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TutorialMT-b2

Matemática 2006 Tutorial Nivel Básico

Números Racionales

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Números RacionalesMarco teórico:1. Definición:

Los racionales son los números que puede expresarse de la forma ab

= K con a, b ∈ Z y b ≠ 0,

en donde a : numerador, b : denominador y k : cuociente

2. Transformaciones

De fracciones a decimales. Es la más sencilla de las transformaciones: sólo debemos dividir el

numerador por el denominador. Ejemplo: 12

= 1: 2 = 0,5

De decimales finitos a fracciones. Se debe tomar el número completo sin la coma y colocarlo como numerador. Luego colocar como denominador un 1 acompañado de tantos ceros como

dígitos existan en la parte decimal. Ejemplo 0,42 = 42100

De decimales periódicos a fracciones. Se debe tomar el número completo sin la coma y sin el símbolo de peridiocidad y colocarlo como numerador. Luego colocar como denominador tantos nueves como dígitos posea el período.

Ejemplo: 0,45 = 4599

De decimales semiperiódicos a fracciones, se debe tomar el número completo sin la coma y colocarlo como numerador y restarle la parte no periódica. Luego colocar como denominador tantos nueves como dígitos posea el período, seguidos de tantos ceros como dígitos tenga el anteperíodo.

Ejemplo: 0,43896 = 43896 - 4399900

= 4385399900

3,154 = 3154 - 315900

= 2839900

3. Fracciones equivalentes

Si ab

=cd

=ef

= k con a,b,c,d,e,f ≠ 0 Ejemplo: 12

= 24

= 1020

= 0,5

4. Amplificación

Se dice de la operación que consiste en multiplicar numerador y denominador por la misma cantidad, obteniendo una fracción equivalente.





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5. Simplificación

Se dice de la operación que consiste en dividir numerador y denominador por la misma cantidad obteniendo una fracción equivalente.

6. Operatoria

Adición y sustracción

ab

± cd

= ad ± bc

bd con a,b,c,d ≠ 0 Ejemplo: 3

2 + 4

5 = 15 + 8

10 = 23

10

Multiplicación

ab

∙ cd

= acbd

con a,b,c,d ≠ 0 Ejemplo: 79

∙ 83

= 5627

División

ab

÷ cd

= adbc

con a,b,c,d ≠ 0 Ejemplo: 98

÷ 65

= 4548

Ejercicios

1. ( 12

+ 3) ∙ ( 25

- 4) =

2. 1 + 1

( 1

1 + 12

) =

3. Transforme a decimal

a. 13

=

b. 114

=

c. 16

=



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4. Transforme a fracción

a) 0,345 =

b) 0,16 =

c) 3,121 =

d) 0,006 =

5. 250500

- 82164

+ 762381

=

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

6. ( 34

+ 27 ) ÷ 5

28 =

A) 529

B) 1

C) 295

D) 4729

E) Otro valor





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7.

26

+ 918

210

+ 615

=

A) 1518

B) 2518

C) 915

D) 6554

E) Otro valor

8.

24

- 28

46

÷

436

- 28

510

=

A) 24

B) 39

C) 99

D) 84

E) Otro valor



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9. 1 + 1

1+ 1

1 + 34

=

A) 811

B) 711

C) 32

D) 1

E) 1811

10. 0,5 + 0,25 =

A) 0,3

B) 310

C) 7590

D) 7390

E) Otro valor

11. 0,35 + 1

5 - 0,5

0,1 + 2

4 =

A) 33

B) 12

C) 2

D) -1

E) 0





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12. La quinta parte de un álbum fotográfico tiene 20 fotografías. ¿Cuántas fotografías tiene el álbum completo?

13. Si tengo $10000 y gasto la quinta parte en el supermercado, la cuarta parte en el cine y la décima parte en locomoción, ¿cuánto dinero me queda?

14. La tercera parte de la mitad de las tres cuartas partes del cuádruple del doble de 2350, resulta

A) 4700 B) 2350 C) 7050 D) 9400 E) Otro valor

15. Pagamos $40 por un libro, un cuaderno y un lápiz. El precio del cuaderno es un cuarto del precio del libro. El lápiz cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro?

A) $ 2,5 B) $ 5,0 C) $ 7,5 D) $ 30 E) $ 40



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Respuestas

Preg. Alternativa

1 -635

2 52

3 a) 0,3 b) 2,75 c) 0,16

4

a) 69200

b) 16

c) 3118999

d) 1

150

5 C

6 C

7 B

8 E

9 E

10 D

11 A

12 100

13 $ 4500

14 B

15 D





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Solucionario 1. ( 1

2 + 3) ∙ ( 2

5 - 4) Por prioridad operatoria primero desarrollamos los paréntesis:

(1 + 62 ) ∙ (2 - 20

5 ) Luego sumando los numeradores:

( 72 ) ∙ ( -18

5 ) Luego multiplicando las fracciones:

7 · -182 · 5

= -12610

= Simplificando por 2:

-635

2. 1 + 1

( 1

1 + 12

) = Desarrollando el paréntesis por prioridad de operatoria:

1 + 1

( 12 + 1

2) = Siguiendo con el desarrollo del paréntesis:

1 + 1

( 132

) = Dividiendo 1

32

en el paréntesis obtenemos 1 ÷ 32

= 23

:

1 + 123

= Dividiendo 123

obtenemos 1 ÷ 23

= 32

:

1 + 32

= Luego sumando:

1 · 2 + 32

= Multiplicando:

2 + 32

= Sumando:

52



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3. a) 13

Se divide numerador por denominador:

1 ÷ 3 = 0,3333... = 0,3

∴ 13

= 0,3

b) 114

= Se divide numerador por denominador:

11 ÷ 4 = 2,75

∴ 114

= 2,75

c) 16

= Se divide numerador por denominador:

1 ÷ 6 = 0,16666... = 0,16

∴ 16

= 0,16

4. a) 0,345 = Dividimos el número sin la coma por 1000:

3451000


69200

b) 0,16 = Dividimos el número sin coma por 90 y al numerador le restamos la parte no periódica (el 1):

16 - 190

= Restando el numerador:

1590

= Finalmente, simplificando por 15:

16





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c) 3,121 = Dividimos el número sin coma por 999 y al numerador le restamos la parte no periódica (el 3):

3121 - 3999

= Restando el numerador:

3118

999

d) 0,006 = Dividimos el número sin coma por 900 y al numerador le restamos la parte no periódica (cero):

6 - 0900

= Restando numerador:

6900


1150

5. Alternativa correcta letra C)

250500

= 12

Simplificando por 250:

82164

= 12

Simplificando por 82:

762381

= 2 Dividiendo:

Por lo tanto: 250500

- 82164

+ 762381

= 12

- 12

+ 2 = Restando las fracciones:

0 + 2 = 2

6. Alternativa correcta letra C)

( 34

+ 27 ) ÷ 5

28 = Resolviendo paréntesis:

( 21 + 828 ) ÷ 5

28 = Sumando el numerador del paréntesis:



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2928

÷ 528

= Resolviendo división de fracciones:

2928

⋅ 285

= Simplificando:

295

7. Alternativa correcta letra B)

26

+ 918

210

+ 615

= Simplificando cada fracción:

13

+ 12

15

+ 25

= Sumando fracciones:

2 + 36

35

= Sumando numerador:

56

35

= Dividiendo fracciones:

56

∙ 53

= Multiplicando:

2518





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8. Alternativa correcta letra E)

24

- 28

46

÷

436

- 28

510

= Simplificando cada fracción:

12

- 14

23

÷

19

- 14

12

= Restando fracciones:

2 - 14

23

÷

4 - 936

12

= Restando numeradores:

14

23

÷

-536

12

= Dividiendo cada término:

14

∙ 32

÷ -536

∙ 21

= Multiplicando fracciones y simplificando:

38

÷ -518


38

⋅ -185


34

⋅ -95

= Multiplicando:

-2720



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9. Alternativa correcta letra E)

1 + 1

1+ 1

1 + 34

= Este tipo de expresión se comienza a resolver desde la fracción inferior:

Luego primero resolvemos 1 + 34

= 4 + 34

= 74

, entonces:

1 + 1

1+ 174

= Ahora resolvemos 174

= 1 ÷ 74

= 1 ∙ 47

= 47

, entonces:

1 + 1

1+ 47

= Ahora resolvemos 1 + 47

= 7 + 47

= 117

, entonces:

1 + 1117

= Ahora resolvemos 1117

= 1 ÷ 117

= 1 ⋅ 711

= 711

, entonces:

1 + 711

= Ahora sumando fracciones:

11 + 711

= 1811

10. Alternativa correcta letra D)

0,5 + 0,25 = Transformando a fracción:

59

+ 25 - 290

= Restando numerador:

59

+ 2390


50 + 2390


7390





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11. Alternativa correcta letra A)

0,35 + 1

5 - 0,5

0,1 + 2

4 = Transformando a fracción:

35100

+ 15

- 12

110

+ 24

= Simplificando:

720

+ 15

- 12

110

+ 12


7 + 4 - 1020

110

+ 12


120

110

+ 12


1020

+ 12

= Simplificando y sumando:

1 = Lo que se puede representar por:

33

12. Recordemos que si el álbum está dividido en quintos, el álbum completo tendrá 5 quintos.Luego si la quinta parte de un álbum fotográfico tiene 20 fotografías, los otros 4 cuartos tendrán 4 · 20 = 80 fotografías. Luego el álbum tiene en total 20 + 80 = 100.

13. La quinta parte de $10000 es 100005

= 2000

la cuarta parte de $10000 es 100004

= 2500

la décima parte de $10000 es 1000010

= 1000

, luego gasté 2000 + 2500 + 1000 = 5500

y dado que tenía $10000, ahora me quedan $10000 - $5500 = $4500


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14. Alternativa correcta letra B)

En este tipo de ejercicio la palabra “de” debe sustituirse por una multiplicación, de donde resulta:

13

· 12

· 34

∙ 4 ∙ 2 ∙ 2350 = Simplificando los números 2,3 y 4 en denominadores y numeradores, resulta:

2350

15. Alternativa correcta letra D)

Si llamamos al precio del libro X, como el precio del cuaderno es un cuarto del precio del libro, lo representaremos como

X4

, además como el precio del lápiz es un tercio del precio del cuaderno, lo representaremos

como X4

÷ 3 = X4 · 3

= X12

Luego precio libro = X

Precio cuaderno = X4

Precio lápiz = X12

,recordando que pagamos $40 por un libro, un cuaderno y un lápiz, entonces reemplazando

40 = X + X4

+ X12

Sumando el lado derecho de la igualdad:

40 = 12X + 3X + X12

Luego sumando el numerador de la fracción:

40 = 16X12

Simplificando la fracción por 4:

40 = 4X3

Multiplicando la ecuación por 3:

120 = 4X Dividiendo la ecuación por 4:

30 = X

Por lo tanto, el libro cuesta $ 30

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