Estimación de

Incertidumbre en MedicionesAlexander Martínez López - amartinez@inm.gov.coSubdirección de Metrología Física2014-05-14 al 16

Primer día

• Presentación

• Conceptos y términos básicos

• Presentación metodología GUM «Guide to the expression of Uncertainty in Measurement»

• Teorema del límite central

• Ejemplo calibración método directo

Segundo día

• Ejemplo argumentos correlacionados

• Ejemplo de determinación de la masa y la incertidumbre de la medición por medio del Método de comparación directa por doble sustitución (ABBA)

Tercer día

• Ejemplo de determinación del volumen de un cilindro por medio del método geométrico

• Ejemplo determinación incertidumbre manómetro según DKD-R-6-1

PROGRAMA

• Que los participantes comprendan el método para estimar incertidumbre de medida

• Que los participantes adquieran las herramientas necesarias para la estimación de incertidumbre de medida

• Que los participantes se familiaricen con la aplicación del método a través de ejemplos específicos

Objetivos

4

COMUNICACIÓN EFECTIVATODAS LAS PREGUNTAS SON

BIENVENIDAS

http://www.bipm.org/en/si/

JCGM 100:2008

GUM 1995 CON CORRECCIONES MENORES

Publicado por el BIPM

Guía ISO/IEC 98-3: 2008

Guía Técnica Colombiana GTC 51

GUÍA PARA LA EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN(GUM)

Documento Básico

COAUTORES DEL MODELO GUMBIPM : Oficina Internacional de Pesas y Medidas

OIML : Organización Internacional de Metrología Legal

ISO : Organización Internacional para la Normalización

IEC : Comisión Electrotécnica Internacional

IUPAC :Organización Internacional de Química pura y Aplicada *

IUPAP : Organización Internacional de Física Pura y Aplicada *

IFCC : Federación Internacional de Química Clínica y Laboratorios

de Medicina *

ILAC : Cooperación Internacional para la Acreditación de Laboratorios**

7

Medición (3ed VIM 2.1)

Proceso que consiste en obtener experimentalmente unoo varios valores que pueden atribuirse razonablemente auna magnitud

Nota 1 Las mediciones no son de aplicación a las propiedadescualitativas

Nota 2 La medición supone una comparación de magnitudes, e incluye el conteo de entidades.

Nota 3 Una medición supone una descripción de la magnitud compatible con el uso previsto de un resultado de medida, un procedimiento de medida y un sistema de medida calibrado conforme a un procedimiento de medida especificado, incluyendo las condiciones de medida.

8

Sistema de Medida (3ed VIM 3.2)

Conjunto de uno o más instrumentos de medida y, frecuentemente,otros dispositivos, incluyendo reactivos e insumos varios, ensambladosy adaptados para proporcionar valores medidos dentro de intervalosespecificados, para magnitudes de naturalezas dadas.

9

Trazabilidad metrológica (3ed VIM 2.41)

Propiedad de un resultado de una medida por

la cual el resultado puede relacionarse con unareferencia mediante una cadena ininterrumpiday documentada de calibraciones, cada una delas cuales contribuye a la incertidumbre demedida

10

Precisión de medida (3ed VIM 2.15)

Proximidad entre las indicaciones o los valores medidosobtenidos por mediciones repetidas de un mismo objeto,o de objetos similares, bajo condiciones especificadas

11

Precisión de medida continuación notas

Nota 1: Es habitual que la precisión de una medida se exprese

numéricamente mediante medidas de dispersión tales como la desviaciónestándar, la varianza o el coeficiente de variación bajo las condicionesespecificadas.

Nota 2: Las “condiciones especificadas” pueden ser condiciones derepetibilidad, condiciones de precisión intermedia, o condiciones dereproducibilidad.Nota 3:La precisión se utiliza para definir la repetibilidad de medida, laprecisión intermedia y la reproducibilidad.

Nota 4: Con frecuencia, “precisión de medida” se utiliza, erróneamente, enlugar de “exactitud de medida”.

12

Exactitud de medida (3ed VIM 2.13)

Proximidad entre un valor medido y un valor verdaderode un mensurando

exactitud incluye el

concepto de

precisión y veracidad

1

4

3

2

13

Exactitud de medida (3ed VIM 2.13)

error

error

14

Veracidad de medida (3ed VIM 2.14)

Proximidad entre la medida de un número infinito de valoresmedidos repetidos y un valor de referencia

Nota 1. La veracidad de medida no es una magnitud y no puede expresarsenuméricamente, aunque la norma ISO 5725 especifica formas de expresardicha proximidad.

Nota 2. La veracidad de medida está inversamente relacionada con el errorsistemático, pero no está relacionada con el error aleatorio.Nota 3. No debe utilizarse el término «exactitud de medida» en lugar de«veracidad de medida».

15

Relaciones de la exactitud de medida

16

Calibración (3ed VIM 2.39)

Operación que bajo condiciones especificadas establece,en una primera etapa, una relación entre los valores y susincertidumbres de medida asociadas obtenidas a partirde los patrones de medida, y las correspondientesindicaciones con sus incertidumbres asociadas y, en unasegunda etapa, utiliza esta información para estableceruna relación que permita obtener un resultado de medidaa partir de una indicación

17

Nota 1: Una calibración puede expresarse mediante una declaración, unafunción de calibración, un diagrama de calibración, una curva decalibración o una tabla de calibración. En algunos casos, puede consistir enuna corrección aditiva o multiplicativa de la indicación con su incertidumbrecorrespondiente.

Nota 2: Conviene no confundir la calibración con el ajuste de un sistema demedida, a menudo llamado incorrectamente “autocalibración”, ni con unaverificación de la calibración.

Nota 3: Frecuentemente se interpreta que únicamente la primera etapa de estadefinición corresponde a la calibración.

Calibración continuación notas

1818

Verificación (3ed VIM 2.44)

Aportación de evidencia objetiva de que un elemento satisface losrequisitos especificados

Ejemplo: La confirmación de que se satisfacen las propiedades defuncionamiento declaradas o los requisitos legales de un sistema demedida.Nota 1: Cuando sea necesario, es conveniente tener en cuenta laincertidumbre de medida.Nota 2: El elemento puede ser, por ejemplo, un proceso, un procedimiento demedida, un material, un compuesto o un sistema de medida.

Nota 3: Los requisitos especificados pueden ser, por ejemplo, lasespecificaciones del fabricante.

Nota 4: En metrología legal, la verificación, tal como la define el VIML, y engeneral en la evaluación de la conformidad, puede conllevar el examen,marcado o emisión de un certificado de un sistema de medida.

Nota 5: No debe confundirse la verificación con la calibración. No todaverificación es una validación.

19

Conjunto de operaciones realizadas sobre un sistema de medida

para que proporcione indicaciones prescritas, correspondientes a

valores dados de la magnitud a medir

Ajuste de un sistema de medida (3 ed VIM 3.11)

20

Error de medida (3ed VIM 2.16)

Diferencia entre un valor medido de una magnitud y un valor de referencia

rXX

21

Error aleatorio de medida (3ed VIM 2.19)

Componente del error de medida que en medicionesrepetidas varía de forma impredecible

Error sistemático de medida (3ed VIM 2.17)

Componente del error de medida que en medidasrepetidas permanece constante o cambia de formapredecible

22

Incertidumbre de medida (3ed VIM 2.26)

Parámetro no negativo que caracteriza la dispersión de losvalores atribuidos a un mensurando, a partir de lainformación utilizada

Nota 1: La incertidumbre de medida incluye componentes procedentes deefectos sistemáticos, tales como componentes asociadas a correcciones y avalores asignados a patrones, así como la incertidumbre debida a ladefinición. Algunas veces no se corrigen los efectos sistemáticos estimados yen su lugar se tratan como componentes de incertidumbre.

Nota 2: El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación estándar, encuyo caso se denomina incertidumbre estándar de medida (o un múltiplo de

ella), o una semiamplitud con una probabilidad de cobertura determinada.

23

Nota 3: En general, la incertidumbre de medida incluye numerosascomponentes. Algunas pueden calcularse mediante una evaluación tipo A dela incertidumbre de medida, a partir de la distribución estadística de losvalores que proceden de las series de mediciones y pueden caracterizarse pordesviaciones estándar. Las otras componentes, que pueden calcularsemediante una evaluación tipo B de la incertidumbre de medida, puedencaracterizarse también por desviaciones estándar, evaluadas a partir defunciones de densidad de probabilidad basadas en la experiencia u otra

información.

Nota 4: En general, para una información dada, se sobreentiende que la

incertidumbre de medida está asociada a un valor determinado atribuido almensurando. Por tanto, una modificación de este valor supone unamodificación de la incertidumbre asociada.

Incertidumbre de medida (3ed VIM 2.26) continuación notas

24

Términos específicos de la GUM

•Incertidumbre estándar : (BIPM/ISO 2.3.1)Incertidumbre del resultado de una medición igual a la raízcuadrada positiva de la varianza estimada o desviaciónestándar.

•Evaluación incertidumbre Tipo A : (BIPM/ISO 2.3.2)Método para evaluar la Incertidumbre mediante el análisisestadístico de una serie de observaciones.

•Evaluación incertidumbre Tipo B : (BIPM/ISO 2.3.3)Método para evaluar la Incertidumbre por otro medio que nosea el análisis estadístico de una serie de observaciones.

25

• Incertidumbre Estándar Combinada : (BIPM/ISO 2.3.4)

Incertidumbre estándar del resultado de una medición, cuandoel resultado se obtiene a partir de los valores de algunas otrasmagnitudes, igual a la raíz cuadrada positiva de una suma detérminos, siendo éstos las varianzas y covarianzas de esasotras magnitudes, ponderadas en función de la variación delresultado de medida con la variación de dichas magnitudes.

• Incertidumbre Expandida : (BIPM/ISO 2.3.5)

Cantidad que define un intervalo alrededor del resultado demedición, del que se espera que abarque una fracción grandede la distribución de valores, que razonablemente pudieran seratribuidos al mensurando.

• Factor de Cobertura:(BIPM/ISO 2.3.6)

Factor numérico usado como multiplicador de la incertidumbreestándar combinada con el propósito de obtener unaincertidumbre expandida.

26

• Probabilidad : (ISO 3534-1:1993:1.1)

Número real, entre 0 y 1, asociado a un suceso aleatorio

• Variable aleatoria : (ISO 3534-1:1993:1.2)

Variable que puede tomar cualquiera de los valores de unconjunto determinado de valores, y a la que se le asocia unadistribución de probabilidad

• Distribución de probabilidad: (ISO 3534-1:1993:1.3)

Función que da la probabilidad de que una variable aleatoriatome un valor dado cualquiera o pertenezca a un conjunto dadode valores

Nota. La probabilidad que cubre el conjunto total de valores de unavariable aleatoria es igual a 1

27

Fuentes de incertidumbre de medición

1.Definición incompleta del mensurando Y

2.Realización imperfecta de la definición del mensurando Y

M

V

aL

MMV

12

28

Fuentes de incertidumbre de medición (continuación)

3.Muestreo no representativo, la muestra medida no representa el

mensurando definido

4.Insuficiente conocimiento del efecto de las condiciones ambientales

o mediciones imperfectas de las mismas

)20(1112

20

L

P

a

aL

TMM

V

29

Fuentes de incertidumbre de medición (continuación)

5.Desviaciones del observador en la lectura de instrumentos analógicos

6.Resolución en la indicación

7.Valores inexactos de los patrones

8.Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de

fuentes externas y utilizados en el algoritmo de medición

30

Fuentes de incertidumbre de medición (continuación)

9.Método y procedimiento de medición (hipótesis y aproximaciones)

432

aaaaa ETDTCTBTA

31

Fuentes de incertidumbre de medición (continuación)

10.Variaciones en observaciones repetidas, en condiciones

aparentemente idénticas

),...,,( 21 NXXXfY

La función debe contener todas las magnitudes, incluyendo

correcciones y factores de corrección que puedan contribuir

significativamente a la incertidumbre

1.Establecer la relación entre variables el mensurandoY y las magnitudes de entrada Xi

32

Identifique y aplique todas las correcciones significativas

Procedimiento evaluación y expresión de incertidumbre

Promedio

n

qq

n

k k 1

2.Determinar el valor estimado xi de cada magnitud de entrada Xi

- Análisis estadístico

- Evaluación de incertidumbre tipo A

Método de evaluación de incertidumbre mediante análisis

estadístico de series de observaciones

33

),...(

),(

),(

3,

2,

1,

i

i

i

xu

xu

xu

)( ixu

), . . ., . .,( 21 ni XXXXfY

34

), . . ., . .,( 21 ni xxxxfy

Una magnitud de entrada puede tener varias componentes de incertidumbre.

3.Evaluar incertidumbre estándar u(xi) de cada estimación de entrada (xi).

Asociar una distribución de probabilidad

n

sxu iA )(

n

k

k qqn

s

1

2)(1

1

Desviación estándar

35

36

2

2

1

2

1),,(

x

exf

Normal (0;1)Función de Densidad

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3,5

-3,3 -3

-2,8

-2,5

-2,3 -2

-1,8

-1,5

-1,3 -1

-0,8

-0,5

-0,3 0

0,25 0,

50,

75 11,

25 1,5

1,75 2

2,25 2,

52,

75 33,

25 3,5

X

f(x)

Distribución de Probabilidad Gaussiana

La distribución t se debe a William Sealey Gosset quien utilizaba el

seudónimo de Student, fue formulada en 1908. Tomado de Wikipedia.

38

- Evaluación de incertidumbre tipo B

Método de evaluación de incertidumbre por medios distintos

al análisis estadístico de series de observaciones

Algunos ejemplos pueden ser:

-Resolución

-Histéresis

-Certificados de calibración

-Especificaciones de fabricante

-Incertidumbres asignadas a valores de referencia tomados de

libros o manuales

-Datos de mediciones anteriores

-Experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y

las propiedades de los materiales e instrumentos utilizados

Datos de mediciones anteriores y Experiencia

-Validación de métodos

Sesgo, linealidad, límite de detección, robustez,

selectividad, especificidad, deriva

-Desempeño del método

Repetibilidad, precisión intermedia, reproducibilidad

41

Incertidumbre estándar tipo B

12

)()(

22

aaxs i

3)(

axu i

Distribución rectangular o uniforme

Varianza de una distribución rectangular

Incertidumbre tipo B para una distribución

Rectangular

3)(

22 a

xs i

punto otro cualquier en 0

2

1

)(axa

axf i

Porción de área comprendida entre μ-s y μ + s : ≈ 57,74 %1

)( ixf

0 a-a

a2

1

μ + sμ-s

)()(

),(

),(),(

),(),(),(

zuyu

zyu

zzsyys

zyuyzrzyr

iiii

iiii

Coeficiente de correlación

))(()1(

1),(

1

zzyynn

zyu i

n

i

i

n

i

iyn

y1

1

n

i

izn

z1

1

42

Si r(y,z)=0 las mediciones son independientes

Si r(y,z)=1 las mediciones son completamente

correlacionadas

4.Evaluar covarianzas de argumentos correlacionados

Causas de correlación entre dos magnitudes de entrada

43

-Uso del mismo instrumento de medida

-Uso del mismo patrón o la misma referencia con

incertidumbre estándar significativa

-Métodos de medida que tengan incertidumbre

significativa

« Las correlaciones entre magnitudes de

entrada no pueden ignorarse, siempre que

existan y sean significativas»

GUM 5.2.5

44

5. Calcular el resultado de medición

En este punto se obtiene un estimado y, del mensurando Y a

partir de la relación matemática establecida en el punto 1

45

),...,,(21 N

XXXfY

N

xxxfy ,...,21

Estimación del mensurando Y

46

6.Incertidumbre estándar combinada

N

i

i

i

c xux

fyu

1

2

2

2 )()(

Argumentos independientes

1

1 11

2

2

2 ),(2)()(N

i

N

ij

ji

ji

N

i

i

i

c xxux

f

x

fxu

x

fyu

),()()(2)()(1

1 11

222

jij

N

i

N

ij

iji

N

i

iic xxrxuxuccxucyu

si1),(

jixxr

Argumentos correlacionados

ix

f Coeficiente de sensibilidad

2

1

2 )()(

N

i

i

i

c xux

fyu

Identificar incertidumbre dominante

7.Declarar incertidumbre expandida U

Suponga que se tienen las siguientes fuentes de incertidumbre:

uA, uesp, ucal ,ures y que la mayor es ures entonces:

3,0

222

res

calespA

u

uuuSi

ures es dominante !

47

Existe

N

i i

i

ceff

yu

yu

1

4

4

)(

)(

Grados efectivos de libertad

SiNo

)(yukU cp

48

Incertidumbre dominante

)(yukU cp

Determinar factor de cobertura

GUM Tabla G.2

49

Valor del factor de cobertura kp que proporciona

un intervalo correspondiente a un nivel de

confianza p, suponiendo una distribución normal

50

GUM Tabla G.1

51

GUM nota tabla G.1

EN RESUMEN

52

)()()( yutyukU ceffpcpp

proporciona un intervalo Y=y ± Up con un

nivel de confianza aproximado p

53

N

i i

i

ceff

yu

yu

1

4

4

)(

)(

Grados efectivos de libertad

Fórmula de Welch-Satterthwaite

2

)(

)(

2

1

i

ii

xu

xu

n-1 donde n es

el número

de repeticiones

Tipo B Tipo A

Absoluta seguridad que todos los

valores posibles del mensurando

se encuentran en este intervalo

vi = ∞

de lo contrario

)()( iii xucyu

Grados de libertad

i

Grados de libertad incertidumbre tipo B

54

Cuando se tiene un nivel de inseguridad de 0,05,

es decir del 5 %, el valor de los grados de libertad

es igual a:

Este porcentaje se escoge de acuerdo

con experiencia y conocimiento que se tenga.

2

)(

)(

2

1

i

ii

xu

xu = 200

8.Reporte del resultado de medición

-Describir la forma en que se ha definido el mensurando Y

-Indicar el resultado de la medición Y=y ± U proporcionar las

unidades de correspondientes

-Proporcionar el valor de k

-Indicar el nivel de confianza aproximado de la incertidumbre

expandida

55

Presupuesto de incertidumbre

56

Magnitudes

de entrada

Fuentes de

incertidumbre

X i

Valor

Estimado

x i

Incertidumbre

original

Función de

distribución

de

Probabilidad

Incertidumbre

estándar

u(x i )

Coeficiente

de

sensibilidad

c i

Contribución

estándar

u(y)=c i u(x i )

Grados de

libertad

νi

X 1 x 1

X 2 x 2

: :

X n x n

Y y

Incertidumbre

combinada

u c (y)

Grados

efectivos

de libertad

νeff

57

Resumen del procedimiento para estimación de la incertidumbre de medición

1.Establecer la relación entre variables :

2.Determinar el valor estimado de cada argumento

3.Evaluar incertidumbre estándar de cada estimación Asociar una distribución

de probabilidad

4.Evaluar covarianzas de argumentos correlacionados,

5.Calcular el resultado de medición, (y)

6.Determinar incertidumbre estándar combinada

7.Declarar incertidumbre expandida U:

– Calcular grados efectivos de libertad fórmula de Welch-

Satterthwaite

– Determine factor de cobertura

8.Reporte del resultado de medición

ix

)(yuc

eff

k

iX

),...,,(21 N

XXXfY

),( ji xxu

58

MODELO DE MEDICIÓN METODO DIRECTO

Calibrador

IBC

ST VV

calibrador del Indicación V

UUT la de Lectura V

medición la en Error

S

T

:

:

:

),...,,( 21 Nxxxfy

Ejercicio 1.

59

ST VV Ejercicio 1. (continuación)

3

2/)(

resoluciónVu Tr

TV

)( TA Vu

SV

• Calibración

• Deriva

• Offset

• No-linealidad

• Red de alimentación de energía• Temperatura, humedad, presión (altura)

• Ruido electromagnético

Si la última cifra significativa de una indicación

digital varía continuamente durante una

o serva ió , de ido al ruido , es difí il o seleccionar involuntariamente valores

personalmente preferidos de dicha cifra.

Es preferible entonces establecer algún medio para

congelar la indicación en un instante arbitrario y

registrar dicho resultado.

GUM F.1.1.5

MEDICIÓN Y ALEATORIEDAD

61

Voltiamperimétrico I

I

VR

VX

X

RR

R Relativo Error

VX RR

Ejercicio 2.

En la figura se muestran los esquemas de los circuitos usados

para la medición del valor de una resistencia por método

indirecto

62

Voltiamperimétrico II

I

VR

X

A

R

R Relativo Error

AX RR

Continuación ejercicio 2.

63

Ejercicio 3.Para calcular la densidad del agua en kg/m3 se utiliza la ecuación

de Kell modificada para la ITS-90

Esta ecuación es válida en el intervalo 5 °C a 40 °C.

4-73-52-3-2 216x10 8213248x10 9436829x10 523893x10 6.32608 853999 aaaaa T.T.T.T.

64

Ejercicio 4.

Determinar la incertidumbre expandida del volumen de un

recipiente cilíndrico por el método geométrico, con los siguientes

datos:h (cm) d (cm)

10,00 5,00

10,05 5,01

10,10 5,03

10,10 5,03

10,15 5,04

10,20 5,04

10,20 5,03

10,25 5,05

10,20 5,05

10,30 5,05

65

TEST ACCURACY RATIO (TAR)

• Relación entre la exactitud del instrumento bajo calibración y la exactitud del patrón.

• Esta relación debe ser suficientemente grande para que el valor del patrón no afecte adversamente la medición (ANSI/NCSL Z540-1994).

• TAR no considera otras fuentes de incertidumbre.

patrón del exactitud

ncalibració bajo oinstrument exactitudTAR

66

TEST UNCERTAINTY RATIO (TUR)

(ANSI/NCSL Z540.3-2007)

• Relación entre la exactitud del instrumento bajo calibración y la incertidumbre del proceso de calibración.

• Incluye entre otras componentes; la incertidumbre del patrón.

ncalibració breincertidum

ncalibració bajo oinstrument exactitudTUR

67

122 BAC uuu cBA uuu)(U 222 22 10 Au

Relación entre la Incertidumbre expandida, Inc tipo A, factor de cobertura

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Incertidumbre tipo A

U(2

)/U

(95

%)

1

2

3

5

7

10

15

20

30

50

100

A

68

Relación entre Incertidumbre Expandida

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Incertidumbre tipo A

U(t

/2)/

U(9

5%

)

1

2

3

5

7

10

15

20

30

A

12

2

2

4595

BA

A,C uu

)(tu

cutU 2)

2(

69

Mediciones dentro de especificación

Bibliografía

1- JCGM 100:2008. Evaluation of measurement data Guide to the expression of

uncertainty in measurement (GUM). Joint Committee for Guides in Metrology.

2- JCGM 104:2009. Evaluation of measurement data – A i trodu tio to the Guide to the expression of uncertainty in easure e t a d related do u e ts.3- JCGM 200:2008. International Vocabulary of Metrology Basic and General Concepts

and associated terms, 3rd Edition. Joint Committee for Guides in Metrology

4- EA-4/02 - Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration.

5- G.C Canavos Pro a ilidad y Estadísti a: Apli a io es y Métodos pri era edi ió , McGraw-Hill 1988, México.

70

Gracias por su atención