1 o5

SOLUCIÓN La gráfica de esta función está en la figura 2.2.12. Vemos que g(1) no está definido, pues la división entre cero no está definida. Sin embargo, si multiplicamos el numerador y el denominador de g(II:) por f i+ 1, hallamos que para todo II: en el dominio de g, tenemos

La expresión g*(z) = f i + 1 está definida y toma el valor 2 en II: = 1; por el cálculo en una variable, g*(z) "+ 2 cuando 2 "+ 1. Pero como g*(z) = g(z) para todo II: 2 O , II: # 1, debemos tener también que g(II:) -+ 2 cuando z -+ 1. A

Para hablar con propiedad acerca de el límite, debemos mostrar que f puede tener a lo más un límite cuando x -+ xo. Esto resulta intuitivamente claro y ahora lo enunciamos formalmente. (Ver la sección 2.7 para la demostración.)

TEOREMA 2: UNICIDAD DE LOS LíMITES Si límite f(x) = bl y límite f(x) = b2, entonces bl = b2.

X-Xo X'XO

Para realizar cálculos prácticos con límites necesitamos algunas reglas, por ejemplo, que el límite de una suma es la suma de los límites. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema (ver la sección 2.7 para la demostración).

TEOREMA 3 Sean f: A C R" "+ R", g: A c R" -+ R", x0 un elemento de A o un punto frontera de A , b E R" y c E R; entonces

(i) Si límite f(x) = b, entonces límite cf(x) = cb, donde cf:A "+ Rm está

definida por x H c ( f ( x ) ) .

(ii) Si límite f(x) = bl y límite g(x) = b2, entonces límite (f+g)(x) = bl+b2,

donde (f + 9): A -+ R" está definida por x H f(x) + g(x). (iii) Si m = 1, límite f(x) = 61 y límite g(x) = b2, entonces límite(fg)(x) = blba , donde (fg): A "+ R está definida por x H f(x)g(x).

(iv) Si m = 1, límite f(x) = b # O y f(x) # O para todo x E A , entonces

límite l/f(x) = l / b , donde l / f : A -+ R está definida por x H l /f(x)

(v) Si f(x) = (fl(x), . . . ,fm(x)) donde f i : A -+ R, i = 1,. . . , m, son las funciones componentes de f, entonces límite f(x) = b = ( b l , . . . , b,) si y sólo si

X'XO X'X0

X'X0 x-x0 x-x0

X-tXO x-x0 x-x0

X-Xo

X'XO

*'X"

límite fi(x) = bi para cada i = 1,. . . , m. x-x0

Estos resultados son intuitivamente claros. Por ejemplo, la regla (ii) no dice más que si f(x) está cerca de bl y g(x) está cerca de b2 cuando x está cerca

io6 DIFERENCIACI~N

de XO, entonces f(x) + g(x) está cerca de bl + b2 cuando x está cerca de xo. El siguiente ejemplo ilustrará la situación.

EJEMPLO 6 Sea f: R2 -+ R, ( 2 , y) +-+ zz + y2 + 2. Calcular límite f(z, y). (Z>Y)-+[O>l)

SOLUCIÓN Aquí f es la suma de las tres funciones (z, y) H z2, (x, y) H y2, y (2, y) H 2. El límite de una suma es la suma de los límites, y el límite de un producto es el producto de los límites (teorema 3). Por lo tanto, usando el hecho de que límite z = zo (ejemplo 4), obtenemos

(Z,Y)"+(ZO,YO)

limite x2 = ( limite ,x) ( limite x) = zi (z2Y)-(zo,Yo) (">Y)-(zo,Yo (",Y"O,YO)

y, usando el mismo razonamiento, límite y2 = y;. En consecuencia, ( s , Y ) + ( r o , Y o )

Emite f(x, y) = O' + l2 + 2 = 3. A

En el curso de cálculo de una variable aprendimos que el concepto de función continua está basado en l a idea intuitiva de una función cuya gráfica es una curva sin romper, esto es, una curva sin saltos, o el tipo de curva que trazaría una partícula en movimiento o al mover la punta de un lápiz sin separarla del papel.

Para efectuar un análisis detallado de las funciones, necesitamos conceptos más precisos que estas vagas ideas. Aclaremos mediant,e un ejemplo. Consideremos la función $: R + R definida por f(z) = -1 si z 5 O y f(z) = 1 si z > O. La gráfica de f se muestra en la figura 2.2.13. (El pequeño círculo hueco significa que el punto ( O , 1) no está en la gráfica de f.) Claramente, la gráfica de f está rota en z = O. Considerar ahora la función g: 2 H z2. Se muest,ra esta función

( z t y ) - ( r o , y a )

V

x

Figura 2.2.13 Esta función no es continua, pues su valor brinca súbitamente cuando x pasa por O .

2.2 LIMITES Y CONTINUIDAD

Y I

107

I

Figura 2.2.14 Esta función es continua.

en la figura 2.2.14. La gráfica de g no está rota en ninglin punto. Si se examinan ejemplos de funciones como f, cuyas gráficas estén rotas en algún punto 20, y funciones como g, cuyas gráficas no estén rotas, se ve que la diferencia principal entre ellas es que para una función como g, los valores de g ( x ) se acercan más y más a g(x0) conforme x se acerca más y más a 20. La misma idea sirve para funciones de varias variables. Pero la idea de más y más cerca no basta como definición matemática; así, formularemos estos conceptos de manera precisa en términos de límites.

DEFINICI~N Sea f : A c R" "+ R"' una función dada con dominio A . Sea x0 E A . Decirnos que f es continua en x0 si y sólo si

límite f(x) = f(xo). x-x0

Si decimos simplemente que f es continua, queremos decir que f es continua en cada punto x0 de A .

Como la condición límite f(x) = f(x0) significa que f(x) está cerca de f(x0)

cuando x está cerca de XO, vemos que nuestra definición corresponde, en efecto, al requerimiento de que la gráfica de f no esté rota (ver la figura 2.2.15, donde se ilustra el caso f : R 4 R). El caso de varias variables es más fácil de visualizar si trabajamos con funciones con valores reales, digamos f : R2 "+ R. En este caso podemos visualizar f trazando su gráfica, formada por todos los puntos (x, y, z) en R3 con z = f (x, y). La continuidad de f significa entonces que su gráfica no tiene "brincos" (ver la figura 2.2.16).

X'XO

i o8 DIFERENCIACI~N

Y Y

"

Figura2.2.15 (a) Función discontinua para la cual no existe límite 5-xn f (z ) ; (b) función continua para la cual existe el límite y es igual a f(z0).

EJEMPLO 7 Cualquier polinomio p ( z ) = u0 + u12 + . . . + u,zn es continuo de R a R. En efecto, por el teorema 3 y el ejemplo 4,

límite (u0 + a1z + . . . + u,z") = límite a0 + límite u13: + . . + límite a,zn 5 - 2 ~ x-xlJ X-Zn X-.ZI)

= a0 + alzo + ' ' ' + anzgn,

Z Z

Figura 2.2.16 (a) Función discontinua de dos variables. (b) Función continua.

1 o9 2.2 LíMITES Y CONTINUIDAD

pues

límite Z" = ( límite 5-50 z ) ... (lLyitt z) =x:. A 2-20

EJEMPLO 8 Sea f: R2 -+ R, f(x, y) = xy. Entonces f es continua, pues, por los teoremas de límites y el ejemplo 4,

límite zy = (( limite z) (( limite y) = zoyo. A (s.Y)-("o.Yo) z,Y)-(zo,Yo) s , Y ) - ( ~ o ~ Y o )

Se puede ver, por el mismo método, que cualquier polinomio p ( 2 , y) en 2 y y es continuo.

EJEMPLO 9 La función f : R2 + R definida por

1 si z :<O,o y < O O de no ser así

no es continua en (0,O) o en cualquier punto sobre el eje x positivo o el eje y positivo. En efecto, si (z0,yo) = u es uno de dichos puntos y 6 > O , hay puntos (x, y) E Ds(u), vecindad de u, con f ( z , y ) = 1 y otros puntos (x, y) E Da(u) con f(x, y) = O. Así, no es cierto que f ( x , y) -+ f ( ~ , yo) = 1 cuando (%,Y) -+

( 2 0 , Yo). A

Para probar que ciertas funciones específicas son continuas, podemos apoyar- nos en los teoremas de límites (ver el teorema 3 y el ejemplo 7). Si transcribimos esos resultados en términos de continuidad, llegaremos a lo siguiente:

TEOREMA 4 Sean f: A C R" + Rm, g: A c R" -+ Rm, y c un número real.

(i) Si f es continua en x0 también lo es cf, donde (cf)(x) = c[f(x)].

(ii) Si f y g son continuas en xo, también lo es f -+ g, donde (f + g)(x) = f(x) + g(x). (iii) Si f y g son continuas en x0 y m = 1, entonces la funcidn producto fg definida por (fg)(x) = f(x)g(x) es continua en XO.

(iv) Si f: A c R" "+ R es continua en x. y no se anula en A, entonces el cociente l/f es continuo en XO, donde (l /f)(x) = l/f(x).* (v) Si f: A c R" -+ Rm y f(x) = (fi(x), . . . , fm(x)) , entonces f es continua en x0 si y sólo si cada una de las funciones con valores reales fi ,. . . , fm es continua en XO.

*Otra manera de enunciar la regla (iv) es: Si f ( x o ) # O y f es continua, entonces f(x) # O en una vecindad de x g de modo que l /f está defiruda en esa vecindad, y l /f es continua en xg.

110 DIFERENCIACI~N

EJEMPLO 10 Sea f : R2 -+ R’, (x, y) ++ (x’y, (y + x3)/(1 + x 2 ) ) . Mostrar que f es continua.

SOLUCIÓN Para verlo es suficiente, por la propiedad (v) anterior, mostrar que cada componente es continua. Entonces, most,ramos primero que (x, y) I-+ x2y es continua. Ahora bien, (x, y) H x es continua (ver el ejemplo 4), y de ahí, por (iii), (x, y) H x’ es continua. Como (x,y) H y es continua, por (iii), la corrrespondencia (x, y) H z2y es continua. Como 1 + x’ es continua y diferente de cero, por l a propiedad (iv) sabemos que 1/(1+x2) es continua; por lo tanto (y+ x3) / ( l+x2) es un producto de funciones continuas, y por (iii) es continua. A

A continuación estudiaremos la composición, otra operación básica que puede efectuarse con funciones. Si g manda A a B y f manda B a C, la composición de. g con f, o de f en g, denotada por fog, manda A a C mediante x H f(g(x)) (ver la figura 2.2.17). Por ejemplo, sen(x2) es l a composición de x I”+ x’ con y H sen y.

Figura 2.2.17 Composición de f en g.

TEOREMA 5 Sean g : A C Rn ”+ R” y f : B c R” 4 RP . Suponer que g( A) C B, de manera que f o g está definida en A. Si g es continua en x0 E A y f es continua en yo = g( xo) , entonces f o g es con t ima en x0 .

La idea intuitiva es fácil; la demostración formal que aparece en la sección 2.7 sigue un patrón similar. Intuitivamente, debemos mostrar que conforme x se acerca a xo, f(g(x)) se acerca a, f(g(x0)). Pero conforme x se acerca a xo, g(x) se acerca a g(x0) (por la continuidad de g en xo); y conforme g(x) se acerca a g(xo), f(g(x)) se acerca a f(g(x0)) (por la continuidad de f en g(x0)).

EJEMPLO 11 Sea f ( x , y, z ) = ( ~ ~ + y ~ + z ~ ) ~ ~ + s e n z ~ . Mostrar quef es continua.

SOLUCI~N Aquí podemos escribir f como suma de las dos funciones ( x 2 + y 2 + I ) y sen z3, de modo que basta mostrar que cada una es continua. La primera ,.2 30

2.2 LhlTES Y CONTINUIDAD 111

es la composición de (x, y! z) w (xz + y' + z2) con u w u3*, y la segunda es la composición de (x, y, z) w z3 con u w sen u, y tenemos la continuidad por el teorema 5. A

Suplemento de la Secclbn 2.2: Lh"ES EN TÉRMINOS DE ÉPSILON Y DELTA

Ahora enunciamos un útil teorema que formula el concepto de límite en términos de épsilons y deltas y que con frecuencia se considera la definición de límite. Es otra manera de precisar el enunciado intuitivo de que "f ( x ) se acerca a b cuando x se acerca a xO" . El lector comprenderá mejor esta exposición si la considera a la luz de los ejemplos ya presentados.

TEOREMA 6 Sea f : A C R" + R" y sea x0 un elemento de A o un punto frontera de A . Entonces límite f ( x ) = b si y SÓJO si para todo número E > O existe un 6 > O tal

que para cualquier x E A que satisfaga O < IIx - x011 < 6, tenemos l l f (x ) - bll < E (ver la figura 2.2.18).

x-x0

Y Y

Figura 2.2.18 Geometría de la definición E-6 de límite.

Este teorema se probará en la sección 2.7 Para ilustrar la metodología de la técnica épsilon-delta en el teorema 6, consideremos

los ejemplos siguientes.

EJEMPLO 12 Mostrar que límite z = O (w4)-(0,0)

112 DIFERENCIACI~N

de E ) con la propiedad de que O < I l (z,y) - (0,O)Il < 6 implique que /x - 01 < E .

¿Qué 6 vamos a escoger? En los cálculos anteriores vemos que si escogemos 6 = E ,

entonces 11(x,y) - (0,O)Il < 6 implica 11: - 01 < E . Esto muestra que límite 3: = O.

También pudimos haber escogido 6 = ~ / 2 o ~ / 3 , pero basta hallar un 6 para satisfacer los requerimientos de la definición de límite. A

(Z,Y)" . (O,O)

EJEMPLO 13 Considerar la función

Aunque f no está definida en ( O , O) , determinar si f(x, y) tiende a algún número cuando (x, y) tiende a ( O , O ) .

SOLUCIóN Por cálculo elemental sabemos que

límite - - - 1 sen (Y

a-O CY

Por lo tanto, es razonable pensar que

Figura 2.2.19 Gráfica generada por computadora

2.2 LfMlTES Y CONTINUIDAD 113

En efecto, como l ími te (sena) /a = 1, dado E > O hallamos un 5 > O , con 1 > 6 > O ,

tal que O < la1 < 6 implica que I(sena)/a - 11 < E . Si O < llvll < 6, entonces O < llv112 < 6’ < 6, y por IO tanto

0 - 0

Así, límite f(v) = 1. En efecto, si graficamos en una computadora [sen(z2 +y2)]/(z2 + y’)), obtenemos una gráfica bien portada cerca de ( O , O ) (figura 2.2.19). A

v - ( O , O )

EJEMPLO 14 Mostrar que

SOLUCIÓN Debemos mostrar que es pequeño cuando (z, y ) está cerca del origen. Para ello usamos la siguiente desigualdad:

SOLUCIÓN Si existe el límite, .’/(x’ + y’) debería aproximarse a un valor definido, digamos a, cuando (x ,y ) se acerque a (0,O). En particular, si (z,y) tiende a cero a lo largo de cualquier trayectoria, entonces z2/(z2 + y’) debería tender al valor límite a. Si (z, y) tiende a ( O , O ) a lo largo de la recta y = O, claramente el valor límite es 1 (basta hacer y = O en la expresión anterior para obtener x 2 / x 2 = 1). Si (z,y) tiende a (0,O) a lo largo de la recta z = O, el valor límite es

límite - O’ - - o # 1. f ~ , Y ) “ + ( O , O ) 0’ + Y’

Por lo tanto, no existe límite z’/(z’ + y’) (ver la figura 2.2.20). A (z,Y)-(o,o)

114 DIFERENCIACI~N

cuando (z,y) tiende a ( 0 ,O )

a lo larao de esta cresta, t -+ 1

= T+TY; X2 - l < x 5 l , - l < y 5 l

Figura 2.2.20 Esta función no tiene límite en ( O , O ) .

Figura 2.2.21 Esta función tiene límite O en ( O , O ) .

2.2 ÚMITES Y CONTINUIDAD 115

EJEMPLO 16 Probar que (ver la figura 2.2.21)

SOLUCIóN En efecto, nótese que

Así, dado E > O, escoger 6 = E; entonces O < 1 1 ( ~ IYI < 6, Y a i , I

Usando la notación épsilon-delta llegamos a la siguiente reformulación de la definición de continuidad.

TEOREMA 7 Sea f : A c R" -+ R" una función dada. Entonces f es continua en x0 E A si y sólo si para todo número E > O existe un ndmero 6 > O tal que

x E A y IIx - x011 < 6 implica Ilf(x) - f(xo)ll < E.

La demostración es casi inmediata. Nótese que en el teorema 6 insistimos en que O < IIx - ~ 0 1 1 , esto es, x # X O . Esto no se impone aquí; en efecto, ciertamente la conclusión del teorema 7 es vdida cuando x = XO, de modo que no es necesario excluir este caso. Aquí si nos interesa el valor de f en XO; queremos que en los puntos cercanos f esté cerca de este valor.

EJERCICIOS

En los ejercicios siguientes el lector puede suponer que las funciones exponencial, seno y coseno son continuas, y puede usar librementelas técnicas del cálculo de una variable.

1. Mostrar que los siguientes subconjuntos del plano son abiertos: (a) A = {(z, y)[ - 1 < 2: < 1, -1 < y < 1) kb,l = { ( 2 : , Y)lY > 01 (c) c = {(z, ?/)I2 < z2 + Y2 < 4) kd,l A U B U C , donde los conjuntos A , B y C se definen como en las parte (a), (b),

Y (c) (e) D = {(ZI Y ) b # 0 Y Y # 0)

2. (a) Probar que para x E R" y S < b , Ds(x) c Dt(x). (b) Probar que si U y V son vecindades de x E R", entonces también lo son U n V

(c) Probar que los puntos frontera de un intervalo abierto (a , b ) c R son los y u u v .

puntos a y b.

116 DIFERENCIACI~N

*3. Usar la formulación S-6 de los límites para probar que x’ + 4 cuando x -+ 2. Dar una demostración más corta usando el teorema 3.

4. Calcular los límites siguientes: (a) limite x3y

( Z r Y ) - ( O J )

sen2 x (c) límite - 2-0 x

5. Calcular los límites siguientes:

límite (x + h ) 2 - x 2 h-O h

límite ___ cos x - 1

2-0 x’

kd,l lí,”lc? 22 sen’ x

(b) lím sen x 2-0

kd,l líprn? - eh - 1 h

6. Calcular los límites siguientes, si es que existen:

8. Sea A C R’ el disco unitario abierto DI (O , O) con el punto x0 = ( 1 , O ) añadido, y sea f : A -+ R, x H f ( x ) la función constante f ( x ) = 1. Mostrar que límite f(x) = 1.

x-x0

10. Mostrar que la correspondencia f: R -+ R, x I+ x2e2/ (2 - sen x) es continua

Mostrar que f : R + R, z H ( 1 - x)* + cos(1 + x3) es continua

2.2 LhITES Y CONTINUIDAD 117

13. Si f: R" -+ R y g: R" + R son continuas, mostrar que las funciones

14. Probar que f: R' -+ R, (x , y) H yex + sen x + ( 2 ~ ) ~ es continua.

(a) ¿Se puede hacer continua [sen(x+y)]/(x+y) definiéndola de manera adecuada en (O,O)?

(b) ¿Se puede hacer continua xy/(x2 + y') definiéndola de manera adecuada en (O, O ) ?

16. (a) Usar la regla de l'H6pital para calcular límite sen 22 - 22

x-o x3 . (b) ¿Existe límite sen22 - 2 x + y ,

(x,Y)-(o,o) x3 + Y 17. Suponer que x y y están en R" y que x # y. Mostrar que existe una función continua f : R" -.+ R con f(x) = 1, f(y) = O, y O 5 f(z) 5 1 para todo z en R".

*18. Sea f: A c R" -+ R y sea x0 un punto frontera de A. Decimos que límite f(x) = 00

si para todo N > O existe 6 > O tal que O < I I x - x011 < 6 implica f(x) > N . x-x0

(a) Probar que límite(x - 1)-' = 03

Probar que límite 1/1x1 = 03. ¿Es cierto que límite 1/x = m?

(c) Probar que límite 1/(x2 + y') = co . (z24)-(0,0)

x-1

x-o x-o

*19. Sea f : R -+ R una función. Escribimos límite f(z) = L y decimos que L es el

limite por la izquierda de f en b , si para todo E > O, existe 6 > O tal que x < b y O < 1 2 : - bl < 6 implica If(.) - LI < E .

x-b-

(a) Formular una definición de límite por l a derecha, o límite f (x) .

(b) Hallar límite 1/(1 + e l l z ) y límite 1/(1 + e l l x ) .

(c) Esbozar la gráfica de 1/(1 + el lz) .

x-b+

x-o- x-o+

*20. Mostrar que f es continua en x0 si y sólo si

límite llf(x) - f(xo)ll = O. x-x0

118 DIFERENCIACI~N

*21. Sea f : A C R" -+ R" que satisface llf(x) - f(y)II 5 Kllx - yllQ para todo x y y en A para constantes positivas K y (Y. Mostrar que f es continua. (Dichas funciones se llaman Holder-continuas o, si (Y = 1, Lipschitz-continuas.)

*22. Mostrar que f : R" -+ R"' es continua en todos los puntos si y sólo si la imagen inversa de todo abierto es abierta.

*23. (a) Probarque existe un número 6 > O tal que si la/ < 6, entonces la3 + 3 a 2 +al < 1/100.

(b) Probar que existe un número 6 > O tal que si z2 + y2 < 6', entonces

1z2 + y2 + 3zy + 180zy51 < l / l O , O O O

2.3 DIFERENCIACI~N

En la sección 2.1 consideramos algunos métodos para graficar funciones. Me- diante sólo estos métodos puede ser imposible calcular suficiente información para comprender incluso las características generales de una función complicada. Por el cálculo elemental sabemos que el concepto de derivada puede ser de mucha ayuda en esta tarea; por ejemplo, nos permite localizar máximos y mínimos, y calcular tasas de cambio. La derivada, además de éstas, tiene otras aplicaciones, como seguramente ya lo habrá descubierto el estudiante en su curso de cálculo elemental.

Intuitivamente ya sabemos, por nuestro trabajo con la sección 2.2, que una . función continua no tiene la gráfica rota. Una función diferenciable de R2 a R

debe ser tal que su gráfica no esté rota, pero además debe tener bien definido un plano tangente a 1.a gráfica en cada punto. Así, no debe haber dobleces, esquinas

Z

X

Figura 2.3.1 Gráfica suave.

2.3 DlFERENClAClÓN

Z

pico

esquina

119

hoyo

X

Figura 2.3.2 Esta gráfica no es suave.

o picos en la gráfica (ver las figuras 2.3.1 y 2.3.2). En otras palabras, la. gráfica debe ser suave.

Para precisar estas ideas necesitamos una definición sensata de lo que entendemos por “f (21 , . . . ,x,) es diferenciable en x = (21 , . . . , xn)”. En realidad esta definición no es tan sencilla, como pudiera pensarse. Para avanzar en esa di- rección, introduzcamos el concepto de derivada parcial. Este concepto se basa en nuestro conocimiento del cálculo en una variable. (En est8e momento se recomienda revisar rápidamente la definición de derivada en un libro de cálculo en una variable.)

DEFINICIÓN Sean U C Rn un conjunto abierto y f : U c R“ + R una función con valores reales. Entonces d fldxl, . . . , df/dx,, las derivadas parciales de f respecto a la primera, segunda, . . . , n-ésima variable son las funciones con valores reales, de n variables, las cuales, en el punto (x1, , , , , x,) = x, están definidas por

S(x + he,) - f (x) = lím h-O h

si existen los limites, donde 1 5 j 5 n y ej es el j-ésimo vector de la base usual, definido por ej = (O, . . . , 1, . . . , O), con el 1 en el j-ésimo lugar (ver la sección 1.5).

En otras palabras, a f / a x j es simplemente la derivada de f respecto a la variable x3, manteniendo las otras variables fijas. Si f : R3 + R, con frecuencia usaremos la notación df /ax, df /ay, y d f /a2 en lugar de d f / a x l , d f 1 8 x 2 , y

120 DIFERENCIACI~N

de modo que podemos hablar de las derivadas parciales de cada componente; por ejemplo, afm/atn es la derivada parcial de la m-ésima componente con respecto a x,, la n-ésima variable.

EJEMPLO 1 Si f (xl y) = x2y + y3, hallar d f /at y d f /dy .

SOLUCIÓN Para hallar df/& mantenemos y constante (piénsenla como si fuera un número, digamos 1) y diferenciamos sólo respecto a x; entonces

De manera análoga, para hallar af/dy mantenemos x constante y diferenciamos sólo respecto a y:

Para indicar que una derivada parcial ha de evaluarse en algún punto particular, por ejemplo en (xo, yo), escribimos

Cuando escribamos z = f (x, y) para denotar la variable dependiente, con frecuencia escribiremos a z / a x en lugar de a f / a z . Estrictamente hablando, éste es un abuso de notación] pero es una práctica común usar de manera indistinta estas dos notaciones. (Ver el ejercicio 24, en la sección 2.4 para una ilustración de los peligros que conlleva usar notación descuidada.)

SOLUCIÓN Primero fijamos yo y diferenciamos respecto a x, obteniendo

= (-YO sen %yo + COSYO)(,=~~ = " y o sen xoyo + cos yo.

2.3 DIFERENCIAUÓN 121

De manera análoga, fijamos x0 y diferenciamos respecto a y para obtener

&%o, Y O ) = aZ d(c0s zoy + x0 cos y )

dy Y=Yo

= ("zosenxoy- xoseny)ly=,,

---zosenzoyo-zosenyo. A -

SOLUCIÓN Por la regla del cociente

Resulta insuficiente una definición de diferenciabilidad que requiera sólo de la existencia de las derivadas parciales. No se cumplirían muchos de los resultados usuales, como la regla de la cadena para varias variables, tal como lo muestra el ejemplo 4. Más adelante veremos cómo rectificar esta situación.

EJEMPLO 4 Sea !(x, y) = x1/3y1/3. Por definición,

y, de manera similar, (af/ay)(O, O) = O (¡no se trata de formas indeterminadas!). Es necesario usar la definición original de derivadas parciales, pues las funciones x1l3 y y1l3 no son diferenciables en O . Supongamos que restringimos f a la recta y = x para obtener f (x , x) = 2'j3 (ver la figura 2.3.3). Podemos ver la substitución y = x como la composición de la función g: R --+ R2, definida por g(z) = (x,x), con f :R2 + R, definida por f ( x , y ) = x 113 y 1/3 .

Así, la composición f o g está dada por (f o g)(z) = Cada componente de g es diferenciable en x, y f tiene derivadas parciales en ( O , O), pero f o g no es diferenciable en 1: = O , en el sentido del cálculo en una variable. En otras palabras, la composición de f y g no es diferenciable, en contraste con el cálculo de funciones en una variable, donde la composición de funciones diferenciables es diferenciable. Más adelante daremos una definición de diferenciabilidad que tiene la agradable consecuencia de que la composición de funciones diferenciables es diferenciable.

122 DIFERENCIACI~N

Hay otra razón para no estar satisfechos con la simple existencia de las derivadas parciales de f ( z , y) = z1/3y1/3; no hay plano tangente, en un sentido razonable, a la gráfica en ( O , O ) . El plano zy es tangente a la gráfica a lo largo de los ejes z y y pues f tiene pendiente cero en ( O , O ) a lo largo de estos ejes; esto es, 8f/& = O y df/dy = O en (O, O) . Así, si hubiera plano tangente, debería ser el plano zy. Sin embargo, como resulta evidente en la figura 2.3.3, el plano zy no es tangente a la gráfica en otras direcciones, pues la gráfica tiene una severa arruga de modo que no se puede decir que el plano zy es tangente a la gráfica de f. A

Figura 2.3.3 Parte “superior” de la gráfica de z1 ’3y1 ’3

Para “motivar” la definición de diferenciabilidad, calculemos cómo debería ser la ecuación del plano tangente a la gráfica de f : R2 ”+ R, (z, y) I”+ f(z, y) en (xo, yo), si f fuera suficientemente suave. En R3, un plano no vertical tiene una ecuación de la forma

z = ax + b y + c .

Si se t ra ta de que sea el plano tangente a la gráfica de f , las pendientes a lo largo de los ejes z y y deben ser iguales a af/az y a f /8y , las tasas de cambio de f respecto a z y y. Así, a = af/dz, b = af /dy (evaluadas en (20, yo)). Finalmente, podemos determinar la constante c a partir del hecho que z = f(x0, yo) cuando z = zO, y = yo. Así, obtenemos

2.3 DIFERENCIACI6N

Z

123

plano tangente a la gráfica de f en (Xe, Y”,f(XS, Yo))

I I I Y

Figura 2.3.4 Para los puntos (x, y) cerca de (xo, yo), la gráfica del plano tangent’e está

cerca de la gráfica de f.

que debería ser la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en (20, yo), si f es “suficientemente suave” (ver la figura 2.3.4).

Nuestra definición de diferenciabilidad dirá, en efecto, que el plano dado por la ecuación (1) es una “buena” aproximación de f cerca de (20, yo). Para tener una idea de lo que significa una buena aproximación, regresemos por un momento al cálculo en una variable. Si f es diferenciable en el punto xO, entonces sabemos que

Sea 2 = 2 0 + Ax y reescribamos esto como

124 DIFERENCIACI~N

Así, la recta tangente I que pasa por ( 2 0 , f(z0)) con pendiente f’(z0) está cerca de f en el sentido de que la diferencia entre f (z ) y /(x) = f(z0) + f ’ (zo)(z - 2 0 )

se hace cero aun al dividirse entre x - 20, cuando 2 va hacia 2 0 . Esta es la idea de “buena aproximación” que adaptaremos a funciones de varias variables, reem- plazando la recta tangente por el plano tangente (ver la ecuación (l), anterior).

DEFINICI~N Sea f : R 2 -+ R. Decimos que f es diferenciable en (20, yo), si af/az y a f / a y existen en (20, yo) y si

cuando (x, y) + (20, yo). Esta ecuación expresa el significado que darnos cuando decimos que

f(Z0, Yo) + [E(Z0, Yo)] (x - zo) + es una buena aproximación a la función f .

No siempre es fácil usar esta definición para saber si f es diferenciable, pero será fácil usar otro criterio dado en el teorema 9, más adelante.

Hemos usado la idea informal del plano tangente a la gráfica de una función para motivar nuestra definición de diferenciabilidad. Ahora ya estamos preparados para adoptar una definición formal del plano tangente.

DEFINICI~N Sea f : R2 ”+ R diferenciable en x0 = (20, yo). E1 plano en R3 definido mediante la ecuación ( l ) ,

se llama plano tangente a la gráfica de f en el punto (20, yo).

EJEMPLO 5 Calcular el plano tangente a la gráfica de z = x 2 + y4 + exy en el punto (1,0,2) .

SOLUCIÓN Aquí usamos la fórmula (l), con 20 = 1, yo = O, Y zo = f(20, yo) = 2. Las derivadas parciales son

- = 22 + yexY a 2 aZ y - = 4y3 + zezy. ax aY

2.3 DIFERENCIAU~N 125

En (1, O, 2), son 2 y 1, respectivamente. Asi, por la fórmula (l), el plano tangente es

z = 2(2 - 1) + l ( y - O ) + 2, i.e. z = 22 + y . A

Escribamos D f (20, yo) para la matriz renglón

entonces, la definición de diferenciabilidad afirma que

es nuestra buena aproximación a f cerca de (20, yo). (Como antes, "buena" se toma en el sentido de que de f ( x l y) en alguna cantidad pequeña multiplicada por Decimos que la expresión (3) es la mejor aproximación lineal a f cerca de (xol yo).

Ahora estamos preparados para dar una definición de diferenciabilidad para funciones f de R" a Rm, usando el análisis anterior como motivación. La derivada Df(x0) de f = (ti,.. . , fm) en un punto x0 es una matriz con elementos tij = afi/axj evaluada en xo.*

DEFINICI~N Sean U un conjunto abierto en R" y f : U c R" 4 Rm una función dada. Decimos que f es diferenciable en x0 E U si existen las derivadas parciales de f en x0 y si

donde T = Df(x0) es la matriz cuyos elementos matriciales son L?fi/L?zj evaluadas en x0 y T(x - XO) es el producto de T con x - x0 (considerado como un vector columna). Llamamos a T derivada de f en xg.

Siempre denotaremos la derivada T de f en x0 por D f ( x ~ ) ~ aunque en algunos libros se denote df (x0 ) y se denomine diferencial de f. En el caso m = 1, la matriz

*Resulta que es suficiente postular la existencia de alguna matriz que dé la mejor aproximación lineal cerca de xg E R", pues de hecho esta matriz es necesariamente la matriz cuyo ij-ésimo registro es af,/&, (ver la sección 2.7).

126 DIFERENCIACI~N

T es precisamente la matriz renglón

(A veces, cuando hay peligro de confusión, separamos los registros mediante comas.) Al hacer n = 2 y colocar el resultado en la ecuación (4), vemos que las condiciones (2) y (4) coinciden. Así, si hacemos h = x - XO, una función f con valores reales, de n variables, es diferenciable en un punto x,-, si

pues

Para el caso general en que f manda a un subconjunto de R” a Rm, la derivada es la matriz de m X n dada por

donde 8 f i / a z j está evaluada en xo. A Df(x0) se le llama, de manera correcta, matriz de las derivadas parciales de f en X O .

SOLUCI~N (a) Aquí f :R2 ”-$ R2 está definida por f i ( z ,y ) = e”+!’ + y y f2(z , y) = y2z. Entonces Df(z, y) es la matriz de 2 X 2

(b) Tenemos

2.3 DIFERENCIAUÓN

(c) Aquí

127

DEFINICI~N Considerar el caso especial f : U c R” -+ R. Aqui Df(x) es una matriz de 1 x n:

D f ( x ) = [,,, af - 1 . af a x n

Formamos el correspondiente vector (a f / d z l . . . , a f / axn ) , llamado el gradiente de f y denotado por grad f o V f .

De la definición vemm que para f: R3 -+ R,

V f = - i + - j + - k , af af af ax a y a 2

mientras que para f: R2 --t R,

El significado geométrico del gradiente se analizará en la sección 2.5. En términos 8 e productos internos, podemos escribir la derivada de f como

Df (x ) (h ) = V f ( x ) -h.

EJEMPLO 7 Sea f: R3 -+ R, f (x, y, z ) = z e y . Entonces

grad f = (df af ”) = (eY,xeY,O). A a x ’ a y ’ a2

EJEMPLO 8 s i f: R2 -+ R está dada por (x, y) H e”Y + sen “y1 entonces

Vf(z,y) = (ye“’+ y c o s z y ) i + ( x e ” Y + x c o s z y ) j

= (ezy + coszy)(yi + x j ) .

128 DIFERENCIACI~N

En cálculo de una variable se muestra que si f es difcrenciable entonces f es continua. En el teorema 8 enunciaremos que esto también se cumple para las funciones difcrenciables de varias variables. Corno sabemos, hay multitud de funciones que son continuas pero no diferenciables, como f ( x ) = 1x1. Antes de enunciar el resultado daremos el ejemplo de una función cuyas derivadas parciales existen en un punto pero que no es continua en ese punto.

EJEMPLO 9 Sea f: R2 -+ R definida por

Como f es constante en los ejes x y y , donde es igual a 1,

Pero f no es continua en ( O , O ) , pues límite f ( x , y) no existe. A ( Z , Y ) + ( O , O )

TEOREMA 8 Sea f: li c R" -+ R'" diferenciable en x0 E U. Entonces f es continua en xg.

Consultar l a sección 2.7 para ver la demostración. Como ya vimos, por lo general es fácil decir si existen las derivadas parcia-

les de una función usando nuestro conocimiento de cálculo en una variable. Sin embargo, la definición de diferenciahilidad se ve algo más complicada, y la con- dición de aproximación requerida en l a ecuación (4) parece difícil de verificar. Afortunadamente existe un criterio sencillo, dado en el siguiente teorema, que nos dice cuándo una función es diferenciable.

TEOREMA 9 Sea f: IJ C It" -+ Rnl, Supongarnos que existen todas las derivadas parciales afilaz, de f y son corltinuas en una vecindad de un punto x E U . Entonces f es diferenciable en x.

Daremos la demostración en la seccibn 2.7. Nót.ese la siguiente jerarquía:

Definición Teorema 9 de derivada

L L Parciales continuas ==+ Diferenciabie =S Existen las parciales

2.3 DIFERENCIACTÓN 129

Todos los enunciados recíprocos obtenidos invirtiendo una implicación, son in- válidos. (Para un contraejemplo al recíproco de la primera implicación, usar f(z) 1 z2sen(1/x), f(0) = O; para la segunda, ver el ejemplo 1 de la sección 2.7 o usar el ejemplo 4 de esta sección.)

Una función cuyas parciales existan y sean continuas, se dice que es de clase C’. Así, el teorema 9 dice que cualquier función C1 es diferenciable.

EJEMPLO 10 ,%a

Mostrar que f es diferenciabk en todos los puntos (x, y) # ( O , O ) .

SOLUCIÓN Observar que las derivadas parciales

af ( x 2 + y2)xeTY - 2y(cos x + ezy)

a y (x’ +y*) ’ ” -

son continuas excepto cuando 2 = O y y = O (por los resultados en la sección 2.2). A

EJERCICIOS

Evaluar las derivadas parciales az/ax, az/ay para las funciones dadas en los puntos

3. En cada caso siguiente, hallar las derivadas parciales aw/az , a ~ / a y

(a) w = zez2+y2 w=- x’ + Y’ x 2 - y2

(c) w = e”’ log(=’ + y’) (d) w = x / y

( e ) w = cos yezy sen 1:

130 DIFERENCIACI~N

4. Mostrar que cada una de las funciones siguientes es diferenciable en cada punto de su dominio. Decir cuáles de las funciones son C’.

(c) f ( r , 8) = i r sen 28, r > O (d) f ( z , y) = “Y J.l-t.yz

5. Hallar la ecuación del plano tangente a l a superficie z = z2 + y3 en (3,1,10).

6. Usando las funciones respectivas en el ejercicio 1, calcular el plano tangent,e a la gráfica en los puntos indicados.

(a) ( 0 > 1 ) (c) (0, (dl (0,1)

7. Calcular la matriz de derivadas parciales de las funciones siguientes: (a) f : R2 - R2, f(z, Y ) = (z, Y )

(c) f: R3 - R2, f ( z , y, 2) = (z + e* + Y, yz2)

kb,l f: R2 -+ R3, f(z, y) = (zeY + cosy, z, z + eY) (d) f : R 2 -+ R3,f(z,y) = (zyeZY,zseny ,5zy2)

9. ¿Dónde cruza al eje z el plano tangente a z = e=-’ en (1,1, l )?

10. ¿Por qué podrían llamarse las gráficas de f ( z , y) = z2+y2 y g(z, y) = -z2-y2+zy3 “tangentes” en ( O , o)?

Sea f ( z , y) = ery. Mostrar que z (a f /az) = y ( a f / a y ) .

12. Usar la expresión (1) en esta sección para aproximar una función adecuada f ( z , y) y a partir de ahí estimar lo siguiente:

(a) (0.99e’

kb,l (0.99)3 + (2.01)3 - 6(0.99)(2.01) (c) J(4.01)2 + (3.98)2 + (2.02)2

13. Calcular los gradientes de las funciones siguientes: (a) f ( z , y, z) = zexp(-z2 - y’ - 2 ’ ) (Notar que expa = e u . )

(b) f ( z , Y, 2 ) = ”YZ

2 2 + y2 + 22 k.,lf(z, y, z ) = z2ez cos y

2.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA 131

Calcular el plano tangente a (1, O, 1) para cada una de las funciones en el ejercicio 13. (La solución sólo a la parte (c) está en la Guía de estudio de este libro.)

15. Hallar la ecuación del plano tangente a z = z2 + 2y3 en (1,1,3)

16. Calcular V h ( l , l , l ) si h(z ,y , z ) = (z -t z)ezWy.

18. Evaluar el gradiente de f ( z , y, z ) = log(z2 + y2 + z') en (1, O, 1).

*19. Describir todas las funciones Holder-continuas con (Y > 1 (ver el ejercicio 21, sección 2.2). [IDEA: ¿Cuál es la derivada de dicha función?]

*@ Suponer que f : R" + R" es una transformación lineal. iCuál es la derivada de f ?

2.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA

En cálculo elemental aprendimos cómo diferenciar sumas, productos, cocientes y funciones compuestas. Ahora generalizamos estas ideas a funciones de' varias variables, prestando particular atención a la diferenciación de funciones compuestas. La regla para diferenciación de composiciones, llamada regla de la cadena, adquiere una forma más profunda en el caso de funciones de varias variables que en las de una variable. Así, por ejemplo, si f es una función con valores reales en una variable, escrita como z = f ( y ) , y y es una función de x, que escribimos y = g(x), entonces z resulta una función de t mediante la sustitución, a saber, z = f(g(t)), y tenemos la conocida fórmula

- - " = f'(g(z))g'(x). d z d z d y dx dy dx

-

Si f es una función con valores reales en tres variables u, o y w, escrita en la forma z = f ( u , v , w), y las variables u , v y w son cada una funciones de 2 ,

u = g(x), v = h ( s ) , y w = k ( x ) , entonces al sustituir g(z), h(x) y k(t) por u, v y w, expresamos z como función de x : z = f ( g ( x ) , h(x), k ( x ) ) . En este caso la regla de la cadena es:

-=" +""" dz dz du dz dv d z d w dx du dx dv dx dw dx

Uno de los objetivos de esta sección es explicar dichas fórmulas en detalle.

tes. Comenzamos con las reglas de diferenciación para sumas, productos y cocien-

132 DIFERENCIACI~N

TEOREMA 10

(i) Regla del lnúltiplo constante. Sea f : U c R'I - R" diferenciable en x0 y sea c un número real. Entonces h(x) = cf(x> es diferenciable en x0 y

Dh(xo) = cDf(xo) (igualdad de matrices)

(ii) Regla de la suma. Sean f: I/ c R" "+ RnL y g : U c R" + R" diferenciables en xo. Entonces h(x) = f(x) + g(x) es diferenciable en x0 y

(iii) Regla del producto. Sean f : U c R" + R y y: U c R." + R diferenciables en x. y sea h,(x) = g(x)f(x). Entonces 11: U c R" + R es diferenciable en x0 Y

Dh(xo) = g(xo)Df(xo) + f(xo)Dg(xo).

(Notar que cada lado de esta ecuación es una matriz de 1 X n; un producto más general se presenta en el ejercicio 25 al final de esta sección.)

(iv) Regla del cociente. Con las mismas hipótesis que en la regla (iii), sea

h(x) = f(x)/g(x) y suponer que g nunca es cero en U. Entonces h es diferenciable en x0 Y

DEMOSTRACI~N Las demostraciones de las reglas (i) a (iv) se desarrollan casi de la misma manera que en el caso de una variable, con sólo una ligera diferencia en la notación. Probaremos las reglas (i) y (ii), dejando las demostraciones de las reglas (iii) y (iv) para el ejercicio 29.

(i) Para mostrar que Dh(xo) = cDf(xo), debernos mostrar que

esto es, que

(ver la ecuación (4) de l a sección 2.3). Esto es cierto pues f es diferenciable y la constante c puede factorizarse (ver el teorema 3(i), secciGn 2.2).

2.4 PROPIEDADES DE IA DERIVADA 133

EJEMPLO 1 Verificar la fórmula para Dh en la regla (iv) del teorema 10 con f(z, y, z) = z2 + y2 + z2 y g(z, y, z ) = z2 + 1.

SOLUCIÓN Aquí

h ( z , y , z ) = x 2 + y2 + z2

x 2 + 1 ’ de modo que por diferenciación directa

D h ( x , y , z) = [- - -1 ah ah ah ax’ a y ’ d z

2 4 1 - 312- 2 ’ ) 2y 2 2 ] = [ ( x 2 + 1 ) 2 ’ X 2 + 1 ’ 2 2 + l .

Por la regla (iv), obtenemos

que es lo mismo que obtuvimos directamente. A

Como ya mencionamos anteriormente, es en la diferenciación de funciones compuestas que encontraremos aparentes alteraciones substanciales de la fórmula del cálculo de una variable. Sin embargo, si usamos la notación D, esto es, notación matricial, la regla de la cadena para funciones de varias variables se parece a la regla para una variable.

134 DIFERENCIACI~N

TEOREMA 11: REGLA DE LA CADENA. Sean u C R" y C R." abiertos. Sean y : U c R" + R" y f : V c R" + RP funciones dadas tales que g manda a U cm V , de modo que está definida f o g . Suponer que g es diferenciable en x0 y que f es diferenciable en yo = y(x0). Entonces f o g es diferenciable en x0 y

D( f 0 g)(xo) = Df(Y0)DdXo). (1)

El lado derecho es una matriz producto.

Daremos ahora una demostración de la regla de la cadena bajo la hipótesis adicional de que las derivad<w parciales de f son continuas, desarrollando así el caso gcneral mediante dos casos particulares que son importantes por sí mismos. (La dcmost~racibn completa del teorema 11 sin la hipótesis adicional de continuidad est,á dada en la sección 2.7.)

PRIMER CASO ESPECIAL DE LA REGLA DE LA CADENA Suponer que c : R - R3 y f: R3 + R. Sea h ( t ) = f(c(t)) = f (z( t ) , y(t), ~ ( t ) ) , donde c(t) = ( z ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) . Entonces

" "

Esto es, rl h d t

donde c'(t) = ( ~ ' ( t ) , y ' ( t ) % ~ ' ( t ) )

- = Vf(c(t)) c'(t).

h e es el caso especial del teorema 11 en el que tomamos c = g ! f con valores reales y 711 = 3. NÓt#ese que

V f ( c ( t ) ) * ~ ' ( t ) = Df(c(t) 'Dc(t),

donde el product.0 en el lado izquierdo es el producto punto de vectores, mien- t ras que el product,o del lado derecho es multiplicación de matrices, y donde considcramos a D f(c(t)) como matriz renglón y Dc(t) como matriz columna. Los vectores V f (c(t)) y c'( t ) tienen las mismas componentes que sus equivalentes matriciales; el cambio notacional indica el paso de matrices a vectores. Ims diagramas siguientes pueden ser de utilidad para que el lector entienda esta relación:

donde D c y D f están evaluada? en t y c ( t ) respectivamente.


DEMOSTRACIóN DE LA ECUACIóN (2) Por definición

d h h ( t ) - h(to) " ( t o ) = límite d t t - to t - t o

Sumando y restando dos términos, escribimos

Invocamos ahora el teorema del valor medio del cálculo de una variable, que afirma que: si g : [ a , b ] + .R es continua y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , entonces existe un punto c en ( a , b ) tal que g ( b ) - g(a) = g'(c)(b - a).

Así, al aplicar el teorema del valor medio a f como función de x, podernos asegurar que para alguna c entre x y lco,

Así, hallamos que

donde c , d y e están entre ~ ( t ) y x ( to ) , entre y ( t ) y y ( t o ) , y entre z ( t ) y z ( t o ) , respectivamente. Al tomar el límite t + t o , usando la continuidad de las parciales af/az, a f / a y y a f / az , y el hecho de que c, d y e convergen a x( to) , y ( t o ) y z ( t o ) , respectivamente, obtenemos la fórmula (2).

SEGUNDO CASO ESPECIAL DE LA REGLA DE LA CADENA Sean f: R3 + R y g: R3 +

R3. Escribir g ( x , y, z ) = (.(.,y, z ) , v ( z , y , z ) , w ( x , y, z)) y definir h: R3 -+ R

136 DIFERENCIACI~N

mediante h ( z , y, z) = f(u(x, y, z ) , v ( z , y, z ) , w(z, y , z ) ) . Entonces

- " au au au

a x ay a2

" - av av av a x ay a2

aw aw aw a x ay a z "-

En este caso especial hemos tomado n = m = 3 y p = 1 para concretar, y U = R3 y V = R3 por facilidad, y hemos escrito explícitamente el producto matricial [Df(yo)][Dg(xo)] (suprimiendo de las matrices los argumentos x0 y Y o ) .

DEMOSTRACI~N DEL SEGUNDO CASO ESPECIAL DE LA REGLA DE LA CADENA Por definición, d h / d x se obtiene diferenciando h respecto a x , manteniendo fijas y y z . Pero entonces (u(., y, z), v ( x , y, z), w(z , y, x)) se puede considerar como una función vectorial de la sola variable x . Se puede aplicar el primer caso especial a esta situación y, después de cambiar el nombre a las variables, obtenemos

- -"

De manera análoga,

Y

Estas ecuaciones son exactamente las que se obtendrían al multiplicar las matrices en la ecuación (3).

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 11 El caso general en la ecuación (1) se puede probar en dos pasos. Primero, se generaliza la ecuación (2) a m variables; esto es, para f ( x 1 , . . . , x m ) y c ( t ) = ( x l ( t ) , . . . , zm(t)), se tiene

,=I

donde h( t ) = f (z l ( t ) , . . . , x m @ ) ) . Segundo, el resultado obtenido en el primer paso se usa para obtener la fórmula

m

" ah, ax,

k=l


El patrón que sigue la regla de la cadena se aclarará apenas el estudiante trabaje algunos ejemplos adicionales. Por ejemplo,

con una fórmula similar para a f / a y . La función c en el primer caso especial de la regla de l a cadena representa

una curva (figura 2.4.1), y c’(t) puede considerarse como un vector tangente (o vector velocidad) de la curva. Aunque esta idea se estudia con gran detalle en el capítulo 3, podemos indicar aquí el por qué de esta interpretación. Usando la definición de derivada de una función de una variable, vemos que

c’( t ) = limite c ( t + h ) - c ( t )

h-O h

X

c ’ ( t ) trasladado paralelamente de modo que comience en el punto c ( t ) -

Figura2.4.1 El vector c’( t ) representa el vector tangente (o vector velocidad) de la curva c ( t ) .

138 DIFERENCIACI~N

\

Figura 2.4.2 Geometría asociada con la fórmula límiteh,0(c(t + h ) - c ( t ) ) / h = ~ ' ( t ) .

El cociente representa una secante que aproxima un vector tangente conforme h "+ O (ver la figura 2.4.2).

EJEMPLO 2 Calcular un vector tangente a la curva c ( t ) = ( t , t 2 , e t ) en t = O .

SOLUCI~N Aquí c'( t ) = ( l , 2 t , e'), de modo que en t = O un vector tangente es ( l 1 O l 1 ) . A

La regla de la cadena nos puede ayudar a comprender la relación entre la geometría de una función f : R 2 + R2 y l a geometría de curvas en R2. (Se pueden enunciar afirmaciones similares acerca de R3 o, en general, R" .) Si c ( t ) es una curva en el plano, entonces d ( t ) representa el vector tangente ( o velocidad) de la curva c ( t ) , y como se demostró en la figura 2.4.1, este vector tangente ( o velocidad) se puede considerar como si comenzara en c ( t ) . Ahora bien, sea ~ ( t ) = f ( c ( t ) ) , donde f : R2 -t R2. La curva c representa la imagen de la curva c ( t ) bajo la función f . El vector tangente a u está dado por la regla de la cadena:

1" de matrices multiplicación

" matr iz vec tor

co lumna


En otras palabras, la matriz derivada de f manda al vector tangen te ( o velocidad) a una curva, al vector tangente (o velocidad) de la correspondiente curva imagen (ver la figura 2.4.3). Así, los puntos son transportados por j , mientras que los vectores tangentes a curvas son transportados por la derivada de f, evaluada en el punto base del vector tangente en el dominio.

Y Y

u’(t ) = Df(c(t))c’(t) ires +

’ 4 t ) ~ ( t ) es la imagen de c ( t ) bajo f

Figura 2.4.3 Los vectores tangentes son transportados por la m a t r i z derivada.

EJEMPLO 3

don de

SOLUCIÓN

Verificar la regla de la cadena en la forma de la frirrrlula (3’) I.’¿zra

j ( u , v, w) = u2 + v2 - U‘,

u(z,y, z) = 2% “(“,Y, 2) = y 2 , w(z,y , z) = e--Tz

Así, diferenciando directamente,

” ah - 423y2 + 2 e - 2 2 ax

140 DIFERENCIACI~N

Por ot,ro lado, usando la regla dc la cadena,

cs la derivada requerida. A

EJEMPLO 5 Sea f ( x , y ) dada y hacer la sustitución z = rcos8 , y = rsen 8 (coordenadas polares). Escribir una fórrrlula para i) f/¿?0.

SOLUCIÓN Por la regla de l a cadena,

EJEMPLO 6 Sean f ( x , y ) = ( c o s y + ~ ~ , e ~ + ~ ) y g ( u , v ) = (eU2>t{,-sen7:) . (a) Es- cribir una f6rrnula para f o g. ( h ) Calcular D( f o g ) ( O , o ) usando la regla de la cadcna.


Ahora

Y

(¡Recordar que Df está evaluada en g(0, O), no en (O,O)!) Así,

*EJEMPLO 7 Sea f : U c R" -+ R" diferenciable, con f = (fi, . . . , f"), y sea g(x) = sen[f(x) - f(x)]. Calcular Dg(x).

SOLUCIÓN Por l a regla de la cadena, Dg(x) = cos[f(x) - f(x)]Dh(x), donde h(x) = [f(x) f(x)] = f:(x) + . . . + fL(x). Entonces

Dh(x)= [ 2 . . . "1 axn

que se puede escribir 2f(x)Df(x), donde consideramos a f como una matriz renglón, -

afl afl ax1 ax n

- ... -

f = [ f ~ . . . f m ] y Df =

a f m afm ax1 ax n

- f . . - -

142 DIFERENCIACI~N

EJERCICIOS

1. Si f: U C R" + R es diferenciable, probar que x H f2(x) + 2f(x) también es diferenciable, y calcular su derivada en términos de Df(x).

2. Probar que las siguientes funciones son diferenciables, y hallar sus derivadas en un punto arbitrario:

(a) f : R2 + R, (x, y ) +-+ 2 kb,l f : R 2 - R n , ( ~ , 2 / ) ~ z + ~ (c) f: R2 - R, (x, Y ) ++ 2 + x + y (d) f: R2 -+ R, ( 2 , y ) M x2 + y' (e) f : R2 -+ R, ( x , y ) M ezy

f: U - R, ( x , y) I-+ d m , U = {(z, y)lz2 + y 2 < 1) (g) f : R2 - R, ( x ! y ) M z4 - y*

3. Escribir la regla de la cadena para cada una de las siguientes funciones y justificar la respuesta en cada caso usando el teorema 11.

(a) a h / a x donde h ( z , y) = f(z, u ( z , y)) kb,l dh/dx donde h ( z ) = f ( z , .(x), u(.)) ( c ) a h l a x clonde h ( z , Y, z) = f(u(x, Y, z), u(z, Y ) , ~ ( x ) )

4. Verificar la regla de l a cadena para d h / d x donde h ( z , y) = f(u(z, y), V(Z, y)) y

LCuál es el vector velocidad para cada curva c ( t ) en el ejercicio 5? (La solución a sólo la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)

7. Sean f: R3 + R y g: R3 + R diferenciables. Probar que

8. Sea f : R3 -+ R diferenciable. Hacer las sustituciones

x = p c o s O s e n 4 , y = psenOsen4, z = p c o s d

(coordenadas esféricas) en f ( z , y, z ) , y calcular a f / a p , af/¿?O y af/a~$.


IO. S e a f ( u , v , w ) = (e'"",cos(v+u)+sen(u+v+t)) y g ( z , y ) = (e r ,cos(y-z) ,e -Y) . Calcular f o g y D(f o g)(0, O).

11. Encontrar ( a / a s ) ( f o T)(l,O), donde f(u,v) = cosusenv y T ( s , t ) = (cos(t2s), log I/=).

12. Suponer que la temperatura en el punto (x , y, z) en el espacio es T ( z , y, z) = x2 +y2 +z2. Sea una partícula que viaja por la hélice circular recta m ( t ) = (cos 1, sent , 1)

y sea T( i ) su temperatura en el tiempo t . (a) ¿Cuál es T'(t)? (b) Hallar un valor aproximado para la temperatura en t = (./a) + 0.01.

_. 2 - 3 13. Suponer que un pato está nadando en el círculo z = cost, y = sen 2 y que la ' temperatura del agua está dada por la fórmula T = z2eY - zy3. Hallar dT/dt, la tasa de cambio en temperatura que puede sentir el pato: (a) mediante la regla de la cadena; (b) expresando T en términos de t y diferenciando.

14. Sea f :R" + R" una transformación lineal de modo que (por el ejercicio 20, sección 2.3) Df(x) sea la matriz de f. Verificar la validez de la regla de la cadena directamente para transformaciones lineales.

15. Sea f :R2 + R2; (x, y) ++ (er+y,e3-y). Sea c ( t ) una curva con c(0) = (0,O) y ~ ' ( 0 ) = (1,l). ¿Cuál es el vector tangente a la imagen de c ( t ) bajo f en t = O?

17. Sea y(z) definida implícitamente por G(z, y(z)) = O, donde G es una función dada de dos variables. Probar que si y(x) y G son diferenciables, entonces

dy Ó'GJax ¿?G dx a G / a y

si - # O. a y

- -" -

Obtener una fórmula análoga a la de la parte (a) si y l , y2 están definidas implícitamente mediante

G l ( z , Y l ( X ) , YZ(Z).) = 0,

GdX, Yl(Z) , YZ(X)) = 0.

( c ) Sea y definida implícitamente por

z2 + y3 + e' = O.

Calcular dy/dz en términos de 2 y y.

144 DIFERENCIACI~N

Los libros sobre termodinámica* usan la relación

(2) (8) (g) = - l .

Explicar el significado de esta ecuación y probar que es verdadera. (IDEA: Comenzar con una relación F (z ,y , z) = O que define 2 = f ( y , z), y = g ( z , z ) y z = h ( z , y ) y diferenciar implícitamente.)

19. La ecuación de Dieterici del estado de un gas es

P(V - b)eaiRVT = RT,

donde a, b y R son constantes. Considerar el volumen V como función de la temperatura T y de la presión P y probar que

% = ( R + $ ) / ( 1 . " 4 - 1 1 2 ) . RT a

*m Este ejercicio da otro ejemplo del hecho de que la regla de la cadena no es aplicable si f no es diferenciable. Considerar la función

Mostrar que (a) Existen af/ax(O, O ) y af/ay(O, O) . (b) Si g ( t ) = (at, b t ) para constantes a y b , entonces f o g es diferenciable y

(f o g)'(O) = a b 2 / ( a z + b 2 ) pero Vf(0, O) g'(0) = O .

*21. Probar que si f : U c R" + R es diferenciable en x0 E U, existe una vecindad V de O E R" y una función R1: V + R tal que para todo h E V, xo + h E U,

f(xo + h) = f(xo) + [Df(xo)Ih + Rl(h) Y

m-+O cuando h-O llhll

$22. Suponer que x0 E R." y O 5 71 < 72. Mostrar que existe una función C1, f: R" -t R tal que f(x) = O para IIx - x011 1 T Z ; 0 < f(x) < 1 para TI < IIx - x011 < TZ; y f(x) = 1 para IIx - x011 5 T I . (IDEA: Aplicar un polinomio cúbico con g(T:) = 1 y g ( r z ) = g ' ( ~ ; ) = g ' ( r : ) = O a IIx - x0ll2 cuando T I < /(x - x011 < 72.)

'Ver S. M. Binder, "Mathematical Methods in Elementary Thermodynamics," J. Chem. Educ. 43 (1966): 85-92. Una comprensión adecuada de la diferenciación parcial puede ser de gran utilidad en aplicaciones; ver, por ejemplo, M. Feinberg, "Constitutive Equation for Ideal Gas Mixtures and Ideal Solutions as Consequences of Simple Postulates," Chern. Eng. Sci. 32 (1977): 75-78.

2.5 GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES 145

*23. Hallar una función C1 f : R3 -+ R3 que lleve al vector i+j+k que sale del origen, a i - j que sale de (1,1, O) y que lleve a k que sale de ( I , ] , O) a k - i que sale del origen.

¿Por qué está equivocado el siguiente argumento? Suponer que w = f ( x , y , z ) y z = g(x, y). Por la regla de la cadena,

" aw aw a x a w a y aw a z aw aw at ax ax ax ay ax aZ ax ax aZ ax. - "+"+ "=- +"

Por lo tanto o=-- aw dz

a% a x '

de modo que aw/az = O o ¿3z/ax = O , lo cual es, en general, absurdo.

25. Suponer que f : R" -+ R y g: R" + R" son diferenciables. Mostrar que la función producto h(x) = f(x)g(x) de R" a R" es diferenciable y que si x0 y y están en Rn, entonces [Dh(xo)ly = f(xo){[Dg(xo)l~) + {[Df(xo)I~)s(xo).

26. Mostrar que h: R" -+ R" es diferenciable si y sólo si cada una de las m funciones componentes h, : R" + R es diferenciable. (IDEA: Usar la función de proyección de coordenada y la regla de la cadena para una implicación y considerar [llh(x) - h(xo) - Dh(xo)(x - xo)ll/llx - ~ 0 1 1 1 ~ = ELl [h;(x) - h,(xo)Dh,(xo)(x - xo)12/llx - ~ 0 1 1 ~ para obtener la otra.)

*27. Usar la regla de la cadena para mostrar que

*28. $ara cuáles enteros p > O es

xPsen(l/x) x # 0 x = o

diferenciable? ¿Para cuál p es continua la derivada?

*29. Probar las reglas (iii) y (iv) del teorema 10. (IDEA: Usar el mismo truco de suma y resta como en el caso de una variable y el teorema 8.)

2.5 GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES

En la sección 2.1 estudiamos las gráficas de las funciones con valores reales. Ahora retornaremos ese estudio usando los métodos del cálculo. Específicamente, usaremos gradientes para obtener una fórmula para el plano tangente a una superficie de nivel. Comencemos recordando cómo se define el gradiente.

146 DIFERENCIACI~N

DEFINICI~N S i f : U c R3 + R es diferenciable, el gradiente de f en (.,y, 2 )

es el vector en el espacio R3 dado por

grad f = (- af - af -) af d z ’ a y ’ a z

Este vwtor también se denota por V f o V f ( x , y, z). Así, V f es simplemente la matriz de las derivadas D f, escrita como vector.

EJEMPLO I Sea f ( z , y , 2 ) = Jz2 + y2 + z2 = T , la distancia de O a ( x , y, 2).

Entonces

af af 3.f Vf(z .y . 2) = - - - ( d z ’ a y 1 dJ

EJEMPLO 2 si y, 2) = .cy + z , entonces

X

Figura 2.5.1 La ecuación de L es l(t) = x + tv

2.5 ORADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES 1 47

x paralela al vector v (ver la figura 2.5.1). Por lo tanto, la función t H f(x +tv) representa la función f restringida a la recta L. Podemos preguntar: icon qué rapidez están cambiando los valores de f a lo largo de l a recta L en el punto x? Como la razón de cambio de una función está dada por una derivada, podemos responder que es el valor de l a derivada de esta función de t en t = O (cuando t = O , x + tv se reduce a x). Esto debería ser la derivada de f en el punto x en la dirección de L , esto es, de v. Podemos formalizar este concepto como sigue.

DEFINICI~N Si f: R3 ---+ R, la derivada direccional de f en x en la dirección de un vector v está dada por

si es que existe.

De la definición, podemos ver que la derivada direccional también se puede definir por la fórmula

donde v = ( v ~ , v z , v ~ ) .

DEMOSTRACI~N Sea c ( t ) = x + tv, de manera que f(x + tv) = f ( c (2 ) ) . Por el primer caso especial de la regla de l a cadena, ( d / d t ) f ( c ( t ) ) = Vf(c(t)) - c’(t). Sin embargo, c(0) = x y c’(0) = v, y entonces

como se pidió demostrar,

En la definición de derivada direccional, con frecuencia se escoge a v como un vector unitario. Hay dos razones para ello. La primera es que si cr es cualquier ntímero real positivo, crv es un vector que apunta en la misma dirección que

Figura 2.5.2 Al multiplicar un vector v por un escalar N , se altera l a longitud de v.

v, pero puede ser más largo (si (Y > 1) o más corto que v (si cu < 1) (ver la figura 2.5.2). Por el teorema 12, la derivada direccional de f en la dirección v es

La derivada de f “en la dirección” av es [Vf(x)] [av] = (Y[V f(x)] v, que es N por la derivada direccional en la dirección v, y por lo tanto no es igual a ella. Por lo tanto la derivada direccional, si está definida para todo av, no depende sólo de un punto x y una dirección. Para resolver este problema podemos requerir que el vector v sea de longitud 1. Entonces el vector v determina una dirección, la misma dirección determinada por LYV si a > O , pero ahora la derivada direccional está definida de manera única por V f (x) . v .

La segunda razón es que podemos interpretar Vf(x) - v como la tasa de cambio de f en la dirección v, pues cuando IjvIJ = 1, el punto x + tv se mueve una distancia S cuando t se incrementa en S; así, realmente hemos escogido una escala en L de la figura 2.5.1.

Nótese que no es necesario usar líneas rect,as para calcular la tasa de cambio de f a lo largo de una trayectoria ( ~ ( t ) . En efecto, por la regla de la cadena,

que es la derivada de f en la dirección a’(t)

EJEMPLO 3 Sea f(x, y, z) = x 2 e - Y z . Calcular la tasa de cambio de f en la dirección del vector unitario

2.5 ORADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONAES 149

SOLUCIÓN La tasa de cambio requerida es, usando el teorema 12,

gradf "Y = -zzze-yz, -z2ye-'") ( J" -, -) , 1 1 1 3 & &

que en (1, O , O) se convierte en

1

Del teorema 12 también podemos obtener el significado geométrico del gradiente:

TEOREMA 13 suponer que gradf(x) # O . Entonces gradf(x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece m& rápido.

DEMOSTRACI~N Si n es un vector unitario, la tasa de cambio de f en la dirección n es grad !(x) n = ( 1 grad !(X)(\ cos O, donde 0 es el ángulo entre n y grad f(x). Éste es máximo cuando B = O; esto es, cuando n y gradf son paralelos. (Si grad f (x) = O esta tasa de cambio es O para cualquier n.)

En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual f va a cre- cer más rápidamente, debemos proceder en la dirección Vf(x). Análogamente, si deseamos movernos en una dirección en la cual f decrece más rápido, deberemos proceder en la dirección -Vf(x) .

EJEMPLO 4 ¿En qué dirección desde (O, I), crece m& rápido f (x , y ) = x2 -y2?

SOLUCI~N El gradiente es V f = 2xi - 2yj,

de modo que en (O, 1) esto es

VPI(O,I) = -2j

Por el teorema 13, f crece más rápido en la dirección -j. (¿Pueden ver por qué esta respuesta es consistente con la figura 2.1.9?) A

Ahora veremos la relación entre el gradiente de una función f y sus superficies de nivel. El gradiente apunta en la dirección en la que los valores de f cambian más rápidamente, mientras que una superficie de nivel está en las direcciones en las que esos valores no cambian. Si f es suficientemente bien portada, el gradiente y la superficie de nivel serán perpendiculares.

150 DIFERENCIACI~N

Figura 2.5.3 Significado geométrico del gradiente: V f es ortogonal a l a superficie S en la cual f es constante.

TEOREMA 14 Sean f :R3 -+ R una función c' y (20, y0,zo) un punto en la superficie de nivel S definida por f (x, y, z ) = k, para k constante. Entonces grad f (xo, yo, zo) es normal a la superficie de nivel en el sentido siguiente: Si v es el vector tangente en t = O de una trayectoria c ( t ) en S con c(0) = ( 2 0 , yo, to), entonces (grad f) v = O (ver la figura 2.5.3).

DEMOSTRACIóN Sea c ( t ) en S ; entonces f ( c ( t ) ) = k. Sea v como en la hipótesis; entonces v = c'(0). Así, el hecho de que f(c(t)) es constante en t y la regla de la cadena dan

Si estudiamos la conclusión del teorema 14 vemos que es razonable definir el plano tangente a S como sigue:

DEFINICIóN Sea S la superficie formada por los puntos (x, y, z) tales que f (x, y, z ) = k , para k constante. El plano tangente de S en un punto (20 , yo, zo) de S está definido por la ecuación

V f ( z 0 , yo, zo) (z - 2 0 , y - yo, z - %O) = o (1)

si Vf(z0, yo, Z O ) # O . Esto es, el plano tangente es el conjunto de puntos (z, y , z ) que satisfacen la ecuación (I).

Esto extiende la definición que dimos antes para el plano tangente a l a gráfica de una función (ver el ejercicio 11 al final de esta sección).

2.5 GRADIENTESY DERIVADAS DIRECCIONALES 151

EJEMPLO 5 Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie definida por 3xy + z2 = 4 en (1,1,1) .

SOLUCIÓN Aquí f ( x , y,z) = 3xy+ z2 y Vf = (3y, 3x,22), que en (1,1,1) es el vector (3 ,3 ,2) . Así, el plano tangente es

( 3 , 3 , 2 ) (x - l,y - 1, z - 1) = o

3 2 + 3 y + 2 z = 8 . A

En el teorema 14 y en la definición anterior pudimos haber trabajado tanto en dos dimensiones como en tres. Así, si tenemos f : R2 + R y consideramos una curva de nivel

c = t(z,y)lf(x,y) = k l , entonces Vf(xo, yo) es perpendicular a C para cualquier punto (x0,yo) en C. Asimismo, la recta tangente a C en (xo,yo) tiene la ecuación

Vf(20, yo) (z - zo, y - yo) = o (2)

si Vf(zo, yo) # O ; esto es, la recta tangente es el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen la ecuación (2) (ver la figura 2.5.4).

Y

/ Y

Figura 2.5.4 En el plano, el gradiente V f es ortogonal a la curva f = constante.

Con frecuencia nos referimos a V f como campo vectorial gradiente. Nótese que V f asigna un vector a cada punto en el dominio de f . En la figura 2.5.5 no describimos la función V f trazando su gráfica, que sería un subconjunto de R6, esto es, el conjunto de elementos (x, Vf(x)), sino representando a Vf(P), para cada punto P, como un vector que sale del punto P en lugar del origen. Como en una gráfica, este método pictórico de describir V f contiene al punto P y al valor Vf(P) en la misma ilustración.

El campo vectorial gradiente tiene un importante significado geométrico. Mues- tra la dirección en la cual f crece más rápido y la dirección que es ortogonal a las

a

Figura 2.5.5 El gradiente V f de una función f : R 3 - R es u n campo vectorial en R3; en cada punto P,, Vf(P,) es un vector que sale de P,.

curva de ascenso más empinado a la colina mapa de contorno de la colina

( h) de 250 pies de altura

Figura 2.5.6 Ilustración física de dos hechos (a) V f es la dirección de más ripido crecimiento d r f y (b) V f es ortogorla1 a las curvas de nivel.

2.5 GRADIENTESY DERIVADAS DIRECCIONAES 153

superficies ( o curvas en el plano) de nivel de f . Es plausible que haga ambas co- sas. Para verlo, imaginen una colina como l a que se muestra en l a figura 2.5.6(a). Sea h la función de altura, una función de dos variables. Si trazamos curvas de nivel de h , serán simplemente los contornos de nivel de la colina. Las podemos imaginar como trayectorias de nivel sobre la colina (ver la figura 2.5.6(bjj. Una cosa será obvia para cualquiera que haya emprendido l a caminata: para llegar más rápido a l a cima de l a colina se deberá caminar perpendicular a los contornos de nivel. Esto es consistente con los t,eoremas 13 y 14, que aseguran que la dirección de crecimiento más rápido (el gradientej es ortogonal a las curvas de nivel.

EJEMPLO 6 La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria m en (x, y , z ) 'producida por una masa M en el origen en R3, de acuerdo con l a ley de gravitación de Newton. está dada nor

donde G es una constant,e; r = ( (r / ( = d m es l a distancia de (x, y , z ) al origen; y 11 = r/r el vect,or unitario en l a dirección de r = zi + y j + zk, que es el vector de posición del origen a (x, y , 2).

Notar que F = V ( G r n M / r ) = -VV, esto es, F es el negativo del gradiente del potencial gravitacional V = -GmM/r . Esto puede verificarse como en el ejemplo 1. Nótese que F está dirigido hacia adentro, hacia'el origen. Además, las superficies de nivel de V son esferas. F es normal a estas esferas, lo cual confirma el resultado del teorema 14. A

EJEMPLO 7 Hallar'un vector unitario normal a la Superficie S dada por z = .'y2 + y + 1 en el punto ( O , O , 1).

SOLUCIÓN Sea f ( x , y! z) = x2y2 + y + 1 - z , y considerar l a superficie definida . por f(x, y , z ) = O . Como éste es el conjunto de puntos (x, y, z ) con z = .'y2 + y + 1, vemos que es l a superficie S. El gradiente está dado por

y así, Vf(O,O, l )=j -k .

Este vector es perpendicular a S en ( O , O , 1) y! para hallar una normal unitaria n, dividimos este vector entre su longitud para obtener

154 DIFERENCIACI~N

2.5 ORADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONAES 155

4. Hallar los planos tangentes a las siguientes superficies en los puntos indicados: (a) z2 + 2y2 + 3x2 = 10, (1 ,2 , $) (b) y2 - z2 = 3, ( 1 , 2 , 8 ) @J 2:yz = 1, (1,1,1)

5. Hallar la ecuación para el plano ta.ngente a cada superficie z = f ( z , y) en el punto indicado:

(a) z = 2: + y - 6zy, ( 1 , 2 , - 3 )

(c) z = (cos z)(sen y), ( O , */a, 1)

3 3

fiJ z = (cos z)(cosy), ( O , A/2, O )

6. Calcular el gradiente Of para cada una de las funciones siguientes: (a) f ( z , y, z) = I / J ~ ” - G

Para las funciones en el ejercicio 6, jcuál es la dirección de más rápido crecimiento en (1,1, 1)? (La solución sólo a la parte (c) está en la Guía de estudio de este libro.)

Mostrar que una normal unitaria a la superficie z3y3 + y - z + 2 = O en (O, O , 2) está dada por n = ( l /h ) ( j - k).

9. Hallar una normal unitaria a la superficie cos(zy) = e’ - 2 en (1, A , O ) .

10. Verificar los teoremas 13 y 14 para f ( z , y, z) = z2 + y2 + z2

11. Mostrar que la definición que sigue al teorema 14 produce, como caso especial, la fórmula para el plano tangente a la gráfica de f (z , y) considerando a la gráfica como una supetficie de nivel de F ( z , y, z) = f(z, y) - z (ver la sección 2.3).

12. Sea f ( z ,y ) = -(1-z2-y2)1’2 para (.,y) ta lque z2+y2 < 1. Mostrar queel plano tangente a la gráfica de f en ( % o , yo, f(zo, yo)) es ortogonal al vector con componentes (zo, yo, f(z0, yo)). Interpretar esto geométricamente.

13. Para las siguientes funciones f: R3 + R y g: R -+ R3, hallar V f y g’ y evaluar [f 0 d ’ 0 ) .

(a) f(z, y, 2.) = z z + yz + zy, g ( t ) = ( e t , cos t,sen t ) f (z , y, z ) = esyz , g(t) = (6t, 3t2, t3)

(c) !(x, Y, z) = ( x 2 + y2 + z’) log JFT’FT?, g(t) = ( e ‘ , e - ‘ , t )

14. Calcular la derivada direccional de f en las direcciones dadas v en los puntos dados P.

(a) f(z, y, z ) = zy2 + y2z3 + z3z, P = (4, -2, -1), v = 1/&(i + 3j + 2k) (b) f(z, y, z) = zyz, P = ( e , e , O), v = Ei + &j + &k

156 DIFERENCIACI~N

15. Sea r = x i + y j + zk y T = Ilrll. Probar que

16. El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando éI está en la posición (z, y , z) estará dada por T ( z , y, = e - - r 2 - 2 ~ * - 3 z 2 , donde 1, y y z están medidas en metros. Actualmente éI est,á en ( ] , I , 1).

(a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir nlás rápido la temperatura? (b) Si la nave viaja a e8 metros por segundo, icon qué rapidez decrecerá la tem-

peratura si avanza en esa dirección? (c) Desafortunadamente, el mctal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa

mayor que f i e 2 grados por segundo. Describir el conjunto de las direcciones posibles en las que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa.

Una función j: R2 ”+ R es independiente de la segunda variable si y sólo si existe una función g: R -+ R tal que f(z, v) = g(z) para todo z en R. En este caso, calcular V f en términos de g’.

18. Sean f y g funciones de R3 a R. Suponer que f es diferenciable y Vf(x) = g(x)x. Mostrar que las esferas con centro en el origen están contenidas en los conjuntos de nivel para f; esto es, j es constante en dichas esferas.

19. Una función j : R” + R se llama una función par si f(x) = f(-x) para todo x en R”. Si j es diferenciable y par, hallar D j en el origen.

Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - a z 2 - b y 2 , donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar ( x , y y z están medidas en metros). En el punto (1, I ) , Len qué dirección está aumentando más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1, l), Len qué dirección comenzará a rodar?

21. Un ingeniero desea construir un ferrocarril que suba la montaña del ejercicio 20. Subir directo la montaña es demasiado empinado para la fuerza de las máquinas. En el punto (1, I ) , Len qué direcciones se puede colocar la vía de modo que suba un 3% “esto es, un ángulo cuya tangente sea O.O3? (Hay dos posibilidades.) Hacer un esbozo de la situación indicando las dos direcciones posibles para una inclinación del 3% en

22. En electroestática, la fuerza P de atracción entre dos partículas de carga opuesta está dada por P = k(r/llrl13) (ley de Coulomb), donde I; es una constante y r = zi + y j + zk. Mostrar que P es el gradiente de f = -k/llrll.

23. El potencia1 V debido a dos filamentos de carga paralelos infinitos de densidades lineales X y -X es V = ( X / ~ X E O ) ~ ~ ( T ~ / T ~ ) , donde T: = (z-zo)’+y2 y T; = ( z + ~ o ) ~ + y ~ . Consideramos a los filamentos en la direcci6n 2, pasando por el plano zy en (-20, O ) y (xo, O ) . Hallar VV(z , y)

2.6 DERIVADAS PARCIALES ITERADAS 157

24. Para cada una de las siguientes, hallar los valores máximo y mínimo alcanzados por la función f a lo largo de curva a(t):

f(x, y) = xy; u(t) = (cost, sent); O 5 6 5 2n. (b) f(x,y) = x’ + y ’ ; v ( t ) = (cost,sent);O 5 t 5 2n.

25. Suponer que una partícula se lanza desde la superficie z2 + y2 - z2 = -1 en el punto (1,1, &) en una dirección normal a la superficie en el tiempo t = O con una rapidez de 10 unidades por segundo. ¿Cuándo y dónde cruza el plano xy?

*26. Sea f : R3 ”+ R y considerar a D f ( z , y , z ) como una transformación lineal de R3 a R. Mostrar que el kernel (o espacio nulo -el conjunto de vectores enviados al cero-) de D f es el subespacio lineal de R3 ortogonal a V f .

2.6 DERIVADAS PARCIALES ITERADAS

En las secciones anteriores se desarrolló información considerable acerca de la derivada de una función y se investigó la geometría asociada con la derivada de funciones con valores reales mediante el uso del gradiente. En esta sección procederemos a estudiar derivadas de orden superior, aunque volveremos a ellas en el capítulo 4. El objetivo principal de esta sección es probar un teorema que asegura la igualdad de las “segundas derivadas parciales mixtas” de una función. Comenzaremos definiendo los términos necesarios.

Sea f: R3 -+ R de clase C1. Recordar que esto significa que d f / B x , d f /ay y d f / d z existen y son continuas; y la existencia de derivadas parciales continuas implica que f es diferenciable (teorema 9). Si estas derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales continuas, decimos que f es de clase C2, o que es dos veces continuamente diferenciable. Asimismo, si decimos que j es de clase C3, significa que f tiene derivadas parciales iteradas continuas de tercer orden, y así sucesivamente. A continuación, unos ejemplos de cómo se escriben estas derivadas de orden superior:

Por supuesto que el proceso puede repetirse para las derivadas de tercer orden y así sucesivamente. Si f es una función de sólo x y y y 8 f /ax y d f /ay son continuamente diferenciables, al tomar las segundas derivadas parciales, obtenemos las cuatro funciones

Todas éstas se llaman derivadas parciales iteradas, mientras que d2 f / a x a y y d2 f ldydx se llaman derivadas parciales mixtas.

158 DIFERENCIACI~N

SOLUCIÓN g = y + 2 ( 2 + 2 y ) , - af = x + 4(" + 2y) dx a y

SOLUCIÓN

a' f a2 f - - - - sen z sen' y, a22

~ = 2 sen x cos 2y; a y 2

3' f a' f axay n y a x __ = cos x sen 2y , - = 2 cos x sen y cos y = cos x sen 2y. A

EJEMPLO 3 Sea f(x, y, z ) = e"?' + z cos x. Entonces

" - - s e n x , etc. A 3zaz

En t,odos estos ejemplos nótese que los pares de derivadas parciales mixtas tales como A 2 f /dxay y a2 f l a y a x , o a2 f / a z a x y d2f/dzdz son iguales. Es un hecho básico y quiz& sorprcnderltc el que por lo general así suceda. Lo probaremos en el siguient,e teorema para funciones f (z . y ) de dos variables, pero la demostración se puede extender con facilidad a funciones de n variables.

TEOREMA 15 Si f ( z , y) es de clase C 2 (es dos veces continuamente diferenciable), entonces las derivadas parciales mixtas son iguales; esto es,


DEMOSTRACI~N Considerar la siguiente expresión:

S(Az, A y ) = f ( ~ o + AX, ?/o + AY) - f(zo + A ~ , Y o ) - ~ ( ~ o , Y o + AY) + f(z0, YO).

Manteniendo yo y Ay fijos, definir

de modo que S ( A x , Ay) = g(xo + Ax) - g(xo), lo cual expresa S como una diferencia de diferencias. Por el teorema del valor medio para funciones de una variable, est-o es igual a g’(C)Az para alguna 5 entre x0 y 20 + Ax. De aquí,

Aplicando nuevamente el teorema del valor medio,

De manera análoga, se muestra que d2f/dzdy está dada por la misma fórmula de límite, lo cual prueba el resultado.

Fue Leonhard Euler, en 1734, quien probó por primera vez este teorema, en

En el ejercicio 7 pedimos al lector que muestre que para una función C3, de relación con sus estudios de hidrodinámica.

x, Y Y 2 ,

a3 f - a3 f a3 f azayas azayax a y a z a z ’

- etc.

En otras palabras, podemos calcular derivadas parciales iteradas en el orden que nos plazca.

EJEMPLO 4 Verificar la igualdad de las segundas derivadas parciales mixtas para la función

f(z, y) = x e y + yz2.

160 DIFERENCIACI~N

SOLUCIÓN Aqllí

y por lo tanto tenernos

A veces se usa l a notación fz, f y , f2 para las derivadas parciales fz = af /az , etx. Con e s h not,ación, escribimos fzy = ( f r ) y , de manera que l a igualdad de las derivadas parciales mixt'as se denota por fzy = fyz . Nótese que fzy = d2f/dydz, de manera quc se i n v i d e el orden de z y y en las dos notaciones; afortunadamente, l a igualdad de las parciales mixtas hace irrelevante esta potencial am- bigüedad.

EJEMPLO 5 Sea z = f ( x , y ) = e'sen zy y escribir z = g(s,t), y = h ( s , t ) para funcior~cs g y h . Sea k ( s , t ) = f(g(s,t), h ( s , t ) ) . Calcular ICst usando la regla de la caderla.

SOLUCIÓN Por la regla de la cadena,

k, = fZg,* + f y h , = (ez sen zy + yeZ cos zy)g, + (zez cos zy)h, .

AI diferenciar respecto a t se tiene

k s t = ( f z ) tg -E + fz(gs)t + ( f y ) * & + f y ( k 5 ) t

Aplicando la regia de la cadena a (fz)t y a ( f y ) t se obtiene

( f 3 ) t = f m g t + f q h t Y ( f Y h = fyzgt + f v y h

por lo tanto, k, t SF' vuelve

.l.,* = (fzz9t + fzyht )gs + fzg.?t + (fyzgt + f y y h t ) h , + f y h s t

= fzzgtgs + fzy(ht9s + h s g t ) + f y y h t h s + f z s s t + f y h s t .

Comprobar que esta úitima fórmula es simétrica en ( S , t), mediante la verificación de la igualdad I C s t = k t , . Al calcular f zz , fzy y fyy , obtenemos


EJEMPLO 6 La ecuación diferencial parcial ut + u,,, + uu, = O , llamada ecuación de Korteweg-de Vries (o ecuación KdV, como abreviación), describe el movimiento de las ondas de agua en un canal poco profundo. (a) Mostrar que para cualquier constante positiva c, la función

u ( x , t j = 3csech2[ i (x - c t j f i ]

es una solución de la ecuación de Korteweg-de Vries. (Esta solución representa una “joroba” de agua que viaja en el canal y se llama solitón.)* (b) ¿Cómo depende de c la forma y rapidez del solitón?

SOLUCIóN (a) Calculamos ut, u,, u,, y u,,, usando la regla de la cadena y la fórmula de diferenciación ( d / d z ) sechz = -sech z tanhz del cálculo de una variable. Al hacer a = (z - ct)&/2,

a ut = 6 c s e c h a - s e c h a = - 6 c s e c h 2 a t a n h a - aCY at at

= 3c512 sech’ a t anh a = c3”u tanh a.

Además,

u, = -6csech’ a t anh CY- aff a x

- - -3c312 secb2 N tanh a = -&u tanh N,

y así ut = “cu, y

u, t anh CY + u(sech2 a)- = -&(tanh a ) ~ , - - “I U 2

2 6

= c( tanh2 a)u - - = c(1 - sech’ a)u - - 6 6

U 2 U 2

u2 u2 U 2 = c u - - - - - ~ c ~ ” “ . 3 6 2

Así, u,,, = CU, - uu,.

Por lo tanto,

ut + u x x x + u212 = ut + u,,, + (cux - u x x x ) = U t + cux = o.

(b) La rapidez del solitón es c, pues la gráfica en la figura 2.6.l(a) se mueve c unidades en z por una unidad de t . La forma en el tiempo t = 1 se muestra en la figura 2.6.l(b) para c = 1. A

*Los solitones fueron observados por primera vez por J. Scott Russell alrededor de 1840 en los canales cercanos a Edimburgo; reportó sus resultados en Trans. Royal Society of Edinburgh 14 (1840): 47-109.

162 DIFERENCIACI~N

u

x = cc

U

Figura 2.6.1 El solitón: (a) general; (b) ~ = 6/(e(”-1)/2 + 1.

1 X

la gráfica para c = 1, t = 1;

2.6 DERIVADAS PARCIALES ITERADAS 1 63

NOTA HIST~RICA: ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

La filosofia [naturaleza] está escrita en ese gran libro que siempre está ante nuestros ojos ” e l universo- pero no lo podemos entender si no aprendemos primero el lenguaje y com- prendemos los símbolos en los que está escrito. El libro está escrito en lenguaje matemático y los símbolos son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuya ayuda es imposible comprender una sola palabra; sin ello, uno vaga sin esperanza en un oscuro laberinto.

GALILEO

Esta cita ilustra la creencia, popular en la época de Galileo, de que buena parte del conocimiento de la naturaleza podría reducirse a matemáticas. AI final del siglo dieci- siete se reforzó este modo de pensar, cuando Newton usó su ley de gravitación y el nuevo cálculo para deducir las tres leyes de Kepler del movimiento celeste (ver la sección 3.1). El impacto de esta filosofía en las matemáticas fue sustancial, y muchos matemáticos trataron de “matematizar” la naturaleza. La gran cantidad de matemáticas que hoy se ocupan de la física (y en medida creciente, de la economía y de las ciencias sociales y de la vida) es testigo del éxito de esos intentos. Asimismo, las tentativas de matematizar la naturaleza han conducido con frecuencia a nuevos descubrimientos matemáticos.

Buena parte de las leyes de la naturaleza fueron descritas en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuaciones que incluyen las derivadas de funciones de una sola variable, como F = rnd2x/dt2, donde F está dada por la ley de gravitación de Newton), o ecuaciones diferenciales parciales, esto es, ecuaciones que incluyen derivadas parciales de funciones. Con objeto de presentar al lector cierta perspectiva histórica y así ofrecer una motivación para estudiar derivadas parciales, presentamos una breve descripción de tres de las más famosas ecuaciones diferenciales parciales: la ecuación de calor, la ecuación de potencial (o ecuación de Laplace) y l a ecuación de onda. Todas ellas serán analizadas con gran detalle en la sección 8.5.

LA ECUACIÓN DE CALOR. AI principio del siglo diecinueve el matemático francés Jo- seph Fourier (1768-1830) inició el estudio del calor. El flujo del calor tenía obvias aplicaciones, tanto a problemas industriales como científicos: por ejemplo, una mejor comprensión del fenómeno haría posible que la fundición de metales fuera más eficiente permitiendo a los científicos determinar la temperatura de un cuerpo dada la temperatura en su frontera, y así, aproximar la temperatura en el interior de la Tierra.

Sea B c R3 un cuerpo homogéneo (figura 2.6.2) representado por alguna región en el 3-espacio. Denotemos por T ( z , y, t, t ) la temperatura del cuerpo en el punto (.,y, 2)

en el tiempo t . Fourier probó, basado en los principios físicos descritos en la sección 8.5, que T debe satisfacer la ecuación diferencial parcial llamada la ecuación de calor,

k ( -+-+- a2T a 2 T ) = - ¿3T a X2 a 22 at ’

164 DIFERENCIACI~N

2

X

Figura 2.6.2 Cuerpo homogéneo en el espacio.

donde k es una constante cuyo valor depende de la conductividad del material que compone el cuerpo.

Fourier usó esta ecuación para resolver problemas de conducción de calor. De hecho, sus investigaciones de las soluciones de la ecuación (1) lo condujeron al descubrimiento de un nuevo concepto matemático, llamado ahora series de Fourier.

LA ECUACIÓN DE POTENCIAL. En el ejemplo 6 de la sección 2.5 introdujimos el potencial de gravitación V (llamado con frecuencia potencial de Newton) de una masa m en un punto (x, y, z) provocado por una masa puntual M colocada en el origen. Este potencial está dado por V = - G m M / r , donde 7 = Jx2 + y2 + 9 . El potencial V satisface la ecuación

donde sea, excepto en el origen, como podrá verificar el lector al resolver el ejercicio 19 al final de esta sección. Esta ecuación se conoce como ecuación de Laplace. Pierre Simon de Laplace (1749-1827) realizó trabajos sobre atracción gravitacional de masas no puntuales, y fue el primero en considerar la ecuación (2) relacionada con la atracción gravitacional. Presentó argumentos (más tarde se mostró que eran incorrectos) acerca de que la ecuación (2) se cumplía para cualquier cuerpo y cualquier punto, ya fuera dentro o fuera del cuerpo. Sin embargo, Laplace no fue el primero en escribir la ecuación (2). La ecuación de potencial apareció por primera vez en uno de los principales artícu- los de Euler en 1752, “Principles of the Motions of Fluids”, en donde dedujo la ecuación de potencial relacionada con el movimiento de fluidos (incompresibles). Euler insistió en que no tenía idea de cómo resolver la ecuación (2). (Estudiaremos potenciales gravitacionales en la sección 6.4 y las ecuaciones de la mecánica de fluidos en la sección 8.5.) Más tarde, Poisson mostró que si (x, y, z) está dentro de un cuerpo atrayente, entonces V satisface la ecuación a2v a2v a2v

822 - + -@- + - = -4 *P


donde p es la densidad del cuerpo atrayente. La ecuación (3) se llama ahora Ecuación de Poisson. Fue también Poisson el primero en señalar la importancia de esta ecuación para problemas que incluyeran campos eléctricos. Nótese que si la temperatura T es constante en el tiempo, entonces la ecuación del calor se reduce a la ecuación de Laplace (¿Por qué?).

Las ecuaciones de Laplace y de Poisson son fundamentales en muchos campos, además de la mecánica de fluidos, campos gravitacionales y campos electrostáticos. Por ejemplo, son útiles para estudiar películas de jabón y cristales líquidos; ver, por ejemplo, Mathematics and Optimal Form, de S. Hildebrandt y A. Tromba, Scientific American Books, Nueva York, 1985.

LA ECUACIÓN DE ONDA. La ecuación lineal de onda en el espacio tiene l a forma

La ecuación de onda unidimensional

fue deducida alrededor de 1727 por John Bernoulli, y varios años después por Jean Le Rond d’hlembert en el estudio para determinar el movimiento de una cuerda vi- brante (como la de un violín). La ecuación (4) se volvió muy útil para estudiar tanto cuerpos vibrantes como elasticidad. Como veremos cuando consideremos las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo en la sección 8.5, esta ecuación surge también en el estudio de la propagación de radiación electromagnética y de ondas de sonido.

EJERCICIOS

1. Calcular las segundas derivadas parciales a 2 f / a x 2 , d2 f l ax&/ , a’ f l a y a x , a2f/ ay2 para cada una de las funciones siguientes. Verificar en cada caso el teorema 15:

(a) f ( x , Y) = 2xy/ (x2 + Y ~ ) ~ , ( z , ~ ) # ( o j o ) kb,l f ( x 1 Y , z ) = e Z + 1 / x + z e - ” , x # O (c) f ( x , Y) = C 0 S ( X Y 2 )

(d) f ( z , y) = e-2ya + y3z4 (e) f ( x , y) = l/(cos2 x + e-”)

Sea

(ver la figura 2.6.3). (a) Si (z, y) # (O, O ) , calcular a f / a x y af/ay. (b) Mostrar que (af/ax)(O,O) = O = (af/ay)(O, O ) . (c) Mostrar que (a’f/axay)(O, O ) = 1, (a2 f/ayaz)(O, O ) = -1. (d) ¿Qué sucedió? ¿Por qué no son iguales las parciales mixtas?

166 DIFERENCIACI~N

Figura 2.6.3 Gráfica generada por computadora de la función del ejercicio 2.

3. Hallar a 2 z / 8 z 2 , ¿12z/azay, a2z/ayaz y a2z/ay2 para (a ) z = 3 z 2 + 2y2

kb,l z = ( 2 2 + 7z2y)/3zy, (x, Y) # (O, 0)

4. Hallar todas las segundas derivadas parciales de (a) z = sen(z2 - 3 2 y ) (b) z = x2y2e22y

f ( T , Y , Z ) = z 2 y + z Y 2 + Y Z 2 .

Usar el teorema 15 para demostrar que si f ( z , y, z ) es de clase C 3 , entonces

a3 J a3 J axayaz ayazax -

8. Verificar que a3 f a3 J

a z a y a z azayaz -

para J ( z , y. Z ) = zeZy + YZ . 3 2


10. Si f ( z , y , z, w) es de la clase C 3 , demostrar que

f x z w = f zwx . 11. Evaluar todas las primeras y segundas derivadas parciales de las funciones siguien-

12. Sea w = f ( x , y) una función C2 de dos variables y sea x = u + u, y = u - v.

Mostrar que aZw aZw aZw auav (3x2 ay2 '

" - "-

13. Sea f : R2 -+ R una fnnción C2 y sea c ( t ) una curva C2 en R2. Escribir una fórmula para (d2/dt2)((f o c ) ( t ) ) usando dos veces la regla de la cadena.

14. Sea f(z, y, z ) = ex' tan(yz) y sea 1: = g(s, t ) , y = h(s , t ) , z = k ( s , 1) y r n ( s , t ) = f(g(s, t ) , h(s, t ) , k ( s , t ) ) . Hallar una fórmula para r n S t usando la regla de la cadena y verificar que la respuesta sea simétrica en S y t .

Una función u = f ( z , y) con segundas derivadas parciales continuas que satisfaga la ecuación de Laplace

a2u a2u -+"=O a22 ay2

se llama función armónica. Mostrar que la función u ( z , y ) = z3 - 3zy2 es armónica.

16. iCuáles de las funciones siguientes son armónicas? (Ver el ejercicio 15.) (a) f(x, Y) = z2 - ?I2 kb,l f ( z , Y) = z2 + Y2 (c) f(2, Y) = x?/ f ( . ,Y) = Y3 + 3Z2Y (e) f ( z , y) = sen z cosh y (f) f (z, y) = e5 sen y

17. Sean f y g funciones diferenciables de una variable. Sea # = f(x - t) + g(z + t). (a) Probar que 4 satisface la ecuación de onda: a2# /a t2 = a2$/az2. (b) Esbozar la gráfica de 4 contra t y z si f ( z ) = z2 y g(x) = O.

18. (a) Mostrar que la función g(x, 1) = 2 + e - t sen z satisface la ecuación de calor: gt = gxz. (Aquí g(z , t ) representa la temperatura de una varilla de metal en la posición z y tiempo t . )

(b) Esbozar la gráfica de g para t 2 O.[IDEA: Ver las secciones formadas por los planos t = O, t = 1 y t = 2.1

(c) ¿Qué le sucede a g(z, t ) conforme t + m? Interpretar este límite en términos del comportamiento del calor en la varilla.

Mostrar que el potencial V de Newton (ver el ejemplo 6, sección 2.5) satisface la ecuación de Laplace

a2v d2V a2v p + - + - = 0 para ( z , y , z ) # (o ,o , O ) . ay* a22

168 DIFERENCIACI~N

SECCIÓN OPTATIVA

*2.7 ALGUNOS TEOREMAS TÉCNICOS DE DIFERENCIACI~N

En esta sección examinaremos con mayor detalle las bases matemáticas del cálculo diferencial y proporcionaremos las demostraciones que se omitieron en las secciones 2 . 2 , 2.3 y 2.4. Comenzaremos proporcionando las demostraciones de los teoremas de límites presentados en la sección 2.2 (la numeracicin de los teoremas corresponde a la que tienen antes en este capítulo). Recordemos la definición de límite.

DEFINICIóN DE LíMITE Sea f: A C R" -+ R", donde A es un conjunto abierto. Sea x0

un punto en A o en la frontera de A, y sea V una vecindad de b E R". Decimos que f está finalmente en V conforme x tiende a x0 si existe una vecindad U de x0 tal que x # XO, x E U y x E A implique f(x) E V. Decimos que f(x) tiende a b cuando x tiende a XO, o, en símbolos,

límite f(x) = b o f(x)-+ b cuando X - X O ,

cuando, dada cualquier vecindad V de b, f está finalmente en V conforme x tiende a XO. Puede ser que cuando x tienda a x0 los valores de f(x) no se acerquen a un número particular. En este caso decimos que límite f(x) no existe.

x-x0

x-x0

Primero mostraremos que esta definición es equivalente a la formulación ~ - 6 de los límites.

TEOREMA 6 Sea f: A C R" -+ R" y sea x0 un punto en A o en la frontera de A . Entonces límite f(x) = b si y sólo si para todo número E > O existe 6 > O tal que para

x E A que satisfaga O < IIx - x011 < 6, se tiene I l f ( x ) - bll < E .

x-x0

DEMOSTRACIÓN Supongamos primero que límite f(x) = b. Sea E > O un número

dado, y considerar la €-vecindad V = D,(b), la bola o disco de radio E con centro en b. Por la definición de límite, f está finalmente en D,(b) cuando x tiende a XO, lo cual significa que existe una vecindad U de x0 tal que f(x) E D,(b) si x E U, x E A y x # XO. Ahora, como U es un abierto y x0 E U , existe 6 > O tal que D6(xO) C U . En consecuencia, O < IIx - x011 < 6 y x 5 A implica x E D6(xO) C U . Así, f(x) E D E ( b ) , lo cual significa que Il f (x) - bll < E. Esta es la afirmación E-6 que deseábamos probar.

Probaremos ahora el recíproco. Supongamos que para todo e > O existe 6 > O tal que O < IIx - x011 < 6 y x E A implica I l f (x ) - bll < E . Sea V una vecindad de b. Tenemos que demostrar que f está finalmente en V conforme x -+ xo; esto es, debemos hallar un conjunto abierto U c R" tal que x E U, x E A y x # x0 implique f(x) E V. Ahora bien, como V es un abierto, existe E > O tal que D,(b) C V. Si escogemos U = D6(x)

(de acuerdo con nuestra hipótesis), entonces x E V, x E A y x # x0 significa que I l f (x ) - bll < E , esto es, que f(z) E D,(b) c V.

x-x0

2.7 ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOS DE DIFERENCIACI~N 169

TEOREMA 2: UNICIDAD DE LOS LíMITES Si límite f(x) = bl y límite f(x) = b2, en-

tonces bl = bz.

DEMOSTRACIóN Es conveniente usar la formulación E-6 del teorema 6. Suponer que f(x) -+ bl y f(x) + b2 cuando x "+ XO. Dado E > O podemos, por hipótesis, hallar 61 > O tal que si x E A y O < [ /x - x011 < 61, entonces [If(.) - bl I/ < E , y de manera análoga, podemos hallar 62 > O tal que O < IIx - x011 < 62 implica Ilf(x) - b21[ < E .

Sea 6 el menor de 61 y 62. Escoger x tal que O < /Ix - x011 < 6 y x E A. Existen dichas x's, pues x0 está en A o es un punto frontera de A. Así, usando la desigualdad del triángulo,

x-x0 x-x0

llbl - b211 = tl(b1 - f(x)) + (f(x) - b2)ll

5 /lb1 - f(x)ll+ /If(.) - bz/1 < E + E = 2 ~ .

Así, para todo E > O , llbl - bzll < 2 ~ . De aquí que bl = bz, pues si bl # b2 se podría hacer E = [lb1 - bz11/2 > O y tendríamos llbl - bzll < llbl - b21), lo cual es imposible.

TEOREMA 3 Sean f : A c R" + R", g: A C R" + R", xo un elemento de A o un punto frontera de A, b E R" y c E R; entonces, se cumplen las siguientes afirmaciones:

(i) Si límite f(x) = b, entonces limite cf(x) = cb, donde cf: A + R" está definida x-x0

Por x c(f(x)). x-x0

(ii) Si límite f(x) = bl y límite g(x) = b2, entonces límite(f+g)(x) = bl +b2, donde

(f + 9): A + R" está definida por x I"+ f(x) + g(x). (iii) Si m = 1, límite f(x) = b l y límite g(x) = b Z j entonces límite(fg)(x) = b l b z ,

donde (fg): A -+ R está definida por x H f(x)g(x)

(iv) Si m = 1, límite f(x) = b # O y f(x) # O para todo x E A, entonces límite l /f =

l / b , donde 1/ f : A --t R está definida por x ++ l/f(x).

(v) Si f(x) = (f~(x), . . . , fm(x)) donde f,: A + R, i = 1,. . . , m, son las funciones componentes de f, entonces límite f(x) = b = (a,, . . . , b m ) si y sÓ10 si límite f,(x) = b,

x-x0 x-x0 x-x0

x-x0 x-x0 x-X"

x-x0 x-X"

x-x0 x-x0

para cada i = 1,. . .m.

DEMOSTRACIóN Ilustraremos la técnica demostrando las afirmaciones (i) y (ii). Las demostraciones de las otras afirmaciones son algo más complicadas y las puede proporcionar el lector. En cada caso, probablemente el enfoque más conveniente es la formulxión E-6 del teorema 6.

Para probar la regla (i), sea E > O un número dado; debemos producir un número 6 > O t d que l a desigualdad Ilcf(x) - cb(/ < E se cumpla si O < IIx - x0 1) < S. Si c = O, se cumple con cualquier 6, de manera que supondremos que c # O. Sea E' = E/IcI; por la definición de límite, existe 6 con la propiedad de que O < IIx 1 x011 < 6 implica llf(x)-bll < e' = e/lcl. Así, O < J I X - X O I I < 6 implica Ilcf(x)-cbll = I C / llf(x)-bll < e, lo cual demuestra la regla (i).

170 DIFERENCIACI~N

Para probar la regla (ii), sea E > O de nuevo un número dado. Escoger 61 > O tal que O < [ ( X - x011 < 61 implica 1 1 f (x) - blII < &/a. De manera análoga, escoger 62 > O tal quc O < I I x - x011 < 62 implica Ilg(x) - b z l l < & / a . Sea 6 el menor de 61 y 62. Entonces 0 < IIx - x011 < 6 implica

Así, hernos probado que (f + g)(x) + bl + bz cuando x - xo.

Recordemos la definición de función continua.

DEFINICIóN Sea f : A c R" + R" una función dada con dominio A. Sea xg E A. Decirnos que f es continua en x0 si y sólo si

límite f (x) = f(xo). x-x0

Si decimos simplernente que f es continua, queremos decir que f es continua en cada punto xg de A.

A partir del teorema 6, o b t e ~ ~ e m o s el teorema 7: f es continua en x0 E A si y sólo si para todo número E > O existe un número 6 > O tal que

Una de las propiedades de las funciones continuas que enunciamos sin demostración en la sección 2.2 fue la siguiente:

TEOREMA 5 Sean f: A C R" + It" y g: B c R" + RP. Suponer que f ( A ) C B , de manera que y o f está definida en A. Si f es continua en x0 E A y y es continua en yo = f(xo), entonces y o f es continua en xg.

DEMOSTRACIóN Usamos el criterio E-6 de continuidad. Así, dado E > O , debemos hallar 6 > O tal que para x E A ,

Como y es continua en f(x0) = yo E B, existe y > O tal que para y E B,

2.7 ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOS DE DIFERENCIAU~N

lo cual a su vez implica que

171

que es la conclusión deseada.

La exposición en la sección 2.3 se simplificó suponiendo, como parte de la definición de Df(xo), que existían las derivadas parciales de f . Nuestro siguiente objetivo es mostrar que se puede omitir esta hipótesis. Comencemos redefiniendo “diferenciable”. El teorema 16 mostrará que la nueva definición es equivalente a la antigua.

DEFINICIóN Sean U un conjunto abierto en R” y f : U c R” “+ R” una función dada. Decimos que f es diferenciable en x0 E U si y sólo si existe una matriz T de m X n, tal que

límite llf(x) - - T(x - Xoj l l = 0, (1) x-x0 IIX - x0 II

Llamarnos a T derivada de f en x0 y la denotamos por Df(x0). En notación matricial, T(x - XO) equivale a

donde x = ( z ~ , . . . ,xn) y x0 = (~01,. . . , zon) . A veces escribimos T(yj como T y o simplemen te Ty.

La condición (1) se puede reescribir como

haciendo h = x - XO. Al escribir l a ecuación (2) en términos de la notación E-6 dice que para todo e > O existe 6 > O tal que O < llhll < 6 implica

o en otras palabras, Ilf(X0 + h) - f(xoj - Thll < Ellhll.

Nótese que como U es abierto, en tanto 6 sea suficientemente pequeño, ((h(( < 6 implica xo + h E u.

Nuestra tarea es mostrar que la matriz T es necesariamente la matriz de las derivadas parciales, y, por lo tanto, que esta definición abstracta concuerda con la definición de diferenciabilidad dada en la sección 2.3.

172 DIFERENCIACI~N

TEOREMA 16 Suponer que f : U c R" - R'" es diferenciable en xo E R . " . Entonces todas las derivadas parciales de f existen en el punto xo y l a matriz T de nz X n estd dada por

esto es,

T = Df(xo) 1 ,

donde a f , / ax , está evaluada en xg. En particular, esto implica que T estd determinada de manera única; no existe otra matriz que satisfaga l a condición (1).

DEMOSTRACIÓN Por el teorema 3(v), la condición (2) equivale a

Aquí, (Th), denota la i-ésima component,e del vector columna Th. Ahora sea h = ae, = ( O , , . . , a , . . . , O ) , con el número a en el j-ésimo lugar y ceros en los demás. Obtenemos

o, en otras palabras,

de modo que

Pero este límite no es más que la derivada parcial af,/ax, evaluada en el punto XO.

Así, hemos probado que existe af,/ax, y es igual a (Te,)'. Pero (Te,), = t , , (ver l a sección 1.5), de modo que se sigue el teorema.

Nuestra siguiente tarea es mostrar que diferenciabilidad implica continuidad.

2.7 ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOS DE DIFERENCIACI~N 173

DEMOSTRACIóN Usaremos el resultado del ejercicio 2 que está al final de esta sección, a saber, llDf(xo).hll 5 Mllhll donde M es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos en la matriz Df(xo).

Escoger E = 1. Entonces, por la definición de la derivada (ver la fórmula ( 2 ) ) , existe un 61 > O tal que O < I/hlJ < 61 implica

Nótese ahora que si Ilhll < 61, entonces

(Nótese que en esta derivación usamos la desigualdad del triángulo.) Haciendo M1 = 1 + M se prueba la segunda afirmación del teorema.

Sea ahora E' cualquier número positivo y sea 6 el menor entre 61 y ~ ' / ( 1 + M). Entonces llhll < 5 implica

Ilf(X0 + h) - f(xo)II < (1 + M ) - = E',

E'

1 + M

lo cual prueba que

límite f(x0 + h) = f(xo) h - O

o que j es continua en xo.

En la sección 2.3 afirmamos que un importante criterio para asegurar diferenciabilidad es que las derivadas parciales existan y sean continuas. Probémoslo.

TEOREMA 9 Sea f : U C R" 4 R". Supongamos que existen todas las derivadas parciales df,/dx, de f y son continuas en una vecindad de un punto x E U . Entonces f es diferenciable en x.

DEMOSTRACIóN (En esta demostración vamos a usar el teorema del valor medio del cálculo de una variable. Ver el enunciado en la pág. 135.

Consideraremos sólo el caso m = 1, esto es, f: U c R" -+ R, el caso general lo dejamos al lector (ver la demostración del teorema 16 anterior). Tenemos que mostrar que

174 DIFERENCIACI~N

Escribir

(Esta se llama una suma telescópica pues cada t,érmino se cancela con el siguiente o con el anterior, excepto el primero y el illtimo.) Por el teorema del valor medio, se puede escribir esta expresión como

donde y1 = ( ~ 1 . 2 2 + hz , . . . , x, + h,) .y c1 está entre 2 1 y z1 + h l ; y2 = ( 2 1 , c z , x3 + h ~ , . . . , z n + h n ) y c2 est,á entre x2 p + h2; y yn = ( X I : . . . , ~ ~ - 1 , c n ) donde cn está entre z n y z, + h,. Así podemos escribir

Por la desigualdad del triángulo, esta expresión es menor o igual que

pues Ih,( 5 llhll. Así, hemos demostrado que

Pero como las derivadas parciales son continuas por hipótesis, el lado derecho tiende a O cuando h + O , de modo que el lado izquierdo también tiende a O .

2.7 ALGUNOS TEOREMAS TkCNICOS DE DlFERENClAClÓN 175

TEOREMA 11: REGIA DE IA CADENA Sean U C R" y V C R" abiertos. Sean

V, de modo que está definida f o g. Suponer que g es diferenciable en x0 y que f es diferenciable en yo = g(x0). Entonces f O g es diferenciabk en x03 Y

9: u C R." + R" y f: V c R" + RP funciones dadas tales que g manda a U en

DEMOSTRACIÓN De acuerdo con la definición de derivada, debemos verificar que

Primero reescribimos el numerador y aplicamos la desigualdad del triángulo como sigue:

Como en la demostración del teorema 8, IIDf(y0) hll 5 Mllhll para alguna constante M . Así, el lado derecho de la desigualdad (3) es menor o igual que

Como g es diferenciable en XO, dado e > O , existe 61 > O tal que O < I I x - x011 < 61 implica

tlg(x) - dxo) - Dg(x0) * (x - X0)ll < 5. IIX - x0 I I 2M

Esto hace que el segundo término en la expresión (4) sea menor que E I I X - x011/2. Volvamos al primer término en la expresión (4). Por el teorema 8, Ilg(x) - g(xo)ll <

M1 JIx - xo)) para una constante M1 si x está cerca de xo, digamos O < 11x - xo)) < 62. Escojamos ahora 63 tal que O < IIy - yo11 < 63 implique

176 DIFERENCIACI~N

Así, si 6 = mín(bl,62r & , / M I ) , la expresión (4) es menor que

de modo que

para O < /Ix - x011 < 6. Esto demuestra el teorema.

El estudiante y a conoce varios ejemplos que ilustran los teoremas anteriores. Consi- deremos ahora uno de naturaleza más técnica.

Figura 2.7.1 Esta función no es diferenciable en ( O , O ) porque está “torcida”

2.7 ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOS DE DIFERENCIAU~N

SOLUCIóN Notamos que

(x - O ) / & q ? i - o = límite = límite - - - 0 0 - 0

2-0 X x-o 2

y de manera análoga, (af/ay)(O, O) = O . Así, las derivadas parciales existen en ( O , O ) . Además, si ( a , y) # ( O , O ) , entonces

” af y d m - 2 x ( x y ) / 2 d X G - y - X 2 Y d X

- x’ + Y’ - (x’ + Y 2 ) 3 / 2 ’

lo cual no tiene límite cuando (x, y) -+ ( O , O ) . Se obtienen límites diferentes cuando se usan diferentes trayectorias para acercarse al punto, como bien se puede ver haciendo x = M y . Así, las derivadas parciales no son continuas en (0,O) y por lo tanto no podemos usar el teorema 9.

Podemos ahora intentar demostrar que f no es diferenciable (sin embargo f es continua). Si existiera Df(0, O ) , por el teorema 16 debería ser la matriz cero, porque a f/ax y af/Ó’y son cero en (O, O). Así, por la definición de diferenciabilidad, para cualquier E > O existiría 6 > O tal que O < ll(h1, h2)11 < 6 implique

lo cual no sería cierto si escogiéramos E 5 i. Por lo tanto, f no es diferenciable en (0,O). A

EJERCICIOS

M Sea f i x , y, z) = (ez , cos y, sen z). Calcular Df. En general, ¿cuándo será Df una matriz diagonal?

2. (a) Sea A: R” -+ R’” una transformación lineal con matriz [u,,] de modo que Ax tenga componentes yI = E uijxj. Sea M = Usar la desigualdad de Schwarz para demostrar que llAxll 5 MIIxII.

(b) Usar la desigualdad deducida en la parte (a) para mostrar que una transfor- mación lineal T: R” -+ R” con matriz [ t i j ] es continua. (El ejercicio continúa en la página 178.)

l í m i t e [f(x)]' = h' y lirrlite Jlfc.n = J i b i . X-X" X - X I I

2.7 ALGUNOS TEOREMAS TlkNICOS DE DIFERENCIACXÓN 179

2

Figura 2.7.2 Gráfica generada por computadora de z = 2zy2 / (z2 + y')).

Definir f : R2 + R mediante

Mostrar que f es continua.

14. Probar que S : R2 -+ R' , ( x , y) H z + y es continua.

15. Usando la definición de continuidad, probar que f es continua en x si y sólo si

limite f (x + h) = f(x). h-O

180 DIFERENCIACI~N

16. (a ) Se dice que uua sucesi6u de puntos x n en Rnl converge a x, y se escribe xn + X

cuando 71 - m, si para todo E > O exist,e N tal que n 2 LV implica / / x - xn/1 < E.

Mostrar cine y es un p u n t o frontcra de u n conjunto abierto A si y sólo si y no está en A y cxiste u n a sucesión de puntos tlistint,os de A , que converge a y.

(11) Sea f: A c R." + R"' y y 1111 elerrlent,o de A o un punto f ronkra de A. Probar q u e límitc f (x ) = b si y sólo s i f(x,,) -+ b para t,oda sucesión de puntos x , ~ en A con x,, - y.

x I L + x E U irnplica f(x,) + f ( x ) .

x 'Y

(c) Si 11 c R"' es un abierto, mostrar que f: U + RP es continua s i y sólo si

17. Si f ( x ) = !](x) para todo x # a y hi límite f(x) = b, entonces mostrar que también

limite g ( x ) = b 1-11

X-El

18. Sean A c R" y sea x0 1111 punto frontera de A. Sea f : A - R y g: A "--f R funciones definidas cn t a les que e x i s k n límite fix) y limite g ( x ) , y suponer qur: para todo x

en alguna vcciutlad ag~~ , j c rcada d c x". f ( x ) 5 g ( x ) . (Una vecindad agujereada de x0 es cualquier vecindad d c xg. sin XQ.)

(a) €'robar qnc límite f(x) 5 I í r n i t c . y(x). (IDEA: Considerar l a funcicin @(x) =

g ( x ) - !(x); prohar C ~ U C límite c ~ ( x ) 2 o. y después usar rl hecho de que el límit,e de la

s n m a dc dos funciones cs l a sunla de 511s limites.)

lítnites?

x-xO X"IXI1

x-xí1 x - x , ,

X'XO

(b) Si f ( x j < y ( x ) , ~,nc,c.csariatrletltc se t.eudrá la desigualdad estricta de los

19. Dada f: A c It" - R"'. decirnos ~ I I V "f cs . ( X ) cuando x - O" si límite f (x) / X-O

llxll = 0.

x - 0 (dondr: ( f l + f2)(x) = f l ( X ) + f2(x)).

[a) Si f, y 5 2 son .(x) c ~ ~ a n t i o x + O , prohar que fl + fz también es . ( X ) cuando

(1)) Sea y: A - R. una funci6n con l a propiedad de qnc existe u n nlímero c > O t,al q ~ t e Ig(x)l 5 c para todo x CII A (se dice que g está acotada). Si f es .(x) cuando x - O , probar que y f t.ambidu c s . [X) cuando x 4 O (donde (g f ) (x ) = g(x)f(x)).

( c j Mostrar qur f ( ~ ) = T * PS o(.) cuando z - O. i,l'ambién g(z) = z es o(.)

CIIalIdo x - O?



3. Calcular la derivada Df(x) de cada una de las funciones siguientes: (a) f ( Z , Y ) = (z2Y,e-zy)

f(z) = (z1.1 (c) f (z , y, z ) = e z + ey + e* (dl f(., Y, 2 ) = (x1 Y1 z )

4. Suponer que f ( z , y) = f(y, 2 ) para todo ( 2 , y) . Probar que

(df/dz)(a, b ) = (af/aY)(4 a).

Sea f(z, y) = (1 - z2 - y')"'. Mostrar que el plano tangente a la gráfica de f en (z0, yo, f ( z o , yo)) esortogonal al vector ( 2 0 , yo, f(z0, YO)). Interpretar geométricamente.

6. Suponer que F ( z , y) = ( a f / d z ) - (df /dy) y f es de clase C2. Probar que d F d F d'f a'f dz a y 8x2 ay2

7. Hallar una ecuación para el plano tangente a l a gráfica de f en el punto ( z o , yo,

f(z0, Yo)) para: (a) f : R 2 - + R , ( z , y ) + + ~ - y + 2 , ( z o , y 0 ) = ( 1 , 1 ) (b) f: R2 -+ R, ( 2 , y) ++ 2' + 4y2, (ZO, YO) = ( 2 , -1) k.,l f : R' - R, ( 2 , Y) ++ ZY, (%O, yo) = (-1, -1) (d) f ( z , y) = log(z + y ) + 2: cosy + arctan(z +Y), (%o, YO) = (1,O) (e) f ( 2 , Y ) = ( 2 0 , YO) = (111) (f) f ( z , y ) = "Y, ( 2 0 , YO) = ( 2 , 1 )

8. Calcular una ecuación para los planos tangentes a las siguientes superficies en los puntos indicados.

(a) x 2 + y' + z2 = 3, (1,171)

(c) (cos z)(cosy)e' = O, ( * / & I , O ) (d) esyz = 1, (1,190)

kb,l z3 - 2y3 + z3 = O, (1,1,1)

9. Dibujar algunas curvas de nivel de las funciones siguientes: (a) f ( z , Y) = l / Z Y

(b) f(z, Y) = z' - ZY - Y2

10. Considerar una función de temperatura T ( z , y) = 3: sen y . Dibujar algunas curvas de nivel. Calcular VT y explicar su significado.

11. Hallar los siguientes límites, si existen:

12. Calcular las primeras derivadas parciales y los gradientes de las funciones siguientes:

(a) f(z, y, z ) = zez + y cos z

f(., Y, 2 ) = (2 + Y + ,)lo

(c) f(z, Y9 2) = (x' + Y)/.

182 DIFERENCIACI~N

13. Sea F = F l ( z , y)i + F z ( z , y ) j un campo vectorial de clase C’. Mostrar que si F = Vf para alguna f, entonces ¿3Fl/ay = dFz/¿3z. Mostrar que F = COS z)i + z(seny)j no es un campo vectorial gradiente.

14. Sea y(z) una función diferenciable definida implícitamente por F ( z , y(z)) = O. Del ejercicio 17(a), sección 2.4, sabemos que

Considerar la superficie z = F ( z , y) , y suponer que E’ es creciente como función de z y como función de y; i.e., ¿?Flax > O y d F f a y > O. Mostrar, considerando la gráfica y el plano z = O, que para z fija en z = O , y deberá decrecer conforme z crece y 2 deberá decrecer conforme y crece. ¿Concuerda esto con el signo menos en la fórmula de dyldz?

15. (a) Considerar la gráfica de una función f ( z , y) (figura 2.R.1). Sea (zo, yo) en una curva C de nivel, de modo que Vf(z0, yo) es perpendicular a esta curva. Mostrar que el filano tangente a la gráfica es el plano que (i) contiene la recta perpendicular a Vf(zo ,yo) y está en el plano horizontal z = f ( z o , y o ) , y (ii) tiene pendiente IIVf(z0, yo)ll respecto al plano zy . (Por pendiente de un plano P respecto al plano z y se entiende la tangente del ángulo O, O 5 O 5 x, entre la normal a P que apunta hacia arriba, p, y el vector unitario k.)

L

f pendiente del plano tangente = llVfll

~ curva de nivel elevada a la gráfica

Figura 2.R.1 Relación entre el gradiente de una función y el plano tangente a la gráfica de la función (ejercicio 15(a)).

(b) Usar este método para mostrar que el plano tangente a la gráfica de f ( z , y) = (z + cos y)”’ en (1, O, 2 ) es como el que se ha dibujado en la figuri 2.R.2.

Hallar el plano tangente a la superficie z = z2 + y2 en el punto (1 , - 2 , 5 ) . Explicar el significado geométrico para esta superficie, del gradiente de f(z, y) = z2 + y’ (ver el ejercicio 15).

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPiTULO 2 183

Z

X

Figura 2.R.2 Plano al cual hace referencia el ejercicio 15(b).

17. ¿En qué direcciónesigual aceroladerivadadireccionalde f ( z , y ) = (z’-~’))/(~’+ y’) en (1, I)?

18. Hallar la derivada direccional de la función dada en el punto dado y en la dirección del vector dado.

(a) f(z, Y, z) = ez COS(YZ),PO = ( O , O, O),v = -2) kb,l f(z, y, 2) = zy + yz + z z ,po = ( 1 , 1 , 2 ) , v = (10, -1,2)

19. Hallar el plano tangente y la normal al hiperboloide z’ +y2 - z’ = 18 en (3 ,5 , -4).

20. Sea (z ( t ) , y ( t ) ) una curva en el plano, O 5 t 5 1, y sea f ( z , y ) una función de dos variables. Suponer que fiz + f y y 5 O. Mostrar que f ( ~ ( 1 ) ~ y(1)) 5 f(z(O), y(0)).

Un insecto se halla en un medio ambiente tóxico. El nivel de toxicidad está dado por T ( z , y ) = 22’ - 4y2. El insecto está en (-1,2). ¿En qué dirección deberá moverse para disminuir lo más rápido posible la toxicidad?

22. Hallar la dirección en la cual la función w = 1:’ + zy crece más rápidamente desde el punto (-1,1). LCuál es la magnitud de V w en esta dirección? Interpretar geométricamente esta magnitud.

23. Sea f definida en un conjunto abierto S en R”. Decimos que f es homogénea de grado p sobre S si f(Xx) = Xpf(x) para todo real X y para todo x en S para el cual Ax E s.

(a) Si dicha función es diferenciable en x, mostrar que x Vf(x) = pf(x). Esto se conoce como el teorema de Euler para funciones homogéneas. [IDEA: Para X fija, definir g(X) = f(Xx) y calcular g‘(l).]

(b) Hallar p y verificar el teorema de Euler para la función f(z, y, z ) = 1: - 2y - 6, z z > o.

184 DIFERENCIACI~N

24. Probar que si f(x, y) satisface la ecuación de Laplace

entonces también la satisface la función

(Una función que satisface la ecuacibn de Laplace se llama armónica.)

25. Probar que las funciones (a) f(z, Y) = log(z’ + Y’)

1 (c) h ( z , Y, 2, w) = + + z z + wz

satisfacen las respectivas ecuaciones de Laplace ( 4 fix + f Y Y = 0

(c) h,, + hyy + h,, + h w w = 0 (b) gxx + gYY + g r r = O

donde fix = ó” flax’, etc.

26. Si z = [ f ( x - y)]/y, demostrar que z + y(az /ax ) + y(az/ay) = O.

27. Dado z = f ( ( x + y)/(z - y)) para f una función de clase C1, mostrar que aZ aZ ax ay

x- +y- = o .

28. Sea f con derivadas parciales a f ( x ) / a z , , donde i = 1, 2,. . . , n, en cada punto x de un conjunto abierto U en R”. Si f tiene un máximo local o un mínimo local en el punto x0 en U, mostrar que af(x,)/ax, = O para cada e.

29. Considerar las funciones definidas en R2 mediante las fórmulas siguientes: (i) f ( x , y) = xy/(z’ + y’) si (x, Y) # ( O , O ) , f ( o , 0) = 0

f ( z , y) = z’yz/(z’ + y4) si ( 2 , Y) z ( o , ~ ) , f ( o , 0) = 0

(a) Mostrar, en cada caso, que las derivadas parciales af(z, y)/az y a f ( x , ! /)/ay existen para todo (x, y) en R’, y evaluar estas derivadas explícitamente en términos de x y y.

(b) Explicar por qué las funciones descritas en (i) y (ii) son diferenciables o no, en ( O , O).

30. Calcular el vector gradiente Vf(z , y) en todos los puntos (x, Y) en R’ para cada una de las funciones siguientes:

(a) f ( x , y) = x’y’ log(z’ + y’) si (x, Y ) # ( O , O ) , f ( 0 , 0) = 0

kb,l f ( x , y) = zysen[l/(z2 + y4)1 si ( 2 , Y) z (0, O ) , f ( o , 0) = O

31. Dada una función f definida en R’, sea F ( r , 8) = f ( r COS 8, T sen e). por ejemplo, Si f ( z , y ) = . / ( x z + y’), entonces F ( r , 8 ) = (cosO)/r. (El ejercicio continúa en la página siguiente.)


(a) Suponer que f cumple las propiedades de diferenciabilidad adecuadas, y mostrar que

a2 a2 a2 -F(T,@) = C O S ~ @ ~ ~ ( X , ~ ) +2sen@cos@-f(x,y) +sen 2 @,f(z,y) a2 a T2 ax axay ay

donde x = r cos O, y = T sen O. (b) Verificar la fórmula

32. (a) Sean u = i - 2j + 2k y v = 2i + j - 3k. Hallar: IIuII, U - v, U X v y un vector que apunte en la misma dirección que U pero de longitud unitaria.

(b) Hallar la tasa de cambio de e*y sen(x, y, z ) en la dirección u en (O, 1 , l ) .

33. Hallar las derivadas direccionales de las siguientes funciones en el punto (1, 1) en la dirección (i + j)/&

(a) f (x , Y) = tan"(x/y)

(c) f (x , Y) = exp(-x2 - Y') l$J f ( Z , Y ) = c o s ( p T - 7 )

34. Suponer que f es una función diferenciable de una u = g(z, y) está definida por

Mostrar que u satisface una ecuación diferencial (parcial)

variable y que una función

de la forma

X - - y - = G ( z , ~ ) u 2au 2 a u a x a y

y hallar la función G(x, y).

35. Denotemos por h(x, y) = + e-39z la altura de una montaña en la posición (x, y). ¿En qué dirección desde (1, O) deberíamos comenzar a caminar para escalar lo más rápido posible?

36. Calcular una ecuación para el plano tangente a la gráfica de

en x = 1, y = 2.

186 DIFERENCIACI~N

38. (a) Trazar las cnrvas nivcl tlc S ( L , y) = - x 2 - 9y2 para c = O, -1. -10. (b) En la figura, dibujar V f PII ( I , 1 ) . Explicar.

a En el tiempo 1 = O , se lanza una partícula drsdr el punto ( I , ] . 1 j sobre la superficie x2 +2yz + 3 z 2 = 6 en una direccicirl norrnal a l a superficir con u n a rapidez de 1 O unidatlcs por segundo. ¿En quir instant? cruza la c+ra r 2 + y 2 + z2 = 103?

40. ¿En quC punto(s) de l a superficie drl ejercicio 39 es el vector normal paralelo a la recta x = q = z?

(a) por sustituciórl y cálculo directo y ( h ) p o r la regla de l a cadena

@ Calcular las derivadas parciales c o ~ n o en ( , I ejercicio 41 si z = uv , I I = S + y y v = x - y .

44. Un bote navega hacia el norcste a 20 km/h. Suponiendo que la temperatura des- ciende a una tasa de 0.2 OC/kru en l a dirección nort,e y 0.3 OC/km cn la dirección este, ¿cuál es la tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo observada en el bote?

Usar la regla de la cadena para hallar una fórmula para (dldt) exp[f( t )y( t ) ]

46. Usar l a regla de la cadena para hallar una fthnllla para (d/dt j ( . f ( f j" ' t ) ) .

47. Verificar la regla de la cadena para l a funcihn f ( x , y , z ) = [In(l + x 2 + ? z 2 ) ] / ( 1 + y 2 ) y la curva a(t) = ( t , 1 - t 2 , cos 1).

48. Verificar la regla de la cadena para la funci6n f ( ~ , y ) = T'/(? + cos y ) y la curva x = e t , y = e - t .

49. Suponer que u ( z , t ) satisface la ecuacicin diferencial ' u t + u u , = 0 y que x , como función x = f ( t ) de t , satisface d r l t l t = u ( x , t j . Probar que u ( f ( t ) , 1) es constante en t .


El desplazamiento en el tiempo t y posición horizontal sobre una recta z de cierta cuerda de violín está dada por u = sen(x - 6 t ) + sen(z + 6 t ) . Calcular la velocidad de la cuerda en z = 1 cuando t = f .

51. La ley del gas ideal PV = nRT incluye una constante R, el número TI de moles del gas, el volumen V , la temperatura en grados Kelvin T y la presión P.

(a) Mostrar que cada una: n, P , T y V es función de las variables restantes, y

(b) Calcular d V / d T , a T / a P y a P / a V , y mostrar que s u producto es igual a -1. determinar explícitamente las ecuaciones que las definen.

52. La temperatura potencial 6’ está definida en términos de la temperatura T y la presi6n p mediante

La temperatura y la presión se pueden pensar como funciones de la posición (x, y , z ) en la atmósfera y también del tiempo t .

(a) Hallar fórmulas para 86’/ax, %/ay, ¿lt9/dz y N / a t en términos de las deriva-

(b) La condición 8 / 8 2 < O se considera como atmósfera inestable, pues conduce a grandes excursiones verticales de parcelas de aire a partir de un solo ímpetu hacia arriba o hacia abajo. Los meteorólogos usan la fórmula

das parciales de T y p .

donde g = 32.2 y Cp es una constante positiva. arriba en una atmósfera inestable?

iCÓlno cambia la temperatura hacia

El volumen específico I,’, la presión P y l a temperatura T de un gas de van der Waals están relacionados mediante P = RT/(V - p ) - a / V 2 , donde (Y, p y R son constantes,

(a) Explicar por qué cualesquiera dos de V , P y T se pueden considerar variables

(b) IIallar aT/dP, 8 P / a V , aV/¿ll’. Identificar cuáles variables son constantes e

(c) Verificar que (8T/ap)(aP/8V)(¿lV/nT) = -1 (;no +I!).

independientes que determinan la t,ercera variable.

interpretar físicamente cada derivada parcial.

La altura h del volcán hawaiano Mauna Loa se describe (aproximadamente) mediante la función h ( z , y) = 2.59 - 0.00024y2 - 0.00065z2, donde h es la altura sobre el nivel del mar en millas y x y y miden las distancias este-oeste y norte-sur, respectivamente, en millas, a partir de la cima de la montaña. En (x, y ) = (-2, -4) :

(a) ¿Con qué rapidez se incrementa la altura en la dirección ( 1 , l ) (esto es, hacia el noreste)? Expresar la respuesta en n d a s de altura por milla de distancia horizontal recorrida.

(b) ¿En qu& dirección va l a trayectoria hacia arriba más empinada?

188 DIFERENCIACI~N

55. (a) ¿En qud dirección es igual a cero la derivada direccional de f ( z , y) = (x’ - y’)/(z’ + Y’) en (1, I)?

(b) ¿Qué sucede en un punto arbitrario ( 2 0 , yo) en el primer cuadrante? (c) Describir las curvas de nivel de f. En particular, analizarlas en términos del

resultado de (b).

56. (a) Mostrar que la curva z2 - y’ = c, para cualquier valor de c , satisface la ecuación diferencial dy/dx = z/y .

(b) Trazar algunas de las curvas r 2 - y2 = c, digamos para c = &l. En varios puntos (x, y) a lo largo de cada una de estas curvas, trazar un pequeño segmento de pendiente “/y; verificar que estos segmentos parecen tangentes a la curva. ¿Qué sucede cuando y = O ? ¿Qué sucede cuando c = O ?

57. ¿Qué condiciones cumple la función f(z, y) si el campo vectorial k X V f es un campo vectorial gradiente? (Ver el ejercicio 13.)

*58. (a) Sea F una función de una variable y f una función de dos variables. Mostrar que el vector gradiente de g(z, y) = F ( f ( z , y)) es paralelo al vector gradiente de f(z, y) .

(b) Sean f(z, y) y g(z,y) funciones tales que V f = X V g para alguna función X(z, y) . ¿Cuál es la relación entre las curvas de nivel de f y g? Explicar por qué puede haber una función F tal que g(z, y ) = F ( f ( z , y)).

3 FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES

. . .quien con vigor mental casi divino, fue el primero en demos-

trar los movimientos y formas de los planetas, las trayectorias

de los cometas y el flujo de las mareas.

EPITAFIO DE NEWTON

Uno de nuestros objetivos principales en el capítulo 2 fue el estudio de las funciones con valores reales. En este capítulo nos ocuparemos de las funciones cuyos valores son vectores. Comenzamos en la sección 3.1 con trayectorias, que son funciones de R a Rn. Después pasaremos a campos vectoriales e introduciremos las principales operaciones del cálculo diferencial vectorial además del gradiente, a saber, la divergencia y el rotacional. Consideraremos algunos de los aspectos geornétricos asociados a estas operaciones, tal como lo hicimos para el gradiente, pero los resultados que tienen las aplicaciones físicas más importantes tendrán que esperar hasta que hayamos estudiado teoría de la integración.

3.1 TRAYECTORIAS Y VELOCIDAD

Con frecuencia consideramos una curva como una línea trazada sobre un papel, tal como una línea recta, un círculo, o una curva senoidal. Para tratar de manera efectiva con estos objetos, resulta conveniente pensar una curva en R" como el conjunto de valores de una función que manda un intervalo en R a R". A dicha función le llamaremos trayectoria. Una trayectoria está en un plano si n = 2, y en el espacio si n = 3. La imagen de la trayectoria corresponde, entonces, a la línea que vemm en el papel (ver la figura 3.1.1).


u = trayectoria

X

- a b

Figura 3.1.1 La función u es la trayectoria; su imagen es la curva que “vemos”

En esta sección definiremos de manera precisa el concepto de trayectoria, daremos algunos ejemplos y mostraremos cómo las trayectorias pueden modelar el camino que siguen objetos en movimiento. Después definiremos velocidad y aceleración de trayectorias y aplicaremos estas ideas a la segunda ley de Newton, del movimiento, y al movimiento de los planetas en órbitas circulares.

DEFINICI~N Una trayectoria en R” es una función u: [u, b] + R”. Si v es diferenciable, decimos que u es una trayectoria diferenciable. Si u es de clase C1, decimos que u es una C1 trayectoria. Los puntos u ( u ) y u ( b ) se llaman extremos de la trayectoria. La imagen de u se llama curva de u.

Es útil denotar la variable como t y pensar que u(t) va trazando una curva en R” conforme t va variando. A menudo imaginamos t como el tiempo y u(t) como la posición de una partícula en movimiento en el tiempo t . Si u es una trayectoria en R3, podemos escribir u(t) = ( r ( t ) , y(t), ~ ( t ) ) y llamamos a r ( t ) , y(t) y z ( t ) , funciones componentes de u. Queda claro que de manera similar podemos formar funciones componentes en R2 o, en general, en R”.

EJEMPLO 1 La recta L en R3 que pasa por el punto (xo,yo, Z O ) en la dirección del vector v es la curva de la trayectoria

para t E R (ver la figura 3.1.2). A

3.1 TRAYECTORIAS Y VELOCIDAD 191

Figura 3.1.2 L es l a recta en el espacio que pasa por (ZO, yo, 20) en dirección de V; su ecuación es ~ ( t ) = (20, yo, 20) + tv.

EJEMPLO 2 El círculo unitario en el plano está representado por la trayectoria

Q: R --f R2, ~ ( t ) = (cost , sent)

(ver la figura 3.1.3). La imagen de a , esto es, el conjunto de puntos a(t) E R2, para t E R, es el círculo unitario. A

Y

Figura 3.1.3 a(t) = (cost, sent) es una trayectoria cuya imagen es el círculo unitario.


EJEMPLO 3 La t,rayectoria a(t) = ( t , t 2 ) tiene una curva que es un arco pa- rabólico. L a curva coincide con la gráfica de f ( x ) = x2 (ver la figura 3.1.4).

A

Figura3.1.4 La imagen de a(t) = ( f , t ' ) es la parábola y = z2,

EJEMPLO 4 La función a: t H (t-sen t , I-cos t ) describe la función de posición de un punto en un círculo de radio 1, que va rodando. El círculo está en el plano xy y rueda a lo largo del eje z con rapidez constante; esto es, el centro del círculo se mueve hacia la derecha a lo largo de l a recta y = 1, con rapidez constante de 1

Y

i (r : t +, ( t - sent, 1 - cos t )

2*

Figura 3.1.5 Esta curva se llama cicloide. Es la trayectoria descrita por un punto mo- viéndose sobre un círculo que rueda.

". . ...


radián por unidad de tiempo. El movimiento del punto u(t) es más complicado; su curva se conoce como cicloide (ver la figura 3.1.5). A

Por lo general, las partículas que se mueven en el espacio lo hacen en curvas suaves. Por ejemplo, las partículas, usualmente, no desaparecen y espontánea- mente reaparecen en otro punto, ni cambian repentinamente de velocidad. Así, por el resto de esta sección, restringiremos nuestro estudio a trayectorias suficientemente suaves, digamos C1.

En el capítulo 2 aprendimos que si u es una trayectoria en R3, su derivada, D u ( t ) , es una matriz de 3 X 1:

Sea u‘(t) el correspondiente vector (renglón). Así,

de modo que,

a’( to) = limite a(to + h ) - a(t0)

h-O h

Si nos referimos a la figura 3.1.6, podemos argumentar intuitivamente que el vector u’(t0) deberá ser paralelo a la recta L , tangente a la trayectoria u en el punto u ( t ~ ) , y que deberá representar l a velocidad de la partícula. En efecto,

a(t0 + h ) - a(to) h

representa la velocidad dirigida promedio en el intervalo de tiempo de t o a to + h (es decir, el desplazamiento total dividido entre el tiempo transcurrido). Por lo tanto, cuando h ”+ O , esta expresión tiende al vector de velocidad instantánea. Esto conduce a la siguiente definición.

DEFINICI~N Sea u: R + R3 una trayectoria de clase C1. El vector velocidad en u(t) está dado por v(t) = d ( t ) = ( d ( t ) , y ’ ( t ) , ~ ’ ( t ) ) , y la rapidez de la partícula está dada por S ( t ) = Ilu’(t)ll, la longitud del vector u’(t).

Como el vector velocidad u’(to) es paralelo a la recta L tangente a la trayectoria t H u(t) en el punto u( tO) , una ecuación de la recta L tangente a t H u(t) en u ( t 0 ) deberá estár dada por la fórmula X H u ( t 0 ) + Xu’( to) , donde el parámetro X varía entre los números reales (ver la figura 3.1.7).


Z Z

Z

X (c)

Figura 3.1.6 Ilustración de la geometría de la definición de la derivada de una trayectoria: to) = límiteh-O[u(tO + h ) - a( to ) ] /h . (a) [+o + h ) - u ( t . ) ] / h es un vector paralelo al vector que va de to) a d t o + h )

(b) El mismo vector para un incremento menor h = h2.

( c ) Caso límite h + O.

para h = hl .

DEFINICI~N Sea u una curva de clase C' en R3. La r ec ta t angen te a u en u ( t 0 ) está dada en forma paramétrica por"

1(X) = a ( t 0 ) + Xa'(t0).


Z

L

* Y

Figura 3.1.7 La recta L tangente a una trayectoria u en u(t0) tiene la ecuación 1(X) = u(t0) + XU'(t0).

EJEMPLO 5 s i u:t H (cost,sen t , t ) , entonces el vector velocidad es v(t) = ~ ' ( t ) = (- sent ,cos t , 1). La rapidez de un punto es la magnitud de la velocidad:

~ ( t ) = Ilv(t)ll = (sen2 t + cos2 t + 11' '~ = h. Así, el punto se mueve con rapidez constante, aunque su velocidad no sea constante, pues cambia continuamente de dirección. La trayectoria del punto cuyo movimiento está dado por c se llama hélice (circular recta) (ver la figura 3.1.8). La hélice está sobre un cilindro circular recto. A

Figura 3.1.8 a(t) = (cost , sent, 1) es una hélice circular recta.

1 9 6 FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES

Dada una partícula movjéndose sobre una trayectoria r ( t ) , es natural definir la tasa de cambio del vector velocidad como aceleración. Así,

a(t) = a"(t) = ( ~ " ( t ) , ~ " ( t ) , ~ " ( t ) )

Si una partícula de masa m se mueve en R3, l a fuerza F que actúa sobre ella en el punto ~ ( t ) , se relaciona con la aceleración por medio de la segunda leji de Newton:

F(u(t)) = ma(t).

En particular, si no actúa fuerza alguna sobre una partícula, a(t) = O , de modo que u'(t) es constante y la partícula sigue una recta.

EJEMPLO 6 Considerar una partícula moviéndose sobre la trayectoria descrita en el ejemplo 5, donde t es el tiempo. En el tiempo t = T la partícula deja la trayectoria y se va por una tangente (como se despega el lodo de una rueda de bicicleta). Hallar la ubicación de la partícula en el tiempo t = 2i7. Suponer que ninguna fuerza actúa sobre ella después de dejar la hélice (ver la figura 3.1.9).

SOLUCIÓN Notamos que V(T) = (O, -1, l ) , de modo que la partícula, después de dejar la primera curva, viaja en trayectoria recta a lo largo de la recta L , que es paralela al vector velocidad V(T) = u'(a). Si t F+ c ( t ) representa la trayectoria de la partícula para t 2 T , el vect,or velocidad, c ' ( t ) , debe ser constante, ya

" Y

Figura 3.1.9 Búsqueda del vector velocidad de la hélice circular recta. (E1 dibujo no está a escala.)


que después de que la partícula deja la curva ninguna fuerza actúa sobre ella. Entonces c’( t ) = u’(.) = ~ ( a ) = ( O , -1,l) y .(a) = U ( T ) = (-1, O, T ) .

Como t H c ( t ) es una trayectoria recta paralela a v(T), su ecuación está dada por t w w + tv(x) = w + t (0 , -1, l), donde w es algún vector constante. Para hallar w notamos que C ( T ) = w + a(0, -1,l) = u(a) = (-1, O,a), de modo que w = ( - ~ , O , T ) - ( O , -T, x) = (-1, x, O). Así, c ( t ) = (-1, x, O) + t (0 , -1,l). En consecuencia, c(27r) = (-1, a, O) + 2a(0, -1,1) = (-1, -a, 2 ~ ) . A

En el problema para determinar la trayectoria u(2) de una partícula, dada su masa, posición y velocidad iniciales, y una fuerza, la ley de Newton se vuelve una ecuación diferencial, (;.e., una ecuación que incluye derivadas) para a(t), y se pueden usar las técnicas de las ecuaciones diferenciales para resolverlo. Por ejemplo, un planeta moviéndose alrededor del Sol (considerado situado en el origen en R3) en una trayectoria r(t) obedece la ley

mr”(t> = - - GmM llr(t)113 r ( t ) , o abreviando, mr” -- Gm M

r, T3

donde M es la masa del Sol, m la del planeta r = }Ir11 y G es la constante gravitacional. La relación usada para determinar la fuerza, F = -GmMr/r3, se llama ley de la gravitación de Newton (ver la figura 3.1.10). No investigaremos en este libro la solución de dichas ecuaciones, sino que nos conformaremos con el siguiente caso particular.

Z

Figura 3.1.10 Una masa M atrae a una masa m con una fuerza F dada por la ley de la gravitación de Newton: F = -GmMr/r3 .

EJEMPLO 7 Considerar una partícula de masa m moviéndose con rapidez constante S en una trayectoria circular de radio rg. Entonces, suponiendo que se


mueve en el plano zy, podenlos suprimir la tercera componente y escribir

pues &te es un círculo de radio T O y l/r’(t)ll = S. Entonces podemos ver que

s 2 t S S2 ”) T,’

S2 cos -,--sen - = --r(t)

ro To T o T o

Así, la aceleración va en dirección opuesta a r ( t ) ; esto es, se dirige hacia el centro del círculo (ver la figura 3.1.11). Esta aceleración multiplicada por la masa de la partícula se llama fuerza centrípeta. Nótese que aunque la rapidez es constante, la dirección de la velocidad cambia continuamente, por lo cual resulta una aceleración.

4 I x

Figura 3.1.11 La posición de u n a partícula moviéndose con rapidez S en un círculo de radio T O está dada por la ecuación

r ( t ) = ( T O cos(tS/rO), sen(tS/To)),

y SU aceleración por a(t) = -s2r(t)/rg

Supongarnos ahora que tenemos un satélite de masa m moviéndose con una rapidez S alrededor de un cuerpo central con masa M en una. órbita circular de radio TO (distancia al centro del cuerpo esférico central). Por la segunda ley de Newton F = ma, obtenemos

S’ m Gm M “

T i r ( t) = - T r ( t )

TO


Las longitudes de los vectores en ambos lados de esta ecuación deben ser iguales. Por lo tanto

2 GM S =-. r o

Si T es el periodo de una revolución, entonces 2 ~ r g / T = S ; sustituyendo este valor por S en la ecuación anterior y despejando T , obtenemos la regla:

Así, el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio. A

Hemos definido dos conceptos básicos asociados con una trayectoria: su velocidad y su aceleración. Ambos están relacionados con cálculo diferencial. El concepto fundamental de longitud de una trayectoria, relacionado con cálculo integral, se tratará en la siguiente sección.

NOTA HIST~RICA

El ejemplo 7 ílustra una de las tres famosas leyes que Kepler dedujo antes de que Newton formulara sus leyes; permite calcular el periodo de un satélite cuando está dado el radio de su órbíta, y viceversa. Newton pudo deducir las tres leyes celestes de Kepler a partir de su propia ley de gravitación. El preclaro orden matemático del universo establecido por estos hombres y sus contemporáneos tuvo un gran impacto en el pensamiento del siglo dieciocho.

Newton jamás escribió sus leyes como ecuaciones analíticas. El primero en hacerlo fue Euler, alrededor de 1750. (Ver C. Truesdell, Essays in the History of Mechanics, Springer, Nueva York, 1968.) Newton hizo sus deducciones sólo por medios geométricos ( a l menos en lo publicado).

EJERCICIOS

1. Hallar a'(t) y a ' ( 0 ) en cada uno de los casos siguientes. (a) u(t) = (sen art, cos 2 x t , 2t - t2) kb,l o(t) = (et, cost , sent) (c) a(t) = (2, t 3 - 4t, O) (d) a(t) = (sen 2 t , log(1 + t ) , t j

2. Determinar los vectores velocidad y aceleración, y la ecuación de la recta tangente

(a) r(t) = 6ti + 3t2j + t3k, t = O a(t) = (sen 3 t , cos 3t, 2 t 3 / * ) , t = 1 para cada una de las curvas siguientes en el valor especificado de t .

( c j a ( t j = (cos2 t , 3t - t3 , t ) , t = o (d) ~ ( t ) = (o , o, t ) , t = I


4. ~ Q u d fuerza actúa en el ejercicio 2(a), sobre una partícula de masa m en t = O si sigue la trayectoria dada?

Sea una part,ícula de 1 gramo (g) de masa, que siga la trayectoria del ejercicio 3(a), con unidades en segundos y centímetros. ¿Qué fuerza actúa sobre ella en t = O ? (Escribir las unidades en l a respuesta.)

6. Sea u una trayectoria en R3 con aceleración cero. Probar que u es una recta o un punto.

7. Hallar l a trayectoria u tal que u(0) = (O, - 5 , l ) y u'(t) = ( t , e'. t2).

8. Hallar trayectorias a(t) que representen las siguientes curvas o trayectorias. Esbo- zar.

(a) { ( Z , Y ) I Y = el.1 { ( ~ , ~ ) 1 4 2 ~ + Y' = 1) (c) Una recta en R3 que pasa por el origen y el punto (a , b, c ) ( d j { ( ~ , w ) l ~ ~ ' + 1 6 ~ ' = 4)

9. Un satdlite da vuelt,as a 500 km sobre l a Tierra en órbita circular. Calcular su periodo. (G = 6.67 X lo-'' N * m2/kg2, M = 5.98 X kg = masa de l a Tierra, radio de la Tierra = 6.37 x IO3 km. Aquí G está dada en unidades MKS "met ros , kilogramos, segundos.)

10. Suponer que una partícula sigue la trayectoria u(t) = ( e t , e - t , cost) hasta que sale por una tangente en 2 = 1. ¿Dónde está en t = 2?

11. Suponer que una partícula que va siguiendo la trayectoria u(t) = (t2, t3 - 4t, O ) sale por una tangente en t = 2. Calcular la posición de la partícula en 1 = 3.

12. Probar las reglas siguientes para trayectorias diferenciables (en R" para (a) y R3 Para

13. Probar la siguiente regla para trayectorias diferenciables en R3:

3.2 LONGITUD DE ARCO 201

Sea ~ ( t ) una trayectoria, v(t) la velocidad y a(t) la aceleración. Suponer que F es una función de R3 en R3, m > O y F ( u ( t ) ) = ma@) (segunda ley de Newton). Probar que

d “ [ m d t ) X ~ ( t ) ] = d t ) X F(u(~)) dt

(es decir, “tasa de cambio del momento angular = torca”). ¿Qué se puede concluir si F ( u ( t ) ) es paralelo a ~ ( t ) ? ¿Es este el caso del movimiento planetario?

15. Continuar las investigaciones en el ejercicio 4 para probar la ley de Kepler que afirma que un planeta en movimiento alrededor del Sol efectúa ese movimiento en un plano fijo.

3.2 LONGITUD DE ARCO

Considerar una t rayector ia dada u(t). Podemos pensar a(t) como la trayectoria de una partícula con rapidez S( t ) = ~ ~ u ’ ( t ) ~ ~ ; es ta t rayec tor ia t raza una curva en el espacio. LCuál es la longitud de esta curva conforme t varía de, digamos, a a b? Intuit ivamente, esto debiera ser precisamente el total de la distancia recorrida, esto es Jab S( t ) d t . Esto nos conduce a lo siguiente.

DEFINICIóN Sea u: [a, b] -+ R” una trayectoria de clase C’. La longitud de u está definida como

l(c) = Jab Ilc’(t)ll d i .

En R3. la fórmula es

EJEMPLO 1 La longitud de arco de la curva a ( t ) = ( r c o s t , r s e n t ) , p a r a O 5 t 5 2?r, es

1 = o J ( - - r s e n t ) 2 + ( T c o s t j 2 d t = 2 x r ,

lo cual no es más que la circunferencia de un círculo de radio T. Si permit imos que O _< t 5 4 s , hubiéramos obtenido 4?rr, pues la trayectoria recorrería dos veces el mismo círculo (figura 3.2.1). A


SOLUCIÓN El vector velocidad cs u’(t) = (1 - cos 1, s e n t ) y la rapidez del punto a ( t ) es

l l f 7 ’ ( t ) l i = J( I ~ cos 1)2 + ae7r2f = J-.


de un ciclo es

2 T

= 4 ( -cosf ) I = 8 . A O

*SECCI~N OPTATIVA

En esta sección se supone que el lector está familiarizado con la integral definida, definida en términos de sumas de Riemann. En caso de no conocer bien el tema, se puede posponer hasta después del capítulo 5.

En R3 hay otra manera de justificar la fórmula para ¿(u) dada en la definición anterior. Este método se basa en aproximaciones poligonales, y se procede como sigue: partimos el intervalo [a , b ] en N subintervalos de igual longitud:

t,+1 - 1, = - b - a N para O < i < N - l .

Después consideramos la poligonal obtenida al unir pares sucesivos de puntos a(t l ) , u(tt+l) para O < i 5 N - 1. Esto produce una aproximación poligonal a u como la de la figura 3.2.2. De l a fórmula para la distancia en R3 se sigue que el segmento de a(t,) a u ( t E + l ) tiene longitud

I l a ( t , t l ) - 4 t C ) l l = J b ( t * t 1 ) - z(tt)]2 + [y(t ,+1) - y(t1)]2 + [z(t,+l) - 41,) ]2,

donde a(t) = ( z ( t ) , y(t), z ( t ) ) . Aplicando el teorema del valor medio a z ( t ) , y(1) y z ( t ) en [t", t , + l ] , obtenemos tres puntos t:, tt' y tt" tales que


Z

t"

Y

U(t") = .(u)

x '@'

Figura 3.2.2 Una trayectoria o s r puede aproximar mediante una trayectoria poligonal obtenida al unir cada ~ ( t , ) con u ( t , + l ) por medio de u n a recta.

Así, el segmento de ~ ( 2 , ) a u( l ,+ l ) tiene longitud

Entonces la longit,ud de nuestra poligonal de aproximación es

Cuando N "+ 03, esta poligonal aproxima mejor la imagen de o. Por lo tanto definimos la longitud de arco de u como el límite, si es que existe, de la sucesión S N cuando N + m. Corno se supone que las derivadas z', y' y 2' son continuas en [a, b ] , podemos concluir que, de hecho, el límite existe y está dado por

(La teoría de la integración relaciona la int,egral con las sumas mediante la fórmula

donde t o , . . . , 1 ~ es una partición de [a, b ] , 1: E [t , , t,+l] es arbitrario y f es una función continua. Es posible que aquí haya puntos distintos t:, t:" y t:** de modo que habrá que ampliar ligeramente esta fórmula.)


La imagen de una trayectoria de clase C’ no necesariamente es ‘(muy suave”; en efecto, puede tener dobleces puntiagudos o cambios bruscos de dirección. Por ejemplo, l a cicloide del ejemplo 3 anterior (ver además la figura 3.1.5) tiene picos en los puntos donde a(t) toca el eje x (esto es, donde t = 2 m , n = O , f l , . . .). Otro ejemplo es el hipocicloide de cuatro picos, u: [O, 2x1 -+ R2, t H (cos3t,sen3t), que tiene picos en cuatro puntos (figura 3.2.3). Sin embargo, en esos puntos, u’(t) = O , la recta tangente no está bien definida y la rapidez del punto u@) es cero. Es evidente que la dirección de a(t) puede cambiar de manera abrupta en puntos cercanos al reposo.

Figura 3.2.3 La imagen de la trayectoria suave a(¿) = (cos3 t , sen3 t ) , una hipocicloide, no “se ve suave”.

Si tenemos una trayectoria u(t) = ( c ( t ) , y@), z ( t ) ) en R3, es costumbre deno- tarla por s ( t ) = a(t), de modo que ,

~ ’ ( t ) = - = ”i + ”j + “ k . ds dx dy dz d t d t d t d t

Así,

En esta notación se puede escribir la longitud de arco de u como


de modo que

l ( 0 ) = S,” s’(t) d t = s(h) - s ( u ) = s (h )

EJEMPLO 4 U n a partícula se mueve a lo largo de una hipocicloide de acuerdo a las ccrraciones

2: = c0s3t, y = sen3 t , U 5 t 5 h.

¿Cuáles son la velocidad y rapidez de la partícula?

SOLUCIÓN El vector velocidad de la partícula es

- - -i + -j = “ ( 3 sen tcos2 t ) i + (3 cost sen2 t ) j ds dx dy dt dt d l

-

y su rapidez es

La definicibrl de la longitud de arco puede ext,enderse hasta incluir trayectorias que no sean de clase C’ pero que se formen al pegar un número finito de trayectorias C1. Una trayectoria u: [u , b] ”+ R3, 1 H ( ~ ( t ) , y@), ~ ( 2 ) ) se llama trayectoria de clase C1 a trozos si existe una partición de [u , h]

tal que la función u restringida a cada intervalo [ti , &+I] , O 5 i 5 N - 1, sea continuamente diferenciahle. Esto significa que la derivada existe y es continua en [ti , t i+ l ] ; las derivadas en los extremos de cada intervalo se calculan usando limites desde dentro del intervalo (esto es, límites de un lado, como en la pág. 117). En el caso de que una trayectoria sea C1 a trozos, definimos la longitud de arco de la trayectoria como la suma de las longitudes de arco de las trayectorias C1 que la forman. Esto es, si la par t ic ih


satisface las condiciones dadas anteriormente. definimos

N - 1

longitud de arco de = (longitud de arco de u de 1 , a t , + l )

t = O

EJEMPLO 5 Hallar la longitud de arco de la trayectoria u: [-1, 11 + R3, t H (111, It - $ll0>.

SOLUCIÓN (7 no es de clase C1 pues r 1 : t H ltl no es diferenciable en O , ni tampoco uz: t H /t - $ 1

vemos que cada u; c

es diferenciable en i. Sin embargo, si tomamos la partición

- l = t o < O = t l < ~ = t z < 1 = t 3 ,

:S continuamente diferenciable en cada uno de los intervalos [-1, O], [O, $1 y [$ , 11 y por lo tanto u es continuamente diferenciable en cada intervalo. Así, u es C1 a trozos. (Ver la figura 3.2.4.)

En [-1, O] tenemos ~ ( t ) = - t , y(t) = -t+,, 1 ~ ( t ) = O y I(ds/dtll = A; de aquí, la longitud de arco de c entre -1 y O es S_", a d t = 4. De manera análoga, en [O, f ] , z ( t ) = t , y ( t ) = -t + $, z ( t ) = O y, de nuevo, (lds/dtJI = a, de modo que la longitud de arco de u entre O y $ es ffi. Finalmente, en [$, 11, tenemos ~ ( t ) = t , y(t) = t - 3, z ( t ) = O y la longitud de arco de (7 entre y 1 es Así, la longitud de arco total de u es 2&. A

V

Figura 3.2.4 Un caso particular de una trayectoria C1 a trozos: u(t) It(i + It - $-b, - 1 _ < t _ < 1 .


EJERCICIOS

1. Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo particular* (a) La trayectoria del ejercicio 2(a), sección 3.1, [O , 11 kb,l La trayectoria del ejercicio 2(b), sección 3.1, [O, 11 (c) s ( t ) = t i + t(sen t ) j + t (cost)k, [O, T]

(d) s ( t ) = 2ti + tj + t’k, [O, 21 (e) La trayectoria del ejercicio 3(b), sección 3.1, [O, 11 ( f ) La trayectoria del ejercicio 3(c), sección 3.1, [-1,1]

La trayectoria del ejercicio 3(d), sección 3.1, [ t o , t l ]

2. La función de longitud de arco s ( t ) para una trayectoria dada u( t ) , definida por s ( t ) = S,“ /lu’(r)l/ dr, represent,a la distancia que una partícula viajando por la trayectoria u habrá recorrido en el tiempo t si comienza en el tiempo a; esto es, da la longitud de u entre a ( a ) y ~ ( t ) . Hallar las funciones de longitud de arco para las curvas a(t) = (cosh t , senh t , t ) y p( t ) = (cos 1, sent , t ) , con a = O.

3. Sea Q la trayectoria u(t) = ( Z , t2, log t ) , definida para t > O. Hallar la longitud de arco de u entre los puntos ( 2 , 1 , O ) y (4,4, log 2) .

T(rl Sea u la trayectoria u(t) = ( t , tsen t , t cos t ) . Hallar la longitud de arco de u entre ( O , o , 0) Y (.,O, -.l.

5. Sea c ( t ) una trayectoria dada, a 5 t 5 b. Sea S = ( ~ ( t ) una nueva variable, donde (Y

es una función dada estrictamente creciente, de clase G’, definida en [a , b]. Para cada S

en [(Y(.), cu(b)] existe un t , único, con a( t ) = s. Definir la función d: [CY(.), ( ~ ( b ) ] ”-f R3 mediante d(s ) = c ( t ) .

(a) Hacer ver que las curvas imágenes de c y d son la misma. (b) Mostrar que c y d tienen la misma longitud de arco. (c) Sea S = ( ~ ( t ) = sat IIc’(r)II dr. Definir d como se hizo antes, mediante d(s) =

c ( t ) . Mostrar que 11 $di.)// = 1.

Se dice que la trayectoria S I”+ d(s ) es una reparametrización de c .

En los ejercicios del 6 al I1 se presenta parte de l a geometría diferencial clásica de las curvas.

Sea u: [a, b] - R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (existen derivadas de todos los órdenes). Suponer que a’(t) # O para cualquier t . El vector u ’ ( t ) / ~ \ u ’ ( t ) ~ ~ = T(1) es tangente a u en u( t ) y, como IIT(t)/l = 1, T se llama tangente unitaria a u.

(a) Mostrar que T’(t) T(t) = O. (IDEA: Diferenciar T(1) T(t) = 1.) (b) Escribir una fórmula en términos de u para T’(t).

*En varios de estos problemas se puede usar la fórmula

de la tabla de integrales que está al final del libro.


7. (a) Se dice que una trayectoria ~ ( s ) está parametrizada por la longitud de arco o, lo que es lo mismo, tiene rapidez unitaria si 1 1 d ( s ) 1 1 = 1. Mostrar que para una trayectoria parametrizada por la longitud de arco en [a, b ] , se tiene I ( Q ) = b - a.

(b) La curvatura en un punto a(.) sobre una trayectoria se define por k = ~ ~ T f ( s ) ~ ~ cuando l a trayectoria está parametrizada por la longitud de arco (ver los ejercicios 6 y 7(a)). Mostrar que k = 110"(s)11.

(c) Si Q está dada en términos de algún otro parámetro t y a'(t) nunca es O , mostrar que IC = Ila'(t) X ~ " ( t ) ~ ~ / ~ ~ a ' ( t ) ~ ~ ~ , usando el ejercicio 5.

(d) Calcular la curvatura de la hélice u(t) = ( l / h ) ( c o s t , s e n t , 1). (Esta Q es simplemente un múltiplo escalar de la hélice circular recta de la figura 3.1.8.)

8. Si Tf(t) # O , se sigue del ejercicio 6 que N( t ) = T f ( t ) / ~ ~ T f ( t ) ~ ~ es normal (;.e., perpendicular) a T(t); N se llama vector normal principal. Un tercer vector unitario que es perpendicular tanto a T como a N se define por B = T x N; B se llama vector binormal. Juntos, T, N y B forman un sistema de la mano derecha de vectores ortogonales entre sí que, se puede pensar, se va moviendo a lo largo de la trayectoria (figura 3.2.5). Mostrar que

(c) dB/dt es un múltiplo escalar de N.

. _ I . . . Y

Figura 3.2.5 Tangente T, normal principal N y binormal B.


9. Si ~ ( s ) está parametrizada por l a longitud de arco, podemos usar el resultado del ejercicio 8(c) para definir una función con valores escalares T, llamada torsión, por medio de

d B d s - = -7-N.

(a) Mostrar que T = [ a ’ ( s ) x ~ ” ( s ) ] U ” ’ ( S ) / ~ ~ U ” ( S ) ~ ~ ~ .

(b) Mostrar que si U está dada en términos de algún otro parámetro t ,

[u’(t) x U”(t)] U”’( t )

Ila’tt) x g”tt)l12 ‘

7-=

Comparar con el ejercicio’i(c). (c) Calcular la torsión de la hélice ~ ( t ) = (l/&)(cos t , sent , t )

*IO. Mostrar que si una trayectoria está en un plano entonces su torsión es cero. Hacerlo demostrando que B es constante y es un vector normal al plano en el cual está U. (Si la torsión no es cero, da una medida de cuánto se tuerce la curva fuera del plano formado por T y N.)

*m (a) Usar los resultados de los ejercicios 8 y 9 para probar las fórmulas de fienet para curvas de rapidez unitaria:

(b) Expresar nuevamente los resultados de la parte (a) como

$ ( f ) = w x (i) para un vector adecuado w.

*12. En relatividad especial, el tiempo propio de una trayectoria U : [a, b] + R4 con u(X) = (.(X), g(X), .(X), t (X)) se define como la cantidad

Jab &(X)]’ + [Y’(X)]’ + [.’(X)]’ - C2[t’(X)]’dX,

donde c es la velocidad de la luz, una constante. En la figura 3.2.6, mostrar que

tiempo propio(AB) +tiempo propio(BC) < tiempo propio(AC)

(Esta desigualdad es un caso especial de lo que se conoce como paradoja de los gemelos.)

3.3 CAMPOS VECTORIALES

C t

21 1

Figura 3.2.6 Desigualdad relativista del triángulo.

3.3 CAMPOS VECTORIALES

En el capítulo 2 introdujimos los campos vectoriales mediante la idea del campo vectorial gradiente. En esta sección estudiaremos algunas propiedades generales de los campos vectoriales, incluyendo su significado geométrico y físico. Es importante lograr una clara comprensión de esto para continuar con las secciones 3.4 y 3.5 y para estudiar el capítulo 8.

DEFINICI~N Un campo vectorial en R" es una función F: A c R" .+ R" que asigna a cada punto x en s u dominio A un vector F(x) .

Podemos ilustrar gráficamente F adhiriendo una flecha a cada punto (figura 3.3.1). De manera análoga, una función f : A c R" -+ R que asigna un número a cada punto se llama campo escalar. Por ejemplo, un campo vectorial F (z , y , z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F l , Fz y F3, de modo que F ( s , y , z ) = ( F ~ ( z , y , z ) , F 2 ( z , y , z ) , F 3 ( z , y 1 z ) ) . Si cadacampo F l , Fz y F3 es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck; esto equivale a decir que la función F es de clase Ck en el sentido expresado en el capítulo 2. Se supone que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.


Y

X

Figura 3.3.1 Un campo vectorial F asigna un vector (flecha) F(x) a cada punto x de su dominio.

Es conveniente trazar la flecha que representa F(x) de modo que comience en x, no en el origen (que es como se acostumbra trazar vectores). Consideramos este vector desplazado con su cola en x como equivalente al vector correspondiente que comienza en O. En el resto del libro nos ocuparemos principalmente de campos vectoriales en R2 y R3, de modo que el término “campo vectorial” significará un campo vectorial en R2 o R3, a menos que se diga lo contrario.

EJEMPLO 1 Imaginemos un fluido moviéndose por una tubería con flujo estacionario. Si en cada punto colocamos la velocidad del fluido en ese punto obtenemos el campo de velocidad V del fluido (ver la figura 3.3.2). Nótese que la longitud de las flechas (la rapidez) y la dirección del flujo pueden cambiar de punto a punto. A

Figura 3.3.2 Campo vectorial que describe la velocidad de flujo en una tubería.

EJEMPLO 2 Considerar una pieza de material que se calienta por un lado y se enfría por otro. La temperatura en cada punto dentro del cuerpo produce un campo escalar T ( z , y, 2 ) . El flujo real de calor se puede marcar mediante un campo de flechas que indiquen la dirección y magnitud del flujo (figura 3.3.3).

3.3 CAMPOS VECTORIALES 21 3

Figura 3.3.3 Campo vectorial que describe la dirección y magnitud del flujo de calor.

Esta energía o campo vectorial de Aujo de calor está dado por J = -kVT, donde k > O es una constante llamada conductividad y V T es el gradiente de la función con valores reales T . Nótese que el calor fluye, como debe ser, de las regiones calientes hacia las frías, pues -VT apunta en la dirección donde T decrece (ver la sección 2.5). A

EJEMPLO 3 La fuerza de atracción de la Tierra sobre una masa m puede describirse mediante un campo vectorial en R3, el campo de fuerza gravitacional. De acuerdo con la ley de Newton, este campo está dado por

mMG r3

F=-- r

t Figura 3.3.4 Campo vectorial F dado por la ley de gravitación de Newton.

21 4 FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES

EJEMPLO 4 El movimiento giratorio (como el movimiento de las partículas en un fonógrafo) se describe por el campo vectorial

V ( z , y ) = -yi + x j .

Ver la figura 3.3.5. A

Figura 3.3.5 Campo vectorial giratorio (las flechas muestran la dirección, no l a magnitud).

EJEMPLO 5 En el plano, R2, la función V definida por

V ( x , y ) = - - - - Y i 4 Y x2 + y2 z2 + y2

3.3 CAMPOS VECTORIALES 215

es un campo vectorial en R2 menos el origen. Éste es el campo de velocidad que aproxima al campo de velocidad del agua en movimiento “circular” tal como ocurre, por ejemplo, cuando se quita el tapón de una tina de agua (figura 3.3.6). A

Figura 3.3.6 Campo vectorial que describe el flujo circular en una tina.

EJEMPLO 6 De acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza que actúa sobre una carga e en r debido a una carga Q en el origen, es

donde V = EQe/r y E es una constante que depende de las unidades usadas. Para &e > O (cargas del mismo signo) la fuerza es repulsiva (figura 3.3.7(a)), y para &e < O (cargas de signo distinto) la fuerza es atractiva (figura 3.3.7(b)). En este ejemplo el potencial V es constante en las superficies de nivel de V, por eso se llaman superficies equipotenciales. Nótese que el campo de fuerza es ortogonal a las superficies equipotenciales (el campo de fuerza es radial y las superficies equipotenciales son esferas concéntricas). Esto concuerda con el resultado general de la sección 2.5. En el caso de gradientes de temperatura, en el que F = -kVT, las superficies donde T es constante se llaman isotermas. A

Hacemos notar que, en general, un campo vectorial no tiene que ser un campo gradiente; esto es, un campo vectorial no tiene que ser el gradiente de una función con valores reales. Esto se aclarará en capítulos posteriores. Sin embargo, el concepto de superficie equipotencial tiene sentido sólo si el campo vectorial resulta un campo gradiente.

Otro concepto importante es el de línea de flujo. Es fácil de visualizar esta idea en el contexto del ejemplo 1. En ese caso, una línea de flujo es simplemente una


(a) (b) Figura 3.3.7 Campos vectoriales asociados con (a) cargas del mismo signo ( Q e > O ) y (b) cargas con signo distinto (Qe < O ) .

trayectoria que sigue una pequeña partícula suspendida en el fluido (figura 3.3.8). También es apropiado llamar a las líneas de flujo líneas de corriente o curvas integrales.

\ línea de flujo

vector velocidad

Figura 3.3.8 El vector velocidad de un fluido es tangente a una línea de flujo.

DEFINICI~N Si F es un campo vectorial, una línea de A j o para F es una trayectoria a ( t ) tal que

~ ' ( t ) = F(a(t)) . (1)

Esta es, F produce el campo de velocidad de la trayectoria a(t).

Geométricamente, el problema de hallar una línea de flujo que pase por u11 punto dado xO para u n campo vectorial dado F , es el de ensartar una curva por el campo vect,orial dc manera que cl vector tarlgent,e a la curva coincida con el campo vectorial, como en l a figura 3.3.9.

Analít,icamente, el problema (le hallar una línea de flujo que pase por x0 en el tiempo t = O implica resolver la ecuación diferencial (fórmula ( l) , anterior) con condicicin inicial XO; est80 ?S,

~ ' ( t ) = F ( a ( t ) ) ; a(O) xo


Figura 3.3.9 Línea de flujo que se va ensartando por u n campo vectorial en el plano

con condiciones iniciales

donde F = ( F 1 , F z , F3). En cursos de ecuaciones diferenciales se prueba que si F es de clase C1, entonces existe solución única para cada x0 (pero la solución no necesariamente está definida para todo t ) .

Nótese que campos vectoriales diferentes pueden tener líneas de flujo que sean la misma curva geométrica. Por ejemplo, en los ejemplos 4 y 5 las líneas de flujo son círculos.

Existen varios programas de computadora que permiten hallar numéricamente las curvas solución de campos vectoriales; hay además muchas técnicas analíticas, que se estudian en cursos de ecuaciones diferenciales. La figura 3.3.10 muestra algunas curvas integrales del campo vectorial en el plano dado por F(z ,y ) = (sen y, x’ - y) , realizadas en una Macintosh usando el programa “Macmath” (por Hubbard y West de Cornel1 University).


Figura 3.3.10 Curvas integrales trazadas por computadora, de F(z,y) = (seny)i + (x' - Y1.i.

Suplemento de la sección 3.3 Flujos de campos vectoriales

Es conveniente tener una notación especial para la solución única que pasa por un punto dado en el tiempo O , la cual se usará en el suplemento a la sección 3.4. Sea

4 ( X > t ) = posición del punto en la línea de flujo que pasa por x después de transcurrido un tiempo t .

Con x como la condición inicial, seguir a lo largo de la línea de flujo durante un periodo de tiempo t hasta alcanzar la nueva posición d(x, t ) (ver la figura 3.3 .11) . Analíticamente, 4(x, 1) está definida por:

La función 4, que se considera como función de las variables x y t , se llama flujo de F. Denotamos por DX la diferenciación respecto a x, manteniendo t fija. En cursos

de ecuaciones diferenciales se prueba que 4 es una función diferenciable de x. Así, diferenciando la ecuación (2) respecto a x,


F

Figura 3.3.11 Definición del flujo $(x, t ) de F

En el lado izquierdo de esta ecuación se puede usar la igualdad de las derivadas parciales mixtas, y en el lado derecho se puede aplicar la regla de la cadena, obteniéndose

donde DF(d(x,t)) denota la derivada de F evaluada en $(x,t) . Esta ecuación diferencial lineal para Dx$(x, t ) , se llama ecuación de primera variación. Será de utilidad para el estudio de la divergencia y rotacional de la siguiente sección. Nótese que en el espacio tanto D,F($) como DX$ son matrices de 3 X 3 pues F y 4 toman valores en R3 y son diferenciadas respecto a x E R3. De manera análoga, para campos vectoriales en el plano, serían matrices de 2 x 2.

EJERCICIOS

1. Sea una partícula de masa m que se mueve sobre una trayectoria r(t) de acuerdo a la ley de Newton, en un campo de fuerza F = -VV en R3, donde V es una función dada de energía potencial.

(a) Probar que la energía E = irnllr‘(t)l12 + V(r(t)) es constante en el tiempo. (IDEA: Realizar la diferenciación U / & . )

(b) Si la partícula se mueve sobre una superficie equipotencial, mostrar que su rapidez es constante.

3. Sea ~ ( t ) una línea de flujo de un campo gradiente F = -VV. Probar que V ( C ( ¿ ) ) es una función decreciente de t . Explicar.


Esbozar el campo gradiente - V V para V ( z , y ) = (z + y)/(.’ + y2) . Esbozar la superficie equipotencial V = 1.

5. Suponer que las isotermas en una región son esferas concéntricas con centro en el origen. Probar que el campo vectorial de flujo de energía apunta hacia el origen o hacia afuera.

Mostrar que a(t) = (e2 ’ , In Itl, l / t ) para t # O es una línea de flujo del campo vectorial de velocidad F(z ,y , z) = ( a x , t , -2’)).

7. Mostrar que ~ ( t ) = ( t 2 , 2 t - 1,&) para t > O es una línea de flujo del campo vectorial de velocidad F(z, y, t ) = (y + 1 , 2 , 1 / 2 ~ ) .

(a) Suponiendo que existe unicidad en las líneas de flujo que pasan por un punto dado en un tiempo dado, probar la siguiente propiedad del flujo d(x, t ) de un campo vectorial F:

d ( X > t + S) = cb(d(x, S), t ) .

(b) ¿Cuál es la propiedad correspondiente para D,d?

*9. Si f (x, t ) es una función con valores reales de x y t , definamos la derivada material de f respecto a un campo vectorial F como

“ Df 8f Dt at - - + V f ( z ) . F .

Mostrar que Df /Dt es la t derivada de f($(x, t ) , t ) (i.e., la t derivada de f transportada por el flujo de F).

3.4 DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C1 F en R3 el campo vectorial rot F definido como sigue: Sea

F = Fli + Fzj $- F3k = (FI, F2, F3),

y hagamos

Esta fórmula es más fácil de recordar si la reescribimos usando la notación de “operador”. Introduzcamos formalmente el símbolo “del” (o ‘habla”):

a a a a x ay at V = i - + j - + k - .

3.4 DIVERGENCIA Y ROTAClONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 221

V es un operador; esto es, actúa u opera sobre funciones con valores reales. Específicamente, V j, V operando sobre f, está dado por

Vf = i- +j- + k--, af af af ax a y a2

es el gradiente de f . Esta notación formal es bastante útil; si vemm V como vector con componentes a/&, d/dy, d / d r , entonces podemos tomar también el producto cruz

= rot F.

Así, rotF = V X F,

y con frecuencia usaremos esta última expresión. (Nótese que rot F es de clase Ck” si F es de clase C h . )

EJEMPLO 1 Sea F(z, y , 2) = zi + zyj + k. Hallar V X F

SOLUCIÓN Tenemos

V X F = - - - =(O - 0 ) i - ( O - O ) j + ( y -0)k. I :x aaY aaz I Así, V X F = yk. A

El teorema siguiente enuncia una relación básica entre el gradiente y el rotacional. Deberá compararse con el hecho de que para cualquier vector v, tenemos v x v = o .

TEOREMA 1 Para cualquier función f de clase c2, tenemos

v x (Vf) = o ;

esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero.


DEMOST~CIÓN Escribamos las componentes del campo vectorial V x (vf). Como vf = ( a f / a ~ , a f / a y , a f / a z ) tenemos, por definición,

i j k

V x V f =

=(S-- " f ) i + ( a2f 2q j+(" - ) a2f a2f k, azay azaz a z a z azay ayaz

Cada componente es cero debido a la propiedad simétrica de las derivadas parciales mixtas; por lo tanto se sigue el resultado deseado.

El significado físico total del rotacional se verá con detalle en los ejercicios 12 y 13, también en el capítulo 8, donde se estudia el teorema de Stokes. Sin embargo, podemos ahora considerar una situación sencilla para mostrar por qué el rotacional está asociado con rotaciones.

EJEMPLO 2 Considerar un cuerpo rígido B que gira alrededor de un eje L . El movimiento rotacional del cuerpo se puede describir mediante un vector w a lo largo del eje de rotación, la dirección se escoge de manera que el cuerpo gire alrededor de w como en la figura 3.4.1, con la longitud w = llwll tomada como la rapidez angular del cuerpo B , esto es, la rapidez tangencia1 de cualquier punto

Figura 3.4.1 La velocidad v y la velocidad angular w de un cuerpo en rotación están relacionadas por v = w x r.

3.4 DIVERQENUA Y ROTAUONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 223

en B dividida entre su distancia al eje L de rotación. Seleccionar un sistema coordenado de modo que L sea el eje z. Sea Q cualquier punto en B y sea (Y la distancia de Q a L. Claramente,

donde r es el vector cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto terminal es Q. La velocidad tangencia1 v de Q se dirige en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, a lo largo de la tangente a un círculo paralelo al plano zy con radio a, con magnitud

Hemos.visto (pág. 36) que la dirección y magnitud de v implican que

v = w x r .

Debido a la selección de ejes, podemos escribir w = wk, r = zi -I- !i i- zk, de modo que

v = w x r = - w y i + w z j

y más aún

rotv = I - a - a 2 I =2wk=2w. as a y a 2

I -wy wz o I Por lo tanto, para la rotación de un cuerpo rígido, el rotacional del campo vectorial de velocidad es un campo vectorial dirigido paralelo al eje de rotación con magnitud igual al doble de la rapidez angular. A

Si un campo vectorial F representa el flujo de un fluido (ver el ejemplo 1, sección 3.3), entonces rot F = O en P significa físicamente que el fluido no tiene rotaciones o es irrotacional en P; esto es, no tiene remolinos. La justificación de esta idea y, por lo tanto, del uso de la palabra “irrotacional” depende del teorema de Stokes (o del ejercicio 13). Sin embargo, podemos decir informalmente que rot F = O significa que si colocamos en el fluido una pequeña rueda con aspas se moverá con el fluido, pero no girará alrededor de su eje. Por ejemplo, se ha determinado por medio de experimentos que el fluido drenado de una tina es, generalmente, irrotacional excepto justo en el centro, aunque el fluido “rote” alrededor del hoyo en la tina (ver la figura 3.4.2). Así, el lector deberá tener cuidado con la confusión que pueda generar la palabra “irrotacional” . Consideremos algunos ejemplos de campos rotacionales e irrotacionales.

224 FUNCIONES CON VALDRES VECTORIALES

Figura3.4.2 El campo de velocidad V(x, y, z ) = (yi - x j ) / (xz +y2) es irrotacional; una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido no girará alrededor de su eje w.

EJEMPLO 3 Verificar que el campo vectorial del ejemplo 5, sección 3.3, es irrotacional en cada punto (x, y) # (0,O).

SOLUCIÓN El rotacional es

i j k d a a

v x v = ax a y az - - -

Y -X

O I

= O . A

EJEMPLO 4 Sea V(z, y, 2) = yi - xj . Mostrar que V no es un campo gradiente.

SOLUCI~N Si V fuera un campo gradiente, entonces por el teorema 1 tendría- mos la ecuación rot V = O . Pero

I i j k l

r o t V = - - :Y $1=--2k+O. A

3.4 DlVEROENCiA Y ROTAUONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 225

Las líneas de flujo para el campo vectorial en el ejemplo 4 , así como para el del ejemplo 3, son círculos alrededor del origen en el plano xy, pero este campo de velocidad tiene rotación. En dicho flujo, una pequeña rueda con aspas gira una vez, conforme circula alrededor del origen (figura 3.4.3).

Figura 3.4.3 El campo de velocidad V(z, y, z) = yi - zj es rotacional; una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido girará alrededor de su eje w (ver la figura 3.4.2).

Otra operación básica es la divergencia, definida como sigue:

En notación de operador, div F es el producto punto de V y F . Nótese que V X F es un campo vectorial, mientras que V F: R3 -+ R, de modo que V F es un campo escalar. Leemos V F como “divergencia de F”.

El significado completo de la divergencia se da en el suplemento a esta sección y también se presenta en conexión con el teorema de Gauss en el capítulo 8, pero podemos ver aquí parte de su significado físico. Si imaginamos F como el campo de velocidad de un gas (o fluido), entonces divF representa la tasa de expansión por unidad de volumen del gas (o fluido). Por ejemplo, si F (x , y , z ) = xi+ y j + zk, entonces div F = 3; esto significa que el gas se está expandiendo a la tasa de 3 unidades cúbicas por unidad de volumen por unidad de tiempo. Esto es razonable, pues en este caso F es un vector radial hacia afuera, y conforme el gas se mueve hacia afuera a lo largo de las líneas de flujo, se expande. (Ver la sección 3.3 para un estudio de las líneas de flujo.) Si d ivF < O significa que el gas se comprime.

A continuación se presenta una relación básica entre las operaciones de divergencia y rotacional.

TEOREMA 2 Para cualquier campo vectorial F de clase C2,

div rot F = V - (V x F) = O ;

esto es, l a divergencia de cualquier rotacional es cero.


Como con el teorema 1, la demostración se basa en la igualdad de las derivadas parciales mixtas. El estudiante deberá escribir los detalles.

Hemos visto que V x F está relacionado con las rotaciones y V - F está relacionado con compresiones y expansiones. Esto conduce a la siguiente terminología. Si V F = O , decimos que F es incompresible, y decimos que F es irrotacional si VxF=O.

EJEMPLO 5 Calcular la divergencia de

F = x2yi + zj + zyzk.

SOLUCIÓN

+ -(zyz) = 2xy + O + xy = 3zy. A a a 2

EJEMPLO 6 Del teorema 2 concluimos que F en el ejemplo 5 no puede ser el rotacional de otro campo vectorial, pues tendría divergencia cero. A

El operador de Laplace V2 , que opera sobre funciones f , está definido como sigue:

Si F = Fli + F2j + F3k es un campo vectorial C2, también podemos definir V2F en términos de componentes:

V2F = V2Fli + V2F2j + V2F3k.

Como se señaló en la sección 2.6, este operador juega un papel importante en muchas leyes físicas. Continuaremos este estudio en el capítulo 8.

Suplemento de la sección 3.4 Geometría de la divergencia

Estudiaremos ahora con más detalle el significado de la divergencia. Este análisis depende del concepto de flujo d(x, 1) de un campo vectorial F dado al final de la sección 3.3. Ver los ejercicios del 11 al 13 para el correspondiente estudio de rotacional.

Fijar un punto x y considerar los tres vectores de la base usual i , j y k saliendo de x. Sea E > O un número pequeño y considerar los vectores de la base V I = E i ,

v2 = Ej y v3 = Ek, que salen también de x. Estos vectores generan un paralelepípedo P(0) . Conforme el tiempo crece o decrece, el flujo #(x,t) transforma P(0) en algún objeto. Para un tiempo fijo, 4 es una función diferenciable de x (esto es, # es una función diferenciable de R3 a R3). Cuando E es pequeño, la imagen de P(0) bajo # se puede aproximar por medio de su imagen bajo la derivada de # con respecto a X.

3.4 DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 227

(Ver el análisis de la aproximación lineal a una función en la sección 2 . 3 . En particular, recordar que si v es un vector corto anclado en un punto P I , con extremo en P2, de modo que v = P2 - PI , entonces d(P2, t ) - PI, t ) X Dxd(x, t ) -v ; ver el ejercicio 15.) Así, para un tiempo fijo y e pequeño y positivo, P(0) se transforma aproximadamente en un paralelepípedo generado por los vectores vl(t), v2(t) y vg(t) dados por

Como $(x,O) = x para todo x, se sigue que V I ( O ) = VI, v2(0) = v2 y V 3 ( 0 ) = v3. (Esta fórmula para vectores transformados se estudió en la pág. 138.) Los vectores V I @ ) , v2(t) y v3(t) generan un paralelepípedo P ( t ) que se mueve en el tiempo (ver la figura 3.4.4).

Figura3.4.4 La base en movimiento vl(t), vz(t) y v3(t) y el paralelepípedo asociado.

Denotemos por V(t) el volumen de P( t ) . El principal significado geométrico de la divergencia está dado por el teorema siguiente.

TEOREMA 3 div F(x) = -- 1 d U ( 0 ) d t t = o

DEMOSTRACIóN Por la ecuación (3) de la sección anterior,

d -v,(t) = DXF(d(x, 1)) * D = ~ ( x , t ) - vt d t

para i = 1, 2, 3


Como 4(x, O ) = X , D,d(x, O ) es la matriz identidad, l a evaluación en t = O da

El volumen V ( t ) está dado por el t>riple producto (ver pág. 39):

Usando 10s ejercicios 12 y 13 de la sección 3.1, y las identidades v1 [v2 x v3] = vz - [v3 X V I ] = v3 [VI X VZ], obt,enemos

Pero V ( 0 ) = E ~ , F = F1i + Fzj + Fak, [D,F(x)i] - i = d F I / d x y, análogamente, el segundo y tercer términos de la ecuación (5) son ~ ' (dF2/dy) y ~ ~ ( d F 3 / d z ) . AI sustituir esto en l a ecuación (6) y dividir entre E~ se prueba el teorema.

El lector más familiarizado con Algebra lineal puede probar esta generalización del teorema 3:* Sean VI, v2 y v3 cualesquiera tres vectores no coplanares que salgan de x y que fluyan de acuerdo COR l a fórmula

v,(t) = D X d ( x , t ) - v,, i = 1 , 2 , 3 .

Los vectores vl( t ) , vz(t) y v3(t) generan un paralelepípedo P ( t ) con volumen V ( t ) . Entonces

12 = div F(x) V ( 0 ) d t

En otras palabras, la divergencia de F en x es la tasa a la cual cambia el volumen, por unidad de volumen. ''Tasa'' se refiere a l a tasa de cambio respecto al tiempo conforme los volúmenes son transportados por el flujo.

*El lector necesitará saber cómo escribir la matriz de una transformación lineal respecto a una base dada y conocer el hecho de que la traza de una matriz es independiente de la base.

3.4 DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL 229

EJERCICIOS

1. Calcular el rotacional, V x F, de cada uno de los siguientes campos vectoriales: (a) F(z, y, z) = zi + y j + zk kb,l F(z, y, z) = yzi + zzj + zyk (c) F(z,y, z) = (x2 + y 2 + z2)(3i + 4i + 5k)

yzi - z z j + zyk ( 4 F(z ,y , 2) =

22 + y2 + 22 O 2 Calcular la divergencia V.F de cada uno de los campos vectoriales en el ejercicio 1. (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)

3. Verificar que V x (Of) = O para cada una de las funciones siguientes. (a) f (z , y, z ) = &“G (c) f(2, Y7 2) = 1/(z2 + Y2 + 2’)

f ( z , Y , Z ) = z Y + y z + z Z

4. Verificar que el campo vectorial en el ejemplo 5, sección 3.3, es incompresible. ¿Pueden interpretar físicamente este resultado?

5. Verificar que F = y i + zj es incompresible.

6. Sea F(z, y, z) = 3z2yi + (x3 + y3)j. Verificar que rot F = O .

kb,l Hallar una función f tal que F = Of. (En el capítulo 8 se dan técnicas

(c) ¿Es cierto que para un campo vectorial F puede existir dicha función f sólo específicas para construir f en general. La de este problema deberá ser directa.)

si rot F = O?

7. Sea f(z, y, z ) = z2y2 + y2z2. Verificar directamente que V x V f = O .

*8. Mostrar que las partes real e imaginaria de cada una de las siguientes funciones complejas forman las componentes de un campo vectorial en el plano, irrotacional e incompresible; aquí i = G.

(a) (z - iy)’ (b) (z - = e5(cos y - i sen y)

9. Mostrar que F = y(cos z)i + z(sen y)j no es un campo vectorial gradiente.

10. Sea r(z, yi z) = zi + y j + zk. Del ejercicio l(a), sabemos que V X r = O . ¿Pueden comprender el significado físico, visualizando r como el campo de velocidad de un fluido?

*m Sean v y w dos vectores que salen del origen y son movidos por la derivada del flujo, como sucede en el suplemento a la sección 3.4:

v(t) = Dx4(07 t)v7 w(t) = Dx+(O, t)W,

de modo que en el tiempo t = O y en el origen O en R3

= D,F(O).v y = D,F(O) - w . dt t=o


Mostrar que

d -v w / = [D,F(O) v] w + v [D,F(O) w] d t

t=o

= {(DxF(0) + [DXF(O)IT)v} - W

En particular, para A = D,F(O), I

S = ${D,F(O) + [DXF(O)IT}

Y W = ;{D,F(O) - [D,F(0)IT].

Llamamos a S matriz de deformación y a W matriz de rotación. Mostrar que los registros de W están determinados por

*13. Sea w = +(O X F)(O). Suponer que se escogen los ejes de modo que w sea paralelo al eje z y apunte en la dirección de k. Sea v = w x r, donde r = zi + y j + zk, de modo que v es el campo de velocidad de una rotación alrededor del eje w con velocidad angular w = llwll y con r o t v = 2w. Como r es una función de (z,y,z), v también es una función de (z, y, z). Mostrar que la derivada de v en el origen está dada por

"w

Dv(O)=W= [ I i] Interpretar el resultado como se hizo en el suplemento a la sección 3.4.

(a) Calcular la divergencia y el rotacional de V, W y Y. (b) Hallar las líneas de flujo de V, W y Y . (c) ¿Cómo se comportará una pequeña rueda con aspas en el flujo de V, W y Y ?

3.5 CÁLCULO DIFERENCIALVECTORIAL 231

*15. Sea 4(x, t ) el flujo de un campo vectorial F. Sean x y t fijos. Para pequeños vectores v1 = c i , v2 = r j y vg = rk que salen de x, sea P ( 0 ) el paralelepípedo generado por VI, v2 y v g . Demostrar que para t pequeño, positivo, P(0) se transforma mediante el flujo. en aproximadamente un paralelepípedo generado por vl(t) , v ~ ( t ) y v ~ ( t ) , dado por la fórmula (4) .

3.5 CALCULO DIFERENCIAL VECTORIAL

Ahora tenemos a mano estas operaciones básicas: gradien’te, divergencia, rotacional y operador de Laplace. En esta sección se desarrollan un poco más sus propiedades y las relaciones entre ellas.

En la tabla 3.1 se resumen algunas fórmulas generales básicas, útiles cuando se trabaja con campos vectoriales en R3. Algunas, como las identidades 10 y 14, se estudiaron en la sección 3.4. Otras se prueban en los ejemplos y ejercicios.

Algunas expresiones en la tabla requieren explicación. Primero, en la identidad 7,

V = ( F * V ) G

Tabla 3.1 Algunas identidades comunes en el análisis vectorial

1 . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

V ( f + g ) = V f + V g

V(fS) = f o g + SVf V(cf ) = cVf, para c constante

V(f /g) = (gVf - fVg) /g2 , en los puntos donde g(x) # O div(F + G ) = div F + div G rot(F + G) = rot F + rot G V(F.G) = (F.V)G + (G.V)F + F x rot G + G X rot F d iv( fF) = f div F + F-Vf div(F x G) = G. rot F - F - r o t G div rot F = O ro t ( fF) = f r o t F + V f x F r o t ( F x G ) = F d i v G - G d i v F + ( G . V ) F - ( F . V ) G rot rot F = grad div F - V’F rot O f = O V(F F) = 2(F V)F + 2F x (rot F)

div(Vf x Vg) = O V2(fg) = f V 2 g + gV2f + 2(Vf.Vg)

v * ( f o g - gVf) = f V 2 g - gV2 f H ( F X G) = G - (H X F) = F*(G X H) H . ( ( F x V ) x G ) = ( ( H . V ) G ) * F - ( H * F ) ( V * G ) F x ( G x H ) = ( F . H ) G - H ( F - G )

NOTA: f y g denotan campos escalares; F, G y H denotan campos vectoriales.


tiene, por definición, componentes V, = F - (VGi) , para i = 1, 2, 3, donde G = (GI , G2, G3). Segundo, en la identidad 13, V2F tiene componentes V 2 F i , donde F = (Fll F2, F3). En la identidad 20, la expresión (F x 0) x G significa que V va a operar sólo sobre G como sigue: para calcular (F x V) X G , definimos formalmente U = F x V por:

i j k F I F2 F3

U = F x V = a a a ax a y a z ”-

y así,

Por ejemplo, la primera componente de (F X V) x G es

EJEMPLO 1 Probar la identidad 8 de la tabla 3.1

SOLUCIÓN f F tiene componentes f F i , para i = 1, 2, 3, y entonces

Sin embargo, ( a / a z ) ( f F I ) = f d F l / a z + F 1 d f / d z , con expresiones similares para los otros términos. Por lo tanto

3.5 CALCULO DIFERENCIAL VECTORIAL 233

EJEMPLO 2 Sea r el c a r ~ ~ p o vectorial r ( x > y, 2 ) = (x) y , z ) (el vector de posición), y sea T = Ilril. Calcular V T y V (rr) .

SOLUCIÓN Tenemos

Ahora T ( Z ) y , 2 ) = d m - , y así, para T # O obtenemos

Así,

Para la segunda parte, usar la. identidad 8 para escribir

EJEMPLO 3 Mostrar que V f x V g siempre es incompresible. De hecho, deducir la identidad 17 de la tabla 3.1, a partir de la identidad 9.

SOLUCIÓN Por laZentidad 9,

lo cual es cero, pues V X V f = O y v X vg = O . A

En los ejercicios 2 al 6 al final de esta sección, el lector practicará con este tipo de manipulaciones. Más adelante en el libro usaremos las identidades del ejercicio 8.

Ahora estudiaremos las expresiones para el gradiente, divergencia y rotacional en coordenadas cilíndricas y esféricas, primero enunciando los resultados y después verificando algunos de éstos en los ejemplos; el resto se dejará como ejercicios y para un estudio posterior en el libro (ver el suplemento a la sección 8.4).


TEOREMA 4 Las siguientes fórmulas se cumplen en coordenadas cilindricas:

8.f 1a.f 8.f dr r dB d z

(i) Of= “e,. + --es + “e,

dF0 d dB d r

+ - + - ( r F 2 )

donde e,, es y e , , son los vectores ortonormales unitarios mostrados en la fi- g u r a 3 . 5 . 1 y F = F , e , + E g e s + F 2 e , c o n F , = F . e , , F s = F . e g y F , = F . e ;

Figura 3.5.1 Vectores ortonormales e,., eo y e, asociados con las coordenadas cilíndricas.

TEOREMA 5 En coordenadas esféricas (ver la sección 1.41,

l a l a 1 dF0 (ii) V F = --(p2Ff) + -- P2 d P

( s e n 4 F+) + - ~

p s e n 4 84 p s e n 4 dB

3.5 CÁLCULO DIFERENCIALVECTORIAL 235

donde ep , e4 y eg son como se muestra en la figura 3.5.23. F = Fpe,,+F+e++Fgee.

X

Figura 3.5.2 Vectores ortonormales e+,, e+ y eo asociados con las coordenadas esféricas.

EJEMPLO 4 Probar la fórmula (i) del teorema 4.

SOLUCIÓN Tenemos

o f = - i + - j + - k . af af af a x a y a2

De l a figura 3.5.1, tenemos

x i + y j e, = ~~ = cos Bi + sen B j + Y2 eo = -yi + x j = - senBi + cosBj (eo y e,. son ortogonales en el plano)

Y

e, = k.


(Notar las diferencias entre lo anterior y el ejercicio 6, sección 1.4.) Resolviendo para i, j y k, obtenemos

i = e , cos O - eo sen O

j = e, sen0 +eo cos0 (2)

k = e, .

Por la regla de la cadena, y recordando que c = T cos 8, y = r sen B y z = z, obtenemos

~""$"+"' df df ax df a y d f a z ar ay d z a r '

-

esto es,

af = coso- +seno-. a f a f a r ax ay

De manera análoga,

af - -rsen8- + r c o s ~ - y - - - -- af d f af af a0 ax 331

- d z a2

Resolviendo, obtenemos

Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) y simplificando se obtiene el resultado deseado. A

Este método de cambio de variables también se puede usar para la divergencia y el rotacional, aunque es más tedioso para éstos que para el gradiente.

Las demostraciones de las fórmulas en el teorema 5 son más largas si se les ataca directamente con el argumento del cambio de variable y la regla de la cadena usado en el ejemplo 4. Un procedimiento más eficiente para la fórmula (i) es el siguiente método informal. Para justificar

V f = -e ,+ - - e + + - " e o , a f 1 a f 1 a f a p p dd psend d o

notamos que si p , 4 , 0 cambian de manera infinitesimal, los correspondientes cambios de longitud en las direcciones ep, e4 y eo de sus ejes coordenados son

dp, P d 4 Y Psenddo

3.5 C Á L C U ~ DIFERENCIAL VECTORIAL 237

X

Figura 3.5.3 Cambios infinitesimales de longitud producidos por d p , dB y d4.

(figura 3.5.3). Así, I& componentes del gradiente de f (las tasas de cambio de f por unidad de distancia) están dadas por V f e,, = d f / a p , V f e4 = a f / ( p a + ) y Vf es = d f /(psen (b d e ) , lo cual da la fórmula (i).

La mejor demostración formal de las fórmulas (ii) y (iii) hace uso de los teoremas de Stokes y de Gauss, los cuales se tratan en el capítulo 8. El lector que intente el argumento directo de la regla de la cadena apreciará la espera y probablemente estará de acuerdo en que ese argumento (en el suplemento de la sección 8.4) ;es más explícito y ciertamente más fácil!

EJERCICIOS

l . Suponer que V F = O y que V * G = O . ¿Cuáles de las siguientes tienen necesariamente divergencia cero?

(a) F + G (b) F x G (c) ( F . G ) F

2. Probar las identidades 1 a 6 de la tabla 3.1.

Probar las identidaddes 7, 9 y 11 de la tabla 3.1. (La demostración sÓ10 de la identidad 9 está en la Guía de estudio de este libro.)

4. Probar las identidades 12, 13, 15 y 16 de la tabla 3.1.


5. Sea F = 2xz’i + j + y3zzk, G = z2 i + y’j + z’k y f = z’y. Calcular las siguientes cantidades:

( 4 Vf (b) V x F

(e) F x Of ( F . V ) G ( 4 F . ( V f )

6. Probar las identidades 18 a la 21 de la tabla 3.1.

7. Sea F un campo vectorial general. ¿Tiene V x F que ser perpendicular a F?

Sea r(z, y, z) = (2, y, z) y T = d w = Ilrll. Probar las identidades siguientes.

(a ) V(1/ r ) = - r / ~ ~ , T # O; y, en general, v ( T ~ ) = nrn-’r y V(1og r ) = r/T’.

(b) V2(1/ r ) = O , T # O; y, en general, V 2 r n = n(n + I )rn- ’ . (c) V (r/r3) = O; y, en general, V - ( P r ) = ( n + 3 ) ~ ” . (d) V x r = O ; y, en general, V x ( r n r ) = O .

9. Probar la fórmula (ii) del teorema 4 comenzando con V-F = i- + j- + k- ( d d az a y a2 - (F,.e, + Fees + F,e,) y sustituyendo las fórmulas desarrolladas en el ejemplo 4.

$10. Probar la fórmula (iii) del teorema 5 .

*m Mostrar que en coordenadas polares (.,e) en R’, la ecuación de Laplace

toma la forma d’u 1 a’ 1 a u - +-- +-- = o . i 3 ~ 2 ~2 a82 T d~

$12. Mostrar que en coordenadas esféricas (p,8,4) la ecuación de Laplace V’V = O toma la forma

donde p = cos 4. (Ésta fue la forma original de la ecuación de Laplace.) Compararla con la expresión del ejercicio 11 cuando V es constante en 4 y p = O.


1. Calcular la divergencia de los siguientes campos vectoriales, en los puntos indicados.

(a) F(z, y, z ) = z i + 3zyj + zk, (O, 1, O )

F(z, y, z ) = yi + zj + zk, ( 1 , 1 , 1 ) ( c ) F(z, y, z) = (z + ~ ) ~ i + (sen zy) j + (cos zyz)k, (2, O , 1)


Calcular el rotacional de cada campo vectorial en el ejercicio de repaso 1 en el punto dado. (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)

3. (a) Sea f(z, y, z) = zyz’; calcular Of. (b) Sea F(z, y, z ) = zyi + yzj + zyk; calcular V X F. (c) Calcular V x (fF) usando la identidad 11 de la tabla 3.1. Comparar mediante

cálculo directo.

4. Calcular V F y V x F para los siguientes campos vectoriales: (a) F = 2xi + 3yj + 4zk kb,l F = x 2 i + y 2 j + z 2 k (c) F = (x + y)i + (y + z ) j + ( z + z)k

5. En el punto indicado de cada una de las siguientes trayectorias, calcular el vector velocidad, el vector aceleración, la rapidez y la ecuación de la recta tangente.

(a) u(t) = ( t3 + 1 , e - ~ , c o s ( r t / 2 ) ) ; t = 1

(c) ~ ( t ) = ( e t , sen t , cost); t = O u(t) = ( t z - 1, cos( t2 ) , t 4 ) ; t = f i

(d) ~ ( t ) = - 1 + t 2

t 2 i + t j + k ; t = 2

6. Sean u: R + R3 una trayectoria y h: R + R una función diferenciable estrictamente creciente. La composición U o h: R -+ R3 se llama reparametrización de U por h; decir por qué u o h tiene la misma trayectoria que U , y probar que si Q = O h , entonces a’(t) = h’( t )u’ (h( t ) ) . (Ver el ejercicio 5(c) de la sección 3 . 2 . )

7. ¿A qué altitud debe estar un satélite para que parezca quieto en el cielo cuando se le ve desde la Tierra? (Ver el ejercicio 9, sección 3.1. para las unidades.)

8. (a) Sea a cualquier trayectoria diferenciable cuya rapidez nunca es cero. Sea s ( t ) la función de longitud de arco para a, s ( t ) = l/u’(T)ll d ~ . Sea t ( s ) la función inversa de s. Probar que la curva p = a o t tiene rapidez unitaria; i.e., lip’(s)ll = 1.

(b) Sea u la trayectoria u(t ) = ( u cos 1, a sent , b l ) . Hallar una trayectoria Q que tenga la misma trayectoria que U pero que tenga rapidez unitaria, I l a ’ ( t ) l l = 1; i.e., hallar una reparametrización de U con rapidez unitaria. (Ver los ejercicios 5 y 7 en la sección 3 . 2 . )

Sea una partícula de masa m que se mueve sobre la trayectoria ~ ( t ) = ( t 2 , sent , cost). Calcular la fuerza que actúa sobre la partícula en t = O.

10. (a) Sea c ( t ) una trayectoria con Ilc(t)ll = constante; ¡.e., la curva está sobre una esfera. Probar que c’ ( t ) es ortogonal a c ( t ) .

(b) Sea c una trayectoria cuya rapidez nunca es cero. Mostfar que c tiene rapidez constante si y sólo si el vector aceleración c” siempre es perpendicular al vector velocidad c’.

Sea una partícula que viaja sobre la trayectoria c ( t ) = (I, t ~ , t cos t ) y, en t = r , sale de la curva por una tangente. ¿Dónde está la partícula en el tiempo t = 2 r ?


12. Verificar las identidades en el ejercicio 8, sección 3.5, usando las expresiones para div, grad y rot en coordenadas esféricas.

13. (a) Sea F = 2zye'i + e Z z 2 j + (z2ye" + z2)k. Calcular V F y V x F. (b) Hallar una función f(z, y , z) tal que F = V f . Analizar brevemente.

14. Una partícula que se mueve sobre l a curva u(t) = 3tzi - ( sen t ) j - e'k se suelta en el tiempo t = 5 y sale por l a tangente. ¿Cuáles son sus coordenadas en el tiempo t = l?

Sea F(z, y, z ) = (z2, O, z(1 + z)). Mostrar que a(t) = (1/(1 - t ) , O, e * / ( l - t ) ) es una línea de flujo de F.

Expresar como integral l a longitud de arco de la curva z2 = y3 = z5 entre z = 1 y 2: = 4 con una parametrización adecuada.

17. Hallar la longitud de arco de u(2) = ti + (1nt)j -t 2&k para 1 5 t 5 2.

4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MÍNIMOS

. . . a saber, pues la forma de todo el universo es de lo más perfecto, y, de hecho diseñado por e l creador más sabio, nada ocurrirá en el mundo sin que destaque, de alguna manera, la presencia de una regla máxima o mínima.

LEONHARD EULER

En cálculo de una variable, para saber si una función f ( x ) tiene algún máximo o mínimo local, se buscan los puntos críticos 20, esto es, puntos x0 tales que f’(z0) = O , y en cada uno de dichos puntos se observa el signo de la segunda derivada f”(x0). Si f”(z0) < O , entonces en f(z0) hay un máximo local de f ; si f”(x0) > O , entonces f(x0) es un mínimo local de f ; si f”(x0) = O , el criterio falla.

En este capítulo se extienden estos métodos a funciones con valores reales, de varias variables. Comenzamos en la sección 4.1 con un estudio del teorema de Taylor, que se usará en la sección 4.2 para deducir criterios para detectar máximos, mínimos y puntos silla. Tal como sucede con funciones de una variable, dichos métodos ayudan a visualizar la forma de una gráfica.

En la sección 4.3 se estudiará el problema de maximizar una función con valores reales sujeta a condiciones adicionales, también conocidas como restricciones. Por ejemplo, podríamos querer maximizar f(x, y, z ) para (x, y, z) restringidos a pertenecer a la esfera unitaria, x 2 + y2 + z2 = 1. En la sección 4.4 se presenta un teorema técnico (el teorema de la función iolplícita) útil para estudiar restricciones. También será útil más adelante, cuando estudiemos superficies.

242 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR: MÁXIMOS Y MíNIMOS

En la sección 4.5 se describen algunas aplicaciones del material anterior, relacionadas con geometría, economía y puntos de equilibrio de sistemas físicos y su estabilidad.

4.1 TEOREMA DE TAYLOR

Usaremos el teorema de Taylor en varias variables, para deducir un criterio que permita detectar diferentes tipos de puntos extremos, y finalmente obtendremos un criterio parecido al de la segunda derivada que se estudió en cálculo de una variable. Existen algunas otras aplicaciones importantes de este teorema. Básicamente, el teorema de Taylor nos da aproximaciones “de orden superior” a una función, usando algo más que simplemente la primera derivada de la función.

Para funciones suaves de una variable f : R ”-f R, el teorema de Taylor asegura w e

+- f ‘ k ) ( a ) (z - a y + &(x, u ) , k! donde

es el residuo. Para 2 cerca de a , este error & ( x , a) es pequeño “de orden IC”. Esto significa que

(x - a ) k R k ( z ’ a ) -+ O cuando z - a . (2)

En otras palabras, R k ( z , a ) es pequeño comparado con la cantidad (de por sí pequeña) (x,- u ) ~ .

El objetivo de esta sección es probar un teorema análogo válido para funciones de varias variables. De ahí se seguir6 el teorema para funciones de una variable, como corolario. Ya conocemos una versión de primer orden, esto es, cuando k = 1. En efecto, si f : R” + R es diferenciable en x0 y definimos

RI(x, XO) = f(x) - f(xo) - [Df(xo)](x - XO), de modo que

entonces, por la definición de diferenciabilidad, f(x) = f(xo) + [D~(xo) ] (x - XO) + RI (X, XO),

esto es, Rl(x, XO) tiende a cero más rápido que la cantidad de primer orden, en XO. Resumamos estos resultados. Escribamos h = x-x0 y Rl(x, xo) = Rl(h, xo) (iabuso de notación permitido!), y se obtiene:

4.1 TEOREMA DE TAYLOR 243

TEOREMA 1 (Fórmula de Taylor de primer orden). Sea f: U C R" -+ R diferenciable en x0 E U. Entonces podemos escribir

donde Rl(h,xo)/llhll + O cuando h 4 O en R"

La fórmula de Taylor de segundo orden es como sigue:

TEOREMA 2 Sea f: U c Rn -+ R con derivadas parciales continuas hasta de tercer orden.* Entonces podemos escribir

donde Ra(h, xo)/l(h/12 3 O cuando €1 -+ O y la segunda suma es sobre todas las i y j entre 1 y n (de manera que hay n2 términos).

En el transcurso de la demostración obtendremos una fórmula explícita útil para el residuo R2 (ver la ecuación (5'), a continuación). Esta fórmula es una generalización de la fórmula (1').

DEMOSTRACIóN DEL TEOREMA 2 Por la regla de la cadena,

ahora, integrar ambos lados de t = O a t = 1 para obtener

Integrar por partes la expresión del lado derecho usando la fórmula general

*En realidad, para el enunciado del teorema según se prescnta aqui, basta que f sea de clase C z , pero para tener una forma adecuada del residuo suponemos que f es de clase C3. Si se supone válida la versión de una variable, al aplicarla a g ( t ) = f(x0 + th) se obtiene la versión que se da aqui para varias variables.

244 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y MíNIMOS

pues

por la regla de la cadena, y

Así, hemos probado la identidad

donde

(La fórmula (3) es una fórmula explícita para el residuo en el teorema 1.) Si integramos por partes la expresih (3) para Rl(h, xo), con

u=- (xo +th)h,h, y ?) = -___ ( t - 1 ) 2

a x , a x , 2 '

obtenernos

Así, hemos probado que I

E1 int,egrando es una función continua de t y por lo tanto está acotada en una pequeña vecindad de x0 (pues tiene que estar cerca de su valor en xg). Así, para una constante M 2 O obtenernos, para l l h l l pequeña,

IR2(11,xo)l 5 \\lll13J~f


En particular,

como requiere el teorema. Un argumento similar aplicado a R1, muestra que ~ R l ( h , x o ) ~ / ~ / h ~ ~ -+ O cuando h -+ O , aunque esto se sigue tambiCn, de la defi- nición de diferenciabilidad, como se notó en la pág. 242.

FORMA EXPLíCITA DEL RESIDUO

(i) En el teorema I ,

donde c está en algún lugar de la recta que une x0 con x0 + h (ii) En el teorema 2,

donde c' está en algún lugar de la recta que une a x0 con x0 + h . Las representaciones de R1 y R2 como integrales se obtuvieron durante la de- mostración del teorema 2 (ver las fórmulas (3) y (4)). Las fórmulas que incluyen c y c' (se llaman forma de Lagrange para el residuo) se obtienen del segundo teorema del valor medio para integrales. Éste dice que

Jab h ( t ) g ( t ) d t = h ( c ) Jab d l ) d t ,

siempre que h y g sean continuas y g >_ O en [a) b]; donde c es algún número entre a y b.' Esto se aplica en la fórmula (5) para la forma explícita del residuo con h(t) = (a"/axiazj)(x , + tll) y g ( t ) = 1 - t .

~~~ ~~~~~

*Demostración Si g = O, el resultado es trivial, de modo que podemos suponer que g # O y que L b g ( t ) d t > O. Sean M y m los valores máximo y mínimo de h , alcanzados en t~ y t,, respectivamente. Como g( t ) 2 O,

m [ d t ) d i I .I" h ( t ) g ( t ) I A!! lb d t ) d t

Así, (1," h(t)g(t) &)/(lab g( t ) d t ) está entre m = h(t,) y M = h ( t M ) y entonces, por el teorema del valor intermedio, es igual a h(c) para algún c intermedio.


No es difícil imaginar la forma general del teorema de Taylor. Por ejemplo, la fórmula de Taylor de tercer orden es

donde R3(h,xo)/l/hl13 + O cuando h -+ O , y así sucesivamente. La fórmula general se puede probar por inducción, usando el método de demostración dado anteriormente.

EJEMPLO 1 Calcular la fórmula de Taylor de segundo orden para f ( x , y ) = sen(x + ay), alrededor del punto x0 = ( O , O ) .

SOLUCI~N Nótese que

f ( O , O ) = O ,

g ( O , 0 ) = c O s ( O + 2 . O ) = 1 . ~ ( O , O ) = 2 c o s ( O + 2 . O ) = 2 , ay

Así,

donde R2(h'o) - + O cuando h -+ O. A

llh1I2

EJEMPLO 2 Calcular la fórmula de Taylor de segundo orden para f (x, y) = e" cos y, alrededor del punto x0 = O , yo = O .

SOLUCI~N Aquí

f ( O , O ) = 1, a f ( O , O ) = 1, - ( O , O) = o , d X ay

% ( O , O ) = 1, -(O, O) = -1, - a2f (0,O) = o , a2 f ay2 a x a y


donde Rz(h’o) - + O cuando h -+ O . A

llh1I2

En el caso de funciones de una variable, se puede desarrollar f (x) en una serie infinita de potencias, llamada serie de Taylor:

siempre que se pueda mostrar que Rb(h ,xo ) -+ O cuando k -+ m. De manera análoga, para funciones de varias variables los términos anteriores se reemplazan con lós correspondientes que incluyen derivadas parciales, como lo vimos en el teorema 2. De nuevo, se puede representar dicha función mediante su serie de Taylor, siempre que sea posible mostrar que R k ”+ O cuando k ”+ OO. Este punto se examina con mayor profundidad en el ejercicio 7.

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 al 6, determinar la fórmula de Taylor de segundo orden para la función dada alrededor del punto dado (ZO, yo).

2 f ( z , y) = l / ( 2 + Y2 + I) , zo = o, Yo = 0

*7. Una función f: R -* R se llama analítica siempre que

(i.e., la serie del lado derecho converja y sea igual a f (z + h) ) .

248 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MklMOS Y MíNIMOS

(a) Suponer que f satisface la condición siguiente: en cualquier intervalo cerrado [a, b] existe una constante M tal que para toda k = 1, 2 , 3 , . . . , lf(’)(x)I 5 M k para todo x E [a, b ] . Probar que f es analítica.

Mostrar que f es una función Cm, pero que f no es analítica.

de la parte (a) para esta clase de funciones.

yo = o.

(c) Dar una definición de función analítica de R“ a R. Generalizar la demostración

(d) Desarrollar f ( x , y ) = est!’ en una serie de potencias alrededor de x0 = O ,

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES

NOTA HISTóRICA

A lo largo de la historia se han buscado leyes que describan los fenómenos del mundo físico. Sin embargo, ningún principio general que abarcara a todos los fenómenos se propuso hasta 1744, cuando el científico francés Pierre Louis Moreau de Maupertuis presentó s u gran esquema del universo.

El “principio metafísico” de Maupertuis es la suposición de que la naturaleza siempre opera con la mayor economía posible. Dicho brevemente, las leyes físicas son cousecuen- cia de un principio de “economía de medios”; la naturaleza siempre actúa de tal manera que minimiza alguna cantidad, lo que Maupertuis llamó “acción”.

Estas ideas, a menudo llamadas principios variacionales, son la piedra angular fi- losófica de buena parte de la física matemática y particularmente de la mecánica, tema central de la física, la ingeniería y las matemáticas. El gran matemático suizo Leonhard Euler contribuyó con gran parte de la base matemática para la teoría relacionada de máximos y mínimos de cantidades escalares. Parte de su teoría se presenta en esta sección.

En t r e las característ icas geométricas básicas de la gráfica de una función están sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor. En esta sección deduciremos un método para determinar estos puntos. De hecho, el método también descubre extremos locales. Éstos son puntos en donde la función alcanza un valor máximo o uno mínimo respecto a los puntos cercanos. Comencemos definiendo los términos usados.

DEFINICI~N Si f: U c R” 4 R es una función escalar dada, un p u n t o x0 E U se l l ama mínimo local de f s i existe una vecindad V de x0 tal que para todos los

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES 249

i gráfica de j

Z

c r

i i & h

x0 x0 mínimo local máximo local

X X

( 4 (b) Figura 4.2.1 Puntos mínimo local (a) y máximo local (b) para una función de dos variables.

puntos x en V, f(x) 2 f(xo), (Ver la figura 4.2.1.) De manera análoga, x0 E U es un máximo local si existe una vecindad V de x0 tal que f(x) 5 f(x0) para todo x E V . El punto x0 E U es un extremo local o relativo, si es mínimo local o mixirno local. Un punto x0 es un punto critico de f si Df(x0) = O . Un punto crítico que no es un extremo local se llama punto silla.*

La ubicación de los extremos est,á basada en e l hecho siguiente, que debiera conocerse desde el cálculo de una variable (caso n = 1): todo extremo es un punto crítico.

*No siempre se usa el término “punto silla” con esta generalidad; más adelante continuaremos con el estudio de los puntos silla.

t Demostración Como g(0) es un máximo local, g(t) 5 g(0) para t > O pequeño, de modo que g(t)-g(0) 5 O,ydeaquí,g’(O) =Iímite(g(t)-g(O))/t 5 0,dondelímite significalímitecuando

t -+ O y t > O. De manera análoga, para t < O pequeria tenemos g’(0) = límite (g(t) - g(O))/t 2 O, de modo que g’(0) = O.

1-o+ t-0+

1 - 0 -


Así, [Df(xo)]h = O para todo h, de modo que Df(x0) = O . El caso en el que f alcanza un m'nimo local en x0 es completamente análogo.

Si recordamos que Df(x0) = O significa que todas las componentes de Df(x0) son cero, podemos reescribir el resultado del teorema 3: si x0 es un extremo local, entonces

esto es, cada derivada parcial es cero en X O . En otras palabras, Vf(x0) = O , donde V f es el gradiente de f .

Si queremos hallar los extremos o los extremos locales de una función, entonces según el teorema 3 debemos buscar entre los puntos críticos. A veces resulta posible detectarlos mediante inspección, pero lo común es usar criterios (que desarrollaremos más adelante) análogos al de la segunda derivada en cálculo de una variable.

EJEMPLO 1 Hallar los máxima y mínimos de l a función f : R2 + R, (x, y) H

x2 + y2. (Ignorar el hecho de que este ejemplo puede resolverse por inspección).

SOLUCIÓN Debemos identificar los puntos criticos de f resolviendo las ecuaciones af(z , y)/az = O y a f ( x , y)/ay = O, para x y y. Pero

de modo que el Único punto crítico es el origen ( O , O ) , donde el valor de la función es cero. Como f(x, y) 2 O , este punto es un mínimo relativo -de hecho, un mínimo absoluto o global- de f . A

EJEMPLO 2 Considerar la función del ejemplo 4 de la sección 2.1, f : R2 + R, (x, y) H x 2 - y2. Ignorar por el momento que esta función tiene un punto silla y no tiene extremos, y aplicar el método del teorema 3 para localizar los extremos.

SOLUCIÓN Como en el ejemplo 1, hallamos que f tiene un solo punto crítico, en el origen, donde el valor de f es cero. Examinando directamente los valores de f para puntos cerca del origen, vemos que f(z, O) 2 f(0, O) y f(0, y) 5 f ( 0 , O). Como se pueden tomar x o y arbitrariamente pequeños, el origen no puede ser un mínimo relativo ni un máximo relativo (de modo que es un punto silla). Por lo tanto, esta función no tiene extremos relativos (ver la figura 4.2.2). A

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALOMS REALES 251

Figura 4.2.2 Función de dos variables con punto silla.

EJEMPLO 3 Hallar todos los puntos críticos de z = x2y + y2x. SOLUCIÓN Diferenciando, obtenemos

at 2 at " - 2 2 y 4 x 2 .

ax a y " "XY+Y ,

Al igualar a cero las derivadas parciales se obtiene

2zy + y2 = o, 2xy + x2 = o.

Restando, obtenemos x2 = y2. As!, x = fy. Sustituyendo 2 = +y en la primera ecuación anterior, hallamos que

2y2 + y2 = 3y2 = o,

de modo que y = O y así, x = O. Si x = -y, entonces

-2y2 + y2 = -y2 = o,

de modo que y = O y por lo tanto x = O. De aquí que el Único punto crítico es (O, O). Para x = y, z = 2x3, que es tanto positivo como negativo para x cerca de cero. Así, (O, O) no es un extremo relativo. A

El resto de esta sección se dedica a deducir un criterio que dependa de la segunda derivada, para que un punto crítico sea un extremo relativo. En el caso especial n = 1, el criterio se reducirá a la conocida condición de que f"(z) > O


para un mínimo y f” (z) < O para u11 máximo. Per<) err cl contc~st,o general, la segunda derivada es un objet,o matcmát,ico hasthntc, m á s conlplicado. Para enunciar el crit,erio int,roducimos una versión dc la segurltla derivada. llamado el hessiano.

El concepto que dr:searnos int,roducir illcluye la i d e a de frlncicjrl cuatlritictl. Las funciones cuadrkticas son funciones y : R.“ - R c411r’ t icllen l a forllla.

L

g ( h l , . . . , ) L 7 , ) = a t l ~ ~ t t ~ J *, ]=I

para una matriz [ a i j ] . En térnlinos de ~nultiplicación de matrices poden~os escribir

Podemos, si así lo queremos, suponer que [a i j ] es simétrica; de hecho, g no cambia si reemplazamos aij por bij = $(aaj + a j i ) , pues hjhj = hjhi y l a suma es sobre toda i y j . L a naturaleza cuadrátlca de y se refleja en la iderltidad

que se sigue de l a definici6n.

honor de Ludwig Otto Hesse, quien las introdujo en 1844). Ahora estamos preparados para definir funciones hessianas (llamadas así en

DEFINICIóN Suponer que f : U c R” + R tiene derivadas parciales de segundo orden (d2f/axiazj)(x”), para i, j = 1, . , . , n, en un punto x0 E U . El hessiano de f en x g es la función cuadrática definida por

Esta funciGr1 se usa, por lo común, en puntos críticos x0 E U . En este caso, Df(xo) = O , y la f6rmula de Taylor (ver el teorema 2 , sección 4.1) se puede escribir en la forma

f(xo + h) = f(xo) + Hf(xo)(h) + Ilz(h, xo).

Así, en un punto crítico el hessiano es igual al primer tkrmino no constante en la serie de Taylor de f .

Una función cuadrática g : R.” -+ R se llama definitivamente positiva si g (h) 2 O , para todo 11 E R“ y g(h) = O sólo para 11 = O . De manera análoga, y es definitivamente negativa si g(11) 5 O y g(l1) = O sólo para h = O .

Nótese que si n = 1, H f ( z o ) ( h ) = $ f ’ ’ ( z ~ ) h ’ , la cua.1 es definitivamente positiva si j ” ( z , ) > O . Ahora ya estarnos preparados para enunciar el criterio para extremos relativos.


TEOREMA 4 s i f : U C Rn -+ R es de clase C3, x0 E U es un punto critico de f y el hessiano H f (xg) es definitivamente positivo, entonces x0 es un mínimo relativo de f . De manera análoga, si H f (xg) es definitivamente negativo, entonces x0 es un máximo relativo.

En realidad, probaremos que los extremos son estrictos. Se dice que un máximo relativo x0 es estricto si f(x) < f(x0) para x cercano, con x # XO. De manera análoga se define un mínimo relativo estricto.

La demostración del teorema 4 requiere el teorema de Taylor y el siguiente resultado de álgebra lineal.

LEMA 1 Si B = [ b i j ] es una matriz real de n X n, y si la función cuadrática asociada

n

H : R" -+ R, ( h l , . . . , hn) 5 bt3h;h3 1

1,3=1

es hefinitivamente positiva, entonces existe una constante M > O tal que para todo h E Rn,

W ) 1 Mllhl12.

DEMOSTRACI~N Para llhll = 1, hacer g(h) = H(h). Entonces g es una función continua de h para llhll = 1 y por lo tanto alcanza un valor mínimo, digamos M.* Como H es cuadrática, tenemos

para cualquier h # O . (El resultado es válido de manera obvia si h = O . )

Nótese que la función cuadrática asociada con la matriz $(az f /dz;dzj) es precisamente el hessiano.

*Usamos aquí sin demostración, un teoRma análogo al de cálculo en el cual se afirma que toda función continua en un intervalo [a, b] alcanza un máximo y un mínimo. El resultado requerido aqui se enuncia en el teorema 6, más adelante.


Como Hf(xo) es defir~itivament,e positivo, e l lema 1 asegura la existencia de una const,ant,c Al > O tal que para todo h E R”

Hf(xo)(h) 2 Ak4/j11112.

Como Ka(ll,xo)/llhlla + O cuando 11 + O , existe 6 > O tal que para O < IlhlI < 5

IRz(h,xo)l < h[l/h112.

Así, O < Hf(xo)(h) + Rz(h,xo) = f(xo + h) - f(x0) para O < llhll < 6, de manera quc xg es u n mínimo relativo. de hecho, un mínimo relativo estricto.

La demost,raci6n et1 e l caso definitivamente negativo es análoga, o puede ob- tenerse al apl icar la anterior a - f , y se deja como ejercicio. m

1’resent.aremos ahora un criterio lítil para saber cuándo una función cuadrática definida por una matriz de 2 X 2 de ese tipo, es definitivamente positiva. Esto será de utilidad junt,o con el teorema 4.

LEMA 2 Scar1

E:’IItorlccs H ( h ) ~sdefinitivamentepositivasiysdlosia > Oydet B = ac-6’ > O .


DEMOSTRACI~N Tenemos

Completemos el cuadrado, escribiendo

H(h) = :u ( h l + $hz ) ’+ ( c - :) hz

Supongamos que H es definitivamente positivo. Haciendo hz = O , vemos que a > O . Haciendo hl = - (b /a jha , obtenemos c - b 2 / a > O o uc - b2 > O . Recíprocamente] si a > O y c - b 2 / a > O, H(hj es una suma de cuadrados, de manera que N(h) 2 O . Si H(h) = O , entonces cada cuadrado debe ser cero. Esto implica que tanto hl como h2 deben ser cero, de modo que H ( h ) es definitivamente positiva. H

De manera análoga, H(h) es definitivamente negativa si y sólo si a < O y ac- b2 > O. Hay criterios similares para una matriz simétrica B de n X n. Consi- derar las n submatrices cuadradas a lo largo de la diagonal (ver la figura 4.2.3). B es definitivamente positiva (esto es, la función cuadrática asociada con B es definitivamente positiva) si y sólo si los determinantes de estas submatrices diagonales son todos mayores que cero. Para B definitivamente negativa, los signos deberán alternarse < O y > O. No probaremos aquí este caso general.* En caso de que los determinantes de las submatrices diagonales no sean todos iguales a cero pero que la matriz no sea definitivamente positiva o negativa, el punto crítico es tipo silla; en este caso se puede mostrar que el punto no es máximo ni mínimo.

Figura 4.2.3 Se usan submatrices “diagonales” en el criterio para definitividad positiva; todas deben tener determinante > O.

El lema 2 y el teorema 4 dan el resultado de la página siguiente.

*Esto se demuestra, por ejemplo, en K. Hoffman y R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1961, págs. 249-251. Los estudiantes familiarizados con álgebra lineal notarán que B es definitivamente positiva cuando todos sus valoms propias (que son reales, pues B es simétrica) son positivos.


( D se l l a n a el tfiscrirninante.) Si e r l ( i i ) tenernos < O en lugar de > O sin cambiar la cor~tlicidr~ (iii), entonces t e r l c ~ ~ ~ o s u n rndxirno local (estricto).

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALOES REALES

EJEMPLO 6 Localizar los máximos, mínimas y puntos silla de la función

f ( z , y) = l0g(z2 + Y2 + 1).

SOLUCI~N Primero debemos localizar los puntos críticos lo tanto, de acuerdo con el teorema 3, calculamos

257

de esta función; por

Así, V f ( x , y) = O si y sólo si (x, y) = ( O , O ) , de modo que el Único punto crítico de f es ( O , O ) . Ahora debemos determinar si se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla. Las segundas derivadas parciales son

" a 2 j 2(z2 + Y2 + 1) - (2Y)(2Y) a y 2 (x2 + y2 + 1 ) 2

-

Y

Por lo tanto

a2 f a2 f a2 f "(0,O) = 2 = -(O, O ) y - a X 2 a Y2 a x a y ( O , O ) = o ,

lo cual conduce a D = 2 . 2 = 4 > 0 .

Como (a2f/azz)(0, O) > O , concIuimos, por el teorema 5, que (O, O) es un mínimo local. (¿Pueden mostrar esto a partir sólo del hecho de que logt es una función creciente de t > O?) A

EJEMPLO 7 La gráfica de la función g(x, y) = l / x y es una superficie S en R3. Hallar los puntos en S m& cercanos al origen ( O , O , O ) .

SOLUCIÓN La distancia de (x, y, z ) a (O, O , O) est#á dada por l a fórmula

d ( x , y , z ) = l/w. Si (z,y, z ) E S, entonces d se puede expresar como una función d,(z,y) = d(z , y , l / zy ) de dos variables:

258 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MklMOS Y MíNIMOS

Nótese que el mínimo (si es que mistc) 110 puede est,ar "muy cerca" del eje z o del eje y, pues d , se h a c c muy grarltlf, cuando .r o y t,ienden a cero. Además, d , se hace grande para x y y grandes. ,Isí< plaus ib le (y l o aceptaremos) que d , tenga realmente un rnínirrlo para algunos valorw firlit.os de S y y diferentes de cero. Nuestra tarea será localizar est,? punt,o.

Conlo d , > O , esto se rninin1izarA c u a n t ~ o ~ T ( . L ' , y) = z2+y2+( t /x2y2) = f (z , y) sea mínima. (Es más fácil t,rabajar con esta función f.) Calculamos el gradiente

Esto es O si y sólo si

y así

dondc ( a , b ) ~s uno tic. l os cuatro puntos críticos dados anteriormente, y (a"/

Vemos que c11 cualquiera clc los casos ant,eriores D = 64 - 16 = 48 > O y ( a 2 f / a . z z ) ( a , 6 ) > O , dc lrlotio q u e cada punto crít,ico es 1111 rrlínimo local, y &tos son todos los Inínilllos locales t lr J .

Finalnlente, nótese que d : ( o , b) = 3 para todos estos puntos críticos de modo que los punt,os sobrc la superficic m i s c t~canos a ( O , O , O ) son (1,1, I) , (1, -1, -1), (-1, 1, -1) y (-1, -1, 1). con d , = & PII d o s puntos. Así, d , 2 fi y es igual a fi cuando ( s , y ) = (+13kl). A

a x a y ) ( u , 6 ) = f4.

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALORES REALES

SOLUCIÓN Las primeras derivadks parciales son

2 - - 5 z 4 y + y5 + y = y(5. 4 4 + y + 1) a.

259

- = 4 5 y 4 + ."). a Z

LOS términos 5x4 + y4 + 1 y 5y4 + x4 + 1 siempre son mayores o iguales que 1; se sigue, entonces, que el ilnico punto crítico está en (0,O).

Las segundas derivadas parciales son

a* z a2 8x2 - = 202", -

ay2 = 2oxY3

Así, en ( O , O ) , D = -1, de modo que (0,O) es un punto silla no degenerado y la gráfica de z cerca de ( O , O) se ve como en la figura 4.2.2. A

Terminamos esta sección con u n estudio de la teoría de máximos y mínimos absolutos, o globales, de funciones de varias variables. Desafortunadamente, en general es un problema más difícil localizar los máximos y mínimos absolutos para funciones definidas en R" que para funcioncs de una variable.

DEFINICI~N Suponer que f: A + R es una función definida en un conjunto A de R2 o R3. Se dice que un punto x0 E A es un punto de máximo absoluto (o de mínimo absoluto) de f si f(x) 5 f ( x 0 ) (o f(x) 2 f(x0)) para todo x E A.

En cálculo de una variable se aprende que toda función continua en un intervalo cerrado I alcanza su valor máximo ( o mínimo) en algún punto x. en I. También se cumple una generalización a Rn de este hecho teórico.

DEFINICI~N Se dice que un conjdnto D c R" es acotado si existe un número M > O tal que llxll < M para todo x E D . Un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera.

Así, un conjunto es acotado si puede estar estrictamente contenido en alguna bola (que puede ser grande). La generalización apropiada del teorema en una variable de los máximos y mínimos es el resultado siguiente, que enunciamos sin demostración.


TEOREMA 6: T E O M A DEL MÁXIMO Y DEL MíNIMO Sea D cerrado y acotado en R" y sea f: D -+ R continua. Entonces f alcanza sus valores máximo y mínimo en algunos puntos x. y x1 de D.

Dicho de manera simple, x. y x1 son puntos en donde f alcanza sus valores mayor y menor. Como en cálculo de una variable, estos puntos no necesariamente están determinados de manera única.

Suponer que D = U U 301, donde U es abierto y dU es su frontera. Más aún, suponer que 3U es una curva suave a trozos (como en la figura 4.2.4). Por definición, D es cerrado, pues contiene a todos sus puntos frontera (ver la sección 2.2) y suponemos además que D está acotado. Ahora podemos enunciar una consecuencia del teorema 3 .

Y

Figura 4.2.4 D = U U a U .

TEOREMA 7 Sea D según la descripción anterior, con f: D -+ R continua, y sea f de clase C1 en U. Si f alcanza su valor máximo (o mínimo) en un punto x0 de U, entonces x0 es un pun to crítico de f.

En efecto, si el punto máximo ( o mínimo) es elemento de U y no está en aU, es un extremo local, y así, el teorema 3 da el resultado. Para hallar el máximo y mínimo absolutos para una función de clase C' , f: D -+ R, empleamos un procedimiento similar al del cálculo en una variable:

(i) Localizar todos los puntos críticos de f en U. (ii) Hallar los puntos críticos de f considerada como función definida sólo en

a u. (iii) Calcular el valor de f en todos estos puntos críticos. (iv) Comparar estos valores y seleccionar el mayor y el menor.

Estos pasos, excepto el (ii), han de ser ya conocidos por el alumno. Para llevar a cabo el paso (ii) en el plano, hallamos primero parametrización suave de dU;

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALOES REALES 261

esto es, hallamos una trayectoria una a: I + dU, donde I es algún intervalo que va sobre d U . En segundo lugar, consideramos la función de una variable t I+ f ( m ( t ) ) , t I y localizamos los puntos máximo y mínimo t o y tl E I (irecuerden revisar los extremos!). Entonces a ( t o ) , a ( t1 ) será un máximo y un mínimo para f, o viceversa, como función definida en dU. Otro método para manejar el paso (ii) es el del multiplicador de Lagrange, que presentaremos en la sección siguiente.

EJEMPLO 9 Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = x’ + y2 - x - y + 1 en el disco D definido por x’ + y’ 5 1.

SOLUCIÓN (i) Para hallar los puntos críticos hacemos d f / d x = df/dy = O . Así, 22- 1 = O, 2y- 1 = O y por lo tanto, (x, y) = ($, $) es el Único punto crítico en el disco abierto U = {(x, y)1z2 + y2 < 11.

(ii) La frontera dU se puede parametrizar por ~ ( t ) = (sent, cost), O 5 t 5 2a. Así,

f (u(t ) ) = sen’ t + cos2 t - sent - cos t + I

= 2 - sent - cost = g ( t ) .

Para hallar el máximo y m’nimo de f en dU, basta localizar el máximo y mínimo de g. Ahora, g ‘ ( t ) = O sólo cuando

Así, los candidatos para máximo y mínimo de f en dU son los puntos m($), c(:T) y los extremos ~ ( 0 ) = m ( 2 ~ ) .

(iii) Los valores de f en los puntos críticos son: I($, $) = 4 del paso (i) y, del paso (ii),

f ( u ( ; ) ) = f ( T > T ) JZ& = , + , - h + l 1 1

Y f(C(0)) = f ( U ( 2 T ) ) = f (Ol1) = 1.

(iv) Comparando todos los valores $, 2- a, 2 + d , 1, es claro que el mínimo absoluto se alcanza en ($, $) y el máximo absoluto se alcanza en (-&/a, - f i la) .

A


EJERCICIOS

En los ejercicios I al 16, hallar los puntos críticos de las funciones dadas y determinar cuáles son máximos locales, mínimos locales o puntos silla.

1. f ( 2 , y ) = 2’ - y’ + zy

2. f ( z , y ) = 2’ + y’ - z y

f ( z , y ) = 2’ + y’ + 2zy

4. f ( z , y ) = 2’ + y’ + 32y

r;l f ( z , y) = e1+sz--y2

6. f ( z , y) = 2’ - 32y + 51: - 2y + 6y2 + 8

7. f ( z , y) = 32’ + 2231 + 23: + y* + y + 4

8. f ( z , y ) = sen(z’ + y’) (considerar solamente el punto crítico ( O , O ) )

f ( z , y ) = cos(2’ + y2) (considerar solamente los puntos críticos ( O , O ) , (a, f i ) Y (0 , m )

Al examinar la función f : R’ + R, (2, y) H (y - 3z2)(y - z’) nos daremos idea de la dificultad para hallar condiciones que garanticen que un punto crítico sea un extremo relativo cuando falle el teorema 5. Mostrar que

(a) El origen es un punto crítico de f; (b) f tiene un mínimo relativo en (O, O ) en cada recta que pasa por ( O , O); esto

es, si g ( t ) = ( a t , b t ) , entonces f o g: R + R tiene un mínimo relativo en O, para cada selección de a y b ;

(c) El origen no es un mínimo relativo de f .

4.2 EXTREMOS DE FUNCIONES CON VALOES REALES 263

18. Sea f(z, y) = Az’ + E donde A y E son constantes. ¿Cuáles son los puntos críticos de f? ison máximos locales o mínimos locales?

19. Sea f (x , y) = 3;’ - 22y + y’. Aquí D = O. ¿Pueden decir cuáles puntos críticos son mínimos locales, máximos locales o puntos silla?

20. Hallar el punto en el plano 22: - y + 2z = 20 más cercano al origen.

Mostrar que la caja rectangular de volumen dado tiene superficie mínima cuando la caja es un cubo.

22. Mostrar que el paralelepípedo rectangular con área de superficie fija y volumen máximo es un cubo.

23. Escribir el número 120 como suma de tres números, de modo que la suma de los productos tomados de dos en dos, sea máxima.

24. Mostrar que si (zo,yo) es un punto crítico de una función C 3 , f ( z , y ) , y D < O , entonces hay puntos (z,y) cerca de (z0,yo) en los cuales f ( 2 , y ) > f ( z o , Y o ) Y, de manera análoga, puntos en los cuales f (z , y) < f(zo, yo)

25. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función

f (z , y, 2 ) = 2’ + y2 + z2 + zy.

Sea n un entero mayor que 2 y sea f(z, y) = uzn + cyn, donde ac # O. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de f .

27. Determinar la naturaleza de los puntos críticos de f (z , y) = z3 + Y2 --6231+6z +3Y.

28. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función f (z , y) = ( x 2 + definida en el disco x2 + y2 5 1.

Repetir el ejercicio 28 para la función f(z, y) = z2 Y’.

30. Una curva C en el espacio está definida implicitamente en el cilindro 2’ + y2 = 1 por medio de la ecuación adicional z2 - z y + y2 - z’ = 1. Hallar el punto o puntos en C más cercanos al origen.

31. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos para f (z , y ) = sen z + cos y en el rectángulo R = [O, 27r] x [ O , 2x1.

33.’ Determinar la naturaleza de los puntos críticos de f(z, y) = zy + 1/x + 8/y.


En los ejercicios 34 al 38, D denota al disco unitario.

*34. Sea u una función definida en D , que sea “estrictamente subarmónica”; esto es, V 2 u = (d2u/Ó’z2) + (Ó’2u/Ó’y2) > O. Mostrar que u no puede tener un punto máximo en D\Ó’D (conjunto de puntos en D que no están en Ó’D).

*35. Sea u una función armónica; esto es, V 2 u = O. Mostrar que si u alcanza su valor máximo en D\Ó’D, también lo alcanza en i3D. A veces se le llama “principio débil del máximo” para funciones armónicas. (IDEA: Considerar V 2 ( u + €ez), 6 > O. Pueden usar el hecho siguiente, que se demuestra en textos más avanzados: dada una sucesión {pn}, TI = 1, 2,. . . , en un conjunto cerrado y acotado A , en R2 o R3, existe un punto q tal que toda vecindad de q contiene al menos un miembro de {pn}.

“36. Definir el concepto de función estrictamente supraarmónica u en D, parafraseando el ejercicio 34. Mostrar que no puede tener mínimo en D\¿?D.

*m+ Sea u armónica en D , como en el ejercicio 35. Mostrar que si u alcanza su valor mínimo en D\Ó’D, también lo alcanza en Ó’D. A veces se le llama “principio débil del mínimo” para funciones armónicas.

*38. Sea 4: Ó’D -+ R continua y T una solución en D a V2T = O , T = 4 en Ó’D. (a) Usar los ejercicios 34 a 37 para mostrar que dicha solución, de existir, debe

(b) Suponer que T(z ,y ) representa una función de temperatura que es independiente del tiempo, donde 4 representa la temperatura de una placa circular en su frontera. ¿Pueden dar una interpretación física del principio enunciado en la parte (a)?

*39. (a) Sea f una función C’ en la recta real R. Suponer que f tiene exactamente un punto crítico zo que es un mínimo local estricto de f. Mostrar que 20 también es un mínimo absoluto para f, esto es, que f (z ) 2 f(z0) para todo x.

(b) En el ejemplo siguiente se muestra que la conclusión de la parte (a) no se cumple para funciones de más de una variable. Sea f: R2 -+ R definida por

ser única.

f ( z , y ) = -y4 - e-zz + 2 y 2 J e “ + e-”’.

(i) Mostrar que ( O , O ) es el Único punto crítico de f y que es un mínimo local. (ii) Mostrar de manera informal que f no tiene mínimo absoluto.

*M Suponer que un pentágono está compuesto de un rectángulo debajo de un triángulo isósceles (ver la figura 4.2.5). Si la longitud del perímetro es fija, hallar el área máxima posible.

Y

Figura 4.2.5 Maximizar el área para un perímetro fijo.

4.3 EXTREMOS RESTRINGIDOS Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 265

4.3 EXTREMOS RESTRINGIDOS Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Es común en problemas querer maximizar una función sujeta a ciertas restricciones o condiciones laterales. Dichas situaciones surgen, por ejemplo, en economía. Suponer que queremos vender dos tipos de mercancía, digamos I y 11; sean 1: y y la cantidad vendida de cada una. Representamos por f ( x , y) la ganancia obtenida cuando se vende 1: cantidad de I y y cantidad de 11. Pero nuestra pro- ducción está controlada por nuestro capital, de manera que estamos restringidos a trabajar sujetos a una relación g(zl y) = c . Así, queremos maximizar f (z1 y) entre los (z, y) que satisfagan g(z, y) = c. A la condición g(1:, y) = c le llamamos restricción en el problema.

El propósito de esta sección es desarrollar algunos métodos para manejar este problema y otros similares.

TEOREMA 8: TEOREMA DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE sean f: u C R” -+ R y g: U c R” + R funciones suaves dadas. Sean x0 E U y g(x0) = c , y sea S el conjunto de nivel para g con valor c (recordar que &te es el conjunto de puntos x E Rn con g(x) = c) . Suponer que Vg(x0) # O .

Si f IS, que denota a “f restringida a S”, tiene un máximo o un mínimo en S , en xo, entonces existe un número real X tal que

DEMOSTRACIÓN En realidad, no hemos desarrollado técnicas suficientes para dar una demostración completa, pero podemos dar los puntos esenciales. (Las cuestiones técnicas adicionales necesarias se dan en la sección 4.4.)

Recordar que para n = 3 se define el espacio tangente o plano tangente de S en x0 como el espacio ortogonal a Vg(x0) (ver la sección 2.5), y para n arbitraria podemos dar exactamente la misma definición de espacio tangente de S en XO. Esta definición se puede motivar al considerar tangentes a trayectorias u(t) que están en S, como sigue: si a(t) es una trayectoria en S y u(0) = xol entonces &(O) es un vector tangente a S en xo; pero

- g ( a ( t ) ) d = “c d = o, d t dt

y por otro lado, por la regla de la cadena,

de manera que Vg(x0) u’(0) = O; esto es, u’(0) es ortogonal a Vg(x0).


si flS tiene un máximo en X O , entonces f (a ( t ) ) indudablemente tiene un máximo en t = O . Por cálculo de una variable, d f ( ~ ( t ) ) / d t l ~ , ~ = O . Entonces, por la regla de la cadena,

= Vf(x0) . a ’ ( 0 ) .

Así, Vf(x0) es perpendicular a la tangente de toda curva en S y entonces también es perpendicular al espacio tangente de S en XO. Como el espacio perpendicular a este espacio tangente es una recta, Vf(x0) y Vg(x0) son paralelos. Como Vg(x0) # O , se sigue que Vf(x0) es múltiplo de Vg(xo), lo cual es precisamente la conclusión del teorema. H

Presentemos el aspecto geométrico de la demostración

COROLARiO si f , al restringirse a una superficie S , tiene un máximo o mí imo en xo, entonces V f (xo) es perpendicular a S en x0 (ver la figura 4.3.1).

X

Figura 4.3.1 Geometría de los extremos con restricciones.

En estos resultados se observa que para hallar los extremos con restricciones de f debemos buscar entre los x0 que satisfagan las conclusiones del teorema o del corolario. Daremos varios ejemplos de cómo usar cada uno.

Cuando se use el método del teorema 8, debemos buscar un punto x0 y una constante X, llamada multiplicador de Lagrange, tal que Vf(x0 = XVg(x0). Este método es de naturaleza más analítica que el método del corolario al teorema del multiplicador de Lagrange, que es más geométrico.


En la ecuación (1) se dice que las derivadas parciales de f son proporcionales a las de g. Hallar los puntos x0 en los que ocurre esto, significa resolver las ecuaciones simultáneas

g(x1 , . . ., Zn) = c J para 21,. . . , x, y X.

Otra manera de considerar estas ecuaciones es así: pensar en X como una variable adicional y formar la función auxiliar h(z1, . . . , x,, X) = f(x1, . . . , x,) - X[g(x1,. . . , x,) - c]. En el teorema del multiplicador de Lagrange se dice que para hallar los puntos extremos de f lS debemos examinar los puntos críticos de h. Estos se encuentran resolviendo las ecuaciones

O = - = - - " ah af a g ax, ax, ax,

a h O = - = g ( x 1 , . . . , x , ) - c ax

que son las mismas que las ecuaciones en el grupo (2) anterior. En el teorema 9 a continuación, se darán criterios de la segunda derivada

análogos a los de la sección 4.2. Sin embargo, en muchos problemas es posible distinguir entre máximos y m'nimos por medios geométricos. Como, usualmente, esto es más sencillo, consideraremos primero ejemplos del último tipo.

EJEMPLO 1 Sea S C R2 la recta que pasa por (-1, o) inclinada a 45', y sea f: R2 + R, (z,y) H x 2 + y'. Hallar los extremos de fls. SOLUCIÓN Aquí S = {(x, y) I y - x - 1 = O}, y por lo tanto hacemos g(x, y) = y- x - 1 y c = O. Tenemos Vg(z, y) = -i+ j # O . Los extremos relativos de flS deben hallarse entre los puntos en que V f es ortogonal a S, esto es, inclinado a -45'. Pero Vf(x , y) = (22,2y), que tiene la pendiente deseada sólo cuando I = -y, o cuando (x, y) está sobre la recta L que pasa por el origen inclinada a -45'. Esto puede suceder en el conjunto S sólo para el Único punto en el que se


Figura 4.3.2 Geometría asociada con la búsqueda de los extremos dc f(z, y) = z2 + y2

restringida a S = {(x, y ) I y - 2 - 1 = o}.

intersecan L y S (ver la figura. 4 .3 .2) . A l referirnos a las curvas de nivel de f se indica que este punto ( -$ ~ i) es un mínimo relativo de f l S (pcro no dc f ) . A

EJEMPLO 2 Sea f : R2 + R, (x, y) h LC’ - y’, y sea S el círculo de radio 1 alrededor del origen. Hallar el extremo de f IS.

SOLUCI~N El conjunto S es la curva de nivel para g con valor 1, donde g: R2 - R, (x, y) H x2+y2. Como ya estudiamos ambas funciones en ejemplos anteriores, conocemos sus curvas de nivel; se muestran en la figura 4.3.3. En dos dimensiones, la condición de que V f = XVg en xo, i.e., que Vf y V g son paralelos en xg, es la misma que las curvas de nivel sean tangentes en x0 (¿por qui?). Así, los puntos extremos de f IS son (0,4Z1) y ( f l , O ) . Evaluando f , hallamos que ( O , &ti) son mínimos y ( % I , O) son máximos.

Resolvamos ahora el problema analíticamente, por el método de los multiplicadores de Lagrange. Claramente,


Figura 4.3.3 Geometría asociada con el problema de hallar los extremos de x2 - y2 en S = {(x, y) I z2 + y2 = 1).

Estas condiciones producen tres ecuaciones que se pueden resolver para las tres incógnitas x, y y X. De 2 2 = X2x concluimos que x = O o X = 1. Si z = O , entonces y = f l y -2y = X2y implica X = -1. Si X = 1, entonces y = O y x = &l. Así, obtenemos los puntos ( 0 , f l ) y (fl,O), como antes. Como hemos mencionado, este método sólo localiza extremos potenciales; deben usarse otros métodos, tales como argumentos geométricos o el criterio de la segunda derivada presentado a continuación* para determinar si son máximos, mínimos o ni una cosa ni otra. A

*En estos ejemplos, Vg(xo) # O en la superficie S , como requiere el teorema del multiplicador de Lagrange. Si Vg(x0) fuera cero para algún x. en S , entonces habría que incluirlo entre los extremos posibles.


SOLUCIÓN De nuevo usamos el teorema del multiplicador de Lagrange. Busca- mos X y (x, y , z ) tales que

1 = 2 x x ,

o = 2yx,

1 = 23x

Y z2 + y 2 + z2 = 1.

De la primera o tercera ecuación vernos que X # O. Así, de la segunda ecuación, obtenemos y = O. De la primera y tercera ecuaciones, x = z , y de la cuarta, z = *1/& = z . Entonces nuestros puntosson (l/&, O , 1/a) y (-1/a, O , -1/&). Cornparando los valores de f en estos puntos, podemos ver que el primer punto produce el máximo de f (con las restricciones) y el segundo el mínimo. A

EJEMPLO 4 Hallar el mayor vohmen que pueda tener una caja rectangular sujeta a la restricción de que el área de la superficie esté fija, en lorn2.

SOLUCIÓN Aquí, si x , y y z son las longitudes de los lados, el volumen es f ( z , y , z ) = zyz. La restricción es 2(xy+zz+yz) = 10; esto es, zy+zz+yz = 5. Así, nuestras condiciones son

yz = q y + z )

23 = q z + 2)

z y = X(y + z )

z y + z t + y2 = 5

En primer lugar, z # O , pues z = O implica yz = 5 y O = Xz, de modo que X = O y yz = O . De manera análoga, y # O , z # O, 2 + y # O y así sucesivamente. Al eliminar X de las dos primeras ecuaciones se tiene yz/(y+ z ) = x z / ( x + z ) , lo cual da x = y; de manera análoga, y = z . AI sustituir estos valores en la última ecuación, obtenemos 32’ = 5, o x = f i . Así, x = y = z = f i Y Z Y Z = (5) 5 312 ‘

Esta es la solución; deberá ser claro, geométricamente, que el máximo ocurre cuando x = y = z . A

Algunas recomendaciones generales son útiles para problemas como éste. En primer lugar, si la superficie S está acotada (como, por ejemplo, un elipsoide),


entonces f debe tener un máximo y un mínimo en S. (Ver el teorema 6 en la sección anterior.) En particular, si f sólo tiene dos puntos que satisfagan las condiciones del teorema del multiplicador de Lagrange o de su corolario, entonces uno debe ser un máximo y el otro debe ser un mínimo. Evaluando f en cada punto podremos distinguir el máximo del mínimo. Sin embargo, si hay más de dos de dichos puntos, alguno puede ser punto silla. Además, si S no está acotada (por ejemplo, si es un hiperboloide), entonces f no necesariamente tiene máximos o mínimos.

Si una superficie S está definida por cierto número de restricciones, a saber,

entonces se puede generalizar el teorema del multiplicador de Lagrange, de la siguiente manera: Si f tiene un máximo o un mínimo en x0 en S, deben existir constantes X I , . . . , Xk tales que*

Este caso se puede probar generalizando el método usado para probar el teorema del multiplicador de Lagrange. Demos un ejemplo de cómo puede usarse esta formulación más general.

EJEMPLO 5 Hallar los puntos extremos de f (z , y, z ) = E + y + z sujeto a las condiciones x' + y' = 2 y E + z = 1.

SOLUCIÓN Aquí hay dos restricciones:

Y g2(2 ,y ,z ) = 2 + z - 1 = o.

Así, debemos hallar E , y, z , X 1 y X2 tales que

Vf(., Y, z) = XlVSl(Z, Y, .) + X 2 V 9 2 ( 2 , Y , .)

*Como con la hipótesis Vg(x0) # O en el teorema del multiplicador de Lagrange, aquí debemos suponer que los vectores Vgl(xo), . . . , Vgk(xo) son linealmente independientes.


esto es, calculando los gradientes e igualando componentes,

Y

2 + y 2 = 2,

z + t = l .

Estas son cinco ecuaciones para x, y , z , X1 y X z . De la tercera, X 2 = 1, y así 22x1 = O , 2yX1 = 1. Como la segunda implica X1 # O, tenemos z = O. Así, y = A f i y t = 1. Entonces los extremos deseados son ( O , &fi, 1). Por inspección, ( O , &?, 1) da un máximo y (o, -h, 1) un mínimo. *

Suplemento de la sección 4.3 Criterio de la segunda derivada para extremos restringidos

En la sección 4.2 desarrollamos un criterio de la segunda derivada para extremos de funciones de varias variables, basado en la observación del término de segundo grado en la serie de Taylor de f . Si la matriz hessiana de las segundas derivadas parciales era definitivamente positiva o definitivamente negativa en un punto crítico de f, pudimos concluir que estábamos en un mínimo o máximo relativo, respectivamente.

Sin embargo, en esta sección no estamos interesados en todos los valores de f sino sólo en aquellos obtenidos al restringir f a algún conjunto S que sea el conjunto de nivel de otra función g. La situación es complicada, primero porque los extremos res:ringidos de f no necesariamente se presentan en los puntos críticos de f y, segundo, porque sólo se permite a la variable moverse en el conjunto S . No obstante, se puede dar un criterio de la segunda derivada en términos de lo que se llama el hessiano limitado. Mostraremos cómo surge esto para el caso de una función f(z, y) de dos variables sujeta a la restricción g(z,y) = c.

De acuerdo a las observaciones que siguen al teorema del multiplicador de Lagrange, los extremos restringidos de f se hallan buscando en los puntos críticos de la función auxiliar h(z,y, X) = f(z,y) - X(g(z, y) - c). Supongamos que (zo,yo, X) es dicho punto y sea vo = (zo, yo). Esto es,


En cierto sentido, se trata de un problema en una variable. Si la función g es del todo razonable, entonces el conjunto S definido por g(x, y) = c es una curva y estamos interesados en cómo varía f conforme nos movemos a lo largo de esta curva. Si en la ecuación g ( z , y) = c podemos despejar una variable en términos de la otra, entonces la tendremos explícita y podemos usar el criterio de la segunda derivada para una variable. Si ag/ayl.,, # O, entonces la curva S no es vertical en vo y es razonable que podamos despejar y como función de x en una vecindad de 20. De hecho, lo probaremos en la sección 4.4. (Si ag/axI,, # O, podemos despejar x como función de y.)

Suponer que S es la gráfica de y = d(x). Entonces f IS se puede escribir como función de una variable, f ( x , y) = f ( x , d ( x ) ) . La regla de la cadena da

Y

La relación g(x, $(x)) = c se puede usar para hallar d d l d x Y d2$/dx2. Diferenciando ambos lados de g(z. $(x)) = c respecto a 1: da

Y

de modo que

Al sustituir la ecuación (7) en la (6) tenemos

Y


En V O , sabemos que af /ay = Xag/ay y que a f /ax = Xag/ax , de modo que la ecuación (8) se convierte en

Y

donde las cantidades se evalúan en 20 y h es la función auxiliar introducida anteriormente. Este determinante de 3 X 3 se llama hessiano limitado, y su signo es opuesto al de d2 f / dx2 . Por lo tanto, si es negativo debemos tener un mínimo local. Si es positivo, estamos en un máximo local; y si es cero, el criterio no permite concluir. Este razonamiento conduce al siguiente criterio (ver el ejercicio 24 para un enfoque diferente).

TEOREMA 9 Sean f : U c R2 -+ R y g: U c R2 -+ R funciones suaves (al menos C 2 ) . Sean vo E U , g(v0) = c y S la curva de nivel para g con valor c. Suponer que V g ( v 0 ) # 0 y que existe un número real X tal que V f ( v 0 ) = XVg(v0) . Formar la función auxiliar h = f - Xg y el determinante hessiano limitado

0 " " a9 ag a x a y

ag a 2 h a 2 h IHI = " - - az a x 2 a x a y

evaluado en VO.

(i) Si 1 1 7 1 > O, entonces vg es un punto n~áximo local para fls. (ii) Si IR1 < O, entonces vo es un punto mínimo local para fls.

(iii) Si IHI = O, entonces el criterio no concluye, y vO puede ser un máximo, un mínimo o ni una cosa ni otra.

EJEMPLO 6 Hallar puntos extremos de f ( x , y ) = (z - y)" sujetos a la restricción z2 + y2 = 1 , donde n 2 1.


n ( z - y)"" - 2XX = o

- (.' + y2 - 1) = o.

-n ( z - y)"" - 2Xy = O

De las primeras dos ecuaciones vemos que X(X + y ) = O. Si X = O, entonces X = y = *Jz/2. Si X # O entonces z = -y. os cuatro puntos críticos se representan en la figura 4.3.4 y se listan a continuación los valores correspondientes de f(z, y):

Figura 4.3.4 Los cuatro puntos críticos del ejemplo 6.

Por inspección, vemos que si n es par, entonces A y C son puntos mínimos y B y D son máximos. Si n es impar, entonces B es un punto máximo, D es un mínimo, y A y D no son ni una cosa ni otra. Veamos si el teorema 9 es consistente con estas observaciones.

El determinante hessiano limitado es

l o - 2 2 -2Y IHI = - 2 2 n(n - 1)(2: - y)" - 2X -n(n - 1)(2 - y)"

-2y -n(n - ])(X - y)" n(n - 1 ) ( X - y)7L--2 - 2X

= -4n(n - l ) ( X - y) + y)' + 8X(z2 - y*).


Si n = 1 o si n 2 3, = O en A, B, C y D. Si n = 2, entonces = O en B y D y -16 en A y C. Entonces el criterio de la segunda derivada reconoce los mínimos en A y C, pero no detecta los máximos en B y D para n = 2. Tampoco concluye para otros valores de n. A

Tal como sucede en el caso sin restricciones, también hay un criterio de la segunda derivada para funciones de más de dos variables. Si buscamos los puntos extremos para f ( x 1 , . . . , x,) sujetos a la sola restricción g(x1,. . . , x,) = c, primero formamos el hessiano limitado parala función auxiliar h ( x 1 , . . . ,x,) = f ( x 1 , . . . , x,)-X(g(xl , . . . , x,)- c) , como sigue:

En segundo lugar, examinamos los determinantes de las submatrices diagonales de orden 2 3 en los puntos críticos de h. Si son todos negativos, esto es, si

entonces estamos en un mínimo local de f l S . Si comienzan con un subdeterminante positivo de 3 x 3 y se alternan los signos (esto es, > O, < O , > O, < O,. . . ) , entonces estamos en un máximo local. Si no son todos cero y no siguen estos patrones, entonces el punto no es un máximo ni un mínimo (se llama de tipo silla).*

EJEMPLO 7 Estudiar los puntos extremos locales de f ( x , y, z ) = xyz en la superficie de la esfera unitaria x' + y' + z2 = 1 usando el criterio de la segunda derivada.

*Para un estudio detallado, ver C. Caratheodory, Calculus of Variations and Partial Differen- tial Equations, Holden-Day, San Francisco, 1965; Y. Murata, Mathematics for Stability and Optimization of Economic Systems, Academic Press, Nueva York, 1977, págs. 263-271; o D. Spring, Am. Math. Monthly 92 (1985): 631-643. Ver también el ejercicio 24.

4.3 EXTREMOS RESTRINGIDOS Y MULTIPUCADORES DE LAGRANGE 277

SOLUCIóN Igualando a cero las derivadas parciales de la función auxiliar h(x, y, z, X) = xyz - X(x2 + y2 + z2 - 1) se obtiene

y2 = 2Xx

x2 = 2Xy

xy = 2x2

x2 + y2 + z2 = 1.

Así, 3xyz = 2X(x2+y2 + z 2 ) = 2X. Si X = O, las soluciones son (x, y, z, X) = (hl, O , O , O), ( O , &1,0,0) y ( 0 , 0 , f 1 , 0 ) . Si X # O , entonces tenemos 2X = 3xyz = 6Xz2, de modo que 2’ = f . De manera análoga, x’ = y’ = f . Así, las soluciones están dadas por X = $xyz = f & / 6 . Los puntos críticos de h y los valores correspondientes de f están dados en la tabla 4.1. Vemos de ahí que los puntos E, F, G y K son mínimos. Los puntos D, H, I y J son máximos. Para ver si esto concuerda con el criterio de la segunda derivada necesitamos considerar dos determinantes. Primero veamos lo siguiente:

Observar que signo (IRzl) = signo X = signo (zyz), donde signo cy = $1 si a > O y -1 si cy < O. En segundo lugar consideremos

O -ag/ax -ag/ay -ag/az o -22 -2y -22 -dg/ax a2h/dxZ a2h/axdy a’hlaxdz

-2% y x -2X -ag/dz d2h/axaz a2h/dyaz a 2 h / a z 2 ’ -2y z -2X x

- -ó’g/ay d’hlaxay a2h/ay2 d’hlayaz

-22 -2X z y I & / = -

Tabla 4.1 Los puntos críticos A, B,. . . , J, K de h y valores correspondientes de f

A 1 B O C O D &/3 E - &/3 F &/3 G &/3 H &I 3 I -&/3 J -&I3 K -&I3


que resulta ser +4 en los puntos &A, f B y kc, y - y en los otros 8 puntos. En E, F, G y K, tenemos < O y 1831 < O , de modo que el criterio señala que son mínimos locales. En D, H, I y J , tenemos IR21 > O y 1831 < O, de modo que el criterio señala que son máximos locales. Finalmente, el criterio de la segunda derivada muestra que f A , f B y kc son puntos silla. A

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 al 5 hallar los extremos de f sujetos a las restricciones enunciadas.

f ( 2 , y, 2 ) = 2 - y + z, 2 + y2 + z2 = 2

f ( z , y ) = z, 22 + 2y2 = 3

2. f ( z , y ) = z - y, 22 - y2 = 2

4. f ( z , y , 2 ) = z + y + 2 , 2 ~ - y 2 = 1 , 2 z + z = l

5. f ( 2 , y ) = 3 2 + 2y, 2 x 2 + 3y2 = 3

Hallar los extremos relativos de f IS en los ejercicios 6 al 9.

10. Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de f ( z , y) = z2 + y2 - r - y + 1 en el disco unitario.(ver el ejemplo 9 de la sección 4.2).

11. Considerar la función f(z, y ) = z2 + z y + y2 en el disco unitario D = {(z, y)1x2 + y’ 5 1). Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo para f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f en D.

12. Una caja rectangular sin tapa, debe tener un área de superficie de 16m2. Hallar las dimensiones que maximicen su volumen.

Diseñar una lata cilíndrica (con tapa) que contenga 1 litro de agua, usando la mínima cantidad de metal.

14. Mostrar que las soluciones de las ecuaciones (4) y ( 5 ) están en correspondencia biunívoca con los puntos críticos de h ( z I , . . . , z , , ~ ~ , . . . , x,) = f ( z l , . . , , x n ) - x1 [SI ( 2 1 , . . . , Zn) - C I ] - ’ ’ ’ - X,k[g,(21.. . . , Zn) - C k ] .


15. Se va a cortar y adornar un espejo rectangular con área de A pies cuadrados. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan p centavos por pie y los de los lados verticales cuestan q centavos por pie, hallar las dimensiones que minimicen el costo total.

Un canal de riego en Arizona tiene lados y fondo de concreto con sección transversal trapezoidal de área A = y(z + y tan O) y perímetro hilmedo P = 1: + 2 y / cos O, donde 1: = ancho del fondo, y = profundidad del agua y O = inclinación lateral, medida a partir de la vertical. El mejor diseño para una inclinación fija 0 se halla resolviendo P = mínimo sujeto a la condición A = constante. Mostrar que y' = (A cos 0)/(2 - sen O).

17. Aplicar el criterio de la segunda derivada para estudiar la naturaleza de los extremos en los ejercicios 1 a 5 .

18. Un rayo de luz viaja del punto A al punto B cruzando una frontera entre dos medios (ver la figura 4.3.5). En el primer medio su velocidad es V I , y en el segundo es v2. Mostrar que el viaje se realiza en el menor tiempo cuando se cumple la ley de Snell:

sen01 VI

sen 02 u2 " - - .

Figura 4.3.5 Ley de refracción de Snell.

19. Un servicio de entrega de paquetes requiere que las dimensiones de una caja rectangular sea tal que la longitud más el doble del ancho más el doble de la altura no rebase 108 pulgadas (1 + 2w + 2 h 5 108). iCuál es el volumen de la caja más grande que podrá enviar la compañía?

20. Sea P un punto en la superficie S en R3 definida por la ecuación f ( z , y, z) = 1 donde f es de clase C'. Suponer que P es un punto donde se maximiza la distancia del origen a S. Mostrar que el vector que sale del origen y termina en P es perpendicular a S .

*21. Sea A una matriz simétrica, distinta de cero, de 3 x 3. Entonces sus registros satisfacen all = a ] , . Considerar la función f(x) = $(Ax) -x.

(a) iCnál es V f?

280 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; M h M O S Y MíNIMOS

(b) Considerar la restricción de f a la esfera unitaria S = {(x, y, .)I.” + y2 + z2 = 1) en R3. Suponer que f debe tener un máximo y un mínimo en S (ver las observaciones en la página 260. Mostrar que debe haber un x E S y un X # O tales que Ax = Ax. (x se llama vector propio, mientras que X se llama valor propio.)

*22. Suponer ahora que A en la función f definida en el ejercicio 21 no necesariamente es simétrica.

(a) ¿Cuál es Vf? (b) ¿Es posible concluir la existencia de un vector propio y de un valor propio,

como en el ejercicio 21?

*M (a) Hallar los puntos críticos de z + y’ sujeta a la restricción 2z2 + y2 = 1. (b) Usar el hessiano limitado para clasificar los puntos críticos.

*24. Mostrar que el hessiano limitado de f(z1,. . . , zn) sujeta a la única restricción g(z1,. . . , zn) = c es el hessiano de la función f(z1, . . . , z,) - Xg(z1,. . . , zn) de las n+ 1 variables X, 21,. . . , x n (evaluado en el punto crítico). ¿Pueden usar esta observación para dar otra demostración del criterio restringido de la segunda derivada usando el criterio sin restricciones? [IDEA: Si X0 denota el valor de X determinado por el teorema del multiplicador de Lagrange, considerar la función

SECCIÓN OPTATIVA

*4.4 TEOREMA DE LA FUNCldN IMPLíCITA

Esta sección comienza con el enunciado y demostración de una versión particular del teorema de la función implícita. Esta versión es apropiada para estudiar superficies y, en particular, nos permite completar la demostración del teorema del multiplicador de Lagrange de la sección 4.3. Además de probar este teorema, enunciamos sin demos- tración el teorema general de la función implícita (acompañado del de la inversa). Este estudio será útil más adelante, cuando veamos el teorema del cambio de variables en el capítulo 5 . Sin embargo, los temas cubiertos en esta sección no son esenciales para la comprensión de los principales resultados y aplicaciones del resto del libro.

Recordar, del estudio del cálculo de una variable, que si y = f (z) es una función C’ y f’(z0) # O , entonces podemos, localmente, cerca de 2 0 , despejar z: 1: = f-’(y). Aprendimos que (f-’)’(y) = l /f’(z); esto es, dz/dy = l/(dy/dz). Es plausible que se pueda invertir y = f(z) porque f’(z0) # O significa que la pendiente de y = f(z) no es cero, de modo que la gráfica está subiendo o bajando cerca de 20. Así, si reflejamos la gráfica por medio de la recta y = z sigue siendo una gráfica cerca de (20, yo) donde yo = f(z0). En la figura 4.4.1 podemos invertir y = f(z) en la caja sombreada, así está definido z = f - l ( y ) en este margen.

En el estudio del cálculo de una variable comprendimos la importancia del proceso de inversión. Por ejemplo, z = In y es la inversa de y = e 2 , y 1: = sen-’ y es la inversa de y = sen z. El proceso de inversión también es importante para funciones de varias variables; por ejemplo, el cambio entre coordenadas cartesianas y polares en el plano, incluye la inversión de dos funciones de dos variables.

4.4 TEOREMA DE LA FUNCIóN IMPLfClTA 281

dl_ . X

Figura 4.4.1 Si f'(x0) # O, entonces y = f(x) es localmente invertible.

TEOREMA 10: TEOREMA PARTICULAR DE U FUNCIóN IMPLklTA Suponer que F:R"+' + R tiene derivadas parciales continuas. Denotar los puntos en R"+' por ( X , z), donde X E Rn y z E R, suponer que ( X O , zo) satisface

m o , 2 0 ) = 0 y - ( x o , 20) # o. d F a 2

Entonces existe una bola U que contiene a x0 en R" y una vecindad V de zo en R tal que existe una función única z = g ( x ) definida para x en U y z en V que satisface F ( x , g ( x ) ) = O . Más aún, si x en U y z en V satisfacen F ( x , z) = O, entonces z = g ( x ) . Finalmente, z = g ( x ) es continuamente diferenciable, con la derivada dada por

donde D x F denota la derivada (parcial) de F respecto a la variable x , D x F = [ a F / a x l , . . . , aF/a~n]; esto es,

*DEMOSTRAClÓN Probaremos el caso n = 2, de modo que F : R 3 + R. El caso para toda n es similar, pero debe modificarse la notación. Escribimos x = ( z ,y ) y x . = (xo, yo). Como ( a F / a z ) ( z O , yo, zo) # O , es positivo o negativo. Supongamos, para definir, que es positivo. Por continuidad, podemos hallar números a > O y b > O tales que si [ [ X - x011 < a y Iz - 201 < a, entonces ( a F / & ) ( x , z) > b. También podemos suponer que las otras derivadas parciales están acotadas por un número M en esta región, esto es, I ( a F / a z ) ( x , z)I 5 M y I ( a F / a y ) ( x , z)I 5 M . Esto también se sigue por


la continuidad. Podemos escribir ahora

F ( x , Z ) = F ( x , Z ) - F ( x o , 20)

= [ F ( x , 2) - F ( x o , z ) ] + [F(xo , 2) - F(xo,.o)l.

Considerar la función

h ( t ) = F ( t x + (1 - t)xo, z)

para x y z fijos. Por el teorema del valor medio, existe un número 0 entre O y 1 tal que

h(1) - h(O) = h ’ ( B ) ( l - O ) = h’(B),

esto es,

F ( x , 2 ) - F ( x o , 2 ) = [D,F(Bx + (1 - ~ ) x o , .)](X - .O).

Al sustituir esta fórmula en la ecuación (2) junto con una fórmula similar para el segundo término de la ecuación, da

donde 4 está entre O y 1. Sea a0 que satisface O < a0 < a y escojamos 6 > O tal que 6 < a0 y 6 < bao /2M. Entonces, si /[x - x011 < 6 , tanto 11: - Z O I como Iy - yo1 son menores que 6, de modo que el valor absoluto de cada uno de los dos términos en

es menor que M 6 < M ( b a 0 / 2 M ) = bao/2. Así, IIx - x011 < 6 implica

I[D,F(Bx + (1 - @)xo, .)](x - X O ) ~ < bao.

(Las igualdades se invierten si (aF/az)(xo,zo) < O . ) Así, por el teorema del valor intermedio aplicado a F(x, z) como función de z, para cada x existe z entre zo - ao y zo + a0 tal que F ( x , z) = O . Esta z es única, pues, por cálculo elemental, una función con derivada positiva es creciente y así, no puede tener más de un cero.

4.4 TEOREMA DE LA FUNCldN IMPLklTA 283

Sea U la bola abierta de radio 6 y centro x0 en R" y sea V el intervalo abierto en R de zo - a0 a zo + ao. Hemos probado que si x está confinado a U, existe z Único en V tal que F(x, z ) = O . Esto define la función z = g ( x ) = g(x, y) requerida por el teorema. Dejamos al lector probar que a partir de esta construcción, z = g(z, y) es una función continua.

Falta probar la diferenciabilidad continua de z = g(x ) . De la ecuación (3), y como F(x, z ) = O y zo = g(xo) , tenemos

Si hacemos x = (x0 + h , yo), entonces esta ecuación se convierte en

Cuando h -+ O , se sigue que z -+ x0 y que z "+ zo, de modo que tenemos

La fórmula

se prueba de la misma manera. Esta deducción se cumple en cualquier punto ( 2 , y) en U por medio del mismo argumento, de modo que hemos probado la fórmula (1). Como el lado derecho de la fórmula (1) es continuo, hemos probado el teorema.

Una vez que sabemos que existe z = g(x ) y es diferenciable, se puede verificar la fórmula (1) por medio de diferenciación implícita; esto es, la regla de la cadena aplicada a F(x, g (x ) ) = O da

lo cual es equivalente a la fórmula (1).


EJEMPLO 1 En el teorema particular de la función implícita, es importante recono- cer la necesidad de tomar vecindades U y V suficientemente pequeñas. Por ejemplo, considerar la ecuación

z2 + z2 - 1 = o , esto es, F ( z , z) = z2 + zz - 1, con n = 1 . Aquí, ( a F / a z ) ( z , z) = 22, de modo que se aplica el teorema particular de la función implícita a un punto ( 2 0 , Z O ) que satisfaga zg + Z: - 1 = O y zo # O. Así, cerca de dichos puntos, z es una función única de z. Esta función es z = d m si zo > O y z = - d m si zo < O. Nótese que z está definida sólo para 121 < 1 ( U no debe ser muy grande) y z es única sólo cerca de zo (V no debe ser muy grande). Estos hechos, y el que no exista d z / d x en to = O , son, por supuesto, claros a partir del hecho de que z2 + z2 = 1 define un círculo en el plano z z (figura 4.4.2). A

Z

i

Figura 4.4.2 Es necesario tomar vecindades pequeñas en el teorema de la función implícita.

Apliquemos el teorema 10 al estudio de superficies. Nos interesa el conjunto de nivel de una función g: U c R” -+ R, esto es, de la superficie S formada por el conjunto de x que satisfacen g(x) = co, donde cg = g(x0) y donde x0 está dada. Tomemos n = 3 , para trabajar con un caso concreto. Así, nos ocuparemos de la superficie de nivel de una función g(z, y, z) que pasa por un punto dado ( 20 , yo, 20). Como en el teorema del multiplicador de Lagrange, supongamos que Vg(z0, yo, zo) # O. Esto significa que al menos una de las derivadas parciales de g no es cero. Para definir, supongamos que ( d g / d z ) ( z o , yo, zo) # O. Aplicando el teorema 10 a l a función (z, y, z ) M g(z, y, z) - CO,

sabemos que existe una función única z = k(z, y) que satisface g(z , y, k(z, y)) = co para (z, y) cerca de (zo, yo) y z cerca de 20. Así, cerca de zo l a superficie S es la gráfica de la función k. Como k es continuamente diferenciable, esta superficie tiene plano tangente en ( 2 0 , yo, zo) definido por

4.4 TEOREMA DE LA FUNCldN IMPLfClTA 285

Pero por la fórmula (I ) ,

Sustituyendo estas dos ecuaciones en la ecuación (4) se obtiene esta descripción equivalente:

o = ( 2 - 20)-(zo, 89 yo, 20) + (x - z0)-(zo, 89 yo, 2 0 ) + (Y - yo)--(zo, a9 YO, 20); 8 2 ax a y

esto es, ( " - z o , y - y o , z - z o ) ' v g ( z o , Y o , z o ) = o .

Así, el plano tangente a la superficie de nivel de g es el complemento ortogonal a Vg(z0, yo, 20) que pasa por el punto (20, yo, 20). Esto concuerda con la definición de la pág. 150.

Ahora estamos preparados para completar la demostración del teorema del multiplicador de Lagrange. Para ello debemos mostrar que todo vector tangente a S en (20, yo, 20) es tangente a una curva en S. Por el teorema 10, basta mostrar esto para una gráfica de la forma z = k(z, y). Sin embargo, si v = (z - 20, y - yo, z - 20) es tangente a la gráfica (esto es, si satisface la ecuación (4)), entonces v es tangente a la curva en S dada por

c ( t ) = (20 + t(z: - ~ o ) , YO + t ( ~ - YO), k(zo + t ( z - zo), YO + t ( ~ - yo)))

en t = O. Esto puede verificarse usando la regla de la cadena. (Ver la figura 4.4.3.)

X

'-" c(t) = pálica de rectau(t)

Figura 4.4.3 Construcción de una curva c ( t ) en la superficie S cuyo vector tangente es v.


EJEMPLO 2 ¿Cerca de cuáles puntos es posible representar la superficie

z3 + 3yz + 8x2’ - 3z3y = 1

como gráfica de un función diferenciable z = k(z, y ) ?

SOLUCIóN Aquí tomamos F ( z , y, z) = z3 + 3y2 + 822’ - 3z3y - 1 e intentamos despejar z de F ( z , y, z) = O para presentarlo como función de ( 2 , y). Por el teorema 10, es posible hacerlo cerca de un punto (20, yo, Z O ) si ( a F / a z ) ( z o , yo, Z O ) # O , esto es, si

zo(l6z0, SZOYO) # O ,

lo cual significa, a su vez,

z0 # O y 16x0 # SZOYO. A

A continuación enunciaremos, sin demostración, el teorema general de la función implícita.’ En lugar de tratar de resolver una ecuación con una variable, tratamos de resolver m ecuaciones con m variables 21,. . . , zm:

F I ( Z 1 , . . . , z,, Z ] , . . . , Z m ) = o F 2 ( 2 1 , . . . , z,, 2 1 , . . . , Z m ) = o

F * ( Z l , . . . , x n r 2 1 , . . . , z*) = o

En el teorema 10 teníamos la condición d F / a z # O. La condición apropiada para el teorema general de la función implícita es que A # O, donde A es el determinante de la matriz de m X m

~ . . . aFm . a21

aFm -

evaluado en el punto (XO, 20); en la vecindad de dicho punto podemos resolver de manera única para z en términos de x.

*Para tres demostraciones diferentes del caso general, consultar:

(a) E. Goursat, A Course in Mathematical Analysis, I, Dover, Nueva York, 1959, pág. 45. (Esta demostración deduce el teorema general mediante aplicaciones sucesivas del teorema 10.)

(b) T. M. Apostol, Mathematical Analysis, 2a ed., Addison Wesley, Reading, Mass., 1974.

(c) J. E. Marsden, Elementary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974.

De estas fuentes, las dos últimas usan ideas más sofisticadas, que usualmente no se cubren hasta un curso introductorio de análisis. Sin embargo, la primera la puede comprender fácilmente un lector que tenga algún conocimiento de álgebra lineal.

4.4 TEOREMA DE LA FUNCldN IMPLklTA 287

TEOREMA 11 : TEOREMA GENERAL DE LA FUNCIóN IMPLíCITA Si A # O, entonces cerca del punto (XO, ZO), la ecuación (5) define de manera única funciones (suaves)

2; = k,(Xl , . . . , e , ) (2 = 1,. . . , m ) .

Sus derivadas se pueden cdcular mediante diferenciación implícita.

EJEMPLO 3 Mostrar que cerca del punto ( x , y, u , u) = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) podemos resolver

x u + yvu2 = 2

xu3 + y2v4 = 2

de manera única para u y v como funciones de 2: y y. Calcular ( a u / a x ) ( l , 1 ) .

SOLUCIóN Para verificar la existencia de la solución, formamos las ecuaciones

y el determinante

= I 3 3 1 4 1 = 9 .

Como A # O, se asegura la existencia de la solución por el teorema general de la función implícita. Para hallar a u / a x , diferenciamos implícitamente las ecuaciones dadas en x usando la regla de la cadena:

x - + u + y-u + 2yvu- = o a U av 2 au a x a x al:

3 2 u - + u +4y v "O. 2 a u 3 2 3 a v

a x a x Al hacer ( x , y, u , v) = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) da

a u a v 3- + - = -1 a2 ax

au av

a x a x 3- + 4- = -1.

Resolviendo para a u / a x , multiplicando la primera ecuación por 4 y restando, da a u / d x = -+. A


Un caso especial del teorema genrral de l a funci6n implícit,a es el teorema de la función inversa. Aquí tratamos de resolver las n ecuacionr:s

para X I , . . . , z n como funciones de y,,. . . , y,,; esto es, estamos tratando de invertir las ecuaciones del sistema (6). Esto es análogo a formar los inversos de funciones como sen 2: = y y e” = y, con las que ~1 lector debe estar familiarizado desde cálculo elemental. Ahora, sin embargo, trat,amos con funcioncs de varias variables. La cursticin de existell- cia de solución se responde por medio del t.eornna general de la fun(-i6n implícita aplicado a las funciones yt - f l ( z l , . . . . r n ) con las inccigtlit,as 11. . . . . I,? (llamadas - 1 l . . . . zTL anteriormente). La condición para existencia ( le h ( ~ l u ( . i i ) t ~ en una vecirldad de ut1 ~ I I I I L O

x0 es A # O , donde A es el deterrninante d c la matriz Df(xo)) y f = ( f ~ , . . . , fll). La cantidad A se denota por a(f1.. . . .fn)/8(rIs. . . . I,,). ¿)(y,, . . . I y n ) / a ( z l , . . . , x n ) o J f ( x 0 j y se llama determinarrtr jacobiano de f . Explícitamer~t~e,

El deterrninante jacobiano jugarii u n papel importante en nues t ro trabajo posterior de integración (ver la sección 6.3). El teorema siguiente resume wtr análisis:

TEOREMA 12: TEOREMA DE LA FUNCIóN INVERSA Sea U c R’” u n abierto y ,sean fi: U --3. R,. . . , fn: U + R. con derivadas parcialrs continuas. Considerar las ecnaciones en el grupo (6) cerca de una solución dada xo, yo. Si [a(fl,. . . , f ,)]/[a(zI, . . . , zrL)] = Jf(xo) (definido por la ecuación (7)) es difrrc.rtte de cero, entonces el grupo (6) de ecuaciones se puede resolver de manera rínica corno x = g ( y ) para x cerca cit. x. ,y y cerca de yo. Más aún, l a funcit jr l y tiene derivatlds parciales continuas.

EJEMPLO 4 Considerar las ecnacjonea

¿Cerca de cuáles puntos ( x . y ) podernos resolver para r y y en -te‘rrninos d e 11 y u?

SOLUCIÓN Aquí las funciones son u ( z , y j = f l ( z , y j = (z4 + y4)/z y V ( T , y) = f 2 ( z , y) = sen T + cos y. Queremos conocer los puntos cerca de los cuales podemos resolver para L y y corno funcioncs (ir 21 y O. De acuerdo con el teorema de l a función

4.4 TEOREMA DE LA FUNCIóN IMPLfClTA 289

inversa, debemos primero calcular a(f1 , f2)/a(z, y). Tomemos el dominio de f = (fl, f2) como U = {(.,y) E R'lz # O } . Ahora

Por lo tanto, en los puntos donde esto no se anula, se puede resolver para z y y en términos de u y v. En otras palabras, podemos resolver para z y y cerca de aquellos z,

y para los que z # O y (seny)(y4 - 3 z 4 ) # 4zy3 cosz. Generalmente no se pueden resolver explícitamente dichas condiciones. Por ejemplo, si zo = ~ / 2 , yo = r /2 , podemos resolver para z y y cerca de (zo, yo) pues ahí d(f1, A ) / d ( z , y) # O. A

EJERCICIOS

1. Sea F ( z , y ) = O que define una curva en el plano zy que pasa por el punto (20, yo). Suponer que (aF/ay)(zo, yo) # O. Mostrar que esta curva se puede representar localmente por la gráfica de una función y = g(z). Mostrar que (i) la recta ortogonal a V F ( z 0 , y o j concuerda con (ii) la recta tangente a la gráfica de y = g(z).

Mostrar que zy + z + 3zz5 = 4 es soluble para z como función de (X, y) cerca ( I , O , 1). Calcular a z / d x y az/dy en ( I , O) .

3. (a) Verificar directamente (i.e., sin usar el teorema 10) dónde podemos resolver la

(b) Verificar que la respuesta en la parte (a) concuerde con la respuesta esperada ecuación F(z , y) = y' + y + 32 + 1 = O para y en términos de z.

del teorema de la función implícita. Calcular dyldz.

4. Repetir el ejercicio 3 con F ( z , y) = zy' - 2y + 2' + 2 = O.

5. Mostrar que z3z2 - z3yz = O es soluble para z como función de ( 2 , y) cerca de (1,1, I ) , pero no cerca del origen. Calcular a z / d x y dz/dy en (1,l).

6. Analizar la solubilidad del sistema

3 2 + 2y + zz + u + 1)' = o

4 ~ + 3 ~ + z + u 2 + v + w + 2 = 0

z + z + w + u 2 + 2 = o

para u, v y w en términos de X , y y z cerca de 2 = y = z = O, u = v = 0 y w = -2.


8. Investigar si el sistema

se puede resolver para r , y y 2 en t6rminos de u , 11 y w, cerca de (x, y , z ) = ( O , O, O) .

9. Considerar f ( z , y ) = ( ( x 2 - $)/(x’ + y’), zy/(x’ + y 2 ) ) . ¿Tiene esta función de R2\(0, O ) a R’ inversa local cerca (ir (x, y ) = ( O , l)?

10. Definir z: RZ + R por z ( r , O ) = T cos O y definir y: R2 -+ R por ~ ( T , O ) = T sen O . Mostrar que

¿Cuándo podernos formar una función inversa suave ~ ( x , y), H(z, y)? Verificar

(c) Considerar las siguientes transformaciones Rara coordenadas esféricas (ver l a directamente y con el teorema de la función inversa.

sección 1.4):

x ( p , h , O ) = psen&cosB

y( p, q>< H) = p sen q5 sen O

,.(p. $9, O ) = pcos $5.

Mostrar que

(d) ¿Cuándo podemos resolver para ( p , &, O ) en términos de (x, y, z)?

11. Sea (20, yo, Z O ) un punto del lugar geométrico definido por 2’ + z y - a = O, 2’ + 2’ - y’ - b = O , donde a y b son constantes.

(a) ¿Bajo qué condiciones puede la parte de la figura cerca de (ZO, yo, Z O ) repre-

(b) Calcular f ’ ( z ) y g’(z).

sentarse en l a forma 2 = f(z), y = g ( r ) ?

4.5 ALGUNAS APLICACIONES 291

¿Es posible Iesolvex

zy* + zzu + yv2 = 3

u”yz + 2xv - u2v2 = 2

para u(%, y, z), v(2, y, z) cerca de ( z , ~ , z) = ( I , 1, I) , (u, v) = (1, l)? Calcular &/ay en (2, Y, 2) = (1,171).

13. El problema de factorizar un polinomio zn + an-lzn-l + . . . + a0 en factores lineales es, en cierto sentido, un problema de “función inversa”. Los coeficientes a, son funciones conocidas de las n raíces r J . Quisiéramos expresar las raíces como funciones de los coeficientes en alguna región. Con n = 3 , aplicar el teorema de la función inversa a este problema y enunciar la conclusión acerca de la posibilidad de hacer lo planteado.

4.5 ALGUNAS APLICACIONES

En esta sección daremos algunas aplicaciones de los métodos matemáticos desarrollados en las secciones anteriores. Estos métodos tienen aplicación en me- cánica, geometría y economía, comenzando con mecánica. El alumno deberá consultar con su maestro acerca de cuáles ejemplos deberá estudiar.

Denotemos por F un campo de fuerza definido en cierto dominio U de R3. Así, F: U ”+ R3 es un campo vectorial dado. Acordemos que una partícula (con masa m), se mueve a lo largo de una trayectoria ~ ( t ) de manera que se cumple la ley de Newton; masa X aceleración = fuerza; esto es, la trayectoria a(t) satisface la ecuación

ma”(t) = F ( u ( t ) ) . (1)

Si F es un campo de potencial con potencial V , esto es, si F = - grad V , entonces

imlla’(t)l12 + V(a( t ) ) = constante. ( 2 )

(El primer término se llama energia cinética.) En efecto, al diferenciar con la regla de la cadena,

- [ -m)la‘(t)l)2 + V ( a ( t ) ) ] = mo’(t) a”(t) +grad V ( a ( t ) ) - d ( t ) d l d t 2

= [ma”(t) + grad V ( a ( t ) ) ] a’(t) = O ,

pues m ~ ” ( t ) = -grad V ( u ( t ) ) . Esto prueba la fórmula (2).

DEFINICI~N Un punto x0 E U se llama posición de equilibrio si la fuerza en ese punto es cero: F(xo) = O . Un punto x0 que sea posición de equilibrio se llama estable si para todo p > O y E > O , podemos escoger números po > O y €0 > O tales que un punto material situado en cualquier lugar a una distancia menor que po de XO, después de recibir inicialmente energía cinética en una cantidad

292 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXIMOS Y.MíNIMOS

menor que €0, permanecerá para siemprr a una distancia de x g menor que p y poseerá energia cinética menor clue 6 (ver la figura 4.Fi.1,).

Figura 4.5.1 Movimiento cerca de u n punto estable x0

Así, si tenemos una posición dc equilibrio, estabilidad en x g significa que una partícula que se mueva lentamente cc’rca de x0 siempre pc:rrnanecerá cerca de x0 y se mantendrá movihdose lentanlent,e. Si tenemos un punto de equilibrio inestable xol entonces o(t) = x0 resuelve la ecuación ma’’(t) = F(b(t)), pero las soluciones cercanas pueden alejarse de x0 conforme transcurra el tiempo. Por ejemplo, un lápiz que se balancee sobre su punta ilustra una configuración inestable, mientaras que una bola colgando de un resorte ilustra un equilibrio estable.

TEOREMA 13

(i) Los puntos criticos de un potencial so11 posiciones de equilibrio. (ii) En un campo de potencial, u n punto x0 en el cual el potencial alcance un

mínimo local estricto es una posición (le equilibrio estable. (Recordar que una funciórl f tiene un mínirno local estricto en el punto x0 si existe una vecindad U de x0 tal que f ( x ) > f ( x 0 ) para tjodo x en U distinto de x0.)

SOLUCIÓN La primera afirmación es bastante obvia debido a la definición F = -grad V ; los puntos de equilibrio x0 son exactamente los puntos críticos de V, en los cuales VV(x0) = O .

Para probar la afirmación (ii), haremos uso de la ley de conservación de energía, ecuación (2). Tenemos

1 1 2 2 - r n l l a ’ ( t ) l l 2 + V ( a ( t ) ) = -mlla’(0)112 + V(a’(0) ) .

Argumentaremos de manera un poco informal para ampliar e iluminar las ideas centrales. Escojamos una pequelia vecindad de X0 y comience nuestra partícula


con poca energía cinética. Conforme t crece, la partícula se aleja de x0 sobre una trayectoria, a(t) y V ( a ( t ) ) crece (pues V(a(O)) es un mínimo estricto), de modo que la energía cinética debe decrecer. Si la energía cinética inicial es suficientemente pequeña, entonces, para que la partícula escape de la vecindad de XO, fuera de la cual V ha crecido en una cantidad definida, la energía cinética tendría que volverse negativa (lo cual es imposible). Así, la partícula no puede escapar de la vecindad.

EJEMPLO 1 Hallar los puntos que son posiciones de equilibrio y determinar si son o n o estables, si el campo de fuerza F = F,i + Fyj + F,k está dado por F, = - k 2 x , Fy = - k 2 y , F, = - k 2 z ( k # O).*

SOLUCIÓN El campo F es un campo de potencial, con potencial V = i k 2 ( z 2 + y’ + 2’). El ímico punto crítico de V es el origen. El hessiano de V en el origen es HV(O,O,O)(hl, ha, h3) = i k 2 ( h : + h: + h i ) , que es definitivamente positivo. Se sigue que el origen es un mínimo estricto de V . Así, por (i) y (ii) del teorema 13, hemos mostrado que el origen es una posición de equilibrio estable. A

Sea un punto material en un campo de potencial V restringido a mantenerse sobre la superficie de nivel S dada por la ecuación $ ( x , y , z ) = O, con grad q5 # O. Si en la fórmula (1) reemplazamos F con la componente de F paralela a S, aseguramos que la partícula permanecerá en S.1 Por analogía con el teorema 13, tenemos:

TEOREMA 14

(i) Si en un punto P sobre lasuperficie S el potencial VIS tiene un valor extremo, entonces el punto P es una posición de equilibrio sobre la superficie. (ii) Si un punto P E S es un minimo local estricto del potencial VIS, entonces el punto P es una posición de equilibrio estable.

Se omitirá la demostración de este teorema. Es análoga a la demostración del teorema 13, con el hecho adicional de que la ecuación de movimiento usa sólo la componente de F a lo largo de la superficie.$

*El campo de fuerza en este ejemplo es el que gobierna el movimiento de un oscilador armónico tridimensional. tSi “!.I, y, 2) = zZ + yz + z2 - T ’ , la partícula está restringida a moverse sobre una esfera; por eJemplo, puede estar girando sujeta a una cuerda. La parte sustraída de F para hacerlo paralelo a S es normal a S y se llama fuerza centrípeta. $Estas ideas se pueden aplicar a un buen número de situaciones físicas interesantes, tales como vibraciones moleculares. La estabilidad de dichos sistemas es una cuestión importante. Para mayor información consultar la literatura sobre física (e.g., H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1950, capítulo 10) y la literatura matemática (e.g., M. Hirsch y S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, Nueva York, 1974).


EJEMPLO 2 Sea F el campo gravitacional cerca de la superficie de la Tierra; esto es, sea F = ( F z , Fy, F A ) , donde F, = O , FzI = O y F, = - m g , donde g es la aceleración debida a la gravedad. ¿Cuáles son las posiciones de equilibrio, si un punto material con masa m está restringido a la esfera 4(x, y , z ) = x’ + y’ + z’ - r’ = O ( r > O ) ? ¿Cuales son estables?

SOLUCI~N Nótese que F es un campo de potencial con V = m g z . Usando el método de los multiplicadores de Lagrange introducido en la sección 4.3 para localizar los extremos posibles, tenemos las ecuaciones

vv = XVd

d=O

o, en términos de componentes,

O = 2Ax

o = 2xy

m y = 2x2

2 + y2 + z2 - r2 = o.

La solución de estas ecuaciones simultáneas es 2 = O , y = O , z = k r , X = f r n g / 2 r . Por el teorema 14, se sigue que los puntos PI = ( O , O , - r ) y Pz = ( O , O , r ) son posiciones de equilibrio. Al observar la función de potencial V = m g z y por el teorema 14, parte (ii), se sigue que PI es un mínimo estricto y, por lo tanto, un punto estable, mientras que Pa no lo es. Esta conclusión debe resultar obvia desde el punto de vista físico. A

Pasamos ahora a una aplicación geornét,rica.

EJEMPLO 3 Suponer que tenemos una curva definida por la ecuación

d ( z , y ) = Ax2 + 2 B x y + C y 2 - 1 = O .

Hallar la distancia máxima y mínima de la curva al origen. (Estas son las longitudes de los ejes semimayor y senlimenor de esta cuadrática.)

SOLUCIÓN El problema es equivalente a hallar los valores extremos de f(x, y) = x’ + y’ sujeto a la condición restrictiva +(.,y) = O . Usando el método del multiplicador de Lagrange, tenemos las ecuaciones siguientes:

22 + X(2Az + 2 B y ) = o

2y + X(2Bz + 2 C y ) = 0

Ax2 + 2 B x y + Cyz = 1.

4.5 ALGUNAS APLlCAClONES 295

Sumando x por la ecuación (1) más y por la ecuación (a), obtenemos 2(x2 + y') + 2X(Ax2 + 2Bxy + Cy') = O . De la ecuación (3) se sigue que x' + y 2 + X = O. Sea t = - l / X = 1/(x2 + y2) (es imposible que X = O, pues ( O , O) no está sobre la curva d ( x , y) = O). Entonces l a s ecuaciones (1) y (2) se pueden escribir como sigue:

2(A - t ) z + 2 B y = O

2Ba + 2(C - t)y = o (4)

Si estas dos ecuaciones van a tener solución no trivial (recordar que (x, y) = (O, O) no está sobre nuestra curva, de modo que no es solución), se sigue de un teorema de álgebra lineal, que su determinante se anula:*

Como esta ecuación es cuadrática en t , ha dos soluciones, que llamaremos t l y t 2 . Como -X = x2 + y', tenemos d& = a. Ahora bien, d m es la distancia del punto (x,?/) al origen. Por lo tanto, si (x1, y1) y (22 , y') denotan las soluciones no triviales de la ecuación (4), correspondientes a t l y t z , tenemos que /x= = 1/& y d m = 1/&. En consecuencia, si t l > t z , las longitudes de los ejes semimenor y semimayor son l/& y 1/&, respectivamente. Si la curva es una elipse, tanto t l como t 2 son reales y positivos. ¿Qué sucede con una hipérbola o una parábola? A

Finalmente, estudiaremos una aplicación en economía.

EJEMPLO 4 Suponer que la producción de una firma manufacturera es una cantidad Q de cierto producto, donde Q es una función f(Ií, L), donde Ii' es la cantidad de capital (inversión) y L es la cantidad de trabajo usada. Si el precio del trabajo es p , el precio del capital q y la firma no puede gastar más de B dólares, ¿cómo podemos hallar la cantidad de capital y de trabajo que maximice la producción Q?

S O L U C I ~ N Se esperaría que si se incrementa la cantidad de capital o de trabajo, entonces la producción deberá incrementarse; esto es,

*La matriz de los coeficientes de las ecuaciones no puede tener inversa, pues ello implicaría que la solución es cero. De la sección 1.5 sabemos que una matriz que no tiene inversa, tiene determinante cero.


También se esperaría que conforme se añada trabajo a una cantidad dada de capital, obtendremos menos productos adicionales por nuestro esfuerzo; esto es,

De manera análoga,

Con estas hipótesis sobre Q, es razonable esperar que las curvas de nivel de la producción (llamadas isocuantas) Q(I<, 15) = c se vean como las esbozadas en la figura 4.5.2, con c1 < c2 < c3.

L

Figura 4.5.2 iCuál es el mayor valor de Q en el triángulo sombreado?

Podemos interpretar la convexidad de las isocuantas como sigue: conforme nos movemos hacia la derecha a lo largo de una isocuanta dada, se emplea más y más capital para reemplazar una unidad de trabajo y producir la misma cantidad. La restricción de presupuesto significa que debemos mantenernos dentro del triángulo acotado por los ejes y la recta p L + q K = B . Geométricamente, es claro que producimos más al gastar nuestro dinero de tal manera que seleccionemos la isocuanta que solamente toca, pero no cruza, la recta de presupuesto.

Como el punto máximo está en la frontera de nuestro dominio, aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el máximo. Para maximizar Q = f ( K , t) sujeto a la restricción pl; + q K = B , buscamos los puntos


críticos de la función auxiliar,

h ( K , L , X) = f(h', L ) - X(pL + qK - B ) .

Así, queremos

aQ - = Xq, - 3 h' d L

aQ = X p Y p L + q K = B.

Estas son las condiciones que debemos alcanzar para maximizar la producción. (En el ejercicio 11 se pide al lector trabajar un caso específico.) A

En el ejemplo anterior, X representa algo interesante. Sea IC = q K y I = p L , de modo que k es el valor en dólares del capital empleado y I es el valor en dólares del trabajo empleado. Entonces las primeras dos ecuaciones se convierten en

Así, en el punto óptimo de producción, el cambio marginal en la producción por dólar de inversión de capital adicional, es igual al cambio marginal de la producción por dólar de trabajo adicional, y X es este valor común. En el punto óptimo, el intercambio de un dólar de capital por un dólar de trabajo no cambia la producción. Fuera del punto óptimo, la producción marginal es distinta, y un intercambio o el otro incrementarán la producción.

EJERCICIOS

Sea una partícula que se mueve en un campo de potencial en R2 dado por V(z, y) = 3z2 + 2xy + 22 + y2 + y + 4. Hallar los puntos de equilibrio estable, si los hay.

2. Sea una partícula moviéndose en un campo de potencial en R2 dado por V(z, y ) = z2 - 22y + y' + y3 + z4. ¿Es (O, O) una posición de equilibrio estable?

3. Sea una partícula moviéndose en un campo de potencial en R2 dado por V(z, y ) = z2 + 4zy - y' - 82 - 6y. Hallar todos los puntos de equilibrio. ¿Cuáles, si hay, son estables?

4. Sea una partícula restringida a moverse en el círculo x 2 + y' = 25 sujeta a fuerzas gravitacionales (como en el ejemplo 2) así como al potencial adicional V ( x , y) = x2 + 242y + 8y2. Hallar los puntos de equilibrio estable, si los hay.

Sea una partícula restringida a moverse sobre la esfera z2 + y2 + z2 = 1, su- je ta a fuerzas gravitacionales (como en el ejemplo a ) , así como al potencial adicional V(z, y, z ) = z + y. Hallar los puntos de equilibrio estable, si los hay.


6. Tratar de formular una definición y un teorema que diga que si un potencial tiene un máximo en XO, entonces x0 es una posición de equilibrio inestable. Cuidado con las fallas en su argumentación.

7.

r?;l 9.

1 o.

Tratar de hallar los extremos de z y + yz entre los puntos que satisfacen z z = 1.

Responder la pregunta planteada en la última línea del ejemplo 3 .

Hallar el punto sobre la curva (cost, sen t , sen(t/2)) más alejado del origen.

La función de producción de una compañía es Q(z, y ) = z y . El costo de producción es C(z, y ) = 22. + 3y. Si esta compañía gasta C(z, y) = 10, ¿cuál es la máxima cantidad que puede producir?

Realizar el análisis del ejemplo 4 para la función de producción Q ( K , L ) = AKaL1-a , donde A y (Y son constantes positivas y O < (Y < 1. ÉSta se llama función de producción de Cobb-Douglas y se usa a veces como un modelo sencillo para la economía nacional. Q es, entonces, la producción agregada de la economía para una entrada de capital y trabajo dada.

12. Una firma usa fibra de lana y de algodón para producir tela. La cantidad de tela producida está dada por Q(z, y) = z y - z - y + 1, donde z es el número de libras de lana, y el número de libras de algodón, z > 1 y y > 1. Si la lana cuesta p dólares por libra y el algodón q dólares por libra, y la firma puede gastar B dólares en material, ¿Cuál será la razón de algodón y lana para producir la mayor cantidad de tela?


1. Analizar el comportamiento de las siguientes funciones en los puntos indicados. (La respuesta puede depender de la constante C.)

(a) z + zz - yz + 32:y, (X , Y) = (01 0) = z2 + y2 + c z y , (x, y) = ( O , O )

(c) z = z2 - y2 + czy , (z, y) = ( O , O)

2. Hallar y clasificar los valores extremos (si los hay) de las funciones en R2 definidas por las expresiones siguientes:

(a) y’ - z3 (b) (z - 1)’ + (z - y)2 z2 + zy2 + y4

3. (a) Hallar la distancia mínima del origen en R3 a la supeficie z = d m . (b) Repetir la parte (a) para la superficie z = 6zy + 7 .

4. Hallar los primeros términos en el desarrollo de Taylor de f(z, y) = ely cos z alrededor de z = O , y = O.

o 5 Hallar el valor extremo de z = zy, sujeto a la condición z + y = 1.

6. Hallar los valores extremos de z = cos’ 2: +cosz y sujeto a la condición z + y = ~ / 4 .

7. Hallar los puntos sobre la superficie zz - zy = 1 más cercanos al origen.

EJERCICIOS DEL REPASO DEL CAPíTULO 4 299

8. Usar el teorema de la función implícita para calcular dy/dz para (a) z /y = 10 z3 - s e n y + y 4 = 4 (c) e t + y a + y3 = o

9. Hallar la distancia más corta del punto ( O , b ) a la parábola z2 - 4y = O. Resolver este problema usando el multiplicador de Lagrange y también sin usar el método de Lagrange.

10. Resolver los siguientes problemas geométricos mediante el método de Lagrange.

ecuación está dada por b l z l + b 2 2 2 + b 3 2 3 + bo = O , donde ( b 1 , b 2 , b 3 ) # ( O , O , O ) .

a323 = O y b l z l + b 2 z 2 + b323 + bo = O que esté más cerca del origen.

inscribirse en el elipsoide

(a) Hallar la distancia más corta del punto ( a l , u 2 , u3) en R3 al plano cuya

(b) Hallar el punto sobre la recta de intersección de los dos planos ulzl + u 2 2 2 + Mostrar que el volumen del paralelepípedo rectangular más grande que puede

x2 y2 z2 -+-+"=1 a2 b2 c2

es 8abc/3&.

11. Una particula se mueve en un potencial V[z, y) = z3 - y' + z2 + 3 z y . Determinar si (O, O ) es un punto de equilibrio estable.

12. Estudiar la naturaleza de la función f (z, y) = z3 - 3zy2 cerca de (O, O). Mostrar que el punto (O, O) es un punto crítico degenerado, esto es, D = O. Esta superficie se llama "silla de monon.

13. Hallar y esbozar el máximo de f ( z , y) = zy sobre la curva (z + 1)2 + y2 = 1.

Hallar el máximo y mínimo de f(z, y) = zy - y + z - 1 en el conjunto z2 + y2 5 2.

15. La planta en Baraboo, Wisconsin, de la Compañía Internacional de Chucherías, S.A. usa aluminio, hierro y magnesio para producir chucherías de alta calidad. La cantidad de chucherías que puede producir usando 2: toneladas de aluminio, y toneladas de hierro y z toneladas de magnesio es Q(z, y, z) = zyz. El costo de la materia prima es: aluminio, $6 por tonelada; hierro, $4 por tonelada; y magnesio, $8 por tonelada. ¿Cuántas toneladas de aluminio, hierro y magnesio deberán usarse para manufactu- rar 1000 chucherías al menor costo posible? (IDEA: Hallar un valor extremo: ¿de qué función, sujeta a qué restricciones?)

*16. Sea f: R -* R de clase C' y sea

u = f(.) 21 = "y + zf(.)

Si f'(zo) # O, mostrar que esta transformación de R2 a R2 es invertible cerca de (20, y) y su inversa está dada por

2 = f-l[s)

y = "21 + ?if"(.).

300 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR; MÁXlMOS Y MíNIMOS

2 ~ y2 - + + 4 = o 2 r y + y' - 212 + 304 + x = o

determinan funciones u ( z , y) y L I ( L . y ) crrca d v I = 2 y y = - I tales que u(2 , -1) = 2 y v(2, -1) = 1. Calcular a u / a x en ( 2 , - I ) .

*19: Para trabajar en este ejercicio el lector tieherá est,ar familiarizado con la técnica de diagonalización de una matriz de 2 x 2. Sean u(.), b ( z ) y c (z ) tres funciones continuas definidas en U u a U , donde M rs u n conjunto abierto y aLr denota su conjunto de puntos frontera (ver la sección 2 .2) . Usar la not.aci6n del lema 2 en la sección 4.2, y suponer que para cada S E I1 U al:, la forma cuadrhtica definida por l a matriz

es definitivarnenk positiva. Para una función u de clase C 2 , en U U aU, definimos un operador diferencial L mediante L u = a ( i 1 2 n / a x 2 ) + 2b(a2v/azay) + c(a2u/ay2).

Con esta condición de definitivitlad positiva, dicho operador se llama elíptico. Una fun- ción u se llama estrictamente suharn~ónica respecto a L si Lv > O. Mostrar que una función estrictamente subarmónica no puede tener un punto máximo en U .

*20. Se dice que una función v está en el núcleo del operador L descrito en el ejercicio 19 si L v = O en U U aU. Argumentando como e n el ejercicio 35 df: l a sección 4.2, mostrar que si v alcanza su máximo en U , también lo alcanza en aU. Este es el principio débil del máximo para operadores elípticos.

'21. Sea L un operador diferencial elíptico como en los ejercicios 19 y 20. (a) Definir el concepto de función supraarmónica estricta. (b) Mostrar que dichas funciones no pueden alcanzar un mínimo en U. (c) Si v es como en el ejercicio 2 0 , mostrar que si 'u alcanza su mínimo en U,

también lo alcanza en a U .

El siguiente método de los cuadrados mínimos deberá aplicarse a los ejercicios 22 al 27.

Sucede a menudo que la teoría detrás de un experimento indica que los datos experimentales deberán estar colocados, &e manera aproximada, a lo largo de una recta de la forma y = mx + b. Es claro que los resultados obtenidos en la realidad, nunca concuerdan exactamente con la teoría. Enfrentamos entonces el problema de hallar la

EJERCICIOS DEL REPASO DEL CAPíTULO 4 301

Figura 4.R.1 El método de los cuadrados mínimos trata de hallar una r e a q u e mejor aproxime un conjunto de datos.

recta que mejor se ajuste a algún conjunto de datos experimentales (21, y ~ ) , . . . ,(xn, yn) como en la figura 4.R.1. Si pensamos que la recta y = mx + b ajustará los datos, cada punto se desviará verticalmente de la recta en una distancia d , = y, - ( m z , + b ) .

Quisiéramos escoger m y b de manera que el efect.0 total de estas desviaciones fuera lo más pequeño posible. Sin embargo, como algunas son negativas y otras positivas, y a pesar de tener multitud de cancelaciones, quizá el ajuste siga siendo malo. Esto nos hace sospechar que quizá una mejor medida del error total sea la suma de los cuadrados de estas desviaciones. Así, llegamos al problema de hallar m y b que minimicen la función

donde XI,. . . , x,, y y],. . . , yn son datos dados

Para cada conjunto de tres puntos dato, localizar los puntos, escribir la función f ( m , b ) anterior y hallar m y b para dar el mejor ajuste en línea recta de acuerdo con el método de los cuadrados mínimos, y dibujar l a recta. (a) ( x 1 , ~ 1 ) = ( 1 , 1 ) (b) ( ~ I , Y ~ ) = ( O , O )

(x2, Y 2 1 = ( 2 , 3 ) (x21 Y Z ) = (112)

(z3, Y3) = ( 4 , 3 ) ( x 3 , Y3) = G 3 )

23. Mostrar que si sólo se dan dos puntos dato ( 2 1 , y , ) y (22, y2), este método produce la recta que pasa por ( x ~ , Y I ) Y ( x 2 , ~ 2 ) .

24. Mostrar que las ecuaciones para un punto crítico, a s l a b = O y aslam = O , son equivalentes a

donde todas las sumas van de i = 1 a i = 7 ~ .


Si y = 7nr + b es la recta que mejor ajusta los puntos dato (.I, yl),. . . , ( x n , y n ) de acuerdo con el método de los cuadrados mínimos, mostrar que

n

,=I

esto es, las desviaciones positivas y negativas se cancelan (ver el ejercicio 24).

26. Usar el criterio de l a segunda derivada para mostrar que el punto crítico de f en realidad no produce un mínimo.

27. Usar el mhtodo de los cuadrados mínimos para hallar l a recta que mejor ajuste los puntos ( O . l ) , (1, : 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) y ( 4 , 5 ) . Dibujar los puntos y l a recta.*

*El método de los cuadrados m'nimos puede ser cambiado y generalizado de multitud de maneras. La idea básica se puede aplicar a ecuadones de curvas más complicadas que una recta. Por ejemplo, se puede buscar la parábola que mejor ajuste un conjunto dado de datos. Estas ideas también formaban parte de la base para el desarrollo de la ciencia de la cibernética realizado por Norbert Wiener. Otra versión de los datos es el siguiente problema de aproximación de cuadrados mínimos: dada una función f definida e integrable en un intervalo [a, b ] , hallar un polinomio P de grado 5 n tal que el error cuadrático medio

sea lo más pequeño posible.

5 INTEGRALES DOBLES

Es a Arquímedes mismo (c. 225 A.C.) a quien debemos el mejor enfoque a la verdadera integración descubierto entre los griegos. Su primer avance notable en esta dirección se ocupaba de la demostración de que el área de un segmento parabólico es cuatro tercios del triángulo con la misma base y vértice, o dos tercios del paralelogramo circunscrito.

D. E. Smith, History of Mathematics

En éste y en el siguiente capítulo estudiamos la integración de funciones de varias variables con valores reales; en este capítulo se trata con integrales de funciones de dos variables, o integrales dobles. La integral doble tiene una interpretación geométrica básica como volumen, y se puede definir rigurosamente como límite de sumas aproximantes. Presentaremos varias técnicas para evaluar integrales dobles y consideraremos algunas aplicaciones.

5.1 INTRODUCCI~N

En esta sección se estudian de manera breve algunos aspectos geométricos de la integral doble, dejando un análisis más riguroso, en términos de sumas de Rie- mann, hasta la sección 5.2.

Considerar una función continua de dos variables f : R c R2 ”+ R cuyo dominio R es un rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados. El rectángulo R puede describirse en términos de dos intervalos cerrados [u, b] y [c, d l , representando los lados de R a lo largo de los ejes I y y, respectivamente, como en la figura 5.1 .l. En este caso, podemos decir que R es el producto cartesiano de [a ,b ] y [e , d] y escribimos R = [u,b] x [c,d].

304 INTEGRALES DOBLES

Z

X

Figura 5.1 .l La región V en el espacio está acotada por la gráfica de f , el rectángulo R y los cuatro lados verticales indicados.

Suponer que f(x, y) 2 O en R, de manera que la gráfica de z = f (x , y) es una superficie que está arriba del rectángulo R. Esta superficie, el rectángulo R y los cuatro planos x = a , 2 = b, y = c y y = d forman la frontera de una región V en el espacio (ver la figura 5.1.1). Es necesario enfrentar el problema de cómo definir de manera rigurosa el volumen V, cosa que haremos en la sección 5.2 por medio del método clásico de exhausión, o, dicho en términos modernos, el método de las sumas de Riemann. Sin embargo, para tener un conocimiento intuitivo de este método, supongamos provisionalmente que se ha definido el volumen de una región. El volumen de la región arriba de R y debajo de la gráfica de f se llama la integral (doble) de f sobre R y se denota por

EJEMPLO 1 (a) Si f está definida por f ( x , y) = I C , donde 6 es una constante positiva, entonces S, f(x, y) dA = k ( b - a) (d - c ) , pues la integral es igual al volumen de una caja rectangular con base R y altura k .

( b ) S i f ( x , y ) = 1 - x y R = [ O , l ] x [ O , l ] , e n t o n c e s ~ , f ( x , y ) d A = ~ , p u e s l a i n - tegral es igual al volumen del sólido triangular mostrado eri la figura 5.1.2. A

EJEMPLO 2 Suponer que z = f ( x , y) = x’ + y 2 y R = [--I, 13 x [o, 13. Entonces la integral S, f = S,(x2 +y2) dx dy es igual al volumen del sólido esbozado en la figura 5.1.3. Calcularemos esta integral en el ejemplo 3. A

5.1 INTRoDUCaÓN

d X

305

Z

Figura 5.1.2 Volumen bajo la gráfica z = 1 - 2: y sobre R = [O, 11 x [O, 13.

Z

z = f(x, y) = x* + y? .g

\

Figura 5.1.3 Volumen bajo z = z2 + Y' y sobre R = [-I, 11 x [o, 11.


Y

Figura 5.1.4 Área bajo la gráfica de una función continua no negativa f de z = a a 1: = b es J, f ( z ) dz . b

Estas ideas son similares a la de integral simple S, f ( ~ ) dx, que representa el área bajo la gráfica de f si f 2 O y, digamos continua; ver la figura 5.1.4.* Re- cordar que puede definirse rigurosamente J, f ( ~ ) dx, sin recurrir al concepto de área, como un límite de sumas de Riemann. Así, podemos aproximar S, f (z ) dx escogiendo una partición a = ZO < z1 < . . . < Z, = b de [a, b ] , seleccionando puntos ci E [xi, 2 i + l ] y formando la suma de Riemann

b

b

b

(ver la figura 5.1.5). En la sección siguiente examinamos el proceso análogo para integrales dobles.

Hay un método para calcular volúmenes conocido como principio de Cava- lieri. Supongamos que tenemos un cuerpo sólido y denotemos por A(x) el área de su sección transversal medida a una distancia 2 de un plano de referencia (figura 5.1.6). De acuerdo con el principio de Cavalieri, el volumen del cuerpo está dado por

volumen = 1 A(z) dz ,

donde a y b son las distancias mínima y máxima a partir del plano de referencia. Esto se puede aclarar de manera intuitiva. Si partimos [a,b] en a = zo <

b

*Los lectores que no estén familiarizados con esta idea deberán repasar las secciones adecuadas de su libro de cálculo introductorio.

5.1 INTRODUCCIóN 307

Y

Figura 5.1.5 La suma de las áreas de los rectángulos sombreados es una suma de Rie- mann que aproxima el área bajo f de z = a a z = b.

A ( r ) = área de la sección transversal

"

\

4 ' plano de referencia

Figura 5.1.6 Cuerpo sólido con área de sección transversal A(z) a una distancia z del plano de referencia.

x i < . . . < x , = b , entonces una suma de Riemann aproximante para la integral es

n-1

Pero esta suma también aproxima el volumen del cuerpo, pues A($) A x es el volumen de una rebanada con área de sección transversal A ( x ) y ancho A x (figura 5.1.7). Por lo tanto, es razonable aceptar la fórmula anterior para el volumen. A continuación se presenta una justificación más cuidadosa del método.


Figura5.1.7 El volumen de una rebanada con área de sección transversal A ( z ) y grueso Ax es igual a A ( z ) Ax. El volumen total del cuerpo es 1, A ( z ) dx. b

NOTA HIST~RICA

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) fue discípulo de Galileo y profesor en Bolonia. Sus investigaciones acerca del área y volumen fueron bases importantes para el funda- mento del cálculo. Aunque estos métodos fueron criticados por sus contemporáneos, Arquímedes había usado antes ideas similares, y más adelante fueron tomadas por los "padres" del cálculo, Newton y Leibniz.

Ahora usamos el principio de Cavalieri para evaluar integrales dobles. Consi- derar la región sólida bajo la gráfica z = f ( a : , y) definida en la región [u, b] x [e, d], donde f es continua y mayor que cero. Hay dos funciones naturales para el área de sección transversal: una, obtenida usando planos cortantes perpendiculares al eje z y la otra usando planos cortantes perpendiculares al eje y. La sección transversal determinada por un plano cortante a: = ZO, del primer tipo, es la región plana debajo de la gráfica de z = f(z0, y) de y = c a y = d (figura 5.1.8). Cuando fijamos a: = 2 0 , tenemos la función y H f ( z0 ,y ) que es continua en [ c , d ] . El área de la sección transversal A ( x O ) es, por lo tanto, igual a la integral S, f ( z o , y) dy. Así, la función A de área de sección transversal tiene dominio [ u , b] y A: x H f ( x , y) dy. Por el principio de Cavalieri, el volumen V de la región debajo de z = f ( a : , y) debe ser igual a

d

d

La integral Jab[icd f(z, y) dy] da: se conoce como integral iterada, pues se obtiene integrando respecto a y y después integrando el resultado respecto a z. Como

5.1 INTRODUCCI~N 309

Y

i'

Figura 5.1.8 Dos secciones transversales diferentes que barren el volumen bajo z = f (x, Y).

S, f (z , y) dA es igual al volumen V,

Si invertimos los papeles de z y y en el estudio anterior y usamos planos cortantes perpendiculares al eje y, obtenemos

La expresión a la derecha de la fórmula (2) es la integral iterada obtenida al integrar respecto a x y después integrando el resultado respecto a y.

Así, si nuestro conocimiento intuitivo acerca del volumen es correcto, las fórmulas (1) y (2) deberán ser válidas. De hecho, esto es cierto cuando se definen de manera rigurosa los conceptos estudiados; ello se conoce como el teorema de Fubini. En la siguiente sección daremos una demostración de este teorema.

Como se ilustra en los ejemplos siguientes, el concepto de integral iterada y las ecuaciones (1) y (2) proporcionan un método poderoso para calcular la integral doble de una función de dos variables.


SOLUCIÓN Por la ecuación (2),

Para hallar s : , ( x 2 + y2) dx, tratamos y como constante e integramos respecto a x. Como 3: H x3/3 + y2z es una antiderivada de x H x 2 + y’, podemos integrar usando métodos de cálculo de una variable, y obtener

Después integramos y H $ + 2y2 respecto a y , de O a 1, para obtener

Entonces el volumen del sólido en la figura 5.1.3 es $. Para completar, evaluemos + y’) dx dy usando la ecuación (1) “esto es, integrando respecto a y y

después respecto a x-. Tenemos

Tratando x como constante en la integración respecto a y , obtenemos

(x ’+y’ )dy= [z’y+$-]’ = x 2 + - . 1 y=o

3

Después evaluamos J - , ( x 2 + f ) dx para obtener 1

lo que concuerda con la respuesta obtenida previamente. A

EJEMPLO 4 Calcular S, cos x sen y dx dy, donde S es el cuadrado [o, ~ / 2 ] X [o, r / 2 ] (ver la figura 5.1.9).

SOLUCIÓN Por la ecuación (a) ,

l c o s x sen y dx dy = LT” [ Ln”cos x sen y d r ] dy = L*’sen y [ l T ” c o s z dx] dy

senydy = 1. A

5.1 INTRODUCU~N

X

31 1

Figura 5.1.9 Volumen bajo z = cos z sen y y sobre el rectángulo [O, x/2] X [O, r/2] .

En la siguiente sección usaremos sumas de Riemann para definir rigurosamente la integral doble para una amplia clase de funciones de dos variables, sin recurrir al concepto de volumen. Aunque suprimiremos el requerimiento de que f (x , y) 2 O, se seguirán cumpliendo las ecuaciones (1) y (2). Por lo tanto, la integral iterada proporcionará de nuevo la clave para calcular la integral doble. En la sección 5 . 3 trataremos integrales dobles sobre regiones más generales que rectángulos.

Finalmente, observamos que es común eliminar los paréntesis cuadrados en las integrales iteradas, como en las ecuaciones (1) y (2) anteriores, y escribir

Y

EJERCICIOS


121 Evaluar las integrales del ejercicio 1 integrando respecto a z y después respecto a y . (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)

Usar el principio de Cavalieri para mostrar que los volúmenes de dos cilindros con la misma base y altura son iguales (ver la figura 5.1.10).

Figura 5.1.10 Dos cilindros con la misma base y altura tienen el mismo volumen.

4. Usando el principio de Cavalieri, calcular el volumen de la estructura mostrada en la figura 5.1.11; cada sección transversal es un rectángulo de longitud 5 y ancho 3.

Figura 5.1.1 1 Calcular este volumen.

o 5 Un leñador corta una pieza con forma de cuña de un árbol cilíndrico de radio r , mediante dos cortes de sierra hacia el centro del árbol, uno horizontal y otro a un ángulo O. Calcular el volumen de la cuña C usando el principio de Cavalieri. (Ver la figura 5.1.12.)

5.1 INTRODUCCTÓN

Figura 5.1.12 Hallar el volumen de C

6. (a) Demostrar informalmente que el volumen del sólido de revolución mostrado en la figura 5.1.13 es

r b

(b) Mostrar que el volumen de la región obtenida al girar la región bajo la gráfica de la parábola y = -x2 + 23: + 3 , -1 5 z 5 3 alrededor del eje z es 512x/15 (ver la figura 5.1.14).

Y

. " .,.,.

Figura 5.1.13 Este sólido de revolución tiene volumen x S, [f(x)]' dz. b


:z + 2.Y + 3

X

Figura5.1.14 Girando la región entre la gráfica de y = - x 2 + 2 2 + 3 y el eje x, alrededor del eje x.

Evaluar las integrales dobles en los ejercicios 7 al 9, donde R es el rectángulo [O, 21 x [-LO].

7. sR(x2y2 + x) dy dx

9. JR(-xe3sen $ n y ) d y d x

Hallar el volumen acotado por la gráfica de f(x, y) = 1 + 22 + 3 y , el rectángulo [l , 21 x [O, 13 y los cuatro lados verticales del rectángulo R, como en la figura 5.1.1.

11. Repetir el ejercicio 10 para la superficie f (x , y) = x4 + y’ y el rectángulo [-I, 11 x [-3, -21.

5.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO

Estamos preparados para dar una def inición r igurosa de la integral do.ble como límite de una sucesión de sumas. Esto se usará después para definir el volumen d e 1s región debajo de la gráfica de una función f(z, y). No requeriremos que f (z , y) 2 O; pero si f (z , y) toma valores negativos, interpretaremos la integral como un volumen con signo, así como para el área bajo la gráfica de una función

5.2 INTEORAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGUU) 31 5

de una variable. Además, estudiaremos algunas propiedades algebraicas de la integral doble y probaremos el teorema de Fubini, que asegura que la integral doble se puede calcular como integral iterada. Para comenzar, establezcamos la notación para particiones y sumas.

Considerar un rectángulo R c R2, que es el producto cartesiano R = [a ,b] X . [c, dl. Por una partición regular de R de orden n, entenderemos dos colecciones

ordenadas de n + 1 puntos igualmente espaciados {X~}Y=~ y esto es, puntos que satisfacen

U = X O < X I < . . . < ~ , = b , C = Y O < Y I < . . . < y , = d

Y

(ver la figura 5.2.1).

X J i . 1 - xj = - b - a a - c

1 Y k + l - y k = - n a n

Y

Figura 5.2.1 Partición regular de un rectángulo R, con n = 4.

Sea R j k el rectángulo [ ~ j , zj+l] x [yk, & + I ] , y sea c j k cualquier punto en R j k . Suponer que f: R 4 R es una función acotada con valores reales. Formar la suma

3,k=O '

donde b - a AX = xj+l - X, = - 9 AY = Y k + l - Yk = - 1

d - c n n

Y

Esta suma está tomada sobre todo j y k de O a n - 1, de modo que hay n2 términos. Una suma de este tipo se llama suma de Riemann para f .

AA = A Z A ~ .


DEFINICI~N Si la sucesión {Sn} converge a un límite S cuando n ”+ o;) y el límite S es el mismo para cualquier selección de puntos c j k en los rectángula R j k , entonces decimos que f es integrable sobre R y escribimas

para el límite S.

Así, podemos reescribir la integrabilidad de la siguiente manera:

para cualquier selección de c j k E R j k .

La demostración del siguiente teorema básico no es difícil, pero como requiere de ciertos aspectos técnicos que no son esenciales para el desarrollo del libro, se presenta en la sección 5.5.*

TEOREMA 1 Cualquier función continua definida en un rectángulo R es integrable.

Si. f(x, y) 2 O, la existencia de límite S, tiene un significado geométrico directo. Considerar la gráfica de z = f(x, y) como la tapa de un sólido cuya base es el rectángulo R. Si tomamos cada c j k como un punto donde f(x, y) tiene su valor minimot en R j k , entonces f ( C j k ) AX AY representa el volumen de una caja rectangular con base R j k . La suma CY,,;:, f ( C j k ) AX AY es igual al volumen de un sólido inscrito, parte del cual se muestra en la figura 5.2.2. De manera análoga, si c j k es un punto donde f (z, y) tiene su máximo en R j k , entonces la suma Ey,i:o f ( c j k ) Ax A y es igual al volumen de un sólido circunscrito (ver la figura 5.2.3). Por lo tanto, si existe límite S, y es independiente de c j k E R j k ,

se sigue que los volúmenes de los sólidos inscrito y circunscrito tienden al mismo límite cuando n --f OO. Es entonces razonable llamar a este límite el volumen exacto del sólido bajo la gráfica de f . Así, el método de las sumas de Riemann es consistente con los conceptos introducidos como base intuitiva en la sección 5.1.

También hay un teorema que garantiza la existencia de la integral de ciertas funciones discontinuas. Necesitaremos este resultado en la siguiente sección para estudiar la integral de funciones sobre regiones más generales que rectángulos. Nos interesaremos en especial por funciones cuyas discontinuidades estén en curvas en el plano xy. En la figura 5.2.4 se muestran dos funciones definidas en un

n-co

n-+m

*Para detalles técnicos adicionales acerca de la teoría de la integración, ver J. Marsden, Ele- mentary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974.

tDicha c , ~ existe debido a la continuidad de f en R, pero no lo probaremos.

5.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO

Z

Figura 5.2.2 La suma de cajas inscritas aproxima el volumen debajo de la gráfica de * = f ( z , Y).

rectángulo R, cuyas discontinuidades están situadas en curvas. En ot,ras palabras, f es continua en cada punto que esté en R pero no sobre la curva. Curvas útiles son las gráficas de funciones y = d(z), a 5 z 5 b , o x = $(y), c 5 y 5 d , O

uniones finitas de dichas gráficas. Se muestran algunos ejemplos en la figura 5.2.5. El siguiente teorema proporciona un criterio importante para determinar si una función es integrable. La demostración se estudia en la sección 5.5.


corte en la superficie z =.f ix , Y)

superficie "rota"

conjunto de discontinuidades de f conjunto de discontinuidad- de f

Figura 5.2.4 Cómo podrían verse las gráficas de funciones discontinuas de dos variables.

Y = 4 2 w

0 I I

Y

Figura 5.2.9 Curvas en el plano representadas como gráficas.

TEOREMA 2 Sea f: R 4 R una función acotada con valores reales, definida en el rectángulo R, y suponer que el conjunto de puntos donde f es discontinua está formado por una unión finita de gráficas de funciones continuas. Entonces f es integrable sobre R.

Recordar que una función está acotada si existe un número M > O tal que -M 5 f(z, y) 5 M para todo (x, y) en el dominio de f . Una función continua en un rectángulo cerrado siempre está acotada, pero, por ejemplo, f ( z , y ) = 1/z en (O, 11 x [ O , 11 no está acotada, pues 1/z se vuelve arbitrariamente grande para x cerca de O .

Usando el teorema 2 y las observaciones que lo preceden, vemos que las funciones esbozadas en la figura 5.2.4 son integrables sobre R, pues estas funciones están acotadas y son continuas, excepto en gráficas de funciones continuas.

5.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGUU) 319

*/“ #.” f

X SJ conjunto de discontinuidades

Figura 5.2.6 Gráfica de una función discontinua y dos cajas circunscritas.

Geométricamente, el teorema 2 implica que si una función no negativa f no es “demasiado mal portada”, entonces los volúmenes de los sólidos circunscritos e inscritos aproximarán el “verdadero” volumen bajo su gráfica (ver la figura 5.2.6).

De la definición de integral como límite de sumas y los teoremas de límites, podemos deducir algunas propiedades fundamentales de la integral S, f (2 , y) dA; estas propiedades son esencialmente las mismas que para la integral de una función con valores reales, de una variable.

Sean f y g funciones integrables en el rectángulo R, y sea c una constante. Entonces f + g y cf son integrables, y

(i) (Linealidad)

(ii) (Homogeneidad)

J, 4 x 9 Y) dA = c J’, f ( Z l Y) dA.

(iii) (Monotonía) Si f(z, y) 2 g(z, y), entonces

(iv) (Aditividad) Si Ri, i = 1,. . . , m, son rectángulos ajenos entre sí, tales que f es integrable sobre cada Ri y si Q = R1 U Ra U . . . U R, es un rectángulo, entonces una función acotada f : Q --f R es integrable sobre Q y

m .


Las propiedades (i) y (ii) son consecuencia de la definición de integral como límite de una suma y los siguientes hechos acerca de series convergentes {Sn} y {T,,}, que se demuestran en libros de cálculo de una variable:

límite (T, + S,) = límite T,, + límite S , n-o3 n-m n-m

límite (cS,) = clímite S,. n-o0 n-cc

Para demostrar la monotonía, observamos primero que si h(x, y) 2 O y { S n } es una sucesión de sumas de Riemann que converge a S, h(x, y) dA, entonces, S,, 2 O para todo n, de modo que S'h(z,y) dA = límite S, 2 O. Si f(x,y) 2 g(x, y) para todo (x, y) E R, entonces (f - g ) ( x , y) 2 O para todo (x, y) y usando las propiedades (i) y (ii), tenemos

n-o3

J, f (z, Y) d A - dz, Y) dA = Y) - dz, Y11 d A 2 0. J, S, Esto prueba la propiedad (iii). La demostración de la propiedad (iv) es más técnica y se prueba un caso particular en la sección 5.5. Deberá ser intuitivamente obvia.

Otro resultado importante es la desigualdad

Para ver por qué se cumple la fórmula (2), nótese que, por definición de valor absoluto, - 1 f I 5 f 5 I f 1; por lo tanto, de la monotonía y la homogeneidad de la integración (con c = -l),

lo cual es equivalente a la fórmula (2) Aunque hemos visto la integrabilidad de gran variedad de funciones, aún no

hemos establecido rigurosamente un método general para calcular integrales. En el caso de una variable, evitamos tener que calcular S, f (x) dx a partir de su definición como límite de una suma, mediante el uso del teorema fundamental del cálculo integral. Recordemos este importante teorema, que nos dice que si f es continua, entonces

b

lb f(z) d z = W ) - F ( a ) ,

donde f es una antiderivada de f ; esto es, F' = f . Esta técnica no funciona según está enunciada, para funciones f ( 2 , y) de dos

variables. Sin embargo, como lo indicamos en la sección 5.1, a menudo es posible

5.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNGULO 321

reducir una integral doble sobre un rectángulo, a integrales simples iteradas; después se aplica el teorema fundamental a estas integrales. El teorema de Fubini, que ya se mencionó en la sección anterior, justifica rigurosamente esta reducción a integrales iteradas, mediante sumas de Riemann. Como vimos en la sección 5.1, la reducción,

es consecuencia del principio de Cavalieri, al menos si f(x, y) 2 O . En términos de sumas de Riemann, corresponde a la siguiente igualdad:

f ( C 3 k ) A z A y = C f ( c 3 k ) A y AX =: n-I n-1 n-1 n-1 n-I

3,k=O 3=0 (+O ) E (zf(cJk)Az que se puede probar de manera más general, como sigue: Sea [ a j k ] una matriz de n x n, 0 5 j 5 n - 1, 0 5 k 5 n - 1. Sea E,";:, ajk la suma de los n2 registros de la matriz. Entonces

n-1 n-I /n-1 \ n-I / n - ~ \

J,k=O J=O \k=O / k=O \J=O / En la primera igualdad, el lado derecho representa la suma de los registros de

la matriz, primero por renglones y después sumando los resultados:

ao(n-I)

n-I

k=O

Claramente esto es igual a c,",;:, ajk , esto es, la suma de todos los a j k . De

manera análoga, (x::: a j k ) representa una suma de los registros de la matriz por columnas. Esto prueba la ecuación ( 3 ) y hace plausible la reducción a integrales iteradas, si recordamos que las integrales se pueden aproximar mediante las correspondientes sumas de Riemann. De hecho, la demostración del teorema de Fubini explota esta idea.

Antes de proceder con la demostración, será útil recordar cómo el principio de Cavalieri hace plausible la fórmula


Si cortanlos el volumen bajo la gráficx de f en rebanadas paralelas al eje y , entonces podemos ver que el volumen bajo la gráfica es aproximadamente igual a la suma de las cantidades [S, f(z, y) dy]Ax; esto es, si tenemos que S, f (x, y) dA = s,”[Scd f (x, y) dyldx. De manera análoga, la segunda igualdad en (4) se demuestra cortando el volumen en rebanadas paralelas al eje x (ver la figura 5.2.7).

d

Figura 5.2.7 Interpretación geométrica de la integral iterada.

TEOREMA3: TEOREMA DE FUBlNl Sea f una función continua con dominio rectangular R = [a, b] X [c, d l . Entonces

[[f(z, Y) dY dz = [[f(x, Y) dl: dY = S,fk Y) dA. (4’)

[Lk, Y) = f(., Y) dA. S, “DEMOSTRACI~N Primero mostraremos que

Sea c = yo < y1 < . . . < yn = d una partición de [e, d ] en R partes iguales. Definir

Entonces

F ( x ) = 5 f(x, y) dy. k = O y k


Figura 5.2.8 Notación necesaria en l a demostración del teorema de Fubini; n = 8.

Usando la versión integral del teorema del valor medio,* para cada 2 fija y cada k , tenemos

(ver la figura 5.2.8), donde el punto Yk(z) pertenece a [yk, yk+l] y puede depender de z, k y n . Hemos mostrado entonces que

Jyykk+l f(., Y) dY = f(., Yk(z))(Yktl - Yk)

Ahora bien, por la definición de la integral en una variable como límite de sumas de Riemann,

n-I

*&te asegura que si g(z) es continua en [a ,b] , s o b g ( z ) dx = g ( c ) ( b - u ) para d g h punto c E [u, b] . El segundo teoremá del valor medio, más general, se demostró en la sección 4.1 (ver la página 245).

*"~,~..~~Y*911)11~YYIL1UIY.~F11 i .I". ~ &."..~" _, ~.,",,~~~,~.-,~~. . . i_ ", "~,"..',"-~..~~~.",~"-,.",., " " . . - . . " - . - ~ - ~ ~ - ~ ~ - ~


donde a = zo < z1 < . . . < zn = b es una partición del intervalo [a, b] en n partes iguales y p j es cualquier punto en [zj , zj+l]. Haciendo c j k = ( p j , Y k ( p j ) ) E Rjk, tenemos (sustituyendo p j por z en la ecuación 5)

n-1

F ( p 3 ) = f(C~k)(YkSl - Yk). k=O

Por lo tanto

[l"(z; Y) dY dz = F ( z ) dz Lb n-I

= limite F(p,)(z,+l - z3) n-m

3 =o

n-1 n-1

Así, hemos probado que

[J", (x, Y) dY dz = f(., Y) dA. L l d [ f ( z , Y) d z dY = f(., Y) dA. S,

Con el mismo razonamiento podemos mostrar que

Estas dos conclusiones son precisamente lo que queríamos demostrar. El teorema de Fubini se puede generalizar al caso en que f no necesariamente

es continua. Aunque sin demostración, enunciamos aquí esta versión más general.

TEOREMA 3': TEOREMA DE FUBINI Sea f una función acotada cuyo dominro es un rectángulo R = [a, b] X [c, dl, y suponer que las discontinuidades de f forman una unión finita de gráficas de funciones continuas. Si

f (z , y) dg existe para cada z E [u, a],

entonces

existe y


De manera andloga, si

en ton ces

existe y

S * . c f ( X , Y) dx dY = f ( r , Y) d A . L? ibJ,"(z, Y) dy dz = .i"[f(Z, Y) dz dy = L f(., Y) dA.

Así, si todas estas condiciones se cumplen siznultdneamente,

Las hipótesis para esta versión del teorema de Fubini son más complicadas que las del teorema 3. Son necesarias pues si f no es continua donde sea, por ejemplo, no hay garantía de que exista J", f(x, y) dy para cada x .

d

EJEMPLO 1 Calcular J",(z2 + y) dA, donde R es el cuadrado [ O , 11 x [O, 11.

SOLUCIÓN Por el teorema de Fubini,

Por el teorema fundamental del cálculo, se puede ejecutar la illtcgraci6n en 2 :

Así,

Lo que hemos hecho es mantener fija y, integrar respecto a a: y después, evaluar el resultado entre los límites dados para la variable a:. A continuación, integramos la función restante (sólo de y) respecto a y para obtener la respuesta final. A

EJEMPLO 2 Una consecuencia del teorema de Fubini es que al intercambiar el orden de integración en las integrales iteradas, no se altera la respuesta. Verificar esto para el ejemplo 1.

2?6 INTEGRALES DOBLES

\ ‘ i t l ~ o s ( I I J P cuando f(x, y) 2 O en R = [a , b] x [c, 4 , la integral Jk f ( z , y) dA w l J l l < Y l < ’ i l r t cqre ta r como un volumen. si la función también toma valores ne- g ¿ ~ ( i v o h , c,tlt,onces l a inkgral doble sc puede pensar como la suma de todos los \ ~ ~ J ~ l ~ l l l ~ ~ l l ~ s qrlc c,st,an entre la superficie z = f ( z , y ) y el plano z = 0, acotados 1)o r 10s p l n t ~ o s S = a. 2 = b , y = c y y = d ; aquí, los volúmenes arriba de z = O se c11~11ta11 como posit#ivos y los de abajo como negativos. Sin embargo, el teorema (le lpl1t)ini segi~n se enunció, sigue siendo válido en el caso en que f ( z , y) sea tlc,gxtivo o cambic- de signo e11 It; est,o es: no hay restriccicin en el signo de f en l a llipót,esis dcl teorema.

EJEMPLO 3 Sea R el rectángulo [-a, 11 X [o, 11 y sea f definida por f ( z , y) = !/(x3 - 1 2 ~ ) ; f ( r , y) toma valores positivos y negativos en R. Evaluar la integral J13f(”’,?y)drcdy= JRy(”3- 122)dzdy.

S O L U C I ~ N Por el teorema de Fuhini, podemos escribir

De manera alternativa, integrando primero respecto a y , hallamos LU(%:’ - 122) dy dz = l2 [ i ’ l b 3 - 1 2 2 ) y d y fh 1 = - l , ( z 3 - 122) dx

l 1 2

NOTA HIST~RICA

Aunque el teorema 3 acerca de la igualdad de las integrales iteradas lleva el nombre del matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), quien probó un resultado muy general de este tipo en 1907, Cauchy y sus contemporáneos y a sabían que se cumplía la igualdad para funciones continuas. Cauchy fue el primero en mostrar que la igualdad no se cumplía cuando f no estaba acotada, y, algo más adelante, también se hallaron ejemplos de funciones acotadas donde no se cumple la igualdad.

5.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTÁNOUU) 327

EJERCICIOS

2. Evaluar cada una de las integrales siguientes si R = [O, 13 X [ O , 11. (a) JR(zmyn) dz d y , donde m, 1~ > O SR(az + by + c ) dz dy

(c) JR sen(z + Y) d3: dY (d) SR(.’ + 2zy + Y&) dz dy

3. Sea f continua, f 2 O en el rectángulo R. Si SR f dA = O, probar que f = O en R.

4. Calcular el volumen del sólido acotado por el plano z z , el plano yz, el plano zy, los planos z = 1 y y = 1, y la superficie z = 3: + y . 2 4

Sean f continua en [u, b] y g continua en [c, d l . Mostrar que

donde R = [a, b] x [c, dl

6. Calcular el volumen del sólido acotado por la superficie z = sen y, los planos z = 1, . 2: = O , y = O y y = ~ / 2 y el plano zy.

Calcular el volumen del sólido acotado por la gráfica z = z2 + y: el rectángulo R = [O, 11 X [I, 21 y los “lados verticales” de R.

8. Sea f continua en R = [a, b] x [c, d l ; para n < 2 < b, c < y < d, definir

F ( z , y) = Jlfxiyf(u, u ) do du.

Mostrar que 32E‘/az¿3y = a2F/dydz = f ( z , y ) . Usar este ejemplo para estudiar la relación entre el teorema de Fubini y la igualdad de las derivadas parciales mixtas (ver la sección 2.6).

*9. Sea f : [O, 13 X [O, 11 + R definida por

Mostrar que la integral iterada So1[&’ f(z, y) tlylrir existe pero f no es integrable.

*lo. Expresar JRcosh zy dz dy como serie convergente, donde R = [O , 11 x [O, 11


*m Aunque el teorema de Fubini se cumple para la mayoría de las funciones que encontramos en la práctica, es necesario tener cuidado. No se cumple para toda función. Por ejemplo, podríamos dividir el cuadrado unitario en infinidad de rectángulos de la forma [l /(m + l), l /m] X [ l / (n + l) , l/n], como en la figura 5.2 .9 . Definir f de manera que el volumen bajo la gráfica de f sobre cada rectángulo tome valores de acuerdo con la tabla siguiente:

. . . - - - - 32 16 5 1 1

. . . - 1 1 - 1 5 - 1 0

... 1. 1 ; -1 0 0

. . . I L 2 - 1 o o o

1 6 8 4

8 4

Definir f como cero en ( O , O ) . Cada renglón suma cero, de modo que al sumar los renglones y después las columnas da como resultado cero. Por otro lado, las columnas suman

. . . " _ - " " " i 2 16 8 4 2

1 1 1 1

de modo que al sumar las columnas y después los renglones da como resultado -2 . ¿Por qué no se cumple el teorema de Fubini para esta función?

Y

x = l

Figura 5.2.9 Construcción de una función que no satisface el teorema de Fubini (ejercicio 11).

5.3 INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MAS GENERALES 329

5.3 INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MAS GENERALES

En esta sección nuestro propósito es doble: en primer lugar, queremos definir la integral S, f (x, y) d A en regiones D más generales que rectángulos; y en segundo, queremos desarrollar una técnica para evaluar este tipo de integrales. Para ello, definiremos tres tipos especiales de subconjuntos del plano xy, y después am- pliaremos el concepto de integral doble para incluirlos.

Suponer que tenemos dos funciones continuas con valores reales, $1: [a, 61 -+ R, $2: [u , b] + R q u e satisfacen q51(x) 5 &,(x) para todo x E [a, b]. Sea D el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que

E [a,bl, dl(%) 5 Y 5 h ( z ) .

Esta región D es de tipo 1. En la figura 5.3.1 se muestran varios ejemplos de regiones del tipo 1. Las curvas y segmentos de recta que acotan la región, forman juntos la frontera de D , denotada por dD.

Figura 5.3.1 Algunas regiones del tipo 1.

Decimos que una región D es de tipo 2 si existen funciones continuas $1,

$2: [c, dl -+ R tales que D es el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen

Y E [c, dl, $l(Y) 5 x L &(Y), donde $l(y) 5 &(y) para todo y E [c, dl. De nuevo, las curvas que acotan la región D constituyen su frontera dD. Algunos ejemplos de funciones del tipo 2 se muestran en la figura 5.3.2.

Finalmente, una región de tipo 3 es aquella que es del tipo 1 y del tipo 2; esto es, la región se puede describir tanto como una región del tipo 1 como una región del tipo 2. Un ejemplo de región del tipo 3 es el disco unitario (figura 5.3.3).

A veces nos referiremos a las regiones de los tipos 1, 2 y 3, como regiones elementales. Notar que la frontera d D de una región elemental es del tipo de conjunto de discontinuidades de una función permitidas en el teorema 2.

DEFINICI~N Si D es una región elemental en el plano, escoger un rectángulo R que contenga a D. Dada f : D ”+ R, donde f es continua (y, por lo tanto,


Y Y

Figura 5.3.2 Algunas regiones del tipo 2

Figura 5.3.3 El disco unitario, una región de tipo 3: (a) como región del tipo 1 y (b) como región del tipo 2.

acotada), definir S, f ( x c I y) dA, la integral de f sobre el conjunto D como sigue: extender f a una funcicin f' definida en todo R mediante

Ahora bien, f" está acotada (pues f lo está) y es continua, excepto quizá en la frontera de D (ver la figura 5.3.4) . L a frontera de D está formada por gráficas de funciones continuas, de modo que f * es integrable sobre R por el teorema 2, sección 5.2 . Por lo tanto, podemos definir

Cuando f (x, y) 2 O en D , podemos interpretar la integral S, f ( x , y) dA como el volumen de la región tridinlensional entre la gráfica de f y D, como es evidente en la figura 5.3.4.


L

$-

i graph of z = f(x, y ) t /

a

(graph off* I

Figura 5.3.4 (a) Gráfica de z = f ( z , y ) sobre una región elemental D. (b) La región sombreada muestra la gráfica de z = f*(z, y ) en algún rectbngulo R que contiene a D. En esta figura vemos que los puntos frontera de D pueden ser puntos de discontinuidad de f', pues la gráfica de z = f ' ( x , y ) se puede romper en estos puntos.

Hemos definido so f (x, y) dx dy escogiendo un rectángulo R que incluya a D. Deberá ser intuitivarnente claro que el valor de J, f ( x , y) dz dy no depende del R particular escogido; demostraremos este hecho al final de esta sección.

Si R = [u ,b] X [c,d] es un rectángulo que contiene a D, podemos usar los resultados sobre integrales iteradas en la sección 5.2, para obtener

donde f* es igual a f en D y cero fuera de O, como antes. Suponer que D es una región de tipo 1 determinada por funciones 41: [u, b] --f R y $ 2 : [u, b] + R. Considerar la integral iterada

lbldf *(x, Y) dY dx

l d f *(x, Y) dY = 1 f*(z, Y) dY = J f(., Y) dY.

y, en particular, la integral interior S, f*(x, y) dy para alguna x fija (figura 5.3.5). Como por definición f'(x, y) = O si y < ~ I ( Z ) o y > q52(x), obtenemos

d

+2(=) " 5 )

41(z) +1(=)

A continuación resumimos 10 obtenido.

332 INTEQRALES DOBLES

Y

Figura 5.3.5 La región entre las dos gráficas “ u n a región de tipo 1.

TEOREMA 4 Si D es una región del tipo 1, como se muestra en la figura 5.3.5, en ton ces

En el caso f ( z , y ) = 1 para todo (.,y) E D , S, f ( z , y ) d A es el área de D. Podemos verificarlo para la fórmula (1) como sigue:

lb(;;;)f(z> Y) dy dz = [42(2) - 41(2)1 = A ( D ) , 1 la cual es la fórmula para el área de D que se aprende en cálculo elemental.

EJEMPLO 1 Hallar ST(x3y + cos x) dA, donde T es el triángulo que consta de los puntos (x, y) tales que O 5 x 5 ~ / 2 , O 5 y 5 x.

- _ 7r6 K - + - - l . A 768 2

En el ejemplo siguiente usaremos la fórmula (1) para hallar el volumen de un sólido cuya base es una región D no rectangular.


Y

/K ?r\

Figura 5.3.6 Triángulo T representado como región del tipo 1.

EJEMPLO 2 Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos y = O , z = O , x = O y y - x + z = 1 (figura 5.3.7).

Figura 5.3.7 Tetraedro acotado por los planos y y~ O, z = o, ,x = O y y - + 2 = 1.

SOLUCIÓN Notemos primero que el tetraedro dado tiene una base triangular D cuyos puntos (z, y) satisfacen -1 2 x 5 O y O 5 y 5 1 + x; por lo tanto, D es una región de tipo 1. (De hecho, D es de tipo 3 ; ver la figura 5.3.8.)

Para cualquier punto ( 2 , y) en D , la altura de l a superficie z sobre (x, y) es 1 - y + x. Así, el volumen que buscamos está dado por la integral


Y

Figura 5.3.8 La base del tetraedro en la figura 5.3.7 representada como una región de tipo 1.

Usando la fórmula (1) con 41(x) = O y &!(E) = x + 1, tenemos

L ( l - y + z ) d A = J4 L1+'(l - y + z) d?/ dx

= [(1+ " ) y - "1"' dz y=o

EJEMPLO 3 Sea D una región de tipo 1. Describir s u área A(D) como l íhi te de sumas de Riemann.

SOLUCIÓN Si recordamos la definición, A(D) = S, d x d y es la integral de la función f = 1, sobre un rectángulo R que contenga a D . Una suma de Riemann S, para esta integral se obtiene dividiendo R en subrectángulos y formando la suma S, = c,",;:, f*(c jk) Ax Ay como en l a fórmula (1) de la sección 5.2. Ahora, f * ( c j k ) es 1 o O , dependiendo de si cjk está o no en D. Considerar los subrectángulos Rjk que tengan intersección no vacía con D , y escoger cjk en D n R j k . Así, S, es la suma de las áreas de los subrectángulos que tocan a D y A ( D ) es el límite de éstos cuando n "-f cm. Así, A ( D ) es el límite de las áreas de los rectángulos que "circunscriben" a D. El lector deberá trazar,una figura simultáneamente con este estudio. A

Los métodos para tratar las regiones de tipo 2 son completamente análogos. Específicamente, tenemos el siguiente:


TEOREMA 4‘ Suponer que D es el conjunto de puntos (x, y) tales que y E [ c , dl y $l(y) 5 x 5 $2(y). Si f es continua en D, entonces

Para hallar el área de D sustituimos f = 1 en la fórmula (2); obtenemos

Nótese de nuevo que este resultado para el área es consistente con los resultados de cálculo de una variable para el área de una región entre dos curvas.

Para las integrales sobre regiones del tipo 3 se puede usar indistintamente el método para regiones del tipo 1 o para regiones del tipo 2.

También se sigue de las fórmulas (1) y (2), que S, f d A es independiente de la selección del rectángulo R que contiene a D, usado en la definición de S, f d A . Para verlo, consideremos el caso en que D es del tipo 1. Entonces se cumple la fórmula (1); más aún, R no aparece en el lado derecho de esta fórmula, por lo tanto, S, f d A es independiente de R.

,

EJERCICIOS

1. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones D determinadas por los límites. Decir si las regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos tipos.

2.

3.

m tud

5.

Repetir el ejercicio 1 para las siguientes integrales iteradas:

( 4 Sf3 S,”’ (z2 + Y) d z dY SE’,:, ezty dY dl:

(.) sol f l - W dy dx (d) ~ o n ’ 2 ~ o s z y ~ e n z d y d x so1 s,”2(xn +y”) d3: dy, m , TZ > O ’ ( f ) f 1 0 s2(1-zz)’/’ 2 dy da

Usar integrales dobles para calcular el área de un círculo de radio T.

Usar integrales dobles para determinar el área de una elipse con semiejes de longi- a y b. +

¿Cuál es el volumen de un granero que tiene una base rectangular de 6 m por 12 m , y paredes verticales de 9 m de altura al frente (que está del lado que mide 6 m) y 1 2 m

tiene un techo plano. Usar integrales dobles para calcular el volumen.


6. Sea D l a región acotada por las partes positivas de los ejes z y y, y la recta

l ( x z + y') d A .

3z + 4y = 10. Calcular

Sea D la región acotada por el eje y y la parábola z = -4y2 + 3. Calcular

S, z3y dz d y

8. Evaluar S, (z2+zy-y2) d y d x . Describir esta integral iterada como una integral 1 2

sobre cierta región D en el plano zy.

9. Sea D la región dada como el conjunto de (z, y) donde 1 5 z2 + y' 5 2 y y 1 O. ¿Es D una región elemental? Evaluar S, f ( z , y) d A donde f(z, y) = 1 + zy.

10. Usar integrales dobles para hallar el área rodea,da por un periodo de la función senz, para O 5 z 5 2 ~ , y el eje z.

11. Hallar el volumen de la región dentro de la superficie z = x' + y' y entre z = O y z = 10.

Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h .

13. Evaluar S, y d A donde D es el conjunto de puntos (.,y) tales que O 5 2 z / ~ 5 y,

y 5 sen 3;.

Por el ejercicio 5, sección 5 . 2 , sabemos que S, S, f ( z )g (y ) d y d z = (S,"f(z) d z ) X

(scdg(y) d y ) . ¿Es cierto esto si integramos f(z)g(y) sobre cualquier región D (por ejemplo, una región del tipo I)?

15. Sea D una región dada como el conjunto de (z ,y) con -d(z) 5 y 5 $(x) y a 5 3: 5 b, donde 4 e5 una función no negativa continua en el intervalo [ u , b]. Sea f ( z , y) una función definida en D , tal que f ( z , y ) = - f (z , -y) para todo (z ,y) E D.

b d

~ Hacer ver que S, f ( z , y) d A = O .

16. Usar los métodos de esta sección para mostrar que el área del paralelogramo D determinado por los vectores a y b es la1 bz - a2 bl 1, donde a = a l i + az j , b = b l i + bz j .

17. Describir el área A ( D ) de una región como límite de áreas de rectángulos inscritos, como en el ejemplo 3.

5.4 CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACI~N

Suponer que D es una región de tipo 3. Así, al ser del tipo 1 y del tipo 2, puede expresarse como el conjunto de puntos (x, y) tales que

a 5 2 5 b, 41 ( z ) 5 y 5 h ( z )

5.4 CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIóN 337

y también como el conjunto de puntos (x, y) tales que

c I Y I d, 4l(Y) 6 x 6 4 2 ( Y ) .

Por lo tanto, tenemos las fórmulas

f(., Y) d A = 1” j-;;-;)+f(x, Y) d y d x = 1” l;;;; f(., Y ) dx dy. D

Si vamos a calcular una de las anteriores integrales iteradas, lo podemos hacer evaluando la otra; esta técnica se llama cambio del orden de integración. Suele ser útil realizar estos cambios al evaluar integrales iteradas, pues quizá una de las integrales iteradas sea más difícil de calcular que la otra.

EJEMPLO Evaluar

(a’ - y’)’/’ dy dx

cambiando el orden de integración. ,

SOLUCIÓN Nótese que z varía entre O y u , y que, para x fija, O 5 y 5 ( u 2 - z2)1/2. Así, la integral iterada es equivalente a la integral doble

1 (aZ - Y ’ 1 ”’dydx, D

donde D es el conjunto de puntos (x, y) tales que O 5 x 5 a y O 5 y 5 (u2 - z2)ll2. Pero ésta es la representación de un cuarto (la parte del cuadrante positivo) del disco de radio u ; por lo tanto D también se puede describir como 1

el conjunto de puntos ( x , y) que satisface I

O I y 6 a, O 5 x 5 (a’ -

(ver la figura 5.4.1). Así,

Pudimos haber evaluado directamente la integral iterada inicial, pero, como puede verificar fácilmente el lector, al cambiar el orden de integración se facilitó el problema. El ejemplo siguiente muestra que, incluso, puede ser “imposible” evaluar una integral iterada y, sin embargo, ser posible evaluar la integral iterada obtenida al cambiar el orden de integración.


Figura 5.4.1 La parte del cuadrante positivo de un disco de radio a.

EJEMPLO 2 Evaluar

SOLUCIÓN Primero, observar que no se puede calcular esta integral, en el orden dado, usando el teorema fundamental. Sin embargo, la integral es igual a S,(. - l ) J W d A , donde D es el conjunto de (x, y) tales que

1 < z < 2 y O < y < l o g x

La región D es del tipo 3 (ver l a figura 5.4.2) y por lo tanto puede expresarse como

O 5 y < l o g 2 y e's x < 2.

Y

Figura 5.4.2 D es la región de integración para el ejemplo 2.

5.4 CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRAU~N 339

Así, la integral iterada dada es igual a

L O g z j--(z - 1)V/l+e2Ydzdy = i ’ O g 2 d 7 7 Y [ L Z ( . - 1 ) d z dy I

En la primera integral en la expresión (1) sustituimos u = e2Y, y en la segunda, o = ey.. Entonces obtenemos

Ambas integrales en la expresión (2) se pueden hallar fácilmente con las técnicas de cálculo (o consultando la tabla de integrales al final del libro). Para la primera integral, tenemos

La segunda integral es

(ver la fórmula 43 en la tabla de integrales). Finalmente, restamos la ecuación (3) de la ecuación (4) para obtener la respuesta

Para concluir esta sección mencionamos un importante resultado análogo al teorema del valor medio del cálculo integral.


TEOREMA 5: TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DOBLES Suponer que f : D ”+ R es continua y D es una región elemental. Entonces para algún pun to (x0 ~ yo) en D , tenernos

.i, f(., Y) dA = f(%, ?/o)A(D) ,

donde A ( D ) denota el área de D.

DEMOSTRACI~N No podemos probar este teorema con todo rigor, pues se requiere de algunos resultados sobre funciones continuas que no se han demostrado en este libro; pero podemos esbozar las ideas principales que sustentan la demos- tración (ver la demostración de la versión para una variable en la página 245.

Como f es continua en D , tiene u n valor máximo 1\/1 y un valor mínimo ‘ m

(ver el teorema 6 en la página 260). Así,

m I f ( X , Y) I M (5)

para todo (z ,y) E D. Más aún, f ( . c l , y l ) = 7n y f(z2, y2) = M para algunos pares (21, y1) y ( 2 2 , yz) en D. De la desigualdad (5) se sigue que

Por lo tanto, dividiendo todo enhe .4(D), obtenemos

Como una función continua definida en D toma tjodos los valores entre sus valores máximo y mínimo (éste es el teorema del valor intermedio que se demuestra en cálculo avanzado), y como el número [l/A(D)] s, f ( z , u) dA está por la desigualdad (6) entre estos valores, debe haber un punto ( 2 0 , yo) E D con

Pero ésta es precisamente la conclusión del teorema 5.

EJERCICIOS

1. En las integrales siguientes, cambiar el orden de integración, esbozar las regiones correspondientes y evaluar las integrales de las dos maneras.

(a) J; J,’ ZY dY dz

5.4 CAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRAaÓN 341

(c) so1 Jl2-"T + dz a y b ' (d l Ja Jay f(z. y ) dz tly (expresar l a respuesta en términos de antiderivadas)

Ilsantlo el f,eorema del valor nrrdio, mostrar que

7. C;llcul;tr el volumen dc 1 1 1 1 elipsoide con semiejes u: h y c. (IDEA: Usar la simetría y hallar p r i m p r o e l volr1rnc~11 dc medio elipsoide.)

9. Hallar r l v o l u r r ~ r ~ ~ [Ir la regiciu determinada por r 2 + y2 + z2 5 10, z 2 2 . Usar el rnGt,oclo del disco del cálculo d e : una variable, y decir cómo está relacionado el método con el prillcipio de Cavalieri.

Evaluar e r P y dr dy, donde D es el interior del triángulo con vkrtices ( O , O ) , ( I , 3 ) y ( 2 ! 2) .


SECCIÓN OPTATIVA

*5.5 ALGUNOS TEOREMAS TÉCNICOS DE INTEGRACIóN

Esta swción proporciolla las ideas principales de las dernohtrac:iones de esistencia y atlitividad de la integral que se enunciaron en l a sección 5.2. Estas dernost,raciones requieren corlceptos miis avanzados que los necesarios para el resto de cste capítulo. Se n1pncionan aquí los conceptos de continuidad uniforrrlc y de plenit.ud (o cornplcción) de los nlirneros reales, que usualmentc se estudian en un curso int,roduct,orio tie análisis n~aternático o dc tdoría de variable rpal.

5.5 ALGUNOS TEOREMAS TECNICOS DE INTEGRACI~N 343

TEOREMA 6: PRINCIPIO DE CONTINUIDAD UNIFORME Toda fnrrcicin que .sea continua en un conjunto cerrado y acotado D en R", es uniformernenif, contirlua ('11 D.

Demost,rar este teorema nos alejará bastante del terna que rst.amos tratando:* sin embargo, podemos probar un caso especial que, de hecho, es suficiente para la mayoria de las situaciones importantes en este libro.

DEMOSTRACIóN DE UN CASO ESPECIAL DEL TEOREMA 6 Supongan~os que D = [a,, b] es un intervalo cerrado en la recta, que f: D --t R es continua, que cxiste d f / d r en el intervalo abierto ( u , b ) y que d f / d z está acotada (esto cs. que existe una constante C' > O tal que l (dl/dx)(z)l 5 C para toda I en ( u . b ) ) . Para mostrar que estas condiciones implican que f es uniformemente continua, usamos el t,eorema del valor medio como sigue: sea E > O dado y sean x y y en D. Entonces. por el teorenra del valor medio,

S(.) - f iu ) = S'(c)(. - Y)

para alguna c entre L y y. Por la hipótesis de acotación de la derivada.

If(.) - f ( Y ) I 5 C I X - YI

Sea 6 = € / C . Si 1 1 - y1 < 6 , entonces

If(.) - f ( Y ) l < c; = E .

Así, f es uniformemente continua. (Nót,esc que 6 no dcpende de S ui de y, lo cual es la parte delicada de la definición.) M

Esta demostración también funciona para rcgioncs en It" que seal1 convexas; esto es. que para cualcsquiera dos pnntos x y y en D, el segmento de recta a(!) = tx+ ( 1 - t ) y , O 5 t 5 1, que los une también está en D . Suponemos que f cs difcrenciablr (en algim conjunto abierto que contenga a D) y que IlVf(x)ll 5 C para alguna consla.ntc C'. Entonces el teorema del valor medio, aplicado a la función h ( f ) = f'(a(f))> da

h ( 1 ) - h ( 0 ) = [h ' ( c ) ] [ l - O ]

O

f(x) - f (y ) = h'(c) = Vf(a(c)) 4 ( c ) = VS(4c.)) (x - Y )

por la regla de la cadena. Así. por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.


NOTA HIST~FIICA

Angustill Louis Cauclty (1789- 1857), uno de los más grandes matemáticos dr t,odos los tienlpos. definió lo que ahora llarna~nos sucesiones de Cauchy en s u Cours d’analyse, I~nljlicatlo cn 1821. Kste libro fue un trabajo biisico para los fundamentos d r l análisis, ~ L I I I I C I I I C ’ wghn los patrones actuales se consideraría no muy riguroso. Cauchy sabía q11c ulta sncesión convergente era “de Cauchy”, y observó que una sucesión de Cauchy convcrgc. No ten ía U I I ~ demostración, y no pudo h a b e r l a tenido pues dicha demostración tlr.l)c’ntlr tlrl desnrrollo riguroso del sist,ema de los números reales, que hasta 1872 logró el rna tcm i t i tm alerrldn Ceorg Cantor (1845-1918).

*I711 los libros de análisis matemático como los mencionados en la nota anterior 5e usan, a veces, ax iomas riifcrentps, como la propiedad de la mínima cota superior. En dicho planteanricnto, ~ tu(h t ro asioma rtr plenitnd se convicrte en tcorema.

5.5 ALGUNOS TEOREMAS TLCNICOS DE INTEGRACIóN 345

Ahora ya está claro lo que debemos hacer para asegurar que las sumas de Riemann {S,} de, digamos, una función continua definida en un rectángulo converge a algún límite S , lo cual probaría que las funciones continuas en rectángulos son integrables; debemos mostrar que {S,} es una sucesión de Cauchy. Para demostrarlo se usa el principio de continuidad uniforme. La integrabilidad de las funciones continuas será una consecuencia de los dos lemas siguientes.

LEMA 1 Sea f una función continua en un rectángulo R en el piano, y sea {S,} una sucesión de sumas de Riemann para f. Entonces {S,} converge a algún número S.

DEMOSTRACIóN Dado un rectángulo R c R2, R = [a, b] x [ c , d ] , tenemos la partición regular de R a = x0 < x1 < .. . < x, = b , c = yo < y1 < ... < y,, = d, estudiada en la sección 5.2. Recordar que

Y n-1

S , = f (cJk)AxAy, J,k=O

donde CJk es un punto escogido de manera arbitraria en R3k = [x3 , xJ+ l ] X [yk , y k + l ] .

La sucesión {S,} está determinada sólo por la selección de los puntos c 3 k .

plicada pero muy precisa: sea P a r a propósitos de la demostración introduciremos una notación un poco más com-

Y

Ay" = -. a - c

n

Con esta notación, tenemos

n-1

S , = f (cJk)AxnAyn. . .

3,k=O

Para mostrar que {S,} satisface el criterio de Cauchy, debemos mostrar que dado E > O existe N tal que para todo n, m 2 N , IS, - S,I 5 E. Por el principio de continuidad uniforme, f es uniformemente continua en R. Así, dado E > O existe 6 > O tal que cuando x, y E R, IIx - y11 < 6 , entonces I f(x) - f(y)l < ~ / [ 2 á r e a ( R ) ] (se usa ~ / [ 2 área (R)] en lugar de e en la definición). Sea N lo suficientemente grande para que si m 1 N , el diámetro (longitud de una diagonal) de cualquier subrectángulo RJk en la m-ésima partición regular de R sea menor que 6. Así, si x y y son puntos en el mismo subrectángulo, tendremos que I f (x) - f(y)l < ~ / [ 2 área (R)].


Fijar m y n 2 N . Mostraremos que IS, - S,I < E. Esto muestra que {S,} es una sucesión de Cauchy y por lo tanto converge. Considerar la mn-ésima = ( m por n)-ésima partición regular de R. Entonces

r, t

donde Ert es un punto en el rt-ésimo rectángulo. Nótese que cada subrectángulo de la mn-ésima partición es un subrectángulo tanto de la m-ésima como de la n-ésima partición regular (ver la figura 5.5 .1) .

Y

Figura 5.5.1 La caja sombreada muestra un subrectángulo en la mn-ésima partición, y la caja marcada con línea gruesa, un subrectángulo en la m-ésima partición.

Denotemos los subrectángulos en la mn-ésima subdivisión por R,, y los de la n- ésima subdivisión por R,k. Así, cada R,, C Rjk para algin jk, y por 10 tanto podemos reescribir la fórmula (1) como

Aquí estamos usando el hecho de que

donde la suma se toma sobre todos los subrectángulos en la mn-ésima subdivisión contenidos en un rectángulo fijo R,k en la n-ésima subdivisión. También tenemos la identidad

5.5 ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOS DE INTEGFIACI~N 347

Esta relación también se puede reescribir como

donde en la ecuación (2') primero sumamos sobre los subrectángulos en la mn-ésima partición contenidos en un R3k fijo y después sumamos sobre j, k. Al restar la ecuación (2') de la ecuación (l'), obtenemos

IS, - Sm,I = [ f ( C j k ) A x m n A y m n - f ( E r t ) A z m n A y m n ]

3 , k a,, CR,k

5 I f ( c J k ) - f ( L t ) l A l : " " A y " " .

k ~ t C R j k

Debido a la selección de 6 y N, If(CJk - !(&)I < ~ / [ 2 á r e a (R)], y en consecuencia la desigualdad anterior se convierte en

Así, IS, - SmnI < ~ / 2 y de manera análoga se muestra que IS, - SmnI < ~ / 2 . Como

( S , - Sm/ = / S , - S m n + Smn - S m J 5 J S n - S m n J + J S m n - S m J < E

para m, n 2 N, hemos mostrado que {S,} satisface el criterio de Cauchy y así, tiene límite S.

Hemos observado que cada suma de Riemann depende de la selección de una colección de puntos C J k . Para mostrar que una función continua en un rectángulo R es integrable, debemos demostrar que el límite S obtenido en el lema 1 es independiente de la selección de los puntos c j k .

LEMA 2 El limite S en el lema 1 no depende de la selección de puntos c j k .

DEMOSTRACI~N Supongamos que tenemos dos sucesiones de sumas de Riemann {S,} y {S i } obtenidas al seleccionar dos conjuntos diferentes de puntos, digamos c j k y C3fk

en cada n-ésima partición. Por el lema 1 sabemos que {S,} converge a algún número S y {S i } también debe converger a algún número, digamos S". Queremos mostrar que S = S*, y lo haremos mostrando que dado cualquier E > O, IS - S'J < E , lo cual implica que S debe ser igual a S* (¿por qué?).

Para comenzar, sabemos que f es uniformemente continua en R. En consecuencia, dado E > O , existe 6 tal que Jf(x) - f(y)l < ~ / [ 3 área(R)] cuando IIx - y11 < 6. Escogemos N lo suficientemente grande para que si n 2 N el diámetro de cada sub- rectángulo en la n-ésima partición regular sea menor que 6. Como límite S, = S y límite S: = S*, podemos suponer que N se ha escogido tan grande para que n 2 N implique que ( S , - S / < e/3 y IS: - S'I < ~ / 3 . Además, para n 2 N sabemos, por continuidad uniforme, que si C J k y C J k son puntos en el mismo subrectángulo R j k de

n-co

n-m


la n-ésima partición, entonces I f ( C j k ) - f ( C J k ) l < ~ / [ 3 área (R)]. Así,

Escribimos ahora

1s - S'I = 1s - S, + S , - S: +S:, - S* \

5 1s - S,I + IS, - S:,/ + IS:, - SI < E

de modo que el lema queda demostrado.

Juntos, los lemas 1 y 2 prueban el teorema 1 de la sección 5.2:

TEOREMA 1 Cualquier función continua definida sobre un rectángulo R es integrable.

NOTA HIST~RICA

Cauchy presentó la primera demostración publicada de este teorema en su résumé de 1823, en el cual señala la necesidad de probar la existencia de la integral como límite de una suma. En este artículo trata primero las funciones continuas (como lo estamos haciendo ahora), pero en un intervalo [a, b ] . (La demostración es esencialmente la misma.) Sin embargo, su demostración no era rigurosa pues carecía del concepto de continuidad uniforme, que no existía en ese tiempo.

El concepto de suma de Riemann S, para una función f es, con certeza, anterior a Bernhard Riemann (1826-1866). Las sumas llevan su nombre probablemente porque é1 desarrolló un enfoque teórico para el estudio de la integración en un artículo fundamental acerca de series trigonométricas en 1854. Su enfoque, aunque fue generalizado posteriormente por Darboux (1875) y Stieltjes (1894), se mantuvo por más de medio siglo hasta que fue rebasado por la teoría que presentó Lebesgue al mundo matemático en 1902. Este último enfoque a la teoría de la integración se estudia, por lo general, en cursos de matemáticas para graduados.

La demostración del teorema 2 (sección 5.2) se deja al lector en los ejercicios 4 al 6 al final de esta sección. Las ideas principales están contenidas esencialmente en la demostración del teorema 1, aunque la demostración del teorema 2 contiene una dificultad adicional.

Nuestro siguiente objetivo será presentar una demostración de la propiedad (iv) de la integral en la página 319, a saber, su aditividad. Sin embargo, debido a algunas dificultades técnicas para probar estos resultados en toda su generalidad, lo probaremos sólo en el caso en que f es continua.

5.5 ALGUNOS TEOREMAS TkNICOS DE INTEGRACIóN 349

TEOREMA ADlTlVlDAD DE LA INTEGRAL Sean R1 y R2 dos rectángulos ajenos (rectán- gulos cuya intersección no contiene rectángulos) tales que Q = R1 u Rz es de nuevo un rectángulo, como en la figura 5.5.2. Si f es una función continua sobre Q, de modo que lo es sobre cada R,, entonces

DEMOSTRACIÓN La demostración depende de las ideas que ya se presentaron en la demostración del teorema 1.

El hecho de que f sea integrable sobre Q, R1 y Rz , se sigue del teorema 1. Así,

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que RI = [ u , b l ] x [c, dl y R2 = [ b l , b] x existen las tres integrales de la ecuación (31, y falta sólo probar la igualdad.

[c, d ] (ver la figura 5.5.2). De nuevo, es necesario desarrollar alguna notación. Sea

bl - U AX; = - , AX;= - b - b l b - u , A x n = - d - c y A y " = -. n n n n

Sea

j > k

donde c:~, c$ y Cjk son puntos en el jk-ésimo subrectángulo de la a-ésima partición regular de R1, R z y Q, respectivamente. Sea S' = límite S;, donde i = 1, 2 y S = límite S,. Se debe mostrar que S = S' + S', lo cual se hará mostrando que para E > O

arbitrario, IS - S' - Sil < E.

n-cx

n-o0

Y

d

C

-~-

Figura 5.5.2 Elementos de una partición regular de RI y R2.


y

Figura 5.5.3 Partición regular de Q

Por la continuidad uniforme de f en Q, sabemos que dado E > O existe 6 > O tal que cuando IIx - y11 < S, If(.) - f(y)l < E . Sea N lo suficientemente grande para que si n 2 N , IS, -SI < ~ / 3 , IS; - S'I < ~ / 3 , i = 1, 2, y si x y y son dos puntos cualesquiera en cualquier subrectángulo de la n-ésima partición ya sea de R1, RZ o Q, entonces If(?) - f(y)l < ~ / [ 3 á r e a ( Q ) ] . Consideremos la n-ésima partición regular de R1, Rz y Q. Estas forman una colección de subrectángulos que denotaremos por R:k, R3k y RJk, respectivamente (ver las figuras 5.5.2 y 5.5.3).

Si colocamos la subdivisión de Q encima de las n-ésimas subdivisiones de R1 y Rz, obtenemos una nueva colección de rectángulos, digamos Rap, p = 1,. . . , n y (Y = 1 , . . . , m, m > n (ver la figura 5.5.4).

Y

d ""

I I c ""

I I I I I I I I I

Figura 5.5.4 Las rectas verticales y horizontales de esta subdivisión se obtuvieron tomando la unión de las rectas horizontales y verticales de las figuras 5.5.2 y 5.5.3.

5.5 ALGUNOS TEOREMAS T~CNICOS DE INTEGFIAU~N 351

Cada R a ~ está contenido en algún subrectángulo R l k de Q y en algún subrectángulo de la n-ésima partición ya sea de R1 o de Rz. Considerar las igualdades (4), ( 5 ) y (6), anteriores. Se pueden reescribir como

donde Em

donde = C J k si Rap C R,k. Para el lector que ve por primera vez esta notación con indices, queremos señalar

que c f i , @ C R ,

significa que se toma la suma sobre las (Y y p tales que el rectángulo correspondiente R a p está contenido en el rectángulo R,.

. ,B

Ahora bien, la suma para S, se puede dividir en dos:

' Y @ f i D @ C R l

a,@ f i , p C R a

Por estas representaciones y la desigualdad del triángulo, se sigue que

+- E área(&) < -. E

3 área O 3 - a , #

fi-8 C R 2

En este paso usamos la continuidad uniforme de f . Así, IS, - SA - S i l < ~ / 3 para n 1 N . Pero IS - S,[ < ~ / 3 , 1s; - S'I < ~ / 3 y ( S i - S21 < e/3. Como en el lema 2, al aplicar la desigualdad del triángulo se muestra que (S - S' - S'( < E , lo cual completa la demostración.


EJERCICIOS

Mostrar que si a y b son dos números tales que para cualquier E > O, ( a - bl < E ,

entonces u = b.

2. (a) Sea f la función en el intervalo semiabierto ( O , 11 definida por f ( z ) = 1/z. Mostrar que f es continua en todo punto de ( O , 11 pero no es uniformemente continua.

(b) Generalizar este ejemplo a R2.

3. Sea R el rectángulo [a, b] x [c, dl y f una función acotada que sea integrable sobre R. (a) Mostrar que f es integrable sobre [ ( u + b ) / 2 , b] X [c, d l . (b) Sea N cualquier entero positivo. Mostrar que f es integrable sobre [(u +

b ) / N , bl x [c, dl.

En los ejercicios 4 al 6 se trata de dar una demostración del teorema 2 de la sección 5.2.

4. Sea C la gráfica de una función continua 4: [u, b] -+ R. Sea E > O cualquier número positivo. Mostrar que C puede colocarse en una unión finita de cajas B, = [u,, bi] X

[c,, d,] de manera tal que C no contenga puntos frontera de UB, y tal que área(&) 5 E . (IDEA: Usar el principio de continuidad uniforme presentado en esta sección.)

Sean R y B rectángulos y B c R. Considerar la n-ésima partición regular de R y sea b , la suma de las áreas de todos los rectángulos en la partición que tienen intersección no vacía con B. Mostrar que límite bn = área ( B ) .

n-o0

6. Sea R un rectángulo y C c R la gráfica de una función continua 4. Suponer que f: R -+ R está acotada y es continua, excepto en C. Usar los ejercicios 4 y 5 anteriores, y las técnicas usadas en la demostración del teorema 1 de esta sección para mostrar que f es integrable sobre R.

7. (a) Usar el principio de continuidad uniforme para mostrar que si 4: [a, b] + R es

(b) Generalizar la parte (a) para mostrar que la función continua f: [u, b] X [c, d]

(c) Generalizar aún más la parte (b) para mostrar que f está acotada donde

una función continua, entonces 4 está acotada.

-+ R está acotada.

f: D -+ R es una función continua en un conjunto cerrado y acotado D c R".


1. Evaluar las integrales siguientes:

(a) so s-z2+1 dz

kb)t so1 + dy dz

(c) J : ~ ~ ~ z ln y dy dz

3 2 + 1

L1] Invertir el orden de integración de las integrales en el ejercicio 1 y evaluar. (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de estudio de este libro.)


3. Evaluar las integrales siguientes:

(a) s,"~ e x l y d r a y

(b) ~ ~ " 1 2 J:arcaeny)/y y cos xy dx dy

4. Cambiar el orden de integración y evaluar

m. Mostrar que al evaluar dx dy, donde D es una región del tipo 1 , se reproduce la,fórm'ula del cálculo de una variable para el área entre dos curvas.

6. Cambiar el orden de integración y evaluar

. . 8. Hallar y[1 - cos(xz/4)] dz dy, donde D es la región en la figura 5.R.1. I

,-

Figura 5.R.1 Región de integración para el ejercicio 8.

Evaluar las integrales en los ejercicios 9 a 16. Esbozar e identificar el tipo de la región (correspondiente a la manera como está escrita la integral).


13. so1 soxz(z2 zY - Y2)dY

so1 so3’ ex+y dz dy

En los ejercicios 17 al 19, integrar l a función dada f sobre la región dada D.

17. f(z,y) = 1: - y; D es el triángulo con vértices ( O , O ) , ( 1 , O ) y ( 2 , l ) .

18. f ( z , y ) = z3y + cosz; D es el triángulo definido por O 5 z 5 x/2, O 5 y 5 z.

f (z , y) = (z’ + 2zy2 + 2); D es la región acotada por la gráfica de y = “z’ + z, el eje z y las rectas z = O y z = 2 .

En los ejercicios 20 y 21, esbozar la región de integración, intercambiar el orden y evaluar.

20. s14 Sl6(z2 + y’) dy dz

21. so1 Jl1-,(. + Y 2 ) dz dY

22. Mostrar que

4e5 5 e x z + y z d A 5 4e25. ~ 1 . 3 1 X P A

Mostrar que

4~ 5 S,(.’ + y’ + 1 ) dz dy 5 20x,

donde D es el disco de radio 2 con centro en el origen.

*24. Suponer que W es una región arco-conexa. Esto es, dados cualesquiera dos puntos de W, existe una trayectoria continua que los une. Si f es una función continua en W, usar el teorema del valor intermedio para mostrar que hay al menos un punto en W en el cual el valor de f es igual al promedio de f sobre W , i.e., la integral de f sobre D dividida entre el área de D. (Comparar esto con el teorema del valor medio para integrales dobles, teorema 5.) ¿Qué sucede si W no es arco-conexa?

*25. Probar que: soz [si F ( u ) du] d t = s,”(z - u ) F ( u ) d u .

6 INTEGRAL TRIPLE, FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Si estás atorado con u n problema de cálculo y no sabes qué hacer, trata de integrar por partes o cambiar de variables.

Jerry Kazdan

En este capítulo comenzaremos por adaptar los principios de la integral doble a la integral triple. Después desarrollaremos m& ideas sobre integración; la más importante es el teorema de cambio de variables, vital para evaluar integrales en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. El capítulo se concluye con un estudio de integrales impropias, extendiendo a integrales múltiples un concepto ya familiar desde el estudio de integrales de una variable.

6.1 INTEGRAL TRIPLE

Dada una función continua f : 3 ”+ R, donde B es algún paralelepípedo rectangular en R3, podemos definir la. integral de f sobre B como un límite de sumas, así como lo hicimos para una función de dos variables. Brevemente, partimos los

356 INTEGRAL TRIPLE, FóRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

tres lados de B en TI partes iguales y formamos la suma n-1 n-I n-1

t=O j = O k=O

donde C i j k E & j k , el ijk-ésimo paralelepípedo rectangular ( o caja) en la partición de B, y AV es el volumen de B i j k (ver la figura 6.1.1).

X

Figura 6.1.1 Partición de una caja B en n3 subcajas B i j k

DEFINICI~N Sea f una función acotada de tres variables, definida en B. Si existe límite S, (para cualquier selección de C i j k ) , le llamamos integral triple (o simplemente integral) de f sobre B y la denotamos por n-w

E B

Como antes, podemos probar que las funciones continuas definidas en B son integrables. Más aún, las funciones acotadas cuyas discontinuidades están confi- nadas en gráficas de funciones continuas (tales como 2 = a(y, z ) , y = p(x, z ) o z = -y(x, y)) son integrables. Esto es el análogo del teorema 2 de la sección 5.2 .

Suponer que el paralelepípedo rectangular B es el producto cartesiano [a, b] X

[c, d] x [u, u]. Entonces, por analogía con las funciones de dos variables, hay varias

6.1 INTEGRAL TRIPLE 357

integrales iteradas que podemos considerar, a saber,

Jc' id lb f ( z , Y7 2) dz dY dz, 1' 1 Ld f(z, Y, 2 ) dY dz d z ,

[ LW 1" f ( z , Y, 2) dY d z dz, etc.

El orden de dx, dy y dz indica cómo se realiza la integración. Por ejemplo, la primera integral anterior representa a

Como en el caso de dos variables, se cu ple el teorema de Fubini: si f es continua, entonies las seis integrales iteradas pogibles son iguales. En otras palabras, una integral triple se puede reducir a una triple integración iterada.

Para completar la analogía con la integral doble, considerar el problema de evaluar integrales triples sobre conjuntos acotados más generales W c R3 (esto es, aquellos conjuntos que se pueden encerrar en alguna caja). Dada f : VL7 "+ R, extender f a una función f* que coincida con f en W y sea cero fuera de W. Si B es una caja que contiene a W y dW está formada por las gráficas de un número finito de funciones continuas, f* será integrable y definimos

r r

T

Como en el caso bidimensional, esta integral es independiente de la selección de B .

Como en el caso de dos variables, nos restringiremos a regiones de tipos especiales. Una región W es del tipo I si se puede describir como el conjunto de los (x, y, z) tales que

a i z i 4 I Y 5 d2(z) Y n ( z , v ) I z I Y Z ( Z , Y ) . (1)

En esta definición, ~ i : D -+ R, i = 1, 2, son funciones continuas, D es una región bidimensional del tipo 1 y y l (x ,y ) = y2(z,y) implica (.,y) E d D . La última condición significa que si las superficies z = yl(z, y) y z = yz(z, y) se intersecan, lo hacen sólo en (x, y) E dD.

Una región tridimensional también se llamará del tipo I si puede expresarse como el conjunto de los (x, y, 2) tales que

c I Y i d, $ l b ) 5 x 5 42(Y) Y Yl(Z,Y) 5 2 I Y2(Z,Y), (2)

donde yi: D 4 R son como antes y D es una región bidimensional de tipo 2. La figura 6.1.2 muestra dos regiones del tipo I, descritas por las condiciones (1) y (2), respectivamente.


Figura 6.1.2 Algunas regiones del tipo I en el espacio.

Una región W es de tipo I1 si puede expresarse en la forma de la ecuación (1) o (2) , intercambiados los papeles de 2 y z , y W es del tipo I11 si se puede expresar en la forma de la ecuación (1) o (a) , con y y z intercambiados. Una región W que sea del tipo I, I1 y 111, se llama del tipo IV (figura 6.1.3). Un ejemplo de una región de tipo IV es la bola de radio T , x2 + y2 + z 2 5 r 2 .

Suponer que W es del tipo I . Entonces.

O

(4)

ya sea que W esté definida por la ecuación (1) o por la ecuación (2). Las demostraciones de las ecuaciones (3) y (4) por medio del teorema de Fubini son iguales a las del caso bidimensional. El lector deberá esbozar, o al menos tratar de visualizar, las figuras asociadas con las ecuaciones ( 3 ) y (4). Una vez que se han entendido los términos, las fórmulas son fáciles de recordar. Puede ser útil recordar la aportación intuitiva del principio de Cavalieri al teorema de Fubini.

6.1 INTEGRALTRIPLE

Z

e I

Z

+

359

la tapa y el fondo son el frente y la parte posterior los lados izquierdo y derecho superficies z = j ( z , y ) son superficies 3: = f (z , z ) son superficies y = j ( z , z )

X ,J región del tipo IV

como región del tipo I

como región del tipo I1

como regi6n del tipo 111

Figura 6.1.3 Cuatro posibles tipos de regiones en el espacio.

Si f (z , y, z ) = 1 para todo (x, y, z) E W , entonces obtenemos

Jw Jw f ( z , y, z ) dV = 1 dV = volumen ( W ) .

En el caso de que W sea del tipo I y la fórmula (3) sea aplicable, obtenemos la fórmula

volumen ( W ) = lb 1 I,,.,,, dz dy dx 42(2) 72(5>Y)

+l(.)

= lb f ; " ; M Z , Y) - Yl(Z, ?/)I dY dz.

¿Pueden ver cómo probar esta fórmula a partir del principio de Cavalieri?


EJEMPLO 1 Verificar la fórmula para el volumen de una bola: S, dV = $ T ,

donde W es la bola unitaria x' + y2 + z 2 5 1.

SOLUCIÓN La región W es del tipo I ; podemos describirla como el conjunto de (x, y, z) que satisfacen

-1 5 x _< 1, -JTS _< y 5 J;-..,

- \ / 1 " Y 2 < z < J W Y

(ver la figura 6.1.4) . Describir W de esta manera es, con frecuencia, el paso más difícil en la evaluación de una integral triple. Una vez realizado esto de manera apropiada, queda sólo evaluar l a integral triple dada usando una integral iterada equivalente. En este caso podemos aplicar la fórmula (3) para obtener

/w dV = /-; /("? , ( l - z 2 - y 2 ) 1 / 2

J_: /(""'" [z,:l-z?-y;"2 ] d y dx dz dy dx.

-(]-z2)'/2 - ( 1 - z ? - y 2 ) 1 / 2

Manteniendo a y y z fijas, e integrando respecto a z , se tiene

- ( l - G ) ' / 2 -(1-z2- 2 1 / 2

=2J_: [/ -(1-z?)l/2 1 ( 1 - 2 ) 1 / 2

( I - x* - y2)1'2dy dz

z = 4 1 - x' - y' = -y2(x,y)

X \ -~~~~

z = -4 ~-"x? - y2 = -y,(x,y)

Figura 6.1.4 La bola unitaria expresada como región del tipo I.

6.1 INTEGRALTRIPLE 361

Ahora, como x está fija en la integra1 dy, esta integral se puede expresar como s_“,(a2 - y2)1/2 dy, donde a = (1 - x2) l j2 . Esta integral representa el área de una región semicircular de radio a , de modo que

La(a’ - dy = -T. a2

(Es cierto, pudimos haber evaluado directamente la integral usando la tabla de integrales al final del libro, pero este truco ahorra bastante esfuerzo.) Así,

2

de modo que

- x 2 ) d x

[ Y ] ’ 3 4

= T x - - = - - T . A -1

EJEMPLO 2 Sea W la región acotada por los planos x O , y O, z = 2 y la superficie z = x2 + y2, x 2 O, y 2 O . Calcular sw x dx dy dz.

SOLUCIÓN La región W está esbozada en la figura 6.1.5(a). Para escribir esto como una región del tipo I , sean yl(x,y) = x2 + y’, y2(x,y) = 2, C#~(X) = O, 42(x) = d m , a = O y b = d. Así, por la fórmula (3),

= J f i x [(2 - z2)3/2 - (2 - 22)3/2

3 1 dx

362 INTEGRALTRIPLE, FÓRMUU DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Z Z

También podemos evaluar la integral al escribir W como una región del tipo 11. Vemos que W se puede expresar como el conjunto de (x, y, z ) con pI(y, z ) =

yz con O 5 z _< 2 y O 5 y 5 z1/2 (ver la figura 6.1.5(b)). Por lo tanto o 5 2 5 ( z - y2)1/2 - - p2(y, z ) y (y, z ) E D , donde D es el subconjunto del $lano

.I 2 : d x d y d z = [I z d z ] dydz P d Y , . )

Pl(Y,.)

= 1 [i’”; (1 m 2: d i ) dy] dz

EJERCICIOS

1. Evaluar S, z2 d V , donde W = [O, 11 x [O, 11 x [ O , 11.

Evaluar Sw e”2yy dV, donde W = [O , 11 x [O, 11 x [ O , 11.

3. Evaluar Sw(2z + 3y + z) dV, donde W = [l, 21 x [-1,1] x [O , 11.

6.1 INTEGRALTRIPLE 363

4. Integrar zez+y sobre [O, 11 x [O, 13 X [O, 11.

Evaluar S, z2 cos z d l / donde W es la región acotada por los planos z = O, z = x , y = O , y = l , z = O y x + y = 1 .

6. Hallar el volumen de la región acotada por z = z2 + 3y2 y z = 9 - z2.

Evaluar h1 S,”” JI:’+”,2 dz dy dz y esbozar la región de integración.

8. Hallar el volumen del sólido acotado por las superficies z2 + 2y2 = 2, z = O y x + y + 2 2 = 2 .

9.’ Hallar el volumen del sólido de revolución z2 2 z2 + y’ encerrado por la superficie 22 + y2 + 22 = 1.

Hallar el volumen de la región acotada por las superficies z = z2 + y’ y z = 10 - z2 - 2y2. Esbozar.

11. Hallar el volumen acotado por el paraboloide z = 2x2 + y2 y el cilindro z = 4 - y’.

Calcular la integral de la función f ( z , y, z) = z sobre la región W en el primer octante de R3 acotada por los planos y = O, z = O , 2: + y = 2, 2y + 1: = 6 y el cilindro y2 + z2 = 4.

Cambiar el orden de integración en

I’ 1= . I y f(., Y, 2) dz dy dz

para obtener otras cinco formas de la respuesta. Esbozar la región de integración.

Sea W un conjunto acotado cuya frontera está formada por gráficas de funciones continuas. Supongamos que W es simétrica en el plano zy: (z, y , z ) E W implica que ( 2 , y, -2) E W . Suponer que f es una función continua acotada en W y f (z , y, z) = -f(z, y, -z). Probar que S, f ( z , y, z) dV = O.

16. Usar el resultado del ejercicio 15 para probar que ”,(l+ r: +y) d V = 4n/3, donde W , la bola unitaria, es el conjunto de (z,y, z) con z2 + y2 + z* 5 1.

17. Evaluar SS- zyz d x dy dz, donde S es la región determinada por las condiciones z ~ o , y ~ o , z ~ o y z 2 + y 2 + 2 2 ~ 1 .

18. Sea B la región determinada por las condiciones O 5 1: 5 1, O 5 y 5 1 y O 5 z 5 zy.

Hallar el volumen de B (b) EvaluarJ”” z dl: dy dz. B

364 INTEGRALTRIPLE, FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

(c) Evaluar JJJ y dz dy dz.

(e) Evaluar JJ” z y dz dy d z

B

B

19. Para cada una de las siguientes regiones W , hallar los límites apropiados 1$1(z), 42(z), y1(z, y) y yz(z, y) y escribir la integral triple sobre l a región W como una integral iterada en la forma

20. Sea B la región acotada por los planos z = O , y = O , z = O , z + y = 1 y z = z + y.

(a) Hallar el volumen de B. (b) Evaluar JJ”z dz dy dz. B

(c) Evaluar j””j”y dl: dy dz. B

21. Sean f continua y B, la bola de radio c con centro en el punto (zo, yo, zo). Sea [Bel el volumen de B,. Probar que

6.2 GEOMETRíA DE LAS FUNCIONES DE R2 A R2

En esta sección nos ocuparemos del efecto de las funciones de R2 a R2 sobre los subconjuntos de R2. Esta comprensión geométrica será útil en la siguiente sección, cuando estudiemos la fórmula del cambio de variables para integrales múltiples.

Sea D* un subconjunto de R2; suponer que consideramos una función continuamente diferenciable T : D’ -+ R2, de modo que T lleva puntos en D” a puntos en R2. Denotemos este conjunto de puntos imagen por D o por T(D’); entonces D = T ( D * ) es el conjunto de todos los puntos (x, y) E R2 tales que

(z, y) = T ( z * , y’) para algún (z*, y*) E D’

Una manera de entender la geometría de la función T es ver cómo deforma o cambia a D’. Por ejemplo, la figura 6.2.1 ilustra una función T que tuerce ligeramente una región hasta convertirla en un disco.

6.2 GEOMETR~A DE LAS FUNCIONES DE R’ A R’ 365

Y

Figura 6.2.1 Función T de una región D’ a un disco D.

EJEMPLO 1 Sea D* C R2 el rectángulo D’ = [O, 11 X [O, 27r]. Entonces todos los puntos en D* son de la forma ( r , O), donde O 5 O 5 27r, O 5 r 5 1. Sea T definida por T ( r , O) = ( r cos O , r sen O). Hallar el conjunto imagen D .

SOLUCIÓN Sea (x, y) = ( r cos 6, r sen O). Como x2 + y’ = r2 cos’ O + r’ sen’ O = r2 5 1, el conjunto de puntos (x, y) E R’ tales que (x, y) E D tiene la propiedad de que x2+y2 5 1, y así D está contenido en el disco unitario. Además, cualquier punto (x, y) en el disco unitario se puede escribir como ( r cos O, r sen O) para algún O 5 r 5 1 y O 5 6‘ 5 27r. Así, D es el disco unitario (ver la figura 6.2.2.). A

Y B

Figura 6.2.2 T da un cambio de variables a coordenadas polares. El círculo unitario es

l a imagen de un rectángulo.

366 INTEGRAL TRIPLE, CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

EJEMPLO 2 Sea T definida por T(z ,y) = ((z + y)/2,(z - y)/2). Sea D” = [-1,1] x [-1,1] c R2 un cuadrado con lado de longitud 2 y con centro en el origen. Determinar la imagen D obtenida al aplicar T a D”.

SOLUCIóN Determinemos primero el efecto de T en la recta a l ( t ) = ( t , l), donde -1 5 t 5 1. Tenemos T ( a l ( f ) ) = ( ( t+ l ) /2 , ( t - 1)/2). La correspondencia t H T(a l ( t ) ) es una parametrización de la recta y = z - 1, O 5 z 5 1, pues (t - 1)/2 = (t + l ) /2 - 1 (ver la figura 6.2.3). Sean

a4t) = (1, t ) , - l < t < l

a s ( t ) = ( 4 - I ) , - l < t < l

a 4 ( t ) = ( - l , t ) , - - 1 < 1 . < 1

paiametrizaciones de los otros lados del cuadrado D’. Usando el mismo argumento que antes, vemos que T o a 2 es una parametrización de la recta y = 1 - z, O 5 z 5 1, T o a 3 es la recta y = z+ 1, -1 5 3: 5 O y T o a 4 es la recta y = -z- 1, -1 5 z 5 O. A estas alturas parece razonable pensar que T va a “girar” el cuadrado D” para colocarlo sobre el cuadrado D cuyos vkrtices son (1, O ) , (O, l), (-1,0), (0,-1) (figura 6.2.4). Para probar que así sucede, sea -1 5 a 5 1 y sea L , (figura 6.2.3) una recta fija parametrizada por a(t) = (a , t ) , -1 5 t 5 1; entonces T(a( t ) ) = ((a + t ) / 2 , ( a - t)/2) es una paramet,rizaciÓn de la recta y = -x +a, (a - 1)/2 5 x 5 (a + 1)/2. Esta recta comienza, para t = -1, en el punto ((a - 1) /2 , (1 + cy)/2) y termina en el punto ((I + .)/a, (a - 1)/2); como puede verificarse fácilmente, estos puntos están sobre las rectas T o a 3 y T o al, respectivamente. Así, cuando cy varía entre -1 y 1, L , barre el cuadrado D’, mientras que T ( L a ) barre el cuadrado D determinado por los vértices (-1, O ) , (O, I) , (1,O) Y ( O , -1). A

Figura 6.2.3 Dominio de la transformación T del ejemplo 2

6.2 GEOMETR~A DE LAS FUNCIONES DE R' A R' 367

Y

Figura 6.2.4 Efecto de T sobre l a región D'.

El teorema siguiente proporciona una manera fácil de describir la imagen T(D*).

TEOREMA 1 Sea A una matriz de 2 x 2 con det A # O y T una transformación lineal de R2 a R2 dada por T(x ) = Az (multiplicación de matrices); ver el ejemplo 4, sección 2.4. Entonces T transforma paralelogramos en paralelogramos y vértices en vértices. Más aún, si T(D*) es un paralelogramo, D* debe ser un paralelogramo.

La demostración del teorema 1 se deja para el ejercicio 10 al final de esta sección. Este teorema simplifica el resultado del ejemplo 2 , pues basta hallar los vértices de T(D*) y después conectarlos mediante rectas.

Aunque no podemos visualizar la gráfica de una función T : R2 -+ R2, es útil saber cómo deforma subconjuntos. Sin embargo, la simple consideración de estas deformaciones no nos da una idea completa del comportamiento de T. Pode- mos abundar en la caracterización de T usando el concepto de correspondencia biunívoca (uno a uno).

DEFINICI~N La función T es uno a uno en D* si para (u , w ) y (u', w') E D* , T ( u , v) = T(u', u') implica que u = u' y w = o'.

Geométricamente, esto significa que dos puntos diferentes de D* no van a dar al mismo punto de D bajo T. Por ejemplo, la función T ( z , y) = ( x 2 + y2, y4) no es uno a uno porque T ( l , -1) = (2 , l ) = T ( l , l ) , aunque ( 1 , -1) # (1 , l ) . En otras palabras, una función es uno a uno cuando no manda puntos distintos al mismo punto.

368 INTEGRALTRIPLE, CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

EJEMPLO 3 Considerar la función T : R2 + R2 del ejemplo 1, definida por T(T , O) = (T cose , r sen O). Mostrar que T no es uno a uno s i s u dominio es todo R2.

SOLUCIóN Si O1 # 0 2 , entonces T(O,el) = T(0, 0 2 ) , de modo que T no puede ser uno a uno. Esta observación implica que si L es el lado del rectángulo D* = [O, 11 X [ O , 27~1 donde O 5 O 5 27~ y T = O (figura 6.2.5), entonces T manda toda L a un solo punto, el centro del disco unitario D. (Sin embargo, si consideramos el conjunto S* = ( O , 11 X [O, 27r), entonces T : S* + S es uno a uno (ver el ejercicio 1). Es evidente que al determinar si una función es uno a uno, debe considerarse cuidadosamente el dominio escogido.) A

e Y

Figura6.2.5 La transformación en coordenadas polares T lleva la recta L al punto ( O , O ) .

EJEMPLO 4 Mostrar que la función T : R2 -+ R2 del ejemplo 2, es uno a uno.

SOLUCI~N Suponer que T ( z , y) = T ( d , y’); entonces

y tenemos z + y = z ’ + y ’ ,

2 - y = 2’ - y!.

Sumando, tenemos 23: = 22’ .

Así, z = x’ y por lo tanto y = y’, lo cual muestra que T es uno a uno (con dominio R2). En realidad, como T es lineal y T(x) = Ax, donde A es una matriz de 2 X 2, bastaría mostrar que det A # O (ver el ejercicio 8). A

6.2 GEOMETR~A DE LAS FUNCIONES DE R’ A R’ 369

En los ejemplos 1 y 2 hemos determinado la imagen D = T ( D * ) de una región D* bajo una función T . Lo que nos interesará en la siguiente sección será, en parte, el problema inverso, a saber: dada D y una función uno a uno T de R2 a R2, hallar D* tal que T ( D * ) = D.

Antes de examinar con más detalle esta cuestión, introducimos el concepto de “suprayectividad” .

DEFINICI~N La función T es sobre D si para cada punto (x, y) E D existe al menos un punto (u , w) en el dominio de T tal que T ( u , w) = (x, y).

Así, si T es sobre, podemos resolver la ecuación T ( u , w) = (x, y) para ( u , u ) , dado que (x, y) E D. Si T es, además, uno a uno, esta solución es única.

Para transformaciones lineales T de R2 a R2 (o R” a R”), resulta que los conceptos de biunívoca y suprayectiva son equivalentes (ver los ejercicios 8 y 9).

Si tenemos dada una región D y una función T , la determinación de una región D* tal que T ( D * ) = D será posible sólo cuando para todo (x, y) E D exista un (u , v ) en el dominio de T tal que T ( u , w) = (x, y) (esto es, T debe ser sobre 0). El siguiente ejemplo muestra que esto no siempre es posible.

EJEMPLO 5 Sea T : R2 --f R2 dada por T(u , u ) = (u , O) . Sea D = [o, 11 X

[O, 11. Como T lleva todo R2 a uno de los ejes, es imposible hallar D* tal que T ( D * ) = D. A

EJEMPLO 6 Sea T definida como en el ejemplo 2 y sea D el cuadrado cuyos vértices son ( l , O ) , ( O , l), (-1, O), (O , -1). Hallar D* con T ( D * ) = D.

SOLUCIÓN Como T es lineal y T ( x ) = Ax, donde A es una matriz de 2 X 2 que satisface det A # O, sabemos que T : R2 * R2 es sobre (ver ejercicios 8 y 9), y así, es posible hallar D*. Por el teorema 1, D’ debe ser un paralelogramo. Para hallar D* basta hallar los cuatro puntos que van a dar a los vértices de D ; entonces, al conectar estos puntos, habremos hallado D*. Para el vértice (1, O) de D , debemos resolver T(x,y) = ( 1 , O ) = (x + y)/2,(x - y)/2 de modo que (x+y)/2 = 1, (z-y)/2 = O. Así, (x,y) = (1,l) es un vértice de D’. Resolviendo para los otros vértices, hallamos que D* = [-1,1] X [-1,1]. A

EJEMPLO 7 Sea D la región en el primer cuadran te que está entre los arcos de los círculos x’ + y2 = a2 y x 2 + y’ = b2, O < a < b (ver la figura 6.2.6). Estos círculos tienen ecuaciones r = a y r = b en coordenadas polares. Sea T la transformación a coordenadas polares dada por T ( r , 0 ) = ( r cos 0, r sen 0) = (x, y). Hallar D* tal que T ( D * ) = D.


Y

Figura 6.2.6 Buscamos una región D' en el plano B T , cuya imagen bajo la transformación a coprdenadas polares sea D.

SOLUCIóN En la región D , a2 5 x2 + y2 5 b 2 ; y como r2 = x2 + y', vemm que a 5 r 5 b . Claramente, para esta región 0 varía entre O 5 0 5 7r/2. Así, si D' = [a ,b] X [O,x/2] , no es difícil ver que T ( D * ) = D y T es uno a uno. A

OBSERVACI~N El teorema de la función inversa estudiado en la sección 4.4 es importante para este material. En él se asegura que si el determinante de D T ( u g , w o ) (que es la matriz de las derivadas parciales de T evaluada en (ug, 110))

es diferente de cero, entonces para ( u , w ) cerca de (ug, vg) y (.,y) cerca de (xg,yo) = T(u0, wg), la ecuación T ( u , v ) = (.,y) se puede resolver de manera

única para ( u , v ) como funciones de (.,y). En particular, por unicidad, T es uno a uno cerca de. (ug, 210); además, T es sobre una vecindad de ( 2 0 , yo), pues T ( u , v) = ( x , y) se puede resolver para (u, u ) si (z,y) está cerca de ( x o , y"). Si D* y D son regiones elementales y T : D* "+ D tiene la propiedad de que el determinante de D T ( u , ' v ) es diferente de cero para cualquier ( u , ~ ) en D* y T manda la frontera de D* de una manera uno a uno y sobre en la frontkra de D , entonces T es uno a uno y sobre de D* en D . (Esta demostración rebasa el ámbito de este libro.)

EJERCICIOS

1. Sea S' = ( O , 11 X [O, 2s) y definir T ( r , 8 ) = ( T cos 8, T sen O ) . Determinar el conjunto imagen S. Mostrar que T es uno a uno en S'.

m Definir

Mostrar que T rota el cuadrado unitario D' = [O, 11 x [O , 11.

6.3 TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES 371

3. Sea D' = [O, 11 X [O, 11 y definir T en D' por T(u, u ) = ( -u2 + 4u, u). Hallar D. ¿Es T uno a uno?

Sea D' el paralelogramo acotado por las rectas y = 32 - 4, y = 32, y = $2 y y = +(x + 4). Sea D = [ O , 13 X [O , 11. Hallar T tal que D es la imagen de D' bajo T.

5. Sea D' = [O, 13 x [O, 11 y definir T en D' por T(z*,y*) = ( z *y* , 2.) . Determinar el conjunto imagen D. ¿Es T uno a uno? De no ser así, ¿podemos eliminar algún subconjunto de D' de modo que en el resto T sea uno a uno?

6. Sea D' el paralelogramo con vértices en (-1,3), ( O , O ) , (2, -1) y (1,2) y D = [O, 11 x [O, 11. Hallar T tal que D sea el conjunto imagen de D' bajo T.

Sea T: R3 + R3 definida por (p, 4, O) H (x, y , z), donde

x = psen$cosO, y = psen$senO, z = pcosd

Sea D' el conjunto de puntos (p, 4, O) tal que $ E [O, 7r], O E [O, 2x1 y p E [O, 13. Hallar D = T(D'). ¿Es T uno a uno? De no ser así, ¿podernos eliminar algún subconjunto de D' (como lo hicimos en el ejercicio 1, a D' del ejemplo 1) de modo que en el resto T sea uno a uno?

En los ejercicios 8 y 9 sea T(x) = Ax, donde A es una matriz de 2 x 2

8. Mostrar que T es uno a uno si y sólo si el determinante de A es diferente de cero.

9. Mostrar que det A # O si y sólo si T es suprayectiva.

Suponer que T:R2 + R2 es lineal; T(x) = Ax, donde A es una matriz de 2 x 2. Mostrar que si det A # O , T manda paralelogramos a paralelogramos. (IDEA: El paralelogramo general en R2 se puede describir por el conjunto de puntos q = p + A V + pw para X y p E [O, 11, donde p, v y w son vectores en R2 con v de modo que no sea múltiplo escalar de w.)

11. Suponer que T : R2 + RZ es como en el ejercicio 10 y que T ( P * ) = P es un paralelogramo. Mostrar que P' es un paralelogramo.

6.3 TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES

Dadas dos regiones D y D" del tipo 1 o 2 en R2, una función diferenciable T en D' con imagen D , esto es, T ( D * ) = D y cualquier función integrable con valores reales, f: D -+ R, quisiéramos expresar S, f(z, y) dA como una integral sobre D* de la función compuesta f o T . En esta sección veremos cómo hacerlo.

Suponer que la región D' es un subconjunto de R2 del tipo 1 con coordenadas variables designadas por ( u , w). Más aún, suponer que D es un subconjunto del p lano z y , del t ipo 1. La función T está dada por dos funciones coordenadas:

T ( u , u) = (~(u, u), y(u, u)) para (u, v) E D'.

372 INTEGRALTRIPLE. CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Como primera conjetura podríamos tener que

donde f o T ( u , w) = f(z(u, u ) , y(u, u)) es la función compuesta definida en D*. Sin embargo, si consideramos la función f : D -+ R2 donde f (z , y) = 1, entonces la ecuación (1) implicaría

A ( D ) = S, dz dy du dv = A ( D ' ) .

Es fácil ver que la ecuación (2) se cumplirá sólo para algunos casos particulares y no para una función general T . Por ejemplo, definir T mediante T ( u , u ) = ( -u2 + 4u, u). Restringir T al cuadrado unitario D' = [O, 11 x [ O , 11 en el plano uu (ver la figura 6.3.1). Entonces, como en el ejercicio 3 , sección 6.2, T manda D* sobre D = [O , 31 x [O, 11. Claramente A ( D ) # A ( D * ) , de modo que la fórmula (2) no es válida.

D

7

Y

Figura 6.3.1 La función T : ( u , v) H (-uz + 4u, v) manda al cuadrado D' sobre el rectángulo D.

Lo que se necesita es una medida de cómo la transformación T: R2 -+ R2 distorsiona el área de la región. Esto está dado por el determinante jacobiano, que se define como sigue.

DEFINICI~N Sea T : D* c R2 + R2 una transformación C' dada por z = z (u , u ) y y = y(., u). El jacobiano de T, que se escribe a(z, y ) / B ( u , u ) , es el determinante de la matriz derivada DT(z, y) de T :

' au av '


EJEMPLO 1 La función de R2 a R2 que transforma coordenadas polares en coordenadas cartesianas está dada por

X = TCOSB, y = r sene

y su jacobiano es

Si hacemos las restricciones adecuadas a la función T , podemos mostrar que el área de D = T ( D * ) se obtiene integrando el valor absoluto del jacobiano d(x,y)/d(u, v) sobre D'; esto es, tenemos la ecuación

Para ilustrar: del ejemplo 1 en la sección 6.2, tomar T : D* -+ D , donde D = T ( D * ) es el conjunto de (;t.,y) con x 2 + y2 5 1 y D' = [O, 11 X [O, 2 ~ 1 , y T(r,O) = (~cosO,rsen8) . Por la fórmula (3),

(aquí, T y O juegan el papel de u y v ) . De los cálculos anteriores se sigue que

es el área del disco unitario D, confirmando en este caso la fórmula (3). De hecho, podemos recordar del curso de cálculo del primer año que la ecuación (4) es la fórmula correcta para el área de una región en coordenadas polares.

No es fácil probar de manera rigurosa la afirmación (3), de que el determinante jacobiano es una medida de cómo distorsiona el área una transformación. Sin embargo, visto de manera adecuada, es plausible.

Recordar que A ( D ) = S, dx dy se obtuvo al dividir D en recbángulos pequeños, sumando sus áreas y tomando el límite de esta suma conforme el tamaño de los subrectángulos tiende a cero (ver el ejemplo 3 , sección 5.3). El problema es que T puede mandar rectángulos en regiones cuya área no sea fácil de calcular. Una herramienta útil para ello es la derivada de T , que sabemos (del capítulo 2), da la mejor aproximación lineal a T .


c Y

U x

Figura 6.3.2 Efecto de l a transformación T en un rectángulo pequeño D'.

Considerar un pequeño rectángulo D' en el plano uw según se muestra en la figura 6.3 .2 . Denotemos por T' la derivada de T evaluada en ( U O , wo), de modo que T' es una matriz de 2 x 2. De nuestro trabajo en el capítulo 2 (ver la página 124) sabemos que una buena aproximación a T ( u , w) está dada por

donde Au = u - u. y Av = w - va. Pero esta correspondencia manda D' a un paralelogramo con vértice en T(uo, vo) y con lados adyacentes dados por los vectores

ax ax ¿?X

T'(Aui) = [ ~~ [ y ] = A u [E] = A u T u " - a u av a2l

donde ax a y . ax a y . T ---i+-J Y T - - i + - ~

- all a u u - a v av

están evaluados en (u0 , wo).

los vectores ai + b j y ci + dj es igual al valor absoluto del determinante Sabemos de la sección 1.3, que el área del paralelogramo con lados iguales a


Así, el área de T ( D * ) es aproximadamente igual al valor absoluto de

1 8 % . ax. I 18% a x 1

evaluado en ( U O , WO). Pero el valor absoluto de esto es precisamente la(z,y)/ a(u, .)I Au Av.

Este hecho y un argumento relacionado con una partición hará plausible la fór- mula ( 3 ) . En efecto, si partimos D* en rectángulos pequeños con lados de longitud Au y Av, las imágenes de estos rectángulos están aproximadas por los paralelogramos con lados T,Au y T, Av y, por lo tanto, con área la(z, y)/d(u, v)l Au Av. Así, el área de D" es aproximadamente Au Av, donde la suma se toma sobre todos los rectángulos R dentro de D* (ver la figura 6.3.3). Por lo tanto el área de T ( D * ) es aproximadamente la suma \a(z, y)/a(u, u ) \ Au Av. En el límite, la suma se convierte en

Y

Figura 6.3.3 El área del rectángulo pequeño R es Au Av. El área de T ( R ) es aproxima- damenbe la(z, y)/d(u, v)I Au Av.

Demos otro argumento para el caso particular (4) de la fórmula ( 3 ) , esto es, el caso de coordenadas polares. Considerar una región D en el plano zy y una malla correspondiente a una partición de las variables T y 0 (figura 6.3.4). El área de la región sombreada es aproximadamente igual a (Ar)(r jkA0), pues la longitud de arco de un segmento de un círculo de radio T subtendiendo un ángulo q5 es rq5. El área total es entonces el límite de rjk Ar A0; esto es, S,. r dr dB. L a idea clave es que el j-ésimo "rectángulo polar" en la malla tiene área aproximadamente igual a rjk A r AO. (Para TI grande, el j-ésimo rectángulo polar se ve como un


rectángulo con lados de longitud rjk A0 y Ar. ) Esto deberá arrojar alguna luz sobre por qué decimos que el “elemento de área Ax A$ se transforma en el “elemento de área r Ar A0.” El ejemplo siguiente explica estas ideas para un caso particular.

EJEMPLO 2 Sea la región elemental D en el plano x y acotada por la gráfica de una ecuación polar r = f (0) , donde Bo 5 0 5 01 y f (0) 2 O (ver la figura 6.3.5). En el plano r0 consideramos la región D’ del tipo 2, donde 00 5 0 5 01

y O 5 T 5 f (0) . Bajo la transformación 2 = T cos 0, y = r sen 0, la región D’ va a dar sobre la región D . Usar (3) para calcular el área de D.

0 Y

Figura 6.3.5 Efecto sobre la región D’ de la función de coordenadas polares.

6.3 TEOREMA DEL CAM610 DE VARIABLES

SOLUCIÓN

377

Esta fórmula para A(D) debe ser familiar por el estudio del cálculo de una variable. A

Antes de enunciar la fórmula del cambio de variables, que es la culminación de este estudio, recordemos el teorema correspondiente de cálculo de una variable:

( 5 )

donde f es continua y u H .(u) es continuamente diferenciable en [a, b].

DEMOSTRACI~N Sea F una antiderivada de f ; esto es, F’ = f , lo cual es posible por el teorema fundamental del cálculo. El lado derecho de la ecuación (5) se vuelve L:; f(x) dx = F ( z ( b ) ) - F ( z ( a ) ) .

Para evaluar el lado izquierdo de la ecuación (5), sea G ( u ) = F ( z ( u ) ) . Por la regla de la cadena, G’(u) = F’(z (u) )d(u) = f ( z ( u ) ) d ( u ) . Entonces, de nuevo por el teorema fundamental,

lb f(z(u))z’(uL) du = G’(u) du = G(b) - G(a) = F ( z ( b ) ) - F(z(a)), ’1 según se requirió.

Supongamos ahora que la función de clase C’ u ++ .(u) es uno a uno en [a ,b] . Así, debemos tener dx/du 1 O en [a, b] o dx/du 5 O en [a, b]. (Si dx/du es positiva y después negativa, la función x = .(u) crece y después baja, y así, no es uno a uno; se aplica un enunciado análogo para el caso en que dxldu sea negativa y después positiva.) Denotemos por I* el intervalo [a, b] y por I el intervalo cerrado con extremos .(a) y z(b) . (Así, I = [ t ( a ) , z ( b ) ] si u H .(u) es creciente e I = [z(b),z(a)] si u H .(u) es decreciente.) Con esta notación podemos reescribir la fórmula (5) como


, Ésta es la fórmula que se generaliza para integrales dobles: I* se vuelve D " , I se vuelve D , y Idx/dul es reemplazada por l¿9(xc, y)/8(u,u)l. Enunciemos formalmente el resultado (se omite la demostración técnica).

TEOREMA 2: CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES Sean D y D" regiones elementales en el plano y sea T : Dm + D de clase C1; suponer que T es uno a uno en D'. Más aún, suponer que D = T ( D * ) . Entonces, para cualquier función integrable f : D + R, tenemos

Uno de los propósitos del teorema de cambio de variable es proporcionar un método mediante el cual se puedan simplificar algunas integrales dobles. Es posible hallar una integral so f dA en la cual sea complicado el integrando f o la región D , y sea difícil la evaluación directa. Por lo tanto, se escoge T de modo que la integral sea fácil de evaluar con el nuevo integrando f o T o con la nueva región D' (definida por T(D' = D ) . Desafortunadamente, el problema en la realidad puede complicarse si no se escoge T con cuidado.

EJEMPLO 3 Sea P el paralelogramo acotado por y = 2 2 , y = 22 - 2, y = x y y = x + 1 (ver la figura 6.3.6). Evaluar S, xydx dy haciendo el cambio de variables

x = u - u , y = 2 u - v ,

esto es, T ( u , u ) = ( u - u , 2u - u ) .

Figura 6.3.6 Efecto de í"(u, u) = (u - u, 2u - u) en el rectángulo P'.


SOLUCIóN La transformación T es uno a uno (ver el ejercicio 8, sección 6.2) y está diseñada de modo que manda al rectángulo P" acotado por v = O, v = -2, u = O y u = 1 sobre P. Al usar T se simplifica la región de integración de P a P*. Más aún,

2 -1

Por lo tanto

S, x y d x d y = S,. (u - v)(2v - v ) du dv

= I2 I' (2u2 - 3vu + u') du dv

' I

=[ 2 + v2u] O dv

= [ -v - -v 2 3 4 3 2 + 5 ] 0 2 = - [ - ( - 2 ) - 3 - - ] v3 2 3 8 3

- - 2 3 3u2v

-[-= - 31 = 7. A

EJEMPLO 4 Evaluar S, log(x2 + y2) dx dy, donde D es la región en el primer cuadrante que está entre los arcos de los círculos (figura 6.3.7)

x 2 + y = a , 2 2 z2 + y' = b2 ( O < a < b) . '

Y

i"

Figura 6.3.7 La función de coordenadas polares manda a un rectángulo D' sobre parte de un anillo D.


SOLUCIÓN Estos círculos tienen las sencillas ecuaciones T = a y T = b en coordenadas polares. Más aún, r’ = x’ + y’ aparece en el integrando. Así, un cambio a coordenadas polares simplificará tanto el integrando como la región de integración. Según el ejemplo 7 , sección 6.2, la transformación a coordenadas polares

T = T C O S ~ , y = r s e n 0

manda el rectángulo D*, dado por a 5 T 5 b , O 5 8 5 in, sobre la región D. Esta transformación es uno a uno en D’ , de modo que por el teorema 2, tenemos

Ahora bien, la(z, ~ ) / O ( T , 8)l = T , como y a se vio; entonces la integral del lado derecho se convierte en

Aplicando integración por partes, o usando la fórmula

J’ L log X d x = - log X - - 2 4

X 2 X 2

de la tabla de integrales al final del libro, obtenemos el resultado

Supongamos que consideramos el rectángulo D* definido por O 5 8 5 27r, O 5 T 5 a en el plano r8. Entonces la transformación T dada por T ( r , 8) = ( r cos 8, rsen O) manda D’ sobre el disco D , con ecuación x’ + y’ 5 u’, en el plano zy. Esta transformación representa el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Sin embargo, T no satisface los requerimientos del teorema del cambio de variables, pues no es uno a uno en D*: en particular, T manda todos los puntos con r = O a (0,O) (ver la figura 6.3.8 y el ejemplo 3 de la sección 6.2). Sin embargo, el teorema del cambio de variables se cumple en este caso. Básicamente, la razón es que el conjunto de puntos donde T no es uno a uno está en un lado de D’, que es la gráfica de una curva suave y por lo tanto, para los propósitos de integración, puede despreciarse. En suma, l a fórmula

S, S,. (7) f(x, y) dx d y = f ( r cos O, r sen O)r d r d0

se cumple cuando T manda D’ de manera biunívoca a D , excepto quizá en puntos de la frontera de D’. El ejemplo 2 proporciona un ejemplo sencillo de


Y

7

Figura6.3.8 La imagen del rectángulo D* bajo la transformación de coordenadas polares es el disco D.

esto cuando f ( z , y ) es constante, igual a 1. Consideraremos ahora un ejemplo más difícil.

EJEMPLO 5 Evaluar SR d m d z dy donde R = [O, 11 x [O, 11.

SOLUCIÓN Esta integral doble es igual al volumen de la región tridimensional mostrada en la figura 6.3.9. Como se le presenta, es difícil evaluar esta integral. Como el integrando es una función sencilla de r2 = z2 + y’, intentamos de nuevo un cambio de variables a coordenadas polares. Esto traerá una simplificación del integrando, pero, desafortunadamente, no en el dominio de integración. Sin embargo, la simplificación es suficiente para permitirnos evaluar la integral. Para aplicar el teorema 2 con coordenadas polares, nos referimos a la figura 6.3.10. El lector puede verificar que R es la imagen bajo T ( r , 8) = ( r cos 8, rsen 0) de la región D* = Df U Df donde para DT tenemos O 5 B 5 $T y O 5 r 5 sec 8; para D; tenemos 4. 5 8 5 ir, O 5 r 5 csc8. La. transformación T manda Di sobre un triángulo TI y Da sobre un triángulo T2. La transformación T es uno a uno excepto cuando r = O , de modo que se puede aplicar el teorema 2. Por la simetría de z = d m en R, podemos ver que

Aplicando la fórmula (7 ) , obtenemos


x

Figura 6.3.9 Volumen de la región bajo x = d m y sobre R = [O, 11 X [O, 13.

O e

Figura 6.3.10 La transformación en coordenadas polares manda D; al triángulo TI y D; a Tz.

6.3 TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLES

A continuación usamos integración iterada para obtener

Consultando una tabla de integrales (ver al final del libro) para hallar sec3 2 dz , tenemos

Consultando, de nuevo, la tabla para Ssec 2 dx, hallamos

Combinando estos resultados y recordando el factor 4, obtenemos

Multiplicando por 2, obtenemos la respuesta

dx dy = -[&+ log(1 + h)]. A 1 3

También hay una fórmula de cambio de variables para integrales triples, que enunciamos a continuación. Primero debemos definir el jacobiano de una trans- formación de R3 a R3 -es una extensión sencilla del caso de dos variables.

DEFINICI~N Sea T : W c R3 ”-+ R3 una función C1 definida por las ecuaciones x = x(u, w, w), y = y(u, w, w), z = %(u, v , w). Entonces el jacobiano de í”, que se denota por ¿?(x, y, z)/a(u , w , w) es el determinante

-”

ax ax ax au av aur

au av aw a2 a2 a2

au av aw

- ay 3 ay

-“


El valor absoluto de este determinante es igual al volumen del paralelepípedo determinado por los vectores

T - - - i + - j + - k a z a y a2

- au au a u a z a y a 2

- a v at1 a v a x a y a 2

a w aw a w

T - "i+ -j+ -k

T u = - i + - j + - k

(ver la sección 1.3). Así como en el caso de dos variables, el jacobiano mide cómo la transformación T distorsiona su dominio. Entonces, para integrales de volumen (triples), la fórmula del cambio de variable toma la forma:

donde D* es una región elemental en el espacio uvw correspondiente a

(8)

D en el espacio zyz , bajo un cambio de coordenadas T : (u, v, w) H ( z (u , v, w), y(u , o, w), z ( u , v, w)), siempre que T sea de clase C' y uno a uno, excepto quizá en un conjunto que sea la unión de gráficas de funciones de dos variables.

Apliquemos la fórmula (8) para coordenadas cilíndricas y esféricas (ver la sección 1.4). Primero calculamos el jacobiano de la función que define el cambio de coordenadas. Como

x = r cos O, y = r sen O, z = z,

tenemos cos0 -r sen8 O

"---=~sen8 Y, 4 r c o s 0 O = r . a ( T , 0, 2) O O 1

Así, obtenemos la fórmula

f ( x , y, z) d x dy dz = f ( r COSO, T sen O, z ) r dr d0 dz. (9)

A continuación consideramos el sistema de coordenadas esféricas. Recordar que está dado por

x =psendcosO, y = psen$senO, z = pcosd .


Por lo tanto, tenemos

sen 4 cos O -p sen 4 sen O p cos 4 cos O sen q ! ~ sen O p sen 4 cos O p cos 4 sen B

O -p sen 4

Desarrollando a lo largo del último renglón, obtenemos

sen 4 cos O ”p sen 4 sen B sen 4 sen O p sen 4 cos O

- psen 4

= -p’ cos’ 4 sen 4 sen’ B - p’ cos’ 4 sen 4 cos’ O

- p2 sen3 4 cos’ O - p’ sen3 4 sen’ 8

= -p2 cos’ 4 sen 4 - p’ sen3 4

= !-p’ sen 4. i I

Llegamos así a la fórmula

= S,. f(psen4cosO,psen4senO,pcos4)pZsen4dpdOd4. (10)

Para probar la validez de la fórmula ( l o ) , se debe mostrar que la transformación S en el conjunto D” es uno a uno excepto en un conjunto que sea la unión de un número finito de gráficas de funciones continuas. Dejaremos esta verificación para el ejercicio 20. 1

EJEMPLO 6 Evaluar S, exp(x2 + y2 + 22)3/2 dl/ , donde D es la bola unitaria en R3.

SOLUCIÓN Notar primero que no podemos integrar fácilmente esta función usando integrales iteradas (¡intentarlo!). Tratemos entonces con un cambio de variable. Parece apropiada l a transformación a coordenadas esféricas, pues así toda la cantidad x2 + y’ + 2’ se puede reemplazar por una variable, a saber p2. Si D” es la región tal que

o < p < 1 , 0 < 0 < 2 * , O < d < * ,

podemos aplicar la fórmula (10) y escribir

exp(x’ + y’ + z ’ ) ~ ’ ~ d l / = p’eP3 sen 4 dp d0 d d .


Est8& int,egral es igual a la intcgral iterada

EJEMPLO 7 Sea D la bola de radio R y centro ( O , O , O ) en R3. Hallar el volumen de D.

SOLUCIÓN El volumen de D es dx dy d z . Esta integral se puede evaluar al reducirla a integrales iteradas (ejemplo I , sección 6.1) o considerando colno un volurrlen de revolución, pero l a evaluaremos aquí usando coordenadas esf4ricas. Obtenenlos

i

/: d x d y d l = / l i ~ T ~ R p 2 s e n 4 d y d R ( ( 0

2 x ~ 2 3 4 x R 3 { - [cos (x ) - cos(O)]} = - -~ -

3 3 %

que es la conocida fórmula para el volumen de una esfera sólida. A

EJERCICIOS

haciendo el cambio de variables L = u + u , y = u - 'c. Verificar l a respuesta obtenida evaluando directamente l a integral, usando una integral iterada.


3. Sea T(u , v) = (~(u, uj, y(u, v ) j la función definida por T ( u , u ) = (4u, 2u + 371). Sea D’ el rectángulo [O, 11 x [l, 21. Hallar D = T ( D * ) y evaluar

( 4 JD2:Yd2:dY kb,l J & - Y P Z d Y

haciendo un cambio de variables para evaluarlas como integrales sobre D*.

4. Repetir el ejercicio 3 para T(,u, u ) = ( U ) v ( 1 + u ) ) .

5. Evaluar

donde D = [O, 11 X [O, 11, haciendo T ( u , v) = (u, v/2) y evaluando una integral sobre D’, donde T ( D * ) = D.

6. Definir T ( u , v j = (u’ - v2,2uv). Sea D’ el conjunto de ( u , v ) con u’ + Y’ 5 1 , u 2 O, 71 2 O. Hallar T ( D * ) = D. Evaluar j” dz dy.

Sea T(u, v) como en el ejercicio 6. Haciendo ese cambio de variables, evaluar

8. Calcular S, - X + Y

dy dx, donde R es la región acotada por 2: = O, y 0 , z 4- y = 1,

x + y = 4, usando la función T ( u , v) = (u - uv, U.).

9. Evaluar sD(2:’ + da dy donde D es el disco x’ + y’ 5 4.

10. Sea D’ una región del tipo 1 en el plano uv acotado por

= da), 1) = h ( % ) 5 S(%)

para a 5 u 5 b. Sea T : RZ -+ R’ la transformación dada por

x = u > Y = $(uLL, u ) ,

donde 4 es de clase C’ y &,h/au nunca es cero. Suponer que T ( D * ) = D es una región del tipo 1; mostrar que si f: D -+ R es continua, entonces

Usar integrales dobles para hallar el área dentro de la curva T = 1 + sen 8.


Calcular JR(z+y)2eZ-Y d z dy donde R e s l a región acotada por ~ + y = 1. J + y = , l . x " y = - l y z - y = l .

6.4 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES 389

24. Evaluar Jh z2 dz dy donde D está determinado por las dos condiciones O 5 z 5 y

y 2 + y2 5 1 .

25. Integrar ~ ~ e - - ( z a t y 2 t z 2 ) sobre la región descrita en el ejercicio 23

Evaluar lo siguiente usando coordenadas cilíndricas.

plano zy y debajo del cono z = (z’ + y )

condiciones 5 z 5 1 y z2 + y2 + z2 5 1

Evaluar &(x + y) dz dy donde B es el rectángulo en el plano “y con vértices en

(a ) JJ& z dl: dy dz donde B es la región dentro del cilindro 2’ + y’ = l , .sobre el

(b) [!&(x2 + y2 + z ~ ) - ” ~ dx dydz donde D es la región determinada por las

2 112

( O , 11, (LO), ( 3 , 4 ) Y (4 ,3) .

Y ( 2 , -1). 28. Evaluar &(x + y) d z dy donde D es el cuadrado con vértices en ( O , O ) , ( 1 ,2 ) , ( 3 , l )

29. Sea E el elipsoide (.’/a’) + ( y “ / b 2 ) + ( z 2 / c 2 ) 5 I , donde a, b y c son positivos. (a) Hallar el volumen de E . (b) Evaluar J J J E [ ( z 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) + ( z2 /c ’ )] dzdydz. (IDEA: Cambiar variables

y después nsar coordenadas esféricas.)

Usando coordenadas esféricas (ver la sección 1.4), calcular.la integral de f ( p , 4, O) = l / p sobre la región en el primer octante de R3 que está acotada por los conos 4 = n/4, 4 = arctan 2 y la esfera p = h.

*31. La función T(uL: u) = ( u 2 -Y’, 2u.v) transforma el rectángulo 1 5 u 5 2 , 1 _< u 5 3 , del plano uz‘ en una región R del plano zy.

(a) Mostrar que T es 11110 a uno. (b) Hallar el área de R usando la fórmula del cambio de variables.

*32. Denotemos por R la región dentro de x 2 + y’ = 1 pero fuera de z2 + y2 = 2y con z > O , y > O .

(a) Esbozar esta región. (b) Sea u = z2 + y2, v = z2 + y’ - 2y. Esbozar la región I? en el plano uv que

(c) Falcular S, z e y dz dy usando este cambio de coordenadas. corresponde a R bajo este cambio de’coordenadas.

*33. Sea U la región acotad& por z3” + y3l2 = u 3 / 2 , para I: 2 O , y 2 O y los ejes coordenados z = O , y = O. Expresar [, f(z, y) d z dy como una integral sobre el triángulo D’, que es el conjunto de puntos O 5 u 5 a, O 5 v 5 a - u. (No int,entar evaluarla.)

6.4 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

En esta sección est,udiaÍwnos como aplicaciones: valores promedio, centros de masa, momentos de inercia y potencial gravitacional.

Si zl,. . . ,x, son n números, su promedio está definido por [ziIprom = (x1 + . . + zn)/n = ( l / n ) x,”=, zi. Este concepto nos lleva a definir el valor promedio


de una función de una variable en el intervalo [ u , b] por

Asimismo, para funciones de dos variables, la razón de la integral al &rea de D ,

se llama valor promedio de f sobre D.

EJEMPLO 1 Hallar el valor promedio de f(z, y) = xsen2(zy) en D = [ O , 7 r ] x

[O, TI.

SOLUCI~N Primero calcularnos

= - + x3 cos(27r2) - 1 4 8x

Así, este valor promedio de f, por l a fórmula ( l ) , es

a3/4 + [c0s(27r2) - 1]/8x x cos(27r') - I 7r2 =4+ 8 a3

z 0.7839. A

Si se colocan ml, . . . m, masas en los puntos X I , . . . ,x, sobre el eje x, su centro de masa se define como

Esta definición surge de la observación siguiente: si tratamos de balancear masas en una palanca (figura 6.4.1), el punto de equilibrio C ocurre donde el momento total (masa por la distancia al punto de equilibrio) es cero, esto es, donde


Figura 6.4.1 La palanca está equilibrada si - %)m, = o.

md(zi - F) = O ; un principio físico que se remonta a Newton asegura que esta

Para una densidad de masa continua p ( z ) a lo largo de la palanca, el análogo condición significa que n o hay tendencia a que la palanca gire.

de l a fórmula (2) es

- J X P ( 4 dz

J P(X) dx . x =

Para placas bidimensionales, esto se generaliza (ver la figura 6.4.2) a

donde, de nuevo, p ( z , y) es la densidad de masa.

centro de masa placa

* Figura 6.4.2 La placa se equilibra cuando se coloca sobre su centro de masa.


SOLUCIÓN Calculamos prirnero la masa total:

El numerador en la fórmula (4) para ?E es

de modo que

Se pueden intercambiar los papeles de 2 y y en todos estos cálculos, entonces también jj = l / ( e - 1) M 0.582. A

Para una región W en el espacio con densidad de masa p ( z ! y, z), estas fórmulas se generalizan como sigue:

volumen = JJJ dz dy dz, (5)

masa = JJJ p ( z , y, z ) d z dy d z . (6)

W

W

centro de masa = (Z, 5, Z),

donde

- w z = masa


El valor promedio de una función f en una región W está definido por

JJJf(x, Y 1 2) dY dz

JJJ d x dY dz [ f l P r o m = W

W

EJEMPLO 3 El cubo [1,2] x [1,2] X [1,2] tiene densidad de masa p(x, y , z) = (1 + x)e” y. Hallar la masa de la caja.

SOLUCIÓN La masa de la caja es, por la fórmula (6),

x=2

x=1

Si una región y su densidad de masa son simétricas según una reflexión en un plano, entonces el centro de masa está en ese plano. Por ejemplo, en la fórmula (7) para E , si la región y la densidad de masa son simétricas en el plano yz, entonces el integrando es impar en 2 , de modo que F = O. Esta manera de usar la simetría se ilustra en’ el ejemplo siguiente. (Ver además el ejercicio 17.)

EJEMPLO 4 Hallar el centro de masa de la región hemisférica W definida por l a s desigualdades x2 + y2 + z2 5 1, z 2 O. (Suponer que la densidad es constante.)

SOLUCIÓN Por simetría, el centro de masa debe estar en el eje z , de modo que ;rt = = O. Para hallar F debemos calcular, por la fórmula (7) , I = SS&, z dz dy d z . El hemisferio es de los tipos I , I1 y 111; lo consideraremos de tipo 111. Entonces la integral I se convierte en . . .

z dx dy dz.

Como z es constante para las integraciones en z y en y, podemos sacarla de los signos de integral y obtener

m %/zj7Iz

Q - d m ’ I = l l z (1 / z d x d y


En lugar de calcular explícitamente las dos integrales interiores, observamos que se t ra ta ni más ni menos que de la integral doble & dx dy sobre el disco x’+y2 1 - z 2 , considerado como región del tipo 2. EI área de este disco es x( 1 - z ’ ) , de modo que

El volumen del hemisferio es :x, de modo que f = ( x / 4 ) / ( $ x ) = i. A

EJEMPLO 5 La temperatura en los puntos del cubo W = [-I, 13 x [-I, 11 x [-1,1] es proporcional al cuadrado de la distancia al origen.

(a) iCuál es la temperatura promedio? (b) 1En qué puntos del cubo la temperatura es igual a la temperatura promedio?

SOLUCIÓN (a) Sea c la constante de proporcionalidad de modo que T = c(z2+ y2 + z 2 ) y la temperatura promedio es [T]prom = sJJw T dx dydz, pues el volumen del cubo es 8. Así,

La integral triple es la sunla de las integrales de x2, y’ y 2’. Como x, y y z entran de manera simétrica en la descripción del cubo, las tres integrales serán iguales, de modo que

La integral interior es igual al área del cuadrado [--I, 11 x [-1,1]. El área de ese cuadrado es 4, de modo que

(b) La temperatura es igual a l a temperatura promedio cuando c(z’ + y2 + z’) = c , esto es, en la esfera z’ + y2 + z 2 = 1, que está ins‘crita en el cubo Mr.

A

Otro concepto importante en mecánica, que se necesita para estudiar la diná- mica de un cuerpo rígido en rotación, es el de momento de inercia. Si el sólido W tiene densidad uniforme p, el mornento de inercia alrededor del eje x está


definido por

I, = /// p ( y 2 + 2’) dl: dy dz.

W

De manera análoga,

El momento de inercia mide la respuesta de un cuerpo a intentos de girarlo; es análogo a la masa de un cuerpo, que mide su respuesta al intento de moverlo. Sin embargo, a diferencia del movimiento de traslación, los momentos de inercia dependen de la. forma y no sólo de la masa total. (Es más difícil poner a girar un mástil que una bola compacta con la misma masa).

EJEMPLO 6 Calcular el momento de inercia I, del sólido arriba del plano xy acotado por el paraboloide z = x’ + y’ y el cilindro x’ + y2 = a ’ , suponiendo que a y la densidad de masa son constantes.

SOLUCIÓN El paraboloide y el cilindro se intersecan en el plano t = a ’ . Usando coordenadas cilíndricas, hallamos de (9), que

Una interesante aplicación física de la integración triple es la determinación de campos gravitacionales de objetos sólidos. En el ejemplo 6 , sección 2.5, se mostró que el campo de fuerza gravitacional F(x , y, z ) de una partícula es el negativo del gradiente de una función V(x, y, t) llamada potencial gravitacional. Si hay una masa puntual M en (x ,y , z ) , entonces el potencial gravitacional que actúa sobre una masa m en ( x 1 , yl , zl) debido a esta masa, es GmM[(x - xl)’ + (y - y ~ ) ~ + ( z - ~ 1 ) ~ ] - ~ / ’ , donde G es l a constante de gravitación universal.

Si nuestro objeto atractor es un dominio extendido W con densidad de masa p(x , y, z ) , podemos pensarlo como formado de regiones infinitesimales con forma de caja con masas dm = p ( x , y, 2 ) d x d y d z localizadas en los puntos (x, y, 2).

El potencial gravitacional total para W se obtiene, entonces, “sumando” los potenciales de las masas infinitesimales -esto es, como una integral triple (ver la figura 6.4.3.):

396 INTEGRALTRIPLE, FóRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Figura 6.4.3 El potencial gravitacional actuando sobre una masa. m en (21, y], 21) surge de la masa d M = p ( z , y, z) dz dy d z en ( E , y, z ) es [Gmp(z , y, z ) dl: d y d z ] / r .

NOTA HIST~RICA

La teoría de los campos de fuerzas gravitacionales y de potenciales gravitacionales fue desarrollada por Isaac Newton (1642-1727). Newton detuvo la publicación de sus teorías gravitacionales por largo tiempo. El resultado de que un planeta esférico tiene el mismo campo gravitacional que tendría si su masa estuviera concentrada en el centro del planeta, apareció por primera vez en su famoso trabajo Philosophia Naturalis, Prin- cipia Mathernatica, cuya primera edición apareció en 1687. Resolveremos el problema de Newton usando integrales múltiples y coordenadas esféricas; es notable que en la solución publicada por Newton usa sólo geometría euclidiana.

EJEMPLO 7 Sea W una región de densidad constante y masa total M . Mostrar que el potencial gravitacional está dado por

donde [ 1 / ~ ] ~ ~ ~ , , , es el promedio sobre W de


SOLUCIÓN De acuerdo con la fórmula ( l o ) ,

XI, Y I , Z I ) = Gm JJJ ,, p d x d y d z

W (x - + ( Y - Y l ) 2 + (z - z1)2

= ~ m p JJJ dx dy dz W & - X 1 l 2 + ( Y - Y1)2 + (2 - 2 1 ) 2

dx dy d z JSS d(x - x1)2 + (y - yl )2 + (. - z1)2

= Gm[p volumen ( W ) ] W

volumen ( W )

= GmM [:] prom

como se requería. A

Usemos ahora la fórmula (10) y coordenadas esféricas para hallar el potencial gravitacional V(z1, y1 , z1) para la región W entre las esferas concéntricas p = p1 y p = p 2 , suponiendo que la densidad es constante. Antes de evaluar la integral en la fórmula ( lo) , hacemos algunas observaciones que simplificarán los cálculos. Como G, m y la densidad son constantes, podemos ignorarlas al principio. Como el cuerpo atractor W es simétrico respecto a rotaciones alrededor del origen, el potencial V(z1 , y1,zl) debe, a su vez, ser simétrico -así, V(z1 , y l , 21) depende sólo de la distancia R = d m al origen-. Nuestros cálculos serán más sencillos si vemm el punto (O,O,R) en el eje z (ver la figura 6.4.4). Así, nuestra integral es


= -[(p2 + 2Rp + R2)’I2 - (p2 - 2Rp + R2)I í2 I

1zp

= - ( p + R - 1

Rp IP -

La expresi6n p + R siempre es positiva, pero p - R puede no serio, de modo que debemos mantener el signo de valor absolut,o. (Aquí hemos usado la fórmula &? = 1.1.) Sust,ituyendo en la fGrmula para V, obtenemos


El factor (47r/3)(pz - py) es precisamente el volumen de W. Colocando de nuevo las constantes G, m y la densidad de masa, hallamos que el potencial gravitacional es GmMIR, donde M es la masa de W. Así, TJ es precisamente conlo si toda la masa de W estuviera concentrada en el punto central.

Si R 5 p1 (esto es, si (XI, y1, z1) está dentro del hueco), entonces Ip- Rl = p- R Para P en [Pl, P21 I Y

p [ p + R - ( p - R ) ] d p = ( G m ) 4 a p d p = ( G r n ) 2 x ( p $ p : ) . 61' El resultado es independiente de R, de modo que el potencial V es constante dentro del hueco. Como la fuerza gravitacional es menos el gradiente de V, concluimos que in0 existe fuerza gravitacional dentro de un planeta uniforme hueco!

Dejamos al lector calcular V(0, O , R) para el caso p1 < R < p ~ . Un argumento similar muestra que el potencial gravitacional fuera de cualquier

cuerpo simétrico esférico de masa "(aunque su densidad sea variable) es V = G M m / R , donde R es la distancia a su centro (que es el centro de masa).

EJEMPLO 8 Hallar el potencial gravitacional actuando en una unidad de masa de una estrella esférica con masa M = 3.02 X lo3' kg a una distancia de 2.25 x 10l1 m de s u centro ( G = 6.67 x N m2/kg2).

SOLUCIÓN El potencial es

G M 6.67 x 10"' x 3.02 x IO3' v=-= R

= 8.95 X 108m2/s2. A 2.25 x 10l1

EJERCICIOS

1. Hallar el promedio de f(z, y) = y sen xy sobre D = [O, x] x [O, x].

2. Hallar el promedio de f (z , y) = exty sobre el triángulo con vértices ( O , O ) , ( O , 1) y

(1, O ) .

Hallar el centro de masa de la región entre y = x2 y y = z si la densidad es 2 + y.

4. Hallar el centro de masa de la región entre y = O y y = T', donde O 5 2 5 $.

5. Una placa de oro grabada D está definida por O 5 T 5 2x y O 5 y 5 x (centímetros) y tiene una densidad de masa p(z, y) = yzsen2 4z+2 (gramos por centímetro cuadrado). Si el oro cuesta 7dls por gramo, ¿cuánto vale el oro en la placa?

En el ejercicio 5, ¿cuál es la densidad de masa promedio en gramos por centímetro cuadrado?


(a) I Ia l lar l a masa de l a caja [O, fr] x [O , 11 x [O, 21. suponiendo que la densidad es ul1iforlrrr.

( h ) Igual que cn l a parte (a), pero con una densidad de masa p ( z , y , z ) = z’ + 3y ’ + 2 + 1.

8. Hallar l a n a s a del scilido acotado por el cilindro 3;’ + y 2 = 2r y el cono zz = zz +yz si l a densidad es p = ,/”.

9. €Tallar el cent.ro de masa de l a región acotada por z: + y + z = 2 , z: = O, y = O y i = o .

10. llallar el c-ent.ro de masa del cilindro I’ + y’ 5 1, 1 _< z 5 2 , si l a densidad es p = ( 2 + y ’ ) 2 2 .

Hallar el valor promedio de sell2 TZ cos2 x % sobre el cubo [O, 21 X [O, 41 X [O . 61.

12. Hallar el valor promedio de e-‘ sobre la bola r2 + y’ + 2’ 5 1.

13. I : I I sólitlo con dcnsidad constante est,á acotado por arriba por el plano z = a y por debajo por el cono descrito en coordenadas esféricas por 4 = k, donde I; es una coltstante 0 < E, < x/2. Dar una integral para s u momento de inercia alrededor del eje 3.

IIallar el momento de inercia alrededor del eje y para l a hola I’ + y2 + z’ 5 R2 si la dcnsitlad d r . m a s a es una constante p.

15. Hallar cl potencial gravitacional sobre una masa nz de un planeta esférico con masa i ~ f = 3 x 1 0 ’ ~ kg. a una dist,ancia dc 2 x l o R 111 de su centro.

16. Hallar la furrLa gravitacional ejercida sobre u n objeto de 70 kg en la posición indicada en el ejercicio 15.

17. 1111 cnrrpo It,‘ en coordenadas zyz es simétrico respwto a un plano si para toda part.ícula a u n lado del plano existe una partícula de igual masa localizada en s u reflejo, d o ~ ~ d e el plano es el espejo.

(a ) Es tudiar los planos de simrtría para el cuerpo de un automóvil. (t)) sea el plauo de sirnrt,ría el plano ry, y denotemos por W + y W - las partes

d e 1.V arriba y abajo tiel plano, respectivamente. Por hipótesis, l a densidad de masa p ( r , y , 2 ) sat isfxe p ( r . y1 -5) = p(r3 y. 2 ) . Justificar est,os pasos:

~ . J ~ ~ ’ p ( r , y . , - ) d x d y d z = J J ~ ~ z p ( s , y , ~ ) d x c t l y d z 11. 1%’

= JJJ ZP(z:, Y, dz: d.?/ dz + JJJ z p ( r , Y > z) d x dY dz C’I’ + IC’ -

= JJI zp(z: , y, z) dr dy dz + JJJ - z p ( u . U, -w) du dv dw O . CY + bV +

( c ) F:xplicat por qué l a partc (b) prueba que si un cuerpo es simét.rico respecto a

(d) Deducir esta ley de la mecánica: Si un cuerpo es sirnétrico en dos planos, un plano, entonces su centro de masa está e n ese plano.

entonces SII centro de masa está en s u recta de interspccidn.

6.5 INTEGRALES IMPROPIAS 401

18. Una placa rectangular uniforme de acero, de lados a y b, gira alrededor de s u centro de gravedad con velocidad angular constante u.

(a) La energía cinética es igual a $(masa)(velocidad)’. Argumentar que la energía cinética de cualquier elemento de masa p d z dy ( p = constante) está dada por p ( w ’ / 2 ) ( x 2 + y’) dz dy, siempre que el origen ( O , O) esté colocado en el centro de gravedad de la placa.

(b) Justificar l a fórmula para la energía cinética:

placa

(c) Evaluar la integral, suponiendo que la placa está descrita por - a / 2 5 z 5 u / 2 y - b / 2 5 y 5 b / 2 .

[Tz;I Como ya se sabe, la densidbd .de un planeta típico no es constante en todo el planeta. Suponer que el planeta T. S. R. tiene un radio de 5 X 10’ cm y una densidad de masa (en gramos por centímetro cúbico)

, T 2 i o4 cm,

T 5 104 cm,

donde T = d w . Hallar una fórmula para el potencial gravitacional afuera de T. S. R.

SECCIÓN OPTATIVA

*6.5 INTEGRALES IMPROPIAS

En el capítulo 5 y en las secciones anteriores de este capítulo, definimos la integral de funciones de dos y tres variables y enunciamos criterios que nos garantizaban en qué caso f era integrable sobre un conjunto D. Recordar que una de las hipótesis del teorema 2 (sección 5 . 2 ) era que f estaba acotada. El ejemplo siguiente muestra cómo es posible que la suma S, no converja si f no está acotada.

Sean R el cuadrado unitario [O, 11 x [O, 13 y f: R 4 R definida por

Claramente, f no está acotada en R, pues, conforme z se acerca a cero, f se vuelve arbitrariamente grande. Sea R,, una partición regular de R y formemos la suma mostrada en la fórmula (1) de la sección 5.2,

n-1 n-1

402 INTEGRAL TRIFLE, FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Figura 6.5.1 Localización de R11 en una partición de [O, 11 X [O , 11.

Sea R11 el subrectángulo que contiene a ( 0 , O ) (ver la figura 6.5.1), y escoger algún c11 E Rl1. Para n fija, podemos hacer S, tan grande como queramos al escoger C I ~

más y más cerca de ( O , O ) ; entonces, líInit,e S, no puede ser independiente de l a selección de ctj .

para integrar una función de una variable. Tenemos

,-"o Sin embargo, evaluemos formalmente la integral iterada de f . siguiendo las reglas

= J 2 d y = 2 .

Más a h , si invertimos el orden de integración, también obtenemos

Así, en cierto sentido, esta función es integrable. La pregunta es: Len qué sentido? Recordemos del cálculo de una variable cómo se trata la integral impropia so1 dx/

,,6: l /& no está acot,ada en el intervalo ( O , I ) , pero límite S'' dx/& = 2 y definimos

so1 ( d z /& ) como este límite. De manera análoga, para el caso de dos variables permi- tiremos que la función no esté acotada en ciertos puntos de l a frontera de su dominio y definiremos la integral impropia mediante on proceso de límite.

Específicamente, supongamos que la región D es del tipo 1 y f : D -+ R es continua y acotada excepto en ciertos puntos de la frontera. Para simplificar la exposición, supondremos primero que f es no negatita. Supondremos, además, que D está descrita por a < x < b , d l (z ) < y < d2(x). Escojamos números 6 y 7 > O tales que Dv,6 sea el subconjunto de D fornmdo por los puntos ( z , y) con u + 7 < 2: 5 b - 7,

6-0

403 6.5 INTEGRALES IMPROPIAS

Y Y = &(x) I

u U + ? b - ? b

Figura 6.5.2 Dominio encogido D,,6 para integrales impropias.

41(z) + 6 5 y 5 $2(z) - 6 (figura 6.5.2), donde 9 y 6 se escogen lo suficientemente pequeños para que D,,a c D. (Si q5l(u) = q52(u) o q5l(b) = 4 2 ( b ) , debemos modificar esto ligeramente, pues en este caso Dq,6 puede no ser un subconjunto de D (ver el ejemplo a).) Como f es continua y acotada en D0,6, existe la integral f . Podemos preguntar ahora qué sucede cuando la región D,,6 se expande hasta llenar la región D, esto es, cuando ( q , 6 ) -+ (O, O).

D ~ , 6

Si existe

límite

definimos que sD f sea igual a este límite y decimos que es la integral impropia de f sobre D. Esta definición es análoga a la definición de integral impropia para una función de una variable.

Como f es integrable sobre D,,,6, podemos aplicar el teorema de Fubini para obtener

Por lo tanto, si f es integrable sobre D ,

Puede ser conveniente trabajar con los limites iterados

404 INTEGRAL TRIPLE, FÓRMUU DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

si es que existen estos límites. De existir, denotamos la expresión (2) por

11:;:;) f ( x , Y) dY d x

y la llamamos la integral iterada impropia de f sobre D. Como suponemos que f > O , la existencia de los límites mostrados en la expresión ( 2 ) implica la existencia del límite doble que define sD f d A ; por lo tanto, la expresión (2) es igual a S, f d A en este caso. Usando técnicas más avanzadas, es posible mostrar que si f es integrable, entonces, si la integral iterada impropia existe, es igual a S, f d A ; esto es, se puede usar la expresión ( 2 ) para evaluar la integral impropia. La definición es análoga cuando D es una región del tipo 2.

Finalmente, consideremos el caso en que D es una región del tipo 3 y f no está acotada en puntos de aD. Por ejemplo, suponer que D es el conjunto de puntos ( 2 , y) con

a 5 x I b , &(x) I Y 5 h ( x )

y también es el conjunto de puntos (x, y) con

Si f es integrable y existen

1 cI:l f(z, Y ) d x dY Y i" 1:;;; f(z, Y) dY d x

entonces se puede mostrar que ambas integrales iteradas son iguales y su valor común es S, f d A . Éste es el teorema de Fubini para integrales impropias.

SOLUCIóN Podemos describir a D como el conjunto de puntos ( 2 , y) con - 1 5 z 5 1, - d m 5 y 5 d m . Ahora bien, como a D es el conjunto de puntos (z,y) con x 2 + y2 = 1 , f no está definida en ningún punto de a D , pues en esos puntos el denominador de f es O. Calculamos la integral iterada impropia y obtenemos

6.5 INTEGRALES IMPROPIAS 405

En este ejemplo usamos el hecho enunciado anteriormente de que la integral iterada impropia es igual a l a integral impropia de 1/ ( d-) sobre el disco unitario.

EJEMPLO 2 Sea f (x ,y) = 1 / ( ~ - y) y sea D el conjunto de (x, y) con O 5 z 5 1 y O 5 y 5 z. Mostrar que f no es integrable sobre D.

SOLUCIóN Como el denominador de f es cero en la recta y = x, f no está acotada en parte de la frontera de D. Sea O < 7 < 1 y O < 6 < y sea D7,6 el conjunto de (x, y) con 7 5 x 5 1 - 7 y S 5 y 5 X - 6 (figura 6.5.3). Escogemos 6 < 17 para garantizar que D,)6 está contenido en D. Considerar

= 11-'[- log(6) + log(x - S)] dx

= [- log a] 11-' dx + 1" log(X - 6) dz

= -(1 - 2q) log 6 + [(x - S)log(x - 6 ) - (x - S)];-".

En el último paso usamos el hecho de que s l o g u d u = ulogu - u. Continuando el conjunto anterior de igualdades, tenemos

f d A = - ( 1 - 2 ~ ) l o g S + ( 1 - ~ - 6 ) 1 0 g ( 1 - 7 - ¿ ? )

- (1 - q - 6) - (7 - 6) log(?/ - 6) + (7 - 6).

Y

Figura 6.5.3 Dominio encogido Dv,6 para un dominio triangular D

406 INTEGRAL TRIPLE, FÓRMUU DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

Cuando (q, 6) -+ ( O , O ) , el segundo término converge a 1 log 1 = O , y el tercero y quinto términos convergen a -1 y O , respectivamente. Sea v = 7 - 6. Como v log v + O cuando v + O (este límite se prueba usando la regla de l’Hopita1, del curso de cálculo), vemos que el cuarto término va a cero cuando (7,6) -+ ( O , O ) . Es el primer término el que nos causará problemas. Ahora bien,

y no es difícil ver que esto no converge cuando ( ~ ~ 6 ) - ( O , O ) . Por ejemplo, sea 7 = 26; entonces la expresión (3) se convierte en

- log 6 + 46 log 6.

Como antes, 46log6 “+ O cuando 6 - O, pero - log6 - +o3 cuando 6 ”+ O, lo cual muestra que la expresión (3) no converge. Por lo tanto, límite S,,,, f dA no existe,

de modo que f no es integrable. A (v,6)-(0,0)

La teoría de las integrales impropias de funciones que no sean de un solo signo, necesariamente es más complicada. En la figura 6.5.2 debemos tomar por separado los límites izquierdo y derecho, de arriba y de abajo. Esto es análogo a las integrales impropias de una variable sobre intervalos donde la integral es impropia tanto en el extremo izquierdo como en el derecho del intervalo.

Es importante considerar las integrales impropias, pues surgen de problemas naturales. Por ejemplo, como veremos más adelante, una de las fórmulas para calcular el área de superficie de nn hemisferio nos obliga a considerar la integral impropia del ejemplo 1 .

EJERCICIOS

1. Evaluar las siguientes integrales, en caso de que existan.

(d) so1 S,”” log z dz d y

2. k.,] Analizar cómo se definiría S, f dA si D es una región no acotada, por ejemplo, el conjunto de (z, y) tales que a 5 z < m y +1(z) 5 y 5 &(x), donde están dadas 41 5 4 2 (figura 6.5.4).

(b) Evaluar S, zye-(22ty2)dz dy si z 2 o , 0 5 y 5 1.

6.5 INTEGRALES IMPROPIAS

Y

4

407

Figura 6.5.4 Región D no acotada.

3. Usando el ejercicio 2, integrar de dos maneras e-xy para x 2 O , 1 5 y 5 2 (suponer que se cumple el teorema de Fubini) para mostrar que

dz = log 2.

4. Mostrar que existe l a integral So1 S o a ( x / d G ) d y d z , y calcular su valor.

Analizar cuándo existe la integral

x2 + 2xy + y2 x + y d x d y

donde D = [O, 11 x [O, I]. Si existe, calcular su valor.

6. Sea f una función no negativa que puede ser no acotada y discontinua en la frontera de una región elemental D. Sea g una función similar tal que f(x, y) 5 g(z ,y ) donde ambas estén definidas. Suponer que existe S, g(z, y) dA. Hacer ver de manera informal que esto implica la existencia de S, f ( z , y) dA.

7. Usar el ejercicio 6 para mostrar que existe

sen’ (z - y) S, JW dydz

donde D es el disco unitario x 2 + y2 5 1.

Sea f como en el ejercicio 6 y sea g una función tal que O 5 g(z, y) 5 f ( z , y) siempre que ambas estén definidas. Suponer que S, g(x, y) dA no existe. Hacer ver de manera informal que no puede existir S, f ( z , y ) dA.

408 INTEGRALTRIPLE, FóRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

9. Usar el ejercicio 8 para mostrar que no existe

J 2 t Y 2 L k dy dx

donde D es el conjunto de (z,y) con O 5 x 5 1 y O 5 y 5 z

*lo. Un cambio de variables puede ayudar para hallar el valor de una integral impropia sobre la región no acotada R2. Evaluar

.il E

-z2-y2

$3: d.Y

cambiando a coordenadas polares. ¿Se podría evaluar esta integral de manera directa (ver el ejercicio 2 , sección 6.5)?

*m Sea W el primer octante de l a bola z2 + y2 + z2 5 a’, donde z 2 O, y 2 O y z 2 O. Evaluar la integral impropia

cambiando variables.

*@ Sea D la región no acotada definida como el conjunto de (x, y, z ) con z2 +y2 + z2 2 1. Hacer un cambio de variables para evaluar la integral impropia

dx dy d z ( 9 + y2 + z 2 ) 2 ’


Evaluar las integrales en los ejercicios 1 a 8.

3. SS&(xz + y 2 + z 2 ) dz dy d z ; R es la región acotada por 3; + y + z = a (donde a > O ) , x = O , y = O y z = O .

4. z d z dy d z ; W es la región acotada por los planos x = O , y = O , z = O , z = 1 y el cilindro zz + y2 = 1 , con z 2 O , y 2 O.

-Ss, ~ ~ c o s z d x d y d z ; W es la región acotada por z = O , z = K, y = O , y = I , z = O y z + y = l .


6. so2 S,” S,“+’ dz dy dx.

7. s s h ( 1 - z’) dx dy d z ; W es la pirámide con vértice superior en ( O , O , 1) y vértices de la base en ( O , O ) , ( l ,O), ( O , 1) y (1 , l ) .

8. SJJJX’ + y’) dx dy dz; W es la misma pirámide del ejercicio 7.

Hallar el volumen dentro de las superficies 2’ + y’ = z y 2:’ + y’ + 2’ = 2.

11. A través de una esfera de radio 2 se perfora un hoyo cilíndrico de diámetro 1. Suponiendo que el eje del cilindro pase por el centro de la esfera, hallar el volumen del sólido que queda.

Sean C1 y C2 dos cilindros de extensión infinita, de diámetro 2 y con ejes sobre los ejes x y y respectivamente. Hallar el volumen de C1 n C2.

13. Hallar el volumen acotado por x/a + y / b + z/c = 1 y los planos coordenados.

14. Hallar el volumen determinado por 5 6 - z2 - Y’ Y 1 d m .

El tetraedro definido por 2 2 O, y 2 O , z 2 O y 2: + y + z 5 1 se va a cortar en n segmentos de igual volumen, por planos paralelos al plano 2: + y + z = 1. ¿Dónde se deberán cortar las rebanadas?

1 6.

17.

Evaluar cada una de las integrales iteradas siguientes: (a) so1 soz S: zy2z3 dx dy dz

so1 S,” * d% dx dy

(c) S: S,” L;y YZ2 dx dY dz

Hallar el volumen del “cono de helado” definido por las desigualdades x 2 + y2 5 + z 2 , O < z < 5 + d m .

18. En las partes (a) a (d), hacer el cambio de variables indicado. (No evaluar.)

m (2’ + y’)”’ dx dy dz, coordenadas cilíndricas

m xyz dz dx dy, coordenadas cilíndricas

( - c, S d “ d5 m J- z2 dz dx dy, coordenadas esféricas

kd,l L1 S,’“ p3 sen 24 dB dq5 dp, coordenadas rectangulares

410 INTEGRALTRIPLE, FÓRMUU DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES

19. Evaluar

JJJ ( x 2 :1.""+:2)3,2 S

donde S es el sólido acotado por las esferas x 2 +y2 + z 2 = a2 y x 2 +y2 + z 2 = b 2 , donde a > b > O .

20. Escribir la integral iterada h1 Jll-z S,' f ( x , y, z) dz dy d z como una integral sobre una región en R3 y después reescribirla en otros cinco posibles órdenes de integración.

21. Evaluar la integral

Lrn LY ze-y3 d x d y

(b) Evaluar & ( x 4 + 2x2y2 + y*) d z dy, donde B es la parte del disco de radio 2 (con centro en ( O , O ) en el primer cuadrante).

*22. En el ejercicio 2, sección 6.5, estudiamos integrales sobre regiones no acotadas. Usar el cambio a coordenadas polares para mostrar que S-", e-zz d x = f i . (IDEA: Usar el teorema de Fubini (se puede suponer que se cumple) para mostrar que

( / I e-22 d X ) ' = /^ e-Z2-Y2 d x d y "O0 "m

y usar el ejercicio 10, sección 6.5.)

*23. Hallar sR3 f(z, y, z) d x d y d z donde f ( x , y, z ) = exp[-(z2 + y' + z ~ ) ~ ' ~ ] .

24. Evaluar J"&(z2 + y' + z 2 ) x y z d x d y d z sobre cada una de las regiones siguientes. k.,I la esfera D = { ( x , y , z ) 1 x 2 + y2 + zz 5 R ~ } (b) la semiesfera D = { ( x , y, z)1x2 + y' + z2 5 R2 y z 2 O} (c) el octante D = { ( x , y , z ) l z 2 0,y 2 0,z 2 O y x' + y2 + z2 5 R 2 }

25. Sea C la región con forma de cono { ( x , y, z ) I d m 5 2 5 1) y evaluar la integral JJJC (1 + d m ) dz dy d z .

26. Sean p, 6' y 4 coordenadas esféricas en R3 y suponer que una superficie que rodea al origen se describe por medio de una función continua p = f(6',4). Mostrar que el volumen encerrado por la superficie es

V = 5 ~ r [ f ( 6 ' , +)I3 sen 4 d 4 dB.

Suponer que (1) f ( 0 , 4) = f(2x, 4); ( 2 ) f ( 4 4) > 0 Para 0 I 4 I x Y 0 I 6' I 2* Y (3) f (0 , O) y f (0 , x) son constantes.

*m Evaluar SS, exp[(y - z)/(y + x)] d z d y donde B es el interior del triángulo con vértices en ( O , O ) , ( O , 1) y (1, O ) .

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 6 41 1

28. Sea E el elipsoide sólido E = { ( T , y, z)I(x’/i’) + (y2 /b2) + ( z 2 / c 2 ) 5 I } > donde

(a) Sobre todo el elipsoide; y (b) Sobre l a parte que esté en el primer octante:

z > o , y > o y 2 2 0 , z 2 22 - + ~ + “ < 1 . a,2 b2 c2 -

Suponer que la densidad de un sólido de radio 1I rstá dada por (1 + d 3 ) ” , donde d es la distancia al centro de la esfera. Hallar l a masa total de l a esfera.

31. La densidad del material de un casco esférico cuyo radio interior es 1 m y cuyo radio exterior es 2 m , es 0.4d2 g/cm3, donde d es la distancia en metros al centro de la esfera. Hallar l a masa total del casco.

32. ¿Flotaría el casco del ejercicio 31 si se dejara caer en un tanque grande de agua pura‘? ¿Qui. sucedería si hay una filtración en el casco? (Suponer que la densidad del agua es exactarnent,e 1 g/cm3 .)

La temperatura en los puntos del cubo C = {(z ,y ,z)I - 1 5 2: 5 1, -1 5 y 5 1 y - 1 5 z 5 I } es 3 2 d 2 , donde d es l a distancia al origen.

(a) ¿Cuál es l a temperatura promedio? (b) ¿En cuáles puntos del cubo es la temperatura igual a la temperatura promedio?

Usar coordenadas cilíndricas para hallar el centro de masa de la región definida

35. Hallar el centro de masa del hemisferio sólido

v = {(x, y, 2 ) 1 2 + y2 + z2 5 a2 y 2 2 O}

si l a densidad es constante.

*37. Suponer que D es la región no acotada de R2 dada por el conjunto de (z ,y )

con 0 5 z < 00, 0 5 y 5 z. Sea f(z, y ) = ~ - ~ / ~ e Y ” l . ¿Existe la integral impropia J, f ( z , Y) dy?


38. Evaluar & e-zz-y2 dz dy donde B esté formado por los ( x , y) que sat.isfagan z2 + i 2 i 1 y y i 0.

*a Usar l as ideas en el ejercicio 2, sección 6.5, para evaluar sR2 f(z, y) dx dy. donde f ( z . y) = I/(] + x* + (IDEA: Se puede suponer que el t,eorema de Fubini y el del cambio de variables se cumplen para integrales propias.)

*40. Si el mundo fuera bidimensional, las leyes de la física predecirían que el pot,encial gravitacional de una masa puntual proporcional al logaritmo de la distancia al punt,o. Usando coordenadas polares, escribir una integral que dé el potencial gravitacional de un disco de densidad constante.

41. La rigidez flexural E I de una viga uniforme es el producto de su módulo de elasticidad de Young E y el momento de inercia I de la sección transversal de la viga en z, con respecto a la recta horizontal 1 que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. Aquí

F ,

I = // [d(z,y)I2 d z dy.

R

donde d ( z , y) = la distancia de (x, y) a I y R = sección transversal de la viga considerada.

(a) Suponer que la sección transversal R es el rectángulo -1 5 z 5 1, -1 y 5 2

(b) Suponer que la sección transversal R es un círculo de radio 4 y 1 es el eje 2 .

y I es el eje z. Hallar I.

Hallar I, usando coordenadas polares.

7 INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES

Mantengo: (1) Que las partes pequeñas del espacio son de na-

turaleza análoga a pequeñas colinas que hay en una superficie

más o menos plana. (2 ) Que esta propiedad de curvada o dis-

torsionada se transmite de manera continua de una porción a

otra del espacio, como si fuera una onda. (3) Que esta va-

riación de la curvatura del espacio es lo que realmente sucede

en el fenómeno que llamamos movimiento de materia, ya sea

ponderable o etéreo. (4) Que en este mundo físico no ocurre

sino esta variación, sujeta, quizá, a la ley de continuidad.

W.K. CLIFFORD (1870)

En los capítulos 5 y 6 hemos estudiado la integración sobre regiones en R2 y R3. Aprendimos a evaluar integrales como

donde D es una región en R2. En este capítulo estudiaremos la integración sobre trayectorias y superficies. Esto es fundamental para entender el capítulo 8; en ese capítulo se usarán los resultados de cálculo diferencial vectorial (capítulo 3) y cálculo integral vectorial (este capítulo) para demostrar los teoremas de Green, Gauss y Stokes, y se exanlinarán algunas a.plicacioues físicas importantes.


7.1 LA INTEGRAL DE TRAYECTORIA

En esta sección se introduce el concepto de integral de trayectoria; Csta es una de las muchas maneras en que se pueden generalizar las integrales de funciones de una variable, a funciones de varias variables. Además de aquéllas presentadas en los capítulos 5 y 6 , hay otras generalizaciones que se estudiarán en secciones posteriores.

Suponer que tenemos dada una función escalar f : R3 ”+ R, de modo que f manda puntos en R3 a números reales. Será útil definir la integral de una función f a lo largo de una trayectoria u: I = [u , b] ”+ R3, donde u(t) = ( z ( t ) , y@), z ( t ) ) . Para relacionar este concepto con algo tangible, suponer que la imagen de u representa un alambre. Podemos suponer que f ( z , y , z ) denota. la densidad de masa en (x, y,z) y la integral de f será la masa total del alambre. Al hacer que f ( z , y , z ) sea la temperatura, podemos usar la integral para determinar l a t,emperatura promedio a lo largo del alambre.

DEFINICI~N La in tegral de t rayec tor ia , o in t egra l de f ( x l y, z ) a lo largo d e la trayectoria u, está defirlida cuando u: I = [u , b] + R3 es de clase C1 y cuando la funcidn compuesta t H f ( z ( t ) , y(¿) , ~ ( t ) ) es continua en I. Definimos esta integral por la ecuación

S, f ds = i ’ f ( z ( t ) , Y(t) , Z(t)) l l f l ’ ( t ) l l d t

A veces, 1, f ds se denota por

Si u(t) sólo es C1 a trozos o f ( u ( t ) ) es continua a trozos, definimos 1, fds rompiendo [u ,b] en piezas sobre las cuales f(u(t))liu’(t)ll sea continua, y sumando las integrales sobre las piezas.

Nótese primero que cuando f = 1, estamos simplemente reenunciando la defi- nición de longitud de arco de u (ver la sección 3.2), y segundo, que basta que f esté definida en la curva imagen C de u, y no necesariamente en todo el espacio, para que tenga sentido la definición anterior.

EJEMPLO 1 Sea u la hélice u: [O, 27~1 + R3, t H (cost ,sent , t ) (ver la figura 3.1.81, y sea f (z , y , z ) = x’ + y2 + 2’. Evaluar la integral S, f ( x , y , z ) ds.

7.1 LA INTEGRAL DE TRAYECTORIA 41 5

SOLUCIÓN

= Jsen2 t + cos2 t + 1 = h. Sustituimos x, y y z para obtener

f(z, y, z) = z2 + y2 + z2 = cos2 t + sen2 t + t2 = I + t2

a lo largo de a. Esto conduce a

(1 + t 2 ) h d t = h t + - [ y ] : “ - (3 + 4 x 7

3 A

Para motivar la definición de la integral de trayectoria, consideraremos sumas SN del “tipo Riemann” de la misma manera general como definimos longitud de arco en la sección 3.2. Para simplificar, sea u de clase C’ en I . Subdividir el intervalo I = [a ,b] por medio de una partición

a = t o < tl < . . . < t N = b.

Esto produce una descomposición de a en trayectorias ui (figura 7.1.1) definidas en [ti, ti+1] para O 5 i 5 N - 1. Denotar l a longitud de arco de ai por Asi; así,

Y

Figura 7.1.1 Rompiendo cr en pequeñas u,,


Cuando N es grande, la longitud de arco As, es pequeña y f(x, y, z) es aproximadamente constante para puntos en vi. Consideramos las sumas

N-I

*=O

donde (zi, yi, z i ) = u(t) para algún t E [ti, t i+l]. Estas sumas son básicamente sumas de Riemann, y de su teoría se puede mostrar que

Así, la integral de trayectoria se puede expresar corno limite de sumas de Rie- mann.

Un caso particular importante de la integral de trayectoria se presenta cuando l a trayectoria u describe una curva plana. Suponer que todos los puntos u(t) están en el plano zy y que f es una función de dos variables con valores reales. La integral de trayectoria de f a lo largo de u es

Cuando f ( z , y ) 2 O , esta integral tiene una interpretación geométrica como el “área de una valla”. Podemos construir una “valla” cuya base sea la imagen de y altura f ( x , y) en (x, y) (figura 7.1.2). Si u recorre sólo una vez la imagen de u, la integral S, f ( x , y) ds representa el área de un lado de la valla. El lector deberá

Figura 7.1.2 La integral de trayectoria como área de una valla.

7.1 LA INTEGRAL DE TRAYECTORIA 417

intentar justificar esta interpretación, usando un argumento similar al utilizado para justificar la fórmula de longitud de arco.

EJEMPLO 2 La tia de Tom Sawyer le ha pedido que blanquee ambos lados de la vieja valla mostrada en la figura 7.1.3. Tom estima que por dejar que alguien blanquee en su lugar 25pies' de valla, la victima voluntaria le pagaría 5 centavos. ¿Cuánto puede ganar Tom, suponiendo que s u tía le proporcione sin costo el blanqueador?

Z

Y

p: t H (30 cos3 t , 30 sen3 C)

X '

Figura 7.1.3 La valla de Tom Sawyer.

SOLUCIÓN Según la figura 7.1.3, la base de la valla en el primer cuadrante es la trayectoria p: [O, ./a] --f R2, t H (30 cos3 t , 30 sen3 t ) , y la altura de la valla en (x, y) es f ( x , y) = 1 + y/3. El área de un lado de la mitad de la valla es igual a la integral JP f (z , y) ds = S,( 1 + y/3) ds. Como p'(t) = (-90 cos2 t sen t , 90 sen2 t cost ) , tenemos Ilp'(t)ll = gosentcost . Así, la integral es

+ 2 sen5 t = 90( f + 2) = 225, 16" que es el área en el primer cuadrante. Por lo tanto, el área de un lado de la valla es de 450pies2. Como hay que blanquear ambos lados, debemos multiplicar por 2 para hallar el área total, que es de 900pies2. Al dividir entre 25 y después de multiplicar por 5, vemos que Tom puede ganar hasta $1.80 por el trabajo. A


Esto concluye nuestro estudio de integración de funciones escalares sobre trayectorias. En la siguiente sección nos ocuparemos de integración de campos vectoriales sobre trayectorias y en el capítulo 8 veremos más aplicaciones de la integral de trayectoria, cuando estudiemos análisis vectorial.

EJERCICIOS

1. Sea f ( z , y , z ) = y y ~ ( t ) = ( O , O , t ) , O 5 15 1. Probar que S, f ds = O.

2. Evaluar las siguientes integrales de trayectorias S, f (z , y, z ) ds, donde (a) f ( z , y, z ) = z + y + z y u: t ++ (sent, cost , t ) , t E [O, 2x1 kb,l f ( z , y, z ) = cos z , u como en la parte (a) (c) f ( z , y, z ) = z cos z , u: t H ti + t ’ j , t E [O, 11

3. Evaluar las siguientes integrales de trayectorias S, f ( z , y, z ) ds, donde (a) f ( z , Y, 2) = exp t/; Y u: t ++ (I , 2, t Z ) , t E [O, 11

f ( z , Y, 2) = YZ Y 6: t ++ ( t , 3t, a t ) , t E [l, 31 (c) f ( z , Y, z ) = (X + Y)/(Y + .) Y u: t ++ ( t , 5t3’2, t ) , t E [I, 21

4. k.,l Mostrar que la integral de trayectoria de f ( z , y ) a lo largo de una trayectoria dada en coordenadas polares por T = .(O), 01 5 6 5 8’ es

(b) Calcular la longitud de arco de T = 1 + COSO, O 5 0 5 27r.

5. Sea f: R3\{plano zz} + R definida por f(z, y, z) = l / y 3 . Evaluar S, f ( z , y, z ) ds

donde u: [I, e] + R3 éstá dada por a(t) = (1ogt)i + t j + 2k.

6. Escribir el límite siguiente como una integral de trayectoria de f ( z , y, z ) = zy sobre alguna trayectoria U en [O, 13 y evaluar:

N - I

(aquí t l , . . . , t N es una partición de [O, 11 y t , 5 tt 5 & + I ) .

Sea f ( z , y) = 2 2 - y, z = t 4 , y = 1 4 , -1 5 t 5 1 .

camente la respuesta.

S (quizá convenga consultar el ejercicio 2 de la sección 3.2).

En los ejercicios 8 a 11 se trata la aplicación de la integral de trayectoria al problema de definir el valor promedio de una función escalar a lo largo de una trayectoria. Definir el número

(a) Calcular la integral de f a lo largo de esta trayectoria e interpretar geométri-

(b) Evaluar la función longitud de arco s(t) y rehacer la parte (a) en términos de

r, f(., .)ds

7.2 INTEGRALES DE LíNEA 419

como el valor promedio de f a lo largo de u. Aquí, l (a ) es la longitud de la trayectoria:

l(m) = S, Ilu’(t)ll d t .

(Esto es análogo al promedio de una función sobre una región, según se definió en la sección 6 . 4 )

8. (a) Justificar la fórmula [s‘f(z, y, z) d s ] / Z ( u ) para el valor promedio de f a lo

(b) Mostrar que el valor promedio de f a lo largo de u en el ejemplo 1 es (1+ i r2 ) . (c) En el ejercicio 2(a) y (b) anterior, hallar el valor promedio de f sobre las

largo de u, usando sumas de Riemann.

curvas dadas.

9. Hallar la coordenada y promedio de los puntos en el semicírculo parametrizado por p : [O, 7 r ] -+ R3, O t-+ ( O , a sen O, a cos O); a > O.

Suponer que el semicírculo en el ejercicio 9 está hecho de alambre con densidad uniforkne de 2 gramos por unidad de longitud.

(a) ¿Cuál es la masa total del alambre? (b) ¿Dónde está el centro de masa de esta configuración de alambre? (Consultar

la sección 6.4.)

11. Sea u la trayectoria dada por u(t) = (t ’ , t , 3) para t E [O, 13. (a) Hallar l (u) , la longitud de la trayectoria. (b) Hallar la coordenada y promedio a lo largo de la trayectoria m.

12. Si f: [a, b] -+ R es continuamente diferenciable a trozos, sea la longitud de la gráfica de f en [a, b] definida como la longitud de la trayectoria t H (1, f ( t ) ) para t E [a, b].

(a) Mostrar que la longitud de la gráfica de f en [a, b ] es

f J T T - F m d z . a

(b) Hallar la longitud de la gráfica de y = logz de z = 1 a z = 2.

Hallar la masa de un alambre que sigue la intersección de la esfera z2 + y2 + z2 = 1 plano z + y + z = O si la densidad en (T, y , z ) está dada por p(z, y , z ) = z2 gramos unidad de longitud del alambre.

Evaluar s., f ds donde f(z, y , z ) = z y u(t) = ( t cos t , tsen t , 1) para O 5 t 5 t o .

INTEGRALES DE LíNEA

Si F es un campo de fuerza en el espacio, entonces una partícu!a de prueba (por ejemplo, una pequeíía unidad de carga en un campo de fuerza eléctrico o una masa unitaria en un campo gravitacional), experimentará la fuerza F. Suponer que la partícula se mueve a lo largo de la imagen de una trayectoria u mientras actúa sobre ella F. Un concepto fundamental es el de trabajo realizado por F sobre la partícula conforme traza la. trayectoria u. Si es un desplazamiento en línea recta dado por el vector d y F es una fuerza constante, entonces el trabajo realizado por F al mover la partícula a lo largo de l a trayectoria es F - d:

F d = (fuerza) X (desplazamiento en la dirección de la fuerza).


De manera más general, si la trayectoria está curvada podemos imaginar que está hecha de una sucesión de desplazamientos rectos infinitesimales, o que está aproximado por un número finito de desplazamientos rectos. Entonces (como en la deducción de las fórmulas para longitud de arco en la sección 3.2 y la integral de trayectoria en l a sección 7.1) llegamos a la siguiente fórmula para el trabajo realizado por el campo de fuerza F sobrc una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria u: [a, b] + R3:

trabajo realizado por F = F(a(t ) ) - a’@) dt.

Sin dar una demostración rigurosa podemos justificar la deducción como sigue. Conforme t varía sobre un pequeño intervalo t a t + At, l a partícula se mueve de u(t) a u(t + At), un vector de desplazamiento de As = u(t + At) - u(t) (ver la figura 7.2.1).

Lb

-. b

Figura 7.2.1 Para At pequeño, As = a ( t + At) - a(t) M a’(t) At.

De la definición de derivada, obt,enemos la aproximación As M u’(t) At. El trabajo realizado al ir de u ( t ) a a(2 + At) es, por lo tanto, aproximadamente

F ( a ( t ) ) . AS M F ( a ( t ) ) - ~ ’ ( t ) At.

Si subdividimos el intervalo [a, b] en 11 partes iguales a = t o < t l < . . < t , = b , con At = ti+l - t i , entonces el trabajo realizado por F es aproximadamente

n-1 n-1

F ( a ( t , ) ) - As = X F ( v ( t , ) ) m ’ ( t t ) At


Cuando R -+ 03, esta aproximación se vuelve cada vez mejor, de modo que es razonable definir trabajo como el límite de la suma anterior cuando R --f OO. Pero este límite está dado por la integral

[ F ( a ( t ) ) a’(t) d t .

Este análisis nos conduce a la siguiente definición.

DEFINICIóN Sea F un campo vectorial en R3 que sea continuo sobre la trayectoria C1, u: [u, b] -+ R3. Definimos S, F - d s , la integral de linea de F a lo largo de u, por la fórmula

F ds = Lb F ( a ( t ) ) a’(t) d t ;

esto es, integramm el producto punto de F con u’ sobre el intervalo [ a , b ] .

F(a(t)) * u‘(t) sólo es continua a trozos. Como sucede con las funciones escalares, tambikn podemos definir S, F d s si

Hay otra fórmula útil para la integral de línea en el caso de trayectorias u que satisfagan a’(t) # O , a saber: si T(t) = a ’ ( t ) / ~ ~ u ’ ( t ) ~ ~ denota al vector tangente unitario, tenemos

S F ds = S,” F(a( t ) ) a’ ( t ) d t (por definición)

= SabW(4) T(t) l l la’( t) l l d t (1) En esta fórmula se dice que S, F ds es igual a algo parecido a la integral de trayectoria de la componente tangencial F(a(t)) T(t) de F a lo largo de u. De hecho, la última parte de la fórmula (1) es análoga a la integral de trayectoria de una función escalar f a lo largo de u. [NOTA: si u no se interseca a sí misma (es decir, si u(t1) = u(t2) implica 1 1 = t z ) , entonces cada punto P de C (la curva imagen de u) se puede escribir de manera única como a(t) para algún t . Si definimos f (P) = f (u(t ) ) = F(u) T(t), f es una función definida en C y, por definición, su integral de trayectoria a lo largo de u está dada por la fórmula (1) y no hay ninguna dificultad. No obstante, si u se interseca a sí misma, no podemos definir f como función en C , como antes (¿por qué?), incluso en este caso es útil pensar en el lado derecho de la fórmula (1) como una integral de trayectoria.]

Para calcular una integral de línea en cualquier caso particular, podemos usar la definición original o podemos integrar la componente tangencial de F a lo largo de u, como prescribe la fórmula ( l) , depende de qué sea más fácil o más apropiado.

EJEMPLO 1 Sea u(t) = (sent, cost, t ) , con O 5 t 5 2 ~ . Sea F(z, y, 2) = xi + yj + zk. Calcular S, F - d s .


SOLUCIóN Aquí, F ( u ( t ) ) = F(sen t , cos t , t ) = (sen t)i + (cos t ) j + tk y u'(t) = (cos t)i - (sen t ) j + k . Por lo tanto,

F ( a ( t ) ) - a ' ( ¿ ) = sent cos ¿ - cost sen t + t = t ,

de modo que

F . ds = i 2 ' t d t = 2x2. A

Otra manera común de escribir integrales de línea es

.I F ds = Fl dx + F2 d y + F3 dz,

donde F1, F2 y F3 son las componentes del campo vectorial F. A la expresión F1 d x + F2 d y + F3 dr la llamamos forma diferencial." Por definición, la integral de una forma diferencial es

.I F l d x + i , d y + F 3 d z = / ' ( F ~ ~ + F 2 * + F 3 @ ) a dt dt d t d t = l F . d s ,

EJEMPLO 2 Evaluar S, x 2 d x + x y d y + d z , donde u: [ O , 11 -+ R3 está dada por b ( t ) = ( w 2 , 1) = ( x ( t ) , y ( t ) , .(t)).

SOLUCI~N Calculamos d x l d t = 1, d y l d t = 2 t , d z l d t = O; por lo tanto

= i 1 ( t 2 + Z 4 ) dt

EJEMPLO 3 Evaluar la integral S, cos z d x + e z dy+eY d z , donde u(t) = (1, t , e t ) y o < t < a .

SOLUCIóN Calculamos d x l d t = O, d y l d t = 1, dzldt = e t , de modo que

l c o s z d x + e z d y + e ' d z =

1 2 t 2 = [ e t + T e Io = 2e + f e 4 - L 2 ' A

*Ver la sección 8.6 para un breve estudio de la teoría general de formas diferenciales.


EJEMPLO 4 Sea r la trayectoria

x =cos3,, y = sen38, z = O , O 5 8 5 - 7x

2 (ver la figura 7.2.2). Evaluar la integral J,(sen t dx + cos z dy - ( ~ y ) l / ~ dz).

X

Figura7.2.2 La imagen de la trayectoria x = cos3 8, y = sen3 O , z = 8; O 5 8 5 7x/2.

SOLUCIÓN En este caso tenemos

de modo que la integral es

sen z dx + cos z dy - ( X Y ) ~ ’ ~ d z

(-3 COS’ 8 sen2 O + 3 sen2 O cos2 8 - cos 8 sen O ) dB

= - 1’”’ cosBsenOd8 = -[$sen2O]:”” = -$. A

EJEMPLO 5 Suponer que F es el campo de fuerza vectorial F(z, y , z) = z3i + y j + zk. Parametrizar el círculo de radio a en el plano yz haciendo que u(0) tenga componentes

x = o , y = acos8, z = a s e n 8 , O 5 0 5 2 x .


Figura 7.2.3 Campo vrctorial F normal a 1111 círculo en el plano yz

Como F(a(0)) ( ~ ’ ( 0 ) = O, el campo de fuerza F es normal al círculo en todo punto sobre el círculo, de tnodo que F no realizará t,rabajo sobre la part,ícula que sf: mueve a lo largo de &e (figura 7.2.3). Por lo tanto el trabajo realizado por F debe scr O . Podemos vcrificar esto mediante computación directa:

) 1 . = S R F . d ~ = ~ = ~ d x + ~ d y + z d z

= ~ ~ ( O - ~ z ~ o s B s ~ ~ B + n ’ ~ u r B s e ~ B ) i l ~ = O . A

EJEMPLO 6 si consideramos el campo y la curva del ejemplo 4, vemos que el trabajo realizado por el campo es -:> una cantidad negativa. Esto significa que el campo impide el movin1ient.o a l o largo de la trayectoria. A

L a integral de línea S, F ds depende no sólo del campo F sino también de la trayectoria (T: [a, b] + R3. En general, si u y p son dos trayectorias diferentes en R3, S, Fads # Jp F-ds. Por ot8ro lado, veremos que S, F - d s = + lp F - d s se cumple para todo campo vectorial F si p es lo que llamamos una repararnetrizacicin de (T.

DEFINICI~N Sea h : I - II una fr~ncicin de clase C1 con valores reales que sea una

corrc,sporlder~cia biunívoca entre 1111 intervalo I = [ n , b ] sobre otro intervalo I1 = [a1 , b , ] . Sr~a (T: I1 - R3 una frítyectoria C1 a trozos. Entonces a la composición

p = u O h : ~ i ~ 3

le llamamos reparametrizaciÓI1 de u


Esto significa que p(t) = n ( h ( t ) ) , de modo que h cambia la variable; de manera alternativa, se puede pensar en h como un cambio en la rapidez con que se mueve un punto a lo largo de la trayectoria. En efecto, observar que p'(t) = n ' (h ( t ) )h ' ( t ) , de modo que el vector velocidad para u se nlultiplica por el factor escalar h'( t ) .

Está implícito en la definición que h debe mandar extremos a extremos; esto es, h ( a ) = a l y h(b) = b l , o bien h ( a ) = bl y k ( b ) = a l . Distinguimos así dos tipos de reparametrización. Si u o h es una reparametrización de u, entonces

u o h ( a ) = u(a1) y u o h(b) = u(b1)

O

u o h ( a ) = u(b1) y u o h(b) = u ( a 1 )

En el primer caso, se dice que la reparametrización preserva la orientación, y una partícula que trace la trayectoria u o h se mueve en la misma dirección que una partícula que trace u. En el segundo caso, la reparametrización se describe como que invierte la orientación, y una partícula que trace la trayectoria u o h se mueve en dirección opuesta a la de la partícula que traza u (figura 7.2.4).

Y

X

gráfica de h

P 9 h preserva la orientación

(4

a b

gráfica de h

h invierte la orientación

(b)

Figura 7.2.4 Ilustración de una reparametrización que preserva la orientación (a), y de una parametrización que invierte la orientación (b).


0 c- - 0

U t h

Figura7.2.5 La trayectoria p = d o h es una reparametrización de m

Por ejemplo, si C es la imagen de una trayectoria u, como se muestra en la figura 7.2.5, esto es, C = u ( [ a l , b l ] ) , y h preserva la orientación, entonces c o h ( t ) irá de u ( u 1 ) a c ( b : ) conforme t va de a a 6; y si h invierte la orientación, e o h( t ) irá de u ( b l ) a e ( u l ) conforme t va de a a h.

EJEMPLO 7 Sea u: [a, b] ”-t R3 cualquier trayectoria C1 a trozos. Entonces:

(a) La trayectoria uop: [a, b] - R3, t t-+ u(a + b - t ) , es una reparametrización de u correspondiente a la función h: [al b] ”+ [u , b ] , t H a + b - t ; llamamos cop la trayectoria opuesta a u. Esta reparametrización invierte la orientación.

(b) La trayectoria p: [ O , 11 - R3, t H u ( u + ( b - a ) t ) , es una reparametri- zación de u que preserva la orientación, correspondiente al cambio de coordena- d a s h : [ O , l ] + [ a , b ] , t + + a + ( b - a ) t . A

TEOREMA 1 Sea F un campo vectorial continuo en la trayectoria C’ u: [uI ,

b l ] - R3, y sea p: [u , b] ”+ R3 una reparametrización de u. Si p preserva la orientación, entonces


y si p invierte la orientación, entonces

DEMOSTRACI~N Por hipótesis, tenemos una función h tal que p = e o h. Por la regla de la cadena,

p ‘ ( t ) = a’(h( t ) )h’ ( t ) ,

de modo que b

F ds = 1 [ F ( a ( h ( t ) ) ) u ’ ( h ( t ) ) ] h ’ ( t ) d t .

Cambiando variables con S = h( t ) (ver la sección 6.3), obtenernos

JhTab; F(u(s)) - u ’ ( s ) ds

F(a(s)) a ’ ( s ) ds = su F ds si p preserva la orientación si p invierte

Jb;l F(u(s)) ~ ’ ( s ) ds = - J, F ds la orientación W

El teorema 1 también se cumple para trayectorias C1 a trozos, como podemos ver si rompemos los intervalos en segmentos en los cuales las trayectorias sean de clase C1 y sumamos las integrales sobre intervalos separados.

Así, si es conveniente reparametrizar una trayectoria cuando se evalúa una integral, el teorema 1 asegura que el valor de la integral no se afectará, excepto, quizá, por el signo, dependiendo de la orientación.

SOLUCIóN Para e, tenemos dz /d t = 1, d y / d t = 2t, d z / d t = 3t2 y F(e(t)) = t5i + t 4 j + t3k . Por lo tanto

Por otro lado, para

uop: [-S, 101 -+ R3, 1 H u(5 - t ) = (5 - t , (5 - t ) 2 , (5 - t ) 3 ) ,


tenemos dz /d t = -1, dy /d2 = -10 + 2t = -2(5 - t ) , d z / d t = -75 + 302 - 3 t 2 = -3(5 - t ) 2 y F(uOp(t)) = (5 - /)‘i + ( 5 - t)4j + (5 - t)3k. Por lo tanto

= [(S - t ) 1-5 = -984,375. A 6 10

Estamos interesados en reparametrizaciones porque si la imagen de una u particular puede ser representada de muchas maneras, querernos estar seguros de que las integrales sobre esta imagen no dependen de la parametrización particular. Por ejemplo, para algunos problemas el círculo unitario se puede representar de manera conveniente por la función p dada por

z(t) = cos 2 t . y ( t ) = sen 2 t , 0 5 t 5 T.

El teorema 1 garantiza que cualquier integral calculada para esta represent,ación será igual que cuando se representa al círculo por la función u dada por

~ ( t ) = cos I , y ( t ) = sen t . O 5 t 5 ‘T,

pues p = u o h, donde h ( t ) = 2 , y así, p es una repararnetrizacitin tlc (T. Sin embargo, nótese que la funciótl y dada por

no es una reparametrización de u. Aunque recorre la misma imagen (el círculo), lo hace dos veces. (¿,Por qu4 d o implica que y no es una reparametrización de u?)

La integral de línea es una integral orientada, por cuanto ocurre un cambio de signo (como lo vimos en el teorema 1) si se irlviert,e la orientación de la curva. La integral de trayectoria no tit:nc. esta propiedad. Esto se sigue del hecho de que al cambiar t por -t (inversión de la oricntación) sólo se cambia cl signo de u’(t) , no su longitud. Ésta es una de las diferencias entre la integral de linea y la integral de t,rayect,oria. En el t,eorema sig~~ientc,, demost,rado mrdiant,e el mismo mCtotlo que el teorema 1, se muestra que las integrales de trayect,oria no cambian bajo repararlletrizaciolles -incluyendo a las que invierten l a orientación.

TEOREMA 2 Sea u una trayectoria C’ a trozos, f una función continua (con valores reales) definida en la irnagcn de u, y sea p cualquier repararnetrización de u. Entonces

(31


Considerarenlos a continuación una técnica útil para evaluar integrales de línea. Recordar que un campo vectorial F es un campo vectorial gradiente si F = V f para alguna función f con valores reales. Así,

af af af ax ay a z

F = - i + - j + - k .

Suponer que G, g: [ u , b] - R son funciones continuas con valores reales, con G’ = g . Entonces, por el teorema fundamental del cálculo,

i’ g(r) dz = G(b) - G y u ) .

Así, el valor de la integral de g depende sólo del valor de G en los puntos extremos del intervalo [a , b ] . Como Of representa la derivada de f, podemos preguntarnos si S, V f d s está determinada completamente por el valor de f en los extremos u ( u ) y a ( b ) . La respuesta está contenida en la siguiente generalización del teorema fundamental del cálculo.

TEOREMA 3 Suponer que f: R3 ”+ R3 es de clase c’ y que u: [ u , 61 - R3 es una trayectoria C1 a trozos. Entonces

DEMOSTRACI~N Aplicar la regla de la cadena a la función compuesta

F : t H f ( a ( t ) )

para obtener F’( t ) = (f o a) ’( t) = V f ( a ( t ) ) a’(t).

La función F es una función con valores reales de la variable t , de modo que por el teorema fundamental del cálculo.

lb F’( t ) d t = F ( b ) - F ( a ) = f ( o ( b ) ) - f(o(.)).

Por lo tanto,


SOLUCIÓN Reconocernos y d.r + 1: dy, o de manera equivalente, el campo vectorial y i + x j + Ok, como cl gradient,e dc la función f ( z l y, z ) = EY. Así,

Obviamente, s i podmlos ident,ificar el int,egrarldo como un gradient>e. la eva- Iuaci5n (IC la integral serli ~ r ~ ~ l c h o m 6 s fkcil . Por ejemplo, el lector clr3ber6 t ra t ,ar de ol)tc.ncr de manera tlircct’a la integral anterior. En cálculo tlc una variable, toda integral es, CII principio, oht~enible hallando una ant,iderivada. Sit1 enlbargo, para campos vectoriales esto no siempre (:S cicrto, pues el campo vcct,orial no necesariarncnte es u n gradicwk. Est,? punto será examinado con cletalle en l a sección 8.3.

FTcmos visto cómo definir integrales de trayectoria (integrales de funciones escalares) e int,egrales de línea (intcgrales de funciones vectoriales) sobre curvas paranlr:t,rizadas. Tambidn hemos visto que nuestro trabajo se simplifica s i escogc~rlos de manera serlsat>a una parametrización. Como estas integrales son independientes de la parametrización (excepto, quizá, por el signo), parece natural expresar la teoría de marlera qut’ sea inc1ependie:nte de la parametrización y sea, así, r&s “geomdtrica”. Lo harcrnos brevemente y de manera algo informal cn el siguitmtr análisis.

DEFINICI~N Definirnos cwva simple C’ como la irnage-en de U I I ~ frrnción C1 a trozos u: I --i R3 y que sea uno a uno en 1111 illtervalo 1 ; u se l lama parame- trizacicin dc C . Así, uIla curva sirnplc es aquella que no se interseca a sí misma (figura 7.2.6). Si I = [u , b ] , llarniunos a a ( a ) y a(b) extrenlos de la curva. Cada

Figura 7.2.6 A la izquierda se muestra una curva simple, no se intersrca a sí misma. A la derecha tenernos una curva quc se interseca a sí misma, luego no es simple.


curva simple C tiene dos orientaciones o direcciones asociadas con ella. Si P y Q son los extremos de la curva, entonces podemos considerar C como dirigida ya sea de P a Q o de Q a P. La curva simple C junto con u n sentido de dirección se llama curva simple orientada o curva simple dirigida (figura 7.2.7).

Figura7.2.7 Hay dos sentidos de dirección posibles en una curva que une P y Q.

EJEMPLO 10 s i I = [ u , b] es un intervalo cerrado en el eje x, entonces 1, como curva, tiene dos orientaciones: una correspondiente al movimiento de a a b (izquierda a derecha) y el otro correspondiente al movimiento de b a a (derecha a izquierda). Si f es una función con valores reales, continua en I, entonces deno- tando 1 con la primera orientación como I+ e I con la segunda orientación por I- , tenemos

j ( z ) dz = - 1- f(z) dz. A

DEFINICI~N Por curva cerrada simple entenderemos la imagen de una función C1 a trozos u: [ u , b] -+ R3 que sea uno a uno en [a, b ) y satisfaga u ( a ) = u ( b ) (figura 7.2.8). Si u satisface la condición u(.) = u(b) pero no necesariamente es uno a uno en [ u , b ) , llamamos a s u imagen curva cerrada. Las curvas cerradas simples tienen dos orientaciones, correspondientes a las dos direcciones de movimiento posibles a lo largo de la curva (figura 7.2.9).

Figura 7.2.8 Curva cerrada simple (izquierda) y curva cerrada que no es simple (derecha).


Figura 7.2.9 Dos orientaciones posibles para una curva cerrada simple C

Si C es una curva simple orientada o una curva cerrada simple orientada, podemos definir, sin ambigüedad,

donde u es cualquier parametrización que preserve la orientación de C . En virtud de los teoremas 1 y 2 , estas integrales no dependen de la selección de u en tanto u sea, uno a uno (excepto, quizri, en los extremos). (No hemos dernosh-ado que cualesquiera dos trayectorias uno a uno u y 71 con la misma imagen deben ser reparametrizaciones una de otra, pero se omitirá este detalle técnico.) El punto que queremos señalar aquí es que, no obst,ant,e que para facilitar la integración a lo largo de una curva ésta debe estar parametrizada, no es necesario incluir la parametrización en la notación de la integral.

Una curva cerrada simple dada se puede parametrizar de muchas maneras. La figura 7.2.10 muestra a C representada conlo la imagen de una función p, con p(t) avanzando en una dirección prescrita alrededor de una curva orientada C conforme t varía de a a b. Nótese que p'(t) también apunta en esta dirección. La rapidez con la que recorremos C puede variar de una parametrización a otra, pero la integral no, de acuerdo con los teoremas 1 y 2.

Deberá tomarse la siguiente precaución respecto a estas observaciones. Es posible que dos funciones u y 71 tengan la misma imagerl, e induzcan la misma

Figura 7.2.10 Conforme t va de 11 a b , p(t) se mueve alrededor de l a curva C c11 alguna dirección fija.


orientación en la imagen, tales que

Como ejemplo, sea u(t) = (cost,sent,O) y ~ ( t ) = (cos2t,sen 2t, O), 0 5 t 5 2s, con F(z, y, 2) = (y , O , O ) . Entonces

(los términos que contienen Fz y F3 son cero)

= - 12T sen2 t d t = "x.

Pero st, F ds = -2 S,'" senz 2t dt = - 2 ~ . Clararnente u y 77 tienen la misma imagen, a saber, el círculo unitario en el plano q , y más aún, recorren el círculo unitario en la misma dirección; sin embargo, S, F ds # Jt, F ds. La razón para esto es que u es uno a uno pero 77 no (77 recorre el círculo unitario dos veces en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj); por lo tanto, 7 no es una parametrización del círculo unitario, como una curva cerrada simple. Si F = Pi + Qj + Rk es un campo vectorial, entonces en notación de formas diferenciales escribimos

Si C- es la misma curva que C , pero con orientación opuesta, entonces

Si C es una curva componentes C;, i c = c1 + cz + . .

( o curva orientada) formada por varias curvas (orientadas) - 1,. . . , 1 2 , como en la figura 7.2.11, entonces escribiremos + C k . Como podemos parametrizar C parametrizando las -

Figura 7.2.11 Una curva se puede formar con varias componentes.


piezas C1, . . . , C g por separado, obtenemos

Una razón para escribir una curva como suma de componentes es que puede ser más fácil parametrizar individualment,e las componentes Ci, que parametrizar toda C . Si ése es el caso, l a fbr~nula (4) proporciona una manera conveniente de evaluar S, F ds.

EJEMPLO 11 Considerar C , el perinletro del cuadrado unitario en R2, orientado en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj (ver figura 7.2.12). Evaluar la integral S, x2 dx + xy dy.

Figura 7.2.12 Perímetro del cuadrado unitario, parametrizado en cuatro piezas

SOLUCIÓN Evaluamos la integral C que induzca l a orientación dada.

u: [O , 41 + R2,

usando una pararnetrización conveniente de Por ejemplo:

( t ,O) o 5 t 5 1 ( 1 , t - 1 ) 1 5 1 5 2 l k { ( 3 - t , 1 ) 2 j t 5 3 ( 0 , 4 - t ) 3 5 1 5 4 .

Entonces

+.i . I 4 [-(3 - t ) 2 + O] d l + ( O + O ) d t


las curvas orientadas ilustradas en la figura 7.2.12. Se pueden parametrizar como sigue:

EJEMPLO 12 Una aplicación interesante de la integral de línea es la formulación matemática de la ley de Amp&re, que relaciona corrientes eléctricas con sus efectos magnéticos.* Suponer que H denota un campo magnético en R3, y sea C una curva cerrada orientada en R3. Con las unidades físicas apropiadas, la ley de Ampkre asegura que

donde I es la corriente neta que pasa por cualquier superficie acotada por C (ver la figura 7.2.13). A

-L corriente 1

*El descubrimiento de que las corrientes eléctricas producen efectos magnéticos fue realizado por Oersted alrededor de 1820. Ver cualquier libro elemental de física para un estudio de los fundamentos físicos de estas ideas.


Finalmente, mencione~nos que la integral de línea triene otro significado físico importante, específicamente, la interpretación de S, V d s donde V es el carn- PO de velocidad de un fluido, que estudiaremos en la sección 8.2. Así, con ayuda de las integrales de línea es posible analizar una amplia variedad de conceptos físicos, desde la noción de trabajo hasta campos electromagnéticos y movimientos de fluidos.

EJERCICIOS

1. Sea F(z, y, z ) = zi + yj + zk. Evaluar la integral de F a lo largo de cada una de las trayectorias siguientes:

k.,l u(t) = ( t , t , f ) , o 5 t 5 1 (b) u( t ) = ( c o s t , s e n t , O ) , O 5 t 5 2x

( c ) u(t) = (sent, O , cost) , O 5 t 5 2x (d) u(t) = (t2, 3 t , 2 t 3 ) , -1 5 t 5 2

2. Evaluar cada una de las integrales siguientes: (a) J,zdy-ydz, a ( t ) = ( c o s t , s e n t ) , 0 < t < 2 x

(b) J, x dz + y dy, ~ ( t ) = (cos x t , sen x t ) , O 5 t 5 2

S, y z d x + z z dy + x y d z , donde U está formada por los segmentos de recta

(d) S, x 2 d z - z y dy + dz, donde u es la parábola z = x 2 , y = O de (-1, O , 1) a que unen a (1, o , o) a (O, 1, o) a (o , o , 1 )

( 1 , 0 , 1 ) .

3. Considerar la fuerza F(z ,y , z ) = zi+yj+zk. Calcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la parábola y = z2, z = O , de z = -1 a z = 2 .

r;;l Sea u una trayectoria suave. (a) Suponer que F es perpendicular a u'( t ) en u( t ) . Mostrar quc

L F . d s = O

(b) Si F es paralelo a a'ft) en a@), mostrar que

S, F . ds = S, IIFII d s

(Por paralelo a u'(d) se entiende que F(a( t ) ) = A ( t ) u ' ( t ) , donde X( t ) > O.)

5. Suponer que u tiene longitud 1 y IlFll 5 M . Probar que

1 L F . d s l 5 M I .

6. E v a l u a r ~ , F ~ d s d o n d e F ( z , y , z ) = y i + 2 z j + y k y u ( t ) = t i + t 2 j + t 3 k , O ~ t ~ 1 .

1_1] Evaluar S, y d x + (3y3 - x ) d y + t d z para cada una de las trayectorias a(t) = ( t , t " , o ) , O I t _ < l , n = 1 , 2 , 3 , . . . .

7.2 INTEGRALES DE LíNEA

Y

437

Figura 7.2.1 4 Sección plana de un alambre largo y una curva C alrededor del alambre.

8. Este ejercicio se refiere. al ejemplo 12. Sea L un alambre muy largo, en la figura 7.2.14 se muestra una sección plana (con el plano perpendicular al alambre). Suponer que este plano es el "y. Los experimentos muestran que H es tangente a todo círculo en el plano x y cuyo centro es el eje de L , y que la magnitud de H es constante en dichos círculos C. Así, H = HT, donde T es un vector tangente unitario a C y H es algún escalar. Usando esta información, mostrar que H = 1 / 2 x r , donde r es el radio del círculo C e I es la corriente que fluye por el alambre.

9. La imagen de t H (cos3 t,sen3 t ) , O 5 t 5 2x, en el plano se muestra en la figura 7.2.15. Evaluar la integral del campo vectorial F(z, y) = x i + y j alrededor de esta curva.

Y

t

Figura 7.2.15 Hipocicloide ~ ( t ) = (cos3 t , sen3 t ) (ejercicio 9).


10. Suponer que u y q5 son dos trayectorias con los mismos extremos y F es un campo vectorial. Mostrar que su F ds = F ds es equivalente a S, F ds = O , donde C es la curva cerrada obtenida al moverse primero alrededor de u y después alrededor de $ en la dirección opuesta.

Sea u(t) una trayectoria y T el vector tangente unitario. ¿Qué es 1, T ds?

12. Sea F = (z3 + 2zy)i + z 2 j + 32z’k. Mostrar que la integral de F a lo largo del perímetro del cuadrado unitario con vértices ( f l , r t l , 5 ) es cero.

13. Usando la trayectoria del ejercicio 9, observar que una función u: [a, b] -+ R3 de clase C1 puede tener una imagen que no se vea “suave”. ¿Creen que podría suceder esto si ~ ’ ( t ) fuera siempre distinto de cero?

¿Cuál es el valor de la integral de un campo gradiente alrededor de una curva cerrada C?

15. Evaluar S, 2zyz d z + z2z dy + z2y dz, donde C es una curva orientada simple que conecta ( l , l , l ) con ( 1 , 2 , 4 ) .

16. Suponer que V f ( z , y , z) = 2zyze”’i + zeZZj + ye2’k. Si f ( O , O , O ) = 5, hallar

11

f ( l , 1 , 2 ) .

( X , Y, 2) # (oto, 011 Por 17. Considerar el campo de fuerza gravitacional (con G = m = M = 1) definido [para

Mostrar que el trabajo realizado por la fuerza gravitacional conforme una partícula se mueve de (z,, y1, z l ) a ( r z , y 2 , ~ ) a lo largo de cualquier trayectoria, depende sólo de los radios R1 = d m y I22 = d m . *a Una ciclista sube una montaña a lo largo de la trayectoria que se muestra en la figura 7.2.16. Realiza una revolución alrededor de la montaña para llegar a la cima,

A

X

Figura 7.2.16 ¿Cuánto trabajo se realiza al subir en bicicleta esta montaña?


mientras que su velocidad de subida es constante. Durante el viaje, ella ejerce una fuerza descrita por el campo vectorial

F ( r , y, z) = z2i + 3y2j + 22k.

¿Cuál es el trabajo realizado por la ciclista al viajar de A a B?

*19. Sea u: [ a , b ] -+ R3 una trayectoria tal que a'(t) # O . Cuando se cumple esta condición se dice que u es regular. Sea la función f definida por f(z) = S," Ilu'(t)ll dt .

(a) ¿Cuál es d f l d x ? (b) Usando la respuesta a la parte (a), probar que f: [a, b] 4 [O, L] , donde L es la

longitud de u, tiene una inversa diferenciable g: [O, L] -+ [a, b] que satisface f o g(s) = S, g o f ( z ) = 2 . (Pueden usar el teorema de la sección 4.4. de la función inversa para una variable.)

(c) Calcular dglds. (4) Recordar que una trayectoria S p(s) es de rapidez unitaria, o parametrizada

por lalongitud de arco, si I~Q'(s)II = 1. Mostrar que la reparametrización de m dada por p(s) = Q o g(s) es de rapidez unitaria. Concluir que cualquier trayectoria regular se puede reparametrizar por medio de la longitud de arco. (Así, por ejemplo, las fórmulas de Frenet en el ejercicio 11 de la sección 3.2 pueden aplicarse a la reparametrización p.)

'20. A lo largo de una "trayectoria termodinámica" C en el espacio (V,T, P ) , (i) El calor ganado es Av dV+Kv dT; donde AV y KV son funciones de (V, T , P ) ,

dependiendo del sistema fis~co particular. (ii) El trabajo realizado es S, PdV. Para un gas de van der Waals,

c , .

RT P(V,T) = - - 2- ( V - b ) v2

K v = constante

donde R, b , a y J son constantes conocidas. Inicialmente el gas está a una temperatura To y tiene volumen VO.

(a) Un proceso adiabático es un movimiento termodinámico (V( t ) , T(b), P ( t ) ) para el cual

dT d T f d t Av d l / - d V / d t "G' " "

Si el gas de van der Waals se somete a un proceso adiabático en el cual se duplica el volumen hasta 2V0, calcular el

(1) calor ganado; ( 2 ) trabajo realizado; y ( 3 ) volumen, temperatura y presión final.

(b) Después del proceso indicado en la parte (a), el gas se enfría (o calienta) a volumen constante hasta alcanzar la temperatura original TO. Calcular el

(1) calor ganado; ( 2 ) trabajo realizado; y (3) volumen, temperatura y presión final.


(c) Después del proceso indicado en l a parte (b), se comprime el gas hasta que regresa a su volumen original VO. La temperatura se mantiene constante durante el proceso. Calcular el

(1) calor ganado; ( 2 ) trabajo realizado; y (3) volumen, temperatura y presión final.

(d) Para el proceso cíclico (a) , (b) y (c), calcular el (1) calor total ganado y (2) trabajo total realizado.

7.3 SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

En las secciones 7.1 y 7.2 hemos estudiado integrales de funciones escalares y vectoriales a lo largo de curvas. Pasamos ahora a integrales sobre superficies y comenzaremos por estudiar la geometría de las superficies.

Ya conocemos un tipo de superficie, a saber, la gráfica de una función f ( z , y). En el capítulo 2 se hizo un estudio exhaustivo de gráficas, y sabemos calcular sus planos tangentes. Sin embargo, nos limitaríamos indebidamente si nos restringiéramos a este caso. Por ejemplo, muchas superficies se presentan como superficies de nivel de funciones. Suponer que nuestra superficie S es el conjunto de puntos ( x , y, 2 ) donde z - 2 -+ z3 = O . Aquí S es una hoja que se dobla sobre sí misma (respecto al plano zy) (ver la figura 7.3.1). Obviamente, nos gustaría llamar a S superficie, pues se trata de un plano con un doblez. Sin embargo, S no es la gráfica de alguna función z = f(x, y), pues esto significa que para cada ( 2 0 ~ yo) E R2 debe haber u n zo con ( 2 0 , yo, ZO) E S. Como se ilustra en la figura 7.3.1, se viola esta condición.

?' Y

Figura 7.2.1 Una superficie que no es la gráfica de una función z = f ( z , y).

7.3 SUPERFICIES PARAMETRIZADAS 441

X

Figura7.3.2 El toro no es la gráfica de una función de la forma z = f ( z , y).

Otro ejemplo es el toro, o la superficie de una dona, dibujada en la figura 7.3.2. Cualquiera diría que el toro es una superficie; sin embargo, por el mismo razonamiento anterior, un toro no puede ser la gráfica de una función diferenciable de dos variables. Estas observaciones nos impulsan a extender nuestra definición de superficie. La motivación para la definición que sigue se debe, en parte, a que se puede pensar una superficie como algo que se puede obtener a partir del plano ‘(enrollando”, “doblando” y “empujando”. Por ejemplo, para obtener un toro, tomamos una parte del plano y la enrollamos (ver la figura 7.3.3), después tomamos los “extremos” y hacemos que se junten (figura 7.3.4).

Figura 7.3.3 El primer paso para obtener un toro a partir de un rectángulo: hacer un cilindro.

-- extremos pegad-

Figura 7.3.4 Doblar el cilindro y pegar los extremos para obtener un toro.

Con superficies, así como con curvas, queremos hacer distinción entre una función (parametrización) y su imagen (un objeto geométrico).


DEFINICI~N Una superficie paranletrizada es una función Qr: D c R' --t R'> donde D es algún dominio en R.*. La superficie S correspondiente a la función Qr es s u imagen: ,S = Qr(D). Podernos escribir

Si a es diferenciable o es de clase C1 (que equivale a decir que ~ ( u , u ) , y(u, v ) y z ( u , v) son funciones diferenciables o C1 de (u , w ) "ver el capitulo 2-), llamamos a S superficie diferenciable o C1.

Podemos pensar que @ tuerce o dobla la región D en el plano para producir la superficie S (ver la figura 7.35). Así, cada punto ( u , ~ u ) en D se convierte en un rótulo para un punto (.(u, u ) , y ( u , u), s ( u , u ) ) en S.

Figura 7.3.5 + "tuerce" y "dobla" D sobre la superficie S = @ ( D ) .

Suponer que es diferenciable en (uo, u" ) E R2. Fijando u en u0 obtenemos una función R - R3 dada por 1 w @(uo, t ) , cuya imagen es una curva sobre l a superficie (figura 7.3.6). Por los capítulos 2 y 3 sabemos que el vector tangente a esta curva en el punto a(u0 , uo) está dado por

T - - (uo, vo)i + vo)j + -(uo,uO)k. d X d 2 - dv all

De manera análoga, si fijamos v y consideramos la curva t H Qr(t, vo ) , obtenemos el vector tangente a esta curva en ~ ( u o , .o), dado por


Figura‘7.3.6 Los vectores T, y T, son tangentes a curvas sobre la superficie S y por lo tanto, son tangentes a S .

Como los vectores Tu y T, son tangentes a dos curvas sobre la superficie en +(uo, va), deben determinar el plano tangente a l a superficie en este punto; esto es, Tu X Tu debe ser normal a la superficie.

Decimos que la superficie S es suave* en @ ( U D , vg) si Tu X T, # O en ( U O , va); l a superficie es suave si es suave en todos los puntos @(u*, 00) E S. El vector distinto de cero Tu X T , es normal a S (recordar que el producto vectorial de Tu y T, es perpendicular al plano generado por Tu y Tu); el hecho de que sea distinto de cero asegura que existirá un plano tangente. Intuitivamente, una superficie suave no tiene “esquinas” .t

EJEMPLO 1 Considerar la superficie dada por l a s ecuaciones

z = ucosu, y = usenv, z = u, u > O.

¿Es diferenciable esta superficie? LES suave?

*Estrictamente hablando, la suavidad depende de la parametrización Q y no sólo de su imagen S. Por lo tanto, esta terminología es algo imprecisa; sin embargo, es descriptiva y no deberá causar confusión. (Ver el ejercicio 15.)

tEn la sección 4.4 hemos mostrado que las superficies de nivel f(z,y,z) = O eran, en realidad, gráficas de funciones de dos variables en alguna vecindad de un punto (zo, yo , 2 0 ) que satisface Vf(z0, yo, 2 0 ) # O. Esto unificó dos concepciones de superficie. De nuevo, usando el teorema de la función implícita, es posible asimismo mostrar que la imagen de una Superficie parametrizada Q en la vecindad de un punto (u,, vo) donde T, X T, # O es también la gráfica de una función de dos variables. Así, todas las definiciones de superficie son consistentes. (Ver el ejercicio 16.)


L

X

Figura 7.3.7 La superficie z = d G es un cono.

SOLUCIÓN Estas ecuaciones describen la superficie z = d m (elevar al cuadrado las ecuaciones para x, y y z para verificarlo), que se muestra en la figura 7.3.7. Esta superficie es un cono con “punta” en ( O , O , O ) ; es una superficie diferenciable, pues cada función componente es diferenciable como función de u y v. Sin embargo, la superficie no es suave en ( O , O , O ) . Para verlo, calcular Tu y T, en (0,O) E R2:

T - -(O, 0)i + -(O, 0 ) j + -(O, O)k 33, 32 - au a2l ¿?U

= (cos 0)i + (sen 0 ) j + k = i + k,

y, de manera análoga,

T,, = O(- sen 0)i + O(cos 0) j + Ok = O .

Así, Tu x T, = O , de modo que por definición, la superficie no es suave en (O,O,O). A

Resumamos nuestras conclusiones en una definición formal:

DEFINICIóN Si una superficie parametrizada @: D c R2 -+ R3 es suave en ( I ( u o , v g ) , esto es, si Tu x T,, # O en ( u o , ~ o ) , definimos el plano tangente de la superficie en (I(u0, 210) corno el plano determinado por Jus vectores Tu y T,,. Así, n = Tu x T, es un vector normal, y una ecuación del plano tangente en (20, yo, zo) a la superficie está dado por

(z - zo, y - yo, 2 - 20) n = O, (1)

7.3 SUPERFICIES PARAMETRIaDAS 44s

donde n se evalúa en (UO, vo). Si n = (711 , 712, 713) = nli + 712j + n3k1 entonces la fdrmula (1) se convierte en

n ~ ( 2 - z o ) + n 2 ( Y - Y O ) + n 3 ( 2 - 2 0 ) = 0 . (1’)

EJEMPLO 2 Sea @: R2 -+ R3 dada por

x = ucosv, y = u s e n u , z = u + v 2 2

¿Dónde existe un plano tangente? Hallar el plano tangente en @( 1, O) .

SOLUCI~N Calculamas

Tu = (cos v)i + (sen v)j + 2uk

T, = -u(sen v) i + u(cos v ) j + 2vk

y el plano tangente en @(u, v) es el conjunto de vectores que pasan por @(u, u ) , perpendiculares a

Tu x T, = (-2u2 cos v + 2v sen u, -2u2 sen v - 2v cos u, u)

si este vector es distinto de cero. Como Tu x T, es igual a O en ( u , TI) = (O, O ) , no existe plano tangente en @(O, O) = (O , O , O). Sin embargo, podemos hallar una ecuación del plano tangente en todos los otros puntos, donde Tu x T, # O . En el punto @(l, O) = ( l , O , l) ,

n = T, x T, = (-2, O, 1) = -2i + k. Como tenemos el vector n normal a la superficie y un punto ( I , O , 1) en la superficie, podemos usar la fórmula (1’) para obtener una ecuación del plano tangente:

-2(z - 1) + ( 2 - 1) = o;

esto es, ~ = 2 ~ - 1 . A

EJEMPLO 3 suponer que una superficie S es la gráfica de una función diferenciable g: R2 -+ R. Mostrar que la superficie es suave en todos los puntos (uo, va , duo, ~ o ) ) E R3.

SOLUCIÓN Escribir S en forma paramétrica como sigue:

2 = u, y = v, 2 = g(u, u),


que es lo mismo que z = g(z, y) . Entonces

Tu = i + ~ ( 2 ~ 0 , v0)k a!?

n = Tu X T, = " Q ( u 0 , w ) i - - ( u o , v o ) j + k # O . a U av a ag

Esto es distinto de cero pues el coeficiente de k es 1; en consecuencia, la parame- trización ( u , w) H ( u , w, g(u, u ) ) es suave en todos los puntos. Más aún, el plano tangente a S en (zo, yo, z o ) = ( u ~ , uo, g(u0,uO)) está dado por la fórmula (l), como

donde las derivadas parciales están evaluadas en (uo, wo). Recordando que z = u y y = u , podemos escribir esto como

donde dg/dz y dg/dy están evaluadas en ( 2 0 , yo). A

Este ejemplo también muestra que la definición de plano tangente para superficies parametrizadas concuerda con la obtenida cuando las superficies son gráficas, pues la ecuación (3) es la misma fórmula que dedujimos (en el capítulo 2) para el plano tangente a S en el punto (20, yo, zo) E S; ver la página 124.

También es útil considerar superficies suaves a trozos, esto es, superficies compuestas de cierto número de imágenes de superficies parametrizadas suaves. Por ejemplo, la superficie de un cubo en R3 es este tipo de superficie. Estas superficies se estudian en la sección 7.4.

EJEMPLO 4 Hallar una parametrización paIa el hiperboloide de una hoja:

xz + yz - z2 = 1.

SOLUCIóN Como z y y aparecen en la combinación z2 + y2, la superficie es invariante bajo rotación alrededor del eje z , de modo que es natural escribir

x = T cos O, y = T sen O.


Entonces x' + y' - z 2 = 1 se vuelve r2 - z2 = 1. Esto se puede parametrizar convenientemente por

T = cosh u, z = senh u.

Así, una parametrización es

x = (cosh u)(cos O)

y = (cosh u)(sen 8)

z = senh u ,

donde O 5 6J < 2a, "00 < u < OO. A

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 al 3, hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie dada en el pun to especificado.

1. x = 2 u , y = u 2 + v , z = v 2 , en (O, 1,1)

2. x = u 2 - v 2 , y = u + v , z = u z + 4 v , e n ( - ~ , ~ , 2 )

z = u z , y = u s e n e " , z = ~ u c o s e v , e n ( 1 3 , - 2 , 1 )

i son suaves las superficies en los ejercicios 1 y 2?

5. Hallar una expresión para un vector unitario normal a la superficie

x = cos II sen u , y = sen v sen u , z = cos u

para u en [O, 7r] y v en [O, 2x1. Identificar esta superficie.

6. Repetir el ejercicio 5 para la superficie

x = 3 cos O sen 4, y = 2 sen 8 sen 4, z = cos 4

para B en [O, 2 ~ 1 y 4 en [O, 7r].

o 7 Repetir el ejercicio 5 para la superficie

z = s e n v , y = u, z = C O S D

para O _< u 5 27r y -1 5 u 5 3.


8. Repetir el ejercicio 5 para la superficie z = (2 - cos u ) cosu, y = ( 2 - cos u) sen u , z = sen u

para "x 5 u 5 x , -T 5 v 5 T . ¿Es suave esta superficie?

9. k.,l Desarrollar una fórmula para el plano tangente a la superficie z = h(y, 2 ) .

(b) Obtener una fórmula similar para y = k(z, 2).

10. Hallar la ecuación del plano tangente a cada superficie en el punto indicado. (a) z = u 2 , y = u 2 , z = u' + u 2 , % = I , V = 1

z = 3z2 + 8zy, 2 = 1, y = O (c) z 3 + 3 2 y + z 2 = 2 , x = 1 ' y = ' z = o 3 '

11. Considerar la superficie en R3 parametrizada por

+ ( T ) O) = ( T cos O , sen O , O ) , O 5 T 5 1 y O 5 8 5 4x.

k.,I Esbozar y describir la superficie. Hallar una expresión para una normal unitaria a la superficie. Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en el punto (20, yo,

*(d) Si (zo,yo, Z O ) es un punto sobre la superficie, mostrar que el segmento de recta horizontal de longitud unitaria que va del eje z a ( 2 0 , yo, 20) está contenido en la superficie y en el plano tangente a la superficie en ( 2 0 , yo, 20).

12. Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen, hallar la ecuación para el plano que es tangente a ella en el punto (1,1, h), considerando la esfera como:

(a) Una superficie paramet,rizada por * ( O , 4) = (2 cos O sen (6,2 sen O sen (6 ,2 COS (6); (b) Una superficie dc nivel de f ( z , y , z ) = z2 + y2 + z2; y (c) La gráfica de g(z , y) = Jw.

20).

13. (a) Hallar una paran1et)rizaciÓn para el hiperboloide z2 + y' - 2' = 25. (b) Hallar u n a expresión para una normal unitaria a esta superficie. (c) Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en (zo, yo, O ) , donde

(d) Mostrar que las rect,as ( 20 , yo, O ) + l("yo,zo, 25) y (zo, yo, O ) + l (yo , -zo , 25) z; +y: = 25.

están sobre la superficie y en el plano tangente hallado en la parte (c).

*14. Una superficie parametrizada se describe mediante una función diferenciable CP: R2 - R3. De acuerdo con el capítulo 2, la derivada deberá dar una aproximación lineal que proporcione una representación del plano tangente. Este ejercicio demuestra que, en efecto, así sucede.

(a) Mostrar que la imagen de la transformación lineal D+(uo, vo) es el plano generado por Tu y T , . (TtL y T,, están evaluados en (uo, VO).)

(b) Mostrar que w I Tu x T, si y sólo si w está en la imagen de D+(uo , VO). (c) Mostrar que el plano tangente según se definió en esta sección, es el mismo

que el "plano parametrizado"

7.4 ÁREA DE UNA SUPERFICIE 449

*15. Considerar las superficies + ] ( u , u ) = (u, v, O) y (P~(u, u) = (u3, v3, O). Mostrar que la imagen de 91 y 9 2 es el plano zy. Mostrar que 91 describe una superficie suave, pero que 9 2 no. Concluir que

el concepto de suavidad de una superficie S depende de la existencia de cuando menos una parametrización suave para S.

(c) Probar que el plano tangente de S está bien definido independientemente de parametrización suave (uno a uno) (necesitarán usar el teorema de la función inversa, de l a sección 4.4).

Después de estas observaciones, jcreen poder hallar alguna parametrización suave del cono de la figura 7.3 .7?

*16. Sea 9 una superficie suave; esto es, 9 es de clase C1 y Tu X T, # O en (u0,vo). (a) Usar el teorema de la función implícita (sección 4.4) para mostrar que la

imagen de 9 cerca de (uo, vo) es la gráfica de una función C1 de dos variables, digamos z = f ( z , y). (Esto se cumplirá si la componente z de T, x T, es distinta de cero.)

(b) Mostrar que el plano tangente en %(m, uo) definido por el plano generado por T, y T, coincide con el plano tangente a la gráfica de t = f ( x , y) en este punto.

7.4 ÁREA DE UNA SUPERFICIE

Antes de proceder con integrales de superficie en general, consideremos primero el problema de calcular el área de una superficie, así como hemos considerado el problema de hallar la longitud de arco de una curva antes de estudiar integrales de trayectoria.

En la sección 7 . 3 , definimos una superficie pararnetrizada S como la imagen de una función 9: D c R2 -+ R3, escrita como *(u , U ) = ( ~ ( u , U), y(., u ) , Z ( U , U ) ) .

A la función 9 se le llamó parametrización de S y se dijo que S era suave en @ ( u , u ) E S si Tu X T, # O , donde

Y ax T - -(u, v) i + - ( u , v) j + -(n, v)k. ay dz

- av a v a V

Recordemos que una superficie suave (hablando informalmente) es una que no tiene esquinas ni cortes.

En el resto de este capítulo y en el siguiente, consideraremos sólo superficies suaves a trozos que sean uniones de imágenes de superficies parametrizadas 9i: Da 4 R3 para las que:

(i) Di es una región elemental en el plano; (ii) 9i es de clase C1 y uno a uno, excepto, quizá, en la frontera de Di; y

(iii) Si, la imagen de 9i es suave, excepto, quizá, en un número finito de puntos.


DEFINICI~N Definimos el área de superficie* A ( S ) de una superficie parametrizada por

A ( S ) = IIT. X T.11 dudv .i, (1)

donde llT, x Tul/ es la norma de T, x Tu. Si S es una unión de superficies Si, s u área es la suma de las áreas de las Si.

Como puede verificar fácilmente el lector, tenemos que

donde , ax ax I

' au

y así sucesivamente. Entonces, la fórmula (1) se convierte en

Podemos justificar esta definición analizando la integral S, /IT, x Tu 1 1 du dv en términos de sumas de Riemann. Por simplicidad, supongamos que D es un rectángulo; consideremos la n-ésima partición regular de D , y sea Rij el ij-ésimo rectángulo en la partición, con vértices ( u i , u j ) , ( u i + l , v j ) , (u i , v j + l ) y ( u i + ~ , v j + l ) , O 5 i 5 n - 1, O 5 j 5 n - 1. Denotar los valores de Tu y T, en (u i , vj) por Tu, y T u J . Podemos pensar los vectores AUT,, y AvTVJ como tangentes a la superficie en @(uLz , vj) = (zij, yi j , +), donde Au = ui+l - ui, Av = u j + l - vj. Entonces estos vectores forman un paralelogramo Pij que está en el plano tangente a la superficie en (zi3, y i j , z i j ) (ver la figura 7.4.1). Tene- mos entonces una "cubierta de retazos" de la superficie mediante los Pij. Para n grande, el área de Pij es una buena aproximación al área de 9(Rij) . Como el área del paralelogramo generado por dos vectores v1 y va es llvl X val1 (ver el capítulo l ) , vemos que

*Como todavía no estudiamos la independencia de la parametrización, puede parecer que A ( S ) depende de la parametrización O. En la sección 7.6 estudiaremos la independencia de la parametrización; el uso de esta notación no deberá causar confusión.

451

Y

Figura7.4.1 [IT., X TVjII Au Av es igual al área de un paralelogramo que aproxima el área de un retazo en una superficie S = +(O).

Por lo tanto, el área de la cubierta de retazos es

n-1 n-I n-1 n-1

A, = x X A ( P t J ) = x IlT,, X T", 11 An Av. t=O ,=o i=o ]=o

Cuando n "+ c m , las sumas A, convergen a la integral

Como A , deberá aproximar cada vez mejor el área de la superficie, conforme n -+ c m , tenemos en la fórmula (1) una definición razonable de A(S) .

EJEMPLO 1 Sea D la región determinada por O 5 0 5 2 ~ , 0 5 r 5 1 Y sea la función a: D -+ R3 definida por

X = T COS 8, y = T sen 0, z = T

una parametrización de un cono S (ver la figura 7.3.7). Hallar s u área de superficie.

SOLUCIÓN En la fórmula (3),

1 O = "TCOS6'


Y

1 O = T sen O ,

de modo que el integrando del área es

- IIT. x ~ ~ 1 1 = JT2 + T2 cos2 O + 72 sen2 O = T h .

Claramente, ]IT,. xTglI se anula para T = O , pero @ ( O , 8) = ( O , O , O) para cualquier 6. Así ( O , O , O ) es el Único punto donde la superficie no es suave. Tenemos

Para confirmar que ésta es el área de @ ( D ) debemos verificar que @ es uno a uno (para puntos que no estén en la frontera de D) . Sea Do el conjunto de (.,O) con O < T < 1 y O < 8 < 2n. Por lo tanto Do es D sin su frontera. Para ver que @: Do --f R3 es uno a uno, suponer que @ ( T , 6) = @ ( T I , 8’) para (T , 6) y ( T ’ , 8’) E D o . Entonces

r cosO = T ’ C O S O ’ , rsenO = r’senO’, T = T I .

De estas ecuaciones se sigue que cos 8 = cos 8’ y sen 6 = sen 8’. Así, 6 = 8’ o bien 8 = 6’ + 2nn. Pero este segundo caso es imposible, pues tanto 6 como 8’ pertenecen al intervalo abierto ( O , an) y por ello no pueden estar a 2n radianes de distancia. Esto prueba que fuera de la frontera, es uno a uno. (¿Es @: D +

R3 uno a uno?) En futuros ejemplos, por lo general no verificaremos que la parametrización sea uno a uno cuando resulte intuitivamente claro. A

EJEMPLO 2 Una helicoide se define como Qi: D -+ R3, donde

x = r cos O , y = T sen O , z = O

y D es la región donde O 5 8 5 2 ~ r y O 5 r 5 1 (figura 7.4.2). Hallar s u área.

SOLUCI~N Calculamos 8(z, y ) / a ( ~ , O ) = T , como antes, y

7.4 AREA DE UNA SUPERFICIE 453

Figura 7.4.2 La helicoide x = r COSO, y = r sen O, z = O.

El integrando de área es, por lo tanto, que nunca se anula, de modo que la superficie es suave. El área de la helicoide es

Después de algunos cálculos (usando la tabla de integrales), hallamos que esta integral es igual a

~ [ h + log( 1 + A)]. A

Una superficie S dada en la forma z = f(x, y), donde (x, y) E Dl admite la parametrización

2: = u, y = I I , 2 = f(u,.)

para (U, u ) E D . Cuando f es de clase C1, esta parametrización es suave, y la fórmula para el área de superficie se reduce a

después de aplicar las fórmulas


Y

según se observó en el ejemplo 2 de la sección 7.3.

Suplemento: Área de superficie e integrales impropias

En la fórmula (4) supusimos que a f l d x y aflay eran funciones continuas (y, por lo tanto, acotadas) en D. Sin embargo, es importante coneiderar áreas de superficies para las cuales (af/dz)(zo, yo) o (df /dy) (zo , yo) se vuelven arbitrariamente grandes cuando (zo, yo) tiende a la frontera de D. Por ejemplo, considerar el hemisferio

donde D es la región z2 + y2 5 1 (ver la figura 7.4 .3) . Tenemos

La frontera de D es el círculo unitario z2 + y2 = 1, de modo que, cuando ( z ,y ) se acerca a a D , el valor de z2 + y' tiende a 1. Por lo tanto, los denominadores en el par de ecuaciones ( 5 ) tienden a cero.

Para tratar con casos como éstos, definimos el área A ( S ) de una superficie S descrita por z = f ( X , y) sobre una región D , donde f es diferenciable con posibles discontinuidades de d f l a x y d f l a y en a D , como

Y

Figura 7.4.3 El hemisferio z = d m .


siempre que J ( a f / a ~ ) ~ + (df/dy):' + 1 sea integrable sobre D, aun si la integral es impropia; de hecno, ésta es una de las razones por las que introdujimos el concepto de integral impropia en el capítulo 6.

EJEMPLO 3 Calcular el área de la superficie de la esfera S descrita por l a ecuación x2 + y2 + z2 = 1.

SOLUCIóN Calcularemos el área del hemisferio superior S', donde *

x2 + y2 + z2 = 1, z 2 o,

y después multiplicamos nuestro resultado por 2. Tenemos, por lo tanto,

f ( x , y) = x2 + Y2 5 1.

Sea D la región x' + y2 5 1. Entonces, aplicando la fórmula (4) y haciendo los cálculos de las ecuaciones ( 5 ) anteriores, obtenemos

A ( S t ) = r D / /($)'+ ( $ ) ' + l d A

que es una integral impropia. Sin embargo, podemos aplicar el teorema de Fubini en este caso para obtener la integral impropia iterada

Así, el área de toda la esfera es 47r. Para otra manera de calcular esta área sin integrales impropias, ver el ejercicio 1. A

En la mayor ía de los libros de cálculo de una variable, se muestra que el á rea de la superficie lateral generada al girar la gráfica de una función y = f (x ) alrededor del eje x, es t á dada por


Si se gira la gráfica alrededor del eje y, tenemos

Deduciremos la fórmula (6) usando los métodos desarrollados anteriormente; se puede obtener la fórmula (7) de manera análoga (ejercicio 10).

Para deducir la fórmula (6) a partir de la fórmula (3), debemos dar una para- metrización de S. Definir la parametrización por

x = u , y = f(u) cos 'u, z = f(u) sen 'u

sobre la región D dada por

Esta es, en efecto, una parametrización de S, porque para u fija,

traza un círculo de radio If(u)l con centro en ( u , O, O) (figura 7.4.4).

Y

circunferencia = 2r ~ f ' x ) :

Figura 7.4.4 La curva y = f (z ) girada alrededor del eje z.

Calculamos

7.4 AREA DE UNA SUPERFICIE 457

de modo que por la fórmula (3)

que es la fórmula (6). Si S es la superficie de revolución, entonces 27rlf(z)l es la circunferencia de

la sección transversal vertical a S en el pun to 1: (figura 7.4.4). Observar que podemos escribir

2 q : l f ( z ) l d m d z = J p l f ( z ) l d%

donde la expresión de la derecha es la integral de 24f(z)I a lo la rgo de la trayector ia dada por CT: [a,b] "+ R2, t H ( t , f ( t ) ) . Por lo tanto, la superf ic ie la teral de un sólido de revolución se obtiene integrando la circunferencia que corta t ransversalmente a lo largo de la t rayector ia determinada por la función dada.

NOTA HIST~RICA

El cálculo fue inventado ( i o descubierto?) por Isaac Newton (1647-1727) alrededor de 1669 y por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) alrededor de 1684. A principios del siglo XVIII, los matemáticos estaban interesados en el problema de hallar trayectorias de longitud más corta sobre una superficie, mediante métodos de cálculo. En ese tiempo, las superficies eran consideradas fronteras de sólidos definidos por desigualdades (la bola z2 + y2 + z2 5 1 está acotada por la esfera z2 + y' + z2 = 1).

Christian Huygens (1629-1695) fue la primera persona desde Arquímedes en dar resultados acerca de las áreas de superficies particulares más allá de la esfera, y obtuvo las áreas de partes de superficies de revolución, tales como el paraboloide y el hiperboloide.

El brillante y prolífico matemático Leonhard Euler (1707-1783) presentó el primer trabajo fundamental sobre la teoría de las superficies en 1760 con "Recherches sur la courbure des surfaces", y fue quizás en este trabajo, que por primera vez se definió una superficie como una gráfica z = f (z ,y) . Euler estaba interesado en estudiar la curvatura de superficies, y en 1771 introdujo el concepto de superficie paramétrica que se describe en esta sección.

Después de una rápida evolución del cálculo al principio del siglo XVIII, se desarrollaron fórmulas para las longitudes de curvas y de áreas de superficies. Aunque no sabemos cuándo aparecieron por primera vez las fórmulas de área presentadas en esta


sección, estamos seguros de que eran conocidas al final del siglo XVIII. Los conceptos subyacentes de longitad de una curva y de área de una superficie se entendían intuitivamente antes de este tiempo, y el uso de fórmulas del cálculo para obtener áreas fue considerado un gran avance.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) fue el primero en dar el paso para definir las cantidades de longitud y de área de superficie mediante integrales, como lo hicimos en este libro. La cuestión de definir el área de superficie independiente de las integrales se planteó un poco más adelante, pero dio lugar a muchos problemas difíciles que no fueron resueltos de manera adecuada hasta este siglo.

Terminamos esta sección describiendo el fascinante problema clásico de Plateau, que tiene una larga historia en matemáticas. El físico belga Joseph Plateau (1801- 1883) realizó muchos experimentos entre 1830 y 1869 acerca de la tensión superficial y fenómenos capilares, experimentos que tuvieron un enorme impacto en ese tiempo, y fueron repetidos por físicos notables del siglo XIX, como Michael Faraday (1791- 1867).

Si se sumerge un alambre en una solución de jabón o glicerina, entonces se suele obtener una película de jabón tendida sobre el alambre. En la figura 7.4.5 se dan algunos ejemplos, aunque quizá los lectores prefieran realizar el experimento. Plateau hizo la pregunt,a matemática: para una frontera dada (alambre), ¿cómo se prueba la existencia de dicha superficie (película de jabón) y cuántas superficies puede haber? El principio físico subyacente es que l a naturaleza tiende a minimizar el área; esto es, la superficie que se forma deberá ser una superficie de área mínima entre todas las superficies posibles que tengan la curva dada como frontera.

Figura 7.4.5 Dos películas de jabón tendidas sobre los alambres. (Fr i tz Goro)

Plateau formuló el problema de manera particular. Sea D c R2 el disco unitario definido por {(z,y)lzz + y' 5 1 ) ; sea S' = 8 D su frontera. Más aún, suponer que Q: [0,2a] + R3 es una curva cerrada simple con r = a([O, a x ] ) , y que su imagen representa un alambre en R3 (figura 7.4.6).

Sea S el conjunto de todas las funciones C P : D -+ R3 tales que @(aD) = r, CP es de clase C1 y CP es uno a uno en d D . Cada CP E S representa una superficie paramétrica


Figura 7.4.6 r va a ser la frontera de una película de jabón.

G1 “semejante” al disco y que “abarca” el alambre T. Las películas de jabón de la figura 7.4.5 no son como discos, pero representan un

sistema de superficies semejantes al disco. La figura 7.4.7 muestra un contorno que acota a una superficie semejante al disco, y a una que no lo es.

Para cada 9 E S tenemos el área de la superficie imagen, A ( + ) = sD [IT. X

T, 11 du dv. Así el área es una función que asigna a cada superficie paramétrica su

Figura 7.4.7 Superficies de película de jabón; (b) es semejante al disco, pero (a) no.


área. Plateau se preguntó si A tiene un mínimo en S; esto es, ¿existe +o tal que A(+o) 5 A ( + ) para toda + E S? Desafortunadamente, los métodos de este libro no son adecuados para resolver este problema. Podemos atacar cuestiones de hallar mínimos de funciones con valores reales de varias variables, ipero de ninguna manera se puede pensar el conjunto S como una región en R”, cualquiera que sea n! El conjunto S es, en realidad, un espacio de funciones, y el problema de hallar mínimos de funciones como A, definidas en dichos conjuntos, es parte de un tema llamado “cálculo de variaciones”, que es casi tan antiguo como el mismo cálculo. Es, además, una disciplina íntimamente relacionada con ecuaciones diferenciales parciales.

Plateau mostró que si existe un mínimo

*O(% .) = ( 4 % u), Y(., u), 4% .)I tendría que satisfacer (después de normalizaciones adecuadas), las ecuaciones diferenciales parciales

(i) v*+O = O (” a+o

11) au av .--

donde llwll denota la “norma” o longitud del vector w. Por más de 70 años, matemáticos tales como Riemann, Weierstrass, H.A. Schwarz,

Darboux y Lebesgue buscaron una solución al reto lanzado por Plateau. En 1931 se resolvió por fin el problema, cuando Jesse Douglas mostró que sí existía dicha +O. Sin embargo, muchas preguntas acerca de películas de jabón permanecen sin respuesta, y esta área de investigación sigue activa hoy día.

Para mayor información acerca de este tema fascinante, el lector puede consultar S. Hildebrandt y A. Tromba, Mathematics and Optimal Form, Scientific American Books, Nueva York. 1985.

EJERCICIOS

l . Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria S representada paramétricamente por +: D -+ S c R3, donde D es el rectángulo O 5 O 5 2x, O 5 4 5 x y + está dada por las ecuaciones

x = cos O sen 4, y = sen B sen 4, z = cos 4. Nótese que podemos representar toda la esfera de manera paramétrica, pero no la podemos representar en la forma z = f ( z , y ) . Comparar con el ejemplo 3.

¿Qué pasaría en el ejercicio 1 si permitimos que q5 varíe de -x12 a r / 2 ? ¿De O a. 2x? ¿Por qué obtenemos respuestas diferentes?

3. Hallar el área de la helicoide del ejemplo 2 si el dominio D es O 5 T 5 1 y 0 5 o 5 3x.


4. El toro T se puede representar paramétricamente por la función 9: D -+ R3, donde 9 está dada por las funciones coordenadas x = ( R + cos 4) cos O, y = ( R + cos 4) sen 8, z = send; D es el rectángulo [ 0 , 2 ~ ] X [0,2x], esto es, O 5 0 5 2x, O 5 d 5 2x y R > 1 está fijo (ver la figura 7.4.8). Mostrar que A(T) = ( ~ X ) ~ R , primero usando la fórmula (3) y después la fórmula (7) .

X

Figure 7.4.8 Sección transversal de un toro.

Sea +(u, u ) = (u - u, u + u, uu) y sea D el disco unitario en el plano uv. Hallar el área de @(D).

6. Hallar el área de la parte de la esfera unitaria cortada por el cono z 2 d m (ver el ejercicio 1) .

7. Mostrar que la superficie x = l / d y T , 1 5 x < 03, pe puede llenar pero no pintar!

Hallar una parametrización de la superficie x 2 - y' = 1 , donde x > O , -1 5 y 5 1 y O 5 z 5 1. Usar la respuesta para expresar el área de la superficie como integral.

9. Representar el elipsoide E:

- + - + - = I a2 b2 c2 xz y2 22

paramétricamente y escribir la integral para su área de superficie A ( E ) . (No evaluar la integral).


Sea la curva y = f(z), u 5 X 5 b , girada alrededor del eje y. Mostrar que el área de la superficie barrida es

J a

Interpretar usando longitud de arco y altura inclinada

11. Hallar el área de la superficie obtenida al girar la curva y = z’, O 5 X 5 1 , alrededor del eje y.

12. Usar la fórmula (4) para calcular el área de superficie del cono en el ejemplo I

Hallar el área de la superficie definida por X + y + z = 1, z’ + 2y’ 5 1.

14. Mostrar que para los vectores T, y T, tenemos la fórmula

15. Calcular el área de la superficie dada por

X = TCOS8, y = 2TCOS8, Z = o , O 5 T 5 1, 0 5 8 5 2 X

Esbozar.

16. Probar el teorema de Pappus: Sea u: [u , b] + RZ una trayectoria C’ cuya imagen está en el semiplano derecho y es una curva cerrada simple. El área de la superficie lateral generada al rotar la imagen de u alrededor del eje y es igual a 27rCl(u), donde X es el valor promedio de las coordenadas X de los puntos sobre u y l(u) es la longitud de u. (Ver los ejercicios 8 al 11, sección 7.1, para u n estudio de los valores promedio.)

El cilindro x 2 + y’ = X divide la esfera unitaria S en dos regiones S1 y 5 ’ 2 , donde S1 está dentro del cilindro y S2 afuera. Hallar la razón de las áreas A(Sz)/A(Sl).

18. Suponer que una superficie S que es la gráfica de una función z = f ( z , y), (x, y) E D c R’, también se puede describir como el conjunto de (X, y , z ) E R3 con F ( z , y, z) = O (una superficie de nivel). Deducir una fórmula para A ( S ) que incluya sólo a F.

-

Figura 7.4.9 Segmento de recta girado alrededor del eje y se vuelve un frustum de cono.

7.5 INTEGRALES DE FUNCIONES ESCALARES SOBRE SUPERFICIES 463

19. Calcular el área del frustum mostrado en la figura 7.4.9 usando (a) sólo geometría y (b) una fórmula para el área de la superficie.

Se perfora un hoyo cilíndrico de radio 1 a traves de una bola sólida de radio 2 para formar un acoplador anular, como se muestra en la figura 7.4.10. Hallar el volumen y el área de la superficie exterior de este acoplador.

Figura 7.4.10 Hallar el área de la superficie y el volumen de la región sombreada.

21. Hallar el área de la gráfica de la función f(z, y) = ;(z3l2 + y3l2) que está sobre el dominio [O, 11 x [O, 11.

22. Expresar el área de superficie de las gráficas siguientes sobre la región indicada D como integral doble. No evaluar.

(a) (z + 2 ~ ) ~ ; D = [-1,2] x [O, 21 kb,l . ~ + z l ( y + l ) ; D = [ 1 , 4 1 x [ 1 , 2 1 ( c ) zy3e2 y ; D = círculo unitario con centro en el origen. (d) y3 cos2 z; D = triángulo con vértices (-1, I) , (0 ,2 ) y (-1,l).

2 2

7.5 INTEGRALES DE FUNCIONES ESCALARES SOBRE SUPERFICIES

Ahora estamos preparados para definir la integral de una función escalar f sobre una superficie S. Este concepto es una generalización natural del área de una superficie, que corresponde a la integral sobre S de la función escalar f (x, y, z) = 1. Esto es muy parecido a considerar la integral de trayectoria como una generali- zación de la longitud de arco. En la siguiente sección trataremos con la integral de una función vectorial F sobre una superficie. Estos conceptos jugarán un papel crucial en análisis vectorial, tema tratado en el capítulo final.

Comencemos con una superficie S parametrizada por una función a: D -+

S c R3, @(u, u ) = ( 4 % u), Y(% u ) , 4% u)).


DEFINICIÓN Si f(x, y , z ) es una función continua con valores reales definida en S, definimos la integral de f sobre S como

(1)

donde Tu y T, tienen el mismo significado que en las secciones 7 . 3 y 7.4. Des- arrollando, la ecuación (I) se vuelve

Así, si f es idénticamente 1, recobramos la fórmula (3) del área, de la sección 7.4. Como el área de superficie, la integral de superficie es independiente de la parametrización particular usada. Esto se estudiará en la sección 7.6.

Podemos obtener un conocimiento intuitivo de esta integral al considerarla como límite de sumas. Sea D un rectángulo partido en n2 rectángulos Rij. Sea Sij = @(Rij) la parte de la superficie @ ( D ) correspondiente a Rij (ver la figura 7.5.1), y sea A(Sij) el área de esta parte de la superficie. Para n grande, f será aproximadamente constante en Sij, y formamos la suma

n-1 n-1

r = O J=o

donde (ui, v j ) E Rij. De la sección 7.4 tenemos una fórmula para A(Sij):

Z

i

Figura 7.5.1 + lleva una parte R,, de D a una parte de S


la cual, por el teorema del valor medio para integrales, es igual a IITu; X

Tu; 1 1 Au Av para algún punto (u!, u;) en Rij. Por lo tanto, la suma se vuelve

n-1 n-1

,=o j=o

que es una suma aproximante para la última integral en la fórmula (1). Por lo tanto, límite S, = S, f dS. Nótese que cada término en la suma de la fórmula (3) es el valor de f en algún punto O(ui , vj) por el área de Sij. Comparen esto con la interpretación de sumas de Riemann de la integral de trayectoria de la sección 7.1.

Si S es unión de superficies parametrizadas Si, i = 1, . . . , N , que no se intersecan excepto, quizá, a lo largo de curvas que definen sus fronteras, entonces la integral de f sobre S está definida por

n-03

como debería esperarse. Por ejemplo, la integral sobre la superficie de un cubo se puede expresar como la suma de las integrales sobre los seis lados.

EJEMPLO 1 Suponer que se describe una helicoide como en el ejemplo 2, sección 7.4, y sea f dada por f (x, y, z ) = d m . Hallar SS f dS.

SOLUCIÓN Como antes,

Además, f ( r cos 8, rsen 8, 8) = d m . Por lo tanto

= S'" 1' J G d G d r dB O 0

= LZ" $ d B = 5.. A

Suponer que S es la gráfica de una función C' , z = g(x, y) . Recordar de la sección 7.4, que podemos parametrizar S por

z = u, y = v, 2 = y(u, v).


de modo que

EJEMPLO 2 Sea S la superficie definida por z = x' + y, donde D es la región O 5 2 5 I , -1 5 y 5 1. Evaluar J, x d S .

SOLUCI~N Si hacemos z = g(x, y) = x2 + y, la fórmula (4) da

= J' 1' x d m d z dy -1 o

EJEMPLO 3 Evaluar S, t2 dS, donde S es la esfera unitaria x 2 + y2 + t2 = 1.

SOLUCIÓN Para este problema es conveniente representar la esfera paramétri- camente mediante las ecuaciones x = cos 6 sen 4, y = sen 0 sen 4, z = cos 4, sobre la región D en el plano 04 dada por O 5 4 5 a, O 5 6 5 2a. De la ecuación (1) obtenemos

z2 dS = L ( c o s q5)211Te x T + / I dB dq5.

Ahora bien, haciendo algo de cálculos [usar la fórmula (2) de la sección 7.41 se muestra que

llTe X T+ll = I sen 41, de modo que

L z2 dS = cos2 q 5 I sen q 5 I dq5 dB


Desarrollaremos ahora una fórmula para integrales de superficie cuando la superficie se puede representar como una gráfica. Para ello, sea S la gráfica de z = g(a, y) y consideremos la fórmula (4). Aseguramos que

donde 0 es el ángulo que forma la normal a la superficie con el vector unitario k en el punto (a, y, g(a, y)) (ver la figura 7.5.2). Al describir la superficie por la ecuación d(.z, y, z) = z - g(a, y) = O , un vector normal es Vd; esto es,

(ver el ejemplo 3 de la sección 7.3, o recordar que la normal a una superficie con ecuación g(a, y, z ) = constante es Vg.) Así,

n - k coso = - 1 - -

Ilnll J(dg/d2)2 + (8g/dy)2 + 1 ’

AI sustituir esta fórmula en la ecuación (4) da la ecuación (5). El resultado es, de hecho, geométricamente obvio, pues si un rectángulo pe-

queño en el plano ay tiene área AA, entonces el área de la parte sobre ella, en l a superficie, es A S = AA/cosB (figura 7.5.2). Este enfoque nos puede ayudar a recordar l a fórmula (5) y a aplicarla a problemas.

Figura 7.5.2 El área de un retazo de área A S sobre un retazo AA es A S = AA/ coso, donde 0 es el ángulo que forma la normal n con k.


EJEMPLO 4 Calcular SS x dS, donde .S' es el triángulo con vértices (1 ~ o, O ) , (O , 1,O) y ( O , O , 1) (Ver la figura 7.5.3) .

X

Figura 7.5.3 Al calcular una integral de superficie específica, se halla una fórmula para la normal n y se calcula el ángulo B al prepararse para la fórmula (5).

SOLUCIÓN Esta superficie es el plano dcscrito por l a ecuación 2 + y + z = 1. Como la superficie es un plano, el ángulo 6 es constante y un vector normal unitario es 11 = (l/&, l/&, 1/J'5). Así, cos6 = x1.k = 1 / & y por l a ecuación (5),

donde D es el dominio en el plano xy. Pero

Las integrales de funciones sobre superficies son útiles para calcular la masa de una superficie, cuando se conoce la función m de densidad de masa.. La masa t,otal cle una superficie c o ~ densidad de masa (por unidad de área) m est& dada por

EJEMPLO 5 Sea a: D -+ R3 l a pararnetrizacidn de la helicoide S = @ ( D ) del ejemplo 2 de la seccidn 7.4. Recordar yr~e @ ( r , O ) = ( T cos 8 , r sen O , O ) , O 5 B 5 27r, O 5 5 I . Suponer que S tiene densidad de masa en ( x e l y , 2) E S igual al doble de la distancia (le ( x . y , z ) al eje central (ver la figura 7.4.2), esto es,


m ( x , y, z) = = 2r, en el sistema de coordenadas cilíndricas. Hallar la masa total de l a superficie.

SOLUCIÓN Aplicando la fórmula (6),

M ( S ) = S, 2 d z d S = l 2 r dS = 2r11T, X Tell d r d B .

Del ejemplo 2 de la sección 7.4, vemos que /ITT X Toll = m. Así,

EJERCICIOS

- ( 2 3 ~ 2 4* 3

- 1). A

2. Sea CP: D C R2 -+ R3 una parametrización de una superficie S definida por

2: = z(u , u ) , y = y(u, v ) , z = z(u, v )

(a) Sean

Mostrar que el área de superficie de S es S, J m d u dv. En esta notación, ¿cómo podemos expresar S, f dS para una función general f?

(b) ¿En qué se convierte la fórmula si los vectores aCP/au y aCP/av son ortogonales?

(c) Usar las partes (a) y (b) para calcular el área de superficie de una esfera de radio a .

Evaluar S, z dS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es, el conjunto de (z, y, z) con z = d m .

4. Evaluar S,(. + y + z) dS, donde S es la frontera de la bola unitaria B; esto es, S es el conjunto de ( 2 , y, z) con z2 + y* + z2 = 1. (IDEA: Usar la simetría del problema.)


5. Evaluar S, zyz dS , donde S cs el triángulo col1 vértices (1, O , O ) , ( O , 2 , O ) y ( O , 1 , l ) .

6. Sea una superficie S definida de manera implícita por F ( z , y , z ) = O para ( x , y ) en un dominio D de R2. Mostrar que

Comparar con el ejercicio 18 de la sección 7.4.

Evaluar S, z d S , donde S es la superficie z = z2 + y2, x 2 + y’ 5 1

Evaluar s,z2dS, donde S cs la frontera del cubo C = [-1,1] X [-I, 13 x [-I, 13. (IDEA: Hacer cada cara por separado y sumar los resultados.)

9. Hallar la masa de una superficie esférica S de radio R tal que en cada punto ( 2 , y, z ) E S la densidad de masa es igual a la distancia de (x , y , z) a algún punto fijo ( 2 0 , yo, zo) E s .

10. Una superficie metálica S tiene l a forma de un hemisferio z = d-, O 5 z2 + y’ 5 R2. La densidad de masa en (z, y , z ) E S está dada por m ( x , y, z ) = 2’ + y’. Hallar la masa total de S.

Sea S la esfera de radio R. (a) Argumentar por simetría que

(b) Usar este hecho y algo de inteligencia para evaluar, con muy pocos cálculos, la int,egral

( c ) ¿Ayuda esto en el ejercicio l o ?

12. (a) Usar sumas de Riemann para justificar l a fórmula

para el valor promedio de f sobre l a superficie S. (b) En el ejemplo 3 de esta sección, mostrar que el promedio de f (x, y, z ) = z’

es i. (c) Definir el centro de gravedad (Z, 5, t) de una superficie S de modo que C , 5 y

z sean los valores promedio de las coordenadas z, y y z en S. Mostrar que el centro de gravedad del triángulo en el ejemplo 4 de esta sección es (i, i , 5 ) . -


13. Hallar las coordenadas x , y y z del centro de gravedad del octante de la esfera sólida de radio R, con centro en el origen, determinado por x 2 O, y 2 O, z 2 O. (IDEA: Escribir este octante como una superficie parametrizada “ve r el ejemplo 3 de esta sección y el ejercicio 12.)

Hallar la coordenada z del centro de gravedad (coordenada z promedio) de la superficie de un hemisferio (z 5 O) con radio r (ver el ejercicio 12). Argumentar por simetría que las coordenadas x y y promedio son, ambas, cero.

* 15. Sea la funcional de Dirichlet para una superficie parametrizada +: D ”-f R3 definida por’

Usando el ejercicio 15 de la sección 1.5, argumentar que el área A(+) 5 J(+) y la igualdad se cumple si

a+ a+ a u av (b) - - =O.

Comparar estas ecuaciones con el ejercicio 2 y las observaciones al final de la sección 7.4. Una parametrización 9 que satisface las condiciones (a) y (b) se llama conforme.

*16. Sean D c R2 y +: D + R2 una función suave +(u , w) = (x(u ,u) , y (u , u ) ) que satisface las condiciones (a) y (b) del ejercicio 15. Mostrar que x y y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann a x / & = a y / & , a x / a u = - a y / a u o las ecuacione,s conjugadas de Cauchy-Riemann a x / a u = - a y / a v , a x l d v = ay/&. Concluir que V2+ = O (i.e., cada componente de 9 es armónica).

(a) Calcular el área de la parte del cono x’ + y’ = z2 con z 2 O que está dentro de la esfera 2’ + y2 + z2 = 2 R z , donde R es una constante positiva.

(b) ¿Cuál es el área de la parte de la esfera que está dentro del cono?

*la. Sea S una esfera de radio r y p un punto dentro o fuera de la esfera (pero no en ella). Mostrar que

1 dS = { 4xr si p está dentro de S 4ar2/d si p está fuera de S

donde d es la distancia de p al centro de la esfera y la integración es sobre x.

19. Hallar el área de superficie de la parte del cilindro x’ + z’ = a’ que está dentro del cilindro 2’ + y2 = 2ay y también en el octante positivo (x 2 O, y 20, z 2 O). Suponer que a > O.

*La funcional de Dirichlet jugó un papel importante en las matemáticas del siglo XIX. El matemático Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) la usó para desamollar su teoría de funciones complejas y para dar una demostración del famoso teorema de la función de Riemann. Todavía se usa de manera extensiva como herramienta en el estudio de ecuadones diferenciales parciales.


7.6 INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES

En esta sección nos ocuparemos de integrales de funciones vectoriaies sobre superficies. La definición que damos aquí es una extensión natural de l a dada para funciones escalares estudiadas en l a sección 7.5.

DEFINICI~N Sea F un campo vectorial definido en S, imagen de una superficie parametrizada 9. La integral de superficie de F sobre e, denotada por

1 F d S , o a veces por /-I F . dS,

9

se define por

l F - d S = l F . ( T , x T,)duddv ,

donde Tu y T, se definen como en la sección 7.3 (ver la página 442 y la figura 7.6.1).

U

Figura 7.6.1 Significado geométrico de F (Tu x T , )

EJEMPLO 1 Sea D el rectángulo en el plano 64 definido por

O < O < 2 X , o<4< . ,

y sea la superficie S definida por la parametrización 9: D -+ R3 dada por

2: = cos Osen 4, y = sen 0 sen 4, z = cos 4.

7.6 INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES 473

(Asi, O y 4 son los ángulos de coordenadas esféricas, y S es la esfera unitaria parametrizada por @.) Sea r el vector de posición r(z, y, z) = zi + yj + zk. Calcular S, r - d S .

SOLUCIÓN Primero hallamos

T e = (- sen 4 sen 8)i + (sen 4 cos 8)j

T+ = (cos 8 cos 4)i + (sen ecos 4)j - (sen 4)k

entonces

Te x T+ = (- sen2 4 cos 8)i - (sen’ 4 sen 8) j - (sen 4 cos 4)k.

Después calculamos

r - ( T e x T+) = (zi + yj + zk) ( T e X T d )

= [(cos 8 sen 4)i + (sen 8 sen 4)j + (cos 4)k]

- (-sen4)[(senq+cosO)i + (sen4senB)j + COS^)^]

= (- sen $)(sen2 4 cos2 e + sen’ 4 sen2 8 + cos’ 4) = -sen 4.

Así,

L r - d S ; = l - s e n 4 d 4 d O = lT ( - 2 ) d 8 = - 4 ~ . A

Se puede esbozar una analogía entre la integral de superficie S, F d S y la integral de línea S, F - ds . Recordar que la integral de línea es una integral orientada. Necesitábamos el concepto de orientación de una curva para extender la definición de S, F ds a integrales de línea S, F ds sobre curvas orientadas. Extendemos la definición de S* F dS a superficies orientadas de manera similar; esto es, dada una superficie S parametrizada por una función a, queremos definir S, F d S = S, F - d S y mostrar que es independiente de la parametrización, excepto, quizá, por el signo. Para lograrlo necesitamos el concepto de orientación de una superficie.

DEFINICI~N Una superficie orientada es una superficie de dos lados, uno de ellos el lado exterior o positivo; y el otro el lado interior o negativo.* En cada punto (zl yI z) E S hay dos vectores normales unitarios nl y n 2 , donde nl = -n2 (ver la figura 7.6.2). Cada una de, estas normales se puede asociar con un lado de la superficie. Así, para especificar un lado de una superficie S ,

*Usamos el término “lado” en sentido intuitivo. Este concepto se puede desarrollar de manera rigurosa. Además, la selección del lado llamado “exterior”, a menudo es impuesto por la superficie misma, como, por ejemplo, en el caso de una esfera. En otros casos, la denominación es algo arbitraria (ver la parte de superficie ilustrada en la figura 7.6.2).


Figura 7.6.2 Las dos posibles normales unitarias a una superficie en un punto

en cada punto escogemos un vector normal unitario n que apunta hacia afuera desde el lado positivo de S en ese punto.

Esta definición supone que nuestra superficie tiene dos lados. Daremos un ejemplo de una superficie con un solo lado. El primer ejemplo conocido de dicho tipo de superficie fue la cinta de Mobius (debido al matemático y astrónomo alemán A. F. Mobius, quien, junto con el matemático J . B. Listing, la descubrió en 1858). En las figuras. 7.6.3 y 7.6.4 se presenta dicha superficie. En cada punto de M hay dos normales unitarias, nl y n2. Sin embargo, nl no determina un lado Único de M , y tampoco n2. Para ver esto de manera intuitiva, podemos deslizar n2 alrededor de la curva cerrada C (figura 7.6.3). Cuando n2 regrese a un punto fijo p de C, coincidirá con nl, mostrando que tanto nl y n2 apuntan desde el mismo lado de M y, en consecuencia, M tiene un solo lado.

M

Figura 7.6.3 Cinta de Mobius: deslizar nz alrededor de C una vez; cuando nz regrese a su punto inicial, nz coincidirá con nl = -n2.

La figura 7.6.4 es una cinta de Mobius dibujada por el conocido matemático y artista del siglo XX, M. C. Escher. Presenta hormigas caminando a lo largo de la banda de Mobius. Después de una vuelta alrededor de la banda (sin cruzar por un lado) terminan en el “lado opuesto” de la superficie.


Figura 7.6.4 Hormigas caminando sobre una cinta de Mobius. (Moebius Strip 11, 1963, por M. C. Escher. Escher Foundation, Haags Gemeentemuseum, La Haya.)

Sea @: D "+ R3 una parametrización de una superficie oxientada S y suponer que S es suave en @(uo,vo), (uo, vo) E D ; i.e., está definido el vector normal unitario (Tuo x T,o)/llTuo x TUoll. Si n(@(uo,vo)) denota la normal unitaria a S en @(uo , vo) apuntando desde el lado positivo de S a ese punto, se sigue que (Tuo x Tvo) /~~Tuo x Tvoll = fn(O(u0,wo)). Se dice que la parametrización @ preserva la orientación si (Tu x T,)/llTu x T, 1 1 = n(@(u , v)) en todo (u, v) E D para los cuales S es suave en @(u, v). En otras palabras, @ preserva la orientación si el vector Tu x T, apunta hacia afuera desde el lado exterior de la superficie. Si Tu X T, apunta hacia afuera desde el lado interior de la superficie en todos los puntos (u , v) E D para los que S es suave en @(u, v), entonces se dice que @ invierte la orientación. Usando la notación anterior, esta condición corresponde a la selección de (Tu x T,)/llTu x Toll = n(@(u, u)).

Se sigue de este análisis que la banda de Mobius no puede ser parametrizada por una sola parametrización. (La esfera del ejemplo 1 puede ser parametrizada por una sola parametrización, pero no por una que sea uno a uno en todas partes "ver el análisis al principio de la sección 7.4.)

EJEMPLO 2 Podemos dar a la esfera unitaria x' + y' + z' = 1 en R3 (figura 7.6.5) una orientación seleccionando el vector unitario n(x , y , z) = r, donde r = xi + yj + zk, que apunta hacia afuera desde el lado exterior de la superficie. Esta selección corresponde a nuestra concepción intuitiva del exterior de la esfera.

Ahora que la esfera S es una superficie orientada, considerar la parametrización @ de S dada en el ejemplo 1. El producto cruz de los vectores tangentes To y T 4 -esto es, una normal a S- está dado por

(-senq5)[(cos@senq5)i+(sen@senq5)j+(cosq5)k] =-rsenqh.

476 INTEQRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES

Figura 7.6.5 La esfera unitaria orientada por su normal exterior n

Como -sen 4 5 O para O 5 4 5 T , este vector normal apunta hacia adentro desde la esfera. Así, la parametrización 9 dada invierte la orientación. A

EJEMPLO 3 Sea S una superficie descrita por z = f ( z , y ) . Hay dos vectores normales unitarios a S en (zo, yo, f(z0, yo)), a saber, A n , donde

n =

Podemos orientar todas estas superficies* tomando el lado positivo de S como el lado desde el cual apunta n (figura 7.6.6). Así, el lado positivo de dicha superficie está determinado por la normal unitaria n con componente k positiva. Si parametrizamos esta superficie por * ( u , u) = ( u , u , f ( u , u ) ) , entonces @ preservará la orientación. A

Enunciaremos ahora, sin demostración, un teorema que muestra que la integral sobre una superficie orientada es independiente de la parametrización. La demostración de este teorema es análoga a la del teorema 1 (sección 7.2); el

*Si hubiéramos dado una definición rigurosa de orientación, podríamos usar este argumento para mostrar que todas las superficies z = f (z , y) son, de hecho, orientables; esto es, que tienen “dos lados”.


z

f I 1 [

n

t exterior

X d

Figura 7.6.6 n apunta desde el exterior de l a superficie.

meollo de la demostración está en la fórmula de cambio de variables -esta vez aplicada a integrales dobles.

TEOREMA 4 Sea S 'una superficie orientada y sean y dos parametrizaciones suaves que preserven la orientación, con F un campo vectorial continuo definido en S . Entonces

Si Q l preserva la orientación y Q2 la invierte, entonces

Si f es una función continua con valores reales definida en S, y si Q 1 y Q 2 son parametrizaciones de S, entonces

Si f = 1, obtenemos

mostrando am' que el área es independiente de la pararnetrización.


Podemos entonces usar sin ambigüedad la notación

s , s , F . d S = F - d S

(o una suma de dichas integrales, si S es unión de superficies parametrizadas que se intersecan sólo a lo largo de sus curvas frontera) donde CP es una parame- trización que preserva la orientación. El teorema 4 garantiza que el valor de la integral no depende de la selección de C P .

Recordar de la fórmula (1) de la sección 7.2 que una integral de línea S,, F ds se puede pensar como la integral de trayectoria de la componente tangencia1 de F a lo largo de u (aunque para el caso en que u se interseca a sí misma, la integral obtenida no es, técnicamente, una integral de trayectoria.) Una situación similar se cumple en nuestro contexto, para las integrales de superficie, pues hemos supuesto que las funciones @ que definen la superficie S son uno a uno excepto, quizás, en la frontera de Dl lo cual puede ser ignorado para propósitos de integración. Así, al definir integrales sobre superficies en este libro suponemos que las superficies no se intersecan.

Para una superficie suave orientada S y una parametrización CP que preserva la orientación de S, podemos expresar S, F dS como integral de una función f con valores reales, sobre la superficie. Sea n = (Tu X Tu)/llTu X Tul) la normal unitaria que apunta al exterior de S. Entonces

F * ( T , x T U ) d u d v

donde f = F n. Así, hemos probado el siguiente teorema.

TEOREMA 5 S, F-dS, la integral de superficie de F sobre S, es igual a la integral de la componente normal de F sobre la superficie. En breve,

L J , F d S = F ndS .

Esta observación a menudo puede ahorrar mucho esfuerzo computacional, como lo demuestra el ejemplo 4.

El significado geométrico y físico de la integral de superficie se puede entender expresándola como un límite de sumas de Riemann. Por sencillez, supongamos que D es un rectángulo. Fijar una parametrización CP de S que preserve la orien- tación y partamos la región D en n' piezas Dij , O 5 i 5 n - 1, O 5 j 5 n - 1. Denotemos por Au la longitud del lado horizontal de Dij y por Av la longitud del


lado vertical de Ddj. Sean ( u , u ) un punto en D;j y (x, y, z ) = @(u, u ) , el punto correspondiente en la superficie. Consideremos el paralelogramo con lados A u T, y Av T, que está en el plano tangente a S en (x, y , z ) y el paralelepípedo formado por F, Au Tu y Av T, . El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del triple producto

F (AUT, X AUT,,) = F * (Tu X T,) AU Av.

El vector Tu X T, es normal a la superficie en ( x l y, z ) y apunta hacia afuera desde el exterior de la superficie. Así, el número F . (Tu x T,) es positivo cuando el paralelepípedo está en el exterior de la superficie (figura 7.6.7).

U Z

&./ X

Figura 7.6.7 F (T, x T,) > O cuando el paralelepípedo formado por Av Tu, A u T u y

F está en el “exterior” de la superficie S .

En general, el paralelepípedo está en aquel lado de la superficie desde donde apunta F. Si pensamos F como el campo de velocidad de un fluido, F(z , y , z ) apunta en la dirección en la cual el fluido se mueve a través de la superficie cerca de ( x , y , z ) . Más aún, el número

IF - ( T u A u X T%,Av)l

mide la cantidad de fluido que pasa a través del paralelogramo tangente por unidad de tiempo. Como el signo de F . ( A u Tu X Av T,) es positivo si el vector F apunta hacia afuera en (x, y, z ) y negativo si F apunta hacia adentro, F (Tu X Tu) Au Av es una medida aproximada de la cantidad neta de fluido que fluye hacia afuera a través de la superficie por unidad de tiempo. (Recordar que “afuera” o “adentro” depende de la parametrización escogida. La figura 7.6.8 ilustra F dirigida hacia afuera y hacia adentro, dados Tu y Tu.) Por lo tanto, la integral S, F dS es la cantidad neta de fluido que fluye a travds de la superficie por unidad de tiempo, esto es, la tasa de Aujo. Por lo tanto, esta integral también se llama Aujo de F a través de la superficie.


Figura 7.6.8 Cuando F (Tu X T,) > O (izquierda), F apunta hacia afuera; cuando F (Tu X Tu) < O (derecha), F apunta hacia adentro.

En el caso en que F representa un campo magnético o eléctrico, S, F - d S también se conoce como flujo. El lector quizá conozca las leyes físicas (como la de Faraday) que relaciona el flujo de un campo vectorial con la circulación (o corriente) en un lazo circundante. Esta es la base histórica y física del teorema de Stokes, que estudiaremos en la sección 8.2. El principio correspondiente en mecánica de fluidos se llama teorema de circulación de Kelvin.

Las integrales de superficie también se aplican al estudio de flujo de calor. Sea T ( x , y, z ) la temperatura en un punto (x, y , z) E 1%‘ c R3, donde W es alguna región y T es una función C’. Entonces

8T 3T 3T V T = - i + - j + - k dr a y a2

representa el gradiente de temperatura, y el calor “fluye” según el campo vectorial -kv?’ = F, donde k es una corlst,ante positiva (ver la sección 8.5). Por lo tanto SS F d S es la tasa total de flujo de calor o flujo a través de la superficie S.

EJEMPLO 4 Suponer que una funciórl de temperatura está dada por T ( x , y, z ) = x2 + y2 + z 2 y sea S la esfera unitaria x’ + y2 + zz = 1 orientada con la normal exterior (ver el ejemplo 2) . Hailar el flujo de calor a través de la superficie S si k = 1.

SOLUCIÓN Tenemos

F = -V?‘(z, y , 2 ) = -2xi - 2 y j - 2zk .

En S , n(x , y, z) = zi + y j + zk es la normal “exterior” unitaria a S en (x, y , z ) y f ( x , y , z ) = F - n = -22’ - 2y2 - 2 z 2 = -2 es la componente normal de F. En el teorema 5 podemos ver que la integral superficie de F es igual a la integral de su componente normal f = F n sobre S. Así, S, F d S = S, f dS =


-2 SS dS = -2A(S) = - 2 ( 4 ~ ) = - 8 ~ . El flujo de calor se dirige hacia el centro de la esfera (¿por qué hacia el centro?). Claramente, nuestra observación de que J s F - d S = J , f d S nos ha ahorrado considerable tiempo de computación.

En este ejemplo, F(r, y, z ) = -2xi - 2yj - 2zk podría también representar un campo eléctrico, en cuyo caso S, F dS = - 8 ~ sería el flujo eléctrico a través de S. A

EJEMPLO 5 Hay una importante ley física, debida al gran matemático y físico K . F. Gauss, que relaciona el flujo de un campo eléctrico E sobre una superficie “cerrada” S (por ejemplo, una esfera o un elipsoide) con la carga neta Q encerrada por la superficie, a saber,

(ver la figura 7.6.9). La ley de Gauss se estudiará en detalle en el capítulo 8. Esta ley es análoga a la ley de Arnpkre (ver el ejemplo 12, sección 7.2).

Figura 7.6.9 Ley de Gauss: 1, E dS = Q, donde Q es l a carga neta dentro de S.

Suponer que E = En; esto es, E es múltiplo escalar constante de la normal unitaria a S . Entonces la ley de Gauss, la ecuación (1) anterior, se vuelve

pues E = E - n. Así,

En el caso de que S sea la esfera de radio R, la ecuación (2) sea convierte en

Q 4~ R2

E = -



Figura 7.6.10 Campo E debido a una carga puntual Q es E = Qn/4xR2.

Supongamos ahora que E surge de una carga puntual aislada Q. Por simetría, se sigue que E = En, donde n es la normal unitaria a cualquier esfera con centro en Q. Por lo tanto se cumple la ecuación ( 3 ) . Considerar una segunda carga puntual QO situada a una distancia R de Q. La fuerza F que actúa sobre esta segunda carga Q o está dada por

F = EQQ = EQon = - QQo 4xR2 n'

Si F es la magnitud de F, tenernos

que es la conocida ley de Cor~lornb para la fuerza entre dos cargas puntuales.* A

Deduzcamos las fórmulas de integrales de superficie para gráficas de funciones. Considerar la superficie S descrita por z = f ( z , y ) , (z,y) E D , donde S está orientada de modo que

" af. af - -j + k

ay n =

apunta hacia afuera. Hemos visto que podemos parametrizar S por a: D -+ R3 dada por @(x, y) = ( x , y, f ( x , y)). En este caso, S, F clS se puede describir de

*A veces venlos la fórmula F = ( 1 / ~ l ~ c o ) Q Q 0 / R 2 . La constante adicional co aparece cuando se usan unidades MKS para medir la carga. Nosotros usamos unidades CGS, o gaussianas.


manera particularmente simple. Tenemos

T , = i + - k , af ax

Así, T, x T, = -(af/az)i - ( a f / ay ) j + k. Si F = Fli + Fd + F3k es un campo vectorial continuo, obtenemos l a fórmula

L F - d S = k F . ( T , x T,)dedy

= S, [. (-2) + F 2 (+) + a ] d x d y .

EJEMPLO 6 Las ecuaciones

describen un disco de radio 5 que está en el plano z = 12. Supongamos que r es el campo vectorial

r ( x , y, z) = xi + yj + zk. Calcular SS Ir d S .

SOLUCIÓN Lo haremos de tres maneras. Primero, tenemos d z / & = dz/dy = O, pues z = 12 es constante en el disco, de modo que

r ( e , y, 2 ) . (T, x TY) = r(x, y, z) (i x j) = r (x , y, z) k = z

y entonces, usando la definición original al principio de esta sección, la integaal se convierte en

r d S = S, z de dy = 12 dx d y = l2(área de D) = 3 0 0 ~ .

Una segunda solución: como el disco es paralelo al plano zy, la normal unitaria exterior es k. Entonces n(z, y, z ) = k y r n = z. Sin embargo, JIT, X T,II = [ (k(( = 1, y como ya sabemos del análisis anterior al teorema 5, página 478, que

Tercero, podemos resolver este problema usando directamente la fórmula (4), con f(x, y) = 12 y D el disco z2 + y2 5 25:

r - d S L ( x . O + y . O + 12) dx dy = 12(área de D ) = 3 0 0 ~ . A


EJERCICIOS

Sea la temperatura de un punto en R3 dada por T ( L , y, z ) = 3x2 + 32’. Calcular el flujo de calor a través de la superficie z2 + z2 = 2 , O 5 y 5 2 , si k = 1.

2. Calcular el flujo de calor a través de la esfera unitaria S si T ( z , y, z ) = z (ver el ejemplo 4). LPueden interpretar físicamente su respuesta?

3. Sea S la superficie cerrada formada por el hemisferio z’ + y’ + z’ = 1 , z 2 O y su base z2+y2 5 1 z = O. Sea E el campo eléctrico definido por E(z, y, z) = 2zi+2yj+2zk . Hallar el flujo eléctrico a través de S. (IDEA: Romper S en dos partes SI y S’ y evaluar S,, E dS y S E dS por separado.)

S2

4. Sea el campo de velocidad de u n fluido descrito por F = f i j (medido en metros por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido por segundo están cruzando la superficie z2 + z’ = y, O 5 y 5 1, en la dirección en que y crece.

5. Evaluar ss(V x F) d S , donde S es l a superficie x 2 + y’ + 32’ = 1, t 5 O y F = y i - z j + zx3yZk. (Hacer que n , la normal unitaria, apunte hacia arriba.)

Evaluar S,(V x F) dS, donde F = (x’ + y - 4)i + 3zy j + ( 2 2 2 + z 2 ) k y S es la superficie 2’ + y’ + 2’ = 16, z 2 O. (Hacer que n, la normal unitaria, apunte hacia arriba.)

7. Calcular la integral SS F - d S , donde S es la superficie de l a semibola z2+y2+z2 5 1, z 2 O y F = (x + 3y5)i + ( y + 1Ozz)j + ( z - zy)k. (Hacer que n , la normal unitaria, apunte hacia arriba.)

O 8 Están construyendo un restaurante en la ladera de una montaña. Los planos del arquitecto se muestran en la figura 7.6.11.

X* + ( Y - R)’ = R Z restaurante y’ + Y’ =

Y

X

Y

vista lateral

X

vista superior

Figura 7.6.1 1 Planos del restaurante.


(a) La pared vertical curvada del restaurante será hecha de vidrio. ¿Cuál será el área de superficie de esta pared?

(b) El ingeniero consultor informa al planificador que para ser costeable, el volumen del interior debe exceder rR4/Z. ¿Para qué R satisface este requerimiento la estructura propuesta?

(c) Durante un típico día de verano los alrededores del restaurante están sujetos a un campo de temperatura dado por

T ( z , y, z ) = 3z2 + (y - R)2 + 162’

Una densidad de flujo de calor V = -kVT ( k es una constante que depende del grado de aislamiento a usarse) a través de todos los lados del restaurante (incluyendo el techo y el contacto con la montaña) produce un flujo de calor. ¿Cuál es el flujo total de calor? (La respuesta dependerá de R y k.)

9. Hallar el flujo de +(z ,y , z ) = 3xy2i + 3x2yj + z3k afuera de la esfera unitaria.

10. Evaluarlaintegraldesuperficie JlsF.ndAdonde F ( z , y , z ) = i + j + z ( z 2 + y Z ) 2 k y as es la superficie del cilindro z2 + y2 5 1 , O 5 z 5 1.

Sea S la superficie de l a esfera unitaria. Sean F un campo vectorial y F, su componente radial. Probar que

F . dS = l., lz0 Fr sen d d 4 do 2n x

¿Cuál es la fórmula correspondiente para funciones f con valores reales?

*12. Probar el teorema del valor medio para integrales de superficie: si F es un campo vectorial continuo, entonces

F - n dS = P ( Q ) n(Q)14s)

para algún punto Q E S , donde A ( S ) es el área de S. [IDEA: Probarlo primero para funciones reales, reduciendo el problema a una integral doble: mostrar que si g 2 O, entonces

l f g d A = f ( Q ) l g d A

para algún Q E D (hacerlo considerando (S, fg d A ) / ( [ , g dA) y usando el teorema del valor intermedio).]

13. Obtener una fórmula como la del ejercicio 11 para la integración sobre la superficie de un cilindro.

Sea S una superficie en R3 que sea en realidad un subconjunto D del plano a y . Mostrar que la integral de una función escalar f (x, y, z ) sobre S se reduce a la integral doble de f (z, y, z ) sobre D. ¿En qué se convierte l a integral de superficie de un campo vectorial sobre S? (Asegurarse de que la respuesta sea compatible con el ejemplo 6.)


15. Sea el campo de velocidad de un fluido, descrito por F = i + zj + zk (medido en metros por segundo). Calcular cuántos metros cúbicos de fluido por segundo cruzan la superficie descrita por z2 + y’ + z2 = 1, z 2 O.

1161 (a) Un fluido uniforme que fluye verticalmente hacia abajo (lluvia fuerte) se describe por el campo vectorial F(z, y , , z) = ( O , O , -1). Hallar el flujo t,otal a través del cono z = ( x 2 + y2)”’, z2 + y’ 5 1.

(b) Debido al fuerte viento, la lluvia cae de lado, de manera que forma un ángulo de 4 5 O , y se describe por F(z, y, z ) = - ( 4 / 2 , O , 4 / 2 ) . ¿Cuál es ahora el flujo a través del cono?

17. Para a > O , b > O y c > O , sea S la mitad superior del elipsoide

con la orientación determinada por la normal hacia arriba. Calcular SS F dS donde F(z , Y, z ) = ( x 3 , O , O ) .

18. Si S es el hemisferio superior {(z, y, z)1z2 + y2 + zZ = 1, z 2 O} orientado por la normal que apunta hacia afuera de la esfera, calcular SS F dS para las partes (a) y (b).

(a) F(z , y, z ) = zi + y j (b) F(z , y, z ) = yi + z j (c) Para cada uno de los campos vectoriales anteriores, calcular Ss(V X F) dS y

S, F dS donde C es el círculo unitario en el plano z y recorrido en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj (según se ve desde el eje z positivo). (Nótese que C es la frontera de S. El fenómeno ilustrado aquí se estudiará con más detalle en el capítulo siguiente, usando el teorema de Stokes.)


1. Integrar f ( z , y, z ) = zyz a lo largo de las trayectorias siguientes: (a) ~ ( t ) = ( e t cost , e t sent , 3 ) , O 5 t 5 2x

u(t) = (cost , sent, t ) , O 5 t 5 2x (c) a(t) = $t2i + 2t2 j + tk, O 5 2 5 1 (d) a(t) = ti + (1/fi)t2j + i t 3 k , 0 5 t 5 1

2. Calcular la integral de f a lo largo de la trayectoria a en cada uno de los casos siguientes:

(a) f ( z , y, z) = z + y + yz; a(t) = (sen t , cos t , t)O 5 t 5 2a kb,l f ( z , y, z ) = z + cos2z; a(t) = (sent, cos t , t ) , O 5 t 5 2 x (c) f ( z , y, 2 ) = 2 + y + z; o(t) = ( t , t 2 , 3 3 ) , o 5 t 5 1

3. Calcular cada una de las integrales de línea siguientes S,(sen xz) dy - (cos xy) dz, donde C es el triángulo cuyos vértices son (1, O ,

(b) S,(sen z ) dz + (cos z ) dy - ( ~ y ) ” ~ dz, donde C es la trayectoria parametrizada O ) , ( O , 1 , O ) y ( O , O , I ) , en ese orden

por o(O) = (cos3 O, sen3 O, O), O 5 O 5 7a/2


4. Si F(x) es ortogonal a ~ ‘ ( t ) en cada punto de la curva x = a( t ) , ;.qui. se puede decir acerca de j”, F ds?

Hallar el trabajo realizado por la fuerza F ( x , y) = (x’ - y 2 ) i + 2 Z y j al mover una partícula en sentido contrario al que giran las ma.necillas dcl reloj, alrededor del cuadrado con esquinas en ( O , O ) , (a, O ) , ( a , u ) y ( O , a ) , a > O.

6. Un anillo con la forma de la curva z2 + y 2 = a’ está formado por u n alambre delgado que pesa jzj + [y [ gramos por unidad de longitud en (z,Y). Hallar la masa del anillo.

7. Hallar una parametrización para cada una de las superficies sig~~ientes; (a) x 2 + y2 + z2 - 42 - 6y = 12 kb,l 2x2 + y’ + z2 - 82 = 1 (c) 4x2 + 9y2 - 2s’ = 8

8. Hallar el área de la superficie definida por +: (u,, 7)) I”+ (x, y, z ) donde

x = /¿(u, u) = u + v, y = y(u , u) = u.. 2 = f ( u , 7j) = ‘u;

O 5 u 2 1, O 5 u 5 1. Esbozar.

9. Escribir una fórmula para el área de superficie de * : ( . , O ) +- (.,y. t) donde

x = r cos 0, y = 2r sen O, z = T ;

O 5 r 5 1, O 5 0 5 27r. Esbozar

Suponer que z = f ( z , y) y que (af/az)2+(af/ay)2 = c, c > O. Mostrar que el área de l a gráfica de f que está sobre una región D en el plano z y es m multiplicado por el área de D.

11. Calcular la integral de f i x , y , z) = 2’ + y’ + z’ sobre la superficie del ejercicio de repaso 8.

12. Hallar S’ f dS en cada uno de los casos siguientes: (a) f(z, y, z) = z; S es l a parte del plano z + y + z = 1 en el octante positivo

kb,l f (z , y, z) = z2; S es la parte del plano z = z dentro del cilindro z2 + y2 = 1 (c) f(x, y, z) = x; S es l a parte del cilindro z’ + y’ = 23: con 0 2 2 5 d m

z > O , y ~ O , z > O

14. Calcular la integral de z + y sobre la superficie de la esfera unitaria.

Calcular la integral de superficie de x sobre el triángulo con vértices ( 1 , 1 , I ) , ( T I , 1) Y (2, o, 3 ) .


16. ITn paraboloide de revolucidn S está parametrizado por +(u, 71) = (u cos u , usen u , u.”, O 5 21 5 2. O 5 u 5 2 K .

(a ) Hallar una ecuación en I , y y z que describa la superficie. ( b ) j,Cuál es el significado geométrico de los parámetros u y u‘? (c) Hallar un vector unitario ortogonal a la superficie en +(u, u ) . (d) Hallar la ecuación para el plano tangente en +(uo, (10) = ( 1 , 1 , 2 ) y expresar

la respuesta de las dos maneras siguientes:

(ii) en términos de T , y y z . ( i ) parametrizada por 71 y 1 1 ; y

( e ) Hallar el área de S.

17. Sea f ( z , y , z ) = z e y c o s ~ z . (a ) Calcular F = V f . (h) Evaluar S, F . ds donde c ( t ) = (3 cos4 1,5 sen‘ t , O ) , O 1 5 T .

18. Sea F(T. y, 2 ) = zi + yj + zk. Evaluar S, F * dS donde S es el hemisferio superior de la csfera unitaria z2 + y2 + z2 = 1.

20. Sea F = V f para una función escalar dada. Sea c ( t ) una curva cerrada, esto es, c(b) = .(a). Mostrar que S, F ds = O.

21. Considerar la superficie +(u, u ) = (u2 cos v, u’ sen u , u). Calcular l a normal unitaria en u = 1, ti = O. Calcular la ecuación del plano tangente en este punto.

22. Sea S la parte del cono z2 = x* + y2 con z entre 1 y 2 orientada por l a normal apuntando hacia afuera del cono. Calcular S, F dS donde F(z , y, z ) = ( x 2 , y’, 2’).

23. Sea F = r i + z 2 j + y z k que representa el campo de velocidad de un fluido (velocidad medida en metros por segundo). Calcular cuántos metros cilbicos de fluido por segundo cruzan el plano ~y a través del cuadrado O 5 5 1 , O 5 y 5 1.

Mostrar que el área de superficie de la parte de la esfera x 2 + y* + z2 = 1 que está arriba del rectángulo [-a, u ] X [-a, u ] , donde 2a2 < 1, en el plano z y es

25. Scan S una superficie y C una curva cerrada, frontera de S . Verificar la igualdad

l ( V x F ) - d S = F - d S L si F es un campo gradientr (usar el ejcrcicio de repaso 20) .

26. Calcular SsF dS, donde F(z. y, z ) = (z ,y , -y) y S es la superficie cilíndrica definida por I’ + y’ = 1 , O 5 z 5 1, con normal apuntando hacia afuera del cilindro.


27. Sea S la parte del cilindro x 2 + y 2 = 4 entre los planos z = O y z = x + 3. Calcular lo siguiente:

(a) Jsz2dS (b) JsY2dS J s Z 2 d S

28. Sea r la curva de intersección del plano z = ax + by con el cilindro 2’ + y’ = 1. Hallar todos los valores de los números reales a y b tales que a’ + b2 = 1 y

~ y d x + ( z - l ) d y - y d z = O .

29. Una hélice circular que está sobre el cilindro x’ + y’ = R 2 , con pendiente p , se puede describir paramétricamente mediante

x = RcosO, y = Rsen0, z = P O , 0 2 O.

Una partícula se desliza bajo la acción de la gravedad (que actúa paralelament,e al eje z), sin fricción, a lo largo de la hélice. Si la partícula empieza a la altura 20 > O , entonces, cuando alcanza la altura z, O 5 z 5 z o , a lo largo de la hélice, su rapidez está dada por

donde S es la longitud de arco a lo largo de la hélice, g es la constante de gravedad y t es tiempo.

(a) Hallar la longitud de la parte de la hélice entre los planos z = zo y z = 2 1 ,

o 5 2 1 < 20. (b) Calcular el tiempo TO que tarda la partícula en alcanzar el plano z = O.

8 TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL

Toda la teoría del movimiento de fluidos se ha reducido a l a solución de fórmulas analíticas.

L. EULER

Ahora estamos preparados para vincular el cálculo diferencial vectorial (ver ca- pítulo 3 ) y el cálculo integral vectorial (ver capítulo 7). Esto se hará mediante los importantes teoremas de Green, Gauss y Stokes. También señalaremos algunas aplicaciones físicas de estos teoremas al estudio de electricidad y magnetismo, hi- drodinámica, conducción de calor y ecuaciones diferenciales (lo último mediante una breve introducción a la teoría del potencial).

NOTA HIST~RICA

Muchos de estos teoremas básicos tuvieron su origen en la física. Por ejemplo, el teorema de Green, descubierto alrededor de 1828, surgió en relación con l a teoría del potencial (ést.a incluye potenciales eléctricos y gravitacionales). E1 teorema de Gauss “teorema de la divergencia- surgió en relación con la electroestática (en realidad debería darse crédito conjunto por este teorema al matemático ruso Ostrogradsky). El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez en una carta a Stokes del físico Lord Kelvin en 1850 y fue usado por Stokes en el examen para el premio Smith en 1854.

8.1 TEOREMA DE GREEN

El teorema de Green relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el plano R2, con una integral doble sobre la región encerrada por C.

8.1 TEOREMA DE GREEN 491

Este importante resultado será generalizado en las siguientes secciones, a curvas y superficies en R2. Nos referiremos a integrales de línea alrededor de curvas que son fronteras de regiones elementales del tipo 1, 2 o 3 (ver la sección 5.3). Para entender las ideas de esta sección, quizá-sea necesario referirse a la sección 7.2.

Una curva cerrada simple C que es la frontera de una región del tipo 1, 2 o 3 tiene dos orientaciones -en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj (positiva) y en el sentido en que giran las manecillas del reloj (negativa)-. Denotamos C con la orientación en sentido-contrario al que giran las manecillas del reloj por C+, y con la orientación en el sentido en que giran las manecillas del reloj por C- (figura 8.1.1).

orientación positiva orientación negativa

( 4 (b)

Figura 8.1.1 (a) Orientación positiva de C y (b) orientación negativa de C.

La frontera C de una región del tipo 1 se puede descomponer en partes superior e inferior, C1 y C,, y (si es posible) partes verticales izquierda y derecha, B1 y B2. Entonces escribimos, siguiendo la figura 8.1.2,

G+=c$+B:+c, -+B; ,

donde los signos de suma denotan las curvas orientadas en la dirección izquierda a derecha o de abajo hacia arriba, y los signos de resta denotan las curvas orientadas de derecha a izquierda o de arriba hacia abajo.

A - x U h U h

Figura 8.1.2 Dos ejemplos que muestran cómo romper la frontera orientada de manera positiva de una región D del tipo 1 en componentes orientadas.

492 TEOREMAS INTEGRALES DEL ANALISIS VECTORIAL

Figura 8.1.3 Ejemplo que muestra cómo romper la frontera orientada de manera positiva de una región D del tipo 2 en componentes orientadas.

Podemos hacer descomposiciones similares de la frontera de una región de tipo 2 en partes izquierda y derecha, y partes horizontal superior e inferior (si es posible) (figura 8.13).

De manera análoga, la frontera de una región del tipo 3 tiene dos descomposiciones " u n a en mitades superior e inferior, la otra en mitades izquierda y derecha.

Probaremos ahora dos lemas como preparación para el teorema de Green.

LEMA 1 Sea D una región del tipo 1 y sea C s u frontera. Suponer que P: D "+ R es de clase C'. Entonces

S,+ P d x = - x dx dy. 3P

(El lado izquierdo denota la integral de línea S,+ P d x + Q dy+ R d z donde Q 0 y R = O.)

DEMOSTRACI~N Suponer que D está descrita por

a I X 1. b 41(z) 5 Y 1. d z ( z ) .

Descomponemos C+ escribiendo C+ = C: + Bzf +Cy + B; (ver la figura 8.1.2). Por el teorema de Fubini podemos evaluar la integral doble como una integral iterada y después usar el teorema fundamental de cálculo:


Sin embargo, como C t se puede parametrizar por x H ( ~ , q 5 ~ ( x ) ) , a 5 x 5 b , y C$ se puede parametrizar por x H (x, 42(z)), a 5 2 5 b, tenemos

Así, al invertir orientaciones,

- 1 P ( x , $ z ( z ) ) dx = P ( x , y ) dx. J,;

Por lo tanto ~ ~ d x d y = - ~ t P d x - ~ L P d x .

Como x es constante en BZ+ y B; , tenemos

P d x = O = L; P d x ,

de modo que

Así,

Probaremos

LEMA 2 Sea D c1 I

ahora el lema análogo intercambiando los papeles de x y y.

una región del tipo 2 con frontera C. Entonces, si Q: D --f R es

El signo negativo no se presenta aquí, pues invertir el papel de x y y corresponde a un cambio de orientación para el plano.

DEMOSTRACI~N Suponer que D está dada por

$ l ( Y ) I x I $ Z ( Y ) ? c 5 Y I d.

494 TEOREMAS INTEGFIALES DEL ANALISIS VECTORIAL

Usando la notaciGn de la figura 8.1.3, tenemos

donde C: es l a curva parametrizada por y H (&(yjIyj1 c 5 y 5 d l y Cf es la curva y k (&(y), y), c 5 y 5 d. Aplicando el teorema de Fubini y el teorema fundamental del cálculo: obtenemos

TEOREMA 1 : TEOREMA DE GREEN Sea D una región del tipo 3 y sea c su frontera. Suponer que P : D "+ R y Q: D "+ R son de clase C1. Entonces

La orientación correcta (positiva) para las curvas frontera de una región D se puede recordar mediante este recurso: si caminan a lo largo de la curva C con l a orientación correcta, la región D estará a s u izquierda (ver la figura 8.1.4).

Figura 8.1.4 Orientación correcta para l a frontera de una región D.

El teorema de Green se aplica en realidad a cualquier región "decente" en R2. En el ejercicio 8 indicamos una generalización del teorema de Green para regiones que no son del tipo 3, pero que se pueden descomponer en partes, cada una del


Figura 8.1.5 El teorema de Green se aplica a D = DI U D2 U D3 u Dq.

tipo 3. Se muestra un ejemplo en la figura 8.1.5. La región D es un anillo; su frontera está formada por dos curvas C = C1 +C2 con las orientaciones indicadas. (Notar que para la región interior la orientación correcta es en el sentido erl que giran las manecillas del reloj: iel recurso de la figura 8.1.4 aún sirve para recordar la orientación!) Si se aplica el teorema 1 a cada una de las regiones D l , D2, 0 3

y 0 4 y se suman los resultados, se obtendrá la igualdad del teorema de Green para D y su curva frontera C.

Usemos la notación dD para la curva orientada. C+, esto es, la curva frontera de D orientada en el sentido correcto, según se describió en el recurso de la figura 8.1.4. Entonces podemos escribir el teorema de Green como

El teorema de Green es muy útil, pues relaciona una integral de línea alrededor de la frontera de una región, con una integral de área sobre el interior de la región, y en muchos casos es más fácil evaluar la integral de línea que la integral de área. Por ejemplo, si sabemos que P se anula en la frontera, podemos concluir de manera inmediata que !,(dP/dy) dx dy = O aunque d P / d y no necesariamente se anule en el interior. (¿Pueden construir dicha P en el cuadrado unitario?)

EJEMPLO 1 Verificar el teorema de Green para P ( x , y ) =' z y &(.,y) = .cy donde D es el disco unitario x 2 + y' 5 1.

SOLUCIÓN Lo hacemos evaluando directamente ambos lados en el teorema de Green. L a frontera de D es el círculo unitario parametrizado por 2 cos t ,


y = sen t , O 5 t 27r, de modo que

2 n cos2 t

Por otro lado, (2 - g) dzdy = 1 y d x d y .

lo cual es cero por simetría. Así, se verifica el teorema de Green en este caso. A

Podernos usar el teorema de Green para obtener una fórmula para el área de una región acotada por una curva cerrada simple (ver también el ejercicio 20).

TEOREMA 2 si c es una curva cerrada simple que acota una región para la cual se aplica el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por C = d D e s

A = 3 lD x d y - y d x .

DEMOSTRACIóN Sean P ( x , y) = -y y Q(z, y) = x; entonces, por el teorema de Green tenemos

1

= i l [ 1 + 1 ] d x d y = d x d y = A . L EJEMPLO 2 Calcular el área de la región encerrada por la hipocicloide definida por x2I3 + y213 = a2I3, usando la parametrización

x = a cos3 8, y = a sen3 8, O 5 8 5 2a


SOLUCIÓN

A = ; l , x d y - y d x


Figura 8.1.6 La hipocicloide x = a cos3 O, y = a sen3 0, O 5 0 5 2 ~ .

La forma del enunciado del teorema de Green contenido en el teorema 1 no es la que generalizaremos en las secciones siguientes. Podemos reescribir con elegancia el teorema, en lenguaje de campos vectoriales.

TEOREMA 3: FORMA VECTORIAL DEL TEOREMA DE GREEN Sea D C R2 una región de tipo 3 y sea d D s u frontera (orientada en sen tido contrario al que giran las manecillas del reloj). Sea F = Pi + Qj un campo vectorial C1 en D. Entonces

8D F . d s = S ( r o t F ) . k d A = S D ( V x F ) . k d A D

(ver figura 8.1.7).

Este resultado se sigue fácilmente del teorema 1 después de interpretar los diferentes símbolos. Pedimos al lector proporcionar los detalles en el ejercicio 14.

EJEMPLO 3 Sea F = (xy’, y + x). Integrar (V x F) k sobre la región en el primer cuadrante acotado por l a s curvas y = x’ y y = x.

SOLUCIÓN Método I . Aquí calculamos

V X F = O , O , - - - = (1 - 22y)k. ( 2 2 )


Figura 8.1.7 Forma vectorial del teorema de Green.

Así, (V x F) k = 1 - 22y. Esto se puede integrar sobre la región dada D (ver la figura 8.1.8) usando una integral iterada como sigue:

Método 2. Aquí usamos el teorema 3 para obtener

//(V x F) - k d z dy = D

La integral de línea de F a lo largo de la curva y = z de izquierda a derecha es

A lo largo de la curva y = x 2 obtenemos

z5 dz + (z + z2)(2z dx) = 1. 6 3 2 3 + + ' = '


Figura 8.1.8 Región acotada por las curvas y = z2 y y = z.

Así, recordando que la integral a lo largo de y = 2 se va a tomar de derecha a izquierda, como en la figura 8.1.8,

Hay todavía otra forma del teorema de Green que puede generalizarse a R3.

TEOREMA4: TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO Sea D C R2 una región del tipo 3 y sea aD su frontera. Denotemos por 11 la normal unitaria exterior a dD. Si (T: [a,b] + R2, t H a(t) = ( ~ ( t ) , y(t)) es una parametrización orientada de manera positiva de dD, n está dado por

(y’($ - x ’ ( t ) ) n = J[.’(t)I’ + W(t)I2 ’

(ver la figura 8.1.9). Sea F = Pi + Qj un campo vectorial C1 en D . Entonces

DEMOSTRACI~N Como d ( t ) = ( ~ ’ ( t ) , y’(t)) es tangente a d D , resulta claro que n - u’ = O, de modo que n es normal a la frontera. El signo de n se escoge para hacer que corresponda a la dirección exterior (en lugar de la interior). Por la

.o TEOREMAS INTEGRALES DEL ANALISIS VECTORIAL

Figura 8.1.9 n es la normal unit,aria exterior a í3D.

definición de integral de trayectoria (ver la sección 7.2),

= lD P dy - Q dz.

Por el teorema de Green, esto es igual a

(E+%) d r d y = L d i r F d A .

EJEMPLO 4 Sea F = y3i + x5j. Calcular la integral de la componente normal de F alrededor del cuadrado unitario.

SOLUCIÓN Esto se puede hacer usando el t,eorema de la divergencia. En efecto,

J d D f - n d a = l d i v F d A .

Pero div F = O , de modo que la integral es cero. A

EJERCICIOS

1 . Evaluar S, y d z - z dy donde C es la fronteradel cuadrado [-l , l]x[-l , 11 orientado en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj (usar el teorema de Green).

U 2 Hallar el área del disco D de radio R usando el teorema de Green.


3. Verificar el teorema de Green para el disco D con centro ( O , O ) y radio R y las funciones:

(a) P ( x , Y) = “ y 2 , Q ( x , Y) = --Y“’ kb,l P ( x , Y) = 2: + Y, Q ( z , Y) = Y (c) p ( z , Y) = Z Y = Q ( z , Y) (d) P ( z , Y) = 2 y , Q ( x , Y) = x

4. Usando el teorema de la divergencia, mostrar que S,, F.nds = O , donde F ( x , y) = y i - zj y D es el disco unitario. Verificar esto directamente.

Hallar el área acotada por un arco de la cicloide I = a(O -sen O), y = a(1 - cos O), a > O , O 5 O 5 2a y el eje x (usar el teorema de Green).

6. Bajo las condiciones del teorema de Green, probar que

7. Evaluar sc(2x3 - y3) dx + (z3 + y3) dy, donde C es el círculo unitario, y verificar el teorema de Green para este caso.

Probar la siguiente generalización del teorema de Green: Sea D una región en el plano z y cuya frontera consta de un número finito de curvas cerradas simples orientadas. Suponer que por medio de un número finito de segmentos paralelos a los ejes coordenados, D puede descomponerse en un número finito de regiones D , de tipo 3 con la frontera de cada D, orientada en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj (ver la figura 8.1.5). Entonces, si P y Q son de clase C1 en D,

donde aD es la frontera orientada de D . (IDEA: Aplicar el teorema de Green a cada Di.)

9. Verificar el teorema de Green para el integrando del ejercicio 7 ( P = 2x3 - y3, Q = z3 + y3) y la región anular D descrita por a 5 x 2 + y’ 5 b , con fronteras orientadas como en la figura 8.1.5.

10. Sea D una región para la cual se cumple el teorema de Green. Suponer que f es armónica: esto es,

a2f a2f - + - = o ax2 ay2

en D. Probar que


(a) Verificar el teorema de la divergencia para F = zi + y j y D el disco unitario

(b) Evaluar la integral de la componente normal de 2zyi - y 2 j alrededor de la 22 + y2 5 1.

elipse x‘/a’ + y2/b2 = 1.

12. Sea P ( z , y) = -y/ (z2 +y2) . Q(z, y) = %/(x2 + y2). Suponiendo que D sea el disco unitario, investigar por qué falla el teorema de Green para esta P y Q.

13. Usar el teorema de Green para evaluar Jc+(y2 + z”) dz + x4 dy, donde C+ es el perímetro de [O, I] x [O , 11 en dirección contraria a la que giran las manecillas del reloj.

14. Verificar el teorema 3

Usar el teorema 2 para calcnlar el área dentro de la elipse z ’ / u 2 + y2/b2 = 1.

Usar el t.eorema 2 para recobrar la fórmula A = S, T’ dB para una región en coordenadas polares.

6

17. Esbozar la demostración del teorema de Green para la región mostrada en la figura 8.1.10.

Figura 8.1 .lo Probar el teorema de Green para esta región

18. Probar la identidad

lD d Vd n d s = L ( d V ’ 4 + Vd Vd) dA.

Usar el teorema de Green para hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas T = 3 sen 26. (IDEA: z dy - y dz = r2 dB.)

20. Mostrar que si C es una curva cerrada simple que acota una región en la cual se aplica el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por C es

/ l = ~ D x d y = - ~ D y d x .

Mostrar cómo esto implica el teorema 2.


Los ejercicios 21 al 29 ilustran la aplicación del teorema de Green a ecuaciones diferenciales parciales. Se ocupan de manera particular de las soluciones a la ecuación de Laplace, esto es, de funciones armónicas. (Ver la sección 8.5 para resultados adicionales). Para estos ejercicios, sea D una región abierta en R2, con frontera d D . Sea u : D U Ó’D -+ R una función continua de clase C2 en D. Suponer que p E D y que los discos cerrados B, = B,(p) de radio p con centro en p están contenidos en D para O < p 5 R . Definir I(p) por

*21. Mostrar que límite I(p) = 2xu(p) . 0-0

*22. Denotemos por n la normal unitaria exterior a aB, y d u / d n = V u - n. Mostrar

*23. Mostrar que I ’ ( p ) = V 2 u dA. P

*24. Suponer que u satisface la ecuación de Laplace: V 2 u = O en D. Usar los ejercicios anteriores para mostrar que

u ( p ) = - u d s . 1 2xR LB,

(Esto expresa el hecho de que el valor de una función armónica en un punto es el promedio de sus valores en la circunferencia de cualquier diSco con centro en él.)

*25. Usar el ejercicio 24 para mostrar que si u es armónica (i.e., si V 2 u = O ) , entonces u ( p ) se puede expresar como una integral de área

BR

*26. Suponer que u es una función armónica definida en D (i.e., V 2 u = O en D ) y que u tiene una máximo (o mínimo) local en un punto p en D.

I(.)I Mostrar que u debe ser constante en algún disco con centro en p. (IDEA: Usar los resultados del ejercicio 2 5 ) .

(b) Suponer que D es arco-conexa (i.e., para cualesquiera dos puntos p y q en D , existe una trayectoria continua U: [O, I] + D tal que a ( 0 ) = p y ’ a ( 1 ) = q ) , y que el máximo o minimo en p es absoluto; así, u ( q ) 5 ~ ( p ) o u(q) 2 u(p) para todo q en D. Mostrar que u debe ser constante en D.

(El resultado en este ejercicio se llama principio fuerte del máximo o mínimo para funciones armónicas. Comparar esto con los ejercicio 34 al 38 de la sección 4.2 . )


*27. Se dice que una función es subarmónica en D si V 2 u 2 O donde sea, en D. Se dice que es supraarmónica si V 2 u 5 O.

(a) Deducir un principio fuerte del máximo para funciones subarmónicas. (b) Deducir un principio fuerte del mínimo para funciones supraarmónicas.

“28. Suponer que D es el disco {(x, y)1x2 +y2 < 1 ) y C es el círculo {(x, y)lz2 +yz = l}. En la sección 8.5 mostraremos que si f es una función con valores reales coutinua en C , entonces existe una función continua u en D U C que coincide con f en C y es armónica en D. Esto es, f tiene una extensión armónica al disco. Suponiendo esto, mostrar lo siguiente:

(a) Si q es una función cont,inua no constante en D u C que es subarmónica (pero no armónica) en D , entonces existe una función continua u en D U C que es armónica en D tal que u coincide con q en C y q < u, donde sea, en D.

(b) La misma afirmación se cumple si se reemplaza “subarmónica” con “supra- armónica” y “ q < u” p o r “ q > I I ” .

*29. Sea D como en el ejercicio 28. Sea f: D + R continua. Mostrar que una solución a la ecuación V 2 u = O que satisface .(X) = f(x) para todo x E a D es única.

*30. Usar el teorema de Green para probar la fórmula de cambio de variables en el siguiente caso especial:

para una transformación (u, u) ++ (.c(u, u), y (u , u)).

8.2 TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple (7 en R3, con la integral sobre una superficie S de la cual C es la frontera. En este aspecto, se parece mucho al teorema de Green.

Comencemos recordando algunos hechos del capítulo 7. Considerar una superficie S que sea la gráfica de una función f ( x , y) , de modo que S está parametrizada por

y = v {: 1 ;(u, u) = f ( x , y )

para ( u , u ) en algún dominio D. La integral de una función vectorial F sobre S se desarrolló en la sección 7.6 como

donde F = Fli + Fzj + F3k.

8.2 TEOREMA DE STOKES 505

En la sección 8.1 supusimos que las regiones D consideradas eran del tipo 3; esto fue un requerimiento esencial para la demostración del teorema de Green, pero notamos que el teorema es válido para una clase más amplia de regiones. En esta sección supondremos que D es una región cuya frontera es una curva cerrada simple a la cual se puede aplicar el teorema de Green. Según se explicó en la sección 8.1, para aplicar el teorema de Green se necesita escoger una orientación de la frontera de D ; pues bien, la orientación que haga que se cumpla el teorema se llamará positiva. Recordar que si D es del tipo 3, entonces la orientación positiva es en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj.

Suponer que u: [a ,b] + R2, u(t) = ( x ( t ) , y ( t ) ) es una parametrización de d D en dirección positiva. Definimos entonces curva frontera dS como la curva cerrada simple orientada que es la imagen de la función 7 7 : t H ( x ( t ) , y(t), f ( z ( t ) , y(t))) con la orientación inducida por 77 (figura 8.2.1).

Figura 8.2.1 Orientación inducida en 8s: Conforme se camina alrededor de la frontera, la superficie debe estar a la izquierda.

Para recordar esta orientación (esto es, la dirección positiva) de d S , imaginar un “observador” caminando a lo largo de la frontera de la superficie donde la normal apunta para el mismo lado que su cabeza; se estará moviendo en la dirección positiva si la superficie está a su izquierda. Esta orientación de dS suele llamarse orientación inducida por una normal n “hacia arriba”.

Ahora estamos preparados para enunciar y probar uno de l a s resultados fundamentales de esta sección.

TEOREMA 5: TEOREMA DE STOKES PARA GRÁFICAS Sea S la superficie orientada definida por una función C2, z = f(x, y), (x, y) E D , y sea F un campo vectorial C1 en S. Entonces, si dS denota la curva frontera orientada de S según se definió

506 TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLlSlS VECTORIAL

antes, tenemos

l m t F - d S = l ( V x F ) - d S = S,, F - d s .

Recordar que sas F d s es la integral alrededor de dS de la componente tangencial de F, mientras que s, G - d S es la integral sobre S de Gen, la componente normal de G (ver las secciones 7.2 y 7.6). Así, el teorema de Stokes dice que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial F sobre una superficie S , es igual a la integral de la componente tangencia1 de F alrededor de la frontera dS.

DEMOSTFIACI~N Si F = Fli + F2j + F3k, entonces

Por lo tanto, usamos la fórmula (1) para escribir

Por otro hdo,

donde 17: [a, b] -+ R3, 77(2) = ( . z ( t ) , y ( t ) , f ( z ( t ) , y ( t ) ) ) es la pararnet'rización que preserva la orientación de la curva cerrada simple orientada dS estudiada anteriormente. Así,

Pero, por la regla de la cadena

- - " d z d z d x d z d y d t ax d t ú'y d l

- +

Sustituyendo esta expresión en la ecuación ( 3 ) , obtenemos


Aplicando el teorema de Green a la ecuación (4) se obtiene (suponemos que el teorema de Green se aplica a O)

- a(F1 + F 3 a z / a x ) ] d A , a y

Usamos ahora la regla de la cadena, recordando que F l , F2 y F3 son funciones de x, y y z, y que z es función de x y y, para obtener

"+"+"+"-+p aF1 aF1 a z aF3 az aF3 d z a z ay aZ ay ay ax aZ ay ax ayax a*)] dA

Los úitimos dos términos en cada paréntesis se cancelan entre sí, y podemos rearreglar los términos para obtener la integral de la ecuación (a) , lo cual completa la demostración.

EJEMPLO 1 Sea F = ye*i+xe*j+zye*k. Mostrar que la integral de F alrededor de una curva cerrada simple orientada C que es la frontera de una superficie S es O . (Suponer que S es la gráfica de una función, como en el teorema 5 . )

SOLUCIÓN En efecto, por el teorema de Stokes, S, F d s = S,(V x F) dS. Pero calculamos

i j k a a a V X F = - - -

yeZ xez xyez

= o. a x a y a 2

de modo que S, F ds = O . (De manera alternativa, podemos observar que F = V(xye'), de modo que su integral alrededor de una curva cerrada es cero.) A

EJEMPLO 2 Usar el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea

-y3 dx + x 3 dy - z3 d z ,

donde C es la intersección del cilindro x' + y' = 1 y el plano d: + y + z = 1, y la orientación de C corresponde al movimiento en sentido coitrario al que giran las manecillas del reloj, en el plano xy.

SOLUCIÓN La curva C acota la superficie S definida por z = 1 - X - y = f ( x , y) para ( x , y) en D = {(x,y)1x2+y' 5 1) (figura 8.2.2). Hacemos F = -y3i+x3j -


X

Figura 8.2.2 La curva C es la intersección del cilindro z2 + y' = 1 y el plano z + y + z = l .

z3k, que tiene rotacional V x F = (32' + 3y')k. Entonces, por el teorema de Stokes, la integral de línea es igual a la integral de superficie

J](V x F) dS.

Pero V x F tiene sólo componente k. Así, por la fórmula (l), tenemos

h V S, X F) dS = (3%' + 3y2) dz dy.

Esta integral se puede evaluar cambiando a coordenadas polares. Al hacerlo, obtenemos

Verifiquemos este resultado evaluando directamente la integral de línea

-y3 dx + x3 dy - z3 d z .

Podemos parametrizar la curva d D por las ecuaciones

2: = c o s t , y = s e n t , z = O , O 5 t 52x.

Entonces la curva C está parametrizada por las ecuaciones

x = cos 2, y = sent , z = 1 - sent - c o s t , O 5 t 5 27r.


Así,

-y3 dx + x3 dy - z3 dz

= IT[(- sen3 t ) ( - sen t ) + (c0s3 t)(cos t j

- (1 - sen t - cos t)3(- cost + sen t)] dt

= 12r (c0s4 t + sen4 t ) dt - (1 - sent - cos t)3(- cost + sen t ) dt. lr El segundo integrando es de la forma u3 du, donde u = 1 - sen t - cost, y así, la integral es igual a

f[(l - s e n t - c o ~ t ) ~ ] : ~ = O.

Entonces nos quedamos con ~ ~ " ( ~ 0 s ~ t + sen4 t ) dt. Esto se puede evaluar usando las fórmulas (18) y (19) de la tabla de integrales.

También podemos proceder como sigue. Usando las identidades trigonométricas 1 - cos 21 2 1 + cos2t

2 ' sen' t = 2 '

cos t =

reducimos la integral anterior a IT(, +cosz 2tj dt = A + - : lr cosz 21 dt.

De nuevo usando el hecho de que

cosz 2t = 1 + cos 4t 2 '

hallamos que

A + i 1 (1+ 27r

cos4t) dt = A + $ 1 ' " dt + 1'" cos4t dt

A =*+-+o=" . A 3A

2 2 Para simplificar la demostración del anterior teorema de Stokes, supusimos

que la superficie S podría describirse como la gráfica de una función z = f ( z , y), (2 , y) E D, donde D es alguna región a la que se aplica el teorema de Green. Sin embargo, sin mucho más esfuerzo podemos obtener un teorema m& general para superficies parametrizadas orientadas S. La dificultad principal radica en la definición de 8s.

Suponer que @: D + R3 es una parametrización de una superficie S y ~ ( t ) = ( u ( t ) , v ( t ) ) es una parametrización de d D . Podríamos sentirnos tentados a definir dS como la curva parametrizada por t H ~ ( t ) = @ ( u ( t ) , w(t)). Sin embargo, con esta definición, dS podría no ser la frontera de S en ningún sentido geométrico razonable.


Por ejemplo, llegaríamos a la conclusión de que la frontera de la esfera unitaria S parametrizada mediante coordenadas esféricas en R3, es la mitad del gran círculo en S que está en el plano m , pero es claro que en un sentido geométrico S es una superficie suave (ni puntas ni cúspides) sin fronteras ni lados (ver la figura 8.2.3 y el ejercicio 20). Así, este gran círculo es, en cierto sentido, la frontera “falsa” de S .

‘

X

frontera “falsa” de S

Figura 8.2.3 La superficie S es una parte de una esfera.

Podemos eludir esta dificultad suponiendo que 9 es uno a uno en todo D. Entonces la imagen de d D bajo 9, a saber, @(do), será la frontera geométrica de S = @ ( D ) . Si r ( t ) = ( ~ ( t ) , v ( t ) ) es una parametrización de dD en dirección positiva, definimos dS como la curva cerrada simple orientada que es la imagen de la función v: t H @ ( u ( t ) , v ( t ) ) con la orientación de dS inducida por 77 (ver la figura 8.2.1).

TEOREMA6: TEOREMA DE STOKES PARA SUPERFICIES PARAMETRIZADAS Sea S una superficie orientada definida por una parametrización uno a uno @: D c R2 +

S . Denotemos por dS la frontera orientada de S y sea F un campo vectorial C’ en S . Entonces l ( V x F) - d S = F . ds.

J,, Esto se demuestra de la misma manera que el teorema 5.

EJEMPLO 3 Sea S la superficie mostrada en la figura 8.2.4, con la orientación indicada. Sea F = yi - zj + eZzk. Evaluar S,(V X F) - d S .

8.2 TEOREMA DE STOKES 51 1

X

Figura8.2.4 La frontera de una superficie S parametrizada por a: D -+ R3 es la imagen de la frontera de D sólo si * es uno a uno en D.

SOLUCIÓN ÉSta es una superficie parametrizada y pudo ser parametrizada usando coordenadas esféricas basadas en el centro de la esfera. Sin embargo, no necesitamos hallar explícitamente @ para resolver este problema. Por el teorema 6, S,(V x F) . dS = S,, F d s , de modo que si parametrizamos dS por ~ ( t ) = cost, y(t) = sent , O 5 t 5 2 ~ , determinamos

= lzr(- sen2 t - cos2 t ) dt = - dt = -2a lr y entonces S,(V x F) - dS = - 2 ~ . A

Usemos ahora el teorema de Stokes para justificar la interpretación física de V X F en términos de ruedas con aspas propuesta en el capítulo 3. Parafraseando el teorema 6, tenemos

J, S, l s F - d s = l s F T d s , (rot F ) n dS = (rot F ) * dS =

donde FT es la componente tangencial de F. Esto significa que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie orientada S , es igual a la integral de línea de F a lo largo de d S , lo cual, a su vez, es igual a la integral de trayectoria de la componente tangencia1 de F sobre dS.

Supongamos que V representa un campo vectorial de velocidad de un fluido. Considerar un punto P y un vector unitario n. Denotemos por S, el disco de radio p y centro P, el cual es perpendicular a n. Por el teorema de Stokes,


I ” Figura 8.2.5 Una normal n induce una orientación en la frontera as, del disco S,.

donde as, tiene la orientación inducida por n (ver la figura 8.2.5). No es difícil mostrar (ver el ejercicio 12, sección 7.6) que existe un punto Q en S, tal que

J, rot V - n dS = [rot V(Q) - n]A(S,)

(&te es el teorema del valor medio para integrales, su demostración es como en la página 340, donde A(S,) = rp2 es el área de S,, rot V(Q) es el valor de rot V en Q, y n también se evalúa en Q. Así,

= límite rot V(Q) n(Q) ,-o

= rot V(P) n(P)

Así, *

Hagamos una pausa para considerar el significado físico de S, V ds cuando V es el campo de velocidad de un fluido. Suponer, por ejemplo, que V apunta en dirección tangente a la curva orientada C (figura 8.2.6). Entonces, claramente S, V ds > O , y las partículas en C tienden a rotar en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj. Si V apunta en dirección opuesta, S, V d s < O . Si V es perpendicular a C, entonces las partículas no giran en C y S, V - d s = O. En general, al ser S, V - d s la integral de la componente tangencia1 de V , representa la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a la que giran las manecillas

*Algunos textos de física adoptan la ecuación (5) como definición de rotacional, y la usan para “demostrar” fácilmente el teorema de Stokes. Sin embargo esto aumenta el peligro de caer en un razonamiento circular, pues para demostrar que la ecuación (5) define en realidad un vector “rot V(P)” se requiere el teorema de Stokes, o algún argumento similar.


Figura 8.2.6 Significado intuitivo de los signos posibles de S, V ds.

del reloj alrededor de C. Por lo tanto, nos referimos a S, Vds como la circulación de V alrededor de C (ver la figura 8.2.7).

movimiento de partículas del fluido

( 4 (b)

Figura 8.2.7 Circulación de una campo vectorial (campo de velocidad de un fluido): (a) circulación alrededor de C es cero; (b) circulación diferente de cero alrededor de C (“remolino”).

Estos resultados nos permiten ver lo que significa rot V para el movimiento de un fluido. La circulación V d s es la velocidad neta del fluido alrededor de dS,, de modo que rot V n representa el efecto de giro o rotación del fluido alrededor del eje n. De manera más precisa, la fórmula (5) dice que

as,

rot V(P)-n(P) es la circulación de V por unidad de área en P en una superficie perpendicular a n(P).

Observar que la magnitud de rot V - n se maximiza cuando n = rot V/Jl rot VJJ . Por lo tanto, el efecto de rotación en P es mayor alrededor del eje paralelo a rot V/ll rot VII. Así, rot V se llama, acertadamente, vector de vorticidad.


EJEMPLO 4: LEY DE FARADAY Una ley básica de la teoría electromagnética es que si E(1, z, y, z ) y H(t, 2 , y, z ) representan los campos magnético y eléctrico e n el tiempo t , entonces V x E = - d H / d t donde V x E se calcula manteniendo t fija y aH/dt se calculw manteniendo z, y y z constantes.

Usemos el teorema de Stokes para determinar lo que esto significa físicamente. Supongamos que S es una superficie a la que se aplica el teorema de Stokes. Entonces

(La última igualdad se puede justificar si H es de clase C’.) Así, obtenemos

Esta igualdad se conoce como ley de Faraday. La cantidad S,, E d s representa el voltaje alrededor de d S , y s i dS fuera un alambre, una corriente fluiría en pro- porción a este voltaje. Además, J”, H - ds se llama Aujo de H , o flujo magnético. Así, la ley de Faraday dice que el voltaje alrededor de un lazo es igual al negativo de la tasa de cambio del Aujo magnético a través del lazo. A

EJERCICIOS

Rehacer el ejercicio 5 de la sección 7.6 (página 484) usando el teorema de Stokes.

2. Rehacer el ejercicio 6 de la sección 7.6 (página 484) usando el teorema de Stokes.

b 3. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior z = d-, z > O , i y el campo vectorial radial F(z , y, 2 ) = zi + y j + zk.

Sea S una superficie con frontera as, y suponer que E es un campo eléctrico perpendicular a 3s. Mostrar que el flujo magnético inducido a través de S es constante en el tiempo. (IDEA: Usar la ley de Faraday.)

Sea S la superficie cilíndrica con tapa mostrada en la figura 8.2.8. S es la unión de dos superficies S1 y SZ, donde S1 es el conjunto de (z, y , z) con zz + yz = 1 , O 5 z 5 1 y SZ es el conjunto de (z , y, z ) con 2’ + y’ + ( z - 1)’ = 1, z 2 1. Sea F (z , y, z ) = ( z z + t’y + z ) i+ (z3yz + y ) j + z 4 z Z k . Calcular ss(V x F) - d S . (IDEA: El teorema de Stokes se cumple para esta superficie.)

6. Sea Q formada por las rectas que unen ( l , O , O ) , ( O , 1 , O ) y ( O , O , 1) y sea S el triángulo con estos vértices. Verificar el teorema de Stokes directamente con F = yz i + z z j + zyk.

8.2 TEOREMA DE STOKES

Z

515

Figura 8.2.8 El cilindro cubierto es la unión de SI y S,.

7. Evaluar la integral &(V x F) dS, donde S es la parte de la superficie de una esfera definida por z2 + y’ + z2 = 1 y z + y + z 2 1, donde F = r x (i + j + k), r = zi + y j + zk.

8. Mostrar que los cálculos en el ejercicio 7 se pueden simplificar observando que S,, F dr = S,, F dr para cualquier otra superficie C. Al escoger C de manera apropiada, puede ser fácil calcular s,(V x F) - dS. Mostrar que así sucede si se toma C como la parte del plano z + y + = 1 dentro del círculo 3s.

Calcular la integral de superficie &.(V X F) - d S , donde S es la semiesfera z2 + y 2 2 + z = 1 , z > O y F = z 3 i - y 3 j .

10. Hallar &(V X F) .dS donde S es el elipsoide z2 + y2 + 2z2 = 10 y F = (sen zy)i + eZj - yzk.

11. Sea F = yi - z j + zz3y2k. Evaluar &(O x F) - ndA, donde S es la superficie z2 + y2 + z2 = 1 , 2 5 o.

1;?1 Un globo aerostático tiene la forma esférica truncada mostrada en la figura 8.2.9. Los gases calientes escapan por la cubierta porosa con campo vectorial de velocidad

V(z, y, z) = V x %(z, y , z) donde %(z. y, z) = -yi + z j

Si R = 5, calcular la tasa de flujo del volumen de los gases que pasan a través de la superficie.


Figura 8.2.9 Globo aerostático.

13. Probar que la ley de Faraday implica V x E = -dH/dt.

Sea S una superficie y sea F perpendicular a la tangente a la frontera de S. Mostrar que

L ( V x F) - dS = O.

¿Qué significa esto físicamente si F es un campo eléctrico?

15. Considerar dos superficies SI y S2 con la misma frontera 85’. Describir con dibujos cómo deben orientarse S1 y S2 para asegurar que

J. S,, ( V x F ) - d S = ( V x F ) - d S

16. Para una superficie S y u n vect,or fijo v, probar que

donde r(z, y , 2) = (z, y, 2 ) .

17. Argumentar informalmente que si S es una superficie cerrada, entonces

l . ( V x F) dS = O

(vcr el ejercicio 15). (Una superficie cerrada es aquella que forma la frontera de una región en el espacio; así, por ejemplo. una esfera es una superficie cerrada.)

8.3 CAMPOS CONSERVATIVOS 51 7

19. (a) Si C es una curva cerrada que es la frontera de una superficie S y v es un vector constante, mostrar que

L v - d s = O.

(b) Mostrar que esto es cierto aun si C no es la frontera de una superficie S.

20. Demostrar que la parametrización +: D + R3, D = [ O , 7r] x [O , 2x1, (a(4, O) = (cos Osen 4, sen O sen 4, cos 4) de la esfera unitaria, manda la frontera de D a la mitad de un círculo mayor en S.

Verificar el teorema 6 para la helicoide +(T, O) = ( T COSO, r sen O, O), (T, O) E [ O , 11 x [O, x / Z ] y el campo vectorial F(z , y, z) = ( z , x, y).

22. Probar el teorema 6.

23. Sea F = z2i + (2zy+ z)j + zk. Sea C el círculo z' +y2 = 1 y S el disco x' + y' 5 1 dentro del plano z = O.

(a) Determinar el flujo de F hacia afuera de S. (b) Determinar la circulación de F alrededor de C . (c) Hallar el flujo de V X F. Verificar directamente el teorema de Stokes en este

caso.

'24. La ley de Faraday relaciona la integral de línea del campo eléctrico alrededor de un lazo C con la integral de superficie de la tasa de cambio del campo magnético sobre una superficie S con frontera C. Considerando básica la ecuación V x E = " a H / a t , la ley de Faraday es consecuencia del teorema de Stokes, como vimos en el ejemplo 4.

Suponer que tenemos dados campos eléctricos y magnéticos en el espacio que satisfacen V x E = - a H / a t . Suponer que C es la frontera de la banda de Mobius mostrada en las figuras 7.6 .3 y 7.6.4. Como no es posible orientar la banda de Mobius, no se aplica el teorema de Stokes. ¿En qué se convierte la ley de Faraday? ¿Pueden imaginar a qué es igual S, E - ds?

Integrar V x F, F = (3y, -xz, -yz2) sobre la parte de la superficie 22 = z2 + y2

debajo del plano z = 2, directamente y usando el teorema de Stokes.

8.3 CAMPOS CONSERVATIVOS

Vimos en la sección 7.2 que en el caso de un campo de fuerza gradiente F = V f, las integrales de línea de F se evaluaron como sigue:

S, F ds = f ( o ( b ) ) - f ( a ( a ) ) .

El valor de la integral depende sólo de los extremos a ( b ) y a ( a ) de la trayectoria. En otras palabras, si usáramos otra trayectoria con los mismos extremos, obtendríamos la misma respuesta. Esto nos conduce a decir que la integral es independiente de la trayectoria.

518 TEOREMAS INTEGWLES DEL ANALISIS VECTORIAL

Los campos gradientes son importantes en problemas físicos. Usualmente, V = -f representa un potencial de energía (gravitacional, eléctrico y así sucesivamente) y F representa una fuerza.* Considerar el ejemplo de una partícula de masa m en el campo de la Tierra; en este caso se toma f como G m M / r o V = -GmM/r , donde G es la constante gravitacional, M es la masa de l a Tierra y T es la distancia al centro de la Tierra. La fuerza correspondiente es F = (GrnM/r3)r = (GmM/r')n, donde n es el vector radial unitario. (Estu- diaremos este caso más adelante.) Nótese que F no está definido en el punto T = o.

Deseamos caracterizar los campos vectoriales que se pueden escribir como un gradiente. Nuestra labor se simp1ific.a de manera considerable gracias al teorema de Stokes.

TEOREMA 7 Sea F un campo vectorial c1 definido en R3 excepto, quizis, en un número finito de puntos. Las siguientes condiciones sobre F son equivalentes:

(í) Para cualquier curva cerrada simple orientada C , S, F ds = O. (ií) Para cualesquiera dos curvas cerradas simples orientadas C1 y Cz que tengan

los mismos extremos.

i l F . d s = i 2 F - d s

(iii) F es ei gradiente de alguna función f; esto es, F = Vf ( y si F tiene un punto excepcional donde no está definido, tampoco f está definido ahí).

(iv) V x F = O .

Un campo vectorial que satisfaga una (y por lo tanto, todas) de las condiciones (i)-(iv) se llama campo vectorial conservativ0.t

DEMOSTRACI~N Probaremos la siguiente cadena de implicaciones, lo cual pro- bará el teorema:

(i) + (ii) + (iii) + (iv) + ( i ) .

Primero mostraremos que la condición (i) implica la condición (ii). Suponer que u1 y u2 son parametrizaciones que representan a C1 y Cz, con los mismos extremos. Construir la curva cerrada u obtenida recorriendo primero u1 y después - 6 2 (figura 8.3.1), o, simbólicamente, l a curva u = u1 - u ~ . Suponiendo que u

*Si se usa el signo de resta, entonces V es decreciente en dirección de F. Así, una partícula sobre la que actúe F se mueve en dirección que decrezca el potencial.

tEn el plano R2 no se permiten puntos excepcionales (ver el ejercicio 12) . El teorema 7 se puede probar de la misma manera si F está definido y es de clase C' sólo en un conjunto abierto convexo en R2 o R3. (Un conjunto D es convexo si P y Q E D implica que la recta que une a P y Q pertenece a D.)

8.3 CAMPOS CONSERVATIVOS 51 9

u = u1 - 0 2 c/' u I(a) = u ?(a)

Figura 8.3.1 Construcción de una curva cerrada simple orientada u1 - u2 (a) a partir de dos curvas simples orientadas ( b ) .

es simple, la condición (i) da

de modo que se cumple la condición (ii). (Si u no es simple, se requiere un argumento adicional, omitido aquí.)

A continuación probaremos que la condición (ii) implica la condición (iii). Sea C cualquier curva orientada simple que une a un punto como ( O , O , O ) con (x, y, z), y suponer que C está representada por la parametrización u (si ( O , O , O) es el punto excepcional de F, podemos escoger un punto de inicio de u diferente sin que se afecte la argumentación). Definir f(x, y, z) como S, F - ds. Por la hipótesis (ii), f ( x , y, z) es independiente de C . Mostraremos que F = grad f . En efecto, escogemos u como la trayectoria mostrada en la figura 8.3.2, de modo que

f ( x , Y, Z) = lz Fl(t, 0 ,o ) d t + 1' F 2 ( z , t, o) dt +

Y

Figura 8.3.2 Trayectoria que une ( O , O , O) con (x, y , 2) .


donde F = (F1, Fz , F3). Se sigue de manera inmediata, que d f / d z = F3. Permu- tando x, y y z, podemos mostrar similarmente, que df/dz = F1 y a f / a y = F2; esto es, V f = F. Tercero, l a condición (iii) implica la condición (iv) pues, como ya se demost,ró en la sección 3.4,

V x V f = O .

Finalmente, sean u una representación de una curva cerrada C y S cualquier superficie cuya frontera sea u (si F tiene puntos excepcionales, escoger S de manera de evitarlos). La figura 8.3.3 indica que probablemente siempre se pueda hallar dicha superficie; sin embargo, una demostración formal de ello requeriría del desarrollo de ideas matemáticas más sofisticadas que las presentadas aquí. Por el teorerna de Stokes,

Figura 8.3.3 Superficie S que genera u n a c u r v a C

Hay varias interpretaciones físicas útiles de S, F - d s . Ya vimos que una es el trabajo realizado por F al mover ulla partícula a lo largo de C. Una segunda interpretación es el concepto dc circulación, que vimos al final de la sección anterior. En este caso pensamos F como el campo de velocidad de un fluido; est,o es, a cada punto P en el espacio, F asigna el vector velocidad del fluido en P. Tomar C como una curva cerrada, y sea As una pequeña cuerda dirigida de C . Entonces F As es aproximadamente la componente tangencial de F por IlAsll. La integral 1, F - d s es la componente neta tangencial alrededor de C. Esto significa que si colocamos una pequeña rueda con aspas en el fluido, girará si la circulación del fluido fuera diferente de cero, o S, F ds # O (ver la figura 8.3.4). Así. con frecuencia nos referimos a la integral de línea

.II F ds

como la circulación de F alrededor de C .

8.3 CAMPOS CONSERVATIVOS 521

Figura 8.3.4 S, F . ds # O implica que una rueda con aspas en un fluido con campo de velocidad F girará alrededor de su eje.

Hay una interpretación similar en teoría electromagnética: Si F representa un campo eléctrico, entonces una corriente fluirá alrededor de un lazo C si J, F ds # O .

Por el teorema 7, un campo F no tiene circulación si y sólo si rot F = V X F = O . De aquí, un campo vectorial F con rot F = O se llama irrotacional. Hemos probado entonces que un campo vectorial en R3 es irrotacional si y sólo si es el campo gradiente de alguna función, esto es, si y sólo si F = Vf. La función f se llama potencial para F.

EJEMPLO 1 Considerar el campo vectorial F en R3 definido por

F ( z , y , z ) = y i + ( z c o s y z + z ) j + ( y c o s y z ) k .

Mostrar que F es irrotacional y hallar un potencial escalar para F .

SOLUCIÓN Calculamos V X F:

i j k a a a ax a y at y 2: + z c o s y z y c o s y z

V X F = - - -

= (COS YZ - yz sen yz - cos y t + yz sen yz) i + (O - 0) j + (1 - 1)k

= O i + O j + Ok = O ,

de modo que F es irrotacional. Podemos hallar un potencial escalar de varias maneras.


Método 1. Con la técnica usada en el teorema 7 para probar que la condición (ii) implica la condición (iii), podemos hacer

= ~ i O ~ ~ + ~ y I d t + ~ z y c o s y t d t

= O + z y +sen yz = zy + sen yz.

Se verifica fácilment,e que, como se requiere, V f = F:

of= - i + - j + - k = y i + ( z + z c o s y z ) j + ( y c o s y z ) k . df af af 33: a y a2

Método 2. Como sabemos que existe f, sabemos que es posible resolver el sistema de ecuaciones

af " df ax - y,

3 = z + zcosyz, = ycosyz, dZ

para f(z, y , z ) . Estas son equivalentes a las ecuaciones simultáneas

(a) f(., Y, 2) = + hl(Y> z )

(b) f (z , y, z ) = sen yz + zy + b(z! 2)

(c) f ( z l Y, 2) = Sen Yz + h 3 ( 1 , Y)

para funciones hl, h2 y h ~ , independientes de z, y y z (respectivamente). Cuando h l (y , z) = sen yz, ha(", z ) = O y h3(z , y) = zy , las tres ecuaciones concuerdan, de modo que forman un potencial para F. Sin embargo, sólo intuimos los valores de h l l h2 y h3. Para deducir de manera más sistemática la fórmula para f, notamos que como f ( z , y, z ) = zy + hl (y , z ) y a f / a z = y cos yz, tenemos que

O

Por lo tanto, sustituyendo esto en la ecuación (a) obtenemos

pero por la ecuación (b), g(Y) = h 2 ( z , 2).


Debido a que el lado derecho de esta ecuación es una función de z y z y el lado izquierdo es una función sólo de y , concluimos que deben ser iguales a alguna constante C. Asi,

f (z , y, 2 ) = z y + sen yz + C

y hemos determinado f salvo por una constante. A

EJEMPLO 2 Una masa M en el origen en R3 ejerce una fuerza sobre una masa m localizada en r = (x, y , z) con magnitud G m M / r 2 y dirigida hacia el origen. Aquí G es la constan te gravitacional, que depende de las unidades de medición, y r = llrll = d m . Si recordamos que -r/T es un vector unitario dirigido hacia el origen, entonces podemos escribir el campo de fuerza como

F ( z , y , z ) = -- GmMr

T3 .

Mostrar que F es irrotacional y hallar u n potencial escalar para F. (Nótese que F no está definido en el origen, pero aun así se aplica el teorema 7 pues permite un punto excepcional.)

SOLUCIÓN Primero verifiquemos que V x F = O . Por la fórmula 11 de la tabla 3.1, de la sección 3.5, obtenemos

V x F = - G m M

Pero V(1/r3) = -3r/r5 (ver el ejercicio 8, sección 3.5), de modo que el primer término se anula pues r x r = O. El segundo término se anula pues

De aquí, V x F = O (para r # O ) . Si recordamos la fórmula V i r n ) = R T ~ ~ ~ ~ (ejercicio 8, sección 3.5), entonces,

por inspección, podemos obtener un potencial. escalar para F. Tenemos F = -Vq5, donde d(x, y, z ) = - G m M / r se llama energia potencial gravitacional.

(Observamos, de paso, que por el teorema 3 de la sección 7.2, el trabajo realizado por F al mover una partícula de masa m de un punta PI a un punto P2 estii dado por

donde r1 es la distancia radial de PI al origen, con rz definido de manera análoga.) A


Por la misma demostración, el teorema 7 también se cumple para campos vectoriales F de clase C1 en R2. En este caso F no tiene puntos excepcionales; esto es, F es suave donde sea (ver el ejercicio 12). Nótese, sin embargo, que la conclusión podría cumplirse aun si hubiera puntos excepcionales, un ejemplo sería (xi + yj)/(x2 + y 2 ) 312 .

Si F = Pi + Qj, entonces

de modo que la condición V x F = O se reduce a

aP aQ "

ay ax - -

Así, tenemos:

COROLARIO Si F es un campo vectorial C1 en R2 de la forma Pi + &j con d P / d y = d Q / a x , entonces F = V f para alguna f definida en R2.

lnsistirnos en que este corolario puede ser falso si F deja de ser de clase C1 incluso en u11 solo punto (se da un ejemplo en el ejercicio 12). Sin embargo, en R3 se permiten excepciones en puntos (ver el teorema 7).

EJEMPLO 3 (a) Determinar si el campo vectorial

es un campo gradiente. ( b ) Repetir la parte (a) para

F = (2s cos y) i - (z2 sen y)j.

SOLUCIÓN (a) Aquí, P ( x , y ) = e"Y y Q(x ,y ) = e"+Y. de modo que calculamos

Estas no son iguales, de modo que F no puede tener una función de potencial (b) En &e caso, hallamos

8 P - aQ ay ax - - -21: sen y = -,


de modo que F tiene una función de potencial f . Para calcular f resolvemos las ecuaciones

af = 2xcosy, - ’f = - 2 2 sen y. i 3 X

Así, f (2 , y) = x 2 cos y + hl (Y)

f ( x , y) = z2 cosy + h2(x). Y

Si h l y hz son la misma constante, entonces se satisfacen ambas ecuaciones, de modo que f (z , y) = 2’ cosy es un potencial para F. A

EJEMPLO 4 Sea 6: [l, 21 -+ R2 dada por

t - 1 x = e , y = s e n - t x

Calcular la integral

]u F . ds = /u 22: cosy dx - x2sen y dy,

donde F = (2z cos y); - (xz sen y ) j

SOLUCI~N LOS extremos son ~ ( 1 ) = (1, O) y 4 2 ) = ( e , 1). Como a(2z COSY) /

&J d ( - ~ ~ sen y) /az , F es irrotacional y por lo tanto, un campo vectorial gradiente (como vimos en el ejemplo 3). Así, por el teorema 7, podemos reendazar

por cualquier curva C1 a trozos que tenga los mismos extremos, en particular, por la trayectoria poligonal de (1, O ) a ( e , O ) a ( e , 1). Así, la integral de linea debe ser igual a

= ( e2 - 1) + e2(cos 1 - 1) = e2 cos 1 - 1.

De manera alternativa, usando el teorema 3 de la sección 7.2, tenemos

~ 2 z c o s y d x - x 2 s r n y d y = S, V f * d s

= f ( f f ( 2 ) ) - f(ff(1)) = e 2 cos 1 - 1 ,

pues f(x, y) = 2’ cos y es una función de potencial para F. Es evidente que esta técnica es más fácil que calcular directamente la integral. A

Concluimos esta sección con un teorema que es hastantme parecido en espíritu al teorema 7. El teorema 7 fue motivado, en parte como un recíproco al resultado de que rot V f = O para cualquier función C1 f : R3 ”+ R -o, si rot F = O ,


entonces F = Vf-. También sabemos (fórmula 10 en la tabla 3.1, sección 3.5) que div(rot G) = O para cualquier campo vectorial G de clase C2. Podríamos plantearnos la validez del enunciado recíproco: Si div F = O, Les F el rotacional de un campo vectorial G? E l siguiente teorema responde en sentido afirmativo.

TEOREMA 8 si F es un campo vectorial c“ en R3 con div F = O. entor1ce.s existe un canlpo vectorial G de clase C‘l tal que F = rot G.

La demostración se esboza en el cjercicio 16. Advertimos al lector que a diferencia de F en el teorema 7, al campo vectorial F del teorema 8 no se le permite tener un punto excepcional. Por ejemplo, el campo de fuerza gravitacional F = -(G7n,Mr/r3) tiene la propiedad de que divF = O y sin embargo, no existe G para el cual F = rot G (ver el ejercicio 25). El teorema 8 no se aplica pues el campo de fuerza gravitacional F no está definido en O E R.”.

EJERCICIOS

1. Mostrar que cualesquiera dos funciones de potencial para un campo vectorial di- fieren, a lo más, en una constante.

(a) Sea F ( ~ , Y ) = (.cy, y’) y sea u la trayectoria y = 2.c’ que une ( O , O ) con ( I , 3) en R*. Evaluar S, F * ds.

(b) ¿Depende la integral en la parte (a) de la trayectoria que une ( O , O ) con ( 1 , 2 ) ?

Sea F(z , y, z ) = (2zyzSsen z)i+zZzj+z2yk. Hallar una función f tal que F = V f.

4. Evaluar S, F ds, donde u(t) = (cos’ t, sen3 1, t ’ ) , O 5 t 5 K, y F es como en el ejercicio 3 .

En el ejercicio 5, mostrar que F = V ( ~ / T ) , T # O , T = Ilrll. ¿En qué sentido es la integral de F independiente de l a trayectoria?

7. Sea F(z , y, z ) = zyi + y j + zk. ¿,Puede existir una funcibn f ta l que F = V f ?

*8. Sea F = I;;i + Fzj + Fsk y suponer que cada F k satisface la condición de homogeneidad

Fk(tz,ty, 12) = tEk (z , y, z ) , k = 1 , 2 , 3.

Suponer además que V X F = O . Probar que F = V f donde

2 f ( ~ , y , z ) = z F l ( e , y , z ) + y F z ( 2 , y , z ) + ~ E 7 3 ( 1 : , ~ , ~ ) .

( IDEA: Usar el ejercicio de repaso 2 3 , capítulo 2 . )


Sea F(z, y, z) = (eZ sen y); + (eZ cos y ) j + zz k. Evaluar la integral S, F * ds, donde u(t) = (A, t 3 , exp A), O 5 t 5 1.

10. Sea un fluido con campo de velocidad F(z , y, z) = zyi + y z j + zzk. ¿Cuál es la circulación alrededor del círculo unitario en el plano zy? Interpretar la respuesta dada.

11. La masa de la Tierra es aproximadamente 6 x lo2’ g y la del Sol es 330,000 veces mayor. La constante gravitacional es 6.7 X lo-’ m3/s2 . g. La distancia de la Tierra al Sol es alrededor de 1.5 x 10” cm. Calcular, aproximadamente, el trabajo necesario para incrementar la distancia de la Tierra al Sol en 1 cm.

12. (a) Mostrar que S,(. dy - ydz) / (z2 + y2) = 2 ~ , donde C es el círculo unitario.

es un campo conservativo.

la página 524) del teorema 77 De no ser así, ¿por quC no?

(b) Concluir que el campo vectorial asociado [-y/(z2 + y’)) + [./(x’ + y’))li no

(c) Mostrar, sin embargo, que aP/ay = aQ/az. Contradice esto el corolario (de

13. Determinar cuál de los siguientes campos vectoriales F en el plano es el gradiente de una función escalar f . Si existe dicha f, hallarla.

(a) F(z, Y) = z i + d kb,l ~ ( z , y) = z y i + z y j

(c) F(z , y) = (x’ + y’)i + 22:yj

14. Repetir el ejercicio 13 para los campos vectoriales siguientes: (a) F(z, y) = (cos 2:y - zysen zy)i - (.’sen z y ) j (b) F ( z , y ) = ( 2 : d n ) i + ( y d n ) j (c) F(z , y) = (22: cos y + cos y)i - (z2 sen y + 2: sen y ) j

15. Mostrar que los siguientes campos vectoriales son conservativos. Calcular sc F .ds para la curva dada.

(a) F = (2 :y2+3z2~) i+(s+y)z2j ; C es la curva que está formada por los segmentos de recta de (1,l) a ( O , 2 ) a (3 , O) .

kb,l F = - Y‘ + l 1 - (y’ + 1 ) 2 2x 2y(z2 + ” j ; C está parametrizada por z = t3 - 1, y = t6 - 1,

0 5 t l l .

t 5 o. (c) F = [cos(zy2) - zy2 sen(zy’)]i - 2z2y sen(zy’)j; C es la curva ( e t , et+’), -1 5

16. Probar el teorema 8. (IDEA: Definir G = G l i + Gzj + G3k por


17. ¿Es cada uno de los siguientes campos vectoriales el rotacional de algún otro campo vectorial? De ser así, hallar el campo vectorial.

19.

20.

21.

22.

(a) F = zi + y j + zk (b) F = (zz + I ) i + ( z - 2x:y)j + yk

Sea F = z z i - y z j + yk. Verificar que V * F = O . Hallar G tal que F = v x G.

Repetir el ejercicio 18 para F = y2 i + z’j + z’k.

Sea F = zeYi - (z cos z ) j - z e Y k . Hallar G tal que F = V X G .

Sea F = (z cos y)i - (sen y ) j + (sen z)k. Hallar G tal que F = x G .

Usando diferentes trayectorias de ( O , O , O ) a ( r , Y, z), mostrar qLIe la función f definida en la demostración del teorema 7 para “condición (ii) implica condición (iii)” satisface 3 f l a x = Fl y 3f/ i3y = F2.

Sea F el campo vectorial en R3 dado por F = -yi + z j . (a) Mostrar que F es rotacional, esto es, que F no es irrotacional. (b) Suponer que F representa el campo vectorial de velocidad de un fluido. Mos-

t rar que si colocamos un corcho en este fluido, girari en un plano paralelo al plano zy, en una trayectoria circular alrededor del pje z .

(c) ¿En qué dirección gira el corcho?

*24. Sea G el campo vect.oria1 en R3\{eje z j definido por

G = - z2 + .Y’ x 2 + y2

-Y i + “j.

(a) Mostrar que G es irrotacional. (b) Most,rar que el resultado del ejercicio 23(b) tanlbiOn se cumple para G .

iCómo podemos resolver el hecho de que las trayectorias de F y G sean iguales (circulares alrededor del eje z ) pero que F sea rotacional y G no? (IDEA: L a propiedad de ser rotacional es una condicibn local, esto es, una propiedad del fluido en l a vecindad de U I I punto.)

*25. Sea F = - (GmMr/r3 ) el campo de frrcrza gravitacional definido en R3\{O}. (a) Mostrar que div F = O. (b) Mostrar q u r F # rot G para cualquier campo vectorial G de clase C1 en

R’\{Oj.

8.4 TEOREMA DE GAUSS

El teorema de Gauss asegura que el flujo de un campo vectorial hacia afuera de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia de ese campo vectorial sobre el volunlen encerrado por la superficie. Se t ra ta de un resultado paralelo al teorema de Stokes y al de Green, en el sentido de que relaciona una integral sobre un objeto geométrico cerrado (curva o superficie) con una integral sobre una región contenida (superficie o volumen).


Suponer que S es una superficie cerrada orientada de alguna de estas dos '

maneras y F es un campo vectorial en S. Entonces, como lo definimos en Ia sección 7.6 (pág. 478).

Si S tiene la orientación exterior, la integral S, F d S mide el flujo total de F hacia afuera a través de S . Est>o es, si pensamos F como el campo de velocidad de un fluido, S, F . d S indica la cantidad de fluido que sale de la región acotada por S por unidad de tiempo. Si S tiene la orientación interior, la integral S, F - dS mide el flujo total de F hacia adentro a través de S.

Recordemos otra manera común de escribir estas integrales de superficie, una manera que especifica explícitjanlente la orientación de S. Sea la orientación de S dada por un vector normal unitario n(z, y, 2) en cada punto de S. Entonces tenemos la integral orient#ada

J : l F . d S = (F -n )dS ,

esto es, la integral de la componente normal de F sobre S. En el resto de esta sección, si S es una superficie cerrada que engloba una región Q, adoptamos la convención de que S X dR tiene dada la orientación exterior, con normal unitaria exterior n(z, y, 2) en cada punto (z, y,z) E S. Más aún, denotamos la superficie con la orientación opuesta (interior) por dilo,. Entonces la dirección normal unitaria asociada a esta orientación es -n. Así,

ln F . ds = L(F. n) ds = -

EJEMPLO 2 El cubo unitario Q dado por

es una región en el espacio, del tipo IV (ver la figura 8.4.3). Escribimos las caras como

s 1 : z = o , O < Z < l , O < y < l

S 2 : z = l , O < Z < l , O < y < l

s3:2=0, o < y < 1 , O < Z < l

s4:2:=1, O < y < 1 , O < Z < l

Sg:y=O, O < Z < l , O < Z < l

S e : y = l , O L z < l , O < Z < l

0.4 TEOREMA DE GAUSS 529

C~omenzaremos pidicndo al lector que repase las diferentes regiones en el espacio que se introdujeron cuando estudiamos la integral de volumen; estas regiones se ilustran e11 l a figura 6.1.3. Como lo indica la figura, la frontera de una región dc tipo I , I1 o 111 en R3 es una superficie formada por un número finito (a lo más seis, por lo menos dos) de superficies que se pueden describir como gráficas de funciones de R3 a R. Este tipo de superficie se llama superficie cerrada. Las superficies S’,, &,. . . ~ SN que componen dicha superficie cerrada se llaman sus caras.

EJEMPLO 1 El cubo en la figura 8.4.l(a) es una región del tipo IV (recordar que esto significa que es simultáneamente de los tipos I, I1 y 111), con seis rectángulos que componen su frontera. La esfera es la frontera de una bola sólida, que es además una región del tipo I V . A

Figura 8.4.1 (a) Regiones del tipo IV y (b) las superficies S, que componen sus fronteras.

Las superficies cerradas se pueden orientar de dos maneras. En la primera, la orientacicin exterior, l a normal apunta hacia afuera en el espacio, y en la segunda, la orientación interior, l a normal apunta hacia adentro de la región acotada (figura 8.42).

normal exkrior

f

Figura 8.4.2 110.; posibles orientaciones para una superficie cerrada


n, = k

t n3 = "I

n4 = i I n, = - k

, Figura 8.4.3 Orientación exterior en el cubo.

En la figura 8.4.3 vemos que

n 2 = k = - n1,

n 4 = i = - n3 >

n6 = j = -n5,

de modo que para un campo vectorial continuo F = Fli + Fzj + F3k,

g * ~ . d , = j I F . n d S = - J I , F 3 d S 4 ~ ~ F 3 d S - ~ ~ F ~ d S

Llegamos ahora al último de los tres teoremas centrales de este capítulo. Este teorema relaciona integrales de superficie con integrales de volumen; en palabras, el teorema asegura que si R es una región en R3, entonces el flujo de un campo F hacia el exterior a través de la superficie cerrada aR es igual a la integral de d ivF sobre R. (Ver la página 479 para la interpretación de las integrales de superficie en términos de flujo.)

TEOREMA 9: TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS Sea una región en el espacio, del tipo IV. Denotar por dR la superficie cerrada orientada que acota a R.


Sea F un campo vectorial suave definido en $ 2 . Entonces

o, de manera alternativa,

DEMOSTRACI~N Si F = Pi+ Qj+ Rk, entonces por definición, div F = aP/dz + 8Q/8y + d R / d z , de modo que podemos escribir (usando l a aditividad de la integral de volumen)

Por otro lado, la integral de superficie en cuestión es

( P i + Q j + R k ) . n d S

P i . n d S + ~ n Q i . n d S + l n R k . n d . S .

El teorema se sigue si logramos probar las tres igualdades

Y

Probaremos la ecuación (3); las otras dos igualdades se pueden probar de manera análoga.

Como S2 es una región del tipo I (así como también de los tipos I1 y 111), existe un par de funciones

z = f l ( Z , Y ) , z = f 2 ( 2 , Y ) >

cuyo dominio común es una región elemental D en el plano zy, tal que S2 es el conjunto de todos los puntos (x, y, z ) que satisfacen

f ~ ( ~ , y ) 5 5 f z ( ~ , y ) , (z,Y) E D.


Por la fórmula (4) de la sección 6.1, tenemos

de modo que

La frontera de 0 es una superficie cerrada cuya tapa S2 es la gráfica de z = f i ( x , y), ( x , y) E D y cuya parte inferior S1 es la gráfica de z = f l (z , y), ( x , y) E D . Los otros cuatro lados de dR están formados por las superficies S,, S,, S5 y S g , cuyas normales son siempre perpendiculares al eje z . (Ver, por ejemplo, la figura 8.4.4. Notar que pueden faltar algunos de los otros cuatro lados -por ejemplo, si L? es un bola sólida y dQ es una esfera- pero esto no afectar& el argumento.) Por definición,

/ z = ./.(x, y)

Figura 8.4.4 Una región $2 del tipo I para la cual Jan Rk dS = J n ( a R / d z ) d V . Los cuatro lados de X 2 , que son S,, Sq, S S y SS tienen n o r n d e s perpendiculares al eje z.

Como en cada una de S,, S,, S5 y S 6 la normal 11, es perpendicular a k, teneluos k - 11 = O a lo largo de estas caras, de modo que la inkgral se reduce a

La superficie S1 está definida por z = f , ( x ! g ) , dc modo que


(como S1 es la parte inferior de s 1 , para que nl apunte hacia afuera debe tener componente k negativa; ver el ejemplo 2). Así,

nl . k = -1

/(x,.- (g)2+l Y

de modo que r r

AI sustituir las ecuaciones (6) y (7) en la ecuación (5) y después comparar con la ecuación (4), obtenemos

Las igualdades restantes (1) y ( a ) , se pueden probar de la misma manera para completar la demostración. W

El lector deberá notar que la demostración es análoga a la del teorema de Green. Por el procedimiento usado en el ejercicio 8 de la sección 8.1, podemos extender el teorema de Gauss a cualquier región que pueda partirse en subregiones del tipo IV. Esto incluye todas las regiones que nos interesan aquí. Como ejemplo, considerar la región entre dos superficies cerradas, una dentro de la otra. La superficie de esta región consta de dos partes orientadas según se muestra en la figura 8.4.5. Aplicaremos el teorema de la divergencia a dicha región cuando probemos la ley de Gauss en el teorema 10, más adelante.


Figura 8.4.5 Región más general a la que se aplica el teorema de Gauss.

SOLUCIÓN Por el teorema de Gauss,

donde Cl es la bola acotada por la esfera. L a integral de la izquierda es

( l + y + z ) d V = 2

Por simetría, podemos argumentar que S, y dV = S, z dV = O (como ejemplo, ver el ejercicio 15, sección 6.1). Así,

(como la bola unitaria tiene volumen 4 ~ / 3 ; ver el ejemplo 1, sección 6.1). Los lectores se convencerán de lo difícil de manejar el cálculo directo de S, F - ndS.

A

EJEMPLO 4 Usar el teorema de la divergencia para evaluar

s,,(.2 + Y + .) dS,

donde W es la bola sóJida x2 + y’ + 2’ 5 1.

SOLUCIÓN Para poder aplicar el teorema de la divergencia de Gauss, debemos hallar algún campo vectorial

F = Fli + F2j + R k


11 = zi + y j + z k

pues en i3W, x 2 + y2 + z 2 = 1 y el radio vector r = rci + y j + zk es normal a l a esfera dW (figura 8.4.6). Por lo tanto, si F es el campo vectorial deseado, enbnces

F -11 = E;z + F ~ Y + F ~ z .

y resolvemos para Fl , E; y F3 para hallar que

F = z i + j + k .

Calculando div F obtenemos

Así, por el teorema de la divergencia de Gauss,

(xz + y + Z ) dS = dl’ = volumen (W) = “A. A 4

3

X

Figura 8.4.6 n es la normal unitaria a dW, la frontera de la bola W


El significado físico de la divergencia es que en un punto P, div F(P) es la tasa del flujo neto hacia el exterior en P por unidad de volumen. Esto se sigue del teorema de Gauss y del teorema del valor medio para integrales (así como del suplemento a la sección 3.4): Si R, es una bola en R3 de radio p con centro en P , entonces existe un punto Q E R, tal que

F 11 dS = .6, div F dV = div F(Q) volumen (n,)

de modo que

div F(P) = límite div F(Q) = límite - F n d S . 1 P - 0

Esto es análogo a la formulación del rotacional en términos de límite que se da al final de la sección 8.2. Así, si div F (P) > O, consideramos P como una fuente, pues hay un flujo neto hacia el exterior cerca de P. Si div F(P) < O, P se llama sumidero de F.

Un campo vect,orial F de clase C1 definido en R3 se llama sin divergencia si div F = O. Si F es sin divergencia, tenemos S, F - d S = O para todas las superficies cerradas S. El recíproco también se puede demostrar rápidamente usando el teorema de Gauss: Si S, F - d S = O para todas las superficies cerradas S , entonces F es sin divergencia. Si F es sin divergencia, vemos entonces que el flujo de F a través de cualquier superficie cerrada S es O , de modo que si F es el campo de velocidad de un fluido, la cantidad neta de fluido que fluye hacia afuera de cualquier región será O . Así, la misma cantidad de fluido debe fluir hacia adentro de la región que la que sale (en unidad de tiempo). Por lo tanto, un fluido con esta propiedad se l h m a incompresible. (En el ejercicio 22 se da una justificación adicional de est,a terminología.)

EJEMPLO 5 Evaluar S, F d S , donde F(z, y, z ) = zy’i + z’yj + yk y S es la superficie del cilindro x’ + y’ = 1, acotado por los planos z = 1 y z = -1 e incluyendo las porciones x 2 + y’ 5 1 cuando z = *l.

SOLUCIÓN Es posible calcular directamente esta integral pero, como en muchos otros casos, es más fácil usar el teorema de la divergencia.

Ahora, S es la frontera de la región R dada por x’ + y’ 5 1, -1 1. 2 5 1. Así, S, F - d S = S,(divF) dl/. Más aún,

A ( d i v F) d V = (x’ -+ y’) d z dy dz = 1 (1 ( x 2 + d x dy) dz . C ? + y ? < l

= 2 1 ( 2 + y 2 ) dz dy. s 2 + y 2 < 1

Antes de evaluar la integral doble notamos que la, integral de superficie satisface SanF n d S = S z 2 + y 2 g ( x 2 + y’) dx d y > O . Esto significa que S,, F d S , el


flujo neto de F hacia afuera del cilindro, es positivo, lo cual concuerda con el hecho de que div F = x’ + y’ 2 O dentro del cilindro.

Cambiamos variables a coordenadas polares para evaluar la integral doble:

z = T C O S ~ , y = ~ s e n O , O 5 T 5 1, O 5 O 5 27r

Tenemos, por lo tanto, a(x, y)/a(r,O) = T y x 2 + y2 = ?. Así,

Por lo tanto, Ja div F dV = T . A

Como señalamos antes, el teorema de la divergencia de Gauss se puede aplicar a regiones en el espacio más generales que las del tipo IV. Para concluir esta sección, usaremos esta observación para probar un resultado importante.

TEOREMA 10: LEY DE GAUSS Sea M una región en R3 del tipo IV. Entonces si ( O , O , O ) d M , tenernos

donde

Y

r (z , y, z ) = xi + y j + zk

SECCIÓN OPTATIVA: DEMOSTFIACI~N DE LA LEY DE GAUSS

Primero suponer que ( O , O , O ) @ M. Entonces r / r 3 es un campo vectorial C1 en M y a M , de modo que por el teorema de la divergencia

S,,, E d S = / M V . ( 5 ) T 3 dV.

Pero v.(r/T3) = O para T # O , como el lector puede verificar fácilmente (ver el ejercicio 8, sección 3 . 5 ) . Así,

dS = O.


Supongamos ahora que ( O , O , O) E M . No podemos seguir usando el método anterior pues r / r 3 no es suave en M, en vista del denominador cero en r = ( O , 0,O). Como ( O , 0,O) E M y ( O , O , O ) 6 d M , existe c > O tal que la bola N de radio c con centro en ( O , O , O ) está completamente contenida en M . Ahora bien, sea R la región entre M y N . Entonces R tiene frontera d N U d M = S . Pero la orientación en d N inducida por la normal exterior en R es opuesta a la obtenida a partir de N (ver l a figura 8.4.7). Ahora, V - ( r / r 3 ) = O en 0, de modo que por el teorema de la divergencia (generalizado),

aM t "

Figura 8.4.7 Orientación exterior inducida en S .

Como

donde n es la normal exterior a S , tenemos

Ahora bien, en a N , n = -r/r y r = c, pues a N es una esfera de radio c, de modo que

Pero S,, dS = 47rc2, el área de superficie de la esfera de radio t. Esto prueba el resultado.


EJEMPLO 6 La ley de Gauss tiene la siguiente interpretación física. El potencial debido a una carga puntual Q en ( O , O , O ) está dado por

y el campo eléctrico correspondiente es

Así, el teorema 10 asegura que el flujo eléctrico total S,, E dS (esto es, el flujo de E hacia afuera de una superficie cerrada d M ) es igual a Q si la carga está dentro de M y cero de no ser así. (En el ejercicio 14 se da una generalización.) Nótese que aún si ( O , O , O ) @ M , E continuará siendo diferente de cero en M .

Para una distribución continua de carga descrita por medio de una densidad de carga p, el campo E está relacionado con la densidad p mediante

Así, por el teorema de Gauss,

o el flujo hacia afuera de una superficie es igual a la carga total dentro. A

Suplemento a la Seccibn 8.4: Divergencia y rotacional en coordenadas polares y cilíndricas

Usamos el teorema de Gauss para deducir la fórmula

l a d i v F = --(p2Fp) + ~-

l a 1 aF0 (sen 4F+) + - -

P2 aP P sen d 84 psen 30

para la divergencia de un campo vectorial F en coordenadas esféricas (ver el teorema 5 de la sección 3.5). El método es usar la fórmula

div F(P) = límite - n-P vio) S,, donde R es una región con volumen V(R) que se encoge hasta un punto P (en el libro hemos tomado una bola Clp, pero podemos usar regiones con cualquier forma). Sea Cl


l a región sombreada de la figura 3 . 5 . 3 . Entonces para las dos caras ortogonales a la dirección radial, l a integral de superficie en la ecuación (9) es, aproximadamente,

F p ( p + dp, 4 , O ) x área de la cara exterior - F p ( p I 4, O ) X área de la cara interior

= Fp(p + d p , 4, O ) ( p + d 4 ) * sen 4 dQ dB - F P ( p , 4, B)p2 sen Q dQ dH

z - ( Fpp2 sen 4) d p dd dB a aP

(10)

debido al teorema del valor medio para una variable. Dividiendo entre el volumen de la región R , a saber, p2 sen 4 d p d$ dB, vemos que la contribución al lado derecho de l a ecuación (9) es

para estas caras. Asimismo, l a contribución de las caras ort,ogonales a. la dirección 4 es -- (sen 4F+,), y para la dirección O , ~ ~ . Sustituyendo en la ecuación 1 3 1 aF0

osen 4 ad osen d 80 (9 j . y toman’do el límite se obtiene la ecuación’ (8) .

usando la fórmula (5) de la sección 8.2, a saber La fórmula para rot F en coordenadas esféricas se puede deducir de mancra análoga

La deducción de las fórmulas correspondientes en coordenadas cilíndricas es análoga.

EJERCICIOS

1. Sea S una superficie cerrada. Usar el teorema de Gauss para mostrar que si F es un campo vectorial C 2 , entonces s,(V x F) dS = O . (Comparar con el ejercicio 14 de la sección 8.2.)

2. Sea F = r3i + y 3 j + z3k. Evaluar la integral de superficie de F sobre la esfera unitaria.

3. Evaluar S, F dS, donde F = x i + y j + zk y R es el cubo unitario (en el primer octante). Realizar directamente los cálculos y verificar usando el teorema de la divergencia.

4. Repetir el ejercicio 3 para F = i + j + k

(b) F = x2i + x’j + z2k

5. Sea F = yi+zj+xzk. Evaluar Jan Fads para cada u n a de las siguientrs regiones O:

(a) x2 + y’ 5 2 5 1 (b) x 2 + y 2 5 z < l y z > 0 ( c ) 2 + y 2 5 2 5 1 y x 5 o


m Repet,ir ?I ejercicio 5 para F = (3. - y); + ( y - z ) j + (t - z)k. (La solución sólo a la parte (b) está en la Guía de cstudio de este libro.)

7. Sea S la superficie de l a regi6n 0 . Mostrar que

r n dS = 3 volumen (a)

Intentar explicarlo geomdtricamente. ( IDEA: Suponer que ( O , O , O ) E O y considerar el cono oblicuo con vértice en (O, O , O ) , base A S y altura Ilrll. Su volumen es $ (AS) ( r -n ) . )

8. Evaluar S,- F dS, donde F = 3xy2i + 3z2yj + z3k y S es la superficie de l a esfera unitaria.

9. Evaluar &, F n dA, donde F(x, y, t) = x i + yj - z k y es el cubo unitario en el primer octante. Efectuar directamente los cálculos y verificar usando el teorema de la divergencia.

Evaluar laintegral de superficie SS,,F.ndA, donde F(z ,y , z) = i + j + z ( z 2 + y 2 ) 2 k y as es la superficie del cilindro z2 + y 2 5 I . O _< z 5 I .

12. Probar la identidad

V * ( F x G ) = G - ( V x F ) - F * ( V x G )

*m Most,rar que J A ( l / r 2 ) dz d y d z = S,,(. n/r2 ) dS donde r = zi + y j + z k .

14. E‘ijar los vectores VI,. . . VI; E R3 y los números (“cargas”) q l , . . . , q k . Definir @(x, y, z ) = cf‘=, qr/(4x/lr - v, I I ) , donde r = (z, y, z). Mostrar que para una superficie cerrada S y E = -V4,

L E . d S = Q ,

d o d e Q es la carga total dentro de S. (Suponer que se aplica la ley de Gauss del trorrrna 10 y que ninguna de las cargas está en S . )

15. Probar las identidades de Green

f V g . n d S = ~ ( f V ’ g - V f . V g ) d V

(f v g - gVf) * I1 dS = (f V2g - g 0 2 f ) dv.

Suponer que F satisface div F = O y rot F = O . Mostrar que podemos escribir F = V f, donde Ozf = O .


*17. Sea p una función continua cn n“ tal que p(q) = O excepto para (1 en alguna región R. Sea q E R denotada por cl = ( x , y , z ) . El potencial d r p se define como l a fnncicin

donde IIp - 911 es la distancia entre p y q .

(a) Usando el método del teorclna 10, mostrar que S, Vd ndS’ = - S, p d V para aquellas regiones W q u e puedan part,irse en una unlon finita de regiones dcl d W

tipo IV. (b) Mostrar que 4 satisface la ccuación de Poisson

u2$h = - p .

(IDEA: Usar la parte (a)) . (Nótese que si pes una densidad de carga, entonces l a intcgral que define a puede pensarse como la suma del potencial en p causado por las cargas puntuales distribuidas sobre R de acuerdo con la densidad p . )

Suponer que F es tangente a las superficies cerradas S de una regi6n 0 . Probar que

Jl[(div F) = o.

*19. Usar l a ley de Gauss y la simet,ría para probar que el campo eléctrico debido a una carga Q esparcida uniformemente sobre la superficie de una esfera, es el mismo fuera de la superficie que el campo desde una carga puntual Q situada en el cent,ro de la esfera. ¿Cómo es el campo dentro de la esfera?

*20. Reformular el ejercicio 19 en términos de campos gravitacionales

21. Mostrar cómo se puede usar la ley de Gauss para resolver la parte (b) del ejercicio 25 en la sección 8 . 3 .

*22. (Teorema del transporte). Sea d(x, 1) el flujo del campo vactorial F en R3 (ver l a sección 3.4) , y sea J(x, t ) el jacobiano de la función d t : x H d(x, t ) para t fija.

(a) Usando la demostración del teorema 3 de la sección 3.4, mostrar que

-](x, t ) = [div F(x)]J(x, t ) . a at

(b) Usando el teorema de cambio de variables y la parte (a), mostrar que si f ( z , y , z, b) es una función dada y R c R3 es cualquier región, entonces

d t / / / f ( z , Y, z) d?/ dz = ///( + f d i v F) dz dy dz (ecuación de transporte) nt nt

donde Ot = qht(0), la cual es la región moviéndose con el flujo, y donde D f / D t = ¿5’f/at + Dxf - F es la derivada material (ejercicio 9, sección 3.3).

544 TEOREMAS INTEGRALES DELANALEE VECTORIAL

( c ) ‘I’omar f = 1 en la parte (b ) y mostrar que las siguientes afirmaciones son equiva1cntt.s:

( i ) div F = 0 ( i i ) volunlen(nt) = vollImen(R)

(iii) J(x, t ) = 1

*23. Sean 0 . .J. F y f como en el ejercicio 22. Probar que la forma vectorial del t,eorenla del transporte, a saber,

donde F . V(fF) denota la matriz derivada de 3 x 3 D(fF), que opera en el vector colurnna F; e n coordenadas cartesianas, F VG es el vector cuya i-ésima component,e es

SECCIÓN OPTATIVA

*8.5 APLICACIONES A LA FíSICA Y ECUACIONES DlFERENClALESt

Podernos aplicar los conceptos desarrollados en este capít,ulo a la formulación de algunas t,eorías físicas. Primero estudiaremos la importante ecuación conocida como ecuación de conscrvacio’rr, En relación con flnidos, expresa la conservación de masa, y en la t,eoría electromagnética, la conservación de carga. Aplicaremos la ecuación a conducción de calor y a electromagnetismo.

Sea V ( t . J . ! / , z ) 1111 campo vect,orial C’ en R3 para cada t y sea p ( t , x , y , z ) una función (1’ con valores reales. Por ley d e conservación de masa para V y p, entenderemos clue la condic-ibn

vale para todas las regiones 0 en R 7 , donde J = pV; ver la figura 8.5.1.

tEl lector encordrará iltil referirse a H. M. Sdley, Uiv, Grad, Curl and AI1 T h a t , W. W. Norton, Nueva York, 1‘373. para ver más ejemplos.

8.5 APLICACIONES A LA FíSICA Y ECUACIONES DIFERENCIALES 545

hacia afuera de R por unidad J.n = masa fluyendo

de área por unidad de tiempo.

Figura 8.5.1 La tasa de cambio de la masa en R es igual a la tasa a la cual la masa cruza 30.

Si pensamos p como una densidad de masa (p podría ser también densidad de carga), esto eS, la masa por unidad de volumen, y V como el campo de velocidad de un fluido, la condición dice simplemente que la tasa de cambio de la masa total en R es igual a la tasa a la cual la masa fluye hacia adentro de 0. Recordar que S,, J n d S se llama el flujo de J. Necesitamos el resultado siguiente.

TEOREMA 11 Para V y p definidos en R3, la ley de conservación de masa para V y p es equivalente a la condición

div j + - = O , aP a t

esto es,

p d i v V + V - V p + - = O . aP at

Aquí, div J significa que calculamos div J manteniendo a t fija, y ¿?plat significa que diferenciamos p respecto a t para z , y y z fijas.

DEMOSTRACIóN Primero, observemos que (dldt) S, p d z dy dz = J,(ap/at) d3: dy dz y

debido al teorema de la divergencia. Así, la conservación de masa es equivalente a la condición

(div j + g) dz dy dz = O.

Como esto debe cumplirse para todas las regiones R, es equivalente a div J+ap/at = O. m


Figura852 La fuerza que a c t ú a sobre por unidad de &rea es -!m


ÉSta es una cantidad vectorial; la i-ésima componente de Fan es la integral de la i-ésima componente de pn sobre la superficie an (entonces, esto es la integral de superficie de una función con valores reales). Si e es cualquier vector fijo en el espacio, tenemos

que es la integral de un escalar sobre Ó'R. Por el teorema de la divergencia y la identidad 8 de la tabla 3.1,

e - Fan = - div(pe) dx dy dz S, = - / ( g r a d p ) . e d r d y d z , n

de modo que

F a = - 1 V p d x d y d z .

Ahora aplicaremos la segunda ley de Newton a una región en movimiento Rt . Aquí, Rt = q$t(R), donde &(x) = q$(x, t ) denota el flujo de V. La tasa de cambio del momento de Rt es igual a la fuerza que actúa sobre ella:

$ pV dx dy dz = Fant - V p dx dy dz. - 1,

Aplicamos la forma vectorial del teorema del transporte al lado izquierdo (ejercicio 23, sección 8.4) para obtener

Como R t es arbitrario, esto es equivalente a

-(pV) + V . V(pV) + p V d i v V = -VP. d d t

Al simplificar usando la ecuación de continuidad de la fórmula (1') obtenemos

P ( % + V . V V 1 = - v p .

ÉSta es la ecuación de Euler para un fluido perfecto. Para fluidos compresibles, p es una función dada de p (por ejemplo, para muchos gases, p = Ap' para constantes A y y) . Si, por otro lado, el fluido es incompresible, p se determina a partir de la condición div V = O. Las ecuaciones (1) y (2) gobiernan entonces por completo el movimiento del fluido.


NOTA HIST~RICA

Las ecuaciones que describen el movimiento de un fluido fueron deducidas por primera vez por Leonhard Euler en 1755, c‘n un artículo titulado “General Principles of the Motion of Fluids.” Euler realizó trabajo fundamental en mecánica así como en ma- temáticas puras; esencialmente L-l inició el terna de mecánica analítica (en oposición a los métodos geornétricos usados por Newton). A é1 se deben las ecuaciones de un cuerpo rígido (ecuaci6n que se aplica, por ejemplo, a un satélite q u e se desploma) y la formulación de varias ecuaciones básicas de la mecánica en términos de valores mínimos de funciones. Euler escribió el primer libro de texto de cálculo y contribuyó, de hecho, a todas las ramas de las matemát,icas. Escribió varios libros y cientos de artículos de investigación después de quedar totalmente ciego, y a su muerk, en 1783, estaba t,ra- bajando en un nuevo tratado sobre mecánica de fluidos. Las ecuaciones de Euler para un fluido fueron finalmente modificadas por Navier y Stokes para incluir efectos de viscosidad; las ecuaciones resultantes de n’avier-Stokes sc describen en virtualmente todo libro de mecánica de fluidos. A Stokes se debe además, por supuesto, el teorema de Stokes, uno de los principales resultados e11 este libro.

Pasemos ahora a la ecuación de calor, una de las ecuaciones más importantes de las matemáticas aplicadas. Ha sido, y sigue siendo, uno de los mot,ivos principales para el estudio de ecuaciones diferrnciales parciales.

Vamos a expresarnos de manera intuit.iva. Si T(t, T , y , z) (una función C’) denota la temperatura de un cuerpo en el tiempo t . entonces VT representa el gradiente de temperatura: el calor “fluye” s rg in el campo vectorial -VT = F. Nótese que VT apunta en la dirección en que crece T (capítulo 3 ) . Como el calor fluye de lo calientr a lo frío, hemos insertado un signo de resta. La densidad dr energía, esto es, la energía por unidad de volumen, es c p o T , donde r es una constante (calor específico) y p o es la densidad de masa, clue se supone constante. (Aceptamos estas afirmaciones de l a física elemental). El vector de ff ujo de cnergia es J = kF, donde k es una constante llamada conductividad.

Proponemos que se conserve la energía. E’orrnalment,r esto significa que J y p = c p o T deberán obedecer l a ley de conservación de masa, con p jugando cl papel de “masa” (nótese que es densidad de energía, no de masa); esto es,

Por el teorema 11, esta afirmacicin es equivalente a

d i v J + - = O 3 P at

Pero div J = div(-kVT) = -kV2T. (Recordar que V 2 T = a2T/¿?x2 + a2T/dy2 + a2T/az2 y V2 es el operador de Laplace.) A continuación, t,enemos apla t = a ( c p o T ) /


donde K = k / c p o se llama difusividad. La ecuación (3) es la importante ecuación de calor.

Así como las ecuaciones (1) y (2) gobiernan el flujo de un fluido ideal, la ecuación (3) gobierna la conducción de calor, en el sentido siguiente. Si T(0, z, y, z ) es una distri- bución de temperatura inicial dada, entonces está determinada una única T(t , z, y, z)

que satisfaga la ecuación (3). En otras palabras, la condición inicial en t = O , nos d a el resultado para t > O. Nótese que si T no cambia con el tiempo (caso estacionario), entonces se debe tener V Z T = O (ecuación de Laplace).

Estudiemos ahora las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan los campos electro- magnéticos. La forma de estas ecuaciones depende de las unidades físicas que se em- pleen, y al cambiar unidades se introducen factores como 47r, la velocidad de la luz y así sucesivamente. Consideraremos el sistema en el que las ecuaciones de Maxwell sean más sencillas.

Sean E y H funciones C1 'de ( t , z, y , z) que son campos vectoriales para cada t . Va.n a satisfacer (por definición) las ecuaciones de Maxwell con densidad de carga p ( t , z, y , z ) y densidad de corriente J( i , z, y, z) cuando se cumpla lo siguiente:

V E = p (ley de Gauss), (4)

V - H = O (no hay fuentes magnéticas), (5)

V x E + - = O (ley de Faraday), 3H at (6)

Y aE at v x H - - = J (ley de Ampkre). (7)

De estas leyes, las ecuaciones (4) y (6) se estudiaron en las secciones 8.4 y 8.2 en forma integral; históricamente, surgieron en estas formas como leyes físicamente observadas. La ley de Ampkre se mencionó como caso especial en el ejemplo 12, sección 7.2.

Físicamente, se interpreta E como el campo eléctrico y H como el campo magnético. Conforme avanza el tiempo t , estos campos interactúan de acuerdo con las ecuaciones anteriores, entre sí y con cualesquiera cargas y corrientes que estén presentes. Por ejemplo, la propagación de ondas electromagnéticas en el vacío está gobernada por estas ecuaciones con J = O y p = O.

Como V H = O , podemos aplicar el teorema 8 de la sección 8.3 para concluir que H = V x A para algún campo vectorial A. (Estamos suponiendo que H está definido en todo R3 para cada tiempo t . ) Este campo vectorial A no es Único, y podemos usar igualmente A' = A + Vf para cualquier función f ( t , z , y, z ) pues V x V f = O . (Esta libertad en la selección de A se llama libertad de medición.) Para cualquier selección


O = V X E + - = V X E + - V X A o H a (7 t a t

¿I A 31

= V X E + V X - = V X

aA at

E + - = - 0 4

V x ( V X A) = V ( V * A ) - V2A,

¿I E ¿I f

. I = V x H - - = V x ( V x A ) - -

= V ( V * A ) - V2A + - + - (Vd). 8’A d at2 d l

a2A i) at2 at V’A - ~ = -J + V ( V * A) + “(Vd),

esto cs.

V ’ A - - = - J + V a‘ A at2 (8)

esto e>.


Debemos estar seguros de que podemos hacerlo. Supongamos que tenemos dado Ao y una 40 correspondiente; ¿podemos escoger on nuevo A = A0 +Vf y después una nueva 4 tal que V . A + 84 /8 t = O ? Con este nuevo A, la nueva 4 es 40 - ¿?flat; dejamos la verificación como 11n ejercicio para el lector. Entonces la condición (10) sobre f se convierte en

O

Así, para poder escoger A y 4 que satisfagan V A + 84/81 = O , debemos poder despejar f de la ecuación (11). En efecto, es posible hacerlo bajo estas condiciones generales, aunque no lo probemos aquí. La ecuación (11) se llama la ecuación de onda u homogénea.

Si aceptamos que A y se pueden escoger de modo que satisfagan V . A + 24 /a t = O, entonces las ecuaciones (8) y (9) para A y 4 se convierten en

La ecuación (9’) se sigue de la ecuación (9) al sustituir V * A por -8qh/at. Así aparece de nuevo la ecuación de onda.

Recíprocamente, si A y 4 satisfacen las ecuaciones V A + 84/81 = O, V’4 - a24/8t2 = - p y V2A - 8’A/Ó’i2 = -J, entonces E = -Vd - aA/8t y H = V X A satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Este procedimiento reduce entonces las ecuaciones de Maxwell al estudio de l a ecuación de onda.*

Esto es una ventaja, pues las soluciones a la ecuación de onda se han estudiado bastante bien (se aprende a resolverla en la mayoría de los cursos sobre ecuaciones diferenciales). Para indicar la naturaleza ondulatoria de las soluciones, observar por ejemplo, que para cualquier función f,

resuelve la ecuación de onda 0’4 - (8’qh/at2) = O. Esta solución simplemente pro- paga la gráfica de f como una onda; así, podemos conjeturar que las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son de naturaleza ondulatoria. Históricamente, ésta fue la gran aportación de Maxwell, y pronto condujo al descubrimiento de las ondas de radio, realizado por Hertz.

*Hay variaciones de este procedimiento. Para mayores detalles ver, por ejemplo, G. F. D. Duff y D. Naylor, Differential Equations of Applied Mathematics, Wiley, Nueva York, 1966, o libros acerca de teon’a electromagnética, como el de J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, Wiley, Nueva York, 1962.


La “función” p(x) = S(x) representa una carga unitaria concentrada en un solo punto (ver las condiciones (i) y (ii) anteriores). Así, G(x, y) representa el potencial en x debido a una carga colocada en y.

Afirmamos que la ecuación (12) se satisface si escogemos

Claramente, G(x,y) = G(y,x). Para verificar la segunda parte de la ecuación (12) , debemos verificar que V2G(x, y) tenga las siguientes dos propiedades formales de la función 6:

(i) V2G(x, y) = O para x # y

Y

(ii) sR3 V2G(x,y) dy = 1 .

La propiedad (i) es cierta, pues el gradiente de G es

VC(x,y) = - r

4rr ’

donde r z x - y es el vector que va de y a x y T = llrll (ver el ejercicio 8, sección 3.5), y por lo tanto, para T # O, V VG(x,y) = O (como en el ejercicio mencionado). Para la propiedad (ii), sea B una bola alrededor de x; por la propiedad (i),

Esto, a su vez, es igual a

por el teorema de Gauss. Así, por el teorema 10,

as = 1,

lo cual prueba la propiedad (i i ) . Así, una solución de V 2 u = p es

por el t,eorema 12.


donde b7 cs una rcgicin en el espacio, S es su frontera y 11 es el vector normal unitario esterior en cualquier punto de S . A l reemplazar F por f o g . donde f y y son funciones escalares. obtenrmos

Esta es la identidad que usaremos.

Considerar l a ecuación de Poisson

V21L = p

en alguna región I / , y las correspondientes ccuacionrs para la función de Green

G(x, y) = G(y, x) y V'G(x, y ) = 6(x - y) .

Al insertar u y G en l a ecuación (20) , obtenernos

(uV2G - GV'u) d l i = (u- - G e ) dS dG an an


Escogiendo y como nuestra variable de integración y usando G(x, y) = G(y, X), esto se convierte en

y por la ecuación (13),

U - - G-) dS. aG ¿?u an an

Nótese que para una región no acotada esto se vuelve idéntico a nuestro resultado anterior, la ecuación (14), para todo el espacio. La ecuación (21) nos permite despejar u en una región acotada donde p = O , al incorporar las condiciones que u debe satisfacer en S .

Si p = O , l a ccuación (21) se reduce a

u = (u- - G-) d S , aG ¿?u d n an.

o, por completo, a

donde u aparece en ambos lados de la ecuación. El punto crucial es que la evaluación de la integral sólo requiere que conozcamos el comportamiento de u en S. Por lo común, u está dada en la frontera (para el problema de Dirichlet) o &/an está dada en la frontera (para un problema de Neumann). Si conocemos u en la frontera, queremos hacer que Gdu/an se anule en la frontera para poder evaluar la integral. Por lo tanto, si u está dada en S debemos hallar G tal q u e G(x ,y ) se anule cuando y esté en S . ksta se l lama función de Dirichlet-Green para la regióll V . Recíprocamente, si &/an está dada en S , debernos hallar G tal que dG/¿?n se anule en S. Ésta es la función de Neumann-Green.

Así, una función de Dirichlet-Green G(x ,y) está definida para x y y en el volumen V y satisface las tres condiciones:

Y (c) G(x , y) = O cuando y está en S , la frontera de la región V.

(Notar que por la condición (a), en las condiciones (1)) y (c), las variables x y y se pueden intercambiar sin variar la condición.)

Quizá resulte sorprendente que l a condición (a) es en realidad una consecuencia de las condiciones (b) y ( c ) , siempre que ( b ) y (c) también se cumplan al intercambiar x Y Y.


Así, G(x , y) = G(y, x). Esto significa, en efecto, que no es necesario verificar la COII-

dición (a). (A est,e resultado también se le conoce corno principio de reciprocidad.) Ent,onces, resolver un problema particular de Dirichlet o Neumann se convierte en l a

t,area de hallar la función de Green apropiada. Haremos esto modificando la función de Green para ecuaciones de Laplace en todo R2 o R 3 , a saber, las ecuaciones (16) y (17).

Como ejemplo, usaremos ahora el método bidimensional de la función de Green para construir la función de Dirichlet-Green para el disco de radio R (ver la figura 8 . 5 . 3 ) . Esto nos permitirá resolver V2u = O (o bien V2u = p ) con u dada en el círculo frontera.

Y

f ”

Figura 8.5.3 Geometría de la construcción de la función de Green para un disco.

En l a figura 8.5.3 hemos trazado el punto X sobre la. circunferencia, pues es ahí donde querernos que se anule G.* La función de Green G(x, y) que hallaremos será válida,

*De acuerdo con el procedimiento anterior, se supone que G ( x , y) se anula cuando x o y está en C. Hemos escogido x en C para comenzar.


por supuesto, para todo x y y en el disco. EL punto y' representa la "reflexiórt" del punto y ert la región fuera dcl círculo, tal quc ab = R'. Ahora bien, cuando x E C , por la semejanza de los triingulos xOy y xOy',

Por lo tanto, si escogemos nuestra funci6rl de Green como

vemos que C es cero si x está sobre C. Como r " a / R se reduce a r cuando y está sobre C , G también se anula cuando y está sobre C. Si podemos demostrar que G satisface V2G = S(x - y) en el círculo, entonces habremos probado que G es, en efecto, la función de Dirichlet-Green. Dc la ecuación (17) sabemos quc V2(log .)/?a = 6(x - y) , de modo quc

V2G(x, y) = 6 ( x - Y) - 6(" - Y') ,

pero y' siempre está fuera del círculo, de modo que x r~unca puede ser igual a y' y S(x - y') siempre es cero. De aquí,

y así G es la función de Dirichlet-Green para el círculo. Ahora consideraremos el problema de resolver

0 2 u = o

en este círculo si u( R , S) = [(S) cs l a condición dada a la frontera. Por la ecuación (22) tenemos una solución

u = (u - - G-) dS. ac au a n dn

Pero G = O en C , de modo que nos quedarnos con la integral

u = u x dS, ac


donde podernos reemplazar I I por f ( H ) , pues la integral es alrededor de C. Así, la tarea de resolver el problema de Dirichlet CII el círculo se reduce a la búsqueda de aG‘/an. De la ecuacicin (33) podemos escribir

Ahora

Y

donde r = x - y , de modo que

Ó’T r a n ~ c o s ( n r ) an

- - = cos (n r ) , T T

donde (n.) representa el ángulo ent,re n y r. Asirnisrrlo,

- = cos(nr”) dr!’ d n

En el triángulo x y 0 tenemos, por la ley de los cosenos,

a2 = r2 + R2 - 2 ~ R c o s ( n ~ j ,

y en el triángulo xy’O, tenemos

de modo que

Y

Por lo tanto,

8.5 APLICACIONES A LA FíSlCAY ECUACIONES DIFERENCIALES 559

Usando l a relación ent,rc T y T “ cuando x e s t i sobre C , obtenenlos

R2 - a2

Así, la solución se puede escribir como

Escribamos esto en forma m i s explícita y tratable. En primer lugar, nótese que en el triángulo x y 0 podernos escribir

r = [a2 + R2 - 2aRcos(S -

donde O y S’ son los ángulos polares en los espacios x y y respecl.ivamentc. En s e g u ~ ~ d o lugar, nuestra solución debe ser válida para todo y en el círculo; por lo tanto, l a distancia de y al origen debe ser ahora una variable, que llamaremos T ’ . Finalmente, notemos que ds = R dO en C , de modo que podemos escribir la solución en coordenadas polares como

Esto se conoce como l a f6rmuJa de Poisson en dos dimensiones.* Como ejercicio, el lector deberá usar esto para escribir la solución a 02u = p con 11 una función dada /(O) en la frontera.

EJERCICIOS

1. (a) Dar los detalles de la afirmación que aparece en la piigina 546, de que

es equivalent,e a la ley de conservación de masa.

*Hay varias maneras de deducir esta famosa fórmula. Para el m&todo de variables complejas, ver J. Marsden y M. Hoffman, Basic Complex Analysis, 2a ed., Frecman, Nueva York, 1987, página 195. Para el método de las series de Fourier ver J. Marsden, Elementary Classical Analysis, Freeman, Nueva York, 1974, página 466.


(b) Usando la parte (a) y el teorema del cambio de variables, mostrar que p ( x , t ) se puede expresar en t.érminos del jacobiano J ( x , t ) de la función de flujo d(x,t) y p ( x , O ) con la ecuacirin

P ( X > t ) J ( x , t ) = P ( X , O ) .

(c) ¿Qué se puede concluir de la part,e (b) para un flujo incompresible?

2. Sea V un campo vectorial con flujo d(x, 2 ) y que V y p satisfagan la ley de conser- vación de masa. Sea R t la región transportada con el flujo. Probar la siguiente versión del teorema del transporte (ver el ejercicio 22, sección 8.4):

3. (Ley de Bernoulli) (a) Sean V y p que satisfagan l a ley de conservación de masa y la ecuación ( 2 ) (ecuación de Euler para un fluido perfecto). Suponer que V es irrotacional y, por lo tanto, que V = Vd para una función 4. Mostrar que si C es una trayectoria que conecta dos puntos PI y P2, entonces

(IDEA: Se requerirá la identidad

(V V)V = p ( p q 2 ) + (V x V) x v de la tabla 3.1 , sección 3 . 5 . )

mostrar que (b) Si en la parte (a), V es estacionario -esto es, ¿?V/¿?t = O- y p es constante,

es constante en el espacio. Deducir que, en esta situación, se asocia presión más alta con rapidez de fluido más lenta.

Usando el ejercicio 3 , mostrar que si satisface la ecuación de Laplace V2d = O , entonces V = Vd es una solución estacionaria de la ecuación de Euler para un fluido incompresible perfecto con densidad constante.

Verificar que las ecuaciones de Maxwell implican la ecuación de continuidad para J Y P.

Denotemos por H el semiplano superior z 2 O. Para un punto x = (x, y, z ) en H, sea R(x) = (z, y , -z), la reflexión de x en el plano zy. Sea G ( x , y) = --1/4nllx - y11 l a función de Green para todo R3.

(a) Verificar que la función G definida por

G(X, Y) = G ( x , Y ) - G ( R ( x ) , Y)

es la funcicin de Green para el laplaciano en H


(11) Escribir una f6rmula para l a solución u del problema

7. (a) Con l a notación como en l a Elgnra 8.5.3, mostrar que el problema de Dirichlet para l a esfera de radio R en tres di rncns ioncs tiene funci6n de Creen

(:(.,y) = - (- - -) 1 R 1 I l l UT ” T


t P

Figura 8.5.4 Características de la ecuación ut + uuz = O.

9. Repetir el ejercicio 8 para l a ecuación

U t + f(u), = O . (24)

donde f” > O y f’(uO(z2)) > O. Las características se definen ahora mediante i = f ’ ( u ) , t = l . Decimos que la ecuación (24) está en forma de divergencia. (Este ejercicio muest.ra que, en general, es imposible hallar una solución continua -;independient,emellt,e de l a suavidad de f!)

IO. (Soluciones débiles) Como las ecuaciones de la forma del ejercicio Y surgen en muchas aplicaciones físicas (dinámica de gases, magnetohidrodinámica, óptica no lineal (lasers)) y debido a que sería agradable que existiera una solución para t,odo tiempo ( t ) , es deseable t,ratar de encontrar el sentido de l a ecuación, reint,erpret,ándola cuando se desarrollan discontinuidades. Para ello, sea 4 = d(z, 1) una función de clase C1. Sea D un rectángulo en el plano z t determinado por “n 5 z 5 m y O 5 t 5 T, tal quc d(z, t ) = O para x = km, z = T y para toda (x, t ) en e¡ serniplano snperior fuera de D. Sea u una solución “legít,ima” de la ecuación (24).

( a ) Mostrar que

111 L O [u$% + f(u)$?%.] dz d l + ?(O(S)d(Z, O) d S = 0. ( 2 5 )

t >O

(IL>I.;A: Cornrnzar con J J D [ u t + f ( ~ ~ ) , ] b d z d t = O.) Así, si u es una solución suave, entonces la ecuación (2.5) se cumple para t,oda d, scg in sc dcscrihici antcriormentc. Llamamos a l a función 71 una solucidn drihil de la ec:uacibn (24) si l a ecuacihll ( 2 5 ) st‘ cumple para dichas d .

( h ) Most,rar que si u, es una soIución dCbiI que sea c 1 cn u n corrjunto atlicrto 62 en la. rnit,acl superior del plano x t , entonces I I es nna soluci6n legítin~a dr l a wuac-ititl

(24 ) cn R.

11. (C‘orldicidn de salto, también conocida en dinámica de gases como condicibrl tic. Rankinr-~Illgoniot.) La definición de u n a solución dbbil dada en el ejercicio 10. clara- nlent,e admite soluciones discontinuas. Sin embargo. el lector t l e k r r n i n a r á ahora quc

no es admisible todo tipo de discontinuidad, pucs hay una conc:sihn en t re la curva de discontinuidad y los valores de l a solución en ambos lados de l a discontinuidad.

Sea 71 una solución (débil) de l a ecuación (24) y suponer que r es una curva suave en el plano zh tal que u “salta” a’tra.vés de la curva r; esto es, 11 es d c claw C“ csc.c,pto por una discont,inuidad de salto a través de T. Llamamos a i- u n a onda de cl~oqc~c~. Escogrr u n punto P E r y construir, cerca de P, un “rectángulo” D = D l U D2. s e g ~ n se muestra en l a figura 8.5.5. Escoger .i que se anule en D y fuera de D .


f

Figura 8.5.5 La soluciór~ u sa l ta en valor de uI a u 2 a traves de 1'.

( d ) Mostrar que e11 el punto P sobre I ' ,

[.I = [f(.)l> (26)

donde S = d x / d t en P. El número S se llama rapidez de la discontinuidad. La ecuación (26) se llama condici6n de salto; es la relación que cualquier solución discontinua satis- firá.


12. (Pérdida de la unicidad) Un inconveniente para aceptar soluciones débiles es la pérdida de unicidad. (En dinámica de gases, algunas soluciones matemáticas son ex- trañas y rechazadas según bases físicas. Por ejemplo, las soluciones discontinuas de ondas de choque de rarefacción son rechazadas porque indican que la entropía decrece a través de la discontinuidad.)

Considerar la ecuación

ut + (;) = O , con datos iniciales u(x, O ) = x > o

X

(-1, - a - 1 2

t < x

(Se puede mostrar que si f” > O , se puede recuperar la unicidad imponiendo restricciones adicionales a las soluciones. Así, existe una única solución que satisface las condiciones de “entropía”

u(x + a, t) - u ( x , t ) E a ‘ 7

para alguna E > 0 y toda a # O. Entonces para t fija, u(x,t) sólo puede “saltar hacia abajo” conforme z crece. En nuestro ejemplo, esto se cumple sólo para la solución con cy = 1.)

13. (La solución a la ecuación (24) depende de la forma particular de la divergencia usada.) La ecuación ut + u,uz = O se puede escribir en las dos formas de divergencia

ut + ($u’)z = o (i)

+ ( j u 3 ) 5 = o (ii)

Mostrar que una solución débil de la ecuación (i) no necesariamente es una solución débil de la ecuación (ii). (IDEA: Las ecuaciones tienen diferentes condiciones de salto: en la ecuación (i) S = f ( u 2 + u l ) , mientras que en la ecuación (ii) S = :(u; + u1uz + .?)/(u2 + U l ) . )

14. ( N o invariancia de soluciones débiles bajo transformaciones no lineales) Considerar la ecuación (24) donde f” > O.

(a) Mostrar que la transformación u = f ’ ( u ) lleva esta ecuación a

l)t + uvz = o. ( 2 7 )

(b) Mostrar que la transformación anterior no necesariamente manda soluciones discontinuas de la ecuación (24) a soluciones discontinuas de la ecuación ( 2 7 ) . (IDEA: Verificar las condiciones de salto; para la ecuación ( 2 7 ) , S[.] = +[u2] implica s [ f ’ ( u ) ] = ; [ f ’ ( ~ ) ~ ] ; para la ecuación (24), s[u] = [f(u)].)


15. (Requiere conocimiento de números complejos) Mostrar que la f6rmula de Poisson en dos dimensiones se puede escribir como

donde z‘ = ~ ’ e ” ’ .

16. Para una distribución de carga estacionaria y una distribución de corrient’e sin divergencia, los campos eléctrico y magrtético E(z, y, z) y H(z, y , r ) satisfacen

V x E = O , V - H = O , V . J = O , V . E = p y V x H = J .

Aquí, p = p ( z , y, z ) y J(z, y, 2 ) se suponen conocidas. (Las constantes t y /I. que aparecen usualmente, se han tomado iguales a l a unidad por medio de selecci6n de unidades.) La radiación que producen los campos a través de la superificie S, se determina por nn campo vectorial de densidad de flujo de radiación, llamado campo vectorial de Puynting,

P = E x H

Si S es una superficie cerrada, mostrar que el flujo de radiación a t,ravi.s de S dado por el campo anterior, está dado por

donde V es la región encerrada por S. (b) Los ejemplos de dichos campos son

E(1, Y, 2) = 4 + yk,

H(z,y, z ) = -zyi + zj + yrk.

Hallar el flujo del campo vectorial de Poynting a través de l a cubierta semiesférica mostrada en la figura 8.5.6. (Nótese que es una superficie abierta.)

X

Figura 8.5.6 Superficie para el ejercicio lG(b).


(c) Los campos de la part,e ( b ) producen un campo vectorial de Poynting que pasa a través de la superficie toroidal mostrada en la figura 8.5.7. iCuál es el flujo a travC.5 de este toro?

X

Figura 8.5.7 La superficie para el ejercicio 16(c).

SECCIÓN OPTATIVA

*8.6 FORMAS DIFERENCIALES

La teoría de las formas diferenciales proporciona una manera conveniente y elegante de expresar los tcoreruas de Green, Stokes y Gauss. De hecho, el uso de formas diferenciales muest,ra clue todos estos teoremas son manifestaciones de una sola teoría matemática subyacente y proporciona el lenguaje necesario para generalizarlos a n dimensiones. En esta scxción haremos una exposición m u y elementhl de la teoría de las formas. Como nues t ro objetivo principal es mostrar que los t.eoremas de Green, Stokes y Gauss se pueden unificar bajo u n solo teorema, nos daremos por satisfechos con algo menos que la versi6n más fuerte de est.os teoremas. Más aún, introduciremos formas de manera puramente axiolnática y no constructiva, ejadiendo asi la tremenda cantidad de preli- minares algebraicos formales que por lo general se requieren para su construcción. Para ~1 purist,a, nuestro enfoque estará lejos de est,ar completo, pero podrá ser comprensible para el cstu(1iant.e. Esperarnos que esto motive a algunos estudiantes a escarbar más en l a teoría de las formas diferenciales.

Cotnenzawmos introduciendo el concepto de O-forma.

8.6 FORMAS DIFERENCIALES 567

Dadas dos O-formas f1 y f 2 en f i r , podemos sumarlas de la manera usual para obtener una nueva O-forma fl + fz, o multiplicarlas para obtener la O-forma f ~ f z .

EJEMPLO 1 f ~ ( x , y , z) = xy + yz y f2(x,y,z) = ysen xz son O-formas en R3.

Y ( f 1 f 2 ) ( ~ , y , 2 ) = y2x sen z z + y2zsen xz. A

DEFINICIóN Las 1-formas básicas son las expresiones dx, dy y dz. En este momento las consideramos sólo símbolos formales. Una 1-forma w en un conjunto abierto K es una combinación lineal formal

o simplemen te u= P d x + Q d y + R d z ,

donde P, Q y R son funciones con valores reales, definidas en K . Por la expresión P d x entendemos la I-forma P d x + O ’ dy + O . dz y de manera similar para Q dy y R d z . Además el orden de P d x , Q d y y R d z n o tiene importancia, de modo que

P d x + Q d y + R d z = R d z + P d x + Q d y , etc.

Dadas dos I-formas w1 = P I dx + Q1 dy + R1 dz y w2 = P 2 dx + Qz dy + Rz dz, podemos sumarlas para obtener m a nueva I-forma w1 + WZ, definida por

y dada una O-forma f , podemos formar la I-forma f w l definida por

EJEMPLO 2 Sean = (x + y2) dx + ( ~ y ) dy + (e2yz) dz y wz = sen y dx + sen 3: dy 1-formas. Entonces

+ wz = (x + y’ +sen y) dx + (zy + sen 2) dy + (eZy”) dz.

Si f ( z , y, 2) = x, entonces

f w z = z s e n y d x + z s e n z d y . A


Figura 8.6.1 El orden cíclico de d x , d y y d z .

DEFINICIóN Las t f o r m a s básicas son las expresiones formales d x d y , d y d z y dz d x . Estas expresiones deben pensarse como los productos de d x y d y , d y y d z , y d z y d x .

Una %forma 11 en li es una expresión formal

q = F d x d y + G d y d z + H d z d x ,

donde F , G y H son funciones reales definidas en K . El orden de F d x d y , G d y d z y H d z d x no es importante; por ejemplo,

F d x d y + G d y d z + H d z d x = H d z d x + F d x d y + G d y d z , etc

En este punto es útil notar que en una 2-forma, las I-formas básicas d x , d y y dz siempre aparecen en pares cíclicos (ver la figura 8.6.1), esto es, d x d y , d y d z y d z d x .

Por analogía con las O-formas y las 1-formas, podemos sumar dos 2-formas

17, = F, d x d y + G, d y d z + H , dz d x ,

i = 1 y 2, para obtener una nueva 2-forma,

De manera análoga, si f es una O-forma y si 9 es una 2-forma, podemos tomar el producto

f o = ( f F : ) d3: d y + (fG) d y dz + ( fHj d z d x .

Finalmente, por la expresión F d x d y entenderemos la 2-forma F d x dy + O d y dz + O - d z d x .

EJEMPLO 3 Las expresiones

71 = x Z d x d y + y 3 ~ d y d z $ s e n z y d z d x


son 2-formas. Su suma es

71+72 = x 2 d z d y + ( y 3 x + y ) d y d z + s e n z y d z d x .

Si f (x , y, z ) = xy, entonces

f712 = "y2 dy dz. A

DEFINICIóN Una 3-forma básica es una expresión formal dx dy dz (en orden cíclico, figura 8.6.1). Una 3-forma u en un conjunto abierto K c R3 es una expresión de la forma v = f (x , y , z) dx dydz , donde f es una función con valores reales definida en h'.

Podemos sumas dos 3-formas y multiplicarlas por O-formas de la manera obvia. Parece no haber diferencia entre una O-forma y una 3-forma, pues ambas incluyen una sola función con valores reales. Pero las distinguiremos con un propósito que se aclarará más adelante, cuando multipliquemos y diferenciemos formas.

EJEMPLO 4 Sean VI = y dx dydz , u2 = eZ2 dx dy dz y f (x , y , 2) = a y z . Entonces VI +u2 = ( y + e Z 2 ) d x d y d z y f v l = y 2 z z d x d y d z . A

Aunque podemos sumar dos O-formas, dos 1-formas, dos 2-formas o dos 3-formas, no necesitamos sumar una k-forma y una j-forma si IC # j. Por ejemplo, no necesitaremos escribir

f(z, Y, z ) d2: dY +!?(x, Y, z ) dz

Ahora que hemos definido estos objetos formales (formas), resulta válido preguntarnos para qué sirven, cómo se usan y, quizá lo más importante, qué significan. La respuesta a la primera pregunta se aclarará conforme sigamos avanzando, pero de manera inmediata podemos describir cómo usarlas e interpretarlas.

Una función con valores reales definida en un dominio K en R3 es una regla que asigna a cada punto en K un número real. Las formas diferenciales son, en cierto sentido, generalizaciones de las funciones con valores reales que hemos estudiado en cálculo. De hecho, las O-formas en un conjunto abierto h' son simplemente funciones en K . Así, una O-forma f manda puntos de h' a números reales.

Preferimos interpretar las k-formas diferenciales (para k 2 l), no como funciones definidas en puntos de K , sino como funciones definidas en objetos geométricos tales como curvas y superficies. Muchos de los antiguos geómetras griegos consideraron a las rectas y curvas formadas por infinidad de puntos, y a los planos y superficies formados


por infinidad de curvas. En consecuencia hay al menos cierta justificación histórica para aplicar esta jerarquía geonlét,rica a la interpretación de las formas diferenciales.

Dado un subconjunto abierto Ií c R3, distinguiremos cuatro tipos de subconjuntos de K (ver la figura 8.6.2):

(i) puntos en Ií,

(ii) curvas simples orientadas y curvas C cerradas simples orientadas, en K , (iii) superficies orientadas S c Ii, (iv) subregiones elementales (de tipos I al IV) R c l í .

Y

Figura 8.6.2 Los cuatro tipos geométricos de subconjuntos de un conjunto abierto Zi C R3 a los que se aplica la teoría de las formas.

Comenzaremos con las 1-formas. Sea

una 1-forma en K y sea C una curva orientada simple como en l a figura 8.6.2. El número real que w asigna a C está dado por la fórmula

8.6 FORMAS DIFERENCIALES S71

Recordar (ver la sección 7.2) que esta integral se evalúa como sigue. Sea u: [u, b] -+ K , a(t) = ( x ( t ) , y(t), ~ ( t ) ) una parametrización que preserva la orientación de C. Entonces

El teorema 1 de la sección 7.2 garantiza que S, w no depende de la selección de la

Podemos entonces interpretar una 1-forma w en K como una regla que asigna un número real a cada curva orientada C c K ; una 2-forma 7, de manera similar, se verá como una regla que asigna un número real a cada superficie orientada S c h-; y una 3-forma v será una regla que asigne un número real a cada subregión elemental A'. Las reglas para asociar números reales con curvas, superficies y regiones están contenidas por entero en las expresiones formales que hemos definido.

parametrización u.

EJEMPLO 5 Sea w = x y d x + y2 d y + dz una 1-forma en R3 y sea C la curva simple orientada en R3 descrita por la parametrización u(t) = (t2, t3 , l), O 5 1 5 1. C está orientada escogiendo la dirección positiva de C como la dirección en la que u(t) recorre C conforme t va de O a 1. Entonces, por la fórmula (l),

w = L1[ t5 (2 t ) + t 6 ( 3 t 2 ) + O] d t = (2t6 + 31') dt = E. L1 Así, esta 1-forma w asigna a cada curva simple orientada y a cada curva cerrada simple orientada C en R3 el número sew. A

Una 2-forma 7 en un conjunto abierto K c R3 se puede interpretar de manera análoga como una función que asocia con cada superficie orientada S c K un número real. Esto se logra por medio del concepto de integración de 2-formas sobre superficies. Sea

7 = F ( x , y, z) dx d y + G(s , y, .z) d y d z + H ( x , y, z) dz dx

una 2-forma en A', y sea S C K una superficie orientada parametrizada por una función 9: D -+ R3, D c R2, %(u, u ) = (.(u, u) , y(u, u) , z (u , u ) ) (ver la sección 7.3).

I. = I. F d x d y + G d y d z + H d z d x


donde

Si S está compuesta de varias piezas S , , z = 1 , . . . . k como en la f igura 8.4.4, cada una con s u propia parametrización +, , definimos

Debemos verificar que S, 7 no depende de la selección de la parametrización @. Este resultado está esencialmente contenido (aunque no es obvio) en el teorema 4, sección 7.6.

EJEMPLO 6 Sea 17 = z2 dxdy una 2-forma en R3, y sea S la semiesfera unitaria superior en R3. Hallar SS 7.

SOLUCIóN Parametricemos S mediante

+(u, v ) = (sen u cos v , sen u sen v , cos u),

donde (u, u) E D = [O , ./a] X [O , 2.1. Entonces, por la fórmula (2))

donde

cos u cos 1) - sen u sen v

cos u sen v sen u cos u

= sen u cos 11 cos2 v + cos u sen u sen' v = sen u cos u.

Por lo tanto,

EJEMPLO 7 Evaluar S, x dy d z + y dl; dy, donde S es la superficie orientada descrita por Ia parametrización 1: = u + v, y = u' - u', z = uu, (u, u) E D = [O, 11 x [O, 11.


SOLUCIóN Por definición, tenemos

= 2(u2 + u’);

En consecuencia,

l x d y d z + y d x d y

=S, [(u + v)(2)(u2 + v’) + (u’ - v2)(-2j(u + u)] du dv

= 4 L ( v 3 + u v ~ ) ~ u ~ v = 4

Finalmente, debemos interpretar las 3-formas como funciones en las subregiones elementales (de tipos I a IV) de K . Sea u = f ( x , y, z) dx dy d z una 3-forma y sea R c K una subregión elemental de K . Entonces a cada R c K asignamos el número

que es simplemente la integral triple ordinaria de f sobre R, según se describe en la sección 6.1.

EJEMPLO 8 Suponer que u = (x + z) dsc dy d z y R = [O, 13 x [O , 11 x [O, 11. Evaluar SR v.

SOLUCIÓN Calculamos:

2 1 = [ ; + y ] = l . A O

Estudiaremos ahora el álgebra (o reglas de multiplicación) de formas, que, junto con la diferenciación de formas, nos permitirán enunciar los teoremas de Green, Stokes y Gauss en términos de formas diferenciales.


Si w es una k-forma y 9 es una 1-forma en K , 0 5 k+Z 5 3 , existe un producto llamado producto exterior w A 1) de w y 7) que es una k + ¿-forma en K. El producto exterior satisface las leges siguienbes:

(i) Para cada k existe una k-forma O , cero, con la propiedad de que O + w = w para toda k-forma w y O A 9 = O para toda I-forma 11 si O 5 k + 1 5 3.

(ii) (Distributividad) Si f es una O-forma, entonces

(iii) (Anticonmutatividad) w A 1) = ( - l ) k L ( r , A w ) .

(iv) (Asociatividad) Si w1, w2 y w3 son kl, k2 y k3 formas, respectivamente, con kl + k2 + k~ 5 3 , entonces

~1 A ( u 2 A WQ) = ( ~ 1 A ~ 2 ) A ~ 3 .

(v) (Homogeneidad respecto a funciones) Si f es una O-forma, entonces

A (f??) = (SU) A 7) = f(w A 9).

Nótese que las reglas (ii) y (iii) en realidad implican l a regla (v) .

(vi) Se cumplen las siguientes reglas de multiplicación para 1-formas:

dz A dy = dz tly

dy A dz = -dx dy = (-l)(dz A dy)

dy A dz = dy dt = ( - l ) ( d z A dy)

di A dx = dz dx = (-l)(dz A dz)

d z A d T = O , d y A d y = O , d z A d s = O

dz A (dyAd t ) = ( d z A dy) A dt = dx dy dz.

(vi;) Si f es una O-forma y w es cualquier k-forma, entonces f A w = fw

Usando las leyes ( i ) a la (vi;), podemos hallar ahora un producto Único de cualquier ¿-forma 9 y cualquier k-forma w, s i O 5 k + 1 5 3.

EJEMPLO 9 Mostrar que dz A dy d z = dz dy d z .

SOLUCIÓN Por la regla (vi), d y d r = dy A d z . Por lo tanto,

dz A dy d z = dx A (dy A dt) = dx dy dz. A


EJEMPLO 10 S i w = z d z + y d y y 1 ) = z y d z + z z d y + z y d z , h a l l a r w A 1 1

SOLUCIóN Calculando w A q , se obtiene

EJEMPLO 11 S i w = z d x - y d y y ~ = z d y d z + z d z d y , h a l l a r w A ~ .

SOLUCIÓN

w A ~ = ( z d z - y d y ) A ( z d y d z + z d z d y )

= [ ( z d ~ - 5 ( d y ) A ( z d y d ~ ) ] + [ ( 3 : d 2 - y d d y ) A ( ~ d z d y ) ]

= (z’ dz A dy dz) - (zy dy A dy dz) + (zz dz A dz dy) - (yz dy A dz dy)

= [z’ d z A (dy A dy)] - [yz dy A (dy A dz)]

+ [zzdz A (dz A dy)] - [y” dy A (dz A dz)]

= z’ d z dy dz - [zy(dy A dy) A dz]

+ [ ~ ~ ( d z A dz) A dy] - [yz(dy A dz) A d y ]

= z2 dl: dy dz - zy(0 A dz) + zz(0 A dy) + [yz(dy A dy) A dz ]

= z2 dz dy dz. A

El último paso importante en el desarrollo de esta teoría es mostrar cómo diferenciar formas. La derivada de una k-forma es una (IC + 1)-forma si k < 3 y l a derivada de una 3-forma siempre es cero. Si w es una k-forma, denotaremos la derivada de w por dw. La operación d tiene las propiedades siguientes:

(1) Si f: I< -+ R es un O-forma, entonces

(2) (Linealidad) Si w1 y wp son k-formas, entonces

d(w1+ w2) = d w l + d W 2 .

( 3 ) Si w es una k-forma y 7 es u n a l-forma,

d(w A 7 ) = ( d d A 71) + (-1


(4) d(&) = O y d(dz ) = d(dy) = tl(dz) = O , o simplemente, d 2 = O

Las propiedades (1) a (4) proporciollan informaci6n suficiente para permitirnos difcs- renciar de manera ilnica cualquier forma.

SOLUCIÓN

(usalldo 2 )

(usando 3 )

(usando 4)

EJEMPLO 13 Sea f una O-forma. (bando scilo las reglas de diferenciacidn ( 1 ) a (3 ) y el hecho de que d ( d z ) = d(dy) = d ( d z ) = O , mostrar que d(df) = O.

SOLUCIÓN Por la regla (11,

de modo que


Trabajando sólo con el primer término, usando la regla (3), obtenemos

= ( g d x + - a y a x a2f d y + - azax d l ) A d x + O

-- - d y A d x + - d z A d x a y a x azax

- - - a 2 f d x d y + - d z d x . a y a x a z a x

De manera análoga, hallamos que

azay

Y

- d y d z . a2 f a y a z Al sumarlos obtenemos d ( d f ) = O por la igualdad de las derivadas parciales mixtas.

A

EJEMPLO 14 Mostrar que d ( d x d y ) , d ( d y d z ) y d ( d z d x ) SOR cero.

SOLUC~ÓN Para probar el primer caso, usamos la propiedad (3):

d ( d x d y ) = d ( d x A d y ) = [ d ( d x ) A d y - d x A d ( d y ) ] = O .

LOS otros casos son similares. A

SOLUCIóN Por la propiedad ( 2 )

d V = d ( F d z d y ) + d ( G d y d z ) + d ( H d z d x ) .

Calcularemos d ( F d x d y ) . Usando de nuevo la propiedad (3) , obtenemos

d ( F d x d y ) = d ( F A d x d y ) = d F A ( d x d y ) + F A d ( d x d y ) .


Por el ejemplo 14, d ( d x dy) = O, de modo que nos queda

Y

dz A ( d z A dy) = (-1)2(dz A &y) A dz = dz dy d z .

En consecuencia a F ai

d ( F dz dy) = - d~ dy dz.

De manera análoga, hallamos qae

Por lo tanto

Hemos desarrollado todos los conceptos necesarios para reformular los teoremas de Green, Stokes y Gauss en el lenguaje de formas.

TEOREMA 13: TEOREMA DE GREEN Sea D una regiSn elemental en el plano xy, con d D con orientación contraria a la que giran las manecillas del reloj. Suponer que w = P ( x , y) dz +Q(z, y ) dy es una I-forma en algrín conjunto abierto I< en R 3 que contenga a D. Entonces lI1 w = /: dw.

Aquí dw es una 2-forma en IC y D es. de hecho, una superficie en R3, parametrizada por ¿@: D -+ R3, +(.,y) = (z, y, O ) . Como P y Q no son, explícitamente, funciones de 2 , entonces a P / d z y aQ/az = O y por el ejemplo 12 , dw = (aQ/ax - a P / d y ) d x dy. En


consecuencia, el teorema 13 significa nada más que

que es precisamente el teorema de Green presentado en la sección 8.1. Entonces se cumple el teorema 13. Asimismo, tenemos los siguientes teoremas.

TEOREMA 14: TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada en R3 con una frontera formada por una curva cerrada simple as [figura 8.6.3) orientada según la frontera de S [ver la figura 8.2.1). Suponer que w es una I-forma en algún conjunto abierto h' m e contiene a S . Entonces

f"

k'

/S x P-

Figura 8.6.3 Superficie orientada en la que se aplica el teorema de Stokes.

TEOREMA 15: TEOREMA DE GAUSS Sea 0 C R3 una región elemental con Ó'O con l a orientación exterior (ver sección 8.4). Si q es una 2-forma en alguna región K que contiene a R. entonces

Quizá los lectores ya notaron la fuerte analogía en los enunciados de estos teoremas. En las formulaciones para campos vectoriales hemos usado divergencia para regiones en R3 (teorema de Gauss), rotacional para superficies en R3 (teorema de Stokes) y


en R3 (teorema de Gauss), rotacional para superficies en R3 (teorema de Stokes) y regiones en R2 (teorema de Green). Aquí usamos sólo el concepto unificado de derivada de una forma diferencial para los tres teoremas; y, de hecho, podemos enunciar todos los teoremas como uno, si introducimos un poco más de terminología.

Por una %variedad orientada con frontera en R3 entenderemos una superficie en R3 cuya frontera es una curva cerrada simple con una orientación como la que se decribió en l a sección 8.2. Por una 3-variedad orientada con fron teraen R3 entenderemos una región elemental en R3 (suponemos que su frontera, que es una superficie, está dotada con la orientación exterior que se estudió en la sección 8.4). Al siguiente teorema unificado le llamamos “teorema de Stokes”, de acuerdo con las convenciones vigentes.

EJERCICIOS

1. Evaluar w A 7 si (a) w = 21: d x + y d y (b) w = X d~ - y d y

7 = x 3 d x + y’ d y q = y d x + ~ d y

7 ) = 2 d z d y + z d y d z + y d z d z 7 = dz + d z (c) w = x d a + y d y + z dz kd,l w = z y d y d z + x ’ d x d y

(e) w = e z y z d a d y q = e“3Yz d z

2. Probar que

3. Hallar dw en los siguientes ejemplos: (a) w = x’y + y3 u = y 2 c o s x d y + z y d r + d . z (c) w = x y dy + (x + y)’ dx (d) w = x d a d y + z d y d z + y d z d x

( g ) = a’ + y*

w = (x’ + y’) d y d z (f) w = (x’ + y2 + 2’) d z -x Y d z + - d y (h) w = x ’ y d y d z

Sea V: K -+ R3 un campo vectorial definido por V(z, y, z) = G ( z , y , z)i + H ( z , y, z)j + F ( z , y, z)k, y sea q la 2-forma en K dada por

q = F d a d y + G d y d z + H d z d x .

Mostrar que dq = (div V) dx dy dz.


5. Si v = A ( x , y , z)i + B ( z , y, z)j + C(z, y, z)k es un campo vectorial en K c R3, definir la operación Formaz: Campos vectoriales -+ 2-formas mediante

Formaz(V) = A d y d z + B d z d x + C dz d y .

(a) Mostrar que Formaz(aV1 + V,) = cwFormaz(V1) + Formaz(Vz), donde (y es

(b) Mostrar que Formaz(rotV) = dw, donde w = A d a + B d y + C d z . un número real.

6. Usando la versión en forma diferencial del teorema de Stokes, probar la versión en campo vectorial de la sección 8.2. Repetir para el teorema de Gauss.

7. Interpretar el teorema 16 en el caso k = 1.

Sea w = (x + y) d z + (y + z) dz + ( x + z) d y , y sea S la parte superior de la esfera unitaria; esto es, S es el conjunto de ( x , y, z) con z2+g2+z2 = 1 y z 2 O. d S es el círculo unitario en el plano a y . Evaluar S,, w tanto directamente como mediante el teorema de Stokes.

9. Sea T el sólido triangular acotado por el plano zy, el plano xz, el plano yz y el plano 2 2 + 3y + 62 = 12. Calcular

L F 1 d ~ d y + F 2 d y d z + F 3 d ~ d ~

directamente y por el teorema de Gauss, si (a) FI = 3y, F2 = 182, F3 = -12; y (b) FI = Z , Fz = z2, F3 = y.

10. Evaluar S,w donde w = z dz d y + x d y d z + y d z d z y S es la esfera unitaria, directamente y por el teorema de Gauss.

Sea R una región elemental en R3. Mostrar que el volumen de R está dado por la fórmula

r f

u(R) = z d y d z + y d z d z + z d x d y . L R

12. En la sección 3 . 2 vimos que la longitud [(a) de una curva a( t ) = ( ~ ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , a 5 t 5 b , estaba dada por la fórmula

donde, hablando informalment,e

(ds)’ = (dz)’ + (dy)’ + (tlz)’

O


Supongamos ahora que una superficie S está dada en forma parametrizada por +(u, v) = (x(u, v), y(u , v), z ( u , v)), ( u , u) E D. Mostrar que el área de S se puede expresar como

A ( S ) = dS

y de manera similar para dy y d z . Usar la ley de las formas para las 1-formas básicas d 7 ~ y dv. Entonces dS resulta una función multiplicada por l a ’,-forma 1)isica tia dv, que podemos integrar sobre D.)


1. Sea F = 2yzi + (-x + 3y + 2)j + (x’ + z)k. Evaluar sc (V x F) . d S , donde S es el cilindro x’ + y’ = u’, O 5 z 5 1 [sin tapa ni parte inferior). ;Qué sucede si se incluye l a tapa y la parte inferior?

Sea 0 una región en R3 con frontera 8 0 . Probar la identidad

I

[ F x ( V x G ) ] ~ d S = ~ ( V x F ) ~ ( V x G ) d i ; - F . ( V x V x G ) d V . R

3. Sea F = z‘yi + z 8 j - 2zyzk . Evaluar la integral de F sobre la superficie del cubo unitario.

4. Verificar el teorema de Green para la integral de linea

J L Z % r + y d y

cuando C es l a frontera de l a región entre las curvas y = z y y = S‘, 0 5 J; 5 1

5. (a) Mostrar que F = ( x 3 - 2zy3) i - 3x’y’j es un campo vectorial gradient,e. (b) Evaluar la integral de F a lo largo de la trayectoria r = cos3 8, y = sell3 8,

o 5 0 5 K / 2 .

6. ;Pueden deducir el teorema de Green en el plauo a partir del teorema de Gauss?

(a) Mostrar que F = 6xy(cos z)i + 3sz(cos z)j - 3szy(sen z)k es conservativo (ver la secció11 8 . 3 ) .

(b) Hallar f tal que F = V f . (c) Evaluar la integral de F a lo largo de la curva S = cos3 H. y = sen3 8. z = O,

o 5 0 5 T l 2 .


Sea r (z ,y , z ) = (z‘,y,z), T = Ilrll. Most,rar que V2(logr) = l / r 2 y V 2 ( P ) = t l ) T n - ’ .

Sea la velocidad de un fluido descrita por F = Gzzi + z2yj + yzk. Calcular la tasa cual el fluido va saliendo del cubo unitario.

Sea F = z2i + (“’y - 2zy)j - z2zk. ¿Existe G tal que F = V x G?

M Sean a un vector constante y F = a x r [como siempre, r(z, y, z) = (z, y, z)]. LES

F conservativo? De ser así, hallar un potencial para él.

*12. Considerar el caso del flujo de un fluido incompresible con campo de velocidad F

(a) Si p es constante para cada 1 fija, entonces mostrar que p es constante también

(b) Si p es constante en t , entonces mostrar que F V, = O .

y densidad p.

en t.

(a) Sea f(z, y, z) = 3zyez2. Calcular vf. (b) Sea a(t) = (3cos3 t,sen2 1, e t ) , O 5 1 5 T . Evaluar

S, V f ds.

(c) Verificar directamente el teorema de Stokes para campos vectoriales gradiente F = V f .

Usar el teorema de Green o evaluar de otra manera sc z3 dy - y3 d z , donde C es el circulo unitario (zz + y’ = 1 ) .

15. Evaluar la integral SS F * dS donde F = zi + y j + 3k y donde S es la superficie de la esfera unitaria z2 + y2 + z2 = I .

16. (a) Enunciar el teorema de Stokes para superficies en R3.

Stokes para mostrar que S, F ds = O donde C es una curva cerrada. (b) Sea F un campo vectorial en R3 que satisface V x F = O . Usar el teorema de

M Usar el teorema de Green para hallar el área del lazo de la curva z = a sen 8 cos 8,

y = a sen2 O, para a > O y O 5 O 5 T .

18. Evaluar S, y z dz + z z dy + z y dz donde C es la curva de intersección del cilindro z2 + y2 = 1 y la superficie z = y’.

19. Evaluar ~ c ( ~ + ~ ) d z + ( 2 2 - 2 ) dy+(y+z)dz donde C es el perímetro del triángulo que conecta (2, O , O ) , ( O , 3, O ) y ( O , O , 6 ) , en ese orden.


20. ¿,Cuáles de los siguientes campos son conservativos en R3? Para aquellos que lo sean, hallar una función f tal que F = V f .

(a) F(x, y, Z ) = 3r2yi + z 3 j + 5 k ( b ) F ( z , Y, z) = ( z + z)i - ( y + z ) j + (x - y)k

F(r . y, z) = 2xy3i + z 2 z 3 j + 3r2yZ2k

21. Considerar los dos siguientes campos vectoriales en R,3: ( i ) F ( r , y , z) = $i - z 2 j + x’k

(ii) G ( r , y , z ) = (z3 - 3sy2) i + (y3 - 3x2y) j + z k (a) ¿,Cuál de estos campos (si es que hay) son conservativos en R3? (Esto es,

(b) Hallar potenciales para los campos que seal1 conservativos. (c) Sea CY la trayectoria que va de ( O , O , O ) a (1, 1 , l ) siguiendo las aristas del cubo

O < 1 ~ l , O ~ y ~ 1 , O < ~ ~ l d e ( O , O . O ) a ( O . O . 1 ) a ( O , l , l ) a ( l , 1 , 1 ) . S e a ~ l a trayectoria de ( O , O , O ) a (1,1, 1) directamente a lo largo de la diagonal del cubo. Hallar los valores dc las integrales de l ínea

jcuáles son campos gradientes?) Dar razones para la respuesta.

L F - d s , l G . r i s ,

22. Considerar el campo vectorial constante F ( x , y. z ) = i + 2 j - k en R3. ( a ) Hallar u n campo escalar d ( z , y , z ) en R3 tal que Vd = F en R3 y

( b ) En la esfera C de radio 2 alrededor del origen, hallar los puntos en los cuales 4(O, O, O ) = O.

( i ) q es un máximo y (ii) es un mínimo.

(c) Calcular los valores máximo y mínimo de 4 en C.

23. Suponer que V.F(xo, yo, ZO) > O. Mostrar que para una esfera S lo suficientemente pequeila, con centro en ( I O , ;yo, z o ) : el ílujo de F hacia afuera de S es positivo.

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS

CON NUMERACI~N IMPAR

Algunas soluciones que requieren demostración están incompletas o se omiten.

SECCIÓN 1.1

1. 4; 17 3. (-104 + 16a, -24 - 4b, -22 + 2 6 ~ )

5. 24i + O j + Ok = 24i

7. z = O , z = O , ~ ~ R ; ~ = O , y = O , z E R ; y = O , r , z E R ; z = O , y , z E R

9. (b) Primero, lasemejanza de A((0, O, O ) , (x,O, O ) , (z , y, O) ) con A((0, O , O ) , (ax,O, O ) , ( a z , ay, O ) ) muestra que (O, O , O ) , (x, y, O ) y (ax, a y , O ) son colineales. Segundo, la seme-

que (O, O, O) , (x, y, z) y ( a z , ay, a z ) son colineales. Así, (ax, a y , a z ) está en la dirección apropiada para av. Finalmente, usar el teorema de Pitágoras para mostrar que la longitud es correcta.

11. { ( a s , 7s + 2t, 7t)ls E R, t E R} 13. l(1) = -i + ( t - l)j - k

15. l(t) = ( 2 t - l ) i - j + ( 3 t - 1)k 17. {si + 3sk - 2tjlO 5 S 5 1, O 5 t 5 1)

19. Si (x, y , z ) está sobre la recta, entonces z = 2 + t , y = -2 + t y z = -1 + t . Por lo tanto 22: - 3y + z - 2 = 4 + 2t + 6 - 3t - 1 + t - 2 = 7, que no es cero. Por lo tanto ningún (z, y, z) satisface ambas condiciones.

21. Si los vértices están en O , v y w, los puntos medios de los lados están en frv, i w y fr(v + w) como en el ejemplo 7. Verificar estas ecuaciones: ( i ) ( f ) ( v + w) =

janza de A((& O, O) , (.,y, o), (x, Y, 2)) con A(((), O , O ) , (ax, *y, O ) , ( a z , ~ , a z ) ) muestra

f v 2 3 + '(w - +) = ;w + i ( v - $4).

23. { ( x ~ , y ~ , z o ) + s a $ l b l O ~ s ~ l , O ~ t ~ l }

25. i + 4j, 0 M 0.24 radianes al noreste. 27. (a) 12:03 p.m. (b) 4.95km

586 RESPUESTAS A LOS EJERClClOS CON NUMERACIóN IMPAR

2 ( 3 , 4. 3 ) + S(O, O, 2 ) =

6(1, O. 2 ) + 4(O, 2, I ) .

IO H

IO

C

SECCIÓN 1.2

SECCIÓN 1.3

21. (a) F = (3& + 3 h j ) (b) M 0.322 radianes (c) 1 8 4

SECCI~N 1.3

3. -3i + j + 5k

7. 10

2 1 1 o 3 1 o 2 2

= 8; etc.

5. J35 9. f k

507

11. f (113i + 17j - 1 0 3 k ) / d m

13. u + v = 3i - 3j + 3k; u . v = 6; llull = 6; llvll = 3; u x v = -3i + 3k

15. (a) z + y + z - 1 = 0 (b) ~ + 2 y + 3 2 - 6 = 0 (c) 5% + 2 2 = 25 (d) z + 2?/ - 32 = 13

17. (a) Hacer lo primero obteniendo la coordenadas y después usarlas junto con A X

(B x C ) = -(B x C ) x A para obtener lo segundo. (b) Usar las identidades de la parte (a) para escribir la cantidad en términos de

productos internos. (c) Usar las identidades de la parte (a) y agrupar términos.

19. Calcular los resultados de la regla de Cramer y verificar que satisfagan la ecuación.

21. 2 - 2y 32 4- 12 = 0 23. 42: - 6y - 102 = 14

25. 103: - 17y + z + 25 = O

27. Para el ejercicio 19, notar que ( 2 , -3, 1) - ( 1 , 1 , 1 ) = O, de modo que la recta y el plano son paralelos y ( 2 , - 2 , -1) no está en el plano. Para el ejercicio 20, la recta y el plano son paralelos y (1, -1 ,2) está en el plano.

29. &/13

31. Mostrar que M satisface las propiedades geométricas de R X F.

33. Mostrar que n l ( N X a) y nz(N X b) tienen la misma magnitud y dirección.

35. Un método consiste en escribir todos los términos en el lado izquierdo y ver que los términos que incluyen X se cancelen. Otro método es observar primero que el determinante es lineal en cada renglón o columna y que si cualquier renglón o columna se repite, la respuesta es cero. Entonces

a l bl c1 az + Xu1 b2 + Ab1 cz + XCI

b3 c3

588 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON NUMERACIóN IMPAR

SECCIÓN 1.4

t . (a) Cilíndricas Rectangulares

I I I

O o 10

3&/2 312 4

Esféricas P e 4

4s0

O

arccos 9 I I

:!A 3 r / 4 1 3x14

(h) Rectangulares Esféricas P e 4

arctan x/:! + arccos &/3

I

7r/6 arccos

Cilíndricas

arcsen &/S

7r/ 6

SECCIÓN 1 .S 589

3. (a) Rotación en x alrededor del eje z. (b) Reflexión respecto al plano z y

5. No; ( T , O , 4) y ( -T ,O + x , x - 4) representan el mismo punto.

9. (a) La longitud de zi + y j + zk es (z’ + y’ + z2)lI2 = p

(b) cos 4 = z/(z’ + y2 + z2)l’’ (c) cose = ./(2 + y 2 ) 112

11. 0 I T I a, O I 6 5 2x significa que ( ~ , 6 , z ) está dentro del cilindro con radio a y centro en el eje z, y IzI I b significa que no está a una distancia mayor que b del plano zy.

13. -d/(6cosd) 5 p 5 d / 2 , O 5 4 5 2x, y x - cos”($) 5 4 5 x

15. Esta es una superficie cuya sección transversal con cada superficie z = c es una rosa de cuatro pétalos. Las hojas se encojen hasta cero conforme IcI cambia de O a 1.

SECCIÓN 1.5

1. (ii) Expresar en componentes y usar la conmutatividad de l a multiplicación de números.

(iii) x - x es una suma de cuadrados de números reales. (iv) x - x es la suma de cuadrados de las componentes de x. Esto puede ser O sólo si cada componente es O.

3. Ix y1 = 10 = &m = llxll llyll por lo tanto Ix * y1 I llxll llyll es verdadero IIX + yII = 3 d 5 = Ilxll+ I ~ Y I I por lo tanto IIx + Y I I I IIxII + I I Y I I es verdadero

IIX + YII = J28 < d5+ m = llxll + IlYll Por 10 tanto IIX + YII I llxll + llYll es 5. [x - y[ = 5 < = llxll llyll por lo tanto Ix y1 5 llxll llyll es verdadero.

verdadero. -1 -1 3

7. A B = [ 1; :] , d e t A = -5,det B = -24,

d e t A B = 120 (= det A det B ) , det(A + B ) = -61(# det A + det B )

9. IDEA: Para k = 2 usar la desigualdad del triángulo para demostrar que 11x1 + x211 5 11x1 1 1 + IIxzll; después, para k = i + 1, notar que 11x1 + x2 + .. . + xt+l 11 5 11x1 + x2 + . . . + XI I I + IIXitl11. 11. (a) Verificar n = 1 y n = 2 directamente. Después reducir un determinante de n x n a una suma de determinantes de (n - 1) x (TI - 1) y usar inducción.

(b) El argumento es análogo al de la parte (a). Suponer que se multiplica el primer renglón por X. El primer término de la suma será Xa11 multiplicado por un determinante de (n - 1) x (n - 1) sin factores de X. Los otros términos obtenidos (al desarrollar por medio del primer renglón) son similares.


13. No necesariamente. Probar para A = [r: $ 4 - [ : I :] 15. ( a ) La surtla de dos funciones continuas y u n múltiplo escalar de una funcióu cont,irtua son continuas.

(b) (i) (of'+ B y ) . k = f o l ( a f + l g ) ( z ) h ( x ) d z = J,' f ( z j h ( z ) d.z + J,' g ( x ) h ( x ) dx = N f ' h + py ' / l .

(ii) f . g = so' f ( z ) s ( z ) dz = so1 y ( z ) f ( r ) d z = 9 . f. En las condiciones (iii) y ( iv ) el irtkgrando es u n cuadrado perfecto. Por lo tanto la integral es no negativa y puede ser O sólo si el integrando es O donde sea. Si f ( z ) # O para algin I , entonces, por continuidad, sería positivo en una vecindad de z y la integral sería positiva.

17. Calcular l a mat,riz producto en ambos 6rdenes.

19. (det A)(det A - ' ) = det(AA-') = tlet(1j = 1


1. v + w = 4i + 3j + 6k; 3v = 9i + 1 2 j + 15k; 6v + 8w = 26i + 16j + 38k; -2v = -6i - 8 j - 1Ok; v w = 4; v x w = 9i f 2 j - 7k. En la figura se deberá presentar v, w, 3v, Gv, 8w, G V + 8w, v w como proyección de v a lo largo de w y v X-w como vector perpendicular tanto a v como a w.

3. ( a ) l(t) = -i + (2 + t ) j - k. ( b ) l ( t ) = (5t - 3)i + ( t + l).j - t k . (c) -%x + y + 2 2 = 9.

5. (a) O (b) (5) (c) -10.

7. ( a ) ~ / 2 (b) 5 / 2 6 (c) - 10 /& J17 .

9. {sta + s ( 1 - t)b10 5 t 5 1 y O 5 S 5 I } .

11. Sean v = ( ~ 1 , a 2 , a 3 ) , w = ( b l , b Z , b 3 ) , y aplicar la desigualdad CBS.

13. El área es el valor absoluto de

1 bl b2 I = 1 bl + Xal b2 J2Xaz 1 ' ( S e puede sumar u n múltiplo de un renglón de un determinante a otro renglón sin cambiar su valor.) En el dibujo se deberán mostrar dos paralelogramos con la misma base y altura.

15. Los cosenos de las dos partes del ingulo son iguales, pues a *v/11a11 / I v / / = (a b+

al a2 al

llall l l b l l ) / l l ~ l l = b ' v/llbll IIVII.

17. i x j = 1 1 = k; etc. n 1 n


19. (a) IDEA: La longitud de la proyección del vector que conecta cualquier par de puntos, uno en cada recta, sobre (al x a2)/11a1 x a211 es d.

(b) Jz 21. (a) Notar que

1

Y1 Y2 Y3 2

(b) + l 1 O O

2 1 x2 - 2 1 x3 - x 1 Y1 Y2 - Y1 Y 3 - Y1 /=I 1 x2 - 2 1 2 3 - 2 1

2 Y2 - Y1 Y 3 - Y1

n

I=1

Usar esto considerando a C como vector columna. (b) La matriz para la composición es la matriz producto.

31. R" está generado por los vectores e l , e2, . . . , e?%. Si v E R", entonces AV = A[)-"'=,(v e;)ei] = c,"=,(v e , ) A e , . Sea at, = (Ae, et) , de modo que Ae, = cy=l a i j e , . Entonces A v ek = cy=, (v * et)ak,. Esto es, si

v = [ "1 , entonces A v =

...

V n

como se deseaba.

33. (a) 7Ocos8+ 20sen8 (b) ( 2 1 & + 6 ) m . k

35. Cada lado es igual a 2xy - 7yz + 5z2 - 4 8 s + 5431 - 5z - 96. (O intercambiar la primera y segunda columnas y después restar la primera de la segunda.)

37. Sumar el último renglón al primero y restarlo del segundo.

a l a2 a3

39. (a) 1 h b2 b3 1 (b) - c1 c2 c3


SECCIÓN 2.1

1. Las curvas de nivel y gráficas se esbozan a continuación. La gráfica en la parte (c) es un paraboloide hiperbólico como el del ejemplo 4 pero girado 45' y aplanado verticalmente en un factor de t. Para verlo, usar las variables u = 1: + y y 'u = 1: - y. Entonces z = ( 2 - u 2 ) / 4 .

1' intersección

I con el plano z y -~

\ .. \ '11 \ con el plano z z intersección

con el plano z y -"Jt--' *--" Y ' \ >\ . Y

\ \ \

\

. .

Z

SECCIÓN 2.1 593

Y Z

X

< secci6n x = -y I

(c) z = -xy

3. Para el ejemplo 2, z = cos 6 + sen O) + 2, la forma depende de 6; para el ejemplo 3 , z = T ’ , la forma es independiente de 8; para el ejemplo 4, z = r2(cos2 6 - sen2 O), la forma depende de 8.

5. Las curvas de nivel son círculos z’ + y’ = 100 - c’ cuando c 5 10. La gráfica es el hemisferio superior de 2’ + y’ + z2 = 100.

Y /c

= o = 2 = 4 = 6 = 8 = 10

X

z

X I I

7. Las curvas de nivel son círculos y la gráfica es un paraboloide de revolución. Ver el ejemplo 3 de esta sección.

9. Si c = 0, la curva de nivel es la recta y = ”z junto con la recta x = O. Si c # O , entonces y = ”z + (./x). La curva de nivel es una hipérbola con el eje y y la recta y = ”1: como asíntotas. La gráfica es un paraboloide hipérbolico. Las secciones a lo largo de la recta y = az son las parábolas z = (1 + a ) z 2 = (1 + a ) r 2 / ( 1 + a ’ ) .

594 RESPUESTAS A LOS EJERCICTOS CON N U M E R A C I ~ N IMPAR

11. Si c > O, la superficie de nivel f ( z , y , z ) = c es vacía. Si c = O , la superficie de nivel es el punto ( O , O , O ) . Si c < O , la superficie de nivel es la esfera de radio ,,G con centro en ( O , O , O ) . Una sección de la gráfica determinada por z = a está dada por

xyt.

13. Si c < O , la superficie de nivel es vacía. Si c = O , la superficie de nivel es el eje z. Si c > O, es el cilindro circular recto z2 + y2 = c de radio A, cuyo eje es el eje z . IJna sección de la gráfica determinada por z = a es el paraboloide de revolución t = x 2 + y 2 . Una sección determinada por z = b es un “canal” con sección transversal parabólica t(y, z ) = y* + b 2 .

15. Haciendo u = ( x - z ) / & y v = ( x + z ) / h d a l o s ejes u y u girados 45” alrededor del eje y desde los ejes z y z. Como f = .y&, las superficies de nivel f = c son “cilindros” perpendiculares al plano vy (z = -x) cuyas secciones transversales son las hipérbolas uy = c/&. La sección S,=, ngráfica de f es paraboloide hiperbólico t = ( z +u)y en el espacio yzt (ver el ejercicio l(c)). La sección S,,bngráfica de f es el plano t = b z + b z en el espacio x z t . La sección S z = b ngráfica de f es el paraboloide hiperbólico 1 = y(” + b ) en el espacio xyt .

= -z2 ” 2 - u’, que es un paraboloide de revolución abierto hacia abajo en el espacio

SECCIÓN 2.1 595

17. Si c < O, la curva de nivel es vacía. Si c = O , la curva de nivel es el eje z. Si c > O , es el par de rectas paralelas \y1 = c. Las secciones de la gráfica con z constante son curvas con forma de V z = \y1 en el espacio yt.

19. El valor de z no importa, de modo que obtenemos un “cilindro” de sección transversal elíptica paralelo al eje z que interseca al plano z y en la elipse 4z2 + y2 = 16.

z

21. El valor de z no importa, de manera que obtenemos un “cilindro” paralelo al eje z de sección transversal hiperbólica que interseca el plano y z en l a hipérbola z2 - y 2 = 4.

23. Un paraboloide elíptico con eje a lo largo del eje z

X

596 RESPUESTAS A LOS EJERCIUOS CON NUMERACI~N IMPAR

X

27. Ésta es una superficie de silla de montar análoga a la del ejemplo 4, pero las hipérbolas, que son curvas de nivel, no tienen asintotas perpendiculares.

a

curvas de nivel

29. Un cono doble con ejes a lo largo del eje y y secciones transversales elípticas

3 = 4x2 + 222 f

SECCIÓN 2.2 597

31. Completar el cuadrado paraobtener (x+2)2+(y-b/2)2+(z+:)2 = (b2+4b+97)/4. Éste es un elipsoide con centro en b / 2 , -;) y ejes paralelos a los ejes coordenados.

33. Las curvas de nivel se describen por cos 20 = c r 2 . Si c > O , entonces - ~ j 4 5 8 5 x14 o 3x14 5 O 5 5x14. Si c < O , entonces xj4 5 8 5 3x/4 o 5 ~ j 4 5 8 5 7 ~ 1 4 . En cada caso se obtiene una figura con forma de 8, llamada lemniscata, que pasa por el origen. (Dichas formas fueron estudiadas primero por Jacques Bernoulli y a veces se les llama lemniscatas de Bernoulli.)

O

----(I.- x

SECClbN 2.2

1 . (a) Si (z0,yo) E A, entonces 1x01 < 1 y lyol < 1. Sea T < 1 - 1x01 y T < 1 - 1 ~ 0 1 .

(b) Si (x0 ,yo) E B y O < T 5 yo (e.g., si T = y0/2), entonces D r ( z o , y ~ ) c B

(c) Sea T = min(4 - Jm - 2) . (d) Sea T el menor de los tres nlimeros usados en las partes (a), (b) y (c). (e) Sea T = min(lxol,Iyol).

Probar que Dr(z0, yo) A, ya sea analíticamente o trazando una figura.

(probarlo analíticamente o trazando una figura).

3. Para 15 - 21 < 6 = m - 2, tenemos [x2 - 41 = 1 3 : - 21 Iz + 21 < 6(6 + 4) = c.

Por el teorema 3(iii), limite z2 = (limite z ) ~ = 2' = 4. 2 - 2 x - 2

5. (a) 5; (b) O ; (c) 2x; (d) 1; (e) -; 7. (a) 1; (b) IIxoII; (c) (1 , e ) ;

(d) El limite no existe: (ver por separado los límites para 5 = O y y = O).

598 RESPUESTAS A LOS EJERCIUOS CON NUMERACIóN IMPAR

11. 0

13. Usar las partes (ii) y (iii) del teorema 4.

15. (a) Sea 1 el valor de l a función en (0,O). (b) No

17. Sea T = I(x - y11/2. si llz - y11 5 T , sea f(z) = llz - yII/r. s i llZ - y11 > T , sea f ( 2 ) = 1 .

19. (a) límite f ( z ) = L si para todo t > 0 existe 6 > O tal que z > b y O < 2: - b < 6

implican If(.) - LI < t. x - b +

(b) límite(1/1:) = -m,l ímite e' = O , de modo que límite = O. Por lo tanto z-o- t"cc S-0-

límite 1/(1 + e' /=) = 1 . El otro límite es O . 2-0-

/J: """""*"""""

Fx I + c' '

21. Si t > O y x0 están dados, sea 6 = ( C / K ) ' / ~ . Entonces Ilf(x) - f (xo) l l < K6" = t cuando IIx - x011 < 6. Notar que l a selección de 6 no depende de 20. Esto significa que f es uniformemen te continua.

23. (a) Escoger 6 < 1/500. (b) Escoger 5 < 0.002

SECCIÓN 2.3

SECCIÓN 2.4 599

(y + xy2)eZy (z + z2y)e.’Y z cos y l0zy 1

9. En z = 1 11. Ambos son xyezy

13. (a) of = (e-z2-y2-22 ( - 2 2 2 + l), -2zye-z2-y” - 222e-32-y2--22 ) (b) V f = (xz + y2 + ~ ~ ) - ~ ( y z ( : y ~ + z2 - X”), X.(%’ + z2 - y’), + y2 - zz) )

(c) Of = (z2ez cos y, -z2ezsen y , 2zex cos y)

15. 22 + 631 - 2 = 5 17. -2k

19. Son constantes. Mostrar que la derivada es la matriz cero.

SECCIÓN 2.4

1. Usar las partes ( i ) , [ii) y (iii) del teorema lo. La derivada en x es 2(f(x)+l)Df(x) .

3. (a) h(x, y) = f(z, u(%, y)) = f ( p ( z ) , u ( z , y ) ) . Aquí usamos p sólo como notación: p ( x ) = %.

Desarrollado: - - - + -- - = - + - - a h - af d p d f a u af afau d X

dx dx a x ap dx au ax a p a u a x - pues - d p ” = ] -

JUSTIFICACI~N: Llamar ( p , u ) a las variables de f . Para usar la regla de la cadena debemos expresar h como composición de funciones; i.e., hallar primero g tal que h(x, Y) = f ( s (z ,y) ) . Sea g(z,y) =: ( p ( x ) , u ( x , y ) ) . Por lo tanto, D h = (Df)(Ds) .

600 RESPUESTAS A LOS EJERCIMOS CON NUMERACIóN IMPAR

Entonces

de modo que - = - + - -. Es posible obtener como respuesta - = - + - -. Esto requiere una interpretación cuidadosa debido a la posible ambigüedad acerca del

ah af af au i3h af 3f a u

ax a p au ax ax ax au ax

significado de af /ax , es por ello que se usó el nombre p

ah 3f af au af at1 ah af a U af atJ af a W

ax ax au ax au ax ax au ax av ax aw ax (b) -= -+ - -+ - - (.) - = "+"+"

5. Calcular cada uno de dos malleras; las respuestas son (a) (f o c ) ' ( t ) = et(cos t - sent) (b) (f o c ) ' ( t ) = 15t4 exp(3t') (c) (f o c ) ' ( t ) = ( e z t - e P z t ) [ l + 1og(e2' + e 3 ) ] (d) (f o c ) ' ( t ) = (1 + 4t2) exp(2t2)

7. Usar el teorema lO(iii) y reemplazar matrices con vectores.

9. ( f o g ) ( x , y ) = (tan(e"-Y-I)-ee"",C"("Y) - ( x - Y ) 2 ) Y D ( f o g ) ( l , l ) = -2 [ O O 1

11. f r cos( 1 ) cos(l0g A)

13. -2 cos t sen t esen + sen4 t + cos3 t esen - 3 cos2 t sen2 t .

15. (2 ,O)

17. (a) G(z, y(x ) ) = O de modo que - + -- = O . d G 8 G d y dx a y dx

aG1 aG,

(b) [ d3/2 :] = - [ dyl aG2 "1 aG2 [ '1 donde significa matriz inversa. ~ G z

ay1 ay2 ax _ _ ~

La primera componente de esta ecuación se lee

SECCIÓN 2.4 601

19. Aplicar la regla de la cadena a BG/BT donde G(t(T , P ) , P(T , P ) , V ( T , P ) ) = P(v- b)ealRvT - RT es idénticamente O ; t (T , P ) = T ; y p ( T , P ) = p .

21. Definir R1 (h) = f(xo + h) - ~ ( : K o ) - [Df(xo)]h.

23. Sean g1 y g2 funciones C' de R3 a R tales que gl(x) = 1 para llxll < & / S ; g1 (x) = O para llxll > 2&/3; yz(x) = 1 para IIx - (1,l,O)ll < &/3 y g2(x) = O para I/x - ( 1 , 1 , O ) l l > 2&/3. (Ver el ejercicio 22.) Sean

h l ( X ) = [ -; %] [ ;i] + [ i] Y h2(x) = [; ; p ] [ i:] o o -1

y hacer f ( x ) = gl (x)h(x) + g 2 ( ~ ) k 2 ( ~ ) .

25. Por el ejercicio 24 y el teorema 1o(iii), cada componente de k es diferenciable y Dkl(xo) = f(xo)Dgl(xo) + g,(xc,)Df(xo). Como [Dg;(xo)]y es la a-ésima componente de [Dg(xo)]y y [Df(xo)]y e:; el número Vf(x0) * y, obtenemos [Dk(xo)]y = f(xo)[Dg(xo)lY + [Df(Xo)IY[9(Xo)l = f(.o)[Ds(zo)lY + P f ( X 0 ) Y I d X o ) .

27. Hallar primero la fórmula para ( a / a z ) ( F ( z , x)) , usando la regla de la cadena. Sea F ( z , z) = soz f ( z , y ) dy y usar el teorema fundamental del cálculo.

29. Demostración de la regla (iii):

Cuando x -+ X O , los primeros dos t,érminos van a O por la diferenciabilidad de f y g. El tercero también, porque If(x) -- f(xo)l/llx - x011 y Ig(x) - g(xo)l/llx - xollestán acotados por una constante, digamos M , en alguna bola Dr(x0). Para ver esto, escoger r suficientemente pequeño para que [f(x) - f(xo)]/lIx - x011 diste en menos que 1 de Df (xo) (x -x~) / I Ix -x~I I si I I X - X O I I < T . Entonces tenemos If(x).-f(xo)l/llx-~oIl 5 M1 + I D f ( ~ o ) ( ~ - ~ o ) l / l l ~ - ~ o l l = M1 +IV~(XO).(X-XO)I/IIX-XOII I M~+IIVf(xo)ll por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La demostración de la regla (iv) se sigue de l a regla (iii) y del caso especial de la regla del cociente, con f idénticamente 1; esto es, D(l/g)(xo) = [-1/g(~o)~]Dg(xo). Para obtener esta respuesta, notar que en alguna bola pequeña D,(XO), g(x) > m > O .


Usar la desigualdad del triingulo y la de Scllwarz para mostrar que

Estos dos últimos términos van a O, pues 9 es diferenciable y continua.

SECCIÓN 2.5

1. V f ( 1 , 1 , 2 ) - v = ( 4 , 3 , 4 ) * (I/&, 2/&, O) = 2 h

2. (a) 17ee/13 (b) e / & (c) 0

5. (a) 9z - 6y + z = -6 (b) .Z + y = ~ / 2 (c) = 1

7. (a) - & ( i + j + k ) (b) 2 i+2j +2k (c) - : ( i + j + k )

9. k

11. La gráfica de f es la superficie de nivel O = F ( z , y, z) = f ( z , y) - z. Por lo tanto el plano tangente está dado por

o = V F ( z 0 , yo, 20) * (z - zo, y - yo, z - zo)

Como zo = f(zo, yo) , esto es z = f(zo, yo) + (af/az)(zo,yo)(z - 20 ) + (af/ay)(zo, YO)

(Y - Y O ) .

13. (a) of = (z + y, z + z ,z + y), g ’ ( j ) = ( e t , -sent ,cos i ) , (f 0 g ) ‘ ( l ) 2e cos 1 + cos’ 1 - sen2 1

(b) V f = (yzezyz, zzezyz, zyezYz),g’( t ) = [6,6t, 3 t Z ] , (f 0 g)’(1) = 108ela ( c ) Of = [I + log(z2 + y’ + z2)](zi + y j + zk),g’ = ( e t , “e-‘, I ) , (f o g) ’ ( l ) =

[I + log(e2 + e-’ + 1)](e2 - e-’ + 1)

15. Sea f ( z , y, z ) = I / T = (z2 + y2 + z 2 ) l l 2 ; r = (z, y, z). Entonces calculamos Vf = -(z2 + y2 + z 2 ) 3 / 2 ( z , y , .) =

17. V f = (g’(z), O )

SECCIÓN 2.6 603

19. Df(0, O , . . . , O ) = [ O , . . . , O ]

21. dl = [-(0.03 + 2by1)/2a]i + y l j , d2 = [-(0.03 + 2byz)/Za]i + y 2 j , donde y1 y y2 son

las soluciones de (u2 + /?)y2 + 0.03by +

z

6% -;- - - "_ ,~ ""- """_

2 X v v = L [ ( ? - 3 ) i + 2 y ( $ - $ ) j ] 2xc0 2 T;

25. Cruza en ( 2 ' 2 , O ) , &/lo segundos después.

SECCIÓN 2.6


7. Como f y a f / a r son ambas de clase C2, tenemos

9. f z z w = fZ,, = e"Yz[2xycos(zw) + z2y2zcos (xw) - z2ywsen(xw)]

df = arc tan + - X Y

ax 31 X 2 + Y 2

a2f a 2 f -2xy2 azay a y a x - (z2 + Y 2 y

-

a2f = (422 - 2)exp(-x2 - y", 7 a2 r = (4y2 - 2) 2 2 exp(-x - Y ), ax2 a y

SECCIÓN 2.7 605

a2f d x a z f d x d y d‘!f d y af d Z x df d2y 13. (x) + 2 8 - - x a y d t d t ‘$112 (111) +&dt2+&dt2’ donde c ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) )

15. Evaluar las derivadas d z u / d x z y a z u l a y ’ y sumar

17. (a) Evaluar las derivadas y comparar.

(b)

19. v = - G m M / r = - G m M ( x 2 + y’ + z ~ ) - ~ ’ ~ . Verificar que

a2v a2v a2v --+-+- = G ~ M ~ ~ ~ + ~ ~ + ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ + ~ ~ + ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ~ ~ + ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ = o a x 2 ay2 a22

SECCIÓN 2.7

[ ex O

1. D f ( x , y , a ) = 0 -seny O 1 : o o cos 2

D f es una matriz diagonal si cada función componente f, depende sólo de x i .

3. (a) Sea A = B = C = R con f ( z ) = O y g ( x ) = O si x # O y g(O) = 1. Entonces w = O y g( f ( a ) ) = 1 para todo x .

(b) Si t > O , sean 61 y 62 lo snficientemente pequeños para que Da,(yo) C y Ilg(y) - w I I < c cuando y E B y O <: IIy - yo11 < 62. Como g(y0) = w, puede quitarse la restricción O < IIy - yell. Sea 6 lo suficientemente pequeño para que 1 1 f (x) - yo11 < mín(61,62) siempre que x E A y O < / IX -XO 11 < 6. Entonces para dicho X, 11 f (x)-yoll < 61, de modo que f (x) E B y g ( f (x)) esté definida. Además 1 1 f (x) - yo )I < 62, de modo

<

que Ils(f(x1) - WII < c.


Como las k-ésimas cornponent,es concuerdan para cada I ; , Vf(x) = 2Ax

7. La matriz T de las derivadas parciales se forma al colocar Dg(zo) y Dh(yo) uno a continuación de otro, de modo que T(zo,yo)(z - zo,y - yo) = Dg(zo)(z - 20) + D h ( y o ) ( y - yo). Usemos ahora la desigualdad del triángulo y el hecho de que II(z - zo, y - y0)ll es mayor que Iz - zo/ y que Iy - yo1 para mostrar que /If(., y) - f (zo , yo) - T(zo, YO)(^ - zo, Y - ~o)II/ll(z - z0I Y - YO)/I va a O.

9. TJsar los teoremas de límites y el hecho de que la función g(z) = es continua. (Probar el dltimo enunciado.)

11. Para continuidad en ( O , O ) usar el hecho de que

o que l zy l 5 (z' + y2 ) /2 .

13. O, ver el ejercicio 11.

15. Hacer que en la definición, x desempeñe el papel de x0 y x + h el de x.

17. El vector a toma el lugar de x0 en la definición de límite o en el teorema 6. En cualquier caso, el límite depende s d o de los valores de f (x) para x cerca de XO, no para x = xg. Por lo tan to f (x) = g(x) para x # a es suficiente para igualar los límites.

19. (a) límite(f1 + f2)(x)/iixll = límite f ~ ( x ) / ~ ~ x / ~ +límite f ~ ( x ) / ~ ~ x ~ ~ = O. x--0

(b) Sea t > O . Como f es .(X), existe 6 > O tal que Ilf(x)/l/xll 1 1 < c/c siempre x--0 x-o

que O < llxll < 6. Entonces Il(sf)(x)/llxll / I 5 M X ) l llf(x)/llxll / I < e , de modo q u e l í m i t e ( g f ) ( x ) / ~ ~ x ~ ~ = O.

x--0

(c) límit,e f(z)/IzI = límit,e 1x1 = O , de modo que f ( z ) es o(.). Pero

límite g ( z ) / l z no existe. pues g(z)/ lzl = (cuando z es positivo o negativo). Por lo

tanto g(z) no es o ( . ) .

2-0 2-0

2-0


1. (a) Paraholoide elípt,ico. (b) Sea y' = y + 3 y escribir z = zy'. kste es un paraboloide hiperbólico (despla-

zado).


5. El plano tangente a una esfera en (zo, go, 20) es normal a la recta que va del centro a (20, yo, 20).

7. (a) z = z - y + 2 (b) 1: =: 43: - 8y - 8

(c) z + y + z = l (d) 1 0 ~ + 6y - 4 2 = 6 - X

(e) 22 = J z x + Jzy (f) x +- 2y - z = 2

9. (a) Las curvas de nivel son hipérbolas zy = l / c :

Y

I I

/ / I

/ / /

//’ c = - 4 / / /

I’

/

” ””

S& c = 4

(b) c = z2 - z y - y2 = (z - -.y> 1 -t & (z - -y) 1 - &

608 RESPUESTAS A LOS EJERClCiOS CON NUMERACIóN IMPAR

11. (a) O. (b) No existe el límite.

13. Si F = Of, entonces a F ~ / a y = a2 f / a y a x y a F z / a x = a 2 f / d x d y . Como F es de clase C1, las segundas derivadas parciales de f son continuas y, por el teorema 15, iguales.

Si F1 = y c o s x y Fz = xsen y, entonces a F l / a y = cos x y a F z / a x = sen y. Como no son iguales, F no es gradient.e de nada.

15. (a) La recta L(t) = ( 2 0 , yo! f ( x 0 , yo)) + t ( a , b, c ) está en el plano z = f (xo , yo) si c = O y es perpendicular a V f ( z 0 , y o ) si u ( a f / a z ) ( x o , yo) + b(af/ay)(xo, yo) = O . En L, tenemos

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPiTULO 2 609

(b) El plano tangente contiene a la recta horizontal que pasa por (1, O , 2 ) y es perpendicular a V f(1, O ) = (5,0), esto es, paralela al eje y. Forma un ángulo de arct,an(llVf'(l, 0)ll) = arctan 5 z 78.7" respecto al plano xy.

17. (l/&, l/&) o (-I/& -1 /d?)

19. Una normal unitaria es (fi /10:1(3,5,4). El plano tangente es 32 + 5y + 42 = 18.

21. 4i + 16j

23. (a) Como g es la composición A H Ax ++ f (Xx) , la regla de la cadena da

P f a2f y2 - x 2 x 2 - y2 ax2 ay2 (x2 + Y 2 ) 2 ( x Z + Y2 )2

25 (a) - + - = 2 .+ 2 = O

(c) hzz + h,, + h,, + h,, = - 6z2 - 2y2 - 22' - 2w2 6y2 - 2x2 - 2z2 - 2w2 + (x2 + y2 + 22 + w2)3 (x2 + y2 + 22 + w2)3

27. Diferenciar directamente usand83 la regla de la cadena, o usar el ejercicio 23(a) con p = o. 29. (a) Si (z, y) # ( O , O ) , entonces se calcula para (i) que d f / d x = (y3 -yz2) / ( z2+y2)2 y d f / a y = (x3 - zy2) / (x2 + y2)* . :Si z = y = O , usar directamente l a definición para hallar que ambas derivadas parciales son O.

(b) La fórmula (i) no es continua en ( O , O ) ; la fórmula (ii) es diferenciable pero la derivada no es continua.

31. (a) Usar la regla de la cadena y suponer que f es de clase C 2 , de modo que a2 f / a x a y = d2 f / a y a x .


( c ) La curva de nivel que pasa por (z0,yo) debe ser tangente a la recta que pasa p o r ( O . o ) y ( l o 3 yo ) . L a s curvas de nivel son r e d a s o senlirrectas que salen del origen.

57. f2.r + f y , = 0

SECCIÓN 3.2 61 1

SECCIÓN 3.1

I. (a) u’(t) = (2x cos 2x4 -2x sen 2 x t , 2 - 2 t ) , Ú ( O ) = (ax, O , 2) (b) a’(t) = (e t , - sen t ,cos t ) ,u ’ (0) = (l,O,l) (c) u’(t) = ( 2 t , 3tZ - 4, O ) , ~ ’ ( 0 ) = ( O , -4, O) (d) u’(t) = (2 cos 2t , l / ( l + t ) , I ) , u’(0) = (2,1,1)

3. (a) v ( t ) = - ( s e n t ) i + 2 ( c o s 2 t ) j ~ , a ( t ) = - ( c o s t ) i - ~ ( s e n 4 t ) j , l = i + 2 t j (b) v(t) = ( t cos t + sen t)i + (- 2 sen t + cos t)j + &k

a(t) = ( - t sen t + 2 cos t)i -+ ( - t cos t - 2 sen t ) j 1 = t ( j + &k)

(c) v(t) = &i + e‘j - e-‘k, a(,t) = e‘j + e“k, 1(t) = j + k + t ( h i + j - k) (d) v(t) = i + j + &k, a(t) = --k, 1 = t(i + j )

1 2 Ji

5. 1 g . cm/s2 en la dirección - i

9. El periodo T = 5662 S = 1.57 h. 11. (8 ,8,0)

13. Usar las partes (a) y (b) del ejercicio 12.

15. a(t) x a’(t) es normal al plano ‘de la órbita en el tiempo t . Como en el ejercicio 14, su derivada es O , de modo que el plano orbital es constante.

SECCIÓN 3.2

(f) Usar la sustitución u = e t para demostrar que la integral es 2 ( e - e”). ( g ) + 2)3/2 - ( to + 2)3/2]

3. 3 + log 2

5. (a) Como a es estrictamente creciente, manda [a, b] biunívocamente sobre [a(a), a(b)] . Por definición, v es la imagen de c si y sólo si existe t en [a, b] con c(t) = v. Existe un punto S en [a(a) ,a(b)] con S = a( t ) , de modo que d(s) = ~ ( t ) = v. Por lo tanto la imagen de c está contenida en la de d. Usar (Y-’ de manera análoga para la inclusión opuesta.

(b) Id = s,qb“‘ ~ ~ d ‘ ( S ) ~ ~ ds = si=a(a) l l d ’ ( a ( t ) ) l l @ ’ ( t ) dt G=:a(b)

= S,‘==,“ / ld’(a(t))a’(t)l/ d t = sab Ilc’(t)ll dt = I,.

7. (a) lb = sab 11u1(3)11 d s = sab d3 = b -a .

(b) T(3) = u ’ ( s ) / ~ ~ u ’ ( s ) ~ [ = a ’ ( 3 ) , de modo que T’(s) = u”(s) . Entonces

(c) Mostrar que si (i) v y w están en R3, IIv x w I I = IIw - (v - w/llvllz)vll IIvII. Usar esto para mostrar que si (ii) p ( t ) = ( z ( t ) , y ( t ) , ~ ( t ) ) nunca es ( O , O , O ) y f ( t ) =

k = IlT’ll = 11u”(s)11.


Si S es la longitud de arco de o, tls/dt = l l a f ( t ) l l , y por lo tanto

Así

(Est.e result,ado es til para el cjercicio 9 . ) ( 4 I / & .

9. (a) Corno u est,á parametrizada por l a longit,nd de arco, T ( s ) = a ’ ( s ) . y N(.s) = a ” ( s ) / ~ ~ a ” ( s ) ~ ~ . Usar los ejercicios 12 y 1 3 de la sección 3.1 y el ejercicio 7 para mostrar que

Y dB d S

r = - “ . N = - (6’ x a’”) . a’” ( a’ x a”) . a’”

/ t ~ f f / 1 2 l la”1I2 - -

( b ) Obtener T’(f.) y ~ ~ T ’ ( t ) ~ ~ como en el ejercicio 7 . B es nn vect,or unitario en la dirección de u‘ x T’ = (a’ x a ” ) / ~ ~ u ’ ~ ~ . de modo que B = (a’ x a”)/lla’ x ~ ’ ’ 1 1 . TJsar el resultado (ii) en la solución del ejercicio 7 con p = a’ X a” p ejercicios 13 y 13 de la sección 3.1 para obtener dB/& = (a’ x cr”’)/~~a’ x a”jl - {[(u’ x a”) (a’ x a”’)]/lla’ x a”113}(4’ x o’’), p los valores de T’ y llT’ll para obt,ener N = ( ~ ~ a ’ ~ ~ / ~ / a ’ x a’’11)(a’’ - (o’ x a ” ) / / ~ ~ ’ ~ ~ ~ ) . Finalmente, usar la regla de la cadena y el product,o int,erior de &stas para obtener

N ( s ( t ) ) = N = 1 dB (a’ x a”) * a’”

Ids/dtl d t /la’ x u ” l j 2

(c) -&I3

11. (a) N estádefinida como T’/lIT’/l, de modo que T’ = IIT’/IN = kN. Como T-T’ = O , T , N y B son una base ort.onorma1 para R3. Al diferenciar B(s) B(s) = 1 y B(s).T(s) = O se muestraque l3’-B = O y B’.T+B.T’ = O . Pero T’-B = 1IT’IIN.B = O . de modo que también B’.T = O. Así, B’ = (B’.T)+(B’.N)N+(B’.B)B = (B’.N)N = - rN . También N‘ N = O pues N - N = 1. .4sí, N’ = (N’ - T ) T + (N’ B)B. Pero al diferenciar N . T = O y N B = O da N’ . T = -N - T’ = -I; y N’ B = -N - B’ = r . de modo que se sigue la ecuación d~ enmedio.

(b) w = -ri = kk

SECCIÓN 3.4 61 3

SECCIÓN 3.3

1. (a) - = -m”2(r’(t),r”(t)) + (gradV(r(t)),r’(t)) dE 1 dt 2

= (r’(t), -grad V(r(t))) + (grad V(r(t)), r’(t)) = O . (b) Usar los productos interiores hallados en la parte (a). Si V es constante,

también Ilr‘(t)ll lo es.

3. -V(c(t)) = (VV(c(t)),c‘(t)) =: -(VV(c(t)), VV(c(t))) 5 O . Una partícula tiende a moverse hacia una región de menor energía potencial. (El agua fluye colina abajo.)

d at

5. Usar el hecho de que -VT es perpendicular a la superficie T = constante.

7. d ( t ) = (2t,2,1/2&) = F(g(t)).

9. S i x = ( x , , x 2 , 2 ~ ) , ~ ( x , t ) = ( ~ ~ , ~ 2 , ~ 3 ) y f =f(zl,zz,x3,t),entonce~porlaregla de la cadena,

SECCIÓN 3.4

1. (a) O ; (b) O ; (c) (1Oy - 8z,6z - 10x,82: - 6y)

3. (a) V f = r/llrll, r = ( 2 , y, z), V x V f = 0 (b) V f = ( y + z , x + z , y + x ) , V x V f = O (c) Of = -2r/llrl14, T = ( 2 , y, z), v x Vf = O

5. V - F = (d/ax)y + (d/ay)x = O + O = O

7. v f = (22y2, 22’y + 2yz2, 2y’z); v X v f = (4yz - 4yz, O - O , 4xy - 40y) = (0, o , 0)

9. V X F = ( O , O , sen y - cos x). Si F = V f , entonces, como F es C1, f sería de clase C’, y V X F = V x Of sería O , pero no es así.

11. Por la regla del producto,

d - v . \ v = - . w + v . - dv dw dt dt dt .

Sustituir la ecuación (7) en ésta. Para la últirna igualdad, usar ATv w = v Aw del ejercicio 16, sección 1.5.

13. Por la selección de los ejes,

w = f ( V X F)(O) = wk.

614 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON NUMERACI~N IMPAR

Por el ejemplo 2 , v = -wyi + w z j

y por lo tanto

Por otro lado, según las definiciones de W y V x F,

w11 w12 w13

W = wZ1 w 2 2 u 2 3 [ w31 w32 w33!

O

Nuestra selección de ejes coordenados da

Para interpretar el resultado notamos que el campo vectorial v representa una rotación alrededor de un eje fijo w. El flujo $(x,t) de v hace girar puntos en este campo, y, para t fija, su derivada D,$(x,t) también rota vectores. Sea Y un vector arbitrario y sea Y ( t ) = Dxli;(xl t )Y. Cuando t crece o decrece, Y( t ) ro ta alrededor de W Y

d t = D,v(O)Y

Esto da l a tasa de cambio de Y conforme se transporta (rota) por D x 4 . Por el ejercicio 11, la tasa de cambio de cualquier vector X en el origen que es transportado por l a derivada del flujo q5(x, 2 ) de F, estri dada por

= D x F ( 0 ) X = (S + W ) X

Así, esta tasa de cambio de X tiene dos componentes: la matriz de deformación, que afecta productos interiores, y l a matriz W . Así, la matriz W es precisamente la tasa de cambio de los vectores conforme son sometidos a una rotación infinitesimal alrededor del eje (rot F)(O) = (V X F)(O) por la función DX+(., 2 ) .

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 3 61 5

[La matriz de deformación S incorpora todos los cambios de longitud y ángulo provocados por el flujo. En particular, los cambios de volumen están contenidos en S. De hecho, la traza de S es la divergencia: tr S = div F(x). (La traza de una matriz es la suma de sus registros diagonales). La parte sin traza de S,

S' = S - i ( t r S ) I

donde I es la identidad de 3 x 3, se llama tijera.]

15. La recta x + Av va a dar a la curva X H $(x + Av, 1 ) después de un tiempo t , la cual, para X pequeño, se aproxima por su recta tangente, a saber, X ++ d(x, t)+Dx$(x, t)*Xv.

S E C C I ~ N 3.5

1. Solamente (a)

3. Escribir cada expresión en términos de coordenadas.

5. (a) 2zyi + z'j (b) 3y:z;i + (4x2 - y3z)j (c) 4z2 z2i + 2yj + 2y3zZ zk (d) 42 z y + zz (e) - y 3 t z 3 i + 2z2y4zj + (2z3z2 - 2zy)k

7. No, considerar F = zi + z y j + k; V x F = yk , que no es perpendicular a F.

11. Pensar las coordenadas polares! como coordenadas cilíndricas pero sin coordenada z , o igual a O , para ver que las transformaciones requeridas son las dadas por el teorema 5. Usar primero la parte (i) de ese teorema para obtener Vu, y después la parte (ii) para obtener V - Vu.


1. (a) 2; (b) O; (c) 14

3. (a) V f = yz2i + z z z j + 2zyzk (b) V x F = (x - y)i - zk (c) (2zyz3 - 3z2zyz) i - (y2z3 - 2z2yzz) j + (yzz3 - 2zZyz2)k

616 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS CON NUMEFIACIÓN IMPAR

5.

Velocidad Aceleración Rapidez Recta Tangente

7. 35,880 km 9. F = (2m, O , -m)

11. (2x, 3 2 , -2K)

13. (a) V - F = 2yeZ + z2yeZ + 22; V X F = O . (b) f(z, y, 2 ) = z2yez + z3/3 + C. Como F es C1, una f que funcione será C2, de

modo que V x F = V x V f = O . Así, es necesario que V x F = O para que exista una solución a la parte (b).

15 z (1) = 1/(1 - t ) ; y ( t ) = O; ~ ( t ) = e t / ( l - 1); y d ( t ) = ( (1 - t)- ’ ,O, (et/(I - t ) ) ( l + 1/(1 - t ) ) ) = ( ~ ( t ) ~ , O , z ( t ) ( l + ~ ( t ) ) ) = F(g(1 ) )

17. 1 + h 2

SECCI~N 4.1

I. f ( h l , h 2 ) = h: + 2h1h2 + hz (Rz(h,O) = O en este caso)

5. f ( h l , h z ) = l + h l h z + R : ! ( h , O ) 7. (a) Mostrar que IRk ( z ,a ) l 5 ABk+’ / (k + l)! para constantes A , B y z en un

intervalo fijo [a, b ] . Probar que R k -+ O conforme I; -+ m. (Usar la convergencia de la serie E c k / k ! = e‘ y usar el teorema de Taylor.)

(b) La única dificultad posible es en z = O. Usar la regla de L’H6pital para mostrar que

limite p ( t ) e ‘ = 00

para todo polinomio p ( t ) . Usando esto, probar que límite p ( z ) e - ” ” = O para toda

función racional p ( z ) y usarlo para mostrar que f(k)(o) = O para todo k

t-m

=-O+

(c) f : R” -+ R es analítica en x0 si la serie

SECCIÓN 4.2 61 7

converge a f(x0 + 11) para todo h == (111,. . . , h r x ) en un disco suficientemente pequeño llhil < t. La función f es analítica” si para t.otlo R > O existe una constante M tal que I(akf/¿?xil . ’ . ~ z , , ) ( x ) ( < M k para cada derivada de orden k-ésimo en todo X que satisfaga I(x(I 5 R.

k=O

SECCIÓN 4.2

1. (0,O); punto silla.

3. Los puntos críticos están sobre La recta y = - x ; son mínimos locales pues f(z, y) = (z + y)’ 2 O, y son iguales a cero s6lo cuando z = -y.

5. ( O , O) ; punto silla.

7. (-:,-+); mínimo Iocd.

9. ( O , O ) ; máximo local. (El criterio falla, pero usar el hecho de que cos z 5 1.) (m, m), mínimo local. ( O , a, mínimo local.

11. No hay puntos críticos. 13. (1,l) es un mínimo local.

15. (O , T A T ) ; puntos críticos, no hay máximos o mínimos locales.

17. (a) a f / az y a f / ¿?y se anulan (en ( O , O) . (b) Mostrar que f c g ( t ) ) = O en t = 0 y que f ( g ( t ) ) 2 O si It1 < lb1/3u2. (c) f es negativa en la parábola y = 2x2.

19. Los puntos críticos están sobre la recta y = z y son mínimos locales (ver el ejercicio 3).

21. Minimizar S = 2 x y + 2y2 + 2x2 con z = V/zy, V el volumen constante.

23. 40, 40, 40

25. El Único punto crítico es ( O , O , O ) . Es un mínimo, pues

27. (1, $) es un punto silla; (5, $) es un mínimo local.

29. $ es el máximo absoluto y O e:; el mínimo absoluto.

31. -2 es el mínimo absoluto; 2 es el máximo absoluto.

33. (i, 4) es un mínimo local.


35. Si u n ( z , y ) = u ( z , y) + ( l / n ) e z , entonces V2un = ( l / n ) e z > O. Así, un es estrictamente subarmónica y puede tener su máximo sólo en 8 D , digamos, en pn = ( x n , yn).

Si ( 2 0 , yo) E D, verificar que esto implica u ( z n , y,) > u(z0 , yo) - e / n . Así, debe existir un punto q = (zm, y,) en 8 D tal que arbitrariamente cerca de q podemos hallar un ( x n , yn) para n tan grande como se quiera. Deducir por la continuidad de u , que 4z00 , 31‘20) 2 4 z 0 , Y O ) .

37. Seguir el método del ejercicio 3 5 .

39. (a) Si existiera z1 con f(z1) < f(zo), entonces el máximo de f en el intervalo entre zo y z sería otro punto crítico.

(b) Verificar (i) por medio del criterio de la segunda derivada; para (ii), f va a -m conforme y + co y z = -y.

SECCIÓN 4.3

1. Máximo en z(1, -1, l), mínimo en f i ( - l , 1, -1 )

3. Máximo en (&, O ) , mínimo en (-&, O)

4

7. El valor mínimo 4 se alcanza en ( O , 2). Usar una ilustración en vez de multiplicadores de Lagrange.

9. ( O , O , 2 ) es un mínimo de f .

11. i?j es el máximo absoluto y 0 es el mínimo absoluto.

13. El diámetro deberá ser igual a la altura, 20/%cm

15. La longitud horizontal es m, la longitud vertical es Jp‘;;/p.

17. Para el ejercicio 1, los hessianos limitados requeridos son

En G(1, - 1 , 1 ) el multiplicador de Lagrange es X = &/4 > O, que indica un máximo en z(1, - 1 , l ) y X = -&/4 < O indica un mínimo en 8 ( - 1 , 1 , -1). En el ejercicio 5 , = 24X(4x2 + 6y2), de modo que X = > O indica un máximo en

( 9 / a , 4 m ) y X = -m/12 < O indica un mínimo en ( - 9 / f i , -4/m).

SECCIÓN 4.4 61 9

SECCIÓN 4.4

1. Usar el teorema 10 con n = 1. (Ver el ejemplo 1). La recta (i) está dada por O = ( Z - 2 0 , y - yo) Vf(~o, yo) = (x - zo)(aE./ax)(1:0, Y O ) + (y - y o ) ( a F / a y ) ( z o , YO). Para la recta (ii) el teorema 10 da d y / d z = - ( a F / a x j / ( d F / a y ) , de modo que las rectas concuerdan y están dadas por

3. (a) Si E < - 9 podemos despejar y en términos de 1: usando la fórmula cuadrática. (b) a F / a y = 2y + 1 no es cero para {yly < -$ } y {y iy > - 5 , . Estas regiones

corresponden a las mitades superior e inferior de una parábola horizontal con vértice en (-:, -3) y a la selección del signo en la fórmula cuadrática. La derivada dy/dz = -3 / (2y + 1) es negativa en la rnitasl superior de la parábola y positiva en la inferior.

5. Sea F ( z , y , z ) = z3z2 - z 3 y a ; d F / a z = 2z32 = 3z2yz # O en (1,1,1). Cerca del origen, con 3: = y # O , obtenemos las soluciones 2 = O y z = z de modo que no hay solución única. En (1, I ) , a z / a z = p y az/ay = -t.

7. Con FI = y + x + uv y Fz = u x y + v , el determinante en el teorema general de la función implícita es

que es O en ( O , O , O , O ) . Así, no se aplica el teorema de la función implícita. Si tratarnos en forma directa hallamos que .u = - - m y , de modo que x + y = u’xy. Para una selección particular de (x, y) cerca de ( O , O ) 110 hay soluciones para ( u , v) o bien hay dos.

9. No. f ( z , y ) = (-1,O) tiene infinidad de soluciones, a saber ( x , ~ ) = (0,y) para cualquier y.

11. (a) x: +y: # O .

(b) f‘(z) = -z(1: + 2y) / (x2 + Y’); g’(z) = Z(Y - 2z)/(zZ + Y’).

13. Multiplicar e igualar los coeficientes para obtener ao, al y az como funciones de T I , r2 y r3. Después calcular el determinante jacobiano a(ao, a l , a z ) / a ( r 1 , r z , 73) = (r3 - rZ)(rl - r Z ) ( r l - r 3 ) . Éste no es cero si tiene distintas raíces. Así, el teorema de la función inversa muestra que las raíces se pueden hallar como funciones de los


coeficientes en alguna vecindad de cualquier punto en el que las raíces sean distintas. Esto es, si las raíces 7 1 , T Z , 73 de z3 + a 2 z 2 + a l z + a0 son todas diferentes, entonces hay vecindades V de ( T I , 7 2 , 7 g ) y W de (ao, a l , az) tales que las raíces en V son funciones suaves de los coeficientes en W.

SECCIÓN 4.5

1. (-;, ;) 1 1

3. (2 ,1) es un equilibrio inestable.

5. Punto de equilibrio estable ( 2 + m2g2)"'2(-1, -1, -mg)

7. No hay puntos críticos; no hay máximo o mínimo

9. ( - l , O , 1)

11. En el óptimo, Q K / a = p L / ( 1 - a ) .


1. (a) Punto silla (b) Si IC/ < 2, mínimo; si IC1 > 2 , punto silla; si C = f 2 , mínimo.

3. (a) 1 (b) &/6

5. z =

7. ( O , o, f l )

9. Si b 2 2 , la distancia mínima es 2 m ; si b 5 2 , la distancia mínima es Ibl.

11. No es estable

13. f(-$, -&/2) = 3&/4

15. 2 = ( 2 0 / 3 ) 6 ; y = 1 0 8 ; ~ = 5 z

17. El determinante requerido en el teorema general de la función implícita no es cero, de modo que podemos resolver para u y u ; ( a u / a z ) ( 2 , -1) = s. 19. Se puede hallar una nueva base ortonormal con respecto a la cual la forma cuadrá- tica dada por la matriz

tenga forma diagonal. Este cambio de base define nuevas variables 6 y 9, que son €unciones lineales de 2: y y. Con manipulaciones de álgebra lineal y la regla de la cadena se muestra que LV = x ( P v / ~ < ~ ) + p ( a 2 v / a q 2 ) . LOS números X y p son los valores

SECCIÓN 5.2 621

propios de A y son positivos, pues la forma cuadrática es definitivamente positiva. En un máximo, aula[ = ¿?v/ao =I O . Más aún, a2a /3 t2 5 O y ¿?2v/aq2 5 O , pues si cualquiera fuera mayor que O , la sección transversal de la gráfica en esa dirección tendría un mínimo. Entonces, Lw 5: O , contradiciendo así la subarmonicidad estricta.

21. Invertir las desigualdades mostradas en los ejercicios 1 9 y 20.

23. Las ecuaciones para un punto crítico, a s l a m = a s l a b = O , cuando se resuelven para m y b dan m = (y1 - yz)/(zl - 5 2 ) y b = y2z1 - y1z2. La recta y = m3: + b pasa entonces por (z1 y]) y ( 2 2 , y2).

25. En un mínimo de S tenemos O = a s / a b = -2 (yt - mx, - b ) .

27. y = &x +

/

SECCION 5.1

1. (a) E; (b) K + fr; (c) I ; ( d ) log2 -

3. Para mostrar que los volúmenes de los dos cilindros son iguales, mostrar que sus funciones de área son iguales.

SECCIÓN 5.2

1. (a ) &; (b) e - 2 ; (c) l isenl; (d) 2 l n 4 - 2

3. Si f(z0, yo) > O , usar la continuidad para mostrar que existe un rectángulo pequeño RI que contiene a ( m , yo) con f ( z , y ) > $ f ( z o , y o ) en RI . Sea g ( z , y ) igual a i f (zo , yo) en R1 y O en el resto. Por el teorema 2 , g es integrable. Usar las propiedades (iii) y (iv) de la integral para mostrar que esto implica que S , f d z dy > i f ( z 0 , yo) área (RI).

5. Usar el teorema de Fubini para escribir

y notar que S, f ( z ) dz es una constante, de modo que puede sacarse. 6

7. y 9. Como so1 dy = so1 2y dy = 1, tenemos hl[hl f ( z , y) dyldz = 1. En cualquier par-

tición de R = [O, 11 x [O, 11 cada rectángulo H,k contiene puntos .:;) con z racional y c!il con z irracional. S i en la partición regular de orden n escogemos cgk = c::) en aquellos


rectángulos con O 5 y 5 y cJk = c::) cuando y > t. las sumas de aproximación son

Corno g es integrable, las sumas de aproximación deben converger a S, g dA = g. Sin embargo, si hubiésemos escogido todos los c , , = c“) , todas las sumas de aproximación tendrían el valor 1.

1 1 . La funcicin f no está acotada, pues debe haber un volumen de -1 sobre cada uno de los cuadrados diagonales de área l / [ n ( n + l)]’.

3 k

SECCIÓN 5.3

1 - (a) i , ambos; (b) $, ambos (c) (e2 - 1)/4, ambos; (d) $, ambos.

5. 28,000ft3 7 . o 9. ‘Tipo 1; x/2. 11. 50x

13. x124

15. Calcular la integral primero respecto a y. Dividirlo en integrales sobre [-d(z), O] y [O, 4(x)] y cambiar variables en la primera integral o usar simetría.

I?. Sea { R t 3 ] una partición de un rectángulo R que contenga a D y sea f igual a 1 en D. Así, f’ es 1 en D y O en R\D. Sea C,k E R\D si R,, no está totalmente contenido en D. La suma de aproximación de Riemann es la suma de las áreas de aquellos rectángulos de la partición contenidos en D.

6

SECCIÓN 5.4

I . (a) $; (b) x/4; (c) S; (b) G(b) - G(a), donde dG/dy = F ( y , y ) - F(a , y) y dF/dz = f ( z , y ) .

3. Notar que el valor máximo de f en D es e y el valor mínimo de f en D es l / e . Usar las ideas presentadas .en In. demost,ración del teorema 4 para mostrar que

5. El valor más pequeíí0 de f(x, y) = 1/(z2 + y2 + 1) en D es i, en ( 1 , 2 ) , de modo que

L 1 6

f(z, y) dl: dy 2 - . á r e a d = 1.

El valor mlis grande es 1, en ( O , O ) , de modo que

SECCIÓN 5.5 623

7. i x u b c . 9. x ( 2 0 m - 52)/3

11. J3/4

13. D se ve como una rebanada de pastel.

15. Usar la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo.

SECCIÓN 5.5

1. Si u # b , tomar c = la - b 1 / 2 .

3. Sea e = 2d - c, de modo que d = (c + e ) / 2 . Considerar la “duplicación” de R hacia arriba, definida por Q = R U R I , donde R1 = [a, b] x [ d , e ] . Si f se extiende a Q haciendo f igual a O en la parte añadida, entonces f es integrable sobre Q, por aditividad. La n-ésima partición legular de [ (a + b ) / 2 , b] x [c, dl es parte de la 2n- ésima partición regular de Q. Para n grande, las sumas de Riemann para esa 2n-ésima partición no pueden variar más de E cuando cambiamos la selección de los puntos de los subrectángulos, en particular si cambiamos sólo aquellos en [(a + b ) / 2 , b] X [c, d l . Estos cambios corresponden a los cambios posibles para las sumas de Riemann para la n-ésima partición de [ (u + b ) / 2 , b] x [c, d l . El argumento para l a parte (b) es similar.

5. Sea R = [a, b ] x [c, dl y B = [e, f ] x [g, h ] . Como los rectángulos de una partición de R sólo se intersecan a lo largo de sus lados, sus áreas se pueden sumar, y b, es el área de la unión de todos los subrectángula’s de la n-ésima partición regular de R que interseca a B. Como está contenido en esta unión, área(B) 5 b,. Por otro lado, si (z, y) está en la unión, entonces e - ( b - u) / . 5 z I f + ( b - a)/. y g - (d - c ) / n 5 y 5 h + (d - c ) / n . Estoconduceab , I á r e a ( B ) + 2 [ ( t ~ - u ) ( h . - g ) + ( d - c ) ( f - e ) ] / n + 4 ( a - b ) ( d - c ) / n 2 . Haciendo n + 00 y combinando las desigualdades se prueba la afirmación

7. (a) La estrategia es ir de punto en punto dentro de [ u , b] a pasos cortos, sumando los cambios conforme se avanza. Dado c > O , 4 es uniformemente continua y por lo tanto, existe 6 > O tal que Id(.) - $(y)! 5 c siempre que 1 1 : - y1 < 6. Tomar 1: E [ u , b] e introducir puntos intermedios u = 20 < 2 1 < . . . < zn-1 < zn = 1: con z,+l - z1 < 6. Esto se puede hacer con no más de [ ( b - .)/a] + 1 segmentos. Por la desigualdad del triángulo,

Así 14(1:)1 5 Iqb(a)I + [ ( b - .)/(a + 1)]c para todo 1: en [a, b ] . (b) Usar un argumento parecido al de la parte (a), moviéndose con pasos cortos

dentro del rectángulo [u , b] x [c, d l . (c) Éste tiene s u truco, pues 13 puede estar compuesto de varias piezas desconec-

tadas de modo que no se puedan dar pasos cortos dentro de D. Sin embargo, dado c , existe 6 tal que If(.) - f(y)I 5 c cuando x y y están en D y IIx - y [ / < 6 , debido al principio del acotamiento uniforme. Como D está acotado, podemos hallar un “cubo”


grande R con lados de longitud L tal que D C R. Partir R en suhcubos dividiendo cada arista en m partes. La diagonal de cada subcubo tiene longitud &iL/m. Si tomarnos m > &iL/6, cualesquiera dos puntos en el mismo subcubo distan en menos que 6, y hay m" subcubos. Si R1,. . . , RN son aquéllos que intersecan D , escoger x, E D n R,. Para cualquier x E D , tenemos If(.)] < c + máx(lf(xl) l , . . . , If(xn)l).


1. (a) 9; (b) g ; (c) : e 2 - e + f 3. (a) -;; (b) .rr2/8.

5. En la notación de la figura 5.3.1,

7. (a) O; (b) r/24; ( c ) O

S. Tipo 1; 2x + x'. Y +

A

11. Tipo 2; 104/45 Y 6

-1

13. Tipo 1; 33/140 Y

SECCIÓN 6.1

15. Tipo 1; 71/420

17. 5 21. s.

i

19. ‘3”

625

23. La función f ( z , y ) = z2 + y2 + 1 está entre 1 y 32 + 1 = 5 en D , de modo que la integral está entre estos valores multiplicados por 47r, el área de D .

25. Intercambiar el orden de integración (el lector deberá hacer u n dibujo en el plano ( u , t ) ) :

1’ F ( u ) du dt = L2 lx F ( u ) d t du

= 12(z - u ) F ( u ) du.

SECC16N 6.1

1. 5 5. o

9. (4*/3)(1 - d / 2 )

13.

3. 7

7.

11. 47r

15. Las condiciones sobre f y W muestran que la integral existe. Para hallar su valor se puede usar cualquier suma de aproximación de Riemann. Explicar cómo se pueden escoger puntos de las cajas de una partición de manera que las contribuciones de las cajas con z positivo se cancelen con las cajas con z negativa.


17.

21. Dado € 1 > O , l a continuidad de f muestra que existe €2 > O tal que c < €2

implicaf(zo,yo, to)-cr l < f ( z , y , z ) < f ( z o , y o , z o ) + c l , siempreque ( z , y , z ) E Be. La integración d a

Ahora, dividir entre lBcl y hacer c + O

SECCIÓN 6.2

1. S = al disco unitario menos s u centro.

3. D = [ 0 , 3 ] X [O , 11; sí.

5. La imagen es el triángulo con vértices ( O , O ) : ( O , 1) y ( I , 1). ?' no es uno a uno, pero puede hacerse si eliminamos l a parte z * = O .

7. D es el conjunto de (z,y, 2) con z2 + y2 + z2 5 1 (la bola unitaria). T no es uno a uno, pero sí lo es en ( O , 11 X [O , 7 r ] X ( O , ZK].

9. Mostrar que T es sobre, equivale a mostrar qne el sistema az + b y = e , CLC + dy = f siempre se puede resolver para z y y , donde

Cuando se hace esto por eliminación o por la regla de Cramer, la cantidad entre l a cual se debe dividir es det A . Así, si det A # O , siempre se pueden resolver las ecuaciones.

11. Como det A # O , T manda a R2 de manera biunívoca sobre R2. Sea T-' la transformación inversa. Mostrar que T-' tiene matriz A-' y det(A-') = l / d e t A , donde det A # O. Por el ejercicio 10, P' = T" ( P ) es un paralelogramo.

SECCIÓN 6.3

SECCldN 6.4

7. x

627

9. - 647r 5

11. 3x12 5*

2 13. - (e4 - 1 )

15. 2a2 17. (e - f ) 2

19. 1007r/3 21. 4 * [ h / 2 - log(1 + h) + log 21

23. 47r ln(b/a) 25. 2r[(b2 + l ) e - b 2 - (a2 + l ) e P a 2 ]

27. 24 (usar el cambio de variables z = 3u - u + 1, y = 3% + U ) .

29. (a) $nube; (b) $sabc. 31. (b) - 160

3

33. f((au2)'I3, ( u v 2 ) 1 / 3 ) ~ , ~ - 1 / 3 u - 1 / 3 d a dv

\

SECCIÓN 6.4

I . [x' - sen(7r')]/s3

3. ( U ") 18 ' 126

5. $503.06 .

7. (a) p , donde p es la densidad de masa (constante). (b)

9.

11. f

13. Al hacer d la densidad, el momelnto de inercia es d S, S, p sen3 4 d p dB dq5.

15. (1.00 x 108)m

17. (a) El Único plano de simetría para el cuerpo de un automóvil es el que divide los lados derecho e izquierdo del carro.

(b) t sss p(z, y, z) dz dy dz es la coordenada z del centro de masa multiplicada

por la masa de W . Al rearreglar la fórmula para 2 se obtiene la primera línea de la ecuación. El paso siguiente está juslificado por la propiedad aditiva de las integrales. Por simetría, podemos reemplazar z con "t e integrar en la región sobre el plano zy. Finalmente, podemos factorizar el signo menos y sacarlo de la segunda integral, y como p(z, y, z) = p(u, u , -tu), restamos la segunda integral de ella misma. Así, la respuesta es O .

(c) En la parte (b) , mostramos que 2 multiplicada por la masa de W es O. Como

(d) Por la parte (c), el centro de masa debe estar en ambos planos.

k 2a a 3 e c d 4

W

la masa debe ser positiva, T debe ser O.

19. (4.71 x lOZZ)G/R

628 RESPUESTAS A LOS EJERCIUOS CON NUMERACION IMPAR

SECCIÓN 6.5

I . (a) 4; (b) 5 ; (c) & ; (d) 2 - c .

3. Al integrar 1s e-2y dx dy primero respecto a 3: y después respecto a y, se obtiene log 2. Invirtiendo el orden se obtiene la integral del lado derecho de la desigualdad enunciada en el ejercicio.

5. Integrar sobre [c, l ] x [ t , 11 y hacer t -+ O para mostrar que existe la integral impropia y es igual a 2 log 2.

7. Usar el hecho de que

9. Usar el hecho de que ez2ty ' / (x - y) 2 1/(z - y ) en la región dada

2x 9

1 1 . "[(l + a3)3 '2 - a9'2 - 13


1. o 3. a 5 / 2 ~

5. o 7. - 4

3

9. Sx(42/2- 5, 11. (5a/16)&

13. abc/6

15. Cortar con los planos z + y + z = m, 1 5 b 5 R. - 1 , k un entero

17. (25 + 10&)x/3 19. 4n ln(a/b)

21. (a) (b) 16x/3

23. 4x/3 25. n /2

27. (e - e- ' ) /4 (Usar el cambio de variables u = y - z, u = y + x.) 29. 3 (Usar el cambio de variables u = z2 - y 2 , P I = zy.)

31. (9.92) X 106)n gramos

33. (a) 32.

cubo. (b) Esto ocurre en los puntos de la esfera unitaria z2 + y' + z2 = 1 inscrita en el

35. ( O , o , p, 37. Trabajar primero la integral respecto a y en la región D c , ~ = {(x, y) I 5 x 5 L , 0 5 y 5 x} para obtener I c , ~ = sJD f dz dy = S," - e p z ) dx. El integrando es

positivo, de modo que le,^ crece cuando t - 0 y L -+ cy). Acotar superiormente 1 - e - r 1 , L

SECCIÓN 7.2 629

mediante z, para O < z < 1, y pol: 1 para 1 < 2 < m para ver que if,^ permanece acotada y por lo tanto debe converger. La integral impropia existe.

39 2x 41. (a) ( b ) 64x

SECCIÓN 7.1

1. Ju f(., Y, .) ds = JI f(z(t) , Y ( t ) , z(t))l lu’(t)l l d i = .Ib’ 0 * 1 d t = 0.

3. (a) 2 (b) 5 2 6 (c) - 2&

5.. -+(I + 1/e2)3/2 + 5(2”/”)

7. (a) La trayectoria sigue la línea recta de ( O , O) a (1,l) y regresa a (O, O) en el plano zy. Sobre la trayectoria, la gráfica (de f es una recta que va de ( O , O , O ) a (1, 1,l) . La integral es el área del triángulo resultante cubierto dos veces, y es igual a d.

La trayectoria es

u ( s ) = (1 - S/&)( 1,1) cuando O 5 S I 4 (S/(&- 1)~)(1,1) cuando 6 5 S 5 2&

Y suf ds = &. 9. 2a/x

11. (a) [2&+log(2+&)1/4 (b) ( 5 / ~ - 1 ) / [ 6 ~ + 3 1 0 g ( 2 + ~ ) 1

13. La trayectoria es un círculo uni1,ario con centro en ( O , O, O ) en el plano 2: + y + z = O, de modo que se puede parametrizar por u(0) = (cos0)v + (senO)w, donde v y w son vectores unitarios ortogonales en ese plano. Por ejemplo, se puede hacer con v = (l/&)(-l, O, 1) y w = (l/&)(l, - 2 , l ) . La masa total es de 2~ /3gramos .

SECCIÓN 7.2

1. (a) i; (b) O; (c) O; (Id) 147.

3. 9

5. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, I F ( a ( t ) ) a’(t)l 5 IIF(u(t)) l l I la’(t) l l para toda t . Así,


7. - ( n - l ) / ( n + 1 )

9. o

11. La longitud de u

13. Si d ( t ) nunca es O , entonces el vector unitario T ( t ) = u'(t) / l luf(t) \ \ es una función continua de t , de modo que es una tangente a la curva que gira de forma suave. La respuesta es no.

15. 7

17. Sea la trayectoria dada por (z,y, z ) = u(t) , donde u(t1) = ( Z ~ , Y I , Z I ) y ~ ( t z ) = (z2, y2, 2 2 ) . Pensar z, y y z como funciones de t . Entonces u'(t) = (dz /d t ) i+ (dy /d t ) j + ( d z / d t ) k , de modo que el trabajo es

= lr (x2 + y2 + z 2 ) 3 / 2 -1 (z i + yj + zk) . ($i + "j + *k) d l dY

d t d t

Así, el trabajo realizado por el campo gravitacional cuando una partícula se mueve de ( z l , y l , z l ) a (zZ1y2,z2) es 1/R2 - 1/R1. Nótese que, en este caso, el trabajo es independiente de la trayectoria que une a los dos puntos.

SECCIÓN 7.3

1. z = 2(y - 1) + 1

3. 18(2 - 1) - 4(?/ + 2) - ( Z - 13) = O O 182 - 4y - z - 13 = O .

5. El vector n = (cos v sen 'U, sen usen u, cos u) = ( 2 , y, z ) . La superficie es la esfera unitaria con centro en el origen.

7. n = -(sen v ) i - (cos v)k; la superficie es un cilindro.

9. (a) z = 20 + (y - yo)(ah/ay)(yO, 20) + ( z - zo)(ah /az) (yo , 20) describe el plano tangente a z = h ( y , z) en (20, yo, a ) , zo = h(yo , 20) .

(b) Y = yo + ( x - zo)(ak/az)(zo, 20) + ( 2 - z o ) ( a k / a Z ) ( Z o , 20) .

11. (a) La superficie es una helicoide. Parece una rampa en espiral alrededor del eje z. (Ver el ejemplo 2 de l a sección 7.4) Da dos vueltas, pues B va hasta 4x.

SECCI~N 7.3 631

(b) n = & ( l / ~ ~ ) ( s e n 8 , - c o s f ? , r ) (c) yoz - z o y +(S; + y;). = ( d + y;)zo. (d) Si (zo,yO,zo) = ( T O C O S ~ O , T O s e n & , & ) , entonces al representar el segmento

de recta como ((rcos6’0,r senB0,&) 1 O 5 T 5 1) se muestra que la recta está en la superficie. Al representar la recta como { ( t zo , tyo , 20) I O 5 t 5 I/(.: +y:)} y sustituir en el resultado de la parte (c), se muestra que está en el plano tangente en (zo, yo, 20).

13. (a) Usando coordenadas cilínd~ricas se obtiene la parametrización @ ( z , 8) = ((25 + z2)cosB, ( 2 5 + zz)sen8, z ) , -m < .7; < m, O 5 0 5 2x como una posible solución.

(b) n = (l/d=)(cosB, sen O, -22).

(c) 502 + YOY = 25.

(d) Sustituir las coordenadas a lo largo de estas rectas en la ecuación que define la superficie y en el resultado de la parte (c).

15. (a) u I+ u, v I+ v, u I+ u3 y v I”+ v 3 , todas mandan a R en R. (b) Tu X T, = ( O , O , 1) para Qrl y esto nunca es O . T, x T, = 9u2v2(0,O, 1) para

@z y esto es O a lo largo de los ejes u y D.

(c) Queremos mostrar que cualesquiera dos parametrizaciones de una superficie que sean suaves cerca de un punto, darán ahí el mismo plano tangente. Así, suponer que 9: D c RZ + R3 y \k: B c RZ -+ R3 son superficies parametrizadas tales que

~ ( ~ 0 , v O ) = ( 2 0 , Y O , Z O ) = * ( S O , t O ) (i)

de modo que 9 y \k son suaves y uno a uno en vecindades de (uo, vo) y (SO, t o ) , que bien podemos suponer que son D y B. Suponer, además, que “describen la misma superficie”, esto es, CP(D) = 9(B). Para ver que dan el mismo plano tangente en (zo, yo, 20) mostrar que tienen vectores normales paralellx. Para ello, mostrar que existe un conjunto abierto C con (uo, vo) E C c D y una función diferenciable f : C -, B tal que @(u, v) = *(f(u, u)) para (u , v) E C . Una vez, hecho esto, con cálculos de rutina se muestra que los vectores normales están relacionados por T: x T: = [a (s , t ) /a (u , v ) ]Tf x TY.

Para ver que existe dicha f, nótese que como Tf x TY # O , al menos uno de los determinantes de 2 X 2 en el producto cruz es distinto de cero. Suponer, por ejemplo, que

Usar ahora el teorema de la función inversa para escribir ( S , 1) como función diferenciable de (z, y ) en alguna vecindad de (SO, yo).

(d) No.

632 RESPUESTAS A LOS EJERCIC~OS CON NUMERACI~N IMPAR

SECCIÓN 7.4

1. 4x

5. 5 ~ ( 6 & - 8)

SECCIÓN 7.5

5 & + 3 1. ~

24

5. &/30

3. m 3

7 . ; (3+$ 5&

X

9. 1 6 x R 3 / 3

SECCI~N 7.6 633

SECCIÓN 7.6

1. zk487r (el signo depende de la orientación)

3. 47r

5. 27r ( o -27r, si se escoge una orientación diferente)

7. - 2 ~ / 3

9. 12*/5

11. Con la parametrización usual en coordenadas esféricas, T e x T+ = -sen 4r (ver el ejemplo 1). Así,

= h2"$" F, sen q+ d 4 dB

Y

j dS == l"ln j sen 4 d4 dB

13. Para un cilindro de radio R = 1 y la componente normal F,, .

d S = Lb[4'" F, dB dz.

15. 2x13

17. $a3bc7r

634 RESPUESTAS A LOS EJERCICAOS CON NUMERACIóN IMPAR


3&(1 - e")/13 (b) - r / f i / 2 ( 2 3 6 , 1 5 8 6 - 8)/35 . [ 2 5 ) 3 (a) 8&/18Y

2/71. + 1 (b) -; Una esfera de radio 5 con centro en ( 2 ) 3 , O ) ; +(O, 4) = ( 2 + 5 cos 6' sen 4 ,s + 5 sen 6' sen 4 , 5 cos @); 0 < 8 < 2 ~ ; 0 < 4 < ~

Un elipsoide con centro en (2 , O , O ) ; @(O, 4) = (2 + (l/A)3 cos 8 sen 4 , 3 sen 6' sen @ , 3 cos @); O < O < ? a , O < ~ < x

Un hiperboloide elíptico de una hoja; @(O, 2) = ( ~ & C i ' F coso, ~&iTG seno, 2 ) ;

9. A(@) = ; S,"" 43 cos2 6' + 5 dB; CP describe la parte superior de un cono con secciones transversales horizontales elípticas.

11. 11&/6

13. &/3

15. 5&/6

17. (a) ( e Y cos m , zey cos 71.2, - r z e Y sen A Z )

19. $(e2 + I )

SECCIÓN 8.1

1. "8

3. (a) O (b) -xR2 (c) O (d) -aR2

5 3xa2 7. 3x12

9 371.(b' - a2) /2 1 1 . (a) 271. (b) O

13 O 15. T a b

SECCIÓN 8.1 635

17. Un segmento de recta horizontal divide la región en tres regiones a las que se aplica el teorema de Green; usar ahora el ejercicio 8 o la técnica mostrada en la figura 8.1.5. 19. 9n/8 21. Si E > O, existe 6 > O tal que Iu(q) - u ( p ) l < t siempre que /Ip - ql = p < 6. Parametrizar ¿?B,(p) por q(8) = p + p(cos0, sen O). Entonces

1%) - 2 4 P ) l :5 J;"lu(q(@)) - U ( P ) I dB I 2 T C .

23. Parametrizar aBp(p) como se hizo en el ejercicio 21. Si p = ( p l , p ~ ) , entonces I ( p ) = S,'" u(p1 + p cos O, p 2 + p sen O) dB. La diferenciación bajo el signo de integral da

$ = Vu - (COSO, s e d ) dB =

(la última igualdad usa el ejercicio 22). 25. Usando el ejercicio 24,

J p ' 4 = LRIT u[]? + p(cos8, sen O ) ] p dB d p

BR

27. Suponer que u es subarmónica. Probamos las afirmaciones correspondientes al ejercicio 26(a) y (b). El argumento para funciones supraarmónicas es bastante parecido, pero con las desigualdades invertidas.

Suponer que V 2 u 2 O y u ( p ) u(q) para todo q en B R ( ~ ) . Por el ejercicio 2 3 , Z'(p) 2: O para O < p 5 R, de modo que en el ejercicio 24 se muestra que 2nu(p) 5 Z ( p ) 5 Z(R) para O < p 5 R. Si u(q) > u(p) para algún q = p + p(cos&,senO0) E B R ( ~ ) , entonces por continuidad, existe un arco [O, - 6,Oo + 61 en dB,(p) donde u < u(p) - d para alguna d > O. Esto significaría que

2xu(p ) 5 I ( p ) = ; u [ p + p(cos O, sen 0 ) l p d e 1 27r

J O

- < ( 2 ~ - 2 6 ) ~ . ( p ) + 2 6 [ ~ ( p ) - d] 5 ~ X U ( P ) - 2 6 d . Esta contradicción muestra que debemos tener .(q) = u ( p ) para todo q en BB(p).

Si el máximo en p es absoluto para D , en el último párrafo se muestra que u(.) = u ( p ) para todo x en algún disco alrededor de p. Si u: [O , 1) + D es una trayectoria de p a q, entonces u(a( t ) ) = ~ ( p ) . p a r a t o d o t en algún intervalo [O, b ) . Sea bo el mayor b E [O, 11 tal que u ( u ( t ) ) = u(p) para todo t E [O, b ) . (Hablando estrictamente, esto requiere la noción de mínima cota superior, de un buen libro de cálculo.) Como u es continua, u(u(b0)) = u(p ) . Si bo # I , entonces el último párrafo se aplicaría a a ( b o ) y U es constantemente igual a u ( p ) en un disco alrededor de u ( b 0 ) . En particular, existe 6 > O tal que u ( u ( t ) ) = u ( u ( b o ) ) = u ( p ) en [O, bo + 6). Esto contradice la maximalidad de bo, de modo que debemos tener bo = 1. Esto es, o(q) = a(p). Como q era un punto arbitrario en D, u es constante en 12. 29. Suponer que V u : = O y V z u 2 I= O son dos soluciones. Sea 4 = ul - u z . Entonces 0 '4 = O y d(z) = O para todo 2: E 3 D . Considerar la integral S, 4V2p - S, V,.vp. Así, S, V4 - Vd = O, lo cual implica que VI#I = O , de modo que I#I es una función constante y por lo tanto debe ser idénticamente cero.


SECCIÓN 8.2

1. -2a

3. Cada integral en el teorema de Stokes es cero.

5. o 7. -4x/&

9. o 11. 27r

13. AI usar la ley de Faraday, J,[V x E + aH/at] . dS = O para cualquier superficie S. Si el integrando fuera un vector distinto de cero en algún punto, entollces por continuidad la integral sobre algún disco pequeíío con centro e11 ese punto y manteniéndose perpendicular a ese vector, sería distinta de cero.

15. Las orientaciones de as, = 8 5 ’ 2 deben concordar

17. Suponer que C es un lazo cerrado sobre una superficie, trazado de manera que divide la superficie en dos piezas S1 y Sz. Para l a superficie de una dona (toro) se deben usar dos lazos cerrados; ¿pueden entender por qué? Entonces C acota tanto a S1 como a Sz, pero con orientaci6u positiva respecto a una y negaliva respecto a otra. Por lo tanto,

.II; V x F . d S = L, V x F . I I S + ~ , ~ V x F . I I S = I f F . d r - I f F . Q s = O . 19. (a) Si C = as, S, v ds = JS V X v . dS = 0 . ds = O . S

(h) j”, v-ds = j ” b ~ . u ’ ( t ) d l = v-J, d ( t ) t i t = v . (u(b) -u(u)) , donde U: [u , b] + R3 es una parametrizaci6n de C. (La iutegral vectorial es aquel vector cuyas componentes son las integrales de las funciones componentes.) Si C es cerrada, la última expresión es O.

21. Las dos integrales dan x/4. 23. (a) O (b) x (c) 7r

25. 2Ox

.b

SECCIÓN 8.3

1. Si F = V f = Vg y C es una curva de v a w, entonces ( f - g ) ( w ) - (f - g ) ( v ) = J, ~ ( f - y ) - ds = O , de modo que f - y cs constante.

3. z2yz - cos z + c 7. No; V X F = (O, O , z) # O

11. 3.54 x 102‘ergs

13. (a) J = z2 /2 + y2/2 + C. (1)) F no es un campo gradiente (c) f = $ 2 3 + Ly2 + C.

15. Usando el Teorema 7 e n cada caso. (a) - $ (b) -1 ( c ) cos(e2) - cos( l /e) /e

17. (a) No (h) ( ~ z z , , 2 ? / - z , ~ 2 y ) o ( ~ i 2 - 2 x y 2 - ~ L . 2 , - x 2 ~ - ~ , ~ ) 2 y

19. 5(z3 i + x 3 j + y’k)

SECCIÓN 8.4 637

21. - ( z seny+ y senz , zzcosy ,O) (Son posibles otras respuestas.)

23. (a) V x F = ( O , O , 2 ) # O . (b) Sea a(t) la trayectoria de un objeto en el fluido. Entonces F(a(t)) = a’(t).

Sea a(t) = ( z ( t ) , y(t), ~ ( t ) ) . Entonces 2’ = -y , y’ = z y z’ = O , de modo quc z es constante y el movimiento es paralelo al plano zy. Además x” + z = O , y” + y = O . Así, z = Acos t + Bsen t y y = Ccos t + D sen t . Sustituyendo estos valores en z‘ = -y, y’ = z, obtenemos C = -B , D = ,4, de modo que z2 + y2 = A + R y tenemos un círculo.

2 2

(c) En sentido contrario al que giran las manecillas del reloj.

25. (a) F = - GmM

( ~ 2 + y2 + (x, Y , 2);

= o

(b) Sea S l a esfera unitaria, S1 el hemisferio superior, S2 el hemisferio inferior y C el círculo unitario. Si F = V x G , entonces

L F . d S = L ~ F . d ~ + L ~ F . d S = ~ 6 . d ~ - ~ ~ . d s = O .

Pero F dS = -GmM ~ s ( r / ~ ~ r ~ ~ 3 ) ndS = -4xGmM, pues ilrll = 1 y r = 11 en S . Así, es imposible que F = V x G . S:

SECCIÓN 8.4

Esto es O si F es de clase C*, pues las segundas derivadas mixtas de sus funciones componentes son iguales.

3. 3 5- (a) O (b) & (c) - & 7. Si S = 8 0 , entonces S, r n d s := S, V r dV = 3 dl7 = 3volumen(fl).

9. 1

1 1 . Aplicar el teorema de la divergencia a fa usando V (fa) = V f + f V a, 13. Si F = P/T2, entonces V - F -= l / ~ ’ , Si ( O , O , O ) $ 0, el resultado se sigue del teorema de Gauss. Si (O, O , O ) E L?, ‘calculamos la integral quitando una pequeria bola


U , = { ( L . , y, Z ) 1 (X' + y' + z 'L)1 '2 < €1 alrededor del origen y después haciendo t + O:

La integral sobre as, se obtiene con el teorema 10 (ley de Gauss), pues T = t donde sea en U,.

15. Usar l a fórmula 8 de la tabla 3.1 y el teorema de la divergencia para la parte (a). Usdr l a f6rmula 18 para la parte (b).

17. (a) Si d(p) = J, p(q)/(4rllp - yII) dV(q) , entonces

V4(P) = J;,[P(~l)/4.lV,(~/IlP - C l I O dV(q)

= - l[P('L)/4"I[(P - q)/l/P - c11l31 dV(q) ,

donde V, significa el gradiente respecto a las coordenadas de p y la integral es el vector cuyas componentes son las tres integrales componentes. Si p varía en V u aV y 11 es la normal unitaria exterior a a V , podemos tomar el producto interior usando est,as componrntes y juntar las partes como

Así,

Esencialmente, hay aquí cinco variables de integraci6n, tres que colocan a q en R y dos que colocarl a p en (?V. Usar el teorema de Fubini para obtener

Si V es una regi6n de tipo I\', el teorema 10 dice que l a irttegral interior es 4x si cl E V y O si q 6 V . Así,

S," S,""

L" L/ VI$ * I l d S = - p(q ) dV(q j .

onlo lo p = 0 fuera de 0,

VI$ . I l d S = - p ( q ) d V ( q ) .

Si V 110 es del tipo IV, subdividirla en una suma de dichas regiones. L a ecuación se curnple en cada parte y, después de sumarlas, las integrales en la frontera a lo largo de fronteras interiores orientadas de manera apropiada se cancelan, dejando el resultado deseado.

SECCIÓN 8.4 639

(b) Por el teorema 9, S,, Vd - dS = S, V2d dV, de modo que S, V'ddV = - S,, p d ~ . Como tanto p como V2d son continuas y esto se cumple para regiones arbitrariamente pequeñas, debemos tener 0'4 = "p. 19. Si la carga Q se esparce de manera uniforme sobre la esfera S de radio R con centro en el origen, la densidad de carga por unidad de área debe ser Q/47rR2. Si p es un punto que no está en S y q E S, entonces la contribuci6n al campo eléctrico en p debido a l a carga cerca de q se dirige a lo largo del vector p - q. Como l a carga está uniformemente distribuida, la component,e tangencia1 de esta cont8ribnción se cancelará con la de un punto simétrico en el ot,ro lado de la esfera a la misma distancia de p. (Dibujar l a figura.) El campo total resultante debe ser radial. Como S se ve igual desde cualquier punto a distancia llpll del origen, el campo debe depender s610 del radio, y ser de la forma E = f (r)r .

Si vemos la esfera C de radio llI>ll, tenemos

(carga dentro de E) = E . dS = f ( llpll)r . ndS L 1 = f(llPll)IIPII i rea E = 4~llPl/"f(/lPll).

Si l j p l l < R, no hay carga dentro de C; si llpil > R, la carga dentro de C es Q, de modo o ue

21. Por el teorema 10, S,, F - d S = 47r para cualquier superficie que encierre al origen. Pero si F fuera el rotacional de algún campo, entonces l a inkgral sobre dicha superficie cerrada tendría que ser 0. 23. Si I), es la i-ésima componente de nu vector v, entonces el ejercicio 22(b) d a

[ $1, f F dz dy dz] = $ Lf (J'F), dz dy dz = - f F , d z dy d z t d", 1,

1 = 1, [ gF + (fF,) div F dz dy dz

=lt [ ~ i : f F , ) + D , ( f E ; ) . F + ( f F , ) d i v F ] dzdydz

= / { g ( f F ) + [D(fF)Fl t + [(fF) div F],} d z d y d t

=/ [ $ ( f F ) + D ( f F ) F + ( f E ) d i v F ] d z d y d z

= [L, $ ( f F ) + D ( f F ) + ( f F ) d i v F $ r d y d z

= [/ ( : t j fF)+(F-V)( fF)+(fF)d i rF) d r d y d t

nt

ni I

l . nf I .

640 RESPUESTAS A LOS EJERCIUOS CON NUMERACIÓN IMPAR

SECCIÓN 8.5

1. (a) Por el ejercicio 22, sección 8.4,

Por el teorema 11, la ley de conservación para V es equivalente a enunciar que el integrando de la derecha es idénticamente O , lo cual implica que la integral de la izquierda es O. Recíprocamente, si 0 es una región pequeíía, también lo es f i t . Si las integrales de la derecha son O para todas las regiones suficientemente pequeñas, entonces el integrando debe ser O (por cont,innidad).

(b) Para cada tiempo t , el cambio de variables (u, v, w) = d((z, y , z ) , t ) da

Por la parte (a), el lado izquierdo es constante en el tiempo y por lo tanto es igual a su valor en t = O:

Como esto se cumple para todas las regiones pequeñas, los integrandos deben ser iguales, por continuidad.

(c) Por el ejercicio 22, sección 8.4, d i v V = O implica J ( x , t ) = 1. Aplicando esto a la parte (b), p(x, t ) = p(x, O ) . La densidad en cada punto es constante en el tiempo, de modo que ap/at = O y la ley de conservación se convierte en V V p = O. El flujo es perpendicular al gradiente de p, de modo que las líneas de flujo están en superficies de densidad constante.

3. (a) Como v = ~ 4 , v x v = O y, por Io tanto, (V.V)V = +V(llVl12), laecuación de Euler se convierte en

Si u es una trayectoria de PI a Pz, entonces

(b) Si d V / d f = O y p es constante, entonces $V(llVl12) = - (Vp) /p = -V(p/p) y por lo tanto V( + IIV/I* + p/p) = O .

5. Por la ley de Ampi.re, V J = V (V X H) - V * (dE/at) = -V (aE/at) = -(ú'/¿%)(o E). Por la ley de Gauss esto es -ap/at. Así, V J + dp/dt = O .

7. (a) Si x E S, entonces r " a / R = T , de modo que G = O. En general, r = I I x - y11 y - - IIx - yll, por lo tanto

SECCIÓN 8.5 641

y V:G = O cuando x # y, Como en el análisis de la ecuación (15) (x # y ’ , pues X está

adentro de la esfera y y ’ está;tfnera). El t,eorema LO da V2C; = &(x-y)-( R/tr)6(x-y’), pero el segundo tCrmino es siempre O, pues x nunca es y ‘ . Por lo tanto V2G = E(x - y ) para z y y en la esfera.

(b) Si x está en la snperficie de S, ent,onces n = x/R es la normal unitaria exterior, Y

Si y es el ángulo entre x y y , entonces IIx - y1I2 = r2 = R2 + n 2 - 2eRcosy Y I[x - yr1I2 = T = R’ + b’ - 2 b R c o s y = ( R ’ / ~ ’ ) T ~ . Entonces r r 2

” __ ( y - x ) * 1 1 . I

Integrando sobre la superficie de la esfcra,

- - R( R2 - a ’ ) 12T lT f (O,$) scn 4 (14 dB

47r ( R2 + a2 - 3n R cos y)312 ’

9. (a) U = ( d / d s ) [ l ~ ( z ( s ) , t ( s ) ) ] = uz+ + u t i = u,fr(u) + u t = O.

(b) Si la curva característica ~ ( z , 1) = c (según la parte (a)), definir t de manera implícita como función de z, entonces u z + 7rt(dt/rlz) = O. Pero además u t + f ( ~ ) ~ = O , esto es, ut + fr(u)uz = O. Estas dos ecuaciones juntas dan d t / d x = l/ f r(u) = l / f ’ ( c ) . Por lo tanto la curva es una recta con pendient,e l / f r ( c ) .

(c) Si 21 < z2, uo(z1) > 1~01:zz) > O y f’(u(12)) > O , entonces j ’ ( u o ( z 1 ) ) > f’(uo(z2)) > O , pues f” > O. La cara.cterística que pasa por ( ~ 1 ~ 0 ) tiene pendiente I/f’(uo(zl)), que es menor q u e l/fr(~b0(?;2)), (la de la característica que pasa por (z2, O ) ) . De modo que estas rectas se deben crllzar en IIII punto I’ = (?F,i) con i > O y 2: > z2. La solución debe ser discontinua en P , pues estas dos rect,as quc sc cruzan IC darían ahí diferentes valores.

-

(d) j = ( 2 2 - z~)/[f’(uo(~~)) -- f ’ ( 1 1 . 0 ( ~ 2 ) ) ] .

11. (a) Como el “rectringulo” D no toca e l ejp I y 0 = O en 811 y fuera de 11, l a ecuación ( 2 5 ) se convierte en


Pero u es C' en el interior de D,, y el ejercicio lO(b) dice que ahí, ut +f(u)= = O. Así,

(ii)

(b) Por el teorema de Green,

y así la expresión ( i i ) se convierte en

/ / b $ h t + f(71)dx] dz d r = d[-u dz + f ( u ) dt] L ,

O = i,,, i ,

Sumando lo anterior para i = 1 , 2 y usando la expresión (i), se tiene

d[-u dz + f(u) d t ] + d[-u dz + f ( u ) d t ]

La unión de estas dos fronteras recorre una vez 6'D y la parte de r dentro de D una vez en cada dirccción, una vez con los valores u1 y otra con los valores u2. Como 4 = O fuera de D y en 302 esto se convierte en O = S, d{[-u] ds: + [f(u)] d t } .

(c) Como d = O fuera de D , la primera integral es l a misma que la de la segunda conclusión de la parte (b). La segunda integral resulta de parametrizar la parte de r por a( t ) = ( z ( t ) , t ) , t l 5 t 5 t Z .

(d) Si [-u]. + [f( u ) ] = c > O en I', entonces podernos escoger un disco pequeño B, con centro en P contenido en D (descrito anteriormente) tal quc [-u](dz/dt)+[f(u)] > c /Z en la parte de I' dentro de B,. Tomar ahora u n disco un poco más pequeño B b C B, con centro en P y escoger 4 tal que 4 1 en Rb. O 5 4 5 1 en el anillo B,\Bb y 4 E O afuera de B,. s i cy(f0) = P, entonces hay 13 y t 4 con t 1 < t d < t o < t 4 < t 2 y a ( t ) E B b

para 11 < f < t 4 . Pero entonces

contradiciendo el resultado tie la parte (c). Un argumento similar (inviertiendo los signos) funciona si c < O.

13. Al hacer P = y ( u ) @ y Q = -f(u)4, aplicando el korema de Green en R rectangular y usando la func-iSn Q como en el ejercicio 10, se muestra que si u es una solución a ~ ( u ) ~ + f ( u ) , = 0, entonces

SECCIóN 8.5 643

Ésta es la analogía apropiada de la ecuacicin (25), definiendo soluciones débiles de g(u)t + f ( ~ ) ~ = O. Así, queremos u tal que

JJ( L o U d t + ;?t2q5z j d z df + uo(2)($(z ,O) d 2 = o (i: débil)

t>o

se cumpla para toda 4 admisible, pero tal que

s J ' ( ! 7 t z 4 t + iu3d,) dl: d t + ;u;(z)4(2,0) d z = n .io

(ii: débil)

t>o

no se cumpla para alguna 4 admisible. El InCtodo del e,jercicio 11 producr la conclicibn de salto s[g(u)] = [ f ( u ) ] . Para (a)) scst,o es s ( u 2 - 1 1 1 ) = (fui - :u:) o

S = $ ( U 2 + 711). (i : sa l to)

Para (b) , es s ( i u ; - ; u : ) = ( 5 7 ~ 2 -- 3 tli) ' o

(ii: sa l to)

Si tomamos para uo(z) una función (de Heaviside) definida por uO(r) = O para L < O y UO(Z) = 1 para z > O , tendremos que considerar l a funcicin u ( z , t ) = O cuando t > 2x y u ( z , t ) = 1 cuando t 5 2 2 . Así, ul = 1, u 2 = O , y la curva de discontinuidad r está dada por t = 22. Ent,onces l a condición de salto (i: salto) (i.e., d x / d f = ; (u , t - 1 ~ 2 ) )

se satisface. Para cualquier 4 particular, existen números T y n tales que 4(z, 1) = O para .r 2 n

y 1 2 T . Tomando como 0 l a región O 5 z 5 a y O 5 t 5 T , l a condición ( i : débil) se convierte en

n

= - i n 4 ( z , 0 ) d 2 + [ - 4 ( z , 2 2 ) ( - d 2 ) + -4(z,2.)(-2dzj] LTJ2 1 2

+ 1" d(X; o) d3:

Así, (i: débi l ) se satisface para t,oda 4 y u es una solucicirr dkhil de la ccuación ( i ) . Sin embargo no se puede satisfacer (ii: débil) para toda 4, pues falla la condición (ii: sa l to ) . En efecto, si multiplicamos (ii: débi l ) por 2 e insertamos u, (ii: débil) se conviert,e en

o =. JJ(4t -t ;dZ) d3: d t + 4 ( z , o) da. n 1"

0 = ; Lrf2 4(z , 2x1 d z ,

El factor se ha cambiado a y el cálculo anterior se convierte ahora en

que, ciertament,e, no se satisface patra toda 4 admisible.


15. Por ejemplo, escribir / r e z e = zll’ = Ire:e - r ~ e : q ’ = I r e : ( ” ) - r’l’, usar e** = c o s 4 + zsen 4, 1zI2 = zF y multiplicar.

SECCIóN 8.6

1. (a) (2zy’ - y z 3 ) d z d y (b) (z’ + y’) d z d y (c) ( x 2 + y2 + z’) d z d y d z (d) ( z y + z’) d z d y d z (e) d z d y d z

3. (a) 2 z y d z + (z’ + 3 y z ) d y (b) -(x + y’ sen x ) d z d y (c) - ( 2 z + Y ) d z d y (d) d z d y d z (e) 23: d z d y d z (f) 231 d y d z - 22 d z d x

(€9 - (.’ 4 x y + d x d y (h) 2 z y d z d y d z

5. (a) Formaz(aV1 + V2) = Formaz(aA1 + A2, aB1 + B2, CUCI + C z )

= (@Al + A z ) d y d z + (CUBI + Bz) d z d x

+ ( ~ C I + c2) d z d y = a(A1 d y d z + B1 d z d z + C1 d z d y )

+ ( A z d y d z + B z d ~ d ~ + C z d ~ d y ) = aForma2(V1) + Formaz(V2)

d w =

az

Pero ( d z ) 2 = ( d y ) 2 = (dz)’ = d z A d z = d y A d y = d z A d z = 0 , d y A d z = - d z A d y , d z A d y = - d y A d z y d x A d z = - d z A d z . Por lo tanto

= Forma2 (rot V). 7. Una 1-variedad orientada es una curva. Su frontera es un par de puntos que se

pueden considerar una O-variedad. Por lo tanto w es una O-forma o función, y sa d w = w ( b ) - w ( a ) si la curva M va de a ab. Más aún, dw es la 1-forma ( d w / d z ) d z + ( d w f i y ) d y . Por lo tanto S, dw es la integral de línea S,(dw/b’z) dw + ( d w / a y ) d y = S, V w d s . Obtenemos así el teorema 3 de la sección 7.2 , S, V w d s = w ( b ) - w ( a ) .

9. Poner w = F1 dl: d y + F 2 d y d z + F3 d z d x . La integral se convierte en

(a) O. (b) 40.


EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 8

1. (a) 2 r a z (b) O

3. O

5. (a) f = 2 4 / 4 - x 2 2 y 3 (b) -+ 7. (a) Verificar que V x F = O . (b) f = 3x2ycos z . (c) O .

9. y 11. No; V x (a x r) = 2a.

13. (a) Of = 3yez2i + 32e"'j + 6 x y t e Z 2 k . ( b ) O. (c) Los dos lados son 0

15. 8 ~ / 3

17. r a 2 / 4

19. 21

21. (a) G es conservativo; F no.

constante. (b) G = VI$ si I$ = (x4/4) + (y4/4) - i z 2 y 2 + 5." + G, donde C es cualquier

(c) J a F . d s = O ; J G a d s : = - ' . 2 , f p F * & = L ; J p G * d s = -' 2 '

23. Usar los resultados de la página 537.

"" .

647

DERIVADAS dau du

1 . - = a - dx dx

d ( u + + ) -&+e 2. ___ - dx dx dx d ( u v ) - + 3. - -

da dx dx d ( u / v ) - v ( d u / d x ) - u ( d v / d x )

4. - dx

- U 2

5. - = n u - d(u") du ax dx

6. - = vuw-' + u'(1og u ) -- dx dx d x

d(u" I d 'u

7. - = e - d ( e " ) ,du dx dx

d(ea") au du dx

= ae - dx

9. - = a"(1og a ) - da" du da dx

10. ~ - -- d(1ogu) 1 du

dx u dx

8. -

-

d ( k u ) 1 1 . a = ~- 1 du dx u(1og a ) d x

12. - d sen u du

ax dx d c0s.u du - - sen u -

dX

= cosu-

13. - - dx

14. - d t a n u 2 du = sec u-

dx dx d c o t u -

15. - - C S C U - 2 da

dx dx -

16. - d sec u du

= t a n u s e c u - ax dx

17. - - d csc u du dx dx

- - (cot u)(cscu)-

d arccos u -1 du dx 19. -

JC-7 da

20. d arctan u 1 du

dx 1 + u2 dx d arccot u -1 du

dx 1 + u2 dx d arcsec u - 1 du

ax - u J 2 T dx

-" -

21. -" -

22. -

23. d arccsc u - 1 du

dx - J n d x d senh u

24. ~

d U = cosh U -

dx dx d cosh u

25. ~ = senh u- du

dx dx d tanh u

26. ~ = sech2 u - du dx d x

d coth u du 27. ___ = -(csch2 U ) -

dx ax d sech u du

28. ~ - d x - - ( s e c h u ) ( t a n h u ) - dx

d csch IL du 29. - - - -(csch u)(coth U ) - dx dx

d senh" u 1 du dx - J W d X

30. -"

d cosh-' U 1 du dx - J- dx 31.

d tanh-I u 32. -~ = - - 1 du

dx 1 - u2 dx dcoth" u 1 du

ax u2 - 1 dx 33. -

d arcsen u 1 da dx dz 18. -

648

12. Jarccos 5 dx = xarccos 2 - d z ( a > O )

13. arctan -c dx = L arctan - - log(cr2 + x 2 ) ( u > O ) x n u 2

14. /senz m x d z = " ( m x -ser) m r c o s ~ n r ) 1 2m

15. / C O ~ ' Y X ~ Z = - (7r~~+se l l r r1xcosn , r ) 1 2 m

16. . sec x dx = tan x

17. / csc2 z dx = -cot x

18. / s e n " x d x = -

J 2 senn"l z cos z n - I J n"2

n sen x d x 11

649

20. / t a n n x d x = ~ -

21. / c o t n x d x = - - - - " / c o t n - ' x d x cot" n - 1 x ( n # 1 )

tann"l x

n - 1 t¿LIln-' X dx ( T t # 1)

22. / secn x = tan z seen-' x + n-2 /seen-' x dx (n # 1) n - 1 n - 1

23. / cscn z d x = - cot x CSCn-z x + n-2 / cscn-2 x d z (n # 1) n - 1 n - 1

24. J senh X d x = cosh x

25. J cosh x dx = senh X

26. / tanh x d z = log I cosh x1

27.. 1 coth z dz = log I senh z 1

28. / sech x dx = arctan(senh x)

29. / csch x d x = log tanh - = log

30. / senh' x d x = - senh ?,x - -x

1 coshz + 1 I f 1 2 coshz -1

1 1 4 2

31. / cosh' x dx = - senh 2 2 + - x 1 1 4 2

32. 1 sech2 x d x = t.anh x

650

39. /(u2 - z2)3/2 d z = 5 ( 5 u 2 - 2 x 2 ) d G + - 3u4 arcsen 5 (u > O ) 8 8

41. J-J" u2 - x2 d z = -log 1 - 2u I:':/

46. J x d X d x = 2(3bx - 2u) (u + b ~ ) ~ / ' 15b2

651

1 2aX + b - (b2 > 4ac)

63. 1 d x = { log 1 2 a x + b + J m "

ax2 + bx + c 2 2ax + b "

&E33 arctan JW ( b 2 < 4ac)

64. / 65. / d u x 2 + 1 bx + c d x = { fi 1 -2ax - b

66. / J . ; ; + b . + . d x = - - - J G ? " G + T 2ax 4a + b 4ac - b2 a x 2 + b + c d x

X d x = -log lax2 + bx + cI - - 1 ax2 + bx + c 2a

d x

-!-log 12ax + b + 2hj-1 (a > O)

J-a arcsen (a < 0)

652

70. J @"2 r J m dx =

71. / s e n a x s e n b a d x = sen(a - b)z - sen(a + b)r

72. /sen ax cos bx d x = -

73. J cos ar cos bx d x =

74. J sec x cot x tan x dx = sec x

2 4 3a2x3

2(a - b ) 2(11 + b ) ( a 2 # b 2 )

COS(U - b)x COS(^ + bjx - ' ( a - b ) ' ( a + 1)) ( a Z # b 2 )

sen(n - b ) x srn(cl + bjz + ' ( a - b) '(a' + b j

( a 2 # b 2 )

75. / csc r dx = - csc x

78. J ' ~ " i : o s a x d r = - x n s e n n x 1 - sen ax dz

79. J x n e a z dr - - - x n e a x n' al e dx

a

80. / x" log ax dx = xnt'

x 7 1 t 1

81. /x'"(log ax:)m dx = ~

n + l n+1

82. / 83. / e a x cos bx d x =

84. / s r c h r t.anh x d x = - seclt

85. / csch z coth x d r = - csch z

log a.x 1

(log - J x ' ~ ~ l o g a,z)m-l rle

sen br dx = eax(a, sen br - b cos bx)

a2 + b2

ea"(b sen br + a cos bz) a2 + b2

653

ÍNDICE DE SÍMBOLOS LOS SiMf30LOS SE LISTAN EN ORDEN DE APARICIóN

N SíMBOLO " NOMBRE

límite límite x-b

números reales xii números racionales xii intervalo cerrado {z Iu 5 z 5 b } xii intervalo abierto {zla < z < b } xiii intervalo semi-abierto {zla 5 z < b } xiii intervalo semi-abierto { z l a < z 5 b } xiii valor absoluto de a xiii espacio n-dimensional 3 base usual en R3 9 producto interior de dos vectores 21 norma de un vector 22 producto cruz 34 coordenadas cilíndricas 48 coordenadas esféricas 52 disco de radio r con centro x0 95 límite cuando x tiende a b 101 límite por la izquierda 117

derivada parcial 119 derivada de f en x0 125 grad f , gradiente de f 127 continuamente diferenciable 129 dos veces continuamente diferenciable 158 una trayectoria 190 del, nabla 220 rot F, rotacional 220 div F, divergencia 225 laplaciano 226 hessiano 252 integral doble 304 integral triple 356

jacobiano 372

integral de trayectoria 414 integral de línea 421 t7ayectoria opuesta 426 integral escalar de superficie 464 integral vectorial de superficie (flujo) 472

ÍNDICE DE MATERIAS

aceleración, 196 aditividad de la integral,

Alembert, J.L. d’, 165 Ampkre, ley de, 435-436 Andisis Vectorial, 18 análisis vectorial, 490-580

aplicaciones a física,

aplicaciones a las ecuacio-

319-320,349-351

544-551

nes diferenciales, 552-559

identidades comunes en, 231

ángulo entre dos vectores,

anticonmutatividad del producto exterior, 574

antiderivada, 320 aproximación lineal

23-24

buena, 124 la mejor, 125

área de superficie 449-460

e integrales impropias,

en términos de sumas 454-457

de Riemann, 450-451 lateral, 455-457

de una esfera, 454-455 de una helicoide, 452-454 de una sección transver-

sal, 306 de un paralelogramo,

37-38

”””

de un triángulo, 38-39

de la multiplicación de

del producto exterior, 574 en I t 3 , 4

asociatividad

mlatrices, 66

atmósfera inestable, 187’ axioma de plenitud para los

números reales, 344

Bernoulli, J . , 165 Bernoulli, ley de, 560 bola abierta, 95 buena aproximación, 124

cálculo integral, teorema

cálcull3, teorema fnndamen-

cambio del orden en la inte-

fundamental del, 320

tal del, 320, 429-430

gración, 336-340 cambio de variables

en coordenadas cilíndri- cas, 384

en coordenadas esféricas, 3’34-385

en coordenadas polarr~s,

método del, 236 para integrales dobles,

para integrales triples,

375-376,380-383

376-383

383-384

teorema del, 371-386 campo

conservativo, 429-430, 517-526

de fuerza gravitacional,

de fuerza, trabajo realizado por un, 419-421

de potencial, 291-294 de velocidad de la energía

(razón de flujo del ca-

de velocidad de un fluido,

213-214

lor), 212, 213

76-77, 212, 216 de velocidad de un fluido,

razón de flujo de un, 479

eléctrico, 549 electromagnético, 549-551 escalar, 211 gradiente, 151-153, 215,

429-430, 517-518 propiedades del,

231-237 campo vectorial, 211-219

cálculos con un, fórmulas para los, 231

campos escalares componentes de un, 211

circulación de un, 513,

clase de un, 211 curvas solución generadas

520

por computador de un, 217, 218

656 ¡NDlCE

definición de, 211, 212

de movimiento circular, 214-215

divergencia de un, 225- 228

divergencia y rotacional de un, 225

flujo de un, 218-219 fnent,c de un, 537 geometría de la divergen-

cia de un, 226-228 potencial para un, 521 propiedades de la diver-

gencia de un, 231-237 razón de flujo de un,

479-481 rotacional de un, 220-226 sumidero para un, 537

circular, 214-215 como función, 211-212 conservat.ivo, 429-430,

campo vect,orial

5 17-526 constante, 584 de carga 215, 216 de energía, 212, 213 de flujo de calor, 212, 213 de la razón del flujo del

de potencial, 291-294 de Poynting, 565 de rotación, 214 de velocidad de l a energía

(razón del flujo del ca-

calor, 212, 213

lor), 212, 213 de velocidad de un fluido,

razón de flrl,jo de u n ,

elcctromagndtico, 549-

gradiente, 151-153, 215,

propiedades del, 231

gravitacional, 213--214 irrotacional, 223 225, 521 rotacional, 223-225 s i n divergencia, 537

7 6 ~ - 7 7 , 212, 216, 479

479

551

429-430, 517-518

237

Cant,or, C. , 344

cara, 529 carga,

campo vectorial de, 215,

distribución de, 540 carga y flujo, 481 Cauchy, A . . 34, 326, 344,

Cauchy-Riemann, ecuación

216

348, 458

de, 471 Cauchy-Schwarz, desigual-

dad de, 25, 59-60 Cauchy, sucesión de, 344-

Cavalicri, B., 308 Cavalieri, principio de, 306 CRS, desigualdad de , 25,

centro de gravedad de una superficie, 470

centro de masa, 390-394 cicloide, 193

longitud de arco de la,

circulación de nn campo

348

59--60

202-203

vectorial, 513, 520

longitud de arco de un, 201-292

unitario, 191 y fuerza centrípeta, I98

Cobb-Douglas, función de

círculo

producción de, 298 componente

2 , 1 Y , 1

composición, 11 O 1 1 1 composicidn de funciones,

190 diferenciación de, 131,

condición de salto, 562, 563 condiciones laterales, 265 conductividad, 212

133-136

constante de, 548

corl.jllrlto abierto, 95-99 acotado, 259, 342 cerrado, 259, 342 de nivel, 78-79

notación para, xiii-xiv conservación de masa, ley

de, 54-545 constante gravitacional, 201 continuidad, 106-110, 170-

definición de, 107, 115, 171

170 en el sentido de Holder,

118 en el sentido de Lipschitz,

uniforme, 342-343 vs. continuidad uniforme,

118

342 y diferenciabilidad, 128,

172-174 contradominio, xiv coordenadas

cartesianas (rectangula-

cilíndricas, 47-50 res), 1, 47, 49-50

operaciones vectorialcs en, 234-235

y teorema del cambio de variables, 384

esféricas, 51-55 operaciones vectoriales

en, 234-235

de Variables, 384-386 y teorema del cambio

geográficas, 52 polares, 47-48

y teorema del cambio de variables, 375-376,

380-383 rectangulares, 1, 47, 49-

50 correspondencia, xiv, 62-63

campo escalar corno una, 211

campo vectorial como

como trayectoria, 190- una, 211-212

191 de contorno, 79 de R2 a R2, geometría de

derivada de una, 139 lineal, 63

una, 364-370

~NDICE 657

Coulomb, ley de, 156, 215,

Cramer, G., 33-34 Cramer, regla de, 34 criterio de la segunda deri-

para extremos, 251-261 para un extremo restrin-

gido, 272-278 cuádrica, semiejes mayor y

menor de una, 294 cuaterniones, 18 curva

482

vada

característica, 561 cerrada, 431

componentes de una,

con rapidez unitaria, 209 de nivel, 78-85 de una trayectoria, 190-

dirigida simple, 431 frontera, 505 integral, 216-218 longitud de arco de una,

parametrización de una,

puntos extremos de una,

simple, 430-431

simple, 431

433-434

193

201-207

430-435

43 1

orientada (dirigida),

trayectoria integral sobre

vechor tangente a una,

431

una, 416-417

137-139 curvas frontera, 505 curvatura, 209

d'Alembert, J., 165 deformación, 364, 367 derivada

de una trayectoria, 193 direccional, 147-148 material, 220 notación para la, xiv, 125 parcial, 119-122, 171-172

iterada, 157-161 mixta, 157-160

propiedades de la, 131- 141

derivadas parciales matriz de, 126, 171-172 mixtas, 157-160

desigualdad triangular,

relativista, 210-211 determinante, 30-34, 65

jacobiano, 372-375, 383-

59-60

384 Dieterici, ecuación de, 144 diferemciabiiidad, 118-129,

definición de, 119-125,

y continuidad, 128, 172-

1'76-177

1'71

1 #74 diferenciación, 118-129

de: funciones compuestas,

técnica, teorema de, 168- 1,31, 133-136

1'77 diferemcial, 125 difusividad, 549 dipolo', 73 Dirac, función delta de, 552 Dirichlet,

funcional de, 471 prolblema de, 555

Dirichlet Green, función de,

disco abierto, 95-99 discontinuidad, 108

rapidez de, 563 discriminante, 256 distancia

5,55

de un punto a un plano,

en el n-espacio, 60 notación para la, xiii

42-43

distributividad del producto

diverg,encia, 537 exterior, 574

de un campo vectorial,

en coordenadas polares y cilíndricas, 540-541

2 25-22 8

geometría de la, 226-228 propiedades de la, 231-

237 y rotacional, 225

Douglas, Jesse, 460

ecuación de calor, 163-164, 548-

549 de conservación, 544-545 de Dieterici, 144 de Euler para un fluido

perfecto, 546-547 de Korteweg-de Vries,

de Laplace, 164-165, 238 de Maxwell, 549-551 de onda, 165 de onda no homogénea,

de Poisson, 164-165, 543 de Poisson, método de la

función de Green para la, 552-559

de potencial, 164-165 de transporte, 543 de una recta, 11-14 del plano, 39-43 diferencial, 197 solución débil de una, 562

ecuaciones diferenciales, 197

160-161

551

parciales, 163-165 y análisis vectorial, 552-

559 ecuaciones en forma de di-

vergencia, 562 eigpnvalor, 279 eigenvector, 279 eje

x, 1 Y, 1 2 , 1

elemento cero, 4 de área, 376

"".

Faraday) M . , 458 11 u i d o

campo vcct,orial de velocidad de un, 76-77, 213,

216 inrompresible, 537 perfect.o, ecuación de EII-

Icr para un, 546-547 flujo

de calor, 480-48 1 dc u n campo vechrial,

218- 219 de u n fluido, 544-548

razbn d ~ , 479 de u n fluido y ecuacibn de

continuidad, 5-16 forma diferencial

o-. 566-567 I - , 567 2-, 568 569

3 - , 569

I , 567 formas, 566 567

2, 568--569 3. 566- 567 ilgcbra de, 573 580 diferrnciación de , 575-

578 tiifcrrnciales, 422, 566-580 anticonnrrltatividad de,

574 de grado 2, 568~ 569 de grado 3 , 569 dc grado 1) 567 difcrenciaci6n tlc. 575-

578 distributividad de las, 574 multiplicación de , 573-580 producto exterior de, 574 propiedades de las, 574 y el teorema de Gauss,

y el teorema de Green,

y el teorema de Stokes,

579-580

578-579

579, 580 fórmula de Taylor

de primer orden, 243 de segundo orden, 243

244

de t,ercer orden, 246 Fourier, Joseph, 163-164 Fourier, serirs de, 163--164 Frenet, fórmulas de, 210 frontera, 329

2 y 3-variedades orirnta- das con, 580

Fubini, G., 326 Fubini, teorema de, 322-326

para integrales impropias, 404

fuente de an carnpo vccto- rial, 537

fuerza centrípeta, 198, 2 9 3 s moment,o de una, 46

funcicin acotada, 180, 318 analítica, 247 armónica, 165, 264, 503 buena aproximacicin de

una, 124 C ' , 129, 157 C2, 157 C 3 , 157 componente, 190 compuesta, 110-111

diferenciación de una, 131, 133--136

extremo dc una. Ver extremo, geometría

continua, 106-110, 170- de un, 75-93

171 en el sentido de Ilijlder,

118 en el sent.ido de Lips-

c h i t z , 118 potencial de una, 543 vs. función nniforrne-

mente continua, 342 y difercnciabilidad, 128,

172-174 cuadrát,ica, 252

definit,ivamente negativa, 252 criterio para det,ectar

una, 255

tiva, 252 dcfinit,ivamente posi-

~NDICE 659

criterio para detectar una, 254-255

de Dirichlet Green, 555 de Green, 552-559 definitivamente negativa,

criterio para detectar

definitivamente positiva,

criterio para detectar

de longitud de arco, 201-

de Neumann Green, 555 de producción de Cobb-

delta de Dirac, 552 diferenciable, 118-129 discontinua, 108 dos veces continuamente

252

una, 255

252

una, 254-255

207

Douglas, 298

diferenciable, 157

superficie de una, escalar, integral sobre una

463-469 gráfica de una. Ver grá-

gradiente de una. Ver gradiente

hessiana, 252 hessiano bordeado, 272,

homogénea, 183 integrable, 316-318 mejor aproximación lineal

par, 156 sobre, 369 subarmónica, 264, 300,

504 estricta, 264, 300

supraarmónica, 504 uniformemente continua,

uno a uno, 367-370 valor promedio de una,

vectorial, integrales de

fica

274

a una, 125

178, 342-343

389-390, 393

superficie de una, 472- 483

funciones CON valores escalares, 75 con valores reales, geo-

con valores vectoriales,

de varias variables, 75 dos veces continuamente

diferenciables, 157 notación para, xiv subarmónicas, 264, 504

estrictas, 264, 300 supraarmónicas, 504 uniformemente continuas,

vectoriales, integral de

metría de, 75-93

75, 189-237

1178, 342-343

superficie de, 472-483

Galileo, 163 gas ideal, 187

ley del, 187 Gauss

ley de, 481, 538-540 teorema de , 490, 528-

541 en términos de formas

diferenciales, 57s)-580 generación del plano, 11 geometría del espacio eucli-

diano, 1-74 Gibbs, J.W., 18 gráfica, xiv, 440

gráficas suave, 106-107, 118

generadas por compn- ,tador, 85, 89-93

miitodo de secciones para,

suaves (sin romper), <51-83

106-107, 118 gradiente, 127, 221

definición de, 146 significado geométrico del,

y rotacional, 221 y superficies de nivel,

149

149-150 gravedad, centro de, de una

superficie, 470

gravitación, ley de la, 153,

Green 197

identidades de, 542 método de la función de,

primera identidad de, 554 segunda identidad, 554 teorema de, 490-500

552-559

en términos de formas diferenciales, 578-579

497-499

cia en el plano, 499- 500

forma vectorial del,

teorema de la divergen-

hélice, 195, 196 longitud de arco de la,

202 Hesse, L. O., 252 hessiano, 252

hipocicloide, trayectoria de la, 205-207

Holder, función continua en el sentido de, 118

homogeneidad de la integral, 319-320 del producto exterior, 574

bordeado, 272, 274

Huygens, C., 457

identidad de Lagrange, 67 identidades del análisis vec-

torial, 231

395 inercia, momento de, 394-

inestabilidad atmosférica\,

integración 187

cambio del orden de,

teoría de la, 204

aditividad de la, 319-320,

aplicaciones de la, 389-

336-340

integral

349-351

399

660 INDICE

cálculo de la, 320-326 definición de, 319 definida, notación para la,

xiv-xv de línea, 419-436, 473

cálculo de la, 421-424 como una integral

orientada, 428 definición de, 421 e integral de superficie,

473 y campo gradiente,

429-430, 517 y ley de Ampkre, 435 y parametrización,

y reparametrización de la trayectoria, 424- 428

430-435

y trabajo, 419-421 de superficie

de funciones escalares, 463-469

de funciones vectoriales, 472-483

e integral de línea, 473 en términos de sumas

de Riemann, 478-480 sobre una superficie

orientada, 473-478 y gráficas de funciones,

482-483 de trayectoria, 413-418 de una forma diferencial,

422 doble, 303-351

aplicaciones de la, 389-399

definición de la, 303, 304

geometria de la, 303-

sobre regiones genera-

sobre un rectángulo,

teorema del cambio

311

les, 329-335

314-326

de variables para la, 376-383

teorema del valor medio para la, 340

e integrabilidad, 316-318 homogeneidad de la,

impropia, 401-406 319-320

iterada, 404 y área de superficie,

454-455 independiente de la tra-

iterada, 308

linealidad de la, 319-320 monotonía de la, 319-320 orientada, 428 triple, 355-362

yectoria, 517

impropia, 404

integrales impropias, 401- 406

y área de superficie, 454-

integrales, segundo teorema 455

del valor medio para, 245

intervalo abierto, xiii cerrado, xii-xiii

inversa de una matriz, 64-

inverso aditivo, 4 irrotacional, 226 isocuanta, 296 isoterma, 215

66

Kelvin, Lord, 490 Kelvin, teorema de circu-

Kepler, leyes de, 163, 199 Korteweg-de Vries, ecuación

lación de, 480

de, 160-161

Lagrange forma de, del residuo, 245 identidad de, 67 multiplicador de, 266 teorema del multiplicador

de, 265-267 Lagrange, J.L., 34

Laplace ecuación de, 164-165, 238 operador de, 226, 231

Laplace, P.S., 164 latitud, 52 Leibniz, G., 33, 457 lemniscata, 388 ley

de Amp$re, 435-436 de Bernoulli, 560 de conservación de l a

masa, 544-545 de Coulomb, 156, 215,

482 de Faraday, 480, 514 de Gauss, 481, 538-540 de Kepler, 163 de la gravitación, 153, 197 del gas ideal, 187 del paralelogramo, 66 de Newton (segunda),

de Snell, 47, 279 libertad de medición, 549 límite, 75, 100-115

196, 197

definición de, 101, 168 enfoque de vecindades

para la definición de,

enfoque épsilon-delta para la definición de, 101,

101-111

111-115, 168 no existente, 101 “obvio”, 104 por la derecha, 117 por la izquierda, 117 unicidad del, 105, 169

producto de los, 105-106 reglas para los 105-106,

suma de los, 105-106

de corriente, 216-218 de flujo, 215-218

linealidad de la integral,

Lipschitz, función continua

Listing, J.R.,474

limites,

169-170

línea

319-320

en el sentido de, 118

~NDICE 661

logaritmo natural, notación

longitud, 52 para el, xii

de arco, 201-207 de un vector, 22

log x, xii

Maclaurin, C., 33 masa

centro de, 390-394 conservación de, 544-545 de una superficie, 466

multiplicación de, 61-66 suma de, 61 triple producto de, 66

antisimétrica, 230 columna, 62, 134 de 2 x 2, 30 de 3 x 3, 30-31 de deformación, 230 de derivadas parciales,

de n X n, 61 de rotación, 230 determinante de una,

inversa de una, 64-66 renglón, 62, 134 simétrica, 230

matrices

matriz

126, 171-172

30-34

Maupertuis, P. L. M. de, 248

máximo absoluto (global), 259-

global, 259-261 local, 249

mínimo, teorema del, 260 restringido, 265-278

tremo, 259-261 aplicaciones de mCtodos

matemáticos para,

261

estricto, 253

máximos. Ver también ex-

291-297 criterio de la segunda de-

rivada para detectar, 272-278

Maxwell, ecuaciones de,

mejor aproximación lineal, 125

método

549-551

de la función de Green para la ecuación de

Poisson, 552-559 de l a s secciones para gra-

de los mínimos cuadrados, ficar, 81-83

300-301, 3 0 2 s ~ métodos para graficar,

mínimo 77-93

absoluto (global), 25:)-

global, 259-261 local, 248-249

estricto, 253

261

restringido, 265-278 mínimos. Ver también ex-

tremo aplicaciones de métodos

matemáticos para, 291-297

criterio de la segunda derivada para detectar,

272-278 Mobius, A. F., 474 Mobius, cinta de, 474-475 momento, 72

vector, 46 momento

angular, 201 de fuerza, 46 de inercia, 394-395 dipolar, 73 vectorial, 46

monotonía de la integral,

multiplicación 319-320

de formas diferenciales, 573-580

de matrices, 61-66 de vectores, 57 por un escalar en el espa-

cio tridimensional, 4-5

por un escalar en el n-espacio euclidiano, 57

múltiplo escalar, 4

nabla, 220-221 naturaleza, matematización

de la, 163 negativo, 4 n-espacio euclidiano, 57-66 Neumann-Green, 555 Neumann, problema de, 555 Newton,

ley de la gravitación de,

potencial de, 153, 164 segunda ley de, 196, 197

Newton, Sir Isaac, 163, 199,

153, 197

396, 457 norma de un vector, 22 normal a una superficie,

vector, 443 normalización, 22 notación, xii-xv notación descuidada, 120 notación para la distancia,

números

... x111

irracionales, xii racionales, xii reales, xii

sucesión de Cauchy de, 344-348

n-vector, 57

onda de choque, 561-564 operación conmutativa, 63 operaciones vectoriales

en coordenadas cilíndri- cas, 234

en coordenadas esféricas, 234-235

operador diferencial elíptico,

órbita circular, 198-199 orientación

300

inducida por una normal hacia arriba, 505

662 INDICE

parametrización que preserva la,

475-476 positiva en la frontera de

una región, 505 origen, 1 Ostrogradsky, 490

Pappus, teorema de, 462 paraboloide

de revolución, 81, 87 hiperbólico, 83, 87

paradoja de los g~melos,

pardelepipedo, 210

vectores que generan un,

volumen de un, 39

área dc un, 37-38 bisección de las diagona-

ley del, 66 puntos en un, 10

226-228

paralelogramo,

les de un, 14-15

parametrización conforme, 471 de una curva, 430-435 de una recta, 11-13 de una superficie, 440-

447 definición de, 442 que invierte la orien-

tación, 475-476 que preserva la oricn-

tación, 475-476 de una trayectoria me-

diante la longitud de arco, 209

partición regular, 315 pCrdida de unicidad, 563 Pierce, J. M., 18 plano

coordenado, 11 ecuación de un, 39-43 generación de un, 11 notación para un, 3 tangente, 122-125, 150-

151

a una superficie parametrizada, 444-446

definición de, 124, 150 X Y , 11 xz, 11 Y Z , 11

Plateau, J. , 458 Plateau, problema de, 458-

460 Poisson,

ecuación de, 164-165, 543 fórmula de, en dos dimen-

siones, 559 Poisson, V. 164-165 polarización, identidad de,

poligonal, trayectoria, 203-

pompa de jabón, problema

posición de equilibrio, 291-

potencial

66

204

de la, 458-460

294

de Newton, 153, 164 de funciones continuas,

543 de temperatura, 187 gravitacional, 153, 164,

para un campo vectorial, 395-399

521 Poynting, campo vectorial

de, 565 presión, 546 principio

débil del máximo, 264 de continuidad uniforme,

343 de reciprocidad, 556 fuerte del máximo, 503 fuerte del mínimo, 503

principios variacionales, 248 proceso adiabático, 439 producto

cartesiano, 303 cruz, 30-43

definición de, 34 interpretación geométri

ca del, 35-43 y determinantes, 30-34

y matrices, 30-31 de límites, 105-106 exterior, 574 interno, 4, 21-28

definición de, 21 notación para el, 21 propiedades algebraicas

propiedades del, 21-28 del, 57-66

por un escalar, 4 punto. Ver producto in-

vectorial, 34 proyección, 27-28 punto, 9-10

crítico

terno

como extremo local, criterio para un, 251-261

como posición de equili-

degenerado, 256 extremo como un,

brio, 292

250-251 métodos matemáticos

y aplicaciones de un, 291-297

no degenerado, 256 de convergencia, 180 frontera, 99-100 silla, 249, 250, 251, 255,

256 criterio de la segunda

derivada para det,ectar un, 272-278

puntos de convergencia, 180 frontera, 99-100

Rankine-Hugoniot, con-

rapidez, definición de, 193 rapidez

dición de, 562, 563

de una discontinuidad, 563

unitaria, 209 de una trayectoria, 209

y velocidad, 195

~NDICE 663

razón de flujo (flux), 479- 48 1

del calor, 480-481 de un fluido, 479

rectángulo, integral doble sobre un,

partición regular de un, 314-326

315 rectángulos ajenos, 349 recta

ecuación de una, 11-14, notación para una, 3 parametrización de una,

tangente, 151

195

11-13

a una trayectoria, 193-

región arco-conexa, 354 de tipo I

en el espacio, 357-362 en el plano, 329-335

de tipo I1 en el espacio, 358-359,

362 en el plano, 329-335

de tipo I11 en el espacio, 358-359 en el plano, 329-335

de tipo IV, 358-359 elemental, 329,

regla de la cadena, 131, 133-

de la mano derecha, 36-

reparametrización, 208, 239,

141, 174-175,236

37

424-428 que invierte la orien-

tación, 425-426 que preserva la orien-

tación, 425-426 resta de vectores, 7-8 restricción, 265 Riemann, B., 348, 471n Riemann, sumas de, 306-

rigidez flexural, 412 rotacional, 220-226

307, 315, 321, 334, 348

definición de, 512s del gradiente, 222 en coordenadas polares y

cilíndricas, 540-541 incompresible, 226 propiedades del, 231-237 y divergencia, 225 y rotación, 222-225 y taeorema de Stokes,

511-513

salto, 106 Schwarz, desigualdad de, 25,

secciones, método de las, para graficar, 81-83

semieje ma.yor de una cuádrica,

menor de una cuádrica,

:;9-60

294

:!94 silla

de mono, 299 de montar, 83, 87

simetaría en un plano, 400 sistema

coordenado, 1 ortonormal, 26

Snell, ley de, 47, 279 sobre, 369 solitiin, 161-162 solución débil, 562 Stokes, teorema de, 480,

subconjunto, xiii sucesión de Cauchy de nú-

meros reales, 344-348

490, 504-514

suma. de límites, 105-106 de matrices, 61 de vectores, 3-4

ten el espacio n-dimensional, 57-66

sional 3-4, 5-7 en el espacio tridimen-

telescópica, 174 sumas de Riemann

colno sucesiones de Cau- lchy, 344-348

e integral de superficie,

e integral de trayectoria, 478-480

415-416 e integral doble, 314-326 y área de superficie, 478-

480 sumidero, 537 superficie

área de, e integrales impropias 454-457

centro de gravedad de una, 470

definición de, 440, 441, 443ss

integral de una función escalar sobre una,

463-469 lado de adentro (nega-

tivo) de una, 473-474 lado de afuera (positivo)

de una, 473-474 masa de una, 466

superficie acotada, 270-271 C’, 442 cerrada, 516, 529-530 como la imagen de una

función, 441, 442 de nivel, 79, 86-89 de un solo lado, 474-475 diferenciable, 442 equipoteniial, 154, 215 orientada, 473-474 parametrizada, 440-447

con inversión de la orientación, 475-476

con preservación de la orientación, 475-476

definición de, 442 teorema de Stokes para

una, 510-514 vector normal a una,

443 suave, 443

a trozos, 450-451

664 INDICE

Taylor fórmula de

de primer orden, 243 de segundo orden,

de tercer orden, 246 243-244

serie de, 247 teorema de, 242-247

temperatura, potencial de, 187

promedio, 394

de la integración, 204 del potencial, 552-559

de diferenciación técnica,

de Euler, 159, 183 de Fubini, 322-326

pias, 404

teoría

teorema

168-177

para integrales impro-

de Gauss, 490, 528-541 en términos de formas

diferenciales, 579--580 de Green, 490-500

en términos de formas diferenciales, 578-579

de la circulación de Kel- vin, 480

forme, 343

de Gauss, 531- 540 en el plano, 499-500

de la función implícita, general, 287-288 particular, 280-286

de la función inversa,

de la continuidad uni-

de la divergencia

288-289, 370 del cambio de variable del máximo-mínimo, 260 del multiplicador de La-

grange, 265-267

546 del transporte, 543-544,

del valor intermedio, 340 del valor medio, 135, 323

para integrales, 245 para integrales dobles,

340

de Pappus, 462 de Stokes, 480, 490,

504-514 en términos de formas

diferenciales, 579, 580 para gráficas, 505-510 para superficies para-

metrizadas, 510-514 de Taylor, 242-247 especial de la función

implícita, 280-286

del cálculo, 429-430 del cálculo integral, 320

fundamental

general de la función implícita, 287-288

tiempo propio de una trayectoria, 210

torca, 201 toro, 441 torsión, 210 trabajo, 419-421 transformación lineal, 63 trayectoria, 189-199

cl, 190 a trozos, 206-207

circular, 191, ,197-199 curva de una, 190-193 definición de, 190 derivada de una, 193 diferenciable, 190 extremos de una, 190 funciones componentes de

una, 190 integral de, 413-418 opuesta, 426 parametrización mediante

la longitud de arco de una, 209

poligonal, 203-204 rapidez unitaria de una,

209 recta tangente a una,

regular, 439 reparametrización de una,

tiempo propio de una, 210

de matrices, 66

193-195

' 208, 239, 424-428

triple producto, 35-36

unicidad, pérdida de, 563 unión, xiii

valor absoluto, xiii medio,

teorema del, 135,323 promedio, 389-390, 393

Vandermonde, 34 van der Waals, gas de, 187 variedad orientada con fron-

tera 2-, 580 3-, 580

vecindad, 99 agujereada, 180 proyección de un, 27-28

vector(es) ángulo entre, 23-24 aplicaciones físicas de los,

binormal, 209 columna, 63 de desplazamiento, 15-17 de fuerza, 17 de la base usual, 8-9, 57 de razón de flujo de la

energía, 548 de vorticidad, 513 en el espacio euclidiano

n-dimensional, 57-66 en el espacio tridimensio-

nal, 1-20 fuerza, 17 igualdad de, 5 momento, 46 multiplicación de, 57 n-, 57

15-17

definición de, 5 extremo de un 9-10 longitud de un, 22 norma de un, 22

a la superficie, 443 principal, 209

ortogonales, 26-27 ortonormales, 234-235

normal

~NDICE 665

y coordenadas cilíndri- cas y esféricas, 54-55,

234-235 perpendiculares, 26 resta de, 7-8 suma de, 3-4 tangente, 137-139 unitario, 22, 147

y coordenadas cilíndri- cas y esféricas, 54-55,

234-235

velocidad, 16-17, 137- e integrales triples, 139, 193-199 355-362

velocidad la integral doble como, angular, 46 de un fluido, 76-77, 212,

303-311

216, 479 y rapidez, 195

de regiones elementales,

de un paralelepípedo, 39 Wilson, E. B., 18

volumen

32'3-335

libro calculo vectorial

Education