PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

CALCULO 2

Practica N3Semestre academico 2012-1

Indicaciones:

No esta permitido el uso de libros, apuntes de clases ni celulares.

La justificacion de sus resultados sera tomado en cuenta en la calificacion.

Duracion de la practica: 2 horas.

Elaborado por los profesores del curso.

1. Usando la regla del trapecio con n = 4, aproxime el valor de la integral

31

ex

xdx

y estime el error cometido al usar esta aproximacion. (4.0 ptos.)

2. a) Usando un polinomio de Taylor de f(x) =senx

xde grado 1, aproxime el

valor de la integral

2pi/2

f(x) dx. (2.0 ptos.)

b) Calcule la integral impropia

+0

exex

dx. (2.0 ptos.)

3. Analice la convergencia de las siguientes integrales impropias:

a)

+1

sen2 xx + ex

dx. (2.0 ptos.)

b)

+0

1x + x4

dx. (3.0 ptos.)

c)

10

1

e3x 1 dx, si se sabe que e

t t + 1, t [0, 1]. (2.0 ptos.)

4. Sea la funcion f(x) =a

x1/4, a > 0. Considere la region R limitada por la grafica

de f , la recta x = 1 y los ejes coordenados.

a) Si el area de la region R mide16

3u2, halle el valor de a. (2.0 ptos.)

b) Es posible asignar un numero como medida del volumen del solido generado

al girar la region R alrededor del eje X?. (3.0 ptos.)

San Miguel, 2 de junio del 2012.

Coordinador de practicas del curso: Raul Chavez

Este material, de distribucin gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realizacin de las evaluaciones.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Solucionario de la Tercera Practica de Calculo 2

2012 - 1

1. Usando la regla del trapecio con n = 4, aproxime el valor de la integral

31

ex

xdx y

estime el error cometido al usar esta aproximacion. (4.0 ptos.)

Solucion

f(x) =ex

x, x [1, 3]. Para n = 4, tenemos x = 3 1

4= 0,5.

31

ex

xdx

(3 14

)(12f(1) + f(1,5) + f(2) + f(2,5) +

1

2f(3)

)(3 1

4

)(12

2,7183 + 2,9878 + 3,6945 + 4,8730 +1

26,6952

) 8,1310

f(x) =ex

xf (x) = ex

(x 1x2

)f (x) = ex

(x2 2x+ 2x3

), x [1, 3].

|f (x)| =ex(x2 2x+ 2

x3

) < ex|(x 1)2 + 1| < 5e3 = K.E (b a)

3

12n2K =

(3 1)312(4)2

5e3 = 4,1845

2. a) Usando un polinomio de Taylor de f(x) =senx

xde grado 1, aproxime el valor de

la integral

2pi/2

f(x) dx. (2.0 ptos.)

Solucion

f(x) =senx

xy f (x) =

x cosx senxx2

. Luego, f(pi

2

)=

2

pi,f (pi

2

)= 4

pi2.

p(x) =2

pi 4pi2(x pi

2

).

2pi/2

senx

xdx

2pi/2

( 2pi 4pi2(x pi

2

))dx

2pi

(2 pi

2

) 2pi2

(2 pi

2

)2b) Calcule la integral impropia

+0

exexdx. (2.0 ptos.)

Solucion

Sea u = ex, entonces exe

xdx =

exee

xdx =

eu du

= eu + C = eex + C

lmt+

t0exe

xdx = lm

t+

( eex

)t0.

= lmt+

( eet + e1

)= e1.

3. Analice la convergencia de las siguientes integrales impropias:

a)

+1

sen2 xx+ ex

dx. (2.0 ptos.)

Solucion

Para todo x, x 1,sen2(x)x+ ex

1ex

= ex.

La integral

+1

exdx converge.

Por el criterio de comparacion, la integral dada converge.

b)

+0

1x+ x4

dx. (3.0 ptos.)

Solucion

Ponemos f(x) =1

x+ x4. Escribimos la integral dada como suma de las integrales

10f(x)dx+

+1

f(x)dx.

Se cumple:

x, 0 < x 1, f(x) 1x

y

10

1xdx converge.

x, x 1, f(x) 1x2

y

+1

1

x2dx converge.

Por el Criterio de comparacion cada sumando de la integral dada converge. Por

tanto, la integral dada diverge.

c)

10

1

e3x 1 dx, si se sabe que e

t t+ 1, t [0, 1]. (2.0 ptos.)Solucion

Como 0 < x 1, entonces 0 < 3x 1. Luego, e 3x 3x+ 1.

En consecuencia, 0 0. Considere la region R limitada por la grafica de f ,

la recta x = 1 y los ejes coordenados.

a) Si el area de la region R mide16

3u2, halle el valor de a. (2.0 ptos.)

Solucion

Area de la region: A =

10

a

x1/4dx.

A = 43a =16

3, luego a = 4.

b) Es posible asignar un numero como medida del volumen del solido generado al

girar la region R alrededor del eje X?. (3.0 ptos.)

Solucion

Volumen de solido generado: V =

10pi( 4x1/4

)2dx.

Luego, V = lmt0+

1tpi( 4x1/4

)2dx = 32pi u3.

San Miguel, 28 de abril del 2012.

Coordinador de practicas del curso: Raul Chavez