GUIONES DE CLASES

CLCULO I

PRIMER TRIMESTRE / 2011

4

y

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

f ( x) =

2 x +1

-1

1

2

3

x

4

-2

-3

-4

5

Catedratico

Ing. Sven GuzmanGuion de Clases

Ing. Mario Morales Burgos Ing. Sven Guzman

GUIN DE CLASES

Clases 1 y 2. Lmites Funcionales Clase 3. Lmites Infinitos, Asntotas. Inters Compuesto Continuamente. Clases 4 y 5. Definicin Formal de Lmite Clase 6. Continuidad de una Funcin en un Punto Clase 7. Continuidad Aplicada a Desigualdades Clases 8 y 9. Derivadas Clase 10. Reglas de Diferenciacin Clase 11. La Derivada como Razn de Cambio Clase 12. Derivadas Laterales, Diferenciabilidad y Continuidad. Clase 13. Regla de la Cadena. Clase 14. Derivadas de Funciones Trigonomtricas Clase 15. Derivadas de Funciones Trigonomtricas Inversas Clase 16 y 17. Derivadas de Funciones Hiperblicas e Hiperblicas Inversas Clase 18. Derivadas de Funciones Logartmicas Clase 19. Derivadas de Funciones Exponenciales Clase 20. Diferenciacin o Derivacin Implcita

Clase 21. Derivacin Logartmica Clase 22 y 23. Derivadas de Orden Superior Clase 24 y 25. Bosquejo de Curvas Planas Clase 26. Extremos Absolutos de una Funcin Clase 27. Concavidad de una Curva y Puntos de Inflexin Clase 28. Criterio de la Segunda Derivada para Puntos Crticos. Clase 29. Asntotas de una Funcin. Clases 30 y 31. Mximos y Mnimos Aplicados (Problemas de Optimizacin) Clase 32. Razones de Cambio o Tasas Relacionadas Clase 33. Problemas de Optimizacin Aplicados a Ingeniera Clase 34. Diferenciales. Clase 35. Elasticidad de la Demanda. Clase 36. Mtodo de Newton-Raphson Clase 37. Teoremas sobre Funciones Derivables Clases 38 y 39. Regla de LHopital

1y

lm x = axa

Dx ( Ln u ) =

1

u' u

LMITES Y CONTINUIDAD

dy dx

1

3 1

f ( x ) dx2

=33

x

4

Clases No. 1 y No. 2:

LMITES FUNCIONALES

INTRODUCCIN El Clculo infinitesimal constituye una parte muy importante de la matemtica moderna. Es normal en el contexto matemtico, por simplificacin, simplemente llamarlo Clculo. El clculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniera y es usado para resolver problemas para los cuales el lgebra por s sola es insuficiente. Este clculo se construye en base al lgebra, la trigonometra y la geometra analtica e incluye dos campos principales, el Clculo Diferencial y el Clculo Integral. En matemtica ms avanzada, el clculo es usualmente llamado Anlisis y est definido como el estudio de las funciones. Newton Leibniz En el ltimo cuarto del siglo XVII, Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), de manera independiente, sintetizaron de la maraa de mtodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivacin- y mostraron que ambos conceptos eran inversos- Teorema fundamental del clculo-: acababa de nacer el clculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, mximos y mnimos, tangentes, centros de gravedad, etc. que haban ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de clculo. El nacimiento del clculo infinitesimal permiti el desarrollo de ideas importantes en matemticas y fsica. Conocer la velocidad y la aceleracin de un objeto a partir de la posicin o conocer la posicin a partir de la velocidad y la velocidad a partir de la aceleracin, involucra procesos propios del clculo. Los lmites son importantes para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemticas, como crecimiento de poblaciones, desintegracin de materiales radiactivos, inversiones de capital y velocidades lmites alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura dada. CONCEPTO DE LMITE Hablar de lmites es normal en nuestra cotidianidad, veamos algunos ejemplos: Fecha de vencimiento de un medicamento. Velocidad mxima permitida en la zona urbana. Altura mxima bajo un puente. Mxima resistencia de un resorte, antes de romperse o deformarse, etc. Lo anterior insina que el lmite es algo as como una frontera que no puede ser superada. Veamos algunos ejemplos que nos ayudarn a encontrar una definicin ms rigurosa de lmite, desde el punto de vista matemtico.

2 DEFINICIN INTUITIVA DE LMITE EN UN PUNTO Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto singular en la cercana de un punto. Precisar caractersticas de este comportamiento puede ser necesario y adems en algunas circunstancias puede requerir de estudios rigurosos, lo cual no lo vamos a tratar aqu. Analicemos ejemplos sencillos; en los que podamos por simple inspeccin determinar caractersticas obvias. Ejemplo 1 Veamos cmo se comporta la funcin f de variable real con regla de correspondencia f ( x) = 2 x + 1 , en la vecindad de x = 2 . Evaluando la funcin para ciertos valores de x , cada vez ms prximos a 2, tenemos:x 1.90 1.95 1.99 2.01 2.05 2.10 y = 2x + 1 4.80 4.90 4.98 5.02 5.10 5.20

Se puede notar que esta funcin se aproxima a tomar el valor de 5. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente forma: lm (2 x + 1) = 5 .x2

Lo anterior se puede ilustrar desde la grfica:

Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de otra funcin f de variable real con regla de correspondenciaf ( x) = x 2 + 5x 6 , x 1

en la cercana de x = 1 .

Evaluando la funcin para ciertos valores de x , cada vez ms prximos a 1, tenemos:x 0.90 0.95 0.99 1.01 1.05 1.10 y= x2 + 5x 6 x 1 6.90 6.95 6.99 7.01 7.05 7.10

3 Se puede notar que esta funcin se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independientex se aproxima a tomar el valor de 1, es decir lmx 2 + 5x 6 =7. x 1 x 1

Ntese que no es necesario que la funcin est definida en el punto de aproximacin, En este caso f (1) no est definida (hay un hueco en la grfica) y sin embargo el lmite existe. Por otro lado, la regla de correspondenciaf ( x) = x 2 + 5x 6 x 1

es equivalente a

f ( x) = x + 6 ; x 1

(POR

QU?). Desde su grfica podemos ilustrar este comportamiento:

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso, podemos establecer la siguiente definicin: Definicin de lmite: Cuando f(x) est arbitrariamente cerca de un nmero real L, para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de a, se dice que:

lm f ( x) = Lx a

Se lee: El lmite de f ( x) , cuando x tiende hacia " a " existe y es igual a TEOREMAS SOBRE LMITES 1 2 3 4 5 6 7 8

L

lm c = c , es decir: el lmite de una constante c, es la misma constante.xa

lm x n = a n

lm[cf ( x)] = c lm f ( x)lm[ f ( x) g ( x)] = lm f ( x) lm g ( x)xa xa xa

xa

xa

xa

Si f ( x) = c 0 x + c1 x + c 2 x n 2 + c 3 x n 3 + ........ + c n 2 x 2 + c n 1 x + c n entonces: lm f ( x) = f (a ) (Teorema de Sustitucin)n

n 1

(Funcin

Polinomial),

lm[ f ( x) g ( x)] = lm f ( x) lm g ( x)xa xa xa

xa

lmxa

f ( x) x a = , siempre y cuando lm g ( x) 0 xa g ( x) lm g ( x)xa

lm f ( x)

lm n f ( x) = n lm f ( x)xa xa

4 Ejemplos 1 lm 3 x 2 = 3 lm x 2 = 3(3 2 ) = 3(9) = 27 ; Teoremas 3 y 2 2 3 4 5lm ( 6 2 x x2

x 3

x 3

3

)( x

2

+ 8 ) = lm ( 6 2 x 3 )ilm ( x 2 + 8 ) = [ 6 2(8) ][ 4 + 8] (10)(12) = 120 ; Teoremas 6 y 5

lm

2 x 2 3 x + 4 lm 2 x 3 x + 4 2(16) 3(4) + 4 24 4 = x4 = = = ; Teoremas 7 y 5 3 x4 64 + 2 66 11 lm x 3 + 2 x +22

(

x2

x 2

lm 10 3 x =

x 2

lm (10 3 x ) = 10 + 6 = 16 = 4 ; Teoremas 8 y 5

x4

(

)

)

x2

lmx 3

x 3 8 19 = no existe; Teoremas 7 y 5 x3 0

Lmites UnilateralesSeax ; observe la grfica correspondiente y note que x cuando x tiende a 0 por izquierda, la funcin tiende a 1 y si x tiende a 0 por la derecha, la funcin tiende a 1. Esto significa que los lmites laterales de f(x) son diferentes, es decir:

f(x) =

x 0

lim f ( x ) = 1

x 0 +

lim f ( x ) = 1

Definiciones: Lmite por la izquierda: Si f(x) est definida en el intervalo abierto (c, a), decimos que lim f ( x) = Lx a

Lmite por la derecha: Si f(x) est definida en el intervalo abierto (a, c), decimos que lim+ f ( x) = L .xa

Teorema de la unicidad del lmiteEste teorema establece que si el lmite de una funcin f(x) existe, este es nico, es decir:

lim f ( x) = L si y solo sixa

xa

lim f ( x) = lim+ f ( x) = Lxa

De acuerdo con lo anterior, limx 0

x no existe, pues sus lmites unilaterales no son iguales. xx2 4 , en forma numrica y grfica cuando x tiende hacia 2, x2

Ejercicios: 1.- Analizar el comportamiento de f ( x) =

x2 4 es decir, hallar lim construyendo una tabla de valores y graficando. x2 x2 2.- Aplicar los teoremas vistos para hallar el valor de los siguientes lmites:

52 a) lim(3 x + 5 x 2) x2

b) lim x2

x 3 5x + 1 2

c) limx2

3x + 6 x2

3.- Hallar el lmite, en caso de que exista:

si x 1 x + 1, 2 b. lim f ( x) , Siendo f ( x) = 2 x + x x1 , si x > 1 x 4.- En las siguientes grficas se pide analizar si el lmite de la funcin que representan existe o no, cuando x se acerca a un valor determinado: y 5y a) lm f ( x) = 1 b) lm f ( x) 4 x 2 + 1, si x < 2 a. lim f ( x) , Siendo f ( x) = x 2 6 x 7, si x 2x 1

x 1

3

2

4 3 2 1

1

-3

-2

-1

-3

-2

-1-1

1

2

x

3

-2

-1 -2 -3 -4 -5 -6 7

1

2

3

x

4

3

5.- Calcula el valor de a para que:

ax 2 4 , si x > 3 a) lim f ( x) exista, siendo f ( x) = x 2 x3 x, si x 3 5ax 2 3, si x 1 b) lim f ( x ) exista, siendo f ( x) = x 1 si x < 1 5 x,

0 0 En el clculo de lmites, la aplicacin del teorema de sustitucin puede bastar; pero se requerir un 0 trabajo adicional si se presentan resultados de la forma la cual es una indeterminacin. 0

Clculo Analtico de Lmites cuando se presentan indeterminaciones de la forma

Ejemplo l: Calcular lm

x 2 + 5x 6 x 1 x 1

Solucin: Aplicando el teorema de sustitucin tenemos lm

x 2 + 5 x 6 12 + 5(1) 6 0 = = x 1 x 1 11 0

(Indeterminacin)

Para eliminarla se debe simplificar la expresin cancelando factores comunes, es decir factorizando, as:lm

y finalmente aplicando el teorema de sustitucin se tiene que: lm (x + 6) = 1 + 6 = 7x 1

(x + 6)(x 1) = lm (x + 6) x 2 + 5x 6 = lm x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 1

Ejemplo 2: Calcular

x 1

lm

Solucin: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos:

1 1 0 = (Indeterminacin) 1 1 0

Racionalizando el numerador y simplificando: lm x 1

x 1 x 1 x + 1 = lm = lm x 1 ( x 1) x + 1 x 1 x 1 x + 1

(

)

(

1

x +1

)

=

1 2

6 Ejemplo 3: Calcularx 1 3

lm

x 1 x 1

Solucin: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos:

1 13

1 1

=

0 0

(Indeterminacin)

Para encontrar el valor de esta indeterminacin, podemos aplicar uno de los siguientes mtodos: PRIMER METODO: Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos x 1 x +1 lm 3 x 1 x 1 x +1 lm

(x 1) (3 x )

( x) ( x)3 3

2 2

x 1

2 2 3 + x + 1 3 1 + 3 1 + 1 = =3 2 (x 1) x + 1 1 +1

(

)

( ) (

+ 3 x + 1 + 3 x + 1

)

SEGUNDO METODO: Cambio de Variable: Sea Reemplazando tenemos: Y factorizando:Ejercicios: 1.x2 9 x 3 x 3 lmlm

x = u6

. Entonces Si x 1 u 1= lm u 3 1 1

u 1 32

lm

u 6 1 u 6 1

(u 1)(u + u + 1) = lm (u + u + 1) = (12 + 1 + 1) = 3 (u 1)(u + 1) u 1 (u + 1) (1 + 1) 2 u 12

u 1 u 2

6.

2. lm x 1 3. 4. 5.

x 4x + 3 x 1 x2 2 x + 1 lim 2 x 1 ( x 1) 2

x 2 lm x4 x 43

( x + 3) 11.- lmx 0

2

9

7. lmx 8

8. lmx 8

x 2 x 8 8 x3

x2 x2

lm

2 x 4

x3 8 x2 x 2 lm

x 2 x 1 9. lm 2 x 1 x + x 23

x 4 x 3 12.- lm x 5 x+5 4 x 81 13.- lm 2 x 3 x x 6x3 8 14.- lm x 2 x 2

R/6R / 1 6 108 R/ 5 R /12

10. lm x 1

23

1 x

6 (Sugerencia: x = u ) 1 x 3

f (4 + h) f (4) R/7 h 0 h 16.- Utilice la divisin sinttica para factorizar y as poder eliminar las indeterminaciones en los siguientes lmites: 4 x 3 5 x 2 + x + 10 x 4 + 2 x3 2 x 2 + x 6 a) Lim b) Lim x 1 x 3 6x2 + x 5 x+315.- Si f ( x) = 2 + x x 2 encontrar: lm

Clases No. 3:x a

Lmites Infinitosxa xa

7

Si lm f ( x) 0 y lm g ( x ) = 0 lm

f ( x) = , dependiendo del signo del cociente. g ( x)

Suponga que cuando x toma valores prximos a un punto x = a , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes positivo; es decir lm f ( x ) = . Diremos, en este caso, quex x a

f crece sin lmite o que f no tiene lmite en x = a .Puede ocurrir tambin que cuando la x toma valores prximos a un punto x = a , tanto por izquierda como por derecha, f toma valores muy grandes negativos; es decir lm f ( x ) = .x a

Diremos, en este caso, que f decrece sin lmite o que f no tiene lmite en x = a .Ejemplos 1 2lmx2

( x 2 )2

3

= , puesto que +/+ = + .Ver grfica abajo, a la izquierda.

2 2 = , puesto que - / - = + ; lm+ = , puesto que - / + = x 1 ( x + 1) x 1 ( x + 1) lm f ( x) no existe. Ver grfica abajo, en el centro.lmx 1

3

x 2 si x < 1 f ( x) = 1 lm f ( x) = lm ( x 2 ) = 1 ; x 1 x 1 x 1 si x > 1 lm f ( x) no existe . Ver grfica abajo a la derecha.x1

x 1+

lm f ( x) = lm +x 1

1 = x 1

f ( x) =y

3

( x 2)

2

f ( x) =

2 x +14y

x 2 si x < 1 f ( x) = 1 x 1 si x1 4

y

5

3

3

4

21

2

3

1

2

-5

-4

-3

-2

-1

-1-2

1

2

3

x

4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

x

6

1

-2

-2

-11

1

2

3

4

5

6

x

-3

-3-4

7

-4

5

5

Lmites al InfinitoEn ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una funcin cuando la x toma valores muy grandes, es decir cuando x tiende al infinito. Suponga que f se aproxima a tomar un valor L cuando la variable x toma valores muy grandes, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente manera lm f ( x) = Lx

Nota: Se puede dar que lm f ( x) = Lx

o

x

lm f ( x) = . La x puede tender al infinito positivo o al

8

infinito negativo y el resultado del lmite, en el segundo caso, puede ser infinito positivo o infinito negativo, dependiendo de la funcin.Ejemplos: Analizar las siguientes funciones cuando x 1f ( x) = 3 x +14321-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

y

3 lm = 0 . Cuando x crece al infinito, la funcin tiende a cero a x + x + 1 travs de valores positivos. 3 lm = 0 . Cuando x crece al infinito, la funcin tiende a cero a x x + 1 travs de valores negativos. Ver la grfica de la funcin a la derecha.2f ( x) = 5

x 1 2 3 4 5 6 7 8

-2-3-4

(x 4)24321-3 -2 -1

y

f ( x) =

5

= 0 x + ( x 4) 5 lm = 0 2 x ( x 4) En ambos casos, la funcin tiende a cero a travs de valores positivos. Ver la grfica de la funcin a la derecha lm 52

( x 4)

2

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

-12

3

f ( x) =x + x

x+7f ( x) = x + 7

4

y

lm

x+7 = . x + 7 no existe, porque la funcin no est definida para

3

lm

2

valores de x < 7 Ver la grfica de la funcin a la derecha-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1x 1 2 3 4

-1

2

Todas las propiedades vistas para lmites normales, tambin son vlidas para lmites al infinito. 1 lm x p = 0 x lm 1 = 0 , si 1 est definido para x < 0 x x p xp

Propiedad particular: Si p > 0

9 Clculo de lmites que implican la forma indeterminada e Regla Prctica: Para forma indeterminada , se divide el numerador y el denominador de la fraccin entre la potencia mayor de x Ejemplos

2 5 5 05 5 2 5x x2 1 = lm = = = lm 2 x 3x + x 1 x 1 1 3+ 00 3 3 3+ 2 x x 4 1 + 2 4x + x x2 x2 = 0 + 0 = 0 = lm lm 2 x x 3 3 x 2 + 2 x 3 2 1 + 3 1 0 + 0 x x 2 1 4 2 x 4 x3 0 0 4 4 x3 x 2 = lm = = = lm 2 3 x x + x + 1 x 1 1 1 0 + 2 + 3 0+0+0 x x x Para evaluar lmites que presenten la forma , se efecta la resta de funciones. Si aparecen radicales se multiplica y divide por la expresin conjugada y luego se utiliza el procedimiento indicado para el caso anterior2

Ejemplo: Calcular Lim x x 2 + xx +

(

)) (x +( x + x2 + x ) = Lim x2 x2 x (Indeterminacin

Al sustituir se tiene la indeterminacin , entonces al multiplicar y dividir por la conjugada se tiene:

x 2 + x ) x + ( x + x 2 + x ) entonces como el mayor exponente de x es 2 y se tiene bajo el signo radical, se divide el numerador y elx + x +

Lim x x 2 + x = Lim x x 2 + x .

(

)

(

),

denominador entre

x 2 que equivale a

x , adems como x +, entonces x > 0 por lo tanto x = x ,

x 1 1 1 x as se tiene: Lim = Lim = Lim = = x + x + 2 1 1+1 x2 x ( x + x 2 + x ) x + x 1+ 1+ + + 2 2 x x x x x

1 R/ Lim x x 2 + x = . x + 2Nota: En este mismo ejemplo six

(

)

Lim x x 2 + x = (No existe lmite)

(

)

x , entonces x < 0 y

x 2 = x = x , se tendra que

Lmites al infinito de Funciones Racionales (Reglas prcticas)

10

Si f ( x) es una funcin racional (el cociente de dos funciones polinomio) y si a n x n es el trmino con la mayor potencia de x en el numerador y bm x m es el trmino con la mayor potencia de x en el denominador

lm f ( x) = lmx

an x n bm x m

x

y

x

lm f ( x) = lm

an x n bm x m

x

.

Ejemplos 1 2 3

2 5x 2 5 5x 2 5 lm 2 = lm = = x 3x + x 1 x 3x 2 3 3 2 2 4x + x 4x 4 lm 3 = lm 3 = lm = 0 2 x x 3 x + 2 x x x x 3 3 2 x 4x 4x lm 2 = lm 2 = lm( 4 x ) = x x + x + 1 x x x

Si

x

lm f ( x) = lm ( an x n )x

f (x) es una funcin polinomio y a n x n es el trmino con la mayor potencia de x

Ejemplos: 1.) lm ( 2 x3 3x 2 + 4 x + 5 ) = lm ( 2 x3 ) = 2( )3 = 2() = x x

2.) lm ( 2 x3 3x 2 + 4 x + 5 ) = lm ( 2 x3 ) = 2()3 = 2() = + x x

Lmite de una Funcin Seccionada (funcin definida por partes o intervalos)Ejemplos 12 x 2 si x 1 Siendo f ( x) = , encontrar lm f ( x) ; lm f ( x) ; lm f ( x) x 1 x x 4 si x > 1 Como f (x) cambia de estructura en x = 1 , se requiere evaluar lmites unilaterales. lm f ( x) = lm ( 2 x 2 ) = 1 ; lm f ( x) = lm(4) = 4 lm f ( x) no existe + +x 1 x 1 x 1 x 14 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x 5 y

-1 -2 -3 -4 5

x

lm f ( x) = lm (4) = 4 ;x

x

lm f ( x) = lm 2 x 2 = lm ( x 2 ) = x x y

(

)

x 1

2

Si f ( x) = x 4 x

x 1 si x < 4 , encontrar lm f ( x) ; lm f ( x) ; lm f ( x) x 4 x x 7 x si x 4 lm f ( x) = lm ( x 1) = 3; lm f ( x) = lm (7 x ) = 3 lm f ( x) = 3x4 x4+ x 4 + x4-1

4321

lm f ( x) = lm (7 x ) = lm ( x) =

-1-2-3-45

1

2

3

4

5

6

7

8

x 9 1

x

lm f ( x) = lm ( x 1) = lm ( x) = x x

x

x

Ejercicios 1.- Evaluar los siguientes lmites por simple intuicin 2x + 1 x3 3 x 10 a) lim b) lim+ c) lim+ + x 1 x 1 x2 x 2 x 3 3 x 2.- Evaluar los siguientes lmites: a) lim x 3 + 2 x 4x

11

d) limx4

x+5 4 x

e) limx 4

x ( 4 + x) 2

b) lim f) lim

3x 4 5 x 2 + 3x 9 x 5x 3 4 x + 5

c) lim 5 x 3 + 2 x 1x

d) lim

e) lim 3x + 2 xx

x

(

x2 2 x + 1 + x

)

i) lim 2 x 1 xx

j) lim 3x 4 x + 2x

(

)

1 z2 z 2 z 3 x 4 + 3x k) Lim 3 x 3x 4 x 2

g) Lim

x 5 8x 3 + 3 x 7 x 6 6 x + 1 1 z2 h) Lim z 2 z 3 x2 4 l) Lim x x2

3.- Si el costo total de produccin de q artculos en una industria est dado por c = 7,000 + 10q , encontrar el costo promedio, cuando el nivel de produccin crece continuamente. 7, 000 c 7, 000 R/ c = = + 10 lm + 10 = 0 + 10 = 10 , es decir, el costo promedio se aproxima a un q q q q nivel estable de $10 / artculo. 4.- Para una relacin particular de husped-parsito, si x representa la densidad de huspedes, es decir el nmero de huspedes por unidad de rea y y representa el nmero de parsitos en un determinado pe-

rodo, entonces y =

1,000 x . Encontrar a qu valor se aproximara el nmero de parsitos, si la densi12 + 40 xR/ lm y = 20 parsitos.x y4321-3

dad de huspedes aumentara sin cota.

5.- Si f ( x) = x + 2 , hallar si existen: lm x + 2 ; lm x + 2 ;x 2 x 2 x 2+

lm x + 2 ; lm

x +

x + 2 ; lm

x

x+2-2

-1

1

2

3

4

x

5

-12

INTERS COMPUESTO CONTINUAMENTECuando se invierte dinero a una tasa anual de inters dada, los intereses devengados dependen de la frecuencia con se capitaliza el inters, es decir se obtienen ms intereses si la tasa se capitaliza mensualmente que si se hace trimestralmente. El monto (S) de un capital (P) invertido durante t aos a una tasa anual r, capitalizable k veces en un aor viene dado por: S= P 1 + , siendo r/k la tasa por perodo de conversin y kt el nmero de perodos. k Si el nmero de perodos de conversin aumenta infinitamente ( k ), entonces la longitud de cada perodo se aproxima a cero y decimos que el inters se capitaliza continuamente (a cada instante). Entonces el monto total es:kt

r r r , cuando k , tenemos que x 0 . S = Li m P 1 + = P Li m 1 + . Haciendo x = k k k k k As el lmite entre corchetes tiene la forma lm(1 + x)1/ x , cuyo resultado es lm(1 + x)1/ x = ekt k/r

rt

12

x 0

x 0

Por lo tanto se tiene que: S = P e rt Esta es la frmula que proporciona el monto acumulado S de un capital P despus de t aos a una tasa de inters anual r compuesta de manera continua.Ejemplo: Se invierten $ 1000 a una tasa anual del 5% capitalizado continuamente. Determinar: a) El Monto acumulado al final de 5 aos. b) La tasa efectiva i compuesta anualmente que equivales al 5% capitalizable continuamente Solucin a) S = Pe rt = 1000e(0.05)(5) = 1000e0.25 $1, 284.03 b) Si son equivalentes las tasas entonces S = Pe rt es equivalente a S = P (1 + i )t , de donde (1 + i )t = e rt 1 + i = e r , de donde i = e r 1 . Sustituyendo valores se tiene: i = e0.05 1 0.0513 i = 5.13% Valor Presente

S P = Se rt e rt Ejemplo: Cunto se debe invertir hoy a una tasa anual del 12% capitalizado continuamente para tener dentro de 15 aos $500,000? Solucin: P = $500, 000.e (0.12)(15) = $76, 677.48 Al despejar el valor de P de la frmula S = Pert , se obtiene P =Ejercicios 1.- Si una persona invirti $10,000 en un certificado a plazo 10 aos que paga una tasa de inters anual del 7% compuesto continuamente. Al finalizar los 10 aos reinvierte su dinero acumulado en bonos corporativos que devengan una tasa del 8 % compuesto anualmente por 5 aos. Determinar el monto acumulado al final de estos 5 aos. 2.- El valor presentePde una anualidad de pagos uniformes anuales R a una tasa r de inters anual 1 e rt . compuesto continuamente durante t aos viene dada por: P = R. r a) Hallar entonces el Valor presente de una serie de utilidades anuales de $40,000 durante 5 aos si la tasa de inters es del 4% compuesto continuamente. b) Con el valor presente hallado anteriormente calcular el Monto compuesto dentro de 10 aos a la misma tasa de inters.

CLASE No.4 y No. 5: DEFINICIN FORMAL DE LMITE

Antes de desarrollar el concepto de Continuidad de Funciones, para estudiantes de Ingeniera, es importante desarrollar la Definicin formal de lmite. Por qu una definicin formal? Porque las expresiones que utilizamos se acerca arbitrariamente tiende a, no tienen un significado muy preciso. En Cunto se debe acercar? Cunto debe tender? Por ello trataremos de precisar la definicin. Recuerda que cuando definimos "intuitivamente" el lmite de f(x), establecimos que si f(x) se acerca arbitrariamente a un nmero L cuando x tiende a a por cualquiera de sus lados, entonces: lim f ( x ) = Lxa

Esa definicin informal intuitiva, establece que la diferencia entre f(x) y L se puede hacer tan pequea como se quiera, con solo tomar a x lo suficientemente cerca de a. La primera persona que le asign un significado matemtico a esas frases fue Agustn Cauchy (matemtico 1789-1857) y su definicin de lmite es la que se usa hoy de forma estndar. Figura 1

Usaremos las letras griegas arbitrariamente pequeos.

(psilon)

y ( delta)

para representar nmeros positivos

La frase "f(x) se acerca arbitrariamente a a" significa que f(x) difiere de L menos que , es decir que est dentro del intervalo ] L , L + [ , por lo que podemos establecer la siguiente desigualdad: L- < f(x) < L+ Restando L a los tres miembros de la desigualdad: - < f(x) L < + Usando la notacin de valor absoluto, podemos expresar esta desigualdad escribiendo f ( x) L < Anlogamente la frase "x tiende a a", significa que los valores de x estn dentro de un intervalo ]a , a + [ , es decir. a < x < a + Restando a en los tres miembros, se tiene que - < x - a < +

Usando la notacin de valor absoluto: x a < Significa que x est a una distancia de a menor que , pero siendo x a. es un nmero positivo y tambin muy pequeo que depende del valor de . Grficamente: y L+ f (x) L L+

( x ) a a+ a- Puede ocurrir que al proyectar se obtengan deltas distintos, en ese caso se toma el menor.

x

DEFINICIN FORMAL Sea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene un a (puede que no est definida en a) y L un nmero real. La afirmacin lim f ( x ) = L

Si para todo nmero > 0 existe un nmero > 0 tal que para toda x: Si 0 < x a < 0 < f ( x) L < Teorema de Unicidad del Lmite: Si una funcin tiene lmite L en x = a, ste lmite es nico. Ejemplo 1: Determinar un para un dado

x a

Dado el lmite lim ( x + 1) = 2 , encontrar un tal que ( x + 1) 2 < 0.01 , siempre que 0 < x 1 < x 1

Solucin: Tal como lo establece la definicin formal de lmite, decir que lim f ( x) = 2 significa quex 1

> 0 , > 0 tal que: Si 0 < x a < 0 < f ( x) L < Se tiene que = 0.01 , se desea encontrar un > 0 que dependa de dicho , tal que:0 < x 1 < 0 < ( x + 1) 2 < 0.01

Trabajando la 2da. desigualdad: (x+1) 2 < 0.01 x+1 2 < 0.01 x 1 < 0.01 - 0.01 < x 1 < 0.01 Sumando 1 a cada trmino.. -0.01 + 1 < x < 0.01 + 1 resulta. 0.99 < x < 1.01

Es decir que cuando x asume un valor comprendido en el intervalo ]0.99,1.01[ , por ejemplo x = 1.005 x = 0.999, la funcin f ( x) = x + 1 asumir un valor f ( x) que dista de y = 2 en menos de 0.01 ( = 0.01 ). Adems el valor del es: = 1 0.99 = 1.01 1 = 0.01 = 0.01 . Esto se puede apreciar en la grficayy=x+1

2.01 2 1.99

0.99 1 1.01

x

Nota: = 0.01 es el mayor valor de que garantiza que ( x + 1) 2 < 0.01 , siempre que0 < x 1 < . Todo valor de menor a 0.01 tambin debe satisfacer dicha condicin.

Ejemplo 2: Determinar un para un dado

Sea la funcin f ( x) = x 2 , si = 0.3 , hallar un > 0 , en forma grfica y analtica que satisfaga la definicin formal de lmite 0 < x 2 < 0 < f ( x) 4 < 0.3 .Solucin: (a) Ntese que si x 2 , el lmite de f ( x) = x 2 , es L = 4 , es decir lim ( x 2 ) = 4x 2

f(x) = x2

L= 4

Siendo L= 4 y = 0.3 L- = 4-0.3=3.7 y L + = 4 +0.3 = 4.3 Como x > 0, entonces se buscan dos valores positivos de x tales que f(x1)=3.7 y f(x2) = 4.3, es decir x12 = 3.7 x2 2 = 4.3

x1 = 3.7 x1 = 1.9 2X=2

x2 = 4.3 x2 = 2.07

Entonces: 2-1.92= 0.08 y 2.07 2 = 0.07. Dado que 0.07< 0.08, se elige = 0.07 de modo que se tiene la proposicin: Si 0 < x 2 < 0.07 entonces f ( x) 4 < 0.3 . Cualquier nmero positivo menor que 0.07puede tomarse como la requerida.(b) Analticamente la eleccin del se puede hallar utilizando propiedades de desigualdades. Se desea hallar un > 0 tal que Si 0 < x 2 < 0.07 entonces f ( x) 4 < 0.3 (1)

0 < x 2 < 0.07 entonces x 2 4 < 0.3 0 < x 2 < 0.07 entonces x + 2 x 2 < 0.3

Ntese que en el lado derecho, adems de x 2 , se tiene el factor x + 2 . Por lo tanto se necesita tener una desigualdad que contenga a x + 2 , para logra esto se restringe la que se requiere, por ejemplo un

0.1 (lo cual parece razonable). Entonces 0 < x 2 < y 0.1 0 < x 2 < 0.1 0.1 < x 2 < 0.1 3.9 < x + 2 < 4.1 , se toma la cota mayor es decir 4.1 x + 2 < 4.1

As: Si 0 < x 2 < 0 < x 2 <

y y

0.1x + 2 4.1

x 2 x + 2 < (4.1)

Recordar que el objetivo es obtener la expresin (1), de modo que debe pedirse que 0.3 3 (4.1) 0.3 . 4.1 41 3 Ahora se tienen dos restricciones sobre : 0.1 y . Para que ambas restricciones se 41 3 3 3 cumplan, se toma = , el menor de los dos valores min 0.1, = . 41 41 41 3 Entonces el requerido es = 0.07 , que concuerda con el resultado de la parte (a). 41Ejemplo 3: Utilizar la definicin formal de lmite para comprobar que

lim ( 5 x 3) = 2x 1

Solucin: Se desea hallar un para cualquier dado. Se tiene que: a = 1, f(x) = 5x-3 y L = 2, entonces lim ( 5 x 3) = 2 , si > 0 , > 0 tal que: 0 < x a < 0 < f ( x) L < .x 1

Sustituyendo valores se tiene que:0 < x 1 < 0 < (5 x 3) 2 <

Puesto que la eleccin del depende del , es necesario establecer una relacin entre los valores absolutos x 1 y (5 x 3) 2 Utilizaremos la segunda desigualdad as: (5 x 3) 2 < 5 x 5 < 5 x 1 < , siendo 0 < x 1 < , entonces podemos tomar = . Si 0 < x 1 < = , entonces 5 5 5 (5 x 3) 2 = 5 x 5 = 5 x 1 < 5 = , lo que prueba que lim (5 x 3) = 2 . Nota: El valor = x 1 5 5 no es el nico que har que 0 < x 1 < 5 x 5 < . x 1 0 , > 0 tal que:

Si 0 < x a < 0 < f ( x) L < 0 < x (4) < 0 < x 2 16 < 0 < x + 4 < 0 < x 2 16 <

Tomando la segunda desigualdad, se tiene que: x 2 16 < ( x + 4 )( x 4 ) < x+4. x4 0, > 0tal que 0 < x 2 < 1 3 x 2 + 11 < 1 3x 2 + 11 = 3 x 2 + 12 = 3 4 x 2 = 3 2 x 2 + x = 3 x 2 x + 2 ..Acotando (x+2):Si 1 = 1 x 2 < 1 1 < x 2 < 1 3< x+20 15

Ejemplo 6: Utilizar la definicin formal de lmite para comprobar que Solucin: Se tiene que: a = 4, f(x) =

limx4

x =2

x y L = 2, entonces lim( x ) = 2 , si > 0 , > 0 tal que:x 4

0 < x a < 0 < f ( x) L <

0< x 4 < 0< Tomando la segunda desigualdad conjugada

x 2 2 x 2 x 2+ x 2+ x 2

lm f ( x ) = lm (4) = 4, lm f ( x ) = lm (6 + x ) = 4 lm f (x ) = 4x 2

Conclusin: Como lm f ( x ) = f (2) = 4 La funcin f (x) es continua en x = 2 .

Tipos de Discontinuidades. Discontinuidades RemoviblesVeamos por qu las siguientes funciones son discontinuas en el punto x = aA) Tiene ramas infinitas:

Este tipo de funciones se da de forma natural y el denominador se hace cero para x = a, por lo que hay una rama infinita en dicho punto Caractersticas lm f ( x ) no existex a

f(a) no esta definida

B) Presenta un salto:

14

Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente. Caractersticas

lm f ( x) no existex a

f (a) esta definida

C) No est definida (le falta un punto)

La funcin NO ES CONTINUA en x = a porque para ese valor se hace cero el denominador. Pero existe para el resto de valores de x. Solamente le falta un punto. Este tipo de funciones se da de forma "natural"Caractersticas

lm f ( x) existex a

f (a) no esta definidaD) El punto que le falta lo tiene desplazado

El punto (a,a) (en hueco) no pertenece a la funcin, se ha desplazado al punto (a,1) que s pertenece a la funcin. Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente Caractersticas lm f ( x) existex a

f (a ) esta definida lm f ( x)x a

f (a)

Discontinuidades Evitables Removibles Una discontinuidad es evitable en x = a, si lm f (x) existe. Tal es el caso de las ltimas dos situacionesxa

planteadas (literales C y D). si lm f (x) no existe, la discontinuidad no es removiblexa

Pata transformar una funcin discontinua en una funcin continua, es necesario redefinir la funcin original, de tal forma que lm f ( x) = f (a)x a

Ejercicio: Redefina la siguiente funcin de tal forma que sea continua: f ( x) =

x 2 + 9 x + 14 x+7

Definicin: f ( x) es continua en (a, b) f ( x) es continua para toda a < x < b Propiedades de continuidad 1 2

Continuidad de una funcin en un intervalo

15

La funcin polinomio es continua para todo nmero real, es decir es continua en el intervalo (, ) . La funcin racional (cociente de dos funciones polinomio), es discontinua slo para aquellos valores de x en donde el denominador es cero.x2 4 x2 4 = f ( x) es discontinua en x 2 + 2 x 15 ( x + 5 )( x 3)

Ejemplos 1f ( x) =

x = 5 y

x=3

2

o dicho de otra forma, es continua en los intervalos (,5), (5,3) y (3, ) x+2 Como no existe ningn valor de x tal que el denominador sea cero, la funcin no g ( x) = 2 x +9 tiene discontinuidades. Es decir, es continua en el intervalo ( , ) .h( x) = 4 x 3x 2 4 x 3x 2 4 x 3x 2 = = es discontinua en 2 x 16 x + 63 x x ( x 2 16 x + 63) x ( x 9 )( x 7 )3

3

x = 0,

x = 7 y x = 9 . Es decir es continua en los intervalos (,0), (0,7), (7,9) y (9, ) .4. El costo c, en dlares, por enviar un paquete es de $50 si pesa hasta 5 kgf, de $80 si su peso es mayor de 5 kgf y hasta 10 kgf, y de $(x + 70) si pesa ms de 10 kgf y hasta 50 kgf. Expresar la funcin del costo, analizar en qu puntos tiene discontinuidades y trazar su grfica.

si 0 < x 5 50 c( x) = 80 si 5 < x 10 x + 70 si 10 < x 50 Los nicos puntos de probable discontinuidad son el 5 y el 10:c(5) = 50;x 5

lm c( x) = 50, lm c( x) = 80 +x 5

lm c( x) no existe.x5140c

Por lo tanto la funcin es discontinua en x = 5 .c(10) = 80; lm c( x) = 80, lm+ c( x) = 80 lm c( x) = 80x 10 x 10 x 10

120

Por lo tanto la funcin es continua en x = 10 . Su representacin grfica es

100

80

60

40

20

G

10

20

30

40

50

x

6

Grfica del Costo

16

Clase No. 7: CONTINUIDAD APLICADA A RESOLUCIN DE DESIGUALDADESLa nocin de continuidad sirve para resolver desigualdades no lineales. La grfica de y = g(x), tiene como races de la ecuacin a los puntos de interseccin de la curva con el eje x. Si ri es una raz real de la ecuacin g(x) = 0, entonces g(r) = 0 y todos los ceros reales r1, r2 ,..., rk , determinan k +1 intervalos que deben ser analizados en sus signos para identificar los intervalos que cumplan con la desigualdad planteada, la cual podr ser del tipo g ( x) > 0, g ( x) < 0, g ( x) 0 y g ( x) 0 .

Desigualdades No Lineales:Las desigualdades Inecuaciones No Lineales, pueden ser Inecuaciones Polinomiales y Racionales. Para resolver estas desigualdades, se trasladan los trminos hacia un mismo lado de la desigualdad, se efectan las operaciones indicadas y se factoriza totalmente el polinomio, luego se obtienen los valores crticos, igualando a cero cada factor, con estos valores se forma el Cuadro de Variacin de signos.Cuadro de Variacin de Signos Ubicar los factores del polinomio en filas, dibujar tantas filas como factores. Luego ubique los valores crticos sobre el Cuadro, trace lneas verticales debajo de cada uno de estos nmeros de tal manera que queden todas las filas interceptadas. En cada fila despus de ubicar el cero respectivo en la interseccin de la fila con el valor crtico, escriba signos positivos en las casillas a la derecha del cero y signos negativos a izquierda del cero (si es un factor lineal con coeficiente de x positivo), pero haga lo contrario cuando vea que el coeficiente de la variable x sea negativo; adems si es un factor lineal elevado a potencia par, todos los signos del factor son positivos.

Inecuaciones Polinmicas: Son desigualdades en las que la variable est elevada a un exponentemayor que la unidad.2 Expresin general: Es cualquier inecuacin de la forma : a x b x + c < 0 , con a 0 o bien cualquier

otro polinomio de grado mayor. an x n + an 1 x n 1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 < 0 (Puede ser en vez de < 0, tambin >0, 0, 0. ).

Mtodo de resolucin: Descomponer factorialmente el polinomio, aplicando Ruffini, complitud decuadrados, etc. el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte. Ejemplo1) Resolver la inecuacin 2 x 2 15 x 8 Solucin: 2 x 2 15 x 8 0 ( x 8)(2 x + 1) 0Valores crti cos son : x 8 = 0 x = 8 y 2x + 1 = 0 ; x = 1 2

Nmeros crticos son: 8 y -1/2

17 Cuadro de variacin de Signos: + -1/2 8 X-8 + 2x + 1 + + ( X - 8)( 2x + 1) + + Siendo la desigualdad del tipo 0 , el Conjunto Solucin ( CS ) est formado por los intervalos finales Respuesta: CS : ] , 1/ 2] [8 , + [ donde el signo es.: + 2) Resolver 2x 2 < 3 5x , R/ La solucin ser el intervalo indicado, donde el signo del producto es negativo.

Como la desigualdad es estricta, el intervalo ser abierto.

Respuesta: CS = 3, 1

(

2

).

3) Resolver x 3 2x 2 x 2 + 2x x 3 x 2 2x 0 , descomponiendo factorialmente x 3 x 2 2x = x ( x 2 x 2 ) = x ( x + 1) ( x 2 ) , y pasamos a la inecuacin x ( x + 1) ( x 2 ) 0 . En

este caso tenemos tres factores. Ahora la solucin, adems de los intervalos, por no ser una desigualdad estricta, debemos incluir los Respuesta: CS: ( , 1] [ 0, 2] . extremos de los mismos, as, la solucin ser

Inecuaciones fraccionarias Racionales: Son desigualdades en las que se tiene una fraccinalgebraica formando parte de la misma. Est constituida por el cociente de dos polinomios. P( x) > 0 , aunque tambin se pueden tener desigualdades del tipo : < 0 ; 0 ; 0 Q( x)

Expresin general: Son del tipoax + b cx + d

ax + b cx + d

0 , o todas sus equivalentes

ax + b cx + d

0, o

< 0 , etc. y de grados mayores que uno.

Mtodo de resolucin: Descomponer factorialmente los polinomios numerador y denominador,aplicando Ruffini, o bien factoreo (si es posible)Ejemplos:2 1) Resolver la Inecuacin 3x + 8 x 2 4 0

x( x 4)

Solucin:3 x 2 + 8 x 4 0 x( x 4) 2

( 3x 2 )( 2 x ) 0 2 x ( x 4)Nmeros Valores crticos de x son: 2/3, 2, 4, 0. Ordenando estos valores, se forma el Cuadro de Variacin de Signos.

18 Cuadro de Variacin de Signos:

3X-2 2-X X (X-4)2 + +

0 + + +

2/3+ + + +

2+ + +

4 + + + -

+

( 3X - 2 )( 2 - X ) 0 2 X ( X - 4)

+

-

+

-

Siendo la desigualdad del tipo 0 , el Conjunto Solucin ( CS ) est formado por los intervalos finales donde el signo es.: + Nota: Los valores crticos del denominador, nunca se incluyen como extremos del intervalo en el CS, los valores crticos del numerador se incluirn como extremos en el intervalo del CS ssi la desigualdad es no estricta ( 0, o bien 0 )2 Respuesta: C. S. = 0, 2 [2,4 ) (4, ) , que se puede escribir tambin as: 0, [ 2, 4 [ ] 4, [ 3 3

x ( x 1) factores, solo hay que construir la tabla de los signos, as: Respuesta: Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los lmites o extremos de los intervalos en la misma, as pues la solucin ser ( 2, 0 ) (1, ) .

2) Resolver

x+2

> 0 , en este caso ya tenemos el numerador y el denominador descompuestos en

0 625 < 25 r2

] , 5]

]2, + [

R/ C.S: = ], 5[ ]5, + [ , es decir r > 5 R/ CS = ( - , - 3 ) y ( 0 , 3 ) R/ CS= R/ CS = [ 5 , 10 ] R/ CS = 2 - - ,3 3

5.) x 3 - 9 x < 0 x+6 6.) x x+3

- [ -6 , 3 ]8.)

2x 1 >2 x+5

R/ CS= ] - , -5 [

10) ( x 3) 2 ( x + 2) 2 < 5

Clase No. 8 - 9: DERIVADASyyy

Q Q Px

QP ( x1 , y1 )

Q ( x2 , y2 )

y

Px

xFigura 3

x

Figura 1Definiciones:

Figura 2

Lnea secante: Es la lnea que intercepta la curva en dos o ms puntos (Fig. 1). Lnea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la lnea resultante de la posicin lmite de las lneas secantes PQ , siendo Q un punto de la curva acercndose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Fig. 2).

Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la lnea tangente a la curva en el punto P. Clculo de la pendiente de una curva y = f (x) en un punto P ( x1 , y1 ) :

20

Haciendo referencia a la Figura 3, sea h = x = x2 x1 , entonces x2 = x1 + h . Ahora bien: y = y2 y1 = f ( x2 ) f ( x1 ) = f ( x1 + h) f ( x1 ) . Por tanto por las definiciones anteriores, se tiene que: m p = lm f ( x1 + h) f ( x1 ) y = lm x 0 x h 0 h

Ejemplos. Encontrar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto indicado:

1

f ( x) = x 2 + 3;

2

(2 + h ) + 3 7 = lm h2 + 4h = lm(h + 4) = 4 f (2 + h) f (2) m p = lm = lm h 0 h 0 h 0 h 0 h h h 4 y= ; P(3,2 ) : x 1 4 2 f (3 + h) f (3) 4 2(2 + h) 2h 2 2+h m p = lm = lm = lm = lm = lm = 1 h 0 h0 h0 h 0 h( 2 + h) h0 2 + h h h h( 2 + h)2

P(2,7 ) :

[

]

3

y = x + 5;

P(4,3) :

Sol.: m p =

1 6

Definiciones:Derivada de una funcin f (x) : Es la funcin denotada por f (x) y definida por:

f ( x + h) f ( x ) h 0 h siempre que el lmite exista. Geomtricamente representa la pendiente de la lnea tangente a la curva en cualquier punto de la misma. f ( x) = lmFuncin diferenciable: Una funcin cuya derivada existe dentro de su dominio. Diferenciacin: El proceso de encontrar la derivada de una funcin. Diferentes formas de representar la derivada de una funcin y = f (x) : d [ f ( x)]; dy ; y ; Dx y ; Dx [ f ( x)] , y en el punto P( x1 , y1 ) : f ( x1 ) ; dy f ( x) ; dx dx dx

x = x1

; y( x1 )

Ejemplos. Encontrar las derivadas de las siguientes funciones usando la definicin (Regla de los cuatro pasos): 1. Encontrar la derivada de: p = 2q 2 3q + 5

p = f (q )

2 ( q + h )2 3 ( q + h ) + 5 ( 2q 2 3q + 5 ) dp f ( q + h) f (q ) = lm = lm h0 dq h 0 h h = lmh0

21

h ( 4q + 2h 3 ) 2q 2 + 4qh + 2h 2 3q 3h + 5 2q 2 + 3q 5 = lm = 4q 3 h 0 h h3 3

2.

[(x + h ) + 4] (x f ( x) = lmh 0

f ( x) = x3 + 4

+4

3.

f ( x) = 2 x f ( x) = lm

h en x = 2

) = lm x

+ 3x 2h + 3xh 2 + h3 + 4 x3 4 = lm 3x 2 + 3xh + h 2 = 3x 2 h 0 h 0 h y x=23

(

)

2 (x + h ) 2 x 2 xh 2 x 2 xh + 2 x = lm h 0 h 0 h h 2 xh + 2 x (2 x h ) (2 x ) = lm h 1 1 = lm = lm = h0 h h 0 h h0 2 xh + 2 x 2 xh + 2 x 2 xh + 2 x 2 2 x 1 1 1 f (2) = no est definida (no es diferenciable) f (2) = = 4 0 2 4

(

(

)(

)

)

(

)

(

)

Ecuacin de la recta tangente a una curva y = f (x) en un punto dado P(x1 , y 1 ) :Pasos: 1 Encontrar f ( x1 ) que es la pendiente de la curva en el punto P( x1 , y1 ) , es decir la pendiente de la lnea tangente a la curva en ese punto.

Aplicar la expresin para encontrar la ecuacin de una recta en su forma punto - pendiente: y y1 = m( x x1 ) . 6 Ejemplo: Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva y = en el punto P(2,3) . x 6 6 dy f ( x + h) f ( x ) x + h x = lm 6 x 6( x + h) = lm 6 = 6 = lm = lm h 0 h0 h 0 x ( x + h) dx h 0 h h hx ( x + h) x2 dy 3 3 3 = m; y 3 = ( x 2) y = x + 6 tambin 3 x + 2 y 12 = 0 x=2 = dx 2 2 22

Clase No. 10: REGLAS DE DIFERENCIACIN:Hiptesis: f ( x) y g ( x) son funciones diferenciables; c es una constante y n un nmero real. 1. Dx (c) = 0 4. Dx [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x) + g ( x) 2. 3. Dx ( x n ) = nx n 1 Dx [cf ( x)] = cf ( x) 5. Dx [ f ( x) g ( x) ] = f ( x) g ( x)

Ejemplos: Hallar en cada caso la primer derivada de las siguientes funciones 1

f ( x) = 2 x3 5 x 2 + 7

f ( x) = 2 Dx ( x 3 ) 5 Dx ( x 2 ) + Dx (7) = 2(3 x 2 ) 5(2 x) + 0 = 6 x 2 10 x

2 3

dy 1 1 = Dx (3) + Dx ( x1/ 3 ) = 0 + x 2 / 3 = y = 3+ 3 x dx 3 3 3 x2 3 4 + g ( x) = 5 Dx ( x1/ 2 ) 3Dx ( x 1/ 2 ) + 4 Dx ( x 2 / 3 ) g ( x) = 5 x 3 2 x x 5 3 2 1 1 2 g ( x) = 5 x 1 / 2 3 x 3 / 2 + 4 x 5 / 3 = + 2 2 3 2 x 2 x 3 33 x 5

22

4

7 h( p ) = 5 p 3 p 2 + 2 p .Se p

pide evaluar h (1)

3 1 h( p) = 15D p ( p 3 ) + 10 D p ( p 3 / 2 ) 35 D p ( p 1/ 2 ) = 15(3 p 2 ) + 10 p 1/ 2 35 p 3 / 2 2 2 35 35 155 h( p) = 45 p 2 + 15 p + h (1) = 45 + 15 + = 2 2 2 p35

Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva:

4x 2 6 en x = 2 2x 3 3 11 y = 2 x 3x 1 y = 2 3( x 2 ) = 2 + 2 y (2) = 2 + = = m 4 4 x 16 6 5 5 11 11 si x = 2, y = = y = ( x 2) y = x 3 o 11x 4 y 12 = 0 4 2 2 4 4 y=

Clase No. 11: LA DERIVADA COMO RAZN DE CAMBIO. y x es la razn de cambio promedio de y con respecto a x en [ x, x + x ] Definicin: si y = f ( x) dy = lm y es la razn de cambio ins tan tnea de y con respecto a x dx x 0 x El intervalo [x, x + x ] se puede representar tambin como [x1 , x 2 ] , en donde x 2 = x1 + x . As y = y 2 y1 = f ( x 2 ) f ( x1 ) = f ( x1 + x) f ( x1 ) La razn de cambio instantnea se abrevia simplemente como razn de cambio = f (x) .Ejemplo 1: Dada la funcin la funcin f(x) = 3x2+1. Determinar: a) la razn de cambio promedio en el intervalo de valores de x [3, 7] b) la razn de cambio de y con respecto a x c) Qu tan rpido cambia y con respecto a x, cuando x= 4 Solucin

y y2 y1 = , as que lo que tenemos que hallar son x x2 x1 los valores de x (incremento en x) y y (incremento en y), sabiendo que x = x2 x1 Y y = y2 y1 . Siendo. x1 = 3 Y x2 = 7 , as que x = x2 x1 x = 7 3 x = 4a) La razn de cambio promedio se define como

Siendo y = 3x +1, entonces y1 = 3 ( 3) + 1 y1 = 27 + 1 y1 = 282

23

y2 = 3 ( 7 ) + 1 y1 = 147 + 1 y1 = 1482

y = y2 y1 y = 148 28 y = 120 y y 120 finalmente como la razn de cambio promedio ser: = = 30 x x 4 dy d b) = f ( x) = ( 3x 2 + 1) = 6 x dx dx dy c) = f (4) = 6(4) = 24 dx x = 4 s = vm , representa la velocidad promedio de t1 a t 2 Ejemplo 2: Si s = f (t ) t f (t + t ) f (t ) ds s = lm = = v , es la velocidad instantnea para cualquier valor de t. y lm t 0 t t 0 t dt Si la ecuacin de un mvil viene dada por s = 2t 2 + 1 (s en metros y t en segundos), la velocidad s s2 s1 51 9 42 = = = = 14 m / s y la velocidad instantnea para promedio de 2 a 5 segundos es: vm = t t2 t1 52 3 ds cualquier valor de t es: v = = 4t m / s . Para t = 2 y para t = 5 las velocidades son: dt v(2) = 8 m / s , v(5) = 20 m / s .

Interpretacin de la derivada como razn de cambio: y dy dy Si x 0 (es decir, es "muy pequeo") y x y si x = 1 y dy . x dx dx dxPor tanto dy representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x. dx

Ejemplo: Si p = 500 2q 2 es la ecuacin de la demanda del producto de un fabricante, donde q es el nmero de artculos demandados y p es su precio unitario en dlares. Determinar qu tan rpido est cambiando el precio del artculo con respecto a los artculos demandados, cuando stos son 5. dp dp = 4q = 4( 5 ) = 20 . Es decir, cuando se demandan 5 artculos, al incrementar la dq dq q =5

demanda en un artculo el precio del mismo disminuye en 20 dlares.Ejercicios: 1. Determina la razn de cambio promedio de la funcin. a)

f ( x ) = 5 x 2 + 2 x 6 en el intervalo de valores de x [1, 4]

Sol.:

b) f ( x ) = 2 x + 5 en el intervalo de valores de x [2, 8 ] 2. Si f ( x ) =

y 85 = = 17 x 5 y 2 1 Sol.: = = x 6 3

x2 + 5 , hallar . x3Sol.:y 20 = =4 x 5

a) La razn de cambio promedio en el intervalo [5, 10]

b) La razn de cambio instantneo para x= 2

dy Sol.: dx

24x=2

= f (2) = 13

3. Debido a la depreciacin, el valor P de cierta maquinaria despus de t aos est dada por: P = 800, 000 60, 000t , donde 0 t 10 . Determinar que tan rpido cambia P con respecto a t a los

2 y a los 3 aos.

R/

dP = 60, 000 y dt t = 2

dP = 60, 000 , es decir, se deprecia o disminuye su dt t =3

valor a razn constante de $ 60,000 / ao.4. El volumen V de cierto gas vara con la presin P de acuerdo con la ecuacin: P =

la razn de cambio de P con respecto a V, cuando V = 10 . R/ dP = 2 , es decir, la presin disminuye a razn de 2 unidades de presin, por cada unidad dedVv =10

200 . Determinar V

volumen adicional.

Aplicaciones de la razn de cambio a la economa Costo marginal.- Es la razn de cambio del costo total con respecto al nmero de artculos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida). dc = f (q) es la funcin del Si c = f (q ) es la funcin del costo total de produccin de q artculos dq costo marginal. El costo total est dado por: c = c F + cV , es decir la suma de los costos fijos y los costos variables. c c = cq El costo medio unitario de produccin de q artculos est dado por: c = q 100,000 Ejemplo: El costo medio unitario en la produccin de q unidades es c = 0.002q 2 0.4q + 50 + . q Determinar: a) La ecuacin del costo marginal b) El costo marginal para producir 40 unidades. Solucin: dc = 0.006q 2 0.8q + 50 a) c = cq = 0.002q 3 0.4q 2 + 50q + 100, 000 dqb) dcdq q = 40 = 9.6 32 + 50 = $27.60 / unidad adicional producida

Ejercicio: El costo total en dlares de produccin de q libras de cierta sustancia qumica est dado por: c = 45 + 5q 2 . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia. Solucin:dc dc = 10 q = 30 , es decir, si la produccin se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se dq dq q =3

incrementa 30 dlares.

Ingreso marginal.- Es la razn de cambio del valor total recibido con respecto al nmero deunidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional producida).

25 dr = f (q) es la funcin Si r = f (q ) es la funcin del ingreso total por la venta de q unidades dq del ingreso marginal. Ingreso = (precio unitario)(No. de unidades vendidas) : r = pq Ejemplo: Un fabricante vende un producto a 3q + 50 $ /unidad. Determinar la ecuacin del ingreso marginal y el ingreso marginal para q = 100 .r = ( 3q + 50 ) q = 3q 2 + 50q dr dr = 6q + 50 $650 / por unidad adicional vendida dq dq q =100

5,000 , en q + 25 donde q son los artculos demandados y p es el precio de cada artculo. Determinar la funcin del ingreso marginal y evaluarla cuando q = 100.Ejercicio: La ecuacin de la demanda del producto de un fabricante est dada por:

p=

R/ r = pq = 5, 000q dr = 125, 0002 q + 25 dq

( q + 25 )

dr = 8 . Es decir que, vender un artculo adicional ms dq Q =100

all de 100, proporciona aproximadamente $8 ms de ingreso.Razones de cambio relativas y porcentuales: dy dx = f ( x) f ( x) y f ( x) (100 ) f ( x)

Si y = f ( x)

se denomina razn de cambio relativa se denomina razn de cambio porcentual

Ejemplo 1: El ingreso recibido por la venta de q unidades est dado por: r = 300q 3q 2 . Determinar. a) la razn de cambio relativa del ingreso con respeto a la cantidad b) la razn de cambio porcentual del ingreso, para q = 20 . Solucin dr a) = 300 6q dq b)dr = 300 6(20) = 180 y como r (20) = 300(20 3(400) = 4,800 se tiene que: dq q = 20

dr

dq rq = 20

=

180 = 0.0375 = 3.75% , es decir, si se vende una unidad adicional a 20, el ingreso 4,800

aumenta aproximadamente en un 3.75%.Ejemplo 2: Si el producto nacional bruto (PNB) de un pas era p(t) = t2 +5t +100 miles de millones de dlares t aos despus de 2000. a) El ritmo al que estaba cambiando el PNB en 2005 b) La razn porcentual de cambio PNB en 20055 es:

26 Solucin a) P(5) = 2.5 + 5 = 15 (miles de millones de dlares por ao). b) p( 5 ) i( 100 ) = 15 i( 100 ) = 10% por ao p( 5 ) 150 En este caso esta informacin es mucho ms relevante que la que pueden brindar las otras razones de cambio y permite efectuar comparaciones tiles. Ejercicio: El costo total en $ por producir q unidades es: c = 4q 2 + 40q + 50 . Determinar. a) La razn de cambio de c con respecto a q cuando se producen 20 unidades. b) La razn de cambio porcentual del costo para q= 20 c) La razn de cambio promedio cuando la produccin se incrementa de 20 a 30 unidades. R/ a) c)

dc dc / dq = 160 + 40 = $200 /unidad adicional producida. b) = 8.16% dq q = 20 c q = 20 c = 240 $ /unidad adic. q

Clase No. 12: DERIVADAS LATERALES. DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD. Derivadas LateralesSi el lmite que define a la derivada lo tomamos solamente por la derecha por la izquierda, obtenemos las derivadas laterales.Definicin: Se llaman derivadas por la derecha por la izquierda, respectivamente, a los siguientes lmites si existen y son finitos: f ( x) f ( x0 ) f ( x0 + h) f ( x0 ) = lim+ Derivada por la derecha de x0 : f ( x0 + ) = lim+ x x0 h 0 x x0 h

Derivada por la izquierda de x0 :

f ( x0 ) = limx x0

f ( x) f ( x0 ) f ( x0 + h) f ( x0 ) = lim h 0 x x0 h

Para que la funcin f ( x) sea derivable en x = x0 , las dos derivadas laterales deben de coincidir

Diferenciabilidad y ContinuidadTeorema: Si f(x) es diferenciable en x = a f(x) es continua en x = a

Como consecuencia una funcin que es discontinua en x = a, no puede ser diferenciable en x = a . Es importante hacer notar que, si bien la diferenciabilidad en un punto implica continuidad en ese punto, la continuidad en un punto no implica diferenciabilidad en dicho punto.

Ejemplo: Calcular las derivadas laterales de la funcin valor absoluto f ( x) = x en el origen de coordenadas Grfica: f ( x) = x Solucin Siendo f ( x) = x , se obtendrn las derivadas laterales en x = 0x 0 x x f ( x) f (0) = lim+ = lim+ = lim+ = 1 x x0 x 0 x 0 x x 0 x x0 x ; x 0 x x f ( x) f (0) f (0 ) = lim = lim = lim = lim = 1 x x0 x 0 x 0 x x 0 x0 x x Conclusin: La funcin f ( x) = x , no es derivable en el origen f (0+ ) = lim+4 3 2 1

y 3

27

2

1

x 1 2 3 4 5

1

Como

f (0+ ) f (0 ) 1 1

Nota: Si se analiza la Continuidad de f ( x) = x , en x = 0, se tiene que: a) f (0) = 0 = 0 . f (o) est definida

lim x = lim ( x) = 0 x 0 x 0 b) lim f ( x) = lim x = . x 0 x 0 lim lim x 0+ x = x 0+ ( x ) = 0 Como lim x = lim x = 0 lim f ( x) = 0 +x 0 x 0 x 0

Existe lmitec) lim f ( x) = f (0) = 0x 0

f ( x) = x

es Continua en x = 0

Este es un caso de una funcin continua en un punto, pero que no es derivable en l (La continuidad no implica derivabilidad).Ejercicios: 1. Comprobar analticamente que la funcin f ( x) = x 2 4 es continua en x = 2 , pero no es derivable

en dicho punto. En qu otro punto tampoco ser derivable? Comprobar dichos resultados grficamente. 2. Comprobar que la funcin f ( x) = 3 x es continua en el punto x = 0 , pero no es derivable en dicho punto. x 2 5 x + m , si x 1 sea derivable en todo . 3. Calcular m y n para que la funcin f ( x) = 2 si x > 1 x + nx , 4. Se sabe que la funcin f: ]1,1[

definida por f ( x) =

en el intervalo

]1,1[ ,

1 x + k si 2 si 1 x 2 x2

1 < x < 0 0 x f ( x2 ) En la grfica 1 se puede ver que la funcin es creciente en (, a) y en (b, ) , y decreciente en (a, b) .

a

b

c Grfica 1

Criterios para determinar si una funcin es creciente o decreciente: f ( x) > 0 x I f x Si f ( x) es diferenciable en I = (a, b) y si f ( x) < 0 x I f x

e s c r e ci e n t e e n I e s d e c r e ci e n t e e n I

Ejemplo: Determinar para qu valores de x la siguiente funcin es creciente o decreciente. f ( x) = x 4 x + 3 . Derivando la funcin se obtiene: f ( x) = 2 x 4 = 2( x 2) . Analizando la derivada, se tiene que:

si x < 2 f ( x) < 0 f ( x) es decreciente si x > 2 f ( x) > 0 f ( x) es creciente En la grfica 2 se pueden comprobar estos resultados.

Grfica 2

Valores crticos: Valores de x, dentro del dominio de la funcin, en donde la derivada es cero o en donde la derivada no existe (es decir, no est definida). Haciendo referencia a la grfica 1, a, b y c son valores crticos: en x = a y en x = c la derivada es cero y en x = b, la derivada no existe. Haciendo referencia a la grfica 2, existe un solo valor crtico: x = 2 (ah la derivada es cero). El punto correspondiente a un valor crtico, en la grfica de una funcin, se llama punto crtico. En la grfica 2 el punto P (2, 1) es un punto crtico. Extremos relativos: Valores mximos o mnimos locales de una funcin dentro de su dominio. Definicin: Sea I un intervalo abierto (generalmente muy pequeo) que contenga al punto x0 . f ( x0 ) es mx imo local o relativo de f (0x) f ( x ) f ( x) x en I Se dice que: 0 f ( x0 ) es mn imo local o relativo de f ( x) f ( x ) f ( x) x en I Haciendo referencia a la grfica 1, f(a) es mximo relativo, f(b) es mnimo relativo y f(c) no es ni mximo ni mnimo relativo.

Criterios para determinar los extremos relativos de una funcin: Sea f(x) continua en un intervalo abierto que contenga al valor crtico x0 .

1 2

3

40 Si la funcin tiene extremos relativos, necesariamente ocurren en los valores crticos. Haciendo referencia a la grfica 1, existen extremos relativos en x = a y en x = b . Si la derivada de la funcin cambia de signo al pasar por un valor crtico, necesariamente ah existe un extremo relativo; si no lo hace, no tiene extremo relativo en ese valor crtico. Haciendo referencia a la grfica 1, no existe extremo relativo en x = c . Por tanto, no necesariamente en todos los valores crticos de la funcin existen extremos relativos. Si por la izquierda de un valor crtico x0 , la derivada es positiva (es decir, la funcin es creciente) y por la derecha la derivada es negativa (es decir, la funcin es decreciente), entonces f ( x 0 ) es un mximo relativo de la funcin. Si por la izquierda de un valor crtico x0 , la derivada es negativa (es decir, la funcin es decreciente) y por la derecha la derivada es positiva (es decir, la funcin es creciente), entonces f ( x0 ) es un mnimo relativo de la funcin. Haciendo referencia a la grfica 1, esto se puede constatar.

Con esta informacin que nos proporciona la primera derivada de una funcin, se puede hacer un esbozo de la grfica de la funcin.Ejemplos. Hacer un anlisis mediante la primera derivada, para bosquejar las grficas de las siguientes funciones: 5 y = x2/3 x . 1 La funcin es continua para todo nmero real. 2

2(5 / 2 x) 3 x + 5 2 x 5 5 x 5(1 x) 5 2 = = 3 = 3 y = x 2 / 3 (1) + x x 1 / 3 = x 2 / 3 + 3x1 / 3 3 x1 / 3 3 x 3 x 2 3Se observa que la derivada es cero en x = 1 y que la derivada no existe en x = 0 . Por lo tanto x = 0 y x = 1 son valores crticos. Ahora los analizaremos por la izquierda y derecha: 5(+ ) Si x < 0 f ( x) = < 0 f ( x) es decreciente 3() 5(+) Si 0 < x < 1 f ( x) = > 0 f ( x) es creciente 3(+ ) 5() Si x > 1 f ( x) = < 0 f ( x) es decreciente 3(+) Por lo tanto, existe un mnimo relativo en x = 0 . Al sustituir este valor en la funcin original obtenemos y = 0 que es el valor mnimo relativo en la grfica de la funcin: Pmnimo (0, 0) . Existe tambin un mximo relativo en x = 1 y su valor es y = 3 / 2 . El punto mximo relativo en la grfica de la funcin es PMximo (1,3 / 2) . La grfica 3 muestra los resultados del anlisis de la funcin a travs de su primera derivada. x 3 f ( x) = , x 2 . La funcin es discontinua en x = 2 x2 ( x 2)(2 x ) ( x 3) = 2 x 4 x x + 3 = x 4 x + 3 = ( x 3)( x 1) f ( x) = ( x 2 )2 ( x 2 )2 ( x 2 )2 ( x 2 )2 Grfica 3y = x 2 / 3 (5 / 2 x )

2

41 Valores crticos: x = 1 y x = 3 . En x = 2 , la derivada no existe; sin embargo no es un valor crtico debido a que la funcin tampoco existe en ese punto, donde se presenta una discontinuidad. Por esta razn, an cuando el 2 no sea un valor crtico es necesario considerarlo en el siguiente anlisis: ()() Si x < 1 f ( x) = > 0 f ( x) es creciente (+) ()(+) Si 1 < x < 2 f ( x) = < 0 f ( x) es decreciente (+) (+)(+) Si 2 < x < 3 f ( x) = < 0 f ( x) es decreciente , entonces: (+) Existe un mximo relativo en x = 1 y su valor es f (1) = 2 punto crtico mximo PMximo (1, 2) . x 3 Como lm f ( x) = y lm+ f ( x) = , la funcin tiene una f ( x ) = x 2

discontinuidad infinita en x = 2 Existe un mnimo relativo en x = 3 y su valor es f (3) = 6 punto crtico mnimo Pmnimo (3, 6) . La grfica 4 al muestra los resultados de este anlisis.3

x2

x2

Grfica 4

3

f ( x) = ( x + 2) 2 . La funcin es continua para todo nmero real. 2 f ( x) = 3( x + 2) . Existe un solo valor crtico: x = 2 3 f ( x) = ( x + 2 ) 3 Si x < 2 f ( x) > 0 f ( x) es creciente Si x > 2 f ( x) > 0 f ( x) es creciente Por lo tanto, no existe un extremo relativo en el punto crtico P (2,3) . La grfica 5 muestra estos resultados. Grfica 5

4 Problema de Aplicacin: Para el producto de un fabricante la funcin ingreso est dada por r = 240q + 57q q 3 . Determine la produccin para obtener un ingreso mximo.

La funcin es continua para todo nmero real, ya que se trata de una funcin polinomio r = 240 + 114q 3q = 3(q 38q 80) = 3(q 40 )(q + 2 ) . Valores crticos: q = 2 y q = 40 . El valor negativo no tiene sentido en el problema, ya que el dominio de la funcin es q 0 . Si 0 q < 40 r = 3()(+ ) > 0 r es creciente Si q > 40 r = 3(+)(+) < 0 r es decreciente Por lo tanto para que el ingreso sea mximo, la produccin debe ser de 40 unidades. El ingreso mximo es de 36,800, que est representado en la grfica 6 por el punto PMximo (40,36800) .4 0 00 0 .0

3 0 00 0 .0

2 0 00 0 .0

r = 240q + 57 q q 3

1 0 00 0 .0

-1 0.0

1 0.0

2 0.0

3 0.0

4 0.0

50 .0

60 .0

70

Grfica 6

42

Clase No. 26: EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCINExtremos absolutos: Son los valores ms grande y ms pequeo de una funcin en un intervalo dado, si es que existen. Definicin: Sea I un intervalo cualesquiera que contenga a x0 . Se dice que: f ( x0 ) es mximo absoluto de f ( x) en I f ( x0 ) f ( x) x en I f ( x0 ) es mnimo absoluto de f ( x) en I f ( x0 ) f ( x) x en I

Grfica 1

a b c Grfica 2

a b Grfica 3

c Grfica 4

En la grfica 1 f (a) es mnimo absoluto de f ( x) en el intervalo ( , ) . No tiene mximo absoluto porque la funcin viene del infinito y se va al infinito. En la grfica 2 f (b) es mximo absoluto de f ( x) en el intervalo ( a, c ) . No tiene mnimo absoluto porque no est definida la funcin en a y en c. Es decir cada vez que x est ms cerca de a por su derecha, la funcin est ms cerca de f (a) , pero nunca llega a tomar ese valor. Lo mismo sucede cuando x est cada vez ms cerca c por su izquierda. En la grfica 3 f (b) es mnimo absoluto y f (c) es mximo absoluto de f ( x) en [ a, c ] . En la grfica 4 la funcin no tiene ni mximo ni mnimo absolutos porque viene del menos infinito, se va al infinito, regresa del menos infinito y finalmente se va al infinito.Teorema del valor extremo: Si una funcin es continua en un intervalo cerrado, entonces la funcin tiene necesariamente un valor mximo y un valor mnimo absolutos en ese intervalo.

a b c Grfica 1

d

a b c d Grfica 2

a

b c d Grfica 3

En la grfica 1 f (c) es mnimo absoluto y f (d ) es mximo absoluto de f ( x) en el intervalo [ a, d ] . En la grfica 2 f (b) es mnimo absoluto y f (c) es mximo absoluto de f ( x) en el intervalo [ a, d ] . En la grfica 3 f (a) es mnimo absoluto y f (d ) es mximo absoluto de f ( x) en el intervalo [ a, d ] .

Se puede observar que los extremos absolutos en un intervalo cerrado ocurren o en los valores crticos de la funcin en ese intervalo o en los extremos de dicho intervalo.

43

Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una funcin en un intervalo cerrado: Sea f(x) continua en un intervalo cerrado [ a, b ] . 1.- Se obtienen los valores crticos de la funcin. 2.- Se evala la funcin en los valores crticos que pertenecen al intervalo cerrado y tambin en los extremos del intervalo. 3.- Se seleccionan, de entre estos valores, el valor ms grande y el valor ms pequeo de la funcin, los cuales sern respectivamente el mximo absoluto y el mnimo absoluto de esta en el intervalo cerrado dado. Ejemplos. Determinar los extremos absolutos de la funcin en los intervalos dados: 1f ( x) = x 2 2 x + 3;

[ 1,3]f (1) = (1) 2 2(1) + 3 = 2; f (3) = (3) 2 2(3) + 3 = 6 .

f ( x) = 2 x 2 = 2( x 1) . Valor crtico x = 1 , el cual pertenece al intervalo dado.f ( 1) = (1) 2 2(1) + 3 = 6;

Por lo tanto el valor mximo absoluto de la funcin en el intervalo dado es 6 y el valor mnimo absoluto de la funcin en ese intervalo es 2.2f ( x) = 2 x 2 / 3 ; [1,8] ,

[ 1,8] .

La funcin se puede representar como f ( x) = 2 3 x 2 , la cual existe y es continua para toda x real.f ( x) = 4 1/ 3 4 x = 3 . Valor crtico x = 0 . Este valor crtico no se encuentra en el intervalo [1,8] , pero 3 3 x

s en el intervalo [ 1,8] . Por lo tanto: Para el intervalo [1,8] , evaluamos la funcin slo en los extremos del intervalo:f (1) = 2 3 (1) 2 = 2; f (8) = 2 3 (8) 2 = 8

As que 2 es el mnimo absoluto y 8 es el mximo absoluto de la funcin en ese intervalo. Para el intervalo [ 1,8] , f ( 1) = 2 3 (1)2 = 2; f (0) = 2 3 0 = 0; f (8) = 2 3 (8) 2 = 8 As que 0 es el mnimo absoluto y 8 es el mximo absoluto de la funcin para este intervalo.3f ( x) = 5x ; [ 3, 4] . x +4 ( x 2 + 4 ) (5) 5x(2 x)2

f ( x) =

(x

2

+ 4)

2

=

5 x 2 + 20 10 x 2

(x

2

+ 4)

2

=

20 5 x 2

(x

2

+ 4)

2

=

5 ( 4 x2 )

(x

2

+ 4)

2

=

5 ( 2 x )( 2 + x )

(x

2

+ 4)

2

.

Valores crticos: x = 2; x = 2 , ambos pertenecen al intervalo dado. Por lo tanto evaluamos:f ( 3) = 15 ; 13 f (2) = 10 5 = ; 8 2 f (2) = 10 5 = ; 8 2 f (4) = 20 =1 20

As que -5/2 es el mnimo absoluto y 5/2 es el mximo absoluto de la funcin ese intervalo.

Relacin de los extremos absolutos con los extremos relativos de una funcin:Si una funcin tiene slo un extremo relativo en un intervalo dado, entonces tambin es extremo absoluto en ese intervalo. Es decir, si f (a) es un mnimo relativo de la funcin en un intervalo, y es nico

44 (no hay mximo relativo), entonces f (a) es mnimo absoluto en el intervalo. Si f (a) es un mximo relativo de la funcin en un intervalo, y es nico (no hay mnimo relativo), entonces f (a) es mximo absoluto. Ejemplos: Cierta compaa ofrece un seminario sobre tcnicas de administracin. Si la cuota es de 600 dlares por persona, asisten al seminario 1,000 personas. Pero por cada disminucin de 20 dlares en la cuota, asisten 100 personas ms. Sin embargo, debido a recursos limitados, es posible recibir a lo ms 2,500 personas. Calcular cul es el nmero de personas que proporcionaran un ingreso mximo a la compaa, cul sera el ingreso mximo y cul sera la cuota que se cobrara a las personas por asistir al seminario. Sea n el nmero de disminuciones de $20 en la cuota de asistencia al seminario. Entonces la cuota por persona y el nmero de personas que asistirn sern: Cuota por persona: p = 600 20n Nmero de personas: x = 1,000 + 100n El mximo nmero de personas es 2,500. Por lo tanto 1,000 + 100n 2500 n 15 . Es decir, el nmero de disminuciones de $20 en la cuota, no debe de exceder de 15. Ingreso = (cuota por persona) (nmero de personas). Es decir R = px. R (n) = (600 20n)(1,000 + 100n) = 600,000 + 60,000n 20,000n 2,000n 2 . Por tanto la funcin ingreso es: R (n) = 600,000 + 40,000n 2,000n 2 ; para 0 n 15 , es decir en el intervalo [ 0,15] . R(n) = 40,000 4,000n = 4,000(10 n) . Existe un slo valor crtico n = 10

I

( 0,10 )+

(10,15)-

R(n) R ( n)

en el intervalo (10,15 ) , por lo tanto existe un mximo relativo para el ingreso cuando n = 10 .

El ingreso es creciente en el intervalo ( 0,10 ) y decreciente

Como el extremo relativo es nico, es tambin mximo absoluto. Por lo tanto para ingreso mximo se debe disminuir en $20 la cuota por persona 10 veces, es decir (10) (20) = $200. El nmero de personas que asistiran al seminario es 1,000 + 100(10) = 2,000 personas. El ingreso mximo sera R (10) = 600,000 + 40,000(10) 2,000(10) 2 = $800,000 . La cuota por persona sera de 600 20(10) = $400.

Clase No. 27: CONCAVIDAD DE UNA CURVA Y PUNTOS DE INFLEXINDefinicin: Sea f(x) derivable en un intervalo abierto. Diremos que la grfica de f es cncava hacia arriba si f (x) es estrictamente creciente en ese intervalo, y cncavo hacia abajo si f (x) es estrictamente decreciente en ese intervalo.

Fig: I y II Cncava hacia abajo

Fig: III y IV Cncava hacia arriba

45 Mirando las figuras I y II, vemos al trazar las rectas tangentes en distintos puntos, que sus pendientes decrecen, por lo tanto el valor de las derivadas tambin (recuerde que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto), por lo tanto la funcin f (x) es estrictamente decreciente. En las figuras III y IV, vemos al trazar las rectas tangentes en distintos puntos, que sus pendientes crecen, por lo tanto el valor de las derivadas tambin, por lo tanto la funcin f (x) es estrictamente creciente. Observando los grficos podemos hacer la siguiente interpretacin grfica: Si las rectas tangentes estn por debajo de la curva, es cncava hacia arriba.

Si las rectas tangentes estn por encima de la curva, es cncava hacia abajo.Punto de Inflexin El punto de inflexin (a, f (a)) es el punto donde cambia la concavidad de la curva, por ejemplo:

f(a) a

Vemos que en un punto de inflexin la recta tangente atraviesa la curva.Criterio de la concavidad ( Relacin entre el signo de la derivada segunda y la concavidad)

Sea f(x) una funcin cuya derivada segunda existe en un intervalo abierto I: 1. Si f > 0 , x I entonces la grfica de la funcin es cncava hacia arriba 2. Si f < 0 , x I entonces la grfica de la funcin es cncava hacia abajoQu sucede con la derivada segunda en un punto de inflexin?

En un punto de inflexin la derivada segunda puede existir o no. Pero si existe debe valer cero: f ''( x) = 0 , ya que en dicho punto no hay concavidad.

y = x3 y= 3x 2 y= 6 x ; y(0) = 0

y = 3 x = x1/ 3 y= 1/ 3( x 2 / 3 ) y= 2 / 9.x 5/ 3 No existe f en x = 0

Que la derivada segunda sea cero es condicin necesaria pero no suficiente para que un punto sea de inflexin, ya que hay funciones que tienen f (x) =0 en un punto y sin embargo no es punto de inflexin. Por ejemplo: y = x 4 .

46

y = x 4 entonces y = 4x3; y = 12x2 y (0) = 0 y en x = 0 no hay Punto de inflexinNota: Podemos comprobar grficamente la relacin entre f (x), f (x) y f (x); ejemplo:

y =x3

y = 3x2

y =6x

Vemos que si x > 0 la curva de f es cncava hacia arriba, la derivada primera es estrictamente creciente, y la derivada segunda es positiva. En cambio si x < 0 la curva de f es cncava hacia abajo, la derivada primera es estrictamente decreciente, y la derivada segunda es negativa.Clculo prctico de Puntos de Inflexin e Intervalos de Concavidad

Veremos ahora cmo encontramos los intervalos de concavidad, conociendo la frmula de la funcin, pero no su grfica: Pasos:1. Buscar los posibles puntos de inflexin: para ello calculamos la derivada segunda y vemos para qu

valores de x, la f es cero o no est definida.2. Con los valores encontrados en el punto de arriba armamos los intervalos de prueba. 3. Analizamos el signo de la derivada segunda en cada intervalo de prueba. Ejemplos: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexin de las siguientes funciones: Ejemplo 1: y = x 4 + x 3 3 x 2 + 1

i) Buscamos los posibles puntos de inflexin, donde la f no est definida o donde es cero: y = x 4 + x 3 - 3 x 2 +1 y= 12 x 2 + 6x 6 = 0 ; y = 4 x 3 + 3 x 2 - 6x x1=-1 y x2=

ii) Armar los intervalos de prueba: ]- , - 1[ ; ] -1 , [ ; ] 1/2 , [ iii) Analizar el signo de la derivada segunda en cada uno: conviene que la derivada segunda est factorizada: y = 6. (x + 1). ( x - )

x +1

]- , - 1[ ] -1 , [] 1/2 , [

+ +

x 1/2 + +

f (x) + +

Conclusin Concavidad hacia arriba Concavidad hacia abajo Concavidad hacia arriba

47

Por lo tanto los puntos de inflexin son:Su grfica es:

P1 ( - 1, -2) y P2 ( , 7/16)y 4

3

2

1x

4

3

2

1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

Ejemplo 2: y =

3 5/ 3 x 2

i) Buscamos posibles puntos de inflexin: y = 5/2. x 2 / 3 ; y= 5/3. x - 1/ 3

En este caso no hay ningn valor que haga cero la f , pero no est definida en x = 0 ii) Armamos los intervalos de prueba: ] - , 0[ ; ] 0, [ iii) Analizamos el signo de la derivada segunda: ]- , 0 [ ]0,[f + Conclusin Concavidad hacia abajo Concavidad hacia arriba

Por lo tanto el punto P (0,0) es punto de inflexin Grficamente:15 10 5 0 -5 0 -10 -15

-4

-2

2

4

48

Clase No. 28: CRITERIO DE LA 2DA. DERIVADA PARA PUNTOS CRTICOSSigno de la derivada segunda en el valor crtico Sea f(x) una funcin tal que f (c) = 0, y tal que la derivada segunda de f(x) existe en un intervalo abierto que contiene a c:

Si f ( c ) > 0 entonces f ( c ) es un mnimo relativo Si f ( c ) < 0 entonces f ( c ) es un mximo relativo Si f ( c ) = 0 el criterio no decide

Demostracin: Si f (x) > 0, entonces la funcin es cncava hacia arriba en un entorno del punto c, y adems sabemos que f ( c ) = 0 por lo tanto la recta tangente es horizontal. Luego podemos deducir que f (c) es un mnimo local (f ( c ) = 0 y f ( c ) > 0 ) f( c ) es mnimo local

c De igual modo si f ( c ) < 0, entonces la funcin es cncava hacia abajo en un entorno del punto c , y adems sabemos que f ( c ) = 0 por lo tanto la recta tangente es horizontal. Luego podemos deducir que f (c) es un mximo local (f( c ) = 0 y f( c ) < 0 f ( c ) es mximo local

cEjemplo: Utilizado el criterio de la segunda derivada, hallar los extremos locales de f ( x) = 3 x 5 + 5 x 3 1er. paso: Hallamos los valores crticos: f (x) = - 15 x 4 + 15 x 2 = 0 = -15 x 2. (X 2 1) = - 15 x 2. (x + 1). ( x - 1) = 0 Hay 3 valores crticos: x 1 = 0 ; x 2 = - 1 ; x 3 = 1 2do. paso: Calculamos el signo de la derivada segunda en cada valor crtico

f (x) = - 60 x 3 + 30 x f ( x) = 30 x(2 x 2 1) f (1) = - 30 < 0 f (1) es mximo local f ( - 1) = 30 > 0 f ( -1 ) es mnimo local

49 f ( 0 ) = 0 en este caso el criterio falla , es necesario entonces clasificar el punto por el criterio de la 1er. Derivada, as. 0 0 < x 0 para todo x < 1, luego, f es cncava hacia arriba para (- ; 1)

Figura 2

Como f ( x ) < 0 para todo x > 1, luego, f es cncava hacia abajo para (1; + ). (Vanse los signos de f ( x ) en la figura 2).

53

Compruebe los resultados obtenidos en este anlisis del comportamiento de la curva, en la grfica de la figura 3.

y 15 10 5-2 -5 - 10 - 15 - 20Figura 3

2

4

x

Ejemplo 2: Dada la funcin y = x 4 + 2 x3 3 x 2 4 x + 4 , determine sus valores crticos, sus puntos de inflexin y realice su grfica.

Calculando la derivada de y se tiene:

dy : y= 4 x 3 + 6 x 2 6 x 4 dx Factorizando y se tiene que: y= 2 ( x 1)( 2 x + 1)( x + 2 )

1 Encontrando los valores crticos: x = 1 , x = , x = 2 2 A continuacin se determinar los rangos en los cuales la funcin es creciente y decreciente:

Para x < 2 Para 2 < x < 1 2 Para 1 < x < 1 2 Para x > 1

1 -2 -1/2 f ' ( x ) es negativa, por lo que la funcin es decreciente en este rangof ' ( x ) es positiva, por lo que la funcin es creciente en este rango f ' ( x ) es negativa, por lo que la funcin es decreciente en este rango f ' ( x ) es positiva, por lo que la funcin es creciente en este rango

Mnimos y mximos Para A ( 2, 0 ) la pendiente pasa de a + por lo que es un mnimo 1 81 Para A , 2 16 Para A (1, 0 )

la pendiente pasa de + a - por lo que es un mximo la pendiente pasa de - a + por lo que es un mnimo

Concavidad y Puntos. De Inflexin

54

Obteniendo y : Siendo y= 4 x3 + 6 x 2 6 x 4 y= 12 x 2 + 12 x 6 Igualando a cero: y= 12 x 2 + 12 x 6 = 6(2 x 2 + 2 x 1) = 0 Al resolver la ecuacin 2 x 2 + 2 x 1 = 0 , se obtiene que: x1 = 1 3 1.18 y2x1 = 1 + 3 0.37 2

Al analizar la concavidad se tiene. 1.18 0.37 2 y= 6(2 x + 2 x 1) f ( x) Cncava Cncava Cncava hacia hacia arriba hacia abajo arriba En x= -1.18 y x = 0.37, hay puntos de Inflexin Lo anterior lo podemos apreciar en la grfica de la funcin:

+

Funcin decreciendo

Funcin creciendo

Funcin creciendo

Funcin decreciendo

Puntos crticos

Grfica de la funcin y = x 4 + 2 x3 3 x 2 4 x + 4Ejercicios Graficar las siguientes funciones, realizando un anlisis completo

a) f ( x) = 3 x5 + 5 x3 c) f / x) = x 4 12 x3 + 48 x 2 64 x ( x + 1) 2 e) f ( x ) = 1 + x2

b) f ( x ) =

x2 2 x + 4 x2 4 d ) y = x2 6 x + 5 f)y= 3 2 ( x 1) 2 / 3 4

APLICACIONES DE LA DIFERENCIACIN

55

Clases No. 30 y 31: MXIMOS Y MNIMOS APLICADOS (Problemas de Optimizacin)Estrategias para la solucin de Problemas de Optimizacin 1. Haga un dibujo que interprete la situacin planteada en el problema, coloque all las constantes y

variables a las que se refiere el problema.2. Identifique la variable que se desea optimizar (maximizar o minimizar). 3. Escriba la ecuacin de la variable a optimizar, la cual debe quedar en funcin de una sola variable

independiente, si hay ms de una variable independiente, se deben sustituir el resto de variables mediante datos que el problema proporcione(ecuacin auxiliar) o bien por condiciones geomtrica econmicas del problema.4. Derive con respecto a la variable a que se refiere el punto anterior. 5. Iguale a cero la expresin obtenida para hallar los puntos crticos. 6. Clasificar los puntos crticos por Criterio de la primera de la segunda derivada para obtener la

solucin del problema.EJEMPLO 1: Encuentre dos nmeros positivos cuya suma sea 20 y cuyo producto sea lo ms grande posible (mximo). Solucin: Sea x uno de los nmeros, entonces el otro es 20 x Su producto es: f ( x) = x(20 x) = 20 x x 2 (Funcin a maximizar) Como ambos nmeros son positivos entonces x debe estar entre 0 y 20, de manera que estamos buscando el mximo absoluto de f en el intervalo [0,20] f ( x ) = x( 20 x ) = 20 x x 2 f '( x ) = 20 2 x Derivamos la funcin: Igualamos a cero la primera derivada para encontrar los puntos crticos: 20 2 x = 0 de tal manera que x = 10 (Punto crtico) Los valores extremos absolutos se presentan en los puntos crticos o en los extremos del intervalo. Al evaluar la funcin en x = 10 tenemos: f (10) = 20(10) 10 2 = 100 Ahora evaluemos en x = 0 y x = 20 : f (0) = f (20) = 0 De tal manera que el valor mximo est en x = 10 (este valor maximiza la funcin). Respuesta: Los nmeros buscados son iguales a 10. Veamos la solucin grfica: EJEMPLO 2: Se desea construir una caja abierta (sin cara superior) y de base cuadrada con 108 pulgadas cuadradas de material. Cules sern las dimensiones de la caja para que el volumen sea mximo? Solucin: Volumen de la caja: V = x 2 h (Funcin a maximizar)

Como esta funcin tiene dos variables (x,h) debemos usar los datos del problema para eliminar una de ellas. El material usado se obtiene sumando el rea de la base y el rea de las cuatro caras laterales, as: rea de la base: x 2 ; rea de cada cara lateral: xh ; rea total de la superficie: S = x 2 + 4 xh = 108108 x 2 , 0 < x < 108 4x x3 108 x 2 Sustituyendo h en la ecuacin de volumen tenemos: V ( x) = x 2 ( ) = 27 x 4x 4 2 3x =0 , 3x 2 = 108 , x 2 = 36 , x = 6 Derivando e igualando a cero: V ' ( x) = 27 4 Solo tomamos el valor positivo de x porque se trata de una longitud Valor crtico: x = 6 108 x 2 108 36 72 = = =3 Para este valor crtico, hallemos h: h = 4x 24 24

56

Hallando h en esta ecuacin tenemos:

4 xh = 108 x 2 h =

Respuesta: las dimensiones de la caja son:

108

Longitud de la base: x = 6 pulgadas. Altura de la caja: h = 3 pulgadas. Volumen de la caja: V = x 2 h = 36(3) = 108 pulgadas cbicas (Obsrvese la grfica)Nota: Usando el criterio de la segunda derivada se puede probar que, en efecto, los valores de valores de x y h corresponden al mximo volumen. EJEMPLO 3: Para el producto de un monopolista, la funcin demanda es p =

50 , y la funcin de costo x

100 . x a) Evaluar el precio y la produccin que maximizan la utilidad. b) A este nivel, demostrar que el ingreso marginal es igual al costo marginal. promedio es C = 0.50 +Solucin:100 C = Cx = 0.5 + x = 0.5 x + 100 . x 25 25 P ( x) = 50 x ( 0.5 x + 100 ) = 50 x 0.5 x 100 P( x) = 25 x 1/ 2 0.5 = 0.5 = 0 = 0.5 . x x 25 x= = 50 x = 2,500 . nico valor crtico en (0, ) . 0.5

a) P = R C ;

50 R = px = x = 50 x ; x

25 25 P( x) = x 3/ 2 = P(2,500) < 0 , luego existe un mximo local y tambin absoluto en 2 2 x3

57

2,500. Entonces, para obtener la mxima utilidad posible se deben fabricar y vender 2,500 unidades a un precio de p = b) R( x) = 25 x 1/ 2 =50 2,500 25 x = 50 = $1/unidad. 50 25 2,500 = 25 1 = = 0.5; 50 2 C ( x) = 0.5 C (2,500) = 0.5 .

R(2,500) =

Por lo tanto el ingreso marginal y el costo marginal son iguales cuando el nivel de produccin es de 2,500 unidades, es decir cuando la utilidad es mxima.EJEMPLO 4: La funcin de costo total de una fbrica est dada por C ( x) = 30 + 12 x 0.5 x 2 y la demanda del producto est dada por p = 60 2 x , donde p y x denotan el precio en dlares y la cantidad respectiva en miles de unidades. Se grava con $3(dlares) de impuesto cada unidad producida, que el fabricante aade a su costo. a) Calcular el nivel de produccin (despus de creado el impuesto) necesario para maximizar las utilidades. b) Calcular la utilidad mxima Solucin: Funcin ingreso: R = px = 60 x 2 x 2 . Funcin costo: C ( x) = (30 + 12 x 0.5 x 2 ) + 3x = 30 + 15 x 0.5 x 2 P = R C = (60 x 2 x 2 ) (30 + 15 x 0.5 x 2 ) P ( x) = 1.5 x 2 + 45 x 30 , para 0 < x < 30 . P( x) = 3x + 45 = 0 3x = 45 x = 15 , nico valor crtico en el intervalo ( 0,30 ) . P( x) = 3 < 0 , luego existe un mximo local y por ser nico tambin absoluto en x = 15. a) Por lo tanto, para mxima utilidad se deben fabricar y vender 15,000 artculos. b) La utilidad mxima es: P (15) = 1.5(15) 2 + 45(15) 30 = $307.50 (dlares). Ejercicios Optimizacin 1. Los mrgenes superior e inferior de una pgina son 1.5 cm cada una y los mrgenes laterales de 1 cm cada una. Si el rea del material impreso debe ser fijo e igual a 30 cm2, Cules son las dimensiones de la pgina de rea total mnima? 2. Un agricultor tiene 1,200 metros de material para construir una barda. Quiere cercar un terreno rectangular que colinda con un ro a lo largo del cual no se requiere barda. Sea x el ancho del terreno. a) Deducir una expresin en funcin de x para lo largo del terreno. b) Deducir una expresin en funcin de x para el rea del terreno. c) Calcular las dimensiones del terreno para que su rea sea mxima. d) Calcular el rea mxima del terreno. R/ Sea x el ancho del terreno. a) el largo del terreno es (1,200 - 2x). c) Dimensiones del terreno: largo = 600 m. ancho = 300 m. b) rea A( x) = 1, 200 x 2 x 2 d) Amxima = 18,000 m2

3. Se desea construir un recipiente cilndrico de metal, sin tapa, que tenga una capacidad de 1 m3. Hallar las dimensiones que debe tener el recipiente para que la cantidad de material necesario sea mnimo.

58 4. Una empresa de alimentos calcula que el costo de produccin de x

unidades de cierto artculo de

consumo est dado por la funcin C ( x) = 200 + 5 x + 1 x 2 100 10.000 Hallar: a. El costo medio por producir 500 unidades. b. El costo marginal por producir 1,000 unidades c. El nmero de unidades para el cual el costo medio es mnimo . 5. Una compaa electrnica fabrica tarjetas board para microcomputadoras y por datos estadsticos estima que su ganancia P puede modelarse como funcin del nmero x de boards producidas y vendidas por semana, de la siguiente forma: P ( x) = 3x 5 10 x 3 + 15 x Cuntas boards por semana deben fabricar y vender con el fin de maximizar la ganancia?6. Para el producto de un monopolista la funcin de demanda es x = 10, 000e 0.02 p . Calcular el valor de p para el cual se obtiene el ingreso mximo. R/ Existe mximo relativo en p = $50 / unidad 7. Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo total C dado por1 C ( x) = 10 + 75 x 5 x 2 + x 3 Evaluar el nivel de produccin x donde el costo marginal alcanza su 3

mnimo.

R/ Costo marginal mnimo si x= 5 unidades.

8. Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad est dado por 200 , para 2 x 10 , en donde x est en miles de unidades y C en dlares. C = 2 x 2 36 x + 210 x a) Calcular a qu nivel dentro del intervalo [ 2,10] debe fijarse la produccin para minimizar el costo

total y cul es el costo total mnimo. b) Si la produccin se encontrara dentro del intervalo [5,10] , calcular qu valor de x minimizara el costo total. R/ a) Costo mnimo= $92, cuando se fabrican x =2,000 unidades. b) Costo mnimo= $192, cuando se fabrican x =7,000 unidades

CLASE No. 32: RAZONES DE CAMBIO TASAS RELACIONADAS

dy Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, implcitamente, As, por ejemplo, dt de una funcin y = f (t ) . d n ( y ) = ny n1 dy . dt dt Otra aplicacin importante de lo anterior es el clculo de razones de cambio de dos o ms variables que cambian con el tiempo; o sea, qu tan rpido vara una cantidad en el tiempo? Por ejemplo, suponga que se tiene un recipiente cnico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t. Estas tres variables estn relacionadas entre s, por la ecuacin 1 del volumen del cono que es: V = r 2 h 3

Por otra parte, derivando implcitamente ambos lados de esta ecuacin respecto del tiempo t , se dV 2 dh dr = r i + hi2r i obtiene la siguiente ecuacin de razones relacionadas: dt 3 dt dt Se puede observar que la razn de cambio del volumen, est ligada a las razones de cambio de la altura y del radio, en donde: dV es la razn o rapidez a la cual vara el volumen con respecto al tiempo dt dr es la razn o rapidez a la cual vara el radio con respecto al tiempo dt dh es la razn o rapidez a la cual vara la altura con respecto al tiempo dt dV As, por ejemplo, = 10 m3 / seg significa que el volumen est aumentando 10 m3 cada segundo; dt

mientras que,

dV = 10 m3 / seg significa que el volumen est disminuyendo 10 m3 cada segundo. dt

Problemas de tasas relacionadas

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de tasas razones relacionadas, se calcula la rapidez con que cambia una cantidad en trminos de la razn de cambio de otra(s) cantidad(es).

Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas:

(1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situacin planteada. (2) Designar con smbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que varan con el tiempo. (3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cules razones de cambio se conocen y cul es la razn de cambio que se requiere. (4) Plantear una ecuacin que relacione las variables cuyas razones de cambio estn dadas o han de determinarse. (5) Usando la regla de la cadena, derivar implcitamente ambos miembros de la ecuacin obtenida en

(4), con respecto al tiempo t, con el fin de obtener la ecuacin de razones relacionadas.(6) Sustituir en la ecuacin resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razn de cambio requerida. (Nota: Es, hasta en este momento, que se hacen las sustituciones requeridas de acuerdo con los datos del problema) EJEMPLO 1: Un recipiente cnico (con el vrtice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3.5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razn de 3 metros cbicos por minuto, encuentre la razn de cambio de la altura h del agua cuando la altura es h= 2 metros. SOLUCIN Sea V el volumen del recipiente, r el radio de la superficie variable en el instante t y h el nivel del agua en el instante t.

Recipiente llenndose

Relacin de