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SERIE DE CLCULO VECTORIAL PROFESOR: PEDRO RAMREZ MANNY

TEMA 1 Extremos de funciones de dos o ms variablesPara las siguientes funciones obtenga los puntos crticos y establezca la naturaleza de cada uno de ellos. 1) f ( x, y ) = x3 + y 3 6 x 2 + 6 y 2 + 8 Solucin: ( 0,0 ) p.silla. ( 0, 4 ) mx. rel. ( 4, 4 ) p.s. ( 4,0 ) mn. rel.

2) z = e xy Solucin: ( 0,0 ) punto silla.3) f ( x, y ) = e x2 + y 2 2

Solucin: ( 0,0 ) mx. rel.

4) f ( x, y ) = 3 x3 + 18 xy + 3 y 2 + 63 x + 6 y + 30 Solucin: ( 5, 16 ) mn. rel. (1, 4 ) punto silla 5) f ( x, y ) = cosh x + cosh y Solucin: ( 0,0 ) mn. rel.

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6) Para los siguientes problemas, determine la funcin objetivo (F.O.) y la funcin restriccin (F.R.). a) Encuentre tres nmeros reales cuya suma sea 9 y la suma de sus cuadrados sea tan pequea como sea posible. Solucin: S = x 2 + y 2 + z 2 F.O. x + y + z = 9 F.R. b) Encuentre las dimensiones de una caja rectangular cerrada con volumen mximo que puede inscribirse en una esfera unitaria. Solucin: f ( x, y, z ) = 8 xyz F.O.x 2 + y 2 + z 2 = 1 F.R.

c) Encuentre las dimensiones del bote cilindrico circular recto cerrado de menor rea de superficie cuyo volumen es 16 cm3 . Solucin: f ( r , h ) = 2 r 2 + 2 rh F.O.

r 2 h = 16 F.R.d) Determine las dimensiones del radio r y de la altura h del cilindro que puede ser inscrito en una esfera de radio 10, de tal modo que su superficie total sea mxima. Solucin: f ( r , h ) = 2 r 2 + 2 rh F.O.

4r 2 + h 2 = 400 F.R.e) Hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen cuya superficie sea de 6 pulgadas cuadradas. Solucin: f ( x, y, z ) = xyz F.O. xy + xz + yz = 3 F.R.

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7) Sea la funcin f ( x, y ) = x + y con la restriccin x 2 + y 2 = 4 , obtener los mximos y mnimos. Solucin: 2, 2 mx. 2, 2 mn.

(

)

(

)

8) Determinar las dimensiones de la caja rectangular con tapa de mayor 2 volumen que puede construirse con 12 dm de material.(1EF / TIPO A / 2009-2) Solucin: x = 2 dm , y =

2 dm y z = 2 dm .

9) Calcular la distancia mnima del origen a la curva x2 + y 2 = 1 C : 2 2 2 x xy + y z = 1 1 1 1 1 1 1 , , , , Solucin: A ,B , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 C , , , D , , . 2 2 2 2 2 2

10) Determine los puntos (x,y,z) del elipsoide 2 x 2 + 4 y 2 + 5 z 2 = 70 de modo que la suma de su primera y tercera coordenadas sea la mayor y la menor posible. Solucin: ( 5,0, 2 ) , ( 5,0, 2 ) . 11) Un aro metlico cuya configuracin geomtrica esta representada por las ecuaciones yx=0 2 2 2 x + y + 4 z 27 = 0 esta en un medio con temperatura T ( x, y, z ) = xyz + 10 . Determinar los puntos donde el aro est ms caliente y donde est fro. Solucin:

4

3 3 27 Ms calientes: 3,3, y 3, 3, con T = 10 + 2 2 2 3 3 27 Ms fros: 3,3, y 3, 3, con T = 10 2 2 2 12) Aplicar el anlisis de la variacin de una funcin para establecer las ecuaciones de las rectas sobre las cuales se localizan los ejes de la elipse de ecuacin 5 x 2 + 8 xy + 5 y 2 = 9 . (Sugerencia: Tomar en cuenta que la elipse tiene su centro en el origen). Solucin: y x . 13) Se desea fabricar un recipiente sin tapa con forma de cilindro circular recto y cuyo volumen sea de 16 m3 . Si el m 2 del material para la base cuesta el doble que para la pared, calcular las dimensiones que debe tener el recipiente para que el costo sea el mnimo. 2 4 Solucin: r = 3 , h = 3

14) Obtener las dimensiones de un silo de almacenamiento formado por un cilindro que tiene en la parte superior a una semiesfera, de modo que se tenga un volumen mximo, si el rea de la lmina con que se cuenta para construirlo es de 215 m 2 . 43 Solucin: h = r = .

15) Calcular el valor de los extremos absolutos de la funcin f ( x, y ) = x 2 y 2 definida sobre la regin x2 y 2 R = ( x, y ) + 1; ( x, y ) R 2 . 4 9

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Solucin: ( 0,3) y ( 0, 3) mnimos absolutos

( 2,0 ) y ( 2,0 ) mximos absolutos

16) Determinar el mximo absoluto y mnimo absoluto de la funcin f ( x, y ) = 2 x 2 4 x + y 2 4 y + 1 en una regin del dominio de f limitado por x = 0, y = 2, y = 2 x . Solucin: f ( 0,0 ) = 1 mximo absoluto f (1, 2 ) = 5 mnimo absoluto 17) Determinar el mximo absoluto y el mnimo absoluto de la funcin f ( x, y ) = x 2 + y 2 en una regin del dominio de f limitado por y = 3 , y = x 2 1. Solucin: f ( 0,0 ) = 0 mnimo absoluto f ( 2,3) = f ( 2,3) = 13 mximo absoluto

Ejercicios de un examen parcial (1EP / TIPO A / 2005-1) 18) Determinar la naturaleza de los puntos crticos de la funcin f ( x, y ) = e6 xy 19) Determinar los valores extremos de la funcin f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 5 en la regin cerrada R del plano XY limitada por las grficas de y = 5, y = 5 y x 2 y 2 = 4 . 20) Utilizar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para determinar las coordenadas de los vrtices de la hiprbola representada por la ecuacin xy = 4 . Nota: La hiprbola tiene su centro en el origen.

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21) Se desea fabricar una caja sin tapa, con forma de paraleppedo y tal que su volumen sea de 4m3 . Determinar las dimensiones que debe tener la caja de modo que el costo de la soldadura que se va a utilizar para soldar las caras y la base sea el mnimo. SOLUCIONES: 18) ( 0,0 ) punto silla 19) f ( 0,0 ) = 5 mnimo absoluto. Mximos absolutos: f 3, 5 = f 3, 5 = f 3, 5 = f 3, 5 = 19

20) Vrtices: ( 2, 2 ) , ( 2, 2 ) 21) x = 2, y = 2, z = 1 (metros).

(

) (

) (

) (

)

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TEMA 2 Funciones vectoriales22) Encuentre la frmula para el campo vectorial con las propiedades dadas: Todos los vectores son de longitud unitaria y perpendicular al vector de posicin en ese punto, en el plano cartesiano. yi xj . Solucin: f ( x, y ) = 2 2 x +y

23) Determine si la parbola semicbica f ( t ) = (1 + t 3 ) i + t 2 es j suave. Solucin: Es suave para t 0 . 24) Sea C la curva de ecuacin r ( t ) = ( 2 2cos t ) i + ( 2 sent ) + ( 2 + 2cos t ) k . Determinar las j coordenadas de los puntos de C en los que la recta tangente es perpendicular a su vector de posicin. Solucin: ( 0,0, 4 ) , ( 2, 2, 2 ) , ( 4,0,0 ) , ( 2, 2, 2 ) . 25) Determine una ecuacin cartesiana de la curva r (t ) = t i + ( 2 t ) . j

( )

Solucin: y = 2 x 2 , x 0 .26) Una partcula se mueve alrededor de la elipse 2 2 y z + = 1 en el plano yz, en sentido contrario al 3 2 movimiento de las manecillas del reloj. Encuentre los valores mximo y mnimo de v . (Sugerencia: encuentre primero los valores extremos de v y luego saque races cuadradas). Solucin: mx v =3, mn v =2.2

8

27) Encuentre unas ecuaciones paramtricas de la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 1, de tal manera que el recorrido del vector de 1 posicin que barre a la curva se inicie en el punto ,0 y el 2 sentido del recorrido del extremo de dicho vector sea el de las manecillas del reloj. 1 x = cos t 2 ,0 t < 2 Solucin: 1 y = sent 3 28) Una partcula se mueve desde el punto A ( 3,0, 4 ) hasta el 4 x 2 + 9 y 2 = 36 ; determine unas punto B ( 0, 2, 4 ) sobre la elipse z=4 ecuaciones paramtricas para esta curva.

x = 3cos t Solucin: C: y = 2 sent ,0 t 2 z=4 29) Una partcula se mueve del punto A

(

5,3,0 hasta el punto

)

x 2 + y 2 + z 2 = 14 ; obtenga unas B 5,0,3 sobre la curva C : 2 2 y +z =9 ecuaciones paramtricas.

(

)

x= 5 Solucin: C : y = 3cos t ,0 t 2 z = 3sent

9

x = 6t 30) Calcule la longitud de la curva C : y = 2 sen ( 3t ) , con z = 2cos ( 3t ) 0t . Solucin: 3 8 unidades de longitud. 31) Encuentre la longitud de arco de la curva r ( t ) = cos ti + sentj + tk , desde el punto (1,0,0 ) hasta el punto

(1,0, 2 ) .

Solucin: s = 2 2 unidades de longitud. 32) Una partcula se mueve en el plano xy segn la ley de 3 j posiciones r ( t ) = ( t 2 1) i + ( t 2 1) donde t es el tiempo. Determinar, si existen los puntos donde la partcula se detiene. Solucin: ( 1, 1) . 33) Una partcula se mueve siguiendo la trayectoria r ( t ) = i 4t 2 + 3t 2 k , donde t es el tiempo. Determine j a) la curvatura y la torsin de la trayectoria. b) La forma de la trayectoria Solucin: k = 0, = 0; es una recta. 34) Sea S la superficie cuyas ecuaciones paramtricas son x = u + v; y = u v; z = u 2 v 2 , obtener una ecuacin del plano tangente a S, en el punto P ( 2,0,0 ) . Solucin: 2 y z = 0

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35) Sea S la superficie de ecuacin vectorial r ( u , v ) = u cos vi + usenvj + u 2 k con 0 v ; u 0 y C la curva de ecuacin vectorial r ( t ) = ti + tj + 4k .Calcule las coordenadas del punto de interseccin entre S y C. Solucin: P 2, 2, 4 .

(

)

36) Sea C la curva cuya ecuacin vectorial es r ( t ) donde T , N , B son sus vectores tangente, normal y binormal respectivamente y dT 1 j la torsin de C. Si = , B = k y = 6 para un punto P ds 5 dN de la curva C. Obtener los vectores N , , as como el radio ds de curvatura de C. dN 1 = i 6k , = 5 Solucin: N = , j ds 5 37) Sea C la curva de ecuacin r ( t ) = senti + 2 sentj + 3cos tk . Determine si la curva es plana. Solucin: Es plana.

x2 y 2 = 1 38) Sea la curva C : z = 3 Determinar, para el punto P (1,0,3) : a) Los vectores T , N y B . b) La curvatura de la curva. c) La ecuacin del plano oscular. d) La torsin de la curva. (1EF / TIPO A / 2009-2) Solucin:

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a) T = ( 0,1,0 ) , B = ( 0,0, 1) y N = (1,0,0 ) b) k = 1 c) z = 3 d) = 0 39) Una partcula se mueve segn la ley de posiciones 3 r ( t ) = ( t 1) i + ( 3t 2 8t ) + ( 2t + 4 ) k , calcular el vector j aceleracin normal de la partcula en el punto donde t = 2 . 48 6 84 j k. Solucin: aN = i + 29 29 29 40) Encuentre unas ecuaciones paramtricas para la esfera de centro ( 2, 1,3) y radio 5. x = 2 + 5sen cos 0 Solucin: y = 1 + 5sen sen , 0 < 2 z = 3 + 5cos

41) Sean las superficies de ecuaciones j S1 : x 2 y 2 + z 2 = 12 y S 2 : r ( s, t ) = ( s 2t + 2 ) i + ( s t ) + 3t 2 k .Obtenga unas ecuaciones paramtricas de la recta tangente a la curva de interseccin entre las superficies S1 y S 2 en el punto P ( 2, 1,3) . x = 2 40 Solucin: L : y = 1 17 , R z = 3 21

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42) Sean S la superficie de ecuacin vectorial r ( u , v ) = u cos vi + usenvj + u 2 k con 0 v , u 0 y C la curva de ecuacin vectorial r ( t ) = ti + tj + 4k a) Calcular las coordenadas del punto de interseccin entre S y C. b) Determinar si C es perpendicular a S. Solucin: a) 2, 2, 4 b) la curva C no es perpendicular a la

(

)

superficie. 43) Utilice coordenadas curvilneas para calcular el rea de la regin limitada por las rectas de ecuaciones y = x, y = x + 2, y = 2 x, y = 2 x + 6 (Sugerencia: una de las ecuaciones de transformacin es y x = u ). Solucin: A=4 unidades de rea. 44) Encuentre el rea de la regin R del plano xy limitada por las curvas y 2 = 8 x , y 2 = x , x 2 = 8 y , x 2 = y ; utilizando el cambio de coordenadas al sistema ( u , v ) definido mediante las ecuaciones y 2 = ux ; x 2 = vy . 49 Solucin: AR = unidades de rea. 3 45) Para el sistema curvilneo definido por las ecuaciones de transformacin u = x 3 y , v = 3 x + y ; obtenga el factor de escala hu , el vector base eu y determine si el sistema curvilneo es ortogonal. 1 1 3 ; eu = i j ; es ortogonal. Solucin: hu = 10 10 10

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46) Dadas las ecuaciones de transformacin x = senhvsenu , y = cosh v cos u ; determine si el sistema curvilneo es ortogonal; calcule el factor de escala hu . Solucin: Es ortogonal hu = senh 2v + sen 2u 47) Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ayzi + bxzj + cxyk donde a, b, c R y a 0, b 0, c 0 . Determinar los valores de a, b, c tales que el campo F sea solenoidal e irrotacional. Solucin: a = b = c 48) Determine si la funcin f ( x, y ) = cos xsenhy es armnica. Solucin: Es armnica. 49) Para la funcin f ( , , z ) = z , calcule su gradiente. Solucin: f = ze + ze + ez . 50) Sea el campo vectorial f ( , , z ) = e e +2

1

sen e + z 2 ez

Investigue si es solenoidal. Solucin: No es solenoidal, 2 1 2 1 f = e + 2 2e + cos + 2 z 51) Sea el campo vectorial f = sen sen e + sen cos e + cos e investigue si es irrotacional. Solucin: Es irrotacional.

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Segundo examen parcial 2004-252) Una partcula se mueve a lo largo de la curva C representada por r ( t ) = 2 cos t i + 2 cos t + ( 2 sent ) k . Determinar las j

(

) (

)

coordenadas de los puntos de la curva donde: a) La velocidad de la partcula es perpendicular a su vector de posicin. b) La aceleracin apunta hacia el origen. Solucin: a) La velocidad es perpendicular r ( t ) en todo punto de la curva. b) La aceleracin apunta hacia el origen en todo punto de la curva. 53) Sea C una de las curvas representadas por x 2 + y 2 + z 2 = 25 C : y que contiene a los puntos A(0,4,3) y 2 2 x + y = 16 B(-4,0,3). a) Obtener una ecuacin vectorial de la curva C. b) Calcular la longitud de la curva entre los puntos A y B. c) Determinar el triedro mvil en el punto A d) Calcular la curvatura de C. e) Determinar si la curva es plana. Solucin: j a) r ( t ) = ( 4cos t ) i + ( 4s ent ) + ( 3) k b) Por ser una circunferencia s = 2 u.l. s = 6 u.l. c) T = i , N = , B = k j 1 d) k = 4 e) La curva es plana ya que est contenida en el plano z = 3

15

x=u 54) Sea la superficie S representada por S : y = u cos v z = usenv a) Obtener una ecuacin vectorial de S . b) Con la ecuacin obtenida en el inciso anterior, determinar la ecuacin cartesiana del plano tangente a S en el punto P 2,1,1 .

(

)

Solucin: a) r ( u , v ) = ( u ) i + ( u cos v ) + ( usenv ) k j b) 2x + y + z = 0

1 55) Determinar si la funcin f ( , , ) = ln , dada en coordenadas esfricas, es armnica. Solucin: 1 2 f = 2 f no es armnica.

u = 2x + y 56) Sea la transformacin T : y sea R una regin v = 2y x +1 en el plano xy cuya rea es igual a 4u 2 . Determinar: a) Si el sistema de coordenadas ( u , v ) es ortogonal. b) Los factores de escala hu y hv . c) Los vectores base eu y ev . x, y . d) El Jacobiano de transformacin J u, v e) El rea de la regin R ' , siendo R ' la imagen de la regin R bajo la transformacin T . Solucin:

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a) Es ortogonal. 1 1 b) hu = y hv = 5 5 2 1 1 2 c) eu = i+ j y ev = i+ j. 5 5 5 5 x, y 1 d) J = u, v 5 e) rea de R ' = 20u 2 57) Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( x 2 + yz ) i + ( y 2 + xz ) + ( z 2 + xy ) k j Determinar: a) Si el campo F es solenoidal. b) Si el campo F es irrotacional. (1EF / TIPO A / 2009-2) Solucin: a) F no es solenoidal. b) F s es irrotacional. 58) Sea el campo vectorial F representado por F = r = xi + yj + zk y = r . a) Determinar si F es solenoidal. b) Determinar si F es irrotacional. Solucin: c) S es solenoidal. d) Es irrotacional.

r

3

en donde

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TEMA 3 Integrales de lnea59) Calcular el valor de1 ( 3xy + 2 y 2 x ) dy , 2 C sobre la trayectoria formada por las rectas que unen a los puntos: P ( 0,0 ) , P2 ( 0,1) , P3 (1,1) . 1 1 Solucin: . 32

(x

2 xy ) dx +

60) Calcular x 2 ydx + xy 2 dy a lo largo de la trayectoriaC

mostrada en la figura. (1EF/B/2002-2)

Solucin:

15 2

61) Calcular la integral de lnea I =

sobre la circunferencia de ecuaciones x = cos t ; y = sent ; 0 t 2 . Solucin: I = 2

( 3x y ) dx + ( x + 5 y ) dyC

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62) Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = x 2i + y 2 + z 2 k . j

Calcular F idr a lo largo de la trayectoria del plano XY dada por y 2 = x , del punto A ( 0,0,0 ) al punto B 2, 2,0 . (1EF/A/2003-1) Solucin: F idr =C C

(

)

2 4+ 2 . 3

(

)

63) Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 3 x + yz ) i + ( 2 x + y 2 ) + ( xz ) k , calcular F idr a j

x = 2 + y del punto A ( 3,1,1) al punto lo largo de la curva C : 2 y=z B ( 3,1, 1) . (3EP/A/2002-1) 4 Solucin: F idr = 5 C64) Sea F el campo vectorial definido por F ( x, y, z ) = ( 2 x + sen y ) i + ( x cos y + z 3 ) + ( 3 yz 2 4 z ) k j Calcular el valor de F idr del punto A ( 0,0,0 ) al puntoC

C

B ( 2, 2, 2 ) a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura. (3EP/A/2001-2)

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Solucin: 12

65) Sea el campo vectorial cuya ecuacin es ez y ez x z F ( x, y , z ) = i+ j + e ang tan ( xy ) k 2 2 2 2 1+ x y 1+ x y Calcular F idr , a lo largo de una vuelta completa a la curvaC

de ecuaciones x 2 + z 2 = 16 , x + y + z = 10 . Solucin: F idr = 0 .C

66) Calcular el trabajo que efecta el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = ( 2 y 2 senz 2 x ) i + ( 4 xysenz + 1) + ( 2 xy 2 cos z + 4 ) k j

al desplazar una partcula del punto A 0,0, al punto 2 B ( 0,0, ) . (1EF/B/2004-2) Solucin: W = 2 unidades de trabajo.

67) Obtener el valor de

C

F idr

calculada a lo largo de la

circunferencia de radio 1 con centro en el origen donde 2 xy 2 2x2 y F ( x, y ) = i+ j 4 4 4 4 1 x y 1 x y

Solucin:

C

F idr = 0 .

20

68) La integral

B AF idr a lo largo de cualquier trayectoria que C une al punto A ( 0,0 ) con el B ( 2, 4 ) es igual a 72, donde j F ( x, y ) = ( 5 y 6 x 2 ) i + ( 6 y + ax ) .k

Calcular F idr a lo largo de la trayectoria k : y = x3 , del punto P (1,1) al punto Q ( 2,8 ) . (2EF/A/2004-2) Solucin: 250 69) Sea F el campo vectorial cuya ecuacin en coordenadas polares es F ( , ) = 2 cos e + 2 s en e , calcular Fdr aC

lo largo de la curva C de ecuacin x + y 4 y = 0 del punto A ( 0,0 ) al punto B ( 0, 4 ) para x 0 . Solucin: 162 2

70) Determinar si el campo vectorial F ( , , z ) = 8 2 z 3e + 8 z 3e + 12 2 2 z 2ez es un campo conservativo y de ser posible, encontrar la funcin ( , , z ) tal Solucin: ( , , z ) = 4 2 2 z 3 + C

71) Sea el campo de fuerzas F que en coordenadas cilndricas circulares est representado por F ( , , z ) = ( zsen + 2 z 2 ) e + ( z cos + z 2 ) e + ( sen + 2 2 z ) ez Calcular el trabajo que efecta el campo F cuando una partcula se desplaza del punto A ( 0,0,0 ) al punto B 2, ,1 a 2 lo largo del segmento de recta que los une. Los puntos A y B estn dados en coordenadas cilndricas circulares. (1EF / TIPO A / 2009-2)

21

Solucin: w = 2 ( + 1) unidades de trabajo. 72) Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F ( , ) = e + e , dado en coordenadas polares, al desplazar una partcula a lo largo de la curva C : x 2 + 4 y 2 = 4 desde el punto A ( 2,0 ) hasta el punto B ( 0,1) , dados en coordenadas cartesianas. (1EF/A/2004-1) Solucin: W =

2

unidades de trabajo.

22

TEMA 4 Integrales mltiples73) Calcule el valor de I = 0 4 2

sen y dydx3

x

Solucin: cero 74) Calcular el rea de la regin del primer cuadrante limitada por las curvas de ecuaciones x 2 + y 2 = 9 , x + y = 3 . 9 Solucin: A = 1 u 2 . 2 2 75) Para calcular el rea de una regin del plano XY se obtuvieron las integralesA=2 3 x 3 3

dydx + dydx0 3x

0

9

2 9

a) Cambiar el orden de integracin, de modo que el rea se obtenga con una sola integral doble. b) Obtener el rea de dicha regin. (1EE/A/2002-1) Solucin: a) A = 1

9

ln y ln 3

ln y 3ln 3

dxdy

32 2 b) A = 24 u . 3ln 3 76) Utilizar integrales doble para calcular el rea de la regin del plano XY localizada en el primer octante y limitada por las curvas de ecuaciones 16 ( x 1) = y 2 , 8 x = y 2 . (3EP/A/2002-1) 8 Solucin: A = u 2 3

23

77) Utilizar integrales dobles para determinar el rea limitada por 2 2 la elipse de ecuacin ( x + 2 y + 4 ) + ( 3 x 4 y 2 ) = 100 . Sugerencia: Hacer un cambio de variable (1EF/B/2002-2) Solucin: A = 10 u 2 .78) Calcular

( xR

2

+ y 2 ) dxdy siendo R la regin del primer

cuadrante limitada por las curvas xy = 1, xy = 8, x 2 y 2 = 3, x 2 y 2 = 6 . (3EP/A/03-1) Sugerencia: Hacer el cambio de variable u = xy , v = x 2 y 2 . 21 Solucin: . 2 79) Calcular el rea de un ptalo de la rosa cuya ecuacin polar es = cos 4 .(2EF/A/2004-1) Solucin: A =

16

unidades de rea.

80) Utilizar integrales dobles para calcular el volumen de la regin localizada en el interior de las superficies de ecuaciones x2 + z 2 4 = 0 y y 2 + z 2 = 4 . 128 3 u Solucin: V = 3 81) Determine la masa de la lmina que corresponde a la regin limitada por un ptalo de la rosa = 2sen 2 en el primer cuadrante; la densidad en un punto de la lmina est dada por ( x, y ) = k x 2 + y 2 donde k es una constante. 16 Solucin: m = k unidades de masa. 9

24

82) Utilizar el teorema de Green para calcular el valor de 2 2 2 2 x ydx xy dy donde C es la circunferencia x + y = 4 . Solucin: 8 . 83) Calcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas F ( x, y ) = ( x 3 + 2 y ) i + ( y 2 + 4 x ) al mover una partcula a lo j largo de la trayectoria cerrada mostrada en la figura. (3EP/A/2002-1)C

Solucin: 6 unidades de trabajo. 84) Utilizar el Teorema de Green para calcularC

(

2 y + 1 + x 6 dx + 5 x e y dy sobre la trayectoria mostrada2

) (

)

en la figura (3EP/A/03-2)

Solucin: 4.

25

85) Determinar el rea de la superficie cuya ecuacin vectorial es F ( u , v ) = u 2i + v 2 + ( u 2 + v 2 ) k para 0 u 1 , 0 v 2 . j Solucin: A = 4 3 unidades de rea. 86) Calcular el rea de la porcin de superficie de ecuacin 4 z = x 2 + y 2 localizada por arriba del plano XY. Solucin: A =

17 1 u 2 . 63 2

87) Utilizar integracin doble para calcular el rea de la porcin del cono z 2 = x 2 + y 2 comprendida entre los planos z = 1 y z = 4 . (3EP/A/03-1) Solucin: A = 15 2 unidades de rea.

88) Calcular el rea de la parte del cilindro x 2 + y 2 = 9 que est comprendida en el primer octante y que es cortada por el plano x = z . (3EP/A/2004-2) Solucin: A = 9 unidades de rea. 89) Calcular el rea de la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que est comprendida entre los conos x 2 + y 2 = z 2 y 3x 2 + 3 y 2 = z 2 . (2EF/A/2004-1) Solucin: A = 2 3 2 unidades de rea.

(

)

90) Calcular el volumen de la regin que es limitada por las superficies S1 y S 2 representadas por: S1 : x 2 + z 2 = 4 y , S 2 : y + 5 = 0 . (3EP/A/2004-1) 81 Solucin: V = unidades de volumen. 2

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91) Calcular el volumen del slido limitado por las superficies de ecuaciones x 2 + z 2 = 9 , y + z = 4 , x 2 y 3 z = 12 . Solucin: V = 90 unidades de volumen. 92) Calcular el volumen de la regin D que es interior al cilindro de ecuacin y 2 + z 2 = 4 , y limitada por el plano x = 0 y el paraboloide y 2 + z 2 + 2 x = 16 . Solucin: V = 28 unidades de volumen. 93) Dado el campo vectorial F ( x, y, z ) = zi + xj y 2 k , utilizar el Teorema de Stokes para calcular interseccin del plano x + y + z 1 = 0 con los tres planos coordenados. (1EF/A/2005-2) 2 Solucin: . 3 94) Por medio del Teorema de Stokes, calcular el trabajo que efecta el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = xi zj + yk para desplazar una partcula una vuelta a lo largo de la curva x2 + y2 = 4 C : xz =0 Solucin: W = 8 unidades de trabajo. 95) Sea el campo de fuerzas F ( x, y, z ) = xi zj + yk . Emplear el Teorema de Stokes para determinar el trabajo que realiza el campo F para mover una partcula una vuelta a lo largo de la z = 2x + 3y curva C de ecuaciones C : 2 . x + y 2 = 16 Solucin: W = 32 unidades de trabajo.C

F idr , donde C es la

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96) Utilizar el Teorema de Gauss para calcular el valor de la integral F inds donde F ( x, y, z ) = xi + yj + 2k y la

superficie de ecuacin vectorial r ( , ) = sen cos i + sen s en + cos k con 0 2 , j 0 . 8 Solucin: F inds = . 3 97) Sea el campo F = xi + yj + zk . Calcular el valor del flujo neto de F a travs de una esfera de radio R con centro en el origen. Solucin: flujo = 4 R 3

98) El flujo neto del campo de fuerzas F ( x, y, z ) = x 3i + y 3 + z 3k a travs de la superficie j 384 unidades de flujo. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 es igual a 5 Determinar el valor de r . (1EF/B/2004-2) Solucin: r = 2 .