aula 25 probalidade - parte 2

AULA 25ESTATÍSTICA

Professor: João Alessandro

PROBABILIDADE

PARTE 2

PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE

DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE

Em uma distribuição de probabilidades é necessário:

∑ P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis

0 ≤ P(x) ≤ 1 para todo o x.

A distribuição de probabilidades indica a percentagem de vezes que, em grande quantidade de observações, podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável aleatória.

Distribuição de Probabilidades

Distribuições de probabilidade

Distribuições descontínuas ou

discretas

Distribuições contínuas

Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias relativas a dados que podem ser contados.Exemplos: Número de ocorrências por amostras Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo Número de fumantes presentes em eventos esportivos

Distribuições Descontínuas ou Discretas

Uniforme ou RetangularBinomialBinomial Negativa ou de PascalGeométricaPoissonMultinomial ou PolinomialHipergeométrica

Formas da distribuição descontínua

Quando se usa as distribuições contínuas?

A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;

A variável aleatória em questão é contínua.

Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos pontos do círculo

logo A probabilidade de parar em um ponto definido é zero

Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em um intervalo P(a < x < b);

Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida no intervalo considerado.

Distribuições Contínuas

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

UNIFORME OU RETANGULAR

NORMAL

BIVARIADA NORMAL

EXPONENCIAL

LOGNORMAL

WEIBULL

QUI-QUADRADO χ2

t DE STUDENT

F DE SNEDECOR

GAMA

BETA

ERLANG

( formas)

Distribuições Contínuas

Um pouco de históriaNo século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número.

Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal”

Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento.

Distribuição Normal

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

25 40 55 70 85 100

115

Peso da população adulta

n = 5000 µ = 75 kg s = 12 kg

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

133

137

141

145

149

153

157

161

165

169

Altura de universitários

n = 3000 µ = 152 cm s = 5 cm

0,00

0,05

0,10

0,15

29,5

29,6

29,7

29,8

29,9 30 30

,130

,230

,330

,430

,5

Comprimento de uma régua

n = 1000 µ = 30cm s = 0,15cm

0

0,05

0,1

0,15

0,2

197

215

233

251

269

287

305

Pessoas num restaurante µ = 250 por dia s = 20 por dia

Distribuição Normal - Exemplos

IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de muitos fenômenos naturais e físicos.

Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não) quando n é grande.

Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais importante).


Curva normal típica

Média = µ

Desvio padrão = σ

média∞ ∞

Forma de uma boca de sino

50% 50%

Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5)


1. A curva normal tem a forma de sino

2. É simétrica em relação a média

3. Prolonga-se de -∞ a +∞ (apenas em teoria) (assintótica)

4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão)

5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1

6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos

7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica da distribuição contínua)

8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto

Distribuição Normal - Características

A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos

µ

a b

P (a < x < b) = área hachurada sob a curva


OBSERVAÇÃO:

x - µ = distância do ponto considerado à média

x - µ σ

z =número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões

z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média

ef(x) =

x – ponto considerado da distrib.

µ - média da distribuição

σ - desvio padrão da distribuição

-12( )x - µ 2

σ

2π σ

1


A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z)

Normal padronizada

Normal não padronizada

z = x - µσ

µ x 0 z

PP


70 80 90 100 110 120 130

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

µ = 100,0

σ = 10,0

escala efetiva

escala padronizada

Escala efetiva X Escala padronizada


1,2

.

..

1,0

00 01 02 03 04 05 06 ...

1,1

1,25

.

..

0,3944olhando a tabela

Distribuição Normal - Consultando a tabela

Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões

z área entre a média e z

1,00 0,3413 1,50 0,43322,13 0,4834 2,77 0,4972

área tabelada = área desejada

0 z


z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z)

0 z


0 z

Distribuição Normal - Tabela

1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi? N(µ;σ) = N(4000,120) psi X = 3850psi

%56,101056,0)25,1( ==−≤ZP

3850 4000

-1,25Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944

Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%

25,1120

40003850 −=−=−=σ

µXz

P(z ≤ -1,25)


N(µ,σ) = N(50;15) dias X = 31 dias

2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que

permanecem acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada

como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão

de 15 dias. Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas,

aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro?

27,115

5031 −=−=−=σ

µXz

%20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1( ==−=−≤ oZPConsultando tabela:

Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas

X

Z

f(x)

50=µ

0

31

-1,27

3520


3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo

comprimento pode ser considerado uma variável normalmente

distribuída com média µ=10,00 metros, e desvio padrão igual a

σ = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o

comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a

10,20 m?

N(µ,σ) = N(10;0,09) metros

X = 10,20m

22,209,0

1020,10 =−=−=σ

µXz

%32,10132,04868,05,0)22,2()22,2( ==−=−≤=≥ ZPZP

f(x)

10=µ

X10,20

0 2,22 Z


Consultando tabela temos:

4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos.

CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA

NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS

%18,90918,04082,05,0)33,1()4( ==−=−≤=≤ ZPxPConsultando a tabela:

33,13

84 −=−=−=σ

µXz

N(µ,σ) = N(8;3) minutos

X < 4 minutos

f(x)

X8

0

4

Z-1,33


5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão

de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas

defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?

ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL

)3()3()97,1()03,2( −<+>=<> ZPZPxouPxP

301,0

203,21 +=−=−=

σµX

z

f(x)

2=µ

X2

0 3 Z

2,031,97

-3

N(µ,σ) = N(2,00;0,01)

X1 = 2,03 e X2=1,97

301,0

297,12 −=−=−=

σµX

z

Consultando tabela: %28,00014,00014,0)3()3( =+=−<+> ZPZP


DÚ[email protected]

[email protected]

mailto:[email protected]

aula 25 probalidade - parte 2

Documents