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CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Profesora Silvia Pastori

Apellido y Nombres:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INSTITUTO ESPÍRITU SANTO MATEMÁTICA 1º AÑO

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PROGRAMA Unidad Nº 1: EL CONJUNTO DE LOS NATURALES *Generalidades *Revisión de las cuatro operaciones fundamentales *Potenciación y radicación. *Ejercicios combinados *Divisibilidad, dcm, mcm. Unidad Nº 2: ECUACIONES *El lenguaje de la matemática *Ecuaciones *Problemas Unidad Nº 3: ELEMENTOS GEOMÉTRICOS Y FIGURAS PLANAS. *Entes fundamentales: punto, recta, plano *Semirrecta, segmento, semiplano, ángulo *Relaciones entre rectas. Mediatriz de un segmento. *Figuras planas: polígono, triángulo, cuadrilátero. Perímetro. Unidad Nº 4: ÁNGULOS *Definición, clasificación, bisectriz *Sistema sexagesimal de medición de ángulos *Ángulos complementarios y suplementarios *Ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Propiedades. *Ángulos determinados por tres rectas que se intersectan. Propiedades. Unidad Nº5: EL CONJUNTO DE LOS RACIONALES *El número fraccionario: necesidad de su creación, generalidades, equivalencia *Expresiones decimales: generalidades, operaciones *Porcentaje *Operaciones Unidad Nº 6: TRIÁNGULOS *Definición, clasificación. *Propiedades de los lados y ángulos *Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas *Triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras


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GLOSARIO α: alfa β: beta γ : gamma δ : delta ε : épsilon λ : lambda θ : tita ω : omega : phi

: sigma

: pi μ : mu ρ : rho

< : menor > : mayor : menor o igual : mayor o igual = : igual : congruente : distinto : pertenece : no pertenece

: y : o μ : múltiplo : entonces o implica : sí y sólo sí o implica doblemente

: por lo tanto : existe por lo menos uno : para todo


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LOS NÚMEROS NATURALES 1. Completa con los signos = ó ≠ según corresponda, sin resolver la operación. Explica. a) 3.400 + (850 + 5) … … … (3.400 + 850) + 5 b) 3.400 − (850 − 5) … … … (3.400 − 850) − 5 c) 3.400 . (850 . 5) … … … (3.400 . 850) . 5 d) 3.400: (850: 5) … … … (3.400 ∶ 850) ∶ 5 2. Escribe las propiedades que se usaron en cada caso. a) 90 + 10 + 55 = 100 + 55 b) 50 . 7 . 2 = 100 . 7 c) 5 . (80 − 10) = 400 − 50 d) (80 + 90): 10 = 8 + 9 e) 5 . 2 . 2 . 50 = 100 . 10 3. ¿Cuáles de estos cálculos permiten hallar el resultado de 128 × 15? Explica porqué, sin realizar las operaciones. a) 128 × 10 + 5 b) 128 × 5 × 3 c) 128 × 10 + 128 × 5 d) 1 × 15 + 2 × 15 + 8 × 15 e) 128 × 10 + 128 × 10: 2 4. Resuelve las siguientes divisiones: a) 875 ∶ 7 = b) 1.006 ∶ 83 = c) 469 ∶ 25 = d) 583 ∶ 92 = e) 6.068 ∶ 38 = f) 4050 ∶ 17 = g) 1.004 ∶ 55 = h) 4.807 ∶ 46 = i) 1.233 ∶ 27 = j) 2.434 ∶ 31 = k) 5.096 ∶ 17 = l) 14.238 ∶ 46 = m) 17.747 ∶ 35 = n) 3.902 ∶ 19 = ñ) 946 ∶ 9 = o) 1.667 ∶ 45 = p) 5.324 ∶ 16 = q) 11.220 ∶ 28 = r) 3.442 ∶ 92 = s) 3.484 ∶ 72 = 5. Separa en términos y resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) 39: 3 + 100: 4 − 20 . 7: 5 =


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b) 81 − (4 ∙ 9 − 3 . 11 + 5) − 156 ∶ 3 = c) (10 + 4) . 7 + (13 − 4) . 10 − 3 . 5 = d) 169 ∶ (42 ∶ 6 + 6) + (378 ∶ 9 − 37) . 19 = e) (4 + 6 . 8) ∶ 4 + (207 ∶ 9 + 180 ∶ 15) . 3 − 118 = f) (120 + 14 − 18 ∶ 9) ∶ 12 + (8 − 4 ∶ 2): 3 = g) [5 + (12 − 18 ∶ 2) . 3]: 7 = h) 22 − [28 ∶ (9 − 2) + (4 + 2) − 3] − 3 . 4 = 6. Completa el cuadro, teniendo en cuenta el ejemplo: 7. Calcula las siguientes potencias: a) 5 = b) 4 = c) 1 = d) 10 = e) 11 = f) 7 = g) 0 = h) 12 = 8. Escribe los exponentes: a) 7 = 49 b) 4 = 64 c) 8 = 64 d) 13 = 169 e) 2 = 32 f) 9 = 729 9. Aplica propiedades de la potenciación para resolver. Nombra cada propiedad usada. a) 5 . 5 . 5 = b) 10 : 10 = c) (2 ) = d) (3 . 4 . 2) = e) (12: 6) = f) (3 . 3 ): 3 = g) 5 : 5 . 5 = h) (3 ) : (3 . 3 ) = i) (2 . 2 ) : 2 =

Multiplicación Potenciación Resultado La potenciación se lee…

2 . 2 . 2 . 2 2 16 Dos a la cuarta

3 . 3 . 3 . 3 . 3

10

6 . 6 . 6

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10. Completa con < , > , = , según corresponda. Explica cada respuesta. a) 0 13 b) 1 1 c) 125 5 d) 4 4 e) 123 138 11. Completa el cuadro, de acuerdo al ejemplo: 12. Resuelve las siguientes radicaciones: a) √100 = b) √10003 = c) √13 = d) √121 = e) √32 = f) √169 = g) √2163 = h) √144 = i) √256 = j) √196 = k) √3433 = l) √225 = 13. Aplica propiedades de la radicación para resolver. Nombra cada propiedad aplicada. a) √144 . 36 ∶ 16 = b) √64

3= c) √2. √2. √2. √2 =

d) √5. √20 = e) √73 = f) √2 . 4 = 14. Aplica propiedades para resolver, cuando sea posible. Nombra cada propiedad usada a) (2 ) . (2 ) = b) (3 × 2) = c) √100 − 64 = d) (2 + 3 + 5) = e) √100 ∶ 4 . 16 = f) √43 . √23 . √83 = 15. Escribe verdadero o falso. Justifica cada respuesta. a) (7 − 5) = 7 − 5 b) √4 = √4 c) (3 ) : (3 ) = 27 d) √83 . √273 = √2163 e) √25 − √9 = √16 f) √11. √11 = 11

Radicación Resultado Comprobación

√81 9 9 = 81

√27

2 = 64

10 = 10.000

√16


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16. Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de la potenciación y radicación. Nombra cada propiedad aplicada. a) ( . ): = b) 2. : = c) √ . √ = d) √ .3 = 17. Escribe en lenguaje simbólico y luego resuelve: a) La raíz cuadrada del triple de doce b) La raíz cúbica del producto entre dos y cuatro. c) La suma entre la raíz cuadrada de nueve y la raíz cúbica de veintisiete d) La diferencia entre el cuadrado de ocho y el cubo de dos. e) El cociente entre el cubo de seis y la raíz quinta de treinta y dos. f) La raíz cúbica del cociente entre mil y ciento veinticinco. g) La raíz cuadrada de la suma entre veintiuno y cuatro. h) La diferencia entre el quíntuple de veinte y el cuádruple de nueve. i) El siguiente de la potencia cuarta de tres. j) El triple del anterior de ocho 18. Escribe en lenguaje coloquial y luego resuelve: a) 2 + 7 b) √36 − 4 c) 8 ∶ 2 + 6 d) (10 − 8) e) (28 − 16): 4 f) 7 − 3 g) 4 . 5 h) (8 − 5) i) 3 . (7 − 1) j) √64 + √121 19. Separa en términos y resuelve. a) (4 . 3 − 20 ∶ 10): 2 + √1 = b) √100 + √25 . 3 + 9 + 13 = c) 45 − 8 : 2 + √2163 . 2 − 4 = d) 6 : 6 + 4 . 10 − √83 + 16 = e) (79 − 9 . 8) − √64 + 84 ∶ 21 = f) (3 + 5 ): 2 + 3 . √1.0003 − √49: 7 = g) √196: √4 − 31 + √2 + 25: 5 = h) 3 . 2 + √16. (7 − 2 ) + 15: 5 . 2 − 10 = i) (6 + 2): 2 + √900: 3 − √3. √3 = j) √125 − 8 : 2 . √4 + 5 : √121 = k) (10 − 30 + 2 . 5): 5 + 14. √27: √36 + 3. (2 − 4.7) =


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l) 10 . √225 − 2 . √49 − (5 + 2 . 7): √169 . √8 = m) √25 + √144 − √81 . 3 : √343 = n) 10. √144 + 2 . 7 − √32 : 12 + (2 − 2): √27 + 10 = ñ) 17 − (7. 3 − 1): √100 + 2 : 2 + (12: 3 + 1) = o) (28: 4 + 3): 5 + (7 − 4) + √8 : 4 + 3 = p) 2 : 4 + (2 .10 + 5). 2 + (3.3 − 5) = q) 3 . (20 − 7 . 2) + √6 . 4 + 3 − (11 − 9) + 36: 3 = r) (7 − 4) − √2 . 8 + 3 + (6 − 32: 8) − 7 = s) (1 + 2) : 9 + (4 . 8 − 4): 3 + √15: 3 + 2 = 20. Escribe V o F. Justifica cada respuesta. a) Todos los números impares son primos b) Todos los números primos son impares. c) Si a un número primo se le suma 1, se obtiene un número compuesto. d) Si a un número primo se lo multiplica por cualquier número natural, se obtiene un número compuesto. e) Todos los números son múltiplos de sí mismos. 21. Escribe todos los divisores de 30, de 44 y de 70 22. Factorea los siguientes números: a) 252 b) 264 c) 588 d) 484 23. Marca con una cruz los números que están correctamente factoreados. Explica porqué los otros no lo están: a) 12 = 4 . 3 b) 45 = 3 . 5 c) 90 = 2 . 5 . 9 d) 36 = 2 . 3 . 2 . 3 24. Calcula el d.c.m. y m.c.m. de los siguientes números: a) 24, 60, 72 b) 14, 12, 21 c) 18, 42, 48 d) 105, 44 e) 36, 45, 180 f) 60, 40, 150 g) 56, 72, 96 h) 512, 104 i) 52, 78, 169 j) 16, 20, 28


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EJERCICIOS DE REPASO 1. Separa en términos y resuelve: a) 52: 2 + 5. 6: 3 − 8 ∙ 3 + 12 . 4: 3 = d) √13 − 36: 9 + 2 + 6 ∙ √81: 2 − 18 = b) 18 + [4 . (2 + 3) + (7 + 3): 2]. 2 = e) √25 . (7 + 2) − √400 + 14 : 17 . 2 = c) [(5 − 6: 3). 2 + 5]: 11 = f) √81 + (3 − 5 : 5 ) − 28 ∶ 7. 5 = 2. Completa el cuadro con el resultado de an a n 1 2 3 4 5 6 1 2 3

4 5 6

7 8

9 10 11 12 13 14 15 3. Aplica propiedades para resolver: a) (2 : 2 ) = b) (13 + 6 − 4) . 5 = c) √1.000: 1253 = d) ( ) : ( ) = e) (4 . 4): (4 . 4 ) = 4. Escribe el cálculo correspondiente y resuélvelo: a) La suma entre el triple de cuatro y el cubo de dos. b) La diferencia entre el doble del siguiente de nueve y el cuadrado de tres. c) La diferencia entre el doble de la raíz cuadrada de veinticinco y nueve. 5. Calcula el dcm y mcm entre 84, 105 y 126.


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ECUACIONES 1. Traduce cada proposición escribiendo en lenguaje simbólico: a) Un número aumentado en el doble de cinco b) El doble del anterior de un número c) A la raíz cuadrada de un número se le suma el doble de tres d) La mitad de un número aumentado en cuatro e) El triple de la diferencia entre un número y cinco es igual al quíntuplo de dicho número f) La suma entre un número y su consecutivo es igual a ocho g) Dos es menor que la suma entre tres y seis h) Un número es mayor que dos y menor que ocho. i) El producto de dos números distintos es igual a veinte j) La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera es mayor o igual que veintiséis. 2. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica las cuatro primeras: a) 7 − 2 = 12 e) 3 − 2 + 5 = 2 + 9 − 3 b) + 10: 5 + 7 = 20 f) 2 + 5. (3 + 2) = 40 − c) 15 − 30 = 15. (7 − 2) g) 8 + 5 + 3 − 10 = 3 + 10 − 7 d) 15 + 5 = 5. (4 + 3) h) 8 − 14 − 2 = 5 − 3 + 6 3. Resuelve las ecuaciones aplicando propiedad distributiva y verifica las cinco primeras: a) 8. ( − 2) = 2 . (7 + 3 ) f) 6 + 4( + 1) = 2( + 10) b) 2 . ( + 5) + + 2 = 21 g) 9( − 1) − 17 = 2( + 4) − 6 c) 3 . ( − 4) = + 26 h) 6( + 2) − 1 − 2 = 2( + 13) − d) 5 . ( + 2) = 3. ( + 4) + 8 i) 3( + 5) + 2( + 5) = 145 − e) (4 − 2) ∶ 2 = + 7 j) 3(2 + 5) − 45 = 30 + (9 − 18): 3 4. Encuentra el valor de x y verifica: a) : 6 + √32 = 2 . 4 f) (2 − 1) = 5 + √4 b) ( + 28): 7 = √144 g) ( − 2) : 2 + 2 = 4 c) ∶ 2 + 1 = 3 . 5 h) 6 √3 − 4 = √64 d) √3 − 5 = 4 i) (2 ) − 7 = 29 e) 2 + 1 = 17 j) √4 + 1 = 3


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5. Recuadra la ecuación que corresponde a cada enunciado: a) La suma de los cuadrados de dos números distintos es igual a 25 ( + ) = 25 + = 25 + = 25 b) El cuadrado de la suma de dos números distintos es igual a 25 ( + ) = 25 + = 25 + = 25 c) El triple de un número aumentado en 6 es igual a 36 3 + 6 = 36 3 = 36 + 6 3( + 6) = 36 d) El triple de un número, aumentado en seis es igual a 36 3 + 6 = 36 3 = 36 + 6 3( + 6) = 36 e) El triple de un número es igual al doble de su consecutivo 3 = 2 + 1 + 3 = 2 + 1 3 = 2( + 1) f) Si a un número se lo eleva al cuadrado se obtiene por resultado el cuádruple de dicho número = 4 = 4 = + 4 6. Plantea una ecuación para resolver cada problema: a) Si a un número se lo multiplica por 3 y al resultado se le suma 7, se obtiene 19. ¿Cuál es el número? b) Si al triple de un número se le resta cinco, se obtiene el doble de su consecutivo. ¿Qué número es? c) La quinta parte de la diferencia entre un número y 50 es 6. ¿Cuál es ese número? d) El doble de un número más la mitad de seis es igual a nueve. ¿Cuál es ese número? e) La raíz cuadrada del siguiente de un número es igual a 7. ¿Qué número es? f) La suma de dos números consecutivos es 117. ¿Cuáles son esos números? g) La mitad de la suma entre un número y tres es igual a diez. ¿Cuál es ese número? h) El triple del anterior de un número es igual al producto entre seis y veintiuno. ¿Cuál es dicho número? i) Si al cuádruple de un número se lo disminuye en diez unidades, se obtiene el doble de trece. ¿De qué número se trata? j) Si desde el piso en el que vive Diego se suben 9 pisos y luego se bajan 11, se llega a la planta baja. ¿En qué piso vive? k) Ema gastó en su viaje $17.000; esa cantidad es 5 veces su ganancia semanal más $1.200 que tenía ahorrados. ¿Cuánto gana por semana? l) La mitad de los caramelos que tengo en la bolsa, más una docena es 41 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en la bolsa? m) La amplitud de dos ángulos está dada por las siguientes expresiones:2 + 30° y

+ 80° . Si ambos son congruentes, ¿cuál es la amplitud de cada uno de ellos?


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n) En un matrimonio la suma de sus edades es igual a 86. Si el esposo es 6 años mayor que la esposa. ¿Cuál es la edad de cada uno? ñ) Tomás junto tres bolsas con igual cantidad de naranjas para hacer dulce, y Andrés le dio 44 naranjas más. Si en total juntaron 125 naranjas, ¿cuántas naranjas tenía cada bolsa? o) Alicia gastó la tercera parte de lo que había ahorrado, más $20 que le regaló su mamá para comprar una camisa que costaba $82. ¿Cuánto dinero había ahorrado? p) Una caja de comida para gatos pesa 54 kg y contiene 18 bolsas, ¿cuánto pesa cada una, si todas contienen la misma cantidad? q) En un frasco hay 69 caramelos de frutilla, limón y chocolate. Los caramelos de frutilla son el doble de los de limón y los de chocolate son 5 más que los de limón. ¿Cuántos caramelos de cada sabor hay? r) Ana tiene 2 años menos que Bruno y Carlos es 4 años mayor que Bruno. Si la suma de las tres edades es 32, ¿cuántos años tiene cada uno? s) Diana, Pablo y Nicolás coleccionan monedas. Diana tiene 3 monedas menos que Pablo, y Nicolás tiene 8 monedas más que Pablo. Juntos tienen 149 monedas. ¿Cuántas tiene cada uno? 7. Completa el enunciado de un problema para cada una de estas ecuaciones: a) 2 + 14 = 76

Si al doble de un número …………………, se obtiene 76. ¿Cuál es dicho número?

b) 2. ( + 14) = 76

El doble de……………entre……………………….da por resultado 76. ¿Cuál………...?

c) 45 − = + 1

La diferencia entre ………………………… es igual al ……… de dicho número. ¿Cuál……...?

d) (12 + 6 ): 2 = 4

La mitad de la ……………entre 12 y el ……………de un cierto……….. es igual al …………………..

¿Cuál ……….?


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EJERCICIOS DE REPASO 1. Escribe en lenguaje simbólico: a) El doble del siguiente de un número aumentado en tres unidades b) La diferencia entre el triple de un número y la raíz cuadrada del mismo número c) El cuadrado de un número disminuido en cinco unidades. d) La raíz cúbica de la suma entre once y dieciséis. e) El cociente entre el anterior de un número y el cuadrado de cuatro es menor que dos 2. Encuentra el valor de x: a) 3 ∙ ( + 7) + 2 ∙ ( + 3) = + 39 b) √ − 43 − 1 = 4 c) 2 ∙ (3 + 6 ) − 5 = 7 ∙ ( + 8) d) (35 − 50): 5 = 2 + 15 e) √ − 7 − 3 = 2 f) : 8 + 3 = 3 ∙ √121 g) (6 + 10): 2 − 3 = + 12 h) (3 + 1) = 32: √4 i) √8 − 10 = √4 j) 6( − 3) + 2 = 3( + 10) − 4 3. Plantea una ecuación para resolver los problemas: a) La mitad de un número más el doble de uno (1) es igual al cuadrado de dos. ¿Qué número es? b) El triple de la edad que tenía Eduardo hace 2 años es igual al doble de la edad que tendrá dentro de un año. ¿Cuántos años tiene actualmente? c) La diferencia entre la tercera parte de un número y cuatro es igual a once. ¿Cuál es dicho número? d) Si el séxtuplo de las figuritas que tiene Mario es igual al doble de la suma entre sus figuritas y dieciocho, ¿cuántas figuritas tiene? e) Tres hermanos tienen la misma cantidad de dinero, pero uno de ellos gana hoy $5 jugando con sus compañeros. Si ahora juntos tienen $98, ¿cuánto dinero tenía cada uno de ellos ayer? f) Para un almuerzo se prepararon 5 mesas redondas con igual cantidad de personas en cada una de ellas y una mesa rectangular con 12 personas. Si en total fueron 52 comensales, ¿cuántas personas se ubicaron en cada mesa redonda? 4. Escribe el enunciado de un problema que se resuelva con la siguiente ecuación:

: 3 + 4 ∙ 6 = 10


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ELEMENTOS GEOMÉTRICOS Y FIGURAS PLANAS 1. Marca con distintos colores y escribe en símbolos: a) El segmento con extremos en a y e b) La semirrecta de origen b que contiene a a c) La semirrecta de origen c que contiene a e d) El segmento con extremos en b y a e) La recta que contiene a los puntos c y d f) La semirrecta de origen b que contiene a d g) La semirrecta de origen a que contiene a b 2. Respecto del ejercicio anterior, responde: a) ¿Hay coloreadas semirrectas opuestas? ¿Cuáles? b) ¿Tienen puntos en común los dos segmentos trazados? ¿Cuáles? c) ¿Qué puedes decir de R y la recta marcada en el apartado e? d) ¿ Pertenece el punto e a la semirrecta del apartado f? 3. Subraya la respuesta correcta: a) Tres puntos no alineados determinan: un segmento dos segmentos tres segmentos b) La suma de dos ángulos agudos da por resultado un ángulo obtuso a veces siempre nunca c) Dos puntos sobre una recta determinan: dos semirrectas tres semirrectas una semirrecta 4. Completa las oraciones: a) Existen ………………………………….. rectas b) Una recta queda determinada por …………………………. puntos c) Un plano queda determinado por …………………………… puntos no alineados. d) Un plano incluye …………………………….. puntos. 5. Resalta la opción correcta, teniendo en cuenta que puede ser más de una:

R e d c b a


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a) Se llama semirrecta a: la línea que tiene principio pero no tiene fin la mitad de una recta la sucesión de puntos de una recta a partir de uno de ellos la parte de la recta formada por un punto de ella y todos los que le siguen en un

sentido b) Un segmento es: la parte de una recta un conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos llamados extremos una línea que tiene principio y tiene fin ninguna de las respuestas anteriores es correcta c) Se llama ángulo a: cada una de las regiones en que queda dividido el plano al intersecarse dos

rectas pertenecientes a él la región del plano comprendida entre dos semirrectas la región del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen en común todas las respuestas anteriores son correctas. d) Un ángulo es cóncavo si y sólo sí: mide más de 180° mide menos de 360° todo par de puntos pertenecientes a él determina un segmento que no está

incluido en él existe algún par de puntos pertenecientes a él que determina un segmento no

incluido en él 6. Construye la mediatriz de los siguientes segmentos. No olvides colocar todos los nombres que correspondan: 7. a) La longitud del segmento es de 50 cm, plantea una ecuación para calcular el valor de x sabiendo que M es la mediatriz de y que = − 10

M

o a b


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b) Calcula la longitud de : 8. Teniendo en cuenta el dibujo, completa la tabla con ∥ , ∠ , ⊥ 9. Dada la recta R y los puntos m y n, se pide que construyas: a) Una recta S paralela a R que pase por el punto m b) Una recta T perpendicular a R que pase por el punto n c) Una recta U perpendicular a R que pase por el punto m 10. Clasifica las siguientes figuras en convexas o cóncavas:

M

= 2 + 1 = + 4

M mediatriz de d a b

A B C D E

A B C D E

B

A

E C

D

R

n

m


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11. Escribe Verdadero (V) o Falso (F). a) Todo triángulo isósceles es acutángulo. b) Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero. c) Ningún triángulo acutángulo es escaleno. d) Existen triángulos rectángulos que son isósceles. 12. Escribe siempre (S), a veces (AV) o nunca (N), según corresponda: a) Un trapecio rectángulo tiene tres ángulos rectos. b) Un cuadrado es un rectángulo. c) El romboide tiene los dos pares de lados opuestos congruentes. d) Un rombo es un cuadrado. e) Un trapecio escaleno tiene un par de lados congruentes. 13. Dibuja cada figura y calcula su perímetro: a) un cuadrado de 8 cm de lado b) un rectángulo con base de 10 cm y altura de 5 cm. c) un rombo de 6 cm de lado d) un triángulo equilátero con lados de 15 cm. e) un romboide cuyo lado mayor es de 9 cm y el lado menor es 2 cm menos que el mayor. f) un trapecio isósceles con base mayor de 8 cm, base menor de 6 cm y lados de 3cm 14. Plantea una ecuación para resolver cada problema: a) En un trapecio, la base mayor mide 16 cm, la base menor es 4 cm menor que la mayor, uno de los lados mide 9 cm y el perímetro es de 44 cm. ¿Cuánto mide el otro lado? b) Calcula la medida de cada lado de un cuadrado si su perímetro es de 148 cm. c) Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 29 cm y el lado distinto mide 13 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados congruentes? d) La altura de un rectángulo es de 15 cm. Si el perímetro es 66 cm, ¿cuál es la medida de la base de dicho rectángulo?


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EJERCICIOS DE REPASO 1. Marca en un plano π cinco puntos a, b, c, d, e que no pertenezcan a una misma recta y luego traza: a) el segmento con rojo c) la recta con anaranjado b) la semirrecta con azul d) la semirrecta opuesta a con verde 2. Observa el dibujo y responde cada consigna: a) Marca con rojo el ángulo . Clasifícalo. b) ¿Hay rectas paralelas? ¿Y perpendiculares? ¿Cuáles? Escribe con símbolos. c) ¿Tienen algún punto en común las semirrectas y ? ¿Cuál? d) Marca con azul algún ángulo cóncavo y nómbralo. e) Marca y nombra algún ángulo obtuso con violeta y uno recto con marrón. f) ¿Pertenece el punto o a la semirrecta ? ¿Y a la semirrecta ? 3. Construye la mediatriz de un segmento de 3,5 cm de longitud. 4. Un cuadrilátero tiene un perímetro de 58 cm. Tres de sus lados: 14 cm, 18 cm y 11 cm. ¿Cuánto mide el lado restante? (Recuerda plantear una ecuación para resolver) 5. Encuentra en la SOPA DE LETRAS 10 palabras relacionadas con los conceptos de la unidad. Luego da una referencia para cada una.

I O T N U P R E P S I G

C R O A N G U L O R A I

I P E F A T T I L O M S

S S E U M A P G I R E O

E O T R A S B X G I R S

C R D A I L L R O U O C

A D I A A M A I N S E E

N E U G L B E P O A T L

T N S I D E C T Y G P E

E O B T U S O Z R L A S

S Q T R I Z A N L O F I

M S E G M E N T O S L G

b

a o

N

c M

g

e

f P

d


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ÁNGULOS 1. Mide (con la mayor exactitud posible) los siguientes ángulos: 2. Traza la bisectriz de los siguientes ángulos convexos: 3. Construye un ángulo de 260° y trázale la bisectriz. ¿Qué clase de ángulo es cada uno de los ángulos en que quedó dividido ? 4. Resuelve las siguientes operaciones: a) 95°35′54" + 12°58'36" = g) 92°25′34" × 2 = b) 47°52′39" + 85°24' = h) 5°13′15" × 12 = c) 26°30"+ 57°50'9" = i) 18°15′40" × 4 = d) 126°14 30" - 55°48'7" = j) 85°40′48": 2 = e) 95°21" - 53°50'28" = k) 55°20′15": 3 = f) 143°7" - 84°10'28" = l) 124°31′32": 4 = 5. Calcula el complemento de cada ángulo, planteando una ecuación: a) = 71° 20 37" b) = 55° 32 c) = 18° 42" 6. Calcula el suplemento de cada ángulo, planteando una ecuación: a) = 140° 19 7" b = 77° 34′ c) = 13° 12"


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7. Siendo = 35° 14 , = 42° 30 = 110° 24′ , plantea el cálculo y resuélvelo: a) La diferencia entre el doble de y el doble de b) El triple de , aumentado en 28°37′ c) La mitad de la suma entre y d) El triple del complemento de b) El suplemento del doble de c) La mitad del suplemento de , sumado con 8. Plantea una ecuación y calcula el valor de cada ángulo: a) Un ángulo es igual al cuádruple de su complemento b) La tercera parte de 222° es igual al doble del complemento de un ángulo c) Si al triple de un ángulo se lo aumenta en 60°, se obtiene la medida de su suplemento 9. Colorea y nombra los ángulos adyacentes 10. Colorea y nombra un par de ángulos opuestos por el vértice en cada figura, si es posible: 11. Dibuja un ángulo opuesto por el vértice a y un ángulo adyacente a . Nombra cada ángulo dibujado.

α

β


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12. ¿Verdadero o Falso? Justifica cada respuesta. a) La bisectriz de un ángulo obtuso determina dos ángulos cóncavos b) La bisectriz de un ángulo llano determina dos ángulos rectos c) La bisectriz de un ángulo recto determina ángulos complementarios. d) Dos ángulos obtusos nunca son complementarios. e) El suplemento de un ángulo agudo es uno obtuso. 13. Calcula la medida de cada ángulo. Justifica a) = 48°24′ b)

c) d)

= 41° 25′ = 165° 43′ e) f)

= 49°34′57"= 23°48′4"

= 35°21′45"= 108°48"

14. Observa el dibujo y completa: a) El conjugado interno de es …………

b) El alterno externo de es ………..

c) El correspondiente de es ……………...

d) El conjugado externo de es …………

e) El alterno interno de es ……………….

65º 45’

α β

δ α

γ β

ε β

α

π

δ

α

ε

β

α

γ

ε β δ α

δ β γ ε

ω γ

ε

θ λ

M

N

T

α β π


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15. Calcula el valor de cada ángulo y justifica la respuesta: a) b) c) d) e)

β

A

B

T

α

π

δ B β

δ θ

ω A

= 61° 32 40" A // B

= 112° 43′ A//B

β θ

δ

T B

A

ε

ε

N

M

T α

β

δ

θ

= 76°20′8" M//N

= 143°10′ A//B

R

δ

Q P

S α

γ ε

= 95°15′27" P//Q//R


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EJERCICIOS DE REPASO

1. Construye un ángulo de 284° y trázale la bisectriz. 2. Completa con a veces, siempre, o, nunca: a) Los ángulos consecutivos ……………………. son adyacentes.

b) Los ángulos adyacentes …………………….. son suplementarios.

c) Los ángulos opuestos por el vértice ……………………… son complementarios.

d) La suma de dos ángulos agudos …………………… da por resultado un ángulo obtuso

3. Halla el valor de cada uno de los ángulos, en cada figura: a) b) + = 70°

= 28°40′50"= 77°23′10"

c) d) 4. Dados = 34°37′28" y = 129°30′44" , calcula: a) 3 b) ∶ 4 c) El suplemento de d) El complemento de e) La suma entre y la cuarta parte de f) El doble de la diferencia entre y

α

π

ε

β γ

β ε α

D

B

A

C

α

β ε ε

N

M

T α

β γ

= 115°37′ M//N

= 132°43" A//B ˄ C//D


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LOS NÚMEROS RACIONALES 1. Recuadra con un color las fracciones mayores que uno (1) y con otro, las menores. ¿Hay alguna fracción aparente? ¿Por qué?

65

39

92

24

5

15

95

32

15

155

2. ¿Qué fracciones representan estos esquemas?

3. ¿Qué parte representa… del año de las vocales Enero del primer semestre la letra a de las letras de mar del primer cuatrimestre de las letras de campana 4. Expresa como número mixto:

a) b) c) d) e) 5. Expresa como fracción impropia:

) 413

) 247

) 925

) 318

) 178

6. Representa los siguientes grupos de fracciones en la misma recta numérica:

a) ; ; b) ; ; c) ; ; d) ; ; 7. Escribe la fracción que representa al número a: a)

0 1 a


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b) 8. Completa el entero: a) b) c)

9. Une las fracciones equivalentes: 10. Encuentra dos fracciones equivalentes a cada una de las dadas (amplificando y simplificando)

a) a) c) 11. Redondea las fracciones que sean irreducibles:

813

4

11

265

159

1420

183

12. Simplifica hasta encontrar la fracción irreducible equivalente a la dada:

a) = b) = c) = d) = e) = f) = 13. Escribe la fracción irreducible que representan los siguientes períodos de tiempo: a) Tres horas de un día b) Veinte segundos de tres minutos c) Dos meses de un año d) Cuatro bimestres de dos años

1 a 2 0

23

78

54

35

58

2018

1624

3528

1220

43

4572

2015

5664


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14. Completa con <, > ó =. Justifica lo realizado.

a) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ b) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ c) 5∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

d) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ e) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ f) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. Escribe una fracción que cumpla con cada condición:

a) < ⎕⎕

< 1 b) < ⎕⎕

< c) < ⎕⎕

< 16. Encuentra, si existe, una fracción decimal que sea equivalente a la dada:

a) = b) = c) = d) =

e) = f) = g) = h) = 17. Expresa como porcentaje las siguientes fracciones:

a) = b) = c) = d) = e) = 18. Calcula, expresando los porcentajes como fracción: a) el 10% de 350 b) el 30% de 80 c) el 45% de 1500 d) el 15% de 300 e) el 12% de 200 f) el 20% de 125 19. Se hizo una encuesta acerca del gusto de helado preferido. Completa la tabla: 20. Escribe la expresión decimal de las siguientes fracciones y clasifícalas: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Sabor preferido

limón cereza vainilla crema total

Nº de personas 24 160

Fracción 7

20

Porcentaje 30 %


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21. Escribe la expresión fraccionaria de:

0,3 ; 0,0023 ; 1,21 ; 12,5 ; 0,08 ; 0,8 ; 4,25 ; 0,005 ; 10,2 ; 1,1 22. Escribe en forma decimal: a) Tres milésimos b) Siete enteros, cuatro centésimos c) Veinticinco centésimos d) Doscientos enteros, veintitrés diezmilésimos e) Doce enteros, un centésimo 23. Completa la tabla:

24. Encuentra los pares de números iguales:

2,35 − 2,035 − 2,350 − 0,23 − 2,305 − 2350100

− 23

100−

3051.000

−23510

− 0,3050 25. Representa los siguientes números decimales en una misma recta numérica: a) 0,2 − 1,4 − 0,8 − 1,6 − 1,1 b) 7,6 − 8,4 − 8,1 − 7,8 − 7,2 26. Completa con > , < , ó = : a) 0,2 … … … 0,3 b) 0,2 … … … 0, ,26 c) 3,8 … … … 3,456 d) 11,25 … … … 11,3 e) 7,03 … … … 7,003 f) 0,87 … … … 0,870 27. Ordena de menor a mayor: 1,23 − 0,015 − 2,23 − 0,23 − 6,23 − 2 − 0,18 28. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones:

a) + + = b) + + =

Fracción Irreducible Fracción decimal Expresión decimal Lectura

4

10

2120

cinco enteros, cuatro centésimos

3,25


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c) − − = d) 1 14 + 5

18 − 712 =

e) 5− − = f) + 5 − = g) + 4 − 1 = h) 0,15 + 1 − 1,5 = i) 1,25 + − = j) 3 − + − 2,5 = k) 0,007 + 2,6 + 14,08 = l) 45 + 1,54 − 3,332 = m) 7,25 − 3,84 = n) 0,006 + 4,7 − 1,81 − 2 = ñ) 17,8 − 4,15 = o) 8,3 − 5,91 + 4 − 0,7 = p) 32,51 + 5,672 + 8,39 = q) 23,45 − 0,36 + 2,4 − 0,02 = r) 45,29 + 1,54 − 3,345 = s) 15,3 + 1,08 − 2,16 + 2,306 = 29. Resuelve las multiplicaciones y divisiones:

a) ∙ ∙ = b) ∙ ∙ ∙ = c) : =

d) : e) ∙ : = f) ∙ : =

g) ∙ : = h) : : = i) : : = j) 48 × 1,03 = k) 8,2 × 0,01 = l) 7,5 × 0,06 = m) 0,16 × 0,5 = n) 10,5 × 4,2 = ñ) 9,24 × 1,25 = o) 4.569 ∶ 10 = p) 37: 1.000 = q) 0,74 ∶ 100 = r) 0,036 ∶ 18 = s) 86,1 ∶ 7 = t) 28,5 ∶ 3 = u) 2,916 ∶ 0,6 = v) 62,62 ∶ 3,1 = w) 5,764 ∶ 2,2 = x) 458 ∶ 0,08 = y) 0,294 ∶ 2,4 = z) 36,84 ∶ 3,2 = 30. Calcula: a) 20 b) 300 c) 200 d) 1.600 e) f) g) h)


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31. Resuelve las siguientes potenciaciones:

a) = b) = c) = d) =

e) = f) = g) = h) = i) 0,02 = j) 1,1 = k) 0,4 = l) 0,2 = m) 0,001 = n) 1,2 = ñ) 0,6 = o) 0,05 = 32. Resuelve las siguientes radicaciones:

a) = b) = c) 3 d) 3 =

e) 4 = f) = g) = h) .

=

i) √0,16 = j) √1,21 = k) √0,000325 = l) √0,0083 = m) √0,0001 = n) √0,0004 = ñ) √0,2163 = o) √0,0273 = 33. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a) 1 − : + ∙ = b) : 5 + ∙ − =

c) + : 4 ∙ − = d) ∙ + 14 ∙ =

e) + + 5 : = f) √ − 0,1 ∶ 1,8 − =

g) √64 − : − = h) ∙ 3 + ∙ √25 + 10: 2 = i) 5 + 4 × 1,8 + √0,36 = j) 0,4 + 2,43: 9 + 1,2 × 0,9 = k) (1 − 0,8): √0,04 + 3,4 = l) 2 + 2,8: 2 − √0,0273 × 5 = m) (2,5 − 1,2) . 0,25 + 1,4 = n) (0,6 + 0,5) + 2,25 − 2 : √64 = ñ) (0,75 − 0,5): (0,6 − 0,1) + 0,3 × 6 = o) (8,5 − 5: 10) − (8: 10 + 0,2) =

p) 7,5: 5 + ∙ − 0,6 = q) (1 − 0,5 ): 5 − + 0,4 =

r) : − + 2 − 3 = s) ∙ ∙ + 3 − =


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1. Representa en una misma recta numérica: , , 2. Compara los siguientes pares de racionales:

a) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ b) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ c) 8∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ d) 0,700 … … … 0,7 e) 0,36 … … … 0,4 f) 05,11 … … … 5,09 3. Escribe la expresión decimal de los siguientes números y clasifícalos:

a) b) c) d) e)

4. Simplifica: a) = b) = c) = 5. Escribe como fracción decimal, cuando sea posible:

a) b) c) d)

6. Resuelve: a) 1 − + = b) ∙ : = c) 4,5 + 9,3 − 3,07 = d) 0,26 × 0,4 = e) 27 × 1,03 =

f) 15,72 ∶ 0,3 = g) 420,9 ∶ 0,06 = h) =

i) = j) 3 = k) =

7. Calcula: a) de 140 b) de c) el 40% de 1.400 8. Separa en términos y resuelve:

a) : 3 + ∙ 1 + + ∙ = b) 0,4 + : − + 3 =

c) 50 × 1,2 − 9,6 ∶ √0,36 − 2,2 × 2 = d)1,4 − 3,2: 4 − √0,0013 + 4,2 × 2 =


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TRIÁNGULOS 1. ¿Con cuál de las siguientes ternas de segmentos se puede construir un triángulo? ¿Por qué? ¿Qué clase de triángulo se forma en cada caso? a) 18 cm, 30 cm, 50 cm c) 30 cm, 30 cm, 60 cm b) 30 cm, 40 cm, 55 cm d) 3 cm, 4 cm, 5 cm 2. Resuelve los siguientes problemas, planteando una ecuación: a) ¿Cuántos metros de alambre se necesitan para cercar un terreno triangular sabiendo que el primer lado mide 15m, el segundo lado es el doble del primero y el tercero tiene 12m más que el primero? b) Si el perímetro de un triángulo mnp es de 17cm, mide 4cm y es el doble de

, calcula la medida del lado . c) ¿Cuánto mide cada lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 42 cm? d) ¿Cuánto miden los lados congruentes de un triángulo isósceles si su perímetro es de 117cm y el lado distinto es de 43cm? e) En un triángulo isósceles cada uno de los lados congruentes mide 3 cm más que el lado distinto. Si el perímetro es igual a 18 cm, ¿cuánto mide cada lado? f) Guillermo recorrió 312m al dar una vuelta alrededor de la pista formada por dos triángulos isósceles congruentes. Si mide 42m, ¿cuánto mide ?

g) En el triángulo abc el lado bcmide 10 cm más que ab y ac mide 10 cm más que . Si el perímetro es igual a 69 cm, ¿cuánto mide cada lado? h) Calcula la medida de cada lado del triángulo de la figura cuyo perímetro es 32cm. i) Calcula el perímetro del triángulo isósceles de la figura:

a

c

d

e b

= − 2 = = + 4

a

b

c

a

= 4 − 15 = 2 + 5 = 2

b

c


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3. Calcula el valor de cada ángulo interior de los siguientes triángulos:

a)

º35ˆº102ˆº153ˆ

xcxb

xa

b)

º30ˆº602ˆ

º10ˆ

xxx

c)

º62ˆº22ˆº155ˆ

xnxmx

d)

º352ˆº54ˆ

xbxa

e)

º202ˆº204ˆ

xbxa

f)

º162ˆº105ˆ

xcxb

4. Calcula el valor de los ángulos interiores y exteriores de cada triángulo:

a) = 2 − 3°= 5 + 6° b)

= 148° = 4 = 3 + 1°

c) = 90° = 4 + 2°

= 2 − 18° d)

= 2 = 48°

≅

a

b

c δ α

β b

c a

n

m p a b

c

a

b

c a

c b

m

n

p

π

b

a c

α

b

a c

γ a

b

c


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5. Traza: a) las mediatrices de los lados de un triángulo escaleno rectángulo y de un triángulo escaleno obtusángulo. ¿Qué sucede con el circuncentro en cada caso? b) las bisectrices de los ángulos de un triángulo escaleno rectángulo y de un triángulo escaleno obtusángulo. ¿Qué sucede con el incentro en cada caso? c) las medianas de los lados de un triángulo escaleno rectángulo y de un triángulo escaleno obtusángulo. ¿Qué sucede con el baricentro en cada caso? d) las alturas correspondientes a los lados de un triángulo escaleno rectángulo y de un triángulo escaleno obtusángulo. ¿Qué sucede con el ortocentro en cada caso? 6. En un mismo triángulo isósceles, traza la mediatriz, la altura y la mediana correspondientes al lado desigual, y la bisectriz del ángulo distinto. ¿Qué ocurre? 7. El triángulo abc es rectángulo en b : a) Calcula el ángulo c si '24º39ˆ a b) Calcula el ángulo a , si '35º53ˆ c c) Calcula la medida del cateto ab si la hipotenusa es de 15 cm y el otro cateto, de 9 cm. d) Calcula la medida de la hipotenusa, si los catetos son de 6 cm y 8 cm. e) Calcula la medida del cateto bc si el otro cateto es de 15 cm y la hipotenusa, de 25 cm. 8. En un triángulo isósceles, sus lados congruentes miden 10cm cada uno, y la base es de 12cm. ¿Cuánto mide la altura correspondiente a la base? 9. ¿Cuánto mide la base de un triángulo isósceles si sus lados congruentes miden 40 cm y la altura correspondiente a la base es de 24 cm? ¿Cuál es su perímetro? 10. Un poste de 4 m de altura está sostenido por un cable de acero tirante de 5 m de longitud sujeto al extremo del poste y al piso. ¿A qué distancia de la base del poste está sujeto al otro extremo del cable?


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1. En un triángulo escaleno abc, el lado ab mide el doble de bc y el lado ac es 5 cm mayor que bc . ¿Cuánto mide cada uno de los lados si el perímetro es de 69 cm? 2. Verdadero o falso? Justifica cuando sea falso.

a) Todo triángulo equilátero es isósceles. b) Todo triángulo isósceles es equilátero. c) Ningún triángulo acutángulo es escaleno. d) Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero. e) Todo triángulo isósceles es acutángulo.

3. Calcula el valor de los ángulos interiores y exteriores de cada triángulo:

a) = 2 − 30°= + 55° = 3 − 68°

b) = 3 − 23°= 4 + 8°

4. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 12 cm y la hipotenusa es 20 cm. 5. Traza el circuncentro de un triángulo isósceles obtusángulo.

a

b c

α

β γ


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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Según cuenta la historia… …del mismo modo que el hombre necesitó del lenguaje para poder comunicarse, también necesitó del número para poder desarrollar determinadas actividades. La primera y primordial: contar. El concepto de número es tan antiguo como lo son las más antiguas civilizaciones. En un principio el hombre se valió de manos y pies para poder contar, más tarde de piedras, hasta que, poco a poco, se fue generando en él la necesidad de crear distintos sistemas de numeración (más o menos sencillos), algunos de los cuales no han perdido vigencia con el transcurso del tiempo. Del hecho de contar con los dedos surgió la noción de número dígito. Sin embargo, poco a poco los dígitos también se volvieron insuficientes, haciéndose necesaria la incorporación de nuevos elementos. El conjunto de dígitos se agrandó para darle cabida a un sinnúmero de nuevos miembros, originándose así el conjunto de los números Naturales. Para referirnos a todos los números naturales, usamos el símbolo ℕ. También se puede escribir ℕ del siguiente modo: ℕ = {1,2,3,4,5,6, … } Si escribimos ℕ , el conjunto se considera a partir del cero: ℕ = {0,1,2,3,4,5,6, … } Una representación de los números naturales muy utilizada es ubicarlos en la recta numérica. Los números naturales se encuentran a la derecha del 0, y los números mayores son los que se ubican más lejos del 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Características de ℕ * El conjunto de los números naturales tiene una cantidad ilimitada de elementos, por eso, se dice que es un conjunto infinito. * ℕ tiene un primer elemento, pero no tiene último.


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* Cualquiera sea el número natural que se elija, siempre es posible hallar su siguiente; basta con sumar uno al número pensado. Si el número pensado es cero, también se puede calcular el siguiente. * No siempre es posible hallar el anterior de un número natural: si el número pensado es el uno, su anterior es el cero. Si, en cambio, pensamos en el cero, su anterior no pertenece al conjunto ℕ. * Entre dos elementos existe un número determinado de elementos, excepto que sean consecutivos. Los conjuntos que cumplen esta propiedad se llaman conjuntos discretos. * Dados dos números naturales cualesquiera, a y b, entre ellos se cumple una de estas tres relaciones y solo una: a=b (a y b son iguales a<b (a es menor que b) a>b (a es mayor que b) Por eso decimos que el conjunto de los números naturales está totalmente ordenado. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Se llama múltiplo de un número al producto de este por un número natural cualquiera. 3 ∙ 0 = 0 3 ∙ 1 = 3 3 ∙ 2 = 6 3 ∙ 3 = 9 También se puede definir al múltiplo como un número que contiene a otro una cantidad exacta de veces. Por ejemplo, 12 es múltiplo de 3 porque 3 está contenido exactamente 4 veces en el 12 Los conceptos de múltiplo y divisor están muy relacionados: decir que “a es múltiplo de b” es equivalente a decir que “b es divisor de a”. En el ejemplo anterior: “12 es múltiplo de 3” es equivalente a decir “3 es divisor de 12” Analizando un poco más el ejemplo dado vemos que 12 = 4 ∙ 3 entonces podemos decir que 12 es múltiplo de 3 y también es múltiplo de 4 lo que nos lleva a concluir que siempre un producto es múltiplo de sus factores. De igual manera, si expresamos que 3 y 4 son

Múltiplos de 3


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divisores de 12, podemos concluir que siempre los factores son divisores de sus productos. Un número es divisible por otro cuando la división entre ellos es exacta. En el ejemplo, 12 es divisible por 3 porque 12: 3 = 4 y el resto de esta división es 0. Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten saber cuándo un número es divisible por otro, sin necesidad de hacer la división: * Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es 0 o par * Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 * Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4. * Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó 5. * Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3. * Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 * Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. * Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. Podemos resumir lo anteriormente explicado de la siguiente manera: Cuando la división entre dos números a y b es exacta, es decir que el resto es cero, se dice que: a es múltiplo de b b es divisor de a a es divisible por b

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Un número natural es primo cuando tiene solo dos divisores distintos: el 1 y el mismo número. Por ejemplo, 13 es primo porque sus únicos divisores son el 1 y el mismo 13. Un número natural, distinto de cero, es compuesto cuando tiene más de dos divisores distintos, es decir, cuando tiene otros divisores además del 1 y de él mismo. Por ejemplo, los divisores de 10 son 1, 2, 5y 10, entonces es un número compuesto. El número 1 no es primo ni es compuesto. Todo número compuesto se puede factorear, esto significa expresarlo como un producto entre todos sus divisores primos. Por ejemplo, a 30 se lo puede expresar así: 53230

Para descomponer un número en sus factores primos:


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*se lo puede dividir por el menor número primo posible que sea divisor de él, *se repite el procedimiento con el cociente obtenido y así sucesivamente, hasta llegar al 1. El número dado es igual al producto de los divisores primos de las divisiones efectuadas. Ejemplo: 90 2

45 3 15 3

5 5 1 Es decir, se traza una recta vertical y a la derecha se escriben los divisores primos del número que se quiere factorear y a la izquierda, los resultados de las divisiones.

MÚLTIPLO COMÚN MENOR Y DIVISOR COMÚN MAYOR El múltiplo común menor de varios números es el menor de los múltiplos comunes a ellos, exceptuando al cero. Se simboliza así: m.c.m. El divisor común mayor de varios números es el mayor de los divisores comunes a ellos. Se simboliza así: d.c.m. Un procedimiento práctico para encontrar el m.c.m. y el d.c.m. es el siguiente: *Se factorean los números *Se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente para obtener el m.c.m. *Se multiplican los factores comunes con su menor exponente para obtener el d.c.m. 45 3 30 2 15 3 15 3 5 5 5 5 1 1 45 = 3 ∙ 5 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 NÚMEROS COPRIMOS O PRIMOS ENTRE SÍ Dos números son coprimos o primos entre sí si el único divisor común entre ellos es el número uno. Por ejemplo, 2 y 9 son coprimos, o también 15 y 16, pues no tienen divisores comunes

90 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 90 = 2 ∙ 3 ∙ 5

(45,30) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 90

(45,30) = 3 ∙ 5 = 15


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PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

La palabra Geometría deriva de “geo” (tierra) y “metrón” (medida) y significa “medida de la tierra”. Es una de las ramas de la Matemática más antigua que se conoce. Hombres como Euclides, Thales, Pitágoras, que quizás hayas escuchado nombrar, fueron grandes geómetras de la antigüedad. Los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicar la naturaleza nacieron en forma práctica a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto. Cuando las aguas de este río crecían, se producían inundaciones que borraban los límites de los terrenos y, entonces, era necesario volver a marcarlos, medirlos y crear diques paralelos para encauzar las aguas. Por otra parte, la arquitectura egipcia desarrolló verdaderas maravillas en las que aplicaron sus conocimientos de aritmética y geometría, como se lo aprecia por ejemplo en la orientación y construcción de sus templos y pirámides. Los egipcios habían adquirido una gran habilidad en “el arte de medir la tierra”, ya que inventaron procedimientos y técnicas que se fueron transmitiendo de generación en generación. Este conocimiento de los egipcios pasó luego a los griegos, que dieron a la Geometría su carácter de ciencia. La Geometría se basa en tres conceptos primitivos: el punto, la recta y el plano. A estos tres elementos se los denomina entes fundamentales, y se caracterizan porque no se pueden definir, solo se pueden describir mencionando sus características. Un punto está representado, por ejemplo, por la marca que deja la punta de un lápiz que se apoya en la hoja o la tiza en el pizarrón, se suele dibujar con una cruz pequeña o simplemente con un punto y se lo nombra con una letra imprenta minúscula. Cuando se representa gráficamente una recta o un plano, solo se dibuja una parte o porción de ellos, ya que se sobreentiende que son ilimitados. Una recta se nombra con letra imprenta mayúscula, y en los extremos del dibujo se trazan pequeñas flechas para indicar que “se continúan” infinitamente. Para nombrar a un plano se emplean letras del alfabeto griego, generalmente π o α. Además de los entes fundamentales, la geometría se construye a partir de axiomas o postulados. Estos son verdades o afirmaciones tan evidentes que no necesitan ser demostradas.


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Algunos de los axiomas sobre los que se construye la Geometría son: 1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos. 2. Dos puntos determinan una única recta a la cual pertenecen. 3. Por un punto se pueden trazar infinitas rectas. 4. Tres puntos no alineados determinan un único plano al cual pertenecen. 5. Una recta y un punto no perteneciente a ella determinan un único plano en el que están incluidos. 6. Por una recta se pueden trazar infinitos planos. También se enuncian teoremas, que son verdades no tan evidentes como los axiomas, y que por lo tanto si necesitan ser demostrados. A partir de los tres entes fundamentales que se han nombrado se definen las diferentes figuras geométricas, un poco más complejas y con propiedades particulares: semirrecta, segmento, semiplano, ángulo, triángulo, cuadrilátero, polígono, circunferencia, etc.

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LOS NÚMEROS RACIONALES(ℚ) Hay muchas situaciones de la vida cotidiana en las cuales utilizamos números. Para contar, para expresar nuestra edad, para dar direcciones o teléfonos, etc, recurrimos a los números naturales. Pero si, por ejemplo, debemos calcular el peso o la estatura de una persona, los precios en un supermercado, necesitamos utilizar números racionales. Los racionales son todos aquellos números que se pueden expresar como un cociente o razón entre dos números enteros cualesquiera, siempre que el divisor sea distinto de cero. Por ejemplo: = 8: 5 = 1: 10 = 4 1,4 = 0 =

Estos números pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse y el resultado es siempre un número racional. La única operación no permitida es la división por cero. Si representáramos todos los números racionales sobre la recta numérica, quedarían “apretadísimos”: entre dos números racionales siempre puede encontrarse una cantidad infinita de ellos. Esto significa que el conjunto ℚ es un conjunto denso.


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Todo número racional puede expresarse como una fracción o como un decimal, en algunas situaciones es más conveniente expresar una cantidad con una fracción y en otras con un decimal, aunque ambas expresiones representen el mismo valor. Por ejemplo, decimos que hemos comprado ¾ kg de pan y no 0,75 kg; o expresamos que gastamos $ 4,5 y no 9/2 de peso. Una fracción tiene diferentes significados: a) La fracción como parte de un todo: Una fracción expresa la relación entre una parte y una totalidad. Esta relación puede ser entre las partes de un objeto o entre los elementos de un conjunto. Por ejemplo: →2 de las 3 franjas iguales de nuestra bandera son de color celeste y esto se representa con la fracción . En este caso, la totalidad es la superficie de la bandera y la parte es la

franja celeste. → si 2 de las 5 macetas de mi jardín tienen flores rojas represento esta cantidad con la fracción . En este caso, la totalidad es el conjunto de las 5 macetas, y la parte son las

macetas que tienen flores rojas. b) La fracción como operador: Una fracción aplicada a una cantidad actúa sobre ella multiplicándola por su numerador y dividiéndola en tantas partes como indique su denominador. Por esta razón, se dice que la fracción “opera sobre la cantidad” o que la fracción es un “operador”. Por ejemplo: si se confecciona una bandera argentina de 6 m2 de superficie, se necesitarán de esa cantidad de tela celeste, es decir de 6 m2 y lo

calculamos así: 23

de 6 m =23

∙ 6 m

= (2 ∙ 6 ): 3 = 4 c) La fracción como porcentaje: Una fracción puede expresarse como un porcentaje, para lo cual se amplifica o simplifica la fracción hasta obtener una fracción equivalente con denominador 100 (siempre que sea posible). Por ejemplo:

45

=80

100

= 80%


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EL LENGUAJE DE LA MATEMÁTICA En la vida diaria se emplean distintos tipos de lenguaje. Por ejemplo, cuando contamos lo que hicimos durante el último fin de semana, o cuando un locutor de radio emite su programa, se emplea el lenguaje de las palabras. Este se llama lenguaje coloquial. Pero, si queremos explicarle a alguien cómo llegar a una casa ubicada en una zona rural, es mejor utilizar un croquis o un plano, porque transmite la explicación más claramente. En este caso, empleamos el lenguaje gráfico. Muchos profesionales, como arquitectos, publicistas, diseñadores y cartógrafos, emplean casi constantemente este lenguaje gráfico. Cuando caminamos por la calle o recorremos una ruta, podemos ver una gran variedad de carteles. Algunos de ellos son señales de tránsito. Otros, presentan símbolos que indican la cercanía de una iglesia, de un hospital o de cualquier otro lugar o característica de la zona. En este caso, se emplea el lenguaje simbólico. Muchas ciencias, como la Matemática, la Química y la Física, utilizan mucho el lenguaje simbólico y por ello, tienen símbolos propios y ciertas convenciones que deben ser respetadas en su uso. El lenguaje simbólico es de utilidad para expresar generalizaciones, fórmulas o propiedades; para simplificar o acortar expresiones; etc. También, muchos problemas se pueden resolver traduciendo sus enunciados al lenguaje simbólico. De un lenguaje a otro… Traducir es expresar una idea de un idioma a otro. En Matemática, cuando se expresa una información de un tipo de lenguaje a otro, se realiza algo parecido a una traducción.

LENGUAJE

COLOQUIAL LENGUAJE

SIMBÓLICO

LENGUAJE

GRÁFICO


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Andrés expresó el cálculo en lenguaje simbólico. Laura pensó su traducción en lenguaje coloquial.

En este caso, Andrés se expresó en lenguaje coloquial. Laura en cambio, pensó cómo decir lo mismo en el lenguaje simbólico. Para hacerlo, “bautizó” con la letra x a un número cualquiera, y expresó como 2. a su doble, y como 3. a su triple. También usó los símbolos de la adición, de la multiplicación y de la igualdad.

En este ejemplo, Laura usó el lenguaje gráfico para representar las cantidades de agua y de tierra que hay en nuestro planeta, relacionándolos entre sí. Andrés usó el lenguaje coloquial para expresar la misma relación. Matemática 7 - Carpeta de actividades Eduardo Trama, Liliana Laurito y otros Editorial Estrada - 2003

5 + 2 . 5 = 15 Si a cinco le sumo el doble de cinco, obtengo quince.

+ 2. = 3. Si a cualquier número le sumo el doble del mismo número, obtengo su triple.

Este gráfico muestra la relación entre las superficies de agua y de tierra en el planeta

Casi las tres cuartas partes de nuestro planeta están ocupadas por agua. tierra

agua


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LAS VENTAJAS DEL SISTEMA Los números naturales acompañaron al ser humano desde sus orígenes. Todas las culturas, incluso las más primitivas, han ideado alguna forma de contar, ya se tratase de objetos, personas o animales. Pero de allí a hablar de un sistema de numeración, hay un trecho muy largo. Y más largo todavía para llegar al sistema que empleamos todos los días: el sistema decimal. Aunque resulte extraño, recién en el último tramo de la historia, la humanidad, al menos casi toda, adoptó esa sencilla forma de escribir los números mediante su descomposición en unidades, decenas, centenas, etc. Por supuesto, esto no se debe a que las personas de hace unos siglos no tuvieran diez dedos. La idea de agrupar a los elementos en decenas es muy antigua, como se puede ver en la denominación que tienen ciertos números en algunos idiomas. Por ejemplo, en inglés “once” se dice eleven, que es una deformación de one left over: esto nos hace pensar en un pobre dedo que ha quedado afuera de la cuenta. Otra culturas usaban también los dedos de los pies: en francés, ochenta se dice quatre-vingts, es decir, “cuatro veintes”. Algo parecido ocurre en el idioma danés, lo que lleva a suponer complicadas escenas en los mercados de París o Copenhague, con gente sacándose los zapatos para poder calcular el precio de las zanahorias. Los babilonios tenías un sistema todavía más extraño, en base a sesenta: aprenderse de memoria las tablas de multiplicar debía ser un suplicio. En cualquier caso, ya sea de a diez, veinte o sesenta, la idea de agrupar cantidades para formar otras mayores no era nueva en la Edad Media. La gran novedad del sistema introducido en Europa en el siglo XIII – a partir de la traducción de los textos árabes – es la idea del sistema posicional, en el cual las cifras tienen distinto valor según la posición que ocupan en el número. Un verdadero milagro, que sólo fue posible gracias a un pequeño y misterioso elemento, desconocido por los europeos de aquel entonces: el cero. En esta nueva forma tan organizada de contar, si uno quiere escribir la cantidad “trescientos siete” es preciso tener justamente un símbolo que manifieste la ausencia de decenas: tal es el rol que cumple el cero en la expresión 307. Es difícil imaginar cómo serían nuestras operaciones aritméticas de no contar con este sistema, que además permite pensar números tan grandes como tengamos ganas, mediante la simple estrategia de agregar cada vez más cifras. Tal vez deberíamos ser como el protagonista de Funes el memorioso, aquel extraordinario cuento del escritor Jorge Luis Borges, que crea una forma de numeración de lo más curiosa: Por ejemplo, en lugar de “siete mil trece”, decía Máximo Pérez. Cada número se llamaba de una manera especial:


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algunos sonaban un tanto extraños, como Luis Mellián Lafinur, la ballena, o Napoleón. Y para decir “quinientos” se inventó un nombre genial: nueve. La escritura posicional evita que uno se vea obligado a recordar una gran cantidad de símbolos distintos: todo número se escribe como una combinación de apenas diez dígitos. Y en realidad podrían ser menos: hay un sistema que emplea nada más que dos. Pero no nos apuremos, esto es algo que veremos en otro momento. Pablo Amster. Matemática 1. Logonautas Ed. Puerto de Palos. 2008

LOS NÚMEROS Y SUS ORÍGENES. Existe una frase muy popular que declara: “los números gobiernan el mundo”. Evidentemente es un poco exagerada, ya que la matemática no puede identificarse solamente con números. Hay ramas como la geometría que utilizan otros conceptos. Si tenemos en cuenta tanto las edades, como los domicilios, las estaturas, las distancias, el tiempo, las temperaturas, la presión arterial, los números telefónicos y los de documentos, las calificaciones, las fechas… todos estos datos se indican con números, y podríamos seguir dando más ejemplos. Seguramente esta profusión de números a nuestro alrededor dio origen a la frase que mencionamos; quizá pueda decirse que son indispensables, pero no son los “gobernadores” de este mundo. Los conjuntos de números no aparecieron, históricamente, en el orden en que hoy se los estudia en la escuela. En la actualidad, se define a los números naturales mediante axiomas; luego a los enteros, que se obtienen mediante las diferencias entre dos naturales; los racionales, que son razones entre enteros, con el divisor distinto de cero, y se puede definir a los números reales, de distintas maneras. Veamos algunos aspectos del largo camino que los hombres recorrieron, descubriendo, negando y aceptando, hasta llegar a enunciar la sólida teoría que hoy los sostiene. En los remotos tiempos de la Prehistoria, cuando aún no existía la escritura, las comunidades humanas precisaron contar cuando se hicieron sedentarias, al comenzar el periodo neolítico. Aparecieron sistemas de numeración en forma oral y es allí donde se


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originan los números naturales. Al parecer la escritura comienza la Historia, entre el 4000 a.C. y el 3500 a.C. Tanto en Egipto como en la Mesopotamia asiática, al adquirir la escritura, también aparecen sistemas de numeración. Estos pueblos manejaron los números naturales y más tarde, las fracciones. Éste es el origen de los números racionales, aunque sólo consideraban los positivos. En el siglo VI a.C. Pitágoras, uno de los mayores exponentes de la antigua cultura griega, fundó su famosa escuela. Los pitagóricos sostenían que el principio de todo era el número. Consideraban que los números eran los enteros positivos, o sea, los naturales, y que las fracciones derivaban de ellos. Los pitagóricos hicieron un notable descubrimiento: los números irracionales. Al intentar calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con catetos de 1 unidad, apareció√2 como medida de la hipotenusa, originándose un segmento que no podían medir porque siempre tiene un decimal más… Esto produjo una gran conmoción en la escuela pitagórica y decidieron mantenerlo en secreto, lo cual prueba que fuertes sentimientos acompañaron el desarrollo de la Matemática en su historia. Irene Zapico. Matemática 3. Logonautas Ed. Puerto de Palos.2008 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c uadernillo de a ctividades · instituto e spÍritu santo m atemÁtica 1º a Ño - 11 - 10 ....

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