CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE - WECC nº 19 Definición de incertidumbre Según el Documento WECC nº 19, la incertidumbre de una medida es una estimación de la parte del resultado completo que caracteriza el intervalo de valores dentro del cual se encuentra el valor verdadero de cantidad medida (o mesurando). Todo ello, una vez efectuadas todas las correcciones correspondientes a los errores sistemáticos conocidos. Esto da lugar al conocido formato en que se debe expresar cualquier medida:

I±= xx esto quiere decir que el valor verdadero de la medida efectuada (x) se encontrará, con una alta probabilidad, en el intervalo:

( ) ( )I1 +<<− xxx Donde x es el estimador más probable de la medida, generalmente la media si se realizan varias mediciones. A continuación veremos la relación (práctica) existente entre la incertidumbre (I ), la tolerancia de fabricación (T) y la división de escala (E). Tolerancias e incertidumbre Cualquier característica de nuestra producción que pretendamos medir está acompañada de unos valores mínimos y máximos dentro de los cuales se considerará la pieza buena y fuera de ellos de considerará mala.

Dado que cualquier medida va afectada de un error, nos encontraremos con la siguiente clasificación:

Si aplicamos rigurosamente los criterios de control de calidad, debemos aceptar como buenos los componentes que sin lugar a dudas están dentro del intervalo de piezas buenas, aún a costa de que se rechacen componentes que siendo buenos, estén dentro del intervalo de piezas dudosas. A nivel práctico esto se traduce en una reducción de la tolerancia de verificación:

I2TTv −= Para reducir lo menos posible las tolerancias de verificación conviene trabajar con incertidumbre pequeñas respecto a las tolerancias de fabricación, pero esto da lugar a trabajar con instrumentación de gran precisión, y por lo tanto más cara. Por el contrario si trabajamos con incertidumbre grandes aumentarán el número de piezas que rechacemos, aún siendo buenas. Lo cual, también es antieconómico. En la práctica se puede demostrar que si la producción está distribuida según la ley normal, está centrada y con límites 3s sobre la tolerancia, unas reducciones del 10% y 33% del campo de tolerancias, proporcionan porcentajes de rechazo no deseado del 0,5% y 4,3%. Esto se traduce en la siguiente relación práctica:

10a32T

=I

Incertidumbre y división de escala En condiciones normales y suponiendo que no existe ningún otro factor que determine la incertidumbre del instrumento, el valor mínimo de incertidumbre que podemos obtener del instrumento es:

2E

=I

Éste sería el límite inferior, pues por mucho que nos esforcemos no podremos discernir ningún valor que quede en medio de la división de la escala. El límite superior se establece de forma práctica en:

10E

≤I

Sería demagógico tener un instrumento de medida cuya división de escala es mucho mayor que la incertidumbre que ofrece. Por tanto:

10a5,0E

=I

Cálculo de la incertidumbre Antes de continuar con la exposición de este capítulo indicaremos una serie de ideas que no hay que olvidar relacionadas con el cálculo de la incertidumbre:

q No existen recetas mágicas para el cálculo de la incertidumbre. Su cálculo dependerá en cada momento del tipo de medida, el equipo de medida, el método de medida, la forma de realizar la medida,....

q Aunque no existe unanimidad en como calcular la incertidumbre para casos concretos,

está generalmente aceptado que la incertidumbre de una medida vendrá afectada por la incertidumbre de los diferentes factores que intervienen para realizar la medida.

q No es objetivo del presente manual entrar en detalle en los desarrollos matemáticos

que nos llevan a las fórmulas del cálculo de la incertidumbre. Sin embargo se intentará explicar su sentido práctico.

La magnitud que se mide (mesurando) Y, en general depende de un cierto número de magnitudes de entrada Xi (i = 1,2, ...v), a través de una función G.

Y = G (X1, X2, ....Xv) Las magnitudes de entrada incluyen, tanto las procedentes de los certificados de calibración de los patrones empleados, como las propias del proceso de medición y las magnitudes de influencia. Como normalmente no se conocen los valores verdaderos de las magnitudes Xi, para los cálculos se usan los valores estimados, xi como datos de entrada para la evaluación de la incertidumbre total del resultado de la medida. Sobre cada una de las magnitudes de entrada Xi tenemos una componente de incertidumbre que afectará al cálculo de la incertidumbre total. Estas componentes de incertidumbre se pueden clasificar en dos grandes grupos: A: Las que se evalúan por métodos estadísticos. B: Las que se evalúan por otros métodos. Las evaluaciones de tipo A de componentes de la incertidumbre se fundamentan en distribuciones de frecuencia mientras que las evaluaciones de tipo B se fundamentan en distribuciones a priori. Por otro lado esta clasificación es arbitraria, pues una misma componente de la incertidumbre puede pertenecer unas veces al grupo A y otras al grupo B. Por ejemplo: la incertidumbre con que el laboratorio emisor ha calculado por métodos estadísticos, o sea de tipo A. En cambio, el usuario del certificado conoce el valor de la incertidumbre sin emplear ningún método estadístico; le basta con leerla. Para él es de tipo B: Evaluación del tipo A Cuando una medida se repite en las mismas condiciones, puede observarse una dispersión o fluctuación, siempre que el procedimiento de medida disponga de la resolución suficiente. Para una serie de medidas, efectuadas en condiciones de repetibilidad, compuesta de n medidas ( )1n f independientes, el valor estimado x , del valor verdadero de la magnitud X, viene dado por la media aritmética de los valores individuales medidos ( )n,.....1ix i = :

∑=

=n

1i

i

nx

x (1)

Una estimación de la desviación típica de la distribución de los valores está dada por:

( )∑=

−−

=n

1i

2ixi xx

1n1

S (2)

El valor estimado de la varianza (experimental) de x está dado por:

22 1

xix Sn

S =−

(3)

Si el número de repeticiones de medidas es menor que 10, la ecuación de la desviación típica puede proporcionar un valor subestimado de la contribución de la incertidumbre; en este caso conviene estimar el valor −2

xS basándose en la experiencia (por ejemplo, mediante los resultados de medidas anteriores similares). Si esto no fuese posible o se considerase inaceptable, entonces debe aplicarse la siguiente corrección:

sx (corregida) = w.s (obtenida) (4) donde:

Número de medidas w (K=1) w (K=2) w (K=3) 2 1,8 7,0 78,6 3 1,3 2,3 6,4 4 1,2 1,7 3,0 5 1,1 1,4 2,2 6 1,1 1,3 1,8 7 1,1 1,3 1,6 8 1,1 1,2 1,5 9 1 1,2 1,4

Nota: El parámetro K se explicará en una sección posterior. Evaluación del tipo B Una evaluación del tipo B de la incertidumbre se efectúa por un criterio científico fundado sobre todas las informaciones disponibles que puede incluir:

q Resultados de medidas anteriores. q La experiencia o el conocimiento general del comportamiento y las propiedades de los

materiales e instrumentos utilizados. q Las especificaciones del fabricante. q Los datos suministrados por certificados de calibración u otros documentos. q La incertidumbre asignada a valores de referencia obtenidos de la literatura técnica y

los manuales. Los métodos de tipo B se fundamentan en la forma de la distribución de probabilidad y/o en los límites de variación de las variables de entrada (Xi) .

Ejemplo 1 Utilización de la incertidumbre de un certificado de calibración de un patrón: Incertidumbre indicada en el certificado: I = 2µm Factor de cobertura empleado por EAL y por ENAC: K=2

Desviación típica de patrón: m122

k1

s µ===

Ejemplo 2 Consideremos una magnitud de entrada Xi cuya probabilidad de que el valor verdadero esté comprendido entre –a y +a es igual a 1 y 0 fuera de este intervalo.

La desviación típica será: 3

as =

Varianza compuesta. Ley de propagación de errores El resultado de una medida y, (como estimador del valor verdadero de las magnitudes de salida Y), se obtiene introduciendo los datos de entrada xi, en sustitución de los valores Xi:

)x,.....,x(Gy v1= (5) Cuando las magnitudes de partida son independientes, la varianza del resultado viene dada por:

2xi

2v

1i i

2y S

xG

S ∑=

∂∂

= (6)

Si G es una función lineal de todas las variables Xi, como ocurre a menudo con medidas directas, todas las derivadas parciales son igual a 1, en este caso:

∑=

=v

1i

2xi

2y SS (7)

Nota: En el caso menos frecuente de utilizar magnitudes relacionadas, la fórmula de relación de varianzas es algo más compleja. Ver Anexo A de WECC – 19. La ley de propagación se aplica de forma general, cualquiera que sea la distribución de las variables de entrada, y es el método básico de cálculo de incertidumbre de medida a partir de sus componentes. Incertidumbre global de la medida La ley de propagación de errores permite obtener la varianza de medición de una magnitud a partir de las varianzas de las magnitudes de las que depende. La función de distribución de la variable de salida y es, en general, desconocida. En muchos casos, en virtud del teorema central del límite, la distribución de salida ¿?? se puede aproximar por una distribución normal.

En este caso se recomienda especificar un intervalo de incertidumbre ±I, obtenido multiplicando la desviación típica sy por un factor K.

yskI ⋅= (8) En el seno de EAL se ha decidido emplear el factor k = 2. En el caso de distribución normal, el factor k = 2 significa que los límites de la incertidumbre total corresponden a un nivel de confianza de aproximadamente, 95%. Procedimiento paso a paso para el cálculo de la incertidumbre A continuación se expone el procedimiento de cálculo de incertidumbre que propone el WECC-19.

a) Exprese matemáticamente la dependencia del mesurando, con las magnitudes de entrada.

b) Identifique todas las correcciones que han de aplicarse y efectúe las correcciones de todos los errores conocidos.

c) Relacione las causas de incertidumbre relacionadas con las repeticiones de las medidas (Evaluación tipo A) y calcule sus varianzas. Si el número de medidas es menor que 10 efectúe la corrección indicada en (4).

d) Relacione las causas de incertidumbre que pueden evaluarse mediante el tipo B. Para aquellas que se conoce o puede suponerse una función de distribución, calcúlese la varianza a partir de dicha distribución.

e) Refiera las varianzas 2xiS de todas las magnitudes de entrada a la magnitud de salida y

súmelas de acuerdo con la ecuación (6) ó (7), a fin de obtener la varianza 2yS . Si

algunas de las magnitudes de entrada están relacionadas entre sí, deberá aplicar el procedimiento dado en el Anexo A del documento WECC-19.

f) Calcule la incertidumbre total, multiplicando la desviación típica yS por el factor k = 2.

Aplicación del cálculo de incertidumbres a diferentes equipos de medida En el presente apartado se pretende dar una guía del cálculo de la incertidumbre para diferentes tipos de equipos de medida. Estos equipos se agruparán por el tipo de medida que realicen. Como ya se ha mencionado, en el presente manual, no existe una receta mágica para realizar el cálculo de incertidumbre, aún a sí la presente exposición puede proporcionar al lector una gran ayuda, a la hora de realizar el cálculo de incertidumbres. Equipos de medida directa lineales Consideraremos equipos de medida directa lineales aquellos que nos proporcionan, sin ninguna otra operación, el valor de la magnitud que se busca. Dicha medida se realizará sobre una escala analógica o digital, y el valor de la magnitud medida será independiente del sentido en que se realizó la medida (creciente o decreciente), es decir, no existe ningún factor de incertidumbre provocada por la histéresis del equipo de medida. Son equipos de medida de este tipo: pies de rey, micrómetros, medidores de coordenadas horizontal y vertical, reglas, voltímetros, amperímetros, etc.

Para este tipo de equipos de medida solemos encontrar en los procedimientos SCI la formula general:

2ci

2

ci

2ci

22

2

0

xk

n1

n1

sKwKK

∆

δ+

++

= 2

0i2i II

donde: Ii es la incertidumbre obtenida en el punto i de la escala. K es el factor de confianza del cálculo de la incertidumbre. I0i es el valor de la incertidumbre del patrón en el punto i. K0 es el factor de confianza con que se calculó la incertidumbre del patrón. w es el factor de corrección de sci si se emplearon menos de 10 muestras. sci es la desviación típica de la calibración en el punto i. nci es el número de muestras utilizado para el cálculo de sci n es el número de muestras con que se realizará la medida. Normalmente este valor es 1.

cix∆ es la corrección de la medida en el punto i de la escala. Su valor es:

ii0ci xxx −=∆ donde:

i0x es el valor nominal del patrón en el punto i.

ix es el valor de la medida de los datos en el punto i. δ es un factor de ponderación del efecto que provoca la corrección dentro de la fórmula

de la siguiente manera:

20

20i

KI

Es la componente de la varianza debida a la incertidumbre del patrón.

Su estimación se realiza mediante el método B de evaluación de la incertidumbre.

ci

2ci2

ns

w Es la componente de la varianza debida a la dispersión de valores durante la

calibración cuando se toman nci muestras. su estimación se realiza mediante el método A de evaluación de la incertidumbre.

ns

w2ci2 Es la componente de la varianza debida a la dispersión de valores durante la

medición cuando se utiliza un equipo para realizar medidas en proceso. Su estimación se realiza mediante el método B de evaluación de la incertidumbre.

2

2cix

δ∆

Es la componente de la varianza debida a la corrección del instrumento. Su

estimación se realiza mediante el método B de evaluación de la incertidumbre. Nota: Este factor de corrección se podría eliminar del cálculo de la incertidumbre siempre y cuando se pueda proporcionar una curva que indique la corrección a efectuar a la medida en cada punto de la escala. Como esto normalmente es difícil de obtener se penaliza la incertidumbre con este valor.

La incertidumbre Ii obtenida corresponde a cada punto i de la escala donde se han efectuado las medidas. La incertidumbre total del equipo puede determinarse mediante:

( ) .maxiII = Equipos de medida de valor absoluto Son equipos que determinan la medida en base a valores fijos o discretos. Son equipos de este tipo los bloques patrón longitudinales, los calibres de límites lisos, .... Para este tipo de equipos nos encontramos con diferentes formas de calcular la incertidumbre dentro de la documentación especializada (SCI y WECC-19). Aquí se expondrán las fórmulas que se encuentra más habitualmente: Fórmula general de propagación de varianzas. En este caso la fórmula del calculo de la incertidumbre viene dada por:

c

2c222

20

2

ns

KwKK

+= 02 II

donde: I Es la incertidumbre obtenida. K Es el factor de confianza del cálculo de la incertidumbre. I0 Es el valor de la incertidumbre del patrón. K0 Es el factor de confianza con que se calculó la incertidumbre del patrón. w Es el factor de corrección de sc si se emplearon menos de 10 muestras. sc Es la desviación típica de la calibración. nc Es el número de muestra utilizado para el cálculo de sc. Como se puede observar en este caso no existe ningún término que dependa de la corrección de la medida. Si dicha corrección existe y no se ha podido corregir internamente en el equipo, se tendrá que proporcionar en el certificado de calibración. En ocasiones la fórmula anterior se amplía con más términos correspondientes al tipo B de evaluación de la incertidumbre. Por ejemplo en la calibración de bloque patrón suele incluirse el efecto de la variación de temperatura. Formula reducida por cálculo de recorrido Los componentes de la fórmula de incertidumbre que pueden intervenir en el cálculo de la incertidumbre en este tipo de medida están referidos a la incertidumbre del patrón y a la incertidumbre del recorrido, o distancia entre los valores extremos de las mediciones. Sin embargo en estos equipos la incertidumbre no es tan importante como en los de medida directa, y que se puede tener una incertidumbre muy buena y el equipo ser rechazado por otras cuestiones, como por ejemplo por no estar dentro de las tolerancias establecidas, como ocurre en el caso de calibres de límites lisos. La formula general que se utiliza para el cálculo será:

22

2202

0

2

FK

)n(KK

∆δ

+= II 2

donde: I Es la incertidumbre obtenida para un factor de confianza K. I0 (n) Es la incertidumbre del patrón para un factor de confianza K0 y para n muestras de

medida según habíamos visto en el apartado anterior del cálculo de incertidumbre para equipos de medida directa.

F∆ Es el recorrido o distancia entre valores extremos de las medidas realizadas.

δ Es un factor de ponderación del efecto que provoca el recorrido dentro de la fórmula general de la incertidumbre. Normalmente su valor es 3. A continuación se describe un ejemplo que utiliza la fórmula anterior e ilustra el significado de I0 (n). Supongamos que se va a calibrar un calibre de límites lisos de diámetro 25. Dicha calibración se realiza con un micrómetro cuya incertidumbre de calibración es:

mm0012.0)1n,2K(mm0018.0)1n,2K(

======

0

0

II

Se realizan 3 medidas con los siguientes resultados:

Medida Valor nominal 1 25,0025 2 25,0030 3 25,0030

El valor que estimaremos como verdadero será la media de las tres mediciones:

mm0028,253

0030,250030,250025,25x =

++=

El recorrido será:

mm0005,00025,250030,25F =−=∆ Como se han realizado tres medidas utilizaremos el valor de la incertidumbre del patrón para n = 3. De esta forma resulta:

( ) mm00124,00005,032

0012,0 22

2 =

+== 2kI

Por lo tanto la medida obtenida será: 25,0028 ± 0,00125 mm (para k = 2).

Si en lugar de realizar 3 mediciones sólo hubiésemos realizado una la incertidumbre resultante sería directamente la del patrón para n = 1. en este caso la medida obtenida sería: 25,0025 ± 0,0018 mm (para K = 2). Nota: Si no se dispone del valor de l incertidumbre del patrón para el número de medidas que se realiza se tomará el valor disponible con n máxima. Por ejemplo si se realizan 6 medidas y se dispone como máximo el valor de I0 ( n = 3), se tomará este valor como mejor aproximación. En algunas ocasiones (como ocurre en el procedimiento D-008 para patrones cilíndricos de diámetro interior y exterior del SCI), se realiza la siguiente aproximación:

xx n

)1n()nn(

=== 0

0

II

siempre y cuando n sea inferior a 6. Equipos de medida de doble sentido Son equipos de doble sentido aquellos que pueden realizar mediciones en cualquiera de los dos sentidos posibles de su escala, creciente y decreciente, y pueden tener valores significativos diferentes dependiendo del sentido de realización de la medida. Esta diferencia de valores puede ser debida al efecto de histéresis inherente a alguno de los materiales utilizados en el equipo de medida (muelles, células de carga,...) Son equipos de este tipo los comparadores mecánicos (y algunos eléctricos), algunas balanzas que funcionan con célula de carga, los manómetros tipo Bourdon, .... Para estos equipos se puede utilizar el cálculo de incertidumbres expuesto en el apartado de equipos de medida directa, con la salvedad que deberán asignarse dos incertidumbre, una para cada sentido de la medida. Sin embargo, existen fórmulas (fundamentadas básicamente en la experiencia) que además de introducir la incertidumbre del patrón se introduce un término referido a la repetibilidad del equipo y otro término que se refiere a las diferencias producidas por el efecto de la histéresis. Normalmente la utilización de este tipo de formulación viene condicionada al uso de tablas que nos clasifican el instrumento dentro de una clase (o calidad). Para más detalles sobre el procedimiento de calibración de este tipo de instrumentos ver el procedimiento de calibración D-006 para comparadores mecánicos del SCI. Nota: Las nuevas revisiones de los procedimientos SCI están abandonando esta formulación y realizan el cálculo de la incertidumbre según lo expuesto en el apartado de equipos de medida directa lineales, pero realizando el cálculo de la incertidumbre en sentido creciente y decreciente. Como incertidumbre global del equipo se asigna la mayor de las dos. Equipos o mediciones de medida indirecta

Estas medidas se obtienen a través de una función matemática que relaciona las magnitudes de entrada con las de salida. Por ejemplo, la medición de una corriente i (se pone en minúsculas para no confundirla con la incertidumbre) mediante medida de la caída de tensión U desarrollada en una resistencia de valor R. Para realizar la medida se utilizará un voltímetro digital. la ecuación que relaciona las dos magnitudes de partida o de entrada, con la de salida es:

RU

i =

en este caso se debe aplicar la formulación general para el cálculo de incertidumbre:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24

234

222

212

24

23

22

221

22 1//

xxxxxxxxy ssRU

ssR

ssR

RUss

URU

s +++=+

∂∂

++

∂∂

=

donde: ( )2

2x2

1x ss + Son componentes de la varianza debidas a la utilización del voltímetro. ( )2

4x2

3x ss + Son componentes de la varianza debidas a la utilización de la resistencia. La incertidumbre de la medida para k = 2 será:

( ) ys2== 2KI Nota: Ver el ejemplo completo en Ejemplo 1 del anexo C del WECC – 19. Otros equipos de medida Si bien los equipos generales expuestos en los apartados anteriores pueden representar la mayoría de equipos que nos podemos encontrar en cualquier laboratorio de metrología, no hay que olvidar que no existen recetas mágicas para el calculo de incertidumbres. Por este motivo nos podemos encontrar diferentes procedimientos que modifiquen y/o amplíen la formulación utilizada en los párrafos anteriores. (nota: el presente documento es traducción del documento WECC nº19)