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Tema 1

Clculo diferencial: Concepto y

propiedades de una funcin.

Representacin grfica.

1.1. Un esbozo de qu es el Clculo: paradojas y principales

problemas planteados.

Los orgenes del Clculo se remontan al siglo III a. C., cuando los griegos intentabanresolver el problema del clculo de reas usando el mtodo exhaustivo (inventado porEudoxo), en el que se aproxima el rea de la regin que se desea conocer mediante reas deregiones poligonales inscritas en ella cada vez ms precisas. Con este mtodo, Arqumedes(287-212 a. C.) determin la frmula exacta del rea del crculo y de otras figuras.

La sustitucin de los nmeros romanos por los caracteres arbigos, aparicin de los signos+y, el importante desarrollo de las notaciones matemticas que empez en el siglo XVId. C., la notacin decimal y los resultados sobre soluciones algebraicas de las ecuacionescbica y curtica estimularon el desarrollo de la Matemtica y, en particular, de los smbolosalgebraicos que permitieron retomar el inters por el mtodo exhaustivo, que se transformen lo que hoy se conoce como clculo integral.Sin embargo, el mayor impulso de esta rama de las Matemticas se di en el siglo XVIIgracias a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y continu su desa-rrollo hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) ledieron una base matemtica firme.Los aspectos fundamentales (o piedras angulares) que sustentan el Clculo son el concepto

dederivaday el concepto deintegral. Ambos se apoyan en una herramienta fundamentalque es el lmite. Observemos que:

Ellmitepermite estudiar latendenciade una funcin cuando su variable se apro-xima a un cierto valor.

La derivada permite calcular tasas de variacin y pendientes de las tangentes alas curvas, definindose pues como un lmite.

Laintegralse introduce como lmite de una suma especial y permite calcular reas,volmenes, longitudes de curva, etc.

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Matemticas Aplicadas a la ptica Tema 1

1.1.1. La funcin valor absoluto.

El valor absoluto de un nmero real x se designa por|x|, definido por:

|x|= x si x

0,

x si x


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f(x) =

ex 1.El dominio defviene dado por el conjunto de nmeros reales tales queex 10,es decirxln(1) = 0. Por tanto, D(f) = [0, +).

f(x) = ln |x|El dominio defviene dado por el conjunto de nmeros reales tales que|x| = 0, esdecirD(f) = R\{0}= (, 0) (0, +).

f(x) = ln(x(2 1x)(x + 3))El dominio defviene dado por el conjunto de nmeros reales tales quex(2 x)(x +3)> 0. Tenemos varias situaciones posibles:

x >0

2 x >0x + 3> 0

, lo que corresponde con(0, 2),

x >0

2 x


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2. El lmite de una funcin.

Una definicin formal de dicho concepto es la siguiente:

La notacin

lmxa f(x) =L

se lee el lmite de f(x) cuando x tiende a a es L", y quiere decir que si x es unnmero arbitrariamente prximo aa, entonces la imagen dex a travs de la funcinf se aproxima arbitrariamente aL.

Por aproximarse arbitrariamente dos nmeros reales podemos entender aproximarsepor la izquierda o por la derecha, por tanto la definicin anterior encubre que exis-ten los lmites laterales, que denotaremos por lm

xa+f(x) el lmite por la derecha y

lmxa

f(x) el lmite por la izquierda, y que ambos son iguales. Igualmente se define

el concepto de lmite + o.

3. Clculo de lmites.

Una posible estrategia para calcular lmites es relacionarlos con el concepto de con-tinuidad (que conocen, al menos de manera intuitiva). As, si la funcin es continuaen un punto, el lmite de la funcin en dicho punto coincide con su valor a travs def. De este modo, se dara respuesta, por ejemplo, a lmites de funciones polinmi-cas, racionales (siempre que el punto en el que se quiere calcular el lmite no anuleel denominador) y trigonomtricas (si el punto pertenece al dominio de la funcintrigonomtrica). En el caso del lmite de una funcin compuesta:

Si f yg son funciones tales que lmxa

g(x) =L y lmxL

f(x) =f(L), entonces:

lmxa

f(g(x)) =f(L).

Respecto al clculo de lmites de funciones definidas a travs de la suma, resta,producto de dos o ms funciones, de una funcin por una constante o del cocientede funciones (siempre que la funcin que aparece en el denominador no se anule enel punto en el que se quiere calcular el lmite), podemos decir:

lmxa

(f(x) + g(x)) = lmxa

f(x) + lmxa

g(x)

lmxa

(f(x) g(x)) = lmxa

f(x) lmxa

g(x)

lmxa

(f(x) g(x)) = lmxa

f(x) lmxa

g(x)

lmxa

f(x)

g(x) =

lmxa

f(x)

lmxa

g(x)

El mismo resultado es vlido para lmites x a, x a+ (a R), x x+. Sin embargo, en algunos casos tales operaciones conducen a lmites inde-terminados. Uno de los casos en el que se conoce la solucin de dicha indeterminacines el caso del lmite a infinito de funciones racionales, es decir, cociente de funciones

Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Anlisis Numrico4 Curso 2013/14


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polinmicas:

lmx

p(x)q(x)

=

si grad(p)> grad(q)an

bnsi grad(p) =grad(q) y

p(x) =anxn + an1x

n1 + . . . , q(x) =bnxn + bn1x

n1 + . . .

0 si grad(p)< grad(q)

Tambin son conocidos los dos teoremas siguientes:

[T1 ] Si f(x) g(x) para todo x en un intervalo abierto conteniendo a a (quizsexcepto en a), y existen los lmites de ambas funciones cuando x tiende a a,entonces:

lmxa f(x) lmxa g(x).

[T2 ] (Teorema del sandwich") Si f(x) g(x) h(x) para todo x en unintervalo abierto conteniendo aa(quizs excepto ena), y lm

xaf(x) = lm

xah(x) =

L, entonces:

lmxa

g(x) =L.

4. Definicin precisa de lmite.

La definicin de lmite dada anteriormente es un poco vaga, ya que el concepto de

proximidad no queda explicitado de manera clara. As por ejemplo, no podemos darrespuesta a la cuestin bsica de cul es la cercana de x al punto a para que lafuncin f(x) est a 0,1 del lmite L. La siguiente definicin formaliza los conceptosanteriores, traduciendo el concepto de proximidad en distancia (valor absoluto):

Definicin de lmite:Seafuna funcin definida en u intervalo abierto que contieneaa (excepto posiblementea), y seaL un nmero real. La notacin

lmxa

f(x) =L

significa que, para cada > 0, existe un > 0 tal que si 0


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2) existe lmxc

f(x), es decir, si existe lmxc

f(x), existe lmxc+

f(x) y

lmxc

f(x) = lmxc+

f(x)

3) lmxc

f(x) =f(c)

Una funcin f es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos lospuntos del intervalo. Una funcin f escontinua en el intervalo cerrado [a, b] silo es en el intervalo abierto(a, b)y, adems, lm

xa+f(x) =f(a) y lm

xbf(x) =f(b).

Si alguna de las condiciones anteriores no se verifica, aparece uno de los siguientesfenmenos de discontinuidad:

discontinuidad evitable: Si existe lmxc

f(x) pero lmxc

f(x)=f(c).

Ejemplo 1.2.2

La funcinf(x) =

x + 2 six0,2(x + 1)2 six


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La suma, diferencia, producto, cociente y composicin de dos funciones continuas escontinua, as como del producto de un escalar por una funcin continua.

Como consecuencia, podemos enunciar:

Teorema del Valor Intermedio: Supongamos quefes continua en un intervalocerrado [a, b] y que N es cualquier nmero entre f(a) y f(b). Entonces, existe unnmeroc[a, b] tal quef(c) =N.

1.2.3. Asntotas de una funcin

Recordemos que hay tres tipos de asntotas asociadas a una funcin f(x): verticales, hori-zontales y oblicuas. Se caracterizan por:

asntotas verticales:Son de la formax= adondea /D(f). Existen si lmxa

f(x) =

y/o lmxa+

f(x) =. No pueden cortar a la funcin en ningn punto.

Ejemplo 1.2.5 La funcinf(x) = 1

x 1 tiene como dominio D(f) = R\{1}, luegola nica candidata a asntota vertical def(x) esx= 1. Como:

lmx1

1

x 1=, lmx1+1

x 1 = +

entonces se trata realmente de una asntota vertical.

asntotas horizontales: Son de la forma y = b, b R, donde b = lmx

f(x). Como

se pueden calcular los lmites a + a, pueden existir hasta dos asntotashorizontales distintas. Las asntotas horizontales pueden cortar a la funcin en unoo ms puntos.

Ejemplo 1.2.6

La funcinf(x) = x1 + x2

verifica que:

lmx

x

1 + x2 = 0 R

luego y = 0 es una asntota horizontal (hacia

y hacia +

). Observemos

que la curva y = x1 + x2 y la asntota horizontal y = 0 se cortan en el punto

(0, 0).

La funcinf(x) = ex

x + 1 verifica que:

lmx

ex

x + 1= 0, lm

x+

ex

x + 1= +

luego y = 0 es una asntota horizontal hacia, pero no hacia +. Obser-vemos que la curva y =

ex

x + 1 y la asntota horizontal y = 0 no se cortan en

ningn punto.



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La funcinf(x) = 11 + ex

verifica que:

lmx

1

1 + ex = 1, lm

x+

1

1 + ex = 0

luego y = 1 es una asntota horizontal hacia, e y = 0 es una asntotahorizontal hacia+. Observemos que la curvay = 1

1 + ex y las asntotas ho-

rizontalesy= 0 ey= 1 no se cortan en ningn punto.

asntotas oblicuas: Son de la forma y = m x + n, m R\{0}, n R, donde

m= lmx

f(x)

x , n= lm

x(f(x) m x) .

Como se pueden calcular los lmites a+ a , pueden existir hasta dos asntotasoblicuas distintas. Las asntotas oblicuas pueden cortar a la funcin en uno o mspuntos.

Las asntotas horizontales y oblicuas son incompatibles hacia y hacia +, esdecir, si existe asntota horizontal hacia + no puede existir asntota oblicua hacia+, e igualmente hacia.

Ejemplo 1.2.7 La funcinf(x) = x3

(1 + x)2 verifica que:

m = lmx

x3

(1+x)2

x = lm

x

x2

(1 + x)2 = 1,

n = lmx

x3

(1 + x)2x = lm

x

2x2 x(1 + x)2

=

2,

luego y = x 2es una asntota oblicua (haciay hacia+). Observemos que lacurvay=

x3

(1 + x)2 y la asntota oblicuay= x 2 se cortan en el punto (23 , 83).

1.3. Derivacin

1.3.1. La derivada.

Dada una funcinfdefinida en un entorno del puntoa, se define laderivada de f en x,

que denotaremos porf

(x)(tambin se darn a conocer otras notaciones para la definicinde este concepto), como:

f(x) = lmx0

f(x + x) f(x)x

siempre que ste exista, y dondexrepresenta el incremento dex. El cociente que apareceen la definicin recibe el nombre de cociente incremental. Anlogamente al caso de lacontinuidad, la derivada por la derecha y por la izquierda existen si los lmites laterales(por la derecha y por la izquierda) del cociente incremental existen. Slo si ambos soniguales, la funcin ser derivable en dicho punto. Se dice que una funcin es derivable enun intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo. Recordemos que laderivabilidad implica continuidad. El recproco no es cierto.



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1.3.2. Frmulas de diferenciacin.

Como es muy lento el clculo de derivadas a partir de la definicin, es conveniente cono-cer las reglas de derivacin ms bsicas. A continuacin mostramos las derivadas de lasprincipales funciones elementales:

Derivadas de funciones elementales Regla de la cadena

Potencia

(xn) =nxn1 (f(x)n) =nf(x)n1f(x)

Exponenciales

(ex) =ex

ef(x)

=ef(x)f(x)

(ax) =ax (ln a) af(x)

= (ln a)af(x)f(x)

Logartmicas

(ln x) = 1

x, x >0 (ln f(x)) =

1

f(x)f(x)

(loga(x)) =

1

ln a

1

x (logaf(x))

= 1

ln a

1

f(x)f(x)

Trigonomtricas

(senx) = cos x (senf(x)) =f(x)cos f(x)

(cos x) =senx (cos f(x)) =f(x) senf(x)

(tan x) = 1 + (tan x)2 = 1

(cos x)2 (tan f(x)) = [1 + (tan f(x))2] f(x)

(cotanx) =(1 + (cotanx)2) = 1(senx)2

(cotanf(x)) = [1 + (cotanf(x))2] f(x)

Inversas trigonomtricas

(arcsenx) = 11 x2 , si|x|< 1 (arcsenf(x))

= f(x)

1 f(x)2

(arccosx)

= 1

1 x2 , si|x|< 1 (arc cos f(x))

= f(x)

1 f(x)2

(arctanx) = 1

1 + x2 (arctan f(x)) =

f(x)

1 +f(x)2

(arccotanx) = 11 +x2

(arccotanf(x)) = f(x)1 + (f(x))2

En la tabla anterior, la columna de la derecha es relativa a la derivacin de funcionescompuestas (y equivalente al uso de la Regla de la Cadena). Adems, tendremos que tener



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en cuenta el lgebra de derivadas, cuyas frmulas son:

Derivada de una suma/resta:

(c f(x))

=c f

(x), parac R.

Derivada de una constante por una funcin:

(f(x) g(x)) =f(x) g(x)

Derivada de un producto:

(f(x) g(x)) =f(x) g(x) + f(x) g(x)

Derivada de un cociente:f(x)

g(x)

=f(x) g(x) f(x) g(x)

g(x)2 , si g(x)= 0

1.3.3. La Regla de la Cadena.

Regla de la cadena:Si existen las derivadas de la funcinfrespecto deu y de la funcinu= g respecto dex, entonces la funcin F =f g es una funcin derivable respecto dex

y su derivada respecto dex, F(x)viene dada por la expresin:

F(x) =f(g(x)) g(x).

1.4. Aplicaciones de la derivacin

1.4.1. Recta tangente y recta normal a una curva y = f(x).

Larecta tangente a una curvay = f(x) en el puntox = a viene dada por la expresin:

y= f(a) + f(a) (x a)

y larecta normala una curvay = f(x) en el puntox = a viene dada por la expresin:

y= f(a) 1f(a)

(x a)

Ejercicio 1.4.1 Calcula la recta tangente de las siguientes funciones en los puntos indi-cados:



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f(x) =ex2

enx= 1

Enx= 1, f(1) = 1e

, y la recta tangente viene dada por la expresin:

y

f(1) =f(1)(x

1), es decir, y

1

e

=f(1)(x

1).

Por tanto, tenemos que calcular f(1). Observemos que f(x) =2 x ex2 , luegof(1) =2

e. La recta tangente viene dada pues pory 1

e = 2

e(x 1), es decir:

y =1

e(3 2x).

Y la recta normal viene dada pory 1e

= e2(x 1), es decir:

y = e

2x +

1

e e

2

.

f(x) = ln(x + 1) enx= 2Enx= 2, f(2) = ln(3), y la recta tangente viene dada por la expresin:

y f(2) =f(2)(x 2), es decir, y ln(3) =f(2)(x 2).Por tanto, tenemos que calcularf(2). Observemos quef(x) = 1

x+1 , luegof(2) = 13 .

La recta tangente viene dada pues pory ln(3) = 13(x 2), es decir:

y = ln(3) +1

3(x 2).

Y la recta normal viene dada pory ln(3) =3(x 2), es decir:

y = ln(3) 3 (x 2).

1.4.2. Regla de lHpital.

El clculo de lmites presenta algunos casos de indeterminacin que pueden ser dilucidadosgracias a una de las aplicaciones del clculo de derivadas como es laRegla de lHpital1: Supongamosf yg funciones diferenciables yg (x)= 0 sobre un intervalo abiertoI quecontiene al puntoa, a[, +], (salvo quizsa). Supongamos que

lmxa

f(x) = 0 y lmxa

g(x) = 0

o bien lmxa

f(x) = y lmxa

g(x) =,es decir, tenemos una indeterminacin del tipo0/0 o/. Entonces,

lmxa

f(x)

g(x) = lm

xa

f(x)

g(x)

siempre que el lmite de la derecha no sea indeterminado.Dicha regla es vlida tambin para el clculo de lmites laterales.

1Nota:La regla de lHpital debe su nombre al Marqus de lHpital (1661-1704), pero fue descubierta

por el matemtico suizo J. Bernouilli (1667-1748).



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Ejercicio 1.4.2

lmx+

ex

x =

++(indet.)= (LHpital) lmx+

ex

1 = +

lmx1

x2 + 2x + 1

x + 1 = +

+(indet.)= (LHpital) lmx12x + 2

1 = 0

Anlogamente, las indeterminaciones0 se pueden resolver usando la Reglade LHpital, siempre y cuando se hayan transformado inicialmente en lmites del tipo

0

0 .

Ejercicio 1.4.3

lmx+

xex = + 0 (indet.)= lmx+

x

ex =

++ =(LHpital) lmx+

1

ex = 0

lmx+

(ex x) = + (indet.)= lmx+

ex

1 xex

= + 1 ++

, donde

lmx+

x

ex =

++ =(LHpital) lmx+

1

ex = 0, luego

lmx+

ex

1 xex

= + (1 0) = +.

Nota:El caso de lmites def(x)g(x) que sean de la forma00,0 o1 no se tratarn eneste tema.

1.4.3. Monotona y determinacin de extremos.

Intuitivamente una funcin es creciente o decreciente en un intervalo si su pendiente espositiva o negativa (respectivamente) en todos los puntos del intervalo. Por tanto, si lafuncin es derivable se puede demostrar (de manera formal) cundo es creciente y cundodecreciente segn el signo de su derivada. Los puntos en los que dicha derivada se anu-le sern llamadospuntos crticos, ya que se corresponden con el paso de una funcincreciente a decreciente o viceversa.El crecimiento/decrecimiento de una funcin se puede conocer usando el llamadocriteriode la derivada primera:

Una funcin se dicecreciente en xsi f(x)> 0.

Una funcin se dice decreciente en x si f(x)< 0.

Notemos que los extremos relativos de una funcin tambin verifican la condicin de puntocrticof(x) = 0, pero no todos los puntos crticos son extremos relativos.

Ejemplo 1.4.4 La funcinf(x) = x

1 + x2est definida enRy tiene como derivada

f(x) = 1 x2(1 + x2)2

.

Por tanto, es decreciente en (, 1)(1, +) y creciente en (1, 1). Adems,posee un mnimo relativo en(

1,

12) y un mximo relativo en(1,

12).



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La funcinf(x) = x3

(1 + x)2 est definida enR\{1} y tiene como derivada

f(x) =x2(x + 3)

(1 + x)3

.

Por tanto, es creciente en(, 3) (0, +) y decreciente en(3, 1) (1, 0).Observemos que el punto que no pertenece al dominio influye en la determinacinde las zonas de crecimiento/decrecimiento. Adems, posee un mximo relativo en

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y un mnimo relativo en(0, 0).

El concepto de extremo relativo es un concepto local, mientras que el concepto deex-tremo absoluto necesita conocer e comportamiento global de la funcin en el dominioconsiderado.

1.4.4. Concavidad y convexidad: el criterio de la derivada segunda.

En el caso de que la funcin sea dos veces derivable, se introduce el criterio de concavidadbasado en la derivada segunda. Los puntos en los que la curva cambia de cncava a convexase llamanpuntos de inflexin, y, si la funcin es dos veces derivable, se pueden identificarcomo los valores que anulan la derivada segundaf(x) = 0. De ese modo:

Una funcin se diceconvexa en x (abierta hacia arriba) si f(x)> 0.

Una funcin se dicecncava en x (abierta hacia abajo) si f(x)< 0.

Ejemplo 1.4.5

La funcinf(x) = x

1 + x2 est definida enR y tiene como derivadas:

f(x) = 1 x2(1 + x2)2

, f(x) =2x(x2 3)

(1 + x2)3 .

Por tanto, es cncava en (, 3) (0, 3) y convexa en (3, 0) (3, +).Adems, posee como puntos de inflexin:

3,

3

4

, (0, 0) y

3,

3

4

.

La funcinf(x) = x3

(1 + x)2 est definida enR\{1} y tiene como derivadas

f(x) =x2(x + 3)

(1 + x)3 , f(x) =

6x

(1 + x)4.

Por tanto, es cncava en(, 1) (1, 0) y convexa en(0, +). Observemos queel punto que no pertenece al dominio influye en la determinacin de las zonas deconcavidad/convexidad. Adems, posee un punto de inflexin en(0, 0).



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1.5. Representacin grfica.

Describimos los pasos principales para representar grficamente una funcin y = f(x):

1. Dominio.

2. Continuidad y derivabilidad:Calcular los valores dex para los que la funcin escontinua y los valores dex para los que la funcin es derivable.

3. Paridad/periodicidad:Comprobar si la funcin es:

a) par: si verifica quef(x) =f(x)b) impar: si verifica quef(x) =f(x)

y/o si es peridica, es decir, si existeT >0 tal quef(x + T) =f(x).

4. Cortes con los ejes:a) Corte con el eje OX: Calcular los puntosx0 tales quef(x0) = 0. Dichos puntos

tienen por coordenadas(x0, 0).

b) Corte con el eje OY: Calcular f(0). Dichos puntos tienen por coordenadas(0, f(0)).

5. Asntotas:

a) Verticales: Existen si existe un punto a / D(f) tal que lmxa

f(x) = lmxa+

f(x) =.

En ese caso, x = a es una asntota vertical.b) Horizontales: Existen si lm

xf(x) =b R. En ese caso, y =b es una asntota

horizontal.

c) Oblicuas: Existen si existe lmx

f(x)

x =m R, y si existe lm

x(f(x) m x) =

n R. En ese caso, y = mx + n es una asntota oblicua.NOTA: No pueden existir simultneamente asntotas horizontales y oblicuas.

6. Monotona, extremos:

a) Crecimiento/decrecimiento: Calcular los valores de x para los que la funcin

es creciente (f(x) > 0) y los valores para los que la funcin es decreciente(f(x)< 0).

b) mximos/mnimos: Calcular los puntos que verifican quef(x) = 0 y tales queque son un mximo o un mnimo de la funcin.

7. Concavidad/convexidad, puntos de inflexin:

a) concavidad/convexidad: Calcular los valores dex para los que la derivada se-gunda de la funcin es positiva o negativa.

b) puntos de inflexin: Calcular los valores dexpara los que se verifica quef(x) =0.



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8. Representacin grfica.

Ejercicio 1.5.1 Dada la funcin

f(x) = x2

x2 1represntala grficamente estudiando previamente: dominio de definicin, simetras, cortescon los ejes, crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos, concavidad y convexidad,puntos de inflexin y asntotas.

Solucin:Describimos a continuacin los principales pasos a seguir para obtener la repre-sentacin grfica:

Dominio: D(f) = R\{1, 1}.

Corte con los ejes:

Corte conOX: Buscamos la interseccin dey = f(x)cony = 0, que es el punto(0, 0).

Corte con OY: Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0, es decir,(0, 0).

Asntotas:

Asntotas verticales: Las candidatas sonx =1yx= 1, ya que{1, 1} /D(f).Lo comprobamos:

x=1 lmx1f(x) = +

lmx1+f(x) =

x= 1 lmx1f(x) =

lmx1+f(x) = +

Asntotas horizontales: Son de la formay = b, siendo b Rtal que lmx

f(x) =

b. Observemos que:

lmx

x2

x2 1= 1.

Por tanto, la funcin posee una asntota horizontal que es y = 1 cuando x yx+.

Asntotas oblicuas: No hay, ya que existe asntota horizontal.Monotona, mximos y mnimos: Para estudiar la monotona, calculamos laderivada primera de la funcin:

f(x) = 2x(x2 1)2 .

Igualando la expresin anterior a cero, obtenemos quef(x) = 0six = 0, de maneraquefes creciente en(, 1) (1, 0) y decreciente en(0, 1) (1, +). Adems,podemos deducir que en x = 0 hay un mximo relativo, que se corresponde con elpunto (0, 0).



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Concavidad/convexidad, puntos de inflexin: Para su estudio, calculamos laderivada segunda:

f(x) = 6x2 + 2

(x2 1)3 .

La expresin anterior nunca es igual a cero, pero puede cambiar de signo, ya que eldenominador lo hace enx =1 yx = 1. No hay, por tanto, son puntos de inflexin,pero la derivada segunda es positiva en(, 1) (1, +) y negativa en(1, 1).

La siguiente grfica corresponde a la funciny= x2

x2 1 en el intervalo [3, 3]:

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

3 2 1 1 2 3x

Ejercicio 1.5.2 Dada la funcin

f(x) = ln(x2 + 2x)

represntala grficamente estudiando previamente: dominio de definicin, simetras, cortescon los ejes, crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos, concavidad y convexidad,puntos de inflexin y asntotas.Solucin:Describimos a continuacin los principales pasos a seguir para obtener la repre-sentacin grfica:

Dominio: D(f) = (, 2) (0, +).Corte con los ejes:

Corte conOX: Buscamos la interseccin dey = f(x) cony= 0, que gracias alas propiedades del logaritmo son los puntos que verificanx2 + 2x= 1, es decir,los puntos(1 2, 0) y(1 + 2, 0).

Corte con OY: Se corresponde con el punto cuya coordenada x = 0. Como0 /D(f), no hay puntos de corte conOY.

Asntotas:



17/20


Asntotas verticales: Las candidatas sonx =2yx = 0, ya que(2, 0) /D(f).Lo comprobamos:

x=2 lmx2f(x) =

x= 0 lmx0+f(x) =

Asntotas horizontales: Son de la formay = b, siendo b Rtal que lmx

f(x) =

b. Observemos que:

lmx

ln(x2 + 2x) = +.

Por tanto, la funcin no posee asntotas horizontales ni cuando x nicuando x+.

Asntotas oblicuas: Son de la formay = m x + n, m, n R, donde

m = lmx

ln(x2 + 2x)

x =

=LHpital lmx

2x+2x2+2x

1 = 0,

Luego como m= 0 no hay asntota oblicua.

Monotona, mximos y mnimos: Para estudiar la monotona, calculamos laderivada primera de la funcin:

f(x) = 2x + 2

x2 + 2x.

Igualando la expresin anterior a cero, obtenemos quef(x) = 0 six=1 /D(f).Observemos que, en cualquier caso, la derivada en los puntos a la izquierda dex=1 y a la derecha de x =1 tendrn signo distinto, es decir, f es decreciente en(, 2)y creciente en(0, +). Adems, podemos deducir que la funcin no poseeextremos relativos.

Concavidad/convexidad, puntos de inflexin: Para su estudio, calculamos laderivada segunda:

f(x) =2x2 4x 4

(x2 + 2x)2 .

La expresin anterior nunca es igual a cero, el numerador es siempre negativo yel denominador siempre positivo. Por tanto la funcin siempre es cncava (abiertahacia abajo), y no hay puntos de inflexin.

La siguiente grfica corresponde a la funciny = ln(x2 + 2x) en el intervalo [

10, 10]:



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1

0

1

2

3

4

10 8 6 4 2 2 4 6 8 10x

1.5.1. Problemas de optimizacin

Aunque se trata de una de las aplicaciones ms tiles de la derivacin, los problemas deoptimizacin presentan una dificultad adicional para el alumno: Esta consiste en traducirun enunciado escrito en lenguaje cotidiano al lenguaje matemtico. Por ello, deben quedarclaros los pasos a dar para un buen planteamiento y resolucin del problema:

asignar variables o smbolos a cada una de los elementos que aparecen en el problema

escribir una ecuacin inicial que exprese lo que se quiere maximizar o minimizar,

si en la ecuacin anterior aparecen varias variables, escribir una o varias ecuaciones(de ligadura) que relacionen las variables entre s a partir de la informacin suminis-trada por el problema

gracias a las ecuaciones de ligadura, escribir la ecuacin inicial como una funcinexplcita de una nica variable (independiente): Funcin a optimizar

determinar el dominio de la funcin a optimizar

calcular los extremos de la funcin usando los mtodos y criterios anteriormente

explicados.

Ejercicio 1.5.3 Uno de los lados de un campo abierto est acotado por un ro recto.

1. Cmo podran cercarse los otros tres lados de una figura rectangular para encerrarla mayor rea posible con una cerca de longitud80 m?

2. Si se desea vallar una superficie de 18 m2, qu dimensiones requerirn la mnimacantidad de valla?

Solucin:



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(a) El campo abierto slo requiere 3 lados de cerca, ya que el lado del rectnguloque falta tiene como frontera el ro. Al tratarse de un rectngulo, habr 2 ladosde longitud x y un lado de longitud y. Por tanto, el permetro viene dado por2x + y y segn el enunciado debe ser igual a 80, es decir, 2x + y= 80. Por otra

parte, el rea de dicha figura (que es un rectngulo) viene dada porA = x y. Siqueremos deducir la expresin del reaA en funcin dex, hacemos lo siguiente:

A= x y2x + y= 80

A(x) =x (80 2x) = 80x 2x2.

Observemos que se trata de una funcin continua definida en [0, 40], pues fue-ra de dicho intervalo la funcin A(x) toma valores negativos (y eso no tienesentido).

Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de unafuncin, para una funcin continua en un intervalo cerrado y acotado. Por tan-to, para calcular los extremos absolutos de la funcin tenemos que estudiar los

valores de dicha funcin en los posibles candidatos:

extremos: x= 0, x= 40, y sus valores sonA(0) = 0, A(40) = 0, puntos en(0, 40) dondeA(x) = 0: x= 20, y su valor esA(20) = 800, puntos donde la funcin no es derivable: en este caso no hay.

Mximo de A : 800, alcanzado en x = 20. Mnimo de A : 0, y se alcanza enx= 0, x= 40.

Otra forma de resolver el problema es estudiando su grfica. Observamos que:

A(x) = 80 4x, A(x) = 0 x= 20.

LuegoA es creciente (estrictamente) en(0, 20)y decreciente (estrictamente) en(20, 40). Por tanto, la funcin A(x) alcanza un mximo local en x = 20, queesA(20) = 800. Como A(0) = 0 yA(40) = 0, deducimos que dicho mximo esglobal.

En definitiva, debe haber 2 lados de 20m. y un lado de 40 m. para que el reaencerrada por la cerca sea la mxima posible.

(b) En este caso, los datos del problema nos llevan a la conclusin siguiente, dondePes el permetro de la superficie que se desea vallar:

x

y= 18P = 2x + y

P(x) = 2x +18x.Observemos que se trata de una funcin continua definida en (0, +), pues

fuera de dicho intervalo la funcinP(x) toma valores negativos (y eso no tienesentido).

Estamos entonces ante un problema de calculo de extremos absolutos de unafuncin, para una funcin continua en un intervalo semiabierto y no acotado.Por tanto, para calcular los extremos absolutos de la funcin slo podemos usarel segundo razonamiento del apartado anterior. Observemos que:

P(x) = 2

18

x2

, P(x) = 0

x= 3.



20/20


La funcinP(x)es decreciente en(0, 3)y creciente en(3, +), por tanto poseeun mnimo local enx= 3 que valeP(3) = 12. Como adems lm

x0+P(x) = +

y lmx+

P(x) = +, podemos deducir que dicho mnimo es global.

En definitiva, debe haber 2 lados de 3m. y un lado de 6 m. para que se requierala mnima cantidad de valla.


calculo diferncial.pdf

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