mecanica vectorial-solucionario centroide

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ASIGNATURA MECANICA VECTORIAL SEMANA Centroide Centro de Gravedad Dr. Omar Pablo Flores Ramos Huancayo, 2011 7

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Page 1: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

ASIGNATURA

MECANICA VECTORIAL

SEMANA

Centroide – Centro de Gravedad

Dr. Omar Pablo Flores Ramos

Huancayo, 2011

7

Page 2: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 2

CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad, es un punto en donde se supone esta concentrado

todo el peso de un cuerpo, este punto puede estar dentro o fuera de dicho

cuerpo

Si se trata de figuras geométricas que representan cuerpos uniformes y

homogéneos, el centro de gravedad de estos se le denomina centroide

Cuando el cuerpo en estudio esta en un medio donde la gravedad es

uniforme, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, que

como en el caso anterior es un punto donde esta concentrado toda la

masa de un cuerpo

1. CALCULO DE COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD

Dado que un cuerpo esta formado por la unión de sus partes, cada uno de

las partes posee un peso determinado Wi, y el peso total será la suma de

todos los pesos parciales

Fig 6.1: Coordenadas del centro de gravedad

Aplicando el teorema de Varignön (Fig 4.1) se tiene:

n

i

iitotal

nntotal

WyWy

WyWyWyWyWy

1

332211

..

...................

despejando y , y considerando: n

i

itotal WW1

, se tiene:

n

i

i

n

i

ii

W

Wy

y

1

1

.

x

z

y W2 Wn

W1 W3

x y x

z

y yn y2 y1 wtotal

Page 3: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 3

Por analogía se puede determinar las coordenadas x y z , entonces:

n

i

i

n

i

ii

W

Wx

x

1

1

.

n

i

i

n

i

ii

W

Wy

y

1

1

.

n

i

i

n

i

ii

W

Wz

z

1

1

.

(4.1)

Propiedades

a. Para centroides, el peso Wi puede ser reemplazado por longitud,

área o volumen

b. Si un cuerpo presenta agujeros, éstas se consideran negativas

c. El C.G. de los cuerpos, ocupan un lugar fijo en él,

independientemente de su orientación

2. CENTROIDES DE PRINCIPALES FIGURAS

2.1 LINEAS

Figura coordenadas longitud

Segmento recto

Punto medio L

Cuarto de circunferencia

rx

2

ry

2

2

.r

Semi circunferencia

0x r

y2

r.

2.2 SUPERFICIES

Figura coordenadas área

Triangulo

Baricentro

1/3 de la base

2/3 del vértice 2

.hbA

x

y

r

r

x

y

Page 4: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 4

Paralelogramo

Inteseccion de las

diagonales hbA .

Cuarto de circulo

.3

.4 rx

.3

.4 ry

4

. 2rA

Semi circulo

0x .3

.4 ry

2

. 2rA

2.3 VOLUMENES

Figura coordenadas volumen

Cilindro y prisma recto

2

hy

hAV .

A = área de

la base

Cono y pirámide recta

4

hy

3

.hAV

A = área de

la base

Semi esfera

8

3ry

3.3

2rV

x

y

r

x r

y

h

r

Page 5: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 5

3. CENTROIDES POR INTEGRACION

Considerando, ya no partículas como en la fig 6.1, sino elementos

diferenciales, se tiene:

dA

dAxx

el.

dA

dAyy

el.

dA

dAzz

el . (4.2)

Pudiendo ser: dA = diferencial de línea, área o volumen

4. TEOREMAS DE PAPPUS - GULDINUS

TEOREMA 1: El área de una superficie en revolución es igual a la

longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida

por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie

LyA 2

TEOREMA 1: El volumen de un cuerpo en revolución es igual al área

generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del

área al momento de generar la superficie

AyV 2

Page 6: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 6

EJERCICIOS

a) Pesos y Masas 1. Determinar el centro de gravedad de las partículas mostradas, si: : w1=

16 N, w2= 8 N, w3= 28 N y w4= 28 N

Rpta:

2. Determinar el centro de gravedad de las partículas, si: w1= 12 N, w2=

24 N, w3= 9 N y w4= 15 N

Rpta:

3. Si las masa de las partículas son 5 kg, 2 kg, 1 kg y mP

respectivamente, y el centro de masa esta ubicado a 2 m a la izquierda

del origen, determinar la distancia XP y la masa mP, si la suma de las

cuatro masas es 10 kg

Rpta: 2 kg y 5 m

Page 7: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 7

4. Si las partículas son de 2 kg, 3 kg y 4 kg respectivamente, determinar

el centro de masa

Rpta: 1,44 m; 2,22 m y 2,67 m

5. Si la varilla de 40 mm pesa 60 N, la de 20 mm pesa 20 N y la

semicircunferencia pesa 80 N determinar el centro de gravedad del

conjunto no homogéneo

Rpta:

b) Líneas

6. Considerando el alambre uniforme y homogéneo, determinar su

centroide

Rpta: 45,5 mm; -22,5 mm y -0,805 mm

Page 8: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 8

7. Determinar la abscisa del centroide del alambre mostrado, si r = √5 m

y BC = 5 m

Rpta: 0

8. En la espiral uniforme y homogénea mostrada, determinar el

centroide, si a = 77 cm y los puntos A, B y C son los centros de los

alambres 1; 2 y 3 respectivamente

Rpta: 363 cm y 91 cm

c) Superficies

9. Determinar el centroide del segmento circular sombreado, si el

cuadrado es de L= 36 cm de lado

Rpta: 21.023 cm; 21.023 cm

Page 9: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 9

10. Determinar el centroide de la figura mostrada, a la cual se le ha

practicado un corte semicircular de 9 cm de radio

Rpta:

11. El centroide del rombo mostrado, tiene por abscisa x = 30 cm, calcular

la medida del ángulo α si el lado del rombo es 40 cm

Rpta: 60°

12. Hallar la altura h del triangulo isósceles que se debe extraer del

cuadrado de lado L = 2(3 + √3 ) m, para que el centroide concuerde

con el vértice M del triángulo

Rpta: 3 m

d) Volumen

13. Determinar la coordenada z del centroide del sólido uniforme y

homogéneo, formado por una semiesfera y un tronco de cono, al que

se le ha practicado un agujero cilíndrico de 25 mm de radio.

Page 10: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 10

Rpta: 14,6 mm

14. Si el centroide del sistema mostrado coincide con el punto de contacto

entre la esfera y el cono, calcular la altura “h” del cono, se sabe que el

radio R = √2 m, además que la densidad del de la esfera es el doble

que la del cono

Rpta: 8 m

15. Para el sólido mostrado, determine las coordenadas del centroide

Rpta:

Page 11: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 11

e) Centroide por integración

16. Determine el centroide de la varilla homogénea doblada en forma

parabólica

Rpta: xc = 0,531 pies

yc = 0,183 pies

17. Determine la abscisa del centroide de la varilla homogénea doblada

en forma de arco circular, en términos del radio “r” y el ángulo “α”

Rpta: (r.sen α)/ α

18. Determinar el centroide de la varilla homogénea doblada en forma

de arco circular

Rpta: xc = 124 mm

yc = 0 mm

Page 12: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 12

19. Determinar el centroide de la varilla doblada en forma parabólica

Rpta: xc = 0 pies

yc = 1,82 pies

20. Determine el centroide de la superficie sombreada

Rpta: xc = 0 pies

yc = 1,82 pies

21. Determine el centroide de la superficie parabólica sombreada

Rpta: xc =3b/8

yc = 3h/5

Page 13: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 13

22. Determine la ubicación rc del centroide C de la porción superior de

la cardioide r = a (1 – cos θ)

Rpta rc = 5 a /6

23. Determine el centroide de la superficie sombreada

Rpta: x = y = 9a/20

24. Determine el centroide de la superficie sombreada

Rpta:

Page 14: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 14

25. Determine el centroide del elipsoide de revolución

Rpta: xc = 0

yc = 3b/8

zc = 0

26. Determine el centroide del solido mostrado

pta: xc = 0

yc = 0

zc = 5h/6

Page 15: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 15

27. Por integración determine el área y la distancia centroidal yc de la

región sombreada. luego utilizando el segundo teorema de Pappus y

Guldinus determine el volumen del solido formado por el giro del

área sombreada con respecto al eje x

Rpta: A = 3.33 pies2

yc = 1,2 pies

V = 25.1 pie3

28. Por integración determine el área y la distancia centroidal xc de la

región sombreada. luego utilizando el segundo teorema de Pappus -

Guldinus determine el volumen del solido formado por el giro del área

sombreada con respecto al eje y

Rpta: A = 1.33 m2

yc = 0,6 m

V = 5.03 m3

Page 16: Mecanica Vectorial-solucionario Centroide

Mecánica Vectorial Omar Pablo Flores Ramos 16

BIBLIOGRAFIA

1 BEDFORD &

FOWLER (1996)

Mecánica para ingeniería, Estática. USA

2 BEER &

JHONSTON

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Mecánica vectorial para ingenieros,

Estática, editorial Mc Graw Hill, Bogota,

Colombia

3 BELA I. SANDOR

(1993)

Ingeniería Mecánica-Estática. Edit.

Prentice Hall. México.

4 HIBBELER R. C.

(2002)

Ingeniería Mecánica, Estática, editorial

Prentice Hall, Séptima edición, México

5 MERIAM, J. L.

(1998)

“Estática” editorial Jhon Willey.

México

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(1996)

Ingeniería Mecánica - Estática. Edit.

Reverte S.A. México

7 SHAMES, IRVIG H.

(1980)

Ingeniería Mecánica Estática. Edit.. Harla.

México