autocopia de seguridad detrab · 2019. 8. 27. · geometrÍa elemental para trazos no hay duda de...

GEOMETRÍA

ELEMENTAL PARA TRAZOS No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorarla enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos;no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas.En mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden ser tanfrescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son muchos! En muchospaíses hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseñanzade la ciencia ha sido más bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática.

Por el cual pongo en línea este folleto. Para los que gusten de geometría.

TRIÁNGULOEs la figura geométrica (conjunto no convexo) formada alunir tres puntos no colineales mediante segmentos.

Notación: ABC

Regióninterior

Región

exterior

al ABRegión

exterior

al BC

Región

exterior

al AC

A

B

C

a

b

c

+ + = 180º

a + b + c = 360º

Teorema:

Observación: El triángulo como conjunto no convexo nopresenta región, sino determinan regiones. Es distinto decirtriángulo a decir región triangular.

Gráficamente:Región Triangular

A

B

C

Esta constituida

por

A

B

C

TriánguloABC

Región interiordeterminada por

el triánguloABC

Teorema:

X

X = +

Teorema: Si a > cPropiedad decorrespondencia

>

a c

Teorema:Propiedad de existencia

a

b

c

A C

B

Si: a > b > c

b - c < a < b + c

Propiedad:

X

X = + +

Propiedad:

+ = +

Propiedad:

x

y

+ +y =

x

Propiedad:Si:

x

y

x + +y =

Propiedad:Si:

x

y

x y=

Propiedad:

xy

a b

x y+ > a + b

x

+

Propiedad:

= x + 180º

Propiedad:

x

y

x = y

Propiedad:

yx

+ = x + y

Si:

A

B

C

a by

x z

c

p

Si: P =a + b + c

2p < x + y + z < 2p

Si:

2

2

x

x = +

Si:

a

b

a

b

22

x

x = +

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

1.- Por la medida de sus ángulos:

A

B

C

ac

b

+ = 90º

AB y BC : Catetos

AC : Hipotenusa

Teorema dePitágoras

a + c = b2 2 2

A. Triángulo rectángulo:

B. Triángulo oblicuángulo:

a. Triángulo acutángulo b. Triángulo obtusángulo

A

B

C

a

b

c

, y : agudos

b < a + c2 2 2

A

B

C

a

b

c x

“x” es obtuso, b > a + c2 2 2

2.- Por la medida de sus lados:Escaleno Isósceles Equilátero

Lateral

(AB)

Lateral

(BC)

A C

B

La medida de sus tres ladosson diferentes.

La medida de sus dos ladosson iguales.Nota: El AC es base

La medida de sus tres ladosson iguales.

Nota:

60º60º

60º

60º

A CM A C M

BISECTRIZBisectriz Interior Bisectriz Exterior

A C

B

M

BM: Bisectrizinterior relativoal AC

A C

B

M

BM: Bisectrizexterior relativoal AC

Observación: Altura:

A C

B

No hay Bisectriz en el ABCA C

B

h

Altura: Mediana:

AC

B

h

B

AC

M

Mediatriz: Caso I Mediatriz: Caso II

A

B

C

L : Mediatriz deAC.

L : Mediatriz deAC. B

A CL

Propiedad: Propiedad: Propiedad:

x

2

x = 90° +

2

x

x = 90° -

2x

x =

BM: Mediana realtiva al AC

Propiedad: Propiedad:

Propiedad:

Si:

a b2

x90°-

a = b x = 90°-

x

90°- 90°-

Propiedad:Propiedad:

=

a b

a = b

2

x x

x = 90° -

Si:

Si:Si:

Si:

Si:

Propiedad:Si:

x = 2

B

A CM

BM: Mediana, mediatriz,bisectriz, altura.

Propiedad: Propiedad:Si: Si:

Propiedad:

a b a b a b

x

Propiedad: Propiedad: Propiedad:

n m

n = m =

n m

x

n = m x = 90º

x

x = 90º=

Congruencia de Triángulos: Son dos triángulos cuyos ángulos sonrespectivamente de igual medida y además sus lados correspondientes deigual longitud. (Ángulos y lados homólogos)

a

b

c

CA

B

a

b

c

C´A´

B´

Casos de Congruencia:

Caso: L-A-L (lado - ángulo - lado)

c

b CA

B

b

Caso: A-L-A (ángulo - lado - )ángulo

b CA

B

b

Caso: L-L-L ( - lado - )lado lado TEOREMA

TEOREMA

TEOREMA I

b CA

B

b

c

c

ac a

L

No es bisectrtizexterior

H

A´ C´

B´

A´ C´

B´

A´ C´

B´

a = b =

n m

a = b n = m a = b x = 90º

LÍNEAS NOTABLES

Ceviana Interior Ceviana Exterior

B

BM: Cevianainterior relativoal AC

B

BM: Cevianaexterior relativoal AC

Geometría

El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)

II

III

65

Aplicación 2hallar “x” en:

x

Solución B

A C

D

O 60º-

60º

x

Primero: El DAB DOC (caso L-L-L)Por tanto la m ABD = m OCD = , en consecuencia lamedida del ACB = 60º -Por último, en el ABC Por teorema

x + ( + 60º) + 60º - = 180ºx = 60º

APLICACIONES DE CONGRUENCIA

O n

b

a

m

B

M

A

Si: OM es bisectriz

Teorema de la bisectriz

a = b m = n

O

A B

b a

Teorema de la mediatrizDe un segmento

De un ángulo

a = b

Es decir el AOB esisósceles de base AB

B

A C

O

El AOC es isóscelesdonde: AO = OC

El AOB COBCaso: L-L-L

A

B

CX

am n

m n

M N

y

Teorema de la base media

= y (por que MN AC)

x = 2a

En:

Si:

X

am

n

Corolario:

n = m

x = 2a

75º 15º

4a

6 2 aa

Notables aproximados:

53º/2

5a 5

37º

53º

3a

4a

aa

2a

10 a

37º/2

3a

a

25a 74º

16º

7a

24a

8º

81º

7a

2 a5

a

17a

14º

76º

a

4a

TRAZOS Y PROPIEDADESObservación: Se realizará las demostraciones más complicadas alas necesarias.

1) ¿Qué hacer en caso del siguiente ?B

A C2

1 Trazo interior:ro Se trata BM, interior y M AC formandom AMB = 2 . En consecuencia se tiene:

2 2

B

A C

C

M

2 Trazo exterior:do Análogamente al exterior se traza BM

2M

B

3 Trazo especial:ro Para ello es necesario hacer un cambio devariable: = 2

Es decir:

4 2

Resulta:

3

Primertrazo

Cevianaexterior

Civianainterior

Segundotrazo

Se trazo

2) ¿Qué hacer en un de la siguiente forma?

2

Resulta:

2

x = 60º

Aplicación 1hallar “x” en:

x

x

x

Solución:

x

x

x

a

b

x

a

A

B

E D

C

Primero se deduce que la m BCE = m BEC = x(En el EBC isósceles)Luego se deduce que m CED =Ahora el ABE DEC (caso A-L-A); por tanto a=b, elcual da como consecuencia un EBC equilátero.

CASOS ESPECIALES EN CONGRUENCIA

Congruencia en triángulos rectángulos

32 2

A

B

C

M

N

a

y

Observación:

2a

Notables:

Teorema de la mediana relativaa la hipotenusa

m m

x

x = m

a

MN no esparalelo a AC

45º

45º

60º

30º

a n

a

2n

n 3

a 2

6 2 a

7 8

Geometría


SOLUCIÓN 2:

C

20º

10º

x

10º 10º+

B

AM

C

10º

x

10º 10º+

B

AM

20º

Primero trazamos MNSe nota la congruencia( ABN CMN)Caso L-A-L

En consecuencia:

C

10º

x

10º 10º+

B

A M

x

C

10º

x

10º 10º+

B

A M

xx

2x = 20º x = 10º

SOLUCIÓN 3: Hacemos un cambio de variable. X = 2

5a

3

13a

3

2

B

AD

C

N

nn = 5a

Luego: En el ABD (lo extraemos didácticamente)

3

8a

B

AD

N

5aM

5a

3

2

x

2x

B

N

H

M

4a

4a

3a

5a

5a

x

x

Recuerda: x=2en el

En el HBN (Notableaproximado de 53º-37º)

X = 37º

SOLUCIÓN 4: Hacemos un trazo exterior

a

b

2 +

a

Ax N

M

B

b

C

Por observación notamos que m MBN = m MNB = +Por tanto el MBN es isósceles.

a = b + x x = a - b

SOLUCIÓN 5: Lo primero que haremos es el cambio de variables yasignamos los ángulos de medidas iguales. ( = 2 )

24

3

3

ab

x

Luego forzamos interior y exteriormente

24

3

3

ab

x

2

b

4

B

AC M b a N

El ABC MBN Caso(L-A-L) - 3 - b

x = a + b

SOLUCIÓN 6:Recuerda:

a

x

Por tanto prolongamos BO

B

A CM

O

Por último:

a

x

B

AC

M

O

L

x

Recuerda:

a

xx = 2a

y como, en el ABM,Ay O son puntos medios.

x = 2a

3. ¿Qué trazo se debe hacer en triángulos de la siguiente forma?

B

A C

2 90º -

1 Forma:era

Se debe recordar la siguiente propiedad

2

B

90°-

N N

N N

90°- 2

90°-

ArmandoHuaccachy

Entonces trazamos BM, para formar ángulo de 2 formar unisósceles (AB = BM)

290°-

2A C

M

Como consecuencia final tenemos:

290°-

2

90°-

Ejemplos:

40º 70º 40º70º

40º

70º

20º 80º 20º 20º80º

80º

x = 20º

PROBLEMA 3 - Hallar “x” en: PROBLEMA 4 - Hallar “x” en:


40º 20º 20º x

x

5a2x

13a

x

ab

2

x

2

a

ba

x

SOLUCIÓN 1: Como nos recomienda el Primer tipo de trazo, loprimero que haremos es un trazo exterior

20º 40º 20º

20ºx

B

AD

Luego observamos: (Para ser mas didácticos extraeremos los siguientestriángulos)

O C

20º 20º

20ºx

B

A DO C

El OBA BCD Caso L-A-L; entonces todas las propiedadesque se cumplen en el primer triángulo deben cumplirse en el segundo:

“PROBLEMAS”


x 10º

9 10

Geometría

ARCEDIO

GLORIACHAVEZ




Las formas más generales se especifica después de la solución:

26º 51º

18º

42º

x

120º 20º

60º

x

20º 80º x 18º

81º

x

SOLUCIÓN 7:Recordamos con el ejemplo

26º 77º 26º

26º

77º 26º

Y también no hay que olvidar:

60º60º

60º

60º

Ahora lo que hacemos es aplicar el Primer paso:

26º 51º

18º

42º

60º

77º

26º

77º

26º 51º

18º

42º

60º

77º

x

2x=26º

2x = 26º x = 13º

SOLUCIÓN 8:Hacemos el siguiente trazo de tal manera que aparezca con lossiguientes triángulos isósceles: ANB, NBC

120º 20º

60º

x

60º

80º

80º20º

BN

L C

A

Recordar:

60º60º

60º

60º

Entonces trazamosNL y formamos el

equilátero ANL

Sonia Chalco

120º 20º

60º

x

60º

80º

80º20º

BN

L C

A

60º

Por último recordamos la propiedad:

2

L

B

A

N

22 2

Yuly Cuenca

120º20º

60º

x

80º

80º20º

A10º

x = 10º

SOLUCIÓN 9:Primero observemos el siguiente caso de segmentos:

A B C D

Tenemos como consecuencia: AB = CD

A B C Db ba

Luego recordamos:

2 90°- 2

2

90°-90°-

Jorge Quispe

Entonces hacemos el trazo: NC

20º 80º x80º

20º60º

A

N

DCB

Y por segmentos tenemos que AB = CD

20º x

60º

A

N

DCB

80º 80º100º 100º

26º 77º 77º26º 26º

2 Forma:era

Se traza BM, se forma isósceles de base CM y laterales BC y BM

B

290°-

A CM

90°-

En consecuencia se tiene el siguiente gráfico

2 90°- 90°-

2

Ejemplos:

26º 77º 26º

26º

20º 80º 20º

20º

80º 80º

60º

77º 77º

4. ¿Qué hacer con una figura, de la siguiente forma?

x y

x = 2 y = 2

77º

Ejemplos:

10º

40º

10º

40º

20º

20º

Importante:

2

90°-

El trazo se

realiza así

2

90°-

2

90°-

51º51º

11 12

Geometría

Propiedad:

o

o


120ºx

60º A

Si:

120º 2

90º-3

x

x =

Demostración: Recuerde que los pasos son los mismos a losproblemas anteriores.

2

90º-3

90º-

2

x =

90º- x

b

Si:

x

A

B

D

C

E

2

a

a

x = 2

a = b

Demostración:

2 90º-

90º-90º+90º+

a b

El ADB CEB (Caso L-A-L)

x = 2 a = b

x

B

A N

P

C

x

a

Si: x = 2

a = b

b

a

2

90º-

Demostración: Los trazos son especificados en mismo volumen;pues son trazos conocidos.

a

22

90º-

90º-a

b

El ABN CNP (Caso L-A-L)

Propiedad: Resulta un rectángulo

x y

x=y=90º a = b

y

Demostración:

a

bA D

CB

El DAB BCD (Caso L-A-L)( - - )

x = 90º ; a = b m DBC =

5. ¿Como trazar en el siguiente caso?

5k

23º

1ero nos damos cuenta de que la medida del ángulo termina en 3º yun lado es como “5” el cual nos hace razonar con el siguiente

Notable aproximado:

5k

53º

37º

4k

3k

Entonces el trazo será de la siguiente manera:

5k

23º

30º

2n

n

P

Punto cualquiera



23º x

5k

8k

x44º

48k

25k

Por último: el ABN DCN (Caso L-A-L)

20º x

60º

A

N

DCB

100º 100º

x = 20º

SOLUCIÓN 10:Recordemos el trazo general:

2

90°-

2

90°-

2

90°-

SandraQuispe

18º

81º

x

81º

18º

B

A E

D

C

18º x

B

A E

D

C

El ABE ECD:

x = 18º

EN FORMA GENERAL DEMUESTRA

60º-

2 90º-3

x

Si:

x =

x = 2 a = b

Demostración: Solo se realizara las consecuencias ya que lospasos fueron realizadas en cada problema

60º-

2 90º-3

x

x =

60º

90º-

90º-

2

60º

x 21º

30º11º 17º 25º

29ºx

SOLUCIÓN 11:

x

5k

8k

23º

30º 53º

37º

5k

37º

53º

4k

3k

x

5k

8k

23º

30º

37º

8k

30º

60º

4k

4k

4k

4k

60º

13 14

Geometría

Milton Cucho

Angélica Tomayro


x

8k

23º

30º

4k

4k

60º

4k 4k 4k 4k

x + 60º = 90º

x = 30º

SOLUCIÓN 12:

x44º

48k

25k

30º

24k

25k

74º

24k

x44º

48k

25k

30º

24k

60º

24k

48k

30º

24k

60º

x44º

48k

25k

30º

24k

60º

24k

24k

x + 60º = 90º

x = 30º

24k 24k 24k

SOLUCIÓN 13:

x 21º

30=5(6)11

16º

53º

3(6)=18

74º

4(6)=24

37º

18

53º

24

30

x 21º

30

16º

53º

74º

24

74º

24

16º

7

11

11

74º

7

x = 74º

SOLUCIÓN 14:

x 29º

2517

45º

16º

45º

716º

7

74º

24

25

45º

x 29º

2517

45º

16º

77

45º

45º

45º

7

17

7

45º

x = 45º

TRAZOS6. ¿Como trazar en el siguiente caso?

Se recomienda trazar una ceviana exterior para formar un triánguloisósceles.

7. ¿Qué trazo se debe realizar en el siguiente caso?

Recordar:

n

n

Entonces es necesario un trazo interior tal que forme un isósceles.1ero

nn

Finalmente se obtiene:

nn

8. ¿Cuáles son las construcciones en este tipo de triángulo?

30º

; < 30º

1 tipo de trazo:er Se construye un triángulo equilátero en funcióndel lado mayor.

30º30º

Recuerda:

Finalmente se obtiene:

30º30º

Observación: En la solución de los problemas; se aplicará el casofinal, por que ya se demostró de donde viene el gráfico final.

15 16

Geometría

YenyHuyhua

AureliaDiaz

Wilykiwy

Cesar Flores

FlorAronés

Maria LuzCusi

JalachaTomayro

Lucia

CaboFlores

WalterJanampa


2 tipo de trazo:do Se construye un triángulo rectángulo, de talmanera que el lado mayor se transforma en hipotenusa.

30º2n

n

3 tipo de trazo:er Se construye un triángulo equilátero en funcióndel lado menor.

30º

30º

A

C

BN

Luego completamos el segmento AN para obtener un triánguloisósceles ANC

30º

30º

A

C

B

9. ¿Qué hacer en este tipo de tri ?ángulo

60º+

30º

B

C

A

Se construye el ANB equilátero

60ºA

C

N

B

30º 30º

60ºA

C

N

B

30º 30º

Finalmente trazamos CN para tener como consecuencia el ANCisósceles..

60º

10. ¿Qué hacer en este caso?

60º-2A

B

C

D

Primero construimos el ABN equilátero, y por último trazamosBC y ND del cual:

ABC AND (Caso L-A-L)

60º-2A

N

B

C

D



20º

x

+10º

x +40º

3

50º

30º

x


x30º



20º

60º-2


10º

x


x

80º

20º30º 20º

x

20º+

x +20º

20º

10º

3

10º

20º

30ºx

20º

10º x70º

30º 20º

10º40º

70º x

10º

x

40º

60º-

2

x

60º-2

60º+

x

20º

SOLUCIÓN 15:Recuerda:

+

nn

+

+

Trazamos DE para formar el isósceles del BDE.

20º+

x 20º

20º+

B

AD

C

E

Del gráfico tenemos como consecuencia:

x 20º

B

AD

C

E

ABD DEC (Caso L-A-L)

x = 20º

Solución 16:

n nn+ n+ n

Hacemos el trazo exterior BE del cual se observa que m BDE= m BED = 10 + , entonces BDE isósceles.

x

+10º +20º

10º

+10º

B

AD

C E

x

+10º +20º

10º

+10º

B

AD

C E

Del gráfico el ABD EBC (Caso L-A-L)

x = 10º

Geometría

EdelizaTomayro

Maria SoledadSalcedo

El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)1817

3

30º

x

10º

3

50º

30º

x

B

A C

N

M

50º

50º

50º

De la construcción se tiene:ABC ACM (Caso A-L-A)

X = 3

3

50º

B

A C50º

x

x

A

M

50º

50º

3

C

x = 40º

Solución 19:Primero trazamos la altura relativa a la base.

x

10º 30º

Recuerde:

30º30º

2n

x

10º 30º

n n

n n2n

n

x

10ºn nD

n

B

CA

E

40º

= 40º Por que el ABD LEAPor lo que: 40º =Por último: + x + 10º = 90º

40º + x + 10º = 90º

L

Solución 20:

20º

30ºx

20º

60º-x30º

60º-x x

B

A

D

C

M

Del gráfico se deduce que el ABC ADM (Caso L-A-L)

x = 40º

x = 60º - x = 20º

Solución 17:

Solución 18:

30º30º

Solución 21: Realizamos el trazo conocido y mencionado.Constituimos el ABN equilatero

+40º

C

Trazamos:

+40ºC

+20º

n n

m

n+m

M

+40ºC

+20º

M

30º

x

20º

A

B

x

20º

A

B

20º

x

20º

A20º

B

El ABN MAC (Caso L-A-L)X = 20º

30º

10º

60º

30º

10º

Ax

20º

50º

10ºN

B

10º

60º

30º

10º

Ax

20º

50º

10º

N

B

10º

60º

30º

10º

Ax

20º

50º

10º

N

B

X = 10º

Geometría

NorisChavez

YovanaPalomino

YessicaFlores


Geometría

Se obtiene lo siguiente:

B

CA

40º10º

10º10º

10º

X60º

60º

10º

D

E

RoxanaLa Catalinita

JhonnyMeza

2θ

Recordar:

Recordar:

2θ30 - θº

120º - 2θ

30º

Aplicando la propiedad señalada:

Consecuencia:

X 30º=

Solución 22 Solución 23 Solución 24

C

B

A

40º10º 10º

X70º

70º

60º + θ

30º

60º +θ

30º

30º

30º30º

30º

Reordar:

Roció Álvaro

Se construye el ABEΔ equilátero.

C

B

A40º

10º10º

10º

X60º

60º

10º

D

E

DΔA ΔC AEC.

20º

20º

10º

10º 10º

x

x

40º

40º

40º

50º

50º50º

50º

110º

EL ABC BCD

x = 40º

x = 30º

x =

A

D

B

C

60º-60º+

60º-60º+

60º+260º-2

1) 2)

60º-2_

Rubén Tomayro

Anabela Alca

60º-2

_

60º

60º

60º-

2

2

x

x

x

x

x

60º-2

2

60º+2

60º-

2

x

60º-2

Haciendo la construcciòn se obtiene:


Geometría

D B

c 60º-2θ

E

A C

Soluciòn: 25Se construye el EBC equilátero

X X=

c

E

D B

A C

X = 30º

X

X

X

Solución 26 Solución 27

C

C

A

A

A

B

B

B

30º

30º- x

10º10º

20º

20º

20º

20º

20º

60º

60º

30º

30º

40º

40º

60º

60º

D

D

D

N

N

E

E

Después de construir el ACEequilátero. luego el

ΔΔ ΔACB ECD (L-A-L)

ACD EAD (L- L- L)Como el Δ Δ

BCD ECAΔ Δ

x

x

x

A

A

D

D

C

C

B

B

E

E

C

20º

20º

20º

20º

20º

20º

20º

20º

20º

20º

20º

40º

40º

40º

20º

20º

20º

60º

60º

x

80º

A

B

D

Del cual 2X = 60º.

X = 30º

Solución 28

Como el ABC ACD (L-A-L)En consecuencia se obtiene.

Δ Δ

Se construye el ACDΔ equilátero.

C

C

B

B

A

A

D

D

E

E

X

X

X = 20º

60º +

60º

60º

60º +

2 2

60º

60º

30º

20º 10º

60º 60º

*

*YosmilEspilco

º

º º

20º

20º

30º

30º

30º

30º

El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)23 24

Primero construimos el ABN equilátero por tanto:

Trazo Especial:

D

Luego prolongamos BC en K de tal manera que m

B

B

A

A

C

C

q

30º

B

C

c

N

30º30º

A

Tener presente el siguiente

B

Recordar

30º

30º

K

B

A

C

c

N

30º

CONSECUENCIA

Ada LuzOré

30º30º 30º30º

30º+X30º+X60º

30º-X

_ _

Nelson Méndez

De lo mensionado, trazamos KN del cual trae comoconsecuencia el AKN isósceles y m KAM=30º-XD

-

Geometría


B

N30

º

30º

K

A

C

c

30º

30º-X

30º-X

Ahora construimos el AKM equilátero y comoconsecuencia la m BAM=30º-X

D

B

N

30º

30º

K

A

C

c

30º

30º-X

30º-X

30º-X

M

Después de hacer el trazo MB se verifica que:(caso L-A-L), por tanto todos los datos que se

cumple en el tienen que cumplirse en elosea quiere decir que el E es también isósceles el cualse especificará en el otro gráfico.

M A BK A N D@D

K A ND M A BDM A BD

B

N

30º

30º

K

A

C

c

30º

30º-X

30º-X

30º-X

M30º-X

Como L es punto medioademás AC es mediatrizdel segmento MK.

B

N

30º

30º

K

A

C

c

30º

30º-X

30º-X

30º-X

M30º-X

--

--

L

60º-

X

Victor Pillaca Quispe

RecordandoM

K

30º

30º

LA

30º

30º

L

=

=

Geometría


=

=CA

M

K

=

=C

Carlos Conteña

A

M

K

Finalmente, despues de trazar MC, se llega a la conclusiónde que el ACK es isósceles (MC=CK). Por último; mMCB=120º-X

DD

B

N

30º

30º

K

A

C

c

30º

30º-X

30º-X

30º-X

M30º-X

--

--

L

60º-X

120º-X60º-X

PROBLEMAS

30ºX

54º

X

24º

30º

54º X30º

X 84º

42º

Problema 29

Problema 30

Problema 31

Problema 32

Geometría


N

30º

30º

30º

30º

Sonia Navarro

30ºX

30º

30º-x

A C

B

K30º

N

30º-x

Como la figura presenta las cualidades para x hacer el trazoanterior, entonces construimos el BCN equilátero. Y siobservamos la prolongación del CK en A cumple el requisitoque la m KBA=30º y la medida del ABN es igual a 30º-x(m ABN=30º-x.)

-

30ºX

30º

30º-x

AC

B

K30º

N

Ahora construimos el ABM equilátero y luego letrazamos el MC del cual observamos que: el ABN MBC(caso L-A-L). Quiere decir:

@-

--

--30º30º

30º

30ºB M

AK

B

M

A

K

Consecuentes

Entonces ellolo aplicamos.

30ºX

30º

30º-x

A C

B

K30º

N

30º-x

M30º-x

Como nos habíamosanticipado en el casoanterior entonces lesseñalamos los nuevosdatos.Construimos MK yluego aplicamos elteorema de labisectriz interior.

( AK )= MK

60º-x

60º-x=

Ana Artiaga30º

X

30º

30º-x

A C

B

K 30º

N

30º-x

M

30º-x

30º-x

----

60º-X

Walter Palomino

Solución 29

Geometría


C

30ºX

30º

30º-x

A

B

K 30º

N

30º-x

M

30º-x

30º-x

----

60º-X

60º-X

120º-2X

M

K

C

120º-2X

120º-2X

60º-X

Para apreciar mejor lasolución nosconcentramos en el

MCK: isósceles.

LitoAlca(120º-2X)+(120º-X)+(60º-X)=180º

X=24º

24º

30º

A

B

C

Primero observamos el siguiente acontecimiento:

24º

30º

A

B

C

30º

N

Construimos el equilátero ABN.Δ

6º

30º

A

B

C

30º

N

6º

30º

A

B

C

30º

N

6º

KarinaCárdenas C.

Solución 30

Geometría

Consecuenciafinal del trazo:ver páginas25-35.


30º30º

30º30º

CarlosTorres

24º

30º

A

B

C

30º

N

30º

6º

6º

K

!Prolongamos AC en K tal que m CAK=30º.-

!

!

Se construye el

Luego se traza MB tal que:

ΔAKM equilá tero

ΔABM ΔNAK(caso L-A-L).

=

A

B

N

6º

6º

K

6º

M

Carlos Rupire

24º

30º

A

B

C

30º

N

30º

6º

6º

K

6º

M

24º

30º

A

B

C

30º

N

30º

6º

6º

K

6º

M

36º

6º

!Primero nos damos cuenta que el°.ΔKMB isó sceles,

que en consecuencia: m MKC=36

=

=36º

=

=36º

36º

M

C

K

M

C

K

Héctor Suyca

ΔKMC isó sceles.

72º

Miguel Ángel Molina

36º

=72°

24º

30º

A

B

C

30º

N

30º

6º

6º

K

6º

M

36º

6º

72º

72º

Se concluye que:BC=AK=KN.

Geometría

-

36º


24º

30º

54º 24º

X

P

B

A C

!Se traza BP (P en la prolongación de CA). De tal forma queº observamos el

ΔPBC esisósceles PB=BC. Ademá s m APB=m ACB=24 ΔABPdel cual ya anunciamos sus trazos.

- -

Es decir llegamos a la siguiente conclusión:(ver pag. 34-36.)

6º

N

30º

6º

6º

6º24º

30º

54º 24º

X

P

B

A C

36º

72º

72º36º

24º+x

30º

M

Extraemos los ángulos PBN y ABM, para comparar que:BAM. (caso L-A-L)ΔNPB Δ

54º

30º

P

B

N

54º 24º+XMA

B

30º=24º+X

X=6º

Solución 30 Solución 31

Geometría

Recordar:(En el problema anterior se recalca los pasos)

24º

30º

54º XR

B

M La

ab

24º

30º

6º

30º

6º

6º

6º24º

30º

36º

72º

72º36º

30º

N

6º

30º

6º

6º

6º

24º

30º

54º XP

B

M L

36º

72º

72º36º

30

30º

N

54

bb

a

a96º

C

El PBN ABM (caso A-L-A)Es decir: (96 )-(--)-(54 ).Entonces a = bY si a = b el R

Δ Δº º

BL es isósceles(RB=BL=a=b).

X=24

ΔA 96º


Des

pu

ès d

e co

nst

rucc

ón

:(ve

r pag.

34-3

6)

El

CB

(caso

L-A

-L)

Es

dec

ir: (-

-)-(

126

) -

(--)

.Δ

AΔ

DE

B.

º

X=30º

Geometría

Solución 32

126º

54º

54º

54º

36º

72º

84º

84º

54º

54º

54º

54º

42º

6º 6º

6º

30º 24º

24º

30º

30º

30º

126º

126º

X

X

Adem

ás:

AC

ED

B


X

60º

60º

60º

60º-

A

L

B

C

M

D

Propiedad 01

Demostración:

En consecuencia:NCA (Caso: L-A-L)

del cuál LA=NA=También: x + = + 60º

ΔLBA Δ

Primero construimos elABC equilátero y luego elMNC también equilá

ΔΔ tero.

De la ecuación

Ahora trazamos MA para identificar el(Caso: L-L-L) del cual se deduce que = --------------

ΔALM ΔANM

Geometría

X

60º

60º

60º

60º-

X

60º- X = 60º

I

I

A

L

B

C

M

D

II

II = =X + = + 60º

=X + + 60º

X = 60º


Propiedad: 03

2

X=120º-θ

Demostración

Demostración

2 2

90-θ

90-θ

Trazamos BD para obtener el ΔABD ISÓ SCELES-

Realizamos el trazo en forma análoga a la demostración anterior, yaplicamos la propiedad.

2

B

A

C

90-θ

90-θ

D

Geometría

Propiedad: 02

Propiedad:

120º-2θ

60º

X =2θ

Θx

120º-2θ

Θ

Θ

x

y X

X 2y = 2

=

X 2=

Jhon Quispe

Edson Palomino


Ahora trazamos AM bisectriz, altura mediana y mediatriz.Luego DH aBC-- -

-- -

Trazamos DH BC, para formar: DHC AMD- --- -

B

A

C

90-θ

90-θ

D

M

-

-

90-θ

B

A

C

90-θ

90-θ

D

M

-

-

-

H

=

=90-θ

30º

2a

Por último observamos que el DBH es notable de 30º-60º.B

A

C

90-θ

90-θ

D

M

-

-

-

H

=

=90-θ

30º

Finalmente: X=(90º- )+30ºX=120º-

θ

θ

X = 60º

Geometría

Estefh Cusi

Propiedad adicional:

2θ

2θ

Θ

Θ

X

X30º 30º- θ

90º- θ

X = 30º- + 30º +θ θ

30º-

θ

90º- θ

X = 60º

Demostración

Consecuencia120º-2θ

120º-2θ

2θ

2θ 30º

2θ

Θ90º -

90º -

Θ

30º -θ

Recordar:

Leonardo Tomayro


2

290-θ

90-θ

Ruth Cuenca

Demostración

Propiedad: 04

X=θ

2

120º-θ

2

90º-θ

30º

90º-θ

A

B

C

D

Primero trazamos BD de tal modoque m ABD = m ADB=90º-θ

-

Marco Alfaro

-

---

B

90º-θ

30º

90º-θ

A

C

D

M

-

-

90º-θ

30º

90º-θ

A

B

C

D

M

-

-

H

90º-θ

30º

90º-θ

A

B

C

D

M

-

-

H

Trazamos AM BD ybisectriz, mediana ymediatriz.

-- ---

Trazamos DH a BCdonde se forma elBHD notable de: 30º-60º (DH=a)

-- - --

30º

2a

÷2

Demétrio Janampa

Daniel Conde

-

-

-

-

Del gráfico el AMD= DHCpor tanto: X=θ

Geometría


Demostración:

120º-θ

A

B

C

D

Propiedad: 05

X=2θ

= + +

120º-θ

A

B

C

D

120º+X

Trazamos L // L que en consecuencia se obtiene m ADN=X1 2

120º-θ

A

B

C

D

120ºX

60º

L2

L1

N

A

B

A

B L4

L3D

=

TRAZAMOS L //L3 4TRAZAMOS L //L3 4

Godelina Chavez

Recordar:

ConsecuenciaRecordar:

Observando el caso anterior trazamos BM//AD y enconsecuencia: BM=MD=AB=AD= y m BMD=X

- -

Geometría

Justiniano Tomayro


120º-θ

A

B

C

D

120ºX

60º

L2

L1

N

MX

60º60º

60º

60º

Fénix García

MarleniOré

Recordar:

Recordar:

C

120º-θ

A

B

D

120ºX

60º

L2

L1

N

M

X

Trazamos MC tal que seforme el ΔMCD equilá tero.

-

Trazamos BD y aplicamos lapropiedad mensionadopanteriormente

-

A

B

C

D

120ºX 60º

L2

L1

N

M

X

X=2θ

52

Geometría


Demostración:

90º-θ

Yolanda Flores

-

-

-

-

Recuerda:

A

B

C

D

90-θ

=

=H

M

30º

30º-θ

X=90º- +30º-θ θθX=120º-2

A

B

C

D

X90-θ

90-θ

=

=H

M

Prolongamos CD en M tal que se forma el MBC HDA,por lo tanto: HD=BM=a.

-

X

2a

MirasolDíaz

X=30º

Del MBD (notablede 30º-60º) por loque m MDB=30º.

A

B

C

D

90-θ

=

=H

M

30º

Geometría

90º-θ

Elmer C.CH.

2θ

A

B

C

D

X90-θ

90-θ

=

=H

=

=Recordar:

Recordar:

Propiedad: 06

B

AC

D

X=120º-2θ

2θ

X


Propiedad: 07

120º-2θ

2θ

Si: X=

Figura:Primer trazo

Segundo trazo

Javier Flores

120º-2θ 120º-2θ60º

60º-θ60º

120º-2θ

60º

Demostración:Para ello es necesario conocer el trazo de la siguiente figura:

120º-2θ

60º

60º

B N

C

D

A

Trazamos AN y aplicamosel trazo conocido (ABNC:equilatero)

-

Recuerda también; el siguiente trazo:

Estefany T.F

-

--- --

=

=

120º-2θ

60º

60º

B N

C

D

A

=

=

Aplicamos lo mensionado en el gráfico puesto que se presenta lascondiciones:

Geometría

Recuerda:


A

Recordar:

2

X

Ana Oré

X=θ

120º-2θ

60º

60º

B N

C

D

=

=

X=θ

2θ

Problema 35

Problema 33 Problema 34

Problema 36


20º40º

X

3θ

2θ3θ

4X 3X

5X

X

3θ 2θ

3X 2X

X

30º 40º X


100º40º X

20º20º

40º40º

10º X

Geometría


Solución 33Problema 41 Problema 42


-

7

-- X2θ

60º

X2X

3XX

20ºX

100º

5X

X

3X

24º

54º X- -

45º X

60º

l

l2

2XX

l2 l

X

ll2

2X



Geometría

2

2

x

AC

P

B

N

Recordar:

xX =120º-θ

Thania Flores

Primero construimos el Δ ABC ANC.Δ

X

120º-θ

2

A

N

C

P

B

En el APC3 120º-

Δ

θ + θ =180º

θ = 15º

θ

θ +2

Pero X = 120º -X = 120º - 15º

X = 105º


Solución 35

Del gráfico observamos:BN = a +b.Por lo tanto:MC = a +b.Que en consecuenciatenemos MN = a.

Aplicamos la construcciónmencionado en Δ NBC.

120º - 4x8x +120º - 4X = 180º

X = 15º

3X X2X

2X

X X

b

aa

b

8X4X

4X

X

X

2X

2X

4XA

C

B

L

NM

a

b

b

a8X

4X

X

X

2X4XA

C

B

L

NM

a

a

a

Geometría

Solución 34

Recordemos la consecuencia del trazo en la siguiente figura:

Trazamos AN para formar el N isósceles.Δ AB

3X8X

4X

4XX

4XA

C

B

L

NM

Pilar Linares

70º

70º

70º

X

X

40º

40º

2(10º)

40º

X = 10º

30º

30º

90º-θ90º-θ 2θ2θ 2θ

90º-θ

Recuerda:

Aplicamos el trazo y vemos queSe construye el caudrilátero

KarinaFlores

100º = 120º - 20º

=


2X3X 3X

X

A

B

CD

2X2X

2X

X

A

B

CD

2X

120º-2X

Solución: 36

Construimos el ANDcongruente al BCD. Yobservamos el ABDN

Δ

Δ

Luego nos fijamos en el ABD3X+ +3X ºComo: 120º-2X

Δ

θ=

=180

=

θ =180

3X+120º-2X+3X ºX 15º

X

X

Solución: 37

X

A

B

C

D

2θ

2θ

2θ3θ

--

N

2θ

X=120º-2θ

A

B

N

C

María SoledadChipana

Luis Beltran

X

A

B

C

D

2θ

2θ

2θ3θ

--

N

120º-2θ

Ahora en el ABC3 +X+2 =180º

120-2

Δ

θ

Θ

θ

θ =20º

Como: X=120º-2X=120º-2(20º)

θ

X=80º

Construimos el ANC ADCΔ Δ

Geometría


Solución: 38

Primero anotamoslas primerasconsecuencias

2θ 2θ

Ivan Jessa

Como la figura presenta las condiciones para hacer el trazo de cevianaexterior, lo aplicamos:

Recordar:

120-X X

40º 20º20º+XA

B

CD

Construimos el AMD NABΔ Δ

120-X X

20º 20º20ºA

B

CD

20º

N

M

20º X

=2X

Elizabeth Oré

120º-XRecordar:

En la figura observamos el cuadrilátero ABDM cóncavo con las condicionespara aplicar la propiedad:

120-X X

20º 20º20ºA

B

CD

20º

N

M

20º X

Luego: 20º=2XX=10º

Geometría

120-X X

40º 20º20º+X

A

B

CD

20º

N

20º

20º

20º


Solución: 39

2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ

90º-θ

Ana Torres

40º 80º

X10º

40º 40º

70º

A

B

C

D

40º 80º

X10º

40º 40º

70º

A

B

C

D

40º

70º 80º

N

Finalmente; en elñ cudriláterocóncavo NACD.(80º=120º-(20º)) cumple lacondición de los cóncavos:

X=40º/2

X=20º

Solución: 40

Primero hacemos la siguiente construcción y los datosconsecuentes de los mismos.

B80º

100º

40º

80º40-X

20º

20º

N

A C

D

X

=2X

Elezabeth Cusi

120º-X

B80º

100º

40º

80º40-X

20º

20º

N

A C

D

X

120º-XAplicamos la propiedad en el

cuadrilátero sombreado:

20º=2XX=10º

Geometría


Solución: 41

5X

3X

X

3X

5X

X

3X

5X

A

B

C

D N

Primero colocamos los valores de los ángulos que parten como consecuenciade los datos.Luego trazamos la ceviana exterior CN que cumpla las siguientes

5X

3X

X

3X

5X

X

2X

4X

A

B

C

D N

M

X

X

Construimos el CMN ABCΔ Δ

5X

3X

X

3X

5X

X

2X

4X

A

B

C

D N

M

X

X

12º-2X

Solución: 42

2θ

Nelson

2θ 2θ

d Luego de hacer el trazo (DM) se trazaDB y se verifica que: ABD MDCEn consecuencia: el ABD es isósceles(m ABD=X )

Δ ΔΔ

Λ AD=BD

--

= + +

CrisantoRojas

X

X

2X X3X

5X

A

B

CM

D

2X

X

Aplicamos la propiedad (m BDC=5X)

Geometría

En el caudrilátero DCMN cóncavo m CDN=120º-2X (Propiedad)Ahora 3X+5X+120º-2X=180º

X=10º A M

d

d

Δ

Δ

Δ

Construimos DPCADB

Luego en el DBC:5X+120º-2X+3X=180º

X

X

2X X

2X

4X

B

C

D

2X

X

X

X P

120º2X ( )Propiedad de cóncavo


Solución: 43

7

60º

F

D

60º+θ

B

E

CA X

=60º

José Molina

60º+θ

60º

F

D

60º+θ

B

E

CA X

60º+θ

7

Construimos el AFC ADCΔ Δ

Recordar:

Por lo expuesto m EAF=60º

Segun la figura el AEC esisósceles (m SEAC=m AEC)

X=7

Δ

Solución: 44

X60º

20º

100º

80ºB

A

D

C

2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ

90º-θ

SegundinoMeza

X60º

20º

100º

80ºB

A

D

C

20º

N

80º

Construimos según loexpuesto de la siguiente

120º-2θ X=2X

Jesús Linares

2θ

Construimos ahora el ABM ADCΔ Δ

Geometría

60º

Recordar:

Recuerde:


Solución: 46

45º X

60º 45º

45º

60º

l

l

A

B

CD

E

l

l2

45º X

60º 45º

45º

60º

l

l

A

B

CD

E

l

l2

60º

60º

60º

60º

60ºErica T.F.

Primero construimos el BED (notable de 45º-45º)

Yuliza Linares

X

45º X

60º 45º

45º

60º

l

l

A

B

CD

E

l

l2

60º

Aplicando la propiedad: X=90º/2X=45º

Observación: formas de reconocer al notables

2n

2θ

2n

60º

30º

2θ

2n

3

60º

30º3

45º

45º2θ

22

Geometría


X60º

20º100º

80ºB

A

D

C

20º

N

80º

20º

100º

X

M

Extrayendo la siguiente figuranotamos que es factible aplicarla propiedad de los cuadriláteroscóncavos.

X=10º

120º-2(10º)

20º

100º

2(10º)

N

B

M

Solución: 45B

A D C

2XX

2X

E

=l

l2 l

=

Se prolonga el BD para trazarle AE//BCde cual el ADE DBC

AE= BD=DEΔ Δ

Λl

- - -

l

B

A D C

2XX

2X

E

=l

l2

l

=l2

N

X

X

Luis Dueñas

Recuerda:

l2l

l

l2l

l

45º

45º

Extraemos el ABC queresulta como consecuenciade los trazos.

Δ

Despues de construir del AEN isóscelesX=45º

Δ

Geometría


Solución: 47

Trazamos AM//BC del cual el ADM BDCΔ Δ- -

2θ

2n

3

60º

30º3

Jaime Rayme

l3

A

B

CD

M

l

l

2X

X 2X

l3

A

B

M

l

2X

X

l3

A

B

M

l

2X

X

30º

60º

l2

X=30º

Recuerda:

Aplicamos la propiedad ABMΔ

Solución: 48

30º

24º

64º X- -30º

24º

30º

24º

78º30º

6º

36º

=

=

6º

6º

30º

6º

72º 36º

Yenito Chipana

30º

24º

78º30º

6º

36º

=

=

6º

6º

30º

6º

72º 36º

X60º84º54º

60º

A

B

CD

Despues de realizar la construcción se observaque el triangulo BCD isósceles (BD=BC)

X=84º

Geometría


a)

b)y

X

8

5

23

c) y

X

48

25

44

d)

e)y

X

75

35

21

f)

g)

h)y

x16

15

20

i)

j)

y

x

5

8

23

y

X

25

29

27

y

x

2

15

2

y

X

4

45

6 22 +

X 44

753

48 - 7

X 23

3 - 3

435

k)

X15

63 - 1

l)

X8

212 3

a)

X

20ºq

q

b)

X

10º +b

b

10º

c)

X

20º +

20º

q q

D)X 21º +

21º

X

Ejercicios1.- Hallar “x” e “y”

2.- Hallar “x”

a) X

10º20º

b) X

21º42º

c)

X

12º

24º

4 Hallar “x” y “a”

a)

X69º42º

3 a

b)X

61º58º

10 a

c)

X

66º

48º

7

a

d)

X

62º

56º

4 a

4

5 Hallar “x” en:

b)X

63º

34º

18º

26º

a)X

66º

28º

16º

32º

3 Hallar “x”

Geometría


f)

X

120º

7º

120º

2

3º90

x-

c)

2X 90º - 3 x

35º

10º25º

d)

2X 90º - 3 x

33º

5º27º

a)

X

120º18º

63º

c)

2X

120º

10º

90º - 3x

120º

d)

2X

120º

5º

90º - 3x

120º

e)

X

120º

6º

120º

2

3º90

x-

e)

X 90º - 3x/2

28º

6º32º

f)

X 90º - 3x/2

37º

7º23º

6 Hallar “x”

b

X

120º18º

63º

b)

X

120º18º

63º

7 Hallar “X” en:

10º

10º

40º

70º

9º

42º

69º

20º

120º

20º

80º

5º

50º

65º

6º

6º

48º

66º

40º

20º

12º

24º

34º

20º

10º

6º

12º

17º

40º

50º

54º

48º

43º

20º

40º

48º

36º

26º

Xº

Xº

Xº

Xº

Xº

Geometría


5º

8º

10º

20º

21º

5º

8º

10º

20º

21º

95º

98º

100º

110º

111º

Xº

Xº

Xº

Xº

Xº

10º

12º

18º

14º

21º

18º

12º

16º

9º

20º

18º

12º

50º

48º

46º

46º

39º

Xº

Xº

Xº

Xº

Xº

8 Hallar “x”

a)

b)

c)

d)

e)

9 Hallar “x”

a)

a)

c)

d)

e)

b b

b b

b + 10º b + 10º

b b+ 15º + 15º

b b

b b

+ 20º + 20º

+ 30º + 30º

a a

a a

7 7

7 7

15 15

xº xº

xº xº

+ 26º + 26º+ 13º + 13º

a a

a a

a a

20 20

8 8

9 9

xº xº

xº xº

X X

2X 2X3X 3X

q q

3q 3q2q 2q

q q

q q

q q

10 Hallar “x”

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j

Geometría


27º 3º

X

10º 20º

X

21º 9º

X

18º 12º

X

25º 5º

X

Hallar “X” en:

20º

30º

X

30º

30º

X

40º

30º

X

28º

30º

X

51º

30º

X

20º

10º

50º

X

14º

7º

53º

X

18º

9º

51º

X

10º

50º

30ºX

12º

48º

30ºX

6º

54º

30ºX

18º

42º

30ºX

a) a)a)a)

b) b)b)

b)

c) c)c)

c)

d) d)d)

e) e)e)

11 12Hallar “x” Hallar “x” 13 14 Hallar “x”

25º

35º

30ºX

85 86

Geometría


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