bioestadísticas
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Tema 1: Introdución 1
Bioestadística
Tema 1: Introducción a la estadística
TM. Pedro Cortes Alfaro
Magister en Administración en Salud
Tema 1: Introdución 2
¿Para qué sirve la estadística?
La Ciencia se ocupa en general de fenómenos observables
La Ciencia se desarrolla observando hechos, formulando leyes que los explican y realizando experimentos para validar o rechazar dichas leyes
Los modelos que crea la ciencia son de tipo determinista o aleatorio (estocástico)
La Estadística se utiliza como tecnología al servicio de las ciencias donde la variabilidad y la incertidumbre forman parte de su naturaleza
“La Bioestadística [...] enseña y ayuda a investigar en todas las áreas de las Ciencias de la Vida donde la variablidad no es la excepción sino la regla”Carrasco de la Peña (1982)
Tema 1: Introdución 3
DefiniciónLa Estadística es la Ciencia de la
• Sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con objeto de
• deducir las leyes que rigen esos fenómenos,
• y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones.
Tema 1: Introdución 4
Pasos en un estudio estadístico Plantear hipótesis sobre una población
Los fumadores tienen “más bajas” laborales que los no fumadores
¿En qué sentido? ¿Mayor número? ¿Tiempo medio?
Decidir qué datos recoger (diseño de experimentos) Qué individuos pertenecerán al estudio (muestras)
Fumadores y no fumadores en edad laboral.
Criterios de exclusión ¿Cómo se eligen? ¿Descartamos los que padecen enfermedades crónicas?
Qué datos recoger de los mismos (variables) Número de bajas
Tiempo de duración de cada baja
¿Sexo? ¿Sector laboral? ¿Otros factores?
Recoger los datos (muestreo) ¿Estratificado? ¿Sistemáticamente?
Describir (resumir) los datos obtenidos tiempo medio de baja en fumadores y no (estadísticos)
% de bajas por fumadores y sexo (frecuencias), gráficos,...
Realizar una inferencia sobre la población Los fumadores están de baja al menos 10 días/año más de media que los no fumadores.
Cuantificar la confianza en la inferencia Nivel de confianza del 95%
Significación del contraste: p=2%
Tema 1: Introdución 5
Plantear
hipótesis
Obtener
conclusiones
Recoger datos
y analizarlos
Diseñar
experimento
Método científico y estadística
Tema 1: Introdución 6
Población y muestra
Población (‘population’) es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones (hacer inferencia).
Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.
Muestra („sample’) es un subconjunto suyo al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones (mediciones)
Debería ser “representativo”
Esta formado por miembros “seleccionados” de la población (individuos, unidades experimentales).
Tema 1: Introdución 7
Variables Una variable es una característica observable que varía entre los
diferentes individuos de una población. La información que disponemos
de cada individuo es resumida en variables.
En los individuos de la población Chilena, de uno a otro es variable:
El grupo sanguíneo {A, B, AB, O} Var. Cualitativa
Su nivel de felicidad “declarado” {Deprimido, Ni fu ni fa, Muy Feliz} Var. Ordinal
El número de hijos {0,1,2,3,...} Var. Numérica discreta
La altura {1‟62 ; 1‟74; ...} Var. Numérica continua
Tema 1: Introdución 8
CualitativasSi sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un número (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)
Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Fumar (Sí/No)
Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar Mejoría a un tratamiento, Grado de satisfacción, Intensidad del dolor
Cuantitativas o NuméricasSi sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos)
Discretas: Si toma valores enteros Número de hijos, Número de cigarrillos, Num. de “cumpleaños”
Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. Altura, Presión intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad
Tipos de variables
Tema 1: Introdución 9
Es buena idea codificar las variables como números para poder procesarlas con facilidad en un ordenador.
Es conveniente asignar “etiquetas” a los valores de las variables para recordar qué significan los códigos numéricos. Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)
1 = Hombre
2 = Mujer
Raza (Cualit: Códigos arbitrarios) 1 = Blanca
2 = Negra,...
Felicidad Ordinal: Respetar un orden al codificar. 1 = Muy feliz
2 = Bastante feliz
3 = No demasiado feliz
Se pueden asignar códigos a respuestas especiales como
0 = No sabe
99 = No contesta...
Estas situaciones deberán ser tenidas en cuentas en el análisis. Datos perdidos („missing data‟)
Tema 1: Introdución 10
Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el verdadero tipo de las variables y su significado cuando vayamos a usar programas de cálculo estadístico.
No todo está permitido con cualquier tipo de variable.
Tema 1: Introdución 11
Los posibles valores de una variable suelen denominarse modalidades.
Las modalidades pueden agruparse en clases (intervalos) Edades:
Menos de 20 años, de 20 a 50 años, más de 50 años
Hijos: Menos de 3 hijos, De 3 a 5, 6 o más hijos
Las modalidades/clases deben forman un sistema exhaustivo y excluyente Exhaustivo: No podemos olvidar ningún posible valor de la variable
Mal: ¿Cuál es su color del pelo: (Rubio, Moreno)?
Bien: ¿Cuál es su grupo sanguíneo?
Excluyente: Nadie puede presentar dos valoressimultáneos de la variable Estudio sobre el ocio
Mal: De los siguientes, qué le gusta: (deporte, cine)
Bien: Le gusta el deporte: (Sí, No)
Bien: Le gusta el cine: (Sí, No)
Mal: Cuántos hijos tiene: (Ninguno, Menos de 5, Más de 2)
Tema 1: Introdución 12
Presentación ordenada de datos
0
1
2
3
4
5
6
7
Hombre Mujer
Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida en una muestra.
Género Frec.
Hombre 4
Mujer 6
Tema 1: Introdución 13
Tablas de frecuencia
Nivel de felicidad
467 30,8 31,1 31,1
872 57,5 58,0 89,0
165 10,9 11,0 100,0
1504 99,1 100,0
13 ,9
1517 100,0
Muy feliz
Bastante feliz
No demasiado feliz
Total
Válidos
No contestaPerdidos
Total
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
Sexo del encuestado
636 41,9 41,9
881 58,1 58,1
1517 100,0 100,0
Hombre
Mujer
Total
Válidos
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
válido
Número de hijos
419 27,6 27,8 27,8
255 16,8 16,9 44,7
375 24,7 24,9 69,5
215 14,2 14,2 83,8
127 8,4 8,4 92,2
54 3,6 3,6 95,8
24 1,6 1,6 97,3
23 1,5 1,5 98,9
17 1,1 1,1 100,0
1509 99,5 100,0
8 ,5
1517 100,0
0
1
2
3
4
5
6
7
Ocho o más
Total
Válidos
No contestaPerdidos
Total
Frecuencia Porcentaje
Porcentaje
válido
Porcentaje
acumulado
Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de información (o poca).
Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad
Frecuencias relativas (porcentajes): Idem, pero dividido por el total
Frecuencias acumuladas: Sólo tienen sentido para variables ordinales y numéricas Muy útiles para calcular cuantiles (ver más adelante)
¿Qué porcentaje de individuos tiene menos de 3 hijos? Sol: 83,8
¿Entre 4 y 6 hijos? Soluc 1ª: 8,4%+3,6%+1,6%= 13,6%. Soluc 2ª: 97,3% - 83,8% = 13,5%
Tema 1: Introdución 14
Datos desordenados y ordenados en tablas
Variable: Género Modalidades:
H = Hombre
M = Mujer
Muestra:
M H H M M H M M M H
equivale aHHHH MMMMMM
Género Frec. Frec. relat.
porcentaje
Hombre 4 4/10=0,4=40%
Mujer 6 6/10=0,6=60%
10=tamaño
muestral
Tema 1: Introdución 15
Número de hijos
419 27,8 27,8
255 16,9 44,7
375 24,9 69,5
215 14,2 83,8
127 8,4 92,2
54 3,6 95,8
24 1,6 97,3
23 1,5 98,9
17 1,1 100,0
1509 100,0
0
1
2
3
4
5
6
7
Ocho+
Total
Frec.
Porcent.
(válido)
Porcent.
acum.
Ejemplo ¿Cuántos individuos tienen
menos de 2 hijos? frec. indiv. sin hijos
+ frec. indiv. con 1 hijo = 419 + 255= 674 individuos
¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos? 97,3%
¿Qué cantidad de hijos es tal que al menos el 50% de la población tiene una cantidad inferior o igual? 2 hijos
≥50%
Tema 1: Introdución 16
Gráficos para v. cualitativas Diagramas de barras
Alturas proporcionales a las frecuencias (abs. o rel.)
Se pueden aplicar también a variables discretas
Diagramas de sectores (tartas, polares) No usarlo con variables ordinales.
El área de cada sector es proporcional a su frecuencia (abs. o rel.)
Pictogramas Fáciles de entender.
El área de cada modalidad debe ser proporcional a la frecuencia. ¿De los dos, cuál es incorrecto?.
Tema 1: Introdución 17
Gráficos diferenciales para variables numéricas
Son diferentes en función de que las
variables sean discretas o continuas.
Valen con frec. absolutas o relativas.
Diagramas barras para v. discretas
Se deja un hueco entre barras para indicar
los valores que no son posibles
Histogramas para v. continuas
El área que hay bajo el histograma entre
dos puntos cualesquiera indica la cantidad
(porcentaje o frecuencia) de individuos en
el intervalo.
0 1 2 3 4 5 6 7 Ocho o más
Número de hijos
100
200
300
400
Rec
uen
to
419
255
375
215
127
54
24 23 17
20 40 60 80
Edad del encuestado
50
100
150
200
250
Rec
uen
to
Tema 1: Introdución 18
Diagramas integrales
Cada uno de los anteriores diagramas tiene su correspondiente diagrama integral. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas. Indican, para cada valor de la variable, la cantidad (frecuencia) de individuos que poseen un valor inferior o igual al mismo. No los construiremos en clase. Se pasan de los diferenciales a los integrales por integración y a la inversa por derivación (en un sentido más general del que visteis en bachillerato.)
Tema 1: Introdución 19
¿Qué hemos visto?
Definición de estadística
Población
Muestra
Variables Cualitativas
Numéricas
Presentación ordenada de datos Tablas de frecuencias
absolutas
relativas
acumuladas
Representaciones gráficas Cualitativas
Numéricas Diferenciales
Integrales
Tema 2: Modelos probabilísticos20
Bioestadística
Tema 2: Modelos probabilísticos
Tema 2: Modelos probabilísticos 21
Variable aleatoria
El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.
En estos casos aparece la noción de variable aleatoria Función que asigna a cada suceso un número.
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas (como en el primer tema del curso).
En las siguientes transparencias vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designación. Los nombres son nuevos. Los conceptos no.
Tema 2: Modelos probabilísticos 22
Función de probabilidad (V. Discretas)
Asigna a cada posible valor
de una variable discreta su
probabilidad. Recuerda los conceptos de
frecuencia relativa y diagrama de
barras.
Ejemplo
Número de caras al lanzar 3
monedas.0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
0 1 2 3
Tema 2: Modelos probabilísticos 23
Función de densidad (V. Continuas)
Definición
Es una función no negativa de integral 1.
Piénsalo como la generalización del
histograma con frecuencias relativas para
variables continuas.
¿Para qué lo voy a usar?
Nunca lo vas a usar directamente.
Sus valores no representan probabilidades.
Tema 2: Modelos probabilísticos 24
¿Para qué sirve la f. densidad?
Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.
La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.
Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.
Tema 2: Modelos probabilísticos 25
Función de distribución
Es la función que asocia a cada valor de una variable, la probabilidad acumuladade los valores inferiores o iguales.
Piénsalo como la generalización de lasfrecuencias acumuladas. Diagrama integral.
A los valores extremadamente bajos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a cero.
A los valores extremadamente altos les corresponden valores de la función de distribución cercanos a uno.
Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones en forma de “p-valor”, significación,… No le des más importancia a este comentario ahora. Ya
os irá sonando conforme avancemos.
Tema 2: Modelos probabilísticos 26
¿Para qué sirve la f. distribución? Contrastar lo anómalo de una observación concreta.
Sé que una persona de altura 210cm es “anómala” porque la función de distribución en 210 es muy alta.
Sé que una persona adulta que mida menos de 140cm es “anómala” porque la función de distribución es muy baja para 140cm.
Sé que una persona que mida 170cm no posee una altura nada extraña pues su función de distribución es aproximadamente 0,5.
Relaciónalo con la idea de cuantil.
En otro contexto (contrastes de hipótesis) podremos observar unos resultados experimentales y contrastar lo “anómalos” que son en conjunto con respecto a una hipótesis de terminada.
Intenta comprender la explicación de clase si puedes. Si no, ignora esto de momento. Revisita este punto cuando hayamos visto el tema de contrastes de hipótesis.
Tema 2: Modelos probabilísticos 27
Valor esperado y varianza de una v.a. X
Valor esperadoSe representa mediante E[X] ó μ
Es el equivalente a la media
VarianzaSe representa mediante VAR[X] o σ2
Es el equivalente a la varianza
Se llama desviación típica a σ
Tema 1: Introdución 28
29
Es la razón entre la desviación típica y la media. Mide la desviación típica en forma de
“qué tamaño tiene con respecto a la media”
También se la denomina variabilidad relativa.
Es frecuente mostrarla en porcentajes Si la media es 80 y la desviación típica 20 entonces CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa)
Es una cantidad adimensional. Interesante para comparar la variabilidad de diferentes variables. Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuos presentan más
dispersión en peso que en altura.
No debe usarse cuando la variable presenta valores negativos o donde el valor 0 sea una cantidad fijada arbitrariamente
Por ejemplo 0ºC ≠ 0ºF
Los ingenieros electrónicos hablan de la razón „señal/ruido‟ (su inverso).
x
SCV
Coeficiente de variación
Tema 2: Modelos probabilísticos 30
Algunos modelos de v.a.
Hay v.a. que aparecen con frecuencia en las Ciencias de la Salud. Experimentos dicotómicos.
Bernoulli
Contar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos: Binomial
Poisson (sucesos raros)
Y en otras muchas ocasiones… Distribución normal (gaussiana, campana,…)
El resto del tema está dedicado a estudiar estas distribuciones especiales.
Tema 2: Modelos probabilísticos 31
Distribución binomial
Función de probabilidad
Problemas de cálculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.
Media: μ =n p
Varianza: σ2 = n p q
nkqpk
nkXP knk 0 ,][
Tema 2: Modelos probabilísticos 32
Distribución Binomial
Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución binomial de parámetros (n,p).
Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras. Bin(n=10,p=1/2)
Lanzar una moneda 100 veces y contar las caras. Bin(n=100,p=1/2)
Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más adecuado.
El número de personas que enfermará (en una población de 500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000 personas.
Bin(n=500.000, p=1/2000)
Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo de Poisson será más adecuado.
Tema 2: Modelos probabilísticos 33
“Parecidos razonables”
Aún no conoces la distribución normal, ni de Poisson.
De cualquier forma ahí tienes la comparación entre valores de p no muy extremos y una normal de misma media y desviación típica, para tamaños de n grandes (n>30).
Cuando p es muy pequeño es mejor usar la aproximación del modelo de Poisson.
Tema 2: Modelos probabilísticos 34
Distribución de Poisson
También se denomina de sucesos raros.
Se obtiene como aproximación de una
distribución binomial con la misma media, para
„n grande‟ (n>30) y „p pequeño‟ (p<0,1).
Queda caracterizada por un único parámetro μ
(que es a su vez su media y varianza.)
Función de probabilidad:
,...2,1,0 ,!
][ kk
ekXPk
Tema 2: Modelos probabilísticos 35
Ejemplos de variables de Poisson
El número de individuos que será atendido un día cualquiera en el servicio de urgencias del hospital clínico universitario. En Málaga hay 500.000 habitantes (n grande)
La probabilidad de que cualquier persona tenga un accidente es pequeña, pero no nula. Supongamos que es 1/10.000
Bin(n=500.000,p=1/10.000) ≈ Poisson(μ=np=50)
Sospechamos que diferentes hospitales pueden tener servicios de traumatología de diferente “calidad” (algunos presentan pocos, pero creemos que aún demasiados, enfermos con secuelas tras la intervención). Es dificil compararlos pues cada hospital atiende poblaciones de tamaños diferentes (ciudades, pueblos,…) Tenemos en cada hospital n, nº de pacientes atendidos o nº individuos de la
población que cubre el hospital.
Tenemos p pequeño calculado como frecuencia relativa de secuelas con respecto al total de pacientes que trata el hospital, o el tamaño de la población,…
Se puede modelar mediante Poisson(μ=np)
Tema 2: Modelos probabilísticos 36
Distribución normal o de Gauss
Aparece de manera natural:
Errores de medida.
Distancia de frenado.
Altura, peso, propensión al crimen…
Distribuciones binomiales con n grande (n>30) y „p ni
pequeño‟ (np>5) „ni grande‟ (nq>5).
Está caracterizada por dos parámetros: La
media, μ, y la desviación típica, σ.
Su función de densidad es:
2
2
1
2
1)(
x
exf
Tema 2: Modelos probabilísticos 37
N(μ, σ): Interpretación
geométrica
Pudes interpretar la
media como un factor
de traslación.
Y la desviación típica
como un factor de
escala, grado de
dispersión,…
Tema 2: Modelos probabilísticos 38
N(μ, σ): Interpretación probabilista
Entre la media y una
desviación típica
tenemos siempre la
misma probabilidad:
aprox. 68%
Entre la media y dos
desviaciones típicas
aprox. 95%
Tema 2: Modelos probabilísticos 39
Algunas características La función de densidad es simétrica, mesocúrtica y unimodal.
Media, mediana y moda coinciden.
Los puntos de inflexión de la fun. de densidad están a distancia σ de μ.
Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están… a distancia σ, tenemos probabilidad 68%
a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%
a distancia 2’5 σ tenemos probabilidad 99%
No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la primitiva de la función de densidad, ya que no tiene primitiva expresable en términos de funciones „comunes‟.
Todas las distribuciones normales N(μ, σ), pueden ponerse mediante una traslación μ, y un cambio de escala σ, como N(0,1). Esta distribución especial se llama normal tipificada. Justifica la técnica de tipificación, cuando intentamos comparar individuos
diferentes obtenidos de sendas poblaciones normales.
Tema 2: Modelos probabilísticos 40
Tipificación Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina
valor tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir
En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.
Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.
xz
Tema 2: Modelos probabilísticos 41Bioestadística. U. Málaga.
Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.
Calcular P[Z<1,85]
Solución: 0,968 = 96,8%
Tema 2: Modelos probabilísticos 42Bioestadística. U. Málaga.
Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.
Calcular P[Z<-0,54]
Solución: 1-0,705 = 0,295
Tema 2: Modelos probabilísticos 43
Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.
Calcular P[-0,54<Z<1,85]
Solución: 0,968-0,295= 0,673
Tema 2: Modelos probabilísticos 44
Ejemplo: Cálculo con probabilidades normales
El colesterol en la población tiene distribución
normal, con media 200 y desviación 10.
¿Qué porcentaje de indivíduos tiene
colesterol inferior a 210?
Qué valor del colesterol sólo es superado por
el 10% de los individuos.
Tema 2: Modelos probabilísticos 45
Todas las distribuciones normales son similares salvo traslación y cambio de escala: Tipifiquemos.
110
200210xz
841,0)ver tabla(]00,1[ZP
Tema 5: Modelos probabilísticos 46Bioestadística. U. Málaga.
8,21228,110200
10
20028,1
x
x
El valor del colesterol que sólo supera el 10% de los individuos es el percentil 90. Calculemos el percentil 90 de la N(0,1) y deshacemos la tipificación.
xz
Tema 2: Modelos probabilísticos 47
Ejemplo: Tipificación
Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de
sistemas educativos diferentes. Se asignará al que
tenga mejor expediente académico.
El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema
donde la calificación de los alumnos se comporta como
N(6,1).
El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema
donde la calificación de los alumnos se comporta como
N(70,10).
Solución
No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a
los 80 de B, pero como ambas poblaciones se comportan
de modo normal, podemos tipificar y observar las
puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1)
Tema 2: Modelos probabilísticos 48
110
7080
21
68
B
BBB
A
AAA
xz
xz
Como ZA>ZB, podemos decir que el
porcentaje de compañeros del mismo
sistema de estudios que ha superado en
calificación el estudiante A es mayor que
el que ha superado B.
Podríamos pensar en principio que A es
mejor candidato para la beca.
Tema 2: Modelos probabilísticos 49
¿Por qué es importante la distribución normal?
Las propiedades que tiene la distribución normal son interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué es una distribución especialmente importante.
La razón es que aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí que poseen una distribución normal.
Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros datos, los „objetos‟ que resumen la información de una muestra, posiblemente tengan distribución normal (o asociada).
Tema 2: Modelos probabilísticos 50
Aplic. de la normal: Estimación en muestras
Como ilustración mostramos una variable que presenta valores distribuidos de forma muy asimétrica. Claramente no normal.
Saquemos muestras de diferentes tamaños, y usemos la media de cada muestra para estimar la media de la población.
Tema 2: Modelos probabilísticos 51
Aplic. de la normal: Estimación en muestras
Cada muestra ofrece un resultado diferente: La media muestral es variable aleatoria.
Su distribución es más parecida a la normal que la original.
También está menos dispersa. A su dispersión („desv. típica del estimador media muestral‟… ¿os gusta el nombre largo?) se le suele denominar error típico.
Tema 2: Modelos probabilísticos 52
Aplic. de la normal: Estimación en muestras
Al aumentar el
tamaño, n, de la
muestra:
La normalidad de las
estimaciones mejora
El error típico
disminuye.
Tema 2 Modelos probabilísticos 53
Aplic. de la normal: Estimación en muestras
Puedo „garantizar‟medias muestrales tan cercanas como quiera a la verdadera media, sin más que tomar „n bastante grande‟
Se utiliza esta propiedad para dimensionar el tamaño de una muestra antes de empezar una investigación.
Tema 2: Modelos probabilísticos 54
Resumen: Teorema del límite central Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de
tamaño n, y calculamos los promedios muestrales, entonces:
dichos promedios tienen distribuciónaproximadamente normal;
La media de los promedios muestraleses la misma que la de la variable original.
La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n” (error estándar).
Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.
Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.
Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande (n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.
Tema 2: Modelos probabilísticos 55
Distribuciones asociadas a la normal
Cuando queramos hacer inferencia estadística hemos visto que la distribución normal aparece de forma casi inevitable.
Dependiendo del problema, podemos encontrar otras (asociadas): X2 (chi cuadrado)
t- student
F-Snedecor
Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribuciones normales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertos estadísticos.
Veamos algunas propiedades que tienen (superficialmente). Para más detalles consultad el manual.
Sobre todo nos interesa saber qué valores de dichas distribuciones son “atípicos”. Significación, p-valores,…
Tema 2: Modelos probabilísticos 56
Chi cuadrado
Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.
La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo tienen densidad los valores positivos.
La función de densidad se hace más simétrica incluso casi gausiana cuando aumenta el número de grados de libertad.
Normalmente consideraremos anómalos aquellos valores de la variable de la “cola de la derecha”.
Tema 2 : Modelos probabilísticos 57
T de student
Tiene un parámetro denominado grados de libertad.
Cuando aumentan los grados de libertad, más se acerca a N(0,1).
Es simétrica con respecto al cero.
Se consideran valores anómalos los que se alejan de cero (positivos o negativos).
Tema 2: Modelos probabilísticos 58
F de Snedecor
Tiene dos parámetros denominados grados de libertad.
Sólo toma valores positivos. Es asimétrica.
Normalmente se consideran valores anómalos los de la cola de la derecha.
Tema 2: Modelos probabilísticos 59
¿Qué hemos visto? En v.a. hay conceptos equivalentes a los de temas
anteriores Función de probabilidad Frec. Relativa.
Función de densidad histograma
Función de distribución diagr. Integral.
Valor esperado media, …
Hay modelos de v.a. de especial importancia: Bernoulli
Binomial
Poisson
Normal Propiedades geométricas
Tipificación
Aparece tanto en problemas con variables cualitativas (dicotómicas, Bernoulli) como numéricas
Distribuciones asociadas T-student
X2
F de Snedecor
Tema 3: Muestreo 60
Bioestadística
Tema 3: Muestreo
Tema 3: Muestreo 61
Parte de los conceptos de la teoría del muestreo han sido discutidos con anterioridad. Aquí los repasaremos y ampliaremos. Por ejemplo, hemos mencionado que las poblaciones están formadas por individuos, pero sería mejor denominarlas unidades de muestreo o unidades de estudio:
Personas, células, familias, hospitales, países…
La población ideal que se pretende estudiar se denomina población objetivo.
No es fácil estudiarla por completo. Aproximamos mediante muestras que den idealmente la misma probabilidad a cada individuo de ser elegido.
Tampoco es fácil elegir muestras de la población objetivo:
Si llamamos por teléfono excluimos a los que no tienen.
Si elegimos indiv. en la calle, olvidamos los que están trabajando...
El grupo que en realidad podemos estudiar (v.g. los que tienen teléfono) se denomina población de estudio.
Tema 3: Muestreo 62
Fuentes de sesgo Las poblaciones objetivo y de estudio pueden diferir en
cuanto a las variables que estudiamos. El nivel económico en la población de estudio es mayor que en
la objetivo,...
Los individuos que se eligen en la calle pueden ser de mayor edad (mayor frecuencia de jubilados p.ej.)…
En este caso, diremos que las muestras que se elijan estarán sesgadas. Al tipo de sesgo debido a diferencias sistemáticas entre población objetivo y población de estudio se denomina sesgo de selección.
Hay otras fuentes de error/sesgo No respuesta a encuestas embarazosas
Consumo de drogas, violencia doméstica, prácticas poco éticas,…
Mentir en las preguntas “delicadas”.
Para evitar este tipo de sesgo se utilizan la técnica de respuesta aleatorizada.
Tema 3: Muestreo 63
Técnicas de respuesta aleatorizada Reducen la motivación para mentir (o no responder) a las
encuestas. ¿Si digo la verdad, se me verá el plumero…?
¿Cómo se hace?Pídele que lance una moneda antes de responder y… Si sale cara que diga la “opción compremetida”
(no tiene por qué avergonzarse, la culpa es de la moneda) Si sale cruz que diga la verdad
(no tiene por qué avergonzarse, el encuestador no sabe si ha salido cara o cruz)
Aunque no podamos saber cuál es la verdad en cada individuo, podemos hacernos una idea porcentual sobre la población, viendo en cuánto se alejan las respuestas del 50%.
Tema 3: Muestreo 64
Ejemplo: ¿Ha tomado drogas alguna vez?
100% No Insinseros!!
40% No
60% Sí
Con respuesa
aleatorizada
Sin respuesta
aleatorizada
¡No son mitad y mitad!
El porcentaje estimado de ind. que tomó drogas es:%202,0
5,01
5,06,0*p
Los que deben decir la verdad
Diferencia entre los que han dicho sí y los que debían hacerlo
por que así lo indicaba la moneda
Tema 3: Muestreo 65
Técnicas de muestreo Cuando elegimos individuo de una población de estudio
para formar muestras podemos encontrarnos en las siguientes situaciones: Muestreos probabilistas
Conocemos la probabilidad de que un individuo sea elegido para la muestra.
Interesantes para usar estadística matemática con ellos.
Muestreos no probabilistas No se conoce la probabilidad.
Son muestreos que seguramente esconden sesgos.
En principio no se pueden extrapolar los resultados a la población. A pesar de ello una buena parte de los estudios que se publican usan
esta técnica. ¡Buff!
En adelante vamos a tratar exclusivamente con muestreos con la menor posibilidad de sesgo (probabilistas): aleatorio simple, sistemático, estratificado y por grupos.
Tema 3: Muestreo 66
Muestreo aleatorio simple (m.a.s.)
Se eligen individuos de la población de estudio, de manera que todos tienen la misma probabilidad de aparecer, hasta alcanzar el tamaño muestral deseado.
Se puede realizar partiendo de listas de individuos de la población, y eligiendo individuos aleatoriamente con un ordenador.
Normalmente tiene un coste bastante alto su aplicación.
En general, las técnicas de inferencia estadística suponen que la muestra ha sido elegida usando m.a.s., aunque en realidad se use alguna de las que veremos a continuación.
Tema 3: Muestreo 67
Muestreo sistemático
Se tiene una lista de los individuos de la población de estudio. Si queremos una muestra de un tamaño dado, elegimos individuos igualmente espaciados de la lista, donde el primero ha sido elegido al azar.
CUIDADO: Si en la lista existen periodicidades, obtendremos una muestra sesgada.
Un caso real: Se eligió una de cada cinco casas para un estudio de salud pública en una ciudad donde las casas se distribuyen en manzanas de cinco casas. Salieron con mucha frecuencia las de las esquinas, que reciben más sol, están mejor ventiladas,…
Tema 3: Muestreo 68
Muestreo estratificado
Se aplica cuando sabemos que hay ciertos factores (variables, subpoblaciones o estratos) que pueden influir en el estudio y queremos asegurarnos de tener cierta cantidad mínima de individuos de cada tipo: Hombres y mujeres,
Jovenes, adultos y ancianos…
Se realiza entonces una m.a.s. de los individuos de cada uno de los estratos.
Al extrapolar los resultados a la población hay que tener en cuenta el tamaño relativo del estrato con respecto al total de la población.
Tema 3: Muestreo 69
Muestreo por grupos o conglomerados Se aplica cuando es difícil tener una lista de todos los individuos
que forman parte de la población de estudio, pero sin embargo sabemos que se encuentran agrupados naturalmente en grupos.
Se realiza eligiendo varios de esos grupos al azar, y ya elegidos algunos podemos estudiar a todos los individuos de los grupos elegidos o bien seguir aplicando dentro de ellos más muestreos por grupos, por estratos, aleatorios simples,…
Para conocer la opinión de los médicos del sistema nacional de salud, podemos elegir a varias regiones de España, dentro de ellas varias comarcas, y dentro de ellas varios centros de salud, y…
Al igual que en el muestreo estratificado, al extrapolar los resultados a la población hay que tener en cuenta el tamaño relativo de unos grupos con respecto a otros. Regiones con diferente población pueden tener probabilidades diferentes
de ser elegidas, comarcas, hospitales grandes frente a pequeños,…
Tema 3: Muestreo 70
Estimación Un estimador es una cantidad numérica calculada sobre una
muestra y que esperamos que sea una buena aproximación de cierta cantidad con el mismo significado en la población (parámetro).
En realidad ya hemos trabajado con estimadores cada vez que hacíamos una práctica con muestras extraídas de una población y suponíamos que las medias, etc… eran próximas de las de la población.
Para la media de una población: “El mejor” es la media de la muestra.
Para la frecuencia relativa de una modalidad de una variable: “El mejor” es la frecuencia relativa en la muestra.
Tema 3: Muestreo 71
¿Es útil conocer la distribución de un estimador?
Es la clave para hacer inferencia. Ilustrémoslo con un ejemplo que ya
tratamos en el tema anterior (teorema del límite central).
Si de una variable conocemos μ y σ, sabemos que para muestras
“grandes”, la media muestral es:
aproximadamente normal,
con la misma media y,
desviación típica mucho menor (error típico/estándar)
Es decir si por ejemplo μ=60 y σ=5, y obtenemos muestras de tamaño
n=100,
La desv. típica de la media muestral (error estándar) es EE=5/raiz(100)=0,5
como la media muestral es aproximadamente normal, el 95% de los
estudios con muestras ofrecerían estimaciones entre 60±1
Dicho de otra manera, al hacer un estudio tenemos una confianza del 95%
de que la verdadera media esté a una distancia de ±1.
nEE
Tema 3: Muestreo 72
En el ejemplo anterior la situación no era muy realista, pues como de todas maneras no conozco σ desconoceré el intervalo exacto para μ.
Sin embargo también hay estimadores para σ y puedo usarlo como aproximación.
Para tener una idea intuitiva, analicemos el siguiente ejemplo. Nos servirá como introducción a la estimación puntual y por intervalos de confianza.
Tema 3: Muestreo 73
Ejemplo: Una muestra de n=100 individuos de una población tiene media de peso 60 kg y desviación 5kg.
Dichas cantidades pueden considerarse como aproximaciones (estimaciones puntuales) 60 kg estima a μ
5 kg estima a σ
5/raiz(n)= 0,5 estima el error estándar (típico) EE Estas son las llamadas estimaciones puntuales: un número concreto
calculado sobre una muestra es aproximación de un parámetro.
Una estimación por intervalo de confianza es una que ofrece un intervalo como respuesta. Además podemos asignarle una probabilidad aproximada que mida nuestra confianza en la respuesta:
Hay una confianza del 68% de que μ esté en 60±0,5
Hay una confianza del 95% de que μ esté en 60±1.
Ojo: He hecho un poco de trampa. ¿La ves?
Tema 3: Muestreo 74
Estimación puntual y por intervalos Se denomina estimación puntual de un parámetro al ofrecido por el
estimador sobre una muestra.
Se denomina estimación confidencial o intervalo de confianza para un nivel de confianza 1-α dado, a un intervalo que ha sido construido de tal manera que con frecuencia 1-α realmente contiene al parámetro.
Obsérvese que la probabilidad de error (no contener al parámetro) es α.
En el siguiente tema se llamará prob. de error de tipo I o nivel de significación.
Valores típicos: α=0,10 ; 0,05 ; 0,01
En general el tamaño del intervalo disminuye con el tamaño muestral y aumenta con 1-α.
En todo intervalo de confianza hay una noticia buena y otra mala: La buena: hemos usado una técnica que en % alto de casos acierta.
La mala: no sabemos si ha acertado en nuestro caso.
Tema 3: Muestreo 75
Aplicación Al final del tema 2 dejamos sin interpretar parte de los resultados.
¿Sabrías interpretar lo que falta por sombrear?
¿Puedes dar un intervalo de confianza para la media al 68% de confianza?
Observa la asimetría. ¿Crees probable que la asimetría en la población pueda ser cero ya que la obtenida en la muestra es aprox. 1?
Descriptivos para Número de hijos
1,90 ,045
1,81
1,99
1,75
2,00
3,114
1,765
0
8
8
3,00
1,034 ,063
1,060 ,126
Media
Límite
inferior
Límite
superior
Intervalo de
confianza para la
media al 95%
Media recortada al 5%
Mediana
Varianza
Desv. típ.
Mínimo
Máximo
Rango
Amplitud intercuartil
Asimetría
Curtosis
Estadístico Error típ.
Tema 3: Muestreo 76
¿Qué hemos visto? Sesgo de selección
Población objetivo
Población de estudio
Otros sesgos Técnica de respuesta aleatorizada
Técnicas de muestreo No probabilistas
Probabilistas m.a.s.
Sistemático
Estratificado
Conglomerados
Estimación Estimador
Estimación puntual
Error estándar
Estimación confidencial
Nivel de confianza 1-α
77
P(Z ≤ a)
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
78
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )
P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]
79
3 Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución
N(µ, σ), hallar:
p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
p(µ−2σ ≤ X ≤ µ+2σ)
p(µ−σ ≤ X ≤ µ+σ)
80
p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
8181
p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)