calculo negocios unidadiv_verano2011

CÁLCULO D E I APLICADO A LOS NEGOCIOS

UNIDAD 5. APLICACIONES DE FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES

ESCUELA DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS

UNIVERSIDAD ANÁHUAC CANCÚN

Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Aplicaciones

Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac

En economía, a partir de las demandas, p y q, de dos artículos se dice que:

• Son sustitutos (competitivos) si el decremento en la demanda de uno produce un incremento en la demanda del otro. Ejemplo: Café y té.

•Son complementarios si un decremento en la demanda de uno produce un decremento en la demanda del otro. Ejemplo: automóviles y neumáticos.


En Cálculo Multivariado, dadas dos funciones de demanda, x=f(p,q) y y=f(p,q), de los artículos A y B,

• A y B son sustitutos (competitivos) si

• A y B son complementarios si

0y 0

pg

qf

0y 0

pg

qf



Ejemplo: Supongamos que la demanda diaria de la mantequilla y de la margarina, están dadas por

213

,pq

qpfx

q

pqpgy

1

2,

Donde p y q son los precios en USD/lb, x e y se miden en mdd. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.



Ejercicio: La revista Home Entertainment determinó que las demandas de videocaseteras y videocasetes vírgenes son

22.01010000, qpqpfx

qpqpgy 208.05000, 2

Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden en unidades semanales. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.de los dos



Ejercicio: La revista Home Entertainment revisó las demandas de videocaseteras y videocasetes vírgenes y se modificaron a

qepqpfx 5.01010000,

pqqpgy 10400050000,

Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden en unidades semanales. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.de los dos


Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)

Pasos para encontrar extremos relativos1) Encontrar los puntos críticos de f(x,y), (a,b)2) Aplicar el criterio de la segunda derivada parcial

2, xyyyxx fffyxD

a) D(a,b)>0 y fxx(a,b)<0, es un máximo relativob) D(a,b)>0 y fxx(a,b)>0, es un mínimo relativoc) D(a,b)<0, no hay máximo ni mínimo relativosd) D(a,b)=0, no se puede concluir nada. Se

recomienda aplicar otra técnica para resolverlo.



Ejemplos: Para cada función, encuentra los puntos críticos y, de ser posible, determina si se trata de un mínimo o un máximo absoluto.

13522, 22 yxxyyxyxf


xyyxyxf 33,

1001002,, 22 yxzyxyxzyxf


Ejercicios: Para cada función, encuentra los puntos críticos y, de ser posible, determina si se trata de un mínimo o un máximo absoluto.

xyyxyxyxf 45, 22


yxyxyxyxf 90125.132, 2233

2001002,, 22 yxzyxyxzyxf


Ejemplo 1: Sea P una función de producción dada por


3232 09.089.102.054.0, kkllklfP

Donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P representa la cantidad producida.Encuentra los niveles de l y k que maximicen P.

Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)Ejemplo 2: Una empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para los cuales, los costos promedio de producción son, respectivamente, constantes de $2 y $3 por libra. Las cantidades qA y qB (en libras) de A y B que pueden venderse cada semana están dadas por las funciones de demanda conjunta


BAB

ABA

ppq

ppq

29400

400

Donde pA y pB son los precios de venta (en dólares por libra) de A y B, respectivamente. Determinar los precios de venta que maximizan las utilidades de la compañía, P.

UtilidadPor libra

De A

LibrasVendidas

De A

UtilidadPor libra

De A

LibrasVendidas

De AP = +


Ejercicio 1: (Fijación de precios de productos que compiten entre sí) La compañía occidental de dulces, produce caramelos en dos tamaños a costos unitarios de $0.10 y $0.20 cada uno. Las demandas semanales x1 y x2 (en miles) para los dos tamaños están dadas por


121 ppx

Donde p1 y p2 denotan los precios en centavos de los caramelos en los dos tamaños. Determina los precios p1 y p2 que maximizarían las utilidades semanales de la empresa

212 360 ppx

Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización Restringidad (Máx/Mín)

Método de los Multiplicadores de LagrangeEn algunos casos, los problemas de optimización presentan condiciones adicionales, g(x,y)=0, que limitan a la función principal f(x,y).

Se deberá construir una nueva función F(x,y,) dada por

La cual deberá optimizarse encontrando los puntos críticos a partir de las soluciones de las ecuaciones


yxgyxfyxF ,,,,

0;0;0

F

yF

xF


Ejemplo 1: Encuentra los valores extremos de la función f(x,y) = x2 + 2y2 que cumplan la condición x2 + y2 = 1R = Máx f(0,1)=2; Mín f(1,0)=1


35355,353,351max f

Ejemplo 2: Encuentra los valores extremos de f(x,y,z) = x + 3y + 5z, cuyas coordenadas también deben cumplir la restricción x2 + y2 + z2 = 1

35355,353,351max f

Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)

Ejercicios: Encuentra los valores extremos de la función dada sujeta a la restricción que se indica


2082 ;64, 22 yxyxyxf

92 ;,, 222 zyxzyxzyxf

0 0

;12 ;,,

xyzzyx

zyxxyzzyxf


Ejemplo 3: Los reglamentos de un servicio de paquetería especifican que la medida de los lados de la base de un paquete rectangular, incluyendo la altura del mismo, deben ser 108 pulg. Encuentra las dimensiones del paquete que cumpla las condiciones y permita el mayor volumen posible.




Ejercicio 4: Un edificio en forma de caja rectangular debe tener un volumen de 12,000 pie3. Se estima que los costos anuales por calefacción y enfriamiento para la parte superior serán de $2 p/pie2; para el frente y la parte posterior $4 p/pie2; y para los otros dos lados, será $3 p/pie2. Hallar las dimensiones del edificio que produzca los gastos anuales por calefacción y enfriamiento mínimos. ¿Cuál es el monto de dicho gasto?



Ejercicio 5: La ganancia semanal total (en USD) obtenida por la empresa Acrosonic al producir y vender sus sistemas de audio, está dada por la función de ganancia

Donde x denota el número de unidades totalmente ensambladas y y el número de equipos producidos y vendidos por semana. La gerencia ha decidido que la producción de ambos artículos deberá restringirse a 230 unidades por semana. Bajo tales condiciones, ¿cuántas unidades de cada tipo deberán producirse semanalmente para maximizar las ganancias de la empresa?

500010012041

83

41

, 22 yxxyyxyxP

UNIDAD 5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Fin de la unidad.


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