calculo de asentamientos con interaccion sueloestructura utilizando una ecuacion constitutiva no...

7/23/2019 Calculo de Asentamientos Con Interaccion Sueloestructura Utilizando Una Ecuacion Constitutiva No Lineal

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Sociedad Mexicana de

Ingeniera Geotcnica,A.C.

XXVI Reunin Nacional de Mecnica de Suelose Ingeniera Geotcnica

Noviembre 14 a 16, 2012Cancn, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERA GEOTCNICA A.C.

Clculo de asentamientos con interaccin suelo-estructura utilizando unaecuacin constitutiva no lineal

Settlements assessment with soil-structure interaction using a nonlinear constitutive equation

Armando HERMOSILLO1, Agustn DEMNEGHI2 y Hctor SANGINS2

1Instituto de Ingeniera, UNAM2Departamento de Geotecnia de la Divisin de Ingenieras Civil y Geomtica, Facultad de Ingeniera, UNAM

RESUMEN: La interaccin suelo-estructura es aquella parte de la ingeniera que estudia las deformaciones del terrenode cimentacin cuando stas se ven afectadas por la presencia y rigidez de la propia estructura. La influencia de laestructura puede ser en condiciones estticas, lo cual es tratado por la interaccin esttica suelo-estructura, o puede seren condiciones dinmicas, lo cual cae en el campo de la interaccin dinmica suelo-estructura. En este trabajo seanaliza la interaccin esttica suelo-estructura utilizando una ecuacin constitutiva no lineal de deformacin para suelosgranulares propuesta por Demneghi (2008), realizando el anlisis estructural por el mtodo de rigideces. Lacompatibilidad de deformaciones se realiza con la solucin de un sistema de ecuaciones no lineales con el mtodo deNewton.

ABSTRACT: The soil-structure interaction is the part of engineering that studies the deformation of the foundation groundwhen they are affected by the presence and stiffness of the structure. The influence of the structure may be in staticconditions, which are treated by static soil-structure interaction, or can be in dynamic conditions, which falls in the field ofdynamic soil-structure interaction. In this paper we analyze the static soil-structure interaction using a nonlinearconstitutive equation for granular soils deformation given by Demneghi (2008); the structural analysis is performed bythe stiffness method. The compatibility of deformations is carried out by the solution of a nonlinear equation system withthe Newton method.

1 INTRODUCCIN

La interaccin suelo-estructura es aquella parte de laingeniera que estudia las deformaciones del terrenode cimentacin cuando stas se ven afectadas por lapresencia y rigidez de la propia estructura. Lainfluencia de la estructura puede ser en condicionesestticas, lo cual es tratado por la interaccinesttica suelo-estructura, o puede ser encondiciones dinmicas, lo cual cae en el campo de lainteraccin dinmica suelo-estructura.

En este trabajo se analiza la interaccin estticasuelo-estructura utilizando una ecuacin constitutivano lineal de deformacin para suelos granularespropuesta por Demneghi (2008), realizando elanlisis estructural por el mtodo de rigideces. Lacompatibilidad de deformaciones se realiza con lasolucin de un sistema de ecuaciones no linealescon el mtodo de Newton.

2 ANLISIS ESTRUCTURAL

El anlisis estructural se realiza con el mtodo derigideces, en el que se debe cumplir

0ce

PPK (1)

Donde

K= matriz de rigidez de la estructura= vector de desplazamientos (grados de libertad)Pe= vector de cargas de empotramientoPc= vector de cargas concentradas

2.1 Anlisis de una barra

La matriz de rigidez de una barra horizontal, sinconsiderar el acortamiento ni efectos de torsinsobre la barra, se presenta en la Tabla 1.


2/8

706 Clculo de asentamientos con interaccin suelo estructura utilizando una ecuacin constitutiva no lineal


Tabla 1p q r s

4EI/L 2EI/L -6EI/L 6EI/L p2EI/L 4EI/L -6EI/L 6EI/L q

-6EI/L -6EI/L 12EI/L -12EI/L r6EI/L 6EI/L -12EI/L 12EI/L s

El vector de desplazamientos para una barra es:

s

r

q

p

(2)

El vector de cargas de empotramiento de una barrade cimentacin es:

sr

sr

s

2

r

22

s2

r2

2

e

rL)32

13(rL)

32

3(

2

wL

rL)32

3(rL)

32

13(

2

wL

rL)192

11(rL)

192

5(

12

wL

rL)192

5(-rL)

192

11(-

12

wL

P (3)

El vector de cargas concentradas est definidopor:

s

r

q

p

M

M

Q

Q

Pc (4)

Para obtener los elementos mecnicos de la barrasobre nudo se utilizan las siguientes ecuaciones:

s3r3q2p2s

s3r3q2p2r

s2r2qp2

q

s2r2qp2

p

)L

12EI(+)

L

12EI(-)

L

6EI(+)

L

6EI(+

2

wL-=V

)L

12EI(-)

L

12EI(+)

L

6EI(-)

L

6EI(-

2

L-=V

)L

6EI()

L

6EI(-)

L

4EI()

L

2EI(-wL

)L

6EI()

L

6EI(-)

L

2EI()

L

4EI(wLM

M

(5)

Para la determinacin de la ecuacin (1) se deberealizar el acoplamiento de las ecuaciones de cadauna de las barras.

3 CLCULO DE DEFORMACIONES DEL SUELOCON UNA ECUACIN DE COMPORTAMIENTO NOLINEAL (DEMNEGHI, 2008)

El clculo de las deformaciones verticales de unacimentacin en suelos friccionantes de espesor zosujeto a incrementos de esfuerzos x, y y z estadado por:

os

a

sco

szco

z zcAPs

pcpf

1

11

)1(

)(exp1

(6)

Donde:

21

1 aaf ;z

xa

1

;z

y

a

2

Los incrementos de esfuerzox

,y

yz

secalculan a partir de

3

33z113

2

22z112

1

11z111z11

a

drI

a

drI

a

drI=

3

33x113

2

22x112

1

11x111x11

a

drI

a

drI

a

drI= (7)

3

33y113

2

22y112

1

11y111y11

a

drI

a

drI

a

drI=

expresiones que corresponden slo para el primerpunto, el estrato uno y con tres reacciones.

Iz: valor de influencia, es el incremento deesfuerzo vertical producido por una carga unitaria en

la esquina de un rectngulo cargado uniformemente,Figura 1, y se calcula con la ecuacin de Damy(1985):

222

2222222

tan

11

2

1

zyxz

xyang

zyx

xyz

zyzx

z

(8)

Figura 1. Caractersticas de estructura y terreno decimentacin


3/8

HERMOSILLO A. et al. 707


Ix e Iy son los valores de influencia horizontales,producidos por una carga unitaria, en la esquina deun rectngulo cargado uniformemente, Figura 2, secalculan con las ecuaciones de Dashk y Kagn,(Dashk et al., 1980).

Figura 2. Incrementos de esfuerzo normal bajo la esquinade un rectngulo cargado uniformemente en un mediosemi-infinito

xz

zyxyang

x

yang

xy

zyxzang

zyxzx

xyz

Ix

222

222

22222

tantan

*21

tan

2

2

1

(9)

yz

zyxxang

y

xang

xy

zyxzang

zyxzy

xyz

Iy

222

222

22222

tantan

*21

tan

2

2

1

(10)

ovohohovo

co Kpppp

p 2133

(11)

vop es la presin vertical inicial

hop es la presin horizontal inicial

El coeficiente Ko se calcula con la expresin deMayne y Kulhawy, (Mayne et al., 1982)

seno OCRsenK 1 (12)

A es el mdulo de rigidez del suelo, el cual puedecalcularse con la expresin:

CAAm

; 125.125.26 NAm

; (13)

2976.2ln0152.000758.1784.0exp NtC

(14)

N: nmero de golpes de la penetracin estndar y

t

es una variable tde Student, cuyos valores enfuncin de se muestran en la Tabla 2.

s: es coeficiente que depende del tipo de suelo, elcual vale 0.5 para suelos friccionantes.

21

3

1

3

1aac (15)

Tabla 2. Variable aleatoria tde StudentNivel de

confianza t

%2.5 1.9785 1.657

10 1.28815 1.04120 0.84425 0.67630 0.52640 0.25450 0

4 MTODO DE SOLUCIN DE UN SISTEMA DEECUACIONES NO LINEALES PARA LACOMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES

El problema de encontrar la solucin de un sistemade ecuaciones no lineales resulta ms complicadoque el caso de la solucin de ecuaciones lineales.De hecho, algunos conjuntos de ecuaciones carecende soluciones reales. El mtodo de Newton puedeaplicarse a sistemas de ecuaciones, as como a unasola ecuacin no lineal. Se comienza con las formas:

0),( yxf

0),( yxg

Sea rx , sy , y ambas funciones sedesarrollan en una serie de Taylor con respecto a unpunto ),( ii yx en trminos de )( ixr , )( iys ,donde ),( ii yx es un punto cerca de la raz:

...,))(,(

))(,(),(0),(

iiiy

iiixii

ysyxf

xryxfyxfsrf (16)


4/8



...,))(,(

))(,(),(0),(

iiiy

iiixii

ysyxg

xryxgyxgsrg (17)

Al truncar la serie se obtiene:

i

i

iiyiix

iiyiix

ii

ii

ys

xr

yxgyxg

yxfyxf

yxg

yxf

),(),(

),(),(

),(

),(

0

0

Lo anterior puede reescribirse para resolverse comoel sistema de ecuaciones:

),(

),(

),(),(

),(),(

ii

ii

i

i

iiyiix

iiyiix

yxg

yxf

y

x

yxgyxg

yxfyxf (18)

Donde

ii xrx , y ii ysy

La ecuacin 18 se resuelve por eliminacingaussiana y luego, si se hace

i

i

i

i

i

i

yx

yx

yx

1

1 (19)

se obtiene una estimacin mejorada de la raz, ),( sr .Este proceso se repite con i reemplazada por 1i hasta que fy g estn prximas a 0 . La extensina ms de dos ecuaciones simultneas es directa.Por tanto, el mtodo de Newton para un sistema den ecuaciones puede escribirse al desarrollar laecuacin 18 . As, se tiene:

n

i

i

i

nynynx

yyx

zyx

zyx

f

f

f

f

z

y

x

fff

fff

fff

fff

3

2

1

333

222

111

(20)

Evaluando en ,,, iii zyx . Al resolver esto secalcula

iii xxx

1, iii yyy 1 , iii zzz 1 , (21)

En un programa de computadora resulta tediosointroducir cada una de las funciones de las derivadasparciales (que a menudo deben desarrollarsemanualmente, a menos que se tenga acceso al

sistema de lgebra por computadora o a unacalculadora avanzada) a utilizar en la ecuacin 18.Una tcnica alternativa es aproximar estas parcialesvolviendo a calcular la funcin con una pequeaperturbacin a cada una de las variables a la vez:

,,,,,,, 11

1

zyxfzyxff

x

,,,,,,, 11

1

zyxfzyxff

y

,,,,,,,,, 11

jj

xi

xzyxfxzyxff

j

(22)

Relaciones semejantes se usan para cada variableen cada funcin.

5 EJEMPLO DE APLICACIN

Ilustraremos la forma de realizar el anlisis deinteraccin suelo-estructura con una ecuacin dedeformacin del suelo no lineal, con la zapata corridailustrada en la Figura 3. Para el clculo de lasdeformaciones del suelo usamos el mtodo no linealpresentado anteriormente en el captulo 2, con laspropiedades indicadas en la tabla 8.

Figura 3. Caractersticas de la zapata corrida

El anlisis estructural se lleva a cabo empleando elmtodo de rigideces, descrito en el captulo 1. En laFigura 4 se muestran los grados de libertad y en la

Figura 5 el sistema de cargas sobre la estructura.Las matrices de rigidez se obtienen con las frmulasvistas, dado que se trata de barras horizontales. Losvectores de cargas de empotramiento se calculancon la ecuacin 3.

Figura 4. Grados de libertad actuantes en la estructura

Tabla 3. Matriz de rigidez. Barra 14 5 1 2

72927.375 36463.688 -34184.707 34184.707 436463.688 72927.375 -34184.707 34184.707 5-34184.707 -34184.707 21365.442 -21365.442 134184.707 34184.707 -21365.442 21365.442 2

Tabla 4. Matriz de rigidez. Barra 25 6 2 3

72927.375 36463.688 -34184.707 34184.707 536463.688 72927.375 -34184.707 34184.707 6-34184.707 -34184.707 21365.442 -21365.442 234184.707 34184.707 -21365.442 21365.442 3


5/8



Vector de cargas de empotramiento. Barra 1

2

1

5

4

21

21

21

21

1

1.3r+0.3r+5.92-

0.3r+1.3r+5.92-

0.58667r+0.26667r+3.15733-

0.26667r-0.58667r-3.15733

e

P

Figura 5. Sistema de cargas sobre la estructura

Vector de cargas de empotramiento. Barra 2

3

2

6

5

32

32

32

32

2

1.3r+0.3r+5.92-

0.3r+1.3r+5.92-

0.58667r+0.26667r+3.15733-

0.26667r-0.58667r-3.15733

e

P

La matriz de rigidez de toda la estructura (Tabla 6)es la suma de las matrices de rigidez de cada una delas barras. El vector de cargas de empotramiento detoda la estructura es la suma de los vectores decarga de empotramiento de cada una de las barras,el cual vale

4

2

1

21

21

21

0.58667r+0.26667r+3.15733-

2.6r+0.6r+11.84-

0.3r+1.3r+5.92-

e

P

(Slo se muestran los renglones correspondientes a

1 ,

2 y

4 porque, por simetra

13 , 46 y

05

).

El vector de cargas concentradas vale

6

5

4

3

2

1

0

0

0

35-

50-

35-

c

P

El valor de la carga uniformemente repartida esmt/3.4 , el producto EI=59890 t-m2.

Matriz de rigidez de una barra

Tabla 5. Barras horizontalesp q r s

4EI/L 2EI/L -6EI/L 6EI/L p2EI/L 4EI/L -6EI/L 6EI/L q

-6EI/L -6EI/L 12EI/L -12EI/L r

6EI/L 6EI/L -12EI/L 12EI/L s

Los elementos mecnicos (barra sobre nudo) son:

s )

L

6EI()

L

6EI(-q)

L

2EI(p)

L

4EI(wL=M

2r2

2p

s )

L

6EI()

L

6EI(-q)

L

4EI(p)

L

2EI(-wL=M

2r2

2q

s )

L

12EI()

L

12EI(q)

L

6EI(p)

L

6EI(

2

wL=V

3r322r

s )

L

12EI()L

12EI(q)L

6EI(p)L

6EI(2

wL=V3r322s

El vector de cargas de empotramiento, barra decimentacin es:

b

a

s

r

q

p

s

2

r

2

2

s

2

r

2

2

sr

sr

s

2

r

2

2

s

2

r

2

2

me

rL)192

11(rL)

192

5(

12

wL

rL)192

5(-rL)

192

11(

12

wL

rL)32

13(-rL)

32

3(

2

wL

rL)32

3(-rL)

32

13(

2

wL

rL)192

11(-rL)

192

5(

12

wL

rL)192

5(-rL)

192

11(-

12

wL

=P

Tabla 6. Matriz de rigidez de toda la estructura

1 2 3 4 5 611229.375 -11229.375 11229.375 -22458.75 -22458.75 0 1-11229.375 -22458.75 -11229.375 22458.75 0 -22458.75 2

0 -11229.375 11229.375 0 22458.75 22458.75 3

-22458.75 22458.75 0 59890.0 29945.0 0 4

-22458.75 0 22458.75 29945.0 119780.0 29945.0 5

0 -22458.75 22458.75 0 29945.0 59890.0 6


6/8



6

5

4

3

2

1

321

321

321

321

321

321

9167.04167.0r05.733-

4167.00r4167.00

04167.00.916r-5.733-

625.1375.0r08.6-

375.025.3.375r017.2-

0375.01.625r8.6-

rr

rr

rr

rr

rr

rr

Pe

Por simetra, el sistema de ecuaciones resultante alaplicar la ecuacin. 1, se reduce al siguiente sistema:

6.43375.01.625r

22458.75-11229.375-11229.375F

21

4211

r

2.67325.0.75r0

44917.522458.75-22458.75F

21

4212

r

(23)

733.54167.0r9167.0

0.9890522458.75-22458.75F

21

413

r

Lo cual resulta en un sistema incompatible portener 3 ecuaciones con 5 incgnitas. Para completardicho sistema, se recurre a la ecuacin no lineal delsuelo, con lo cual obtendremos dos ecuaciones mspara tener finalmente un sistema de 5 ecuacionescon 5 incgnitas. El vector Fi es el vector defunciones que servir para calcular su Jacobiano, ycon la inversa de ste se obtendrn las correccionesa los valores iniciales propuestos (ver captulo 4).

Anlisis de deformacin en suelo

En esta seccin se calculan las deformaciones en el

suelo, a partir de los datos de la Tabla 7, utilizando laecuacin de deformacin no lineal 6.

Tabla 7. Propiedades de deformacinEstrato A s Ko , t/m

1 504.92 0.5 0.28 0.4 1.72 665.95 0.5 0.28 0.4 1.9

Como ejemplo, se obtienen los valores deinfluencia Iz111, Ix111 e Iy111. Se coloca una presinunitaria q = 1 t/m2 en el rea a1 (Figura 3) y secomputan los esfuerzos normales z, xy ydebidosa esta carga, a la mitad del estrato 1. Obtenemos

Iz111= 0.3998821 t/m2

Ix111= 0.1068092 t/m2Iy111= 0.0512681 t/m

2Los dems valores de influencia se determinan en

forma similar. En la Tabla 8 se presentan susmagnitudes.

Tabla 8. Valores de influencia

Punto Estrato Carga Ix(t/m2) Iy(t/m

2) Iz(t/m2)

1 1 1 0.1068092 0.0512681 0.3998821

1 1 2 0.0417526 0.0201755 0.0090994

1 1 3 0.0005066 0.0041209 0.0001171

1 2 1 0 0 0.07841951 2 2 0.0220027 0 0.050748

1 2 3 0.0078786 0.0004715 0.0045158

2 1 1 0.0363593 0.0132443 0.0084564

2 1 2 0.2136183 0.1025362 0.7997643

2 1 3 0.0363593 0.0132443 0.0084564

2 2 1 0.0104748 0 0.0376904

2 2 2 0 0 0.156839

2 2 3 0.0104748 0 0.0376904

3 1 1 0.0005066 0.0041209 0.0001171

3 1 2 0.0417526 0.0201755 0.0090994

3 1 3 0.1068092 0.0512681 0.3998821

3 2 1 0.0078786 0.0004715 0.0045158

3 2 2 0.0220027 0 0.050748

3 2 3 0 0 0.0784195

En la Tabla 9 se presentan los valores de lalongitud dky el rea ak.

Tabla 9. Valores de dky ak

dk (m) ak (m2)

2 4

4 8

2 4

2 4

4 8

2 4

2 4

4 8

2 4

2 4

4 8

2 4

2 4

4 8

2 42 4

4 8

2 4

Sustituyendo valores para la obtencin de losesfuerzos en z, x e y para el punto 1, en el estrato 1en la ecuacin 7 se tiene

4

20.0001171r

8

40.0090994r

4

20.3998821r=

321z11


7/8



4

20.0005066r

8

40.0417526r

4

20.1068092r= 321x11

4

20.0041209r

8

40.0201755r

4

20.0512681r 321y11

Para el inicio de los clculos consideramos unareaccin uniforme:

r1= r2= r3= [35(2)+50]/8.0) + 4.3 = 19.3 t/m

Reemplazando en la ecuacin 7 se tiene para elpunto 1, estrato 1:

z11= 3.8864367 t/m2

x11= 1.4161498 t/m2

y11= 0.71786275 t/m2

Anlogamente se calcula para los dems puntosen los dos estratos.

A continuacin calculamos las deformacionesiniciales utilizando la ecuacin 6. Para lascondiciones iniciales presentadas previamente, seobtienen los valores de las funciones Fifaltantes, lascuales son los valores iniciales de

1 y

2 :

002198047.01

00548168.02

Con ello, se completa el sistema de ecuaciones (23),dando como resultado el sistema valuado:

.65F1

.88-F2

60033.19F3 (24)

002198047.04

F

00548168.05 F

Cabe mencionar, que por razones de espacio,aqu se presentan solo los valores numricosiniciales (iteracin 0) de las funciones

iF , las cuales

son funciones de las incgnitas1r ,

2r ,

1 ,

2 y

4

adems que4

F y5

F son del tipo exponencial (verecuacin 6); de ah que el sistema final formado esun sistema no lineal de ecuaciones.

Para calcular el Jacobiano, el cual se obtiene dederivar parcialmente a cada una de las funcionesrespecto a cada una de las variables, se emplea latcnica descrita en el captulo 4, en donde se aplicauna perturbacin muy pequea para estimar las

derivadas parciales de cada una de las funciones. Elvalor de La perturbacin empleada es: 01.0P . Enla Tabla 11 se presenta el Jacobiano calculado en laiteracin 0.

En la Tabla 12 se presenta la inversa calculadadel Jacobiano en la iteracin 0. De la ecuacin (20),

se tiene que al calcular el Jacobiano y multiplicar porel vector Fi se obtienen los valores del vector i ,con los cuales se calculan los nuevos valores de lasincgnitas

1r ,

2r ,

1 ,

2 y

4 mediante la ecuacin

(21).

Tabla 10. Jacobiano inicial de las funciones Fif/r1 f/r2 f/4 f/1 f/2

F1 1.625 0.375 -22458.75 11229.375 -11229.375

F2 0.75 3.25 44917.5 -22458.75 22458.75

F3 -0.9167 -0.4167 59890 -22458.75 22458.75

F4 -1.764E-06 1.1215E-05 0 1 0

F5 6.082E-06 -2.749E-04 0 0 1

Tabla 11. Inversa del Jacobiano inicial

0.684543459 0.07740241 0.198651989 -1487.158456 1487.158456

-0.184543459 0.17259759 -0.198651989 1487.158456 -1487.158456

3.10077E-05 -1.59045E-05 4.02535E-05 0.198651989 -0.198651989

3.27709E-06 -1.79916E-06 2.57828E-06 0.980698338 0.019301662

-5.48931E-05 4.69745E-05 -5.58158E-05 0.417851035 0.582148965

Los nuevos valores (valores corregidos iniciales)de las incgnitas se obtienen al sumar el vectorinicial (-Fi) (ecuacin 24) al vector de correccin i ,lo que resulta en:

0.00229

0.00234

0.00045

11.329-

11.929

i;

0.00229

0.00234

0.00045

7.6707

30.929

iF

La solucin del sistema se obtendr al repetir elprocedimiento visto anteriormente, calculando losvalores del vector Fi, el Jacobiano de dicho vector, lainversa del Jacobiano y el vector de correccin

i ,

hasta que dicho vector de correccin sea muycercano a cero. Despus de 6 iteraciones, los

valores de las incgnitas que resuelven el sistemason:

0.00277

0.0038

0.0008

10.296

28.304

2

1

4

2r

1r

En las Figuras 6-9 se ilustra la convergencia delclculo de las reacciones r1, r2, 1 y 2.


8/8



Puede observarse que, para los valores inicialespropuestos, el valor de las incgnitas se aproximasatisfactoriamente despus de tres iteraciones. Cabemencionar que la rapidez en la convergenciadepende de los valores iniciales y de la magnitud de

la perturbacin a la hora de determinar las derivadasparciales al calcular el Jacobiano. No se descarta laposibilidad de que exista una combinacin de valoresiniciales para los cuales la solucin del sistema nolineal de ecuaciones sea divergente por lo que serecomienda observar la sensibilidad de dichosistema ante las condiciones iniciales.

Figura 6. Aproximacin del valor de la reaccin r1

Figura 7. Aproximacin del valor de la reaccin r2

Figura 8. Aproximacin del valor de la deformacin 1

Figura 9. Aproximacin del valor de la deformacin 2

6 CONCLUSIONES

Debido al comportamiento no lineal de los suelos,resulta adecuado emplear ecuaciones no lineales en

interaccin suelo-estructura. Para ello, en estetrabajo se emple la expresin para calculardesplazamientos en suelos friccionantes propues-tapor Demneghi (2008).

Al formarse un sistema no lineal de ecuaciones,resulta conveniente el uso de mtodos numricospara su resolucin. En este caso se emple elmtodo de Newton.

Se present un ejemplo de una zapata corridasometida a cargas y apoyada sobre dos estratos dearena.

7 REFERENCIAS

Damy J (1985). Integracin de las ecuaciones deBoussinesq, Westergaard y Frhlich, sobre super-ficies poligonales de cualquier forma, cargadascon fuerzas verticales uniformemente repartidas,Revista Ingeniera, Vol LV, N 1: 82-86

Dashk R E y Kagn, A A (1980). Mecnica deSuelos en la Prctica de la Geologa Aplicada a laIngeniera, Cap 2, MIR, Mosc

Demneghi A (2008) Clculo del asentamiento deun cimiento en arena.XXIV Reunin Nacional deMecnica de Suelos, Sociedad Mexicana deMecnica de Suelos, Aguascalientes, Ags

Demneghi A., Puebla M. y Sangins H. (2008)Apuntes de anlisis y diseo de cimentaciones:Tomo 1. Facultad de Ingeniera, UNAM

Gerald C. F. y Wheatley P. O. (2000) Anlisisnumrico con aplicaciones. Pearson, PrenticeHall. Mxico

Mayne P W y Kulhawy, F H (1982) Ko OCRrelationships in soil. Jour Geot Eng Div, ASCE,GT8, junio.

calculo de asentamientos con interaccion sueloestructura utilizando una ecuacion constitutiva no...

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