c uadernillo de a ctividades -...

INSTITUTO ESPÍRITU SANTO MATEMÁTICA 6º AÑO B

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CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Profesora Silvia Pastori

Apellido y Nombres:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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PROGRAMA

UNIDAD N º1: RADICALES ARITMÉTICOS *Radicales aritméticos: generalidades *Extracción de factores del radical *Operaciones con radicales *Racionalización de denominadores Unidad Nº 2: ESTADÍSTICA *Población, muestra, variables *Frecuencias, media, moda y mediana *Gráficos estadísticos *Parámetros de dispersión . UNIDAD N º3: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS *Ángulos orientados: sistemas de medición. *Razones trigonométricas: Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. *Relaciones fundamentales. *Identidades trigonométricas UNIDAD N º4: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS *Función trigonométrica *Líneas trigonométricas *Valores de las FT de ángulos notables *Graficas de funciones trigonométricas *Reducción al primer cuadrante


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RADICALES ARITMÉTICOS

1) Expresa cada radical como potenciación de exponente fraccionario: a) √5 = b) √ = c) √7 = d) √ = 2) Escribe como radical:

a) 8 = b)

= c) 8 = d) −

= 3) Extrae factores fuera del signo radical: a) √320 = b) √44 = c) √9 =

d) √128 = e) = f) =

4) Suma o resta los siguientes radicales: a) 2√24 + √54 + 2√18 − 5√6 = b) √9 − √25 + √49 = c) 3√8 − 4√18 + 7√50 − √32 = d) 2 √ − 3 √ + 9√ = e) √625 − √81 + 2 √40 + 3√3 f) 5√16 − √54 + √128 = 5) Multiplica o divide los siguientes radicales: a) . = b) √8 .3 √12 . √9 = c) √4 . √4 . √16 = d) : =

e) √8 : √2 = f) √√

= 6) Resuelve las siguientes operaciones combinadas con radicales: a) √6 − √2 ∙ √3 + 1 ∙ 2 = b) √2 . √16 − 2 . 2 = c) √3 √6 − √2 − √12 =


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d) 2 − √5 − 2√10√18 − 8 = e) 36 + √3 + √2 − √42 ∶ √7 = f) √5 + 2 √5 − 2 − √20 + √8 −3√10 = g) √27 + √4 + √2 : √2 =

h) 5 + −√5 − √√

+ √7. √35 = 7) Racionaliza:

a) √

= b) √

= c) √

=

d) 27

= e) 2√

= f) √

=

g) √

3753 = h) √+√

= i) √ √

=

j) 1+ 2√

= k) √

= l) 7− 5√

=

m) 2 15√ √

= n) √

√ += ñ)

√√

=

8) Racionaliza y luego resuelve: a)

√+ √98 = b)

√+ √300 = c) 3√63 −

√=

d) √

√+

√= e)

√+

√−

√ √= f)

√√ √

=

9) Resuelve los siguientes ejercicios y racionaliza el resultado si es necesario:

a) √√

+ 6√8 − 3√18 + 16 = b) √ . √

√=

c) √ √

√ .√ √ .√ √= d)

√√

: =

e) √ √ √

√ √=


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EJERCICIOS DE REPASO

1) Extrae factores fuera del signo radical:

a) √32 = b) =

2) Resuelve: a) √12 − √18 + √2 + 5√0,02 = b) √4 . √2 : √8 = c) 9 + √3 2 − √3 − 9√27 : 3√3 =

d) √√

=

e) √

∙√

= 3) Racionaliza:

a) √

= b) √√

=


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ESTADÍSTICA

1) Una encuestadora privada realizó un estudio para averiguar la preferencia de los argentinos respecto de los candidatos para las próximas elecciones. Se encuestaron en total 6.000 personas de 18 años, de ambos sexos que viven en Córdoba y Buenos Aires. a) ¿Cuál es la variable? Clasifícala. b) ¿Cuál es la población? c) ¿Cuál es el tamaño de la muestra? 2) Completa la tabla escribiendo ejemplos de variables que tengan relación con la que aparece como dato en cada renglón. Observa el ejemplo de la primera fila:

3) Teniendo en cuenta los datos, completa la tabla y realiza un gráfico de barras y un gráfico circular:

valores f fr fr

porcentual F

4) Realiza un gráfico de barras y un gráfico circular teniendo en cuenta los siguientes datos. ¿Cómo podrías organizar esta información?

Cualitativa Cuantitativa discreta Cuantitativa continua

Tipo de flor Cantidad de flores vendidas en distintos puestos

Longitud del tallo de una flor

Equipo de fútbol preferido

Cantidad de kilómetros que recorre un taxista por día

Cantidad de pasajeros que suben a un colectivo por día

Valores obtenidos al lanzar un dado 50 veces: 1 3 4 1 5 2 6 4 2 6 4 1 5 6 3 2 6 2 2 6 4 5 1 4 3 2 4 5 2 2 3 4 1 5 3 4 2 2 1 6 5 1 4 4 3 5 1 4 2 2


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5) Completa la tabla con los datos correspondientes a la estatura (en cm) de los alumnos de 3º año de una escuela de Salta, y luego realiza un histograma 6) Utiliza los datos obtenidos en una clínica de Buenos Aires donde se realizó un estudio para averiguar el peso (en kg) que tuvieron 25 bebés al nacer, para hacer un histograma. 7) La tabla muestra los resultados una encuesta realizada en un pueblo para averiguar la cantidad de mascotas que hay por vivienda:

a) Completa la tabla b) Calcula la media, la moda y la mediana c) Calcula la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación d) Haz un gráfico representativo

Cantidad de

mascotas f fr F

0 10 1 10 2 31 3 15 4 5 5 3 6 3 7 2 8 21

estatura f xn fr Fr

porcentual F

[130;140)

[140;150)

[150;160)

[160;170)

[170;180)

[180;190)

136,7 152,7 155,8 176,7 157,6 159,8 152,8 167,2 182 175,2 159,2 163,2 180,9 157,1 179,3 167,2 165,5 153,4 161,9 155,3 145,3 166,8 153 141,5 150,9 160,2 154,4 149,9 153,5 148,2

Notas de los alumnos de 6º año en una evaluación de Matemática: 3 4 6 2 5 8 3 9 1 4 7 9 6 8 3 7 6 8 9 2 8 5 6 5 4 4 7 9 5 6 4 8 3 5 6 6 5 1 4 8 2 7 3 4 5 4 6 3 4 7 3 10

2,395 4,000 3,500 3,250 2,600 3,450 2,950 3,010 2,950 2,800 2,515 3,100 2,485 3,720 3,850 3,000 3,200 3,900 2,450 3,800 3,750 2,500 2,700 2,650 2,700


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8) Se realizó una encuesta a 200 mujeres de la provincia de Entre Ríos para averiguar el tipo de flor preferida. Analiza el gráfico para responder:

a) ¿Qué tipo de variables se relacionan? b) Completa la tabla c) ¿Cuál es la moda? d) ¿Puede averiguarse la media? Explica la respuesta. e) ¿Cuál es la mediana?

f) Calcula la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación

9) En un hospital se realizó una encuesta a pacientes que padecen distintas afecciones, sobre la cantidad de días que debían concurrir a dicho lugar para un control: a) Completa la tabla b) Calcula las medidas de posición c) Calcula las medidas de dispersión. d) ¿Estás de acuerdo con que el 75% de los pacientes va al menos tres días a control? Justifica tu respuesta.

10) En la tabla se registró la distancia (en km)entre la casa de cada paciente y la clínica en donde se atiende.

a) Completa la tabla. b) Calcula la media c) Indica el intervalo al que pertenece la mediana d) Confecciona el histograma y señala en él la media.

020406080

100

Muj

eres

Tipos de flores

0

200

400

600

800

1000

1 2 3 4 5

paci

ente

s

Cantidad de días

Flor f F

Clavel

Rosa

Orquídea

Jazmín

Fresia

Otras

Cantidad de días

Pacientes

1 2 3 4 5


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11) En el histograma se muestran los puntajes obtenidos por alumnos ingresantes a la Universidad. Completa la tabla y calcula la media y la mediana.

12) El cuadro muestra información sobre las precipitaciones (en mm) registradas durante el mes de Enero en el período 1981-1990 en diferentes localidades de Argentina.

a) Haz la tabla de frecuencias (amplitud del intervalo: 25). b) Confecciona el histograma. c) Calcula la media. d) Determina a que intervalo pertenece la mediana.

13) Se analizaron dos variables en cinco pacientes: el peso y la presión arterial. El peso arrojó los siguientes datos: 70 kg, 60 kg, 56 kg, 83 kg y 79 kg y la presión arterial: 120 mmHg, 150 mmHg, 130 mmHg, 100 mmHg y 110 mmHg. ¿Qué distribución es más dispersa, el peso o la tensión arterial? ¿Son homogéneas estas muestras? Justifica tu respuesta.

0102030405060

alum

nos

notas

4 12 20 32 45 51 48 36 21 13

notas f F xn f. xn

[0;2,5) 45

[2,5;5) 26

[5;7,5) 32

[7,5;10) 23

[10;12,5) 29

[12,5;15) 16

[15;17,5) 16

[17,5;20) 13

Notas f F xn f.xn

(0;10] (10;20]

(20;30] (30;40]

(40;50] (50;60]

(60;70]

(70;80]

(80;90]

(90;100]

121,6 122,7 87,0 106,6 111,2 99,7 139,0 110,6 85,0 137,8 136,0 68,7 124,2 100,0 63,0 148,0 12,6 166,1 156,2 113,7 137,2 48,2 15,3 149,5 166,4 115,7 30,7 150,0 124,0 136,3


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1) Teniendo en cuenta los datos siguientes: a) Completa la tabla b) Realiza un gráfico circular c) Determina la media, la mediana y la moda d) Calcula la desviación estándar y el coeficiente de variación. e)¿Están dispersos o no los datos? ¿Por qué?

2) Los datos siguientes corresponden a la estatura de los jugadores de un equipo de fútbol (en cm). Organiza la información en 5 intervalos de amplitud 5 a) Completa la tabla b) Confecciona el histograma c) Calcula la media d) Determina a qué intervalo pertenecen la mediana y la moda.

Valores (xi) f F fr

fr

porcentual ángulo central

0

1

2

3

4

5

alturas f F xn f. xn

Cantidad de goles convertidos por un equipo de fútbol en 18 partidos: 0 1 4 4 2 3 3 1 2 2 3 1 0 2 0 2 1 5

168 – 164 – 175 182 - 174 – 164 176– 184 – 167 171 – 170 - 165 180 – 172 – 178 169 – 173 – 166 174 - 162 – 168 160 – 173 - 175


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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1) Expresa los siguientes ángulos en el sistema sexagesimal: a) 1 b) 3,5 rad c) 4,2 rad d) 8 e) f) 2) Expresa los siguientes ángulos en radianes: a) 28°37′42" b) 83°45" c) 155°22′ 3) Expresa los siguientes ángulos en radianes, dando las resultados en función de : a) 75º b) 150º c) 210º d) 315º 4) Escribe V o F, justifica cuando sea falso: a) 120º = 120G b) 132,5º = 132º 5’ c) 147,5G = 147G 50M d) 15º 24’ = 924’ e) 50G = ¼ π rad 5) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

a) = 18 = 33°25′8"

b) = 19 = 32

c) ℎ = 35 ℎ = 72°37"

d) = 13 = 5

6) Plantea y resuelve los siguientes problemas: a) Una escalera está apoyada en la azotea de un edificio de 14 m de alto, formando un ángulo de 59º 31’ con el suelo. ¿Qué largo tiene la escalera?

e d

f a

c

b

p

m

n

g

h

i


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b) La base de un triángulo isósceles mide 53 cm y sus lados congruentes, 40 cm cada uno. ¿Cuánto miden sus ángulos interiores? c) Una persona observa un pájaro, que se posó sobre la copa de un árbol, bajo un ángulo de elevación de 15º. ¿A qué distancia del árbol se encuentra la persona si se sabe que la altura del árbol es de 7 m y la del hombre 1,69 m? d) Para averiguar la altura de una iglesia, Mateo se ubica a 100 m de ésta observando con un astrolabio (instrumento usado para medir ángulos de depresión o elevación) que el ángulo con el que ve el punto más alto es de 7º20’. Si Mateo mide 1,76 m, ¿cuál es la altura de la Iglesia? e) Calcula la amplitud de los ángulos interiores de un romboide sabiendo que sus lados menores miden 4 cm, su diagonal menor es de 6 cm y su perímetro, 22 cm. f) Fabio, que mide 1,60 m, mira el extremo superior de una antena con un ángulo de elevación de 17º. Si se acerca a la antena 25,8 m el ángulo de elevación es de 31º. ¿Cuál es la altura de la antena? g) Desde lo alto de una torre se ven dos puntos a y b situados en línea recta con el pie de la misma y en terreno horizontal, bajo los ángulos de depresión de = 35°20′ y

= 19°45′. Calcula la distancia , sabiendo que la torre tiene 42,7 m de altura. h) Halla el área de un trapecio isósceles y la amplitud de sus ángulos interiores sabiendo que su base mayor es de 142 cm, su base menor de 100 cm y su perímetro, 312 cm. i) Desde un punto a nivel del suelo, los ángulos de elevación hacia la punta a y la base b de una antena situada en la cumbre de una colina son 47º54’ y 39º45’. Encuentra la altura de la colina si la altura de la antena es de 100,5 m. j) Calcula el área de un rombo de 4 cm de lado y un ángulo interior de 67º 7) Dado el siguiente triángulo oblicuángulo, halla los elementos que faltan en cada caso:

a) = 3 = 2

= 40° b)

= 15 = 10

= 60°24′38"

c) = 1,5 = 11 = 90

d) = 14

= 30°29′4"= 96°2′58"

8) Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a

b c


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a) Un árbol está situado en la orilla de un río. El extremo superior del árbol, desde un punto b (ubicado en la otra margen del río), se ve bajo un ángulo de elevación de 17º. Si a 25 m de dicho punto y en dirección al árbol, el ángulo de elevación es de 35º, ¿cuál es la altura del árbol? b) Tres pueblos M, N, y P están unidos por carreteras rectas (no están los 3 alineados). La distancia entre M y N es de 6 km y a los pueblos N y P los separan 9 km. Las carreteras que unen M con N y N con P forman un ángulo de 120º. ¿Qué distancia hay entre M y P? c) Calcula la amplitud de los ángulos interiores de un triángulo cuyos lados miden 50 cm, 60 cm y 75 cm. d) Calcula cada diagonal de un rombo cuyo lado es de 3,5cm y uno de sus ángulos es de 135º 48’ e) Halla el perímetro de un romboide abcd sabiendo que la diagonal mayor es

= 28 es y los ángulos distintos son = 120° y = 40°. f) Calcula el perímetro y la superficie del triángulo abc sabiendo que = 115°, el lado opuesto a él es = 20 y el lado = 11 . g) Calcula la longitud de la diagonal mayor de un paralelogramo cuyos lados miden 20m y 12m y uno de sus ángulos es de 116º. h) Calcula el perímetro y la superficie del paralelogramo abcd sabiendo que la diagonal

= 20 , el ángulo = 50° y el ángulo = 30°. i) Calcula la base menor de un trapecio isósceles sabiendo que la base mayor mide 6m, el ángulo adyacente a la base mayor es de 50º y el ángulo que forma la diagonal con la base menor es de 20º j) ¿Cuánto mide cada una de las diagonales de un trapecio isósceles sabiendo que sus bases miden 2 cm y 4 cm, y que el ángulo que forma la base mayor con un lado es de 55º?

a

b c

d

a

25 m d b

35º 17º

c


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9) Calcula el valor de las demás funciones trigonométricas (sin calcular la amplitud del ángulo), sabiendo que: a) = 0,72 b) = 0,35 c) = 1,26 10) Verifica las siguientes identidades trigonométricas: a)

+ =

.

b) ∙ = ( + ) c) 2 ∙ = +

d) (1 + ) ∙ (1 − ) + = 2 e) ∙ = ( + ) f) 1

1− 2 − 12 −1 = 1

g) ∙ + = 1 − h)

+

= 2 ∙

i) − = (1 + ) ∙ j) − ∙ = − ∙ k) 1 + ∙ 1 + = + l) ∙ 1 + = 1 + +


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1) Completa el cuadro (utilizando equivalencias entre los dos sistemas de medición):

Sist. Radial 116

16

Sist. Sexagesimal 135º 60º

2) Plantea y resuelve los problemas siguientes: a) ¿A qué distancia de la pared hay que colocarse para iluminarla formando en ella un círculo de 40 cm de radio con una lámpara que refleja la luz con un ángulo de apertura total de 40º? b) Halla la longitud de los lados congruentes y de la base del trapecio isósceles:

= 9,6 = 10

= 70°

3) Sabiendo que cos = 0,43, calcula las demás funciones trigonométricas, utilizando las relaciones trigonométricas y sin calcular el valor del ángulo. 4) Verifica cada identidad trigonométrica: a) = 1 − . b) . . − =

c)

= . d)

=

b c

a d


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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1) Lee el texto “Funciones trigonométricas” y luego realiza las siguientes actividades: a) Haz un análisis de los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante. Organiza la información en un cuadro. b) Analiza la variación del coseno en los distintos cuadrantes c) Define circunferencia trigonométrica d) Traza en la circunferencia trigonométrica el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo en cada uno de los cuadrantes e) Responde verdadero o falso a cada afirmación. Justifica tus respuestas: e1) La cosecante de un ángulo perteneciente al primer cuadrante vale 2/3. e2) Si entonces < 0 y < 0 e3) Para todo valor de se cumple que + = 1 e4) Si > 0 < 0 entonces . 2) Encuentra la coordenada que falta y calcula las funciones trigonométricas del ángulo cuyo lado término contiene al punto p:

a)

= −2 = 3√6=?

∈

b)

= − 3= 3√2=?

∈

c)

⎩⎨

⎧ = −

= √

=?

3) Calcula el valor exacto de las siguientes expresiones: a) + − 3 + 1 =

b) 0° + 3 90° + 5 − 4 =

c) 16 (4 0° + 3 270°) − 2 − 270° − 90° =

d) 60°. 30° − °

°− 90° + 60° =

e) °

° . =

f) 30° − − ∶ 2 30° . =

g) ° √ . ° °

°=

h) °. ° ° . °

° °=


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4) Expresa como una función de un ángulo del primer cuadrante aplicando las relaciones entre las funciones trigonométricas de pares de ángulos y da el valor exacto. Justifica. a) = b) − = c) = d) − = e) − = f) − = g) − = h) − = i) = 5) Calcula el valor exacto de:

a) ∙

=

b) + =

c) [ (−45°) ∶ 225° + 750°] = 6) Expresa como una función única:

a) ( − ). − b) ( ) ( )

c) ( )

( ) d) ( + ) − −

e) ( ) ( )

( ) ( ) f) − ( + ) − (− ) + 2 ( − )

7) Verifica las siguientes identidades trigonométricas, reduciendo previamente al primer cuadrante:

a) ( ) .

( ) = 1 −

b) ( ) ( )

( ) ( )= ( − )

c) (180° − ). (90° − ) − (90° − ). (180° − ) = 1


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d) ( ) . ( )

( ) = −

e) (2 + ) . − − ( + ). (− ) = 0 f) . − − ( + ). − = (2 + ) + ( − )

g) ( ) . ( )

= − . ( + )

h) ( ) . ( )

+ ( )( )

= ( + )


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1) Dado el punto = √7; −√2 perteneciente el lado término de un ángulo orientado, calcula el seno, coseno y tangente de dicho ángulo. 2) Calcula el valor exacto de la expresión: + 60° − 6 . 45° + = 3) Reduce al primer cuadrante y calcula el valor exacto de: a) − = b) − = c) = d) = 4) Verifica las siguientes identidades trigonométricas, reduciendo previamente al primer cuadrante:

a) ( ) ( )

∙ ( )∙ ( )= −

b)

+ + = ∙


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ESTADÍSTICA

La palabra estadística tiene su raíz en el latín status que significa estado o situación. La estadística brinda un conjunto de métodos para recolectar, organizar, analizar e interpretar datos, con el objetivo de realizar inferencias sobre una población a partir de la información contenida en una muestra de la misma. Actualmente la estadística se aplica para realizar investigaciones pertenecientes a distintas ciencias y disciplinas, como por ejemplo, medicina del deporte, biología, ciencias sociales, etc., convirtiéndose en la parte de la matemática que más aportes proporciona a la hora de tomar decisiones. Población y muestra. Toda investigación está referida a un conjunto de datos o colección de elementos. En el ámbito estadístico, se denomina población al conjunto de todos los individuos o elementos que se desea estudiar. Son ejemplos de poblaciones: alumnos de una escuela, consumidores, nivel de ventas de un producto, artículos fabricados, votantes, deportistas, etc. Cuando la población es muy grande, no se puede desarrollar un estudio exhaustivo de los caracteres para cada uno de los individuos; entonces se estudia una muestra, seleccionando un subconjunto de la población. Para que las conclusiones obtenidas de una encuesta sean válidas, la muestra debe ser “representativa”. Para que lo sea, debe reflejar las características esenciales de la población total. Lo ideal es que la muestra sea elegida al azar. El procedimiento de selección se denomina muestreo. Cuando un estudio estadístico afecta a toda la población, se denomina censo. En la mayoría de los casos, los censos son realizados por el Estado, con el propósito de contar con datos que permitan describir las características económicas y socioculturales de la población y comparar su evolución con el tiempo. Generalmente, se realizan cada diez años. En nuestro país, esta tarea está a cargo del Instituto Nacional de Estadística y Censos (I.N.D.E.C.). Variables Las variables son los aspectos que se estudian de una población o muestra. Estas pueden ser: • Cualitativas: no se pueden medir, y se describen con palabras. Por ejemplo: el sexo de una persona, el nivel de ocupación, el tipo de medio de transporte habitual, el color de un automóvil. • Cuantitativas: se pueden expresar mediante números; corresponden a aspectos que se pueden medir. Estas a su vez pueden ser: *Discretas: se miden a partir de datos numéricos representados por números enteros. Por ejemplo: el número de calzado, nivel de ventas de un producto, número de hijos, número de habitaciones de una casa, nacimientos por día.


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* Continuas: se miden a partir de datos numéricos representados por números en un cierto intervalo real. Por ejemplo: peso de una persona, horas de vida útil de una lamparita eléctrica, el tiempo de espera para realizar una operación bancaria. Cada valor de la variable es un dato. Tabulación y ordenamiento de datos. Frecuencias. Una vez obtenida la información de la población o de la muestra, se realizan tablas para ordenar los datos. La frecuencia absoluta (f) es la cantidad de veces que ocurre el valor x de la variable. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra. La frecuencia relativa (fr) es el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de observaciones. La frecuencia relativa multiplicada por 100 permite obtener el porcentaje sobre el total que corresponde al valor de la variable (frecuencia relativa porcentual). La frecuencia acumulada (F) se obtiene sumando a la frecuencia de un valor x de la variable, las frecuencias anteriores a x. Representación de datos. Gráficos estadísticos. Los gráficos permiten una impresión rápida de una distribución de frecuencias. Hay distintas clases de gráficos. Algunos de ellos son: *Gráficos de barras: Se utilizan para variables cualitativas o cuantitativas, preferentemente discretas. Muestran las frecuencias absolutas o las frecuencias relativas de las diferentes categorías de la variable y se usan para comparar los distintos datos entre sí. Generalmente, la frecuencia se representa en el eje vertical, y la variable, en el horizontal. Se construyen barras cuya altura es proporcional a la frecuencia de cada registro. *Gráficos de torta, circulares o de sectores: Se utilizan para mostrar y comparar los porcentajes correspondientes a cada categoría de una variable observada, generalmente cualitativa. Para ello, se divide a un círculo en sectores circulares proporcionales a cada frecuencia: el círculo representa el 100% y su ángulo central correspondiente es de 360º, para calcular el ángulo central de cada sector circular se plantea una regla de tres simple. *Pictogramas: La frecuencia de cada valor de la variable se representa mediante dibujos relacionados con el tema que se estudia. Se usan, a menudo, en diarios y revistas, ya que al lector le resultan visualmente más atractivos que los gráficos de barra y de fácil interpretación, aunque no siempre muestran la información con exactitud. *Histogramas: Se utilizan para variables cuantitativas (especialmente continuas) y cuando una muestra contiene gran cantidad de datos y conviene, entonces, agruparlos en intervalos de clase. La amplitud de los intervalos de clase es la diferencia entre los extremos del intervalo. En general, los intervalos deben tener la misma amplitud. El punto medio de cada intervalo de clase se denomina marca de clase, y se calcula dividiendo por dos a la suma de los extremos. Por ejemplo: En el intervalo [50;60) el extremo 50 está incluido (por eso se usa un corchete) y el extremo 60 no lo está (se usa un paréntesis), la amplitud es 60-50=10 y la marca de clase es (50+60):2=55. Los intervalos


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de clase se representan en el eje horizontal y las frecuencias en el eje vertical. Los histogramas se construyen con rectángulos contiguos del mismo ancho (que representan la amplitud de los intervalos) y cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias. Medidas de posición: media o promedio, moda y mediana. Las medidas de posición de un conjunto de datos permiten determinar un valor central que sea representativo de todos ellos *Media aritmética o promedio ( ): Se calcula solo para variables cuantitativas. Es el cociente entre la suma de todos los valores registrados y el número total de observaciones. En general:

=∙ + ∙ + ⋯ + ∙

Siendo los valores de la variable y las frecuencias absolutas de esos valores. Ejemplo: En la tabla se muestra la distribución de frecuencias de las edades de un grupo de personas:

= ∙ ∙ ∙

= = 12,75 ñ En una distribución en intervalos de clase, son los valores de la marca de clase de cada intervalo *Moda (Mo): Es el valor de la variable de mayor frecuencia absoluta. Se puede determinar para variables cualitativas o cuantitativas. En el caso de una distribución de frecuencias en intervalos de clase, se llama intervalo modal al de mayor frecuencia. En una distribución de frecuencias es posible que haya una, varias o ninguna moda. En el ejemplo anterior, la moda es 13 años. *Mediana (Me): Es el valor que ocupa la posición central cuando todos los datos están ordenados de menor a mayor. Cuando el número de datos es impar, la mediana es el valor del centro, es decir que está en la posición n/2; cuando el número de datos es par, es el promedio de los dos valores centrales. La mediana, por lo tanto, divide a la muestra en dos partes de tal forma que ambas tienen la misma cantidad de observaciones. Ejemplo: las notas obtenidas por los alumnos de un curso en una evaluación son: dato central Me=7

datos centrales = = 8,5 En una distribución de frecuencias en intervalos de clase, para encontrar el intervalo que contiene a la mediana se debe calcular .

Edad (años) 12 13 14

f 10 15 3

Varones 5 5 6 6 6 7 8 8 9 10 10

Mujeres 2 5 5 6 8 9 9 10 10 10


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Medidas de dispersión: desviación estándar, varianza y coeficiente de variación. La desviación estándar ( ) mide la dispersión de los datos con respecto al promedio. Supongamos los alumnos A y B han tenido la misma cantidad de evaluaciones y cada uno ha obtenido distintas calificaciones. Si se calcula el promedio, para ambos es 7, pero sus rendimientos son diferentes: se dice que B ha sido más estable que A. Veamos cómo se analiza esto:

Notas de A ( − ) Notas de B ( − )

4 (4 − 7) = 9 8 (8 − 7) = 1

10 (10 − 7) = 9 7 (7 − 7) = 0

4 (4 − 7) = 9 7 (7 − 7) = 0

10 (10 − 7) = 9 6 (8 − 7) = 1

( − ) = 36 ( − ) = 2

Para saber cuán alejada está cada nota del promedio, se calcula la diferencia entre ambos valores; luego, se elevan al cuadrado estas diferencias para que queden positivas. Después, se suma. Si a esta suma se la divide por el total de datos ( = 4), se obtiene un promedio de las desviaciones de cada dato respecto de la media.

Esto se llama varianza y su fórmula es: = ∑( ) ∙

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza: = ∑( ) ∙

El valor de este parámetro es mayor cuando los datos están muy dispersos o disgregados y es menor cuando los datos están más concentrados. En el ejemplo:

=364

→ = 3 =24

→ ≅ 0,71

Entonces: Como > , entonces A es más disperso que B. El coeficiente de variación (CV) expresa la desviación estándar como un porcentaje de la media aritmética. Es decir:

=∙ 100%

Para los alumnos del ejemplo, el coeficiente de variación es:

=37

∙ 100% → ≅ 43% =0,71

7∙ 100% → ≅ 10%

Cuando el coeficiente de variación es inferior al 30%, la distribución es bastante homogénea. Se utiliza para comparar la homogeneidad de dos series de datos aun cuando están expresados en distintas unidades. A medida que el coeficiente de variación disminuye, se observa una mayor homogeneidad en los datos, o lo que es lo mismo, los datos están más concentrados alrededor del promedio.


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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas pensadas originariamente para ángulos agudos de un triángulo rectángulo se pueden hacer extensivas a cualquier ángulo. ¿Cómo hacerlo? Consideramos un sistema de coordenadas cartesianas y dibujamos una circunferencia de radio “ ” y con centro en el origen de dicho sistema. Ahora, trazamos un ángulo orientado

y marcamos el punto , intersección entre el lado término del ángulo y la circunferencia. Trazando las coordenadas e del punto p , queda formado un triángulo rectángulo cuyos catetos son la ordenada y la abscisa de p y la hipotenusa es el radio .

Función seno: El seno del ángulo se puede definir como el cociente entre la ordenada del punto ( , ) y el radio . En símbolos: =

El seno de un ángulo así definido no contradice el concepto de razón trigonométrica para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, porque sigue siendo el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Además, en cualquier cuadrante que quede el lado término del ángulo, el triángulo rectángulo correspondiente queda totalmente determinado, como se puede apreciar en los siguientes gráficos, por lo tanto, esta definición también es válida para ángulos mayores que un ángulo agudo.

Esta generalización de la definición del seno implica respetar el signo de la ordenada del punto ( , ). Entonces nos preguntamos: ¿Cuál es el signo de la relación sen = en cada cuadrante? (Siempre > 0)

∈ → 0 < < ⋀ sen > 0 ∈ → < < ⋀ sen > 0

∈ → < < ⋀ sen < 0

∈ → < < 2 ⋀ sen < 0


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Cuando esta circunferencia tiene radio igual a 1 se la denomina circunferencia trigonométrica. En ella: = = = Entonces definimos: En la circunferencia trigonométrica, el seno de un ángulo es la ordenada del punto de intersección del lado término con la circunferencia. Teniendo en cuenta esta última definición podemos analizar sencillamente la variación de la función seno: En el primer cuadrante, cuando = 0 la ordenada es 0, y, por lo tanto, 0 = 0. A medida que el valor de va aumentando, acercándose al valor , la ordenada es cada vez

mayor hasta llegar a ser 1 en = , donde el seno alcanza su máximo valor = 1 . Vemos, pues, que en este cuadrante el seno es positivo y creciente. En el segundo cuadrante, el seno sigue siendo positivo pero decreciente, hasta que en

= toma nuevamente el valor cero ( = 0). Ya en el tercer cuadrante, asume valores negativos y sigue decreciendo, hasta alcanzar su mínimo valor (-1) para = = −1 . Finalmente, en el cuarto cuadrante vuelve a crecer desde -1 hasta alcanzar el valor cero en

= 2 ( 2 = 0)

Como consecuencia de lo analizado, podemos afirmar que: − ≤ ≤

Función coseno: El coseno del ángulo es el cociente entre la ordenada del punto ( , ) y el radio . En símbolos: = En la circunferencia trigonométrica el coseno de un ángulo es la abscisa del punto de intersección del lado término con la circunferencia. = = = Función tangente: La tangente del ángulo es el cociente entre la ordenada del punto ( , ) y la abscisa de dicho punto. En símbolos: = En la circunferencia trigonométrica la tangente del ángulo es igual a la ordenada del punto perteneciente al lado término del ángulo, o a su semirrecta opuesta, que tiene abscisa igual a 1.


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Función cotangente: La cotangente del ángulo es el cociente entre la abscisa del punto ( , ) y la ordenada de dicho punto. En símbolos:

= En la circunferencia trigonométrica la cotangente del ángulo es igual a la abscisa del punto perteneciente al lado término del ángulo, o a su semirrecta opuesta, que tiene ordenada igual a 1. Función secante: La secante del ángulo es el cociente entre el radio y la abscisa del punto ( , ). En símbolos: = Función cosecante: La cosecante del ángulo es el cociente entre el radio y la ordenada del punto ( , ). En símbolos: = - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilónica escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica La historia de la trigonometría comienza con los babilónicos y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.


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Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


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CUADRILÁTEROS

Definición: Se llama cuadrilátero a todo polígono que tiene cuatro lados Propiedades: 1) En todo cuadrilátero, la longitud de cada lado es menor que la suma de las longitudes de los demás. 2) En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. 3) En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º. 4) Todo cuadrilátero tiene 2 diagonales en total Clasificación

cuadrilátero

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧

trapezoide → romboide

trapecio escaleno isósceles rectángulo

paralelogramo rombo

rectángulo

→ cuadrado

ROMBOIDE Definición: Se llama romboide a todo cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes. Propiedades: 1) En todo romboide, los ángulos interiores formados por los pares de lados distintos son congruentes 2) En todo romboide, las diagonales son perpendiculares 3) En todo romboide, la diagonal que tiene por extremos los vértices de los ángulos distintos es mediatriz de la otra diagonal. 4) En todo romboide, la diagonal que tiene por extremos los vértices de los ángulos distintos es bisectriz de dichos ángulos.

TRAPECIO Definición: Se llama trapecio a todo cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.


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ó escaleno → los lados no paralelos son distintos isósceles → los lados paralelos son congruentesrectángulo → tienen un ángulo recto

Base media: Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de los lados no paralelos. Propiedades: 1) En todo trapecio, los ángulos que tienen en común los lados no paralelos son suplementarios 2) En todo trapecio, la base media es paralela a las bases e igual a la mitad de la suma de sus longitudes. 3) En todo trapecio isósceles, los ángulos que tienen en común los lados paralelos son congruentes. 4) En todo trapecio isósceles, los ángulos opuestos son suplementarios. 5) En todo trapecio isósceles, las diagonales son congruentes.

PARALELOGRAMO Definición: Se llama paralelogramo a todo cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Propiedades: 1) En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes. 2) En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes. 3) En todo paralelogramo, los ángulos no opuestos son suplementarios. 4) En todo paralelogramo, las diagonales se cortan mutuamente en su punto medio.

ROMBO Definición: Se llama rombo a todo paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes. Propiedades: Se cumplen todas las propiedades de los paralelogramos y además las siguientes: 1) En todo rombo, las diagonales son perpendiculares. 2) En todo rombo, las diagonales son bisectrices de los ángulos con vértices en sus extremos.

RECTÁNGULO Definición: Se llama rectángulo a todo paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos congruentes.


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Propiedades: Se cumplen todas las propiedades de los paralelogramos y además la siguiente: 1) En todo rectángulo, las diagonales son congruentes.

CUADRADO Definición: Se llama cuadrado a todo paralelogramo que tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos congruentes. Propiedades: Se cumplen todas las propiedades de los rombos y de los rectángulos.

ÁREA DE LOS CUADRILÁTEROS

cuadriláteros → área

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧

romboiderombo = .

paralelogramorectángulo = . ℎ

cuadrado → =

trapecio → = ( ).

c uadernillo de a ctividades -...

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