BOVEDAS TRIANGULADAS ESFERICAS

Las bóvedas esféricas trianguladas , han tenido siempre una atracción en la Arquitectura . Las más sencillas se generan mediante meridianos que se dividen por puntos ( nudos ) en partes iguales . Se representa en la lámina un esquema sencillo de una elemental . El cuarto de meridiano se ha dividido en arcos de la misma longitud .El programa Rhinoceros , las suministra directamente ,como puntos nudos , situados en una esfera , por 24 meridianos .

Con esta figura , se puede proceder a triangularlas , sin más que unir por rectas esos puntos ( aparecen dos formas diferentes de hacerlo ) , pero los triángulos NO SON IGUALES . Quiere esto decir que cada serie de triángulos entre paralelos , son iguales , pero NO con los otros paralelos . Las longitudes de barras , pues son diferentes por paralelos y entre ellas mismas en su correspondiente posición –

Con la orden “ Geodesica “ en el menú Archivo –nuevo , nos da pues , una posición de meridianos y puntos equi distanciados ( 6 partes iguales ) ,puede ser tomado como base de una posible bóveda .

La triangulación con esos puntos , puede ser múltiple .Pero estos triángulos son como ya hemos dicho desiguales por paralelos y las “ barras “ para confeccionar estos triángulos serían de longitudes diferentes .

El triangulo equilátero , rellena el plano , es decir que forman una trama cerrada y completa . Dos forman un rombo y seis un hexágono .... Si tratamos de formar una superficie plegada , nos sería imposible , salvo que partiéramos de POLIEDROS , que contengan triángulos . Estos son el TETRAEDRO , el OCTAEDRO , el DODECAEDRO y el ICOSAEDRO . También algunos de los poliedros semirregulares contienen triángulos equiláteros . Por consiguiente podríamos partir de estos elementos , para confeccionar una bóveda geodésica ó triangulada , donde solo existan triangulaciones equiláteras .

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Vamos por tanto a definir bóvedas que nazcan del estos poliedros ..

Si pretendiésemos cumplir la condición de que todos los triángulos fuesen el mismo y equiláteros , tendríamos que recordar que los triangulos equiláteror , rellenan plano , pero no superficies 3D .

BOVEDAS ICOSAEDRICAS

El Icosaedro regular , uno de los cinco sólidos Platónicos , o poliedro regular de Veinte lados , tiene la particularidad , deque sus vértices están en una esfera , de centro el punto O , centro también del icosaedro inscrito .

Sus lados ó aristas , lo son de triángulos equiláteros . Forman por tanto una esfera GEODESICA de vértices , los mismos que el icosaedro .

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Podemos considerar que los pentágonos formado por cinco aristas COPLANARIAS , definen una pirámide regular de básese pentágono ABCDE y vértice el punto V de encuentro de los lados triangulares de esa pirámide . Podríamos considerar al icosaedro formado cinco pirámides iguales unidas por aristas y cerrados por otras trianguladas como se indica en las figuras adjuntas .

Por tanto el citado icosaedro , podría ser considerado como una seudo esfera geodésica de veinte lados y su mitad una cúpula geodésica . Podemos subdividir en cada triangulo en otra pirámide triangular , con vértice en el punto en que el radio vector de línea que une el centro de la esfera , con el centro de ese triangulo , cote a la esfera . Estas pirámides menores , ya no son de lados equiláteras sino isósceles . Pero todos son iguales –

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Cada uno de los veinte lados , quedaría sustentando una de estas pirámides , cuyos vértice , seguirían estando en la esfera .Tendríamos por tanto una bóveda esférica de SESENTA lados triangulares iguales , pero no equiláteros , sino ISÓSCELES .

Habríamos conseguido triángulos más pequeños , Todos iguales , pero isósceles .Con DOS TIPOS DE ARISTAS o BARRAS ..

Esos sesenta vértices , estarían todo en la esfera . Por tanto constituirían una esfera geodésica , ya de lados triangulados más pequeños . Este proceso podría continuarse , e ir densificando los triángulos.

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Si ahora trazamos los triángulos ( también isósceles , pero iguales ), indicados en la figura adjunta , conseguiríamos un poliedro de mayor número de lados ( más pequeños ) .

Este proceso puede repetirse nuevamente y tendríamos una densificación de puntos ( triangulados ) mayor a voluntad , pero tendremos que tener en cuenta lo siguiente :

1- las nuevas pirámides más pequeñas , tendrán una base isósceles y el punto centro , podría variar , con lo que el nuevo puno intersección y vértice de las nuevas pirámides , definirían triángulos ya no iguales .

2- Es decir que el número de barras de longitudes diferentes , variarían , pero al ser todo los triángulos iguales , nos darían unas longitudes tipo .

Aparecerían más tipos de barras , con cada nueva subdivisión , pero se resolvería el problemas , con un mínimo de barras , que darían tres tipos de pirámides , PERO TODOS LOS TRIANGULOS SE REPITIRIAN .

Partiendo , por tanto de unos tipos de barras y triángulos , conseguiríamos una bóveda triangulada , determinada , ya que el radio de esfera necesitado , tendría asociadas esas barras y pirámides , que habría que determinar geométricamente , por el procedimiento seguido .

Igualmente podríamos seguir un proceso con el DODECAEDRO y los demás poliedros regulares .

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BOVEDAS DODECAEDRICAS

El proceso de estas bóvedas , es similar al de las icosaedricas y aparece representado en la lámina adjunta . Los triángulos son iguale , pero son isósceles ( bóvedas con dos barras tipo ) . Repitiendo el planteamiento obtendríamos subdivisiones , más pequeñas , pero los triángulos obtenidos , ya no serían iguales y exigirían un número barras diferentes .

Bóvedas a partir del hexaedro o cubo

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De la misma manera podríamos operar con el Tetraedro y el Octaedro .

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Este tipo de bóveda , como ya hemos indicado , puede resultar interesante , para el cubrimiento de un recinto cuadrado .

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BOVEDAS POR ATRACCIÓN SOBRE LA ESFERA :

Con Rhinoceros es bastante fácil , obtener una bóveda por atracción de puntos a una esfera .

SE basa el procedimiento en trazar tramas en los lados de un poliedro regular ( en nuestro caso un Icosaedro ) . Estas tramas son atraidas a la superficie esférica ,según normales a la esfera . Generan por tanto tramas iguales en veinte ( icosaedro ) caras ó porcione sde la esfera , que son triángulos esféricos geodésicos . La orden de Rhinoceros es ATRAER , que se encuentra en el menú de curvas ó superficies .

Las dos láminas , representan el proceso y el resultado .

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Las tramas obtenidas , son diferentes con cada poliedro empleado ( que tengan caras triangulares ( Tetraedro , octaedro e icosaedro y con ciertas transformaciones en el dodecaedro ) . NO en el cubo

Resulta particularmente interesante , proceder por atracción en el caso del Octaedro .

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A medida que la cara utilizada . diste más de la esfera , las atracciones deforman más los triángulos obtenidos ( por su distancia variable ) .

Quiere decir que si queremos , que la triangulación de resultados con menor variación , tendremos que tomar poliedros de mayor número de lados . Este método es válido también para los poliedros semirregulares . Si estos están formados por polígonos diferentes , esta consideración conformará en la red atraída en la esfera .

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Observese como las barras toma redes aparentemente cuadradas ( por ser un octaedro ), aunque se vislumbran también pentágonos y hexágonos .

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Si colocamos una media esfera interior a la bóveda de barras , en el renderizado ( si es supuesta transparente ) , aparecen refraccione sy brillos muy interesantes , que son perfectamente apreciables en la lámina adjunta superior .

Y no lo son si desaparece .

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A continuación se representa este caso , particularmente elegante .

te .

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Bóvedas de Fuller :

Partiendo de dos triángulos equiláteros coplanarios , podemos girar uno sobre otro , alrededor de la arista de acoplamiento . El Angulo de giro , en su amplitud , forzará a que la esfera que pase por los cuatro vértices , tenga un radio determinado . La determinación de este radio y centro , es un problema sencillo geométrico clásico . Por los dos centros de ambos triángulos , levantamos normales a los planos de ambos consecuentes , ambas normales coincidirán en el punto centro de la esfera . El radio será la distancia de este centro a uno cualquiera de los vértices de los dos triángulos . Si alrededor de una de estas nórmales , hace,os una matriz de tres elementos en 360º , tendríamos una celula de cuatro triángulos equiláteros , situados sobre la esfera . REPITIENDO ESTE PROCESO CON CADA UNO DE LOS TRIANGULOS PERIFÉRICOS , EVIDENTEMENTE TENDRÍAMOS UNA RED ESFERICA DE TRIANGULOS EQUILÁTEROS Ó BÓVEDA DE FULLER .

Pero , no habría un acoplamiento de células perfecto en el espacio , entre las periféricas da dos células ( las leyes poliédricas regulares así lo indican ) , solo se produce este acoplamiento en los poliedros regulares .

Por consiguiente , determinados , triángulos , deberían ser modificados .

Estas modificaciones , son múltiples y dan lugar a diferentes tipos de bóvedas esféricas trianguladas ,

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En estas láminas podemos ver claramente el proceso de triangulación de una bóveda triangulada con triángulos equiláteros y relleno de isósceles .

Solo aparecerían dos tipos de barras , una de ellas de origen y la otra regulable , en función del triangulo equilátero de

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origen y el radio de la esfera .

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Estas bóvedas con apoyos , son extraordinariamente ligeras y su aspecto resulta etéreo .

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MAPEOS :Con el nombre de mapeos , entenderemos la proyectación de tramados planos , sobre superficies cualesquiera . Estos mapeos , en principios , serán de líneas planas sobre superficies alabeadas 3D .

El programa Rhinoceros , permite hacer automáticamente estos mapeos mediante una orden contenida en el menú de superficies y curvas .

Para ello , obtenida la superficie receptora ( en nuestro caso una esfera ó media , si es una bóveda ) , la orden directa al tocar ó seleccionar la superficie , da un recinto rectangular

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plano . Ese recinto se aproxima a una área rectangular aproximada a la superficie soporte .

Todo lo que dibujemos ( con líneas ) , dentro de ese recinto , pasará con la orden inversa a la superficie , en forma de mapeo .

Si dentro del recinto de mapeo suponemos una trama triangular regular , ajustada al recinto , este mapeado se extenderá a la totalidad del casquete esférico , en forma de trama de triángulos curvilíneos ( geodésicos ) en la media esfera .

De esta manera tendremos fácilmente una bóveda GEODESICA triangulada . los lados de estos triángulos , son realmente curvas circulares , para pasarlas a segmentos , simplemente uniremos sus dos extremos con una cuerda lineal ( segmento ) , quedando la trama poligonal buscada .

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Cada capa paralela es un nivel de triangulos iguales equiláteros , pero es evidente que van disminuyendo de lado y pasan a ser isósceles , pero son de una gran belleza y facilidad de ejecución , como puede comprobarse .

Podemos obtener una bóveda de este tipo , partiendo de cuatro triángulosEquiláteros iguales de la manera que sigue :

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Estos MAPEOS , queda claro que pueden hacerse con cualquier figura lineal , siempre que estén en el rectángulo de mapeo . Fuera de este NO aparecen en la superficie soporte .

Como superficie soporte hemos tomad esferas , pero naturalmente pueden ser de cualquier otro tipo . Cilindros , conos , cuadricas ó irregulares . Si las tomamos poliédricas , las descomponen en caras y cada cara tendrá su rectángulo de mapeo diferente e independiente .

Fin de la parte primera .

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SEGUNDA PARTE .

Hemos partido hasta ahora de triángulos equiláteros .Pero y si partiéramos de triangulaciones no equiláteras , ó incluso triángulos cualesquiera ,? podríamos cerrar bóvedas esféricas ¿ .

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