ayuda 4 centroide
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Verónica Espinoza Carrasco
MECANICA PARA INGENIEROS
Módulo: II Unidad: 4 Semana: 4
CENTRO DE GRAVEDAD,
CENTROIDE Y
MOMENTO DE INERCIA
ORIENTACIONES
• El alumno debe revisar previamente la unidad didáctica 4
del LIBRO DUED MECANICA PARA INGENIEROS, tema:
Centroide.
• Resuelva los ejercicios de las Ayudas y compare sus
respuestas con las obtenidas en clase
• Resuelva las actividades programadas como
autoevaluaciones y ejercicios de la guía.
• Resuelva el problema 3 del Trabajo académico
CENTRO DE GRAVEDAD
CENTROIDE
MOMENTO DE INERCIA
CONTENIDOS TEMÁTICOS
DESARROLLO DE CONTENIDOS
CENTRO DE GRAVEDAD
Definición
Centro de gravedad de un cuerpo bi-dimensional
CENTROIDE
Centroides de área y línea
MOMENTO DE INERCIA
Momento de inercia de un área
Momento de inercia de una masa
Momento de inercia de cuerpos compuestos
CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad (c.g.) es el
punto de aplicación de la
resultante de todas las fuerzas de
gravedad que actúan sobre las
distintas porciones materiales de
un cuerpo, de tal forma que el
momento respecto a cualquier
punto de esta resultante aplicada
en el centro de gravedad es el
mismo que el producido por los
pesos de todas las masas
materiales que constituyen dicho
cuerpo.
Centro de masa y centro de gravedad
El centro de masas coincide con el centro
de gravedad sólo si el campo
gravitatorio es uniforme; es decir, viene
dado en todos los puntos del campo
gravitatorio por un vector de magnitud y
dirección constante.
CENTROIDE
Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad es la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general.
CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO
BIDIMENSIONAL
1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
n
i i
n n ig n
ni
i
w xw x w x w x
xw w w
w
1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
n
i i
n n ig n
ni
i
w yw y w y w y
yw w w
w
Si un cuerpo compuesto de un gran número de partículas, muy compacto,
podemos suponer que tiene una estructura continua. En ese caso, la
densidad es constante y podemos dividir al cuerpo en pequeños elementos
de volumen donde la densidad es constante.
La posición rc es dada por sus componentes xc, yc y zc
El signo ∫ es la integral y representa la suma de un gran número de partículas
El signo Σ representa una sumatoria de muchas partículas
En este caso el centro de gravedad es determinado solamente por la
geometría del sistema.
dV
xdVxc
dV
ydVyc
dV
zdVzc
1
1
n
i i
ig n
i
i
m x
x
m
1
1
n
i i
ig n
i
i
m y
y
m
1
1
n
i i
ig n
i
i
m z
z
m
Si un cuerpo tiene una densidad superficial de masa (ejm: placas)
La posición rc es dada por sus componentes xc, yc y zc
c
xAx
A
c
yAy
A c
zAz
A
Donde A es el área
CENTROIDE DE UN AREA
Si un cuerpo tiene una densidad lineal de masa (ejm: alambres)
La posición rc es dada por sus componentes xc, yc y zc
c
xLx
L
c
yLy
L
c
zLz
L
L es la longitud
CENTROIDE DE UN ALAMBRE
Centroide de Áreas
El centroide de un triangulo
rectángulo está ubicado a un
tercio de su base y a un
tercio de su altura.
El centroide de un rectángulo
está ubicado a un medio de su
base y a un medio de su altura.
En muchos casos, una placa plana puede dividirse en
rectángulos, triángulos u otras formas comunes.
PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS
Para una placa compuesta, dividimos la figura en áreas más
simples de centroides conocidos.
Problema 1
Para el área mostrada determine: Los primeros momentos
con respecto a los ejes X y las coordenadas del centroide
33
33
10758
10506
mmQ
mmQ
y
x
mmA
yAY
mmA
xAX
6,3610828,13
107,757
8,5410828,13
107,757
3
3
3
3
Primeros momentos del área
Ubicación del Centroide
Problema 2
La figura mostrada esta compuesta por un alambre .
Determine las coordenadas del centroide.
Problema 3
Determinar los valores de “X” y “Y” del centroide de cada una de
las figuras simples
x y A A·x A·y
R1
R2
R3
ΣA= Σ A·x= Σ A·y=
A
yAY
A
xAX
DETERMINACION DE CENTROIDES
POR INTEGRACION
dAxAxQ
dAyAyQ
y
x
dAyAy
dAxAx
Problema 4
Determine por integración las coordenadas del centroide de la
semi parábola.
Determinando k
Se hace
x = a
y = b
2
2
a
bk
kab
Problema 5 Determina la ubicación del centroide de la porción de arco mostrado.
Como el arco es simétrico con respecto al
eje x 0y
El Método de integración directa Para calcular el centroide de una figura plana
que está limitada por arriba por la función “f(x)” ,
por debajo por la función “g(x)”, por la izquierda
por la recta “X = a” y por la derecha por la recta
“X = b”; se utilizan las siguientes fórmulas :
A
dxxgxfy
A
dxxgxfxx
b
a
b
a
22 )()(2
1
)()(
Donde A representa el área de la figura plana a la que se le está calculando el
centroide
b
adxxgxfA )()(
Problema 6
Calcular la ubicación del Centroide de la región acotada por “Y = x2” y “Y = x”
Solución:
El primer paso consiste en graficar
las dos funciones para determinar
cuál queda ubicada arriba y cuál
debajo. Igualmente se deben
calcular los puntos de intersección
de las dos funciones para conocer
los índices superior e inferior de la
integral definida.
Sea
1
0
)(
)(
2
b
a
xYxg
xYxf
TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de
una curva plana con respecto a un eje fıjo. Por ejemplo
Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un
área plana alrededor de un eje fıjo. Como se muestra en la
fıgura se puede generar una esfera, un cono y un toroide
rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.
TEOREMA I. El área de una superficie de revolución es igual a
la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia
recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar
la superficie.
Considérese un elemento dL de la línea L que rota alrededor del
eje x.
LyA 2
TEOREMA II. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al
área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el
centroide
Considérese un elemento dA del área A, el cual se rota con
respecto al eje x
donde 2πy es la distancia recorrida por el centroide de A. Es importante
señalar que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca al
área generatriz.
AyV 2
CONCLUSIONES
En esta unidad se estudió el centro de gravedad de un cuerpo rígido, es
decir, el punto donde el peso del cuerpo se puede aplicar para representar el
efecto de la atracción de la Tierra sobre el cuerpo en cuestión.
En la primera parte del capítulo se consideraron cuerpos bidimensionales
como placas planas y alambres contenidos en el plano xy.
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, el centro de
gravedad G de la placa coincide con el centroide C del área A de la placa
cuyas coordenadas están definidas por
De manera similar, la determinación del centro de gravedad de un alambre
homogéneo de sección transversal uniforme que está contenido en un plano,
se reduce a la determinación del centroide C de la línea L que representa al
alambre; así, se tiene
ydAdAyxdAdAx
ydLdLyxdLdLx
CONCLUSIONES
LOS PRIMEROS MOMENTOS DEL ÁREA A con respecto a los ejes x y y,
Los primeros momentos de una línea se pueden definir en forma similar.
La determinación del centroide C de un área o de una línea se simplifica
cuando el área o la línea poseen ciertas propiedades de simetría.
UN CUERPO COMPUESTO puede dividirse en varias formas conocidas,
tales como cuadrados, círculos, triángulos, etc. Las coordenadas X y Y de su
centro de gravedad G se pueden determinar a partir de las coordenadas
Cuando un área está limitada por curvas analíticas, las coordenadas de su
centroide pueden determinarse por integración.
AyQAxQ xy
WyWYWxWX
GRACIAS